kovů v sedimentech řeky Moravy

Smíšené regresní modely při sledování obsahu těžkých kovů v sedimentech řeky Moravy Marie Forbelská Masarykova univerzita Brno – Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky

3.–5. 6. 2012

Marie Forbelská (MU – ÚMS)

LMM–obsah těžkých kovů v řece Moravě

3.–5. 6. 2012

1 / 36

Obsah

1

Skupinově závislá data

2

Jednoduché modely

3

Obecná definice LMM modelů

4

Odhady parametrů

5

Jednoduchý model pro reálná data



3.–5. 6. 2012

2 / 36



Klasické statistické metody se obvykle zajímají buď nezávislými pozorováními nebo časovými řadami V praxi se však občas setkáváme s daty, která se sestávají z nezávislých skupin vzájemně závislých pozorování.

Ke správné a efektivní analýze takových dat potřebujeme speciální a zatím relativně málo známé metody.



3.–5. 6. 2012

3 / 36


Typy skupinově závislých dat Skupinově závislá data lze zhruba rozdělit do tří skupin 1

čistě skupinová data – pozorování, který se týkají skupin vzájemně spřízněných a souvisejících objektů či subjektů, např. pozorování na členech jedné rodiny či sourozencích na výrobcích pocházejících ze stejné dílny na plodinách sklizených z různých částí téhož pole

2

opakovaná měření – učiněná na téže jednotce

3

longitudinální data – opakovaná měření probíhající v čase



3.–5. 6. 2012

4 / 36


Specifikace skupin

1

Čistě skupinová data – vyznačují se tím, že nemají žádné přirozené uspořádání mezi jednotlivými závislými měřeními.

2

Opakovaná měření – pozorování jsou uspořádána podle pořadí: první, druhé, třetí . . .

3

Longitudinální data – navíc poskytují informaci o čase měření; podobají se pozorováním kratších úseků nezávislých časových řad.



3.–5. 6. 2012

5 / 36


Cíle modelování skupinově závislých dat

Modelovat závislost jejich středních hodnot a rozptylu na experimentálních podmínkách, při nichž byla učiněna jednotlivá měření na pozorovaných charakteristikách experimentálních objektů

Tato formulace vede k problému regresního modelování po skupinách korelovaných pozorování. jako funkce experimentálních podmínek charakteristik měřených objektů rizikových faktorů, apod.



3.–5. 6. 2012

6 / 36


Matematická formulace problému Značení index j (j = 1, . . . , N) – označení nezávislé experimentální jednotky (skupiny, subjekty) dvojice indexů ji (i = 1, . . . , nj ) – označení pro korelovaná pozorování na j-té jednotce N P n= nj – celkový počet pozorování j=1

Yji = β0 + xji1 β1 + · · · + xjip βp + εji – regresní model pro ji-té měření, kde εji – náhodné odchylky s nulovou střední hodnotou a pro něž C (εji , εj 0 i 0 ) = 0 pro j 6= j 0 , ale C (εji , εji 0 ) může být nenulové.



3.–5. 6. 2012

7 / 36


Maticový zápis pro j -tou jednotku

Yj = Xj β + εj Yj = (Yj1 , . . . , Yjnj )0 – vektor opakovaných měření na j -té jednotce  0    xj1 1  ..   xji1  (nenáhodná)  .   , kde xji =  Xj =   ..  matice plánu  ..    pro j -tou jednotku .  .  0 x jip xjnj 0 εj = (εj1 , . . . , εjnj ) ∼ Nnj (0, σ 2 Σj ) – vektor náhodných chyb pro j -tou jednotku β = (β0 , . . . , βp )0 – vektor neznámých parametrů



3.–5. 6. 2012

8 / 36


Společný maticový zápis

Y = Xβ + ε , 

 Y1   Y =  ... ,

kde

ε ∼ Nn (0, Σ) 

 X1   X =  ... ,

YN

XN



Σ1

  Σ=σ   

0 .. .

2

0


0 .. . ..

. ···

··· .. . .. . 0



 ε1   ε =  ... , εN

 0 ..  .     ΣN


3.–5. 6. 2012

9 / 36


Náhodné efekty a lineární smíšený model

Znovu předpokládáme model Yj = Xj β + εj , kde εj ∼ Nnj (0, σ 2 Σj ) Rozptylová matice určující korelace mezi Yji a Yji 0 není diagonální var εj = Vj = σ 2 Σj = Vj (ψ) a lineární smíšený model odhaduje vektor parametrů ψ z pozorovaných dat (tj. na základě prediktorů) společně s regresními parametry β . Parametrizace rozptylu může mít několik komponent, mezi nimiž hrají důležitou roli náhodné efekty. Dále na jednoduchém motivačním příkladu ukážeme, jak fungují náhodné efekty v případě lineárního růstového modelu.



3.–5. 6. 2012

10 / 36

Jednoduché modely

Jednoduché příklady

Uvažujme lineární růstový model Yji = β0 + β1 tji + εji , kde EYji = β0 + β1 tji a tji je čas i -tého pozorování subjektu j . Pokud například odezvu Yji interpretujeme jako výšku sledovaného subjektu (člověka, stromu, apod.) v čase tji , pak parametr β0 označuje průměrnou výšku v čase 0 a β1 je průměrný přírůstek za jednotku času.



3.–5. 6. 2012

11 / 36

Jednoduché modely

Náhodný absolutní člen Předpokládejme, že sledovaní jedinci mají tendenci být buď systematicky vyšší nebo systematicky nižší než průměr, a to po celou dobu sledování. Proto pro j -tý subjekt zavedeme nepozorovanou náhodnou odchylku od průměru b0 ∼ N(0, σ02 ) . Pak model upravíme takto Yji = β0 + β1 tji + b0 + ηji , kde | {z } εji

ηji ∼ iid N(0, σ 2 ) a ηji ⊥ b0 . Pak C (εji ,εji 0 √ ji Dεji 0

R(Yji , Yji 0 ) = R(εji , εji 0 ) = √Dε

(b0+ηji ,b0+ηji 0 )

=√

b0+ηji

√

b0+ηji 0

σ2

0 0 = DbDb = σ2 +σ 2 > 0 0+Dηji 0

Navíc pořád bude platit EYji = β0 + β1 tji



3.–5. 6. 2012

12 / 36

Jednoduché modely

Náhodný absolutní člen i směrnice

Nyní budeme předpokládat, že sledovaní jedinci se liší nejen polohou, ale i směrnicí růstu. Zavedeme navíc nepozorovanou náhodnou veličinu b1 ∼ N(0, σ12 ) . Pak model upravíme takto Yji = β0 + β1 tji + b0 + b1 tji + ηji , kde {z } | εji

ηji , b0 , b1 jsou nezávislé náhodné veličiny. Pak C (Yji , Yji 0 )= C (εji , εji 0 ) = C (b0 +b1 tji +ηji , b0 +b1 tji 0 +ηji 0 ) a vidíme, že v = Db0 + tji tji 0 Db1 = σ02 + tji tji 0 σ12 > 0

modelu s náhodnou směricí jak rozptyl Yji , tak kovariance mezi Yji a Yji 0 rostou s časem.



3.–5. 6. 2012

13 / 36


Lineární smíšený model (Linear Mixed Model – LMM) Obecný model s náhodnými efekty zobecňuje princip, který jsme ilustrovali zavedením náhodného absolutního členu a náhodné směrnice. Uvažujme náhodné parametry pro jakékoli prediktory. Dostaneme model Yj = Xj β + Zj bj + η j , kde | {z } εj

matice plánu Xj je typu nj × k (k = p + 1) a Zj je typu nj × q , vektor pevných efektů β je typu k × 1 vektor náhodných efektů bj ∼ Nq (0, D) je typu q × 1 η j ∼ Nnj (0, σ 2 Σj ) , oba normální vektory bj a η j jsou nezávislé. Marie Forbelská (MU – ÚMS)


3.–5. 6. 2012

14 / 36


Varianční struktura LMM Zavedením náhodných efektů modelujeme rozptyl Vj = DYj = Dεj = D(Zj bj + η j ) = Zj DZ0j + σ 2 Σj (a tím i korelace mezi Yji a Yji 0 ) Pro longitudinální data přidáme autoregresní složku Wj (t), tj. εj = Zj bj + Wj (t) + η j , kde Wj (t) je vektor hodnot autoregresního procesu v časech t = (tj1 , . . . , tjnj )0 s rozptylem τ 2 a korelační funkcí R(Wj (s1 ), Wj (s2 )) = e −φ|s1−s2 |

Pak autokorelační složka vnáší do modelu pozitivní korelace, které klesají se vzrůstajícím rozdílem času. Časově blízká pozorování jsou pak více korelovaná, než pozorování vzdálená.



3.–5. 6. 2012

15 / 36

Odhady parametrů

Odhady parametrů v LMM modelech

Parametry LMM modelu se odhadují za předpokladu, že všechny složky náhodné chyby mají mnohorozměrné normální rozdělení. Označíme-li neznámé parametry matice Vj jako ψ a budeme-li předpokládat, že je známe, pak ML–odhad  −1 N N X X b= β X0j Vj−1 Xj  X0j Vj−1 Yj (1) j=1

j=1

Lze ukázat, že jde o nejlepší nestranný lineární odhad (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE) pro β , kde nejlepší znamená, že má minimální střední kvadratickou chybu.



3.–5. 6. 2012

16 / 36

Odhady parametrů

BLUP–odhady náhodných efektů

Chceme–li predikovat náhodné efekty, použijeme podmíněnou střední hodnotu E (bj |Yj ) Za předpokladu, že ψ známe dostaneme bj = DZ0 V−1 (Yj − Xj β), b j j

(2)

Lze ukázat, že jde o nejlepší nestranný lineární prediktor (Best Linear Unbiased Predictor, BLUP) pro bj , kde nejlepší je opět ve smyslu minimální střední kvadratické chyby.



3.–5. 6. 2012

17 / 36

Odhady parametrů

ML (REML) odhady ψ Odhad parametrů ψ se provádí pomocí metody maximální věrohodnosti (ML-odhad, l1 ), popř. REML (Restricted Maximum Likelihood, l2 ). l1 (ψ; y1 , . . . , yN )= c1 − l2 (ψ; y1 , . . . , yN )= c2 −

1 2 1 2

− 12

N P j=1 N P

log(|Vj |) − log(|Vj |) −

j=1 N P

1 2 1 2

N P j=1 N P

rj0 Vj−1 rj

(3)

rj0 Vj−1 rj

j=1

log(|X0j Vj−1 Xj |)

(4)

j=1

kde rj = yj − X0j

N P j=1

!−1 X0j Vj−1 Xj

N P j=1

!−1 X0j Vj−1 yj

c1 a c2 jsou vhodné konstanty.



3.–5. 6. 2012

18 / 36

Odhady parametrů

Numerické výpočty

Rovnice (3) a (4) se maximalizují iterativně (Fisher scoring, Newton–Raphson, více viz Demidenko, 2004). b b V rovnicích (1) a (2) se neznámé ψ nahradí ψ ML nebo ψ REML , v tom případě mluvíme o empirickém BLUE odhadu pro β , popř. empirickém BLUP odhadu pro bj Pro testování fixních efektů, náhodných efektů a variančních komponent se využívají testy poměrem věrohodností nebo Waldovy testy (více Verbeke and Molenberghs, 2000).



3.–5. 6. 2012

19 / 36

Odhady parametrů

Predikce

Prediktor pro podmíněnou střední hodnotu E (Yj |bj ) = µj|bj = Xj β + Zj bj dostaneme po dosazení příslušných odhadů do rovnic (1) a (2) 0 −1 b b b b µd j|bj = Xj β + Zj bj = Xj β + Zj DZj Vj (Yj − Xj β) b + Zj DZ0 V−1 Yj = (Inj − Zj DZ0j Vj−1 )Xj β j j b + (In − Σj V−1 Xj )Yj . = Σj V−1 Xj β j

j

j

b Vidíme, že výraz µd j|bj je váženým průměrem Xj β (vztahující se k celé populaci) a Yj (vztahující se k subjektu j ).



3.–5. 6. 2012

20 / 36


Dlouhodobé sledování obsahu prioritních a dalších nebezpečných látek v sedimentech řeky Moravy v letech 1997 – 2010 V nejvíce zatížených úsecích, situovaných v podélném profilu řeky Moravy mezi 298. a 93. říčním kilometrem, bylo sledováno více než 50 ukazatelů ze skupin těžké kovy, polychlorované bifenyly (PCB), organochlorované pesticidy (OCP) a polyaromatické uhlovodíky (PAU).

Příklad prezentuje první výsledky účelového sledování a následného statistického zhodnocení časového vývoje obsahu prioritních a dalších nebezpečných látek v sedimentech řeky Moravy, a to v letech 1997 – 2010.



3.–5. 6. 2012

21 / 36


Specifikace sběru dat Vzorky sedimentů byly odebírány v 7 lokalitách v podélném profilu řeky Moravy 1. Šumperk pod 5. Uherské Hradiště pod 2. Olomouc pod 6. Hodonín pod 3. Kroměříž pod 7. Lanžhot pod 4. Otrokovice pod ze dna tzv. brodící metodou pomocí ručního vzorkovače na tyči. Část předupraveného vzorku pak byla uřčena ke stanovení těžkých kovů olova (Pb), rtuti (Hg), kadmia (Cd) a niklu (Ni).



3.–5. 6. 2012

22 / 36


Model Yji = β0 + β1 tji + εji = β0 + β1 tji + bj0 + ηji | {z } εji

lokality j = 1, . . . , 7 ηji ∼ N(0, σj2 ) (heteroskedastický) bj0 ∼ N(0, σb2 ) počty pozorování uvnitř lokalit nj lokalita 1997 Šumperk pod 2 Olomouc pod 2 Kroměříž pod 0 Otrokovice pod 2 Uherské Hradiště pod 2 Hodonín pod 2 Lanžhot pod 2 P 12

1998 2 2 2 2 2 2 2 14


1999 2 2 2 2 2 2 0 12

2000 2 2 2 2 2 2 0 12

2001 2 2 2 2 2 2 2 14

2002 2 2 2 2 2 2 2 14

2003 2 1 2 1 2 2 0 10

2004 2 2 2 3 2 2 2 15


2005 2 2 2 2 2 3 2 15

2006 1 1 1 1 1 1 2 8

2008 1 2 2 2 2 0 2 11

2009 2 2 2 2 2 0 2 12

2010 1 1 1 1 1 0 1 6

3.–5. 6. 2012

P 23 23 22 24 24 20 19 155

23 / 36

Jednoduchý model pro reálná data 2000

Olovo – Pb

Morava − Šumperk pod

2005

2010

2000

Morava − Olomouc pod

Morava − Kroměříž pod

2005

2010

Morava − Otrokovice pod

●

300 ●

250 200

●

150 ●

100

Pb[mg/kg]

50

●

● ●

● ● ● ● ●

● ●

● ● ●

●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ●

● ●

0

Morava − Uherské Hradiště pod

●

● ● ● ● ●

● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Morava − Hodonín pod

● ● ● ●

●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ●

Morava − Lanžhot pod 300 250 200

●

150

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

2000

100

●

●

●

● ● ● ● ●

2005

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

● ● ●

● ●

● ● ●

50 0

2010

2000

2005

2010

year 2000


2005

2010

2000



2005

2010


●

●

●

5 ● ●

4 ● ● ● ● ●

● ●

●

● ●

●

● ●

●

●

● ● ●

● ● ● ● ● ● ●

●

3

logPb[mg/kg]

● ● ● ● ●

●

● ●

●

● ●

● ●

● ●

●

● ●

●

●

●

● ● ● ●

● ●

● ● ●

● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ●

●

● ● ●

2



Morava − Lanžhot pod

●

5 ●

● ● ●

● ● ● ● ● ●

●

● ● ●

●

●

● ● ● ●

● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ●

●

●

● ● ● ●

● ● ● ● ●

3

●

2000

2005

4

2

2010

2000

2005

2010

year



3.–5. 6. 2012

24 / 36


Rtuť – Hg


2005

2010

2000



2005

2010


●

2.0 1.5 1.0 ●

●

Hg[mg/kg]

0.5 0.0

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ●

● ●


● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ●


● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ●

Morava − Lanžhot pod 2.0 1.5 1.0

●

● ● ●

●

● ● ● ● ● ● ● ●

2000

● ● ● ● ●

2005

0.5 ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ●

● ●

● ● ● ● ●

0.0

2010

2000

2005

2010

year 2000

Morava − Šumperk pod 1

2005

2010

2000



0

● ●

● ● ● ● ●

●

logHg[mg/kg]

−3

2010

●

●

−1 −2

2005


●

●

●

● ● ●

● ●

●

● ●

●

● ●

● ●

● ●

● ● ●

●

● ● ●

●

● ● ● ●

● ● ● ●

●

● ● ●

● ● ●

● ● ● ●

●

●

●

● ● ● ●

●

● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

● ● ●



Morava − Lanžhot pod 1 0

●

●

●

● ● ●

● ● ●

● ● ● ● ● ●

●

● ● ●

●

● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

●

● ● ● ● ●

●

● ● ●

● ● ● ● ●

−2 −3

●

2000

2005

−1

2010

2000

2005

2010

year



3.–5. 6. 2012

25 / 36


Kadmium – Cd


2005

2010

2000



2005

2010


4

3

2 ● ●

●

1

Cd[mg/kg]

●

● ● ● ● ●

● ●

●

●

● ● ●

● ● ● ●

●

●

● ● ● ● ● ●

● ● ● ●

● ● ● ● ●

● ●

● ●

● ● ● ● ●

● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

● ●

●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ●

● ● ●

0

Morava − Uherské Hradiště pod ●


Morava − Lanžhot pod 4

●

3 ● ● ● ●

2

● ● ●

●

● ●

●

● ● ●

● ●

●

●

2000

● ●

2005

●

● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

●

●

●

● ●

● ● ● ● ●

1

0

2010

2000

2005

2010

year 2000


2005

2010

2000



2005

2010


1 0

● ●

● ● ● ●

● ● ● ● ● ●

−1

● ● ●

●

● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

● ●

● ● ● ● ●

●

● ● ● ●

● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

●

● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

●

● ● ●

●

●

logCd[mg/kg]

−2 −3

Morava − Uherské Hradiště pod ●


● ●

● ●

●


●

● ●

●

● ●

● ● ●

● ● ●

● ●

●

●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ●

●

●

●

● ●

● ● ● ● ●

0 −1 −2

●

2000

2005

−3

2010

2000

2005

2010

year



3.–5. 6. 2012

26 / 36


Nikl – Ni


2005

2010

2000



2005

2010


100 ● ●

80 ●

Ni[mg/kg]

40

●

● ●

●

● ● ● ●

● ●

● ●


●

●

●

●

●


● ● ●

●

●

●

●

● ● ●

● ● ● ●

●

●

● ●

60

● ● ●

●

80

●

●

● ●

100

●

●

● ● ● ● ●

Morava − Lanžhot pod ●

● ●

● ●

● ●

●

●

●

●

● ●

20

● ● ●

● ● ● ●

● ●

●

●

● ●

60

●

● ● ● ● ●

● ● ●

●

● ● ●

●

● ●

●

40 ●

●

●

●

20

●

2000

2005

2010

2000

2005

2010

year 2000


2005

2010

● ●

● ●

4.0

●

● ● ● ●

2005

2010

Morava − Otrokovice pod ●

● ●

● ● ●

●

● ● ● ●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

●

● ●

● ● ●

● ●

●

●

● ●

3.0

logNi[mg/kg]

Morava − Kroměříž pod ●

4.5

3.5

2000


●

● ●

●

● ● ● ● ●

● ●

●

●

●

● ●

2.5



Morava − Lanžhot pod ●

4.5

● ●

● ● ●

●

●

●

●

● ●

● ● ● ●

●

●

●

●

● ●

● ● ● ● ●

● ● ●

●

● ● ●

●

● ●

3.5

● ●

●

●

4.0

●

3.0 ●

2.5 2000

2005

2010

2000

2005

2010

year



3.–5. 6. 2012

27 / 36


Výpočet v prostředí R

library(nlme) t <- year - 2003 model<-lme(y~t,data,random=~1|locality, weights=varIdent(form=~1|locality), na.action = na.omit) summary(model)



3.–5. 6. 2012

28 / 36


Olovo - Pb Linear mixed-effects model fit by REML Data: data AIC BIC logLik 193.0593 222.9636 -86.52963 Random effects: Formula: ~1 | locality (Intercept) Residual StdDev: 0.1215337 0.7152695 Variance function: Structure: Different standard deviations per stratum Formula: ~1 | locality Parameter estimates: Morava - Šumperk pod Morava - Olomouc pod 1.0000000 0.4156350 Morava - Uherské Hradiště pod Morava - Hodonín pod 0.5931589 0.6695564 Fixed effects: y ~ t Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) 3.582707 0.05720364 141 62.63075 0.0000 t 0.014127 0.00703942 141 2.00680 0.0467 Correlation: (Intr) t 0.018 Standardized Within-Group Residuals: Min Q1 Med Q3 -2.96290294 -0.43938097 -0.07563171 0.43379565

Morava - Kroměříž pod 0.8607895 Morava - Lanžhot pod 0.2898930

Morava - Otrokovice pod 0.3959277

Max 3.56820630

Number of Observations: 149 Number of Groups: 7



3.–5. 6. 2012

29 / 36


Olovo - Pb −5


0

5

−5



0

5


6

5

4

NEK−RP

NEK−RP

NEK−RP

NEK−RP

log(Pb)

3

2




5

NEK−RP

NEK−RP

NEK−RP

4

3

2 −5

0

5

−5

OLS fitted curve


0

year−2003

river averaged curve


5

location specific curve

3.–5. 6. 2012

30 / 36


Rtuť - Hg Linear mixed-effects model fit by REML Data: data AIC BIC logLik 208.6709 238.2994 -94.33546 Random effects: Formula: ~1 | locality (Intercept) Residual StdDev: 0.1997158 0.9465204 Variance function: Structure: Different standard deviations per stratum Formula: ~1 | locality Parameter estimates: Morava - Šumperk pod Morava - Olomouc pod 1.0000000 0.5659930 Morava - Uherské Hradiště pod Morava - Hodonín pod 0.4919709 0.5011731 Fixed effects: y ~ t Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) -1.532692 0.08478625 137 -18.077123 0.0000 t -0.000878 0.00685534 137 -0.128075 0.8983 Correlation: (Intr) t 0.004 Standardized Within-Group Residuals: Min Q1 Med Q3 -3.04813481 -0.65959081 0.07809591 0.63179852



Max 2.77514292




3.–5. 6. 2012

31 / 36


Rtuť - Hg −5


0

5

−5



0

5


3 2 1 0 −1

NEK−RP

NEK−RP

NEK−RP

NEK−RP

−2

log(Hg)

−3



Morava − Lanžhot pod 3 2 1 0

NEK−RP

NEK−RP

NEK−RP

−1 −2 −3

−5

0

5

−5

OLS fitted curve


0

year−2003



5


3.–5. 6. 2012

32 / 36


Kadmium - Cd Linear mixed-effects model fit by REML Data: data AIC BIC logLik 199.7368 229.6412 -89.86842 Random effects: Formula: ~1 | locality (Intercept) Residual StdDev: 0.1353709 0.5714681 Variance function: Structure: Different standard deviations per stratum Formula: ~1 | locality Parameter estimates: Morava - Šumperk pod Morava - Olomouc pod 1.0000000 0.6380117 Morava - Uherské Hradiště pod Morava - Hodonín pod 1.1976323 1.1036569 Fixed effects: y ~ t Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) -0.3182117 0.06197359 141 -5.134635 0e+00 t -0.0246454 0.00699199 141 -3.524809 6e-04 Correlation: (Intr) t 0.01 Standardized Within-Group Residuals: Min Q1 Med Q3 -3.93709373 -0.59880135 0.07143175 0.63996725



Max 2.11808314




3.–5. 6. 2012

33 / 36


Kadmium - Cd −5


1

0

5

−5


NEK−RP

NEK−RP


NEK−RP

0

5


NEK−RP

0

−1

log(Cd)

−2

−3


NEK−RP


NEK−RP


1

NEK−RP

0

−1

−2

−3 −5

0

5

−5

OLS fitted curve


0

year−2003



5


3.–5. 6. 2012

34 / 36


Nikl - Ni Linear mixed-effects model fit by REML Data: data AIC BIC logLik 108.6352 134.9825 -44.31761 Random effects: Formula: ~1 | locality (Intercept) Residual StdDev: 0.003858363 0.4539426 Variance function: Structure: Different standard deviations per stratum Formula: ~1 | locality Parameter estimates: Morava - Šumperk pod Morava - Olomouc pod 1.0000000 0.7358266 Morava - Uherské Hradiště pod Morava - Hodonín pod 0.8001173 0.6859501 Fixed effects: y ~ t Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) 3.659876 0.03394462 97 107.81904 0 t 0.039504 0.00760393 97 5.19526 0 Correlation: (Intr) t 0.081 Standardized Within-Group Residuals: Min Q1 Med Q3 -2.79472216 -0.58620001 0.07943316 0.69946996



Max 2.18148263




3.–5. 6. 2012

35 / 36


Nikl - Ni −5

0

5

−5







0

5


5.0 4.5 4.0 3.5 3.0

log(Ni)

2.5

5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5

−5

0

5

−5

OLS fitted curve


0

year−2003



5


3.–5. 6. 2012

36 / 36

kovů v sedimentech řeky Moravy

Recommend Documents