LOGIKA MATEMATIKA
A. Pernyataan , kalimat terbuka, dan ingkaran pernyataan. 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Contoh : a.
Hasil kali 5 dan 4 adalah 20
b. Semua unggas dapat terbang c.
Ada bilangan prima yang genap
Contoh a dan c adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan b penyataan yang bernilai salah. Contoh kalimat yang bukan pernyataan : a.
Semoga nanti engkau naik kelas
b. Tolong tutupkan pintu itu c.
Apakah Ali sudah makan ?
Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb. Misalnya : p : Semua bilangan prima adalah ganjil q : Jakarta ibukota Indonesia 2. Kalimat terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel. Contoh : a.
2x + 3 = 9
b. 5 + n adalah bilangan prima c.
Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah
Tugas I Diantara kalimat berikut manakah yang merupakan pernyataan, jika pernyataan tentukan nilai kebenarannya. 1.
Salah satu faktor dari 36 adalah 6
2. 2x + 5 = 2 3. 12 – 4 =10 4. x merupakan bilangan prima 3. Ingkaran dari pernyataan Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula. Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “ bukan p” atau “tidak p”. Untuk membuat ingkaran pernyataan tunggal dapat disisipkan kata “bukan” atau “tidak” atau menambahkan “Tidak benar bahwa …” di awal pernyataan. Tabel kebenarannya sbb : p ~p B S S B Contoh : a. p : Ayah pergi ke pasar ~ p : Ayah tidak pergi ke pasar b. q : 2 + 5 < 10 ~ q : 2 + 5 10
1
Ingkaran pernyataan Pernyataan
Ingkaran
Semua/Setiap x adalah y.
Beberapa/Ada/Terdapat x bukan y.
Beberapa/Ada/Terdapat x adalah y.
Semua/Setiap x bukan y.
Tugas II Tentukan ingkaran / negasi dari pernyataan berikut : 1.
17 adalah bilangan prima
2. 3 adalah faktor dari 38 3. 5 x 12 > 40 4. Beberapa siswa SMA TCR memakai kacamata. 5. Toni tidak rajin belajar. 6. Semua siswa TCR tinggal di Tangerang. B. Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Istilah
Notasi
Konjungsi
Kata hubung … dan…
Disjungsi
… atau …
Implikasi
Jika … maka ….
Biimplikasi
… jika dan hanya jika …
Kata hubung lain yang mempunyai makna sama dengan “dan”, yaitu walaupun, namun, walaupun, tetapi 1.
Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan " p q" yang dibaca p dan q. Contoh: Pada suatu hari ayah meminta Ruth untuk membelikan gula dan teh di warung, karena teh dan gula di rumah habis. p: Ruth membeli teh. q: Ruth membeli gula. Kemungkinan: 1. Ruth membeli teh dan gula. 2. Ruth membeli teh dan es krim. 3. Ruth membeli coklat dan gula. 4. Ruth membeli coklat dan es krim. Tabel kebenarannya : p
q
" p q"
Kesimpulan:
2
2. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan p q dan dibaca p atau q Contoh: Pada suatu hari ayah meminta Radhit untuk membelikan kopi atau teh untuk menjamu tamu karena kopi ataupun teh di rumah habis. p: Radhit membeli kopi. q:Radhit membeli teh. Kemungkinan: 1.
Radhit membeli kopi atau teh.
2. Radhit membeli kopi atau es krim. 3. Radhit membeli pizza atau teh. 4. Radhit membeli pizza atau es krim. Tabel kebenarannya : p
q
pq
Kesimpulan:
Tugas III 1.
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut : a.
2 3 + 1 = 3 3 dan 2 adalah bilangan prima
b. 37 adalah bilangan prima dan ada bilangan prima yang genap c.
Semua unggas dapat terbang atau grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola
d. Log 5 merupakan bilangan irasional atau 3 + 5 = 8 2. Jika p : Adik naik kelas q : Adik dibelikan sepeda motor Nyatakan dengan pernyataan majemuk : a.
p q
b. p q c.
~p q
d. ~ (p q) 3. Buatlah tabel kebenaran dari : a.
~ (~p v ~q)
b. ~ (~p ~q) c.
(p q) v (~p q)
d. [~(p v q) ] q
3
3. Implikasi Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “Jika .... maka .... .” Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q yang dibaca “jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau “q syarat cukup bagi p” Dari implikasi p q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa. q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi. Contoh : p: Hari ini hujan. q: Ruth memakai payung. Kemungkinan: 1. Jika hari ini hujan maka Ruth memakai payung. 2. Jika hari ini hujan maka Ruth tidak memakai payung. 3. Jika hari ini tidak hujan maka Ruth memakai payung. 4. Jika hari ini tidak hujan maka Ruth tidak memakai payung.
Tabel kebenarannya : p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Kesimpulan: 4. Biimplikasi Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “... jika dan hanya jika ... .” Dilambangkan “ ”. Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p. Contoh : p : Ayah mendapat gaji. q : Ayah bekerja. Kemungkinan: 1. Ayah mendapat gaji jika dan hanya jika ayah bekerja. 2. Ayah mendapat gaji jika dan hanya jika ayah tidak bekerja. 3. Ayah tidak mendapat gaji jika dan hanya jika ayah bekerja. 4. Ayah tidak mendapat gaji jika dan hanya jika ayah tidak bekerja.
4
Tabel kebenarannya : p
Q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Kesimpulan:
Tugas IV 1. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut: a. (p q) r
b. (p r) (q r)
2. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut kemudian tentukan manakah yang mempunyai nilai kebenaran yang sama: a.
pq
j.
p q
b. p q
k. p q
c.
l.
(p q)
q p
d. q p
m. p q
e. (p q)
n.
(p q)
f.
qp
o.
(p q)
g.
p q
p.
(p ~q) ( q ~ p)
q.
(p q) ( q p)
h. p q i.
p q
D. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN (SETARA) DAN NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen/setara jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah “ ”. Beberapa ekuivalensi yang penting dalam logika matematika: 1. Sifat Komutatif a. p q b. p q 2. Negasi konjungsi dan disjungsi (Hukum de’ Morgan) a. (p q) b. (p q) 3. Negasi Implikasi (p q) 4. Negasi Biimplikasi (p q) 5. Ekuivalensi Implikasi p q 6. Ekuivalensi Biimplikasi p q 7. Negasi dari negasi pernyataan tunggal: (p) p
5
Tugas V 1.
Tentukan negasi (gunakan selain “Tidak benar bahwa … “)dari: a.
Jika matahari terbit dari barat maka bumi berhenti berputar.
b. Saya tidak sedih dan tidak menangis. c.
Rika cantik tetapi sombong.
d. Josse tampan atau tidak pandai menari. e. Dina tidak lulus ujian atau tidak melanjutkan kuliah. f.
Semua siswa kelas X senang matematika dan ekonomi.
g.
Jika negara dalam keadaan perang maka rakyat menjadi kacau.
h. Jika matahari tenggelam maka kelelawar beterbangan. i.
Bila hari ini tidak hujan maka kami akan menonton di bioskop.
j.
Ada siswa SMA Matahari yang terlambat masuk kelas.
k. Kiki cantik dan pandai. l.
Fredy penyanyi atau penulis.
m. Beberapa siswa kelas X senang menari dan menyanyi. n.
Semua siswa “SMA Kasih” naik kelas.
2. Tentukan pernyataan yang setara/ekuivalen dari: a.
Jika Cici peringkat satu maka ia diberi hadiah.
b. Jika hujan lebat datang maka sungai meluap. c.
Jika ayam sudah berkokok maka Oni berangkat sekolah.
d. Bila hari ini tidak hujan maka kami akan mengerjakan tugas. e. Ayah tidak pergi atau Ibu di rumah. (*petunjuk: ubah dalam bentuk implikasi) f.
Lolly pergi ke supermarket atau pergi ke mall. (*petunjuk: ubah dalam bentuk implikasi)
g.
Kiki cantik atau tidak rajin. (*petunjuk: ubah dalam bentuk implikasi)
h. Kaela naik kelas dan tidak liburan ke Bali. (*petunjuk: ubah dalam bentuk implikasi)
E. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi
Suatu pernyataan majemuk merupakan tautologi, jika nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan pernyataan majemuk adalah benar.
Suatu pernyataan majemuk merupakan kontradiksi, jika nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan pernyataan majemuk adalah salah.
Suatu pernyataan majemuk merupakan kontingensi, jika nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk memuat benar dan salah.
Tugas VI Tentukan manakah yang termasuk tautology, kontradiksi, atau kontingensi dari setiap pernyataan majemuk berikut: 1.
(p q) p
5. p ((p q) (p r))
2. ((p q) q) p
6. (p q) (p v q)
3. (p (p q)) q
7. (p ~q) (~p ~q)
4. (p (p q) F. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Dari implikasi p q dapat dibentuk implikasi baru : 1.
q p disebut konvers dari implikasi semula
2. ~ p ~ q disebut invers dari implikasi semula 3. ~ q ~ p disebut kontraposisi dari implikasi semula
6
Contoh : p : Tia penyanyi q : Tia seniman Implikasi p q : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman Konvers q p : Invers ~ p ~ q : Kontraposisi ~ q ~ p : Tugas VI Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan : 1.
Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik.
2.
Jika x> 6 maka x² ≥ 36.
G. Pernyataan berkuantor Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas Ada 2 macam kuantor, yaitu : 1.
Kuantor Universal Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan (dibaca untuk semua atau untuk setiap) Contoh : * x R, x2 > 0, dibaca untuk setiap x anggota bilangan Real maka berlaku x2 > 0. * Semua ikan bernafas dengan insang.
2. Kuantor Eksistensial Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian) Contoh : * x R, x2 + 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real dimana x2 + 3x – 10 < 0 * Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru. Ingkaran dari pernyataan berkuantor Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal. Ingat : Ingkaran pernyataan Pernyataan
Ingkaran
Semua/Setiap x adalah y.
Beberapa/Ada/Terdapat x bukan y.
x, p(x)
~(x, p(x)) x, ~p(x)
Beberapa/Ada/Terdapat x adalah y.
Semua/Setiap x bukan y.
x, p(x)
~(x, p(x)) x, ~p(x)
Contoh : a.
p : Semua ikan bernafas dengan insang ~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang : Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru : Tidak semua ikan bernafas dengan insang
b.
q : Beberapa siswa SMA malas belajar ~ q : Semua siswa SMA tidak malas belajar
7
Tugas VII Tentukan ingkaran pernyataan berikut : 1.
Setiap bilangan prima merupakan bilangan ganjil
x R ; x2 + 5x – 6 = 0 3. x R ; x2 + 4x – 5 > 0 2.
4. Ada siswa yang tidak menyenangi pelajaran matematika 5. Semua segitiga jumlah sudutnya 1800 .
H. PENARIKAN KESIMPULAN Argumen adalah serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan penarikan kesimpulan. Suatu argumen terdiri dari 2 kelompok pernyataan yaitu kelompok premis dan kelompok konklusi. Contoh : Premis 1 : Jika adik rajin belajar maka naik kelas Premis 2 : Jika adik naik kelas maka Ibu senang Premis 3 : Adik rajin belajar Konklusi : Ibu senang Suatu argumen dikatakan sah atau valid jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran premispremisnya mendapatkan konklusi yang benar pula (merupakan tautologi). Kata hubung antar premis menggunakan “dan”, sedangkan antara premis dan konklusi dihubungkan dengan kata hubung “Jika … maka …”. Ada 3 dasar penarikan kesimpulan yaitu : 1.
Modus Ponens Kerangka penarikan modus ponens sebagai berikut : Premis 1 : p q Premis 2 : p Konklusi : q Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut : p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
(pq)p
(( p q ) p) q
Modus Tollens Kerangka penarikan kesimpulan dengan dasar modus tollens sbb : Premis 1 : p q Premis 2 : ~ q Konklusi : ~ p
8
Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut : p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
( p q ) ~q
(( p q ) ~q) ~p
2. Silogisme Kerangka penarikan kesimpulan dengan metode silogisme sbb : Premis 1 : p q Premis 2 : q r Konklusi : p r Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut : p
q
r
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
S
S
B
S
S
S
pq
qr
( p q ) (q r )
(( p q ) ( q r )) ( p r )
Contoh : Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini : 1.
Premis 1 : Jika sakit maka ibu minum obat Premis 2 : Ibu sakit Konklusinya :
2. Premis 1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak Konklusinya : 3. Premis 1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka uang saku naik Konklusinya :
9
Tugas VIII 1.
Tentukan kesimpulan yang sah dari: a. p v q ~q
b. p ~q r q
c. Listrik padam atau mesin jalan Jika mesin jalan maka produksi tidak berhenti
d. jika Jakarta di Jawa Tengah maka Surabaya ibukota Indonesia Jika Surabaya ibukota Indonesia maka Bengawan Solo di Banten
e. Jika makan rujak maka Ani sakit perut Ani makan rujak
f. Jika PSIS menang maka panser biru senang Jika panser biru senang maka Semarang ramai
g. Inul tidak bernyanyi atau penonton bergoyang. Penonton tidak bergoyang.
h. Premis 1: Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai. Premis 2 : Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian. Premis 3 : Budi tidak lulus ujian .
i.
Premis 1: Jika Badu rajin bekerja maka ia disayang ibu. Premis 2: Badu tidak disayang nenek Premis 3: Jika Badu disayang ibu maka ia disayang nenek
10
