Komt onvermoeide arbeid alles te boven?

“Afscheidsrede*2010*12*23” — 2010/12/23 — 13:48 — page 1 — #1

Komt onvermoeide arbeid alles te boven?

Rede uitgesproken door

prof.dr.ir. C. Roos bij het afscheid van de Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica aan de Technische Universiteit Delft, op vrijdag 10 december 2010


1


Prof.dr.ir. C. Roos “Komt onvermoeide arbeid alles te boven?” Afscheidsrede Technische Universiteit Delft Gehouden op 10 december 2010 Druk: MailSupport, Zoetermeer c Copyright 2010 C. Roos

All rights reserved. No part of the material protected by this copyright notice may be reproduced or utilized in any form or by any means, electronically or mechanically, including photocopying, recording or by any other information storage and retrieval system, without the prior permission in writing from the owner of this copyright.

2



Inhoudsopgave Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Wiskundige optimalisatie in Delft . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

De Optimalisatie Groep in Delft

. . . . . . . . . . . . . .

15

Voorbeelden van ingenieurswiskunde . . . . . . . . . . . .

18

Nabeschouwing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Crisis in de wiskunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Grondslagenstrijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Leren van de tijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Slotopmerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Dankwoorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Referenties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53


3


Hoe moeten we de wetenschappen, zoals de geneeskunde, de rechtsgeleerdheid, de sterrenkunde, de wiskunde en de wijsbegeerte beoordelen? Zullen wij niet opmerken dat zij gaven van God zijn die in de geesten der mensen als het ware ingedruppeld worden? Zullen wij niet in de wetenschappen de goedheid van God zien en erkennen; opdat Hij in de kleinste en in de grootste dingen de lof en de eer ontvange? Enigszins vrij naar het commentaar van Johannes Calvijn op Jesaja 28:23-29 Ik zei: ‘Ik zal wijsheid verkrijgen’, maar zij was nog ver van mij. Hetgeen ver af is, en zeer diep, wie zal dat vinden? Prediker 6:23-24 Want wij zien nu door een spiegel in een duistere rede, maar alsdan zullen wij zien aangezicht tot aangezicht; nu ken ik ten dele, maar alsdan zal ik kennen, gelijk ook ik gekend ben. En nu blijft geloof, hoop en liefde, deze drie; doch de meeste van deze is de liefde. 1 Korinthe 13:12:13

4



Mijnheer de Rector Magnificus, Leden van het College van Bestuur, Collegae hoogleraren en andere leden van de universitaire gemeenschap, Zeer gewaardeerde toehoorders, Dames en heren,

Inleiding Toen ik begon na te denken over een onderwerp voor mijn afscheidsrede las ik een biografie [12] van de Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer (1881-1966). Ik raakte geboeid door zijn leven, zijn werk, en het conflict waarin hij verzeild raakte over de grondslagen van de wiskunde. Het werd mij duidelijk waarom Brouwer beschouwd wordt als één van de grootste wiskundigen die Nederland heeft voortgebracht. Ik besloot de bij een afscheidsrede passende terugblik op de eigen loopbaan te combineren met een meer beschouwend gedeelte naar aanleiding van een conflict over de grondslagen van de wiskunde waarin Brouwer en de Duitse wiskundige D. Hilbert (1862-1943) een hoofdrol speelden. Ter inleiding op het genoemde conflict, daarmee tegelijk het vraagteken in titel verklarend, dient het volgende. De vereniging van Nederlandse wiskundigen eert Brouwer elke drie jaar met de prestigieuze Brouwerlezing. Degene die deze lezing mag houden ontvangt een oorkonde en een gouden medaille.1 De medaille toont aan de ene kant het portret van Brouwer, en aan de andere zijde het motto van het Wiskundig Genootschap en de naam van de prijswinnaar.2 Zoals in Figuur 1 is te zien luidt het motto 1 Kort na Brouwers overlijden stelde het Wiskundig Genootschap de Brouwerprijs in. De onderscheiding is de belangrijkste wiskundige prijs in Nederland en geniet een groot internationaal prestige. Vanaf 2011 zal de medaille van verguld zilver zijn, vanwege de gestegen goudprijs. 2 Toen in 1778 het Wiskundig Genootschap werd opgericht door Arnoldus Bastiaan Strabbe (1741-1805) koos deze als motto: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven. Volgens Van Dale staat het woord ‘onvermoeid’ voor ‘ondanks zware inspanning zich niet latende vermoeien’. Aanvankelijk was de naam Genootschap der Mathematische Weetenschappen onder de Spreuk: Een Onvermoeide Arbeid Komt Alles te Boven. Voor een kort overzicht van de geschiedenis van het Genootschap verwijs ik naar [3, 44]. Met dank aan dr. Herman te Riele (en via hem ook prof.dr. Cor Baayen) vermeld ik dat het motto ontleend is aan Vergilius (Georgica I, 145/146). Deze introduceerde het latijnse motto labor improbus omnia vincit in een gedicht dat hij schreef ter ondersteuning van de ”Back to the land” politiek van de Romeinse keizer Augustus om Romeinse burgers aan te moedigen boer te worden. Meer in-


5


Een onvermoeide arbeid komt alles te boven. In de genoemde biografie

Figuur 1: Bronzen replica van de eerste Brouwermedaille. stelt de auteur, de Utrechtse emeritus prof.dr. D. van Dalen, dat dit motto uitstekend past bij Hilbert, maar niet, of veel minder, bij Brouwer. Van Dalen schrijft hierover: David Hilbert was [dus] niet zomaar een succesvol en groot wiskundige, hij had een uitgesproken filosofische, bijna religieus aandoende visie op de wiskunde. Zijn standpunt was dat de wiskunde in wezen elk wiskundig probleem zou kunnen behandelen. Hij was zich natuurlijk bewust van het feit dat sommige problemen erg moeilijk waren, en misschien een paar eeuwen moesten wachten op hun oplossing, maar uiteindelijk zou de wiskunde zegevieren. Men zou hem kunnen beschouwen als een belijder van de oude zinspreuk van het eerbiedwaardige Nederlandse Wiskundige Genootschap, ‘Een onvermoeide arbeid komt alles te boven’. Ieder wiskundig probleem zal op den duur opgelost worden of het zal weerlegd worden, zo sprak hij in 1900 op het Parijse congres. Brouwer had dit zogenoemde dogma van Hilbert in zijn proefschrift ongegrond verklaard. Hilbert’s persoonlijke overtuiging wordt wellicht het duidelijkst weergegeven door de laatste regels van zijn Königsbergse radiorede uit 1930: ‘Wir m¨ ussen wissen, wir werden wissen’. [12, blz. 220]3 formatie vindt men op de websites http://en.wikipedia.org/wiki/Augustus Caesar en http://en.wikipedia.org/wiki/Ancient Rome. 3 Deze radiorede is in zijn geheel te lezen en te beluisteren op de site http://math.s

6



Figuur 2: David Hilbert en zijn grafsteen.

De laatste woorden, die in de wandeling Hilbert’s dogma werden genoemd, zijn op Hilbert’s grafsteen gebeiteld. Hilbert’s opvatting was dus dat ieder mathematisch probleem ofwel kan worden opgelost, of het kan worden aangetoond dat de oplossing niet bestaat. Brouwer nam in een voetnoot van zijn dissertatie duidelijk afstand Hilbert’s dogma;4 volgens hem was er geen spoor van een bewijs voor het dogma te vinden [12, blz. 93]. In het begin van de vorige eeuw werd er driftig gezocht naar een betrouwfsu.edu/smith/Documents/HilbertRadio/HilbertRadio.pdf. Hilbert neemt met de slogan ‘Wir m¨ ussen wissen, wir werden wissen’ afstand van hen die menen dat er grenzen zijn aan de wetenschappelijke kennis; hun positie was verwoord door de Duitse physicus Emil du Bois-Reymond (1818-1896). Deze had in 1880 in Berlijn een rede gehouden voor de Berlijnse Academie van Wetenschappen en daarin een aantal problemen genoemd waarvan hij meende dat noch de wetenschap noch de wijsbegeerte ooit de oplossing zou vinden. Van hem is de spreuk afkomstig waartegen Hilbert bezwaar maakt, namelijk Ignoramus et Ignorabimus, oftewel ‘Wij weten het niet, en we zullen het nooit weten’. 4 Brouwer schrijft in deze voetnoot [9, pag.142]: ‘Het is dus a forteriori niet zeker, dat van elk Wiskundig probleem ` of de oplossing kan worden gegeven ` of logisch kan worden aangetoond, dat het onoplosbaar is; iets, waarvan intusschen Hilbert in “Mathematische Probleme”meent, dat ieder wiskundige ten innigste is overtuigd. Maar van deze kwestie zelf is het natuurlijk ook weer niet zeker, dat ze ooit zal kunnen worden afgedaan, d.w.z. ` of opgelost, ` of als onoplosbaar aangetoond (een logische kweste is ook niets dan een Wiskundig probleem).’ Hilbert’s dogma is in overeenstemming met het modernisme van zijn tijd, een geest van vooruitgangs- en rede-optimisme. Dat Brouwer zich al in zijn dissertatie daarvan distantieert is een teken van zijn grote geestkracht.


7


baar fundament van de wiskunde. Er waren paradoxen gevonden die de noodzaak hiervan duidelijk aan de orde stelden. Grote geesten als Russell, Hilbert, Brouwer, Weyl, Gödel, Wittgenstein en veel anderen waren hierbij betrokken. Hilbert en Brouwer speelden in deze strijd over de grondslagen van de wiskunde een cruciale rol als opponenten. Het is dus zeer de vraag of Brouwer zich zou hebben herkend in het motto van het Nederlands Wiskundig Genootschap. Ik zal hier later op terug komen. Met Brouwer heb ik een speciale relatie. Hij was de promotor van mijn promotor, prof.dr. F. Loonstra. Ik mag hem dus mijn wiskundige grootvader

Figuur 3: Brouwer en F. Loonstra (1910-1989). noemen. Dit bracht mij er toe verder onderzoek te doen naar mijn wiskundige voorgeslacht. Dankzij het Mathematics Genealogy Project is dit betrekkelijk eenvoudig te doen.5 Het leverde de stamboom op in Figuur 4.6 In eerste instantie was ik aangenaam verbaasd toen ik niet alleen namen aantrof van beroemde wiskundigen als Euler, Leibniz, en Bernoulli, maar 5 Dit projekt is in 1997 begonnen als een hobby van de gepensioneerde Amerikaanse hoogleraar Harry Coonce. Het telt momenteel ca. 150.000 namen. Zie http://geneal ogy.math.ndsu.nodak.edu/index.php. Zie ook [26]. 6 Afgebeeld is slechts een deel van de complete stamboom. Deze moet worden gelezen als volgt: Als er een pijl loopt van A naar B dan was B promotor van A. Een sterretje bij een naam betekent dat niet alle promotoren zijn opgenomen.

8



F. Loonstra, 1910-1989 L.E.J. Brouwer, 1881-1966 D.J. Korteweg, 1848-1941 J.D. v.d.Waals, 1837-1923 P.L. Rijke, 1812-1899 P.J. Uylenbroek*, 1772-1844 J.H. v.Swinden, 1746-1823 J. Lulofs, 1711-1768

J.F. Hennert, 1733-1813

J. Odé, 1698-1751

J.N. Delisle, 1688-1768

L. Euler, 1707-1783

J. Serrurier, 1668-1742

J. Cassini*, 1677-1756

Joh. Bernoulli*, 1667-1748

B. de Volder, 1643-1709

P. Varignon, 1654-1722

Jac. Bernoulli*, 1654-1705

J. de Bruyn, 1620-1675

N. Malebranche, 1638-1715

D. Berckringer, 1598-1667

G.W. Leibniz*, 1646-1716

M. Schoock, 1614-1669

J. Thomasius, 1622-1684

G. Voetius, 1589-1676

H. Renerius, 1593-1639

F. Leibniz, 1597-1652

F. Gomarus*, 1563-1641

J.P.v. Kerckhoven, 1568-1646

F.P. Burgersdijk, 1590-1635

J. Sturmius*, 1507-1589

Th. Beza*, 1519-1605

G. Jacchaeus, 1578-1628

W. Snellius, 1580-1626

J. Arminius, 1560-1609

D. Liddel*, 1561-1613

T. Kepler*, 1571-1630

L. van Ceulen, 1540-1610

R. Snellius, 1546-1613

P. Wittich, 1546-1586

T. Brahe*, 1546-1601

V. Naibod, 1523-1593 N. Clénard, 1495-1542 J. van Campen, ?? - ??

I. Tremellius, 1510-1580

Th. Cranmer, 1489-1556 E. Reinhold, 1511-1553

J. Milich, 1501-1559

V. Thau, 1531-1575 J. Hommel, 1518-1562

P. Melanchthon, 1497-1560

J. Reuchlin*, 1455-1522

J. Stöffler, 1452-1531

D. Erasmus, 1466-1536 A. Hegius, 1439-1498 Th. à Kempis, 1380-1472

R. Agricola*, 1444-1485

Figuur 4: Wiskundige stamboom (gedeeltelijk). ook Erasmus en Thomas à Kempis,7 en bekende theologen als Voetius,8 7 Een

interessante vraag is wiens werk het meest invloedrijk is geweest. Bijna zeker is


9


Gomarus, en Arminius. In tweede instantie realiseerde ik mij dat er weinig reden tot verbazing was. Immers de oorsprong van de universiteit gaat terug tot de middeleeuwen, en de toen beoefende wetenschap vond zijn oorsprong in de kloosters en kloosterscholen. De stamboom van vrijwel iedere (Westerse) wetenschapper, mits compleet, zal in een klooster beginnen.9 De middeleeuwse universiteiten beoogden het geloof te bewaren door de opleiding van geestelijken; het hoofddoel was het behoud van bestaande kennis en de doctrines van de kerk en in mindere mate de verwerving van nieuwe kennis. De oudste universiteit van de Nederlanden is die van Leuven: de Katholieke Universiteit Leuven. Zij werd in 1425 door paus Martinus V opgericht. De eerste universiteit in de noordelijke Nederlanden werd pas 150 jaar later opgericht door Willem van Oranje, de Universiteit van Leiden. Het werd de toonaangevende protestantse universiteit van Europa. Studenten kwamen van heinde en ver naar het Academiegebouw aan het Rapenburg. Begonnen werd met drie faculteiten: Theologie, Rechtsgeleerdheid en Medicijnen. Geen Wiskunde dus. Toch werd er vanaf het begin wiskunde gedoceerd. Zoals we zullen zien behoorden drie personen in de stamboom in Figuur 4 tot de eerste wiskundige docenten in Leiden: Rudolph Snellius, Willebrord Snellius en Ludolph van Ceulen.10 Rudolph Snellius werd in 1681 buitengewoon hoogleraar wiskunde; hij doceerde ook Hebreeuws. In 1601 werd hij gewoon hoogleraar en dat bleef hij tot aan zijn dood, in 1613. Het is niet onwaarschijnlijk dat Simon Stevin (1548-1640) zijn colleges volgde.11 In 1600 verzocht Prins Maurits aan Simon Stevin om een onderwijsprogramma op te stellen dat ook nu nog het werkje De navolging van Christus van Thomas ` a Kempis wereldwijd het meest gelezen is. Een verrassend recent voorbeeld hiervan is te vinden in [23, blz. 187]. 8 Voetius was de eerste rector van de Universiteit van Utrecht en gaf de universiteit het motto ’Sol iustitiae illustra nos’, oftewel ‘Zonne der gerechtigheid verlicht ons’. 9 Een stamboom van alle huidige (en sommige ex-)wiskunde hoogleraren en UHD’s in Delft is te vinden op www.st.ewi.tudelft.nl/˜roos/StamboomW EWI.pdf of via de link ‘Wetenschappelijke stamboom’ op de site www.ewi.tudelft.nl. 10 De eerste colleges wiskunde werden gegeven door G. Bontius (1536-1599), die als medicus een benoeming had als hoogleraar bij de faculteit Medicijnen. 11 Simon Stevin schreef zich in 1583 in aan de Leidse universiteit. Rond 1590 werd hij adviseur van prins Maurits. Deze stelde belang in goede vestingbouwers tijdens de Tachtigjarige Oorlog. Stevin ontwierp baanbrekende vestingwerken en legerkampen op wiskundige grondslag. Hij ontwierp ook een manier om gecontroleerd land onder water te zetten teneinde een binnendringend leger de weg te blokkeren.

10



voor een opleiding tot militair ingenieur aan de Leidse Universiteit.12 De opleiding kreeg de naam ‘Nederduytsche Mathematique’ en was uniek in Europa. In mei 1600 werd Ludolph van Ceulen benoemd als één van de (twee) eerste docenten aan deze ingenieursopleiding.Zoals is te zien in Figuur 4 waren Willebrord’s promotoren zijn vader en Ludolph van Ceulen. Na het overlijden van Rudolph werd zijn zoon Willebrord benoemd als zijn opvolger. Willebrord werd bekend vanwege zijn wet over de breking van het licht. Ludolph van Ceulen (1540 - 1610) heeft ons een sprekend voorbeeld nagelaten van ‘onvermoeide arbeid’ in de wiskunde.Als schermgrootmeester was hij gewend om te werken in en met cirkels. Zoals bekend is het getal π (pi) gedefinieerd als de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel.13 Van Ceulen heeft de waarde van π tot op 35 decimalen berekend en verbeterde daarmee de berekening van 16 decimalen door de Perzische wiskundige Jamshid Masud Al-Kashi (1380?-1429). In de oudere Duitse 12 De motivatie voor deze opleiding is te vinden in een instructie van Maurits: “Sijne Excellentie heeft tot dienst van den lande ende bevorderinge der geenre, die hun tot oeffeninge van het ingenieurscap sullen begeven, orbaer verstaen seeckere ordre gevolcht te worden in de leeringe, die men daer aff in de Academie tot Leyden doen sal als volcht: Die meyninge is, dat men den toehoerders, soo haest als mogelyck is, sal brengen om metter daet het landt als ingenieurs te connen dienen. Hyer toe sal men leeren die arithmeticque oft het tellen ende het landtmeten maer alleenlyck van elck soe veel, als tottet dadelyck gemeene ingenieurscap nodich is.” 13 De berekening van het getal π houdt verband met het wiskundige vraagstuk dat bekend staat als de Kwadratuur van de cirkel. De vraag is of het mogelijk is om, met behulp van alleen passer en liniaal in een eindig aantal stappen een vierkant te construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. Het staat al sinds de oudheid in de belangstelling. Het is voor het eerst geformuleerd in het oude Griekenland, onder meer door Anaxagoras, Hippocrates, Archimedes en Dinostratos. Pas in 1882 werd onomstotelijk bewezen dat het vraagstuk onoplosbaar is, al had men al lang een idee van de onhandelbaarheid van het vraagstuk. Al eerder was bewezen dat een constructie met passer en liniaal altijd ‘vertaald’ kan worden in het oplossen van een kwadratische vergelijking met hele co¨ effici¨ enten, en andersom is elke kwadratische vergelijking met gehele co¨ effici¨ enten op te lossen door een constructie met passer en liniaal. Carl Louis Ferdinand von Lindemann bewees in 1882 dat π een transcendent (dat wil zeggen niet-algebra¨ısch) getal is. Dit betekent dat π niet kan optreden als oplossing van een algebra¨ısche vergelijking, laat staan van een kwadratische vergelijking. Daarom is de constructie van het gevraagde vierkant onmogelijk en daarmee ook de kwadratuur van de cirkel. Het betekent dat we π wel kunnen benaderen met breuken en wortels, maar dat de uitkomst nooit precies zal zijn. Uit de transcendentie van π volgt ook dat de decimale ontwikkeling van π geen zodanige regelmaat vertoont dat de berekening van een eindig aantal decimalen voldoende zou zijn om de volledige decimale ontwikkeling vast te leggen. Elke volgende decimaal moet als het ware opnieuw worden bevochten.


11


literatuur wordt het getal π soms aangeduid als het ‘getal van Ludolph’.14 In zijn publicatie Van den Cirkel [10], zijn maar 32 decimalen opgenomen.

Figuur 5: Ludolph van Ceulen. Na zijn dood heeft zijn vrouw de 35 decimalen in zijn grafsteen in de Leidse Pieterskerk laten beitelen. Helaas is deze grafsteen ergens tussen 1780 en 1864 verloren gegaan. Maar dankzij intensief speurwerk bevindt zich sinds 5 juli 2000 een monument in de Pieterskerk met daarop een betrouwbare reconstructie van de oorspronkelijke tekst [29].15 In Figuur 6 ziet u op de 14 De beroemde Leidse hoogleraar Joseph Scaliger moet hebben gedacht het probleem van de kwadratuur van de cirkel te hebben opgelost. In juni 1594 verscheen zijn boek Cyclometria elementa duo in Leiden. Daarin berekende hij het quotient van de omtrek en de diameter van een cirkel en ook het quotient van de oppervlakte en het kwadraat van de straal. Door een fout in zijn (overigens ingenieuze) berekeningen √ √ vond hij twee verschillende waarden, namelijk π = 10 = 3, 162 . . . en π = 9/5 3 = 3, 118 . . .. Scaliger wist kennelijk nog niet dat de genoemde quotienten gelijk zijn. Beide waarden zijn uiteraard fout, want door weinig meer dan worteltrekking verkregen. Van Ceulen zag dit onmiddellijk en liet het Scaliger weten, met de suggestie het boek uit de winkels te laten halen om zijn eer te redden. Maar Scaliger weigerde deze kritiek te accepteren [19]. Overigens was Scaliger niet de enige beroemdheid die foutieve waarden aan π toedacht. Zie hiervoor het interessante boekje The joy of π [7]. 15 Het monument is op 5 juli 2000 door ZKH Prins Willem-Alexander onthuld. De gereconstrueerde tekst is als volgt:

HIER LEIT BEGRAVEN MR. LUDOLPH VAN CEULEN GEWESEN NEDERDUYTSCH PROFESSOR INDE WISCONSTIGE WETENSCHAPPEN INDE HOGE SCHOLE DESER STEDE GEBOREN IN HILDESHEIM INT JAER 1540 DEN XXVIII JANUARY ENDE GESTOR-

12



achtergrond de zuil met de gedenksteen en rechts een close-up.16

Figuur 6: Gedenksteen in de Pieterskerk te Leiden.

Nu we hebben gezien hoe de ingenieurswiskunde in Nederland is ge¨ıntroduceerd lijkt het mij een goed moment om stil te staan bij mijn bijdrage aan VEN DEN XXXI DECEMBER 1610 DE WELCKE IN SYN LEVEN DOOR VEEL ARBEYDS DES RONDS OMLOOPS NAESTE REDEN TEGEN SYN MIDDELLYN GEVONDEN HEEFT ALS HIER VOLCHT ALS DE MIDDELLYN IS 1 DAN IS DEN OMLOOP MEERDER ALS 3

14159265358979323846264338327950288 100000000000000000000000000000000000

EN MINDER ALS 3

14159265358979323846264338327950289 100000000000000000000000000000000000

MAER ALS DE MIDDELLYN IS 100000000000000000000000000000000000 DAN IS DEN OMLOOP MEERDER ALS 314159265358979323846264338327950288 EN MINDER ALS 314159265358979323846264338327950289. 16 De foto links in Figuur 6 werd op 1 april 2010 gemaakt tijdens een uitvoering van Bach’s Matthe¨ us Passion door het Bachkoor Holland.


13


de ingenieurswiskunde in Delft. Daarna hoop ik terug te komen op Brouwer en Hilbert, en en passant ook op Van Ceulen, om verder te verduidelijken waarom er alle aanleiding is om een vraagteken te zetten bij het motto van het Wiskundig Genootschap.

Wiskundige optimalisatie in Delft Hoewel ik al in 1969 in dienst trad van de TU, wil ik mij hier beperken tot de periode vanaf 1982, toen ik op verzoek van prof.dr. F. Lootsma (19362003) toetrad tot zijn leerstoel ‘Operationele Analyse’.17 Het betekende een verandering van onderzoeksgebied, en was daarmee niet zonder risico. In 1984 verscheen een preprint van een publicatie die achteraf bepalend is geweest voor de ontwikkelingen daarna. De Indiër Narendra Karmarkar, 17 Ik trad in dienst als instructeur, hetgeen betekende dat de helft van mijn tijd aan service-onderwijs werd besteed, en de rest vrij was voor onderzoek. Het onderzoek stond onder leiding van prof. dr. F. Loonstra, en werd in 1975 afgesloten met een promotie op het gebied van de algebra. Omdat Loonstra voorzag dat de algebra in Delft geen toekomst had als zelfstandig onderzoeksgebied, adviseerde hij mij om na de promotie terug te keren naar het gebied van mijn afstuderen, algebra¨ısche coderingstheorie. Het werd het begin van een bijzonder leerzame periode doordat ik prof.dr. J.H. van Lint (1932-2004) van de TU Eindhoven leerde kennen. Van Lint was een wereldwijd erkend deskundige op het gebied van de diskrete wiskunde, in het bijzonder de coderingstheorie. Hij gaf leiding aan een tweetal werkgroepen, aan het CWI en aan de TUE. De bijeenkomsten van deze werkgroepen waren zeer stimulerend. Regelmatige deelnemers waren, onder anderen, Marc Best, Andries Brouwer, Arjeh Cohen, Peter van Emde Boas, Willem Haemers, Hendrik Lenstra, Martyn Mulder, Lex Schrijver, Henk van Tilborg, Cor de Vroedt, Evert Wattel. Mijn bijdragen aan deze werkgroepen waren bescheiden. Maar als iets de moeite waard was dan zorgde Van Lint er voor dat het werd gepubliceerd, ook al kostte dat soms extra inspanning van zijn kant. Eens had hij mij aangeraden een artikel op te sturen naar een IEEE tijdschrift. Na enige tijd kreeg ik bericht van de redacteur, hierna NN te noemen, dat het niet voor publicatie in aanmerking kwam. Enige maanden later woonde Van Lint een conferentie bij in de VS waar NN een voordracht hield. Haar voordracht was identiek aan de inhoud van mijn artikel. Tijdens de discussie wees Van Lint daar op. Teruggekomen liet hij mij weten dit als een geval van fraude te beschouwen en de hoofdredacteur hierover in te lichten. Korte tijd later werd het artikel [32] ongewijzigd geaccepteerd. Een van de hoogtepunten tijdens de bijeenkomsten op het CWI was de bestudering van Delsarte’s proefschrift over Associatieschema’s. De daarin behandelde revolutionaire lineaire-optimalisatie-grens voor blokcodes werd de brug naar mijn volgende onderzoeksgebied, de optimalisering. Toen Lootsma mij uitnodigde om mij daarin meer te verdiepen was dit om meerdere redenen een aantrekkelijke optie. Vandaar dat ik 1982 de overstap maakte naar zijn leerstoel (in Delft). Overigens riep het hier en daar wel vragen op. Mede vanwege een nieuwe grens voor cyclische codes [33, 34] die ik juist had gevonden lag het minder voor de hand om van onderzoeksrichting te veranderen.

14



werkzaam bij AT&T in de VS, stelde daarin een nieuwe methode voor om lineaire optimalisatieproblemen op te lossen. Het manuscript trok mijn aandacht vanwege de bijzondere wiskundige benadering en vanwege de claim van de auteur dat zijn methode niet alleen in theoretisch opzicht efficiënt was, maar in de praktijk veel efficiënter dan de tot dan toe gebruikelijke Simplex methode. Mijn interesse was gewekt en ik besloot om er verder onderzoek naar te doen. Veel toenmalige experts in het gebied waren zeer argwanend en raadden aan om er niet te veel tijd aan te besteden. Zij konden zich niet voorstellen dat er op het gebied van lineair optimaliseren na bijna 30 jaar intensief onderzoek nog iets nieuws te bedenken viel, en beschouwden het gebied als ‘dood’.18 Op buitenlandse conferenties merkte ik echter dat vooraanstaande wetenschappers in de VS en Japan daar anders over dachten. Het stimuleerde mij om door te gaan.

De Optimalisatie Groep in Delft Het duurde tot 1989 voor mijn eerste artikel over de nieuwe aanpak verscheen [35]. Inmiddels had zich ook een afstudeerder gemeld die interesse toonde voor de nieuwe zogenaamde inwendige-punt methoden (IPMn), namelijk Dick den Hertog. Zijn afstudeerwerk was de basis voor een tweede artikel [14]. Ook ontstond samenwerking met prof. Jean-Philippe Vial van de Universiteit van Genève. Zijn lezing van het eerste artikel leidde tot een sterk vereenvoudigde versie daarvan [40]. Door de komst (op 2 september 1989) van dr. Tamás Terlaky als research fellow bestond de Optimization Group in Delft eind 1989 uit 3 personen, want Dick den Hertog had besloten (per 1 sept. 1989) verder te gaan met een promotie-onderzoek. Het was het begin van een enerverende tijd met nieuwe promovendi19 en veel buitenlandse bezoekers.20 In veel gevallen werd financiële ondersteuning gezocht bij NWO, en verkregen. Ook de universiteit droeg bij uit fondsen voor research-follows en gasthoogleraren. Bovendien genoot de groep van een financiële injectie door het KLSA (Koninklijk Laboratorium 18 Voor

meer details verwijs ik naar mijn intreeredes in Leiden en Delft [36, 37]. Jansen, Etienne de Klerk, Jiming Peng en Arie Quist. 20 Onder anderen, Erling Andersen, Kurt Anstreicher, Yanqin Bai, Aharon Ben-Tal, Immanuel Bomze, Ilya Dikin, Robert Freund, Francois Glineur, Clovis Gonzaga, Maria Gonzalez, Harvey Greenberg, Osman G¨ uler, Margareta Halick´ a, Alexander Hipolito, Allen Holder, Tibor Ill´ es, John Kaliski, Goran Lesaja, Tom Luo, John Mitchell, Re´ ari, Lieven nato Monteiro, Arkadi Nemirovski, Yurii Nesterov, Mike Todd, Mikl´ os Ujv´ Vandenberghe, Jean-Philippe Vial, Yinyu Ye. 19 Benjamin


15


Shell, Amsterdam). De samenwerking met promovendi en bezoekers leidde tot tientallen publicaties in gerenommeerde tijdschriften en twee standaardboeken over IPMn [39, 46]. Daarnaast werden veel afstudeerders aangetrokken door de groep.21 Sommigen droegen bij aan het onderzoek van IPMn, anderen verrichtten hun afstudeerwerk extern, bij bedrijven als Philips, Shell, Heineken, Schiphol, ORTEC en ook bij TNO. In totaal studeerden tot 2006 ca. 80 studenten af bij de groep.22 In het voorjaar van 2000 kondigde Terlaky zijn vertrek aan naar McMaster University (Hamilton, Canada), waar hem een hoogleraarspositie was aangeboden.23 Daarmee kwam een eind aan een vruchtbare samenwerking van 10 jaar. De lege plaats werd opgevuld door de benoeming van dr. Hans Melissen. Vanaf oktober 2000 maakte ook dr. Etienne de Klerk deel uit van de groep, maar deze vertrok in 2003 naar de universiteit van Waterloo, Canada. Doordat met ingang van mijn emeritaat, in mei 2006, dr. Melissen werd overgeplaatst naar de groep Systeemtheorie bleef ik achter met 10 promovendi. Op de foto in Figuur 7 staan, behalve mijzelf en prof. Bai, negen van deze promovendi;24 de tiende is ir. H.N. Post die werkzaam is bij Connexxion en zijn promotie-onderzoek extern doet, sinds kort met collega Karen Aardal als medebegeleider. Inmiddels is het aantal promovendi geslonken doordat zes van hen met succes hun proefschrift verdedigden.25 De resterende vier, Asadi, Post, Silalahi en Zangiabadi, hopen hun proefschrift in het voorjaar van volgend jaar te kunnen verdedigen. 21 Debet hieraan waren waarschijnlijk de nieuwe colleges die door de groep werden opgezet. Sommigen daarvan ontstonden geheel of gedeeltelijk uit de colleges van de gasthoogleraren Nemirovski, Freund en Ben-Tal. 22 Gezien de wens van de TUD om meer meisjes als student aan te trekken is het wellicht dienstig te melden dat om mij onduidelijke redenen de groep een verhoudingsgewijs grote aantrekkingskracht had op vrouwelijke studenten, hun aantal bedroeg 30 (van de 80). 23 Toen de aanstelling als research-fellow in augustus 1990 ten einde liep kreeg Terlaky een tijdelijke aanstelling in de groep van prof.dr. J.J.M. Evers voor vier jaar. Ondanks de gewijzigde aanstelling kon onze samenwerking in die jaren worden gecontinueerd. In augustus 1994 dreigde daar een einde aan te komen. Maar mede door bemiddeling van een inderhaast ingeschakelde vakbond kon de faculteit er van worden overtuigd dat Terlaky wettelijk recht had op een vaste aanstelling. 24 Van links naar rechts: Diah Chaerani, prof.dr. Yanqin Bai (gastonderzoeker), Kees Roos, Alireza Asadi, Hossein Mansouri, Maryam Zangiabadi, en beider dochter, Guoyong Gu, Manuel Vieira, Ivan Ivanov, Bib P. Silalahi, en Gamal Elabwabi. 25 Bij twee van hen, Ivan Ivanov en Gamal Elabwabi, trad dr. de Klerk (UvT) op als medebegeleider.

16



Figuur 7: Op de jaarlijkse conferentie van het Landelijk Netwerk Mathematische Besliskunde (Lunteren, 2006).

De nadruk in het onderzoek in onze groep heeft vanaf 1984 gelegen op algoritmen voor het oplossen van eerst lineaire, en later vooral niet-lineaire optimalisatieproblemen. Het genoemde artikel van Karmarkar bleek achteraf het begin te zijn van wat wel een revolutie is genoemd in de wiskundige benadering van het optimaliseren. Daarin speelden IPMn een cruciale rol. Deze waren aanvankelijk bedoeld om lineaire problemen op te lossen. Maar rond de jaren ’90 van de vorige eeuw bleken zij ook bruikbaar voor nietlineaire problemen, met name zogenaamd convexe problemen. Dit had grote betekenis voor onder andere de systeemtheorie, waar tot dan toe onoplosbare problemen nu met standaard software konden worden opgelost. Het werd nog interessanter toen bleek dat voor heel moeilijk oplosbare combinatorische problemen (zogenaamd NP-complete problemen) met behulp van IPMn een oplossing kon worden gevonden met kwaliteitsgarantie: In polynomiale tijd kan een oplossing worden gevonden die niet meer dan


17


een vooraf bekend percentage (bijvoorbeeld 13%) slechter is dan optimaal. Het zou mij een plezier doen dieper in te gaan op de theorie die aan deze ontwikkelingen ten grondslag ligt. Maar ik denk velen van u een groter plezier te doen door in plaats daarvan een aantal voorbeelden van recente toepassingen van wiskunde te geven. Daarom volgt nu een aantal voorbeelden van projecten waarbij ik zelf betrokken was na mijn emeritaat.

Voorbeelden van ingenieurswiskunde In mijn intreeredes heb ik al enkele voorbeelden gegeven van min of meer alledaagse problemen die kunnen worden gemodelleerd als een wiskundig optimalisatieprobleem. Het gebruik van deze modellen kan essentieel zijn voor het succesvol opereren van grote en kleinere bedrijven. We beginnen met een voorbeeld waarbij ons aller veiligheid in het geding is. Optimale veiligheid dijken De ouderen onder ons herinneren zich ongetwijfeld de watersnood van 1953 toen er bijna 2.000 dodelijke slachtoffers vielen, en de jongeren zullen zich herinneren hoe in 1995 opnieuw een kritische situatie ontstond in het Rivierenland26 waardoor ca. 200.000 mensen moesten worden geëvacueerd. Bescherming tegen overstromingen is van levensbelang in Nederland, omdat ongeveer 55% van het land overstroombaar is. Deze bescherming wordt geboden door de al dan niet versterkte duinen en de dijken. Het overstroombare deel van Nederland is verdeeld in 53 zogenaamde dijkringen. Een dijkring is een gebied dat is omringd door duinen en/of dijken. Figuur 8 toont deze dijkringen. Voor elke dijkring is een veiligheidsnorm vastgesteld. Momenteel wordt hiervoor gebruikt de eis dat overstromingen gemiddeld niet vaker dan eens per 1.250 tot 10.000 jaar plaatsvinden; het getal varieeert per dijkring. Op basis van meetgegevens uit het verleden wordt een voorspelling gedaan over de te verwachten stijging van de zeespiegel en de te verwachten daling van het grondniveau. Bij de berekeningen wordt ook rekening gehouden met klimaatverandering. Dit alles wordt verwerkt in een wiskundig model. Het gebruikte wiskundige model is gebaseerd op een kosten-baten analyse: het totaal van de toekomstige (verdisconteerde) kosten van verhogingen 26 De

18

Betuwe, de Bommelerwaard en het Land van Maas en Waal.



Figuur 8: Dijkringen in Nederland.

van een dijk plus de te verwachten schade tengevolge van mogelijke overstromingen wordt geminimaliseerd. Een eerste versie van dit model is gemaakt door de wiskundige D. van Dantzig. Deze deed dit in opdracht van de Delta Commissie die werd ingesteld na de ramp van 1953. In 2006 is dit model verfijnd door C. Eijgenraam van het Centraal Planbureau. Anders dan Van Dantzig, hield hij rekening met de economische groei in een dijkring. Gedurende de periode 2007 - 2009 was ik betrokken


19


bij een projekt dat onder leiding stond van prof. Den Hertog (UvT) waarbij in opdracht van Deltares het model verder werd verfijnd en tevens voorstellen werden gedaan voor efficiënte methoden om het model op te lossen. De voorgestelde methoden zijn ge¨ımplementeerd in OptimaliseRing, een door HKV-Lijn-in-Water ontwikkeld softwarepakket. Dit pakket zal worden gebruikt ter onderbouwing van een (principe)besluit over nieuwe veiligheidsnormen in 2011. De resultaten van ons onderzoek zullen worden gepubliceerd in twee artikelen in het tijdschrift Operations Research. Dynamisch positioneren Ons tweede voorbeeld is ontleend aan de offshore industrie. We beschouwen een groot schip dat wordt gebruikt voor oliewinning. Het is belangrijk

Figuur 9: Dynamisch positioneren in bedrijf.

dat het schip een vaste positie inneemt boven de oliebron. Als de zee ondiep is wordt het in positie gehouden met behulp van ankerkettingen. Bij grotere dieptes is dit niet langer mogelijk met kettingen omdat deze onder hun eigen gewicht zouden bezwijken. In plaats van kettingen kunnen dan

20



lijnen van kunstvezels worden gebruikt, bijvoorbeeld van polyester, maar dat is nogal duur. Een alternatief is het gebruik van Dynamisch Positioneren (DP). Bij gebruik van een DP systeem worden de krachten die op het schip werken, door wind en golven, gecompenseerd door middel van propellers onder het schip. Deze propellers zijn roteerbaar.27 Het schip kan wel acht of zelfs meer van deze propellers hebben, bijvoorbeeld twee propellers voor, twee achter en vier of meer daartussen. Deze propellers worden in het algemeen aangedreven door electromotoren; de benodigde energie wordt vaak opgewekt door generatoren die worden aangedreven door diesel- of gasturbines. Door de propellers te draaien en het geleverde vermogen per propeller te variëren kan het schip zeer nauwkeurig in de gewenste positie worden gehouden. Een voordeel van schepen die met een DP systeem zijn uitgerust is dat zij eenvoudig inzetbaar zijn. Er kunnen veel brandstofkosten worden bespaard door de propellers op een intelligente manier aan te sturen. Het ligt daarom voor de hand om te zoeken naar een aansturing die op ieder moment het door de gezamenlijke propellers geleverde vermogen minimaliseert. Daarmee wordt het een optimalisatieprobleem. Het probleem is een niet-linear probleem en moet real-time, dus snel, worden opgelost. Er bestaat commerciële software voor dit probleem, maar het is niet bekend welke optimalisatiemethoden daarin worden gebruikt. Toen in 2006 een student van de afdeling Maritieme techniek, Arjen Tjallema, het probleem aan mij voorlegde realiseerde ik mij dat het als een kegelprobleem kon worden gemodelleerd.Voor het oplossen van het model bestaan sinds een jaar of vijftien zeer snelle IPM-algoritmen.28 Tjallema heeft het model gebruikt in een bestaand simulatiepakket om een vergelijking te maken met bestaande software. De figuren 10 (oude situatie) en 11 (nieuwe situatie) laten het resultaat zien. Het is hier niet de plaats om verder op details in te gaan, maar lettend op de groene curven die de afwijking aangeven van het gewenste gedrag ziet men snel dat de nieuwe aanpak een veel stabieler gedrag oplevert. Dit is te danken aan de grotere nauwkeurigheid van de oplossing van het DP probleem en de snelheid 27 Ook

‘normale schroeven’ op een schroefas worden gebruikt, eventueel in combinatie met een roer, of ‘boegschroeven’ die alleen dwarskracht kunnen leveren. 28 Het model is een zogenaamd ‘second-order cone’ optimalisatieprobleem. Een zeer effici¨ ent en daarom veel gebruikt softwarepakket voor het oplossen van dergelijke problemen is MOSEK, dat onder andere draait onder Matlab.


21


Figuur 10: Gedrag met huidige DP systeem.

Figuur 11: Gedrag met DP systeem volgens de nieuwe benadering.

waarmee het wordt opgelost. Uit een case study blijkt dat onder milde

22



weersomstandigheden de gevraagde stuwkracht met ongeveer 6% wordt verminderd (en daarmee navenant het brandstofverbruik), en bovendien dat het systeem met de nieuwe methode ongeveer 5% zwaardere weersomstandigheden aan kan, wat de inzetbaarheid significant vergroot. Er ligt een manuscript [47] klaar voor publicatie, maar hiermee wordt gewacht omdat het bedrijf waar Tjallema zijn promotie-onderzoek uitvoert bezig is met een octrooi-aanvraag voor de nieuwe methode.

Webshop Een derde voorbeeld is ontleend aan een probleem dat mij werd voorgelegd door de bevriende eigenaar van een fabriek die gespecialiseerd is in het op maat vervaardigen van kartonnen dozen. Eerder werd de mogelijkheid geboden om via de website van het bedrijf een offerte aan te vragen, na opgave van de afmetingen, de kartondikte en het aantal gewenste dozen. Nadat maandelijks een bescheiden bedrag aan Google werd betaald bleek het aantal offerte-aanvragen significant toe te nemen. Ook herhaalde verhogingen van dit bedrag hadden hetzelfde effect. Het gevolg was dat veel tijd moest worden gestoken in het maken van offertes. Dat leidde tot de vraag of de offertes ook online konden worden gegenereerd. Een probleem daarbij was dat de gehanteerde doosprijzen niet alleen van de afmetingen, het karton en het aantal afhingen, maar dat ook rekening werd gehouden met de prijzen van concurrerende bedrijven. Hierdoor hadden de doosprijzen een nogal grillig karakter. Door middel van een niet-lineaire regressie-analyse lukte het om de handmatig berekende prijzen met grote nauwkeurigheid automatisch te berekenen. Hierdoor kon het gewenste doel worden gerealiseerd: op de site www.doosopmaat.nl kan de klant nu zelf de doosprijzen berekenen en direct bestellen. Inmiddels wordt het systeem ook gebruikt door TNT (zie Figuur 12). De klant kan via de TNT site prijzen calculeren en dozen bestellen. Genoemd bedrijf vervaardigt de bestelde dozen, en TNT levert ze af bij haar klant.

Robuuste elektrische weerstandsnetwerken Weerstandsnetwerken zijn elektrische netwerken die alleen weerstanden bevatten. Het gedrag ervan wordt volledig geregeerd door de wetten van Ohm (1787-1854) en Kirchhof (1824-1887). Figuur 13 toont zo’n netwerk met vier knopen; de som van de in de knooppunten aangeboden stromen


23


Figuur 12: Automatische offertes voor doosjes op maat.

is gelijk aan nul. Gegeven zo’n netwerk (zonder spanningsbronnen) en gegeven de in- en uitgaande elektrische stromen in de knooppunten, leggen de genoemde wetten de stroomwaarden in alle weerstanden eenduidig vast. In feite worden deze waarden eenduidig bepaald door een stelsel lineaire vergelijkingen. Onze bedoeling is om de weerstandswaarden zo te bepalen dat de warmteontwikkeling (of dissipatie) in het netwerk minimaal is. We maken de natuurlijke aanname dat alle weerstandswaarden positief (of oneindig) zijn en verder dat de som van de inverse weerstandswaarden begrensd wordt door een constante waarde. Onder deze voorwaarden kan het minimaliseren van de dissipatie worden geformuleerd als een niet-linear optimalisatieprobleem. Verrassend genoeg kan dit probleem worden herleid tot een lineair optimalisatieprobleem. Dit maakt het probleem efficiënt oplosbaar. De optimale oplossingen die we zo krijgen kunnen zeer instabiel zijn, in die zin dat een kleine verandering in één of meer van de in- of uitgaande stroomwaarden de dissipatie onevenredig veel groter maakt. In [38] geven we een voorbeeld waarbij de optimale oplossing een dissipatie heeft van 16,2, maar waarbij een verstoring van slechts 10% er toe leidt dat de

24



i3

3

4

i4

i1

1

2

i2

Figuur 13: Een weerstandsnetwerk met vier knooppunten.

dissipatie aangroeit tot 344,4, dus ca. 21 maal zo groot als de optimale waarde. In de praktijk kan dit desastreus zijn, omdat het netwerk door verhitting verbrandt. Sinds het begin van deze eeuw zijn er nieuwe methoden om onzekerheid te modelleren. Voortrekkers op dit gebied, dat bekend staat onder de naam Robuuste Optimalisatie, zijn prof. A. Ben-Tal (Technion, Haifa, Israël) en prof. A. Nemirovski (Georgia Tech, Atlanta, USA).29 De door hen voorgestelde methoden berusten op een geschikt gekozen convexe ‘verstoringsverzameling’ die alle mogelijke verstoringen van de inputgegevens bevat. Voor elk weerstandsnetwerk kunnen we nu de dissipatie maximaliseren over de verzameling van alle mogelijke verstoorde inputstromen; dit zijn de inputstromen die men krijgt door bij de nominale inputstroom een stroom uit de verstoringsverzameling op te tellen. Indien de verstoringsverzameling een voldoende eenvoudige structuur heeft, bijvoorbeeld een ellipso¨ıde of een box, dan kan deze maximalisatie efficiënt worden uitgevoerd. Het 29 Beiden

verbleven tijdens een ‘sabbatical leave’ als gasthoogleraar in Delft.


25


weerstandsnetwerk dat de zo verkregen maximale dissipatie minimaliseert is het meest robuust tegen verstoringen in de verstoringsverzameling. Zo’n netwerk wordt verkregen door een ‘semidefiniet’ optimalisatieprobleem op te lossen; dit is een bijzonder geval van een kegelprobleem. Voor details verwijzen we naar de uitgebreide literatuur over Robuuste Optimalisatie. Standaardwerken zijn [4] en [5]. Wanneer we deze methode toepassen op het hiervoor genoemde instabiele probleem dan kunnen we de stabiliteit aanzienlijk verbeteren. Het levert een weerstandsnetwerk op waarvoor de nominale dissipatie 21,7 is, terwijl bij een willekeurige verstoring van niet meer dan 30% de dissipatie nooit groter wordt dan 22,4. De dissipatie zal dus in de praktijk nooit groter zijn 22,4. De prijs voor deze stabiliteit is dat de nominale waarde van de dissipatie (nu 21,7) iets groter is dan de optimale waarde (16,1); maar het levert een netwerk op dat zelfs verstoringen van 30% overleeft.

Nabeschouwing Het heeft velen verbaasd welke mogelijkheden de wiskunde biedt om verschijnselen in de natuur en in het alledaagse leven te beschrijven. In zijn eerder genoemde radiorede noemde Hilbert wiskunde de verbindende brug tussen theorie en praktijk, tussen denken en waarnemen. Hij verwees naar Galile¨ı (1564-1642) die stelde dat de natuur slechts kan worden begrepen door hen die haar taal en tekens hebben leren kennen; deze taal is de wiskunde en de tekens zijn driehoeken, cirkels en andere wiskundige figuren. Ook citeerde hij Kant (1724-1804) die stelde dat in elke natuurwetenschap slechts zoveel echte wetenschap is als er wiskunde in is. Hilbert concludeerde dat hieraan, en aan talrijke toepassingen, de wiskunde het aanzien dankt dat zij bij het algemene publiek geniet.

Crisis in de wiskunde Dit aanzien was in het begin van de vorige eeuw in gevaar doordat de wiskundige wereld rond het begin van de 20-ste eeuw werd geplaagd door paradoxen. Algemeen aanvaarde grondbeginselen (axioma’s) leidden via gebruikelijke logische redeneringen tot tegenspraken. De daardoor ontstane verwarring bezorgde slapeloze nachten aan menig wiskundige van grote

26



naam.30 Dit maakte een fundamentele bezinning noodzakelijk op de grond-

Figuur 14: Gottlob Frege (1848-1925) en Bertrand Russell (1872-1970).

slagen van de wiskunde. In de genoemde paradoxen speelden oneindige verzamelingen een voorname rol. Het begrip verzameling is een van de meest primitieve begrippen in de moderne wiskunde. Precies bij dit begrip lag de moeilijkheid. Het werd onduidelijk wat een verzameling is en wat niet. Russell had een verzameling gevonden die onvermijdelijk aanleiding gaf tot logische conflicten.31 30 De Duitse logicus Frege waagde zich in het laatste decennium van de negentiende eeuw aan de opgave om de hele wiskunde met behulp van puur logische grondbeginselen op te bouwen. Maar in 1902, kort voor het verschijnen van het tweede deel van zijn werk Grundgesetze, sloeg een brief de bodem onder zijn zelfvertrouwen weg. De brief was van Russell. Frege schreef in het nawoord:

‘Een wetenschappelijk auteur kan nauwelijks iets ongewensters overkomen, dan dat na de voltooiing van zijn werk een van de fundamenten van zijn gebouw vernield wordt. In deze situatie ben ik terechtgekomen door een brief van de heer Bertrand Russell, die ik ontving toen het drukken van dit deel bijna klaar was.’ In de brief schreef Russell over de paradox die hem zelf ook slapeloze nachten had bezorgd, de zg. Russell paradox. [17, blz. 37] 31 Het betreft de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet als element bevatten, in wiskundige notatie: {x : x ∈ / x}. Met deze definitie lijkt niets mis te zijn. Vraagt men echter of deze verzameling tot zichzelf behoort of niet, dan leidt dit tot een conflict.


27


Hilbert beschouwde de wiskunde als een model van zekerheid en waarheid: ‘Als zelfs het wiskundige denken zou falen, waar anders anders zou dan zekerheid te vinden zijn?’ Maar hij was er zeker van dat het allemaal goed zou komen.32 Anderen waren daar minder optimistisch over, of beweerden zelfs het tegendeel. Onder de laatsten nam Brouwer een prominente positie in.33 De aanvankelijk zeer goede relatie tussen Hilbert en Brouwer kwam door hun tegengestelde posities in deze grondslagenkwestie onder grote druk te staan, en leidde uiteindelijk tot een bitter conflict. Daarover gaat het in de volgende paragraaf.

Grondslagenstrijd We zagen al eerder dat Ludolph van Ceulen zijn naam onsterfelijk heeft gemaakt door 35 decimalen van π te berekenen. Dankzij meer geraffineerde technieken voor het berekenen van π en de enorme rekenkracht die zelfs gewone PC’s ons verschaffen, is het aantal bekende decimalen van π inmiddels 5.000.000.000.000.34 Hoewel dit als een enorme prestatie wordt gezien is de betekenis ervan toch betrekkelijk: het aantal ontbrekende decimalen is nog steeds oneindig groot. Ten opzichte van oneindig is 5 biljoen niet noemenswaard groter dan 35. Overigens is inmiddels wel een vraag beantwoord die Brouwer ooit stelde, namelijk of in de decimale ontwikkeling van π de rij 0123456789 voorkomt. Doordat zoveel meer decimalen bekend zijn dan in Brouwer’s tijd, kon wor32 In 1926, in het artikel Uber ¨ das Unendliche, gaf Hilbert toe dat de tegenwoordige toestand ‘op den duur onverdraaglijk is. Men bedenke dat in de wiskunde, dit model van zekerheid en waarheid, begrippen en redeneringen van het type dat iedereen leert, onderwijst en toepast, tot ongerijmdheden voeren. En waar is anders zekerheid te vinden als zelfs het wiskundige denken faalt? Maar er bestaat een volledig bevredigende manier om de paradoxen te ontlopen, zonder verraad tegenover onze wetenschap te plegen (. . . ). Dit kunnen we slechts bereiken als het ons lukt het wezen van het oneindige volledig helder te maken.’[17, blz. 50] 33 Tijdens een van zijn voordrachten in Wenen zei Brouwer: ‘Er bestaat ook voor de zuivere wiskunde helemaal geen zekere taal, dat wil zeggen geen taal die in de communicatie misverstanden uitsluit en bij de ondersteuning van de gedachten beschermt tegen fouten, dat wil zeggen tegen verwisseling van verschillende wiskundige entiteiten.’[17, blz. 61] 34 Op 2 augustus 2010 werd dit nieuwe recordaantal gevestigd. De Japanner Shigeru Kondo en de Amerikaan Alexander J. Yee maakten bekend 5 biljoen decimalen van π te hebben berekend. De benodigde rekentijd was 90 dagen op een desktop PC met 22 TB RAM geheugen en 3,8 TB voor de opslag van de decimalen in gecomprimeerde vorm.

28



den vastgesteld dat de rij inderdaad voorkomt.35 Brouwer stelde de vraag om aan te geven dat er wiskundige vragen zijn waarop we het antwoord nooit zullen weten. De genoemde vraag van Brouwer is nu achterhaald. Maar door het rijtje in Brouwer’s vraag langer te maken is eenvoudig een soortgelijke vraag te stellen waarop het antwoord nog steeds onbekend is.36 Er zijn dus fatsoenlijke wiskundige vragen waarop we noch bevestigend noch ontkennend kunnen antwoorden. Dit bracht Brouwer er toe om een veelgebruikte bewijsmethode ter discussie te stellen, namelijk die van het bewijs uit het ongerijmde. Dit gaat als

Figuur 15: Brouwer tijdens een voordracht.

volgt: als je bewering A wilt bewijzen dan veronderstel je dat A niet geldt en toont vervolgens aan dat deze veronderstelling tot een tegenspraak 35 Nu er meer decimalen bekend zijn dan in Brouwer’s tijd weten we dat de cijferreeks 0123456789 voorkomt in de decimale ontwikkeling van π. Meer is te vinden op http://www.hpcs.is.tsukuba.ac.jp/∼daisuke/pi.html en http://bellard.org/p i/pi2700e9/announce.html (opnieuw met dank aan Herman te Riele). 36 Voorbeelden van vragen die ondanks toekomstige ontwikkelingen in de computertechnologie nooit zullen kunnen worden beantwoord zijn: ‘Hoeveel malen komt Brouwer’s rijtje voor in de decimale onwikkeling van π?’ en ‘Wat is de grootste waarde van n zodat het rijtje 012 . . . n voorkomt in de decimale onwikkeling van π?’


29


leidt. Hieruit concludeer je dat A moet gelden. Deze methode berust op de aanname dat er slechts twee mogelijkheden zijn: A geldt of A geldt niet. Dit is de wet van de uitgesloten derde: een bewering is waar of niet waar, een derde mogelijkheid is er niet: tertium non datur. Met andere woorden: als de ontkenning van een bewering niet waar is, dan is de bewering waar. Hier maakte Brouwer bezwaar. Voor hem is het geloof aan de onbeperkte geldigheid van de wet van de uitgesloten derde in de wiskunde een bijgelovig dogma. Meer in het bijzonder moet elke uitspraak over een oneindige struktuur geformuleerd worden als uitspraak over eindige delen van die structuur, en ook als zodanig bewezen. Dit is de basis van de door hem ge¨ıntroduceerde intu¨ıtionistische wiskunde. In termen van deze benadering waren veel bestaande bewijzen ondeugdelijk. Het hele gebouw van de wiskunde moest volgens Brouwer opnieuw worden gebouwd op een intu¨ıtionistisch fundament.37 Evenals Hilbert, zagen veel deskundigen meer in alternatieve mogelijkheden om de axiomatische aanpak te redden.38 Hilbert had op het gebied van de meetkunde in 1904 al aannemelijk gemaakt dat dit kon, in zijn ¨ artikel Uber die Grundlagen der Logik und Arithmetik. Om de verzamelingenleer van Cantor te redden, waarin de paradoxen waren opgetreden, voerde Zermelo zijn bekende keuze-axioma in. Het bleek een bron te zijn 37 In augustus 1923 hield Brouwer op het Vlaamsch Natuur- en Geneeskundig Congres in Antwerpen de voordracht ‘Over de rol van het principium tertii exclusi in de wiskunde, in het bijzonder de functietheorie’. Hierin gaf hij een aantal voorbeelden van stellingen uit de klassieke wiskunde, die binnen zijn intu¨ıtionistische wiskunde onjuist bleken te zijn. Preciezer gezegd, hij toonde door voorbeelden – die sindsdien ‘Brouwerse tegenvoorbeelden’ heten – aan dat bepaalde ‘stellingen’ vooralsnog geen bewijs hadden. Het ging om

• de re¨ eele getallen zijn (lineair) geordend; • iedere verzameling is eindig of oneindig; • een continue functie op [0, 1] heeft een maximum; • de stelling van Heine-Borel. Brouwer bezwoer zijn gehoor dat wiskunde met de ‘uitgesloten derde’ niets dan een ijdel woordenspel was. Het had weinig te doen met ‘echte’ wiskunde. . . . Hij achttte het niet uitgesloten dat de formalisten de consistentie van de wiskunde (of belangrijke stukken daarvan) zouden kunnen aantonen, echter ‘daarmee zal niets van wiskundige waarde zijn verworven: een door geen weerleggende contradictie te stuiten onjuiste theorie is daarom niet minder onjuist, zoals een door geen reprimerend gerecht te stuiten misdadige politiek daarom niet minder misdadig is’. [12, blz. 270] 38 Deze term duidt op het streven om de hele wiskunde te baseren op een eindig aantal axioma’s. Elke correcte wiskundige stelling moet uit deze axioma’s zijn af te leiden met behulp van logische argumenten.

30



van nieuwe problemen. Hilbert bleef vertrouwen dat de axiomatische aanpak een betrouwbare leidraad zou zijn voor de oplossing van veel open vragen.39 Hoewel op het gebied van de analyse ‘zelfs geen schaduw van een tegenspraak opgedoken was’, zoals hij tijdens een voordracht in 1922 uitdrukte, voelden sommige wetenschappers zich toch onbehagelijk. Feitelijk was er nog maar weinig of niets gepresteerd om te bewijzen dat de axiomasystemen van de verzamelingenleer, de analyse en de rekenkunde vrij waren van tegenspraak, en evenmin was er iets bekend over de bewijskracht van die systemen. Een gevolg was dat enkele wiskundigen meer en meer neigden tot de argumenten van het intu¨ıtionisme. Onder hen was de beroemde Hermann Weyl, een oud-leerling van Hilbert. Maar, zo wierp Hilbert tegen, de analyse, ja de wiskunde in het algemeen, was een ‘symfonie van het oneindige’, en ‘uit het paradijs dat Cantor voor ons geschapen heeft, zal niemand ons kunnen verdrijven.’ [17, pag. 50] Terwijl Hilbert aan zijn bewijstheorie werkte en steeds voorspelde dat het succes om de hoek wachtte, werkte Brouwer aan zijn intu¨ıtionistische programma. Brouwer had inmiddels een paar goede studenten gekregen. Maurits Belinfante promoveerde in 1923, Barend Loor en Arend Heyting deden dat in 1925, en Wilfrid Wilson in 1928. Daarnaast was Brouwer ook zelf productief. In 1927 gaf hij op uitnodiging een serie colleges in Berlijn die veel furore maakten. Zelfs de pers schonk er aandacht aan en uitgever De Gruyter drong er bij hem op aan zijn lezingen als boek uit te geven. Een andere belangrijke uitnodiging ontving hij uit Wenen. Karl Menger was betrokken bij de Wiener Kreis en organisator van het beroemde Mathematisches Kolloquium in Wenen. Op Menger’s aanraden werd Brouwer uitgenodigd om in maart 1928 twee voordrachten te houden.40 De enthou39 Hilbert zei: ‘Taking the Principle of the Excluded Middle from the mathematician, is like forbidding an astronomer his telescope or a boxer to use his fists.’ [31, blz. 269] 40 De titels waren: ‘Wiskunde, wetenschap en taal’, en ‘De structuur van het continuum’. Het was de eerste keer dat Brouwer een samenhangende filosofische uiteenzetting gaf over zijn opvattingen. Achteraf zijn de grondgedachten al terug te vinden in de lezingen die hij als student in 1905 in Delft hield [8]. Ludwig Wittgenstein (1889-1951) was erbij en besloot na deze voordracht de draad van zijn filosofisch werk weer op te pakken. Zie hierover [37]. Menger zat twee rijen achter hem en schreef in zijn memoires: ‘Bewegingsloos van begin tot einde bekeek Wittgenstein de spreker, eerst met een enigszins geschrokken uitdrukking, die later overging in een zwakke glimlach van genoegen’. Kurt G¨ odel (1906-1978) was er ook bij. Hij was enthousiast, zoals blijkt uit dagboekaantekeningen van Carnap. Op 13 november 1928 schrijft deze: ‘Met G¨ odel in Caf´ e. Over de fundering van de wiskunde, hij meent dat de afleiding van de wiskunde uit de logica mislukt is. Hij neemt een intu¨ıtionistisch formeel standpunt in’, en op 23 december 1929: ‘G¨ odel. Over de onuitputtelijkheid van de wiskunde [. . . ]. Hij is door


31


siaste reacties in Berlijn en Wenen bleven niet onopgemerkt in Göttingen, toen nog het wiskundige centrum van de wereld, waar Hilbert de scepter zwaaide.41 Hilbert leed inmiddels sinds 1925 aan een ernstige ziekte, pernicieuze anemie. Toen hij na een moeilijke periode twee jaar later voor het eerst weer een congresvoordracht gaf, in Hamburg, verviel hij in een emotionele uitbarsting die men niet zo gauw in een wetenschappelijke context verwachten zou. Het was een regelrechte aanval op Brouwer, overigens zonder dat zijn naam werd genoemd: ‘Ik sta [onder deze omstandigheden] verbaasd, dat een wiskundige aan de strenge geldigheid van het tertium non datur twijfelt. Ik sta er nog meer verbaasd over dat, naar het schijnt, een hele gemeente van wiskundigen zich thans gevormd heeft die hetzelfde doet. Maar ik sta het meest verbaasd over het feit dat zelfs ook in de kring van wiskundigen de suggestieve kracht van een enkele temperamentvolle en geestrijke man de onwaarschijnlijkste en meest excentrieke werking kan uitoefenen.’ [12, blz. 315]

In augustus 1928 was er een terugslag in Hilbert’s gezondheid; hij leed aan pijn in handen, voeten, benen en ruggenwervels. Desondanks ondernam hij nog een reis naar Bologna voor een congres. Direct daarna stortte hij in. Hij werd na een hartaanval naar een sanatorium in Luzern vervoerd waar hij tot oktober verbleef. Beseffend dat hij onder de gegeven omstandigheden gemakkelijk het leven kon laten kwam hij tot een radicale conclusie: ‘Brouwer is een gevaar voor de wiskunde, en hij moet onschadelijk gemaakt worden’. Hij voegde de daad bij het woord. Tot dan toe was Brouwer een van meest actieve leden van de redactie van de Mathematische Annalen, het belangrijkste wiskundige tijdschrift. Naast Hilbert, die hoofdredakteur was, zaten in de kernredaktie drie andere leden: Blumenthal, die als een soort secretaris van Hilbert fungeerde, Carathéodory, en Einstein. Op 29 oktober belde Carathéodory aan bij Brouwer thuis, in Blaricum, en bezorgde hem een brief van Hilbert met daarin het volgende [12, blz. 332]: Waarde collega, Omdat het mij niet mogelijk is met u samen te werken, gezien de Brouwers Weense voordracht op deze gedachte gekomen. De wiskunde is niet totaal te formaliseren. Hij schijnt gelijk te hebben.’ [12, blzn. 316, 380] 41 Erkenning voor zijn topologisch werk kreeg Brouwer in 1935 toen Alexandrov en Hopf hun standaard werk Topologie opdroegen aan Brouwer. Sporen van zijn werk waren in bijna alle delen van de topologie te bespeuren, zo schreven zij. [12, blz. 390]

32



onverenigbaarheid van onze opvattingen over fundamentele zaken, heb ik de leden van de redactie van de Mathematische Annalen gevraagd om de machtiging te geven – deze werd mij verleend door Blumenthal en Carathéodory – u mede te delen dat wij van nu af aan van uw medewerking bij het redigeren van de Mathematische Annalen zullen afzien, en derhalve uw naam van de omslag zullen weglaten. Tegelijkertijd dank ik u in naam van de redacteuren van de Annalen voor uw voorafgaande activiteiten in het belang van het tijdschrift.

Figuur 16: Constantin Carathéodory (1873-1950) en Otto Blumenthal (1876-1944).

Het vermoeden ligt voor de hand dat Hilbert vreesde dat bij verdere verslechtering van zijn gezondheid Brouwer in de kernredaktie zou worden opgenomen en, nog erger, wellicht het hoofdredakteurschap zou toevallen. Dit gevaar probeerde hij door deze brief af te wenden.42 Carathéodory wees Brouwer op de wankele gezondsheidstoestand van Hilbert, en verzocht hem af te zien van tegenstand omdat dit in Hilbert’s toestand dodelijk zou kunnen zijn. Ondanks de verbijsterende vernedering die hem door Hilbert was 42 Einstein, het vierde lid van de kernredactie, had geen machtiging verleend, en Carath´ eodory was onder druk gezet.


33


aangedaan, wilde Brouwer niet verantwoordelijk gehouden worden voor diens dood. Na ampel beraad besloot hij zich niet zonder meer te conformeren aan Carathéodory’s verzoek. Op 2 november stuurde hij hem een brief, met afschrift naar Blumenthal: ‘Na een nauwgezette overweging en verregaande consultering moet ik het standpunt innemen, dat ik het door u aan mij gerichte verzoek, mij tegenover Hilbert als tegenover een ontoerekeningsvatbaar iemand te gedragen, slechts dan zou kunnen inwilligen als het [verzoek] mij schriftelijk en wel gemeenschappelijk van de zijde van Hilbert’s vrouw en zijn huisarts bereikt zou hebben.’ [12, blz. 336]

De zaak kreeg hierdoor een heftig vervolg. Uiteindelijk werd er eind december voor gekozen na de verschijning van het honderdste deel van de Annalen de hele redaktie te ontslaan en een nieuwe te benoemen, aldus de schijn vermijdend dat de actie tegen Brouwer was gericht. Einstein en Carathéodory weigerden deel uit te maken van de nieuwe redaktie, alleen Hilbert en Blumenthal werden opnieuw benoemd. Voor veel meer details verwijs ik naar [12], waaraan het meeste van het bovenstaande is ontleend. Hilbert had dus zijn zin gekregen. Brouwer was op een zijspoor gezet. Hij was te kijk gezet als lastig, gevaarlijk en oneerlijk. Zijn wetenschappelijk werk stokte, hij ging in vrijwillige wetenschappelijke ballingschap.43 Het jaar 1930 bracht een verrassende wending in de stand van zaken. Hilbert’s positie werd nog eens verwoord in de laatste drie zinnen van de eerder genoemde K¨ onigsbergse radiorede: ‘De eer van de menselijke geest, zo zegt de beroemde wiskundige Jacobi, is het enige doel van alle wetenschap. We moeten geen geloof hechten aan hen die tegenwoordig met een filosofische gezichtsuitdrukking en op verwaande toon de ondergang van de cultuur voorspellen en tot het Ignorabimus vervallen. Voor ons is er geen Ignorabimus, en volgens mij ook zeker voor de natuurwetenschap niet. In plaats van het dwaze Ignorabimus geldt daarentegen voor ons de leus: Wij moeten weten, wij zullen weten.’ 43 Intussen

had Heyting naam gemaakt door een prijsvraag van het Wiskundig Genootschap te winnen waarin gevraagd werd op de manier van de klassieke (aristotelische) logica een axiomatisering van Brouwer’s logica te maken. Hij ontwikkelde zich tot een nieuwe propagandist van het intu¨ıtionisme. Zijn werk vond expliciete waardering bij Brouwer. Van punten die Brouwer zelf naar voren had willen brengen zei hij dat zij door Heyting ‘op een magistrale wijze [waren] verhelderd’.

34



Figuur 17: De cover van de Mathematische Annalen voor en na de redaktiewisseling.

De toespraak werd uitgezonden op 8 september 1930 en was gebaseerd op een lezing die Hilbert eerder op die dag had gehouden tijdens een congres in K¨ onigsberg van het genootschap van Duitse natuuronderzoekers en artsen, onder de titel ‘Naturerkennen und Logik’. Hij wist toen nog niet dat een dag eerder, tijdens een ander congres, ook in Königsberg, iets opmerkelijks was gebeurd. Op de laatste dag van dit andere congres,44 44 Van 5 tot 7 september 1930 vond een symposium plaats in K¨ onigsberg in Pruisen over de grondslagen van de wiskunde. Er waren vier hoofdvoordrachten: Heyting voor de intu¨ıtionisten, Von Neumann voor de formalisten, Carnap voor de logicisten, en Waisman vertolkte Wittgensteins idee¨ en. G¨ odel woonde dit congres bij, van Hilbert is dit niet zeker. Zeker is dat Hilbert er niet bij was toen G¨ odel zijn eerste zogenaamde onvolledigheidsstelling bekend maakte. Zijn volgelingen bespaarden hem aanvankelijk het desastreuze nieuws, waardoor Hilbert pas een half jaar later voor het eerst iets hoorde over G¨ odel’s opmerkelijke resultaten. Zie ook [12, blz. 358],[17, blz. 75],[2, blz. 16] en [13, blz. 68-71].


35


tijdens een afsluitende discussiezitting, had de nog onbekende, jonge Kurt G¨ odel (1906-1978) het woord genomen. Met zijn zachte stem had deze

Figuur 18: Kurt Gödel (links) en Albert Einstein (1879-1955). meegedeeld dat men, ‘onder de veronderstelling dat de klassieke wiskunde vrij is van tegenspraken, voorbeelden van beweringen kan geven die weliswaar inhoudelijk juist zijn, maar in het formele systeem van de klassieke wiskunde niet te bewijzen zijn.’

Hiemee was een van Hilbert’s hoofddoelen verworpen: er is geen formeel systeem dat precies alle ware wiskundige beweringen levert. Hilbert was er niet bij. Daarom kon hij een dag later zonder de minste twijfel zijn dogma herhalen: Wir werden wissen! In feite was de situatie nog erger voor Hilbert en zijn programma dan zich oorspronkelijk liet aanzien. Gödel had namelijk al snel ingezien dat zijn methoden ook aantoonden dat (zeg) de rekenkunde haar eigen consistentie niet kon bewijzen; hiermee was Hilbert’s dogma volledig weerlegd. De hoop op eenvoudige consistentiebewijzen voor ingewikkelde theorieën was vervlogen. G¨ odel’s resultaten kunnen ruwweg als volgt worden samengevat [48, blz. 3]:

36



Een formeel wiskundig systeem is niet consistent of niet volledig.45

Hiermee had Brouwer dus toch gelijk gekregen. Toen hij Gödel’s resultaat leerde kennen reageerde hij nogal onderkoeld met de woorden: ‘Dat verbaast mij niet, ik had dit op inhoudelijke gronden al verwacht’.46 Hilbert is de slag niet meer te boven gekomen.47 Na 1930 speelde Hilbert dan ook vrijwel geen rol meer, ten dele omdat hij sterk aan geestkracht inboette [12, blz. 358], ten dele ook omdat de door anderen voorspelde ‘ondergang van de cultuur’ zich aan zijn eigen wiskundige instituut in G¨ ottingen manifesteerde. Daarover iets meer in de volgende paragraaf.

Leren van de tijd Mijn Delftse intreerede droeg de titel De tijd zal het leren. Ik had deze titel ontleend aan Isaac Newton. Niet algemeen bekend is dat deze een groot deel van zijn leven geworsteld heeft met de betekenis van de profetieën in de Bijbel.48 Mijns inziens stond zijn wetenschappelijke werk in dienst daarvan. In ieder geval bestond er een nauwe samenhang tussen beide.49 45 Onder de volledigheid van een axiomasyteem verstaat men dat uit het axiomasysteem alle correcte formules van een zeker inhoudelijk te karakteriseren vakgebied te verkrijgen zijn. Consistentie van het axiomasyteem betekent dat er geen incorrecte formules uit zijn af te leiden. Zie bijvoorbeeld [17, blz. 59]. 46 De situatie is in 1989 beeldend verwoord in de afscheidsrede van mijn promotor, prof.dr. F. Loonstra, die zelf bij Brouwer was gepromoveerd: ‘De wiskunde, die een asiel van zekerheden leek te zijn, toonde zich niet meer als een voor de eeuwigheid geconstrueerd bouwwerk. Veeleer was zij te vergelijken met een — in volle zee — bewegend schip, dat zijn weg zoekt in de nacht en niet altijd meer in het klare daglicht, dat het achter zich heeft gelaten. [24] 47 Tussen Brouwer en Hilbert is het nooit meer goed gekomen. Brouwer vergaf Hilbert de belediging van de Mathmatische Annalen affaire niet. Met zijn karakteristieke heftigheid had hij Hilbert tot ‘schurk’ gebombardeerd. Van Hilbert’s kant is er ook nooit meer enige poging tot contact geweest. [12, blz. 389] 48 Volgens Newton zijn deze profetie¨ en niet gegeven om daarmee zelf voorspellingen te kunnen doen, maar om er ons achteraf van te overtuigen dat de wereld wordt geregeerd door voorzienigheid. 49 ‘Lang heeft het geleken alsof Newtons ontdekkingen in de wiskunde, de mechanica, de sterrenkunde en de optica op zichzelf stonden. Pas in onze tijd is duidelijk geworden dat ze mee mogelijk zijn gemaakt door zijn diepgaande studie van met name theologie en alchemie, vakgebieden dus die daar ogenschijnlijk volstrekt los van staan. Weinigen zijn zo intensief en met zo’n vastberaden drang naar precisie op zoek gegaan naar de Steen der Wijzen als Isaac Newton. En niet alleen die zoektocht, maar ook zijn ketterse


37


Nadat hij heeft geschreven over de volgens hem te verwachten terugkeer van de Joden uit de ballingschap, de herbouw van Jeruzalem en de komst van de Messias schrijft hij niet te weten hoe deze dingen zullen gebeuren, maar ‘dat de tijd het ons zal leren’.50 Laten wij ‘in het spoor van Newton’ nu terugkijken naar de grondslagenstrijd en bezien wat er terecht kwam van de ‘profetische’ uitspraken in de radiorede van Hilbert. In deze rede suggereerde hij dat zijn tegenstanders, die tot het Ignorabimus vervielen, dit deden omdat zij hun oor leenden aan hen die de ondergang van de cultuur voorspelden. We zagen al dat de tijd Hilbert in het ongelijk heeft gesteld voor wat betreft het Ignorabimus: de solide fundering voor de wiskunde die Hilbert zocht, en waarvan hij stellig meende dat die bestond, bestaat niet. Het waarheidsgehalte van de spreuk ‘Wij weten het niet, en we zullen het nooit weten’ (zie noot 3) was gebleken groter te zijn dan dat van Hilbert’s dogma: ‘Wij moeten weten, en wij zullen weten’. Maar er is meer. Waarom verweet Hilbert aanhangers van het Ignorabimus geloof te hechten aan hen die de ondergang van de cultuur voorspelden? Kan met recht gezegd worden van mensen die Hilbert’s dogma afwezen, zoals Brouwer, G¨ oedel, en Wittgenstein, dat zij dit deden vanwege een dreigende cultuurondergang? Ik meen van niet. Maar wel maakt de formulering die Hilbert gebruikt duidelijk dat hij geen enkele bedreiging voor de cultuur zag. De tijd heeft geleerd dat hij zich ook op dit punt schromelijk heeft vergist. In de jaren ’30 van de vorige eeuw waren er inderdaad vooraanstaande historici en wetenschappers die zich grote zorgen maakten over het culturele klimaat in Europa en vreesden voor haar ondergang. In ons land gold dit, onder andere, voor de bekende historicus en cultuurfilosoof Huizinga. Hij begon zijn boek In de schaduwen van morgen met de bekende woorden: ‘Wij leven in een bezeten wereld. En wij weten het’.51 Zijn boek is nog idee¨ en over de Godheid en zijn bijbelonderzoek hebben tot op zekere hoogte de wording van zijn grote ontdekkingen mee mogelijk gemaakt.’ [11, blz. 14] 50 Letterlijk schrijft hij: ‘Let time be the Interpreter’ [28, page 134]. Meer hierover is te vinden in [37]. Men vergeve mij dat ik het opmerkelijk blijf vinden dat sommige van zijn verwachtingen zich hebben gerealiseerd. Hij verwachtte dat in 1899 de Joden zouden worden opgeroepen om uit de diaspora terug te keren naar Jeruzalem, en dat in 1944 de grote verdrukking van de Joden zou worden be¨ eindigd. In werkelijkheid waren de jaartallen 1897 en 1945; In aanmerking nemend dat Newton rekening hield met een onnauwkeurigheid van enkele jaren is dit verbazingwekkend. [49, blz. 160] 51 Minder bekend, maar voor ons doel zeer relevant is wat hij vervolgens schreef: ‘Het zou voor niemand onverwacht komen, als de waanzin eensklaps uitbrak in een razernij,

38



Figuur 19: Johan Huizinga (1872-1945).

altijd lezenswaard.52 De kern van Huizinga’s boodschap is ‘Cultuur moet metaphysisch zijn, of zij zal niet zijn’ [20, blz. 36]. In dezelfde zin schreef na WO II de cultuurfilosoof Polak.53 Aandacht voor het hogere treft men waaruit deze arme Europesche menschheid achterbleef in verstomping en verdwazing, de motoren nog draaiende en de vlaggen nog wapperende, maar de geest geweken’ en ‘Zal deze beschaving gered worden, zal zij niet verzinken in eeuwen van barbarie, maar met behoud van hoogste waarden, die haar erfgoed zijn, overgaan tot nieuwer en vaster staat, dan is het wel nodig, dat de nu levenden zich terdege rekenschap geven, hoever het bederf, dat haar bedreigd, is voortgeschreden’. [20, blz. 1-2] 52 Na voltooiing van mijn rede nam ik het afscheidscollege van wijlen prof.dr. O. Bottema nog eens ter hand, alhier op 4 juni 1971 gehouden in een roerige tijd. Hij bleek hetzelfde boek enkele malen met instemming te hebben geciteerd. 53 ‘Het afbraakproces van het christelijk-eschatologisch toekomstbeeld, gebaseerd op een voorstelling van bovenmenselijke macht, heeft al met al tweeduizend jaar in beslag genomen, doch het is vooral in de tweede helft van de laatste vijfhonderd jaar in tempo en intensiteit verscherpt. . . . Het religieus geloof in een goedgunstig einde, van hoger hand volbracht, was gaandeweg vervangen door het geloof in een eigenhandig te bewerkstelligen vooruitgang. Toen het laatste stukgebroken scheen op de harde werkelijkheid van de huidige tijd, die tyranniek de teugels in handen nam, zich losscheurend zowel van het historisch omknellende verleden als van de magnetisch aantrekkende toekomst, stond de mens plotsklaps verlaten en vereenzaamd voor de gapende leegte van een weggevallen geloof, zowel in goddelijke als in menselijke macht, voor het niets. Nadat eenmaal de mens zijn “vaste burcht” zelf steen voor steen had afgebroken en bovendien zijn opbouw van een andere en betere wereld kennelijk met volslagen mislukking


39


aan in het kamp van Brouwer, maar bij Hilbert lijkt dit afwezig te zijn.54 De tijd heeft ons geleerd dat de optimistische cultuurvisie van Hilbert niet houdbaar is gebleken. Nog geen 10 jaar later brak het onheil los in Europa. Het eeuwenoude christelijk-humanistische anti-semitisme, soms sluimerend maar altijd aanwezig in Europa,55 culmineeerde in een verdrukking van de Joden die zonder weerga was. Wie de verslagen ervan leest (zie bijvoorbeeld [16] en [22]) moet erkennen dat de woorden ‘waanzin’ en ‘razernij’ van Huizinga profetisch waren. in het tegendeel was verkeerd, stond hij geheel naakt, onbeschut prijsgegeven aan de door hem zelf verwekte of opgewekte, woedende elementen, die hij niet meer meester was. Zolang het eschatologisch toekomst-geloof aan een stellig te verwachten einde der tijden van onwankelbare kracht was, deerde alle tijdelijke, aardse ellende minder en konden, desnoods, andere positieve toekomstbeelden worden gemist. Zolang de utopistische toekomst-idee van een andere en betere wereld hier op aarde door en voor de mensen zelve te verwezenlijken, de harten met gloeiende hoop vervulde, werd de overgang van christelijke naar humanistische toekomstbeelden niet in volle omvang beseft. Eerst de vernietiging en negativering van beide soorten positieve toekomstbeelden wekt het crisis-bewustzijn: het geloof van de mens in zichzelf is weggesmolten en er is geen geloof meer in God om als laatste toevlucht op terug te vallen. Gevangen naar de geest is de mens in zijn eigen klem, zonder uitkomst.’ [30, pag. 190-191] 54 In 1892 trouwde Hilbert met zijn jeugdvriendin K¨ athe Jerosch (1864-1945); ze kregen samen een zoon: Franz Hilbert (1893-1969). Franz bleek geestelijk instabiel te zijn. Toen hij een jaar of 25 was werd voor hem een baantje gevonden in een boekwinkel in Frankfurt. Op een avond ontvingen zijn ouders bericht dat hij die dag niet op zijn werk was verschenen, en dat hij zoek was. Richard Courant (1888 - 1972), die bij de familie op bezoek was, bood aan om samen met K¨ athe de trein naar Frankfurt te nemen en naar hem op zoek te gaan. Hilbert vergezelde hen naar het station. Terwijl zij op het station zaten te wachten op de trein ontstond commotie om hen heen en plotseling verscheen Franz, besmeurd met modder en heel opgewonden. Hij had de trein in een dorp dicht bij G¨ ottingen voortijdig verlaten en was naar huis gaan lopen. Hij zei gekomen te zijn om hen te redden van kwade geesten die het op ze hadden gemunt. ‘Ik kan me nog altijd de scene voor de geest halen’, vertelde Courant. ‘Hilbert zei tegen Franz, “Ach, domme jongen, er is niets — er zijn geen geesten en duivels.” Franz werd daardoor nog meer opgewonden. Er werd heen en weer geschreeuwd. Franz bleef ons luidruchtig waarschuwen voor deze onzichtbare wezens die ons kwaad wilden aandoen. Hilbert stond erbij met zijn handen op de tafel en bleef zeggen, “Er zijn geen geesten.” Het was een absurde vertoning.’ Nadat om psychiatrische hulp was gevraagd, kreeg Franz een spuitje, en werd hij in een kliniek opgenomen. Hilberts kille reactie op deze tragische gebeurtenis was dat hij zei dat hij geen zoon meer had. Deze opstelling tegenover hun zoon bemoeilijkte de relatie met zijn vrouw, maar ze bleven ondanks dit toch bij elkaar. Zij bleef van Franz houden, en studenten en collega’s ontdekten al gauw dat een goed woord over Franz genoeg was om haar gunstig te stemmen. [31, blz. 139] 55 Zelfs Erasmus was beducht voor de verjoodsing van kerk en samenleving. Hij noemde Hebreeuws ‘een barbaarse taal’ en beschouwde het jodendom als ‘de meest verderfelijke pest’. [21]

40



Hilbert zelf heeft moeten ervaren hoe cultuur-vernietigend deze razernij te werk ging.56 Al in 1933 verdween de ene na de andere medewerker in G¨ ottingen, veelal door ontslag op basis van nieuwe anti-Joodse wetgeving.

Figuur 20: Bernstein (1878-1956), Landau (1877-1938) en Noether (18821935). In G¨ ottingen werden Felix Bernstein, Edmund Landau en Emmy Noether

Figuur 21: Weyl (1878-1956) en Courant (1882-1935). ontslagen, Hermann Weyl (niet-Joods) vertrok zelf, naar Princeton. [12, 56 145 wiskundigen ontvluchtten Duitsland, 17 werden vermoord, waaronder de eerder genoemde Blumenthal (1876-1944). Hij was een goede vriend van Hilbert. Vanwege zijn Joodse ras werd hij in 1933 in Aachen ontslagen als docent en in 1938 als redakteur van de Mathematische Annalen. Hij week uit naar Delft waar hij korte tijd als tutor werkzaam was aan de TU. Omdat hij slechts ´ e´ en student had was hij afhankelijk van liefdadigheid door het Protestantse Hulpcomit´ e. Tijdens de Duitse bezetting vertrok hij naar Utrecht. In 1943 werden hij en zijn vrouw gearresteerd en naar Westerbork gezonden, waar zijn vrouw stierf. In 1944 werd hij verplaatst naar Theresienstadt; daar overleed hij zes maanden later aan longontsteking, dysenterie en tuberculose. [42]


41


blz. 384]. Richard Courant (wel Joods) was direkteur van het wiskundige instituut, maar in 1933 nog gevrijwaard van ontslag dankzij verrichte militaire dienst in WO I; vanwege het voor Joden ongunstige klimaat week hij uit naar de VS, alwaar hij de stichter werd van het beroemde Courant Institute aan de universiteit van New York. Hilbert was er aldus getuige van hoe degenen die ten tijde van zijn radiorede de ondergang van de cultuur vreesden dit met goede redenen hadden gedaan. Zijn instituut, dat tot 1933 wereldwijd toonaangevend was voor de wiskunde, werd geheel ontmanteld. Toen de minister van Onderwijs hem vroeg ‘En hoe gaat het met de wiskunde in G¨ ottingen, nu ze van de Joodse invloed is bevrijd?’, zei Hilbert ‘Wiskunde in Göttingen, die is er eigenlijk niet meer’ [12, blz. 388]. ‘Toen ik jong was’, zei hij, ‘besloot ik nooit te herhalen wat ik oude mensen hoorde zeggen — hoe goed het verleden was, en hoe slecht het heden. Ik zou dat op mijn oude dag nooit zeggen. Maar nu moet ik wel’ [31, blz. 205].

Slotopmerkingen Eén van de aantrekkelijke dingen van wiskunde is dat men zijn (of haar) gelijk niet haalt door bijvoorbeeld harder te gaan praten, of door middel van een democratische procedure, of eenvoudig door macht. Alleen een formeel bewijs volstaat. Soms is het vinden van zo’n bewijs verre van eenvoudig, en kan het veel tijd en ‘onvermoeide arbeid’ vergen.Ook in de afgelopen decades zijn bewijzen voor een aantal als moeilijk ervaren problemen gevonden, waaronder het vierkleurenprobleem (1977), de oplosbaarheid van lineaire optimalisatie in polynomiale tijd (1979), het vermoeden van Fermat (1995), het vermoeden van Kepler (2002) en dit jaar het vermoeden van Hirsch (2010). Het feit dat moeilijke problemen werden opgelost — zij het soms pas na eeuwen — bracht mensen als Hilbert er toe te denken dat dit uiteindelijk bij elk probleem het geval zou zijn. Anderen beseften dat dit niet waar kon zijn. Brouwer was zo iemand,57 maar om enkele tijdgenoten 57 In [8], het merkwaardige boekje dat Brouwer al op 24-jarige leeftijd publiceerde, leest men in Hoofdstuk 3, onder de titel ‘De val door het Intellekt’: De wetenschap die in en over de aanschouwingswereld generaliserende stellingen opwerpt; die zullen uitkomen, zolang het God behaagt, maar dan gelogenstraft, en ‘O ja, we hadden die en die stilzwijgende veronderstelling gemaakt’, zo roepen de mensen, en gaan de stelling compliceren en zogenaamd verbeteren, maar even machteloos”.[12, blz. 71] en ‘De verlegenheid van elke wetenschap wordt dan ook altijd door grooter; klimt ze te hoog, dan wordt ze gemaskeerd door n´ og beperkter opsluiting, waar de herinnering van die

42



van Brouwer te noemen, ook bijvoorbeeld Wittgenstein,58 Gödel59 en ook wetenschap als iets zelfstandigs buiten zich aanschouwd wordt; men gaat de “grondslagen” dier wetenschap zoeken, wat dra een nieuwe wetenschap wordt; men gaat de grondslagen der wetenschap in ’t algemeen zoeken, beoefent “kennis-theorie”, maar steeds klimt de verlegenheid, tot alle koppen omloopen.’ 58 Wittgenstein stelde in de Tractatus [50] dat zelfs als alle mogelijke wetenschappelijke vragen zijn beantwoord, de levensproblemen nog niet zijn aangeroerd (Stelling 6.52) en ook ‘Er bestaan stellig onuitsprekelijke zaken. Dit toont zich, het is het mystieke’ (Stelling 6.522). Om ruimte te scheppen voor deze opvatting stelde hij aan het begin van de Tractatus dat ’De wereld is alles, wat het geval is’, waarmee hij het onderzoeksveld van de wetenschap, de wereld, beperkt tot het zintuigelijk waarneembare deel van de werkelijkheid. Het belangrijkste deel van de werkelijkheid ligt buiten het bereik van de wetenschap, daarom moet de wetenschap zwijgen over dat waarover zij niet kan spreken (Stelling 7). Toen hij een uitgever zocht voor de Tractatus schreef hij dat zijn werk uit twee delen bestond, waarvan hij deel II niet had geschreven, maar dat dat het belangrijkste deel was. Zou hij het ooit hebben geschreven dan zou Stelling 1 daarin waarschijnlijk hebben geluid: ’Hoe alles gesteld is, is God. God is hoe alles gesteld is’ [25, blz. 145]. Hij was allerminst verbaasd over G¨ odel’s resultaat. Voor hem was het triviaal [17, blz. 69]. 59 ‘G¨ odel placht te zeggen dat de wiskunde en het menselijk denken onuitputtelijk zijn.’ Zie [12, blz. 380] en [17, blz. 115]. In brieven aan zijn moeder [17, blz. 143-144] schrijft hij in augustus 1961, vanuit Princeton,

‘Ik geloof dat in de religie, al is het dan niet in de kerken, veel meer redelijkheid steekt, dan men gewoonlijk gelooft.’ en in september,

‘. . . wel 90% van de huidige filosofen ziet hun voornaamste taak daarin, dat ze de mensen de religie uit het hoofd moeten slaan, . . . ’ Nog weer later, in oktober van hetzelfde jaar,

‘Men is er natuurlijk tegenwoordig nog ver van verwijderd om het theologisch wereldbeeld wetenschappelijk te kunnen funderen, maar ik geloof dat het vandaag de dag al mogelijk is zuiver verstandelijk (zonder te steunen op het geloof van welke religie dan ook) om in te zien dat de theologische wereldbeschouwing met alle bekende feiten (inclusief de toestanden die op onze aarde heersen) helemaal verenigbaar is. Dat heeft al 250 jaar geleden de beroemde filosoof en wiskundige Leibniz geprobeerd te doen, en dat is wat ik ook in mijn laatste brieven heb getracht. Wat ik een theologische wereldbeschouwing noem, is de voorstelling dat de wereld en alles daarin zin en rede heeft en wel een goede en ontwijfelbare zin. Daaruit volgt ogenblikkelijk dat ons aardse bestaan, dat op zichzelf maar een hoogst twijfelachtige zin heeft, slechts een middel kan zijn met als doel een ander bestaan. De voorstelling dat alles in de wereld een zin heeft, is overigens precies analoog aan het principe dat alles een oorzaak heeft, waarop de hele wetenschap berust.’


43


Niels Bohr (1885-1962),60 Zij gebruikten uitdrukkingen als ‘onuitputtelijk’ en ‘onuitsprekelijk’ om aan te geven dat er dingen zijn die buiten het onderzoeksveld van de wiskunde en wetenschap liggen. Gödel bijvoorbeeld zei dat de wiskunde en wetenschap onuitputtelijk zijn, en Wittgenstein stelde in wezen hetzelfde door te zeggen dat er onuitsprekelijke dingen zijn die zich tonen in bijvoorbeeld de mystiek. Het hing voor hen samen met het bewustzijn dat de werkelijkheid meer omvat dan de voor ons zichtbare dingen.61 Dit besef, dat dominant was bij hen die aan de wieg stonden van de Westerse wetenschap, is met name in de tweede helft van de vorige eeuw onder vuur komen te liggen.62

60 ‘De grote fysicus Niels Bohr zei: “Je moet onderscheiden tussen een eenvoudige en een diepe waarheid. Een eenvoudige waarheid is een vaststelling waarvan het omgekeerde duidelijk een onjuistheid is. Een diepe waarheid daarentegen is een vaststelling waarvan het tegendeel ook een diepe waarheid is” (. . . ) Om een zaak tot een goed einde te brengen, om van een eerste idee tot een resultaat te komen moet men tijdelijk oogkleppen opzetten, moet men zich beschermen tegen de verleiding door andere zaken, want anders komt men er beslist niet uit. En deze grote concentratie staat dan andere dingen in de weg. Aan de andere kant is het een even diepe waarheid dat een goede onderzoeker zijn oogkleppen af moet kunnen zetten, dat hij flexibel moet kunnen zijn en dat hij open moet staan voor nieuwe dingen, nieuwe denkbeelden en onverwachte verschijnselen.’ Hendrik Casimir, geciteerd in [43]. 61 Op 31 augustus 1924 schrijft Brouwer aan zijn jonge collega Alexandrov, naar aanleiding van het onverwachte overlijden van diens jonge vriend en collega Uryson, het volgende: ’Ik heb Uw beide brieven ontvangen en ik ben in gedachten voortdurend bij U. Toch zal ik niet in overeenstemming met Uw uitspraak bidden dat U geen lang leven zult hebben. Ten eerste, omdat wij niet vanwege objectieve gebeurtenissen, maar alleen om de verheldering van ons plichtsbewustzijn en om kracht tot het dragen van de ons opgelegde beproevingen mogen bidden. Ten tweede, omdat ons aardse bestaan ons uitsluitend geschonken wordt ter loutering van onze ziel van de erfzonden der vrees en begeerte en omdat het naar de vervulling van de voor dit doel benodigde tijdspanne is, dat de levensduur van de rechtvaardige gemeten wordt. Juist daarom heeft de dood van een rechtvaardig mens voor hem zelf altijd het karakter van een vervulling, een bevrijding, en een verlossing, en moeten wij hem na zijn dood slechts onze liefde, en niet ons medelijden schenken, en zeker dan niet, wanneer zijn stervensovergang een lichte was. En voor de treurende achtergeblevenen geldt het volgende: iedere smart heeft voor het hart, dat deze voelt, zijn louterende betekenis en in de dagen van de smart is het vaak gemakkelijker dan in de dagen van blijdschap zich Gods nabijheid bewust te worden, omdat de smart, om in rust gedragen te worden tot ontmaterialisering dwingt’. [12, blz. 282] 62 De Nobelprijswinnaar dr. Simon van der Meer, die in Delft Natuurkunde studeerde, zei het in een interview zo (NRC-Handelsblad, 18 april 1987): Je moet als fysicus een gespleten persoonlijkheid hebben om nog in een god te geloven. Zoeken naar religieuze verklaringen is het probleem verplaatsen [6, pag. 35].

44



Hoe anders was dat bij bijvoorbeeld Van Ceulen.63 In het voorwoord van zijn eerder genoemde boekje [10] memoreert hij de woorden die God tot Adam sprak: ‘In ’t Zweet uws aenschijns zuldy u Broodt eten’, en verderop: Alsoo heeftet den almachtighen Godt belieft / oock mijn de Schuppe inde handt te gheven / om de selve te ghebruycken tot mijn beroup / d’welck is . . . de konste van Meten ende Tellen . . . in welcke ick het mijne ghedaen hebbe / ende daer inne soo vele gevordert / als den almachtighen Godt belieft / ende syn ghenade verleent heeft/

Bij lezing van zijn boekje blijkt dat dit geen loze woorden zijn. Hij dankt God als hij weer eens een nieuwe wiskundige methode heeft ontdekt, en geeft Hem de eer. Als hij een probleem (nog) niet weet op te lossen betuigt hij zijn afhankelijkheid van en hoop op Gods genade. De daarmee gepaarde gaande bescheidenheid is op onnavolgbare wijze tot uitdrukking gebracht door Newton, in het beroemde citaat: Ik weet niet wat ik de wereld moge toeschijnen, maar mijzelf kom ik alleen maar voor te zijn geweest als een jongen die op het strand aan zee speelt en dan zich ermee vermaakt af en toe een gladdere steen of een fraaiere schelp te vinden dan gewoon, terwijl de grote oceaan der waarheid nog helemaal onontdekt voor me lag.64

Hoe komt het dat in een periode van niet meer dan 500 jaar het geloof in de God van Israël van het publieke terrein verdrongen is? Ik acht mij niet competent deze vraag te beantwoorden, maar verwijs graag naar een recent boek van de gezaghebbende filosoof Charles Taylor [45].65 Toch waag ik het om er iets over te zeggen omdat het waarschijnlijk alles te maken heeft met het onderwerp van deze rede. In het licht van de eerder genoemde uitspraak van Huizinga ‘Cultuur moet metaphysisch zijn, of zij 63 Van Ceulen overleed op 31 december 1610. Ter nagedachtenis aan hem werd deze week in Leiden een symposium gehouden onder de titel ’Mathematical Life in the Dutch Republic’. 64 De vertaling is van Cohen [11, blz. 35], zij het dat het woordje ‘al’ in zijn vertaling is vervangen door ‘nog helemaal’. Desgevraagd erkende Cohen, hoewel aarzelend, dat dit ook een aanvaardbare vertaling oplevert. 65 De centrale vraag in Taylor’s boek is: hoe is de evolutie te verklaren van een maatschappij waarin het praktisch onmogelijk was niet in God te geloven, naar een maatschappij waarin dat wel perfect mogelijk is, waarin het geloof zelfs niet langer evident is, en waarin het – indien het er nog is – de vorm aanneemt van ‘spiritualiteit’.


45


zal niet zijn’ zou wat Hilbert overkwam voor ons wel eens als een baken in zee kunnen zijn.66 Tot de Verlichting werd het denken bepaald door het geloof in God, als Schepper en Onderhouder van de werkelijkheid waarin wij leven. Het geloof, als vaste grond der dingen die men ziet, was bewijs der zaken die men niet ziet.67 Tijdens de Verlichting ontstond de idee dat we het van de rede (en niet van het geloof) moeten hebben bij de zoektocht naar het wezen der dingen. De vooruitgang in wetenschap en techniek, en de daarmee samenhangende toename van welvaart versterkten dit idee. Hierdoor werd het besef van afhankelijkheid van God in denken en leven steeds minder. Het geloof in een andere werkelijkheid dan de onze, en een God door Wie wij en alle dingen bestaan, kalfde af.68 Wat overbleef was een gesloten werkelijkheid waarin de mens is aangewezen op zichzelf, met wetenschap en techniek als hoofdmiddelen om het leven in stand te houden en te veraangenamen. Dit alles onder de aanname dat de wetenschap ons zekere, volstrekt betrouwbare kennis zou bieden.69 66 Veel hedendaagse idealen zijn, in Huizinga’s terminologie, van het soort dat reeds de holbewoner kende: ‘De termen, die alle hedendaagsche cultuurstreven verbinden, zijn enkel te vinden in de reeks: welstand, macht, veiligheid (ook vrede en orde vallen daaronder), alles idealen meer geschikt om te verdeelen dan om te vereenigen, en alle terstond voortvloeiend uit het natuurinstinct, onveredeld door den geest. Reeds de holbewoner kende deze idealen. [20, 35-36]. Van Deursen zei in 1994, in zijn Huizingalezing: ‘Cultuur is beheersing van de natuur. Ook wie een gunstig oordeel heeft over de hedendaagse samenleving, zal niet kunnen beweren dat haar kracht gelegen is in de deugd van de zelfbeheersing. Ze is niet toegankelijk voor Huizinga’s boodschap dat de individuele mens radicale ondeugden in zichzelf moet bevechten en overwinnen, zeker niet wanneer die ondeugd als onkuisheid benoemd wordt. Jongeren zullen nauwelijks nog weten wat dat eigenaardige woord betekent. Wij kennen niet langer een ethiek van onthouding en verbod. Het tijdstip zal weldra aanbreken waarop de grens tussen goed en kwaad volledig beschreven kan worden met het ene zinnetje: Verboden te roken.’ [15, blz 260] 67 Hebree¨ en 11:1. 68 In een interview met de politicus Hans van Mierlo (1931-2010), opnieuw uitgezonden op 18 maart 2010, de dag van zijn begrafenis, werd dit proces als volgt door hem verwoord: ‘De kracht van een Katholieke gemeenschap, en van iedere religieuze gemeenschap, dat is de veiligheid die het gevoel geeft dat je allemaal op dezelfde God afkoerst. En die veiligheid valt natuurlijk weg als je ineens bedenkt, eerst met grote schrik en dan steeds meer onontkoombaar denkt, maar het is gewoon niet waar! . . . (lange pauze). En dan wordt alles toch lastiger, eigenlijk. De richting is weg . . . .’ 69 ‘Ziehier het centrale moment der beschavingscrisis: het conflict tussen kennen en bestaan. Nieuw is het niet. De principie¨ ele ontoereikendheid van onze kennis is al in de vroege dagen der wijsbegeerte begrepen. De werkelijkheid waarin wij leven, blijft in de grond onkenbaar, niet te benaderen met de middelen van de geest, volstrekt verscheiden van het denken. In de eerste helft der negentiende eeuw is deze oude waarheid,

46



Het christelijk geloof bood een totale visie op de wereld en het leven, inclusief het sterven. Van de wetenschap werd dat ook verwacht. Het zoeken naar een allesomvattende theorie voor de natuurkunde is lange tijd het ideaal geweest. Dit ideaal wordt door sommigen nog steeds aangehangen, door anderen betwijfeld. In feite is dit ideaal vergelijkbaar met Hilbert’s programma voor de wiskunde. Inmiddels zijn wij er wel achter gekomen dat de wereld ingewikkelder in elkaar zit dan gedacht. Maar er is nog geen G¨ odel in de natuurkunde opgestaan. Wellicht daardoor leeft de hoop op een ‘volledige’ natuurkunde nog steeds.70 Wel zijn er geheimen in de 3-dimensionale wereld om ons heen die er blijk van geven dat onze wereld niet meer is dan een projectie van een hoger-dimensionale werkelijkheid.71 Het mag opmerkelijk heten dat voor de verklaring van ‘onze’ werkelijkheid een theorie nodig blijkt te zijn die zich baseert op ‘zaken die niet gezien worden’.72 Is dit niet een bewijs dat het ‘gesloten wereldbeeld’ dat reeds door een Nicolaas van Cusa (1401 – 1464, CR) geweten, weer opgenomen door Kierkegaard, en als tegenstelling van existentie en denken in het midden van zijn beschouwing geplaatst. Zij strekte hem enkel tot dieper fundering van zijn geloof. Eerst die na hem kwamen, en onafhankelijk van hem een soortgelijk pad gingen, bogen de gedachte af van haar richting op God, en lieten haar verzanden ` of in nihilisme en vertwijfeling ` of in een cultus van het aardse leven.’ [20, pag. 86 – 87] 70 Het laatste boek van Stephen Hawkins (en Leonard Mlodinow) is een nieuwe mijlpaal in de zoektocht naar de Heilige Graal, een theorie van alles die de quantum mechanica en de relativiteitstheorie unificeert: “M-theory, they conclude, is the Grand Design that scientists have been seeking. Furthermore, it provides a better answer to the key question of existence - why our universe behaves as it does - than either religion or philosophy can.”[18] 71 In de moderne physica zoekt men naar een unificerende theorie voor alle elementaire deeltjes. Er wordt daarbij gebruik gemaak van het begrip supersymmetrie. Supersymmetrie kan echter alleen bestaan als de ruimte 10-dimensionaal is [27]. Het is opvallend dat deze theorie gebruik maakt van objecten buiten de voor ons waarneembare werkelijkheid. Objecten dus die onzichtbaar zijn, niet omdat ze te klein zijn om gezien te worden onder de beste microscopen, maar die niet te zien zijn omdat ze buiten onze 3-dimensionale werkelijkheid liggen; zij zullen dus nooit door een mens gezien worden. Voor een wiskundige hoeft dit niet heel verrassend te zijn. Het betekent dat de werkelijkheid waarin wij leven een deelruimte (lineair of niet-lineair) is van een grotere, hoger-dimensionale werkelijkheid; doordat onze zintuigen niet buiten onze eigen werkelijkheid kunnen waarnemen zijn alle ‘dingen’ daarbuiten onzichtbaar. Interessant is in dit verband het volgende citaat van Brouwer: ‘. . . dat de fysicus zich slechts met de projecties der verschijnselen bezighoudt, . . . ’.[12, blz. 89]. 72 Het is intrigerend om te filosoferen over de mogelijkheden die een 4- of hogerdimensionaal wezen heeft ten opzichte van wezens in een 3-dimensionale wereld. Het boekje Flatland van Edwin Abbott Abbott kan daarbij helpen [1]. In dit boekje beschrijft de auteur hoe iemand uit een denkbeeldige 2-dimensionale wereld in contact komt met


47


de wetenschap doorgaans hanteert onvoldoende is om onze werkelijkheid wetenschappelijk te verklaren? Dit brengt ons dicht bij wat Gödel bewees voor de wiskunde. Het brengt mij er toe meer in het algemeen te concluderen dat wanneer we proberen de (of een deel van de) werkelijkheid tot op de bodem te begrijpen, wat Hilbert voor de wiskunde wilde doen, we op een grens stuiten. Op deze grens, waar volledigheid of consistentie van het denken afwezig blijkt, doemt de verwarring op die een wetenschapper slapeloze nachten kan bezorgen.73 Mijns inziens beschrijven de eerste hoofdstukken van het boek Genesis de oorzaak van deze verwarring. Sinds de mens verdreven is uit het paradijs, met daarin de boom der kennis (van wat goed is en wat niet), wordt de toegang tot het paradijs geblokkeerd (zie Gen. 1-3). Ik besef dat een dergelijk inzicht geloof vereist in de Onzienlijke. Maar hoe dan ook, de huidige stand van zaken in de natuurwetenschap heeft duidelijk gemaakt dat een verklaring van onze werkelijkheid niet mogelijk is zonder aan te nemen dat er ‘onzienlijke’ dingen zijn, dingen die bestaan buiten onze (waarneembare) werkelijkheid. Dat recente ontwikkelingen in de natuurwetenschap het gesloten 3-dimensionale wereldbeeld als het ware openbreken is van formidabele betekenis en zou moeten leiden tot een andere visie op het leven, ofwel een ander levensbeginsel. Huizinga wees in zijn tijd ook op de noodzakelijkheid daarvan. Daarbij prees hij gelukkig degenen voor wie dat beginsel slechts de naam kan dragen van Hem die sprak: “Ik ben de weg, en de waarheid, en het leven”.74

een 3-dimensionaal wezen, en daarbij uit zijn eigen wereld wordt gehaald. Het blijkt een ongelooflijk indrukwekkende ervaring te zijn; terug in zijn eigen wereld is hij er zo vol van dat het onmogelijk is om erover te zwijgen. Hij wordt echter niet begrepen, voor gek verklaard, en vervolgens opgesloten. 73 Denk aan de eerder geciteerde Frege. Toen het Russell overkwam voelde hij zich beledigd om als volwassen man gedwongen te worden om zijn tijd te verspillen aan trivialiteiten [41, blz. 147]. 74 ‘De verheerlijking van het leven zal men een weinig moeten dooven. Men zal zich moeten herinneren, hoe reeds Plato de werkzaamheid van den wijze beschreef als een bereiding tot den dood. Een vaste ori¨ enteering van levensleer en levensgevoel op den dood verhoogt het recht gebruik van de levenskrachten. De nieuwe askese zal een overgave, moeten zijn. Overgave aan dat wat als hoogste te denken valt. Dat kan Staat of volk of klasse evenmin zijn als het eigen persoonlijk bestaan. Gelukkig zij, voor wie dat beginsel slechts den naam kan dragen van Hem die sprak: ”Ik ben de weg, en de waarheid, en het leven”.’ [20, pag. 226]. Deze woorden zijn mijns inziens 75 jaar nadat ze werden geschreven nog steeds van grote betekenis.

48



Nu mijn antwoord op de vraag ‘Komt onvermoeide arbeid alles te boven?’ Het aan Vergilius ontleende motto van het Wiskundig Genootschap heeft velen gestimuleerd om prachtige dingen te ontdekken, inclusief mijzelf. Maar dat heeft ook geleid tot de vaststelling dat vanwege de ‘onuitputtelijkheid’ (of ‘onvolledigheid’) van de wiskunde onze arbeid niet ‘alles’ te boven kan komen. En dat geldt mijns inziens niet alleen de wiskunde, maar alle wetenschappen: alle wetenschappen lijden aan het euvel onvolledig te zijn. Het diepste wezen van de dingen ligt achter een grens die wij niet kunnen overschrijden. Die grens is alleen overschreden door Jezus Christus. Door Zijn ‘onvermoeide arbeid’, gedreven door peilloze liefde, mogen ook wij leven in het vooruitzicht alles te boven te zullen komen. De weg die Hij ons wijst is kernachtig weer te geven door een andere spreuk van Vergilius: ‘Omnia vincit amor’, oftewel ‘Liefde komt alles te boven’.

Dankwoorden Veel heb ik te danken aan de auteur van Brouwer’s biografie [12], Dirk van Dalen. Doordat alleen Brouwer’s rol in de grondslagenstrijd aan de orde kwam zijn veel kanten van deze uitzonderlijke wiskundige zwaar onderbelicht gebleven. Om dit enigszins goed te maken voeg ik nog enkele voetnoten toe. Allereerst een brief van Korteweg, Brouwer’s promotor, waarin deze reageert op [8].75 Vervolgens een opmerking over vrije economie in een bespreking van het boek De blijde wereld van Frederik van Eeden,76 en tenslotte een brief aan zijn vriend Adama van Scheltema.77 Hetzelfde 75 ‘Waarde

Brouwer, Dat ik belang in u stel en daarom de toezending van uw werkje apprecieer, daarin vergist ge u zeker niet. Of ik het lezen zal? Ik bladerde het door, maar het is niet de lectuur die ik wens of die goed voor mij is. Het is waar dat er vlak naast ons van die peilloze afgronden zijn, maar ik houd er niet van op de rand daarvan te wandelen. Het maakt mij duizelig en minder bekwaam voor wat ik te doen vind. Of het goed voor u is betwijfel ik. Zoveel is zeker, dat ik u liever op andere paden wandelen zie, al valt het mij ook daar soms moeilijk u te volgen, waar gij zo diep door het principi¨ ele vaart. Met vriendschappelijke groet, Uw D.J. Korteweg’ [12, blz. 73] 76 ‘De economische vrije toestand is zonder een ethische, onstandvastig en stort in bij het eerste conflict; bovendien blijkt het vormen van een economische vrijheid steeds nog een dwaling, en kunnen niet-ethische vrije medewerkers die nooit vormen. Een kwade vader slaat zijn kind; de vader te verbeteren, door het kind te verdoven en dus de pijn weg te nemen, blijkt hopeloos.’ [12, blz. 66] 77 In deze brief, dd. 7 november 1911, toont Brouwer de betrekkelijkheid van wiskundige roem en van het wetenschappelijk milieu te ervaren: ‘Ofschoon ik tegenwoordig


49


geldt voor G¨ odel. In zijn geval heb ik vooral gebruik gemaakt van [17] en [48]. In veel opzichten verschilde hij van Brouwer.78 Toen zij elkaar een keer ontmoetten in de VS bleek het tussen hen niet te klikken.79 Bekend is dat G¨ odel wel een zeer vertrouwelijke omgang had met Einstein.80 Dankbaar ben ik voor de lange tijd die ik aan deze universiteit verbonden mocht zijn. Dankbaar voor de altijd plezierige contacten met collega’s en studenten. Dankbaar voor de ondersteuning van technische medewerkers en secretaressen. Dank ook aan het bestuur van de Leidse Universiteit dat mij in 1998 een bijzonder hoogleraarschap gunde en aan het bestuur van de Delftse Universiteit waar ik in 2002 een benoeming tot hoogleraar ontving. Ik heb me wel eens schuldig gevoeld over mijn geringe belangstelling (en inzet) voor bestuurlijke kwesties. Het zij mij vergeven. Overigens heb ik in die enkele gevallen dat een beroep op mij werd gedaan, mij niet onttrokken. Het troost mij te bedenken dat mensen als Wittgenstein en Gödel zich op dit punt ook niet hebben onderscheiden. Ik herken mij in de regels waarmee tamelijk vruchtbaar ben, en mij langzamerhand enige internationale naam en nijd heb verworven, moet je van mijn werk geen al te serieuze indruk krijgen. Want ik heb nog altijd de intieme zekerheid, dat Wiskundig talent gelijkwaardig is met abnormale ontwikkeling van de grote teennagel. Wel speel ik op congressen voor de pausen der wetenschap de rol van enthousiaste vaandrig, maar als ik in gedachtenrijke gesprekken ‘mit flammender Begeisterung’ de verschieten schilder, die mijn werk bezielen, laaft intussen mijn schijnbaar zo geabsorbeerde blik zich aan de monomanie hunner gelaatsuitdrukkingen, en ziet in sommige troosteloos gevangen helden, in anderen gifmengende kobolden, en in de laatsten de ongekende beulen der eersten. En terwijl ik fysiek doortrokken ben van het gevoel, in de hel te zijn, stralen mijn ogen in sadistische wellust van sympathie. Mijn productiviteit zal dan ook nooit een grootse schepping brengen, want ze wordt uitsluitend bevrucht door spotzieke ontleding van het bestaande. Geen der vakgenoten zal dit echter doorgronden, hoewel het enkelen op den duur bij mij onaangenaam te moede wordt, die gaan dan rond, en spreken kwaad.’ [12, blz. 266] 78 Zo gemakkelijk als Brouwer was in de omgang [en heel charmant volgens mw. W. Loonstra-Verdenius, die hem heeft gekend, CR], zo introvert en schuw was G¨ odel. [12, blz. 475] 79 Na een ontmoeting in Princeton schreef G¨ odel aan zijn moeder: ‘. . . er was ook nog een professor uit Holland op bezoek, een beroemde man, die veel met mijn specialisatie te doen had. Ik moest hem daarom wel uitnodigen. Hij is al 72 jaar en niet meer op de hoogte. Zijn voordrachten hebben niet veel bijval gevonden (en terecht). Hij is kennelijk slechts naar Amerika gekomen om geld te verdienen’. [12, blz. 475] 80 ‘The one man who was, during the last years, certainly by far Einstein’s best friend, and in some ways strangely resembled him most, was Kurt G¨ odel, the great logician. They were very different in almost every personal way — Einstein gregarious, happy, full of laughter and common sense, and G¨ odel extremely solemn, very serious, quite solitary, and distrustful of common sense as means to arriving at the truth. But they shared a fundamental quality: both went directly and wholeheartedly to the questions at the very center of things.’ [48, blz. 54]

50



Ludolph van Ceulen zijn boekje ‘Van den Cirkel’ afsloot:81 Ich thu dat meine, Soo viel mijr God bescheert, Ein ander thu dat seine, Soo wirdt de Const ghemheert.

Nu ik, gedwongen door mijn leeftijd, vanaf 1 mei 2011 in een andere verhouding tot de TU Delft kom te staan, realiseer ik me het contact met studenten en collega’s erg te zullen gaan missen. Maar het geeft voldoening dat na mijn emeritaat in 2006 de leiding van de basiseenheid Algoritmiek in goede handen is bij prof. Cees Witteveen, en dat bij Wiskunde een nieuwe leerstoel Optimalisering is ingericht die sinds september 2008 wordt bezet door prof. Karen Aardal. Ik wens jullie beiden gaarne en van harte veel goeds toe voor de toekomst. Wetenschap bedrijven in een gebied waarin zich een ware revolutie voltrekt vergt een meer dan nominale inzet. Daarvoor is een stabiele en ondersteunende thuisbasis onontbeerlijk. Gerda, die heb jij geboden, met zoveel andere ‘onuitsprekelijke’ dingen. Jacoline en Richard, Geranda en Aldert, en Marijn, dank ook voor jullie meeleven en begrip voor een vaak afwezige (schoon)vader. Graag noem ik hier ook onze kleinkinderen, Manisha, Nanda en Liz; zoals eerder onze kinderen een verrassende verrijking aan het leven gaven, zo geven zij dat nu. Tot slot, Huizinga hield rekening met de mogelijkheid dat men hem op grond van zijn boek [20] een pessimist zou noemen. Daarom schreef hij in het voorwoord: ‘Ik heb slechts dit te antwoorden: ik ben een optimist.’ Dat ben ik ook. Uiteindelijk zal het zeker goed komen. Dankzij de onvermoeide arbeid van Hem die bezongen wordt in een prachtige hymne van William Y. Fullerton (1857-1932): I cannot tell how all the lands shall worship, when, at His bidding, every storm is stilled, or who can say how great the jubilation when every heart with perfect love is filled. But this I know, the skies will thrill with rapture, and myriad, myriad human voices sing, 81 Het woord ‘Const’ gebruikt Van Ceulen vaak voor wetenschap. In hedendaags nederlands luidt het gedicht (met dank aan dr. B. Hofman):

Ik doe het mijne, zoveel als God mij daartoe in staat stelt, Een ander doe het zijne, zo wordt de wetenschap vermeerderd.


51


and earth to heaven, and heaven to earth, will answer: ’At last the Savior, Savior of the world, is King!’

Dames en heren, ik dank u voor uw komst en voor uw aandacht. Ik heb gezegd.82

82 Met dank vermeld ik de namen van hen die mij hielpen tijdens het schrijven van deze rede en bij het samenstellen van de stamboom van wiskundigen in Delft, door commentaar te leveren op eerdere versies, het aanreiken van interessante referenties en gegevens over namen in de stamboom, etc.: prof.dr. Floris Cohen, prof.dr. Dirk van Dalen, prof.dr. Gerrit van Dijk, prof.dr. Jacques Dreze, dr. K.P. Hart, dr. Bert Hofman, prof.dr. Jan Hogendijk, Jos Knulst, drs. Jaap Kruidenier, Mw. W. LoonstraVerdenius, ir. Dick Mensch, ir. Arjen Tjallema, prof.dr. Arie de Reuver, dr. Herman te Riele, prof.em.dr. Jan Roegiers, Gerda Roos, Carl Schneider ing., dr. Hans J. Visser en prof.dr. Herman van der Wee.

52



Referenties

[1] Edwin Abbott Abbott. Flatland. A Romance of many dimensions. Veen Magazines B.V., Diemen, NL, 2008. Eerste uitgave in 1884. Opnieuw uitgegeven ter gelegenheid van het vijfde Europese Wiskunde Congres in Amsterdam, met een voorwoord van prof.dr. A. Schrijver. [2] Jeremy Avigad. G¨ odel and the metamathematical tradition. 2007. See http://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/goedel.pdf. [3] P.C. Baayen. “Wiskundig Genootschap”1778-1978: some facts and figures concerning two centuries of the Dutch Mathematical Society “Een onvermoeide arbeid komt alles te boven”. Nieuw Archief voor Wiskunde, XXVI(3):177–205, 1978. [4] A. Ben-Tal, L. El Ghaoui, and A. Nemirovski. Robust Optimization. Princeton Series in Applied Optimization. Princeton University Press, Princeton, USA, 2009. [5] A. Ben-Tal and A. Nemirovski. Lectures on Modern Convex Optimization. Analysis, Algorithms, Engineering Applications. MPS-SIAM Series on Optimization. SIAM, Philadelphia, USA, 2001. [6] A. van den Beukel. De dingen hebben hun geheim. Uitgeverij Ten Have b.v., Baarn, NL, 1990. [7] D. Blatner. The joy of π. Penguin Books, London, England, 1997. [8] L.E.J. Brouwer. Leven, Kunst en Mystiek. J. Waltman Jr., Delft, 1905. [9] L.E.J. Brouwer. Over de grondslagen der wiskunde. PhD thesis, Universiteit van Amsterdam, Amsterdam, NL, 1907. In 1981 opnieuw uitgegeven door het Mathematisch Centrum te Amsterdam, onder redactie van D. van Dalen. [10] Ludolph van Ceulen. Van den Circkel. Jan Andrieszoon, Boeckvercooper, Delft, 1596. Ik citeer uit de transcriptie van Marloes Bazeliet et al., die te vinden is op http://www.ludolphvanceulen.nl/site/vandencirckel.php. [11] Floris Cohen. Isaac Newton en het ware weten. Bert Bakker, Amsterdam, 2010.


53


[12] D. van Dalen. L.E.J. Brouwer, 1881–1966. Een biografie. Het heldere licht van de wiskunde. Uitgeverij Bert Bakker, Amsterdam, 2001. [13] John W. Dawson Jr. Logical dilemmas: The life and work of Kurt G¨ odel. A K Peters Ltd., Wellesley, MA, USA, 2005. [14] D. den Hertog and C. Roos. A survey of search directions in interior point methods for linear programming. Mathematical Programming, 52:481–510, 1991. [15] A. Th. van Deursen. In gemeenschap met de tijd. Uitgeverij Bert Bakker, Amsterdam, 1997. [16] Saul Friedlander. Nazi-Duitsland en de Joden. Deel I: De jaren van vervolging 1933-1939; Deel II: De jaren van vernietiging 1929-1945. Nieuw Amsterdam, Amsterdam, NL, 2007. [17] Gianbruno Guerrerio. G¨ odel. Mathematische waarheid en logische paradoxen. Natuur & Techniek, onderdeel van Veen Magazines, Amsterdam, 2004. Oorspronkelijke titel: Kurt G¨ odel - i grandi della scienza. Vertaling en bewerking: Jan Willem Nienhuys. [18] S. Hawkins and L. Mlodinow. The Grand Design. Bantam Books, New York, 2010. [19] Jan Hogendijk. Ludolph van Ceulen en zijn boek Van den Circkel, schermutselingen rond het getal π. Dit artikel is te downloaden van de site http://www.jphogendijk.nl/publ/Ceulenboek.pdf. [20] J. Huizinga. In de schaduwen van morgen. Een diagnose van het geestelijk lijden van onzen tijd. H.D. Tjeenk Willink & Zoon N.V., Haarlem, 1935. Vierde herziene druk. [21] H. Jansen. Protest Erasmus tegen renaissance van Hebreeuwse literatuur. Groen, Heerenveen, NL, 2010. [22] Samuel D. Kassow. Wie schrijft onze geschiedenis. Het dramatische verhaal van het verborgen archief uit het getto van Warschau. Uitgeverij Balans, Amsterdam, NL, 2007. [23] Kelly Monroe Kullberg. Finding God at Harvard. Zondervan Publ. House, Grand Rapids, Michigan, USA, 2007. Revised edition. [24] F. Loonstra. Leven met Wiskunde. Delft University Press, Delft, 1980. [25] Ray Monk. Ludwig Wittgenstein. Het heilig moeten. Een biografie. Prometheus, Amsterdam, 1991. [26] J. Moree, P. Moree, and L. Roobol. Wiskundige voorouders. Nieuw Archief voor Wiskunde, 5(2):146–147, 2001. [27] George Musser. Extra dimensions. Scientific American, 302(6):39, 2010.

54



[28] Isaac Newton. The Prophecies of Daniel and the Apocalypse. Printland Publishers, Hyderabad, India, 1998. [29] R.M.Th.E. Oomes, J.J.T.M. Tersteeg, and J. Top. Het grafschrift van Ludolph van Ceulen. Nieuw Archief voor Wiskunde, 1:156–161, 2000. [30] Fred L. Polak. De toekomst is verleden tijd. Cultuur-futuristische verkeningen. Deel II: De toekomst-beeldenstorm. Verblinde afbraak der cultuur. Uitgeversmaatscappij W. de Haan N.V., Utrecht, 1955. [31] Constance Reid. Hilbert. Springer-Verlag, Berlin, 1970. [32] C. Roos. On t−constant codes and designs. IEEE Transactions on Information Theory, IT–27:640–643, 1981. [33] C. Roos. A generalization of the BCH bound for cyclic codes, including the Hartmann-Tzeng bound. Journal of Combinatorial Theory (Series A), 33:229–232, 1982. [34] C. Roos. A new lower bound for the minimum distance of a cyclic code. IEEE Transactions on Information Theory, IT–29:330–332, 1983. [35] C. Roos. A new trajectory following polynomial–time algorithm for the linear programming problem. Journal of Optimization Theory and its Applications, 63:433–458, 1989. [36] C. Roos. Modelleren en Optimaliseren met Wiskunde. Beoefening van Wiskunde in het Spoor van Newton. University of Leiden, Leiden, The Netherlands, 1999. Inaugural speech (in Dutch). [37] C. Roos. De tijd zal het leren (in Dutch). Nieuw Archief voor Wiskunde, 5.5(3):186–202, 2004. [38] C. Roos, Y. Bai, and D. Chaerani. Robust electrical network topology design by conic optimization, 2003. OPTE. [39] C. Roos, T. Terlaky, and J.-Ph. Vial. Theory and algorithms for linear optimization. Springer, Chichester, UK (1st Edition, Theory and Algorithms for Linear Optimization. An Interior-Point Approach. John Wiley & Sons, 1997), 2005. [40] C. Roos and J.-Ph. Vial. A polynomial method of approximate centers for the linear programming problem. Mathematical Programming, 54:295–306, 1992. [41] Bertrand Russell. The Autobiography of Bertrand Russell (3 vols.). Allen & Unwin, London, UK, 1967-1969. [42] R. Siegmund-Schultze. Mathematicians fleeing from Nazi Germany. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 2009. [43] H. Snijders and D. Jacobs. Innovatieroutine: hoe managers herhaalde innovatie kunnen stimuleren. Koninklijke Van Gorcum BV, Assen, NL, 2008.


55


[44] P. Stevenhagen. Een Europees visitekaartje. Nieuw Archief voor Wiskunde, 5(1):162–164, 2000. [45] Charles Taylor. A secular age. The Belknap Press of Harvard University Press, Cambridge, MA, 2007. Ned. Vert. Een seculiere tijd. Lemniscaat, Rotterdam, 2009. [46] Tam´ as Terlaky, editor. Interior point methods of mathematical programming, volume 5 of Applied Optimization. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1996. [47] A. Tjallema and C. Roos. A new method for thrust allocation in dynamic positioning systems. 2009. Manuscript. [48] Hao Wang. A logical journey. From G¨ odel to philosophy. MIT Press, Cambridge, Masachusetts, 1997. [49] Michael White. The Last Sorcerer. Perseus Books, Reading, Massachusetts, 1997. [50] Ludwig Wittgenstein. Tractatus logico-philosophicus. Vertaald en van een nawoord en aantekeningen voorzien door W.F. Hermans. Atheneum–Polak & Van Gennep, Amsterdam, 1989.

56


Komt onvermoeide arbeid alles te boven?

Recommend Documents