´ TAMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 A g´ep´eszeti ´es informatikai ´agazatok du´alis ” ´es modul´ aris k´epz´eseinek kialak´ıt´asa a P´ecsi Tudom´ anyegyetemen”
Bevezet´ es a sz´ am´ıt´ og´ epes jelfeldolgoz´ asba I.
S´ ari Zolt´ an P´ ecs 2015
´ A tananyag a TAMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 azonos´ıt´o sz´am´ u, A ” g´ep´eszeti ´es informatikai ´ agazatok du´ alis ´es modul´aris k´epz´eseinek kialak´ıt´asa a P´ecsi Tudom´ anyegyetemen” c´ım˝ u projekt keret´eben val´osul meg.
Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es 1.1. A tananyag fel´ep´ıt´ese . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A komplex sz´ amok . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. A komplex sz´ amok ´ altal´ anos ´attekint´ese 1.2.2. K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o alakok k¨ oz¨ otti ´att´er´es . . . . 1.2.3. M˝ uveletv´egz´es komplex sz´amokkal . . .
. . . . .
7 7 8 8 10 10
. . . . . . . . .
15 15 16 17 17 18 19 20 22 24
3. A mintav´ etelez´ es 3.1. A mintav´etelez´es elve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. A mintav´eteli t¨ orv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 28 30
2. Jelek t´ıpusai ´ es tulajdons´ agaik 2.1. Folytonos ´es diszkr´et idej˝ u jelek . . . . . . . 2.2. Jelek alapvet˝ o tulajdons´ agai . . . . . . . . . 2.3. Fontosabb jelek ´es jellemz˝ oik . . . . . . . . 2.3.1. A szinuszos jel . . . . . . . . . . . . 2.3.2. A komplex exponenci´ alis jel . . . . . 2.4. Tipikus vizsg´ al´ ojelek . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Az egys´egugr´ as . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Az egys´egimpulzus . . . . . . . . . . 2.4.3. Az egys´egugr´ as ´es az egys´egimpulzus
3
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kapcsolata
. . . . .
. . . . . . . . .
Tartalomjegyz´ek
4. Line´ aris rendszerek ´ es tulajdons´ agaik 4.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Fontosabb rendszertulajdons´agok . . . . . . . . . . . 4.2. Line´ aris rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Rendszermodellek, rendszerek le´ır´asa . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. A rendszeregyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Az ´ allapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´as . . . . . . . . . . . 4.3.3. A v´ alaszid˝ of¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Impulzus-dekompoz´ıci´o, impulzusv´alasz alkalmaz´asa 4.4. Az ´ atviteli karakterisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Szinuszos jelek, komplex cs´ ucs´ert´ek . . . . . . . . . . ´ 4.4.2. Atviteli karakterisztika el˝o´all´ıt´asa . . . . . . . . . . .
4
33 33 34 34 36 36 37 38 39 40 40 41
´ ak jegyz´ Abr´ eke 1.1. Komplex sz´ am vektorreprezent´ aci´oja . . . . . . . . . . . . . π 3π 5π 7π 1.2. Az ej 4 , ej 4 , ej 4 , ej 4 komplex sz´amok a komplex s´ıkon . .
9 11
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.
Szinuszos jel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplex exponenci´ alis jel val´ os r´esze α < 0 ´es α > 0 eset´en Az ε(t) egys´egugr´ as jel, ´es τ -val eltolt v´altozata . . . . . . . Az ε(t) − ε(t − τ ) n´egysz¨ ogablak ´es alkalmaz´asa . . . . . . . A DI egys´egugr´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Dirac-δ jel konstrukci´ oj´ anak grafikus interpret´aci´oja . . . A DI egys´egimpulzus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 19 20 21 21 22 24
3.1. Szinuszos jel helyes mintav´etelez´ese . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Szinuszos jel helytelen mintav´etelez´ese . . . . . . . . . . . . 3.3. Szinuszos jel mintav´etelez´ese a hat´arfrekvencia k¨ozel´eben .
29 30 31
5
´ ak jegyz´eke Abr´
6
1. fejezet
Bevezet´ es 1.1. A tananyag fel´ ep´ıt´ ese A Bevezet´es a sz´ am´ıt´ og´epes jelfeldolgoz´asba I.-II.” tananyag megismerteti ” az olvas´ot a jelfeldolgoz´ as matematikai alapjaival, valamint a legfontosabb m´odszerekkel ´es technik´akkal, amelyek jellemz˝oen el˝ofordulnak a jelfeldolgoz´as gyakorlati probl´em´ ainak kapcs´an. Szerkezeti fel´ep´ıt´es´et tekintve els˝ok´ent a legfontosabb matematikai fogalmakat t´ argyalja (I./1. ´es I./2. fejezetek), majd a mintav´etelez´es elv´et ´es a mintav´etelezett jelek alapvet˝ o tulajdons´ agait az I./3. fejezetben. Az I./4. fejezet a jelfeldolgoz´ as szempontj´ab´ ol kiemelked˝oen fontos line´aris rendszerekkel ´es reprezent´aci´ojukkal foglalkozik. A II./1., II./2., II./3. fejezetek m´ar konkr´et jelfeldolgoz´asi m´odszereket, ´es ezek matematikai h´atter´et mutatj´ak be, ezut´an a tananyag II./4., II./5., II./6. fejezetei a digit´alis sz˝ ur˝ok fel´ep´ıt´es´et, m˝ uk¨od´es´et, ´es alkalmaz´asi lehet˝os´egeit t´ argyalj´ak. Mivel a jelfeldolgoz´ as ´es a rendszerelm´elet igen er˝ osen t´amaszkodik a matematika m´odszereire ´es a matematika eszk¨ozt´ar´ anak egy viszonylag nagy szelet´et intenz´ıven alkalmazza, elker¨ ulhetetlen, hogy bizonyos m´elys´egben feldolgozzuk ezeket a ter¨ uleteket, melyek k¨oz¨ ul bevezet´esk´ent a komplex sz´amokkal kapcsolatos n´eh´ any alapfogalmat tekint¨ unk ´at. 7
1.2. A komplex sz´amok
1.2. A komplex sz´ amok A komplex sz´amok ´es az ezeket tartalmaz´o kifejez´esek, komplex v´ altoz´os ´es komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyek nagyon gyakoriak a jelfeldolgoz´assal ´es rendszerjellemz´essel kapcsolatos matematikai reprezent´aci´ okban, ´ıgy ezek alapos ismerete elengedhetetlen a t´ema t´argyal´as´ ahoz, a k´es˝obbiekben el˝ofordul´o fogalmak ´ertelmez´es´ehez ´es alkalmaz´as´ahoz.
1.2.1. A komplex sz´ amok ´ altal´ anos ´ attekint´ ese Komplex sz´ amoknak a z = a + bj alak´ u konstrukci´ okat nevezz¨ uk, ahol z a komplex sz´am, melynek a a val´ os, b a k´epzetes r´esze, ´es √ j az u ´ n. k´epzetes egys´eg, ami a −1 n´egyzetgy¨ok´evel egyenl˝ o, vagyis j = −1. A komplex sz´amok teh´at a val´os sz´amk¨or kiterjeszt´esek´ent ´ertelmezhet˝ok. Ez a fajta kiterjeszt´es, ill. maga a konstrukci´o els˝o pillant´asra meglep˝onek ´es mesters´egesnek t˝ unhet, de a j k´epzetes egys´egre nyugodtan gondolhatunk u ´gy, mint b´armelyik k¨oz¨ons´eges konstansra.1 Egy komplex sz´am teh´at egy k´et val´os sz´amb´ol ´all´o (a, b) rendezett p´ ar, ahol a b be van szorozva a j k´epzetes egys´eggel. Ezen a m´odon a val´ os sz´amok k¨or´et nyilv´anval´oan kiterjesztett¨ uk, hiszen ahogy az a z komplex sz´am szerkezete alapj´an vil´agos, minden val´os sz´am komplex sz´am is egyben, csak olyan, amelynek a k´epzetes r´esze null´aval egyenl˝o. A komplex sz´amokat t¨obbf´ele m´odon reprezent´alhatjuk, melyek k¨oz¨ ul a legfontosabbak az al´ abbiak: 1. Algebrai (vagy kanonikus) alak: z = a + bj, 2. Trigonometrikus alak: z = r(cos φ + j sin φ), 3. Exponenci´ alis (vagy Euler-) alak: z = rejφ , ahol z a komplex sz´ am, a ´es b rendre a val´os ´es k´epzetes r´esz, r a komplex sz´am abszol´ ut ´ert´eke, φ pedig a komplex sz´am arkusza. Mindh´arom fenti alaknak megvannak az el˝onyei ´es a h´ atr´anyai, de tal´an a leghasznosabb 1
Pl. 0, 1, 2,
√ 2, π stb.
8
1. fejezet. Bevezet´es
k¨oz¨ ul¨ uk az exponenci´alis (vagy Euler-) alak, els˝osorban kompakt ´ır´ asm´odja ´es k¨onny˝ u olvashat´os´ aga miatt. Egy komplex sz´am geometriai reprezent´aci´oja a komplex s´ıkon k´epzelhet˝o el2 egy vektor form´aj´aban, melynek der´eksz¨og˝ u koordin´at´ai az a ´es a b, ahogy az megfigyelhet˝o a 1.1. ´abr´an.
1.1. ´ abra. Komplex sz´ am vektorreprezent´aci´oja A k´et tengely a komplex s´ıkot fesz´ıti ki, ´es a s´ık minden pontja egy komplex sz´amnak felel meg, az adott pont der´eksz¨og˝ u koordin´at´ainak 3 megfelel˝o val´os ´es k´epzetes r´esszel. Egy z = a + bj komplex sz´am konjug´ altj´ anak nevezz¨ uk a z ∗ = a − bj komplex sz´amot, melynek val´os r´esze megegyezik a z val´os r´esz´evel, k´epzetes r´esze pedig z k´epzetes r´esz´enek az ellentettje. A z ∗ konjug´alt geometriai interpret´ aci´oja a z val´os (v´ızszintes) tengelyre val´o t¨ ukr¨ oz´es´evel nyert komplex sz´am. A komplex sz´amok jelent˝os´ege t¨obbek k¨oz¨ ott abban ´all, hogy a seg´ıts´eg¨ ukkel le tudjuk ´ırni az olyan algebrai egyenletek megold´ asait, mint 2 az x + 1 = 0, amelynek a val´os sz´ amok k¨ or´eben nincsenek megold´ asai, a komplex sz´amok k¨ or´eben azonban l´etezik megold´as, nevezetesen az x1,2 = ±j. 2
Ez hasonl´ o a val´ os sz´ amok sz´ amegyenesen val´ o ´ abr´ azol´ as´ ahoz, csak itt k´et sz´ amegyenesre van sz¨ uks´eg a val´ os ´es a k´epzetes r´esz miatt, melyeket c´elszer˝ uen egym´ asra mer˝ olegesen a ´ll´ıtva l´etrehoztuk a sz´ ams´ıkot. 3 A val´ os sz´ amok halmaza a komplex s´ık v´ızszintes tengelye, hiszen az ¨ osszes olyan sz´ am, amelynek nulla a k´epzetes r´esze, ezen a tengelyen helyezkedik el.
9
1.2. A komplex sz´amok
Nagyon uen bel´ athat´o, hogy a megold´as helyes, hiszen defin´ıci´o szerint √ egyszer˝ 2 j = −1, ahonnan j = −1 ´es (−j)2 = −1, azaz a megold´ asok val´oban kiel´eg´ıtik ez egyenletet.
1.2.2. K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o alakok k¨ oz¨ otti ´ att´ er´ es A komplex sz´ am k¨ ul¨onb¨ oz˝o alakjai k¨oz¨otti ´att´er´esre igen gyakran van sz¨ uks´eg, hiszen a k¨ ul¨onb¨oz˝o probl´em´akhoz k¨ot˝od˝o alkalmaz´asok, k¨ ul¨onb¨oz˝o reprezent´aci´ okat k´ıv´anhatnak meg. Az ´att´er´es a legk¨ onnyebben a grafikus reprezent´aci´ o (vektor a komplex s´ıkon) seg´ıts´eg´evel tehet˝o meg. Ez term´eszetesen nem jelenti azt, hogy minden ´atv´alt´asn´al sz¨ uks´eg van a komplex sz´ amokat reprezent´al´ o vektorok lerajzol´ as´ara, egy kis gyakorlattal ez fejben k¨onnyen elv´egezhet˝o. Ami´ert a grafikus reprezent´aci´o nagyon hasznos, az els˝ osorban szoros kapcsolata a z = rejφ Euler-alakkal.4 A komplex sz´amok Euler-alakja tulajdonk´eppen pol´arkoordin´at´as megad´asnak tekinthet˝ o, ahol a s´ık egy pontj´ at (a komplex sz´amot) egy r hossz´ us´ag´ u vektorral ´es a pozit´ıv val´os f´eltengellyel bez´art φ sz¨oggel jel¨ olj¨ uk ki. ´Igy π p´eld´aul az ej 4 egy olyan vektor, amelynek egys´egnyi a hossza, ´es a pozit´ıv val´os f´eltengellyel bez´art sz¨oge π/4. Az 1.2. ´abr´an n´egy komplex sz´amnak megfelel˝o vektor l´ athat´ o a komplex s´ıkon. P´elda: Alak´ıtsuk ´ at az al´ a√bbi komplex sz´ amokat exponenci´alis alakba! 5 √ {1, −1, −2, j, −2j, 22 + j 22 }
1.2.3. M˝ uveletv´ egz´ es komplex sz´ amokkal Az elemi algebrai m˝ uveletek (+, −, ∗, /) a k¨ovetkez˝ ok´epp ´ertelmezhet˝ ok 6 komplex sz´ amok eset´en: 4 A trigonometrikus alak az Euler-alakb´ ol k¨ ozvetlen¨ ul sz´ armaztathat´ o az Euler-formul´ ak alkalmaz´ as´ aval e±jφ = cos φ ± j sin φ. π π π 5 Megold´ as: {1, ejπ , 2ejπ , ej 2 , 2e−j 2 , ej 4 } 6 A kiindul´ ask´ent alkalmazott komplex sz´ amok: z1 = a1 + b1 j, z2 = a2 + b2 j.
10
1. fejezet. Bevezet´es
π
1.2. ´abra. Az ej 4 , ej
3π 4
, ej
5π 4
, ej
7π 4
komplex sz´amok a komplex s´ıkon
¨ Osszead´ as: z1 + z2 = (a1 + b1 j) + (a2 + b2 j) = a1 + a2 + j(b1 + b2 )
(1.2.1)
Szorz´as:7 z1 · z2 = (a1 + b1 j) · (a2 + b2 j) = a1 a2 + a1 b2 j + a2 b1 j + b1 jb2 j (1.2.2)
= (a1 a2 − b1 b2 ) +j (a1 b2 + a2 b1 ) | | {z } {z } Re
Im
Oszt´as: z1 (a1 + b1 j) (a1 + b1 j) (a2 − b2 j) = = · z2 (a2 + b2 j) (a2 + b2 j) (a2 − b2 j) (a1 a2 + b1 b2 ) + j(a2 b1 − a1 b2 ) = a22 + b22 (a1 a2 + b1 b2 ) (a2 b1 − a1 b2 ) = +j a22 + b22 a2 + b2 | {z } | 2 {z 2 } Re
(1.2.3)
Im
7
Figyelj¨ unk r´ a, hogy a k´epzetes egys´eg j nem r´esze a komplex sz´ am k´epzetes r´esz´enek, a k´epzetes r´esz az a val´ os sz´ am, amivel a k´epzetes egys´eg meg van szorozva.
11
1.2. A komplex sz´amok
A multiplikat´ıv algebrai m˝ uveletek trigonometrikus ´es exponenci´alis 8 alakban is v´egrehajthat´ ok. A legfontosabb m˝ uveletek a k¨ovetkez˝ok:9 Szorz´as: z1 · z2 = r1 ejφ1 · r2 ejφ2 = r1 r2 ej(φ1 +φ2 )
(1.2.4)
r1 ejφ1 r1 j(φ1 −φ2 ) z1 = = e jφ z2 r2 r2 e 2
(1.2.5)
Oszt´as:
A z = rejφ komplex sz´am n-edik hatv´any´anak meghat´aroz´as´ ara szolg´al´o o¨sszef¨ ugg´es k¨ozvetlen¨ ul sz´armaztathat´o a szorz´asra vonatkoz´o szab´aly (vagy egyszer˝ uen az algebra szab´ alyai) alapj´an a k¨ovetkez˝ok´epp z n = (rejφ )n = rn ejnφ .
(1.2.6)
Az n-edik gy¨ ok meghat´ aroz´ asa pedig az al´abbi m´odon t¨ort´enik,10 √ n
z=
√ √ φ+k2π n rejφ = n rej n , (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1).
(1.2.7)
P´elda: Hat´arozzuk meg a z = 1 komplex sz´am 4-edik gy¨ok´et!11 Ez a probl´ema u ´ gy is megfogalmazhat´o, hogy hat´arozzuk megy a z 4 = 1 egyenlet megold´ asait, teh´ at n´egy komplex gy¨ ok¨ot kell keresn¨ unk12 , ugyanis 8
Az o ¨sszead´ as (´es a kivon´ as) ezekben az alakokban k¨ ozvetlen¨ ul nem ´ertelmezhet˝ o. A kiindul´ ask´ent alkalmazott komplex sz´ amok: z1 = r1 ejφ1 , z1 = r2 ejφ2 . 10 Az n db komplex gy¨ ok abszol´ ut´ert´eke megegyezik, ´es egyenletesen oszlanak el egy k¨ or´ıv ment´en a komplex s´ıkon. 11 Eml´ekezz¨ unk vissza, hogy az 1 is egy komplex sz´ am, aminek nulla a k´epzetes r´esze. 12 A k = 4-hez tartoz´ o gy¨ oknek ugyan´ ugy 2π az arkusza, mint a k = 0-hoz tartoz´ o gy¨ oknek, ´es az ¨ osszes tov´ abbi gy¨ ok (k ≥ 4) a m´ ar megl´ev˝ ok ism´etl˝ od´esei, teh´ at csak 4 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o gy¨ ok van. 9
12
1. fejezet. Bevezet´es
egy n-ed fok´ u polinomnak mindig n db komplex gy¨oke van. Az (1.2.7) alapj´an a megold´ as √ 4
1 = ej π
0+k2π 4
a n´egy gy¨ok teh´ at {1, ej 2 , ejπ , ej seg´ıts´eg´evel.
, (k = 0, 1, 2, 3),
3π 2
(1.2.8)
}, ami k¨onnyen ellen˝orizhet˝o (1.2.6)
13
1.2. A komplex sz´amok
14
2. fejezet
Jelek t´ıpusai ´ es tulajdons´ agaik Ebben a fejezetben a jelekkel ´es a reprezent´aci´ojukkal kapcsolatos alapfogalmakat, ´es alapvet˝o koncepci´okat t´argyaljuk. A legfontosabb jelt´ıpusok ´es tulajdons´agok t´argyal´as´an t´ ul bemutatjuk a jelfeldolgoz´asban ´es rendszervizsg´alatban leggyakrabban el˝ofordul´ o speci´ alis jeleket, ezek jellemz˝oit, valamint alkalmaz´ asuk lehet˝ os´egeit.
2.1. Folytonos ´ es diszkr´ et idej˝ u jelek A jel mint fogalom tipikus alkalmaz´asa ´altal´aban egy fizikai mennyis´eg (h˝om´ers´eklet, nyom´as, fesz¨ ults´eg, t´erer˝oss´eg stb.) absztrakt le´ır´as´ara ir´anyul. A jel tal´ an legfontosabb tulajdons´aga, hogy inform´ aci´ ot hordoz az ´altala reprezent´alt fizikai mennyis´egr˝ol.1 A jel egy egyszer˝ u defin´ıci´oja lehet az al´abbi: Def. (Jel): A jel egy m´erhet˝ o fizikai mennyis´eg absztrakt reprezent´ aci´ oja, 1 A Merriam-Webster sz´ ot´ ar defin´ıci´ oja szerint a jel egy detekt´ alhat´ o fizikai mennyis´eg ” vagy impulzus (mint fesz¨ ults´eg, a ´ram, m´ agneses t´erer˝ oss´eg), melynek seg´ıts´eg´evel u ¨zenet vagy inform´ aci´ o tov´ abb´ıthat´ o”.
15
2.2. Jelek alapvet˝o tulajdons´agai
amely egy´ertelm˝ uen hozz´ arendelt inform´ aci´ ot hordoz a sz´ oban forg´ o fizikai mennyis´eg ´ert´ek´er˝ ol vagy ´ert´ekv´ altoz´ as´ ar´ ol. Mivel a jel egy m´erhet˝o fizikai mennyis´eg abszrakt reprezent´aci´ oja, a jel le´ır´asa maga is absztrakt, ´es a´ltal´aban egy f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel t¨ort´enik.2 A legt¨obb esetben a fizikai mennyis´egek id˝ otartom´ anybeli jelek, ami azt jelenti, hogy az o˝ket le´ır´o f¨ uggv´enyek f¨ uggetlen v´altoz´ oja az id˝o, de vannak olyan jelek (´es term´eszetesen fizikai mennyis´egek is), amelyek egy vagy t¨obb t´erdimenzi´o ment´en is v´ altoznak. Az ilyen t´ıpus´ u jelek k¨ oz¨ ott a legegyszer˝ ubbek tal´ an a k´epek, amelyek a t´er k´etv´altoz´os f¨ uggv´enyei.3
2.2. Jelek alapvet˝ o tulajdons´ agai A folytonos idej˝ u jelek reprezent´aci´oja a val´os sz´ amok halmaz´an ´ertelmezett f¨ uggv´enyekkel t¨ort´enik (melyeknek ´altal´ aban az id˝o a f¨ uggetlen v´ altoz´oja), ´es az ´ert´ekk´eszlet¨ uk is tipikusan a val´ os sz´amok halmaza (vagy r´eszhalmaza), ´ıgy az x(t) jel, az al´ abbi m´ odon ´ırhat´o le x : R → R,
y = x(t),
(t ∈ R),
(2.2.1)
ahol x a f¨ uggv´eny neve, t a f¨ uggetlen v´altoz´oja, ´es y a f¨ ugg˝o v´altoz´o 4 (f¨ uggv´eny´ert´ek). Folytonos idej˝ u jelekre egyszer˝ u p´elda lehet egy szoba h˝om´ers´eklete, egy elektromos csatlakoz´on m´erhet˝o fesz¨ ults´eg, egy cs˝ovezet´ekben m´erhet˝ o nyom´ as stb. Az al´abbiakban a jelek n´eh´ any fontos tulajdons´ aga k¨ovetkezik defin´ıci´oszer˝ uen felsorolva. Def. (Periodicit´as): Egy x(t) jel periodikus a T peri´ odusid˝ ovel, ha x(t+T ) = x(t), ∀t ∈ R. 2 Elk´epzelhet˝ ok m´ as reprezent´ aci´ ok is, mint grafikonok vagy t´ abl´ azatok, de a legfontosabbak a f¨ uggv´enyek. 3 Term´eszetesen elk´epzelhet˝ ok olyan jelek is, amelyek egyszerre az id˝ ot˝ ol ´es a t´ert˝ ol is f¨ uggnek, pl. egy videofolyam, de ebben az anyagban az ilyen t´ıpus´ u jelekkel nem foglalkozunk. 4 Az itt alkalmazott jel¨ ol´es pontosan megegyezik a f¨ uggv´enyek matematik´ aban megszokott jel¨ ol´es´evel.
16
2. fejezet. Jelek t´ıpusai ´es tulajdons´ agaik
Fontos megjegyezni, hogy ha egy jel T -vel periodikus, akkor nyilv´an periodikus T minden eg´esz t¨obbsz¨or¨os´evel is. Ezek k¨ oz¨ ul a legkisebbet alapperi´ odusnak nevezz¨ uk. Tipikus periodikus jelek a harmonikus f¨ uggv´enyek (sin, cos). Def. (P´aross´ag): Egy x(t) jel p´ aros, ha x(t) = x(−t), ∀t ∈ R. P´aros jelek a p´aros foksz´am´ u polinomok (t2 , t4 , . . . ), az abszol´ ut´ert´ekf¨ uggv´eny |t|, a konstans ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny x = C vagy a koszinusz cos(t) stb. Def. (P´aratlans´ ag): Egy x(t) jel p´ aratlan, ha −x(t) = x(−t), ∀t ∈ R. P´aratlan jelek a p´aratlan foksz´am´ u polinomok (t3 , t5 , . . . ), a t identit´asf¨ uggv´eny, vagy a szinusz sin(t) stb. atos, ha l´etezik egy v´eges K ∈ R Def. (Korl´atoss´ag): Egy x(t) jel korl´ amelyre |x(t)| < K, ∀t ∈ R. Def. (Bel´ep˝o jel): Egy x(t) jel bel´ep˝ o, ha x(t) ≡ 0, ∀t < 0, (t ∈ R). Def. (Korl´atos tart´oj´ u jel): Egy x(t) jel korl´ atos tart´ oj´ u, ha ´ert´eke egy v´eges intervallumon k´ıv¨ ul azonosan 0. A k¨ ovetkez˝o szakaszban a jelfeldolgoz´as szempontj´ab´ol legfontosabb, leggyakrabban el˝ ofordul´ o jelek bemutat´ asa k¨ovetkezik.
2.3. Fontosabb jelek ´ es jellemz˝ oik 2.3.1. A szinuszos jel A szinuszos jeleknek kit¨ untetett a szerep¨ uk a jelfeldolgoz´ asban els˝ osorban amiatt, hogy a szinuszos jelek a line´aris rendszerek saj´ atf¨ uggv´enyei, azaz a line´aris rendszeren val´o a´tvitel hat´as´ara a jelalakjuk nem v´ altozik, tov´abbra is szinuszos marad, csak a jel bizonyos attrib´ utumai v´altozhatnak meg.
17
2.3. Fontosabb jelek ´es jellemz˝oik
Def. (Szinuszos jel): Az x(t) = A cos(ωt + φ) alak´ u jelet szinuszos jelnek nevezz¨ uk.
1.5
1
x(t)
0.5
0
−0.5
−1 −2
−1
0
1
2 t
3
4
5
6
2.1. ´ abra. Szinuszos jel Az x(t) szinuszos jelet jellemz˝o param´eterek az A amplit´ ud´ o, az ω k¨ orfrekvencia ´es a φ kezd˝ of´ azis. A k¨orfrekvencia ´es a peri´ odusid˝o k¨ oz¨otti viszony az ω = 2π/T o¨sszef¨ ugg´essel ´ırhat´ o le. A 2.1. a´br´ an egy szinuszos jel l´athat´o, jellemz˝ o param´etereinek felt¨ untet´es´evel.
2.3.2. A komplex exponenci´ alis jel A komplex exponenci´alis jel szint´en igen fontos szerepet j´atszik a jelfeldolgoz´asban, ugyanis a line´aris rendszerek v´alasza ´altal´ anos esetben komplex ´ert´ek˝ u exponenci´alis f¨ uggv´enyek line´aris kombin´ aci´ojak´ent jelenik meg. A komplex exponenci´alis jel ´altal´anos alakja x(t) = Ceλt , ahol C = |C|ejθ , λ = α + jω alak´ u komplex sz´am, melynek ismeret´eben a jel fel´ırhat´o a k¨ ovetkez˝ o alakban 18
2. fejezet. Jelek t´ıpusai ´es tulajdons´ agaik
x(t) = |C|ejθ eαt ejωt ,
(2.3.1)
ahonnan az Euler-formul´ ak alapj´ an ad´ odik az x(t) = |C|eαt cos(ωt + θ) + j|C|eαt sin(ωt + θ)
(2.3.2)
alak, melynek val´ os ´es k´epzetes r´esze egyar´ant szinuszos jel (2.2. ´abra). 1.5
5 4
1
3 2
0.5
x(t)
x(t)
1 0
0 −1
−0.5
−2 −3
−1
−4 −1.5 −2
0
2
4
6
−5 −2
8
t
0
2
4
6
8
t
2.2. ´abra. Komplex exponenci´ alis jel val´os r´esze α < 0 ´es α > 0 eset´en E szinuszos jelek id˝ obeli lefut´as´anak jelleg´et az α param´eter befoly´asolja, ahogy az a 2.2. ´abr´an megfigyelhet˝o α < 0 eset´en cs¨okken˝o, α > 0 eset´en n¨ovekv˝ o amplit´ ud´oj´ u jelet eredm´enyezve. A fentebb t´ argyalt szinuszos ´es exponenci´ alis jelek diszkr´et idej˝ u vari´ansait a k´es˝obbi fejezetekben – a m´odszerek ´es alkalmaz´ asok kapcs´ an – t´ argyaljuk.
2.4. Tipikus vizsg´ al´ ojelek A rendszervizsg´alat szempontj´ab´ol kit¨ untetett szerep˝ u jelek az u ´ n. vizsg´ al´ ojelek. Ezek a jelek, ´es a rendszerek r´ajuk adott v´alasza kiemelked˝ o jelent˝ os´eggel b´ırnak. Ebben a szakaszban a k´et legfontosabb vizsg´al´ojelet, az egys´egugr´ ast ´es az egys´egimpulzust t´ argyaljuk. 19
2.4. Tipikus vizsg´al´ojelek
2.4.1. Az egys´ egugr´ as A 2.3. ´abr´an l´athat´o az ε(t) egys´egugr´ as jel, mely az al´abbi m´odon defini´alhat´ o ( 0, ha t < 0, ε(t) = (2.4.1) 1, ha t > 0. A defin´ıci´o alapj´an vil´agos, hogy az egys´egugr´as jel nagyon egyszer˝ uen viselkedik, a nulla id˝opillanat el˝ott azonosan nulla ´ert´ek˝ u, ut´ana pedig azonosan egy, a nulla helyen a jelnek szakad´ asa van. Rendszervizsg´ alatban bet¨olt¨ott szerepe els˝ osorban abban ´all, hogy bemen˝ojelk´ent valaminek a bekapcsol´ as´ at modellezi. Az egys´egugr´ as seg´ıts´eg´evel ezen k´ıv¨ ul b´armilyen jel bel´ep˝ov´e tehet˝ o, egyszer˝ uen az egys´egugr´assal val´o szorz´assal. 1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
ε(t)
ε(t−τ)
1.2
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
τ −0.2 −1
0
1
2 t
3
4
−0.2 −1
5
0
1
2 t
3
4
5
2.3. ´ abra. Az ε(t) egys´egugr´as jel, ´es τ -val eltolt v´altozata Az egys´egugr´as alkalmas tov´ abb´a u ´n. n´egysz¨ ogablak 5 l´etrehoz´as´ ara is (ld. 2.4. a´bra), ami eg´esz egyszer˝ uen annyit jelent, hogy egy jelb˝ol megtartunk egy szegmenst, korl´atos tart´oj´ u jell´e alak´ıtva azt. A 2.4. a´bra ezt az alkalmaz´ast szeml´elteti, ahol a folytonos idej˝ u x(t) jelet (k´ek szaggatott) beszorozva az ablakf¨ uggv´ennyel (fekete szaggatott), az a´br´an l´athat´ o y(t) korl´atos tart´oj´ u jel (fekete folytonos) keletkezik. 5
A n´egysz¨ ogablakon k´ıv¨ ul sz´ amos m´ as t´ıpus´ u ablakf¨ uggv´eny is l´etezik, ezek k¨ oz¨ ul
20
2. fejezet. Jelek t´ıpusai ´es tulajdons´ agaik
1
0.8 0.7 ε(t) 0.6 τ y(t)
ε(t)−ε(t−τ)
0.5
0
0.4 0.3
−0.5 −ε(t−τ)
0.2 0.1
−1 −1
0.5
0
1
2 t
3
4
0 −1
5
0
1
2 t
3
4
5
2.4. ´abra. Az ε(t) − ε(t − τ ) n´egysz¨ogablak ´es alkalmaz´asa Az egys´egugr´as diszkr´et idej˝ u v´altozata az al´abbi form´aban adhat´o meg ( 0 ε[n] = 1
ha n < 0, ha n ≥ 0,
(2.4.2)
a jel a 2.5. ´abr´an l´ athat´ o.
1
0.8
ε[n]
0.6
0.4
0.2
0 −4
−2
0
2
4
6
8
10
n
2.5. ´ abra. A DI egys´egugr´as
n´eh´ anyat a Digit´ alis sz˝ ur˝ okkel foglalkoz´ o fejezetben t´ argyalunk.
21
2.4. Tipikus vizsg´al´ojelek
2.4.2. Az egys´ egimpulzus A m´asik alapvet˝o vizsg´al´ ojel az egys´egimpulzus (δ-f¨ uggv´eny, Dirac-δ). Ennek a jelnek a konstrukci´ oja m´ ar j´ oval ¨osszetettebb az egys´egugr´ as´en´ al, hagyom´ anyos ´ertelemben a Dirac-δ nem is f¨ uggv´eny, hanem u ´n. disztrib´ uci´ o. Az ilyen t´ıpus´ u matematikai objektumok egzakt elm´eleti le´ır´ asa meghaladja e tananyag kereteit, de szerencs´ere jelfeldolgoz´asi6 alkalmaz´asok szempontj´ab´ol b˝oven el´eg lesz az egys´egimpulzus szeml´eletes megk¨ozel´ıt´ese. A Dirac-δ konstrukci´oja legegyszer˝ ubben tal´an grafikusan szeml´eltethet˝o, ahogy azt az 2.6. ´ abra mutatja. 2.5 1
2
0.6 δ[t]
δ(t,τ) → δ(t)
0.8
1.5 1 0.5
0.4
1/τ
0.2
τ
0
0 −1
0
1
2 t
3
4
−4
5
−2
0
2
4
6
8
10
t
2.6. ´ abra. A Dirac-δ jel konstrukci´oj´anak grafikus interpret´aci´oja Az a´br´an egy egys´egnyi ter¨ ulet˝ u jel ((ε(t) − ε(t − τ ))/τ ) l´athat´o, ahogy a τ → 0 hat´ar´atmenettel egyre keskenyebb, ´es egyre magasabb lesz, m´ıg v´eg¨ ul nulla sz´eless´eg˝ u ´es v´egtelen magass´ag´ u jelet kapunk, melynek a ter¨ ulete tov´abbra is egys´egnyi, ´es ami maga a Dirac-δ, azaz ε(t) − ε(t − τ ) . τ →0 τ
δ(t) = lim
(2.4.3)
Ez a jel teh´at egy nulla sz´eless´eg˝ u, v´egtelen magass´ ag´ u, egys´egnyi ter¨ ulet˝ u jel a nulla helyre koncentr´ alva. Jel¨ol´ese egy f¨ ugg˝oleges ny´ıl, 6´
Es a ´ltal´ aban m´ern¨ oki alkalmaz´ asok szempontj´ ab´ ol is.
22
2. fejezet. Jelek t´ıpusai ´es tulajdons´ agaik
melynek magass´aga a δ(t) egy¨ utthat´ oja.7 Amint l´ atjuk, a Dirac-δ nem h´etk¨oznapi f¨ uggv´eny, ´ıgy nem is tudjuk h´etk¨oznapi m´ odon kezelni. Az intuit´ıv megk¨ ozel´ıt´ese lehet a t¨ omegpont, vagy a pontszer˝ u t¨ olt´es,8 absztrakt megfelel˝oje a jelek vil´ag´aban; az egy pontra koncentr´alt, nulla kiterjed´es˝ u, m´egis egys´egnyi ter¨ ulet˝ u jel. Term´eszetesen l´eteznek Dirac-impulzusnak a fentin´el egzaktabb defin´ıci´ oi is, ezek k¨oz¨ ul az egyik a k¨ ovetkez˝ ok´epp fogalmazhat´o meg. Def. (Dirac-δ): Ha egy x(t) jel folytonos a τ helyen, akkor Z ∞ x(t)δ(t − τ )dt = x(τ ).
(2.4.4)
−∞
A fenti defin´ıci´ o alapj´ an azt mondhatjuk, hogy a δ(t)-val val´ o beszorz´as ´es integr´al´as mintegy mint´at vesz a jelb˝ol, valamint az is vil´agos, hogy a δ(t) jelet nem ¨ on´all´ o entit´ask´ent defini´ alja, hanem egy m´asik f¨ uggv´ennyel val´o interakci´ oj´ an kereszt¨ ul. Az egys´egimpulzus tal´ an legfontosabb tulajdons´ aga a nulla helyre koncentr´ alt egys´egnyi ter¨ ulete, ami az al´abbi m´odon formaliz´alhat´o Z
∞
Z
+0
δ(t)dt = −∞
δ(t)dt = 1,
(2.4.5)
−0
ahonnan j´ol l´athat´o, hogy a (−∞, ∞) intervallumon v´egzett integr´al´as a (−0, +0) intervallumon v´egzett integr´al´ assal megegyez˝ oen egyet ad eredm´eny¨ ul, azaz az egys´egnyi ter¨ ulet a nulla helyre koncentr´al´odik.9 Az egys´egimpluzus diszkr´et idej˝ u (DI) v´ altozata az al´abbi m´odon defini´alhat´o 0 ha n < 0, δ[n] = 1 ha n = 0, (2.4.6) 0 ha n > 0, 7´
Abr´ azol´ askor teh´ at a δ(t) nagys´ aga a ter¨ uletet reprezent´ alja. Paul Dirac ´epp a pontszer˝ u t¨ olt´es reprezent´ al´ as´ ara vezette be ezt a speci´ alis f¨ uggv´enyt. 9 T¨ omegpont, pontszer˝ u t¨ olt´es anal´ ogia. 8
23
2.4. Tipikus vizsg´al´ojelek
ahonnan l´atszik, hogy a δ[n] egyszer˝ uen egy darab 1-es a nulla id˝opillanatban, az n = 0 helyen. Funkci´oja a folytonos idej˝ u (FI) v´altozattal anal´og, viszont a jel le´ır´asa sokkal egyszer˝ ubb. A δ[n] egys´egimpulzus a 2.7. a´br´an l´athat´o.
1
0.8
δ[n]
0.6
0.4
0.2
0 −4
−2
0
2
4
6
8
10
n
2.7. ´ abra. A DI egys´egimpulzus
2.4.3. Az egys´ egugr´ as ´ es az egys´ egimpulzus kapcsolata A k´et, fentebb t´ argyalt vizsg´al´ojel szoros kapcsolatban van egym´assal, mind folytonos, mind diszkr´et id˝ oben. Az FI egys´egugr´as a k¨ovetkez˝ok´eppen ´all´ıthat´o el˝ o a Dirac-δ seg´ıts´eg´evel Z
t
ε(t) =
δ(τ )dτ ,
(2.4.7)
−∞
ami tulajdonk´eppen azt jelenti, hogy az egys´egugr´ as jel az egys´egimpulzus ter¨ uletm´er˝ o f¨ uggv´enye. A (2.4.7) a´ltal defini´ alt egyenl˝os´eg nagyon k¨onnyen bel´athat´o, hiszen ( 0 ha t < 0 δ(τ )dτ = ≡ ε(t). 1 ha t > 0 −∞
Z
t
(2.4.8)
Ebb˝ ol k¨ovetkezhetne, hogy az egys´egimpulzus az egys´egugr´ as deriv´ altja, 24
2. fejezet. Jelek t´ıpusai ´es tulajdons´ agaik
de mivel az egys´egugr´as jel a nulla helyen nem deriv´alhat´ o,10 ehhez be kell vezetn¨ unk az ´ altal´ anos´ıtott deriv´ alt fogalm´at. ´ anos´ıtott deriv´ alt): Egy x0 (t) jel az x(t) jel ´ altal´ anos´ıtott Def. (Altal´ deriv´ altja, ha Z
t
x(t) =
x0 (τ )dτ + x(t0 ).
(2.4.9)
t0
A fenti defin´ıci´o igen hasonl´o a (2.4.7) formul´ ahoz, hisz az a´ltal´anos´ıtott deriv´alt fogalma pontosan azt jelenti, hogy az x0 (t) akkor deriv´altja x(t)-nek, ha x(t) ter¨ uletm´er˝o f¨ uggv´enye x0 (t)-nek. Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt nagy el˝onye a hat´ar´atmenettel defini´alt differenci´alh´ anyadossal szemben, hogy nem ´erz´ekeny a szakad´asokra, teh´at ebben az ´ertelemben az egys´egugr´asnak l´etezik deriv´ alt f¨ uggv´enye, ez pedig nem m´ as, mint a Dirac-δ (ld. (2.4.7) formula). A diszkr´et idej˝ u egys´egugr´as ´es egys´egimpulzus kapcsolata a k¨ovetkez˝ o m´odon adhat´o meg
ε[n] =
∞ X
δ[n − i] = δ[n] + δ[n − 1] + δ[n − 2] + . . . ,
(2.4.10)
i=0
vagy az ezzel ekvivalens ε[n] =
n X
δ[i],
(2.4.11)
i=−∞
illetve a δ[n] el˝ o´ all´ıt´ as´ at defini´ al´ o δ[n] = ε[n] − ε[n − 1].
(2.4.12)
Tekintve a (2.4.11) ´es (2.4.12) ¨osszef¨ ugg´eseket, szembet˝ unhet, hogy az integr´al´ as, ill. a differenci´ al´as diszkr´et idej˝ u megfelel˝ oit jelentik, azaz a DI 10
A jobb ´es bal oldali hat´ ar´ert´ek nem egyenl˝ o a null´ aban.
25
2.4. Tipikus vizsg´al´ojelek
egys´egugr´as ´es egys´egimpulzus kapcsolata anal´og az FI v´altozatok (2.4.7) kapcsolat´ aval.
26
3. fejezet
A mintav´ etelez´ es A fizikai folyamatokat ´es jelens´egeket jellemz˝o fizikai mennyis´egek, ´es az ezeket reprezent´al´o jelek tipikusan folytonosak. Gondoljunk csak egy ´aramk¨or fesz¨ ults´eg- ´es ´aramjeleire, egy v´ızvezet´ekben ´araml´o k¨ozeg nyom´ as´ara, vagy ak´ar egy rockkoncerten tapasztalhat´o hangnyom´ asra, ezek mind anal´ og, id˝oben ´es ´ert´ekben is folytonos jelek. A folytonoss´ag term´eszetesen csak matematikai ´ertelemben ´all fenn t¨ ok´eletesen. A fizikai jeleket minden esetben behat´arolja a s´ avsz´eless´eg ´es a zaj. Mivel a s´avsz´eless´eg nem v´egtelen, ez´ert mindig lesz egy olyan legnagyobb frekvencia (s´avkorl´at), amin´el nagyobb frekvenci´ ak vizsg´alata ´ertelmetlen, ´es hasonl´ oan az amplit´ ud´oban is lesz egy olyan legkisebb jelszint, ami m´ar megk¨ ul¨onb¨oztethetetlen a zajt´ol. Matematikai ´ertelemben azonban a folytonoss´ag alatt pontosan azt ´ertj¨ uk, hogy a jel mind f¨ ugg˝ o mind f¨ uggetlen v´altoz´oj´aban folytonos. Sokszor el˝ofordul azonban, hogy egy folytonos jelet annak diszkretiz´alt v´ altozat´aval k¨ ozel´ıt¨ unk, ´es ez a k¨ozel´ıt´es els˝o pillant´ asra nem k¨ ul¨ onb¨ ozik az eredeti folytonos jelt˝ ol. Ha egy f´enyk´epet egy monitor k´eperny˝oj´en eg´eszen k¨ozelr˝ol n´ez¨ unk, akkor l´athat´ov´ a v´alik a k´ep pixeles szerkezete, azaz a kicsit t´avolabbr´ol folytonosnak t˝ un˝ o k´ep val´oj´aban egy megfelel˝oen s˝ ur˝ u pontm´atrix pontjaik´ent van reprezent´alva. Ez teh´at egy diszkretiz´alt v´altozata az eredeti f´enyk´epnek, ami ´eszlel´es¨ unk szempontj´ ab´ ol nem k¨ ul¨onb¨ozik az eredetit˝ol. 27
3.1. A mintav´etelez´es elve
Annak ´erdek´eben, hogy anal´ og jelekkel digit´alis (sz´am´ıt´ og´epes) k¨ornyezetben dolgozhassunk, elengedhetetlen az anal´og jelek mintav´etelez´ese ´es digitaliz´ al´asa. A mintav´etelez´est legegyszer˝ ubben u ´ gy k´epzelhetj¨ uk el, hogy adott id˝ ok¨oz¨onk´ent megn´ezz¨ uk, hogy mekkora a jel nagys´aga.1 Ezut´an ezek a r¨ogz´ıtett id˝ok¨ oz¨onk´ent vett ´ert´ekek, az u ´ n. mint´ ak fogj´ak reprezent´alni a folytonos jelet. A mintav´etelez´es tulajdons´agai, ´es hat´asa a legegyszer˝ ubben az u ´ n. matematikai mintav´etelez´es seg´ıts´eg´evel ´ertelmezhet˝oek. Az innen sz´ armaz´o eredm´enyek ´es az itt levont k¨ovetkeztet´esek alapj´an tudjuk megv´alaszolni a mintav´etelez´essel kapcsolatos egyik legfontosabb k´erd´est, nevezetesen : Rekonstru´alhat´ o-e az eredeti jel csup´an mint´ ainak ismeret´eben?
3.1. A mintav´ etelez´ es elve Egy jelnek bizonyos id˝ok¨oz¨ onk´ent vett mint´aival val´o reprezent´aci´oja a f¨ uggetlen v´altoz´o szempontj´ab´ ol azt jelenti, hogy az eddigi folytonos id˝ot reprezent´al´ o val´os (t ∈ R) v´altoz´o helyett egy diszkr´et id˝ot (mintav´eteli id˝opillanatokat) reprezent´al´ o eg´esz sz´ amok halmaz´ an ´ertelmezett (n ∈ Z) v´altoz´ot vezet¨ unk be, azaz, ha egy FI jelet a mint´aival szeretn´enk reprezent´alni, akkor ezt form´alisan a legegyszer˝ ubben u ´ gy tehetj¨ uk meg, hogy a folytonos t id˝o argumentum hely´ere ennek egy diszkretiz´alt v´altozat´at nTs -t helyettes´ıtj¨ uk x(t)|t←nTs ,
(3.1.1)
ahol Ts a mintav´eteli peri´ odusid˝ o, n pedig a mintav´eteli id˝opillanat indexe, azaz a diszkr´et id˝ o. Egy szinuszos jel eset´eben a mintav´etelezett jel (3.1.1) alapj´an az al´ abbi m´ odon alkothat´ o meg x(t) = A cos(ωt + ρ)|t←nTs ,
(3.1.2)
1 Ha egy szob´ aban elhelyezett h˝ om´er˝ o kijelz˝ oj´et 5 percenk´ent leolvasom, ´es lejegyzem a mutatott ´ert´eket, akkor tulajdonk´eppen mintav´eteleztem a T (t) h˝ om´ers´ekletjelet, ami a szoba h˝ om´ers´eklet´et reprezent´ al´ o anal´ og jel.
28
3. fejezet. A mintav´etelez´es
x(nTs ) = A cos(ωnTs + ρ),
(3.1.3)
ahonnan a ϑ = ωTs DI k¨ orfrekvencia bevezet´es´evel az al´abbi jel ad´odik x[n] = A cos(ϑn + ρ).
(3.1.4)
A mintav´etelez´es fenti folyamat´at k¨ovethetj¨ uk nyomon a 3.1. a´br´an, ahol k´et k¨ ul¨onb¨oz˝ o ω k¨orfrekvenci´aj´ u anal´ og jelet mintav´etelezt¨ unk r¨ ogz´ıtett ωs = 2π/Ts mintav´eteli k¨ orfrekvenci´ aval. ω = 0.095 ωs
1
0.5 x(t), x(nTs )
0.5 x(t), x(nTs )
ω = 0.2 ωs
1
0
-0.5
0
-0.5
-1
-1 0
0.05
0.1
0.15
0
t
0.05
0.1
0.15
t
3.1. ´ abra. Szinuszos jel helyes mintav´etelez´ese L´athat´o, hogy az eredeti jel ω k¨orfrekvenci´aj´anak n¨ovel´es´evel a mintav´etelez´es a jel v´altoz´asi sebess´eg´ehez k´epest egyre ritk´abban t¨ort´enik. Ha az eredeti jel k¨orfrekvenci´aj´at tov´abb n¨ovelj¨ uk, akkor el˝ofordulhat, hogy m´ar nem tudunk el´eg gyakran mint´at venni a jelb˝ol ahhoz, hogy a jel eredeti inform´aci´otartalma megmaradjon. A 3.2. ´abr´an l´athat´ o, hogy mi t¨ort´enik akkor, ha az anal´og jel frekvenci´ aj´at m´eg tov´abb n¨ ovelj¨ uk. Mivel a mintav´etelez´es nem el´eg gyakori, a jelb˝ol vett mint´ak m´ar nem reprezent´alj´ ak az eredeti jelet, hanem egy m´ asik, kisebb k¨orfrekvenci´aval rendelkez˝o jelnek t˝ unnek a mintav´etelez´es ut´an. Az a´br´an j´ol l´athat´o, hogy a mintav´eteli pontokb´ol az eredeti jel helyett egy m´asik, alacsonyabb frekvenci´aj´ u szinuszos jel a´ll o¨ssze. Ez az u ´n. aliasing 29
3.1. A mintav´etelez´es elve ω = 0.6 ωs
1
ω = 0.95 ωs 1
0.5 x(t), x(nTs )
x(t), x(nTs )
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1 -1 0
0.05
0.1
0.15
0
t
0.05
0.1
0.15
t
3.2. ´ abra. Szinuszos jel helytelen mintav´etelez´ese jelens´eg. Az ´abr´an szaggatott vonallal jel¨olt szinuszos jel a mintav´eteli pontokban vett f¨ uggv´eny´ert´ekekhez tartoz´ o alacsony frekvenci´ as szinusz, az alias jel.
3.1.1. A mintav´ eteli t¨ orv´ eny A fenti p´eld´akb´ol l´athat´o, hogy a mintav´eteli frekvencia megv´ alaszt´asa nem t¨ ort´enhet tetsz˝ olegesen, valamint azt is l´ athattuk, hogy a mintav´etel helyess´ege az eredeti jel frekvenci´aja ´es a mintav´eteli frekvencia viszony´at´ ol f¨ ugg. Ha a mintav´etelez´est puszt´an a szinuszos jel id˝of¨ uggv´enye alapj´an pr´ob´ aljuk ´ertelmezni, akkor azt mondhatjuk, hogy akkor lesz megfelel˝o a mintav´etelez´es, ha minden f´elperi´odusb´ol vesz¨ unk legal´abb egy mint´at, azaz a mintav´eteli peri´ odusid˝ ot az eredeti peri´odusid˝o fel´ere vagy kisebbre v´alasztjuk (Ts ≤ T /2), de ahogy azt a 3.3.a. ´ abra mutatja, enn´el szigor´ ubbnak kell lenn¨ unk, ´es az egyenl˝os´eget nem engedhetj¨ uk meg, mert ebben az esetben el˝ofordulhat, hogy mindig a z´erushelyekr˝ol mint´at v´eve, az eredeti jel helyett egy konstanst kapunk. A helyes mintav´etelez´es felt´etele teh´ at, hogy a mintav´eteli peri´odusid˝ o kisebb legyen, mint a szinuszos jel peri´odusidej´enek fele. Ez formul´ aval megfogalmazva az al´ abbi ¨ osszef¨ ugg´est jelenti 30
3. fejezet. A mintav´etelez´es ω = 0.45 ωs 1
0.5
0.5 x(t), x(nTs )
x(t), x(nTs )
ω = 0.5 ωs 1
0
-0.5
0
-0.5
-1
-1 0
0.05
0.1
0.15
0
0.05
t
0.1
0.15
t
(a.)
(b.)
3.3. ´abra. Szinuszos jel mintav´etelez´ese a hat´arfrekvencia k¨ozel´eben
T , (3.1.5) 2 ahol Ts a mintav´eteli peri´odusid˝o, T pedig az eredeti jel peri´odusideje. A k¨orfrekvencia ´es a peri´odusid˝o k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´es ismeret´eben a (3.1.5) megfogalmazhat´ o k¨ orfrekvenci´ akra is az al´abbi alakban Ts <
ωs > 2ω,
(3.1.6)
ahol ωs a mintav´eteli k¨ orfrekvencia, ω pedig az eredeti jel k¨orfrekvenci´aja. ´ Altal´aban egy jel nem csak egy szinuszos ¨osszetev˝ob˝ol ´all, de amint a k´es˝obbiekben l´atni fogjuk, minden periodikus jel2 fel´ırhat´ o k¨ ul¨ onb¨oz˝o szinuszos jelek line´aris kombin´aci´ ojak´ent. Ilyenkor a (3.1.6) o¨sszef¨ ugg´est az al´abbi m´odon kell megfogalmazni, ωs > 2ωM ,
(3.1.7)
ahol ωM a jelben el˝ ofordul´o legnagyobb frekvenci´aj´ u o¨sszetev˝ o frekvenci´ aja, azaz a jel s´avkorl´atja. A helyes mintav´etel felt´etel´et, azaz a mintav´eteli t¨ orv´enyt teh´at u ´ gy fogalmazhatjuk meg, hogy egy s´ avkorl´atozott jelet 2
T´ agabb ´ertelemben az aperiodikus jelek is ide ´erthet˝ ok.
31
3.1. A mintav´etelez´es elve
egy´ertelm˝ uen reprezent´ alnak a mint´ai, ha a mintav´eteli frekvencia ´es a jelben el˝ofordul´ o maxim´ alis k¨ orfrekvencia viszony´ara igaz (3.1.7). A most megfogalmazott mintav´eteli t¨orv´eny egzakt igazol´asa a Fouiriertranszform´ aci´ o t´ argyal´ asa ut´ an, a II./2. fejezetben k¨ovetkezik.
32
4. fejezet
Line´ aris rendszerek ´ es tulajdons´ agaik 4.1. Alapfogalmak Mikor rendszerekr˝ol besz´el¨ unk, akkor tipikusan valamilyen fizikai objektum (g´ep, berendez´es, hardware-software komponensek egy¨ uttese stb.) absztrakt le´ır´as´ ara gondolunk. A rendszernek vannak bemenetei (gerjeszt´esek ) ´es az ezek, ill. a rendszer bels˝o ´ allapot´anak hat´ as´ ara keletkez˝o kimenetei (v´ alaszok ) ´es olyan absztrakt entit´ask´ent tekinthet¨ unk r´a, ami valamit csin´al a gerjeszt´esekkel, hogy azokb´ ol v´ alaszok legyenek. A rendszereket sokf´ele m´odon csoportos´ıthatjuk, ezek k¨ oz¨ ul az egyik a bemenetek ´es kimenetek sz´ama szerinti csoportos´ıt´as, mely szerint megk¨ ul¨onb¨oztet¨ unk: • Egy bemenet˝ u – egy kimenet˝ u, SISO (Single Input Single Output) u – t¨obb kimenet˝ u, MIMO (Multiple Input Multiple • T¨obb bemenet˝ Output) rendszereket, ill. az ezekb˝ ol sz´ armaztathat´o SIMO ´es MISO v´altozatokat. 33
4.2. Line´aris rendszerek
A rendszerek matematikai reprezent´aci´ oja egy oper´ator,1 melynek argumentuma a rendszer bemen˝ ojele (vagy bemen˝ojelei), ´ert´eke pedig a kimen˝ojelet (kimen˝ ojeleket) fogja szolg´altatni, az al´abbiak szerint y(t) = W{x(t)},
(4.1.1)
y(t) = W{x(t)},
(4.1.2)
SISO, ill.
alakban MIMO rendszer eset´en, ahol W{.} a rendszert reprezent´al´o oper´ator, ami a gerjeszt´est a v´alaszba k´epezi. A vektor´ert´ek˝ u gerjeszt´es ´es v´ alasz az al´abbi m´odon ´ertelmezhet˝ o yk (t) = W{xi (t)},
i = 1 . . . Nx , k = 1 . . . Ny ,
(4.1.3)
ahol Nx a gerjeszt´esek, Ny a v´ alaszok sz´ama.
4.1.1. Fontosabb rendszertulajdons´ agok Def. (Kauz´alis rendszer): Egy rendszer kauz´ alis, ha v´ alasz´ anak t0 (n0 ) id˝ opillanatbeli ´ert´ek´et csak a t0 (n0 ) id˝ opillanatot megel˝ oz˝ o gerjeszt´esek befoly´ asolj´ ak. Def. (Invari´ans rendszer): Egy rendszer invari´ ans (id˝ oinvari´ ans), ha gerjeszt´es´enek id˝ obeli eltol´ asa, v´ alasz´ anak csak egy ugyanekkora eltol´ as´ at eredm´enyezi, azaz, ha y(t) = W{x(t)}, akkor y(t − t0 ) = W{x(t − t0 )}. Az invariancia defin´ıci´oja tulajdonk´eppen annyit jelent, hogy a rendszer jellemz˝oi (strukt´ ur´ aja ´es param´eterei) nem v´altoznak az id˝oben.
4.2. Line´ aris rendszerek A line´ aris rendszerek ´es tulajdons´agaik k¨ozponti szerepet j´atszanak a jelfeldolgoz´ asban, a linearit´ as felt´etelez´ese sz´ amos jelfeldolgoz´asi technika 1
Az oper´ ator egy olyan lek´epez´es, ami egy jelb˝ ol egy m´ asik jelet a ´ll´ıt el˝ o.
34
4. fejezet. Line´ aris rendszerek ´es tulajdons´ agaik
alapja. Def. (Line´aris rendszer): Egy rendszer line´ aris, ha a rendszert jellemz˝ o W{.} oper´ ator homog´en ´es addit´ıv. A defin´ıci´oban szerepl˝o addit´ıv tulajdons´ag azt jelenti, hogyha a rendszer az xi (t) gerjeszt´esre az yi (t) v´ alaszt adja,2 akkor ( n ) n n X X X xi (t) = W{xi (t)} = yi (t), (4.2.1) W i=1
i=1
i=1
a homogenit´as pedig annyit tesz, hogy a gerjeszt´es K-szoros´ara val´o n¨ovel´ese a v´alasz K-szoros n¨ oveked´es´et eredm´enyezi, form´alisan W{Kx(t)} = KW{y(t)} = Ky(t),
(4.2.2)
teh´ at egy line´ aris rendszer bemenet´ere adott jel ar´ anyos megv´altoztat´ asa, a kimen˝ojel ugyanolyan ar´any´ u megv´altoz´as´aval j´ar. A fenti k´et tulajdons´ag egy k¨oz¨os formul´ aval is fel´ırhat´ o az al´ abbiak szerint ( n ) n n X X X W Ki xi (t) = Ki W{xi (t)} = Ki yi (t), (4.2.3) i=1
i=1
i=1
amit u ´gy interpret´alhatunk, hogy a line´aris rendszer a gerjeszt´esek line´ aris kombin´aci´ oj´at a hozz´ ajuk tartoz´o v´alaszok line´ aris kombin´aci´ oj´aba viszi a´t. Ezt szok´as oly m´odon megfogalmazni, hogy a line´aris rendszerekre ´erv´enyes az u ´n. szuperpoz´ıci´ o elve, ami azt jelenti, hogy ha a gerjeszt´est egy s´ ulyozott ¨osszegk´ent reprezent´aljuk, akkor a v´alasz el˝ o´all´ıthat´o a taggerjeszt´esekre adott v´alaszok s´ ulyozott ¨ osszegek´ent (ld. (4.2.3)). A nemline´aris rendszerek mindazok, amelyekre nem ´erv´enyes a szuperpoz´ıci´o elve. Fontos megjegyezni, hogy a fizikai objektumok szinte minden esetben nemline´ aris viselked´es˝ uek, de az ˝oket reprezent´al´o rendszereket c´elszer˝ u line´arisnak tekinteni. Ez a lineariz´ al´ as term´eszetesen nem ¨onk´enyesen t¨ort´enik, hanem a rendszer jelleg´enek ´es m˝ uk¨od´es´enek figyelembev´etel´evel. 2
yi (t) = W{xi (t)}
35
4.3. Rendszermodellek, rendszerek le´ır´asa
4.3. Rendszermodellek, rendszerek le´ır´ asa A rendszerek absztrakt reprezent´ aci´oi a k¨ ul¨ onf´ele rendszermodellek, melyek igen v´ altozatosak lehetnek. A legfontosabbak az id˝otartom´anybeli rendszerle´ır´asi m´odszerek k¨ oz¨ ul az input–output (I/O) modellek (rendszeregyenletek), az ´allapott´er modellek, valamint a rendszerjellemz˝o f¨ uggv´enyekkel t¨ ort´en˝ o rendszerle´ır´ asi m´ odok. A rendszermodelleknek l´eteznek megfelel˝oi a transzform´alt tartom´anyokban (frekvencia, komplex frekvencia) is, ezeket a megfelel˝o helyen a t´ema meg´ert´es´ehez sz¨ uks´eges m´elys´egben fogjuk t´argyalni.
4.3.1. A rendszeregyenlet Folytonos idej˝ u line´aris invari´ ans rendszer be-kimeneti kapcsolat´at le´ır´ o ´altal´anos I/O modell az al´ abbi alak´ u differenci´alegyenlet y
(n)
(t) +
n X
ai y
(n−i)
(t) =
i=1
m X
bj x(m−j) (t),
(4.3.1)
j=0
ahol x(t) a gerjeszt´es, y(t) a v´alasz, az ai -k ´es bj -k pedig a rendszert jellemz˝o konstans param´eterek. Az egyenletben szerepelnek a gerjeszt´es ´es a v´ alasz deriv´ altjai is, melyek k¨oz¨ ul a v´alaszjel legmagasabb rend˝ u deriv´ altja hat´arozza meg a rendszeregyenlet rendj´et. Diszkr´et idej˝ u rendszer I/O modellje az u ´ n. differenciaegyenlet, amely az al´abbi ´ altal´ anos alakban ´ırhat´ o
y[n] +
N X
ai y[n − i] =
i=1
M X
bj x[n − j],
(4.3.2)
j=0
ahol hasonl´oan a folytonos idej˝ u esethez x[n] a gerjeszt´es, y[n] a v´ alasz, az ai -k ´es bj -k pedig a rendszert jellemz˝o konstans param´eterek. A (4.3.1) rendszeregyenlettel o¨sszehasonl´ıtva az alapvet˝o k¨ ul¨onbs´eg az, hogy a (4.3.2) nem deriv´altakat tartalmaz, hanem – a rendszer DI jelleg´eb˝ol fakad´oan – a gerjeszt´es ´es a v´ alaszjel k´esleltetett ´ert´ekeit. 36
4. fejezet. Line´ aris rendszerek ´es tulajdons´ agaik
4.3.2. Az ´ allapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as A rendszeregyenlet mellett egy m´asik fontos rendszerle´ır´asi m´od az u ´ n. ´ allapotv´ altoz´ os, vagy m´as n´even ´ allapotteres rendszerle´ır´as. Enn´el a m´odszern´el nem k¨ozvetlen¨ ul az explicit I/O kapcsolatot defini´aljuk, hanem bevezetj¨ uk az u ´ n. ´ allapotv´ altoz´ okat, ´es ezek id˝obeli evol´ uci´oj´ara ´ırunk fel differenci´alegyenletet (diszkr´et esetben differenciaegyenletet). Egy folytonos idej˝ u line´aris invari´ ans rendszer ´allapotv´ altoz´os le´ır´ as´anak ´altal´ anos alakja
x0i (t)
=
yk (t) =
N X
Aij xj (t) +
Ns X
j=1
j=1
N X
Nu X
j=1
Ckj xj (t) +
Bij uj (t),
(i = 1, 2, . . . , N ) (4.3.3)
Dkj uj (t),
(k = 1, 2, . . . , Ny )
j=1
ahol xi (t) az i. a´llapotv´altoz´ o, A, B, C, D egy¨ utthat´ok, uj (t) a j. gerjeszt´es, yk (t) a k. v´alasz, Nu ´es Ny pedig rendre a gerjeszt´esek ´es a v´alaszok sz´ama. Kompaktabb ´ır´asm´odban (4.3.3) megadhat´o vektorosan is az al´ abbi alakban x0 (t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t),
(4.3.4)
valamint SISO rendszer eset´en (4.3.4) tov´abb egyszer˝ us¨odik, ´es az al´abbi alakban ´ırhat´o x0 (t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = cT x(t) + Du(t),
(4.3.5)
ahol az egy¨ utthat´o m´atrixok szerkezete a SISO rendszerre jellemz˝o egy gerjeszt´es ´es egy v´ alasz miatt jelent˝ osen leegyszer˝ us¨odik. Diszkr´etidej˝ u SISO rendszer eset´eben az a´llapotv´altoz´os le´ır´as (4.3.5)-nek megfelel˝o norm´ alalakja 37
4.3. Rendszermodellek, rendszerek le´ır´asa
x[n + 1] = Ax[n] + bu[n] y[n] = cT x[n] + Du[n],
(4.3.6)
ahol a jel¨ ol´esek megegyeznek a (4.3.5) FI ´allapotv´altoz´os le´ır´ asn´al defini´altakkal.
4.3.3. A v´ alaszid˝ of¨ uggv´ enyek A v´alaszid˝ of¨ uggv´enyek alatt a tipikus vizsg´ al´ ojelekre (ld. 2. fejezet) adott v´alaszokat ´ertj¨ uk. Jelent˝os´eg¨ uk abban ´all, hogy egy line´aris rendszer tipikus v´ alaszainak ismeret´eben messzemen˝ o k¨ovetkeztet´eseket vonhatunk le a rendszer m˝ uk¨od´es´evel kapcsolatban. A v´ alaszid˝of¨ uggv´enyek u ´ n. rendszerjellemz˝ o f¨ uggv´enyek, azaz megfelel˝o rendszermodellben mag´at a rendszert reprezent´ alj´ ak. Az al´abbiakban a k´et legfontosabb vizsg´al´ojelhez, az egys´egugr´ashoz ´es az egys´egimpulzushoz tartoz´ o v´ alaszf¨ uggv´enyt defini´aljuk, nevezetesen az ugr´ asv´ alaszt ´es az impulzusv´ alaszt. Def. (Ugr´asv´alasz): Egy rendszer egys´egugr´ as-bemenetre adott v´ alasz´ at ugr´ asv´ alasznak nevezz¨ uk, form´ alisan v(t) = W{ε(t)}. Az ugr´asv´alasz szok´asos jel¨ol´ese a v(t), az ugr´asv´ alasz ismeret´eben a rendszer v´ alasza tetsz˝ oleges gerjeszt´esre kisz´am´ıthat´o (Duhamel-t´etel). Def. (Impulzusv´alasz): Egy rendszer egys´egimpulzus-bemenetre adott v´ alasz´ at impulzusv´ alasznak nevezz¨ uk, form´ alisan w(t) = W{δ(t)}. Az impulzusv´alasz szok´asos jel¨ol´ese a w(t), ismeret´eben a rendszer v´alasza tetsz˝ oleges gerjeszt´esre kisz´ am´ıthat´o (konvol´ uci´o). Az ugr´ asv´alasz ´es az impulzusv´alasz defin´ıci´oja diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´ere teljesen anal´ og a fenti defin´ıci´okkal, ez´ert k¨ ul¨on nem kell bevezetni. 38
4. fejezet. Line´ aris rendszerek ´es tulajdons´ agaik
4.3.4. Impulzus-dekompoz´ıci´ o, impulzusv´ alasz alkalmaz´ asa Az impulzus-dekompoz´ıci´ o elv´et el˝ osz¨or diszkr´et idej˝ u jelekre vezetj¨ uk be, majd az itt lefektetett koncepci´okat fogjuk alkalmazni a folytonos idej˝ u esetre. Impulzusnak az al´ abbi m´ odon defini´ alt jelet nevezz¨ uk: ( k, ha n = 0 i[n] = (4.3.7) 0, k¨ ul¨onben, melynek speci´alis esete a 2. fejezetben t´ argyalt δ[n] egys´egimpulzus, ( 1, ha n = 0 δ[n] = (4.3.8) 0, k¨ ul¨onben. Minden impulzus fel´ırhat´o az egys´egimpulzus seg´ıts´eg´evel: i[n] = kδ[n] alakban, ´ıgy tetsz˝oleges diszkr´et idej˝ u x[n] jel is megadhat´o impulzusok s´ ulyozott ¨osszegek´ent az al´ abbi m´ odon x[n] =
∞ X
x[i]δ[n − i],
(4.3.9)
i=−∞
azaz tetsz˝oleges jel felbonthat´o impulzusok sorozat´ ara oly m´odon, hogy az egyes id˝opillanatokhoz tartoz´o f¨ uggv´eny´ert´ekeket eltolt, k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ek˝ u impulzusoknak tekintj¨ uk, ´ıgy b´armilyen ¨osszetett jelet impulzusok sorozatak´ent tudunk kezelni. Ha egy line´aris ´es invari´ans rendszer bemen˝ojel´et ilyen m´odon impulzusokra bontjuk (impulzus-dekompoz´ıci´o), akkor a kimen˝ojel az egyes impulzusokra adott v´alaszok (impulzusv´alaszok vagy s´ ulyf¨ uggv´enyek) ¨osszegek´ent ´all´ıthat´ o el˝ o (a szuperpoz´ıci´ o elve alapj´an) az al´abbi m´odon y[n] =
∞ X
x[i]w[n − i],
(4.3.10)
i=−∞
ahonnan l´athat´o, hogy az egys´egimpulzusra adott w[n] impulzusv´alasz ismeret´eben a rendszer y[n] v´alasza tetsz˝oleges x[n] gerjeszt´esre kisz´am´ıthat´ o. 39
4.4. Az ´atviteli karakterisztika
A (4.3.10) formul´ at konvol´ uci´ onak nevezz¨ uk ´es a k¨ovetkez˝o fejezetben r´eszletesen t´ argyaljuk tulajdons´ agait ´es alkalmaz´asi lehet˝os´egeit.
4.4. Az ´ atviteli karakterisztika Az a´tviteli karakterisztika a rendszerjellemz˝o f¨ uggv´enyek k¨oz´e tartozik ´es a rendszer frekvenciatartom´ anybeli viselked´es´et reprezent´alja. A bevezet´es´et el˝osz¨or folytonos majd diszkr´et idej˝ u rendszerekre v´egezz¨ uk el, de els˝ok´ent a szinuszos jelek line´aris rendszeren val´o ´ atvitel´enek jellegzetess´egeit fogjuk ´attekinteni.
4.4.1. Szinuszos jelek, komplex cs´ ucs´ ert´ ek Az s(t) = S cos(ωt+ρ) alak´ u szinuszos jel az Sej(ωt+ρ) komplex exponenci´alis jel val´os r´esze, azaz s(t) = S cos(ωt + ρ) = <{Sej(ωt+ρ) } = <{Sejωt ejρ },
(4.4.1)
ahonnan az Sejρ az u ´ n. komplex cs´ ucs´ert´ek, jele S. A komplex cs´ ucs´ert´ek bevezet´es´enek jelent˝os´ege abban ´all, hogy a komplex exponenci´alis jel (´ıgy a szinuszos jel is) a line´aris rendszernek saj´ atf¨ uggv´enye,3 azaz egy y(t) = W{s(t)} gerjeszt´es–v´ alasz kapcsolattal jellemzett rendszerre ´es szinuszos S komplex cs´ ucs´ert´ek˝ u s(t) gerjeszt´esre Y = W (j ω ˆ )S,
(4.4.2)
ahol Y a v´alasz komplex cs´ ucs´ert´eke, ´es W (j ω ˆ ) a gerjeszt´es ω ˆ k¨ orfrekvenci´aj´ at´ ol f¨ ugg˝ o komplex konstans. Ha teh´ at a gerjeszt´es szinuszos, akkor a v´alasz is az, m´egpedig ugyanazzal az ω ˆ k¨ orfrekvenci´ aval, a rendszer ´atviteli tulajdons´ agait pedig a W (j ω ˆ) ´ atviteli egy¨ utthat´ o jellemzi az ω ˆ k¨orfrekvenci´ an.4 3 A saj´ atf¨ uggv´eny (a saj´ atvektorral anal´ og) a rendszeren val´ o´ atvitel sor´ an csak egy konstanssal szorz´ odik, ak´ arcsak a saj´ atvektor a m´ atrix-vektor szorz´ as sor´ an (Ax = λx). 4 A (4.4.2) k¨ onnyen bel´ athat´ o, ha konvol´ uci´ oval meghat´ arozzuk egy LI rendszer v´ alasz´ at ˆ az s(t) = ej ωt gerjeszt´esre.
40
4. fejezet. Line´ aris rendszerek ´es tulajdons´ agaik
A komplex cs´ ucs´ert´ek fontos tulajdons´aga, hogyha az id˝of¨ uggv´enyek 0 viszonya x2 (t) = x1 (t), akkor a komplex cs´ ucsokra igaz, hogy X 2 = jωX 1 , azaz az id˝ o szerinti deriv´ al´as jω-val val´ o szorz´ ask´ent jelenik meg a komplex cs´ ucsban.5
´ 4.4.2. Atviteli karakterisztika el˝ o´ all´ıt´ asa Ha a (4.4.2) ¨osszef¨ ugg´esben szerepl˝ o W (j ω ˆ )-ot minden k¨ orfrekvenci´ahoz meghat´arozzuk (ω = −∞ . . . ∞), u ´gy a W (jω) komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyhez jutunk, amit a´tviteli karakterisztik´ anak nevez¨ unk. Az ´ıgy defini´alt W (jω) a rendszer ´atviteli tulajdons´ agait jellemzi a teljes frekvenciatartom´anyon. Az ´atviteli karakterisztika egyszer˝ uen el˝o´all´ıthat´o a line´aris rendszeregyenlet alapj´an6 a deriv´al´asra vonatkoz´o szab´aly alkalmaz´as´aval, ´ıgy a (4.3.1) rendszeregyenletb˝ ol komplex cs´ ucsokra val´ o´ att´er´es ut´an az al´abbi alakot kapjuk n
(jω) Y +
n X
ai (jω)
n−i
i=1
Y =
n X
bj (jω)n−j X,
(4.4.3)
j=0
ahonnan az Y ´es X kiemel´ese ut´ an a Pn n−j Y j=0 bj (jω) P = W (jω) = (jω)n + ni=1 ai (jω)n−i X
(4.4.4)
´atviteli karakterisztika ´altal´anos alakj´at kapjuk, ami egy racion´alis t¨ortf¨ uggv´eny, sz´ aml´ al´ oj´ aban ´es nevez˝ oj´eben (jω) polinomj´aval.7 Az ´atviteli karakterisztik´at oly m´odon is megkaphatjuk, ha a line´aris rendszer bemenet´ere x(t) = ejωt alak´ u jelet adunk, ´es meghat´arozzuk a v´ alasz´at a II./1. fejezetben t´argyalt konvol´ uci´ o8 seg´ıts´eg´evel (a konvol´ uci´o 5
P P Fel fogjuk haszn´ alni m´eg a x(t) = i Ki si (t) → X = i Ki S i tulajdons´ agot is. Az ´ atviteli karakterisztika nem csak a rendszeregyenletb˝ ol hat´ arozhat´ o meg, el˝ oa ´ll´ıthat´ o az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as ill. az impulzusv´ alasz ismeret´eben is. 7 A W (jω) f¨ uggetlen v´ altoz´ oja az ω k¨ orfrekvencia, de a (4.4.4) konstrukci´ o miatt c´elszer˝ u a (jω)-t argumentumnak tekinteni. R∞ 8 y(t) = −∞ w(τ )x(t − τ )dτ 6
41
4.4. Az ´atviteli karakterisztika
– mint l´atni fogjuk – a rendszer impulzusv´alasz´anak ´es gerjeszt´es´enek ismeret´eben alkalmas a v´ alasz meghat´aroz´as´ara) az al´abbi m´odon Z ∞ y(t) = w(τ )ejω(t−τ ) dτ, (4.4.5) −∞
ami ´atrendez´es ut´ an az jωt
Z
∞
y(t) = e
−∞
|
w(τ )e−jωτ dτ = ejωt W (jω), {z }
(4.4.6)
W (jω)
alakban ´ırhat´o, ahol a W (jω) az ´atviteli karakterisztika. A (4.4.6) o¨sszef¨ ugg´esb˝ol l´athat´ o, hogy a komplex exponenci´ alis jel9 a line´aris rendszer saj´ atf¨ uggv´enye, azaz a rendszeren val´o a´tvitel hat´ as´ara egy konstanssal val´ o szorz´ast´ol eltekintve v´ altozatlan marad. Az ´ atvitel hat´ as´at reprezent´al´o szorz´okonstans pedig ´eppen a W (jω) ´ atviteli karakterisztik´ anak az x(t) = jωt e gerjeszt´es k¨ orfrekvenci´ aj´ ahoz tartoz´o helyettes´ıt´esi ´ert´eke. Diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´en az ´atviteli karakterisztika bevezet´ese a fentivel anal´og m´odon t¨ort´enhet, most a konvol´ uci´ o DI v´altozat´ anak alkalmaz´as´aval az al´abbiak szerint. Legyen a DI line´aris rendszer bemen˝ ojele az x[n] = ejϑn ´es hat´ arozzuk meg a rendszer v´alasz´at konvol´ uci´o10 seg´ıts´eg´evel az al´ abbi alakban
y[n] =
∞ X
w[i]ejϑ(n−i) = ejϑn
i=−∞
∞ X
w[i]ejϑi = ejϑn W (ejϑ ),
(4.4.7)
i=−∞
|
{z
W (ejϑ )
}
ahol a W (ejϑ ) az a´tviteli karakterisztika. Az FI v´altozathoz hasonl´ oan itt is elmondhat´o a (4.4.7) alapj´an, hogy az x[n] = ejϑn jel a DI line´aris rendszer saj´ atf¨ uggv´enye, hisz a rendszeren val´o a´tvitel hat´ as´ara csak egy konstanssal fog sk´al´az´ odni. 9´ 10
Igy a szinuszos jel is. P y[n] = n w[i]x[n − i] i=0
42
4. fejezet. Line´ aris rendszerek ´es tulajdons´ agaik
Mivel az ´atviteli karakterisztika a rendszert frekvenciatartom´anybeli viselked´es szempontj´ab´ol jellemzi, nagyon fontos szerepet j´atszik a jelfeldolgoz´asban, ahogy a k´es˝obbiekben a digit´alis sz˝ ur˝ok tervez´esekor l´atni fogjuk.
43
4.4. Az ´atviteli karakterisztika
44
Irodalomjegyz´ ek [1] Rafael C. Gonzales and Richard E. Woods. Digital Image Processing. Prentice Hall, 2002. [2] Fodor Gy¨orgy. Jelek ´es rendszerek. M˝ uegyetemi Kiad´o, 2006. [3] Simon Haykin and Barry Van Veen. Signals and Systems. John Wiley & Sons, Inc., 1999. [4] Szakonyi Lajos. Jelek ´es rendszerek i.-ii., 2002. F˝oiskolai jegyzet. [5] Richard G. Lyons. Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall, 2001. [6] Kuczmann Mikl´ os. Jelek ´es rendszerek. Universitas-Gy˝or, 2005. [7] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, and S. Hamid Nawab. Signals and Systems. Pearson Education Inc., 1997. [8] Steven W. Smith. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. California Technical Publishing, 1997. ´ am S´ari Zolt´ [9] Schiffer Ad´ an. Digit´alis k´ep- ´es hangfeldolgoz´as, 2002. F˝oiskolai jegyzet.
45
