LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C v i
Minimalizace logických funkcí pravidly Booleovy algebry ●
č
● logický
x + x =1
e n
zákon vyloučeného třetího
●
x⋅x = 0
zákon dvojité negace
x=x
í ●
zákony opakování
x+x= x
rozpor
x⋅x = x
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C
●
x1 + x2 = x2 + x1
v i č
●
n ●
x1 ⋅ x2 = x2 ⋅ x1
asociativní zákony
x1 + ( x2 + x3 ) = x1 + x2 + x3
e
í
komutativní zákony
distributivní zákony
x1 ⋅ ( x2 + x3 ) = x1 x2 + x1 x3
x1 + x2 ⋅ x3 = ( x1 + x2 ) ⋅ ( x1 + x3 )
x1 ⋅ ( x2 ⋅ x3 ) = x1 ⋅ x2 ⋅ x3
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
●
absorpční zákony
C
x1 + x1 ⋅ x2 = x1
v
x1 + x1 ⋅ x2 = x1 + x2
i č
●
n ●
í
1⋅ x = x
zákony agresivnosti 0 a 1
0⋅ x = 0 ●
x1 ⋅ (x1 + x2 ) = x1 ⋅ x2
zákony neutrálnosti 0 a 1
0+ x = x
e
x1 ⋅ ( x1 + x2 ) = x1
1+ x = 1
de Morganovy zákony
x1 + x2 = x1 ⋅ x2
x1 ⋅ x2 = x1 + x2
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Schématické značky logických funkcí
C v
název funkce
synonymní názvy
negace
NOT
schématická značka
i č
disjunkce
í
konjunkce
OR logický součet AND logický součin
x1 x2
x1 x2
synonymní názvy
negace disjunkce
NOR negace logického součtu
x1 x2
1
x1+x2
negace konjunkce
NAND negace logického součinu
x1 x2
&
x1x2
x
x
e n
název funkce
1
&
x1+x2
x1x2
schématická značka
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C
Siemens LOGO!Soft Comfort
v i
vytváření logických blokových schémat
simulace úloh
č e n í
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Příklady
C v i
příklad 1 Využitím pravidel Booleovy algebry minimalizujte logickou funkci :
č e
a)
y = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
b)
y = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
c)
y = x1 . x2 . x3 + x1 . x2 .x3 + x1 . x2 . x3 + x1 . x2 . x3
n í
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C
d)
+ x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4
v i č
y = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 +
e)
e
y = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x 4 + + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x 3 x4
n í
f)
y = x1 x3 . x2 x3 . x1 x3
g)
y = x1 + x2 + x1 + x3
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C v i č e n í
příklad 2 Pro minimalizovaný tvar příkladu 1b) nakreslete logické blokové schéma a simulací ověřte funkci pomocí programu LOGO!Soft :
y = x1 x3 + x1 x2 + x1 x3
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C v
x1
x1
&
x1. x2
x2
x2
&
x1. x3
x3
x3
&
x1. x3
i č e n í
1
y
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C v i č e n í
příklad 3 Pro minimalizovaný tvar příkladu 1e) nakreslete logické blokové schéma a simulací ověřte funkci pomocí programu LOGO!Soft :
y = x1 x3 x4 + x1 x2 x3 + x1 x4
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C v i č e n í
příklad 4 Pro neminimalizovaný tvar příkladu 1d) nakreslete logické blokové schéma a simulací ověřte funkci pomocí programu LOGO!Soft :
y = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Příklady na procvičení
C v i č e n í
příklad 5 Využitím pravidel Booleovy algebry minimalizujte logickou funkci :
a)
y = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
b)
y = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
c)
y = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
d)
y = x1 . x2 .x3 + x1 . x2 . x3 + x1 . x2 . x3 +
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C
e)
+ x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x 3 x4
v i č e
y = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x 4 +
f)
y = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x 4 + + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4
n í
g)
y = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x 4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + + x1 x 2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x 2 x3 x4
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C
Přepis pravdivoství tabulky na algebraický výraz logické funkce
v i
●
- počet řádků tabulky
č
2n
- n počet vstupních proměnných
e n
pravdivostní tabulka
●
algebraický výraz - logický součet logických součinu
í ●
přepis - pouze řádky s hodnotou 1 na výstupu - vstupní proměnná 0 – - vstupní proměnná 1 -
x x
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C
Přepis pravdivoství tabulky do Karnaughovy mapy
v i
●
- počet řádků tabulky
č
2n
- n počet vstupních proměnných
e n
pravdivostní tabulka
●
Karnaughova mapa - počet políček mapy
í ●
2n
přepis - pouze řádky s hodnotou 1 na výstupu - jeden řádek tabulky odpovídá jednomu políčku mapy
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy
C v
●
pravidla pro spojování do smyček - sousední políčka s jedničkami spojit do smyček - smyčky mocniny dvou (1, 2, 4, 8...) - začínáme od největších smyček - smyček co nejmíň - jedna jednička může být součástí libovolného počtu smyček - všechny jedničky nutno zakroužkovat
i č e n í ●
pravidlo pro vytvoření minimálního výrazu - jedna smyčka tvoří jeden součtový člen, který obsahuje ty proměnné, jejichž hodnota (0 nebo 1) se v rámci dané smyčky nemění
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C v
Příklady
příklad 1 Převeďte pravdivostní tabulku na algebraický výraz logické funkce :
i č
a)
x1
x2
x3
y
e
0
0
0
n
0
0
0
í
b)
x1
x2
x3
y
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
LOGICKÉ ŘÍZENÍ x1
x2
x3
x4
y
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
n
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
í
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C v i č e
příklad 2 Převeďte pravdivostní tabulku na algebraický výraz logické funkce :
a)
x1
x2
x3
x4
y
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
b)
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C v i
příklad 3 Převeďte pravdivostní tabulku do Karnaughovy mapy :
a)
x1
x2
x3
y
č
0
0
0
e
0
0
0
n í
b)
x1
x2
x3
y
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
LOGICKÉ ŘÍZENÍ x1
x2
x3
x4
y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
n
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
í
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
C v i č e
příklad 4 Převeďte pravdivostní tabulku do Karnaughovy mapy :
a)
x1
x2
x3
x4
y
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
b)
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C
příklad 5 Proveďte minimalizaci Karnaughových map :
v i
a)
x2 x x3 1
b)
1
č
1
e
1
n í
c)
x2 x1 x3
1
1
1
1
1
1
d)
1
x2 x x3 1
x2 x1 x3
1 1
1 1
1
1 1
1
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C
příklad 6 Proveďte minimalizaci Karnaughových map :
v i č
a)
x2
x4 x1 x3
e n
1
í
1
b)
1
x2
x4 x1 x3
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C v i
c)
x2
x4 x1 x3
d)
1
x2
x4 x1 x3
1
1
1
č e
1
n
1
í
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C
Přepis slovního zadání do pravdivostní tabulky
v i
●
č
- volba 0 a 1
e n
určení vstupních proměnných
●
určení výstupních proměnných - volba 0 a 1
í ●
vytvoření pravdivoství tabulky - počet řádků tabulky
2n
- n počet vstupních proměnných
C v i č e n í
Příklady příklad 7
Popis úlohy Nádrž vodárny (darling) se plní pomocí čerpadla s elektromotorem ze studny. Čerpadlo se ovládá logickým vstupem - „1“ zapnuto / „0“ vypnuto. Nádrž vodárny je vybavena snímačem tlaku s logickým (dvouhodnotovým) výstupem - „1“ požadovaný tlak, „0“ nízký tlak. Ve studni je namontován snímač výšky vodní hladiny, také s logickým výstupem - „1“ dostatečná hladina, „0“ nízká hladina (ve studni není dostatek vody). Zadání Realizujte řízení čerpadla malé domácí vodárny tak, aby se v nádrži udržoval požadovaný tlak. Čerpadlo nesmí být zapnuto, když je ve studni nízká hladina vody, protože by mohlo dojit k jeho poškození (přehřátí, nasátí nečistot, ..).
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Pravdivostní tabulka C
x1 - hladina
x2 - tlak
y - čerpadlo
0
0
0
0
1
0
č
1
0
1
e
1
1
0
v i
n í
C v i č e n í
příklad 8
Popis úlohy Skleník je vybaven otevíracími okny, která jsou ovládána najednou jedním signálem – „1“ otevřít, „0“ zavřít. Dále je vybaven žaluziemi s ovládáním lamel – „0“ zatemnit (sklopit), „1“ odtemnit (postavit). Uvnitř skleníku je měřena teplota, výstup snímače je „1“ vysoká teplota, „0“ správná nebo nízká teplota. U skleníku je připevněn venkovní snímač intenzity slunečního svitu, jeho výstup je – „1“ vysoká intenzita, „0“ nízká intenzita. Zadání Realizujte řízení teploty ve skleníku na základě těchto podmínek. Je-li teplota ve skleníku vysoká, jsou otevřena okna, je-li teplota nízká, jsou okna zavřena. Je-li intenzita slunečního svitu vysoká, musí být žaluzie zatemněny a naopak.
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Pravdivostní tabulka C v i č e n í
x1 - teplota
x2 - intenzita
y1 - okno
y2 - žaluzie
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
příklad 9
C v i
Popis úlohy Světla na chodbě jsou ovládána pomocí tří tlačítek. Po stisku libovolného tlačítka se rozsvítí světla na zadanou dobu a po jejím uplynutí zhasnou.
č e n í
Zadání Realizujte rozsvícení a zhasnutí světel na chodbě, je-li požadována minimální doba svícení světel 10 sekund.
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Pravdivostní tabulka C
x1 – tlačítko 1
x2 – tlačítko 2
x3 – tlačítko 3
y - světla
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
e
0
1
1
0
n
1
0
0
1
í
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
v i č
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Příklady na procvičení
C v i č
příklad 10 Popis úlohy V dílně jsou umístěny tři ventilátory.
e n í
Zadání Navrhněte logickou funkci, která rozsvítí signalizaci, pokud jsou v chodu : a) dva libovolné ventilátory b) nejméně dva ventilátory
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Sekvenční logické obvody
C v
●
i
Hodnoty výstupních proměnných y1,…, ym závisejí nejen na okamžitých hodnotách vstupních proměnných x1,…, xn, ale i na jejich minulých hodnotách (na jejich časovém sledu).
č e n í
Definice 1:
●
Definice 2: Jestliže některé kombinaci vstupů odpovídají dvě nebo více kombinací výstupů, pak se jedná o sekvenční logický obvod.
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
C v i č e n í
x1 vstupní x2 proměnné . . . xn vnitřní (stavové) proměnné
kombinační obvod
.. paměťová
...
část
sekvenční obvod
y1 y2 ... ym
výstupní proměnné
C v i č e n í
Příklady příklad 1
Popis úlohy Nádrž vodárny (darling) se plní pomocí čerpadla s elektromotorem ze studny. Čerpadlo se ovládá logickým vstupem - „1“ zapnuto / „0“ vypnuto. Nádrž vodárny je vybavena dvěma snímači tlaku s logickým (dvouhodnotovým) výstupem. První snímač signalizuje spodní mez tlaku - „1“ tlak vyšší něž je spodní mez, „0“ - tlak je pod spodní mezí. Druhý snímač signalizuje tlak na horní mezi - „1“" tlak nad horní mezí, „0“ tlak pod horní mezí. Ve studni je namontován snímač výšky vodní hladiny s logickým výstupem - „1“ dostatečná hladina, „0“ nízká hladina (ve studni není dostatek vody). Zadání Realizujte řízení čerpadla malé domácí vodárny tak, aby se v nádrži udržoval tlak v požadovaných mezích. Čerpadlo nesmí být zapnuto, když je ve studni nízká hladina vody, protože by mohlo dojít k jeho poškození (přehřátí, nasátí nečistot, ..).
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Pravdivostní tabulka (časový sled událostí) C v
číslo
x1 - hladina
x2 – spodní tlak
x3 – horní tlak
y - čerpadlo
i
1
1
0
0
1
2
1
1
0
1
3
1
1
1
0
e
4
1
1
0
0
n
5
1
0
0
1
č
í
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Pravdivostní tabulka (kombinační) C v
x1 - hladina
x2 – spodní tlak
x3 – horní tlak
y - čerpadlo
i
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
e
0
1
1
0
n
1
0
0
1
1
0
1
-
1
1
0
X
1
1
1
0
č
í
LOGICKÉ ŘÍZENÍ x1 - hladina
x2 – spodní tlak
x3 – horní tlak
yp - čerpadlo
y - čerpadlo
0
0
0
0
0
C
0
0
0
1
0
v
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
i
0
1
0
0
0
č
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
n
1
0
0
0
1
í
1
0
0
1
1
1
0
1
0
-
1
0
1
1
-
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
e
C v i č e n í
příklad 2
Popis úlohy Pila je vybavena dvěma snímači. Dolní snímač signalizuje dojezd do spodní polohy - „1“ dosažení spodní polohy, „0“ – není dosaženo spodní polohy. Horní snímač signalizuje dojezd do horní polohy - „1“ dosaženo horní polohy, „0“ není dosaženo horní polohy. Posun pily mezi dolní a horní polohou je řízen pohony ovládanými logickým vstupem. Při pohybu směrem nahoru - „1“ zapnutý pohon, „0“ vypnutý pohon. Při pohybu směrem dolu - „1“ zapnutý pohon, „0“ vypnutý pohon. Zadání Realizujte automatické ovládání posuvu pily splňující tyto požadavky: - po odříznutí materiálu se pila pohybuje až do spodní polohy, - po dosažení spodní polohy se začne pohybovat směrem nahoru (přisunutí materiálu a upnutí), - po dosažení horní polohy se opět vrací až do spodní polohy.
Horní snímač
Pohon nahoru Pohon dolů
Řídicí jednotka Dolní snímač
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Pravdivostní tabulka (časový sled událostí) C v
x1
x2
y1
y2
dolní snímač
horní snímač
pohon nahoru
pohon dolů
1
1
0
1
0
2
0
0
1
0
e
3
0
1
0
1
n
4
0
0
0
1
í
5
1
0
1
0
číslo
i č
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Pravdivostní tabulka (kombinační) C v
x1
x2
y1
y2
dolní snímač
horní snímač
pohon nahoru
pohon dolů
0
0
X
X
0
1
0
1
e
1
0
1
0
n
1
1
-
-
i č
í
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Pravdivostní tabulka (kombinační - s přidáním předcházejících stavů) C v x1
x2
y1p
y1
x1
x2
y2p
y2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
e
0
1
0
0
0
1
0
1
n
0
1
1
0
0
1
1
1
í
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
-
1
1
0
-
1
1
1
-
1
1
1
-
i č
C v i č e n í
příklad 3
Popis úlohy Nádrž vodárny (darling) se plní pomocí čerpadla s elektromotorem ze studny. Čerpadlo se ovládá logickým vstupem - „1“ zapnuto / „0“ vypnuto. Nádrž vodárny je vybavena dvěma snímači tlaku s logickým (dvouhodnotovým) výstupem. První snímač signalizuje spodní mez tlaku - „1“ tlak vyšší něž je spodní mez, „0“ - tlak je pod spodní mezí. Druhý snímač signalizuje tlak na horní mezi - „1“" tlak nad horní mezí, „0“ tlak pod horní mezí. Ve studni je namontován snímač výšky vodní hladiny s logickým výstupem - „1“ dostatečná hladina, „0“ nízká hladina (nedostatek vody). Zadání Realizujte řízení čerpadla malé domácí vodárny tak, aby se v nádrži udržoval tlak v požadovaných mezích. Při provozu na denní proud (vysoký tarif) spouštět čerpadlo až při poklesu tlaku pod spodní mez. Při provozu na noční proud (nízký tarif) spouštět čerpadlo okamžitě při poklesu pod horní mez. Čerpadlo nesmí být zapnuto, když je ve studni nízká hladina vody z důvodu možného poškození.
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Pravdivostní tabulka (noční proud) C v
x1 - hladina
x2 – spodní tlak
x3 – horní tlak
y - čerpadlo
i
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
e
0
1
1
0
n
1
0
0
1
1
0
1
-
1
1
0
1
1
1
1
0
č
í
LOGICKÉ ŘÍZENÍ
Pravdivostní tabulka (denní proud) C v
x1 - hladina
x2 – spodní tlak
x3 – horní tlak
y - čerpadlo
i
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
e
0
1
1
0
n
1
0
0
1
1
0
1
-
1
1
0
X
1
1
1
0
č
í
Pravdivostní tabulka (kombinační - s přidáním nočního/denního proudu) x1 - hladina
x2 – spodní tlak
x3 – horní tlak
x4– noční proud
y - čerpadlo
0
0
0
0
0
C
0
0
0
1
0
v
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
i
0
1
0
0
0
č
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
n
1
0
0
0
1
í
1
0
0
1
1
1
0
1
0
-
1
0
1
1
-
1
1
0
0
X
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
e
Pravdivostní tabulka (kombinační denní - s přidáním předcházejícího stavu) x1 - hladina
x2 – spodní tlak
x3 – horní tlak
yp - čerpadlo
y - čerpadlo
0
0
0
0
0
C
0
0
0
1
0
v
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
i
0
1
0
0
0
č
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
n
1
0
0
0
1
í
1
0
0
1
1
1
0
1
0
-
1
0
1
1
-
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
e
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
Popis regulačních systémů
C v i
u ( t)
č e n í
vstupní veličina
Regulační systém
y(t) výstupní veličina
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
Diferenciální rovnice
C v
●
an y ( n ) (t ) + an−1 y ( n−1) (t ) + ... + a1 y′(t ) + a0 y (t ) =
i
( m −1) ( ) (t ) + ... + b1u′(t ) + b0u (t ) = bmu t + bm−1u (m )
č e n
lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty
●
í
podmínka fyzikální realizovatelnosti
m≤n ●
počáteční podmínky ( n −1)
y (0), y′(0 ),..., y
(0)
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v i
Přenos ●
Definice: Přenos je roven poměru Laplaceova obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách.
L{y (t )} Y (s ) G (s ) = = L{u (t )} U (s )
č e n í ●
vyjádření přenosu pomocí koeficientů diferenciální rovnice
bm s + ... + b1s + b0 G (s ) = n an s + ... + a1s + a0 m
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
Přepis diferenciální rovnice na přenos
C v i č e n í
●
užitím Laplaceovy transformace:
2 y′′′(t ) + 0.5 y′′(t ) + 8 y′(t ) + 4 y (t ) = 6u′(t ) + 3u (t ) 2 s 3Y (s ) + 0.5s 2Y (s ) + 8sY (s ) + 4Y (s ) = 6 sU (s ) + 3U (s )
Y (s ) 6s + 3 G (s ) = = 3 2 U (s ) 2 s + 0.5s + 8s + 4
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C
Pravidlo: Stupeň derivace v diferenciální rovnici určuje mocninu „s“ v přenosu.
v i č
2 y′′′(t ) + 0.5 y′′(t ) + 8 y′(t ) + 4 y (t ) = 6u′(t ) + 3u (t )
e n í
6s + 3 G (s ) = 3 2 2 s + 0.5s + 8s + 4
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
LabVIEW – MathScript RT Module
C v
●
nadefinování matic a vektorů a=[1 2 3;4 5 6]
i
b=[1,3,5;2,4,6]
č e n í
●
vytvoří matici o velikosti 2x3, mezery oddělují prvky na řádku, středník odděluje řádky matice vytvoří matici o velikosti 2x3, čárky oddělují prvky na řádku, středník odděluje řádky matice
vytvoření m-file a práce se Scriptem ikona Save As ikona Load ikona Run Script ikona New Script
uloží příkazy napsané ve Scriptu do souboru (m-file) pod určeným jménem načte do Scriptu existující soubor (m-file) spustí sekvenci příkazů ve Scriptu smaže po potvrzení příkazy ve Scriptu
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C
kreslení grafů plot(x,y,param)
v i č e
plot(x1,y1,param, x2,y2,param,...)
n
subplot(i,j,k)
í
xlabel(‚text‘) ylabel(‚text‘) title(‚text‘)
x jsou data na ose x (vektor), y data na ose y (vektor), param určuje vzhled grafu (barva a styl čáry), x,y lze vytvořit předem nebo přímo zadat v plotu možnost vykreslení více grafů v jednom specifikuje počet řádků, sloupců a pozici u více grafů vytvoří popis osy x (nutno zadat až po vykreslení grafu) vytvoří popis osy y (dtto) vytvoří titulek grafu(dtto)
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C v i č e n í
kreslení grafů grid on grid off hold on hold off
vykreslí mřížku v grafu vymaže mřížku v grafu nový graf nesmaže existující nový graf přepíše existující
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v
●
zadání systému přenosem na základě koeficientů diferenciální rovnice sys=tf(b,a)
i č e
sys=tf(k)
sys – označení systému a,b – řádkové vektory obsahující koeficienty čitatele, resp. jmenovatele přenosu systému (vektory lze vytvořit předem nebo zadat přímo) k – zesílení systému
n í
[c,j]=tfinfo(sys)
[k]=tfinfo(sys)
c, j - přiřadí do těchto vektorů koeficienty čitatele, resp. jmenovatele přenosu systému označeného sys k - přiřadí do této proměnné hodnotu zesílení přenosu systému sys
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v
●
vykreslení impulsní charakteristiky systému impulse(sys,param)
vykreslí impulsní charakteristiku systému uloženého v sys, param- specifikuje barvu a typ čáry
impulse(sys,param,t)
totéž jako předcházející t – specifikuje časové rozložení [t0:dt:tf] t0-počáteční čas, dt-časový krok, tf-konečný čas [tf] tf-konečný čas
[y,x]=impulse(sys)
uloží do vektorů x, y časové hodnoty impulsní funkce
i č e n í
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v
●
vykreslení přechodové charakteristiky systému step(sys,param)
vykreslí přechodovou charakteristiku systému uloženého v sys, param- specifikuje barvu a typ čáry
step(sys,param,t)
totéž jako předcházející t – specifikuje časové rozložení [t0:dt:tf] t0-počáteční čas, dt-časový krok, tf-konečný čas [tf] tf-konečný čas
[y,x]=step(sys)
uloží do vektorů x, y časové hodnoty přechodové funkce
i č e n í
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v i č e n í
Příklady
příklad 1 Je dána mechanická soustava vykonávající translační pohyb. Chování této soustavy je popsáno diferenciální rovnicí:
mx′′(t ) + bx′(t ) + kx(t ) = F (t ) Úkoly: a) určete přenos soustavy b) zapište tento přenos v MathScriptu pro hodnoty m=0.05, b=0.1, k=10. c) nakreslete impulsní charakteristiku d) nakreslete přechodovou charakteristiku
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v i
Řešení: a) přenos soustavy
mx′′(t ) + bx′(t ) + kx(t ) = F (t )
č e n í
ms 2 X (s ) + bsX (s ) + kX (s ) = F (s ) X (s ) 1 G (s ) = = 2 F (s ) ms + bs + k
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v i č e n í
příklad 2 Je dána mechanická soustava vykonávající rotační pohyb. Chování této soustavy je popsáno diferenciální rovnicí:
Jϕ ′′(t ) + bϕ ′(t ) + kϕ (t ) = M (t ) Úkoly: a) určete přenos soustavy b) zapište tento přenos v MathScriptu pro hodnoty J=0.02, b=0.1, k=15. c) nakreslete impulsní charakteristiku d) nakreslete přechodovou charakteristiku
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v i
Řešení: a) přenos soustavy
Jϕ ′′(t ) + bϕ ′(t ) + kϕ (t ) = M (t )
č e n í
Js 2Φ(s ) + bsΦ(s ) + kΦ(s ) = M (s ) Φ(s ) 1 G (s ) = = 2 M (s ) Js + bs + k
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v i č e n í
příklad 3 Je dán RLC obvod. Tento elektrický obvod je popsán diferenciální rovnicí:
1 Lq′′(t ) + Rq′(t ) + q(t ) = u (t ) C Úkoly: a) určete přenos soustavy b) zapište tento přenos v MathScriptu pro hodnoty L=0.06, R=470, C=3.3e-6. c) nakreslete impulsní charakteristiku d) nakreslete přechodovou charakteristiku
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v i č e n í
Řešení: a) přenos soustavy
1 Lq′′(t ) + Rq′(t ) + q(t ) = u (t ) C 1 2 Ls Q(s ) + RsQ(s ) + Q(s ) = U (s ) C Q(s ) 1 G (s ) = = U (s ) Ls 2 + Rs + 1 C
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C
Regulátory ●
blokové schéma
v
y
regulovaná soustava
i č
měřicí člen
snímač a převodník
e n í
y
akční člen regulační orgán
u
pohon
u
ústřední člen
e
porovnáv. člen
w
převodník
w
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C
definice: regulátor je zařízení, kterým se uskutečňuje regulace
v i č e n
●
činnost regulátoru: regulátor změří regulovanou veličinu y(t), porovná ji s žádanou hodnotou w(t) a vytvoří regulační odchylku e(t). Odchylku zpracuje a prostřednictvím akční veličiny u(t) působí na regulovanou soustavu tak, aby se odchylka zmenšovala.
í
e(t) E(s)
GR(s)
u(t) U(s)
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
dynamické vlastnosti ústředního členu regulátoru
C v i
typ reg.
diferenciální rovnice
P
u (t ) = r0 e(t )
č e n í
přenos
r0
I
u (t ) = r1 e′(t )
r−1 s
D
u (t ) = r−1 ∫ e(t )
r1 s
r0 Ti s r0Td s
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C
typ reg.
v i
PI
č e n
PD
í
diferenciální rovnice
u (t ) = r0 e(t ) +
+ r−1 ∫ e(t )
u (t ) = r0 e(t ) + + r1 e′(t ) u (t ) = r0 e(t ) +
PID
přenos
r−1 r0 + s
1 r0 1 + Ti s
r0 + r1 s
r0 (1 +T d s )
1 r−1 r 1 + + T s r + + r s 0 d 0 1 + r−1 ∫ e(t ) + r1 e′(t ) s Ti s
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
Bloková algebra
C v
●
sériové zapojení
i č e
U(s)
G1 (s )
G2 (s )
...
Gn (s )
Y(s)
n í
- výsledný přenos je roven součinu přenosů jednotlivých členů n
G (s ) = ∏ Gi (s ) i =1
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
paralelní zapojení
C
G1 (s )
v i
U(s)
G2 (s )
č e n
...
Y(s)
... Gn (s )
í
- výsledný přenos je roven součtu přenosů jednotlivých členů n
G (s ) = ∑ Gi (s ) i =1
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
antiparalelní zapojení
C v
U(s)
i č
G1 (s ) G2 (s )
e
Y(s)
G1 (s ) G (s ) = 1 + G1 (s ) ⋅ G2 (s )
n í
G(s) =
přenos přímé větve 1±(přenos přímé větve)(přenos zpětné vazby)
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
LabVIEW – MathScript RT Module
C v i č e n í
●
bloková algebra sysser=series(sys1,sys2)
spojí dva systémy sériově
syspar=parallel(sys1,sys2)
spojí dva systémy paralelně
sysobv=feedback(sys1,sys2,zv) spojí dva systémy a vytvoří uzavřený regulační obvod záporné nebo kladné zpětné vazby sys1, sys2 – sys1 v přímé větvi, sys2 ve zpětné vazbě zv – určuje typ zpětné vazby (-1 záporná, 1 kladná)
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C
vykreslení přechodové charakteristiky systému step(sys,param)
vykreslí přechodovou charakteristiku systému uloženého v sys, param- specifikuje barvu a typ čáry
step(sys,param,t)
totéž jako předcházející t – specifikuje časové rozložení [t0:dt:tf] t0-počáteční čas, dt-časový krok, tf-konečný čas [tf] tf-konečný čas
v i č e n í ●
určení pólů přenosu systému poles(sys)
vypíše póly přenosu systému uloženého v sys
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
Příklady
C v i č
příklad 1 Využitím MathScriptu nakreslete odezvy (přechodové charakteristiky) regulovaných soustav (řízených systémů) na jednotkový skok.
e n í
GS 0 (s ) = 1
1 GS 1 (s ) = s +1
1 GS 2 (s ) = 2 s + 3s + 1
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C
příklad 2
v
Využitím MathScriptu nakreslete přechodové charakteristiky jednotlivých typů regulátorů :
i
- proporcionální
- proporcionálně-integrační
- integrační
- proporcionálně-derivační
č e n í
GR (s ) = r0 = 1
r−1 1 GR (s ) = = s s -derivační
GR (s ) = r1s = 1s
r−1 GR (s ) = r0 + s
GR (s ) = r0 + r1s - proporcionálně-integračně-derivační
r−1 GR (s ) = r0 + + r1s s
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
příklad 3
C
Vytvořte v MathScriptu zadaný regulační obvod. Regulovaná soustava je
v
popsána přenosy z příkladu 1. Jednotlivé regulované soustavy budou řízeny různými regulátory z příkladu 2.
i č e n í
Gz ( s ) = 1
příklad 4 Vytvořte regulační obvod pro řízení úhlu natočení (polohy) rotoru stejnosměrného motoru.
C v i č e n í
Diferenciální rovnice pro rychlost otáčení
J J L ω ′′ + R ω ′ + Ceω = u Ce Ce pro natočení platí ϕ ′ = ω J J L ϕ ′′′ + R ϕ ′′ + Ceϕ ′ = u Ce Ce
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
přenos soustavy C v i č e
Ω( s ) 1 Gm (s ) = = U (s ) L J s 3 + R J s 2 + C s e Ce Ce
n í
Ce = 2.8; J = 0.1; R = 0.5; L = 5e-3;
[V.s] [kg.m^2] [Ohm] [H]
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C
Stabilita regulačního obvodu ●
regulační obvod je stabilní, jestliže po jeho vychýlení z rovnovážného stavu vlivem změny žádané hodnoty w(t) nebo vlivem poruchové veličiny v(t) a po skončení příčiny vychýlení, je schopen se ustálit v rovnovážném stavu.
v i č e
definice:
●
n
nutná podmínka stability: všechny koeficienty charakteristické rovnice musí být kladné.
í ●
obecná podmínka stability: regulační obvod je stabilní, jestliže všechny kořeny charakteristické rovnice (póly přenosu řízení resp. přenosu poruchy) mají zápornou reálnou část, tj. leží-li v levé komplexní polorovině.
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C
Dynamické vlastnosti systému ●
na základě polohy pólů a nul přenosu systému
v i č e
- čím jsou póly dále od imaginární osy, tím je přechodný děj více tlumen a tím je kratší - komplexní póly → přechodný děj má kmitavou složku
n
- nuly blíže k imaginární ose než póly → převládá derivační složka
í
- póly v počátku → integrační charakter, nuly v počátku → derivační charakter systému - póly v pravé komplexní polorovině → nestabilní pochod
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C
Ziegler-Nicholsova metoda ●
v provozním zapojení (simulací)
v
- vyřazení integrační a derivační složky regulátoru
i č
- zvětšováním zesílení r0 dosažení netlumených kmitů o konstantní amplitudě a konst. periodě → kritické hodnoty r0k , Tk
e
- optimální parametry regulátoru z kritických hodnot podle tabulky
n
y(t)
í
0
Tk
t
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
tabulka pro určení optimálních parametrů regulátorů
C regulátor
r0
Ti
Td
P
0,5 r0k
--
--
e
PI
0,45 r0k
0,83Tk
--
n
PD
0,4 r0k
--
0,05Tk
PID
0,6 r0k
0,5Tk
0,12Tk
I
--
2Tik
--
v i č
í
Příklady
příklad 1 Využitím MathScriptu určete dynamické vlastnosti zadaných regulovaných soustav a jejich typ.
C v i
s +1 GS 1 (s ) = 3 s + 7 s 2 + 18s + 24
2 GS 2 (s ) = 3 s + 2 s 2 − 8s
č e n í
s GS 3 (s ) = 2 s + 5s + 6 s 2 + 3s GS 5 (s ) = 3 2 s + 9 s 2 − s + 20
s + 0.5 GS 4 (s ) = 3 3s + 2 s 2 + 5 s 4 GS 6 (s ) = 2 s + 5s − 6
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
příklad 2
C v i č e
Využitím MathScriptu určete stabilitu regulačního obvodu. Pro zadanou regulovanou soustavu použijte různé typy regulátorů. Parametry regulátorů jsou:
r0 = 5
Ti = 10 [s ]
n í
s GS (s ) = 2 s + 5s + 6
Td = 4[s ]
příklad 3 Ziegler-Nicholsovou metodou určete optimální parametry regulátorů pro řízení natočení rotoru stejnosměrného motoru.
C v i č e n í diferenciální rovnice závislosti natočení na napájecím napětí
J J L ϕ ′′′ + R ϕ ′′ + Ceϕ ′ = u Ce Ce
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
přenos soustavy C v i č e
Ω( s ) 1 Gm (s ) = = U (s ) L J s 3 + R J s 2 + C s e Ce Ce
n í
Ce = 2.8; J = 0.1; R = 0.5; L = 5e-3;
[V.s] [kg.m^2] [Ohm] [H]
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
Frekvenční přenos
C v i č
u(t)
Regulační systém
u (t ) = u0 sin ωt
y(t)
y (t ) = y0 sin (ωt + ϕ )
e n í
u (t)
y (t)
u0 t
φ
y0 t
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C
vstupní a výstupní funkce v komplexním tvaru
u(t ) = u0e
v
jωt
y (t ) = y0e j (ωt +ϕ )
i č ●
e n í
definice frekvenčního přenosu: frekvenční přenos G(jω) je roven poměru vektorů rotujících v komplexní rovině úhlovou rychlostí ω
y (t ) y0e j (ωt +ϕ ) y0 jϕ G ( jω ) = = = e jω t u(t ) u0 e u0
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině ●
definice: frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenčního přenosuG(jω) v komplexní rovině. Proměnným parametrem je úhlová frekvence ω měnící se v rozsahu od 0 do ∞.
v i č e n í
●
vyjádření komplexního čísla
a + jb = Ae jα
Im
- složkový tvar
a + jb
A
- goniometrický tvar
α a = A cosα
A(cosα + j sin α )
- exponenciální tvar
Ae
jα
b α = arctg a
b = A sin α
A = a 2 + b2
Re
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C
charakteristiky - složkový tvar
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + j Im[G ( jω )]
v i
- exponenciální tvar
č e n
Im
G ( jω ) = A(ω ) ⋅ e jϕ (ω ) ω=0
ω=∞ ∞
Im(ω)
í
Re(ω) G(jω)
Im
ω=∞ ∞
Re
φ(ω) A(ω)
ω G(jω)
ω=0 Re
ω
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v i
Logaritmické frekvenční charakteristiky ●
lineární souřadnice
A [-] 20
●
logaritmické souřadnice
A 25 [dB]
15
20
č
10
15
e
5
10
n
0
í
φ [o] -20 -40
5
0
0.1 0.2 0.3
ω [s-1]
0
φ [o] -45 -90 -135 -180
-60
0.01 0.1
1
10 ω [s-1]
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C v i č e n í
logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika
A = A(ω ) amplituda v decibelech
y 0 jϕ y 0 A(ω ) = G ( jω ) = ⋅ e = u0 u0 DECIBEL je dvacetinásobek dekadického logaritmu zesílení
y0 A[dB ] = 20 log A[−] = 20 log u0
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C v i č e n í
logaritmická fázová frekvenční charakteristika
ϕ = ϕ (ω ) fáze ve stupních nebo radiánech (v lineárním měřítku)
Im[G ( jω )] ϕ (ω ) = arctg Re[G ( jω )]
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
C v
Experimentální určení frekvenční charakteristiky ω G
u0
i
měřený objekt
y0
G(jω)
č
měření ϕ
e n í
u (t ) = u0 sin ωt y (t ) = y0 sin (ωt + ϕ ) y 0 jϕ G ( jω ) = e u0
Im
φ y 0/u0
Re
ω
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
LabVIEW – MathScript RT Module
C
frekvenční charakteristika v komplexní rovině
v
●
i
nyquist(sous,param)
č e n í
vykreslí frekvenční charakteristiku systému uloženého v sous, param specifikuje barvu a typ vykreslované čáry
nyquist(sous,param, [wmin,wmax]) totéž jako předcházející wmin, wmax – specifikuje počáteční a konečnou frekvenci nyquist(sous,param,wlist)
totéž jako předcházející wlist – udává frekvence, ve kterých se počítají hodnoty reálné a imaginární části (alespoň 3)
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C v
frekvenční charakteristika v komplexní rovině
[re,im,wout]=nyquist(sous)
i č e n í
re,im – uloží do těchto vektorů reálné resp. imaginární části wout – uloží do vektoru hodnoty frekvence, ve kterých se počítají reálné a imaginární části
[re,im,wout]=nyquist(sous, [wmin,wmax])
totéž jako předcházející
[re,im,wout]=nyquist(sous, wlist)
totéž jako předcházející
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C
frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích
bode(sous)
vykreslí logaritmické frekvenční chararakteristiky systému uloženého v sous
bode(sous,param)
totéž jako předcházející param specifikuje barvu a typ vykreslované čáry
v i č e n í
bode(sous,param, [wmin,wmax]) totéž jako předcházející wmin – specifikuje počáteční frekvenci (impl. hodnota 0.001) wmax – specifikuje konečnou frekvenci (impl. hodnota 1000) bode(sous,param,wlist)
totéž jako předcházející wlist – udává frekvence, ve kterých se počítají hodnoty reálné a imaginární části (alespoň 3)
SPOJITÉ ŘÍZENÍ
●
C v i č e n í
frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích
[mag,phase,wout]=bode(sous)
mag,phase – uloží do těchto vektorů hodnoty amplitudy resp. fáze systému wout – uloží do vektoru frekvence, ve kterých se počítají hodnoty amplitudy a fáze
[mag,phase,wout]=bode(sous, [wmin,wmax])
totéž jako předcházející
[mag,phase,wout]=bode(sous, wlist)
totéž jako předcházející
Příklady
C v i
příklad 1 Využitím MathScriptu vykreslete pro zadané regulované soustavy frekvenční charakteristiky: a) v komplexní rovině b) v logaritmických souřadnicích
č e n
3 GS 1 (s ) = s +1
3 GS 2 (s ) = (s + 1)(s + 2)
3 GS 3 (s ) = s(s + 1)
3 GS 4 (s ) = s(s + 1)(s + 2 )
í
příklad 2 Je dána mechanická soustava vykonávající translační pohyb. Chování této soustavy je popsáno diferenciální rovnicí:
mx′′(t ) + bx′(t ) + kx(t ) = F (t ) C v i č e n í
Úkoly: a) určete přenos soustavy b) do MathScriptu zapište tento přenos pro hodnoty m=10, b=10, k=1000. c) nakreslete přechodovou charakteristiku d) nakreslete frekvenční charakteristiku v komplexní rovině e) nakreslete frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích f) určete vlastní frekvenci soustavy
C v
Řešení: a) přenos soustavy
ms X (s ) + bsX (s ) + kX (s ) = F (s ) 2
i č e n í
X (s ) 1 G (s ) = = 2 F (s ) ms + bs + k f) vlastní frekvence soustavy
k Ω0 = m
1. Osvětlení chodby s přepínači Popis úlohy Chodba je osvětlena zářivkami. Rozsvícení nebo zhasnutí se provádí několika vypínači tak, že při přepnutí kteréhokoliv vypínače dojde ke změně (rozsvícení/zhasnutí). Zadání Realizujte ovládání světla pro libovolný počet vypínačů.
Příklad řešení blokového schématu
2. Ovládání závory na vjezdu do areálu Popis úlohy Vjezd motorových vozidel do areálu je řešen elektricky ovládanou závorou. Závora se smí otevřít v případě, že řidič vozidla přiloží ke čtečce karet platnou kartu a je detekována přítomnost vozidla. Přítomnost vozidla je detekována snímačem přítomnosti. Zavření závory je možné pouze v případě, že vozidlo nestojí pod závorou. Tato skutečnost je detekována optickou závorou umístněnou pod mechanickou závorou. Z bezpečnostních důvodů musí být možné závoru otevřít ovládacím tlačítkem z vrátnice.
Zadání Realizujte ovládání závory dle popisu úlohy při dodržení těchto parametrů: Ovládání si pamatuje detekovanou kartu po dobu 30s nebo do otevření závory. Doba otevírání/zavírání závory je 10s. Závora se v žádném případě nesmí zavřít, je-li detekována přítomnost předmětu pod závorou. Příklad řešení blokového schématu
AUTOMATIZACE 6AA Ing. Ondřej Andrš
[email protected]
Úvod do spojitého řízení
Úvod do spojitého řízení
Spojité řízení Spojitě
proměnné veličiny Řízení se zpětnou vazbou (regulace)
Regulace:
Regulace je udržování zvolené fyzikální veličiny na konstantní hodnotě nebo jinak podle nějakého pravidla se měnící hodnotě. Regulační obvod Regulátor
(řídicí systém) Regulovaná soustava (řízený systém)
Regulační obvod
poruchové v (t) 1 veličiny
žádaná regulační hodnota odchylka
w(t)
e(t) y(t)
Regulátor
u(t) akční veličina
v2(t)
Regulovaná soustava
regulovaná veličina
y(t)
Vlastnosti a popis dynamických systémů u(t) vstupní veličina
Regulační systém
y(t) výstupní veličina
Statické vlastnosti systému Ustálený stav ustálená
hodnota vstupní veličiny ustálená hodnota výstupní veličiny
Statická charakteristika Lineární nelineární
y
nelineární
lineární
u
Vlastnosti a popis dynamických systémů Dynamické vlastnosti systému Přechodný stav Vnější popis → výstup Diferenciální rovnice / přenos Vstup
Vnitřní popis → stav systému → výstup Stavový popis Vstup
Diferenciální rovnice an y
t an1 y t ... a1 yt a0 yt bmu m t bm1u m1 t ... b1ut b0u t
n
n 1
ai , i 1,..., n b j , j 1,..., m
-konstantní koeficienty Podmínka fyzikální realizovatelnosti mn Počáteční podmínky
y0, y0,..., y n1 0
Přenos Přenos je roven poměru Laplaceova obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách.
Ly t Y s G s Lu t U s Vyjádření přenosu pomocí
koeficientů diferenciální rovnice
bm s ... b1s b0 G s n an s ... a1s a0 m
Přenos pomocí
pólů a nul
bm s n1 s n2 ...s nm G s an s p1 s p2 ...s pn pomocí
časových konstant
b0 1s 1 2 s 1... m s 1 G s a0 T1s 1T2 s 1...Tn s 1
1 j nj
1 Ti pi
b0 k a0
Přenos
Příklad Systém
je zadán diferenciální rovnicí, určete přenos
Přenos
Příklad Systém
je zadán přenosem, převeďte na zápis pomocí pólů a nul
MathScript / LabVIEW
Seznámení s prostředím…jazyk MATLAB…1INF Základní funkce Nápověda:
help příkaz Přenos: tf (transfer function)
system = tf([7 6 2],[1 5 2 8]);
Impulsní funkce a charakteristika
Teorie …přednáška Základní funkce impulse step
help
AUTOMATIZACE 6AA Ing. Ondřej Andrš
[email protected]
Bloková algebra a základní typy regulátorů
Bloková algebra Určení výsledného přenosu na základě dílčích přenosů
Sériové zapojení
U(s)
G1 s
G2 s
...
Gn s
Y(s)
n
G s Gi s i 1
Výsledný přenos je roven součinu přenosů jednotlivých členů
Bloková algebra
Paralelní zapojení G1 s U(s)
G2 s
...
Y(s)
... Gn s
n
G s Gi s i 1
Výsledný přenos je roven součtu přenosů jednotlivých členů
Bloková algebra
Antiparalelní zapojení U(s)
G1 s
Y(s)
G2 s
G1 s G s 1 G1 s G2 s přenos přímé větve G(s) =
1±(přenos přímé větve)·(přenos zpětné vazby)
Bloková algebra
Implementace Funkce: series(sys1,
sys2) parallel(sys1, sys2) feedback(sys1, sys2) Alternativně sys1
* sys2 sys1 + sys2
Příklad
Vypočítejte výsledný přenos U(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
Y(s)
G6(s) G4(s)
G5(s) 2s 6 s 3 3s 2 2s
5s 2 6 s 2 G1 ( s) 2 3s 2s 1
3s 2 6 G2 ( s) 3 2s 2s 2
G3 ( s)
3s 2 G4 ( s) 3 s 3s 2
2s 6 G5 ( s) 2 3s 2s
6s 3 2 G6 ( s) 3 2s 3s 2 2
Řešení s1=tf([5,6,2],[3,2,1]); s2=tf([3,0,6],[2,2,0,0]); s3=tf([2,6],[1,3,2,0]); s4=tf([3,2],[1,3,0,0]); s5=tf([2,6],[3,2,0]); s6=tf([6,0,0,2],[2,3,0,2]); ser1 = series(s2,s1); par = parallel(s3,s5); zv1 = feedback(s4,s6); zv2 = feedback(ser1,zv1); ser2 = series(par,zv2)
step(ser2);
Regulátor
Je zařízení kterým se uskutečňuje regulace Regulátor změří regulovanou veličinu y(t), porovná ji s žádanou hodnotou w(t) a vytvoří regulační odchylku e(t). Odchylku zpracuje a prostřednictvím akční veličiny u(t) působí na regulovanou soustavu tak, aby se odchylka zmenšovala. e(t) E(s)
GR(s)
u(t) U(s)
Dynamické vlastnosti regulátoru typ diferenciální rovnice reg.
přenos GR(s)
přechodová charakteristika
u(t)
P
u t r0 et
r0
r0 t
I
D
u t r1 et ut r1 et
r1 r0 , s Ti s
u(t)
t u(t)
r1 s , r0Td s t
Dynamické vlastnosti regulátoru typ reg.
PI
PD
PID
diferenciální rovnice
u t r0 et
r1 et
u t r0 et r1 et
přenos GR(s)
přechodová charakteristika
u(t)
1 r0 r0 1 Ti s
t
u(t)
r0 1 T d s r0
1 1 u(t) u t r0 et r r0 Ti s 0 r1 et r1 et T s d
t
t
Implementace r0 = 1; gr_p = tf (r0, 1); subplot(2,2,1); step (gr_p,16); Ti = 1; gr_i = tf([r0],[Ti 0]); subplot(2,2,2); step (gr_i,16);
gr_pid = gr_p + gr_i + gr_d; subplot(2,2,4); step (gr_pid,16); axis([0, 16, 0, 17.5]);
Možnost použití alternativních funkcí pro spojování systémů: series parallel
Td = 3; % gr_d = tf([r0*Td 0],[1]); gr_d = tf([r0*Td 0],[0.000001 1]); subplot(2,2,3); step (gr_d,16); axis([0, 16, 0, 17.5]);
Regulační obvod Žádaná hodnota
Regulační odchylka
w(t)
e(t)
y(t)
Poruchové veličiny u(t)
Regulátor Akční veličina
v1(t)
v2(t)
Regulovaná veličina
Regulovaná soustava
Zpětná vazba
Zjednodušení zpětné vazby: G(s) = 1 Přenos řízení:
Y s GR s GS s GO s GW s W s 1 GR s GS s 1 GO s
y(t)
Regulační obvod
Působení poruchové veličiny V(s)
Y(s) GS(s)
U(s)
E(s)
W(s)
GR(s)
Přenos poruchy:
Y s GS s GS s Gv s V s 1 GR s GS s 1 GO s
Implementace
Řízení natočení rotoru stejnosměrného motoru
J J L R Ce u Ce Ce
G s
s 1 U s L J s3 R J s 2 C s e Ce Ce
Ce = 2.8; % [V.s] J = 0.1; % [kg.m^2] R = 0.5; % [Ohm] L = 5e-3; % [H] s_motor = tf([1],[L*J/Ce, R*J/Ce, Ce, 0]); GO = gr_pid * s_motor; Gzv = feedback(GO,tf(1,1)); step(Gzv);
Typové dynamické členy
Proporcionální
typ členu bez setrvačnosti
se setrvačností 1. řádu obecný se setrvačností n-tého řádu
přenos
přechodová char.
b0 G s k a0
k G s Ts 1
h(t)
k t
h(t)
k
bm s ... b1s b0 G s n an s ... a1s a0 m
t
typ členu
přenos
se setrvačností 2. řádu
k G s 2 2 T s 2Ts 1
aperiodický
mezní aperiodický kmitavý
konzervativní
G s
k
přechodová char.
h(t)
k
T1s 1T2 s 1
t
k G s Ts 12
h(t)
k G s 2 2 T s 2Ts 1 k G s 2 2 T s 1
h(t)
k t
k t
h(t)
k t
Typové dynamické členy
Derivační
typ členu bez setrvačnosti
přenos
G s k s
přechodová char. h(t) t
se setrvačností 1. řádu se setrvačností 2. řádu obecný r-tého řádu se setrv. n-tého řádu
ks G s Ts 1 ks G s T1s 1T2 s 1
h(t) t h(t)
s r bm s mr ... br G s n an s ... a1s a0
t
Typové dynamické členy
Integrační
typ členu bez setrvačnosti
se setrvačností 1. řádu se setrvačností 2. řádu obecný q-tého řádu se setrv. (n-q)-tého řádu
přenos
k G s s k G s sTs 1
k G s sT1s 1T2 s 1
přechodová char. h(t) t
h(t) t h(t)
bm s ... b1 s b0 G s q nq s an s ... aq m
t
AUTOMATIZACE 6AA Ing. Ondřej Andrš
[email protected]
Stabilita a seřízení regulátoru
Stabilita regulačního obvodu
Regulační obvod je stabilní, jestliže po jeho vychýlení z rovnovážného stavu vlivem změny žádané hodnoty w(t) nebo vlivem poruchové veličiny v(t) a po skončení příčiny vychýlení, je schopen se ustálit v rovnovážném stavu. lim y hom t 0 t
Odvození – přednáška …
Stabilita regulačního obvodu
Obecná podmínka stability Regulační
obvod je stabilní, jestliže všechny kořeny charakteristické rovnice mají zápornou reálnou část, tj. leží-li v levé komplexní polorovině.
Nutná podmínka stability Všechny
koeficienty charakteristické rovnice musí být
kladné. a i 0 , i 0 , 1 , , n
Kritéria stability
Poloha pólů a nul přenosu
Přenos vyjádřený pomocí pólů a nul G s
b m s n1 s n 2 ... s n m a n s p1 s p 2 ... s p n
Znázornění v komplexní rovině Im
x x x
Re
Dynamické vlastnosti systému
čím jsou póly dále od imaginární osy, tím je přechodový děj více tlumen a tím je kratší komplexní póly--přechodný děj má kmitavou složku nuly blíže k imaginární ose než póly--převládá derivační složka póly v počátku--integrační charakter systému nuly v počátku--derivační charakter systému póly v pravé komplexní polorovině--nestabilní pochod
Implementace
Dostupné funkce: zpk(sys) poles(sys)
vytvoření LTI modelu systému, nebo konverze výpočet pólů systému
is_stable(sys) zjištění stability
Příklad
Vyšetřete stabilitu daných systémů a zjistěte polohu jejich pólů 5s 6s 2
G1 ( s )
G4 (s)
3s 2 s 1 2
3s 2 s 3s 3
2
3s 6
2s 6
2
2
G2 (s)
G5 ( s )
2s 2s 3
2s 6 3s 2 s 2
2
G3 ( s )
s 3s 2 s 3
2
6s 2 3
G6 (s)
2 s 3s 2 3
2
Řešení příkladu clear all; clc; s1=tf([5,6,2],[3,2,1]); s2=tf([3,0,6],[2,2,0,0]); s3=tf([2,6],[1,3,2,0]); s4=tf([3,2],[1,3,0,0]); s5=tf([2,6],[3,2,0]); s6=tf([6,0,0,2],[2,3,0,2]); zpk(s1) poles(s1) %is_stable(s1)
Seřízení regulátoru Regulační obvod…pokračování z minulého cvičení Žádaná hodnota
w(t)
Regulační odchylka
e(t)
Poruchové veličiny u(t)
Regulátor Akční veličina
y(t)
v1(t)
v2(t)
Regulovaná veličina
Regulovaná soustava
Zpětná vazba
Přenos řízení: GW s
Y s W s
GR s GS s 1 GR s GS s
GO s 1 GO s
y(t)
Ziegler-Nicholsova metoda
K existující soustavě je potřeba navrhnout a seřídit regulátor tak, aby byl regulační pochod co nejlepší Základní myšlenkou metody je přivést obvod na hranici stability Za kritické nastavení (na mezi stability) považujeme takové, při němž jsou integrační a derivační složka vyřazeny Ti→∞ , Td→0 (respektive r-1→0 , r1→0) a obvod kmitá s konstantní amplitudou a periodou kmitů Změnou zesílení r0 lze obvod přivést na hranici stability
Princip metody - pokračování
Zesílení r0 kterým jsme obvod dostali na hranici stability se nazývá kritické zesílení r0k Na hranici stability kmitá obvod netlumenými kmity o konstantní amplitudě (kritická perioda) Tk Na základě znalostí těchto dvou parametrů r0k a Tk zjistíme z tabulky optimální parametry pro jednotlivé typy regulátorů
Tabulka typ regulátoru
r0
Ti
Td
P
0 , 5 r0 k
--
--
PI
0 , 45 r0 k
0 ,83 T k
--
PD
0 , 4 r0 k
--
0 , 05 T k
PID
0 , 6 r0 k
0 ,5 Tk
0 ,12 T k
I
--
2 Tik
--
U integračního regulátoru se obvod dostane do kritického stavu (na mez stability) změnou integrační konstanty regulátoru Ti , přičemž tuto kritickou hodnotu označíme Tik. Z ní se odvozuje optimální nastavení I regulátoru.
Příklad
L
Navrhněte regulátor pro řízení natočení hřídele stejnosměrného motoru…pokračování minulého cvičení
J Ce
R
J Ce
C e u
G s
s U s
1
L
J Ce
Ce = 2.8; J = 0.1; R = 0.5; L = 5e-3;
% % % %
[V.s] [kg.m^2] [Ohm] [H]
s R 3
J Ce
s Ces 2
Implementace clear all; clc; r0 = XXXX; Ti = XXXX; Td = XXXX; gr_p = tf (r0, 1); gr_i = tf([r0],[Ti 0]); gr_d = tf([r0*Td 0],[1]); gr_pid = gr_p + gr_i + gr_d; %gr_pid = gr_p + gr_i; %gr_pid = gr_p;
Ce = 2.8; % [V.s] J = 0.1; % [kg.m^2] R = 0.5; % [Ohm] L = 5e-3; % [H] s_motor = tf([1],[L*J/Ce,... R*J/Ce, Ce, 0]); GO = gr_pid * s_motor; Gzv = feedback(GO,tf(1,1)); subplot(1,1,1); step(Gzv,1);
Testování
Nastavte parametry regulátoru podle metody Ziegler-Nichols Dolaďte regulátor Ověřte vliv jednotlivých parametrů regulátoru na regulační pochod
AUTOMATIZACE 6AA Ing. Ondřej Andrš
[email protected]
Kritéria stability
Kritéria stability
Aby byl regulační obvod stabilní, musí být všechny koeficienty charakteristické rovnice kladné. Tato podmínka je nutná (ale nepostačující).
Hurwitzovo kritérium
Charakteristická rovnice
an s n ... a1s a0 0
Definice: Obvod je stabilní, je-li determinant Hn-1 a všechny subdeterminanty Hn-2 až H2 kladné. Pokud je některý determinant nulový je obvod na hranici stability.
Hurwitzovo kritérium
Hurwitzův determinant
an1 an3 an5 an7 0 an
an2 an4 an6 0
0
an1 an3 an5 0
H n1 0 0
an 0
an2 an4 0
0
0
0
a0
Příklad
Pomocí Hurwitzova kritéria vyšetřete stabilitu následujícího regulačního obvodu: 1 GR s 3. 1 0,5s 4s 1 GS s s s 1 s 5
ch.r. …H3…H2
Příklad
Pomocí metody Ziegler Nichols nalezněte optimální nastavení PID polohového regulátoru pro DC motor J J L R Ce u Ce Ce Ce = 2.8; % [V.s] J = 0.1; % [kg.m^2] R = 0.5; % [Ohm] L = 5e-3; % [H]
1 GR s r0 1 Td s Ti s
Routh-Schurovo kritérium
Charakteristická rovnice
an s n ... a1s a0 0
Definice: Obvod je stabilní, jsou-li kladné koeficienty výchozí charakteristické rovnice a jsou-li kladné také koeficienty všech rovnic při postupné redukci charakteristické rovnice.
Routh-Schurovo kritérium
Routh-Schurův algoritmus
an
an1
an an1 an1 0
an1
an2
an3
an an3 an1 an an2 an3 an1
an4
an an5 an1 an3
an an1
an an4 an5 an1
Příklad
Pomocí Routh-Schurova kritéria vyšetřete stabilitu následujících regulačních obvodů, které jsou popsány charakteristickou rovnicí: a, 2s 6 s 5 20s 4 9s3 19s 2 2,5s 1 0 b, s 6 2s 5 20s 4 32s3 9s 2 2s 5 0
Michajlov-Leonhardovo kritérium
Charakteristická rovnice
an s n ... a1s a0 0
Charakteristický polynom
H s an s ... a1s a0 n
H j an j ... a1 j a0 n
s j
Michajlov-Leonhardovo kritérium
Definice: Obvod je stabilní, jestliže křivka H(jω) začíná na kladné reálné poloose komplexní roviny a s rostoucí hodnotou ω od 0 do ∞ projde postupně (v pořadí) v kladném smyslu (proti pohybu hodin. ručiček) tolika kvadranty, kolikátého stupně je charakteristická rovnice.
Michajlov-Leonhardovo kritérium Im
Im
Im H(jω)
ω=0
ω=0 Re
Re H(jω)
ω=∞
H(jω) ω=∞
ω=∞
Im
ω=∞
Im
Im ω=0
ω=∞
ω=0
ω=0 Re H(jω)
ω=0Re
Re H(jω)
Re H(jω)
ω=∞
Příklad
Pomocí Michajlov-Leonhardova kritéria vyšetřete stabilitu následujících regulačních obvodů, které jsou popsány charakteristickou rovnicí: a, 5s 4 2s3 5s 2 0,5s 1 0 b, s 4 2s3 9s 2 2s 5 0
Nyquistovo kritérium
stabilita uzavřeného regulačního obvodu na základě frekvenční charakteristiky otevřeného regulačního obvodu Přenos rozpojeného obvodu
M O s GO s GR s GS s N O s Frekvenční přenos rozpojeného obvodu GO j
ReGO j ImGO j
Nyquistovo kritérium
Definice: Uzavřený obvod je stabilní, jestliže kritický bod [-1, 0j] leží vlevo od frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu GO(jω) pro frekvence ω od 0 do ∞. Im
Im
-1
Re
-1
Im Re
Re
-1 GO(jω)
GO(jω)
GO(jω)
Příklad
Vyšetřete stabilitu regulačního obvodu, který je tvořen proporcionálním regulátorem se zesílením 10 a soustavou o přenosu: 2 GS s 1 3s
AUTOMATIZACE Miloš Šeda Ústav automatizace a informatiky Technická 2896/2, Brno 616 69 e-mail:
[email protected] URL: http://www.uai.fme.vutbr.cz/~mseda/
1
Literatura [1] Balátě, J.: Automatické řízení. BEN – technická literatura, Praha, 2003. ISBN 80-7300020-0. (663 str.) [2] Švarc, I., Šeda, M., Vítečková, M.: Automatické řízení. Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2007. ISBN 978-80-214-3491-2. (324 str.) [3] Švarc, I.: Teorie automatického řízení I. VUT FS, Brno, 1987. ISBN 80-214-0516-3. (210 str.) [4] Švarc, I.: Teorie automatického řízení II. PC-DIR, Brno, 1993. ISBN 80-214-0550-3. (231 str.) [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]
Dorf, R.C. and Bishop, R.H.: Modern Control Systems. Addison-Wesley, New York, 1995. ISBN 0-201-84559-8. (811 pp.) Franklin, G.F., Powell, J.D. and Emami-Naeini, A.: Feedback Control of Dynamic Systems. Prentice-Hall, New Jersey, 2002. ISBN 0-13-098041-2. (910 pp.) Kuo, B.C.: Automatic Control Systems. Prentice-Hall, New Jersey, 1991. ISBN 0-13-053505-2. (763 pp.) Leigh, J.R.: Applied Digital Control. Theory, Design and Implementation. Prentice-Hall, New York, 1992. ISBN 013-044249-6. (524 pp.) Morris, K.: Introduction to Feedback Control. Academic Press, London, 2002. ISBN 0125076606. (512 pp.) Ogata, K.: Modern Control Engineering. Prentice-Hall, New Jersey, 2002. ISBN 0-13-043245-8. (964 pp.) Ogata, K.: Discrete-Time Control Systems. Prentice-Hall, New Jersey, 1995. ISBN 0-13-034281-5. (745 pp.) Raven, F.H.: Automatic Control Engineering. McGraw-Hill, New York, 1995. ISBN 0-07-051341-4. (619 pp.) Stefani, R.T., Shanian, B., Savant, C.L. and Hostetter, G.H.: Design of Feedback Control Systems. 2 Oxford University Press, 2002. ISBN 978-0-19-514249-5. (848 pp.)
Úvod Automatizace – proces, kde výroba, technologie, … je řízena stroji (automaty, počítači, …). Příklady: Řízení teploty vytápění, tlaku plynu, hladiny vody v nádrži, otáček motoru, … Wiener, N.: Cybernetics or Control and Communication in the Animal and the Machines [Kybernetika aneb Řízení a sdělování u organismů a strojů]. MIT Press, 1948, 1965 (2nd edition), 212 pp. ISBN 026273009X. Kybernetika = disciplína zabývající se teorií řízení Řízení – cílené působení na řízený objekt tak, aby se dosáhlo určitého předepsaného cíle. v ovládání – řízení bez zpětné vazby, v regulace – řízení se zpětnou vazbou, v „vyšší formy“ řízení (optimální řízení - řízení k předepsanému cíli podle určitého kritéria (max. rychlost, min. spotřeba, …); adaptivní řízení - řízení reagující na změny parametrů řízeného objektu, často se schopností „učení se“ z dřívějších případů; řízení s umělou inteligencí - tj. se schopností „řešit problémy“, rozpoznávat objekty, analyzovat vztahy mezi nimi, ... Podle charakteru působení řídícího systému na řízený systém lze automatické řízení dělit na logické (dvouhodnotové - zavřít/otevřít), spojité (akční zásah je nastavován nepřetržitě), diskrétní (akční zásah je nastavován v určitých okamžicích daných periodou vzorkování) 3 a fuzzy (pracuje s jazykovými kvalifikátory, jimž jsou přiřazena fuzzy (lichoběžníková nebo trojúhelníková) fuzzy čísla, akční zásah je generován podle báze pravidel).
Osnova 1. Logické řízení • Logické operace, Booleova algebra, úplné systémy logických operací. • Minimalizace logických funkcí. • Kombinační a sekvenční logické obvody.
2. Spojité lineární řízení • • • • • • •
Laplaceova transformace, řešení diferenciálních rovnic. Vnější popis dynamických vlastností spojitých regulačních obvodů. Bloková algebra Typové dynamické členy a jejich přechodové charakteristiky. Regulátory (aktivní a pasivní). Stabilita lin. reg. obvodů. Přesnost regulace. Kvalita regulačního pochodu. Syntéza (návrh regulátoru a nastavení jeho parametrů).
3. Diskrétní řízení • • • • •
Z-transformace, řešení diferenčních rovnic. Vnější popis dynamických vlastností diskrétních regulačních obvodů. Bloková algebra diskrétních systémů. Stabilita diskrétních obvodů. PSD regulátor. 4
1. LOGICKÉ ŘÍZENÍ Logické funkce 1 a 2 binárních proměnných [unární/binární operace v dvouhodnotové (binární) logice] negovaný neekvivalence logický součet logický součet, (nonekvivalence), (disjunkce) Piercova funkce exkluzivní OR negovaný logický součin implikace logický součin, negace (konjunkce) ekvivalence Shefferova funkce NOT x
x AND y
x OR y
x NAND y
x NOR y
x XOR y
¬x
x∧y
x∨y
¬ (x ∧ y)
¬ (x ∨ y)
¬ (x ≡ y)
x
y
x
x.y
x+y
x. y
x+ y
x→y
x≡y
x≡ y
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
Počet operací dvou binárních proměnných =
24
= 16
5
Booleova algebra (a) Zákon vyloučeného třetího
x + x =1
(b)Logický rozpor
x.x = 0
(c) Zákon dvojité negace x = x (d)Zákony opakování
x + x = x, x.x = x
(e) Komutativní zákony
x + y = y + x, x. y = y.x
(f) Asociativní zákony
x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , x.( y.z ) = ( x. y ).z
(g)Distributivní zákony
x.( y + z ) = x. y + x.z , x + ( y.z ) = ( x + y ).( x + z )
(h)Absorpční zákony (i) Neutrálnost
x + ( x. y ) = x, x.( x + y ) = x, x + ( x. y ) = x + y , x.( x + y ) = x. y x + 0 = x, x.1 = x, x.0 = 0, x +1 = 1
(j) De Morganovy zákony x + y = x. y , x. y = x + y
6
Úplné systémy logických operací (systémy, pomocí nichž lze vyjádřit všechny logické spojky)
(i) AND, OR, NOT
&
(ii) NAND
&
(iii) NOR
1
1
,
1
,
ad (ii) NAND (nejčastější, jednoduchá elektrická realizace) x & x.x = x a) NOT x x = x.x x. y x x. y.x. y = x. y = x. y & b) AND x. y & y x. y = x. y x & x c) OR x + y & x. y = x + y = x + y x + y = x + y = x. y d) x→y ≡ ¬x ∨ y e) x ≡ y ≡ (x→y) ∧ (y→x)
y
&
y
f) x XOR y ≡ ¬(x ≡ y)
7
ad (iii) NOR a) NOT
x = x+ x b) AND x. y = x. y = x + y
x
1
x+x= x
x
1
x
1
y
y
c) OR x+ y = x+ y
x y
1
x+ y
1
x + y = x. y = x. y
1
x+ y+ x+ y = x+ y = x+ y
d) x→y ≡ ¬x ∨ y e) x ≡ y ≡ (x→y) ∧ (y→x) f) x XOR y ≡ ¬(x ≡ y) 8
Minimalizace logických funkcí 1. Karnaughova mapa
x1
v y = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2
(i) Nakreslení pro log. funkce s 2, 3, 4 proměnnými
w
y = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 x1
1
1 1
1
≡
x2
x3
1
1 1
x2
x2 x1
1
1 1
1
≡…
x
x3 y = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 x2 x1 x1 x4 x3
1
x4
1 1
1
1
1
1
≡ x2
1
1 1
1
1
1
≡…
1 9
x3
(ii) Minimalizace spočívá ve sdružování 2, 4, 8, … , sousedních polí s hodnotou 1 tak, že výsledkem je logická funkce obsahující pouze ty proměnné, které mají ve všech příslušných polích stejnou hodnotu. y = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1x2 x3 x4 + + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4
x1 1
1 1
x4
x1
1
1
1
1
1
1 1 1
nebo x2
x3 ymin = x3 x4 + x3 x4 + x1 x4
x4
1 1
1
1
1
1
1
1
1
x2
x3 ymin = x3 x4 + x3 x4 + x1 x3 10
Ověření sousedství 4 rohů (pomocí distributivního zákona a zákona vyloučeného třetího): levý horní
pravý horní
pravý dolní
levý dolní
y = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 =
= x2 x3 x4 (x1 + x1 ) + x2 x3 x4 (x1 + x1 ) = x2 x3 x4 + x2 x3 x4 = = x3 x4 (x2 + x2 ) = x3 x4
Poznámka: Sousedy nejsou dvě jedničky, které neleží na horizontále nebo vertikále (liší se nejméně ve 2 proměnných).
Poznámka: Prakticky lze Karnaughovy mapy používat pouze pro minimalizaci logických funkcí, které mají maximálně 4 proměnné. 11
♣2. Quine-McCluskeyho algoritmus •
Členy úplné normální disjunktivní formy se rozdělí do skupin tak, že v téže skupině jsou ty členy, v nichž se vyskytuje stejný počet proměnných bez negace.
•
Vyšetří se všechny možné dvojice, z nichž jeden součin patří do jedné skupiny a druhý do další s počtem negací o 1 vyšším.
•
Při odlišnosti pouze v jedné proměnné se porovnávané součiny vyřadí (označí se např. zatržením) a do dalšího kroku se přenese součin zredukovaný pouze na shodné proměnné (uplatnění distributivního zákona a zákona vyloučeného třetího).
•
Opakující se členy se vypustí (zákon opakování x + x = x).
•
Ty součiny, které zůstaly nezatrženy, jsou minimálními implikantami. 12
♣ Příklad 1:
f = x yzw + x y zw + xy z w + + x yz w + x y z w + xy z w + x y zw + x y z w + + x y zw
(0) x yzw ; x y zw ; xy z w ; x yz w ; x y z w ; xy z w ; x y zw ; x y z w ; x y zw
…
(1) x yz ; x zw ; x y z ; y zw ; x y w ; xy z ; x z w ; xzw ; yzw ; x y z ; (2) x z ;
yz
(3) ∅ ⇒
f = x z + y z + x y w + xy z + x z w
13
Tentýž příklad pomocí Karnaughovy mapy f = x yzw + x y zw + xy z w + + x yz w + x y z w + xy z w + x y zw + x y z w + + x y zw x
w
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y
z f = x z + y z + x y w + xy z
nebo
f = x z + y z + x z w + xy z
14
Notions (cnt.):
(i) A Boolean term f is an implicant of a Boolean term g if: • each literal in f is also obtained in g (i.e. if g has the form f(x1, ... , xn) then g has the form g(x1, ... , xn, y1, … , ym)), and • for all combinations of literals the implication f → g has a value of True. We know that the implication is defined by this table. From this definition, we get that g is an implicant of f if and only if f ≤ g. Here, the second property is satisfied if f(x1, ... , xn) ≤ g(x1, ... , xn, y1, … , ym) for each selection of x1, ... , xn and each selection of y1, … , ym.
f 0 0 1 1
g 0 1 0 1
f→g 1 1 0 1
(ii) The terms resulting from the Quine-McCluskey method are called prime implicants. 15
Covering of minterms by prime implicants prime implicants xz
xyzw
yz
xyw
∗
∗
xy zw minterms
∗
∗ ∗
xy z w
∗
∗ ∗
x y zw x y zw
∗ ∗
x y zw
x y zw
x zw
∗
x y zw
xyzw
xy z
∗
∗
∗ - essential prime implicants
16
Although the prime implicants cannot be simplified, some of them can be redundant and thus may be omitted. However, symbols ∗ in columns of considered prime implicants must be spread into all rows, otherwise the disjunction of prime implicants would not express the initial canonical (complete) disjunctive normal form, i.e., there would be a non-covered minterm. If there is a row in which ∗ occurs only once, then the prime implicant in the corresponding column cannot be omitted. Such implicants are called essential prime implicants. In our example there are three essential prime implicants: xz , y z and xyz . Simplifying the previous table by deleting columns of essential prime implicants and rows that contain their ∗ symbols we get the following table:
x y zw
x zw
xyw
∗
∗
The minterm x y z w may be covered by the prime implicant x zw or by x y w . Hence we get two minimal disjunctive forms: f1min = x z + y z + x y w + xyz
f 2 min = x z + y z + xz w + xyz
17
Set Covering Problem The set covering problem (SCP) is the problem of covering the rows of a m-row, n-column, zero-one matrix (aij) by a subset of columns at a minimal cost. Defining xj=1 if column j (with cost cj=>0) is in the solution and xj=0 otherwise, the SCP is: n
Minimise
∑cjxj j =1 n
subject to
∑ aij x j ≥ 1, i = 1, 2,..., m,
(∗)
j =1
x j ∈{0,1}, j = 1,2,..., n [Constraints (∗) ensure that each row is covered by at least one column. In QMcM we assume all cj equal to 1 because we try to minimise the number of the covering columns. This special case of SCP is called a unicost SCP. ] cardinality of the SCP searching space =
n n n n n = + + +L+ + = (1 + 1) n = 2 n 0 1 2 n − 1 n
18
Algorithms and their complexity c.g(n) f(n)
f(n)=O(g(n)) ⇔ ∃c, n0>0: ∀n≥n0 (0≤f(n)≤c.g(n)) O(1), O(log n), O(n), O(n log n), O(n2), …, O(nk), O(2n), O(n!) exponential complexity
n0
n
2n 210 215 220 263 2100 2200
n! = 1024 = 32768 = 1048576 ≈ 0,92.1019 ≈ 0,13.1031 ≈ 0,16.1061
10! 20! 30! 40! 50! 100!
≈ 0,36.107 ≈ 0,24.1019 ≈ 0,26.1033 ≈ 0,81.1048 ≈ 0,30.1065 ≈ 0.93.10158
P, NP classes Reduction, NP-complete problems, …
Example: Consider a processor with a frequency of 3 GHz and a searching space of 263 feasible solutions. Then it would take approximately 0.92*1019/3*109 sec ≈ 1.16*102 years, i.e. about 116 years.
P
NP
“If you give me a polynomial-time algorithm for Boolean Satisfiability, I will give you a polynomial-time algorithm for every NP problem.” [Stephen Cook, Leonid Levin, 1971] 19
“Heureka!” (Found!) [Archimedes, Greek mathematician and inventor, Delphi (Δελφοί)
287 BC-212 BC ] 20
Heuristic methods (i) stochastic (metaheuristics), (ii) deterministic
…
q genetic algorithm [John Holland, 1975] start inspired by Darwin and Mendel (natural selection + genetics) replacement offsprings
population of solution candidates
evaluation of fitness function of individuals
mutation crossover parents
selection of parents
−
goal reached?
termination criterion
+ end 21
q hill climbing q tabu-search [Fred Glover, 1989] q simulated annealing [S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt & M. P. Vecchi, 1983; J. Černý, 1985] T Tf
time
q ant colonies [Marco Dorigo, 1992] q particle swarm intelligence [Russell Eberhart & James Kennedy, 1995]
q differential evolution [Kenneth Price, 1997] q SOMA (Self Organizing Migrating Algorithm) [Ivan Zelinka, 2000] 22
Genetic algorithm skeleton P(0) := {P1, P2, … , PNpop}; Pbest := BestIndividual ∈ P(0); t := 0 ; while t < number_of_iterations do begin repeat Selection(P(t), parent1, parent2); offspring := Crossover(parent1, parent2); offspring := Mutation(offspring) until not (offspring in population P(t)); Pworst := WorstIndividual ∈ P(t); P(t +1) := P(t) − {Pworst} ∪ {offspring}; { Replacement } if Fitness(offspring) > Fitness(Pbest) then Pbest := offspring; t := t +1 end;
23
applied to non-essential prime implicants
Parameter settings: • individuals in the population (chromosomes) represented as binary strings of length n, where a value of 0 or 1 at the i-th bit (gene) implies that xi = 0 or 1 in the solution, respectively • population size Npop ∈ [50, 200] • number of iterations : 1000 − 50000 • the initial population is determined randomly • fitness function: Since the SCP is a minimisation problem, the lower the fitness value, the more fit the solution is. The fitness of a chromosome for the unicost SCP is calculated by n
f ( S ) = ∑ S[ j ] j =1
• selection: binary tournament selection method where two individuals are chosen randomly from the population. The more fit individual is then allocated a reproductive trial. In order to produce a child, two binary tournaments are held, 24 each of which produces one parent.
Parameter settings (cnt.): • Crossover: uniform crossover operator – it works by generating a random crossover mask B (using Bernoulli distribution) which can be represented as a binary string B = b1b2b3 … bn−1bn where n is the length of the chromosome. Let Let P1 and P2 be the parent strings P1[1], ... ,P1[n] and P2[1], ... ,P2[n] respectively. Then the child solution is created by letting: C[i] = P1[i] if bi = 0 and C[i] = P2[i] if bi = 1. • Mutation: it is applied to each child after crossover, it works by inverting M randomly chosen bits in a string where M is experimentally determined. We use a mutation rate of 5/n as a lower bound on the optimal mutation rate. It is equivalent to mutating five randomly chosen bits per string.
25
Parameter settings (cnt.): The binary representation causes problems with generating infeasible chromosomes (i.e. there are uncovered rows), e.g. in initial population, in crossover and/or mutation operations. To avoid infeasible solutions a repair operator is applied. Let I = {1, … , m} = the set of all rows; J = {1, … , n} = the set of all columns; α i = {j∈J | aij =1} = the set of columns that cover row i, i∈I; β j = {i∈I | aij =1} = the set of rows covered by column j, j∈J; S = the set of columns in a solution; U = the set of uncovered rows; wi = the number of columns that cover row i, i∈I in S.
26
repair operator for the unicost SCP: initialise wi : = | S ∩ α i | , ∀i ∈ I ; {wi = number of columns that cover row i } initialise U : = { i | wi = 0 , ∀i ∈ I } ; {U = set of uncovered rows } for each row i in U (in increasing order of i) do begin find the first column j (in increasing order of j) in α i that minimises 1/ |U ∩ β j | ; S:=S+j; wi : = wi + 1, ∀i ∈β j ; U:=U−βj end ; for each column j in S (in decreasing order of j) do if wi ≥ 2 , ∀i ∈β j then begin S : = S − j ; wi : = wi − 1, ∀i ∈β j end ; { S is now a feasible solution to the SCP and contains no redundant columns } Initialising steps identify the uncovered rows. For statements are “greedy” heuristics in the sense that in the 1st for, columns with low cost-ratios are being considered first and in the 2nd for, columns with high costs are dropped first whenever possible. 27
Příklad 2: Pomocí pravidel Booleovy algebry zjednodušte algebraické výrazy (a) y = x1 x2 + x1x2 + x1 x2 (b) y = x1 x3 x4 + x1x3 x4 + x2 x3 x4 (c) y = x1 . x2 . x1 . x3 (d) y = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 x1
řešení: (a) y = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 = = x1 ( x2 + x2 ) + x2 (x1 + x1 ) = x1 + x2
(b)
1
1 1
x2
y = x1 x3 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 = x1 (x3 + x4 ) + x1 + x3 + x4 + x2 + x3 + x4 = = x1 x3 + x1 x4 + x1 + x2 + x3 + x4 = x3 ( x1 + 1) + x4 ( x1 + 1) + x1 + x2 = = x3 + x4 + x1 + x2 = x1 + x2 + x3 + x4 = x1 x2 x3 x4
(c)
y = x1 . x2 . x1 . x3 = x1 . x2 + x1 . x3 = x1 x2 + x1 x3
(d)
y = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 = x2 x3 (x1 + x1 ) + x1 (x2 + x3 ) = = x2 x3 + x1 x2 + x1 x3
28
Příklad 3: Logickou funkci danou následující pravdivostní tabulkou: (a) převeďte na algebraický výraz a minimalizujte jej pravidly Booleovy algebry, (b) zapište do Karnaughovy mapy a vyjádřete minimální výraz a (c) z minimalizovaného tvaru nakreslete logické schéma x1 x2 x3 x4 y řešení: 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0
y = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 = = x2 x3 x4 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x4 = = x2 x3 x4 + x2 x3 + x1 x3 x4
x1
1 x4
1
1 1
1 x3
1 1
x2 29
y = x2 x3 x4 + x2 x3 + x1 x3 x4 x1
&
x2
&
1
y
1 x2 &
x3
x4
1
x3
1
x4
30
Příklad 4: Ze zadaných Karnaughových map vyjádřete minimální výraz. a) x2 x2 x1 x1 x4 x3 x4 x3 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y = x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x1 x2 x3
b)
x2 x1 x4 x3 1
1
x2 x1 x4 x3 1
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
y = x1 x3 + x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4
31
c) x4 x3
x2 x1 1
x4 x3
1
x2 x1 1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
y = x3 x4 + x1 x3 + x1 x2 x4
d)
x2 x1 x4 x3 1
1
x2 x1 x4 x3 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y = x1 + x3
1
1 32
e)
x2 x1 x4 x3 1
1
1
1
1
x4 x3
x2 x1 1
1
1
1
1
1
1
1
1 y = x2 x4 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4
f) x4 x3
x2 x1
x4 x3
1
x2 x1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y = x1 x3 + x1 x2 + x1 x2 x3 x4
33
g)
x2 x1 x4 x3 1
1 1 1
1
1
x4 x3
x2 x1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
y = x1 x3 + x1 x2 x3 + x2 x3 x4 + x1 x2
h)
x2 x1 x4 x3 1
1
x2 x1 x4 x3 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 34
y =1
Realizace logických funkcí obvody NAND/NOR NAND
NOR +
+
y = x1 x2 K xn
x1
y = x1 + x2 + K + xn
x1 x2
x2
M xn xn −
− 35
Příklad 5: Je dána minimalizovaná logická funkce y = x1 x2 + x2 x3 x4 + x1 x2 x4 Vyjádřete ji a) členy typu NAND, b) členy typu NOR
NAND: de M.p.
z.d.n.
y = x1 x2 + x2 x3 x4 + x1 x2 x4 = x1 x2 + x2 x3 x4 + x1 x2 x4 = = x1 x2 . x2 x3 x4 . x1 x2 x4
x1 x2
& x2
x3
&
x4 &
x3
x1
&
x1 x2
&
x 2 x3 x 4
&
x1 x2 x4
&
y
36
zákon dvojité negace de M.p.
NOR:
y = x1 x2 + x2 x3 x4 + x1 x2 x4 = x1 x2 + x2 x3 x4 + x1 x2 x4 = z.d.n.
= x1 + x2 + x2 + x3 + x4 + x1 + x2 + x4 = = x1 + x2 + x2 + x3 + x4 + x1 + x2 + x4
x1
1
x1
x2 x3
x4
1
1
x1 + x2
1
x2 + x3 + x4
1
x1 + x2 + x4
1
1
y
x4 37
Příklad 6: Je dána minimalizovaná logická funkce Vyjádřete ji a) členy typu NAND b) členy typu NOR
NAND:
y = x1 x2 x3 + x3 x4 + x1 x2 x4
y = x1 x2 x3 + x3 x4 + x1 x2 x4 = x1 x2 x3 + x3 x4 + x1 x2 x4 = = x1 x2 x3 . x3 x4 . x1 x2 x4
x1 x2
& x2
x3
&
x4
& x4
x3
&
x1 x2 x4
&
x3 x 4
&
x1 x2 x3
&
y
38
NOR:
y = x1 x2 x3 + x3 x4 + x1 x2 x4 = x1 x2 x3 + x3 x4 + x1 x2 x4 = = x1 + x2 + x3 + x3 + x4 + x1 + x2 + x4 = = x1 + x2 + x3 + x3 + x4 + x1 + x2 + x4
x1 x2 x3
1
1
x1 1
x1 + x2 + x3
1
x3 + x4
1
x1 + x2 + x4
x3
x4
1
y
1
y
1
x2 39
Příklad 7: Logickou funkci danou následující pravdivostní tabulkou: (a) převeďte na algebraický výraz a minimalizujte jej pravidly Booleovy algebry, (b) zapište do Karnaughovy mapy a vyjádřete minimální výraz. x1
x2
x3
y
řešení:
0
0
0
0
y = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 =
0
0
0
0
= x1 x2 ( x3 + x3 ) + x1 x3 ( x2 + x2 ) =
0
0
1
1
= x1 x2 + x1 x3
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
x3
x2 x1 1 1
1
1
40
Kombinační a sekvenční logické obvody Kombinační logické obvody - výstup závisí pouze na vstupech (předchozí příklady)
. Q ..
. . .
Y
. . .
paměťová část
. X ..
kombinační část
Sekvenční logické obvody - výstup závisí na vstupech a na předchozím stavu X ... množina vstupních proměnných Y ... množina výstupních proměnných Q ...množina vnitřních (stavových) proměnných
. . .
zpětná vazba Vnitřní stav Qt a okamžitá kombinace vstupních signálů Xt jednoznačně určují přechod do vnitřního stavu Qt+1 , v němž se bude sekvenční obvod nacházet v následujícím okamžiku (t+1)
41
♣
T
Příklad 8: Dvoupolohová regulace, která zajistí udržení pokojové teploty v rozmezí 22°C až 23,5°C.
T2 T1
t Označme dolní a horní teplotu z požadovaného rozsahu symboly T1 a T2. Nechť x1, x2 jsou logické proměnné nesoucí informaci o teplotě T v pokoji podle tohoto předpisu: zapnutí resp. vypnutí topení budeme 1, T > T1 1, T ≥ T2 x1 = ; x2 = ; sledovat v logické proměnné y. 0, T ≤ T1 0, T < T2 pořadí v čase
x1
x2
y
1.
0
0
1
2.
1
0
1
3.
1
1
0
4.
1
0
0
5. (=1)
0
0
1
…
…
…
…
V 2. a 4. řádku jsou pro stejné kombinace vstupů x1, x2 různé hodnoty výstupu y. V jednom případě je y=1 (topení zapnuto) a v druhém v případě y=0 (topení vypnuto). To znamená, že výstup není dán pouze kombinací vstupů x1, x2, ale závisí také na předchozí hodnotě výstupní proměnné y (a ta se liší, jak je vidět z 1. a 3. řádku). Jde tedy o sekvenční logickou funkci, kterou realizujeme sekvenčním logickým obvodem. 42
Hodnotu výstupní proměnné y proto v dalším kroku přenášíme na vstup obvodu. pořadí v čase
x1
x2
yp
y
1.
0
0
0
1
2.
0
0
1
1
3.
1
0
1
1
4.
1
1
1
0
5.
1
1
0
0
6.
1
0
0
0
7. (=1)
0
0
0
1
…
…
…
…
x2 x 1
yp
1 1
1
-
V rozšířené tabulce 1. řádek odpovídá situaci, kdy při vypnutém topení (yp=0) a teplotě nižší nebo rovné T1 (x1=0, x2=0) se topení automaticky zapíná, a tedy y=1. Hodnota y se v následujícím okamžiku přenáší na vstup do yp (naznačeno šipkou). Obecně y v k-tém kroku je rovno yp v (k+1)-ním kroku. Z osmi možných kombinací tří vstupů zde chybí x1=0, x2=1, yp=0 a x1=0, x2=1, yp=1, protože x1=0 a x2=1 se nemůže objevit současně. Protože 7. řádek je totožný s prvním, opakuje se posloupnost 6 předchozích stavů. V tab. se již nevyskytuje nejednoznačnost. Můžeme tedy již napsat algebraický výraz pro y a minimalizovat jej. y = x1 x2 + x2 y p = x2 .( x1 + y p )
43
x2
x2
x1
x1
&
y = x2 .( x1 + y p )
1
yp
Rozšíření obvodu o možnost ručního vypnutí a nutnost splnění provozních podmínek: (např. dosažení určité výšky hladiny vody v kotli a hoření zapalovacího hořáčku). Ruční ovládání zajistíme dvoupolohovým přepínačem, x3 a x4 vyjadřují provozní podmínky. x4 1 x 3
x2
x2
x1
x1
& & y0 = x4 x3 x2 ( x1 + y0 p )
y
1
y0p 44
Poznámka: Sekvenční obvody s jedním výstupem v principu vždy stejné. Obsahují jeden vstup pro zápis do paměti, vlastní paměť a jeden vstup pro vymazání paměti. Zápis se provádí přes součtový blok, jehož druhým vstupem je výstupní proměnná. To znamená, že po zápisu do paměti signál zápisu již může odeznít, protože výstup drží „sám sebe“ ve stavu logická 1 tak dlouho, dokud paměť nevymažeme, tj. dokud nepřivedeme na „horní“ vstup součinového bloku signál hodnoty logická 0.
mazání paměti zápis do paměti
&
y Výstup přivedený na vstup není nutné označovat odlišně.
1
y paměť
45
♣
Příklad 9: Trvalý signál po stisku tlačítka START, odstavení po stisku tlačítka STOP. START
START
1
y
1
1 1
STOP x
2
x1
1
y = x1 + x2 y
&
STOP
START
1
1 x1
1
STOP x
x1
x2
y
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 0 1 1 1
odstav
aktivuj paměť
2
&
y = x2 ( x1 + y )
46
♣
Příklad 10: Totéž jako v předchozím příkladu s rozšířením zajišťujícím odstavení při vyhodnocení poruchy a znemožnění najetí do provozu při nesplnění technologických podmínek.
START
1 1 1
1
TECHNOLOG. PODMÍNKY
&
y
NEBEZPEČÍ & STOP
PORUCHA 1 ¬PORUCHA
47
♣
Příklad 11: Zapamatování si příčiny odstavení z provozu z důvodu výpadku technologických podmínek. PROVOZ
&
vznik poruchy
1
1
PAMĚŤ PORUCHY
TECHNOLOG. PODMÍNKY
1
KVITACE PORUCHY
&
48
Příklad 12: Pohyb mechanismu (např. pily) mezi dvěma koncovými polohami. (Po dosažení jedné polohy mechanismus změní směr posuvu a pohybuje se do druhé koncové polohy.)
x1 1 0 0 0
x1 ... poloha dole x2 ... poloha nahoře y1 ... signál pro pohyb mechanismu vzhůru y2 ... signál pro pohyb dolů dole
1
x1
1
1
x2
&
1
1 1
y1 1 1 0 0
y2 0 0 1 1
y1 = ( y1 + x1 ) x2 nahoru
koncové spínače nahoře
x2
x2 0 0 1 0
x1
&
y2 = ( y2 + x2 ) x1 dolů 49
2. SPOJITÉ LINEÁRNÍ SYSTÉMY ŘÍZENÍ regulace = řízení se zpětnou vazbou (ovládání = řízení bez zpětné vazby)
v1(t)
regulační obvod w(t)
e(t)
regulátor (řídící systém)
u(t)
v2(t)
regulovaná soustava (řízený systém)
y(t)
y(t) w(t) - řídící veličina (žádaná hodnota regulované veličiny) e(t) - regulační odchylka e(t) = w(t) - y(t) v1(t) v2(t) u(t) - akční veličina y(t) - regulovaná veličina v1(t), v2(t) - poruchové veličiny S Jiný způsob nakreslení u(t) regulačního obvodu:
R
e(t)
y(t) w(t)
1
Příklad regulačního obvodu: Regulace výšky hladiny v nádrži s přítokem a odtokem poruchová veličina w řídící veličina (žádaná hodnota) regulovaná veličina y
u
akční veličina
regulátor : plovák + pákový převod + ventil regulovaná soustava : nádrž s hladinou včetně přítoku a odtoku w u y v
-
poloha šroubu s ručním kolem otevření či uzavření regulačního ventilu v odtokovém potrubí výška hladiny v nádrži změna přítoku (např. zvýšením tlaku v přívodním potrubí), ucpání odtoku 2
Mechanické komponenty soustav (hmotnost, pružina, tlumič) Příklad M1: Pneumaticko-elektrický převodník u
u y a b c m
a
y
b
- tlak vzduchu - poloha jezdce potenciometru - plocha pístu - koeficient viskózního tření - tuhost pružiny - hmotnost pohybujících se částí
c
dynamická rovnováha sil S vnějších sil = setrvačná síla
a u - by '-cy = my ' ' síla vzduchu na píst brzdný účinek olejového tlumiče síla pružiny setrvačná síla
my ' ' (t ) + by ' (t ) + cy (t ) = a u (t ) y(t) = ? 3
§
Elektrické komponenty soustav (odpor, indukčnost, kapacita) L
R
UL = L
U R = RI
I=
1 UR R
I=
C dI dt
1 UL ò L
1 I dt ò C dU C I =C dt
UC =
Příklad E1: I
u1(t)
L
R
C
1 dI u1 (t ) = L + RI + ò I dt dt C 1 u 2 (t ) = ò I dt Þ ò I dt = Cu 2 (t ), I = Cu 2 ' (t ) C u2(t) d 1 (Cu 2 ' (t )) + RCu 2 ' (t ) + Cu 2 (t ) dt C Þ LCu 2 ' ' (t ) + RCu 2 ' (t ) + u 2 (t ) = u1 (t ) u1 (t ) = L
4
Řešení diferenciálních a integrodiferenciálních rovnic s konstatními koeficienty pomocí Laplaceovy transformace
Dif. rovnice: an y ( n ) (t ) + L + a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = bm u ( m ) (t ) + L + b1 u' (t ) + b0 u (t ) a n y ( n ) (t ) + L = bm u ( m ) (t ) + L
úloha v originále
L{dif. r.} an s nY ( s ) + L = bm s m U ( s ) + L úloha v L-obraze
řešení v originále (nesnadné)
y(t)
výsledek v originále
řešení v L-obraze (snadnější) L-1 {Y(s)}
Y(s)
výsledek v L-obraze 5
Laplaceova transformace a) Přímá Laplaceova transformace (originál ® obraz)
L{ f (t )} = F ( s ) =
¥
ò
f (t ) e - st dt
0
b) Zpětná Laplaceova transformace (obraz ® originál)
1 st ( ) L {F ( s )} = f (t ) = F s e ds , ò 2p j C -1
kde C je uzavřená křivka a všechny póly (singulární body) funkce F(s) jsou uvnitř C. Jednodušeji se počítá: (i) z operátorového slovníku (ii) pomocí reziduové věty -1
L
{F ( s)} =
n
i =1
§
[
f (t ) = å res F ( s ) e st
pro k-násobný pól pro jednoduchý pól (k =1)
]
s = si
[ ]s =s res [ F ( s ) e ]
res F ( s ) e
st
i
st
s = si
, kde s =si jsou póly funkce F(s),
[
1 d k -1 lim k -1 (s - si ) k F ( s ) e st = (k - 1)! s ®si ds = lim (s - si ) F ( s ) e st 6 s ® si
[
]
]
Operátorový slovník Laplaceovy transformace f(t) 1
d(t)
F(s) 1
Diracův impuls 0
2
ì 0 pro t < 0 η(t ) = í î 1 pro t ³ 0
3
a
4
t
5
tn
6
e -at
1 s a s 1 s2 n! s n +1 1 s+a
t
Heavisideův jednotkový skok 1 0
0
t
7
f(t)
(
F(s)
)
7
1 1 - e -at a
8
sinbt
9
cosbt
10
e -at sin bt
11
e -at cos bt
12
e -at - e -bt
1 s( s + a) b s 2 + b2 s s 2 + b2 b ( s + a) 2 + b 2 s+a ( s + a) 2 + b 2 b-a ( s + a ) ( s + b)
8
f(t) 13
te
-at
14
t n-1 e -at
15
sinhbt
16
coshbt
17 18
e -at (1 - at )
1- cosbt
F(s) 1 ( s + a)2 (n - 1)! ( s + a)n b s 2 - b2 s s2 - b2 s ( s + a)2 b2 s s 2 + b2
(
)
9
ad 2) f (t ) = h (t ) ¥
¥
¥
é 1 ù F ( s ) = L{ f (t )} = L{h (t )} = ò h (t ) e - st dt = ò 1. e - st dt = ê- e - st ú = ë s û0 0 0
(
)
1 -¥ 1 1 0 = - e - e = - (0 - 1) = s s s
ad 4) f (t ) = t ¥
F (s) = ò t e 0
- st
dt =
u = t,
v' = e - st
u ' = 1,
1 v = - e - st s
¥
¥
- e - st é t - st ù = uv - ò u ' vdt = ê- e ú - ò dt = s s ë û0 0
¥ ¥ 1é t ù 1ì é t ù é 1 - st ù é t ù ü 1 -¥ = - ê st ú - ê 2 e ú = - í ê st ú - ê st ú ý - 2 e - e 0 = s ëe û 0 ë s s î ë e û t = ¥ ë e û t =0 þ s û0
(
1 ìé 1 ù 0 ü 1 1 1 1 = - íê st ú - s.0 ý - 2 (0 - 1) = - {0 - 0} + 2 = 2 s îë se û t = ¥ e þ s s s s L’Hospitalovo pravidlo
)
10
ad 6) f (t ) = e - at ¥
¥
0
0
F ( s ) = ò e - at e - st dt = =-
(
ò
e -(a + s ) t dt = -
[
1 e -(a + s ) t (a + s )
]¥0 =
)
1 1 (0 - 1) = 1 e -¥ - e 0 = a+s a+s a+s
ad 7)
(
)
(3)
(6)
1 1 1 1 - e - at = - e - at a a a 11 1 1 1 s+a-s 1 F (s) = = = a s a s + a a s (s + a ) s (s + a ) f (t ) =
11
ad 8) f (t ) = sin bt ¥
u = sin bt ,
0
u ' = b cos bt ,
F ( s ) = ò sin bt . e - st dt = ¥
v' = e - st
1 - st = uv - ò u ' vdt = v=- e s
¥
¥
1 é sin bt ù b 1 b b æ 1ö é 1 ù = ê- sin bt. e - st ú - ò b cos bt. ç - ÷ e - st dt = - ê st ú + I1 = - (0 - 0 ) + I1 = I1 s ë e û0 s s s s è sø ë s û0 0 v' = e - st
¥
u = cos bt ,
0
1 u ' = -b sin bt , v = - e - st s
I1 = ò cos bt. e - st dt =
¥
¥
= uv - ò u ' vdt = ¥
¥
1 é cos bt ù b é 1 ù æ 1 ö = ê- cos bt. e - st ú - ò (- b sin bt ). ç - e - st ÷dt = - ê st ú - ò sin bt. e - st dt s ë e û0 s 0 ë s û0 0 è s ø Þ
¥ ¥ 2ö¥ ü æ b ìï 1 é cos bt ù b b b ï æ ö F ( s ) = í- ê st ú - ò sin bt. e - st dt ý = ç - 2 ÷ (0 - 1) + çç - 2 ÷÷ ò sin bt. e - st dt s ïî s ë e û 0 s 0 ïþ è s ø è s ø0
Þ
b b 2 2 æ b2 ö b b b b2 s s ç ÷ F ( s ) = 2 - 2 F ( s ) Þ F ( s ) ç1 + 2 ÷ = 2 Þ F ( s ) = = = s s b2 s 2 + b2 s 2 + b2 è s ø s 1+ 2 12 s s2
ad 15) f (t ) = sinh bt ¥
¥ bt
¥ ¥ ü 1 ìï (b - s ) t e - e -bt - st ( -b - s ) t ï . e dt = í ò e F ( s ) = ò sinh bt . e dt = ò dt - ò e dt ý = 2 2 ïî 0 ïþ 0 0 0 1ì 1 1 1 ( b-s )t ¥ ( -b - s ) t ¥ ü 1 ì 1 -¥ 0 -¥ 0 ü e e e e e e = í + = + í ý= 0 ý 0 2 îb - s b+s b+s þ 2 îb - s þ 1ì 1 1 ü 1 s + b - (s - b ) 1 2b b = = = í = ý 2 î s - b s + b þ 2 (s - b )(s + b ) 2 s 2 - b 2 s 2 - b 2 - st
[
]
[
]
(
)
(
)
13
Vlastnosti Laplaceovy transformace 1. Věta o derivování originálu (věta o obrazu derivace) L{ f ' (t )} = s F ( s ) - f (0)
{
}
L f ( n ) (t ) = s n F ( s ) - s n -1 f (0) - s n - 2 f ' (0) - s n -3 f ' ' (0) -L - f ( n -1) (0) = n
= s F ( s ) - å s n -i f (i -1) (0) n
i =1
2. Věta o integrování originálu (věta o obrazu integrace) ìï t üï 1 L íò f (t ) dt ý = F ( s ) ïî 0 ïþ s 3. Věta o počáteční a koncové hodnotě f (0) = lim f (t ) = lim s F ( s ) t ®0
s ®¥
f (¥ ) = lim f (t ) = lim s F ( s ) t ®¥
s ®0
14
4. Věta o linearitě L { a f (t ) + b g (t )} = a F ( s ) + b G ( s ) L-1 { a F ( s ) + b G ( s )} = a f (t ) + b g (t ) 5. Věta o posunutí originálu (věta o dopravním zpoždění) L { f (t - a )} = e - as F ( s ) 6. Věta o posunutí obrazu (věta o útlumu)
{
}
L e - at f (t ) = F ( s + a ) 7. Věta o podobnosti (věta o změně měřítka) ì Lí î
æ t öü f ç ÷ý = a F (as ) è a øþ
ì æ s öü L-1 í F ç ÷ý = a f (at ) î è a øþ 15
Důkaz. ad 1) ¥
L{ f ' (t )} = ò f ' (t ) e
- st
dt =
0
[
= e
- st
f (t )
]
¥ 0
¥
(
- ò - se 0
u = e - st , u ' = -s e - st
- st
v ' = f ' (t ) , v = f (t )
= u v - ò u ' v dt =
) f (t )dt = [0 - f (0)] + s ò f (t ) e -st dt = - f (0) + sF (s) ¥ 0
16
Příklad t®s. Užitím operátorového slovníku Laplaceovy transformace určete obrazy funkcí: f1 (t ) = 4 + 2 t 2 + 6 t 5 f 2 (t ) = 5 sin 2t + 2 e -t cos 3t f 3 (t ) = 2 - 2 e - 2t f 4 (t ) = t e - 4t + t 4 e3t
{
}
{ } { }
F1 ( s ) = L{ f1 (t )} = L 4 + 2 t 2 + 6 t 5 = L{4} + L 2 t 2 + L 6 t 5 = 4 2! 5! 4 4 720 = + 2× 3 + 6× 6 = + 3 + 6 s s s s s s
2 -t { } F2 ( s ) = L 5 sin 2t + 2 e cos 3t = 5 × 2 + 2× 2 s +2
{ {
}
s +1
(s + 1)
2
+3
2
=
10 s +4
2 1 2 2 F3 ( s ) = L 2 - 2 e = - 2× = s s+2 s s+2 1 4! 1 24 F4 ( s ) = L t e -4t + t 4 e 3t = + = + (s + 4)2 (s - 3)5 (s + 4 )2 (s - 3)5 - 2t
}
2
+
2(s + 1)
(s + 1)2 + 32
17
Příklad s®t. Užitím operátorového slovníku Laplaceovy transformace určete originály k Laplaceovým obrazům: F1 ( s ) = F3 ( s ) =
18
2
,
F2 ( s ) =
3 4 + , s (s - 2 ) s + 5
F4 ( s ) =
s4
+
s3
5s s 2 + 16 6
-
2 s2 +1
s 2 - 5s + 4
ì18 2 ü ì 3! 2! ü ì 3! ü ì 2! ü f1 (t ) = L-1 í 4 + 3 ý = L-1 í3 × 4 + 3 ý = 3 × L-1 í 4 ý + L-1 í 3 ý = 3 t 3 + t 2 îs î s îs þ îs þ s þ s þ 2 ü ì 5s f 2 (t ) = L-1 í 2 - 2 ý = 5 cos 4t - 2 sin t î s + 16 s + 1þ 1 4 ü -3 ì 3 2t -5t 1 4 1 - e 2t + 4 e -5t 3 f 3 (t ) = L-1 í + = × × e + e = ý 2 -2 î s (s - 2 ) s + 5 þ
(
)
(
(
)
)
ü 6 6 ì ü -1 ì 4t t f 4 (t ) = L-1 í 2 = L ý í ý=2 e -e î s - 5s + 4 þ î (s - 4 )(s - 1)þ a = -4, b = -1, b - a = -1 - (-4) = 3
18
Určování originálu f(t) pro obraz F(s) ve tvaru racionální lomené funkce F (s) = F ( s) = =
M (s) N ( s)
Þ rozklad na parciální zlomky
M (s) M ( s) = = N ( s ) a0 (s - s1 ) (s - s2 )(s - s 3 )k ... A1 A C C2 Ck -1 Ck + 2 + 1 + + ... + + + ... , k k 1 2 s - s1 s - s2 s - s 3 (s - s 3 ) (s - s 3 ) (s - s 3 )
kde A1 = [(s - s1 ) F ( s )]s = s
s1, s2 … jednoduché kořeny, s3 … k-násobný kořen
1
A2 = [(s - s2 ) F ( s )]s = s
[
Ck = (s - s3 )k F ( s )
]
2
s = s3
[
]
1ìd Ck -1 = í (s - s3 )k F ( s ) üý 1! î ds þ s = s3 Ck - 2
[
C k -i
]
ü 1 ì d2 k = í 2 (s - s3 ) F ( s ) ý 2! î ds þ
s = s3
[
]
i = 0,1,..., k - 1
...
]
ü 1 ì d k -1 k ( ) C1 = s s F s ( ) í ý 3 ( k - 1)! î ds k -1 þ
[
ü 1 ì di k = í i (s - s3 ) F ( s ) ý i! î ds þ
19 s = s3
, s = s3
Příklad PZ1:
F (s) =
4s + 6 (s + 1) (s + 2) (s + 3)
f (t ) = ? řešení: F (s) =
A A1 A + 2 + 3 , s1 = -1, s 2 = -2, s3 = -3 s +1 s + 2 s + 3
é ù é 4s + 6 ù 4s + 6 A1 = [(s - s1 ) F ( s )]s = s = ê(s + 1) =1 = ê ú ú 1 (s + 1) (s + 2) (s + 3)û s = -1 ë (s + 2) (s + 3)û s = -1 ë é ù é 4s + 6 ù 4s + 6 A2 = [(s - s 2 ) F ( s )]s = s = ê(s + 2 ) = =2 ú ê ú 2 (s + 1) (s + 2) (s + 3)û s = -2 ë (s + 1) (s + 3)û s = -2 ë é ù é 4s + 6 ù 4s + 6 A3 = [(s - s3 ) F ( s )]s = s = ê(s + 3) = = -3 ú ê ú 3 (s + 1) (s + 2) (s + 3)û s = -3 ë (s + 1) (s + 2)û s =-3 ë 2 3 ü ì 1 -t - 2t -3t f (t ) = L-1{F ( s )} = L-1 í + ý = e + 2 e - 3e î s + 1 s + 2 s + 3þ 20
Příklad PZ1’:
F (s) =
4s + 6 (s + 1) (s + 2) (s + 3)
f (t ) = ? jiný způsob řešení: A3 A1 A2 4s + 6 = + + F (s) = (s + 1) (s + 2) (s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
/ . (s + 1) (s + 2 ) (s + 3)
4 s + 6 = A1 (s + 2 ) (s + 3) + A2 (s + 1) (s + 3) + A3 (s + 1) (s + 2 ) 4 s + 6 = s 2 ( A1 + A2 + A3 ) + s (5 A1 + 4 A2 + 3 A3 ) + 6 A1 + 3 A2 + 2 A3 ü ïï 1 s : 4 = 5 A1 + 4 A2 + 3 A3 ý Þ A1 = 1, A2 = 2, A3 = -3 ï s0 : 6 = 6 A1 + 3 A2 + 2 A3 ïþ 2 3 ü ì 1 -t - 2t - 3t f (t ) = L-1{F ( s )} = L-1 í + ý = e + 2 e - 3e î s + 1 s + 2 s + 3þ
s2 :
0 = A1 + A2 + A3
21
Příklad PZ2:
F (s) =
1
s (s + 2 )3 (s + 3) f (t ) = ?
řešení: F (s) =
C3 A1 A C C2 + 2 + 1 + + , s1 = 0, s 2 = -3, s3 = -2 2 3 s s + 3 s + 2 (s + 2 ) (s + 2 ) é ù é ù 1 1 1 = ês = = ú ê ú 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) s s + 2 s + 3 s + 2 s + 3 ë û s =0 ë û s = 0 24
A1 = [(s - s1 ) F ( s )]s = s
1
A2 = [(s - s2 ) F ( s )]s = s
[
C 3 = ( s - s3 ) F ( s ) 3
]
2
s = s3
é ù é ù 1 1 1 = ê( s + 3 ) = = ú ê 3 3 ú s (s + 2 ) (s + 3)û s = -3 ë s (s + 2 ) û s = -3 3 ë é ù é 1 ù 1 1 3 = ê( s + 2 ) = = ú ê s ( s + 3)ú 3 2 ( ) ( ) s s + 2 s + 3 û s = -2 ë û s = -2 ë 22
[
]
ù üï 1ìd 1 ìï d é 1 ü 3 3 = í ê (s + 2 ) = C2 = í (s - s3 ) F ( s ) ý úý 3 1! î ds þ s = s3 1! ïî ds ë s (s + 2 ) (s + 3)û ïþ s = -2 é 1 1 1 ì d é 1 ùü 1 -1 ù 1 1 1 -1 1 1 1 = í ê = + = + = + = ý ê ú ú 2 2 2 ( ) 1! î ds ë s s + 3 û þ s = -2 ë s s + 3 s (s + 3) û s = -2 41 - 2 1 4 2 4
[
]
ü 1 ì d2 3 C1 = í 2 (s - s1 ) F ( s ) ý 2! î ds þ
s = s1
1 ì d 2 é 1 ùü = í 2ê ý 2! î ds ë s (s + 3)úû þ
= s = -2
-1 -1 -1 -1 1é 2 1 1 ( -1) ( -2) ù = ê 3 + 2 + + = ú 2 2 2 3 2 ë s s + 3 s (s + 3) s (s + 3) s (s + 3) û s =-2 1æ 2 1 1 1 1 2 ö 1 æ 1 ö 1 æ - 3ö - 3 = ç + 2+ 2+ ÷ = ç - 1÷ = ç ÷ = 3 2 è - 8 1 4.1 4.1 - 2 1 ø 2 è 4 ø 2 è 4 ø 8 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 Þ F (s) = + + 24 s 3 s + 3 8 s + 2 4 (s + 2 )2 2 (s + 2 )3 odtud podle operátorového slovníku dostáváme hledaný originál f (t ) =
1 1 -3t 3 - 2t 1 - 2t 1 2 - 2t + e - e + te t e 24 3 8 4 2 .2
23
Příklady řešení diferenciálních rovnic pomocí Laplaceovy transformace Příklad DL1: Určete řešení diferenciální rovnice
y ' ' (t ) + 5 y ' (t ) + 6 y (t ) = 12u (t ) , pro kterou platí počáteční podmínky y (0) = 2, y ' (0) = 0
ì 0 pro t < 0 a budící funkcí je jednotkový skok, tj. u (t ) = í î 1 pro t ³ 0 Použitím věty o derivování originálu, věty o linearitě a skutečnosti, že obraz levé strany rovnice se rovná obrazu pravé strany, dostáváme: L{y ' ' (t ) + 5 y ' (t ) + 6 y (t )} = L{12u (t )}
[s 2 Y (s) - s y(0) - y' (0)]+ 5[s Y (s) - y(0)] + 6Y (s) = 12U (s) 1 s /. 2 Y ( s ) [s 2 + 5s + 6] = 2 s + 10 + 12 s s + 5s + 6 2 s 2 + 10 s + 12 2 Y ( s) = = Þ 2 s s s + 5s + 6
(
)
y (t ) = L-1{Y ( s )} = 2 24
Příklad DL2: Určete řešení diferenciální rovnice
y ' (t ) + 3 y (t ) = e - 2t s počáteční podmínkou y ( 0) = 0 řešení:
{ }
L{y ' (t ) + 3 y (t )} = L e - 2t
[s Y ( s) - y(0)] + 3Y ( s) = Y ( s ) [s + 3] - 0 = Y ( s) =
1
1 s+2
1 s+2
(s + 2 )(s + 3)
=
A1 A + 2 s+2 s+3
é 1 ù é 1 ù ( ) A1 = [(s + 2 )Y ( s )]s =-2 = ê 1 , A [ s 3 Y ( s ) ] = -1 = = + = 2 s = -3 ú ê ú ë s + 3 û s = -2 ë s + 2 û s = -3 1 1 Þ Y (s) = Þ y (t ) = L-1 { Y ( s )} = e - 2t - e -3t 25 s+2 s+3
Příklad DL3:
Určete řešení diferenciální rovnice y ' ' (t ) + 4 y (t ) = 0 s počátečními podmínkami
y (0) = 1,
y ' (0) = 0
řešení:
L{y ' ' (t ) + 4 y (t )} = L{ 0 }
[ s 2 Y (s) - s y(0) - y' (0)]+ 4Y (s) = 0 Y ( s ) [ s 2 + 4] - s - 0 = 0 Y ( s) =
s s2 + 4
Þ
y (t ) = L-1{Y ( s )} = cos 2t 26
Příklad DL4.
Určete řešení diferenciální rovnice y ' ' (t ) + 2 y ' (t ) - 15 y (t ) = t + e t ,
platí-li počáteční podmínky y (0) = 0, řešení:
y ' (0) = 1.
[ s Y (s) - s y(0) - y' (0)]+ 2 [s Y (s) - y(0)] - 15Y (s) = s1 + s 1- 1 [ s Y (s) - s × 0 - 1]+ 2 [s Y (s) - 0] - 15Y (s) = s1 + s 1- 1 (s + 2s - 15) Y (s) = 1 + s1 + s 1- 1 2
2
2
2
2
2
( s - 3)( s + 5)Y ( s ) = Y ( s) =
s 2 ( s - 1) + s - 1 + s 2 s 2 ( s - 1)
s3 + s - 1 s 2 ( s - 1)( s - 3)( s + 5)
=
A B C D E + 2+ + + = ... s s s -1 s - 3 s + 5
... dopočítat konstanty A, B, … , E, pak t
3t
y (t ) = A + Bt + Ce + De + Ee
-5t
27
Příklad DL5.
Určete řešení diferenciální rovnice
y ' ' (t ) + 4 y ' (t ) + 8 y (t ) = h (t ) + e - 2t , řešení
(i) pomocí residuové věty
1 1 s 2Y ( s) + 4 s Y ( s ) + 8 Y ( s ) = + s s+2 2s + 2 2s + 2 Y (s) = = s ( s + 2)( s 2 + 4 s + 8) s ( s + 2) [s - (-2 + 2 j )][s - (-2 - 2 j )] s1 = 0, s2 = -2, s3,4 4
[
L {Y ( s )} = y (t ) = å res Y ( s ) e -1
jsou-li počáteční podmínky nulové
i =1
- 4 ± 4 2 - 4.1.8 = Þ s3 = -2 + 2 j , s4 = -2 - 2 j 2 .1 st
]
4
s = si
[
]
= å lim ( s - si )Y ( s ) e st = i =1 s ® si
é é 2s + 2 2s + 2 st ù st ù = lim ê e ú + lim ê e ú+ 2 s ® 0 ë ( s + 2)( s 2 + 4 s + 8) s ® 2 û ë s( s + 4 s + 8) û é 2s + 2 ù é 2s + 2 ù e st ú + lim ê e st ú = + lim ê s ® -2 + 2 j ë s ( s + 2)[s - ( -2 - 2 j )] û s ® -2 - 2 j ë s ( s + 2)[s - (-2 + 2 j )] û 2 0.t - 2 - 2t -2+4j -2-4j e + e + e( -2 + 2 j )t + e ( -2 - 2 j ) t = 2.8 (-2).4 (-2 + 2 j ).2 j.4 j ( -2 - 2 j ).(-2 j ).(-4 j ) 1 1 1 - 1 + 2 j ( -2 + 2 j ) t 1 - 1 - 2 j ( -2 - 2 j ) t 28 = + e - 2t + e + e = 8 4 8 1- j 8 1+ j =
1 1 = + e - 2t 8 4 1 1 = + e - 2t 8 4 1 1 = + e - 2t 8 4 1 1 = + e - 2t 8 4 1 1 = + e - 2t 8 4 1 1 = + e - 2t 8 4
1 - 1 + 2 j 1 + j ( -2 + 2 j ) t 1 - 1 - 2 j 1 - j ( -2 - 2 j ) t e e + = 8 1- j 1+ j 8 1+ j 1- j - 3 + j ( -2+ 2 j )t - 3 - j ( -2 - 2 j )t e e + + = 16 16 - 3 + j - 2t - 3 - j - 2t e (cos 2t + j sin 2t ) + e (cos 2t - j sin 2t ) = + 16 16 1 + e- 2t [(-3 + j )(cos 2t + j sin 2t ) + (-3 - j )(cos 2t - j sin 2t )] = 16 1 + e- 2t [- 3 cos 2t - 3 j sin 2t + j cos 2t - sin 2t - 3 cos 2t + 3 j sin 2t - j cos 2t - sin 2t ] = 16 3 1 - e - 2t cos 2t - e - 2t sin 2t 8 8 +
(ii) s využitím 10. a 11. řádku operátorového slovníku Y (s) =
2s + 2 s ( s + 2)( s 2 + 4 s + 8)
=
A B Cs + D + + 2 s s + 2 s + 4s + 8
2 s + 2 = A( s + 2)( s 2 + 4 s + 8) + Bs( s 2 + 4 s + 8) + (Cs + D ) s ( s + 2) 2 s + 2 = A( s 3 + 6 s 2 + 16s + 16) + B( s 3 + 4 s 2 + 8s) + Cs 3 + 2Cs 2 + Ds 2 + 2 Ds 2 s + 2 = s3 ( A + B + C ) + s 2 (6 A + 4 B + 2C + D) + s (16 A + 8 B + 2 D ) + 16 A
29
2 s + 2 = s3 ( A + B + C ) + s 2 (6 A + 4 B + 2C + D ) + s (16 A + 8 B + 2 D ) + 16 A s3 : 0 = A + B + C
(1)
s 2 : 0 = 6 A + 4 B + 2C + D
( 2)
s1 : 2 = 16 A + 8 B + 2 D
(3)
s 0 : 2 = 16 A
( 4)
1 -3 - 4C Þ C = 8 2 1 3 1 6 6 (1) Þ B = - A - C = - + = (2) Þ D = -6 A - 4 B - 2C = - - 1 + = -1 8 8 4 8 8 -3 8 s -1 s+ 11 1 1 -3 11 1 1 3 = + + = Þ Y ( s) = + + 28 2 2 8 s 4 s + 2 s + 4 s + 8 8 s 4 s + 2 8 (s + 2 ) + 2 ( 4) Þ A =
1 8
=
-2(2) + (3) :
2 = 4 A - 4C =
ù 11 1 1 3é s+2 1 2 + - ê + ú= 2 2 2 2 8 s 4 s + 2 8 ë (s + 2 ) + 2 3 (s + 2 ) + 2 û
11 1 1 3 s+2 1 2 + 8 s 4 s + 2 8 (s + 2 )2 + 2 2 8 (s + 2 )2 + 22 1 1 3 1 Þ y (t ) = + e - 2t - e - 2t cos 2t - e - 2t sin 2t 8 4 8 8 =
30
(iii) výpočtem v softwaru [MATLAB, MATHEMATICA, …]
31
§
Z R ( s) = R
odpor, indukčnost, kapacita
u R (t ) = R i (t ) uL (t ) = L
paralelní řazení
1 ZC ( s) = Cs
U R (s) = R I (s)
di (t ) dt
U L ( s) = L s I (s )
U ( s) = Z ( s) I ( s)
1 U C ( s) = I ( s) Cs
1 uC (t ) = ò i (t ) dt C
sériové řazení
Z L ( s) = L s
Z1
Z2 Z1 Z2
Z = Z1 + Z 2 Z=
(( Z ) 1
-1
+ ( Z2 )
æ Z 2 + Z1 ö =ç ÷ Z Z è 1 2 ø
-1
)
-1 -1
Z1Z 2 = Z1 + Z 2
æ 1 1 ö =ç + ÷ Z Z è 1 2ø 32
-1
=
§ Příklad E2:
R1
i(t)
C R2
u1(t)
u2(t)
U2 (s) Z 2 ( s ). I ( s ) Z 2 ( s) R2 = = = = U1 ( s ) [Z1 ( s ) + Z 2 ( s )]. I ( s ) Z1 ( s ) + Z 2 ( s ) é -1 ù -1 -1 æ 1 ö ( R ) ê 1 + ç ÷ ú + R2 è Cs ø ûú ëê =
R2
-1
é1 ù Cs + êR ú + R2 ë 1 û R2 + R1R2Cs = R1 + R2 + R1R2Cs
Þ U 2 ( s ) = U1 ( s )
=
R2 é1 + R1Cs ù ê R ú ë û 1
=
-1
+ R2
R2
R1 + R2 1 + R1Cs
=
R2 = R1 + R2 + R1R2Cs 1 + R1Cs
ì R2 + R1R2Cs R2 + R1R2Cs ü Þ u2 (t ) = L-1 íU1 ( s ) ý R1 + R2 + R1R2Cs R1 + R2 + R1R2Cs þ î
33
Vnější popis dynamických vlastností regulačních systémů u(t)
regulovaná soustava (řízený systém)
y(t)
§ statické vlastnosti regulačních systémů - vztahy mezi ustálenou hodnotou výstupní veličiny systému y = lim y (t ) t→∞
a ustálenou hodnotou vstupní veličiny systému u = lim u (t ) t→∞
§ dynamické vlastnosti regulačních systémů - v přechodovém stavu vnější popis pomocí (i) − (vii):
1
(i) lineární diferenciální rovnice a n y ( n ) (t ) + a n −1 y ( n −1) (t ) + L + a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = bm u ( m ) (t ) + L + b1 u ' (t ) + b0 u (t ) , kde m ≤ n (podmínka fyzikální realizovatelnosti)
(ii) přenos - poměr Laplaceova obrazu výstupní veličiny k Laplaceově obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách G ( s) =
L{y (t )} Y ( s ) = L{u (t )} U ( s )
a n s nY ( s ) + an −1 s n −1Y ( s ) + L + a1 s Y ( s ) + a0 Y ( s ) = bm s m U ( s ) + L + b1 s U ( s ) + b0 U ( s ) ⇒ G( s) =
bm s m + L + b1 s + b0 an s n + L + a1 s + a0 2
(iii) impulsní charakteristika
0 - graf odezvy na Diracův impuls δ (t ) = ∞ G ( s) =
pro t ≠ 0 pro t = 0
Y ( s ) L{y (t )} L{y (t )} L{y (t )} = = = = L{y (t )} U ( s ) L{u (t )} L{δ (t )} 1
∞
,
∫ δ (t ) dt = 1
−∞
0
t
⇒ y (t ) ≡ g (t ) = L−1{G ( s )} impulsní funkce (analytické vyjádření odezvy na Diracův impuls)
(iv) přechodová charakteristika
0 pro t < 0 1 - graf odezvy na jednotkový skok η (t ) = 0 t 1 pro t ≥ 0 0 Y ( s ) L{y (t )} L{y (t )} L{y (t )} G ( s) = = = = = s L{y (t )} 1 U ( s ) L{u (t )} L{η (t )} s 1 ⇒ y (t ) ≡ h(t ) = L−1 G ( s ) s přechodová funkce (analytické vyjádření odezvy na jednotkový skok)
Vztah mezi g(t) a h(t):
dh(t ) g (t ) = , dt
t
h(t ) = ∫ g (t ) dt 0
3
(v) frekvenční přenos a) jako Fourierova transformace (v komplexním tvaru) ∞
∞
0
0
F {g (t )} = G ( jω ) = ∫ g (t ) e − jω t dt = ∫ g (t ) [cos ω t − j sin ω t ] dt b) poměr výstupních a vstupních harmonických kmitů systému Y ( jω ) G ( jω ) = U ( jω ) úhlová frekvence amplituda vstupního signálu amplituda výstupního signálu fázové posunutí y(t) = y0 sin (ω t+ϕ ) u(t) = u0 sin ω t S Poznámka: u(t) a y(t) mají stejnou frekvenci ω , ale rozdílnou fázi a amplitudu. Při odvozování vztahu pro frekvenční přenos je výhodnější než sinusovou funkci zvolit obecnější harmonickou funkci jω t j (ω t +ϕ )
u (t ) = u 0 e
, y (t ) = y0 e
(∗ ∗)
Poznámka: Relace mezi přenosem a frekvenčním přenosem spočívá v záměně operátoru s operátorem jω a naopak. 4 (Lze odvodit dosazením vztahů (∗ ∗) a jejich derivací do diferenciální rovnice (i).)
(vi) frekvenční charakteristika v komplexní rovině (hodograf) - charakteristika, kterou získáme z frekvenčního přenosu vyjádřeného ve složkovém tvaru pro úhlové frekvence z rozsahu ω=0 až ω=∞ [rad/sec]. Y ( jω ) = Re(ω ) + j Im(ω ) = A(ω ) e jϕ (ω ) , G ( jω ) = U ( jω ) Im kde A(ω ) = G ( jω ) = Re 2 (ω ) + Im 2 (ω ) , Im(ω ) modul Re(ω ) fáze frekvenčního přenosu ϕ (ω ) = arctg
0
ω=∞ 0
(vii) logaritmická frekvenční charakteristika - amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika A[dB] A [dB] = 20 log G ( jω ) -
20 logK fázová logaritmická frekvenční charakteristika 0 dekadický logaritmus
ϕ 0 0 −90
je na nich lépe než v hodografu vidět eventuální rezonanční převýšení, logaritmická proto, aby zachytila široké pásmo frekvencí.
ω=0 K
G ( jω ) =
Re
K 1 + jω T
−2 0
dB /de k ω =1/T
ω
5
Příklad (i)→(ii). Určete přenos systému, je-li dána diferenciální rovnice a) 4 y ' ' ' (t ) + 2 y ' ' (t ) + 7 y ' (t ) + y (t ) = 4u ' (t ) + 5u (t ) b) y ( 4) (t ) + 3 y ' ' ' (t ) + 5 y ' ' (t ) + 6 y ' (t ) + 0,5 y (t ) = 2u ' ' (t ) + 3u ' (t ) řešení: ad a) 4 s 3Y ( s ) + 2 s 2Y ( s ) + 7 s Y ( s ) + Y ( s ) = 4 s U ( s ) + 5U ( s ) Y ( s) 4s + 5 G ( s) = = U ( s ) 4s 3 + 2s 2 + 7 s + 1
Y (s) 2s 2 + 3s = 4 ad b) G ( s) = U ( s ) s + 3s 3 + 5s 2 + 6s + 0,5
Příklad (ii)→(i). Určete diferenciální rovnici systému, je-li dán jeho přenos 5s + 2
a) G1 ( s ) =
b) G2 ( s) =
s 4 + 2s 3 + 7 s 2 + s + 1 Y (s) 5s + 2 řešení: ad a) G1 ( s ) = = 4 U (s) s + 2s 3 + 7 s 2 + 4s + 1 ⇒
s(s + 1)
5s 2 + 0,5s + 6
(s 4 + 2s 3 + 7s 2 + 4s + 1)Y (s) = (5s + 2)U (s) s 4Y ( s ) + 2 s 3Y ( s ) + 7 s 2Y ( s ) + 4 sY ( s ) + Y ( s ) = 5s U ( s ) + 2U ( s ) y ( 4) (t ) + 2 y ' ' ' (t ) + 7 y ' ' (t ) + 4 y ' (t ) + y (t ) = 5u ' (t ) + 2u (t )
ad b)
5 y ' ' (t ) + 0,5 y ' (t ) + 6 y (t ) = u ' ' (t ) + u ' (t )
6
Příklad (i)→(iii), (i)→(iv). Systém je popsán diferenciální rovnicí y ' ' (t ) + 5 y ' (t ) + 4 y (t ) = 2u (t )
Určete (a) impulsní funkci systému (b) přechodovou funkci systému řešení:
s 2 Y ( s ) + 5 s Y ( s ) + 4 Y ( s ) = 2U ( s ) Y ( s) = ⇒
2 s + 5s + 4 2
−1
U (s ) ⇒ Y ( s) =
2
(s + 1)(s + 4 )
U (s)
y (t ) = L U ( s) ( s + 1 )( s + 4 ) 2
ad a) u (t ) = δ (t ) ⇒ U ( s) = 1 ⇒
(
)
2 −t 2 − 4t y (t ) = L−1 = e −e (s + 1)(s + 4 ) 3 a = 1, b = 4, b − a = 3 7
ad b)
u (t ) = η (t ) A3 A2 2 −1 −1 A1 ⇒ y t = L = L + + ( ) 1 ( )( ) s s + s + s s + s + 1 4 1 4 U (s) = s 2 2 2 1 = = = A1 = s ⋅ s (s + 1)(s + 4 ) s =0 (s + 1)(s + 4 ) s =0 1.4 2 2 2 2 2 = = = − A2 = (s + 1) ⋅ s (s + 1)(s + 4 ) s = −1 s (s + 4 ) s = −1 (−1).3 3 2 2 2 1 = A3 = (s + 4 ) ⋅ = = s (s + 1)(s + 4 ) s = −4 s (s + 1) s = −4 (−4).(−3) 6 ⇒
1 1 1 2 −t 1 − 4t 1 1 2 1 y (t ) = L−1 ⋅ − ⋅ + ⋅ = − e + e 6 2 s 3 s + 1 6 s + 4 2 3
jiný způsob výpočtu
A1 , A2 , A3
2 A A A = 1+ 2 + 3 s (s + 1)(s + 4 ) s s + 1 s + 4
/ . s (s + 1)(s + 4 )
2 = A1 (s + 1)(s + 4 ) + A2 s (s + 4 ) + A3s (s + 1) 2 = s 2 ( A1 + A2 + A3 ) + s (5 A1 + 4 A2 + A3 ) + 4 A1 s2 :
0 = A1 + A2 + A3
s1 :
0 = 5 A1 + 4 A2 + A3
s0 :
2 = 4 A1 ⇒ A1 =
1 2
1 + A2 + A3 2 5 0 = + 4 A2 + A3 2 4 2 0 = + 3 A2 ⇒ A2 = − 2 3
0=
0=
1 2 1 − + A3 ⇒ A3 = 2 3 6
8
Příklad (ii)→(iv), … . Systém je popsán přenosem G ( s) =
1 s+2
Určete jeho odezvu na a) jednotkový skok
0 , t < 0 u (t ) = 1 , t ≥ 0
b) exponenciální funkci u (t ) = e −5t , t ≥ 0 řešení:
G ( s) =
Y (s) U (s)
ad a) y (t ) = L−1
⇒ Y ( s ) = G ( s )U ( s ) ⇒
(
1 1 1 ⋅ = 1 − e − 2t s + 2 s 2
ad b) y (t ) = L−1
(
)
1 1 1 − 2t −5t ⋅ = e −e s + 2 s + 5 3 a = 2, b = 5, b − a = 3
y (t ) = L−1{G ( s )U ( s )}
[přechodová funkce]
) 9
3s + 5
Příklad (ii)→(v). Systém je popsán přenosem G ( s) = 3 4s + 2s 2 + 6 s + 1 Určete jeho frekvenční přenos řešení:
s ≈ j ω ⇒ G ( jω ) =
3 jω + 5
4( jω )3 + 2( jω )2 + 6 jω + 1
Příklad (i)→(v). Systém je popsán diferenciální rovnicí 3 y ' ' ' (t ) + 2 y ' ' (t ) + 4 y ' (t ) + y (t ) = 2u ' (t ) + 3u (t )
Určete jeho frekvenční přenos y (t ) = y0 e j (ω t +ϕ )
řešení: a) dosazení u (t ) = u0 e jω t ,
a jejich derivací do diferenciální rovnice a její úpravou b) vypočtení (Laplaceova) přenosu G(s) a nahrazení s hodnotou jω 3s 3Y ( s ) + 2 s 2Y ( s ) + 4 s Y ( s ) + Y ( s ) = 2 s U ( s ) + 3U ( s )
[
]
Y ( s ) 3s 3 + 2 s 2 + 4 s + 1 = U ( s ) [2 s + 3] Y (s) 2s + 3 = 3 ⇒ 2 U ( s ) 3s + 2 s + 4 s + 1 Y ( jω ) 2 jω + 3 ⇒ G ( jω ) = = U ( jω ) 3( jω )3 + 2( jω )2 + 4 jω + 1 G(s) =
10
Příklad (v)→(ii)→(i). Systém je popsán frekvenčním přenosem G ( jω ) =
2( jω )2 + 6 jω + 5
4( jω )3 + 2( jω )2 + 3 jω + 1
Určete jeho (Laplaceův) přenos a diferenciální rovnici řešení: Y (s) 2 s 2 + 6s + 5 G ( s) = = 3 U ( s ) 4 s + 2 s 2 + 3s + 1
[
]
[
]
Y ( s ) 4 s 3 + 2 s 2 + 3s + 1 = U ( s ) 2 s 2 + 6 s + 5
4 s 3Y ( s ) + 2 s 2Y ( s ) + 3 s Y ( s ) + Y ( s ) = 2 s 2 U ( s ) + 6 s U ( s ) + 5U ( s ) 4 y ' ' ' (t ) + 2 y ' ' (t ) + 3 y ' (t ) + y (t ) = 2u ' ' (t ) + 6u ' (t ) + 5u (t )
11
Příklad (v)→(vi). Systém je popsán frekvenčním přenosem G ( jω ) =
1 1 + jω
Nakreslete jeho frekvenční charakteristiku v komplexní rovině. řešení: G ( jω ) = ω 0 0,2 0,5 1 2 3 4 5 10 15 20 50 ∞
1 1 1 − jω 1 − jω 1 −ω = ⋅ = = + j 1 + jω 1 + jω 1 − jω 1 + ω 2 1 + ω 2 1+ ω 2
Re(ω) 1 0,962 0,800 0,500 0,200 0,100 0,059 0,038 0,010 0,004 0,002 0,000 0
Im(ω) 0,000 -0,192 -0,400 -0,500 -0,400 -0,300 -0,235 -0,192 -0,099 -0,066 -0,050 -0,020 0
Re(ω)
Im(ω)
Im 0 0 ω=∞
ϕ
0,5
1 ω=0
Re
A(ω) −0,5
ω=2
G ( jω ) =
ω=0,5 ω=1
Y ( jω ) = Re(ω ) + j Im(ω ) = A(ω ) e jϕ (ω ) , U ( jω )
kde A(ω ) = G ( jω ) = Re 2 (ω ) + Im 2 (ω ) , ϕ (ω ) = arctg
Im(ω ) Re(ω )
12
jϕ
Im
y j arctg x y2 e
y
c = x + jy =| c | e = x + Sestrojte frekvenční charakteristiky pro systémy s přenosy:
Příklad (ii)→(vi)1. a) G ( s) = k
⇒
s
b) G ( s) = k.s
⇒
2
0 0 k 2 ω j arctg 0 e
G ( jω ) = k jω = j kω = kω e jω
s
ω
Im
s
a)
Im b)
00
ω=∞ ω=0
Re
=
( j ω )2
Im c)
ω=∞ 0 ω=0 0
k
Re
−k ω2
=
k ω
e 2
tg 90 = ∞, arctg ∞ = 90 2 j arctg -k k aω e 2
ω
Re ω=∞ ω=0
0 −k ω2
Im
=
k ω
j arctg
kω a
j ( −180 e 2
o
)
Im
ω=∞
d)
00 a
k j ( −90o ) = e ω
o
j arctg
G ( jω ) =
Re
tg 0o = 0, arctg 0 = 0o
j 90o
d) G ( s) = k.s + a ⇒ G ( jω ) = k jω + a = a + j kω = a 2 + k 2ω 2 e ⇒
x
−
k k k j k = ⋅ = − j = 02 + − G ( jω ) = jω jω j ω ω
c) G ( s) = k + a ⇒ G ( jω ) = k + a = a − j k = a 2 +
e) G ( s) = k 2
|c| ϕ
0
ω=0 Re
0 a
e) ω=0
0 ω=∞ 0 13
Re
o
Příklad (ii)→AF1. k Určete amplitudu a fázi systému s přenosem G ( s ) = 1 + Ts řešení: k 1 + Ts k k k 1 − jTω k (1 − jTω ) − kTω j = = + = ⇒ G ( jω ) = = ⋅ 2 2 1 + jTω 1 + jTω 1 − jTω 1 + T 2ω 2 1 + T 2ω 2 1+ T ω G(s) =
− kTω 2 2 j arctg 1+T ω k 2 1+T 2ω 2 e
2
k − kTω + = 2 2 2 2 1 + T ω 1 + T ω =
k 1 + T 2ω 2
G ( jω ) =
=
k 2 (1 + T 2ω 2 )
(1 + T ω ) 2
2 2
e j arctg( −Tω ) =
e j ( −arctg Tω )
k 1 + jTω
⇒ | G ( jω ) |=
k 1+ T ω 2
2
, ϕ (G ( jω )) = −arctg Tω 14
♣
Poznámka 1: Protože c11c12 K c1n c21c22 K c2 m
=
| c11 | e jϕ11 c12 | e jϕ12 L | c1n | e jϕ1n | c21 | e
jϕ 21
c22 | e
jϕ 22
L | c2 m | e
jϕ 2 m
=
| c || c | L | c1n | j (ϕ11 +ϕ12 + K +ϕ1n −ϕ 21 −ϕ 22 −K−ϕ 2 m ) e = 11 12 | c21 || c22 | L | c2 m |
lze výsledky předchozích 2 příkladů zobecnit takto: G ( s) =
k sn
⇒ | G ( j ω ) |=
G ( s) = ks n G ( s) = G ( s) =
k
(1 + Ts )n
k o G j n , ϕ ( ( ω )) ( 90 ) = − n ω
⇒ | G ( jω ) |= kω n , ϕ (G ( jω )) = n 90o k , ϕ (G ( jω )) = n (−arctg Tω ) ⇒ | G ( j ω ) |= n 1 + T 2ω 2
(
)
k k , ⇒ | G ( jω ) |= 2 2 2 2 2 2 (1 + T1s )(1 + T2 s )L(1 + Tn s ) 1 + T1 ω 1 + T2 ω L 1 + Tn ω
G ( s) = k (1 + Ts )n
(
ϕ (G ( jω )) = −arctg T1ω − arctg T2ω −L − arctg Tnω
)n
⇒ | G ( jω ) |= k 1 + T 2ω 2 , ϕ (G ( jω )) = n arctg Tω
G ( s) = k (1 + T1s )(1 + T2 s )L(1 + Tn s ) ⇒
| G ( jω ) |= k 1 + T12ω 2 1 + T22ω 2 L 1 + Tn2ω 2 , ϕ (G ( jω )) = arctg T1ω + arctg T2ω + L + arctg Tnω 15
,
♣
Příklad (ii)→AF2. Určete amplitudu a fázi systému s přenosem G ( s) =
k (1 + T1s )
s 2 (1 + T2 s )(1 + T3 s )
řešení: G( s) =
k (1 + T1s )
s 2 (1 + T2 s )(1 + T3 s )
⇒ | G ( jω ) |=
k 1 + T12ω 2 ω
2
1 + T22ω 2
1 + T32ω 2
,
ϕ (G ( jω )) = −180o + arctg T1ω − arctg T2ω − arctg T3ω
16
Příklad (ii)→(vi)2. Sestrojte frekvenční charakteristiku systému s přenosem 2 G ( s ) = řešení: 3s 2 + 1,5s + 1 G ( jω ) =
2
3( jω )2 + 1,5 jω + 1
=
2
((
)
2 1 − 3ω 2 − j1,5ω
)=
2 − 6ω 2
3ω
(1 − 3ω 2 )+ j1,5ω (1 − 3ω 2 )2 + (1,5ω )2 (1 − 3ω 2 )2 + (1,5ω )2 (1 − 3ω 2 )2 + (1,5ω )2 =
−j
ω 0
Re 2,000
Im 0,000
0,2
2,036
-0,694
0,3
1,985
-1,224
0,4
1,650
-1,904
0,5
0,800
-2,400
0,6
-0,196
-2,205
0,8
-0,805
-1,050
1
-0,640
-0,480
1,2
-0,466
-0,252
1,5
-0,302
-0,118
2
-0,169
-0,046
5
-0,027
-0,003
10
-0,007
0,000
17
G ( s) =
k s (T s + 1)2
G ( s) =
ks (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)
18
G ( s) =
k (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)
G ( s) =
k s 2 (T s + 1)
G ( s) =
G ( s) =
k
(T s + 1)2
ks
2
(T s + 1)2
| G ( j ω ) |=
kω 2 T 2ω 2 + 1 kω 2
⇒ lim | G ( jω ) | = lim ω →∞
= lim
ω →∞
2kω 2T ω 2
ω →∞ T 2ω 2
= lim
ω →∞
2k 2T
2
=
[ L ' Hospitalov o pravidlo ]
19
+1
k T2
=
G ( s) =
k s (T s + 1)
G ( s) =
Im
−kT
0 0
k s (T1s + 1)(T2 s + 1) Im
Re
ω=∞
− k(T1+T2)
0
Re
0 ω=∞
ω=0 k k k 1 1 −Tω − j k −Tω − j = = = = jω (Tjω + 1) ω − Tω + j ω − Tω + j − Tω − j ω T 2 ω 2 + 1 k − Tω −1 − kT −k = 2 2 + j 2 2 + j = 2 2 2 ω T ω +1 T ω +1 T ω + 1 ω(T ω 2 + 1)
G ( jω ) =
ks T s +1
Im
ks (T1s + 1)(T2 s + 1)
Im
ω=1/T ω=∞
0
0
ω=0
G ( s) =
k/T
0 ω=0
Re
0
G ( s) =
ω=0
ω=∞
k/(T1+T2)
Re 20
Poznámka 2: Pro amplitudové logaritmické frekvenční charakteristiky platí: G (s) =
k k n ⇒ | ( ) | = ⇒ [ dB ] = 20 log | ( ) | = 20 (log − log ) = 20 log k − 20n log ω G j ω A G j ω k ω n n s ω pro ω = 1 : A[dB] = 20 log k ⇒ přímka se sklonem − 20n dB/dek pro ω = 10 : A[dB] = 20 log k − 20n
G ( s ) = ks n ⇒| G ( jω ) |= kω n ⇒ A[dB] = 20 log | G ( jω ) | = 20(log k + log ω n ) = 20 log k + 20n log ω pro ω = 1 : A[dB] = 20 log k ⇒ přímka se sklonem + 20n dB/dek pro ω = 10 : A[dB] = 20 log k + 20n k k G ( s) = ⇒ | G ( jω ) | = (1 + T1s )(1 + T2 s )(1 + T3s ) 1 + T12ω 2 1 + T22ω 2 1 + T32ω 2
(
⇒ A[dB] = 20 log | G ( jω ) | = 20 log k − log 1 + T12ω 2 − log 1 + T22ω 2 − log 1 + T32ω 2
)
Jestliže T1 > T2 > T3 , pak pro ω1=1/T1, ω2=1/T2 , ω3=1/T3 je ω1 < ω2 < ω3. Sestrojíme asymptotickou amplitudovou logaritmickou frekvenční charakteristiku pro intervaly úhlových frekvencí (0, ω1], [ω1, ω2], [ω2, ω3], [ω3 , ∞). Asymptoty: pro ω << ω1: A[dB] ≈ 20(log k−log1−log1−log1)=20 log k, rozšíříme na (0, ω1], obdobně proω∈[ω1, ω2]: A[dB] ≈ 20(log k−logT1ω −log1−log1)= 20log k−20logT1ω ; -20dB/dek ω∈[ω2, ω3]: A[dB] ≈ 20log k−20logT1ω −20logT2ω ; -40dB/dek ω∈[ω3, ∞): A[dB] ≈ 20log k−20logT1ω −20logT2ω −20logT3ω ; -60dB/dek 21
V úhlových frekvencích ω1=1/T1, ω2=1/T2 , ω3=1/T3 dochází ke zlomu asymptot. Čím jsou hodnoty ω více vzdáleny od ω1, ω2 , ω3 , tím je nahrazení amplitudové logaritmické frekvenční charakteristiky asymptotami přesnější. Největší chyba nastává pro ω =ω1, ω =ω2 a ω =ω3. Např. pro ω =ω1 dostaneme: A[dB] ≈ 20(log k−log √2−log1−log1) ≈ 20log k −3 dB. Skutečný průběh je tedy ve zlomu o 3 dB níže, než udávají asymptoty. Členy (1+Ti ω) v čitateli přenosu způsobí ve zlomech ωi=1/Ti relativní změnu sklonu asymptoty o +20 dB/dek.
A[dB] 20 log k
0dB/dek
ϕ[º] 0 0
−4 0 − 60
0
−20
ω1 ω2 ω3
ω ω
−90 −180 −270 22
Příklad (ii)→(vii)1.
100 s (0.5s + 1) Sestrojte amplitudovou a fázovou logaritmickou G ( s ) = frekvenční charakteristiku systému s přenosem (5s + 1)( s + 1)(0.2s + 1)2 řešení: ω1=1/5=0.2, ω2=1/1=1, ω3=1/0.5=2, ω4=1/0.2=5
23
G( s) =
100 s (0.5s + 1)
(5s + 1)( s + 1)(0.2s + 1)
2
⇒ ω1=1/5=0.2, ω2=1/1=1, ω3=1/0.5=2, ω4=1/0.2=5
24
Příklad (ii)→(vii). G ( s) =
k0
T02 s 2 + 2ξT0 s + 1 k0 ξ > 1 : G( s) = (T1s + 1) (T2 s + 1) k0 ξ = 1 : G( s) = (T0 s + 1) 2
0 < ξ < 1 : G ( s ) nemá reálné póly k ξ = 0 : G ( s ) = 2 20 T0 s + 1
k0=1, T0=1
25
Příklad: Diferenciální rovnice, přenos, frekvenční přenos, frekvenční charakteristika, impulsní charakteristika, přechodová charakteristika a)
y ' ' (t ) + 5 y ' (t ) + 6 y(t ) = 10 u ' (t ) + u (t )
b)
s 2 Y ( s ) + 5 s Y ( s) + 6 Y ( s ) = 10U ( s) + 1 G ( s) =
Y ( s) 10s + 1 10s + 1 10s + 1 = 2 = = U ( s) s + 5s + 6 ( s + 2)( s + 3) 6(0.5s + 1)(1 s + 1) 3
c) G ( jω ) = =
10 jω + 1 ( jω ) + 5 jω + 6 2
6 + 49ω 2 (6 − ω 2 ) 2 + 25ω 2
+j
=
[
(10 jω + 1) (6 − ω 2 ) − 5 jω
[(6 − ω
2
][
]
) + 5 jω ( 6 − ω ) − 5 jω 2
]=
55ω − 10ω 3 (6 − ω 2 ) 2 + 25ω 2
29 10 s + 1 −1 − 19 − 2t −3t d) u (t ) = δ (t ) ⇒ y (t ) ≡ g (t ) = L−1 + = −19e + 29e =L s + 2 s + 3 ( s + 2)(s + 3) 29 1 1 19 − 2t 29 −3t 1 10s + 1 −1 1 1 19 1 e) u (t ) = η (t ) ⇒ y (t ) ≡ h(t ) = L−1 − = + e − e =L + 3 6 s 2 s + 2 3 s + 3 6 2 s ( s + 2)( s + 3)
26
Systémy s dopravním zpožděním zpoždění výstupní veličiny o dopravní zpoždění Td vůči vstupní veličině ≡ ≡ posunutí vstupní veličiny o čas −Td (pro teoretické úvahy), diferenciální rovnice a n y ( n ) (t ) + L + a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = bm u ( m ) (t − Td ) + L + b1 u ' (t − Td ) + b0 u (t − Td ) Laplaceova transformace
( an s n + L + a1 s + a0 ) L{y(t )} = ( bm s m + L + b1 s + b0 ) L{u(t − Td )}
Podle věty o posunutí originálu (o dopravním zpoždění) platí L{ f (t − a )} = e − as F ( s )
(
)
(
)
⇒ a n s n + L + a1 s + a0 Y ( s ) = bm s m + L + b1 s + b0 e −Td s U ( s ) Y ( s ) bm s m + L + b1 s + b0 −Td s ⋅e ⇒ G(s) = = n U ( s ) a n s + L + a1 s + a0 ⇒ frekvenční přenos
Y ( s ) bm ( jω )m + L + b1 jω + b0 −Td jω G ( jω ) = = ⋅e U ( s ) an ( jω )n + L + a1 jω + a0
27
Poznámka DZ1. Systém s čistým dopravním zpožděním má přenosy: G ( s ) = e −Td s , G ( jω ) = e −Td jω Protože e −Td jω = cos ω Td − j sin ω Td , je jeho frekvenční charakteristikou jednotková kružnice.
Im 1
−1
0 0
ω=k 1 ω=0
2π Td
Re
−1
Poznámka DZ2.
Systém s dopravním zpožděním G ( jω ) = A(ω ) e jϕ (ω ) ⋅ e −Td jω = A(ω ) e j (ϕ (ω ) −Tdω ) má v celém rozsahu frekvencí ω ∈< 0,∞) stejný modul jako tentýž systém bez dopravního zpoždění G ( jω ) = A(ω ) e jϕ (ω ) , jeho fáze je však menší o Td ω , a proto se frekvenční charakteristika systémů s dopravním zpožděním 28 spirálovitě otáčí kolem počátku.
Příklad DZ1. Sestrojte frekvenční charakteristiku pro systém s přenosem 0 .5 a Td = 3, 1, 0.5, 0 G ( s) = ⋅ −Td s 2s + 1
e
0.5 0.5 − 2 jω + 1 ⋅ (cos Td ω − j sin Td ω ) = ⋅ e −Td jω = ⋅ 2 jω + 1 2 jω + 1 − 2 jω + 1 0.5 − jω 0.5 cos Td ω − ω sin Td ω − 0.5 sin Td ω − ω cos Td ω = ( cos ω − sin ω ) = + T j T j d d 1 + 4ω 2 1 + 4ω 2 1 + 4ω 2
řešení: G ( jω ) =
Re(ω)
Im(ω)
29
Příklad DZ2. G ( s) =
3s , Td = 2,5 sec ⇒ 1 + 0,8 s
⇒ G (s) =
3s ⋅ e − 2 ,5 s 1 + 0,8 s
Příklad DZ3. G ( s ) = ks ⋅ e −Td s
30
Bloková algebra a) sériové zapojení u
G1(s)
x
y
G2(s)
≡
u
G1(s).G2(s)
y
Y ( s) G2 ( s). X ( s ) G2 ( s).[G1 ( s ).U ( s )] G( s) = = = = G1 ( s ) . G2 ( s ) U (s) U ( s) U (s)
b) paralelní zapojení u
G1(s) G2(s)
G( s) =
x1 y x2
≡
u
G1(s)+G2(s)
y
Y ( s ) X 1 ( s ) + X 2 ( s ) G1 ( s ).U ( s ) + G2 ( s ).U ( s ) = = = G1 ( s ) + G2 ( s ) U (s) U (s) U (s) 1
c) antiparalelní (zpětnovazební) zapojení x1
u
x2
G1(s)
y
≡
u
G1 ( s ) 1 + G1 ( s ). G2 ( s )
y
G2(s)
x1 = u − x2 ⇒ u = x1+ x2 G( s) = =
G ( s ). X 1 ( s ) G1 ( s ). X 1 ( s ) Y ( s) = 1 = = U ( s ) X 1 ( s ) + X 2 ( s ) X 1 ( s ) + G2 ( s ).Y ( s)
G1 ( s ). X 1 ( s) G1 ( s ) = X 1 ( s ) + G2 ( s ).[G1 ( s ). X 1 ( s )] 1 + G1 ( s ). G2 ( s )
obdobně u
x1 x2
G1(s) G2(s)
y
≡
u
G1 ( s ) 1 − G1 ( s ). G2 ( s )
y 2
přenos antiparalelního zapojení =
přenos v přímé větvi 1 ± přenos v přímé větvi ⋅ přenos v zpětné větvi
+ … záporná zpětná vazba − … kladná zpětná vazba modifikace antiparalelního (zpětnovazebního) zapojení
u
m
G(s)
u
y
y
m
≡
u
G( s) 1 ± G( s)
y
≡
u
1 1 ± G( s)
y
G(s) 3
d) řešení překřížených vazeb (i) pravidlo přemístění bodu rozvětvení α) proti směru působení signálu
u
G(s)
y
u
≡ y
y
G(s)
G(s)
y
u
Y ( s) = G ( s) ⋅U ( s) β) ve směru působení signálu
u u
G(s)
y
≡
u u
Y ( s) = G( s) ⋅U ( s) ⇒ U ( s) =
G(s) 1 G(s)
1 ⋅ Y ( s) G ( s)
y y
4
(ii) pravidlo přemístění sumačního uzlu α) proti směru působení signálu
u1
y
G(s)
≡
u2
u1 u2
x
y
G(s)
1 G(s)
Y ( s ) = G ( s ) ⋅ U1 ( s ) + U 2 ( s ) 1 Y ( s ) = G ( s ) ⋅ X ( s ) = G ( s ) ⋅ U1 ( s ) + ⋅ U 2 ( s ) = G ( s ) ⋅ U1 ( s ) + U 2 ( s ) G( s) β) ve směru působení signálu
u1 u2
G(s)
y
≡
u1 u2
G(s)
y
G(s)
Y ( s ) = G ( s ) ⋅ [U1 ( s ) + U 2 ( s )] = G ( s ) ⋅ U1 ( s ) + G ( s) ⋅ U 2 ( s )
5
(iii) komutativní a asociativní pravidlo
y = a+b+c = a+c+b = a+(b+c) y a a ≡ b
c
c
b y
b
y
G1(s)
≡ u
≡
G2(s)
y
a c
b
(iv) předsunutí systému G2 α) z paralelní větve do přímé větve
u
≡
y
a
c 1 G2 ( s )
y
G1(s)
G2(s)
1 Y ( s ) = G2 ( s ) ⋅ G1 ( s ) + 1 ⋅ U ( s ) = (G2 ( s ) + G1 ( s ) ) ⋅U ( s ) G2 ( s ) β) ze zpětné vazby do přímé větve
u
G1(s) G2(s)
Y ( s) =
y
≡
u
1 G2 ( s )
G2(s)
y
G1(s)
G ( s ) ⋅ G1 ( s ) G1 ( s ) 1 ⋅U ( s) = ⋅U ( s) ⋅ 2 G2 ( s) 1 + G2 ( s) ⋅ G1 ( s) 1 + G2 ( s) ⋅ G1 ( s)
6
Příklad 1. Určete přenos obvodu.
u
G1(s)
G2(s)
y
řešení: Není třeba nic přemísťovat, jak je vidět z následujícího ekvivalentního překreslení obvodu.
u
G1(s)
G2(s)
y
G2 ( s ) G1 ( s ) ⋅ G2 ( s ) G1 ( s ) ⋅ G1 ( s ) ⋅ G2 ( s ) 1 + G2 ( s ) 1 + G2 ( s ) G ( s) = = = G2 ( s ) 1 + G2 ( s ) + G1 ( s ) ⋅ G2 ( s ) 1 + G2 ( s ) + G1 ( s ) ⋅ G2 ( s ) 1 + G1 ( s ) ⋅ ⋅1 1 + G2 ( s ) 1 + G2 ( s ) 7
Příklad 2. Určete přenos obvodu.
u
G1(s)
G2(s)
x
G3(s)
y
G4(s) G5(s)
Y(s) = G3(s) X(s)
1. řešení: G4 přemístíme podle pravidla přemístění bodu rozvětvení proti směru signálu
u
G1(s)
x
G2(s) G4(s)
y
G3(s)
y
G3(s)
G5(s)
G2 G1G2 G1 ⋅ 1 + G2 G3G4 1 + G2G3G4 Y ( s) G ( s) = = ⋅ G3 = ⋅ G3 = G 1 + G G G − G G G U ( s) 2 2 3 4 1 2 5 1 − G1 ⋅ ⋅ G5 1 + G2 G3G4 1 + G2G3G4 =
G1G2 G3 1 + G2 G3G4 − G1G2 G5
8
Příklad 3 (= Příklad 2).
u
G1(s)
G2(s)
x
G3(s)
y
G4(s) Y(s) = G3(s) X(s) ⇒ ⇒ X(s) = 1/G3(s) . Y(s)
G5(s)
2. řešení: G5 přemístíme podle pravidla přemístění bodu rozvětvení ve směru signálu
u
G1(s)
G2(s)
G3(s)
y
G4(s) G5(s)
x
1 G3 ( s )
G2 G3 G1 ⋅ 1 + G2G3G4 G1G2 G3 Y ( s) G ( s) = = = G G 1 U (s) 1 + G2 G3G4 − G1G2G5 2 3 1 − G1 ⋅ ⋅ G5 ⋅ 1 + G2 G3G4 G3
9
Příklad 4.
u
G1(s)
x x G5(s)
G2(s)
G4(s)
G3(s)
y
y
1. řešení: G5 přemístit za G2 , Y(s) = G2(s) X(s) ⇒ X(s) = 1/G2(s) . Y(s)
u
G2(s)
G1(s) x G5(s) G3(s) G ( s) =
Y ( s) = U ( s)
y
1 G2 ( s ) G4(s)
y paralelní zapojení, (stejná orientace větví)
y
G1G2 G1G2 = 1 + G1G3 ⋅ [G5 − G2G4 ] 1 1 + G1G2 ⋅ G5 − G4 ⋅ G3 G2
10
Příklad 5. (= Příklad 4)
u
G1(s)
x
G2(s)
x G5(s)
G4(s)
G3(s) 2. řešení: G4 přemístit před G2 , Y(s) = G2(s) X(s)
u
G1(s) G5(s)
y
x
G2(s) y G4(s)
y
G2(s)
y
paralelní zapojení, (stejná orientace větví)
G3(s) G ( s) =
G1 Y ( s) = ⋅ G2 U ( s) 1 + G1 ⋅ [G5 − G2G4 ]⋅ G3
11
Příklad 6. Určete přenos obvodu.
G2(s) u
e
G1(s)
a b
x
y
G3(s)
y (i) přesun 2. sumačního uzlu před G1 X(s) = A(s)+B(s) = G2(s)U(s)+G1(s)E(s)
G2(s) u
e
f1(G1(s))
(∗)
m z
f2(G1(s))
x
G3(s)
y
y X ( s ) = f 2 (G1 ( s)) . Z ( s ) = f 2 (G1 ( s)) .[M ( s ) + E ( s )] = f 2 (G1 ( s)) .[ f1 (G1 ( s )).G2 ( s) .U ( s ) + E ( s )] = = f 2 (G1 ( s )). f1 (G1 ( s)).G2 ( s ) .U ( s) + f 2 (G1 ( s )).E ( s ) (*) ⇒
f 2 (G1 ( s)) = G1 ( s ), f 2 (G1 ( s)). f1 (G1 ( s )) = 1 ⇒ f1 (G1 ( s )) =
1 G1 ( s)
12
G2(s) u
1 G1 ( s )
m z
e
G1(s)
x
G3(s)
y
y (ii) výměna pořadí součtového a rozdílového členu podle asociativního pravidla z = m+e = m+(u−y) = (m+u)−y
G2(s) u
1 G1 ( s )
m z
m+u
G1(s)
x
G3(s)
y G ( s) =
G1 ( s ) G3 ( s ) + G2 ( s ) G3 ( s ) Y ( s) 1 G1 ( s ) G3 ( s ) = 1 + G2 ( s ) ⋅ = U ( s) G1 ( s ) 1 + G1 ( s ) G3 ( s ) 1 + G1 ( s ) G3 ( s ) 13
y
(viii) poloha pólů a nul Y ( s) bm s m + Lb1s + b0 bm ( s − s1 ) L ( s − sm ) G ( s) = = = n U ( s ) an s + L a1s + a0 an ( s − s1 ) L ( s − sn ) nuly … kořeny čitatele přenosu G(s) póly … kořeny jmenovatele přenosu G(s) • nuly i póly mohou být reálné, komplexně sdružené (i ryze imaginární) • nuly v počátku – derivační charakter • póly v počátku – integrační charakter • jsou-li nuly blíže imaginární osy než póly, bude převládat derivační složka přenosu • kladné nuly způsobí v počátku přechodového děje výchylku na „nesprávnou“ stranu (soustavy s touto vlastností nazýváme soustavy s neminimální fází)
♣
Poloha pólů (i nul) vzhledem k imaginární ose má vliv na stabilitu • v levé polorovině jsou stabilní póly i nuly (mají zápornou reálnou část) • v pravé polorovině jsou nestabilní póly i nuly (mají kladnou reálnou část) • komplexně sdružené – přechodový děj obsahuje kmitavou složku Čím jsou stabilní póly dále od imaginární osy, tím je přechodový děj více tlumen. 1 Póly v pravé polorovině znamenají vždy nestabilní přechodový děj.
Typové dynamické členy regulačních obvodů (1) proporcionální členy G(s) = k0
proporcionální člen bez setrvačnosti (ideální proporcionální člen)
k0 G ( s) = T1s + 1
proporcionální člen se setrvačností 1. řádu (aperiodický člen 1. řádu)
G ( s) =
proporcionální člen se setrvačností 2. řádu (setrvačný člen 1. řádu)
k0 T02 s 2 + 2ξT0 s + 1
ξ > 1 : G( s) = ξ = 1 : G( s) =
k0 (T1s + 1) (T2 s + 1) k0
aperiodický člen 2. řádu mezní aperiodický člen 2. řádu
(T0 s + 1) 2 0 < ξ < 1 : G ( s ) nemá reálné póly kmitavý člen 2. řádu k0 bezeztrátový člen 2. řádu ξ = 0 : G (s) = 2 2 T0 s + 1 (na mezi stability)
G ( s) =
bm s m + Lb1s + b0 an s + L a1s + a0 n
e
−Td s
obecný proporcionální člen se setrvačností n-tého řádu 2 s dopravním zpožděním Td , n≥ m
Příklad P1: Určete přechodové charakteristiky systémů s přenosy: 10 10 G ( s ) = G0 ( s ) = 10 G1 ( s ) = 21 (2s + 1) (3s + 1) 3s + 1 10 10 10 G22 ( s ) = G ( s ) = G ( s ) = 23 24 (3s + 1) 2 4s 2 + s + 1 4s 2 + 1 1 15 j póly: s1, 2 = − ± 8 8
s1, 2 = ±
1 j 2
−1 1 řešení: přechodová funkce systému s přenosem G(s) je: h(t ) = L G ( s ) t
h0 (t ) = 10
h1 (t ) = 10 (1 − e
h21 (t ) = 10 (1 + 2e
h22 (t ) = 10 (1 − e
−
−
t 3
t 2
− 3e
t − e 3
−
−
−
3)
t 3)
t 3)
t − 15 t 8 e sin t − 8 15 t − h23 (t ) = 10 1 − e 8 cos 15 8 2 t
h24 (t ) = 20 sin 4
s
h24 h23 h0
h1 h21 h22 3
(2) integrační (astatické) členy integrační člen bez setrvačnosti (ideální integrační člen)
k0 G( s) = s G( s) =
k0 s (T1s + 1)
integrační člen se setrvačností 1. řádu (reálný integrační člen)
G ( s) =
bm s + Lb1s + b0 −Td s e s q ( an s n + L a1s + a0 )
obecný integrační člen q-tého řádu se setrvačností n-tého řádu s dopravním zpožděním Td , n +q ≥ m
m
4
Příklad I1: Určete přechodové charakteristiky systémů s přenosy: 5 5 5 5 G1 ( s ) = G11 ( s ) = G12 ( s ) = G12k ( s) = s (3s + 1) s ( 2 s + 1) (3s + 1) s s ( 4 s 2 + s + 1) Gn12 ( s ) =
5 (1 − 5s ) s (2 s + 1) (3s + 1)
Gn12k ( s ) =
5 (1 − 5s ) s ( 4 s 2 + s + 1)
řešení: přechodová funkce systému s přenosem G(s) je:
h1 (t ) = 5t
−t h11 (t ) = 5 − 3 + 3e 3 + t −t −t h12 (t ) = 5 − 5 − 4e 2 + 9e 3 + t
−t 15 t 7e 8 sin −t 8 t 15 h12k (t ) = 5 − 1 + t + e 8 cos − 8 15
1 h(t ) = L−1 G ( s ) s h12k h11 h12
h1
−t −t 2 hn12 (t ) = 5 − 10 − 14e + 24e 3 + t
−t 15 t 2 e 8 sin −t 8 15 t hn12 k (t ) = 5 − 6 + t + 6 e 8 cos − 15 8
5
hn12, hn12k (systémy s neminimální fází)
(3) derivační členy derivační člen bez setrvačnosti (ideální derivační člen)
G ( s) = k0 s G ( s) =
derivační člen se setrvačností 1. řádu (reálný derivační člen)
k0 s T1s + 1
G ( s) = s q
bm s + Lb1s + b0 m
an s n + L a1s + a0
e −Td s
obecný derivační člen q-tého řádu se setrvačností n-tého řádu s dopravním zpožděním Td , n ≥ m+q
6
Příklad D1:Určete přechodové charakteristiky systémů s přenosy: 10 s 10s G1 ( s ) = 10 s G11 ( s ) = G12 ( s) = 3s + 1 ( 2s + 1) (3s + 1) 10 s 2 G23 ( s ) = (2 s + 1) (3s + 1)(4 s + 1)
10s 2 (4 − 3s ) G33 ( s ) = ( 2 s + 1) (3s + 1)( 4 s + 1) 1 s
řešení: přechodová funkce systému s přenosem G(s) je: h ( t ) = L−1 G ( s )
h1 (t ) = 10δ (t ) −t
10 e h11 (t ) = 3
h12 (t ) = 10 e
−t
h1 3
t 2 −1+ e 6
h11
t t −t 6 2 h23 (t ) = −5 e 1 − 2e + e 4 t t 5 − t2 6 h33 (t ) = − e 22 − 40 e + 19 e 4 4
h12 h23
h33 (systém s neminimální fází) 7
Poznámka 1: Dopravní zpoždění, které může přenos dynamického členu obsahovat, nemá na ustálení přechodové charakteristiky v čase t → ∞ vliv, protože podle věty o koncové hodnotě je: f ( ∞ ) = lim f (t ) = lim s F ( s ) t →∞
a
s→ 0
lim e −Td s = 1 .
s→ 0
Poznámka 2: (1) U proporcionálních členů je ustálený stav různý od nuly. (2) U integračních členů ustálený stav neexistuje. (3) U derivačních členů je ustálený stav nulový.
8
v(t)
Regulátory - konstrukce
w(t)
e(t)
R
u(t)
y(t)
S
y(t)
rovnice P I
přenos
u (t ) = r0 e(t ) u (t ) = r−1 ∫ e(t ) dt
GR ( s ) =
GR (s) =
GR ( s ) = r1 s
PI
u (t ) = r0 e(t ) + r−1 ∫ e(t ) dt
G R ( s ) = r0 +
u (t ) = r0 e(t ) + r1 e' (t )
t
r−1 s
u (t ) = r1 e' (t )
r−1 t
1
t
r−1 s
GR ( s) = r0 + r1 s
PID u (t ) = r0 e(t ) + r−1 ∫ e(t ) dt + r1 e' (t )
přechodová charakteristika u(t)≡h(t) r0
GR ( s) = r0
D
PD
U (s) E (s)
r r 1 G R ( s ) = r0 + −1 + r1 s = r0 1 + + 1 r0 s r0 s r −1
r−1
r0
t
1 r0
t r0
r−1
1 1 s = r0 1 + + TD s TI s
t
9
Realizace spojitého regulátoru Základem regulátoru je operační zesilovač (stejnosměrný zesilovač s velkým napěťovým zesílením a velkým vstupním odporem). Z2 i1
Z1
i2
i0 u0
u1
Z1, Z2 … vstupní a zpětnovazební impedance
− +
u2
(*) i1 + i2 = i0 u1 − Z1i1 = u 0
⇒ i1 =
u1 − u 0 Z1
(*)
u1 − u 0 u 2 − u 0 + = i0 Z1 Z2
u 2 − u0 Z2 Předpokládáme nekonečně velké zesílení a i0 → 0, u0 → 0 u 2 − Z 2 i2 = u 0
⇒
⇒ i2 =
u1 u 2 u2 Z2 + =0 ⇒ =− Z1 Z 2 u1 Z1
U 2 (s) Z 2 (s) ⇒ G ( s) = =− U1 ( s ) Z1 ( s )
10
Impedance: L
R
UL = L
U R = RI
C dI dt
UC =
1 I dt ∫ C
v operátorovém tvaru U R ( s ) = R I ( s ) U L ( s ) = s L I ( s ) ⇒ impedance v operátorovém tvaru Z R ( s ) = R invertor R u1(t)
Z L ( s) = s L
sumátor-invertor
R
1 I ( s) sC 1 Z C ( s) = sC
U C (s) =
R2
i2
− +
U 2 ( s) R = − = −1 U1 ( s) R
u11
u2(t)
u12
R11 R12 R1n
i11 i0 i12 u 0 i1n
− +
u2(t)
u1n
i0 → 0, u0 → 0 ⇓ R 2
R R U 2 ( s) = − U11 ( s) + 2 U12 ( s) + L + 2 U1n ( s) R12 R1n R11 11
P aktivní R1
R2
♣
−
u2(t)
U 2 (s) R2 = U1 ( s ) R1 + R2
I aktivní
u1(t)
R2
u2(t)
U 2 (s) R =− 2 U1 ( s ) R1
I pasivní R I
C R
R1
I
u1(t)
+
u1(t)
P pasivní
− +
1 U 2 ( s) 1 1 = − sC = − =− U1 ( s ) R CRs TI s
u2(t)
u1(t)
C 1 sC
u2(t)
U 2 ( s) 1 = = 12 U1 ( s ) R + 1 CRs + 1 sC [P se setrvačností 1. řádu]
D aktivní C u1(t)
D pasivní
R
♣
C
I
− +
U 2 (s) R =− = −CRs = −TD s 1 U1 ( s ) sC
u1(t)
R
u2(t)
u2(t) U 2 ( s) = U1 ( s )
R R+
1 sC
=
T s CRs = D CRs + 1 TD s + 1
Poznámka: (1) Přechodovou charakteristikou reálného D regulátoru není Diracův impuls, ale špička signálu o konečné velikosti (dáno nasycením zesilovače). I to může být nevýhodou (v regulačním obvodu se může objevit nelinearita typu přesycení). (2) Další nevýhodou je, že D regulátor zesiluje šumy (šum = signál o malé amplitudě a vysoké frekvenci), proto se často používá pasivní derivační člen nebo se před aktivní D regulátor předřadí filtr (např. P člen se setrvačností 2. řádu). 13
PI aktivní
♣
R2 R1
PI pasivní R1 I
♣
C
−
u1(t)
+
u1(t)
U 2 (s) =− U1 ( s )
R2 +
I
u1(t) +
u2(t)
1 sC
CR2 s + 1 U 2 ( s) = = U1 ( s ) R + R + 1 C ( R1 + R2 ) s + 1 1 2 sC
1 sC = − R2 1 + 1 R1 R1 CR2 s
Poznámka: Nastavení R2 ovlivňuje zesílení a současně i TI , proto je vhodnější následující zapojení bez interakce
u1(t)
u2(t)
C
u2(t)
R2 +
P
R2
P
RP2
RP1
sumátor RS
RS u2(t)
I
C RI
RS
+ 14
PD aktivní
*
PD pasivní I
R2
♣
♣
R1
u1(t)
+
u1(t)
u2(t)
U 2 (s) R2 R R2 =− =− = − 2 (CR1s + 1) 1 R1 U1 ( s ) R1 R1 sC CR1s + 1 1 R1 + sC Poznámka: Nastavení R1 ovlivňuje zesílení a TD ⇒ vhodnější zapojení bez interakce
u1(t)
C
−
C
P D
R1
+ +
u2(t)
u1(t)
u2(t)
R2
U 2 ( s) R2 R2 = = = R1 1 U1 ( s ) R1 + R2 sC + R CR1s + 1 2 1 R1 + sC R2 (CR1s + 1) R2 CR1s + 1 = = ⋅ R2 R1 + R2 + CR1R2 s R1 + R2 CR s +1 1 R1 + R2
P
sumátor RS
RP2
RP1
RS u2(t)
RD
D C
RS 15
PID aktivní
♣
*
R2
PID pasivní
C2
♣
R1 C1
u1(t)
C1 u2(t)
C2 R2 s + 1 1 sC2 U 2 ( s) sC 2 =− =− = R1 1 U1 ( s ) R1 C1R1s + 1 sC1 1 R1 + sC1 (C2 R2 s + 1) (C1R1s + 1) = C2 R1s
C1C2 R1R2 s 2 + (C1R1 + C2 R2 ) s + 1 =− = C2 R1s =−
R2
u1(t)
R2 +
=−
I
− +
R1
C1R1 + C2 R2 CC RR 1 1 + + 1 2 1 2 C2 R1 (C1R1 + C2 R2 ) s C1R1 + C2 R2
u2(t)
C2
C2 R2 s + 1 U 2 ( s) sC2 = = = R1 C2 R2 s + 1 1 U1 ( s ) R1 + 1 sC1 C1R1s + 1 sC2 + R2 + 1 sC 2 R1 + sC1 R2 +
1 sC 2
C2 R2 s + 1 sC2 = = C2 R1s + (C1R1s + 1)(C2 R2 s + 1) (C1R1s + 1) sC2 = s =
(C1R1s + 1)(C2 R2 s + 1) = C2 R1s + (C1R1s + 1)(C2 R2 s + 1) (C1R1s + 1)(C2 R2 s + 1) C1C2 R1R2 s 2 + (C1R1 + C2 R2 + C2 R1 ) s + 1 16
PID aktivní zapojení bez interakce
P P
u1(t)
I D
sumátor RS
RP2
RP1 + + +
u2(t) I
RS
RI
u1(t)
RS
CI
u2(t)
RD
D CD
RS
17
I. Stabilita lineárních regulačních obvodů v(t) w(t)
e(t)
R
u(t)
S
y(t)
y(t)
w(t) e(t) u(t) y(t) v(t)
-
řídící veličina (žádaná hodnota regulované veličiny) regulační odchylka e(t) = w(t) - y(t) akční veličina regulovaná veličina poruchová veličina 1
Definice: (i) Regulační obvod je v rovnovážném stavu (v rovnováze), nemění-li se regulovaná veličina y s časem. (ii) Regulační obvod je stabilní, jestliže regulovaná veličina y se ustálí 1) na původní hodnotě po jeho vychýlení z rovnovážného stavu poruchou nebo 2) na nové hodnotě při vychýlení řídící veličinou w (tj. při změně žádané hodnoty regulované veličiny) n
lim y (t ) = y0
Pro stabilní obvod platí
t ®¥
ad (ii) 1) vychýlení poruchou
y(t)
y(t)
y0
y(t)
y0
y0
t stabilní regulační obvod
t regulační obvod na mezi stability
t nestabilní regulační 2 obvod
přenos řízení přenos poruchy přenos odchylky
Y ( s) GR ( s ) × GS ( s ) GW ( s ) = = W ( s ) 1 + GR ( s ) × GS ( s ) Y ( s) GS ( s ) = GV ( s ) = V ( s ) 1 + GR ( s ) × GS ( s ) E (s) 1 GE ( s ) = = W ( s ) 1 + GR ( s ) × GS ( s )
přenos otevřeného (rozpojeného) regulačního obvodu
G0 ( s ) = GR ( s ) × GS ( s ) charakteristická rovnice uzavřeného regulačního obvodu
1 + G0 ( s ) = 0 Poznámka: Jestliže přenos G0(s) je určen podílem polynomů M(s)/N(s), pak charakteristická rovnice bude mít následující tvar: 1 + G0 ( s ) = 0 Þ
Þ 1+
M ( s) =0 N (s)
N (s ) + M ( s) = 0 Þ M (s ) + N (s) = 0 N (s)
Þ 3
přenos řízení
G0 ( s ) bm s m + L + b1s + b0 Y ( s) GW ( s ) = = = W ( s ) 1 + G0 ( s ) an s n + L + a1s + a0
GS ( s ) cm s m + L + c1s + c0 Y ( s) GV ( s ) = = = přenos poruchy V ( s ) 1 + G0 ( s ) a n s n + L + a1s + a0 vztah mezi vstupními veličinami (řídící nebo poruchou) a výstupní (regulovanou) veličinou je dán diferenciálními rovnicemi: a n y ( n ) (t ) + L + a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = bm w ( m) (t ) + L + b1w' (t ) + b0 w(t ) a n y ( n ) (t ) + L + a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = cm v ( m) (t ) + L + c1v' (t ) + c0 v(t )
y (t ) = y hom (t ) + y part (t )
lim y hom (t ) = 0
t ®¥
přechodná část
lim y part (t ) = lim y (t ) ustálená část
t ®¥
t ®¥
• řešení homogenní rovnice (pravá strana diferenciální rovnice je rovna 0), • partikulární integrál (dán pravou stranou dif. rovnice, závisí na w(t) nebo v(t)), na stabilitu nemá vliv. Z hlediska stability nás tedy zajímá pouze řešení homogenní rovnice a n y ( n ) (t ) + L + a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = 0
(*)
[Z hlediska regulačního pochodu je nutné uvažovat i partikulární integrál]
4
Charakteristická rovnice k diferenciální rovnici (*) je: (* *) , an s n + L + a1s + a0 = 0
[º jmenovatel přenosu řízení nebo přenosu poruchy rovný 0 Þ 1 + G0 ( s ) = 0 ] (A) Má-li charakteristická rovnice (* *) nenásobné reálné kořeny s1 , …, sn , pak n s1 t s2 t sn t y hom (t ) = c1 e + c2 e + L + cn e = å ci e si t , kde ci jsou integrační konstanty.
i =1
(B) Jestliže charakteristická rovnice (* *) má m-násobný reálný kořen sk , pak y hom (t ) = ck1 + ck2 t + ck3 t 2 + L + ck m t m -1 e sk t
(
)
(C) Jestliže má charakteristická rovnice (* *) komplexně sdružené kořeny sk = a+jb , sk+1= a-jb , pak yhom (t ) = e at (ck sin bt + ck +1 cos bt ) (D) Při kombinaci (A), (B), (C) je yhom příslušným součtem dílčích řešení. To znamená, že nutná a postačující podmínka stability regulačního obvodu lim y hom (t ) = 0 je splněna, jestliže (1) všechny reálné koeficienty charakteristické t ®¥ rovnice jsou záporné (případ (A) a po opakované aplikaci L’Hospitalova pravidla (jde o výraz ¥/¥) i případ (B)) a (2) reálné části komplexně sdružených kořenů 5 charakteristické rovnice jsou záporné (případ (C))
Þ Nutná a postačující podmínka stability uzavřeného regulačního obvodu je splněna, jestliže všechny kořeny charakteristické rovnice obvodu mají zápornou reálnou část, tj. leží v levé polorovině komplexní roviny „s“.
stabilní oblast +s 2 s5 s4
+s
Im
„s“
nestabilní oblast
s1 3
Re
hranice stability
Poznámka: Kořeny charakteristické rovnice stupně vyššího než 2 lze určit velmi obtížně, většinou je nutné použít numerické metody. Kdybychom charakteristickou rovnici (* *) rozložili v součin kořenových činitelů an (s - s1 )(s - s2 ) K (s - sn ) = 0 a zpětně roznásobili na (* *), pak v případě, že všechny kořeny s1, … , sn jsou záporné nebo po dvou komplexně sdružené se zápornou reálnou částí, zjistíme, že všechny koeficienty an , an-1 , … , a0 jsou kladné, resp. stejného znaménka Þ Nutnou, ale nepostačující podmínkou stability uzavřeného regulačního obvodu, je, 6 aby všechny koeficienty an , an-1 , … , a0 charakteristické rovnice byly kladné.
Pokud je charakteristická rovnice 2. stupně, pak kladnost všech koeficientů a2 , a1 , a0 je postačující podmínkou stability uzavřeného regulačního obvodu. Důkaz.
2 a ± a 1 - 4a 2 a0 a 2 s 2 + a1 s + a0 = 0 Þ s1, 2 = 1 2a0 Þ s1, s2 jsou buď reálné záporné anebo komplexně sdružené se zápornou reálnou částí, a tedy leží v levé polorovině komplexní roviny „s“, což je postačující podmínkou stability.
Příklad 1. Rozhodněte o stabilitě regulačního obvodu s přenosem řízení G0 ( s ) Y (s) s 3 + 2s 2 + s + 4 GW ( s ) = = = W ( s ) 1 + G0 ( s ) (2 s + 1)2 (0,1s + 1)(3s + 4 ) s 2 + 2 s + 2 řešení: charakteristická rovnice 1 + G0 ( s ) = 0 Þ
(
Þ
)
(2 s + 1)2 (0,1s + 1)(3s + 4 ) (s 2 + 2s + 2 ) = 0 Þ
1 4 - 2 ± 2 2 - 4.1.2 Þ s1, 2 = - , s3 = -10, s4 = - , s5,6 = = -1 ± j 2 3 2.1 všechny kořeny charakteristické rovnice leží v levé polorovině komplexní roviny „s“, a tedy obvod je stabilní.
7
Příklad 2. Rozhodněte o stabilitě regulačního obvodu zadaného charakteristickou rovnicí a) s2 + 3 s + 2 = 0 b) s4 + 3 s3 + 3 s2 - 2 s + 4 = 0 c) 2 s3 + s + 2 = 0 d) 2 s3 + s2 + s + 2 = 0 řešení:
a) stabilní, protože všechny koeficienty charakteristické rovnice 2. řádu jsou kladné b) a1 < 0 a ostatní koeficienty kladné Þ nestabilní c) a2 = 0 Þ nestabilní d) všechny koeficienty charakteristické rovnice jsou kladné, tedy nutná podmínka stability je splněna, tato podmínka není však postačující, a proto stabilitu je nutné dále vyšetřovat pomocí některého z kritérií stability
8
Kritéria stability (A) Algebraická kritéria stability (A1) Hurwitzovo kritérium stability Jsou-li všechny koeficienty charakteristické rovnice an s n + L + a1s + a0 = 0 kladné (tj. je splněna nutná podmínka stability), pak z koeficientů utvoříme Hurwitzův determinant (n-1)-ního stupně an -1 an H n -1 = 0 M 0
an -3 an - 2 an -1 M 0
an -5 K an - 4 K an -3 K M 0
O M K a1
Regulační obvod je stabilní, jestliže determinant Hn-1 a všechny subdeterminanty Hn-2 , Hn-3 , … , H2 jsou kladné a (jak bylo uvedeno výše) je splněna nutná podmínka stability. 9
Výpočet determinantu a) úpravou na determinant horní trojúhelníkové matice, hodnota determinantu je pak rovna součinu prvků na hlavní diagonále (tento postup je zcela obecný) 5 1 2 - 3 / 5 - 1/ 5 =
3 4 1 1 4 2 = 5×
5
1
2
5
1
2
0 17 / 5 - 1 / 5 - 19 / 17 = 0 17 / 5 - 1 / 5 = 0 19 / 5 8 / 5 0 0 31 / 17
17 31 × = 31 5 17
b) pro determinant stupně max. 3 počítat přímo, např. pro determinant stupně 3 použít Sarusovo pravidlo 5 1 2 3 4 1 = 5.4.2 + 1.1.1 + 2.3.4 - (2.4.1 + 1.3.2 + 5.1.4 ) = 1 4 2 = 40 + 1 + 24 - (8 + 6 + 20 ) = 65 - 34 = 31
10
Regulační obvod je na mezi stability, jestliže a0 = 0 nebo Hn-1 = 0 . V případě a0 = 0 je jeden kořen v počátku souřadnic komplexní roviny „s“ (s1= 0). Jde o tzv. nekmitavou (aperiodickou) mez stability. (ii) Když Hn-1 = 0, pak 2 kořeny jsou ryze imaginární (leží na imaginární ose souměrně podle počátku souřadnic komplexní roviny „s“). V tomto případě jde o kmitavou (periodickou) mez stability.
(i)
Příklad 3. Hurwitzovým kritériem stability rozhodněte o stabilitě obvodu, jehož charakteristická rovnice je a) 3 s4 + 2 s3 + 4 s2 + 6 s + 1 = 0 b) 0,5 s4 + 2 s3 + 4 s2 + 6 s + 1 = 0 řešení:
a) 2 6 0 3 4 1 = 2.4.6 + 6.1.0 + 0.3.2 - (0.4.0 + 6.3.6 + 2.1.2 ) = 48 - 112 = -64 < 0 obvod je nestabilní b) 0 2 6 2 6 0 0,5 4 1 = 2.4.6 + 6.1.0 + 0.0,5.2 - (0.4.0 + 6.0,5.6 + 2.1.2 ) = 48 - 22 = 26 > 0 11 obvod je stabilní 0 2 6
w(t)
Příklad 4.
e(t)
GR(s)
u(t)
GS(s)
y(t)
y(t) 0,5 Nechť s (1 + 0,5 s )(1 + 0,1 s ) Vyšetřete pro jaké zesílení r0 proporcionálního regulátoru je obvod stabilní. G R ( s ) = r0 , GS ( s ) =
řešení: charakteristická rovnice
1 + G0 ( s ) = 0 Þ 1 + G R ( s ) × G S ( s ) = 0 1 + r0 ×
0,5 = 0 / . s (1 + 0,5 s )(1 + 0,1 s ) s (1 + 0,5 s )(1 + 0,1 s )
s (1 + 0,5 s )(1 + 0,1 s ) + 0,5 r0 = 0 0,05 s 3 + 0,6 s 2 + s + 0,5 r0 = 0 H2 =
0,6
0,5 r0
0,05
1
0,6 = 0,6 - 0,025 r0 > 0 Þ r0 < Þ r0 < 24 0,025
Þ Obvod je stabilní pro zesílení r0 < 24. Pro r0 = 24 je Hn-1 = H2 = 0 a obvod je na mezi stability. Pro r0 > 24 je Hn-1 = H2 < 0, obvod je nestabilní.
12
(A2) Routh-Schurovo kritérium stability Opět vycházíme z charakteristické rovnice an s n + L + a1s + a0 = 0. Charakteristickou rovnici postupně redukujeme na rovnice nižších řádů až dostaneme kvadratickou rovnici. Regulační obvod je stabilní, když jsou koeficienty všech rovnic (při postupné redukci charakteristické rovnice) kladné. an an a n -1 an -2 a n -3 an - 4 an -5 a n -1 an an an a n -5 a n -1 a n -3 a n -1 a n -1 a n -1 an an 0 a n -1 a n - 2 a n -3 a n -3 a n - 4 a n -5 a n - 5 a n -1 a n -1 K K 1. řádek tvoří koeficienty charakteristické rovnice, každý sudý koeficient násobíme podílem prvních dvou koeficientů a napíšeme pod předchozí řádek posunutý o jeden člen vlevo, nový řádek je odečten od předchozího řádku (ve výsledku bude na začátku 0, řádek se o 1 člen zkrátí); objeví-li se při některé redukci některý koeficient záporný, skončíme s tím, že obvod je nestabilní, jinak pokračujeme dále (až dostaneme 13 rovnici 2. řádu).
Příklad 5. Routh-Schurovým kritériem stability vyšetřete stabilitu obvodu, jehož charakteristická rovnice má tvar s 6 + 2 s 5 + 6 s 4 + 8 s 3 + 7 s 2 + 8 s + 1 = 0 1 řešení: × 1 2 6 8 7 8 1 2 1 4 4 2 0 2 2 8 3 8 1 × =1 2 2 3 1 2 0 2 5 3 7 1 × 5 14 2 5 5 1 7 1 0 5 × = 25 1 5 5 5 25 1 0 - 18 1 5 v redukované rovnici 2. řádu je jeden z koeficientů záporný, proto je vyšetřovaný obvod nestabilní
14
PI regulátor 1,5 1 Příklad 6. G R ( s ) = 5 + , GS ( s ) = 4 s 3 s + 9 s 3 + 10 s 2 + 21 s + 2 Vyšetřete stabilitu regulačního obvodu Routh-Schurovým kritériem stability. řešení:
1 + G R ( s ) × GS ( s ) = 0
(
1 æ 1,5 ö 4 3 2 = s s + s + s + 21 s + 2 1+ ç5 + ÷ × 4 0 / . 3 9 10 3 2 s ø 3 s + 9 s + 10 s + 21 s + 2 è 3 s 5 + 9 s 4 + 10 s 3 + 21 s 2 + 7 s + 1,5 = 0 / .2 6 s 5 + 18 s 4 + 20 s 3 + 42 s 2 + 14 s + 3 = 0 6 1 × = 6 18 20 42 14 3 18 3 6 14 1 18 × =3 0 18 6 42 13 3 6 18 39 6 × =2 0 6 3 13 3 3 6 6 0 3 7 3 ve všech rovnicích jsou kladné koeficienty, a tedy obvod je stabilní
15
)
(B) Frekvenční kritéria stability (B1) Michajlov-Leonhardovo kritérium stability Vycházíme z charakteristické rovnice an s n + L + a1s + a0 = 0 . Dosazením s =jw z její levé strany utvoříme výraz H(j w). Probíhá-li w z rozsahu 0 až ¥ do H(jw), dostaneme Michajlovovu křivku v komplexní rovině. Aby byl regulační obvod stabilní, musí Michajlovova křivka H(jw) =1+G0(jw) začínat na kladné reálné poloose komplexní roviny a se vzrůstajícím w musí postupně projít proti pohybu hodinových ručiček tolika po sobě jdoucími kvadranty, kolikátého stupně je charakteristická rovnice. Poznámka: Michajlovovu křivku H(j w) není nutné vždy kreslit celou, ale stačí vypočítat polohu průsečíků H(j w) se souřadnými osami. Průsečíky s reálnou osou určíme tak, že položíme imaginární složku výrazu H(jw) rovnu nule a průsečíky s imaginární osou tak, že položíme reálnou složku výrazu H(jw) rovnu nule. Podle vzrůstající frekvencí průsečíků odhadneme průběh Michajlovovy křivky. 16
Příklad 7. Nechť charakteristická rovnice regulačního obvodu je 3. stupně. Rozhodněte o stabilitě obvodu, jestliže průběh Michajlovovy křivky je dán následujícími obrázky.
a)
Im
2
b) 2
1
Im
1
Re
H(jw)
Re
3 4 3 4 H(jw) H(jw) začíná na kladné reálné poloose, prochází [1,4,3] – obvod je nestabilní kvadranty v pořadí [1,2,3] – obvod je stabilní
c)
H(jw) 2
Im
d) 1
2 H(jw)
Im
1
Re 3
4
[1,2] – obvod je nestabilní
Re 3
4
[4,3,2] – obvod je nestabilní
17
Příklad 8.Integrační (astatická) regulovaná soustava se setrvačností 2. řádu s přenosem je regulována proporcionálním regulátorem 0,5 GS (s) = s (1 + 0,1 s ) (1 + 0,5 s ) o zesílení r0 =20. Vyšetřete stabilitu regulačního obvodu Michajlov-Leonhardovým kritériem. 0,5 řešení: 1 + GR ( s ) × GS ( s ) = 0 Þ 1 + 20 × =0 Þ s (1 + 0,1 s )(1 + 0,5 s ) Þ s (1 + 0,1 s )(1 + 0,5 s ) + 10 = 0 Þ 0,05 s 3 + 0,6 s 2 + s + 10 = 0 Þ Þ
(
)
(
H ( jw ) = 0,05 ( jw )3 + 0,6 ( jw )2 + jw + 10 = 10 - 0,6 w 2 + j w 1 - 0,05w 2
průsečíky H(j w) s osami: Re( w) Im( w) Re( w) = 0 Þ 10 - 0,6 w2 = 0 Þ w2 = 10/0,6 = 16,66 Þ w1 = 4,1 , w2 = -4,1 Im( w) = 0 Þ w (1 - 0,05 w2) = 0 Þ w3 = 0 , w2 = 1/0,05 =20 Þ w4 = 4,5 , w5 = -4,5 , záporné frekvence w2 a w5 nemají fyzikální význam, w3 < w1 < w4 Re( w3) = 10-0,6.02 = 10, Im(w1) = 4,1 (1-0,05.4,12) = 4,1 (1-0,05.16,66) = 0,68 Re( w4) = 10-0,6.4,52 = 10-0,6.20= 10-12 = -2 charakteristická rovnice má stupeň 3, H(jw) začíná na kladné reálné poloose a postupně prochází kvadranty 1, 2, 3 Þ obvod je stabilní 18
)
Příklad 9. Michajlov-Leonhardovým kritériem stability rozhodněte o stabilitě obvodu, jehož charakteristická rovnice je a) 3 s4 + 2 s3 + 4 s2 + 6 s + 1 = 0 b) 0,5 s4 + 2 s3 + 4 s2 + 6 s + 1 = 0 řešení:
(
) (
4 3 2 4 2 3 ( ) ( ) ( ) H ( j w ) = 3 j w + 2 j w + 4 j w + 6 j w + 1 = 3 w 4 w + 1 + j 2 w + 6w a) Re( w) Im( w) průsečíky H(j w) s osami Re, Im: Im( w) = 0 Þ -2 w3+6 w = 0 Þ w (3 - w2) = 0 Þ w1 = 0 , w2 = Ö3 , w3 = -Ö3 Re( w) = 0 Þ 3 w4 -4 w2 +1 = 0
4 ± 16 - 4.3.1 4 ± 2 1 = Þ w 42 = 1, w 52 = 2 .3 6 3 1 1 Þ w 41 = 1, w 42 = -1, w 51 = , w 52 = 3 3 záporné frekvence w3 , w42 a w52 nemají fyzikální význam, posloupnost frekvencí w1 , w51 , w41 , w2 (tj. w1< w51< w41< w2) Re( w1) = 3.04-4.02 +1 = 1 Im( w51) = -2. (1/Ö3)3 +6.(1/Ö3) = -2/(3Ö3)+6/Ö3 = 16/(3Ö3) Im( w41) = -2.13 +6.1 = -2+6 = 4 Re( w2) = 3.(Ö3)4-4.(Ö3)2 +1 = 3.9-4.3 +1 = 16 Þ w 42,5 =
posloupnost průchodu H(jw) kvadranty: 19 1,2,1,4 Þ nestabilní obvod
)
b) H ( jw ) = 0,5 ( jw )4 + 2 ( jw )3 + 4 ( jw )2 + 6 jw + 1 = 0,5 w 4 - 4 w 2 + 1 + j - 2 w 3 + 6 w
(
) (
Re( w) průsečíky H(j w) s osami Re, Im: Im( w) = 0 Þ -2 w3+6 w = 0 Þ w (3 - w2) = 0 Þ w1 = 0 , w2 = Ö3 , w3 = -Ö3 Re( w) = 0 Þ 0,5 w4 -4 w2 +1 = 0 4 ± 16 - 4.0,5.1 4 ± 14 Þ w 42,5 = = Þ w 42 = 4 + 14 , w 52 = 4 - 14 2.0,5 1
Im( w)
Þ w 41 = 4 + 14 , w 42 = - 4 + 14 , w 51 = 4 - 14 , w 52 = - 4 - 14 záporné frekvence w3 , w42 a w52 nemají fyzikální význam, posloupnost frekvencí: w1 < w51 < w2 < w41 Re( w1) = 0,5.04-4.02 +1 = 1 3 Im( w51) = -2 4 - 14 + 6 4 - 14 = 2,78 Re( w2) = 0,5.(Ö3)4-4.(Ö3)2 +1 = 0,5.9-4.3 +1 = -6,5 Im( w41) = -2
(
)
(
) +6
4 + 14
3
4 + 14 = -26,38
charakteristická rovnice má stupeň 4, H(jw) začíná na kladné reálné poloose a postupně prochází kvadranty 1, 2, 3, 4 Þ obvod je stabilní
20
)
(B2) Nyquistovo kritérium stability nevychází z charakteristické rovnice, ale z průběhu frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu, tj, z G0(jw).
(I) Obecné Nyquistovo kritérium Uzavřený regulační obvod je stabilní, jestliže frekvenční charakteristika rozpojeného obvodu G0(jw) v komplexní rovině obíhá v kladném smyslu (tj. proti směru pohybu hodinových ručiček) při změně frekvence w od -¥ do +¥ tolikrát bod -1, kolik pólů má přenos G0(s) v pravé polorovině. Poznámka: (i) Průběh G0(jw) pro w od -¥ do 0 je symetrický vůči G0(j w) pro w od 0 do +¥. (ii) Počet oběhů určíme pomocí vektoru, který má počátek pevně v bodu -1 a koncový bod se pohybuje po charakteristice G0(j w) od w = -¥ do w = +¥. -5 -1 w =0 1 5
-10
-1
Im w =-¥ w =+¥
Re 21
10
Poznámka: Většina průmyslových regulovaných soustav nemá v přenosu žádné póly v pravé polorovině a v přenosu běžných regulátorů také nejsou póly v pravé polorovině. To znamená, že přenos rozpojeného obvodu G0(s)=GR(s) GS(s) nemá žádný pól v pravé polorovině komplexní roviny „s“. Z obecného Nyquistova kritéria pro tento případ plyne, že uzavřený regulační obvod je stabilní, jestliže počet oběhů G0(jw) pro w od -¥ do +¥ kolem bodu -1 je roven nule. Jestliže se omezíme na nezáporné hodnoty w , pak dostaneme speciální tvar Nyquistova kritéria.
(II) Zjednodušené Nyquistovo kritérium Uzavřený regulační obvod (za předpokladu, že přenos rozpojeného obvodu G0(s) nemá póly v pravé polorovině komplexní roviny „s“) je stabilní, jestliže bod -1 leží vlevo od frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu G0(jw), probíháme-li ji ve směru vzrůstajících frekvencí od w = 0 do w = +¥. Prochází-li G0(jw) bodem -1, je obvod na mezi stability. Im -1 G0(jw)
stabilní
Im -1
Re G0(jw)
Im
na mezi stability Re
-1 G0(jw)
nestabilní Re
22
G0 ( s ) =
k s (1 + 2 s )(1 + 5s ) Im 1
A[G0(jw1)] = A[G0’ (jw2)] = A[G0”(jw3)] =1 j [G0(jw1)] > -180°, j [G0’(jw2)] = -180°, j [G0”(jw3)] < -180° A[dB]: 20 log A[G0(jw1)] = …= 20 log A[G0”(jw3)] = 20 log1 = 0
w3 -1 w2
j3 j2 j1
1
Re
0
B/d
w1
1/5
j [°]
ek.
w2
w3 1/2
w e /d
j1
k.
0 -90 -180 -270
-4 0d
dB
-1
- 20
0
w1
k
-6
G0 ”(jw) nestabilní G0 ’(jw na m ezi ) s t ab . G0 (jwstabilní )
k
A[dB]
j2
j3
(II’) Zjednodušené Nyquistovo kritérium v logaritmických souřadnicí Uzavřený regulační obvod (za předpokladu, že přenos rozpojeného obvodu G0(s) nemá póly v pravé polorovině komplexní roviny „s“) je stabilní, jestliže pro frekvenci, při níž amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika rozpojeného obvodu G0(jw) protíná osu 0 [dB], bude fáze j > -180°; 23 bude-li j = -180°, je obvod na mezi stability, pro j < -180° je nestabilní.
Příklad 10. Rozhodněte, pro která G0(s) lze použít zjednodušené a kdy je třeba použít zobecněné Nyquistovo kritérium. 5 (s + 1) 13 s + 1 a) G0 ( s) = b) G0 ( s ) = 2 s (1 + 0,5 s )(1 + 2 s ) s +5s + 6 c)
G0 ( s ) =
s-2 s3 + 3 s 2 + 6 s + 1
d)
G0 ( s ) =
2s+3 4 s 3 + 6 s 2 + 5 s + 10
řešení:
ad a) Póly G0(s) jsou s1 = 0, s2 = -2, s3 = -0,5, žádný z pólů neleží v pravé polorovině komplexní roviny „s“, a tedy je možné použít zjednodušené Nyquistovo kritérium. ad b) s2+5s+6 = 0 º (s+2) (s+3) = 0 Þ s1 = -2, s2 = -3 Þ zjednodušené N. k. c), d) Póly G0(s) nelze jednoduše určit. To, zda některý z pólů leží v pravé polorovině komplexní roviny „s“, určíme Hurwitzovým kritériem. 3 1 = 3.6 - 1.1 = 18 - 1 = 17 > 0 ad c) H 2 = Þ zjednodušené N. k. 1 6
6 10 = 6.5 - 10.4 = 30 - 40 = -10 < 0 Þ ad d) H 2 = 4 5 Þ jeden z pólů leží v pravé polorovině Þ nutné použít obecné N. k.
24
Příklad 11. Užitím Nyquistova kritéria rozhodněte o stabilitě obvodů, jestliže: k a) , G R ( s ) = r0 GS ( s ) = 1+ T s b)
GS ( s ) =
1 , Ts
G R ( s ) = r0
c)
GS ( s ) =
1 , Ts
GR (s) =
řešení:
a)
1 Ti s
r0 k 1+ T s r0 k r0 k r0 k - r0 k Tw 1 - j Tw = × = + × G0 ( jw ) = j 1 + T jw 1 + j Tw 1 - j Tw 1 + ( Tw )2 1 + ( Tw )2
G0 ( s ) = G R ( s ) × G S ( s ) =
Im r0 k w=0
0 -1
0 G0(jw)
Re bod -1 je vlevo od G0(jw) Þ regulační obvod je stabilní 25
b)
G0 ( s ) = G R ( s ) × G S ( s ) = Im 0
-1
0 w=¥
r0 Ts
Þ G0 ( j w ) =
r0 r -r -j = 0 × = j× 0 T jw T jw - j Tw
bod -1 je vlevo od G0(jw) Þ regulační obvod je stabilní
Re
w=0
c) G0 ( s) = G R ( s) × GS ( s) = Im
w=0
0
-1
0 w=¥
1 1 1 × = Ti s T s Ti T s 2
Re
Þ G0 ( j w ) =
1 Ti T ( jw )2
=
-1 Ti Tw 2
G0(jw) prochází bodem -1 Þ regulační obvod je na mezi stability 26
Příklad 12. Nyquistovým kritériem vyšetřete stabilitu obvodu daného regulovanou 1 1 soustavou s přenosem GS ( s ) = a integračním regulátorem GR ( s) = s (1 + s )(1 + 10 s ) 1 řešení: G0 ( s ) = G R ( s ) × GS ( s ) = s (1 + s )(1 + 10 s ) póly G0(s): s1 = 0, s2 = -1, s3 = -0,1 Þ stačí zjednodušené N. k. 1 1 1 G0 ( jw ) = = = = 3 2 2 3 jw (1 + jw )(1 + 10 jw ) 10( jw ) + 11( jw ) + jw - 11w + j w - 10 w 1 1 1 1 - 11w - j 1 - 10w 2 = × = × × = 2 2 2 w - 11w + j 1 - 10w w - 11w + j 1 - 10w - 11w - j 1 - 10w 1 - 11w - j 1 - 10 w 2 - 11 10 w 2 - 1 = × = + j× 2 2 2 2 3 2 2 w 121w 2 + 1 - 10 w 2 121w + 1 - 10 w 121w + w 1 - 10 w
( ( (
w 0 0,2 0,23 0,25 0,316 0,5 0,6 1 ¥
Re( w) -11 -2,12 -1,66 -1,43 -0,91 -0,34 -0,22 -0,05 0
Im( w) -¥ -0,58 -0,32 -0,20 0 0,09 0,08 0,04 0
) ) )
(
(
Re( w)
)
(
( (
)
) )
(
)
Im( w)
bod -1 je vlevo od G0(jw), a tedy obvod je stabilní
)
27
Příklad 13. Použitím Nyquistova kritéria řešte stabilitu regulačního obvodu s astatickou soustavou se setrvačností 2. řádu a PI regulátorem, jestliže jejich přenosy jsou: æ 1 ö 1 GS ( s ) = , GR ( s ) = r0 ç1 + ÷ s (s + 1)(s + 2) è 2sø Uvažujte 3 nastavení zesílení r0 = 0,5; r0 = 1,5; r0 = 2.
r (2s + 1) řešení: G0 ( s ) = G R ( s ) × GS ( s ) = 0 ×
r (2 s + 1) 1 = 20 2s s (s + 1)(s + 2 ) 2 s (s + 1)(s + 2) póly G0(s): s1,2 = 0, s3 = -1, s4 = -2, žádný z pólů neleží v pravé polorovině komplexní roviny „s“, a proto stačí zjednodušené Nyquistovo kritérium
G0 ( jw ) =
r0 ( 2 jw + 1)
r0 ( 2 jw + 1)
=
( jw + 1) ( jw + 2 ) -2w ( -w + 3 jw + 2 ) (× 2 - w 2 ) - j 3w = r0 ( 2 jw + 1)
2 ( jw )
=
(
2
)
(
2
)
2
2 - j 3w -2w 2 é 2 - w 2 + j 3w ù 2 - w ë û -r0 2 + 5w 2 -r0 1 - 2w 2 = + j × 2 é ù 2é 2 2 2ù 2w ê 2 - w +9w ú 2w ê 2 - w 2 +9w 2 ú ë û ë û
(
(
)
)
Re( w) Im( w)=0 pro w Î{ 1/Ö2, ¥ }
(
(
)
)
=
Im G0(jw)
-1
w=¥
Re
Im( w) r0 = 1,5
r0 = 0,5
28
Příklad 14. Vyšetřete Nyquistovým kritériem stabilitu regulačního obvodu s proporcionálním regulátorem o přenosu GR(s) = 10 a regulovanou soustavou s dopravním zpožděním Td , jejíž přenos je 0,5 GS ( s ) = e -Td s pro Td = 0; Td = 0,5; Td = 1 a Td = 2. (1 + s )(1 + 2s ) Poznámka. Stabilitu regulačních obvodů s dopravním zpožděním lze řešit pouze Nyquistovým kritériem stability. 0,5 5 řešení: G0 ( s ) = G R ( s ) × GS ( s ) = 10 × e -Td s = e -Td s (1 + s )(1 + 2s ) (1 + s )(1 + 2s ) póly G0(s): s1 = -1, s2 = -0,5, žádný z pólů neleží v pravé polorovině komplexní roviny „s“, a tedy stačí zjednodušené Nyquistovo kritérium 5
G0 ( jw ) = =
5
e-Td
jw
=
5
( cos Td w - j sin Td w ) =
(1 + jw ) (1 + 2 jw ) 1 - 2w 2 + 3 jw ( cos Td w - j sin Td w ) (1 - 2w 2 - j 3w ) 2
1 - 2w + j3w 5 é 1 - 2w 2 cos Td w - 3w sin Td w ù û + = ë 2 1 - 2w 2 + 9w 2 5 é - 1 - 2w 2 sin Td w - 3w cos Td w ù û + j× ë 2 2 1 - 2w + 9w 2
(
)
(
(
)
(
=
)
)
29
II. Přesnost regulace v(t) w(t)
e(t)
R
u(t)
S
y(t)
y(t) Přesnost regulace v ustáleném stavu (po odeznění přechodných dějů v regulačním obvodu) v čase t → ∞ pro stabilní regulační obvody [ lim y hom (t ) = 0 ] je charakterizována splněním následujících požadavků: t →∞ § přizpůsobení se změně žádané hodnoty, tj. y(∞) = wnová → ew(∞) = 0 nulová trvalá regulační odchylka § eliminace poruchy, tj. y(∞) = wpůvodní → ev(∞) = 0 E ( s ) = W ( s ) − Y ( s ) = W ( s ) − GS ( s ) [U ( s ) + V ( s ) ] = W ( s ) − GS ( s ) [ GR ( s ) E ( s ) + V ( s )] E ( s ) [1 + GR ( s ) GS ( s )] = W ( s ) − GS ( s ) V ( s ) −GS ( s ) 1 E (s) = W (s) + V ( s ) = EW ( s ) + EV ( s ) 1 + GR ( s ) GS ( s ) 1 + GR ( s ) GS ( s ) GEW
GEV
1
Poznámka: Tytéž vztahy dostaneme, uvažujeme-li skokovou změnu řídící veličiny a poruchy samostatně. w(t) EW ( s ) 1 G EW ( s ) = = W ( s ) 1 + G R ( s ) ⋅ GS ( s )
ew(t) R
v(t) EV ( s ) − GS ( s ) G EV ( s ) = = V ( s ) 1 + GR ( s ) ⋅ GS ( s )
S y(t)
S u(t)
R
ev(t)
w(t)=konst
Trvalá regulační odchylka e(∞) způsobená skokovými změnami řídící veličiny a poruchy je dána vztahem:
e(∞) = ew(∞) + ev(∞) Podle věty o koncové hodnotě je e(∞ ) = lim e(t ) = lim s E ( s ) , a tedy t →∞
s→ 0
2
[W] ew (∞) = lim ew (t ) = lim s EW ( s ) = lim s W ( s ) t →∞
s→0
1
= lim s W ( s) s→ 0
s→ 0
1+
bm s + L + b1s + b0 cn s n + L + c1s + c0 m
(1) Pro skok řídící veličiny w(t)=η(t) je W ( s ) = ⇓ ew (∞ ) = lim s s→ 0
1 = 1 + G R ( s ) GS ( s ) (∗)
1 s
1 1 1 1 1 = lim = lim GEW ( s ) = = b s 1 + GR ( s ) GS ( s ) s → 0 1 + GR ( s) GS ( s ) s → 0 1 + 0 1 + k0 c0
(1a) Obvody typu 0: b0≠0, c0≠0, tj. GR(s).GS(s) nemá integrační charakter (tj. P nebo PD), pak při skokové změně w(t) je ew(∝)=1/(1+k0). (1b) Obvody typu 1: c0=0, tj. ve jmenovateli GR(s).GS(s) lze vytknout s, tj. GR(s).GS(s) má integrační (astatický) charakter 1. řádu (P regulátor a I soustava nebo I/PI regulátor a P soustava), pak při skokové změně w(t) je ew(∝)=0. (1c) Obvody typu 2: c0=0, c1=0, tj. GR(s).GS(s) má astatismus 2. řádu (např. I/PI/PID regulátor a I soustava), pak při skokové změně w(t) je ew(∝)=0.
3
1 (2) Pro skok rychlosti řídící veličiny w(t)=t (např. lineární nárůst teploty) je W ( s ) = 2 s 1 1 1 (∗) e (∞) = lim s W ( s ) = lim s 2 = w → → 0 0 s s 1 ( ) ( ) 1 + ( ) ( ) + G s G s G s G s ⇒ s R S R S 1 1 = lim = lim m s → 0 s (1 + GR ( s ) GS ( s ) ) s → 0 + + + b s b s b L 1 0 m s 1 + n cn s + L + c1s + c0 (2a) Obvody typu 0: b0≠0, c0≠0, tj. GR(s).GS(s) nemá integrační složku ⇒ ew(∝)=∝. (2b) Obvody typu 1: c0=0, tj. GR(s).GS(s) integrační 1. řádu ⇒ ew(∝)=c1/b0 . (2c) Obvody typu 2: c0=0, c1=0, tj. GR(s).GS(s) integrační 2. řádu ⇒ ew(∝)=0. 2 (3) Pro skok zrychlení řídící veličiny w(t)=t2 je W ( s ) = 3 s 1 2 (∗) e (∞) = lim s 2 = lim w 3 m s → 0 s 1 + G R ( s ) GS ( s ) s → 0 2 ⇒ b s + L + b1s + b0 m s 1 + cn s n + L + c1s + c0 (3a) Obvody typu 0: b0≠0, c0≠0, tj. GR(s).GS(s) nemá integrační složku ⇒ ew(∝)=∝. (3b) Obvody typu 1: c0=0, tj. GR(s).GS(s) integrační 1. řádu ⇒ ew(∝)=∝. (3c) Obvody typu 2: c0=0, c1=0, tj. GR(s).GS(s) integrační 2. řádu ⇒ ew(∝)=2 c2/b0. 4
[V] ev (∞) = lim ev (t ) = lim s EV ( s) = lim s V ( s) t →∞
s→ 0
s→ 0
− GS ( s ) 1 + G R ( s ) GS ( s )
(1) Pro skok poruchy v(t)=η(t) je V ( s ) = 1 s ⇓ − GS ( s ) GS ( s ) 1 ev (∞) = lim s = − lim s → 0 s 1 + G R ( s ) GS ( s ) s → 0 1 + G R ( s ) GS ( s ) (1a) Obvody typu 0: GS(s) ani GR(s).GS(s) nemá integrační charakter (P nebo PD), pak při skokové změně v(t) je: k s (1 + TD s) GS ( s) ks ks ()...() ev (∞) = − lim = − lim = − = − b0 s→ 0 s → 0 1 + GR ( s ) GS ( s ) 1 + k0 bm s m + L + b1s + b0 1 + 1+ c0 c sn + L + c s + c n
1
0
(1b) Obvody typu 1: GR(s).GS(s) má integrační (astatický) charakter 1. řádu • P regulátor a I soustava : ev(∝) = −kS c1/b0 ≠ 0 • I/PI regulátor a P soustava : ev(∝) = 0. (1c) Obvody typu 2: GR(s).GS(s) má integrační charakter 2. řádu • I/PI/PID regulátor a I soustava : ev(∝) = 0 •… (2), (3) …
5
Shrnutí: • Čím je vyšší typ regulačního obvodu, tím je větší přesnost regulace. • S rostoucím řádem integrace se však zhoršují stabilitní vlastnosti a je nutné hledat kompromis mezi požadavky na přesnost v ustáleném stavu a dynamickými vlastnostmi regulačního obvodu.
6
III. Kvalita regulačního pochodu – posuzujeme ji nejčastěji podle přechodové charakteristiky, tj. odezvy na skok řídící veličiny w(t), který je jednou z nejnepříznivějších situací, s nimiž se musí regulační obvod vyrovnat. Zajímá nás: 1. Doba regulace tR , kterou rozumíme dobu, za kterou klesne odchylka regulované veličiny pod danou mez ∆y (většinou 5%, 2% nebo 1% její ustálené hodnoty) a už tuto mez nepřekročí. tR = min {t | ∀t’ ≥ t: |y(t’) – y(∞)| ≤ ∆y } 2. Charakter přechodného děje, může být aperiodický (přechodová charakteristika je bez překmitu ustáleného stavu) nebo kmitavý tlumený. V 2. případě nás zajímá maximální překmit ∆ymax (je jím 1. překmit). Jeho velikost zpravidla udáváme v procentech ustálené veličiny. y (t ) max − y (∞) ∆ymax = ⋅100 [%] y (∞ ) 3. Regulační plocha
7
ad 1, 2) Œ − aperiodic přechodný děj • − tlumený kmitavý přechodný děj
• Œ
8
ad 3) Požadavky na minimální dobu regulace a minimální 1. překmit jsou protikladné, proto se jako další (kompromisní) kritérium kvality regulačního pochodu využívá regulační plocha, kterou požadujeme co nejmenší. Œ − pro aperiodický přechodný děj (charakteristická rovnice má jen záp. reálné kořeny) I1 =
∞
∫ [ y (t ) − y (∞)]dt
… lineární regulační plocha
0
• − pro tlumený kmitavý přechodný děj (charakter. rovnice má komplexní kořeny se zápornou reálnou složkou) ∞ ∞ I1abs = ∫ y (t ) − y (∞) dt nebo I 2 = ∫ [ y (t ) − y (∞)]2 dt 0
0
… kvadratická regulační plocha
9
Syntéza − k dané soustavě Œ navrhnout regulátor a • nastavit jeho parametry Podmínky pro správnou funkci regulačního obvodu: § Stabilita regulačního obvodu, § přesnost regulace (statická přesnost daná velikostí trvalé regulační odchylky), § kvalita regulačního pochodu (posuzujeme ji podle přechodové charakteristiky, tj. jde o posouzení z hlediska dynamiky) Prvními kroky návrhu regulátoru vhodného pro danou regulovanou soustavu jsou volba regulátoru podle požadované přesnosti a ověření stability uzavřeného obvodu.
10
Œ Volba typu regulátoru podle charakteru soustavy regulátor
soustava
P
P a I se setrvačností 1. řádu se střední časovou konstantou, s menším dopravním zpožděním, při malých změnách zatížení. Nevýhodou nenulová trvalá regulační odchylka pro P soustavy.
I
P a I se setrvačností 1. řádu s malou časovou konstantou, bez dopravního zpoždění, při pomalých a malých změnách zatížení.
PI
P a I se setrvačností vyššího řádu s libovolnými časovými konstantami, s velkým dopravním zpožděním, při velkých a pomalých změnách zatížení.
PD
P a I se setrvačností vyššího řádu se středními časovými konstantami, s velkým dopravním zpožděním, při malých změnách zatížení. Zanechává nenulovou trvalou regulační odchylku.
PID
P a I se setrvačností vyššího řádu s libovolnými časovými konstantami, s delším dopravním zpožděním, při velkých a rychlých změnách zatížení. 11
• Nastavení parametrů regulátoru (i) Seřízení regulátoru podle minima kvadratické regulační plochy Kvadratickou regulační plochu lze spočítat ze vzorce I2 =
Hb , 2a n H a
kde Ha , Hb jsou Hurwitzovy determinanty stupně n sestavené z koeficientů jmenovatele a čitatele vztahu bm s m + L + b1s + b0 1 Y (s) [GW ( s) − GW (0)] = n , GW ( s ) = W (s) s a n s + L + a1s + a0 následujícím způsobem: an −1 an Ha = 0 M 0
an −3
an −5
K
0
an −2 a n −1
an − 4 a n −3
K K
0 0
M K
M a4
O M a2 a0
12
(−1)0 [bn2−1 − 2bnbn − 2 ] (−1)1[bn2− 2 − 2bn −1bn −3 ] (−1) 2[bn2−3 − 2bn − 2bn − 4 ] K K Hb =
an 0
an − 2 an −1
an − 4 an − 3
M 0
M K
M a4
K K
0 0
O M a2 a0
Je-li k dané soustavě s přenosem GS(s) uvažován např. PID regulátor s přenosem 1 1 r r−1 + TD s , + r1 s = r0 1 + + 1 s = r0 1 + GR ( s ) = r0 + r0 r0 s TI s s r −1
vypočteme GW(s), GW(0) a odtud Ha , Hb a z nich kvadratickou regulační plochu I2, která bude funkcí parametrů r0, r−1, r1. Minimum I2 zjistíme ze vztahů: ∂I 2 = 0, ∂r0
∂I 2 = 0, ∂r−1
∂I 2 =0 ∂r1 13
(ii) Ziegler-Nicholsova metoda seřízení regulátoru (metoda kritického zesílení regulátoru) Parametry regulátoru se určují z tzv. kritického stavu na mezi stability, kdy obvod kmitá s konstantní amplitudou kkrit a s periodou kmitů Tkrit. (a) Empiricky se tyto hodnoty zjišťují při vyřazené integrační a derivační složce
PID regulátoru (TI→∞, TD→ 0, resp. r−1→ 0, r1→ 0) postupným zvyšováním zesílení r0 . (b) Teoreticky vypočteme kkrit , Tkrit tak, že opět ponecháme pouze proporcionální složku a z podmínky pro mez stability (např. z Hurwitzova kritéria) vypočteme r0krit . Protože na mezi stability má charakteristická rovnice nutně dvojici ryze imaginárních komplexně sdružených kořenů s1,2 = ± jωkrit , určíme ωkrit dosazením r0krit a s1,2 do charakteristické rovnice 1+G0(s) = 0 z podmínky, že reálná část a imaginární část rovnice se musí rovnat nule. Ze získaných řešení má fyzikální význam jen kladná frekvence. 2π Pro r0krit obvod kmitá s periodou Tkrit = ω krit Zjištěné kritické hodnoty dosadíme do následujících empirických vztahů pro použitý typ regulátoru a vypočítáme doporučené nastavení parametrů. 14
Určení parametrů regulátoru z kritických hodnot (Ziegler-Nichols) typ regulátoru
1 G R ( s ) = k R 1 + + TD s TI s
r−1 G R ( s ) = r0 + + r1 s s
a) kmitavý přechodový děj, překmit 20-40% r0 r−1 r1 0,5 r0krit − − P 0,45 r0krit 0,54 r0krit/Tkrit − PI 0,5 r0krit 0,02 r0kritTkrit − PD 0,6 r0krit 1,2 r0krit/Tkrit 0,075 r0kritTkrit PID 0,5 r−1 krit − − I+) b) nekmitavý přechodový děj (tj. překmit 0%)
P I+) +)
kR≡r0
TI ≡ r0/r−1 TD ≡ r1/r0
0,5 r0krit
−
−
0,45 r0krit
0,83 Tkrit
−
0,4 r0krit
−
0,05 Tkrit
0,6 r0krit
0,5 Tkrit
0,12 Tkrit
−
2 TI krit
−
0,25 r0krit
−
−
0,25 r0krit
−
−
−
0,25 r−1 krit
−
−
4 TI krit
−
V případě I regulátoru přivedeme regulační obvod do kritického stavu snižováním TI →TI krit , resp. zvyšováním r−1→ r−1 krit .
15
Příklad Z-N. Metodou kritického zesílení (Z-N metodou) vypočtěte optimální seřízení regulátor PID pro soustavu s přenosem: GS ( s) =
s +1 s (2 s + 1)(3s + 1)
řešení:
Pro výpočet kritického zesílení podle Z-N metody uvažujeme přenos regulátoru pouze s P složkou. r s+r s +1 ⇒ G0 ( s) = GR ( s)GS ( s) = r0 = 3 0 20 s (2s + 1)(3s + 1) 6s + 5s + s Charakteristická rovnice regulačního obvodu: r s + r0 3 2 1 + G0 ( s ) = 0 ⇒ 1 + 3 0 0 6 s 5 s = ⇒ + + (1 + r0 ) s + r0 = 0 2 6 s + 5s + s Na mezi stability podle Hurwitzova kritéria je 5 r0 H2 = = 0 ⇒ 5(1 + r0 ) − 6r0 = 0 ⇒ 5 − r0 = 0 6 1 + r0 a kritické zesílení je tedy rovno r0krit=5
16
Protože na mezi stability má charakteristická rovnice dvojici ryze imaginárních komplexně sdružených kořenů s1,2 = ± jωkrit , určíme ωkrit dosazením r0krit a s1,2 do charakteristické rovnice 1+G0(s) = 0.
6( jωkrit )3 + 5( jωkrit ) 2 + (1 + r0 krit )( jωkrit ) + r0 krit = 0
[s1 = +jωkrit]
Po dosazení r0krit=5 dostáváme: 2 3 5 − 5ω krit + j (−6ω krit + 6ω krit ) = 0
Reálná část a imaginární část charakteristické rovnice se musí rovnat nule: 2 5 − 5ω krit =0 3 − 6ω krit + 6ω krit
⇒ ω1krit = 1, ω 2 krit = −1 = 0
[pro s2 = −jωkrit vyjde totéž]
Ze získaných řešení má fyzikální význam jen kladná frekvence ω1krit = 1 . 2π Pro r0krit obvod kmitá s periodou Tkrit = = 2π = 6,28 sec ω1krit Nastavení parametrů PID regulátoru: r0=0,6 r0krit =0,6.5=3; r−1=1,2r0krit/Tkrit=1,2.5/6,28=0,95; r1=0,075r0kritTkrit=0,075.5/6,28=0,059
⇒ G R PID ( s ) = 3 +
0,95 + 0,059 s s
17
♣ (iii) Seřízení regulátoru podle Whiteleyho standardních tvarů Pro různé druhy regulátoru a řád diferenciálních rovnic lze předem spočítat takové konstanty charakteristické rovnice, aby přechodný děj splňoval dané podmínky. Charakteristickým rovnicím s danými konstantami, které splňují předepsané dynamické vlastnosti regulačního obvodu říkáme standardní tvary. Nejznámější jsou standardní tvary podle Whiteleyho, které byly odvozeny pro astatické soustavy a malý překmit při použití regulátorů P, PI, PD a PID. § P regulátor a GW ( s ) =
n 2 3 4 5 6
a6
1
b0 a n s n + L + a1s + a0 a5
1 3,7
a4
a3
1 3,2 7,5
1 2,6 5,2 9,1
a2 1 2 3,4 5,2 7,5
a1 1,4 2 2,6 3,2 3,7
a0 1 1 1 1 1 18
§ PI, PD regulátor a GW ( s ) = n 2 3 4 5 6
a6
1
a5
1 11
§ PID regulátor a GW ( s ) = n 3 4 5 6
a6
1
b1s + b0 a n s n + L + a1s + a0 a4
a3
1 9 43
1 7,2 29 83
a2 1 5,1 16 38 73
a1 2,5 6,3 12 18 25
a0 1 1 1 1 1
b2 s 2 + b1s + b0 a n s n + L + a1s + a0
a5
1 36
a4
a3
a2
a1
a0
1 18 251
1 7,9 69 486
6,7 15 69 251
6,7 7,9 18 36
1 1 1 1
Poznámka: Protože ve Whiteleyho standardních tvarech jsou koeficienty an a a0 rovny 1, je nutné přenos nejdříve upravit (viz následující příklad).
19
Příklad WST. Je dána integrační (astatická) soustava se setrvačností 2. řádu s přenosem 1 GS ( s ) = s (0,5s + 1)(0,1s + 1) Pomocí Whiteleyho st. tvarů určete nastavení parametrů PD regulátoru. řešení:
r1s + r0 1 G0 ( s ) = G R ( s ) GS ( s ) = (r0 + r1s ) = s (0,5s + 1)(0,1s + 1) 0,05s 3 + 0,6 s 2 + s r1s + r0 G0 ( s ) r1s + r0 0,05s 3 + 0,6 s 2 + s = GW ( s ) = = 3 2 r1s + r0 1 + G0 ( s ) 0 , 05 s + 0 , 6 s + (r1 + 1) s + r0 1+ 0,05s 3 + 0,6 s 2 + s Jmenovatel přenosu řízení GW(s) odpovídá levé straně charakteristické rovnice.
20
• Abychom dostali a0=1, dělíme čitatel i jmenovatel členem a0. r1 s +1 r0 r1s + r0 = GW ( s ) = 0,05s 3 + 0,6 s 2 + (r1 + 1) s + r0 0,05 s 3 + 0,6 s 2 + r1 + 1 s + 1 r0 r0 r0 a • Abychom měli i an=1, použijeme substituci s = n 0 q , an r0 v příkladu tedy volíme s = 3 q = 3 20r0 q , pak 0,05 r1 3 20r0 q + 1 r0 GW (q ) = r +1 0,6 3 q3 + 400 r02 q 2 + 1 3 20r0 q + 1 r0 r0 Srovnáním s Whiteleyho standardními tvary dostáváme:
0,6 3 400 0,63.400 2 400 r0 = 5,1 ⇒ 0,6 3 = 5,1 ⇒ r0 = ≈ 0,651 3 r0 r0 5,1 r1 + 1 3 6,3r0 20r0 = 6,3 ⇒ r1 + 1 = ⇒ r1 = 6,3 3 0,05r02 − 1 ≈ 6,33 0,212 − 1 ≈ 2,755 3 20r r0 21 0
(iv) Seřízení regulátoru podle přechodové charakteristiky regulované soustavy Z odměřené přechodové charakteristiky soustavy s nekmitavým průběhem určíme dobu průtahu Tu , dobu náběhu Tn a koeficient přenosu (zesílení) soustavy kS .
Platí-li 0 < Tu < Tn , lze přenos soustavy aproximovat vztahem GS ( s ) ≈
kS e −Tu s Tn s + 1 22
Optimální hodnoty seřízení nastavitelných parametrů regulátoru podle přechodové charakteristiky regulované soustavy udává následující tabulka. typ regulátoru
P PI PD PID
1 GR ( s ) = k R 1 + + TD s TI s kR≡r0 TI ≡ r0/r−1 TD ≡ r1/r0 1 kS 1 0,9 kS 1 1,2 kS 1 1,25 kS
Tn Tu Tn Tu Tn Tu Tn Tu
−
−
3,5 Tu
−
−
0,25 Tu
2 Tu
0,5 Tu
23
3. DISKRÉTNÍ SYSTÉMY ŘÍZENÍ - takové systémy, v nichž alespoň jedna veličina systému řízení má tvar posloupnosti diskrétních hodnot (impulsů, čísel), např. z důvodu, že nemůže být měřena spojitě - nejčastěji dáno použitím počítače jako regulátoru v systému automatického řízení
w(kT)
e(kT)
číslicový regulátor
u(kT)
y(kT)
regulovaná soustava (spojitá)
y(t)
vzorkovač - provádí diskretizaci spojitého signálu
u(kT)
uT(t)
u(t)
A-Č (vzorkovač)
tvarovač (nultého řádu) - realizace analogovou pamětí
5T 6T 7T 8T 9T 10T 0T 1T 2T 3T 4T 11T 12T
Č-A (tvarovač)
u(t) kT t
u(t)
T
u(kT)
t
u(kT) 5T 6T 7T 8T 9T 10T 0T 1T 2T 3T 4T 11T 12T
1
kT
podle frekvenčního spektra vzorkované veličiny
podle dynamiky regulované soustavy
volba vzorkovací periody a) T » 0,5tmin , kde tmin je nejmenší časová konstanta regulované soustavy b) T » (1¤4 až 1¤2 ) Sti , kde Sti je součet všech časových konstant regulované soustavy c) T » (1¤8 až 1¤4 ) Td , volí se u soustav s velkým časovým zpožděním Td d) T » (1¤15 až 1¤6 ) T95 , kde T95 je doba dosažení 95% ustálené hodnoty na přechodové charakteristice regulované soustavy e) podle Shannon-Kotělnikovova teorému T < p/ wm provedeme-li rozklad vzorkovaného signálu na jednotlivé harmonické Fourierova rozvoje, |v(jw)| dostaneme amplitudové spektrum podle obrázku, pro frekvence w > wm je amplituda těchto harmonických kmitů nulová w w m
f) doba závěru pohonu, (nemá smysl, aby vzorkovací perioda byla kratší než doba, za kterou se stačí vykonat požadované nastavení akčního orgánu)
2
Přivedeme-li na vstup tvarovače nultého řádu diskrétní jednotkový impuls d(kT) ì1, pro k = 0 1 d (kT ) = í , î0, pro k ¹ 0 0 T 2T 3T
pak na výstupu tvarovače je pravoúhlá schodová funkce
d(kT)
kT
uT(t)
1
1
0 T 2T
kT
GT(s)
0 T 2T
kT
její Laplaceův přenos je dán součtem Laplaceových obrazů dvou schodových funkcí 1
=
T
1
uT(t)
{
} {
+
T -1
} {
}
1 1 -Ts 1 - e -Ts =L +L = - e = L T s s¥ s ¥ ¥ 1 - st 1 -¥ 1 -Ts - st - st sT = e -e = - e ò f (t ) e dt = ò (-1) e dt = (-1) - s e s s 0 T T
[ ]
T
(
)
3
Z-transformace a) Přímá Z-transformace (originál ® obraz) ¥
F ( z ) = Z { f (kT )} = å f (kT ) z - k = f (0) + f (T ) z -1 + f (2T ) z - 2 + L k =0
(i) lze určit jako součet geometrické řady (ii) pomocí operátorového slovníku Z-transformace
b) Zpětná Z-transformace (obraz ® originál) 1 k -1 f ( kT ) = Z -1{F ( z )} = F z z dz , ( ) . ò 2p j C kde C je uzavřená křivka Určuje se: (i) z operátorového slovníku Z-transformace (ii) dělením polynomu čitatele polynomem jmenovatele (iii) pomocí reziduové věty
f (kT ) = Z -1{F ( z )} =
{
k -1 res F ( z ). z å
póly F ( z ).z
k -1
}
4
výraz zk-1 nemá žádné póly kromě případu k=0, pro k=0 má tedy výraz F(z).zk-1 jeden pól navíc, proto předchozí vztah většinou rozdělujeme na 2 případy:
ì ì F ( z) ü ï å res í z ý þ ïpóly F ( z );0 î f (kT ) = í ï å res F ( z ).z k -1 ïîpóly F ( z )
{
}
pro k = 0 pro k ³ 1
pro jednoduchý pól z0 funkce Y(z) platí
res {Y ( z )} = lim ( z - z0 )Y ( z )
z ® z0
z ® z0
§ pro m-násobný pól z0 funkce Y(z) je 1 res {Y ( z )} = z ® z0 (m - 1)!
d m-1 é m lim m-1 ( z - z0 ) . Y ( z ) ù ë û z ® z0 dz
5
Operátorový slovník Z-transformace f(t)
F(s)
F(z)
1
d(t) Diracův impuls
1
1
2
h(t) jednotkový skok
1 s
z z -1
3
t
1 s2
Tz
4
2
5
t
n
a =
t aT
2 s3 1 1 s - ln a T
( z - 1)2 T 2 z ( z + 1)
( z - 1)3 z z-a
6
6
e
f(t)
F(s)
F(z)
-at
1 s+a
z z - e - aT
1 s( s + a) 1 s 2 (s + a) 1 ( s + a)2
1 1 - e -aT z a ( z - 1) z - e -aT
(
)
7
1 1 - e -at a
8
1 1 - e - at ta a2
9 10
t e -at
(
1 e - at - e -bt b-a
)
1 ( s + a ) ( s + b)
(
)
( ) ( Tz 1 - e - aT ) z - 2 2 a ( z - 1) a ( z - 1) (z - e - aT ) T z e -aT
(z - e )
- aT 2
1 æ z z ö ç ÷ aT bT b-aè z -e ø z -e 7
11 12 13 14 15
f(t)
F(s)
F(z)
sin wt
w s2 + w 2
z sin wT z 2 - 2 z cos wT + 1
cos wt
s s2 + w 2
z 2 - z cos wT z 2 - 2 z cos wT + 1
w ( s + a)2 + w 2
z e - aT sin wT z 2 - 2 z e - aT cos wT + e - 2aT
s+a (s + a)2 + w 2
z 2 - z e - aT cos wT z 2 - 2 z e - aT cos wT + e - 2aT
e - at sin wt e
- at
cos wt
d(t-nT)
e - nTs
z -n 8
ad 1)
ì1, f (kT ) = d (kT ) = í î0,
d(kT)
pro k = 0 pro k ¹ 0
1 kT
0 T 2T 3T
F ( z ) = f (0) + f (T ) z -1 + f ( 2T ) z - 2 + f (3T ) z -3 + L = 1
součet nekonečné geometrické řady s kvocientem q a prvním členem a0 ad 2)
ì1, f (kT ) = h (kT ) = í î0,
s=
h(kT)
pro k ³ 0 pro k < 0
1 0 T 2T 3T
F ( z ) = 1 + z -1 + z - 2 + z -3 + L =
a0 1- q
1 1 - z -1
=
kT
1 z = z -1 z -1 z 9
ad 3)
f(kT)
f (kT ) = kT
3T
F ( z ) = 0 + T z -1 + 2T z - 2 + 3Tz -3 + 4Tz - 4 + L =
§
ad 5)
= T ( z -1 + 2 z - 2 + 3 z -3 + 4 z - 4 + L) = T G ( z )
T
G(z) dělíme z a integrujeme člen po členu 0 0 T 2T 3T G( z ) -2 -3 -4 -5 = z + 2 z + 3z + 4 z +L z G( z) - z -1 -1 -1 -2 -3 -4 dz = z z z z L = = ò z 1 - z -1 z - 1 po derivaci dostaneme G( z) d æ - 1 ö 1 z Tz = ç = Þ G ( z ) = Þ F ( z ) = ÷ z dz è z - 1 ø ( z - 1)2 ( z - 1)2 ( z - 1)2 f (kT ) = a kT F ( z ) = 1 + a T z -1 + a 2T z - 2 + a 3T z -3 + L =
ad 6)
2T
f (kT ) = e - akT
1 1 - a T z -1
F ( z ) = 1 + e - aT z -1 + e - 2 aT z - 2 + e -3aT z -3 + L =
=
z z - aT
1 1 - e - aT z -1
=
z z - e - aT
10
kT
Vlastnosti Z-transformace 1. Věta o linearitě Z {a f1 ( kT ) + b f 2 ( kT )} = a F1 ( z ) + b F2 ( z )
2. Věty o posunutí (pro celočíselné m > 0)
§
T = 1 sec
T obecné
kladné posunutí Z { f (k + 1)} = z F ( z ) - z f (0)
Z { f [ (k + 1)T ]} = z F ( z ) - z f (0)
Z { f [ (k + 2)T ]} = z 2 F ( z ) - z 2 f (0) - z f (T )
…
m -1
Z { f [(k + m )T ]} = z F ( z ) - å f (iT ) z m
…
Z { f [(k - 1)T ]} = z -1 F ( z ) - f (-T )
m
i =0
záporné posunutí Z { f (k - 1)} = z -1 F ( z ) - f (-1)
Z { f [( k - 2)T ]} = z - 2 F ( z ) + z -1 f ( -T ) + f (-2T ) Z { f [(k - m )T ]} = z
-m
m
F ( z ) + å f (-iT ) z i =1
m -1
Z { f (k + m)} = z F ( z ) - å f (i ) z m-i
m -i
i =0
…
Z { f (k + 2)} = z 2 F ( z ) - z 2 f (0) - z f (1)
i -m
Z { f ( k - 2 )} = z - 2 F ( z ) + z -1 f ( -1) + f (-2)
…
Z { f (k - m)} = z
-m
m
F ( z ) + å f (-i) z i - m i =1
11
3. Věta o počáteční hodnotě f (0) = lim f (kT ) = lim F ( z ) k®0
z® ¥
4. Věta o konečné hodnotě z -1 F ( z) z ®1 z
f (¥ ) = lim f (kT ) = lim k®¥
5. Věta o součtu vzorků ¥
F ( z) å f (kT ) = lim z ®1
k =0
6. Věta o obrazu konvoluce ìk ü [ ] [ ] Z íå f (k - i ) T × g iT ý = F ( z ) × G ( z ) îi = 0 þ
12
Důkaz.
§ad 2)
Z { f [(k + m )T ]} =
¥
å f [(k + m) T ] z -k = f (mT ) + f [(1 + m) T ] z -1 + f [(2 + m) T ] z -2 + L = / . z m . z -m
k =0
{ } = z m {F ( z ) - f (0) - f (T ) z -1 - f (2T ) z - 2 - L - f [(m - 1) T ] z -( m -1) }= = z m f (mT ) z - m + f [(1 + m) T ] z -(1+ m ) + f [(2 + m) T ] z -( 2+ m ) + L =
m -1 m -1 é -i ù m = z ê F ( z ) - å f (iT ) z ú = z F ( z ) - å f (iT ) z m-i ë û i =0 i =0 m
Z { f [(k - m )T ]} =
¥
å f [(k - m) T ] z -k = f (-mT ) + f [(1 - m) T ] z -1 + f [(2 - m) T ] z -2 + L =
k =0 m
{
}
= z - m f (-mT ) z + f [(1 - m) T ] z m -1 + f [(2 - m) T ] z m - 2 + L + f (0) + f (T ) z -1 + f (2T ) z - 2 + L = =z
-m é
m
iù
ê F ( z ) + å f (-iT ) z ú = z ë û i =1
-m
m
F ( z ) + å f ( -iT ) z i -m i =1
F(z)
13
Příklad Z1. Určete z-obraz diskrétní funkce vzniklé vzorkováním funkce f(t) se vzorkovací periodou T=0,1 sec. 5 Laplaceův obraz příslušné spojité funkce je F ( s) = . s ( s + 3) řešení: 5 Z operátorového slovníku dostaneme originál spojité funkce f (t ) = 1 - e -3t 3 a k němu z-obraz diskrétní funkce f(kT) vzniklé vzorkováním f(t) je 0,43 z 5 1 - e -3T z . Po dosazení T=0,1 dostaneme F ( z ) = F (z) = ( z - 1)( z - 0,74) 3 ( z - 1) z - e -3T
(
(
(
)
)
2z 2 + 4z -1 Příklad Z2. Určete originál f(kT) k z-obrazu F ( z ) = z 3 - z 2 + 3z - 1 řešení: [ad (ii) dělením polynomu čitatele polynomem jmenovatele]
( 2z2 + 4z 2 z2 - 2 z 6z 6z
- 1) : ( z3 - z2 + 3z - 1) = 2 z-1 + 6 z-2 - z-3 - 17 z-4 ... + 6 - 2 z-1 - 7 + 2 z-1 - 6 +18 z-1 - 6z-2 -1 -16 z-1 + 6z-2 f(0)=0, f(T)=2, f(2T)=6, f(3T)=-1, -1 -2 -3 -1 + z - 3z + z f(4T)=-17, … -1 -2 -3 -17z + 9z - z 14 ... ... ... ...
)
Příklad Z3. Určete originál f(kT) k z-obrazu F ( z ) =
z - 0,8 ( z - 1)( z - 0,5)
řešení: [ad (i) rozklad na parciální zlomky a ze slovníku Z-transformace]
z - 0,8 A B = + ( z - 1)( z - 0,5) z - 1 z - 0,5 é ù z - 0,8 1 - 0,8 0,2 A = ê( z - 1) = = = 0,4 ú ( z - 1)( z - 0,5)û z =1 1 - 0,5 0,5 ë é ù z - 0,8 0,5 - 0,8 - 0,3 ( ) B = ê z - 0,5 = = = 0,6 ú ( )( ) z z 1 0 , 5 0 , 5 1 0 , 5 ë û z = 0 ,5 0,4 0,6 F (z) = + z - 1 z - 0,5 F ( z) =
ze slovníku Z-transformace dostaneme f (kT ) = 0,4 + 0,6 . 0,5k -1
pro k ³ 1,
f (0 ) = 0
15
Příklad Z4. Určete originál f(kT) k z-obrazu F ( z ) = řešení:
2 z -1
2 z -1
(z - 1)(z + 0,5)2
A B1 B2 + + ( z - 1)( z + 0,5)2 z - 1 z + 0,5 ( z + 0,5)2 é ù 2 z -1 2 -1 1 4 = = A = ê( z - 1) = 2ú 2 2 , 25 9 ( z - 1)( z + 0,5) û z =1 (1 + 0,5) ë é ù 2 z -1 2.(- 0,5) - 1 - 1 - 1 - 2 4 2 B2 = ê( z + 0,5) = = = = 2ú - 0,5 - 1 - 1,5 - 1,5 3 ( z - 1)( z + 0,5) û ë
F (z) =
=
z = -0,5
ù üï 1 ìï d é 2 z -1 ì d é 2 z - 1ù ü 2 B1 = í ê( z + 0,5) = = í ê ý úý 2 ú 1! ïî dz ë ( z - 1)( z + 0,5) û ïþ z =-0,5 î dz ë z - 1 û þ z =-0,5 ì 1 ì 2 z - 2 - 2 z + 1ü -1 ü -1 4 = í2 + (2 z - 1) = = = í ý 2ý 2 z 1 9 ( ) ( ) z z 1 1 î þ z = -0,5 î þ z = -0,5 2,25 4 1 4 1 4 1 Þ F ( z) = + 9 z - 1 9 z + 0,5 3 ( z + 0,5)2 ze slovníku Z-transformace dostaneme 4 4 4 f (kT ) = - (- 0,5)k -1 + (k - 1)(- 0,5 )k -2 9 9 3 f (0 ) = 0
pro k ³ 1, 16
Příklad Z4’. Určete originál f(kT) k z-obrazu
F (z) =
jiný způsob řešení:
F ( z) =
2 z -1
( z - 1)( z + 0,5)2
=
2 z -1
(z - 1)(z + 0,5)2
2z -1 2z -1 = ( z - 1) z 2 + z + 0,25 z 3 + z 2 - 0,75 z - 0,25
(
)
(2 z - 1) : (z3+ z2 -0,75z -0,25) =2 z-2 - 3 z-3 + 4,5 z-4… 2 z + 2 - 1,5z-1 - 0,5 z-2 -3 +1,5z-1 + 0,5 z-2 -3 - 3 z-1 +2,25 z-2 + 1,33 z-3 -4,5z-1 -1,75 z-2 - 1,33 z-3 ... ... ... z definice F(z) = f(0) + f(T) z-1 + f(2T) z-2 + f(3T) z-3 + f(4T) z-4 + … dostáváme f(0)=0, f(T)=0, f(2T)=2, f(3T)=-3, f(4T)=4,5, … , to je ve shodě s výsledkem z předchozího řešení 4 4 4 - (- 0,5)k -1 + (k - 1)(- 0,5)k - 2 pro k ³ 1, f (0) = 0, 9 9 3 4 4 4 4 4 4 8 + 4 + 24 např. f (2T ) = - (- 0,5)2-1 + (2 - 1)(- 0,5)2- 2 = + + = =2 9 9 3 9 18 3 18 f (kT ) =
17
Diferenční rovnice první diference (dopředná),
první diference (zpětná) Ñ f (kT ) = f (kT ) - f [(k - 1)T ]
D f (kT ) = f [(k + 1)T ] - f (kT )
druhá diference D2 f (kT ) = D f [(k + 1)T ] - D f (kT ) = { f [(k + 2)T ] - f [(k + 1)T } - { f [(k + 1)T ] - f ( kT )} = = f [(k + 2)T ] - 2 f [(k + 1)T ] + f (kT ) Ñ 2 f (kT ) = Ñ f (kT ) - Ñ f [(k - 1)T ] = f (kT ) - 2 f [(k - 1)T ] + f [(k - 2)T ]
třetí diference
D3 f (kT ) = D2 f [(k + 1)T ] - D2 f ( kT ) = = {D f [(k + 2)T ] - D f [(k + 1)T ]} - {D f [(k + 1)T ] - D f ( kT )} = = D f [(k + 2)T ] - 2D f [(k + 1)T ] + D f (kT ) = = f [(k + 3)T ] - f [(k + 2)T ] - 2{ f [(k + 2)T ] - f [(k + 1)T ]} + f [(k + 1)T ] - f (kT ) = = f [(k + 3)T ] - 3 f [(k + 2)T ] + 3 f [(k + 1)T ] - f (kT )
Ñ3 f (kT ) = Ñ 2 f (kT ) - Ñ 2 f [(k - 1)T ] = f (kT ) - 3 f [(k - 1)T ] + 3 f [(k - 2)T ] - f [(k - 3)T ]
n-tá diference
n
ænö f (kT ) = å (- 1)n-i ç ÷ f [(k + i )T ] èi ø i =0 n n -i æ n ö n n -1 n -1 Ñ f (kT ) = Ñ f (kT ) - Ñ f [(k - 1)T ] = å (- 1) ç ÷ f [(k - i )T ] èi ø i =0 n
n -1
D f (kT ) = D
n -1
f [(k + 1)T ] - D
18
lineární diferenční rovnice n-tého řádu a) diferenční tvar (z dopředných a zpětných diferencí): a n Dn y (kT ) + L + a1 Dy (kT ) + a 0 y (kT ) = b m Dmu (kT ) + L + b1 Du (kT ) + b 0 u (kT )
(1)
a n Ñ n y (kT ) + L + a1 Ñy (kT ) + a 0 y (kT ) = b m Ñ mu (kT ) + L + b1 Ñu (kT ) + b 0 u (kT )
(2)
kde u(k) … známá vstupní diskrétní funkce y(k) … hledaná výstupní diskrétní funkce Jestliže za diference dosadíme podle předchozích vztahů, dostaneme b) rekurentní tvar diferenční rovnice (dosazením vztahů pro diference do (1) a (2)): an y[(k + n)T ] + L + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = bm u[(k + m)T ] + L + b1 u[(k + 1)T ] + b0 u (kT )(3) a0 y (kT ) + a1 y[(k - 1)T ] + L + an y[(k - n)T ] = b0 u (kT ) + b1 u[(k - 1)T ] + L + bm u[(k - m)T ] (4)
Poznámka: K řešení diferenčních rovnic musí být dány počáteční podmínky, např. u vztahu (1) pro y(0), Dy(0), … , Dn-1y(0) , u(0), Du(0), … , Dm-1u(0), u vztahu (3) pro y(0), y(T), … , y[(n-1)T], u(0), u(T), … , u[(m-1)T] Zápis (3) je častější v matematické literatuře, diferenční rovnice ve tvaru (4) v technických aplikacích, protože počáteční podmínky y(-T), y(-2T),…, y(-nT), 19 u(-T), u(-2T),…u(-mT) jsou většinou nulové
Řešení diferenčních rovnic (i) rekurentním způsobem řešení je v otevřeném tvaru, hodnotu y(kT) nelze určit bez znalosti předcházejících hodnot (ii) klasickým způsobem řešení = řešení homogenní rovnice + řešení partikulární části,
- k homogenní rovnici (pravá strana je rovna nule): a n y[(k + n)T ] + a n -1 y[(k + n - 1)T ] + L + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = 0 určíme příslušnou charakteristickou rovnici a n z n + a n -1 z n -1 + L + a1 z + a0 = 0 a) jsou-li z1, z2, … , zn její navzájem různé kořeny (reálné nebo komplexní), pak řešení homogenní rovnice je y hom (kT ) = C1 z1kT + C 2 z 2kT + L + C n z nkT b) je-li jeden kořen (např. z1) p-násobný a ostatní jednoduché, je y hom (kT ) = C1 + C 2 k + ... + C p k p -1 z1kT + C p +1 z 2kT + L + C n z nkT- p +1
(
)
c) pro větší počet násobných kořenů získáme tvar yhom(kT) zobecněním b) [Konstanty C1, C2, … , Cn určíme z počátečních podmínek] - partikulární řešení ® viz literatura
20
(iii) pomocí Z-transformace Diferenční rovnice an y[(k + n)T ] + L + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = bm u[(k + m)T ] + L + b1 u[(k + 1)T ] + b0 u ( kT ) + počáteční podmínky pro y(0), y(T), …, y[(n-1)T], u(0), u(T), …, u[(m-1)T] an y[(k + n)T ] + ... =b m u[(k + m)T ] + ... y(0)=…, u(0)=…,
úloha v originálu
Z{dif.r.} an z nY ( z ) + ... =b m z mU ( z ) + ... úloha v Z-obraze
rekurentní řešení (není uzavřené) nebo klasické řešení (nesnadné) y(kT)
výsledek v originále
Z-1 {Y(z)}
řešení v Z-obraze (snadnější) Y(z)
výsledek v Z-obraze 21
Příklad D1. Řešte numericky diferenční rovnici (T=1) y(k+2) + 3y(k+1) + 2y(k) = u(k+2) - 3u(k+1) + 2u(k) pro vstupní funkci u(k) = h(k) a počáteční podmínky y(0) = 0, y(1) = 2 řešení (i): Rovnici upravíme tak, aby na levé straně byla výstupní funkce
s „největším posunutím“ y(k+2) = u(k+2) - 3u(k+1) + 2u(k) - 3y(k+1) - 2y(k) y(0) = 0 y(1) = 2 Þ
k = 0: y(2) = u(2) - 3u(1) + 2u(0) - 3y(1) - 2y(0) = 1 - 3 + 2 - 6 - 0 = -6 k = 1: y(3) = u(3) - 3u(2) + 2u(1) - 3y(2) - 2y(1) = 1 - 3 + 2 + 18 - 4 = 14 k = 2: y(4) = u(4) - 3u(3) + 2u(2) - 3y(3) - 2y(2) = 1 - 3 + 2 - 42 + 12 = -30 ---
22
Příklad D2. Určete uzavřené řešení diferenční rovnice y(k+2) + 3y(k+1) + 2y(k) = 0 pro počáteční podmínky y(0) = 0, y(1) = 2 řešení (ii): charakteristická rovnice:
z2 + 3z +2 = 0 Þ (z + 1) (z + 2) = 0 Þ z1 = -1, z2 = -2 y(k) = C1 z1k + C2 z2k = C1 (-1)k + C2 (-2)k integrační konstanty C1 , C2 dostaneme z počátečních podmínek y(0) = 0 = C1 + C2 y(1) = 2 = -C1 -2 C2 2 = -C2 Þ C2 = -2 Þ C1 = 2 Þ řešení homogenní rovnice je y(k) = 2 (-1)k - 2 (-2)k = 2 [ (-1)k - (-2)k ] y(2) = 2 [ 1 - 4 ] = -6 y(3) = 2 [-1-(-8)] = 14 y(4) = 2 [ 1 - 16 ] = -30 ---
23
Příklad D3. Užitím Z-transformace řešte diferenční rovnici y(k+2) - 2y(k+1) + y(k) = u(k) ì2 k , k ³ 0 pro vstupní funkci u (k ) = í î0, k < 0 a počáteční podmínky y(0) = 0, y(1) = 2 řešení (iii):
Z-obraz levé strany se rovná Z-obrazu pravé strany Z{y(k+2) - 2y(k+1) + y(k)} = Z{u(k)} podle věty o kladném posunutí z2 Y(z) - z2 y(0) - z y(1) - 2 [zY(z) - z y(0)] + Y(z) = U(z) Y(z) [z2 - 2z + 1] - 2z = U(z) z (2 z - 3) z 2 Þ Y ( z) = Y ( z ) ( z - 1) - 2 z = z-2 (z - 2)(z - 1)2 originál získáme např. dělením polynomů čitatele a jmenovatele Y(z):
(2 z 2 - 3z ): (z 3 - 4 z 2 + 5z - 2) = 2 z -1 + 5z -2 + 10z -3 + 19 z -4 L
,
a tedy y(0) = 0, y(1) = 2, y(2) = 5, y(3) = 10, y(4) = 19, … Poznámka: Řešení v otevřeném tvaru bylo možné získat ze zadání i jednodušeji postupem použitým v příkladu D1.
24
Vnější popis dynamických vlastností diskrétních systémů u(kT)
diskrétní systém
y(kT)
(i) lineární diferenční rovnice např. v rekurentním tvaru z dopředných diferencí spolu s počátečními podmínkami an y[(k + n)T ] + L + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = bm u[(k + m)T ] + L + b1 u[(k + 1)T ] + b0 u ( kT ) y(0), y(T), …, y[(n-1)T], u(0), u(T), …, y[(m-1)T]
Þ an y[(k + n)T ] = bm u[(k + m)T ] + L + b1 u[(k + 1)T ] + b0 u (kT ) -
- an -1 y[(k + n - 1)T ] - L - a1 y[(k + 1)T ] - a0 y (kT )
každý člen podělíme koeficientem an , abychom dostali vztah pro y[(k+n)T], postupně dosazujeme k=0,1, … musí přitom platit m £ n (jinak by současná hodnota výstupu y závisela na budoucí hodnotě vstupu u)
25
(ii) Z-přenos - poměr Z-obrazu diskrétní výstupní veličiny k Z-obrazu diskrétní vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách G( z) =
Z { y (kT )} Y ( z ) = Z { u (kT )} U ( z )
Jestliže rekurentní tvar diferenční rovnice z dopředných diferencí transformujeme podle věty o linearitě a věty o kladném posunutí a dosadíme nulové počáteční hodnoty, dostaneme: an z nY ( z ) + an-1z n-1Y ( z ) + L + a1zY ( z ) + a0Y ( z ) = = bm z mU ( z ) + bm -1z m-1U ( z ) + L + b1zU ( z ) + b0U ( z )
[
]
[
Þ Y ( z ) an z n + an-1z n-1 + L + a1z + a0 = U ( z ) bm z m + bm -1z m -1 + L + b1z + b0
]
Y ( z ) bm z m + bm-1z m -1 + L + b1z + b0 Þ G( z) = = U ( z ) an z n + an-1z n-1 + L + a1z + a0
v diferenční rovnici ze zpětných diferencí lze obdobně odvodit Y ( z ) b0 + b1z -1 + L + bm z - m G( z ) = = U ( z ) a0 + a1z -1 + L + an z - n
26
(iii) diskrétní impulsní funkce/charakteristika - analytické vyjádření/graf odezvy na jednotkový impuls d(kT) ì1, pro k = 0 1 d (kT ) = í î0, pro k ¹ 0 0 T 2T 3T
G( z) =
kT
Y ( z ) Z {y (kT )} Z {y (kT )} Z {y (kT )} = = = = Z {y (kT )} U ( z ) Z {u (kT )} Z {d (kT )} 1
Þ y (kT ) º g (kT ) = Z -1{ G ( z )}
(iv) diskrétní přechodová funkce/charakteristika - analytické vyjádření/graf odezvy na jednotkový skok h(kT) ì1, pro k ³ 0 1 h (kT ) = í î0, pro k < 0 0 T 2T 3T
Y ( z ) Z {y (kT )} Z {y (kT )} Z {y (kT )} = = = z U ( z ) Z {u (kT )} Z {h (kT )} z -1 ì z ü Þ y (kT ) º h(kT ) = Z -1 í G ( z )ý îz -1 þ
kT
G( z) =
27
Příklad D4. Systém je popsán diferenční rovnicí y(k+2)-5y(k+1)+6y(k) = u(k) Určete impulsní funkci a načrtněte impulsní charakteristiku. K řešení využijte následující informace z operátorového slovníku Z-transformace: f(0)
d(k)
1 0
F(z)
f(k), k³1 0 1 a -b
(
a k -1 - b k -1
)
1 1 , a¹b ( z - a )( z - b)
Řešení: Pro nulové počáteční podmínky z diferenční rovnice dostáváme
v Z-obrazech rovnici z2Y(z) -5zY(z)+6Y(z) = U(z), odtud plyne, že přenos je roven Y ( z) 1 1 G( z) = = 2 = U ( z ) z - 5 z + 6 ( z - 3)( z - 2) Pro impulsní funkci podle výše uvedených úvah platí: ì ü 1 y ( k ) = Z -1 {G ( z )} = Z -1 í ý ( z 3)( z 2) î þ
28
Srovnáním se vztahem ze slovníku dostáváme a=3, b = 2, a tedy pro k ³1 y (k ) =
1 a -b
(
)
a k -1 - b k -1 =
1 3-2
(3
k -1
)
- 2 k -1 = 3k -1 - 2 k -1
Impulsní charakteristika má v okamžicích vzorkování tyto hodnoty: y(0) = 0 (ze slovníku) y(1) = 31-1 - 21-1 = 1- 1 = 0 y(2) = 32-1 - 22-1 = 3-2 = 1 y(3) = 33-1 - 23-1 = 9-4 = 5 y(4) = 34-1 - 24-1 = 27-8 = 19 y(5) = 35-1 - 25-1 = 81 -16 = 65 …
29
Příklad D5. Systém je popsán diferenční rovnicí y(k+2)-5y(k+1)+6y(k) = u(k) Určete přechodovou funkci a načrtněte přechodovou charakteristiku. Řešení: Přenos byl vypočítán v předchozím příkladu a víme, že pro
přechodovou funkci platí: ì z ü y ( k ) = Z -1 {U ( z )G ( z )} = Z -1 í G( z)ý î z -1 þ ì z ü 1 -1 ì A ü -1 ì B ü -1 ì C ü Z Z Z Þ y ( k ) = Z -1 í = + + ý í ý í ý í ý, î z - 1þ î z - 3þ îz - 2þ î z - 1 ( z - 3)( z - 2) þ
kde é ù é ù z z 1 1 A = ê( z - 1) = = = ( z - 1)( z - 3)( z - 2) úû z =1 êë ( z - 3)( z - 2) úû z =1 (1 - 3)(1 - 2) 2 ë é ù é ù z z 3 3 B = ê( z - 3) = = = ( z - 1)( z - 3)( z - 2) úû z =3 êë ( z - 1)( z - 2) úû z =3 (3 - 1)(3 - 2) 2 ë é ù é ù z z 2 C = ê( z - 2) = = = -2 ú ê ú ( z - 1)( z - 3)( z - 2) û z = 2 ë ( z - 1)( z - 3) û z = 2 (2 - 1)(2 - 3) ë 30
Þ y (k ) =
1 -1 ì 1 ü 3 -1 ì 1 ü -1 ì 1 ü Z í ý+ Z í ý- 2Z í ý z z z 2 1 2 3 2 î þ î þ î þ
Z operátorového slovníku dostaneme …
31
Vztah mezi diskrétní impulsní a diskrétní přechodovou funkcí z -1 z ì z ü H ( z) G( z) Þ G( z) = G ( z )ý Þ H ( z ) = h(kT ) = Z -1 í z z -1 îz -1 þ ¥
å h(kT ) z
k =0 ¥
-k
å h(kT ) z
1- k
k =0
¥ ¥ z ¥ -k -k = g (kT ) z Þ ( z - 1) å h(kT ) z = z å g (kT ) z - k Þ å z - 1 k =0 k =0 k =0
-
¥
å h(kT ) z
-k
k =0
=
¥
å g (kT ) z1- k
k =0
{
}
h(0) z + h(T ) + h(2T ) z -1 + h(3T ) z -2 + ... - h(0) + h(T ) z -1 + h(2T ) z - 2 + h(3T ) z -3 + ... = = g (0) z + g (T ) + g (2T ) z -1 + g (3T ) z - 2 + ... z1 :
g (0) = h(0)
z0 :
g (T ) = h(T ) - h(0)
z -1 :
g (2T ) = h(2T ) - h(T )
-2
g (3T ) = h(3T ) - h(2T )
z
:
ß
g (kT ) = h( kT ) - h[(k - 1)T ]
sečtením těchto rovnic dostaneme k
h(kT ) = å g (iT ) i=0
32
(v) frekvenční přenos diskrétního systému - podíl Fourierova obrazu výstupní funkce ku Fourierovu obrazu vstupní funkce G ( jwT ) =
Y ( jwT ) U ( jwT )
- získáme jej ze Z-přenosu záměnou z = e jwT = cos wT + j sin wT, tj. G ( jwT ) = [G ( z )]z =e jwT
pro wT Î< 0, 2p > opíše jednotkovou kružnici v komplexní rovině proti směru otáčení hodinových ručiček (začíná v (1,0))
- frekvenční přenos diskrétního systému je komplexní periodická funkce bezrozměrné frekvence wT s periodou 2p G ( jwT ) = G[ j (wT + 2kp )]
(vi) frekvenční charakteristika diskrétního systému - graf hodnot frekvenčního přenosu diskrétního systému pro frekvence z rozsahu wT Îá 0, 2p ñ 33
Příklad D6. Nakreslete frekvenční charakteristiky systémů se Z-přenosy 1 1 1 G( z) = , G( z) = 2 , G( z) = 3 z z z řešení:
a frekvence omezené na w TÎá0,p ñ
1 1 Þ G ( jwT ) = jwT = e - jwT = cos wT - j sin wT z e 1 1 - j 2wT = = cos 2wT - j sin 2wT b) G ( z ) = 2 Þ G ( jwT ) = e 2 j w T z e
a)
G( z) =
(
c)
a)
G( z) =
1 z3
Þ G ( jwT ) =
b)
(
)
1 e jwT
)
3
= e- j 3wT = cos3wT - j sin 3wT
c)
34
Bloková algebra diskrétních obvodů u(kT)
(a)
y(kT)
G(z)
u(t) T u(kT)
G( z) =
T y(kT)
G(s)
{{
Y ( z) Þ Y ( z ) = G( z )U ( z) U ( z)
}}
Y ( z ) = Z V L-1{G ( s )} ×U ( z ) = G ( z ) U ( z ) operace vzorkování spojitého signálu s periodou T T y(kT)
(b)
u(t) T u(kT)
y(t)
G(s)
{{
}}
Y ( z ) = Z V L-1{G ( s )} ×U ( z ) = G ( z ) U ( z ) 35
T y(kT)
(c)
u(t)
y(t)
G(s)
{{
}}
Y ( z ) = Z V L-1{ G ( s ) U ( s )} = G U ( z )
(d)
u(t) T u(kT)
G1(s)
{{
T y(kT) y(t)
G2(s)
}}
Y ( z ) = Z V L-1 {G1 ( s ) G2 ( s )} × U ( z ) = G1G2 ( z ) U ( z )
(e)
u(t)
G1(s)
T y(kT)
G2(s)
{{
}}
Y ( z ) = Z V L-1{G1 ( s ) G2 ( s ) U ( s )} = G1G2U ( z )
(f)
u(t) T u(kT)
{{
G1(s)
x(t) T x(kT)
G2(s)
T y(kT) y(t)
}} = Z {V {L-1{G2 ( s )}}}× Z {V {L-1{G1 ( s )}}}U ( z ) = G2 ( z ) G1 ( z )U ( z )
Y ( z ) = Z V L-1{G2 ( s )} × X ( z ) =
Poznámka: G1G2 ( z ) ¹ G1 ( z ). G2 ( z ) , protože L-1 { G1 ( s ).G2 ( s )} ¹ L-1{G1 ( s )}. L-1{G2 ( s )} 36
antiparalelní (zpětnovazební) zapojení T y(kT)
w(t)
e(t) T e(kT)
G(s)
e(t ) = w(t ) - y (t ) Þ E ( z ) = W ( z ) - Y ( z )
y(t)
[plyne z věty o linearitě]
Y ( z ) = G ( z ) E ( z ) = G ( z ) [W ( z ) - Y ( z )] = G ( z )W ( z ) - G ( z ) Y ( z ) Þ Y ( z ) [1 + G ( z )] = G ( z )W ( z ) Þ Gw ( z ) =
Y ( z) G( z) = W ( z) 1 + G( z)
37
T y(kT)
w(t)
e(t) T e(kT)
GR(z)
T
GS(s)
y(t)
Y ( z ) = GS ( z ) GR ( z ) E ( z ) = GS ( z ) GR ( z ) [W ( z ) - Y ( z )] Þ GS ( z ) GR ( z ) W ( z ) - GS ( z ) GR ( z ) Y ( z ) Þ Y ( z ) [1 + GS ( z ) GR ( z )] = GS ( z ) GR ( z ) W ( z ) Þ Gw ( z ) =
GS ( z ) GR ( z ) Y ( z) = W ( z ) 1 + GS ( z ) GR ( z )
38
Příklad BA1. Určete přenos zapojení vzorkovač-tvarovač-spojitá soustava. T y(kT) u(t) T u(kT)
GT(s)
y(t)
GS(s)
{{
}}
Y ( z ) = Z V L-1{GT ( s ) GS ( s )} × U ( z ) = GT GS ( z )U ( z ) Tvarovač nultého řádu má přenos
{
} {
} {
}
1 1 -Ts 1 - e -Ts GT ( s ) = L +L = - e = T =L s s s V Laplaceově transformaci znamená násobení obrazu výrazem e-Ts posunutí originálu o -T. V Z-transformaci posunutí o -T znamená podle věty o posunutí násobení Z-obrazu výrazem z-1. ì1 - e -Ts ü Y ( z) G ( z) ü ìG ( z ) ü ì Þ GT GS ( z ) = = Zí GS ( z )ý = Z í S ý - Z íe -Ts S ý = U ( z) s þ î s þ î î s þ
(
T
)
ìG ( z ) ü ìG ( z ) ü ìG ( z ) ü = Z í S ý - z -1 Z í S ý = 1 - z -1 Z í S ý î s þ î s þ î s þ
39
I. Stabilita lineárních diskrétních obvodů Obecné vyjádření stability: Regulační obvod je stabilní, jestliže po jeho vychýlení z rovnovážného stavu poruchou se regulovaná veličina y ustálí na původní hodnotě nebo na nové hodnotě při vychýlení řídící veličinou w (tj. při změně žádané hodnoty regulované veličiny). n spojité regulační obvody:
lim y (t ) = y0 t →∞ an y ( n ) (t ) + L + a1 y ' (t ) + a0 y (t )
popis diferenciální rovnicí ⇒ řešení y (t ) = y hom (t ) + y part (t ) přechodná část ustálená část
= ...
1 + G0 ( s) = 0 kořeny charakteristické rovnice an s n + L + a1s + a0 = 0 jsou: n s1 t s2 t sn t s t 1. reálné, navzájem různé: yhom (t ) = c1 e + c2 e + L + cn e = ∑ ci e i
(
i =1 m −1
2. reálný m-násobný kořen sk: yhom (t ) = ck + ck t + ck t + L + ck t 1 2 3 m 2
3. komplexně sdružené a±jb: y hom (t ) = e at (ck sin bt + ck +1 cos bt ) 4. kombinace 1,2,3 lim yhom (t ) = 0 ⇒ obvod je stabilní, jsou-li reálné části všech kořenů t →∞ charakteristické rovnice záporné 1 lim y part (t ) = lim y (t ) = y0 nutná a postačující podmínka stability t →∞ t →∞
) es t k
diskrétní regulační obvody: popis diferenční rovnicí an y[(k + n)T ] + L + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = ... ⇒ řešení y ( kT ) = yhom (kT ) + ypart ( kT ) přechodná část ustálená část kořeny charakteristické rovnice a n z n + a n −1 z n −1 + L + a1 z + a0 = 0 jsou: 1. z1, z2, … , zn navzájem různé (reálné nebo komplexní), pak y hom (kT ) = C1 z1kT + C 2 z 2kT + L + C n z nkT 2. je-li jeden kořen (např. z1) p-násobný a ostatní jednoduché, je y hom (kT ) = C1 + C 2 k + ... + C p k p −1 z1kT + C p +1 z 2kT + L + C n z nkT− p +1
(
)
3. kombinace 1,2 [Konstanty C1, C2, … určíme z počátečních podmínek] lim yhom (kT ) = 0 ⇒ obvod je stabilní, je-li splněno | zi |< 1, i=1,2, …, n
k →∞
lim ypart (kT ) = lim y (kT ) = y0
k →∞
k →∞
nutná a postačující podmínka stability diskrétního systému [Diskrétní systém je stabilní, jestliže kořeny charakteristické rovnice 2 leží uvnitř jednotkové kružnice v komplexní rovině z.]
Laplaceův obraz spojité funkce f (t):
L{ f (t )} =
∞
∫
f (t ) e − st dt
0
⇒ Laplaceův obraz diskrétní funkce f (kT ):
L{ f (kT )} =
∞
∑
f (kT ) e − skT
k =0
Z { f (kT )} =
Z-obraz diskrétní funkce f (kT ):
∞
∑
f (kT ) z − k
k =0
Z-transformace je Laplaceova transformace diskrétní funkce pro novou proměnnou
z = e sT ⇒
s=
1 ln z T
⇒ pro kořeny charakteristické rovnice spojitého a diskrétního systému platí vztah z i = e siT
3
Vztah podmínky stability pro lineární spojité systémy a lineární diskrétní systémy:
1
poloha kořenů charakter. poloha kořenů charakter. regulační pochod rovnice v rovině „s“ rovnice v rovině „z“ v časové oblasti u spojitého systému u diskrétního systému v levé polorovině uvnitř jednotkové kružnice stabilní
2
v pravé polorovině
3
komplexně sdružené v levé polorovině komplexně sdružené na imaginární ose komplexně sdružené v pravé polorovině
4 5
vně jednotkové kružnice
nestabilní
komplexně sdružené uvnitř kmitavý tlumený jednotkové kružnice na jednotkové kružnici na mezi stability komplexně sdružené a na záporné reálné ose vně jednotkové kružnice
kmitavý netlumený
4
Charakteristická rovnice 1 + G0 ( s) = 0 , přenos řízení G ( s ) = G0 ( s ) w 1 + G0 ( s ) Příklady: 1 ⇒ s1 = −1, s2 = −2 ( s + 1)( s + 2) 1 G2 w ( s ) = ⇒ s1 = 1, s2 = 2 ( s − 1)( s − 2) G1w ( s ) =
G3w ( s ) =
G4 w ( s ) =
G5 w ( s ) = ⇒ s1, 2
1 8s + s + 2 2
1 8s 2 + 2
⇒ s1, 2
− 1 ± 12 − 4.8.2 − 1 j 63 = = ± 2.8 16 16
⇒ s1,2 = ±
j 2
1 8s 2 − s + 2
− (−1) ± (−1) 2 − 4.8.2 1 j 63 = = ± 2.8 16 16 5
Kritéria stability (i) K určení stability lze použít (obdobně jako u spojitých systémů) algebraická a frekvenční kritéria stability v jejich diskrétní verzi. (ii) Jinou možností je nějakou transformací převést komplexní rovinu „z“ na komplexní rovinu „s“ a využít kritéria stability pro spojité systémy. 1 Transformace z = e sT , s = ln z nejsou příliš vhodné pro praktické použití. T Proto se častěji využívá tzv. bilineární transformace definovaná vztahem w +1 z +1 , resp. inverzním vztahem w = , která podobně jako předchozí z= w −1 z −1 transformace zobrazí jednotkovou kružnici v komplexní rovině „z“ na imaginární osu v komplexní rovině „w“ a vnitřek jednotkové kružnice v komplexní rovině „z“ na levou polorovinu komplexní roviny „w“. Im w +1 Im z = „z“ „w“ w −1 1 Re
w=
z +1 z −1
Re 6
Příklad: Rozhodněte o stabilitě obvodu s přenosem řízení Y ( z) G0 ( z ) z2 − z + 2 Gw ( z ) = = = 3 W ( z ) 1 + G0 ( z ) 3 z − z 2 + 2 z − 1 řešení: Charakteristická rovnice je 3 z 3 − z 2 + 2 z − 1 = 0 ,
(∗)
použijeme bilineární transformaci 3
2
w + 1 w + 1 w + 1 3 − + 2 3 − 1 = 0 /.( w − 1) w −1 w − 1 w − 1 3 (w + 1)3 − (w + 1)2 ( w − 1) + 2 ( w + 1)(w − 1)2 − ( w − 1)3 = 0 3( w3 + 3w 2 + 3w + 1) − ( w2 + 2 w + 1)( w − 1) + 2 ( w + 1)( w2 − 2 w + 1) − ( w − 1)3 = 0 3w3 + 9 w 2 + 9 w + 3 − ( w3 + w 2 − w − 1) + 2 ( w3 − w 2 − w + 1) − ( w3 − 3w 2 + 3w − 1) = 0 (∗∗) 3w3 + 9 w 2 + 5 w + 7 = 0 podle Hurwitzova kritéria
9 7 = 9.5 − 7.3 = 45 − 21 = 24 > 0 3 5 ⇒ kořeny rovnice (∗∗) leží v levé polorovině komplexní roviny „w“ ⇒ kořeny charakteristické rovnice (∗) leží uvnitř jednotkové kružnice 7 v komplexní rovině „z“, a tedy obvod je stabilní H2 =
II. Číslicové PSD regulátory diskrétní verze spojitého PID regulátoru (PSD = proporcionálně-sumačně-diferenční) Ideální spojitý PID regulátor lze popsat přenosem r r−1 1 U (s) = r0 + + r1 s = r0 1 + + 1 GR (s) = r0 r0 E (s) s s r −1 v časové oblasti rovnicí t de(t ) 1 u (t ) = r0 e(t ) + ∫ e(τ ) dτ + TD dt T I 0
1 s = r0 1 + + TD s , TI s
(1)
Číslicovou verzi PID regulátoru získáme z rovnice (1) diskretizací integrace a derivace. 8
Hodnota integrálu se přibližně určí jako součet ploch obdélníků nebo lichoběžníků nahrazujících plochu pod původní křivkou odchylky e(t). e(t) e(t) e(t) e(kT) e(kT) e(kT) e(T) e(T) e(T) e(t) e(0) e(t) e(0) e(2T) e(t)
e(2T)
t kT
3T 0
T 2T
0
T
e(2T) 3T 2T e(3T)
e(3T) 2T 3T
t kT
0
T
e(3T)
zpětné obdélníky kT
k
0
i =1
I (kT ) = ∫ e(t ) dt ≈ T ∑ e(iT )
dopředné obdélníky k −1
I (kT ) ≈ T ∑ e(iT ) i =0
lichoběžníky e(iT ) + e[(i − 1)T ] 2 i =1 k
I ( kT ) ≈ T ∑
e(t)
e(t)
Derivace se nahradí pomocí zpětné diference. D(kT ) =
t kT
e(kT) − e[(k−1)T]
de(t ) e(kT ) − e[(k − 1)T ] ≈ dt T (k−1)T
kT
t
9
Polohový PSD regulátor (polohový PSD algoritmus řízení) = diskrétní PID regulátor, který dostaneme ze spojitého PID regulátoru náhradou integrálu sumací (např. zpětných obdélníků) a náhradou derivace pomocí zpětné diference v rovnici (1) ⇒ rovnice polohového PSD (proporcionálně-sumačně-diferenčního) regulátoru T u (kT ) = r0 e(kT ) + TI
TD ∑ e(iT ) + T {e(kT ) − e[(k − 1)T ]} i =1 k
(2)
Z rovnice PSD regulátoru lze analogicky ke spojitému vytvořit diskrétní regulátory P, S, PS, PD.
Poznámka 1: Nevýhodou polohového regulátoru je výskyt sumace v jeho rovnici, to znamená, že k výpočtu akčního zásahu u(kT) je nutné uchovávat v paměti všechny hodnoty e(iT), i=1,2, … , k. Proto se častěji používá tzv. přírůstkový PSD regulátor (popsaný dále). 10
Přírůstkový PSD regulátor (přírůstkový PSD algoritmus řízení) neurčuje celou hodnotu u(kT), ale pouze její změnu proti hodnotě u[(k−1)T] v předchozím kroku. ∇u (kT ) = u (kT ) − u[(k − 1)T ] = T k TD = r0 e(kT ) + ∑ e(iT ) + {e(kT ) − e[(k − 1)T ]} − TI i =1 T T k −1 TD − r0 e[(k − 1)T ] + ∑ e(iT ) + {e[(k − 1)T ] − e[(k − 2)T ]} = TI i =1 T k −1 T Tk = r0 {e(kT ) − e[(k − 1)T ]} + ∑ e(iT ) − ∑ e(iT ) + D {e(kT ) − 2e[(k − 1)T ] + e[(k − 2)T ]} = TI i =1 T i =1 T T = r0 {e(kT ) − e[(k − 1)T ]} + e(kT ) + D {e( kT ) − 2e[(k − 1)T ] + e[(k − 2)T ]} = TI T
T T T T = r0 1 + + D e(kT ) + r0 − 1 − 2 D e[(k − 1)T ] + r0 D e[(k − 2)T ] = T T TI T = q0 e(kT ) + q1 e[(k − 1)T ] + q2 e[(k − 2)T ] ,
kde
T T T T q0 = r0 1 + + D , q1 = −r0 1 + 2 D , q2 = r0 D T T TI T
(3) (4)
11
Z diferenční rovnice přírůstkového PSD regulátoru
∇u (kT ) = u ( kT ) − u[(k − 1)T ] = q0 e(kT ) + q1 e[(k − 1)T ] + q2 e[(k − 2)T ] lze určit jeho Z-přenos. Jestliže v předchozí rovnici s využitím vět o posunutí přejdeme k Z-obrazům a dosadíme nulové počáteční podmínky, dostaneme U ( z ) − z −1U ( z ) = q0 E ( z ) + q1 z −1 E ( z ) + q 2 z − 2 E ( z ) ⇓ U ( z ) q0 + q1 z −1 + q 2 z − 2 = GR ( z) = E( z) 1 − z −1
T T T T r0 1 + + D − r0 1 + 2 D z −1 + r0 D z − 2 T T TI T = 1 − z −1 (5)
Poznámka 2: U spojitého PID regulátoru jsou složky P, I, D jednoznačně odděleny, u diskrétního PSD regulátoru jsou však patrné jen u jeho polohové verze. Ze vztahů (4), (5) je vidět, že parametry q0, q1, q2 přírůstkového regulátoru nejsou přímými ekvivalenty parametrů r0, TI, TD spojitého regulátoru. 12
Přenosy diskrétních regulátorů P, S, PS, PD odpovídajících spojitým regulátorům P, I, PI, PD stanovíme ze znalosti přenosů regulátorů PID a PSD : PID:
PSD:
U ( s) r−1 r 1 1 + TD s GR ( s ) = = r0 + + r1 s = r0 1 + + 1 s = r0 1 + r0 E (s) s r0 TI s s r −1 T TD TD −1 TD − 2 1 1 2 + r + + − r + z r z 0 0 0 T T T T U ( z ) q0 + q1 z −1 + q2 z − 2 I GR ( z ) = = = E ( z) 1 − z −1 1 − z −1
P ≡ [PID]/TI=∞, TD=0 ⇒ q0=r0, q1= −r0, q2=0 I ≡ [PID]/r0=0, TD=0 ⇒ q0 = r0
⇒ P: G R ( z ) =
q0 + q1 z −1 1− z q0
−1
T = r−1T , q1 = 0, q2 = 0 ⇒ S: G R ( z ) = TI 1 − z −1
= r0
q0 + q1 z −1 T PI ≡ [PID]/TD=0 ⇒ q0 = r0 1 + , q1 = −r0 , q 2 = 0 ⇒ PS: GR ( z ) = 1 − z −1 TI TD TD TD q r 1 , q r 1 2 , q = r = + = − + 2 0 1 PD ≡ [PID]/TI=∞ ⇒ 0 0 0 T T T q0 + q1 z −1 + q 2 z − 2 ⇒ PD: G R ( z ) = 1 − z −1 13
Poznámka 3: Z předchozích vztahů je vidět, že některé diskrétní regulátory mají formálně stejný přenos: q0 + q1 z −1 GR ( z ) = • přenos diskrétních regulátorů P a PS je 1 − z −1 −1 q0 + q1 z + q 2 z − 2 • přenos diskrétních regulátorů PD a PSD je G R ( z ) = 1 − z −1 Protože požadujeme, aby přechodová charakteristika diskrétního regulátoru odpovídala jeho spojité verzi, můžeme stanovit podmínky, které musí parametry q0, q1, q2 splňovat, aby se jednalo o požadovaný typ regulátoru. Přechodové charakteristiky h(t) základních spojitých regulátorů jsou P
I
r0
D
r−1
t
1
t
t
a z nich vyplývají přechodové charakteristiky jejich kombinací PI
PD
r−1
r0 1
PID
r0 t
r−1
r0 t
1
t 14
Přírůstkový PSD regulátor je určen vztahem (3): T T T T u (kT ) − u[(k − 1)T ] = r0 1 + + D e(kT ) + r0 − 1 − 2 D e[(k − 1)T ] + r0 D e[(k − 2)T ] = T T TI T = q0 e(kT ) + q1 e[(k − 1)T ] + q2 e[(k − 2)T ] ,
odtud plyne T T T T u (kT ) = u[(k − 1)T ] + r0 1 + + D e(kT ) + r0 − 1 − 2 D e[(k − 1)T ] + r0 D e[(k − 2)T ] = T T TI T (6) = u[(k − 1)T ] + q0 e(kT ) + q1 e[(k − 1)T ] + q2 e[(k − 2)T ] ,
diskrétní přechodová charakteristika h(kT) je odezvou na diskrétní jednotkový skok η(kT), do rovnice (6) dosadíme e(kT)=η(kT) a určíme h(kT)=u(kT), k=0,1,2, … h(0) h(T) h(2T) h(3T) h(4T) h(5T) …
⇓ = q0 = 2q0 + q1 = 3q0 + 2q1 + q2 = 4q0 + 3q1 + 2q2 = 5q0 + 4q1 + 3q2 = 6q0 + 5q1 + 4q2
(7)
15
Obecnou podmínkou všech diskrétních regulátorů je, že první akční zásah musí být kladný, tj. h(0) = q0 > 0. P:
h(kT) q0 q0 0
S:
T
q0 2T
q0 3T
kT
h(kT) 2q0
q0 0
T
3q0
2T
4q0
3T
kT
0
T
2T
4q0+3q1
q0
2q0+q1
h(kT)
3q0+2q1
PS:
3T
kT
∆h = 0 ∆h = h(T)−h(0) = (2q0+q1)− q0 = q0+q1 ⇒ q0+q1=0 q1=0, q2=0 ∆h = konst > 0 ∆h = h(T)−h(0) = (2q0+0) − q0 = q0 ⇒ q0 > 0 q2=0 ∆h = konst > 0 ∆h = h(T)−h(0) = (2q0+q1) − q0 = q0+q1 ⇒ q0+q1 > 0 16
0
2T
2q0+q1
2q0+q1 T
2q0+q1
h(kT) q0
3T
kT
h(0) > h(T) = h(2T) = h(3T) = … > 0 ⇓ ⇓ q0 > 2q0+q1 ⇒ q0+q1 < 0 , 2q0+q1 > 0
h(0) > h(T) ⇒ q0 > 2q0+q1 ⇒ q0+q1 < 0
0
T
3q0+2q1+q2
2q0+q1
q0
PSD: h(kT)
2T
h(2T)−h(T)=h(3T)−h(2T) = … = konst > 0 ⇒ 3q0+2q1+q2 − (2q0+q1) = q0+q1+q2 > 0
4q0+3q1+2q2
PD:
3T
kT
přímka lineárního nárůstu musí protínat svislou osu v kladné hodnotě ⇒ (2q0+q1)−(q0+q1+q2) = q0−q2 > 0
17
III. Nastavení parametrů PSD regulátoru (i) Ziegler-Nicholsova metoda − postup je stejný jako u seřizování spojitého regulátoru 1. Ke známé soustavě a P regulátoru určíme Z-přenos řízení GW(z). Z jeho jmenovatele určíme charakteristickou rovnici. 2. Bilineární transformací ji převedeme z komplexní roviny „z“ do roviny „w“ a určíme kritické zesílení r0krit a periodu kmitů Tkrit na hranici stability. 3. Z hodnot r0krit a Tkrit spočítáme podle následující tabulky parametry r0, T/TI a TD/T a z nich pak hodnoty q0, q1, q2 zvoleného typu regulátoru. typ
kR≡r0
P
0,5 r0krit
PS PSD
T TI
TD T
−
−
T (0 ,27 − 0 ,45) r0 krit Tkrit
r0 krit 0,54 r0
T (0 ,36 − 0 ,6) r0 krit Tkrit
1,2
r0 krit r0
T Tkrit
T Tkrit
−
3 r0 krit 40 r0
T Tkrit
18
