Komplexní analýza 1. Ladislav Mišík

1

Komplexní analýza 1 Ladislav Mišík

2

Obsah 1 Komplexní čísla 1.1 Rozšíření tělesa reálných čísel . . . . . . 1.2 Operace s komplexními čísly . . . . . . . 1.3 Geometrie komplexních čísel . . . . . . . 1.4 Umocňování a odmocňování komplexních 1.5 Limita posloupnosti komplexních čísel . . 1.6 Řady komplexních čísel . . . . . . . . . . 1.7 Nekonečno a stereografická projekce* . . 1.8 Některé typy množin v rovině . . . . . . 1.9 Krátké shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . 2 Komplexní funkce komplexní proměnné 2.1 Definice a základní vlastnosti . . . . . . 2.2 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Spojitá křivka . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Krátké shrnutí . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . čísel . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

3 Diferenciální počet komplexních funkcí 3.1 Derivace a diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Pravidla pro počítání derivací . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Nutná a postačující podmínka pro diferencovatelnost plexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Analytičnost komplexní funkce . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Reálná a imaginární složka analytické funkce . . . . . . 3.6 Konformní zobrazení* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Krátké shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

5 5 8 9 13 16 18 21 22 23

. . . .

25 25 28 29 32

33 . . . . 33 . . . . 35 kom. . . . 38 . . . . 43 . . . . 44 . . . . 47 . . . . 49

4

OBSAH

4 Elementární funkce

51

4.1

Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2

Lineární lomená funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3

Mocninná funkce s přirozeným exponentem . . . . . . . . . . . 53

4.4

Polynomická funkce (polynom) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5

Racionální funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6

Odmocnina s přirozeným stupněm . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.7

Exponenciální funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.8

Logaritmická funkce

4.9

Trigonometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.10 Hyperbolické funkce

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.11 Inverzní trigonometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.12 Obecné exponenciální a mocninné funkce* . . . . . . . . . . . 69 4.13 Obecná mocninná funkce* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.14 Obecná exponenciální funkce* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.15 Krátké shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Kapitola 1 Komplexní čísla V této kapitole se naučíte zejména • provádět algebraické operace s komplexními čísly; • určit modul a argument komplexního čísla; • zapsat komplexní číslo v geometrickém tvaru; • počítat mocniny a odmocniny komplexních čísel. Klíčová slova: Komplexní číslo, algebraický tvar, goniometrický tvar, komplexně sdružené číslo, absolutní hodnota (modul), argument komplexního čísla, Moivreova věta.

1.1

Rozšíření tělesa reálných čísel

Je známo, že v oboru reálných čísel není možné řešit některé algebraické rovnice. Nejjednodušším příkladem rovnice, která nemá reálné řešení, je rovnice x2 = −1,

(1.1)

což mźa následek, že v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina z čísla −1. Abychom tento nedostatek odstranili, je nutno rozšířit těleso komplexních čísel tak, že přidáme fiktivní (imaginární) řešení rovnice (1.1). Toto řešení budeme dále značit symbolem i a nazývat imaginární jednotkou. To znamená, že i je takové číslo, pro které platí i2 = −1. 5

(1.2)

6

KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA

Samozřejmě i není reálné číslo, je to číslo imaginární. Příklad 1.1.1. Nyní už můžeme řešit také další rovnice neřešitelné v oboru reálných čísel. Například řešení rovnice x2 = −4 je číslo 2i neboť (2i)2 = (22 )(i2 ) = 4(−1) = −4. √ Obecně, pro a > 0 je řešením rovnice x2 = −a číslo a i. Dokažte, že také číslo −2i je řešením naší rovnice. Před uvedením následujícího příkladu připomínáme, že řešení obecné kvadratické rovnice (1.3) ax2 + bx + c = 0, kde x je neznámá a a, b, c dané konstanty, jsou obecně dvě čísla √ −b ± D x1,2 = , kde D = b2 − 4ac. 2a V případě D = 0 je řešením jediné reálné číslo x = rovnice (1.4) nemá reálné řešení.

−b 2a

(1.4)

a v případě D < 0

Příklad 1.1.2. Kvadratická rovnice x2 − 4x + 5 = 0 nemá v reálném oboru řešení neboť její diskriminant D = (−4)2 −4√ . 1 . 5 = 16−20 = −4 je záporný. V předchozím příkladu jsme ale viděli, že −4 = 2i. Dosazením do (1.4) dostáváme dvě (samozřejmě nikoliv reálná) řešení naší rovnice x1,2 =

4 ± 2i =2±i 2

Z předchozích příkladů plyne, že nyní už můžeme řešit libovolnou kvadratickou rovnici (1.3). Jestliže je diskriminant D rovnice záporný, je −D > 0 a proto dostáváme dvojici (nikoli reálných) řešení √ −b ± −D i x1,2 = . 2a Cvičení 1.1.1. Najděte všechna řešení kvadratických rovnic x2 + x − 6 = 0, x2 + 2x + 5 = 0, 3x2 − 12x + 12 = 0, 3x2 − x + 2x = 0. Abychom mohli akceptovat uvedené řešení, musíme za čísla považovat všechny smysluplné výrazy reálná čísla, číslo i a algebraické operace, napří√ obsahující 5 klad −2+3i, 8 i+π, i −16i3 −2i+5, −3+5i+4−2i+2i4 +i3 atd. Přitom

1.1. ROZŠÍŘENÍ TĚLESA REÁLNÝCH ČÍSEL

7

předpokládáme, že operace známé z reálného oboru si zachovávají „pěkné “ vlastnosti jako komutativita, asociativita a distributivita i tehdy, když operují s výrazy obsahujícími nové číslo i. Proto, jelikož i3 = (i2 )i = (−1)i = −i a i4 = (i2 )2 = (−1)2 = 1, můžeme poslední dva předchozí výrazy zjednodušit i5 − 16i3 − 2i + 5 = i + 16i − 2i + 5 = 5 + 15i a −3+5i+4−2i+2i4 +i3 = −3+5i+4−2i+2−i = (−3+4+2)+(5i−2i−i) = 3+2i. Cvičení 1.1.2. Zjednodušte následující výrazy do tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla. i18 , −5i + 4 + 3i2 − 2 + i3 , i10 + i9 + · · · + i2 + i + 1,

1 6−i , . i 3i

Definice 1.1.1. Komplexní čísla jsou všechna čísla tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla a i je imaginární jednotka. Reálné číslo a nazýváme reálnou složkou komplexního čísla z = a + bi a značíme Re z a reálné číslo b nazýváme imaginární složkou komplexního čísla z = a+bi a značíme Im z. Dvě komplexní čísla z1 = a + bi a z2 = c + di se rovnají právě tehdy, když se vzájemně rovnají jejich reálné a imaginární složky, t.j. z1 = z2

⇔

a=c

a

b = d.

Všimněme si, že každé reální číslo je také číslo komplexní (s nulovou imaginární složkou). Komplexní čísla s nulovou reální složkou se nazývají ryze imaginární. Cvičení 1.1.3. Rozhodněte, která z daných komplexních čísel jsou reálná nebo ryze imaginární. 3i, (3i)2 , (2i)3 , 3 + i, (3 + i)2 , (3 + i)(3 − i), Cvičení 1.1.4. Pro které hodnoty reálných konstant a, b jsou následující čísla reálná, resp. ryze imaginární? (a+bi), (a+bi)2 , (a+bi)3 , (a+bi)(a−bi), a2 +bi2 , ai−bi3 , ai+b, i+ab, abi.

8


1.2

Operace s komplexními čísly

Na příkladech jsme už viděli, že s komplexními čísly můžeme provádět některé operace, na které jsme zvyklí z reálných čísel. V této části podrobněji probereme operace sčítání, odčítání, násobení a dělení. Doporučujeme čtenáři aby prověřil, že uvedené definice jsou jediné možné, aby operace sčítání, odčítání, násobení a dělení splňovaly komutativní, asociativní a distributivní zákony tak, jak je tomu v oboru reálných čísel. Definice 1.2.1. Součet komplexních čísel z1 = x1 + y1 i a z2 = x2 + y2 i je komplexní číslo z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i. Definice 1.2.2. Součin komplexních čísel z1 = x1 + y1 i a z2 = x2 + y2 i je komplexní číslo z1 z2 = x1 x2 − y1 y2 + (x1 y2 + y1 x2 )i. Teď je zřejmé jak definovat rozdíl komplexních čísel z1 − z2 = z1 + (−1)z2 = (x1 + y1 i) + (−x2 − y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i. Provedení operace podílu je ovšem o něco složitější. Nejdříve vypočteme následující příklad. Příklad 1.2.1. Vydělíme komplexní čísla

3+5i : 4−2i

3 + 5i 3 + 5i 4 + 2i 12 + 20i + 6i + 10i2 2 + 26i 1 13 = = = = + i. 2 4 − 2i 4 − 2i 4 + 2i 16 + 8i − 8i − 4i 20 10 10 Hlavní myšlenka výpočtu spočívá v rozšíření původního zlomku o zlomek rovný jedničce ve tvaru 4+2i . Výrazy v čitateli a jmenovateli rozšiřujícího 4+2i zlomku vzniknou z jmenovatele původního zlomku změnou znaménka před imaginární částí, t.j., 4 − 2i se změní na 4 + 2i. Tato unární operace na komplexních číslech je tak významná, že má svůj vlastní název, který je zaveden v následující definici. Definice 1.2.3. Číslem komplexně sdruženým k číslu z = a+bi je komplexní číslo z = a − bi. Hlavní myšlenka užití čísla komplexně sdruženého k jmenovateli zlomku při úpravě podílu je skryta v následující jednoduché větě.

1.3. GEOMETRIE KOMPLEXNÍCH ČÍSEL

9

Věta 1.2.1. Pro každé komplexní číslo z je součin zz nezáporné reálné číslo. Důkaz: Nechť z = a + bi. Potom máme zz = (a + bi)(a − bi) = a2 − abi + abi − b2 i2 = a2 + b2 ∈ [0, +∞). Nyní popíšeme metodu, pomocí které můžeme provádět operaci podílu obecně. Nechť z1 = x1 + y1 i a z2 = x2 + y2 i. Potom podíl zz12 počítáme následovně (podrobnosti výpočtu skontrolujte sami) x1 + y1 i x2 − y2 i x1 x2 + y1 y2 + (y1 x2 − x1 y2 )i x 1 + y1 i = = = x 2 + y2 i x2 + y2 i x2 − y2 i x22 + y22 x1 x2 + y1 y2 y1 x2 − x1 y2 = + i. x22 + y22 x22 + y22 Cvičení 1.2.1. Najděte součet, rozdíl, součin a podíl dvojic komplexních čísel z1 a z2 . √ a) z1 = 2 + 3i, z2 = −1 + 2i, b) z1 = 2i, z2 = 4 − 3i, c) z1 = −3 + i, z2 = −5, d) z1 = π, z2 = −2i. Dříve než pojednáme o operacích umocnˇování a odmocnˇování komplexních čísel, podíváme se na geometrické vlastnosti komplexních čísel.

1.3

Geometrie komplexních čísel

Geometrický model množiny reálných čísel je přímka – reálná osa. Jelikož každé komplexní číslo je jednoznačně určené dvojicí reálných čísel, je přirozené, že geometrickým modelem množiny komplexních čísel je rovina – komplexní rovina. Každému komplexnímu číslu z = a + bi odpovídá bod roviny se souřadnicemi (a, b). Opačně, každému bodu (a, b) v rovině odpovídá jednoznačně komplexní číslo a + bi. Tato korespondence mezi komplexními čísly a body roviny je vzájemně jednoznačná. Příklad 1.3.1. V popsané korespondenci odpovídá x-ová osa množině všech reálných čísel, říkáme jí reálná osa a je určena rovnicí Im z = 0. Analogicky odpovídá y-ová osa množině všech tzv. ryze imaginárních císel, říkáme jí imaginární osa a je určena rovnicí Re z = 0.

10


Cvičení 1.3.1. Zobrazte komplexní čísla i, −i, 1+i, 3−2i, −1+5i, −4−2i a čísla k nim komplexně sdružená. Který z těchto bodů je nejvzdálenější od bodu 0? Vzhledem k jednoznačnosti uvedené korespondence v dalším textu budeme často psát „bod z “ místo „bod odpovídající komplexnímu číslu z “ . Definice 1.3.1. Vzdálenost dvou komplexních čísel je délka úsečky spojující body odpovídající těmto číslům. Číselné vyjádření vzdálenosti komplexních čísel z1 = x1 + y1 i a z2 = x2 + y2 i je dáno vzorcem p d(z1 , z2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 . (1.5) Cvičení 1.3.2. Ověřte platnost předešlého vzorce. (Návod: nakreslete obrázek a použijte Pytagorovu větu.) Cvičení 1.3.3. Určte moduly všech čísel z Cvičení 1.3.1. Cvičení 1.3.4. Vypočtěte vzdálenost dvojic bodů a) d(4 + i, −2 + 2i), b) d(−1 − 3i, 5i), c) d( 12 + i, 2 − 3i). Definice 1.3.2. Absolutní hodnota komplexního čísla je jeho vzdálenost od nuly. Číselné vyjádření absolutní hodnoty komplexního čísla z = x + yi je p √ |z| = x2 + y 2 = zz. (1.6) Komplexní čísla, jejichž absolutní hodnota je jedna, nazýváme komplexní jednotky. Pro absolutní hodnotu užíváme také název modul. Cvičení 1.3.5. Vypočtěte moduly√(t.j. √absolutní hodnoty) komplexních čísel −4, 6i, −2 + i, 3 − 4i, −4 − i, 22 + 22 i. Cvičení 1.3.6. a) Dokažte, že pro každé komplexní číslo z platí |z| = |z|. b) Dokažte že pro libovolná komplexní čísla z a w platí d(z, w) = |z − w|.

(1.7)

c) Dokažte že množina všech komplexních jednotek tvoří jednotkovou kružnici se středem v bodě 0. Argument nenulového komplexního čísla je velikost úhlu mezi jeho spojnicí s počátkem a kladnou částí reálné osy. Číslo 0 nemá argument.

1.3. GEOMETRIE KOMPLEXNÍCH ČÍSEL

11

Příklad 1.3.2. Argument kladného reálného čísla je roven nule, argument záporného reálného čísla je roven π. Argument čísla i je π2 , argument −i je √ − π2 . Argument čísla 1 + i je π4 a argument −1 + 3i je 2π . 3 Pojem argumentu není tak jednoduchý, jak by se mohlo podle předchozího příkladu zdát. Vezměme si třeba argument čísla −i. Úhel mezi spojnicí čísel −i a 0 (záporná část imaginární osy) a kladnou částí reálné osy může být , nebo taky 7π . Obecně platí: interpretován jednak jako − π2 , jednak jako 3π 2 2 Je-li číslo ϕ argumentem komplexního čísla z, pak jeho argumentem je také každé číslo tvaru ϕ + 2kπ, kde k ∈ Z je libovolné celé číslo. Definice 1.3.3. Argumentem komplexního čísla z rozumíme libovolný úhel mezi polohovým vektorem čísla z (t.j. vektorem s počátečním bodem 0 a koncovým bodem z) a vektorem kladné části reálné osy. Množinu všech argumentů komplexního čísla z značíme Arg z. Pro každé z existuje právě jeden úhel ϕ ∈ (Arg z) ∩ (−π, π]. Tento úhel nazýváme hlavní hodnota argumentu čísla z a značíme arg z. Cvičení 1.3.7.√Najděte Arg z a arg z pro √ komplexní čísla z: a) 1 − i, b) −6i, c) 12, d) −1 − 3i, e) 1 + 2i, f ) −3 + 3i. Cvičení 1.3.8. Dokažte, že pro každé komplexní číslo z platí ϕ ∈ Arg z ⇔ ∀k ∈ Z : ϕ + 2kπ ∈ Arg z

(1.8)

Cvičení 1.3.9. Určte arg z, arg z 2 a arg z 3 pro z = −2 + 2i; z = −11; z = √ 3 − i; z = 4i. Cvičení 1.3.10. Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí a) Pro každé komplexní číslo z je argn z ∈ (−π, π]. b) Pro každé ϕ ∈ (−π, π] obsahuje množina {k ∈ Z; ϕ + k 2π ∈ (−π, π]} n právě n po sobě jdoucích celých čísel včetně čísla 0. c) Pro každé ϕ ∈ (−π, π] a každé k ∈ Z je 2π 2π cos ϕ + k = cos ϕ + (k + n) n n a

2π sin ϕ + k n

2π = sin ϕ + (k + n) n

.

12


Cvičení 1.3.11. Dokažte, že následující podmínky pro nenulová komplexní čísla z = x + yi a w = u + vi jsou vzájemně ekvivalentní (a) arg z = arg w; (b) Arg z = Arg w; (c)

z w

=

|z| |w|

∈ (0, +∞);

Nyní si položme otázku: Jak vyjádřit modul a argument komplexního čísla pomocí jeho reálné a imaginární části? A opačně: Známe-li modul a argument komplexního čísla z, jsme schopni určit jeho reálnou a imaginární část? Jinými slovy: Je svým modulem a argumentem komplexní číslo jednoznačně určeno? Řešení najdeme v následujícím příkladu. Příklad 1.3.3. Nejdřív hledáme modul a argument komplexního p čísla z = x + yi. Už víme, že modul čísla z je určen vztahem (1.6): |z| = x2 + y 2 . Pro argument čísla z platí (načrtněte si obrázek):  y pro x > 0;  arctg x y arctg x + π pro x > 0, y ≥ 0; arg z = (1.9)  y arctg x − π pro x < 0, y < 0. Následně Arg z = {arg z + 2kπ; k ∈ Z}. Teď předpokládejme, že známe |z| i arg z a hledáme číslo z. Protože každá polopřímka začínající v bodě 0 protne jednotkovou kružnici se středem v 0 v právě jednom bodě, pro danou hodnotu arg z existuje jediná komplexní jednotka w, pro kterou platí arg w = arg z. Z definic funkcí sin a cos plynou pro složky čísla w = u + vi vztahy u = cos(arg z)

a

v = sin(arg z).

Pro hledané číslo z zřejmě platí z = |z|w, proto pro jeho složky z = x + yi dostáváme x = |z| cos(arg z) a y = |z| sin(arg z). (1.10) Z rovnic (1.10) předešlého příkladu plyne, že komplexní číslo je jednoznačně určeno svým modulem a argumentem. Tento způsob určení komplexního čísla je popsán v následující definici.

1.4. UMOCŇOVÁNÍ A ODMOCŇOVÁNÍ KOMPLEXNÍCH ČÍSEL

13

Definice 1.3.4. Zápis z = |z| cos(arg z) + i|z| sin(arg z) = |z| (cos(arg z) + i sin(arg z))

(1.11)

nazýváme komplexní číslo v goniometrickém tvaru. Dodejme, že vzhledem k tomu, že funkce sin a cos jsou periodické s periodou 2π, ze vztahu (1.8) plyne z = |z| (cos(arg z) + i sin(arg z)) = |z| (cos(Arg z) + i sin(Arg z)) . √ Příklad Napišeme číslo z = −1 − 3 v goniometrickém tvaru. Máme q 1.3.4. √ |z| = 12 + ( 3)2 = 2 a podle vztahu (2.2.1) platí √ √ − 3 π 2π arg z = arctg − π = arctg 3 − π = − π = − . −1 3 3

1.4

Umocňování a odmocňování komplexních čísel

Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru se řídí následující formulí. Jestliže a, z jsou komplexní čísla, pak a.z = |a||z|(cos(Arg a + Arg z) + i sin(Arg a + Arg z)),

(1.12)

t.j. při násobení komplexích čísel platí: • modul součinu je součin modulu; ‌ • argument součinu je součet argumentu. ‌ Uvedenou rovnost je třeba chápat tak, že za hodnoty Arg a a Arg z dosadíme libovolné hodnoty těchto množin, například arg a a arg z. (Dokažte, že výběr hodnot nemá vliv na výslednou hodnotu výrazu.) V dalším textu budeme často používat jednodušší arg místo Arg. Z uvedeného plyne následující důležitý fakt. V lineárním zobrazení w = az obraz w vznikne z bodu z jeho otočením kolem počátku o úhel arg a a následnou stejnolehlostí se středem v počátku a koeficientem |a|.

14


O umocňování komplexních čísel říká Moivreova věta. z n = |z|n (cos(n arg z) + i sin(n arg z)). Příklad 1.4.1. Vypočteme hodnotu (1 − i)99 . Nejprve napíšeme číslo 1 − i v goniometrickém tvaru 1−i=

√

π π 2(cos(− ) + i sin(− )). 4 4

Podle Moivreovy věty pak platí (využíváme periodičnost funkcí cos a sin s periodou 2π): π π √ + i sin 99 − = (1 − i)99 = ( 2)99 cos 99 − 4 4 √ √ ! √ √ 3π 2 2 3π 249 2 cos − − i = −249 −249 i. + i sin − = 249 2 − 4 4 2 2 Pomocí Moivreovy věty můžeme počítat n-tou odmocninu z komplexního čísla. Na rozdíl od reálného oboru, kde například druhá odmocnina z jedné je jediné reálné číslo, v komplexním oboru definujeme n-tou odmocninu obecněji. Definice 1.4.1. n-tou odmocninou komplexního čísla z rozumíme každé komplexní číslo w, které je řešení rovnice wn = z.

(1.13)

Teď ukážeme, jak vyjádřit obecně n-tou odmocninu komplexního čísla z = |z|(cos(Arg z) + i sin(Arg z)), t.j. řešení rovnice (1.13). Dosaďme tohle řešení w = |w|(cos(Arg w) + i sin(Arg w)) a s užitím Moivreovy věty počítejme |z|(cos(Arg z) + i sin(Arg z)) = (|w|(cos(Arg w) + i sin(Arg w)))n = = |w|n (cos(n Arg w) + i sin(n Arg w)). Srovnáním modulů a argumentů levé a pravé strany předchozí rovnice dostáváme z = wn ⇔ |z| = |w|n a Arg z = n Arg w. (1.14)

1.4. UMOCŇOVÁNÍ A ODMOCŇOVÁNÍ KOMPLEXNÍCH ČÍSEL

15

Z první rovnosti zřejmě plyne |w| =

p n |z|.

(1.15)

Interpretovat druhou rovnost je poněkud složitější. Jde o to, že v množině Arg w může být kterékoliv reálné číslo ϕ, pro které platí nϕ ∈ Arg z. Podle Cvičení 1.3.8, abychom určili Arg w, stačí určit arg w a pak platí Arg w = {arg w + 2kπ; k ∈ Z}. Máme tedy n arg w ∈ Arg z, t.j. n arg w = arg z + 2kπ pro nějaké vhodné celé číslo k. Proto arg w může být kterékoliv reálné číslo, pro které platí arg w =

arg z 2π arg z + 2kπ = +k ∈ (−π, π] n n n

pro nějaké vhodné číslo k ∈ Z (nezapomeňte na definici hodnoty arg!). Na základě Cvičení 1.3.10 platí, že n-tou odmocninou nenulového komplexního čísla je množina právě n komplexních čísel p √ arg z + 2kπ arg z + 2kπ n n z = { |z| cos + i sin , k = 0, 1, . . . , n − 1}. n n Pomocí posledního vztahu můžeme definovat také mocninu s racionálním exponentem: p p p √ arg z + 2kπ arg z + 2kπ q q + i sin p z ={ |z| , k = 0, 1, . . . , q−1}. cos p q q √ p Cvičení 1.4.1. Dokažte, že všechny hodnoty ( q z) jsou různé právě tehdy, jestliže čísla p a q jsou nesoudělná. √ 24 √ 19 Cvičení 1.4.2. 1. Vypočítejte (1 + i)10 , 12 − i 23 , − 21 + i 23 , √ √ 25 ( 2 + i 2) . √ √ √ √ √ √ √ 2. Najděte všechny hodnoty 3 1, 4 −1, 3 i, 4 −i, 3 8, 1 + i, 3 −2 + 2i, q√ √ 2 2 + i . 2 2 3. Řešte rovnice z 2 − 2iz + 3 = 0, z 2 + 2iz + i − 1 = 0, z 3 + 8i = 0. 4. Zobrazte graficky množiny bodů v komplexní rovině, které jsou určeny podmínkami z z |z + 1| > 1; 1 < |z − i| < 2; Im = 0; Re = 0; 1+i i

16


z = 2(cos t + i sin t), t ∈ [0, π]; |z + i| = |z − i|; |z − 1| + |z + 1| = 4. √ Korespondenční úkol. Nechť a = 2 − 2i a b = −1 + 3i. Vyjádřete obě čísla v goniometrickém tvaru. Pak najděte všechna řešení rovnice z 3 = ab s neznámou z a z nich vyznačte to, jehož hlavní hodnota argumentu je záporná.

1.5

Limita posloupnosti komplexních čísel

Vzdálenost komplexních čísel u a w je dána vztahem (1.7): d(z, w) = |z − w|. Pro δ > 0 jsou δ-okolí a prstencové δ-okolí komplexního čísla z definovány Uδ (z) = {w ∈ C; d(w, z) < δ} a Uδ∗ (z) = {w ∈ C; d(w, z) < δ} − {z}. V oboru reálných čísel v některých úvahách pracujeme také s „nevlastní body “ +∞ a −∞, t.j. jedno nekonečno v každém směru reálné osy. Zdálo by se tedy, že v komplexním oboru budeme pracovat s nekonečně mnoha nekonečny, s jedním v každém směru. Situace je ovšem jiná. V komplexním oboru se ukazuje výhodné mít pouze jedno nekonečno ∞, to samé v každém směru. Pozice nekonečna mezi komplexními čísly je dána následující definicí. Pro r > 0 je r-okolí ∞ definováno Ur (∞) = {w ∈ C; d(w, 0) > r}. Rozšířenou množinu komplexních čísel budeme rozumět množinu C ∪ {∞}, kterou budeme značit C∗ . Definice vlastní a nevlastní limity posloupnosti komplexních čísel jsou obdobné jako v reálném oboru. Definice 1.5.1. ( Limita posloupnosti komplexních čísel.) Posloupnost komplexních čísel (zn ) konverguje k číslu z0 , když ke každému ε > 0 existuje takové n0 ∈ N, že pro každé přirozené n > n0 platí zn ∈ Uε (z0 ) (ekvivalentně |zn − z0 | < ε). Tuto skutečnost značíme lim zn = z0 . n→+∞

Definice 1.5.2. (Nevlastní limita posloupnosti komplexních čísel.) Posloupnost komplexních čísel (zn ) konverguje k bodu ∞, když pro každé r > 0 existuje takové n0 ∈ N, že pro každé přirozené n > n0 platí zn ∈ Ur (∞). Tuto skutečnost značíme lim zn = ∞. n→+∞

Poznámka 1.5.1. Podmínka lim |zn | = +∞.

n→+∞

lim zn = ∞ je ekvivalentní s podmínkou

n→+∞

1.5. LIMITA POSLOUPNOSTI KOMPLEXNÍCH ČÍSEL

17

Věta 1.5.1. ( Věta o limitě posloupnosti komplexních čísel.) Číslo a + ib je limitou posloupnosti komplexních čísel (zn = xn + iyn ) práve tehdy, když lim xn = a a lim yn = b. n→+∞

n→+∞

Důkaz: Nechť pro každé n ∈ N je zn = xn + iyn . Předpokládejme, že platí lim zn = L = a + ib. Potom pro každé ε > 0 existuje takové n0 ∈ N, že pro n→+∞

všechna n > n0 je |zn − L| =

p (xn − a)2 + (yn − b)2 < ε.

Pak ale rovněž pro všechny n > n0 platí p p |xn − a| = (xn − a)2 ≤ (xn − a)2 + (yn − b)2 < ε

(1.16)

a také |yn − b| =

p p (yn − a)2 ≤ (xn − a)2 + (yn − b)2 < ε,

(1.17)

a proto lim xn = a a lim yn = b. Na druhou stranu, jestliže pro každé n→+∞

n→+∞

ε > 0 existují taková n1 ∈ N a n2 ∈ N, že platí nerovnice (1.16) a (1.17), pak z trojúhelníkové nerovnosti plyne také p |zn − L| = (xn − a)2 + (yn − b)2 ≤ |xn − a| + |yn − b| < 2ε, z čehož dostáváme lim zn = a + ib. n→+∞

Cvičení 1.5.1. Analogická věta platí i pro dvojici modul – argument. Zformulujte ji, ale buďte opatrní! Následující příklad ukazuje zajímavé užití Moivreovy věty. Příklad 1.5.1. Nechť α ∈ R a ρ ∈ (0, 1). Pro přirozené číslo n definujme un = 1 + ρ cos α + ρ2 cos 2α + · · · + ρn cos nα. Chceme vypočítat lim un . Položme n→+∞

vn = ρ sin α + ρ2 sin 2α + · · · + ρn sin nα a wn = un + ivn = 1 + ρ(cos α + i sin α) + · · · + ρn (cos nα + i sin nα).

18


Při označení t = ρ(cos α + i sin α) je wn součtem konečné geometrické posloupnosti a proto dostáváme wn = 1 + t + t2 + · · · + tn =

1 − tn+1 . 1−t

Následně, jelikož |t| = |ρ| < 1, 1 1 − tn+1 = . n→+∞ 1 − t 1−t

lim wn = lim

n→+∞

Z věty o limitě posloupnosti komplexních čísel dostáváme řešení úlohy lim un = lim Re

n→+∞

1.6

n→+∞

1 1 − ρ cos α = . 1 − ρ(cos α + i sin α) (1 − ρ cos α)2 + sin2 α

Řady komplexních čísel

Nechť zn = xn + iyn ; kde n = 1, 2, . . . . Pak výraz +∞ X

zn = z1 + z2 + · · ·

(1.18)

n=1

se nazývá nekonečná řada komplexních čísel. Jestliže existuje vlastní limita posloupnosti částečných součtu‌ {Sn }+∞ n=1 ,

kde Sn =

n X

zk

k=1

této řady, pak hovoříme o konvergentní řadě, v opačném případě hovoříme o divergentní řadě. V případě konvergentní řady podle Věty 1.5.1 platí +∞ X n=1

zn =

+∞ X n=1

xn + i

+∞ X

yn .

(1.19)

n=1

Cvičení 1.6.1. Dokažte vztah (1.19) pro konvergentní řady komplexních čísel.

1.6. ŘADY KOMPLEXNÍCH ČÍSEL

19

Věta 1.6.1. (Cauchyovo-Bolzanovo kriterium konvergence.) Řada (1.18) konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje takové n0 ∈ N, že pro všechna n > n0 a pro každé k platí |Sn+k − Sn | < ε. Konkrétně pro k = 1 dostáváme nutnou podmínku konvergence nekonečné řady. Věta 1.6.2. Jestliže řada (1.18) konverguje, pak platí lim zn = 0. n→+∞

Řada komplexních čísel se nazývá absolutně konvergentní, když konver+∞ P guje řada |zn |. Konvergentní řada, která není absolutně konvergentní, se n=1

nazývá relativně konvergentní. Věta 1.6.3. (Věta o absolutní a relativní konvergenci.) Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní. Opačné tvrzení neplatí. ∞ ∞ P P Důkaz: Pro každé n ∈ N označme Sn = ak a Tn = |ak |. Užitím trojún=1

n=1

helníkové nerovnosti dostáváme pro každou dvojici přirozených čísel n a k |Sn+k −Sn | = |an+1 +an+2 +· · ·+an+k | ≤ |an+1 |+|an+2 |+· · ·+|an+k | = |Tn+k −Tn |. (1.20) Cauchyovo-Bolzanovo kriterium říká, že z absolutní konvergence řady (1.18) plyne, že ke každému ε > 0 existuje přirozené n0 tak, že pro každé přirozené n > n0 a každé přirozené k platí |Tn+k − Tn | < ε. Z nerovnosti (1.20) ovšem plyne také nerovnost |Sn+k −Sn | < ε, z čehož opět pomocí CauchyovaBolzanova kriteria plyne konvergence řady (1.18). Příklad 1.6.1. Typickým příkladem relativně konvergentí řady je řada (do+∞ P (−1)n konce reálných čísel) . n n=1

Následující dvě věty plynou bezprostředně z Věty 1.5.1 a jejich důkaz ponecháváme čtenáři jako cvičení. Věta 1.6.4. Řada

+∞ P

zn je absolutně konvergentní právě tehdy, když jsou

n=1

absolutně konvergentní obě řady +∞ X n=1

xn

a

+∞ X n=1

yn .

20


Důsledek 1.6.1. Součet absolutně konvergentní řady je nezávislý na přerovnání. Věta 1.6.5. (Věta o součtu, rozdílu a součinu konvergentních řad.) +∞ P 00 P 0 +∞ zn jsou konvergentní řady se součty S 0 a S 00 . Pak také řada Nechť zn a n=1 +∞ P

n=1

(zn0 + zn00 ) je konvergentní a platí

+∞ P

(zn0 + zn00 ) = S 0 + S 00 . Jestliže navíc obě

n=1

n=1

řady konvergují absolutně, pak absolutně konverguje i jejich součin, t.j. řada +∞ X

00 (z10 zn00 + z20 zn−1 + · · · + zn0 z100 ).

n=1

K ověření absolutní konvergence lze užít všechna kriteria pro řady s kladnými členy známá z reálné analýzy, například kritérium Cauchyovo, d´Alembertovo, integrální nebo kritérium majorantní. Jako příklad uvádíme kritérium Cauchyovo, které se nejčastěji používá ve speciálních případech mocninných řad, s nimiž se seznámíme později. Věta 1.6.6. (Cauchyovo kriterium absolutní konvergence.) Nechť je nekonečná řada komplexních čísel a q = lim sup

p n

|zn |. Pak řada

n→+∞

+∞ P

zn

n=1 +∞ P

zn

n=1

konverguje, jestliže q < 1, a diverguje, jestliže q > 1. V případě q = 1 může řada konvergovat i divergovat. Cvičení 1.6.2. 1. Zjistěte, zda konvergují posloupnosti a nalezněte limity. n √ n i n+1 1 n lim − , lim + in , lim n+i 1+ , n→+∞ n→+∞ n→+∞ n+1 n n n √ in 3n2 nπ nπ n n lim − , lim 2 cos + i sin , lim i . n→+∞ n→+∞ n − 5 n→+∞ n+1 n 2n + 7 2n + 7 2. Je-li lim un + ivn = ∞, co můžeme říci o limitách lim un a lim vn ? n→+∞

n→+∞

3. Nechť lim wn = A. Dokažte, že platí lim |wn | = |A|. Platí též n→∞ n→∞ lim arg wn = arg A? n→∞ 4. Najděte 1 π 1 π 1 nπ lim 1 + cos + cos + · · · + n cos n→∞ 2 4 4 2 2 4

n→∞

1.7. NEKONEČNO A STEREOGRAFICKÁ PROJEKCE* a

21

4 π 16 π 4n nπ lim sin + sin + · · · + n sin . n→∞ 5 6 25 3 5 6 n 5∗ . Dokažte, že pro z = x + iy platí lim 1 + nz = ex (cos y + i sin y). n→∞ 6. Rozhodněte o konvergenci řad n X n X ∞ ∞ ∞ ∞ X in + 1 n 2i (1 + i)n X in . , , , n + 2i n + 1 n (n + i)2 n=1 n n=1 n=1 n=1

7∗ . Dokažte následující tvrzení a) Jestliže pro všechna n ∈ N platí Re wn ≥ 0, Im wn ≥ 0 a řada konverguje, pak řady

∞ P

wn a

n=1

∞ P

gují, pak také řada

wn

n=1

wn2 konvergují absolutně.

n=1

b) Jestliže pro všechna n ∈ N platí Re wn ≥ 0 a řady ∞ P

∞ P

∞ P

wn a

n=1

∞ P

wn2 konver-

n=1

2

|wn | konverguje.

n=1

c) Jestliže řada

∞ P

wn konverguje, pak konverguje absolutně, pokud je pro

n=1

všechna n ∈ N splněna některá z podmínek (i) | arg wn | ≤ a <

1.7

π ; 2

(ii) 0 < a < arg wn < π − a.

Nekonečno a stereografická projekce*

Operace s nekonečnem. I když nekonečno není komplexní číslo, někdy je výhodné provést operaci, která obsahuje nekonečno. Nyní některé takové operace budeme definovat. Každou z těchto operací je třeba chápat v toem smyslu, že kdyby na pozici symbolu ∞ byla jakákoliv komplexní veličina, která se blíží k ∞, výsledek operace by zůstal stejný. Nechť z ∈ C, w ∈ C, w 6= 0. Pak definujeme ∞ ± z = ∞,

∞ . w = ∞,

a = 0, ∞

∞ = ∞, a

a = ∞. 0

Výrazy ∞ ± ∞, 0 . ∞, 00 , ∞ nemají smysl. Zdůvodněte proč. ∞ Pozici nekonečna mezi komplexními čísly je možné geometricky interpretovat pomocí stereografické projekce. Uvažujme v prostoru jednotkovou kulovou

22


plochu, t.j. množinu B = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = 1} a komplexní rovinu ztotožněnou s rovinou C = {(x, y, z) ∈ R3 ; z = 0}. Označme N = (0, 0, 1) ∈ S a uvažujme bijekci σ : B \ {N } → C definovanou vztahem y x , , 0 , (x, y, z) ∈ B − {N }. σ(x, y, z) = 1−z 1−z Cvičení 1.7.1. Prověřte, že σ(x, y, z) ∈ C a že se skutečně jedná o bijekci mezi množinami B \ {N } a C. Bijekci σ lze geometricky popsat následovně. Zvolme bod X = (x, y, z) ∈ B. Bod σ(x, y, z) ∈ C bude průsečík přímky určené body N a X s komplexní rovinou C (zdůvodněte, že průsečík skutečně existuje a je jednoznačně určen). Zobražení σ nazýváme stereografickou projekcí. Uvažujeme-li zobrazení inverzní k σ, dostáváme, že všechna komplexní čísla můžeme zobrazit do sféry B, přičemž obazem celé komplexní roviny bude celá sféra B s výjimkou bodu N . Proto můžeme σ −1 rozšířit na zobrazení ϕ z celé rozšířené komplexní roviny C∗ = C ∪ {∞} na celou sféru B, definujíce ϕ = σ −1 na C a ϕ(∞) = N . Vlastnosti stereografické projekce jsou popsány v následujícím cvičení. Cvičení 1.7.2. 1. Dokažte, že zobrazení ϕ zobrazí a) množinu {z ∈ C; |z| < 1} na dolní polosféru {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 +y 2 +z 2 = 1 a z < 0}, b) body množiny {z ∈ C; |z| = 1} samy na sebe, c) množinu {z ∈ C; |z| > 1} na horní polosféru {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 +y 2 +z 2 = 1 a z > 0}. 2. Dokažte, že ϕ je spojité zobrazení na celé rozšířené komplexní rovině C∗ , speciálě platí xn → ∞ ⇒ ϕ(xn ) → N . 3. Najděte obrazy polopřímek {z ∈ C; arg z = α} a kružnic {z ∈ C; |z| = r} při zobrazení ϕ. 4. Zjistěte, jaký je vztah mezi obrazy ϕ(z1 ) a ϕ(z2 ) dvojic bodů pro a) z2 = z1 , b) z2 = −z1 , c) z2 = −z1 . 5. Najděte obrazy množin při zobražení ϕ: a) Re z > 0; b) Im z > 0; c) 1 < |z| < 2; d) Re z = C (C je dána konstanta); e) Im z = C.

1.8

Některé typy množin v rovině

Definice 1.8.1. Množina A ⊂ C je otevřená právě tehdy, jestliže obsahuje

1.9. KRÁTKÉ SHRNUTÍ

23

s každým svým bodem také některé jeho okolí, t.j. pro každé z ∈ A existuje takové ε > 0, že Uε (z) ⊂ A. Definice 1.8.2. Bod z je hromadným bodem množiny A ⊂ C, jestliže pro všechna ε > 0 platí Uε∗ (z) ∩ A 6= ∅. Bod z je hraničním bodem množiny A ⊂ C, jestliže je hromadným bodem obou množin A a C − A. Hranice množiny je množina všech její hraničních bodů. Definice 1.8.3. Množina A ⊂ C je uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hromadné body. Uzávěr množiny A je sjednocení množiny A a její hranice. Věta 1.8.1. Množina je uzavřená právě tehdy, je-li její doplněk otevřená množina. Definice 1.8.4. Otevřená množina A ⊂ C je souvislá právě tehdy, jestliže můžeme každé dva její body spojit lomenou čárou, která celá leží v množině A. Oblast je otevřená souvislá množina. Uzavřená oblast je uzávěr oblasti. Definice 1.8.5. Množina A ⊂ C je omezená, jestliže existuje takové kladné číslo R, že A ⊂ UR (0), t.j. pro všechna z ∈ A platí |z| < R. Příklad 1.8.1. Pro dané a ∈ C a R > 0 je kruh |z − a| < R oblast (t.j. otevřená souvislá množina), je to také omezená množina. Kružnice |z − a| = R je hranicí této oblasti a uzavřený kruh |z − a| ≤ R je uzavřená oblast. Cvičení 1.8.1. Popište vlastnosti následujících množin: a) {z = x + iy; x ∈ (0, 1] a y > 0}; b) {z = x + iy; x ∈ [0, 1] a y ≤ 0}; c) {z = x + iy; x ∈ (0, 1) a y ≥ 0}; d) {z ∈ C; 0 < arg z < π2 a 1 < |z| < 2}; e) {z = ρ(cos t + i sin t); 0 < ρ < 1 a π2 < t < 3π }; f ) {z = ρ(cos t + 2 π 3π i sin t); 1 < ρ < 2 a 2 ≤ t ≤ 2 }; g) 1 < |z|; h) |z| < 1; i) 1 < |z| a |z| = 6 2. Cvičení 1.8.2. Dokažte, že pro všechna reálná čísla y platí lim (1 + ny )n = n→+∞

x+iy

cos y + i sin y. Z toho plyne formula e

1.9

x

= e (cos y + i sin y).

Krátké shrnutí

Viděli jsme, že komplexní čísla mají algebraické vlastnosti (t.j. operace a jejich vlastnosti) velice podobné číslům reálným. Naproti tomu geometrie

24


komplexních čísel je mnohem složitější než je tomu u čísel reálných. Důsledkem je poměrně složitý pojem argumentu, nejednoznačnost odmocniny a množství typů rovinných množin. Později uvidíme, že tyto fakty budou zdrojem mnoha komplikací, které ovšem obohatí celou teorii. Na druhé straně je výhodné, že pojmy konvergence posloupností a řad v komplexním oboru je možné redukovat na analogické pojmy v reálném oboru s nimiž již umíme pracovat.

Kapitola 2 Komplexní funkce komplexní proměnné V této kapitole se naučíte zejména • určit reálnou a imaginární složku komplexní funkce; • vypočítat vlastní a nevlastní limitu komplexní funkce; • zjistit spojitost komplexní funkce; • pracovat se spojitými křivkami. Klíčová slova: Komplexní funkce, složky komplexní funkce, mnohoznačná funkce, vlastní a nevlastní limita, spojitost komplexní funkce, spojitá křivka.

2.1

Definice a základní vlastnosti

Definice 2.1.1. Mnohoznačná komplexní funkce komplexní proměnné je relace , jejiž definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny množiny C. To znamená, že každé hodnotě z z jisté množiny komplexních čísel je přiřazeno jedno nebo více komplexních čísel w. Jestliže je každé takovéto w určeno jednoznačně, pak hovoříme o jednoznačné funkci, v opačném případě hovoříme o mnohoznačné funkci. Poznámka 2.1.1. Budeme-li v dalším textu psát o komplexní funkci, budeme mít na mysli vždy jednoznačnou komplexní funkci. Budeme-li mít na mysli 25

26

KAPITOLA 2. KOMPLEXNÍ FUNKCE

mnohoznačnou funkci, vždy to explicitne vyjádříme. V takovémto případě budeme mnohoznačnost funkce zvýrazňovat užitím velkého písmene (napr. F ) pro název funkce. Důvodem tohoto rozdílu oproti reálným funkcím jsou √ důležité funkce jako w = Arg z, w = n z. Později uvedeme další mnohoznačné funkce. V případě mnohoznačné funkce píšeme někdy w ∈ F (z) místo w = F (z). Definice 2.1.2. Nechť w = f (z), kde z = x + iy a w = u(x, y) + iv(x, y), přičemž u, v jsou reální funkce dvou proměnných. Funkci u budeme nazývat reálnou částí funkce f a funkci v budeme nazývat imaginární částí funkce f . Příklad 2.1.1. Rozložme na složky funkci w = |z|z. Pro z = x + iy je p p p w = |x + iy|x + iy = x2 + y 2 (x − iy) = x2 + y 2 x − i x2 + y 2 y. Proto pro reálnou složku u a imaginární složku v dané funkce dostáváme p p u(x, y) = x2 + y 2 x, v(x, y) = − x2 + y 2 y. Cvičení 2.1.1. Rozložme na složky funkce a) w = z 2 , b) w = arg z, c) w = z1 , d) w = z, e) w = iz, f ) w = 1−z . 1+z Definice 2.1.3. Nechť w = F (z) je (obecně mnohoznačná) komplexní funkce definována na množině D ⊂ C. Množinu H = {w = F (z); z ∈ D} nazýváme obor hodnot funkce F . Funkci F −1 : H → D definovanou vztahem z = F −1 (w) právě tehdy, když w = F (z), nazýváme funkcí inverzní k funkci F . Někdy se může stát, že funkce inverzní k mnohoznačné funkci je jednoznačná a opačně. Z obecné teorie zobrazení je známo, že k jednoznačné funkci f na množině M existuje inverzní jednoznačná funkce f −1 definována na množině f (M ) právě tehdy, je-li funkce f na množině M prostá, t.j. x 1 , x2 ∈ M

a x1 6= x2

⇒

f (x1 ) 6= f (x2 ).

(2.1)

Příklad 2.1.2. Uvažujme funkci w = z 2 . Tato funkce je jednoznačná v celé 2 2 komplexní rovině, ovšem není prostá, protože √ například (−1) = 1 . Inverzní k této funkci je mnohoznačná funkce z = w. Když chceme, aby inverzní funkce byla jednoznačná, musíme omezit definiční obor původní funkce na některou (zpravidla pokud možno co největší) množinu M , na které je původní funkce prostá. Když vyjádříme naši funkci pro z v goniometrickém tvaru pomocí Moivreovy věty, dostáváme w = z 2 = |z|2 (cos(2 Arg z)) + i sin(2 Arg z)) .

2.1. DEFINICE A ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI

27

Uvažujme nyní, kdy se může stát, že pro z1 6= z2 platí z12 = z22 . Z předchozí rovnice plyne, že je to právě tehdy, když |z1 | = |z2 | a 2 Arg z1 = 2 Arg z2 . Smysl první rovnosti je zrejmý, druhá říká, že 2 arg z1 = 2 arg z2 +2kπ pro nějaké celé číslo k. Po vydělení dvěma dostáváme pro hlavní hodnoty argumentů čísel z1 a z2 rovnost arg z1 = arg z2 + kπ,

t.j.

arg z1 − arg z2 = kπ

pro nějaké celé číslo k. Protože obě hodnoty argumentů leží v intervalu (−π, π], absolutní hodnota jejich rozdílu je menší než 2π. Proto k ∈ {−1, 0, 1}. V případě k = 0 je ovšem |z1 | = |z2 | i arg z1 = arg z2 , proto z1 = z2 . Máme tedy tvrzení: Pro z1 6= z2 platí z12 = z22 právě tehdy když platí |z1 | = |z2 | a arg z1 = arg z2 ± π, což neznamená nic jiného, že z12 = z22

⇔

z1 = z2

nebo z1 = −z2 .

Z toho plyne, že chceme li najít jednoznčnou inverzní funkci k w = z 2 , musíme se omezit na množiny, které neobsahují obě čísla z a −z pro žádné komplexní z. Tak například arg w p arg w √ + i sin z = ( w)0 = |w| cos 2 2 je funkce inverzní k w = z 2 definované v množině {z ∈ C; arg z ∈ (− π2 π2 ]}. Obdobně, vybereme-li jinou než hlavní hodnotu argumentu, například definujemeli arg1 z = Arg z ∩ [0, 2π) (promyslete!) dostáváme, že arg w p arg1 w √ 1 z = ( w)1 = |w| cos − π + i sin −π 2 2 je funkce inverzní k w = z 2 definované v množině {z ∈ C; arg z ∈ [0, π)}. Cvičení 2.1.2. Nechť w = z 2 . Tato funkce jednoznačně zobrazuje množinu Im z > 0 na množinu w ∈ C − R+ . Najděte obraz množiny Re z = 1. Cvičení 2.1.3. Nechť w = z 2 . Dokažte, že tato funkce jednoznačně zobrazuje následující množiny a najděte jejich obrazy: a) Im z = 1; b) |z| < 2 a 0 < arg z < π; c) Re z + Im z = 1.

28

2.2


Limita funkce

Definice 2.2.1. Nechť funkce w = f (z) je definována v okolí bodu z0 . Říkáme, že funkce f má v bodě z0 limitu L ∈ C∗ , jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna z ∈ Uδ (z0 ) je f (z) ∈ Uε (L). Cvičení 2.2.1. Dokažte, že lim f (z) = ∞ právě tehdy, platí-li lim |f (z)| = z→z0 z→z0 +∞ Následující věta je podobná jako v případě limity posloupnosti. Z ní pak plyne, že limity a spojitost komplexních funkcí se řídí podobnými pravidly jako limity a spojitost funkcí reálných, což je obsaženo v dalších větách této sekce. Jelikož důkazy jsou prakticky stejné jako v případě reálných funkcí, nebudeme je tu uvádět. Věta 2.2.1. Nechť f (z) = u(x, y) + iv(x, y) a z0 = x0 + iy0 . Pak platí lim f (z) = L = a + ib právě tehdy jestliže

z→z0

lim

u(x, y) = a a

(x,y)→(x0 ,y0 )

lim

v(x, y) = b.

(x,y)→(x0 ,y0 )

Věta 2.2.2. Nechť lim f1 (z) = L1 a lim f2 (z) = L2 . Pak lim (f1 (z) ± z→z0

z→z0

f2 (z)) = L1 ± L2 , lim (f1 (z).f2 (z)) = L1 .L2 a z→z0

z→z0

lim ( f1 (z) ) z→z f2 (z) 0

=

L1 L2

jsou-li výrazy

˙ na pravé stranědefinovány, t.j. nejedná se o výrazy typu 00 , 0∞,

∞ ∞

atd.

Definice 2.2.2. Funkce w = f (z) je spojitá v bodě z0 svého definičního oboru, je-li z0 izolovaným bodem nebo platí-li lim f (z) = f (z0 ). z→z0

Cvičení 2.2.2. Spojitost funkce f (z) = u(x, y) + iv(x, y) pro z = x + iy je ekvivalentní spojitosti obou reálných funkcí u a v dvou reálných proměnných x a y. Dokažte. Věta 2.2.3. Pro součet, rozdíl, součin, podíl a složené funkce spojitých funkcí platí analogické věty jako v případě reálném. Plyne to z příslušných vět o limitách. Definice 2.2.3. Nechť F je mnohoznačná funkce. Říkáme, že z funkce F vydělíme v oblasti D spojitou jednoznačnou větev f , jestliže f je v oblasti D spojitá jednoznačná funkce a pro každé z ∈ D platí f (z) ∈ F (z). √ √ √ Jednoznačné větve ( w)0 a ( w)1 mnohoznačné funkce z = w jsme viděli už v Příkladu 2.1.2.

2.3. SPOJITÁ KŘIVKA

29

Příklad 2.2.1. Z mnohoznačné funkce F (z) = Arg(z) můžeme vydělit spojité jednoznačné větve následujícím způsobem. Pro každé α ∈ R definujme oblast Dα = C − {z ∈ C; α ∈ / Arg z}. Potom funkce f (z) = argα (z), kde argα (z) ∈ Arg(z) ∩ (α, α + 2π), je spojitá jednoznačná větev funkce F (z) = Arg z v oblasti Dα . Cvičení 2.2.3. a) Dokažte, že f (z) = z 2 je spojitá funkce na C.√ b) Najděte některou spojitou jednoznačnou větev funkce F (z) = 3 z v oblasti D = {z ∈ C; arg z ∈ (0, π3 )}. Má tato funkce spojitou jednoznačnou větev také v některé větší oblasti než je D? Uvažte také případ oblasti D1 = {z ∈ C; arg z ∈ (0, π)}. c) Nechť argα a Dα znamenají totéž jako v Příkladu 2.2.1. Najděte hodnotu α ∈ R, pro kterou platí argα z = arg z pro všechna z ∈ Dα Definice 2.2.4. Zobecněnou spojitou funkcí budeme rozumět libovolnou spojitou funkci f : D ⊂ C → C∗ . Příkladem zobecněné spojité funkce je funkce f (z) = 1 dodefinována v bodě 0 tak, že f (0) = ∞. z Cvičení 2.2.4. Rozhodněte, které z následujících funkcí f můžeme dodefinovat v bodě 0 tak, aby funkce zůstala spojitá. a) f (z) = 0; b) f (z) = Imz z ; c) f (z) = |z| ; d) f (z) = |z| ; e) f (z) = z z2 z Im z z Re z ; f ) f (z) = . |z|2 |z|

2.3

Spojitá křivka

Definice 2.3.1. Spojitou křivkou rozumíme libovolnou spojitou komplexní funkci reálné proměnné definovanou na některém uzavřeném intervalu, t.j. z = γ(t); t ∈ [α, β] ⊂ R. Poznámka 2.3.1. Křivkou se často rozumí pouze její obraz γ([α, β]), tedy množina bodů v komplexní rovině. Pro zdůraznění důležitosti funkčního předpisu také hovoříme o parametrizaci křivky. Spojitou křivku si můžeme představit jako trajektorii pohybujícího se bodu. Takto lze spojitou křivku orientovat dvěma způsoby: souhlasně s její parametrizací, když γ(α) je počáteční bod křivky a γ(β) je koncový bod křivky, nebo nesouhlasně s její parametrizací, je-li tomu obráceně. Definice 2.3.2. Spojitá křivka γ se nazývá uzavřená, je li γ(α) = γ(β). Spojitá křivka γ se nazývá jednoduchá nebo také Jordanova, plyne-li pro

30


libovolnou dvojici bodů x 6= y z intervalu [α, β] z rovnosti γ(x) = γ(y) rovnost {x, y} = {α, β}. Shodnost dvou spojitých křivek chápeme ve smyslu invariantnosti vzhledem k parametrizaci, ne vzhledem k jejich oboru hodnot. Definice 2.3.3. Křivky z = γ(t); t ∈ [α, β] a z = δ(t); t ∈ [a, b] jsou shodné, existuje-li taková monotónní spojitá bijekce φ : [α, β] → [a, b], že pro každé t ∈ [α, β] je γ(t) = δ(φ(t)). Poznamenajme, že jsou-li křivky γ a δ v uvedené definici shodné, pak nutně platí γ(α) = δ(a) a γ(β) = δ(b), je-li bijekce φ rostoucí, nebo γ(α) = δ(b) a γ(β) = δ(a), je-li φ klesající. Příklad 2.3.1. Uvažujme křivky α: z = cos t + i sin t, t ∈ [0, 2π], β: z = cos t + i sin t, t ∈ [0, 4π], γ: z = cos t + i sin t, t ∈ [0, π], δ: z = cos 2πt + i sin 2πt, t ∈ [0, 1], ϕ: z = sin t + i cos t, t ∈ [0, 2π]. Křivka α je jednoduchá uzavřená křivka a jejím obrazem je jednotková kružnice k1 se středem v počátku souřadnic. Ověřte (uvažte, že pro každé t ∈ R je | cos t + i sin t| = 1). Křivka β je uzavřená, není však jednoduchá, protože například β(0) = β(2π) = β(4π) = 1. Jejím obrazem je také kružnice k1 . Křivka γ je jednoduchá, ale není uzavřená, protože γ(0) = 1 6= −1 = γ(π). Jejím obrazem je půlkružnice k1 ∩ {z ∈ C; Im z ≥ 0}. Křivka δ je, stejně jako křivka α, jednoduchá, uzavřená a jejím obrazem je také kružnice k1 . Nakonec křivka ϕ je, jako křivky α a δ, jednoduchá uzavřená křivka a jejím obrazem je opět kružnice k1 . Z uvedených vlastností plyne, že žádná z křivek β, γ se nemůže rovnat žádné jiné zkoumané křivce. Jediné rovnosti, které mohou nastat jsou rovnosti mezi křivkami α, δ a ϕ. Definujeme-li bijekci φ : [0, 1] → [0, 2π] vztahem φ(t) = 2πt, pak máme pro každé t ∈ [0, 1] α(φ(t)) = δ(t)

2.3. SPOJITÁ KŘIVKA

31

a křivky α a δ jsou shodné. Na druhou stranu α(0) = 1 a ϕ(0) = ϕ(2π) = i, proto podle poznámky za definicí shodných křivek není možné, aby křivky α a ϕ byly shodné. Korespondenční úkol. Jsou dány křivky α : z = cos t + i sin t, t ∈ [0, 2π], β : z = sin t + i cos t, t ∈ [0, 2π], γ : z = − cos t + i sin t, t ∈ [0, 2π], δ : z = cos t − i sin t, t ∈ [0, 2π] a ε : z = cos t + i sin t, t ∈ [−2π, 2π]. Zjistěte, které z nich jsou shodné. Cvičení 2.3.1. Nechť α : z = t, t ∈ [−1, 1], β : z = cos t, t ∈ [0, π] a γ : z = cos t, t ∈ [0, 2π]. Pak platí α = β 6= γ. Dokažte. Cvičení 2.3.2. Dokažte, že množina všech bodů spojité křivky je uzavřená množina. Důležitým typem křivky je lomená čára, t.j. křivka, která je složena z na sebe navazujících úseček. Tento typ křivky jsme v předchozí kapitole užili k definici oblasti. Nyní můžeme vyslovit i jinou charakterizaci oblasti. Věta 2.3.1. Platí-li pro otevřenou množinu U ⊂ C, že ke každé dvojici bodů z1 , z2 ∈ U existuje spojitá křivka γ: [α, β] → U tak, že γ(α) = z1 a γ(β) = z2 , pak U je oblast. Příklad 2.3.2. Množina A = {z ∈ C; Re z < 0} je oblast, množina B = {z ∈ C; Re z ≥ 1} je uzavřená oblast. Množina C = {z ∈ C; Re z 6= 2} ovšem není oblast. Její body z1 = 1 a z2 = 3 nemůžeme spojit žádnou spojitou křivkou, která celá leží v C, neboť každá taková křivka nutně protne přímku Re z = 2. Věta 2.3.2. (Jordanova věta) Nechť γ je uzavřená Jordanova křivka. Pak γ rozděluje komplexní rovinu na dvě disjunktní oblasti G1 a G2 , jejichž společnou hranicí je křivka γ. Přitom jedna z těchto oblastí je omezená a druhá není. Omezenou oblast nazýváme vnitřek křivky γ a neomezenou oblast nazýváme vnějšek křivky γ. Definice 2.3.4. Oblast G nazýváme jednoduše souvislou, má-li následující vlastnost: Leží-li některá uzavřená Jordanova křivka γ celá v oblasti G, pak také celý vnitřek křivky γ leží v oblasti G. V opačném případě nazýváme oblast G vícenásobně souvislou. Příklad 2.3.3. Oblasti A = {z ∈ C; Im z > 1} a B = {z ∈ C; Arg z ∩ ( 3π , 3π) 6= ∅} jsou jednoduše souvislé. Naproti tomu oblasti C = {z ∈ C; 1 < 2 | Re z| < 2} a D = Uδ∗ (z), z ∈ C, δ > 0 jsou vícenásobně souvislé.

32


Cvičení 2.3.3. Rozhodněte, které oblasti jsou jednoduše souvislé: vnitřek kruhu, vnějšek kruhu, mezikruží, C − {0}.

2.4

Krátké shrnutí

Viděli jsme, že v komplexním oboru je pojem funkce daleko √ složitější než v oboru reálném. Mnohoznačné funkce, jako Arg z nebo n z nemají analogii mezi reálnými funkcemi a jejich mnohoznačnost nám bude v budoucnu působit jisté komplikace. Na druhé straně je dobře, že pojem limity a spojitosti (jednoznačné) komplexní funkce je znovu podobný a lze jej popsat limitou funkcí dvou reálných proměnných.

Kapitola 3 Diferenciální počet komplexních funkcí V této kapitole se naučíte zejména • určit, zda je komplexní funkce diferencovatelná, případně analytická; • vypočítat derivaci a diferenciál diferencovatelné funkce; • užívat pravidla pro derivaci součtu, součinu, podílu funkcí a pravidlo pro derivaci složené funkce; • zjistit, zda je daná funkce dvou reálných proměnných složkou analytické funkce. Klíčová slova: Derivace komplexní funkce, diferencovatelná funkce, diferenciál, analytická funkce, celá funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky diferencovatelnosti, harmonická funkce, harmonicky sdružené funkce.

3.1

Derivace a diferenciál

Definice 3.1.1. Nechť w = f (z) je komplexní funkce. Existuje-li lim

z→z0

nazývá se derivace funkce f v bodě z0 a značí se symbolem f 0 (z0 ). Příklad 3.1.1. Nechť f (z) = |z|z. Potom f (z) − f (0) |z|z = lim = lim |z| = 0, z→0 z→0 z z→0 z−0 lim

33

f (z)−f (z0 ) , z−z0

34 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ proto f je diferencovatelná v bodě z0 = 0 a f 0 (0) = 0. Pro funkci w = f (z) označme 4w = f (z) − f (z0 ) a 4z = z − z0 . Definice 3.1.2. Funkce w = f (z) je diferencovatelná v bodě z0 , jestliže existuje konstanta A ∈ C a taková funkce ε(z0 , 4z), že platí lim ε(z0 , 4z) = 0 4z→0

a navíc platí 4w = A4z + ε(z0 , 4z)4z.

(3.1)

Důležitý vztah mezi existencí derivace a diferencovatelností je dán následující větou. Věta 3.1.1. Funkce w = f (z) je diferencovatelná v bodě z0 právě tehdy, když má v bodě z0 derivaci a navíc platí A = f 0 (z0 ). Důkaz. Nechť f je diferencovatelná v bodě z0 . Z definice diferencovatelnosti a po dělení rovnice (3.1) výrazem 4z plyne lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) = A + lim ε(z0 , 4z) = A, z→z0 z − z0

z čehož plyne existence derivace funkce v bodě z0 a rovnost f 0 (z0 ) = A. Opačně, nechť má funkce f derivaci v bodě z0 . Pro z −z0 = 4z ∈ C označme ε(z0 , 4z) =

f (z0 + 4z) − f (z0 ) − f 0 (z0 ). 4z

Potom platí f (z0 + 4z) − f (z0 ) − f 0 (z0 ) = f 0 (z0 ) − f 0 (z0 ) = 0, 4z→0 4z

lim ε(z0 , 4z) = lim

4z→0

z čehož plyne diferencovatelnost funkce f v bodě z0 . Poslední věta má důležitý důsledek, kterého důkaz je přenechán čtenáři. Důsledek 3.1.1. Jestliže je funkce v bodě diferencovatelná, pak je v tomto bodě také spojitá. Definice 3.1.3. Jestliže je funkce w = f (z) v bodě z0 diferencovatelná, pak lineární výraz A4z nazýváme diferenciálem funkce f v bodě z0 a značíme jej df nebo dw. Píšeme též f 0 (z0 ) = dw . dz Cvičení 3.1.1. Ověřte, že funkce f (z) = (Re z)|z| je diferencovatelná v bodě z0 = 0 a f 0 (0) = 0. Cvičení 3.1.2. Dokažte, že funkce f (z) = Re z není nikde diferencovatelná.

3.2. PRAVIDLA PRO POČÍTÁNÍ DERIVACÍ

3.2

35

Pravidla pro počítání derivací

Počítáme-li derivaci v obecném bodě z (nikoliv ve speciálním bodě z0 ), uží(z) váme ekvivalentní tvar limity lim f (z+4z)−f . Následující příklady ukazují, 4z 4z→0

že derivace komplexních funkcí se často chovají podobně jako v oboru reálném. Příklad 3.2.1. Počítáme derivaci konstantní funkce f (z) = c v oblasti D. V libovolném bodě z ∈ D máme f (z + 4z) − f (z) c−c = lim = 0. 4z→0 4z→0 4z 4z

f 0 (z) = lim

Příklad 3.2.2. Ukážeme, že pro každé přirozené číslo n má funkce f (z) = z n derivaci f 0 (z) = nz n−1 . Dříve než budeme počítat derivaci, užijeme binomickou formuli n n−1 n n−2 2 n n n (a + b) = a + a b+ a b + ··· + abn−1 + bn 1 2 n−1 na úpravu výrazu n n−1 n n−2 n n n 2 (z+4z) = z + z 4z+ z (4z) +· · ·+ z(4z)n−1 +(4z)n . 1 2 n−1 Nyní spočítáme derivaci v libovolném bodě (z + 4z)n − z n f (z + 4z) − f (z) = lim = 4z→0 4z→0 4z 4z z n + n1 z n−1 4z + n2 z n−2 (4z)2 + · · · + (4z)n − z n = lim = 4z→0 4z 4z nz n−1 + n2 z n−2 (4z) + · · · + (4z)n−1 = lim = 4z→0 4z n n−2 n−1 = lim nz + z (4z) + · · · + (4z)n−1 = nz n−1 , 4z→0 2 (z n )0 = lim

neboť limity všech n − 1 členů obsahujících výraz 4z jsou rovny nule. Důvod, proč se derivace mocninné funkce v reálném a komplexním oboru často neliší, není náhodný. Zhruba řečeno, tkví v tom, že jak algebraické

36 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ operace, tak definice a pravidla počítaní limit jsou v reálném i komplexním oboru stejné. Analogicky, jako v předchozím příkladu, můžeme dokázat pravidla pro počítaní derivací komplexních funkcí, která se naprosto shodují s pravidly pro funkce reálné. Věta 3.2.1. (O derivaci a algebraických operacích.) Předpokládejme, že komplexní funkce f a g jsou diferencovatelné v bodě z. Potom je v bodě z diferencovatelný také jejich součet, rozdíl, součin a podíl (je-li v bodě z definován) a platí (D1) (f ± g)0 (z) = f 0 (z) ± g 0 (z); (D2) (f g)0 (z) = f 0 (z)g(z) + f (z)g 0 (z), speciálně pro konstantu c je (cf (z))0 = cf 0 (z); (D3) ( fg )0 (z) =

f 0 (z)g(z)−f (z)g 0 (z) ; g 2 (z)

Věta 3.2.2. (O derivaci složené funkce.) Nechť funkce w = f (z) je diferencovatelná v bodě z0 a funkce ζ = g(w) definována v okolí bodu w0 = f (z0 ) a diferencovatelná v bodě w0 . Potom složená funkce h = g◦f je diferencovatelná v bodě z0 a platí (g(f (z0 )))0 = g 0 (f (z0 ))f 0 (z0 ) . (3.2) Důsledkem je věta o derivaci inverzní funkce Věta 3.2.3. (O derivaci inverzní funkce) Nechť funkce w = f (z) sobrazuje vzájemně jednoznačně oblast D na oblast E, přičemž inverzní funkce f −1 je jednoznačná a spojitá na oblasti E. Potom, jestliže je funkce f diferencovatelná v bodě z0 a f 0 (z0 ) 6= 0, pak je inverzní funkce z = f −1 (w) diferencovatelná v bodě w0 = f (z0 ) a platí (f −1 )0 (w0 ) =

1 f 0 (z0 )

.

(3.3)

Existují ovšem také funkce, jejichž derivace nelze počítat aplikací výše uvedených pravidel. Příklad 3.2.3. Vyšetříme diferencovatelnost funkce f (z) = |z|. Jestliže derivace v obecném bodě z existuje, tak platí f (z + 4z) − f (z) |z + 4z| − |z| = lim . 4z→0 4z→0 4z 4z

f 0 (z) = lim

3.2. PRAVIDLA PRO POČÍTÁNÍ DERIVACÍ

37

Ukážeme, že poslední limita neexistuje v žádném bodě komplexní roviny. Jestliže z = 0, potom |0 + 4z| − |0| |4z| |z + 4z| − |z| = lim = lim , 4z→0 4z→0 4z 4z→0 4z 4z lim

která neexistuje ani v reálném oboru, protože limita zprava se rovná 1 a limita zleva se rovná −1. Nechť nyní z 6= 0. Uvažujme dva způsoby jak se bod 4z blíží k bodu 0: a) 4z = tz, kde t ∈ R a t → 0, b) 4z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) − z, kde ϕ ∈ R a ϕ → arg z. Ověřte, že v obou případech skutečně 4z → 0 a načrtněte křivky, po nichž se limitní proces děje. V případě a) dostáváme (pro reálná t blízké 0) |z + tz| − |z| |z||1 + t| − |z| |z + 4z| − |z| = lim = lim = t→0 t→0 4z→0 4z tz tz lim

|1 + t| − 1 |z| 1+t−1 |z| |z| lim = lim = 6= 0. z t→0 t z t→0 t z V případě b) napřed uvažme, že z rovnosti z + 4z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) plyne |z + 4z| = |z|. Proto |z + 4z| − |z| = 0, lim 4z→0 4z =

|z+4z|−|z| 4z 4z→0

z čehož plyne, že limita lim

neexistuje, a proto ani f 0 (z) neexistuje

v žádném bodě komplexní roviny. Příklad 3.2.4. Zkusíme zjistit, ve kterých bodech je diferencovatelná funkce f (z) = |z|z. V Příkladu 3.1.1 jsme už viděli, že f je diferencovatelná v bodě z = 0 a platí f 0 (0) = 0. Nechť tedy z 6= 0. Počítáme (první rovnost platí ovšem pouze tehdy, když počítaná limita existuje) f (z + 4z) − f (z) |z + 4z|(z + 4z) − |z|z = lim = 4z→0 4z→0 4z 4z

f 0 (z) = lim

|z + 4z|z − |z|z |z + 4z|4z + lim = 4z→0 4z→0 4z 4z

= lim

|z + 4z| − |z| |z + 4z| − |z| + lim |z + 4z| = z lim + z. 4z→0 4z→0 4z→0 4z 4z

= z lim

38 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ Derivace f 0 (z) pro z 6= 0 tedy existuje právě tehdy když existuje lim

4z→0

|z+4z|−|z| . 4z

V předchozím příkladu je ovšem ukázáno, že tato limita neexistuje, proto je funkce f (z) = |z|z diferencovatelná v jediném bodě z = 0. Cvičení 3.2.1. Použijte větu o derivaci a algebraických operacích k nalezení derivací funkcí 2 +z a) f (z) = 4z 5 − 2z 3 + z 2 − 1, b) f (z) = z14 , c) f (z) = 4z−3 , d) f (z) = 3z . z 2 −1 z 3 −2 Cvičení 3.2.2. Dokažte, že pro derivaci polynomu P (z) = an z n +an−1 z n−1 + . . . a2 z 2 + a1 z + a0 platí formule (P (z))0 = nan z n−1 + (n − 1)an−1 z n−2 + . . . 2a2 z + a1 . Cvičení 3.2.3. Použijte větu o derivaci složené funkce k nalezení derivací funkcí 2 7 z +1 a) f (z) = (4z +5)12 , b) f (z) = (2z 6 −5z 4 +z 3 −4z +2)5 , c) f (z) = 3z−2 . Cvičení 3.2.4. Najděte funkci inverzní k funkci w = f (z), najděte derivace obou funkcí a ověřte platnost vztahu (3.3). a) w = 3z − 11, b) w = 2z−5 , c) w = z 3 + 5. z+3

3.3

Nutná a postačující podmínka pro diferencovatelnost komplexní funkce

V příkladech 3.2.3 a 3.2.4 už jsme viděli, že někdy je obtížné ověřit diferencovatelnost i zdánlivě jednoduchých funkcí. V této části vyslovíme podmínku nutnou a postačující k diferencovatelnosti komplexní funkce f v závislosti na diferencovatelnosti reálné a imaginární složky funkce f , chápaných jako funkce dvou reálných proměnných. Rovněž vyjádříme derivaci funkce f (existuje-li) pomocí parcialních derivací jejích složek. Ještě než vyslovíme větu, která o tom všem pojednává, zopakujme si, co to znamená, že funkce dvou proměnných je diferencovatelná. Definice 3.3.1. Reálná funkce ϕ(x, y) je diferencovatelná v bodě (x0 , y0 ), jestliže existují takové reálné konstanty A1 a A2 a reálné funkce ε1 (4x, 4y) a ε2 (4x, 4y), že pro všechna (4x, 4y) z jistého okolí bodu (0, 0) platí 4ϕ = ϕ(x0 + 4x, y0 + 4y) − ϕ(x0 , y0 ) =

3.3. CAUCHYHO-RIEMANNOVY PODMÍNKY = A1 4x + A2 4y + ε1 (4x, 4y)4x + ε2 (4x, 4y)4y

39 (3.4)

a navíc lim (4x,4y)→(0,0)

ε1 (4x, 4y) =

lim (4x,4y)→(0,0)

ε2 (4x, 4y) = 0.

Navíc, je-li ϕ(x, y) diferencovatelná v bodě (x0 , y0 ), pak pro čísla A1 , A2 platí A1 =

∂ϕ (x0 , y0 ) ∂x

a

A2 =

∂ϕ (x0 , y0 ). ∂y

(3.5)

Následující věta opisuje vztah mezi diferencovatelností komplexní funkce a diferencovatelností její složek a je velice důležitá. Věta 3.3.1. Komplexní funkce f (z) = u(x, y) + iv(x, y) budiž definována v okolí bodu z0 = x0 + iy0 . Potom f je diferencovatelná v bodě z0 právě tehdy, jsou-li v bodě (x0 , y0 ) diferencovatelné obě funkce u(x, y) a v(x, y) a navíc pro jejich parcialní derivace v bodě (x0 , y0 ) platí rovnosti ∂u ∂v = ∂x ∂y

a

∂u ∂v =− . ∂y ∂x

(3.6)

Pokud derivace f 0 (z0 ) existuje, lze ji vypočítat pomocí parcialních derivací funkcí u a v podle vztahu‌ f 0 (z0 ) =

∂v ∂v ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂u +i = −i = −i = +i . ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x

(3.7)

kde všechny parcialní derivace jsou brány v bodě (x0 , y0 ). Důkaz: Označme 4z = z − z0 = (x − x0 ) + i(y − y0 ) = 4x + i4y a 4w = f (z)−f (z0 ) = (u(x, y)−u(x0 , y0 ))+i(v(x, y)−v(x0 , y0 )) = 4u+i4v . Důkaz implikace ⇒: Nechť f je diferencovatelná v bodě z0 . Označme f 0 (z0 ) = a + ib a kvůli jednoduchosti také ε(z0 , 4z) = ε = ε1 + iε2 . Díky diferencovatelnosti f můžeme předchozí rovnici přepsat 4w = f 0 (z0 )4z + ε4z = (a + ib)(4x + i4y) + (ε1 + iε2 )(4x + i4y) =

40 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ (a4x − b4y + ε1 4x − ε2 4y) + i(b4x + a4y + ε2 4x + ε1 4y) = 4u + i4v. Srovnáním reálné a imaginární části levé a pravé strany předchozí rovnice dostáváme 4u = a4x − b4y + ε1 4x − ε2 4y a 4v = b4x + a4y + ε2 4x + ε1 4y. Podmínka lim ε = 0 implikuje 4z→0

lim (4x,4y)→(0,0)

ε1 = 0 a

lim (4x,4y)→(0,0)

ε2 = 0.

Z toho plyne, že obě funkce u a v jsou v bodě (x0 , y0 ) diferencovatelné a podle (3.5) platí ∂u ∂u ∂v ∂v (x0 , y0 ) = a, (x0 , y0 ) = −b, (x0 , y0 ) = b, (x0 , y0 ) = a, ∂x ∂y ∂x ∂y což potvrzuje platnost podmínek (3.6). Konečně f 0 (z0 ) = a + ib =

=

∂u ∂v ∂v ∂u (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) − i (x0 , y0 ) = ∂x ∂x ∂y ∂y

∂u ∂u ∂v ∂v (x0 , y0 ) − i (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ). ∂x ∂y ∂y ∂x

Důkaz implikace ⇐: Nechť funkce u a v jsou diferencovatelné v bodě (x0 , y0 ) a platí podmínky (3.6). Potom platí 4u =

∂u ∂u (x0 , y0 )4x + (x0 , y0 )4y + α1 4x + α2 4y ∂x ∂y

(3.8)

4v =

∂v ∂v (x0 , y0 )4x + (x0 , y0 )4y + β1 4x + β2 4y, ∂x ∂y

(3.9)

a

kde lim (4x,4y)→(0,0)

α1 =

lim (4x,4y)→(0,0)

α2 =

lim (4x,4y)→(0,0)

β1 =

lim (4x,4y)→(0,0)

β2 = 0. (3.10)

3.3. CAUCHYHO-RIEMANNOVY PODMÍNKY

41

Navíc, díky podmínkám (3.6) existují reálné konstanty a a b tak, že ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) = a ∂x ∂y

−

a

∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) = b. ∂y ∂x

Dosazením do rovnic (3.8) a (3.9) dostáváme 4u = a4x − b4y + α1 4x + α2 4y,

4v = b4x + a4y + β1 4x + β2 4y.

Dále dosadíme a přeuspořádáme 4w = 4u+i4v = a(4x+i4y)+ib(4x+i4y)+(α1 +iβ1 )4x+(α2 +iβ2 )4y = 4x 4y + (α2 + iβ2 ) 4z = A4z + ε4z, = (a + ib)4z + (α1 + iβ1 ) 4z 4z kde A = a+ib a ε = (α1 +iβ1 ) 4x +(α2 +iβ2 ) 4y . Proto, užitím trojúhelníkové 4z 4z nerovnosti a faktu, že vztahy | Re z| ≤ |z|

a

|Imz| ≤ |z|

platí pro libovolné komplexní číslo z, dostáváme 4y 4x ≤ + (α2 + iβ2 ) |ε| = (α1 + iβ1 ) 4z 4z 4x 4y + |α2 + iβ2 | ≤ |α1 + iβ1 | 4z ≤ |α1 | + |β1 | + |α2 | + |β2 |. 4z Z poslední nerovnosti a ze vztahů (3.10) konečně plyne, že

lim

ε = 0,

(4x,4y)→(0,0)

což dokazuje, že funkce f je diferencovatelná v bodě z0 a pro její derivaci platí f 0 (z0 ) = A = a + ib = =

∂u ∂v ∂v ∂u (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) − i (x0 , y0 ) = ∂x ∂x ∂y ∂y

∂u ∂u ∂v ∂v (x0 , y0 ) − i (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ). ∂x ∂y ∂y ∂x

Poznamenejme, že důležité podmínky (3.6) nazýváme Cauchyovy-Riemannovy podmínky diferencovatelnosti komplexní funkce. V dalším textu je budeme také značit zkráceně jako CR podmínky.

42 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ Příklad 3.3.1. Pomocí předchozí věty už teď lehko spočítáme Příklad 3.2.3. To, že funkce nemá derivaci v bodě z = 0 spočítáme pjednoduše tak, jako tomu bylo ve zmíněném příkladu. Nechť f (z) p = |z| = x2 + y 2 . Jelikož hodnota f (z) je reálné číslo, vidíme, že u(x, y) = x2 + y 2 a v(x, y) = 0. První z CR podmínek pro (x, y) 6= (0, 0) ∂u x ∂v =p = =0 2 2 ∂x ∂y x +y platí pouze v případě x = 0 a y 6= 0. Podobně druhá z CR podmínek y ∂u ∂v =p =0 =− ∂y ∂x x2 + y 2 platí pouze v případě y = 0 a x 6= 0. Proto komplexní funkce f (z) = |z| není diferencovatelná v žádném bodě komplexní roviny. Příklad 3.3.2. Zjistíme, ve kterých bodech je diferencovatelná funkce w = z 2 Im z. Pro z = x + iy máme w = (x + iy)2 y = x2 y − y 3 + i2xy 2 . Proto u(x, y) = x2 y − y 3 a v(x, y) = 2xy 2 a, následně, ∂u ∂u ∂v ∂v = 2xy; = x2 − 3y 2 ; = 2y 2 ; = 4xy. ∂x ∂y ∂x ∂y Dosazením do první z Cauchyho-Riemannových rovnic 2xy = 4xy, z čehož plyne xy = 0. Dosazením do druhé z Cauchyho-Riemannových rovnic x2 − 3y 2 = −2y 2 , z čehož plyne x2 = y 2 , tedy

∂u ∂x

=

∂v ∂y

dostáváme (3.11)

∂u ∂y

∂v = − ∂x dostáváme

|x| = |y|.

(3.12)

Obě rovnice (3.11) a (3.12) jsou splněny pro jedinou dvojici (x, y) = (0, 0), proto funkce w = z 2 Im z je diferencovatelná v jediném bodě z = 0. Pro derivaci v tomto bodě platí f 0 (0) =

∂u ∂v (0, 0) + i (0, 0) = 0 + i0 = 0. ∂x ∂x

3.4. ANALYTIČNOST KOMPLEXNÍ FUNKCE

43

Cvičení 3.3.1. Ověřte Cauchyho-Riemannovy podmínky pro funkci f (z) = z 2 = (x + iy)2 a porovnejte hodnotu derivace této funkce, kterou dostaneme z Příkladu 3.2.2 pro n = 2, s hodnotou ze vztahu( 3.7). Cvičení 3.3.2. Použijte CR podmínky k vyšetření diferencovatelnosti funkcí a) f (z) = z, b) f (z) = Re z 2 , c) f (z) = x2 , kde z = x + iy, d) f (z) = z 2 .

3.4

Analytičnost komplexní funkce

Definice 3.4.1. Říkáme, že komplexní funkce w = f (z) je analytická v bodě z0 , jestliže je diferencovatelná v každém bodě nějakého okolí bodu z0 . Cvičení 3.4.1. Dokažte, že pro každou komplexní funkci platí, že množina všech bodů, ve kterých je funkce analytická, je otevřená. Definice 3.4.2. Komplexní funkce w = f (z) je analytická v oblasti D, jestliže je analytická v každém bodě oblasti D. Funkci, která je analytická v celé komplexní rovině, říkáme celá funkce. Už jsme viděli, že f (z) = z n je pro přirozené číslo n funkce celá. Díky Větě 3.2.1 je lehké nahlédnout, že také každý polynom P (z) = an z n + an−1 z n−1 +· · ·+a1 z +a0 je celá funkce. Obecněji, každá racionální funkce, t.j. P (z) podíl dvou polynomů f (z) = Q(z) , je funkce analytická v každém bodě vyjma nulovźch bodů polynomu Q(z), kterých je ovšem jen konečně mnoho. Napří7 5 4 −11z+8 klad funkce f (z) = 5z −4z z+6z je analytická v oblasti D: C − {−1, 1}. 2 −1 Následující příklad ukazuje, že vlastnost funkce být analytickou v bodě je skutečně silnější než vlastnost být diferencovatelnou v daném bodě. Příklad 3.4.1. Už jsme viděli v Příkladu 3.1.1, že funkce w = z|z| je diferencovatelná pouze v bodě z = 0. Jelikož tato funkce není diferencovatelná v každém bodě žádného okolí bodu 0, funkce není nikde analytická. Příklad 3.4.2. Uvažujme funkci f (z) = ex (cos y + i sin y) proměnné z = x + iy. Ukážeme, že jde o celou funkci a najdeme její derivaci. Funkci rozložíme na složky f (z) = u(x, y) + iv(x, y),

kde u(x, y) = ex cos y a v(x, y) = ex sin y

a pro ověření CR podmínek určíme všechny možné parcialní derivace ∂u = ex cos y, ∂x

∂u = −ex sin y, ∂y

∂v = ex sin y, ∂x

∂v = ex cos y. ∂y

44 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ Vidíme, že obě CR podmínky jsou splněny pro každé z = x + iy ∈ C, proto jde o celou funkci. Na výpočet derivace užijeme vzorec (3.7), čímž dostáváme f 0 (z) =

∂u ∂v +i = ex cos y + iex sin y = ex (cos y + i sin y) = f (z). ∂x ∂x

Poznámka 3.4.1. Protože vztah ϕ0 (x) = ϕ(x) platí v reálném oboru pouze pro funkci ϕ(x) = ex (a všechny její násobky konstantou), je přirozené definovat exponenciální funkci v komplexním oboru vztahem ez = exp(z) = ex (cos y + i sin y),

z = x + iy.

(3.13)

Speciálně pro ryze imaginární čísla dostávame exp(iy) = cos y + i sin y, což je komplexní jednotka. Navíc z poslední rovnosti plyne, že funkce ϕ : R → C definovaná vztahem ϕ(y) = exp(iy) je periodická s periodou 2π. Z toho plyne, že exponenciální funkce umožňuje poněkud zjednodušit zápis nenulového komplexního čísla v goniometrickém tvaru na tzv. exponenciální tvar z = |z| (cos(Arg z) + i sin(Arg z)) = |z| exp(i Arg z) = |z| exp(i arg z). (3.14) Cvičení 3.4.2. Zjistěte, ve kterých bodech jsou funkce analytické, případně pouze diferencovatelné a) w = zz 2 , b) w = Im z 2 , c) w = e−x (cos y − i sin y); z = x + iy, d) w = |x2 − y 2 | − 2i|xy|; z = x + iy, e) w = ex (cos y + i cos y); z = x + iy.

3.5

Reálná a imaginární složka analytické funkce

V této části se budeme zabývat otázkou, které dvojice reálných funkcí dvou proměnných u(x, y) a v(x, y) definované v nějaké oblasti D mohou být složkami některé komplexní funkce analytické v oblasti D. Ve druhé části tohto textu uvidíme, že každá analytická funkce má derivace všech řádu. ‌ V důsledku Věty 3.3.1 pak dostáváme nutnou podmínku pro takové funkce: musí mít parciální derivace všech řádů podle obou proměnných v každém bodě. Z CR podmínek (3.6) teď vyvodíme, že tato podmínka ovšem není postačující.

3.5. REÁLNÁ A IMAGINÁRNÍ SLOŽKA ANALYTICKÉ FUNKCE

45

Diferencujme první CR podmínku podle proměnné x a druhou podmínku podle proměnné y. Dostáváme ∂2u ∂2v = ∂x2 ∂x∂y

a

∂2u ∂2v . = − ∂y 2 ∂y∂x

(3.15)

Jelikož funkce v(x, y) má parciální derivace všech řádů podle obou proměn∂2v ∂2v ných, platí ∂x∂y = ∂y∂x . Porovnáním obou rovnic (3.15) dostáváme ∂2u ∂2u + = 0. ∂x2 ∂y 2

(3.16)

Diferencováním první CR podmínky podle proměnné y a druhé podmínky podle proměnné x (proveďte jako cvičení) dostáváme obdobnou rovnici pro funkci v ∂2v ∂2v + = 0. (3.17) ∂x2 ∂y 2 Poznamenajme, že parciální difernciální rovnice druhého řádu ∂2ϕ ∂2ϕ + 2 =0 ∂x2 ∂y

(3.18)

pro neznámou funkci ϕ se nazývá Laplaceova rovnice a každá funkce, která ji splňuje, se nazývá funkce harmonická. Právě jsme tedy dokázali následující větu. Věta 3.5.1. Jestliže je funkce dvou proměnných reálnou nebo imaginární složkou některé analytické funkce v oblasti D, pak je daná funkce dvou proměnných harmonická v oblasti D. Tímto je naše otázka částečně vyřešená. Je přirozené se ptát, zda je podmínka harmoničnosti také postačující. Kladnou odpověď v případě jednoduše souvislé oblasti dává následující věta. Věta 3.5.2. Každá funkce dvou proměnných, která je harmonická v jednoduše souvislé oblasti D, je reálnou (imaginární) složkou některé funkce analytické v oblasti D. Důkaz této věty vyžaduje poněkud hlubší znalosti z teorie křivkového integrálu funkcí dvou proměnných. Proto budeme metodu, jak k dané harmonické funkci najít příslušnou analytickou funkci, ilustrovat v poněkud zjednodušené podobě na příkladu.

46 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ Příklad 3.5.1. Funkce u(x, y) = 21 ln(x2 + y 2 ) je harmonická v oblasti D = {z ∈ C; Re z > 0} (ověřte). Hledáme harmonickou funkci v(x, y) tak, že funkce f (z) = u(x, y) + iv(x, y) je analytická v D. Diferencujíce funkci u podle obou proměnných, z CR podmínek dostáváme ∂v ∂u y =− =− 2 , ∂x ∂y x + y2

∂u x ∂v = = 2 . ∂y ∂x x + y2

(3.19)

Integrujíce druhou rovnici podle proměnné y, dostáváme funkci v s přesností až na konstantu vzhledem k proměnné y (tedy funkci pouze proměnné x). V integrálu užijeme substituce t = xy , dt = x1 dy. Z Z Z x x 1 1 v(x, y) = dy = 2 dt = 2 dy = 2 2 y x +y x 1 + t2 1+ x

y + c(x). x Derivujíce tuto rovnost podle proměnné x a dosazením do první rovnice (3.19) dostáváme y 1 y y ∂v 0 0 = + c (x) = − + c (x) = − . − 2 ∂x x2 x2 + y 2 x2 + y 2 1 + xy = arctg t + c(x) = arctg

Tedy c0 (x) = 0 a následně c(x) = c, kde c ∈ C je konstanta. Proto v(x, y) = arctg xy + c. Jelikož pro z = x + iy v oblasti D platí arg z = arctg xy , máme v(x, y) = arg z + c a následně f (z) = u + iv =

1 ln(x2 + y 2 ) + i arg z + ic = ln |z| + i arg z + ic. 2

Samozřejmě, ne každá dvojice harmonických funkcí v dané oblasti D tvoří složky téže analytické funkce v oblasti D. Jednotlivě je možné každou z nich doplnit na analytickou funkci, ale jako dvojice „nemusí k sobě pasovat “ , přesněji řečeno daná dvojice funkcí nemusí splňovat CR podmínky. Toto vyjádřuje následující definice. Definice 3.5.1. Dvojice funkcí ϕ(x, y) a ψ(x, y) se nazývá dvojice harmonicky sdružených funkcí v oblasti D, pokud jsou obě funkce harmonické v oblasti D a splňují tam Cauchyho-Riemannovy podmínky (3.6). Poslední věta této části je přímým důsledkem předchozích dvou.

3.6. KONFORMNÍ ZOBRAZENÍ*

47

Věta 3.5.3. Funkce u(x, y) a v(x, y) tvoří reálnou a imaginární složku některé analytické funkce w = f (z) v oblasti D právě tehdy, jsou-li harmonicky sdružené v oblasti D. Korespondenční úkol. Najděte funkci f (z) = u(x, y)+iv(x, y) analytickou v oblasti D = C − (−∞, 0], když je daná její imaginární složka v(x, y) = x2 − y 2 − 2(x2y+y2 ) + x. Cvičení 3.5.1. Najděte funkci f (z) = u(x, y) + iv(x, y) analytickou v oblasti D, když je dáno a) u(x, y) = y 2 − x2 a D = C, b) v(x, y) = arctg xy a D = {x + iy ∈ C; x > 0}, c) u(x, y) = e−2x cos 2y a D = C, d) u(x, y) = xy + 1 a D = C, e) v(x, y) = ln(x2 + y 2 ) a D = C − [0, +∞). Cvičení 3.5.2. Dokažte, že analytická funkce f (z) v oblasti D je konstantní jestliže je splněna alespoň jedna z podmínek a) f (z) má pouze reálné hodnoty, b) Re f (z) = konstanta. Cvičení 3.5.3. Nechť u(x, y) je funkce harmonická v oblasti D. Bude harmonická také funkce u2 (x, y)?

3.6

Konformní zobrazení*

V úvodu této části připomeňme geometrický smysl lineární funkce w = az, kde a ∈ C je konstanta: Obraz w vznikne z bodu z jeho otočením kolem počátku o úhel arg a a následnou stejnolehlostí se středem v počátku a koeficientem |a|. Definice 3.6.1. Říkáme, že zobrazení ϕ definované v oblasti D zachovává úhly, jestliže pro každý bod z ∈ D a libovolné dvě křivky L1 a L2 procházející bodem z a mající v bodě z tečny svírající úhel α platí, že křivky f (L1 ) a f (L2 ) mají tečny v bodě f (z) a jejich úhel je také α. Definice 3.6.2. Zobrazení, které v každém bodě oblasti D zachovává úhly, nazýváme zobrazení konformní v oblasti D.

48 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ Uvažujme nyní funkci w = f (z) analytickou v oblasti D. Potom platí w = w0 + f 0 (z0 )4z + ε(z0 , 4z)4z kde lim ε(z0 , 4z). To znamená, že absolutní hodnota posledního sčítance je 4→0

pro hodnoty 4z blízké nule řádově menší než absolutní hodnoty druhých dvou členů pravé strany rovnice. Proto, jestliže f 0 (z0 ) 6= 0, analytická funkce f se v okolí bodu z0 chová velice podobně jako lineární funkce w = w0 + f 0 (z0 )(z − z0 ), t.j. 4w = f 0 (z0 )4z,

(3.20)

kde 4w = w − w0 a 4z = z − z0 . Geometricky to znamená, že funkce f se v okolí bodu z0 chová přibližně jako složení tří zobrazení: • posunutí, které zobrazí bod z0 na bod w0 = f (z0 ) (to proto, že okolí bodu z0 se zobrazí na některé okolí bodu w0 ); • otočení o úhel arg f 0 (z0 ) kolem bodu w0 ; • stejnolehlost se středem v bodě w0 a koeficientem q = |f 0 (z0 )|. Z toho plyne následující věta o geometrickém smyslu derivace komplexní funkce. Věta 3.6.1. Nechť f je funkce analytická v oblasti D a nechť pro každé z ∈ D platí f 0 (z) 6= 0. Potom f je konformní zobrazení oblasti D na oblast f (D). Navíc pro každý bod z0 ∈ D platí: • Jestliže f 0 (z0 ) = 1, tak f se v okolí bodu z0 chová přibližně jako shodnost w − w0 = z − z0 , což je posunutí, které zobrazí bod z0 do bodu w0 . • Jestliže f 0 (z0 ) 6= 1, tak f se v okolí bodu z0 chová přibližně jako složení podobnosti, která vznikne posunutím bodu z0 do bodu w0 , otočení kolem bodu w0 o úhel arg f 0 (z0 ) a stejnolehlosti se středem z0 a koeficientem |f 0 (z0 )|. Příklad 3.6.1. Ukážeme, jak se chová funkce w = f (z) = z 2 + 2z v okolí bodu z0 = i. Nejdřívě vypočítáme w0 = f (z0 ) = i2 + 2i = −1 + 2i. Pak vypočítáme derivaci f 0 (z) = 2z + 2 a její hodnotu v bodě i f 0 (i) = 2 + 2i. Dosazením do vztahu (3.20) při značení 4w = w − w0 = w − (−1 + 2i)

a 4z = z − z0 = z − i


49

dostáváme w − (−1 + 2i) = (2 + 2i)(z − i)

t.j. 4w = (2 + 2i)4z.

Proto se daná funkce v okolí bodu z0 = i chová jako složení tří zobrazení: • posunutí z bodu z0 = i do bodu w0 = −1 + 2i; • otočení kolem bodu w0 = −1 + 2i o úhel arg(2 + 2i) = π4 ; • stejnolehlost se středem v bodě w0 = −1+2i a koeficientem q = |2+2i| = √ 2 2. Cvičení 3.6.1. Popište přibližně lokální chování funkce w = f (z) v okolí bodu z0 . a) w = z 2 a z0 = 1, b) w = e−x (cos y − i sin y) a z0 = i, c) w = −iz 2 a z0 = −i, d) w = z+1 a z0 = 1 − i. z

3.7

Krátké shrnutí

Viděli jsme, že pojem derivace komplexní funkce a pravidla, jimiž se řídí jsou analogické jako funkce reálné. Všechny komplexní funkce, které jsou rozšířením funkcí reálných (mocninná funkce, polynomy, exponenciální funkce a uvidíme taky další) mají derivace tytéž jak v oboru reálném. Na druhé straně, některé funkce neznámé z reálného oboru (například zz, z 2 Re z, Im z|z|) buďto nemají nebo mají derivaci pouze výjimečně. Nejdůležitějším poznatkem v této části jsou nutné a postačující podmínky diferencovatelnosti a návod jak najít derivaci, což je popsané podmínkami Cauchy-Riemanna.

50 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

Kapitola 4 Elementární funkce V této kapitole se naučíte zejména • poznat elementární komplexní funkce; • určit jejich základní vlastnosti; • nacházet spojité jednoznačné větvě mnohoznačných elementárních komplexních funkcí. Klíčová slova: Lineární lomená funkce, mocninná funkce, odmocninná funkce, exponenciální funkce, logaritmická funkce, trigonometrické funkce, inverzní trigonometrické funkce, hyperbolické funkce, mocninná funkce s obecným exponentem, exponenciální funkce s obecným základem.

4.1

Úvod

V této části definujeme elementární komplexní funkce a ukážeme jejich vlastnosti. U každé funkce nejdříve vyslovíme její definici a pak určíme její základní vlastnosti jako jsou • definiční obor funkce; • oblast, ve které je funkce analytická, případně konformní; • zda je funkce jednoznačná, případně prostá • obor hodnot funkce 51

52

KAPITOLA 4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE • další vlastnosti funkce a její vztahy k jiným elementárním funkcím.

Jelikož mnohé z vlastností byly již diskutovány v předchozím textu, část z nich je prezentována formou cvičení, kde je důkaz přenechán čtenáři.

4.2

Lineární lomená funkce

Definice 4.2.1. Lineární lomenou funkcí rozumíme funkci L(z) =

az + b ; cz + d

kde a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0 a c 6= 0 nebo d 6= 0.

Cvičení 4.2.1. Proč předpokládáme podmínku ad − bc 6= 0 v definici lineární v případě ad−bc = lomené funkce? Návod: Uvažte vlastnosti funkce w = az+b cz+d 0. Vlastnosti funkce. 1. Funkce L(z) je jednoznačná analytická funkce definovaná v oblasti D = C − {− dc }. Dokažte. 2. Pro derivaci funkce L platí L0 (z) =

ad − bc a(cz + d) − c(az + b) = 6= 0. 2 (cz + d) (cz + d)2

Proto funkce L(z) je konformní zobrazení v celé oblasti D. 3. Funkce L(z) je prostá celém definičním oboru. Skutečně L(z1 ) − L(z2 ) =

(ad − bc)(z1 − z2 ) az1 + b az2 + b − = , cz1 + d cz2 + d (cz1 + d)(cz2 + d)

z čehož plyne, že L(z1 ) 6= L(z2 ), pokud z1 6= z2 . 4. Obor hodnot funkce L určíme tak, že zjistíme, pro které hodnoty má rovnice w = L(z) řešení v komplexním oboru. Tím rovněž určíme případnou inverzní funkci. Vyjádříme neznámou z z rovnice w=

b − dw az + b ⇔ w(cz + d) = az + b ⇔ (cw − a)z = b − dw ⇔ z = . cz + d cw − a

To znamená, že oborem hodnot funkce L je oblast C − { ac }. V této oblasti je definována jednoznačná inverzní funkce k funkci L z = L−1 (w) =

b − dw . cw − a

4.3. MOCNINNÁ FUNKCE S PŘIROZENÝM EXPONENTEM

53

5. lim L(z) = ∞, lim L(z) = ac . Dokažte. z→− dc

z→∞

6. Doplňme definici funkce L(z) následovně: L(− dc ) = ∞ a L(∞) = ac . Takto dodefinovaná funkce je spojité prosté zobrazení rozšířené komplexní roviny na sebe. Dokažte. Cvičení 4.2.2. Určte vlastnosti funkce a) L(z) =

4.3

2z+5 1−4z

b) L(z) =

3−2z . 6z+3

Mocninná funkce s přirozeným exponentem

Mocninnou funkcí s přirozeným exponentem (zkráceně mocninnou funkcí) rozumíme funkci w = f (z) = z n ;

kde n ∈ N.

Vlastnosti funkce. 1. Definičním oborem mocninné funkce je celá komplexní rovina C. 2. Již jsme viděli, že pro každé komplexní číslo z platí (z n )0 = nz n−1 . Proto jde o celou funkci, která je konformní v oblasti C − {0} (f 0 (0) = 0). Speciálním případem mocninné funkce je identická funkce w = z, t.j. případ n = 1. Tato funkce je totiž taky příklad funkce lineární lomené (viz výše) pro hodnoty parametrů a = d = 1 a b = c = 0, jejiž vlastnosti již známe. Proto budeme až do konce tohoto paragrafu předpokládat n ≥ 2. 3. Mocninná funkce není konformním zobrazením v bodě 0 (t.j. úhly křivek, které se protínají v bodě 0 sa nemusí zachovat při zobrazení mocninnou funkcí). Dokažte. (Návod: uvažte přímky arg z = 0 a arg z = π2 .) 4. Jestliže n > 1, pak funkce není prostá. Dokažte. Pro dané reálné číslo ϕ označme Lϕ = {0} ∪ {z ∈ C; ϕ ∈ Arg z} polopřímku z bodu 0 a směrovým úhlem ϕ a pro dané reálné konstanty φ0 a ] označme α ∈ (0, 2π n D(φ0 , α) = {z ∈ C; Arg z ∩ (φ0 , φ0 + α) 6= ∅} oblast tvořenou úhlem velikosti α, jehož ramena tvoří polopřímky Lφ0 a Lφ0 +α .

54

KAPITOLA 4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

Věta 4.3.1. Funkce w = f (z) = z n je prostá v každé oblasti tvaru D = ]. Obraz f (D) D(φ0 , α) pro libovolné dané reálné konstanty φ0 a α ∈ (0, 2π n n oblasti D při dané funkci w = f (z) = z je oblast G = D(nφ0 , nα). Tedy mocninná funkce definovaná v oblasti D má inverzní funkci f −1 definovanou v oblasti G a platí f (D(φ0 , α)) = D(nφ0 , nα)

a

f −1 (D(nφ0 , nα)) = D(φ0 , α).

(4.1)

Speciálně pro α = 2π je D(nφ0 , nα) = C − Lnφ , a tedy oblasti tvaru D(φ0 , 2π ) n n pro φ0 ∈ R jsou maximální oblasti, ve kterých je f prostá. Důkaz: Nechť φ0 ∈ R a α ∈ (0, 2π ]. Dokážeme, že n (i) f je prostá v oblasti D(φ0 , α), (ii) platí vztah (4.1), (iii) Jestliže D(φ0 , 2π ) ⊂ D0 , D(φ0 , 2π ) 6= D0 a D0 je oblast, pak f není n n 0 prostá v oblasti D . (i) Zvolme dvě komplexní čísla z1 = |z1 |(cos(Arg z1 )+i sin(Arg z1 )),

z2 = |z2 |(cos(Arg z2 )+i sin(Arg z2 ))

a předpokládejme, že platí z1n = z2n . Potom, užijíce Moivreovy věty, máme |z1 |n (cos(n Arg z1 ) + i sin(n Arg z1 )) = |z2 |n (cos(n Arg z2 ) + i sin(n Arg z2 )), z čehož plyne |z1 |n = |z2 |n a následně |z1 | = |z2 |, ale také n Arg z1 = n Arg z2 + 2kπ,

t.j.

Arg z1 = Arg z2 + k

2π , k ∈ Z. n

Poslední rovnost znamená, že ke každému ϕ1 ∈ Arg z1 existuje takové ϕ2 ∈ Arg z2 a celé číslo k1 , že platí nϕ1 = nϕ2 + 2k1 π,

t.j. ϕ1 = ϕ2 + k1

2π , n

(4.2)

a také opačně, ke každému ϕ2 ∈ Arg z2 existuje takové ϕ1 ∈ Arg z1 a celé číslo k2 , že platí nϕ2 = nϕ1 + 2k2 π,

t.j. ϕ2 = ϕ1 + k2

2π . n

(4.3)

4.3. MOCNINNÁ FUNKCE S PŘIROZENÝM EXPONENTEM

55

Na druhou stranu, jestliže je dáno kladné reálné číslo a a taková reálná čísla ϕ1 a ϕ2 , že platí (4.2) nebo (4.3), pak také pro čísla z1 = a(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ),

z2 = a(cos ϕ2 + i sin ϕ2 )

platí z1n = z2n . Tak dostáváme z1n = z2n

⇔

|z1 | = |z2 | a

Arg z1 = Arg z2 + k

2π , k ∈ Z. (4.4) n

Důsledkem této ekvivalence je fakt, že jestliže ϕ1 ∈ Arg z1 , ϕ2 ∈ Arg z2 a , pak buď z1 = z2 , anebo z1n 6= z2n , což dokazuje (i). |ϕ1 − ϕ2 | < α ≤ 2π n (ii) Nechť z ∈ D(φ0 , α), t.j. existuje ϕ1 ∈ Arg z ∩ (φ0 , φ0 + α). Potom w = z n = |z|n (cos(n Arg z) + i sin(n Arg z)) = |z|n (cos(nϕ1 ) + i sin(nϕ1 )). Z toho a ze vztahu ϕ1 ∈ (φ0 , φ0 + α) pak dostáváme nϕ1 ∈ Arg w ∩ (nφ0 , nφ0 + nα), následně w ∈ D(nφ0 , nα), a tedy f (D(φ0 , α)) ⊆ D(nφ0 , nα). Opačně, nechť w ∈ D(nφ0 , nα). To značí, že existuje číslo ϕ2 ∈ Arg w ∩ (nφ0 , nφ0 + nα), proto ϕ2 ∈ (φ0 , φ0 + α). (4.5) n p Položme z = n |w| cos ϕn2 + i sin ϕn2 . Z (4.5) plyne z ∈ D(φ0 , α) a protože w = z n , je z = f −1 (w) a následně f −1 (D(nφ0 , nα)) = D(φ0 , α). (iii) Nejdřív definujme spojitou jednoznačnou větev argumentu v oblasti C − Lφ0 předpisem arg0 z = Arg z ∩ (φ0 , φ0 + 2π). ) ⊂ D0 , D(φ0 , 2π ) 6= D0 a D0 je oblast. Potom existuje také Nechť D(φ0 , 2π n n komplexní číslo z0 a ε > 0, že Uε (z0 ) ⊂ D0 − D(φ0 , 2π ), t.j. z0 ∈ D0 a n arg0 z0 ∈ (φ0 + 2π , φ0 + 2π), t.j. arg0 z0 > φ0 + 2π (promyslete detaily tohoto n n tvrzení). Potom existuje takové přirozené číslo k, že ϕ1 = arg0 z0 − k

2π 2π ∈ (φ0 , φ0 + ). n n

Nechť z1 = |z0 |(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ). Potom z1 ∈ D(φ0 , 2π ) ⊂ D0 a navíc n z1n = |z0 |n (cos(nϕ1 ) + i sin(nϕ1 )) =

56

KAPITOLA 4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE n

= |z0 |

2π cos n arg0 z0 − k n

2π + i sin n arg0 z0 − k n

=

= |z0 |n (cos(n arg0 z0 − 2kπ) + i sin(n arg0 z0 − 2kπ)) = z0n , proto f není prostá v oblasti D0 . Cvičení 4.3.1. Ověřte, že funkce w = z 3 je prostá v oblasti D( π4 , π4 ). Cvičení 4.3.2. Zjistěte, zda je funkce w = f (z) prostá v oblasti D. a) f (z) = z 4 , D = {z ∈ C; arg z ∈ (− π3 , 0)}, b) f (z) = z 7 , D = {z ∈ C; Arg z ∩ (− π3 , 0) 6= ∅}.

4.4

Polynomická funkce (polynom)

Definice 4.4.1. Polynomickou funkcí (polynomem) rozumíme funkci Pn (z) = an z n +an−1 z n−1 +· · ·+a1 z+a0 ;

kde ai ∈ C, i = 1, 2, . . . , n; an 6= 0.

Číslo n nazýváme stupeň polynomu Pn . 1. Polynomická funkce je celá funkce. Dokažte.

4.5

Racionální funkce

Definice 4.5.1. Racionální funkcí rozumíme funkci w=

P (z) ; Q(z)

kde P (z) a Q(z) jsou polynomy.

1. Racionální funkce je analytická v oblasti D = C − F , kde F je (konečná) množina všech řešení rovnice Q(z) = 0. Dokažte.

4.6

Odmocnina s přirozeným stupněm

V celém paragrafu předpokládáme n > 1. Odmocninou s přirozeným stupněm rozumíme mnohoznačnou funkci p √ Arg z + 2kπ Arg z + 2kπ n w = n z = |z| cos + i sin , (4.6) n n

4.6. ODMOCNINA S PŘIROZENÝM STUPNĚM

57

kde k = 0, 1, . . . , n − 1 a n je dané přirozené číslo. Tato funkce je definována jako mnohoznačná inverzní funkce k mocninné funkci z = f (w) = wn , t.j. √ n z = {w ∈ C; wn = z}. Podle Věty 4.3.1 (se změněnou rolí proměnných z a w) pro každý úhel φ0 existuje právě n vzájemně disjunktních maximálních oblastí 2π 2π , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1, Dk = D φ0 + k , n n ve kterých je funkce f (w) prostá a zobrazí oblast Dk na oblast C − Lnφ0 . Označme fk = f/Dk . Potom fk : Dk → C − Lnφ0 ,

k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,

a ke každé z těchto funkcí existuje inverzní funkce fk−1 : C − Lnφ0 → Dk ,

k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,

Každá√z těchto funkcí je spojitou jednoznačnou větví mnohoznačné funkce √ n n w = z. Tyto větve budeme značit ( z)k = fk−1 , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Poznamenejme ještě, že každá z větví je plně určena svým oborem hodnot, a ten (jelikož jde o vzájemně disjunktní množiny) je plně určen libovolným jedním svým bodem. Příklad 4.6.1. Určíme tu spojitou √ jednoznačnou větev šesté odmocniny v oblasti D = C − L0 , pro kterou je 6 −1 = −i. Definujme spojitou jednoznačnou větev argumentu v oblasti D předpisem arg0 z = Arg z ∩ (0, 2π). Podle vztahu (4.6) existuje takové k ∈ {0, 1, . . . , 5}, že hledanou funkcí je větev p √ arg0 z + 2kπ arg0 z + 2kπ 6 6 + i sin w = ( z)k = |z| cos 6 6 a platí √ 6

π + 2kπ + i sin = ( −1)k = | − 1| cos 6 π π 3π 3π = cos(2k + 1) + i sin(2k + 1) = −i = cos + i sin . 6 6 2 2 p 6

π + 2kπ 6

58


Porovnáním argumentů arg0 ve funkcích cos a sin dostáváme rovnici pro k: π 3π = + 2mπ 6 2 pro vhodné celé číslo m. Po krácení číslem π a násobení číslem 6 dostáváme (2k + 1)

2k + 1 = 9 + 12m s řešením k = 6m+4. Jelikož k ∈ {0, 1, . . . , 5}, platí m = 0 a k = 4. Hledaná větev šesté odmocniny má tedy tvar p √ arg0 z + 8π arg0 z + 8π 6 6 ( z)4 = |z| cos + i sin . 6 6 Jiný způsob řešení: Podle předchozí teorie hledáme některou spojitou větev √ −1 6 fk mnohoznačné funkce w = z definované v oblasti C − Lnφ0 = C − L0 , proto nφ0 = 0 a následně φ0 = 0. K určení větve stačí najít obor hodnot Dk , který je ovšem jednoznačně určen libovolním svým bodem – v našem příkladu bodem −i, který je obrazem bodu −1. Jelikož platí Dk = D(k

2π 2π 2π 2π , ) = {z ∈ C; arg0 z ∈ (k , (k+1) ) 6= ∅}, k = 0, 1, . . . , 5, 6 6 6 6

a

2π 2π 3π ∈ (4 , (4 + 1) ), 2 6 6 je k = 4 a hledaná větev má tvar, jak je uvedeno výše.

Cvičení 4.6.1. Určete tu spojitou jednoznačnou větev n-té odmocniny v ob√ lasti C − Lφ , pro kterou platí n z0 = w0 pro a) φ = π, n = 3, z0 = −i, w0 =√i, b) √ φ = − π2 , n = 4, z0 = 1, w0 = −i, c) φ = 0, n = 8, z0 = −1, w0 = − 22 − i 22 . Příklad 4.6.2. Podle předchozího najděme derivaci funkce inverzní k funkci w = z n definované v oblasti arg z ∈ (− πn , πn ). Už víme, že inverzní funkcí je spojitá jednoznačná větev funkce p √ arg w arg w z = ( n w)0 = n |w| cos + i sin . n n √ Proto √ pro její derivaci platí (v průběhu výpočtu dosadíme z = ( n w)0 a z n = w = ( n w)n0 ) √ √ 1 1 1 z ( n w)0 1 √ 1 1 0 n n w = ( w)0 = n 0 = n−1 = n = √ = ( n w)1−n = w n −1 , 0 n n (z ) nz nz n n n( w)0

4.7. EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE

59

což je vztah známý z reálného oboru (pokud je ovšem odmocnina definována). Poznamenejme ještě, že první a poslední rovnost z uvedené série jsou víceméně symbolické a uvádíme je kvůli analogii s reálným oborem. V komplexním 1 oboru je totiž w n mnohoznačná funkce. Smyslem odvozeného pravidla ale je, že vezmeme-li kteroukoli spojitou jednoznačnou větev n-té odmocniny, pak formule pro její derivaci je analogická formuli z reálného oboru.

4.7

Exponenciální funkce

Exponenciální funkci komplexní proměnné definujeme vztahem ez = exp z = ex (cos y + i sin y), kde z = x + iy.

(4.7)

Příklad 4.7.1. Vypočítáme π π π exp(1 + i ) = e1 (cos + i sin ) = ei 2 2 2 a exp(−iπ) = e0 (cos(−π) + i sin(−π)) = −1. Cvičení 4.7.1. Vypočítejte a) exp(−2 + 2πi), b) exp 3, c) exp(1 + 3i), d) exp i. Exponenciální funkce v komplexním oboru má mnoho vlastností analogických vlastnostem exponenciální funkce reálné proměnné, na druhé straně má také některé vlastnosti odlišné. Vlastnosti funkce. 1. Exponenciální funkce komplexní proměnné je definována v celé komplexní rovině. 2. Exponenciální funkce je celá funkce a (exp z)0 = exp z. 3. Ze vztahu (4.7) plyne |exp z| = eRe z

a

Arg(exp z) = Im z + 2kπ; k ∈ Z

a také již uvedený zápis komplexního čísla z = |z|(cos(Arg z) + i sin(Arg z)) v exponenciálním tvaru z = |z| exp(i Arg z) = |z| exp(i arg z) = |z|eiϕ ,

kde ϕ ∈ Arg z.

(4.8)

Zápis (4.8) nám umožňuje jednoduchým parametrickým způsobem zapsat některé důležité křivky.

60


Příklad 4.7.2. Zapíšeme v parametrickém tvaru polopřímku Lα = {0}∪{z ∈ C; α ∈ Arg z}. Platí Lα : z = %eiα ,

% ∈ [0, +∞).

Obdobně kružnici γ(z0 , R) se středem v bodě z0 a poloměrem R zapíšeme parametricky γ(z0 , R) : z = z0 + Reit , t ∈ [0, 2π]. Cvičení 4.7.2. Napište v parametrickém tvaru kružnice nebo jejich části: a) |z| = 2, b) |z| = 1, Im z ≥ 0, c) |z| = 3, Re z < 0, d) |z−1| = 3, Re z > 1, e) |z + 1| = 1, Re z < −1, Im z > 0. Cvičení 4.7.3. Napište v parametrickém tvaru úsečky s koncovými body z1 a z2 : √ a) z1 = 0, z2 = i, b) z1 = −1 − i, z2 = 0, c) z1 = − 12 + i 23 , z2 = 0. 4. Z vlastnosti 3. plyne, že 0 neleží v oboru hodnot exponenciální funkce (promyslete!). Následně, užijíce vlastnosti 2., pro všechna z ∈ C platí (exp z)0 6= 0. To znamená, že exponenciální funkce je konformní zobrazení v celé komplexní rovině. 5. Pro každé z1 , z2 ∈ C platí exp z1 . exp z2 = exp(z1 + z2 ).

(4.9)

Důkaz: Nechť z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 . Potom z formule (1.12) pro násobení komplexních čísel a vlastností reálné exponenciální funkce plyne exp z1 . exp z2 = ex1 (cos y1 + i sin y1 )ex2 (cos y2 + i sin y2 ) = = ex1 +x2 (cos(y1 + y2 ) + i sin(y1 + y2 )) = exp(z1 + z2 ).

(4.10)

Věta 4.7.1. Všechna řešení rovnice w = exp z

(4.11)

pro dané w a neznámou z mají tvar z = ln |w| + i Arg w,

(4.12)

kde zápis ln |w|+i Arg w znamená množinu {z = ln |w|+iy ∈ C; y ∈ Arg w}. Důkaz: Zvolme bod w = |w|(cos(Arg w) + i sin(Arg w)) ∈ C. Z vlastnosti 4. plyne, že pro w = 0 rovnice nemá žádné řešení. Proto dále předpokládejme,

4.7. EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE

61

že w 6= 0 a následně |w| > 0. Napišme potenciální řešení ve tvaru z = x + iy a dosaďme jej do rovnice (4.11). |w|(cos(Arg w) + i sin(Arg z)) = ex (cos y + i sin y). Z toho plyne |w| = ex , t.j. x = ln |w|, a y ∈ Arg w. Tím dostáváme, že všechna řešení rovnice (4.11) mají tvar (4.12). 6. Na rozdíl od reálného oboru, v oboru komplexním exponenciální funkce není prostá, je to funkce periodická. Skutečně, následující tvrzení je přímým důsledkem přechozí věty. Důsledek 4.7.1. Funkce w = exp z je periodická s periodou 2πi. 7. Z Věty 4.7.1 přímo plyne dokonce silnější tvrzení než předchozí důsledek. Důsledek 4.7.2. Pro libovolnou dvojici komplexních čísel z1 , z2 platí exp z1 = exp z2

⇔

∃k ∈ Z :

z2 − z1 = 2kπi.

Označme G(a, δ) = {z ∈ C; Im z ∈ (a, a + δ)}, kde a ∈ R a δ ∈ (0, 2π] vodorovný pás o šířce δ mezi přímkami Im z = a a Im z = a + δ. 8. Další důsledkem Věty 4.7.1 následuje. Důsledek 4.7.3. Exponenciální funkce je prostá v každé oblasti typu G(a, δ) pokud δ ∈ (0, 2π]. Speciálně, oblasti typu G(a, 2π) jsou maximální oblasti, ve kterých je exponenciální funkce prostá. 9. Nyní najdeme obraz oblasti typu G(a, δ) pro a ∈ R a δ ∈ (0, 2π] při zobrazení f (z) = exp z. Nechť tedy z = x + iy ∈ G(a, δ). To znamená, že y ∈ (a, a + δ), a proto exp z = ex (cos y + i sin y) ∈ D(a, δ), kde D(a, δ) = {z ∈ C; Arg z ∩ (a, a + δ) 6= ∅} je úhel velikosti δ s vrcholem v počátku a rameny tvořenými polopřímkami La a La+δ . Z toho dostáváme f (G(a, δ)) ⊂ D(a, δ). Na druhou stranu, jestliže je w ∈ D(a, δ), t.j. w = |w|(cos ϕ + i sin ϕ) pro nějaké ϕ ∈ Arg w ∩ (a, a + δ), potom z = ln |w| + iϕ ∈ G(a, δ) a exp z = eln |w| (cos ϕ + i sin ϕ) = |w|(cos ϕ + i sin ϕ) = w. Proto platí f (G(a, δ)) = D(a, δ), tedy obraz vodorovného pásu G(a, δ) šířky δ ≤ 2π je úhel D(a, δ) velikosti δ s vrcholem v počátku.

62


Cvičení 4.7.4. Nakreslete dané množiny D ⊂ C a najděte jejich obrazy při zobrazení f (z) = exp z. a) D : Im z ∈ (0, π), b) D : Re z ∈ (0, 1), Im z ∈ (0, π2 ), c) D : Re z ∈ (0, +∞), Im z ∈ (−π, π), d) D : Re z ∈ (−∞, 0), Im z ∈ (3π, 5π).

4.8

Logaritmická funkce

Z Věty 4.7.1 plyne, že funkce inverzní k exponenciální, tedy logaritmická funkce, je mnohoznačná. Tu dostáváme jako množinu všech řešení rovnice exp w = z, která je duální k rovnici (4.11) (t.j. vznikne z (4.11) záměnou proměnných). Dostáváme tedy mnohoznačnou logaritmickou funkci w = Ln z = ln |z| + i Arg z.

(4.13)

Příklad 4.8.1. Vypočítejme Ln i = ln |i| + i Arg i = {i

π 2

+ 2kπ , k ∈ Z}

a √ 3π Ln(−1 − i) = ln|−1 − i| + i Arg(−1 − i) = ln 2 + i{− + 2kπ; k ∈ Z}. 4 √ Cvičení 4.8.1. Vypočítejte a) Ln −1, b) Ln(2+2i), c) Ln( 3−3i), d) Ln ei. Vlastnosti funkce. 1. w = Ln z je mnohoznačná funkce definovaná v oblasti C − {0} a inverzní k z = exp w. 2. Spojité jednoznačné větve funkce w = Ln z můžeme vydělit tak, že vydělíme některou spojitou jednoznačnou větev mnohoznačné funkce Arg z. Proto: je-li v oblasti typu D(φ0 ) = {z; Arg z ∩ (φ0 , φ0 + 2π) 6= ∅}, φ0 ∈ R dána spojitá jednoznačná větev w = Arg0 z funkce w = Arg z, dostáváme spojitou jednoznačnou větev funkce w = Ln z v oblasti D(φ0 ) danou vztahem w = Ln0 z = ln |z| + i Arg0 z. (4.14) Speciálně, pro φ0 = π a každé k ∈ Z máme spojitou jednoznačnou větev logaritmu v oblasti D(π) = C − (−∞, 0] Lnk z = ln |z| + i Argk z = ln |z| + i(arg z + 2kπ).

(4.15)

4.8. LOGARITMICKÁ FUNKCE

63

Pro k = 0 dostáváme jednoznačnou větev ln z = ln |z| + i arg z definovanou v oblasti D(π) = C − (−∞, 0], kterou nazýváme hlavní větev logaritmu. Z toho plyne také vztah Lnk z = ln z + 2kπi,

k ∈ Z.

(4.16)

3. Nechť w = ln |z| + i arg0 z je spojitá jednoznačná větev funkce w = Ln z v oblasti D(φ0 ). Potom z derivace inverzní funkce z = exp w dostáváme w0 =

1 1 1 = = . (exp w)0 exp w z

Proto každá spojitá jednoznačná větev logaritmické funkce w = Ln0 z má derivaci w0 = z1 . Příklad 4.8.2. Najděme hodnotu Lnk 1, kde Lnk je ta větev logaritmu v ob. V oblasti D(π) máme jednolasti D(π), pro kterou platí Lnk (−i) = i 7π 2 značné větve argumentu dány vztahem Argk z = arg z + 2kπ, kde k ∈ Z. Podle vztahu (4.14) tedy hledáme takové k ∈ Z, že platí ln|−i| + i(arg(−i) + 2kπ) = i

7π . 2

Odtud − π2 + 2kπ = 7π a následně k = 2. Je tedy Ln2 z = ln |z| + i(arg z + 4π) 2 a dosazením ln |1| = 0 a arg 1 = 0 dostáváme Ln2 1 = 4πi. Cvičení 4.8.2. Najděte hodnotu Lnk z, když znáte Lnk√z0 = w0 pro a) z0 = 1, w0 = −2πi, z = 1−i, b) z0 = 2−2i, w0 = ln 8+ 15 πi, z = −1+i, 4 i, z = e. c) z0 = ei, w0 = 1 − 3π 2 Pro hodnoty logaritmické funkce nyní odvodíme některé vztahy , které jsou analogické vztahům známým z reálného oboru. 4. Pro každé z1 , z2 ∈ C − {0} platí z1 Ln(z1 z2 ) = Ln z1 + Ln z2 a Ln = Ln z1 − Ln z2 . z2 Dokážeme první rovnost, druhou ponecháváme čtenáři jako cvičení. Počítejme Ln(z1 z2 ) = ln |z1 z2 | + i(Arg z1 z2 ) = ln(|z1 ||z2 |) + i(Arg z1 + Arg z2 ) =

64

KAPITOLA 4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE = ln |z1 | + i Arg z1 + ln |z2 | + i Arg z2 = Ln z1 + Ln z2 .

Pozor, na rozdíl od reálného oboru nejde o rovnost čísel, ale množin. Výraz na pravé straně je množina všech komplexních čísel tvaru w = w1 + w2 , resp. w = w1 − w2 , kde w1 ∈ Ln z1 a w2 ∈ Ln z2 . Jak ukazuje následující cvičení, založeno na předchozích rovnostech, musíme být opatrní. Cvičení 4.8.3. Najděte chybu v následující úvaze. Protože pro každé z ∈ C platí (−z)2 = z 2 , máme pro nenulové z Ln[(−z)2 ] = Ln[(z)2 ] ⇔ Ln(−z) + Ln(−z) = Ln z + Ln z ⇔ ⇔ 2 Ln(−z) = 2 Ln z ⇔ Ln(−z) = Ln z, což zjevně neplatí například pro z = 1, neboť Ln 1 = {2kπi; k ∈ Z} = 6 {(2k + 1)πi; k ∈ Z} = Ln(−1).

4.9

Trigonometrické funkce

Trigonometrické funkce definujeme cos z =

exp(iz) + exp(−iz) 2

a

sin z =

exp(iz) − exp(−iz) . 2i

Podobně jako v oboru reálném definujeme také tg z =

sin z exp(iz) − exp(−iz) = −i , cos z (exp(iz) + exp(−iz))

Příklad 4.9.1. Vypočítáme √ √ √ ! exp(i( 22 − 2 2 cos − i = 2 2 √

exp(

e =

√ 2 2

= √ cos 22

2 2

√

cotg z =

√

2 i)) 2

√

+ exp(−i( 2

√

2 2

√

−

2 i)) 2

√

+ exp(− 22 − 22 i) = 2 √ √ √ √ 2 + i sin 22 + e− 2 cos 22 − i sin 22 +

2 i) 2

cos z (exp(iz) + exp(−iz)) =i . sin z exp(iz) − exp(−iz)

2

.

=

4.9. TRIGONOMETRICKÉ FUNKCE

65

√ Cvičení 4.9.1. Vypočítejte a) cos(1 + π4 i), b) sin πi, c) cotg(− 3 + i), d) tg(−3 − π3 i). Vlastnosti funkcí 1. Funkce cos z a sin z jsou definovány v celé komplexní rovině a jsou to celé funkce. Funkce tg z a cotg z jsou definovány a analytické v celé komplexní rovině vyjma nulové body funkcí ve jmenovatelích. Pro derivace platí (sin z)0 = cos z,

(cos z)0 = sin z,

(tg z)0 =

1 , cos2 z

(cotg z)0 = −

1 . sin2 z

2. Počítejme cos z + i sin z =

exp(iz) − exp(−iz) exp(iz) + exp(−iz) +i = 2 2i

2 exp(iz) = exp(iz). 2 To znamená, že pro každé komplexní číslo z platí Eulerova formule =

exp(iz) = cos z + i sin z,

(4.17)

kterou jsme doposud znali pouze pro reálné hodnoty z. 3. Trigonometrické funkce mají mnoho vlastností analogických funkcím definovaných v oboru reálném. Přímo z jejich definic lze dokázat (ponecháno čtenáři jako cvičení), že funkce cos z a cotg z jsou sudé a funkce sin z a tg z jsou liché. Dále funkce cos z a sin z jsou periodické s periodou 2π a funkce tg z a cotg z jsou periodické s periodou π. Cvičení 4.9.2. Dokažte periodicitu trigonometrických funkcí. 4. V komplexním oboru platí mnoho formulí pro trigonometrické funkce, které platí v oboru reálném. Z Eulerovy formule plyne cos(z1 + z2 ) + i sin(z1 + z2 ) = exp(i(z1 + z2 )) = exp(iz1 ) exp(iz2 ) = = (cos z1 + i sin z1 )(cos z2 + i sin z2 ) = = (cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 ) + i (sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 ).

(4.18)

Podobně, nahrazením proměnných z1 a z2 v předchozím výpočtu proměnnými −z1 a −z2 , dostáváme (ověřte) cos(z1 + z2 ) − i sin(z1 + z2 ) =

66

KAPITOLA 4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE = (cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 ) − i (sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 ).

(4.19)

Sečtením, resp. odečtením rovnic (4.18) a (4.19) dostáváme cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 a sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 .

(4.20)

Cvičení 4.9.3. Proč nemůžeme vyvodit vztahy (4.20) jednoduše srovnáním reálné a imaginární složky levé a pravé strany rovnice (4.18)? Cvičení 4.9.4. Pomocí rovnic (4.20) dokažte vztahy platné pro všechna komplexní čísla z: π π cos z + = − sin z, sin z + = cos z, 2 2 a odtud cos(z + π) = − cos z,

sin(z + π) = − sin z.

Cvičení 4.9.5. Pomocí rovnic (4.20) dokažte vztahy platné pro všechny komplexní čísla z: cos2 z + sin2 z = 1. (4.21) Na rozdíl od reálného oboru ovšem v oboru komplexním jsou funkce sin z a cos z neomezené. Je třeba si uvědomit, že v reálném oboru plyne z rovnice (4.21), že | cos2 x| ≤ 1 a | sin2 x| ≤ 1. To ovšem není pravda oboru komplexním. Příklad 4.9.2. Uvažujme z = it, kde t ∈ (0, +∞) a t → +∞. Zajímá nás zda existuje limita lim cos(it). Počítejme t→+∞

exp(−t) + exp(t) = t→+∞ 2

lim cos(it) = lim

t→+∞

= lim

t→+∞

exp(−t) exp(t) + lim = 0 + ∞ = ∞, t→+∞ 2 2

z čehož plyne neomezenost funkce cos z. Podobně lze ukázat neomezenost funkce sin z.

4.10. HYPERBOLICKÉ FUNKCE

4.10

67

Hyperbolické funkce

Hyperbolický kosinus a hyperbolický sinus definujeme cosh z =

exp(z) + exp(−z) 2

a

sinh z =

exp(z) − exp(−z) . 2

Vlastnosti funkcí Hyperbolické funkce mají velmi podobné vlastnosti jako funkce trigonometrické. 1. Funkce cosh z a sinh z jsou celé funkce a platí (cosh z)0 = sinh z

(sinh z)0 = cosh z.

a

2. Vztahy mezi hyperbolickými a trigonometrickými funkcemi jsou dány vzorci cosh z = cos(iz)

a

sinh z = −i sin(iz).

3. Také platí vzorec analogický vzorci pro součet čtverců trigonometrických funkcí cosh2 z − sinh2 z = 1. Cvičení 4.10.1. Dokažte předchozí vztah. Cvičení 4.10.2. Vypočtěte a) cosh i, b) sinh 1, c) cosh(1 − i), d) sinh(−2 + 3i).

4.11

Inverzní trigonometrické funkce

Inverzní trigonometrické funkce definujeme pro přípustné hodnoty vztahy Arcsin z =

√ 1 Ln(iz + 1 − z 2 ), i

Arccos z =

√ 1 Ln(z + z 2 − 1) i

a Arctg z =

1 1 + iz Ln , 2i 1 − iz

Arccotg z =

1 z+i Ln . 2i z−i

Tyto definice dostáváme řešením příslušných rovnic. Ukážeme to na příkladu.

68


Příklad 4.11.1. Najděme funkci Arctg. Jelikož je to funkce inverzní k funkci w = tg z, dostaneme ji jako řešení rovnice, která vznikne záměnou proměnných v předchozí rovnici pro neznámou w. Řešme tedy rovnici z = tg w =

sin w 1 exp(iw) − exp(−iw) = , cos w i exp(iw) + exp(−iw)

odkud po úpravách dostáváme (ověřte) exp(2iw) =

1 + iz . 1 − iz

Z poslední rovnice pro z 6= ±i nacházíme w = je definována pro všechna z 6= ±i vztahem Arctg z =

1 2i

Ln 1+iz . Tedy funkce Arctg z 1−iz

1 1 + iz Ln . 2i 1 − iz

Ukážeme ještě, jak vydělíme spojité jednoznačné větve funkce Arctg z. Takovou větev dokážeme vydělit v každé oblasti, která vznikne z C odebráním libovolné jordanovské křivky spojující body −i a i. Důvodem je, že obrazem 1+iz je křivka spojující body ζ(i) = 0 takovéto křivky při zobrazení ζ(z) = 1−iz a ζ(−i) = ∞ a odebraním této křivky z komplexní roviny C můžeme na . zbylé části definovat spojitou jednoznačnou větev funkce Ln ζ(z) = Ln 1+iz 1−iz Uvažujme tedy oblast D = C − {it ∈ C; t ∈ R, |t| ≥ 1} (nakreslete oblast D). Po transformaci oblasti D funkcí ζ dostáváme ζ(D) = C − (−∞, 0], na níž máme definovány spojité jednoznačné větve logaritmu Lnk ζ = ln ζ + 2kπi,

k ∈ Z.

Těm pak odpovídají spojité jednoznačné větve funkce Arctg z Arctgk z =

1 1 + iz ln + kπ, 2i 1 − iz

k ∈ Z.

Řešením příslušných rovnic dostáváme definice dalších inverzních trigonometrických funkcí. Vlastnosti funkcí 1. Díky periodičnosti trigonometrických funkcí jsou funkce k nim inverzní mnohoznačné. Jelikož každá z těchto funkcí je definována pomocí mnohoznačné

4.12. OBECNÉ EXPONENCIÁLNÍ A MOCNINNÉ FUNKCE*

69

funkce Ln z, jejich jednoznačné větve lze vydělovat pomocí jednoznačných větví logaritmu. Korespondenční úkol. Řešením rovnice z = sin w pro neznámou w odvoďte definici funkce w = Arcsin z a popište její spojité jednoznačné větve. Cvičení 4.11.1. Odvoďte formule a definiční obory ostatních inverzních trigonometrických funkcí. Cvičení 4.11.2. Popište spojité jednoznačné větve ostatních inverzních trigonometrických funkcí. Cvičení 4.11.3. Vypočítejte a) Arccos 1, b) Arcsin i, c) Arctg(2i), d) Arctg(1 + i).

4.12

Obecné exponenciální a mocninné funkce*

Nechť a 6= 0 je komplexní v čislo, p je celé a q je přirozené v číslo, kde p, q jsou vzájemně nesoudělná. Potom p

aq =

p p Arg a p Arg a q + i sin ). |a|p (cos q q

Jestliže q = 1, dává tato formule jedinou hodnotu ap . Jestliže q > 1, pak dostáváme právě q různých hodnot. Uvážíme-li, že p Arg a p Arg a p cos + i sin = exp i Arg a q q q a p q |a|p = exp

p ln |a| , q

dostáváme jiný zápis p p a = exp ln |a| exp i Arg a = q q p p = exp (ln |a| + i Arg a) = exp Ln a . q q p q

Nyní bychom chtěli definovat hodnotu aα , kde α je libovolné reálné v číslo. Pro racionální hodnoty α již máme tuto hodnotu definovánu, pro iracionální

70


hodnoty α postupujeme analogicky jako v reálném oboru. Vybereme posloupnost racionálních v čísel {rn }+∞ n=1 , která konverguje k α a pro fixovanou větev Lnk a (např. ln a) definujeme aα = lim arn = lim exp(rn Lnk a) = exp(α Lnk a) n→+∞

n→+∞

a všechny hodnoty dostáváme formulí aα = exp(α Ln a).

(4.22)

Jelikož výraz na pravé straně je definován pro libovolnou hodnotu α ∈ C, můžeme výraz (4.22) považovat za definici obecné mocniny v komplexním oboru. Poznamenejme, že pokud α není racionální číslo, obsahuje množina daná vztahem (4.22) nekonečně mnoho hodnot, které jsou určeny různými hodnotami funkce Ln. Uvažujme například dvě různé větve logaritmu, např. Ln1 a Ln2 . Podíl k nim náležících hodnot je exp(α Ln1 a) = exp(α (Ln1 a − Ln2 a)) = exp(2αmπi) exp(α Ln2 a) pro vhodné m ∈ Z. Tyto hodnoty se rovnají právě tehdy, když 2αmπi ∈ Ln 1, k t.j. 2αmπi = 2kπi, z čehož plyne, že α = m ∈ Q. Proto formule (4.22) představuje dokonce i pro kladné reálné číslo a a iracionální α nekonečně mnoho hodnot, z nichž jen jedna, exp(α ln a), je známá reálná hodnota aα . Všechny další jsou komplexní hodnoty exp(α ln a) exp(2πiαk), kde k = ±1, ±2, . . . . Příklad 4.12.1. Vypočítáme √ √ √ 1 2 = exp( 2 Ln 1) = exp(2kπi 2), kde k ∈ Z.

Na druhé straně, všechny hodnoty √ √ √ (−1) 2 = exp( 2 Ln (−1)) = exp((2k + 1)πi 2), kde k ∈ Z jsou komplexní, nikoliv reálné. Obecně, pro reálné a < 1 a iracionální α dostáváme pouze komplexní, nikoliv reálné hodnoty aα = exp(α ln |a|) exp{(2k + 1)παi}, k ∈ Z.

4.13. OBECNÁ MOCNINNÁ FUNKCE*

71

Na druhé straně je zajímavé, že například všechny hodnoty n h π io 4m−1 i i = exp i i( + 2kπ) = e 2 π , kde m ∈ Z 2 jsou kladná reálné čísla. Rovněž si všimněme, že množina exp eα obsahuje nekonečně mnoho hodnot, z nichž jen jediná se shoduje s kladnou reálnou hodnotou eα . Nasledující úvaha dokazuje, že pro práci s komplexními mocninami neplatí všechny formule analogické formulím pro reálné mocniny. aα1 aα2 = exp(α1 Ln a) exp(α2 Ln a) = = exp(α1 ln a + 2k1 πα1 i) exp(α2 ln a + 2k2 πα2 i) = = exp[(α1 + α2 ) ln a + 2πi(α1 k1 + α2 k2 )]; k1 , k2 ∈ Z. Na druhé straně aα1 +α2 = exp[(α1 + α2 ) Ln a] = exp[(α1 + α2 ) ln a + 2πi(α1 + α2 )m]; m ∈ Z je jiná množina hodnot. Například 1

1

1

1

4 2 4 2 = {−4, 4} ale 4 2 + 2 = 41 = {4}. Cvičení 4.12.1. Najděte všechny dvojice reálných čísel [α1 , α2 ], pro která aα1 eα2 = aα1 +α2 . (Řešení: K libovolným dvěma celým číslům k1 , k2 existují celá čísla m a k taková, že platí α1 (k1 − m) + α2 (k2 − m) = k.) Nyní definujeme obecnou mocninnou a exponenciální funkci a stručně připomeneme jejich vlastnosti. Nechť jsou dána komplexní čísla a a α. Potom komplexní funkci w = z α nazýváme obecnou mocninnou funkcí a funkci w = az nazýváme obecnou exponenciální funkcí.

4.13

Obecná mocninná funkce*

Obecná mocninná funkce je dána vztahem z α = exp(α Ln z). 1. Pro α ∈ Z je z α jednoznačná funkce analytická v oblasti z ∈ C − {0}, v případě, že α > 0, je to dokonce celá funkce.

72


2. Pro α ∈ Q je z α q-značná funkce. V libovolné oblasti, která vznikne z C vynecháním libovolné polopřímky s počátkem v nule, je možné vydělit právě q různých jednoznačných analytických větví. 3. Pro α ∈ C − Q je z α nekonečně mnohoznačná funkce. V libovolné oblasti, která vznikne z C vynecháním libovolné polopřímky s počátkem v nule je možné vydělit nekonečně mnoho různých jednoznačných analytických větví.

4.14

Obecná exponenciální funkce*

Obecná exponenciální funkce je dána vztahem az = exp(z Ln a); a 6= 0. Abychom vydělili některou její jednoznačnou větev, stačí vybrat některou z hodnot Ln a = b. Tak dostaneme jednoznačnou analytickou funkci w = exp(bz). Tímto způsobem obdržíme všechny jednoznačné větve exponenciální funkce. Jelikož se libovolné dvě hodnoty množiny Ln a liší o 2kπi, dostáváme, že dvě spojité jednoznačné větve obecné exponenciální funkce se vzájemně liší o multiplikativní činitel exp(2kπiz). Všimněme si, že tento činitel představuje spojitou jednoznačnou funkci, která nabývá hodnoty 1 právě pro z ∈ Z. Takto se můžeme na obecnou exponenciální funkci dívat jako na množinu celých funkcí exp(z ln a), exp[z(ln a + 2πi)], exp[z(ln a − 2πi)], . . . Uvažujme teď o inverzní funkci. Předpokládejme, že máme vybranou jednoznačnou analytickou větev obecné exponenciální funkce, větev z = aw = exp(bw), kde b = Ln a je vybraná hodnota logaritmu. Tato funkce má (nekonečně mnohoznačnou) inverzní funkci w=

1 Ln z; kde b = ln a + 2k0 πi. b

Tato funkce se liší od logaritmické funkce jen o multiplikativní faktor 1b , proto je přirozené definovat obecnou logaritmickou funkci jako Loga z =

Ln z pro a 6= 0, Lnk a

kde ve jmenovateli je fixována jedna z konkrétních hodnot Ln a.


73

Ln z Ln z Příklad 4.14.1. 1. a = e. Potom Loge z = Ln , například Ln1 z anebo 1+2πi . k e 2. a = 10. Zvolme například hodnotu Ln 10 = ln 10 = 2,302585 . . . = 1 = M1 . Potom 0,43429...

Log10 z = M Ln z = 0,43429 . . . Ln z. Při tomto výběru dostáváme pro reálné z = x > 0 běžnou hodnotu dekadického logaritmu. 3. a = 1. V tomto případě nemůžeme vybrat hlavní hodnotu Ln 1 = 0. Vyberme proto například hodnotu Ln 1 = 2πi. Potom Log1 z =

1 i Ln z = Arg z − ln |z|. 2πi 2π 2π

Z toho plyne, že všechny hodnoty Log1 z jsou reálné právě tehdy, když |z| = 1, a jsou komplexní, nikoliv reálné, jestliže |z| = 6 1.

4.15

Krátké shrnutí

V této kapitole jsme se obeznámili s elementárními komplexními funkcemi. Viděli jsme, že tyto mají mnoho vlastností podobných korespondujím reálným funkcím, některé podstatné vlastnosti se ovšem liší.

74


Literatura [M-M]

Markuševič, A., I. Markuševič, L., A. Vvedenie v teoriu analytičeskich funkcij (rusky), "Prosveščenie" Moskva, 1977

[Č]

Černý, I. Základy analysy v komplexním oboru, Academia Praha, 1967

75

Komplexní analýza 1. Ladislav Mišík

Recommend Documents