Korespondenční seminář z MA
Autor: Mgr. Petra Lukešová Vytvořeno: 1. 4. 2010
1
Představuji Vám korespondenční seminář z matematiky, který přispívá k rozvoji mimořádně nadaných žáků v této oblasti. Úlohy jsou určeny žákům devátých ročníků základních škol a liší se stupněm obtížnosti. Při jejich sestavování jsem čerpala z velkého množství matematické literatury, mezi níž patří také literatura o rekreační matematice. Celkem 23 úloh je vnořených do příběhu o mravenci jménem Ferda. Bylo zapotřebí zvolit vhodnou postavičku, jejímž úkolem je provést děti matematickým příběhem. Postavička však musela mít trvalejší popularitu po několik generací. Po mnoha úvahách a rozhodování byla vybrána figurka, dětem i dospělým velmi známá, která vyjmenovaná kritéria nejlépe charakterizovala – Ferda mravenec. Provází děti, v podobě malých ploštic Ruměnic, celým příběhem ve společnosti svých přátel – Brouka Pytlíka a Berušky, prožívá s nimi různá dobrodružství, vymýšlí pro ně hry a soutěže. Děj se odehrává na letním dětském táboře.
2
Ferda, Pytlík a Beruška na Letním ploštičím táboře Náš příběh začíná v pohádkovém smrkovém lese. Tedy spíše jen pod jedním smrkem, kde leží vysoké mraveniště, vyšší než kterýkoliv malý hošík, na něm mravenců, až to šustí. Ozývá se: „Šššš-šš-š“. V mraveništi bydlí miliony mravenců, ani se všichni dobře neznají. Mezi nimi žije jeden z nejznámějších mravenců, kterého každý pozná podle červeného puntíkovaného šátku kolem krku. Jmenuje se Ferda. Jednoho krásného dne se Ferda jen tak prochází po paloučku, když potká Berušku. Začali si spolu povídat. Beruška se Ferdovi svěřila, že se jí dnes zdál sen o tom, jak jede kočárem. Ferda ji má rád a udělal by pro ni vše na světě. Slíbil jí, že takový kočár postaví, aby se mohla vozit jako princezna. Poprosil pavouka o ty nejsilnější provazy, které dokáže udělat. Potřebuje je na zapřažení koníka. Ze stébla trávy udělal kolečka, našel půlku lískového oříšku, v tom bude sedět, jen co udělá pěkné sedátko z mechu. Dole navrtal šípkovým trnem dvě dírky a nasadil tam kolečka. Dvě dírky navrtal také vpředu a nastrčil oje. Když už měl kočár hotový, přispěchal mu na pomoc Brouk Pytlík. Skočil do kočáru takovou vahou, až se jedno kolečko polámalo.
1. Úloha Ferda zapomněl, jak dlouhé stéblo trávy použil při výrobě koleček. Změřil si průměr nepolámaného kolečka a pak si vypočítal, jak dlouhé stéblo potřebuje. Pomůžete mu spočítat délku stébla, když průměr kolečka je 5 mm? 1.1 Řešení Délku stébla určíme tak, když spočítáme délku (obvod) kružnice.
3
Na výrobu kolečka je potřeba stéblo trávy dlouhé 15,7 mm. Vyrobili nové kolečko a kočár byl hotov. Chyběl už jen koník, kterého by mohli zapřáhnout. Jak ale takového koníka chytit? Do toho se vložil Brouk Pytlík, který všechno zná, všechno ví a všude byl. Vzal laso a povídá: „Chytíme ho do lasa.“ Všichni udiveně koukali, ale byla to jedna z možností. Pytlík se napřáhl a chytil jen kopřivu. V tom Ferda uviděl kolem nich proběhnout zeleného koníka. Vzal laso, nahodil a už ho vedl.
Hned jak koníka ochočil, začal ho zapřahat a učil tahat vozík. Ferda držel otěže jako kníže pán a koníček běhal jako na závodech. Jak se tak Ferda projížděl, zafrčelo něco nad ním, zakroužilo, pak to usedlo na kámen, stáhlo křidélka pod krovky a chvíli upravovalo šaty. Byla to Beruška. Mravenec jede kolem kamínku přímo k ní. Beruška usedne do kočáru a už se veze.
4
2. úloha Ferdu napadlo, že by si mohl vypočítat, jakou rychlostí koník běhá. Koník uběhl vzdálenost mezi místy A a B za 4 hodiny. Kdyby se průměrná rychlost koníka zvýšila o 17m/h, uběhl by tuto vzdálenost o hodinu dříve. Určete rychlost koníka a vzdálenost mezi místy A a B. 2.1 řešení Původní rychlost
v1 = x
rychlost po zvýšení
v2 = x + 17
Původní čas
t1 = 4 hodiny
čas
t2 = 3 hodiny
Dráha
s =?m
dráha
s =?m
51 m/h Rychlost koníka je 51 m/h a vzdálenost mezi místy A a B je 204 m. Druhý den ráno se Ferda jen tak převaluje v posteli a přemýšlí, jak by si mohl zpříjemnit léto. Vzpomíná na dětská léta, kdy trávil celé léto na letním táboře. Jak tak přemýšlí, napadlo ho, jaké by to bylo, kdyby jel na tábor jako praktikant nebo vedoucí. Vždycky si tuto roli chtěl vyzkoušet. Vybral si táborovou skupinku, která si říkala Ploštíci. Byl to tábor určený pro děti Ploštice Ruměnice, která jich má kolem stopadesáti a to stačí k založení jednoho dětského tábora. Ferda si zjistil všechno potřebné a mohl balit. Nemohl ani dospat, jak byl natěšený. Ráno zapřáhl svého koníka a mohl vyrazit. Beruška i Brouk Pytlík se s ním přišli rozloučit. Pobídl koníka a jeli. Projížděli polem, loukou a na kraji lesa už byli u cíle. Uviděli stanový tábor. Bylo tam ploštic, že byste je opravdu ani nespočítali. Hned po tom jak se Ferda ubytoval, byla večeře a pak seznamovací večírek. Ale Ferda byl tak utahaný, že šel radši hned spát.
5
Když ráno vycházející sluníčko klepalo na plachty stanů, ve kterých ještě všechno spalo, stál na louce u stožáru hlavní vedoucí s malým klukem. „Tak honem, spusť!“ pobízel vedoucí tábora potichu. Malý kluk tedy spustil: „Ta-drá – ta-drá – tam – terata – terata- tý …!“ Na podruhé se kloučkovi podařilo zatroubit budíček tak, že mu trumpeta ani jednu nezakašlala, ani nezařehtala, ani nezavrčela. Utřel si spokojeně pusu a postavil se do pozoru vedle vedoucího. Ze stanů počaly vykukovat rozcuchané hlavy, za nimi vylézaly ploštice a utíkaly k potoku a myly se, jen to stříkalo. Vedoucí byl spokojen. Najednou přiběhl jeden klučina: „Prosím, Karlík ještě spí.“ Najednou pan vedoucí ožil. Hned zavolal: „Vezměte si misku na jídlo a naberte do ní vodu! Teď všichni za mnou!“ Sám si nabral vodu do kotlíku na vaření, aby měl vody víc, za ním šlo po špičkách pár ploštiček, které rozkaz slyšely. Rovnou ke Karlíkovu stanu. Velitel otevřel pomalu stan a v tu chvíli ti nejbližší vychrstli na spáče všechnu vodu. „Fíííííííííí!“ zapištěl Karlík a vyletěl ze stanu. Ferda toto vše pozoroval ze svého stanu. Zrovna když chtěl hlavní vedoucí Karlíkovi udělit trest, připletl se tam Ferda a povídá: „ Já bych mu dal možnost vysvobození!“ Vedoucímu se ten nápad líbil: „Máš nějaký nápad?“ „Mám!“ odpověděl Ferda.
3. Úloha Doběhl do kumbálu, kde vzal dvě nádoby. Jedna byla 4litrová a druhá 9litrová. Dovedl Karlíka k velké kádi plné vody a řekl: „Pomocí nádob, které máš k dispozici, naměř 6 litrů vody. Vodu můžeš nalévat, vylévat i přelévat.“ Chlapec poslechl a dal se do práce. Dlouho přemýšlel, jak takový úkol provést. Myslel si, že je to snad nemožné. Nejdříve jen tak přeléval a pak ho to konečně napadlo. 3.1 Řešení Chlapcův postup:
4litrová nádoba
9litrová nádoba
0
9
4
5
Naplnil 9litrovou nádobu Naplnil 4litrovou nádobu vodou z 9litrové nádoby 6
Vylil vodu ze 4litrové nádoby Znovu naplnil 4litrovou nádobu vodou z 9litrové nádoby Vylil vodu ze 4litrové nádoby Přelil vodu z 9litrové nádoby do 4litrové nádoby Znovu naplnil 9litrovou nádobu Doplnil 4litrovou nádobu vodu z 9litrové nádoby
0
5
4
1
0
1
1
0
1
9
4
6
Ferda chlapcovu práci pozorně sledoval a byl velmi nadšen, když ji splnil správně. Tím si vysloužil osvobození za ranní zaspání. Po ranním rozptýlení mohl začít nástup, na kterém byly ploštice přiděleny ke svým vedoucím do oddílů, a pak už mohli všichni vyrazit na snídani. Na veškeré jídlo chodily oddíly po jednom. Jeden den se začínalo od toho a druhý den zase od jiného. Bylo to spravedlivé. Ke snídani na uvítanou měli pampelišku a hrníček ranní rosy. Pro ploštice to byla pochoutka. Po snídani si každý vedoucí vzal svůj oddíl a měli za úkol seznámit se s okolím a sami navzájem. Ferda si svoji skupinku složenou z pěti kluků a pěti děvčat vzal na palouček u lesa. Sedli si do kruhu a začali si povídat. „Jmenuji se Ferda a celý týden se o Vás budu starat.“ Když se v představování vystřídaly všechny ploštice, řekl Ferda: „každý den Vám položím jednu matematickou hádanku a kdo ji správně zodpoví, dostane talisman. Na konci tábora vyhodnotíme nejlepšího řešitele a ten dostane věcnou odměnu.“ Ploštičky křičely radostí a těšily se na první úkol.
4. Úloha Jaké číslo patří na místo otazníku?
7
5
10
26
50
122
?
4.1 Řešení Místo otazníku bude číslo 170. Jedná se o druhé mocniny prvočísel zvětšené o 1. 5 = 22 + 1 10 = 32 + 1 26 = 52 + 1 50 = 72 + 1 122 = 112 + 1 Následovat tedy musí
170 = 132 + 1
Ferda si myslel, že zadal ne zrovna lehkou úlohu, ale spletl se. Jedna ploštička ji vyřešila za pět minut. Takhle aspoň nemusel čekat na výsledky celý den. Po zbylý čas, který chyběl do oběda, se seznamovali s řádem tábora a zbyl jim čas i na jednu hru. Po obědě, ke kterému měli šťovíkový list posypaný pampeliškovým pylem, měli dvouhodinový polední klid. Všechny ploštice musí ležet ve stanech, povídat si nebo hrát karty, nesmí hlavně provozovat namáhavý pohyb. I Ferda využil poledního klidu k odpočinku. Po pěti minutách usnul jako pařez. Zdál se mu krásný sen, kde mu babička vyprávěla pohádku o Myších malířkách.
5. Úloha Jestlipak víte, jak si myši malují své domečky, tak zvaná myší bludiště? Není to nic složitého. Myš se vykoupe ve vaně plné třeba žluté barvy, proběhne celé bludiště a přitom je vymaluje. Pak se vykoupe ve fermeži (lněný vysychavý olej), v teplé a studené vodě a to je všechno. Samozřejmě takovou náročnou činnost nedělají všechny myši, mají na to specialistky, myši malířky. 8
Malířky se nemají špatně. Musejí se sice každý den koupat, ale to je vyváženo dobrým platem, který za svou práci dostávají. Přece jen se však dost často dostávají do nepříjemné situace, když při malování musí malířka proběhnout chodbičkou, kterou už vymalovala. Pak jí barva slepí vousy, nateče do uší a do nosu. Kdo si někdy zkoušel mýt vlasy ve fermeži, hned uzná, že je to velmi vážný problém. A právě proto se myši rozhodly, že ho vyřeší. Od každého zákazníka si vyžádají plánek jeho bludiště, najdou si na něm nejlepší cestu a podle ní pak malují. Zjistily, že některé domečky se žádným způsobem nedají projít tak, abychom si neslepili vousy. Není jich sice mnoho, ale jsou velmi nepříjemné a myši malířky za jejich vymalování vybírají zvláštní příplatek. Myšák Euler, vedoucí zakázkového oddělení, dokonce z plánku bludiště dokáže okamžitě poznat, patří-li mezi dobré nebo špatné domečky. Doufám, že ty nejsi o nic hloupější než nějaký myšák, zkus si to na těchto příkladech:
5.1 Řešení Když se podíváme na jednotlivé uzly (tj. křížení cest) v domečkách, projdeme všechny cesty (vždy začínáme v počátečních bodech ○) a spočítáme počet cest, které se kříží, zjistíme, že pokud počet cest je lichý, jsou to domečky špatné a pokud sudý jsou to domečky dobré. První a poslední obrázek patří mezi špatné domečky. Druhý a třetí obrázek patří mezi domečky dobré. Jednoduše stačí říci, že správný domeček lze nakreslit jedním tahem, s tím, že začínáme v jednom z počátečních bodů ○.
9
Ferdu probudila trubka ohlašující konec poledního klidu. Napadlo ho, že by tento úkol mohl být jako další pro získání talismanů. Protože byl parný den, měli vedoucí za úkol vzít děti k rybníku a hrát s nimi vodní hry. První úkol spočíval v tom, že celý oddíl sedí v loďce z kůry. K dispozici nemají pádla. Mají pouze své vlastní ruce a nohy. Za co nejkratší dobu musí doplavat k bójce a pak zase zpátky na břeh. Děti tato hra moc bavila. Měly radost už jen z toho, že mohli na sebe stříkat vodu. Takových her vymysleli vedoucí spoustu. Když už byli všichni celí promáčení a sušili se na sluníčku, dostali úkol na přemýšlení. Samozřejmě že se týkal vody.
6. Úloha Skleněná nádrž má tvar kvádru o vnitřních rozměrech dna 24 cm a 12 cm. Výška vody v nádrži je 20 cm. Vypočítejte objem tělesa, které se celé do vody potopilo, jestliže voda stoupla o 3 cm. 6.1 Řešení Řešení a)
Potopené těleso vytlačilo vodu o týž objem, jako má samo.
c
b a
---------------
Řešení b)
10
----------------------
-----------------
Objem ponořeného tělesa je 864 cm3. U vody vydrželi až do večeře. Po večeři se konala seznamovací diskotéka. Protože se všechny ploštice moc bavily, prodloužila se večerka až do půlnoci, kdy už všechny musely ulehnout do pelíšků. Následující den po snídani se začal hrát turnaj ve fotbale. Dokážete si představit, jak ploštice hrají fotbal? Já tedy ne, ale tento jejich fotbal měl velmi přísná a upravená pravidla. Míč je vyrobený z polystyrenové kuličky, branky jsou vytvořené ze slámy a síť je upletena z pavučiny. Jeden poločas má pouze 20 minut, hráči mají místo dresů kolem krku omotané šátky stejné barvy. Zápas je rychlejší, protože ploštice mají šest nohou, ale pokud chtějí dát gól, musí běžet pouze po dvou.
7. Úloha Kolik se odehraje zápasů, víme-li, že se hraje systémem každý s každým jeden zápas a týmů je celkem 8? 7.1 Řešení Každý z 8 týmů hraje se sedmi zbývajícími mužstvy, tedy , ale v každém zápase hrají dvě družstva, tedy zápasů je polovina
. Systém vyžaduje 28 různých zápasů.
11
Bylo jasné, že zápasy budou pokračovat i další dny, protože odehrát tolik zápasů za jedno dopoledne opravdu není možné. Dnes se stihlo odehrát prvních 8 zápasů. Ještě před obědem nezapomněl Ferda zadat další úlohu na sbírání talismánků.
8. Úloha Aranžér postavil pyramidu z konzerv stejného druhu. Základnu pyramidy tvoří devět konzerv. Nad ní je řada z osmi konzerv atd., až na vrcholku pyramidy je jenom jedna. Z kolika konzerv je tato pyramida postavena? 8.1 Řešení Jde o součet
.
Uvedená čísla bychom mohli mechanicky sečíst. Můžeme si však všimnout, že vrcholová konzerva spolu s konzervami v podstavě dává počet deset. Tak je tomu také pro řadu druhou počítáno shora i zdola. Tak můžeme pokračovat dále. Uprostřed pyramidy je ovšem řada složená z pěti konzerv, k níž není partnerská řada. Počet konzerv tedy je 4 · 10 + 5 = 45. Další možnost je, že součet můžeme určit tak, že si představíme takové dvě pyramidy vedle sebe. Sečteme počty konzerv u první pyramidy v první řadě shora a u druhé pyramidy v první řadě zdola. Dostaneme 10. Tak bychom pokračovali s druhými řadami v první pyramidě shora a ve druhé zdola atd. Tyto dílčí součty sečteme a dostaneme 9 · 10 = 90. Pyramidy jsou ovšem dvě, takže v každé z nich je 45 konzerv. Zatím co si ploštice užívají poledního klidu a spánku, vedoucí tábora přemýšlí, jaká hra by byla nejlepší na odpolední zabavení stovky rošťáků. Věděli, že to musí být hra na celé odpoledne. „Uděláme bojovou hru, která povede lesem a bude obsahovat několik stanovišť, kterými musí ploštice projít. Podle toho jak zadané úkoly splní, jim budou přiděleny body.“ navrhnul Ferda. „Máme 8 oddílů a tedy 8 vedoucích, tak by každý vedoucí mohl mít jedno stanoviště.“ Všichni souhlasili a začali přemýšlet, jaké úkoly by mohly být nejvhodnější.
12
Po dvou hodinách měli vše připraveno. Trubka ohlásila konec poledního klidu a všechny oddíly se sešly na nástupu. Hlavní vedoucí seznámil oddíly s podrobnými pravidly. „Trasa je vyznačena červenými fáborky. Půjdete po nich a vždy po 200 centimetrech potkáte stanoviště. Žádné nesmíte vynechat. Body vám zapíše vedoucí, který má stanoviště na starost, na lístek, který obdržíte při startu. Takže ho nesmíte ztratit. Půjdete po jednom a ti, co zrovna nebudou na trase, se sejdou v jídelně a tam budou se Sporťákem plnit další úkoly.“ Zatroubil na trubku a hra mohla začít. Mezitím, co hlavní vedoucí vysvětloval pravidla, oddíloví vedoucí se rozmístili po vyznačené trase. První dva oddíly nastoupily a zbylé se přesunuly, aby mohly plnit úkoly v jídelně. Ploštice vycházely po dvou minutách. Nejdříve vyšel ospálek Karlík. Na prvním stanovišti dostal 3 kostičky uplácané z bahna a jeho úkolem bylo trefit se do připravené pyramidy z plechovek a co nejvíce jich povalit na zem. Karlík sice hrozně rád spal, ale také byl velmi dobrý ve sportovních disciplínách, převážně v hodu na cíl. S tímto úkolem si poradil hravě, dostal 9 bodů a mohl utíkat dál. Další stanoviště už tak jednoduché nebylo. Ve škole ho sice matematika bavila, ale u logických příkladů nerad přemýšlel. Pomůžete mu?
9. Úloha Sourozencům brouka Potemníka Petrovi a Pavlovi je dohromady 21 let. Kolik je Petrovi, jestliže je Pavlovi dvakrát tolik, kolik bylo Petrovi tenkrát, když Pavlovi bylo tolik, kolik je Petrovi dnes? 9.1 Řešení Současný věk Petra a Pavla označíme po řadě x a y. Sestavíme podle textu úlohy tabulku: tehdy dnes x
Petr
13
Pavel
x
y
Z tabulky plynou rovnice: Součet věků je 21
→
→
Rozdíl věků je stejný dnes jako tehdy
→ ---------------------
Druhá rovnice vyjadřuje, že rozdíl mezi věkem chlapců se nemění. Řešení této soustavy je
,
. Petrovi je 9 let a Pavlovi je 12 let.
Pro Karlíka to bylo obtížné, dokonce ho předběhla i Barunka, co vycházela o dvě minuty později. Nakonec po menší nápovědě se mu úlohu podařilo vyřešit a mohl pokračovat. Na třetím stanovišti leželo na zemi pět větviček a Karlík jim měl přiřadit správná jména. Měl přírodu rád, proto byl pro něho tento úkol hračka. Splnil ho za plný počet bodů. Když běžel po cestě za dalším úkolem, zastavila ho náhlá myšlenka: „Kdo vlastně je brouk Potemník?“ Chvíli se zamyslel a pak pokračoval. A to už byl u Ferdy. Věděl, že Ferda je velký znalec. Zeptal se ho na otázku, která mu vrtá hlavou po cestě od třetího stanoviště. „Ferdo, prosím tě, kdo je brouk Potemník?“ „Potemník?“ odpovídá Ferda, „je to asi dvoucentimetrový brouk, který se 14
pomalu pohybuje. Vyvíjí se v mouce. Jeho larva potřebuje k vývinu více než rok. Chovatelé ptáků nebo rybáři si jako potravu pro ptáky, případně návnadu larvy potemníka chovají. Jedná se o "tučné" moučné červy. Hlavně, je to velký spáč, přesně jako ty. Tak už se pusť do úkolu.“ Nebylo mu divné, že u Ferdy našel matematický úkol.
10. Úloha Máme 9 napohled stejných mincí. Jedna z nich je však falešná, je o něco lehčí než každá jiná. Máte ji určit pouze 2 váženími na rovnoramenných vahách. 10.1
Řešení Rozdělíme na 3 hromádky po 3 mincích; vážíme – porovnáváme 2 hromádky. Jsou v rovnováze, je falešná mince v 3. hromádce. Nejsou-li v rovnováze, je falešná mince v lehčí z nich. Výsledek 1. vážení: falešná mince je v určitých 3 mincích. 2.
vážení:
porovnáváme 1 a 1 minci.
Tento úkol byl středně obtížný, Karlík ho zvládl tak rychle jako Barunka před ním. Už ji pomalu dobíhal. Na dalším stanovišti ho čekal opět sportovní úkol. Běh mezi kužely zvládl na jedničku. Ani si neuvědomoval, že už je na cestě přes půl hodiny. Morseovka mu nadělala trošku starostí, ale vypořádal se s ní. Takže mohl pokračovat k sedmému úkolu, kde na něho čekala střelba z praku. Rád se vytahoval, takže všichni v táboře věděli, že prakem střílet umí i po slepu. Teď měl jedinečnou šanci se předvést. Bylo vidět, že prak nedrží poprvé, ale míření mu trošku dělalo problémy. Cílem byly plastové destičky připevněné na hluchavce za provázek. Zasáhl 3 cíle z 5. Výkon to nebyl špatný, ale na takového vejtahu to mohlo být lepší. Konečně se blížil k poslednímu úkolu. Byl zklamaný, protože se opět jednalo o početní příklad.
15
11.Úloha Nahraď písmena číslicemi (stejná stejnými, různá různými) tak, aby výsledný součet 4 ciferného, 3 ciferného, 2 ciferného a 1 ciferného čísla byl 2 222. A B C
D
B C
D
C
D
__________ D 2 11.1
2
2
2
Řešení
Má platit
4 · D = 12 → D = 3
3 · C + 1 = 12 → nelze, proto 3 · C + 1 = 22 → C = 7 2 · B + 2 = 12 → B = 5 1·A+1=2 →A=1
1
5
7
3
5
7
3
7
3
_________ 3 2
2
2
2
Algebrogramy ho bavily, takže byl na konec spokojený. Celá cesta mu trvala třičtvrtě hodiny. Když doběhl do cíle, předal lísteček s výsledky a pokračoval do jídelny. Byl uběhaný, zpocený a potřeboval se napít. Po vypití dvou hrnečků malinové šťávy se pustil do řešení příkladů od sporťáka. Každý účastník dostal zašifrovanou zprávu, ve které zjistili, co dnes bude dobrého k večeři a jaké překvapení si pro děti připravili vedoucí na zítra.
16
12.Úloha Děti dostaly šifru. K ní byla přiložena šifrovací tabulka. Víte, jaké překvapení si připravili vedoucí a co budou mít dnes k večeři?
Dnes budou k večeři D6 V9 V4 D9 K0 V9 D0 D4 V9 D4 D1 O4 V6 D0 K4. Zítra pro vás chystáme D0 V0 A1 D4 V9 K0 V0 D1. 12.1
Řešení
Například kód D6 – D je označení řádku a 6 označení sloupce. Kde se tento řádek a tento sloupec kříží, tam je správné písmenko. Takto se řeší celá šifra. Výsledek zní: Dnes budou k večeři MEDOVÉ KNEDLÍČKY. Zítra pro vás chystáme KARNEVAL. Po bojovce byla děcka tak unavená, že se vedoucí rozhodli, že jim do večeře dají oddych a v klidu vyhodnotí tuto soutěž. Po večeři, která jim moc chutnala, měli osobní volno až do večerky. Během osobního volna si všichni jen špitali a přemýšleli, za co půjdou na karneval. Vedoucí měli opět jiné starosti, museli vymyslet přesný program karnevalu. Soutěž o nejkrásnější masku, hry a hlavně diskotéku, ta na pořádném karnevalu nemohla chybět. Druhý den ráno hned po snídani měly ploštice celé dopoledne na to, aby vymyslely a připravily tu nejkrásnější masku ze všech. Ferda všem svým svěřencům nabídl pomoc. Každý mu řekl svoji představu o masce a on jim pomohl masku
17
vytvořit. Padaly tam nápady jako Jack rozparovač, ploštice Amálka, Rytíř na bílém koni, Mumie, Beruška, sedmihlavá saň a spousta dalších. Ferda se tedy snažil splnit každé jejich přání. Do oběda zbývala hodinka a masky už byly hotové, tak zadal další úkol k získání talismanů.
13.Úloha Jak můžeme napsat čísla od 1 do 10 právě čtyřmi čtyřkami a pomocí znamének +, −, ·, : i závorek? V zápisech můžeme použít čísla 4, 44, 444, 4 444. 13.1
Řešení
Jedno řešení je toto:
Konečně nastala ta očekávaná chvíle. Některé ploštice nemohly nedočkavostí ani dojíst oběd. Během poledního klidu se převlékly do masek a přesně ve 14 hodin byl nástup v maskách. Zatím co se děcka strojila do masek, vedoucí vyzdobili jídelnu a připravili hudbu. Jídelna byla ve strašidelném kabátě. Na stěnách visely kostry, na stolkách lampičky ve tvaru lebky, ze stropu visely barevné provázky a barevná světýlka se míhala po celé jídelně. Do toho ještě strašidelné zvuky vycházející z rozhlasu vytvořeného ze zvonkových kvítků. To vše vyvolávalo dojem strašidelné noci v lese. Nejdříve proběhla promenáda masek. Byla to nádhera, žádná maska se neopakovala. Vedoucí se vžili do role porotců, nemohli však dát hlas nikomu ze svého oddílu. Po přehlídce následovala diskotéka a několik zajímavých her. Největší úspěch měla hra, kdy každý pár tancoval na kousku novin a vždy po písničce se papír přeložil, aby byl o kousek 18
menší a soutěžícím tak byl úkol stížen. Ještě před vyhlášením nejlepší masky se každá postavička představila a mohla i předvést nějakou scénku. Scénky byly zajímavé a diváci se moc nasmáli. Už se nemohli dočkat výsledků. První cena byl jahodový dort, který získala ploštice Maruška přestrojená za skřítka Vochomůrku. Porota byla z jejího výstupu nadšená, Maruška předvedla krásnou scénku a sklidila asi největší potlesk. Nebylo pochyb, že vyhrála spravedlivě. Na druhém místě byl Vojtíšek, který se převlékl za lesního broučího mužíka a třetí místo obsadil Matěj v masce pavoučka poutníčka. Vyhlášení skončilo a začala pořádná tancovačka až do večeře. Pak už se jen odmaskovávalo a čekalo na večerku.
14. Úloha Kolik papíru spotřebuje 1 ploštice na vyrobení čarodějnické čepice ve tvaru kužele (nepočítáme-li záhyb na slepení)? Ploštice mají přibližně obvod hlavy 9,42 mm a čepice bude vysoká 2 mm. 14.1
Řešení
Abychom mohli úlohu začít řešit, musíme si uvědomit, že papírová čepice nemá podstavu. To znamená, že budeme počítat pouze povrch pláště kužele.
Obsah kužele
Z obvodu hlavy (podstavy kužele) spočítáme poloměr kužele.
9,42 = 2 · 3,14 · r r = 9,42 : 6,28 r = 1,5 mm
19
Z pravoúhlého ∆, který je ohraničen stranami r, s a v, vypočítáme pomocí Pythagorovy věty délku s.
A nyní můžeme spočítat obsah pláště kužele.
Děti už se těšily do pelíšků, ale věděly, že dnešní strašidelná noc ještě nekončí. Nějak tušili, že se chystá noční hra. Každá ploštice, která byla na předchozích táborech, ví, jaké kouzlo mají večery a noci v přírodě. Po západu slunce zvolna slábne denní světlo, vzdálené obzory se rozplývají a nakonec mizí ve tmě. Pozdní večer byl nejvhodnější dobou k uspořádání jedné noční hry. Každé polohlasné slovo, prasknutí větvičky, záblesk světla nás prozrazují na velkou vzdálenost. Pod ochranou tmy se však můžeme přiblížit k soupeři až na tři metry, když jste opatrní. Zesílený hukot řeky i vůně, kterou
vydechuje
les,
znásobují
všechny
dojmy
v jedinečné, neopakovatelné zážitky, na něž zvířátka vzpomínají ještě po letech s rozechvěním. Na dnešní noc, kdy je měsíček v úplňku, vedoucí vybrali hru Ďáblova listina. Trasa byla vyznačena fosforovými stopami, které
20
díky sluníčku byly krásně vidět. Po těchto stopách ploštice došly až k cíli, kde na ně čekala Ďáblova listina, na kterou se museli všichni, co trasu prošli, podepsat. Jakože upsali duši Ďáblu. Po trase jsou rozmístěni vedoucí, kteří děcka kontrolují, aby nesešla z cesty, mohou je taky nenápadně strašit. Celá hra proběhla v klidu. Děti byly sice vystrašené, ale do rána už byly v pohodě a vyprávěly si zážitky z celé dvacetiminutové cesty. Celý čtvrtý den tábora se dohrával turnaj ve fotbale. Během svačiny měl Ferda jedinou možnost, kdy mohl svému oddílu sdělit další matematickou hádanku.
15.Úloha Na táboře se sešli žáčci: ploštice Anežka, beruška Bětuška, čmelák Čmelda a cvrček Diblík. Zjistili, že každý je z jiné části louky a chodí do jiného ročníku. (Žák I. Ročníku byl nejmladší, ze IV. ročníku nejstarší, ze II. byl mladší než žák ze III.) Každý měl jiného koníčka. Víme o nich, že: (1) Anežka i žák II. ročníku jsou z téže školy. (2) Ten, co rád šplhá po pampeliškách a žák I. ročníku jsou z jednoho konce louky. (3) Bětuška a ten, co rád mlsá, přijeli pozdě. (4) Čmelda a žák ze IV. ročníku si byli ráno spolu zaběhat. (5) Bětuška a žák ze III. ročníku večer vyhráli v kartách nad Čmeldou a tím, co si rád hraje. (6) Diblík je mladší než ten, co rád mlsá. (7) Anežka je starší než Čmelda. (8) Ten, co rád létá z květu na květ, je starší než Anežka. (9) V neděli Anežka a ten, co si rád hraje, byli hrát koulovanou, žák IV. ročníku tam soudcoval a ten, co rád mlsá, sepsal veškeré momenty tohoto zápasu.
15.1
Řešení
Sestavíme schéma a vyškrtneme vše nespojité, podle známých kritérií:
21
I.
II.
III.
IV.
Šplh
Let
Mlsání
Hraní
A
X
X
│
X
│
X
X
X
B
○
○
X
│
○
│
X
X
C
○
│
X
X
○
X
│
X
D
│
○
○
X
○
○
X
│
Šplh
X
○
│
○
Let
X
○
○
│
Mlsání
○
│
○
X
Hraní
│
○
X
X
X ………… plyne z textu │ ………… vyplývající poslední možnost ○ ………… doplnění po úvaze Z tabulky z 1. řádku vidíme, že Anežka je ze III. ročníku (tedy z něj není Diblík) a že se zajímá o šplhání (o to se nezajímá Bětuška ani Čmelda ani Diblík – proškrtneme); doplníme do dolní matice, že šplhoun je tedy ze III. ročníku (tedy ne ze II. či IV. – proškrtneme); ze III. ročníku není tedy letec ani mlsoun (proškrtneme). Z 2. řádku je zřejmé, že Bětuška je ta, co ráda léta z květu na květ (tedy letcem není Čmelda ani Diblík) a je ze IV. ročníku (ne z I. či II. – vyškrtneme). Doplníme: letec je ze IV. ročníku, Čmelda je mlsoun. Podle (6) vyplývá, že Diblík je mladší než Čmelda, pro ně zbývají už jen ročníky I. a II. Proto Diblík je z I. ročníku a Čmelda z II. ročníku. Anežka je ze III. ročníku, ráda šplhá po pampeliškách. Bětuška je ze IV. ročníku, ráda léta z květu na květ. Čmelda je ze II. ročníku, rád mlsá. Diblík je z I. ročníku, rád si hraje.
22
Protože neměli moc času, aby ji mohli řešit, dal jim Ferda čas až do příštího oběda, kdy jim pak oznámí zároveň další hádanku. Po večeři všichni byli tak unavení z fotbalu, že ulehli do pelíšku, aniž by je někdo přemlouval. Ráno vyběhly z postelí ploštice jako znovuzrozené. Všechny odpočaté se už těšily na další program. Jenže dnes nevykukovalo zářivé sluníčko, ale po obloze se honili černí beránci. Vypadalo, že každou chvíli začne pěkná bouřka. Vedoucí je nechtěl hnát nikam do lesa, tak se rozhodl, že si každý oddíl sedne do jedné z kluboven a bude trénovat scénku, kterou odpoledne zahrají pro ostatní oddíly. Hlavní vedoucí zvolil široké téma - Pátek třináctého. Obava z pátku třináctého vyvolá u některých zvířátek jen úsměv na tváři, u mnoha dalších ale znamená zásadní změny v chování. Mnoho řidičů v pátek třináctého vůbec nevyjede a další raději odloží důležitá rozhodnutí, svatbu nebo začátek cesty. Podle starých Germánů a Římanů byl pátek šťastným dnem, který byl zasvěcený bohyni lásky - Freye. S nástupem a rozvojem křesťanství se však význam pátku začal měnit. Podle křesťanů byl pátek dnem smůly a neštěstí. Raní křesťané tvrdili, že v pátek 13. byl ukřižován Ježíš Kristus, při Poslední večeři sedělo u stolu třináct lidí a ten třináctý z nich byl Jidáš, který Krista zradil. Ferdův oddíl se rozhodl pojmout pátek 13. jako neutrální den, ani šťastný ani nešťastný, prostě od všeho kousek. Sešli se v klubovně, ještě předtím než si rozdělili práci, nastrkali Ferdovi výsledky včerejší matematické hry. Byl rád, že je tato hra baví a hned jim dal další.
16.Úloha 10 kriků je frig, 6 frigů je crat, 5 cratů je wirp a 7 wirpů je nod. Kolik kriků je nod? 16.1
Řešení
1 frig = 10 kriků 1 crat = 6 frigů = 6 · 10 kriků = 60 kriků 23
1 wirp = 5 cratů = 5 · 60 kriků = 300 kriků 1 nod = 7 wirpů = 7 · 300 kriků = 2100 kriků 1 nod je 2100 kriků. Ferda jim musel připomenout, jaký ještě mají úkol, protože kvůli řešení této úlohy by se nedostali ke scénce. Nejdříve vymysleli příběh, potom rozdělili role a mohli trénovat. To by ani nebyl Ferda, kdyby do tohoto příběhu nevložil i nějakou matematickou hádanku. Zatím co Ferda představoval vypravěče, ploštice Verunka hrála Popelku, František byl Patrik, dvě děvčata se načančala, aby vypadala jako Popelčiny sestry. A na ostatní zbyla role nejdůležitější, představovali kulisy, někdo se převlékl za prodavače, jiný zase za střevíček, další za Harley Davidson. Po poledním klidu již bylo vše připraveno. Hlavní vedoucí svolal všehny oddíly do jídelny, kde se samozřejmě konaly všechny společné akce, protože tam bylo nejvíce místa a všichni si tam mohli pohodlně sednout. „Nastupuje oddíl Ferdy mravence!“ zvolal hlavní organizátor, kterým byl brouček Potemník. Porota usedla a Ferda, co by vypravěč, spustil: „Příběh se odehrává v jedné chaloupce za lesem. Žily zde tři berušky, rodiče už neměly, samy si hospodařily. Tedy lépe řečeno – hospodařila Popelka. Amina s Adlinou chodily přes den nakupovat do butiků a večer po diskotékách. Jednou přišly pozdě v noci z diskotéky a pořád mluvily o Patrikovi, synovi místního brouka Goliáše (Goliáši, největší a nejkrásnější brouci Afriky, bývají pro svůj nádherný zjev, umocněný sametovým povrchem krovek i štítu, často nazýváni králi brouků.), že pořádá 13. června v pátek na své osmnácté narozeniny mejdan. Nabízely Popelce, aby tam šla s nimi, a hrozně se u toho chichotaly. Popelka byla sice špinavá, ušmudlaná, v nehezkých otrhaných šatech, ale jinak byla stokrát hezčí a hlavně chytřejší než její sestry. Peníze neměla, ale nebyla líná přiložit ruku k dílu. Proto se rozhodla, že bude sbírat starý papír. Za vydělané peníze si koupí šaty, šminky, boty a určitě jí ještě něco zbude. Tak a to je příklad pro vás:
24
17.Úloha Vypočítejte, kolik zbylo Popelce po nákupu šatů za 1200 zlatých, bot za 950 zlatých a líčidel za 280 zlatých. Sebrala celkem 780 centigramů papíru, ve sběrně platí 3 zlaté a 50 stříbrných za centigram. Dále víme, že 1 zlatý = 100 stříbrných. 17.1
Řešení
Pokud za jeden centigram platí sběrna 3 zlaté a 50 stříbrných, pak za 780 centigramů zaplatí 780krát více, tedy 3,5 · 780 = 2730 zlatých. Šaty, boty a líčidla stojí celkem 1200 + 950 + 280 = 2430 zlatých. Rozdíl činí 2730 – 2430 = 300 zlatých. Popelce na útraty ještě zbylo 300 zlatých. Asi vás bude zajímat, jak to dopadlo. I když byl pátek 13., nemohlo to pro Popelku dopadnout nijak špatně. Mladík Patrik se do ní zamiloval a po peripetiích se střevíčkem si pro ni přijel na motorce Harley Davidson.“ Jak tuto větu Ferda dopověděl, přiběhla ploštička, která představovala motorku, naložila Patrika s Popelkou a zmizela v dáli. Celá hala se tak rozřehtala, až z toho některé ploštice plakaly. Bylo jasné, že od poroty dostanou spoustu bodů, dokonce někdo odhadoval, že vítězství mají v kapse. Někteří diváci si i spočítali zadaný příklad a dostali za něj bonusové body. „Děkujeme za vzorné předvedení velmi známé pohádky Popelka, ale teď už nás čeká strašidelný Pátek 13.!“ povídá Potemník. Oddíl vedený Chrousticí Rozárkou si připravil přímo Komáří horor. Další představení už taková strašidelná nebyla. Byly to spíš komedie. Ale jak na začátku všichni předpovídali, vyhrál Ferdův oddíl. Do večeře zbýval ještě nějaký čas, tak si zahráli hru Kdo dřív!. Je to hra, kdy zvolený náčelník tluče paličkou do bubínku a uvede hráče do pochodu. Najednou udeří silněji: to je znamení, na které si každý co nejdřív sedne. Náčelník opět tluče lehounce, hráči si podupávají v taktu o zem. Náhle udeří dvakrát silněji: to je znamení ke vztyku. Kdo nejdřív vyskočí do stoje, stane se náčelníkem. Byla to rychlá hra, takže se stihli vystřídat všichni.
25
Večeře byla dnes chudá, moc si na ni nepochutnali. Ale za to večer, jen co zapadlo sluníčko, vykoukly hvězdičky a rozzářil se měsíček, rozhořel se uprostřed tábora pořádný táborový ohýnek. Ploštice jásaly, protože věděly, že budou buřty a konečně si pořádně na něčem pochutnají. U táboráku se hrálo a zpívalo, přesně jak to má být. „Ferdo, pověz nám jeden ze svých strašidelně matematických příběhů,“ povídá Rozárka. „Dobře, tak poslouchejte,“ povídá Ferda. „Budu vám vyprávět o tom, kde se vzala na hradě Kašperk strašidla. Podle pověsti se kdysi obránci Kašperku uzavřeli v podzemí a nemohli pak nalézt východ ven. Tu se objevil čert a nabídl jim, že je osvobodí, když mu tři berušky upíšou své duše. Našly se však jen dvě berušky ochotné se obětovat. Tak se stalo, že jeden z obránců se přestrojil a vydával se za berušku. Pekelník ukázal všem volný východ. Všichni prchali a byli již téměř venku, když se zřítilo kamení a navždy je v podzemí uvěznilo. Byl to čertův trest za podvod. Duše obránců dodnes bloudí hradem a straší. Když odpovíte správně moji úlohu, dořeknu vám, jak to s nimi dopadlo.“
18.Úloha Předpokládejme, že berušek je v podzemí pět a že dvě obětavé se přihlašují postupně. Obránců je devět. Kolika způsoby může vzniknout uvedená trojice dvou berušek a jednoho obránce? 18.1
Řešení
První beruška mohla být ze všech pěti, druhá už je ze čtyř. Pro jejich postupné přihlašování bylo
možností. Převlečený obránce byl jeden z devíti. Tedy
podle kombinatorického pravidla součinu obětující se trojice mohla vzniknout celkem 5 · 4 · 9 = 180 způsoby. Všichni seděli a napnutě poslouchali. Drželi se jeden druhého, aby byl jejich strach o něco menší. Ani nebyli schopni řešit zadaný úkol, aby se dověděli, jaký je konec. V tom někdo vykřikl: „Mám to!“ Děvčata nevěděla, co se děje, začala pískat. Vedoucí měl co dělat, aby je uklidnil. Bertík vyřešil zadaný úkol a měl z toho takovou radost, že si ani neuvědomil, že by děvčata mohl tak vylekat. Ferda příklad zkontroloval a dovyprávěl konec příběhu. „Celých sto let museli konat jen dobro. 26
V jejich případě ukazovali zbloudilým skupinám správnou cestu. Po sto letech se dočkali vysvobození. Protože již neměli žádné příbuzné a známé, rozhodli se, že zůstanou na hradě a budou se o něho starat. No, a jestli neumřeli, tak tam žijí a spravují ho do dnes.“ Potom si všichni opekli buřty a mohli jít v klidu spát. Některá děvčata sice v klidu nešla, protože před sebou viděla samá strašidla a duchy, ale vedoucí byl rád, že poprvé za celý tábor všichni ulehli a hned spali. Žádné noční povídání nebo přelézání ze stanu do stanu. Všude jen samé ticho, že by bylo slyšet i špendlík spadnout na zem. Protože ráno svítilo a pálilo sluníčko, teploměr ukazoval 27°C, nařídil hlavní vedoucí dopolední oddych a koupání. Mezitím, co se děti koupaly, hlavní vedoucí společně s Ferdou vymýšleli cestu za pokladem, která děti čekala po poledním klidu. Mělo to být poslední společné odpoledne, tak chtěli, aby si děti taky pěkně zamlsaly. V truhle s pokladem byly totiž samé cukrkandly, lízátka, čokoládky a nemohl tam chybět ani perníček. Ferda vymyslel nějaké šifry a vedoucí zase hádanky. Přes polední klid připravili všechny potřebné pomůcky a Honba za pokladem mohla začít. Každý oddíl dostal první obálku se šifrou, po jejím vyřešení dostali nápovědu, kde najdou další indicii. Aby se oddíly nesešly a nemohly opisovat, poslali každý na jinou stranu. Postupně chodily od obálky k obálce, obálek bylo celkem osm. V některé byla přesmyčka, v jiné zase puzzle nebo jiná skládanka. Záhady děti moc bavily, hlavně když věděly, že je na konci čeká odměna. Nejvíce je zaujala tato úloha:
19.Úloha Na pařezu ležely tři javorové listy a jeden list papíru. Jeden list je hnědý, druhý žlutý a třetí zelený. Na papíře bylo napsáno: „Pod jedním z těchto listů je návod jak pokračovat dále k pokladu. Podle nápisů na jednotlivých listech poznáte, pod kterým tento návod leží. Víte však, že z uvedených nápisů je nanejvýš jeden pravdivý. Na kterém listu je pravdivý nápis a pod kterým z nich je mapka? Pusťte se do řešení.“ 27
Hnědý list Návod je pod tímto listem
19.1
Žlutý list Návod není pod tímto listem
Zelený list Návod není pod hnědým listem
Řešení
Výroky na hnědém a zeleném listě tvrdí opak, takže jeden z nich musí být pravdivý. Poněvadž nanejvýš jeden ze tří výroků je pravdivý, výrok na žlutém listě musí být nepravdivý, a návod tedy je pod žlutým listem. Úloha se dá řešit i jinak. Kdyby návod byl pod hnědým listem, měli bychom dva pravdivé výroky (na hnědém a žlutém listě), což je v rozporu s danými podmínkami. Kdyby byl návod pod zeleným listem, zase bychom měli dva pravdivé výroky (tentokrát na zeleném a žlutém listě). Takže návod musí být pod žlutým listem (pravdivý je pouze výrok na zeleném listě). Ferdův oddíl sice nevyhrál, ale za třetí místo taky něco dostali. První místo obsadil Rozárčin oddíl, v truhle s pokladem našli samé lahůdky (pampelišky máčené v medu, cukrkandly). Na druhé místo zbyly čokoládky a třetí oddíl dostal lízátka. Ani ostatní nepřišli zkrátka. Za snahu dostali bonbony a žvýkačky. Takže nehledali poklad zbytečně. Protože byli přemlsaní, dostali k večeři jen šťovíkový lístek. Když tu večeři viděli, hned pochopili, že večer bude opět táborák a už se nemohli dočkat, až budou opékat buřty a zpívat písničky. Také věděli, že už zítra po obědě jedou domů, že ráno bude vyhodnocení tábora a že už nemají žádnou šanci změnit výsledky. Vedoucí samozřejmě veškeré výsledky tajili, takže nikdo nemá přehled o tom, jak na tom všechny oddíly jsou, tedy kromě hlavního vedoucího, který veškeré soutěže hodnotil. Přes noc musí vypsat diplomy, připravit ceny a spoustu dalších věcí, týkajících se vyhodnocení a zakončení tábora. Ale než se do toho pustil, šel se pobavit k táboráku. Tam to žilo, hrály se hry, zpívaly písničky a Ferda opět přidal nějaký svůj tajuplný příběh. A na rozloučenou nezapomněl přidat matematickou hádanku.
28
20.Úloha Během pětidenního turnaje chytil rybář 30 ryb. Každý následující den chytil o 3 ryby více než předchozí den. Kolik ryb chytil první den?
20.1
Řešení
Rybář první den nechytil žádnou rybu. Druhý den chytil 3 ryby, třetí den 6 ryb, 9 ryb čtvrtý den a 12 ryb pátý den. Označme x počet ryb chycených rybářem první den, potom x + (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + (x + 12) = 30 5x + 30 = 30 5x = 0 x=0 Nikomu se po tak nádherném dni nechtělo do postýlky, přestože věděli, že ráno je čeká vyhodnocení a rozdání cen. Ferda je musel přímo nalákat na další den. Sám ale jít spát nemohl. Všichni vedoucí pomáhali připravovat veškeré ceny a diplomy. Těšili se, že tento perný týden bude za nimi. Potom co vše přichystali, se sesedli u dohořívajícího táborového ohně. Povídali si o tom, co se jim líbilo, co by vylepšili nebo naopak co se jim nelíbilo, co příští rok udělají úplně jinak. Všichni se však shodli na jedné věci, následující rok pojedou zas. Poslední ráno se vedoucí rozhodl, že prodlouží budíček. Bohužel ploštice byly už tak zvyklé na ranní stávání, že byl tábor na nohou už půl hodiny před normálním budíčkem. K poslední snídani měli opět pampelišku v medu. Zbylo jich od posledně víc než dost, takže si každý mohl přidat. Bylo vidět, jak se jim dělají boule za ušima, jak si pochutnávají. Konečně nastala dlouho očekávaná chvíle. Hošík naposledy zatroubil na trubku, aby oznámil nástup na vyhlášení výsledků. Nikdy ploštice nebyly nastoupeny rychleji. Nemuselo se čekat na žádného opozdilce. Hlavní vedoucí pronesl závěrečný proslov, 29
bylo na těch nejlítostivějších ploštičkách vidět, že se jim chce plakat. Nechce se jim loučit s kamarády. Samozřejmě, že ne s dětmi, protože to jsou všechno děti Ploštice Ruměnice, ale po vedoucích a po Ferdových matematických hádankách. Vedoucí je uklidňovali, že napřesrok se tu zase všichni sejdou. A během roku budou určitě pořádat nějaké menší akce. „Uklidněte se, ať můžeme přistoupit k vyhlašování výsledků. Začneme jak jinak než od posledního místa.“ Žádný z oddílu neodjížděl s prázdnou. Posledníčkové dostali taky ceny, sice ne tak honosné, ale byli rádi i za to. Ferdův oddíl skončil na krásném třetím místě. No na prvním místě nebyl nikdo jiný než Rozárka se svým oddílem. Od třetího místa se dostávaly dorty. Ale protože byly obrovské, podělil se celý tábor. Kuchařky ještě napekly dva navíc, takže byl pro každého jeden kousek. Hned se do nich pustili a upatlali se až za ušima. Po skončení tohoto ceremoniálu si každý vedoucí odvedl svůj oddíl stranou, aby se mohli rozloučit. Ferda se svým oddílem šli na louku. Všichni napnutě sledovali, co to Ferda nese v ruce. Držel papírový pytlík, který byl neprůhledný a zavázaný, aby nebylo vidět, co obsahuje. Sedli si do kruhu. Nejdříve jim vylíčil, jak moc se mu s nimi na táboře líbilo. Pak povídaly ploštice o tom, jak mají Ferdu rády, jak se zase líbilo na táboře jim. Co by chtěly na příštím táboře zažít, co jim tady chybělo a naopak co se jim moc líbilo. Když už se všichni vypovídali, povídá Mařenka: „Ferdo, už nás nenapínej a řekni nám, kdo vyhrál ve sbírání talismánků.“ Začali brebentit jeden přes druhého. „Utište se,“ okřikl je Ferda. „Dobrá, tak já vám tedy povím výsledky, ale nejdříve tu mám pro vás ještě poslední úlohu, která může rozhodnout vše.“
21.Úloha Barunka málem zakopla o Ludvíka a Pepíka, kteří seděli pod stromem. „Tak se mi zdá, že bez těch vyšívaných límců vás od sebe prostě nerozeznám,“ poznamenala Barunka.
30
„Budeš muset použít logiku,“ řekl jeden z bratrů. Z kapsy vylovil kartu – byla to kárová dáma - a ukázal ji Barunce. „Jak vidíš, tohle je červená karta. No a tahle červená karta znamená, že ten, kdo ji má u sebe, mluví pravdu, kdežto černá karta značí, že její vlastník lže. Můj bratr má v kapse buďto červenou nebo černou kartu. A právě se ti chystá něco říct. Jestliže je jeho karta červená, řekne ti pravdu, ale jestli má černou kartu, bude ti lhát. Bude na tobě, abys rozhodla, jestli on je Ludvík nebo Pepík.“ Na to jeho bratr řekl: „Jsem Ludvík a mám u sebe černou kartu.“ Pomožte Barunce uhodnout, který bratr je který. 21.1
Řešení
Kdyby bratr mluvil pravdu, potom by on byl Pepík a měl by u sebe černou kartu. Ale nemůže mluvit pravdu a mít u sebe černou kartu, proto musí lhát. To znamená, že jeho karta je opravdu černá, a jelikož jeho prohlášení bylo lživé, není Pepík s černou kartou, ale Ludvík s černou kartou. Ferda zhodnotil výsledky, započítal je do celkového bodování a napsal si přesné pořadí. „Nejvíce talismánků získala Edvinka. Získává ode mne tento čtyřlístek z marcipánu a tuto podkovičku z čokolády.“ „Jééééé,“ jásala Edvina. „Děkuju, Ferdo. To je to nejhezčí, co jsem kdy vyhrála.“ „Nemáš vůbec za co, zasloužila sis to. Byla jsi nejlepší řešitelka,“ odpověděl Ferda. „Tak a teď mi povězte, co ještě budete dělat o prázdninách.“ Ploštice se tak rozpovídaly, že Ferda nevěděl, jak je zastavit. Povídali si hodinu a pak už na ploštice čekal autobus, který je dopraví k mamince. Pořád se nemohli rozloučit, ale nakonec stejně museli a těšili se na příští rok. Jen co Ferda plošticím zamával, šel si zabalit kufry, zapřáhnul koníka a vyrazil k domovu. Byl šťastný, že se žádné dítě neztratilo a že se nikomu nic nestalo, že si konečně pořádně odpočine. Ale byl také smutný, že už ta veškerá sranda skončila. Řekl si, že příští rok určitě pojede a bude se připravovat celý rok. Jak tak po cestě přemýšlel o příštím táboře, hned ho napadla nová matematická úloha. 31
22.Úloha Sněhurka darovala svým sedmi trpaslíkům obrovskou čokoládu. Nejdříve si ji všichni dlouho prohlíželi a pak ji rozbalili. Její vůně se nesla pasekou. Šmudla po přepočtení všech čtverečků prohlásil: „Když čokoládu rozdělíme rovným dílem mezi nás a Sněhurku, nezbude ani jeden čtvereček.“ Sněhurka jim řekla, že dnes mlsat nebude, že si trpaslíci mohou celou čokoládu rozdělit jen mezi sebou. Trpaslíci znovu přepočítali čtverečky. „To je zajímavé,“ udiveně řekl Prófa, „když si čokoládu rozdělíme rovným dílem bez Sněhurky, opět nezbude ani jeden čtvereček.“ Z kolika čtvercových políček se čokoláda skládala? Kolik čtverečků čokolády snědl každý trpaslík? 22.1
Řešení
Chceme-li čokoládu rozdělit rovným dílem mezi Sněhurku a sedm trpaslíků, pak počet čtvercových políček může být některé z čísel 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96. Chceme-li čokoládu rozdělit rovným dílem jen mezi sedm trpaslíků, pak počet čtvercových políček může být některé z čísel 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. Společné číslo v obou řadách je 56.
56 : 8 = 7
56 : 7 = 8
Kdyby si trpaslíci dělili o čokoládu i se Sněhurkou, dostal by každý z nich sedm čtverečků čokolády. Čokoláda se skládala z 56 čtverečků. Každý trpaslík snědl 8 čtverečků čokolády. Ferda si uvědomil, že nic nedoveze Berušce ani Pytlíkovi. Cestou se stavil v jednou krámku, který vlastnila Sršeň Bzučilka. Berušce koupil čokoládové srdíčko, polité medovým krémem. Pro Pytlíka vzal fajfku s tabákem. Když jim dárky předával, viděl, jakou mají radost, že se jim konečně vrátil i z těch dárků, které jim dovezl. „Tak jaký to bylo, pane vedoucí,“ povídá Pytlík. „Pytlíku, nech ho vydechnout,“ skočila mu do řeči Beruška, „nevidíš, jak je unavený?“ „Děkuji, Beruško. Jsem opravdu unavený a těším se konečně na svoji měkoučkou postýlku,“ přerušil je Ferda a odešel do svého domečku. Ani 32
nevybalil a hned usnul. Druhý den jen vyprávěl zážitky a váleli se u rybníka. Neměl náladu nic dělat, jen se válet a nad ničím nepřemýšlet a nikoho neokřikovat. Jen mu chyběly jeho matematické hádanky. Beruška ho ale překvapila a dala mu celou knížku SUDOKU a mohl řešit, i když byl unavený a jen se tak povaloval.
23.Úloha Hrací plochu SUDOKU tvoří čtvercová mřížka o rozměrech 9x9 čtverečků, která je rozdělená na 9 menších 3x3. Abyste ho úspěšně vyřešili, musí každá řada, každý sloupec a každý čtverec obsahovat všechna čísla od 1 do 9.
2
9 3
1
5 6
2
4
7
23.1
9
3
7
9
6
1
8
7
3
9
8
5
1
3
4
9 1
8
5
8
6
3 9
5 7
6
1
2
9
1
8
2
4
6
7
8
1
5
7
2
9
3
Řešení 2
9
6
4
5
7
3
8
1
4
3
1
2
9
8
5
6
7
7
5
8
6
1
3
4
2
9
6
2
4
9
7
5
1
3
8
5
7
3
1
8
6
2
9
4
8
1
9
3
4
2
6
7
5
33
3
4
7
5
2
9
8
1
6
9
6
5
8
3
1
7
4
2
1
8
2
7
6
4
9
5
3
Ferda byl nadšený a hned se pustil do řešení. Mezitím, co se Beruška s Pytlíkem koupali, vyřešil 5 úloh. Moc ho to bavilo. Byl nadšený, že je konečně doma se svými přáteli.
34
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [1] ZHOUF, Jaroslav. Matematické příběhy z korespondenčních seminářů. Praha: Prometheus, 2006. 378 s. ISBN 80-7196-304-6. [2] HOZOVÁ, Libuše. Matematické pohádky : pro čtenáře od 11 do 111 let. Praha :[s.n.], 2006. 218 s. ISBN 80-903625-3-2. [3] STICKELS, Terry. Hlavolamy, kvízy a slovní hry. Praha : Ikar, 2006. 256 s. ISBN 80-249-0694-5. [4] VAŇKOVÁ, Jana. Sedm matematických příběhů : Pro Aničku, Filipa, Matýska. Praha : Prometheus, 2005. 68 s. ISBN 80-7196-296-1. [5] VESELÝ, Marek. Bylo nebylo. Praha : Albatros, 2006. 108 s. ISBN 80-0001843-8. [6] MÍDA, Jiří. Dívám se kolem sebe. Praha : Prometheus, 1995. 56 s. ISBN 8085849-67-4. [7] MÍDA, Jiří. Mozaika matematických úloh. Praha : Prometheus, 1995. 32 s. ISBN 80-85849-60-7. [8] VOLFOVÁ, Marta. Metody řešení matematických úloh. Hradec Králové : Gaudeamus, 2000. 135 s. ISBN 80-7041-987-3. [9] SEKORA, Ondřej. Knížka Ferdy mravence. Praha : Albatros, 1987. 186 s. [10] ZAPLETAL, Miloš. Velká encyklopedie her 1 : Hry v přírodě. Praha : Olympia,1987. 629 s.
35
SEZNAM INTERNETOVÝCH ZDROJŮ [1] Pikomat MFF UK [online]. Posl. úpravy 20. 3. 2008 [cit. 2008-06-23]. Dostupný z WWW:
. [2] Matematický klokan v ČR [online]. Posl. Úpravy 21. 2. 2008 [cit. 2008-0623]. Dostupný z WWW: . [3] Matematický klokan [online]. 2004-2006 [cit. 2008-06-23]. Dostupný z WWW: . [4] ŠEBELOVÁ, Kateřina. Pátek třináctého - pověra nebo skutečnost?. Velká epocha [online]. 2007 [cit. 2008-06-23]. Dostupný z WWW: . [5] Škůdci [online]. Posl. úpravy 13. 5. 2008 [cit. 2008-06-23]. Dostupný z WWW: . [6] Šifry [online]. Posl. úpravy 14. 6. 1998 [cit. 2008-06-23]. Dostupný z WWW: .
36
