Kunci Jawaban Quis 1 (Bab 1,2 dan 3) tipe 1 1. Tentukan representasi deret Taylor dari f (x) = ln(1 + x) di sekitar a = 0. Tuliskan sampai turunan ke 5. Kemudian estimasilah ln(1.2) dengan menggunakan deret Taylor yang didapat. Hitunglah sampai 5 angka di belakang koma. 2. Tinjau fungsi f (x) = ln x + x. Dengan metoda bagi dua, tentukan nilai x sehingga f (x) = 5, dengan [a, b] = [3.2, 4.0]! Hitunglah sampai dengan 4 iterasi. Tuliskan pula sampai 7 angka di belakang koma. Z 1 √ (2 + sin(2 x))dx dengan menggunakan aturan trapesium 3. Hitunglah 0
dengan lebar sub-selang h = 0.1. Ubah mode dalam kalkulator anda menjadi radian. Answer : 1. Cari f (x), f ′ (x), f ′′ (x), f ′′′ (x), f iv (x) dan f v (x) lalu hitung f (0), f ′ (0), f ′′ (0), f ′′′ (0), f iv (0) dan f v (0). f (x) = ln(1 + x), f ′ (x) =
1 , f ′′ (x) = −(1 + x)−2 , f ′′′ (x) = 2(1 + x)−3 , 1+x
f iv (x) = −6(1 + x)−4 , f v (x) = 24(1 + x)−5 .
Lalu, kita dapatkan,
f (0) = 0, f ′ (0) = 1, f ′′ (0) = −1, f ′′′ (0) = 2, f iv (0) = −6, f v (0) = 24. Maka deret Taylor dari f (x) = ln(1 + x) di sekitar a = 0 adalah f (x) = ln(1 + x) =
= =
f ′′ (0) f ′′′ (0) (x − 0)2 + (x − 0)3 2! 3! f v (0) f iv (0) (x − 0)4 + (x − 0)5 + . . . + 4! 5! −1 2 2 −6 4 24 5 0 + (1)x + x + x3 + x + x + ... 2! 3! 4! 5! (−1)n−1 n 1 2 1 3 1 4 1 5 x + ... x − x + x − x + x + ··· + 2 3 4 5 n
f (0) + f ′ (0)(x − 0) +
Untuk menghitung ln(1.2) dengan menggunakan deret Taylor yang didapat, kita substitusi 1.2 ke dalam persamaan yang terakhir. 1 1 1 1 ln(1.2) = ln(1 + 0.2) ≈ (0.2) − (0.2)2 + (0.2)3 − (0.2)4 + (0.2)5 2 3 4 5 ≈ 0.18233067 2. Karena kita ingin menghitung x sehingga ln(x) + x = 5, maka kita tinjau fungsi baru yaitu b(x) = ln(x) + x − 5. Jika kita mendapatkan x sehingga b(x) = 0, maka didapatkan pula x sehinggal ln(x) + x = 5. Pertama-tama, kita hitung nilai ln(x) + x − 5 saat x = 3.2 dan saat x = 4.0, b(3.2) = −0.636849190194,
b(4.0) = 0.38629436112,
Maka kita akan dapatkan tabel dibawah ini 1
k 0 1 2 3 4
ak 3.2 3.6 3.6 3.6 3.65
ck 3.6 3.8 3.7 3.65 3.675
bk 4.0 4.0 3.8 3.7 3.7
b(ck ) -0.119066154538 0.135001066732 0.00833281965018 -0.0552728324056 -0.0234468673352
Jadi, dengan menggunakan metoda bagi dua sampai dengan 4 iterasi, didapatkan nilai x = 3.675 dimana nilai b(x) = −0.0234468673352 atau nilai f (x) = ln(x) + x = 5.0234468673352. 3. Pertama-tama kita hitung banyaknya sub-selang. n=
batas atas − batas bawah 1−0 = = 10. lebar sub selang 0.1
Jadi terdapat 10 buah sub-selang, artinya terdapat 11 titik (x0 , x1 , . . . , x10 ) = (0, 0.1, 0.2, . . . , 1) yang mesti dihitung. Berdasarkan aturan trapesium, Z
0
1
√ (2 + sin(2 x))dx
≈ ≈ ≈ ≈
h (f (x0 ) + 2f (x1 ) + 2f (x2 ) + · · · + 2f (x9 ) + f (x10 )) 2 0.1 (f (0) + 2f (0.1) + 2f (0.2) + · · · + 2f (0.9) + f (1)) 2 0.1 57.1481769542 2 2.85740884771
2
Kunci Jawaban Quis 1 (Bab 1,2 dan 3) tipe 2 √ 1. Tentukan representasi deret Taylor dari f (x) = 1 + x di√sekitar a = 0? Hitunglah sampai turunan ke 4. Kemudian estimasilah 1.1 dengan menggunakan deret Taylor yang didapat. Hitunglah sampai 5 angka di belakang koma. 2. Tinjau fungsi f (x) = ln x + x. Dengan metoda Newton, tentukan nilai x sehingga f (x) = 5, dengan tebakan awal x0 = 3.2. Hitunglah sampai dengan 4 iterasi. Tuliskan pula sampai 7 angka di belakang koma.. Z 4 3. Hitunglah x2 e−x dx dengan menggunakan aturan Simpson dengan jum0
lah sub-selang n = 8. Answer : 1. Cari f (x), f ′ (x), f ′′ (x), f ′′′ (x), f iv (x) lalu hitung f (0), f ′ (0), f ′′ (0), f ′′′ (0), f iv (0). f (x) =
√
1 + x, f ′ (x) =
1 3 1 (1+x)−1/2 , f ′′ (x) = − (1+x)−3/2 , f ′′′ (x) = (1+x)−5/2 , 2 4 8 f iv (x) = −
15 (1 + x)−7/2 . 16
Lalu, kita dapatkan, 1 3 15 1 ′′ , f (0) = − , f ′′′ (0) = , f iv (0) = − . 2 4 8 16 √ Maka deret Taylor dari f (x) = 1 + x di sekitar a = 0 adalah f (0) = 1, f ′ (0) =
f (x) =
√ 1+x
=
f (0) + f ′ (0)(x − 0) +
f ′′ (0) f ′′′ (0) (x − 0)2 + (x − 0)3 2! 3!
f iv (0) (x − 0)4 + . . . 4! 1 −1 2 3 −15 4 1+ x+ x + x3 + x + ... 2 4 × 2! 8 × 3! 16 × 4! 1 1 15 4 1 x + ... 1 + x − x2 + x3 − 2 8 16 384
+ = =
√ Untuk menghitung 1.1 dengan menggunakan deret Taylor yang didapat, kita substitusi 1.2 ke dalam persamaan yang terakhir. √ √ 1 1 15 1 (0.1)4 1.1 = 1 + 0.1 ≈ 1 + (0.1) − (0.1)2 + (0.1)3 − 2 8 16 384 ≈ 1.04880859375 2. Karena kita ingin menghitung x sehingga ln(x) + x = 5, maka kita tinjau fungsi baru yaitu b(x) = ln(x) + x − 5. Jika kita mendapatkan x sehingga b(x) = 0, maka didapatkan pula x sehinggal ln(x)+x = 5. Dengan menggunakan metoda Newton akan dicari x yang memenuhi kondisi di atas. Pertama-tama, kita cari turunan dari b(x) = ln(x) + x − 5. b(x) = ln(x) + x − 5, 3
b′ (x) =
1 +1 x
Maka dengan menggunakan rumus Newton berikut ini: xk+1 = xk −
b(xk ) b′ (xk )
kita akan dapatkan tabel dibawah ini k xk f (xk ) f ′ (xk ) 0 3.2 -0.636849190194 1.3125 1 3.68521843062 -0.0104517698862 1.27135433593 Jadi, dengan meng2 3.69343940379 -0.000002484534 1.27075034695 3 3.69344135896 -8.25738976705e-13 1.27075020362 gunakan metoda Newton sampai dengan 3 iterasi, didapatkan nilai x = 3.69344135896 dimana nilai b(x) = −8.25738976705e − 13 atau nilai f (x) = ln(x) + x = 5 + −8.25738976705e − 13 ≈ 5. 3. Pertama-tama kita hitung lebar setiap sub-selang. h=
batas atas − batas bawah 4−0 = = 0.5. banyak sub selang 8
Karena ada 8 buah selang, maka ada 9 titik (x0 , x2 , . . . , x8 ) = (0, 0.5, 1, . . . , 4) yang mesti dihitung. Berdasarkan aturan Simpson, Z 4 h (f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + 4f (x5 ) + 2f (x6 ) + 4f (x7 ) + f (x8 )) x2 e−x dx ≈ 3 0 0.5 ≈ (f (0) + 4f (0.5) + 2f (1) + 4f (1.5) + 2f (2) + 4f (2.5) + 2f (3) + 4f (3.5) + f (7)) 3 0.5 ≈ 9.15415745542 3 ≈ 1.52569290924
4
Kunci Jawaban Quis 1 (Bab 1,2 dan 3) tipe 3 1. Tentukan representasi deret Taylor dari f (x) = cos(x) di sekitar a = π3 ? Hitunglah sampai turunan ke 4. Kemudian estimasilah cos(630 ) dengan menggunakan deret Taylor yang didapat. Hitunglah sampai 5 angka di belakang koma. Ubah mode dalam kalkulator anda menjadi radian. 2. Tinjau fungsi f (x) = ln x + x. Dengan metoda bagi dua, tentukan nilai x sehingga f (x) = 5, dengan tebakan awal x0 = 3.2 dan x1 = 4.0. Hitunglah sampai dengan 4 iterasi. Tuliskan pula sampai 7 angka di belakang koma. Z 4 1 √ dx dengan menggunakan aturan trapesium dengan 3. Hitunglah x 0.25 lebar sub-selang h = 0.25 Answer : 1. Cari f (x), f ′ (x), f ′′ (x), f ′′′ (x), f iv (x) lalu hitung f (0), f ′ (0), f ′′ (0), f ′′′ (0), f iv (0). f (x) = cos x, f ′ (x) = − sin x, f ′′ (x) = − cos x, f ′′′ (x) = sin x, f iv (x) = cos x. Lalu, kita dapatkan, 1 1 1 π 1√ 1√ π f ( ) = , f ′( ) = − 3, f ′′ (0) = − , f ′′′ (0) = 3, f iv (0) = . 3 2 3 2 2 2 2 Maka deret Taylor dari f (x) = cos x di sekitar a = f (x) = cos x =
=
π 3
adalah
f ′′ ( π3 ) f ′′′ ( π3 ) π π π π π f ( ) + f ′ ( )(x − ) + (x − )2 + (x − )3 3 3 3 2! 3 3! 3 f iv ( π3 ) π 4 (x − ) + . . . + 4! 3 1 1√ π π 1 π 1 √ 3(x − ) − 3(x − )3 − (x − )2 + 2 2 3 2 × 2! 3 2 × 3! 3 π 4 1 (x − ) + . . . + 2 × 4! 3
Untuk menghitung cos 620 dengan menggunakan deret Taylor yang didapat, kita ubah 620 ke dalam bentuk radian menjadi 620 = 600 + 20 = Kemudian kita substitusikan cos
π π + 3 90
π 3
+
π 90
π π + 3 90
ke deret Taylor yang didapat.
1 1√ π π π 1 π π π − − )− ( + − )2 3( + 2 2 3 90 3 2 × 2! 3 90 3 1 √ π π π 3 1 π π π + 3( + − ) + ( + − )4 2 × 3! 3 90 3 2 × 4! 3 90 3 1 1√ π 1 π 2 1 √ π 3 ≈ 3( ) − 3( ) − ( ) + 2 2 90 2 × 2! 90 2 × 3! 90 π 4 1 ( ) + 2 × 4! 90 ≈ 0.469471563161
≈
5
2. Karena kita ingin menghitung x sehingga ln(x) + x = 5, maka kita tinjau fungsi baru yaitu b(x) = ln(x) + x − 5. Jika kita mendapatkan x sehingga b(x) = 0, maka didapatkan pula x sehinggal ln(x) + x = 5. Pertama-tama, kita hitung nilai ln(x) + x − 5 saat x = 3.2 dan saat x = 4.0, b(3.2) = −0.636849190194,
b(4.0) = 0.38629436112,
Maka kita akan dapatkan tabel dibawah ini k 0 1 2 3 4
ak 3.2 3.6 3.6 3.6 3.65
ck 3.6 3.8 3.7 3.65 3.675
bk 4.0 4.0 3.8 3.7 3.7
b(ck ) -0.119066154538 0.135001066732 0.00833281965018 -0.0552728324056 -0.0234468673352
Jadi, dengan menggunakan metoda bagi dua sampai dengan 4 iterasi, didapatkan nilai x = 3.675 dimana nilai b(x) = −0.0234468673352 atau nilai f (x) = ln(x) + x = 5.0234468673352. 3. Pertama-tama kita banyaknya sub-selang. n=
batas atas − batas bawah 4 − 0.25 = = 15. lebar sub selang 0.25
Karena ada 15 titik (x0 , x2 , . . . , x15 ) = (0.25, 0.5, 0.75, . . . , 4) yang mesti dihitung. Berdasarkan aturan trapesium, Z
4
0.25
1 √ dx ≈ x ≈ ≈ ≈
h (f (x0 ) + 2f (x1 ) + 2f (x2 ) + · · · + 2f (x14 ) + f (x15 )) 2 0.25 (f (0.25) + 2f (0.5) + 2f (0.75) + · · · + 2f (3.75) + f (4)) 2 0.25 24.1559784329 2 3.01949730412
6
