Logisch denken over kansen In zee met wiskunde D TU Eindhoven, 29 januari 2007 Mirte Dekkers en Klaas Landsman
[email protected] [email protected] Radboud Universiteit Nijmegen Genootschap voor Meetkunde en Kwantumtheorie
Is kansrekening wiskunde? “Meneer Jeavons zei dat ik van wiskunde hield omdat het veilig was. Hij zei dat ik van wiskunde hield omdat ik dan problemen kon oplossen, en die problemen waren moeilijk en interessant, maar er kwam wel altijd een duidelijk antwoord uit. En wat hij bedoelde was dat wiskunde anders was dan het leven, want in het leven komen er geen duidelijke antwoorden uit.” (Mark Haddon, Het wonderbaarlijke voorval met de hond in de nacht)
Kansrekening is wiskunde! •
Kansrekening (en statistiek) is het onderdeel van de wiskunde dat dit vak met “het leven” verbindt
•
Kansrekening geeft meestal een getal. Maar dat is nog geen “duidelijk antwoord”: betekenis is vaak onduidelijk
•
Over de betekenis van die getallen moet je eerst logisch en conceptueel leren nadenken (ook daar ligt wiskunde!)
•
Logisch en conceptueel nadenken over kansen is op het vwo zelfs belangrijker dan bij andere onderdelen van de wiskunde (waar dat op de universiteit kan of nooit)
Kansrekening op het vwo •
Huidige situatie: wiskunde A1, A12, B1, B12 bevatten hetzelfde pakket “Combinatoriek en kansrekening” en bovendien Statistiek (A≠B)
•
2007-2010: vier vakken wiskunde (A, B, C, D) A = A12 m.b.t. Kansrekening en statistiek (200 slu) B bevat geen Kansrekening en statistiek C heeft op papier hetzelfde programma als A D (experimenteerfase): 120 + 40 slu voor K&S in te vullen als A12 (in 160 slu) of specifiek
Standpunt Resonansgroep •
K&S is zó belangrijk voor vervolgopleidingen en leven dat de basis in wiskunde A én B (en C) thuishoort
•
Voortgezette meetkunde past beter in wiskunde D
•
Logisch/axiomatisch-deductief denken kan via K&S (of Analyse) worden aangeleerd (i.p.v. via meetkunde)
•
Wiskunde D moet K&S verdiepen
•
De situatie in 2007-2010 is dus onbevredigend
Mes snijdt aan twee kanten Op mijn school, Dalton Voorburg, wordt overwogen het vak Wiskunde D voorlopig niet in te voeren. Voornaamste redenen: nog geen vaststaand examenprogramma, wordt niet vereist door vervolgopleidingen, misschien kleine (dus dure) groepjes. Daar heeft de wiskundesectie bezwaar tegen gemaakt. Vooral ons argument dat er dan N&T leerlingen naar het vervolgonderwijs zullen gaan zonder enige kennis van kansrekening en statistiek vindt weerklank. Onze inventieve conrector heeft nu bedacht dat die module kansrekening en statistiek wel zo ongeveer in de 100 slu vrije ruimte binnen Wiskunde D (VWO) kan worden geschoven. Of dat we misschien het vak Wiskunde D (VWO) meer slu moeten geven (bijv. 760 slu) zodat kansrekening en statistiek er weer in zou kunnen. Heel creatief allemaal, wij als wiskundesectie zien hier niet veel in. Wij blijven pleiten voor invoering van het hele vak Wiskunde D. Daar zijn voldoende goede redenen voor. Maar, is bekend hoe andere scholen het probleem hebben opgelost? Dus in het bijzonder: wat gebeurt op scholen die Wiskunde D niet invoeren met de domeinen "kansrekening en statistiek"? En hoe wordt dat dan beloond bij de leerlingen? Jos Remijn, SG Dalton, Voorburg (WiskundEbrief 28-01-2007)
Advies B & D voor 2007-2010 •
Comprimeer A12 materiaal K&S voor D tot 120 slu
•
Vul 40 slu in met spannend keuzeonderwerp
•
Zorg dat logisch en conceptueel nadenken over kansen een rol speelt in dit keuzeonderwerp
•
Een suggestie daartoe is het thema van vandaag: Het driedeurenprobleem (40 slu)
•
Ander geschikt onderwerp voor wiskunde D (ligt tussen K&S en Wiskunde in wetenschap): Bestaat Toeval? (80 slu)
Het driedeurenprobleem (Monty Ha! Problem, Ziegenproblem)
• • • • •
Quizmaster en deelnemer staan voor drie deuren
•
De quizmaster vraagt de deelnemer of hij zijn keuze wil wijzigen
•
Wat moet hij doen?
Achter één deur staat een Ferrari Achter de andere twee deuren staat een geit De deelnemer kiest een deur (die dicht blijft) De quizmaster (die weet waar de auto staat) opent een andere deur, waar een geit staat
De juiste oplossing •
Als hij wisselt is de kans dat hij wint 2/3
•
Als hij niet wisselt is de kans dat hij wint 1/3 Het is dus verstandig om te wisselen
•
Maar veel mensen denken dat het niets uitmaakt! De oplossing is contra-intuïtief
Kansboom •
Wat maakt de verschillende mogelijkheden even waarschijnlijk?
•
Wat betekenen de kansen? Is de uitkomst niet van tevoren bepaald?
•
De specifieke keuze van de quizmaster komt niet voor
Ask Marilyn (Vos Savant) • “Ik maak me grote zorgen over het gebrek aan wiskundig inzicht bij het grote publiek. Help alstublieft door uw fout toe te geven”
• “Ongelooflijk dat u uw fout nog steeds niet inziet nadat u door zeker drie wiskundigen bent verbeterd”
• “U hebt het volledig mis... Hoeveel woedende wiskundigen zijn ervoor nodig om u te overtuigen?”
Probleem is kapstok voor: •
Axioma’s van de kansrekening Bayes, 1761 (eindig veel mogelijke uitkomsten) Kolmogorov, 1933 (willekeurig veel uitkomsten)
•
Interpretatie(s) van de kansrekening
•
Gebruik voorwaardelijke kansen en regel v. Bayes
Axioma’s kansrekening •
Kansexperiment heeft (eindige) lijst Z van uitkomsten Voorbeeld: Z = {1,2,3,4,5,6} bij worp met dobbelsteen
•
Kans is functie P: {Combinaties van uitkomsten} → [0,1] Voorbeeld: { {1}, ..., {6}, {1,2},..., {1,2,3},..., Z = {1,2,3,4,5,6} }
•
P(A of B) = P(A) + P(B) als A en B elkaar uitsluiten
•
P(Z) = 1 (de zekere gebeurtenis heeft kans 1)
Met verzamelingen: •
Uitkomstruimte van kansexperiment is verzameling Z
•
Kans is functie P: {deelverzamelingen van Z} → [0,1]
•
P(A
•
P(Z) = 1 (de zekere gebeurtenis heeft kans 1)
•
N.B. dit geldt voor eindige verzamelingen Z
B) = P(A) + P(B) als A
B=
Voorwaardelijke kansen •
Een voorwaardelijke kans heeft 2 argumenten
•
P(A|B) = P(A en B)/P(B) (als P(B) ≠ 0)
•
Hieruit volgt de regel van Bayes: P (B|A)P (A) P (A|B) = P (B)
•
Let op hoe deze regel in de praktijk wordt gebruikt: P(A|B) als kans op A nadat B heeft plaatsgevonden (terwijl P(A|B) eigenlijk slaat op tijd vóór B zeker was)
Interpretaties kansrekening •
Objectief: kans bestaat ‘echt’ (in de natuur) kans is relatieve frequentie Geldt alleen voor herhaalbare kansexperimenten
•
Subjectief: kans is mentale constructie kans is mate van geloof Ook van toepassing op éénmalige kansexperimenten Beide interpretaties kennen problemen, maar voldoen aan axioma’s als ze van toepassing zijn
Relatieve frequentie als getal • •
Herhaal een kansexperiment N keer: kans op A is #(A) P (A) = N Nadeel: soms grote afwijkingen van ‘objectieve’ kans
•
Neem dus limiet voor grote N: kans op A is #(A) P (A) = lim N →∞ N
•
Talloze problemen: bestaat limiet? Hangt deze af van volgorde experimenten? Operationele definitie? ...
•
Met en zonder limiet is aan axioma’s voldaan
Mentale kans als getal •
Mate van geloof uitgedrukt als wed-ratio Docent en leerling sluiten weddenschap af op A Leerling kiest wed-ratio P(A) Docent kiest inzet I(A) positief of negatief Leerling ‘betaalt’ docent P(A)I(A) Als A optreedt betaalt docent aan leerling I(A) Als A niet optreedt betaalt docent niets Wie wint hangt af van uitkomst en van het teken van I(A)
•
Dutch book stelling: functie P voldoet aan axioma’s desda docent niet door slimme keuze van inzetten een Dutch book kan maken (i.e. weddenschap die leerling altijd verliest)
Oplossing driedeurenprobleem •
Met frequentie-interpretatie: speel het spel N keer met toevallige keuzes quizmaster (auto) en deelnemer (deur) zonder correlaties (dus niet auto achter deur 1, 2, 3, 1, 2, 3,.. en keuze deur idem dito). Uitmiddeling geeft dan het juiste antwoord (kansboom)
•
Met mentale interpretatie: bepaal subjectieve kansen die deelnemer aan relevante gebeurtenissen toekent (bijv. A₁: auto staat achter deur 1) Druk kans op auto met en zonder wisselen uit in (subjectieve) voorwaardelijke kansen Regel van Bayes geeft vervolgens het juiste antwoord
Subjectieve kansen •
Voor de quizmaster zijn alle kansen 0 of 1
•
Voor de deelnemer zijn de kansen als volgt: P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = 1/3 (A₁: auto staat achter deur 1) Stel dat deelnemer deur 1 kiest, dan geldt tevens: P(Q₁) = 0; P(Q₂) = P(Q₃) = 1/2 (Q₁: quizmaster opent deur 1) Quizmaster opent deur die niet gekozen was én geit toont: P(Q₂| A₃) = P(Q₃| A₂) = 1 maar P(Q₂|A₁) = P(Q₃|A₁) = 1/2
Berekening •
Deelnemer kiest deur 1 en quizmaster opent deur 2 Kans dat deelnemer wint als hij wisselt is P(A₃|Q₂) Kans dat hij wint als hij niet wisselt is P(A₁|Q₂)
•
Regel van Bayes: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) P(A₃|Q₂) = P(Q₂|A₃)P(A₃)/P(Q₂) = (1 × ⅓) / ½ = ⅔ P(A₁|Q₂) = P(Q₂|A₁)P(A₁)/P(Q₂) = (½ × ⅓) / ½ = ⅓
•
Dit is het juiste antwoord: Kans dat deelnemer wint als hij wisselt is 2/3 Kans dat hij wint als hij niet wisselt is 1/3
Wat leren de scholieren? •
Kansrekening heeft een axiomatische fundering (net als euclidische meetkunde, analyse, ...)
•
Er bestaan verschillende interpretaties van de kansrekening, die elk aan de axioma’s voldoen
•
Het driedeurenprobleem kan worden opgelost met zowel de objectieve frequentie-interpretatie als met de subjectieve mentale interpretatie
•
Andere illustratie voorwaardelijke kansen en regel van Bayes: de zaak Lucia de B.
