Kapitola 5
Křivka a její délka 1
Motivace a základní pojmy
Křivka je pojem, který je v matematice zkoumán již od antického starověku. Intuitivně vždy vyjadřoval objekt, který vznikne spojitou deformací intervalu na reálné ose a který může být fyzikálně chápán jako dráha plynule se pohybujícího hmotného bodu. Typickým příkladem této představy je množina znázorněná na obrázku obr. 5.1. V rozdílných etapách vývoje matematiky byla však matematická interpretace spojitosti a plynulosti jiná. y Definici křivky, která by nejlépe popisovala původní intuitivní představu, proto předcházela dlouhá diskuse, která se dotkla samotných základů matematiky. Pokusme se při definování tohoto pojmu vyjít z fyzikálx ního pohledu. Představme si, že množina C v rovině nebo prostoru je dráhou pohybujícího se bodu. PředpokládámeObr. 5.1. li, že se pohyb uskutečnil v konečném časovém intervalu ha, bi, je dráha popsána pomocí spojitého zobrazení ϕ : ha, bi −→ R n , n = 2, 3. To každému časovému okamžiku t ∈ ha, bi přiřadí bod ϕ(t) v rovině nebo prostoru udávající polohu bodu v čase t. Trajektorie tohoto pohybu pak definuje křivku C = ϕ(ha, bi). Aby měl dále pohyb hmotného bodu rozumný smysl, měli bychom mít v každém bodě definovánu rychlost. Matematicky je vektor rychlosti v čase t ∈ ha, bi dán derivací ϕ0 (t) zobrazení ϕ. (Zobrazení ϕ se derivujeme po složkách. Je-li tedy například ϕ(t) = (cos t, sin t), je ϕ0 (t) = (− sin t, cos t).) V souladu s fyzikální intuicí tedy dostáváme požadavek, aby v každém bodě t ∈ ha, bi mělo zobrazení ϕ spojitou derivaci. Tím bychom ovšem vyloučili takové přirozené křivky jako je např. trojúhelník nebo lomená čára. Při pohybu po trojúhelníku se totiž průchodem přes vrcholy rychlost skokem mění. Proto z tohoto striktního požadavku poněkud ustoupíme a připustíme konečně mnoho výjimek. Začneme s velmi jednoduchým typem křivky, který budeme nazývat oblouk. Definice 5.1. Množina C ⊂ Rn se nazývá oblouk, jestliže existuje spojité zobrazení ϕ : ha, bi −→ C intervalu ha, bi na množinu C, splňující následující podmínky: 77
KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA
78
(i) zobrazení ϕ je prosté na ha, bi, s jedinou možnou vyjímkou koncových bodů tj. lze připustit ϕ(a) = ϕ(b). (ii) derivace ϕ0 je spojitá na intervalu ha, bi, kde v krajních bodech intervalu uvažujeme příslušné jednostranné derivace, a ϕ 0 (t) 6= 0 na (a, b). Geometrický význam vlastnosti (i) je, že oblouk neprotíná sám sebe. Jedinou výjimkou, kterou požadavek (i) připouští jsou počáteční a koncový bod, které mohou splynout. Podmínka (ii) říká, že v každém vnitřním bodě má oblouk tečnu. Neboť právě vektor 0 ϕ (t) je směrový vektor tečny v bodě ϕ(t). Význam požadavku ϕ 0 (t) 6= 0 uvidíme později. Definice 5.2. Množina C ⊂ Rn se nazývá křivka, jestliže existuje spojité zobrazení ϕ : ha, bi −→ C takové, že existuje dělění D intervalu ha, bi, že na každém podintervalu I ∈ D jsou splněny požadavky (i) a (ii) z Definice 5.1 Stručně řečeno, křivka vznikne napojením konečně mnoha oblouků za sebe. Zobrazení ϕ nazýváme parametrizací křivky C. Křivka C se nazývá uzavřenou, jestliže ϕ(a) = ϕ(b). Body, ve kterých oblouk či křivka protíná sama sebe, nazýváme násobnými body. Uzavřenou křivku nazveme jednoduchou, jestliže nemá žádný násobný bod kromě počátečního a koncového bodu ϕ(a)(= ϕ(b)). Příklad 5.3. (i) Množina C=
2
2
(x, y) | x + y = a
2
⊂ R2 ,
a > 0,
je oblouk. Jde o jednotkovou kružnici se středem (0, 0). V tomto případě je možno volit parametrizaci ϕ(t) = (a cos t, a sin t), t ∈ h0, 2πi. Derivace ϕ 0 (t) = (−a sin t, a cos t) je spojitá na intervalu h0, 2πi a přitom ϕ 0 (t) 6= 0 pro všechna t ∈ h0, 2 πi, neboť složky zobrazení ϕ nejsou v žádném bodě současně nulové. Vidíme také, že C je jednoduchá uzavřená křivka. Křivkám ležícím v R2 budeme říkat rovinné křivky. (ii) Množina o n h t t ∈ h0, 2πi , C= a cos t, a sin t, 2π
kde a, h > 0 je oblouk. Jak napovídá samotné zadání množiny C, je možno jako pah rametrizaci volit zobrazení ϕ(t) = (a cos t, a sin t, 2π t), t ∈ h0, 2πi. Toto zobrazení je prosté, neboť poslední složka zobrazení ϕ je prostá funkce. Dále vidíme, že derivace h ) je spojitá a nenulová v zadaném intervalu. Všechny požaϕ0 (t) = (−a sin t, a cos t, 2π davky formulované v definici jsou tedy splněny. Pohyb, který křivku vytváří si můžeme představit jako složení rovnoměrného otáčení kolem osy z ve vzdálenosti a a rovnoměrného přímočarého pohybu ve směru kladné části osy z. Vznikne tak jeden závit válcové spirály znázorněné na obrázku obr.5.2.
1. MOTIVACE A ZÁKLADNÍ POJMY
79
z
y x Obr. 5.2. (iii) Rovinná křivka znázorněná na obr. 5.1 je křivka definovaná např. parametrizací x = 1 − t2 ,
y = t(1 − t2 ),
t ∈ h−2, 2i.
Jinými slovy C = ϕ(h−2, 2i), kde ϕ(t) = 1 − t2 , t(1 − t2 )
Parametrizace ϕ má pouze jediný násobný bod (0, 0) = ϕ(1) = ϕ(−1). Lehkým výpočtem je možno se přesvědčit, že ϕ0 je spojitá a nenulová ve všech bodech svého definičního oboru, tj. vektor ϕ0 (t) = (−2t, 1 − 3t2 ) není nulový pro žádné t ∈ h−2, 2i. Podle Definice 5.2 je daná množina křivkou, jestliže existuje alespoň jedna její parametrizace. Již z fyzikální intuice víme, že bod se může pohybovat po téže křivce mnoha způsoby. Očekáváme tedy, že parametrizací křivky bude více. Například jednotkovou kružnici v rovině je možno popsat pomocí zobrazení ϕ(t) = (cos t, sin t), √ kde t ∈ h0, 2πi, stejně 2 2 tak jako pomocí zobrazení ψ(s) = (cos s , sin s ), kde s ∈ h0, 2πi. Všimněme si, že v tomto případě jsme získali parametrizaci ψ z parametrizace ϕ pomocí substituce t = s 2 . Protože takovýchto substitucí si můžeme vymyslet nekonečně mnoho, má každá křivka nekonečně mnoho parametrických vyjádření. Důležitá je otázka, jak tyto různé parametrizace spolu souvisejí. Vzhledem k tomu, že každá křivka je sjednocením konečně mnoha oblouků, budeme se touto otázkou zabývat v případě oblouku. V této situaci se ukazuje, že všechny parametrizace je možno získat z jedné pevně zvolené parametrizace pomocí vhodné substituce za její parametr. Tvrzení 5.4. Nechť C je oblouk s parametrizacemi ϕ : ha, bi −→ C a ψ : hc, di −→ C. Pak existuje spojitá funkce h zobrazující interval ha, bi na interval hc, di tak, že h převádí parametrizaci ψ na ϕ, tj. ϕ(t) = ψ(h(t)). Navíc h má spojitou a nenulovou derivaci na (a, b). Důkaz. Zamysleme se nejdříve nad tím, jak vypadá funkce h : ha, bi −→ hc, di splňující požadovanou rovnost ϕ(t) = ψ(h(t)). Vzhledem k tomu, že ψ je prosté zobrazení, je jen jediná možnost jak tuto funkci získat : h = ψ −1 ◦ ϕ (nakreslete si diagram). Takto
KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA
80
definovaná funkce je samozřejmě prostá, neboť složení dvou prostých zobrazení ϕ a ψ −1 je opět prosté zobrazení a zobrazuje interval ha, bi na interval hc, di. Protože zobrazení ψ −1 je spojité, je funkce h je složením dvou spojitých zobrazení, a tedy spojitou funkcí na intervalu ha, bi. Zbývá ověřit, že h má spojitou a nenulovou derivaci. Zvolme tedy bod t0 ∈ (a, b) libovolně a ukážeme, že funkce h má v tomto bodě vlastní a nenulovou derivaci. Jinak řečeno máme dokázat, že funkce h(t) − h(t0 ) , t 6= t0 , t − t0 má vlastní a nenulovou limitu v bodě t 0 . Myšlenkou důkazu je využít vztahu mezi diferenčními podíly parametrizací ϕ, ψ na straně jedné a diferenčními podíly funkce h (což je funkce ω) na straně druhé. Zvolme si proto pomocné funkce ω(t) =
ϕ(t) − ϕ(t0 ) , t − t0 ψ(h(t)) − ψ(h(t0 )) Ψ(t) = , h(t) − h(t0 ) Φ(t) =
definované pro t 6= t0 . (Uvědomme si, že h(t) 6= h(t0 ) kdykoliv t 6= t0 , neboť h je prostá funkce). Protože ϕ(t) = ψ(h(t)), platí (5.1)
Φ(t) = Ψ(t) · ω(t).
V předchozí rovnosti není možné ω(t) přímo vyjádřit jako podíl Φ(t) a Ψ(t), neboť Φ(t) a Ψ(t) jsou vektory. Musíme jít proto oklikou. Podle pravidla o limitě složené funkce je limt→t0 Ψ(t) = ψ 0 (h(t0 )) 6= 0, neboť ψ je parametrizace oblouku. Nenulovost této limity znamená, že alespoň jedna složka zobrazení Ψ má nenulovou limitu v bodě t 0 . Nechť je to první složka Ψ1 . Rovnice (5.1) napsaná pro první složky má tvar Φ 1 (t) = Ψ1 (t)ω(t) pro t z jistého prstencového okolí bodu t 0 . Odtud již ω(t) můžeme vyjádřit. Věta o limitě podílu dvou funkcí pak implikuje existenci vlastní limity (5.2)
h0 (t0 ) = lim ω(t) = lim t→t0
t→t0
ϕ0 (t0 ) Φ1 (t) . = 0 1 Ψ1 (t) ψ1 (h(t0 ))
V tuto chvíli jsme dokázali, že lim t→t0 ω(t) existuje. Navíc, použijeme-li limitní přechod t → t0 v rovnici (5.1), dostaneme ϕ0 (t0 ) = ψ 0 (h(t0 )) · h0 (t0 ).
Z této rovnice plyne, že h0 (t0 ) 6= 0 (jinak by ϕ0 (t0 ) = 0, což není možné). Protože parametrizace ϕ a ψ mají spojité derivace, je podíl jejich derivací v (5.2) spojitá funkce. Takže i h0 je spojitá a důkaz je ukončen. Tvrzení 5.4 říká, že parametrizaci ϕ(t) je možno získat z parametrizace ψ(s) substitucí s = h(t). Proto se funkce h nazývá transformací parametru mezi parametrizacemi ϕ a ψ. Vzhledem k tomu, že h0 (t) je spojitá a nabývá pouze nenulových hodnot na intervalu (a, b), nemění na tomto intervalu znaménko. Samotná funkce h je proto ryze monotónní. Je-li h rostoucí (resp. klesající) nazveme parametrizace ϕ a ψ souhlasné (resp. nesouhlasné ). Souhlasné parametrizace pak odpovídají pohybu bodu po oblouku ve stejném smyslu (se stejným počátečním a koncovým bodem), zatímco nesouhlasné parametrizace indukují pohyby ve smyslu opačném, viz. obr. 5.3.
2. DÉLKA KŘIVKY
81
Obr. 5.3.
2
Délka křivky
Soustřeďme se nyní na otázku jak definovat a vypočítat délku dané křivky. Jsme ve stejné situaci jako při definici objemu obecného tělesa v Kapitole 1. Z elementární geometrie známe délky některých speciálních křivek (úsečka, kružnice), chybí nám však definice délky v obecném případě. K jejímu nalezení můžeme užít několik přístupů. Ten náš bude opět založen na axiomatické definici. Protože křivka se skládá z konečně mnoha oblouků, stačí zkoumat, jak zavést pojem délky pro oblouk. Délka daného oblouku C je jisté nezáporné číslo. Označme ho symbolem l(C). Podívejme se na vlastnosti, které číslo l(C) musí splňovat. Především, ve shodě s obecným názorem očekáváme, že rozdělíme-li oblouk C na dva menší úseky C 1 , a C2 ve smyslu uvedeného obrázku obr. 5.4, musí být celková délka oblouku C rovna součtu délek oblouků C1 a C2 , tj. l(C) = l(C1 ) + l(C2 ). Tato vlastnost se nazývá aditivita délky. Další požadavek, který musí každá definice délky respektovat, vychází z následující fyzikální představy. Je-li ϕ : ha, bi −→ C parametrizace oblouku C, je křivka realizována jako dráha pohybu částice s polohou ϕ(t) v čase t ∈ ha, bi. Norma (= velikost) vektoru rychlosti v časovém okamžiku t je rovna q kϕ0 (t)k = ϕ01 (t)2 + · · · + ϕ0n (t)2 .
C2 C C1
Obr. 5.4. Protože velikost rychlosti kϕ0 (t)k je spojitou funkcí času t, má tato funkce maximum i minimum na intervalu ha, bi. Délka oblouku l(C) je rovna velikosti dráhy, kterou uvažovaný bod vykoná. Tato dráha ovšem nemůže být větší než dráha, kterou by v témže čase vykonal bod pohybující se rovnoměrně maximální rychlostí maxha,bi (kϕ0 k). Dostáváme tak, že l(C) ≤ max(kϕ0 k) · (b − a). ha,bi
Zcela analogická úvaha pro minimální hodnotu rychlosti pak vede k požadavku min (kϕ0 (t)k) · (b − a) ≤ l(C) ≤ max (kϕ0 (t)k) · (b − a).
t∈ha,bi
t∈ha,bi
KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA
82
Je přirozené nazvat tuto vlastnost monotonií délky. Přistupme nyní k matematické definici délky. Definice 5.5. Zobrazení, které každému oblouku C přiřadí nezáporné číslo l(C) se nazývá délkou, jestliže splňuje následující dva axiomy (A) aditivita: l(C) = l(C1 ) + l(C2 ), kdykoliv C1 , C2 je rozdělení oblouku C na dva na sebe navazující oblouky, (M) monotonie: min (kϕ0 (t)k) · (b − a) ≤ l(C) ≤ max (kϕ0 (t)k) · (b − a),
t∈ha,bi
t∈ha,bi
kde ϕ : ha, bi → C je libovolná parametrizace oblouku C. Poznámka 5.6. Podobně jako v předchozích kapitolách můžeme axiom (A) psát v obecnější formě l(C) = l(C1 ) + l(C2 ) + · · · + l(Cn ), kde C1 , . . . , Cn je dělení oblouku C na menší na sebe navazující části. Čtenář, který má již jisté zkušenosti s axiomatickou definicí z Kapitoly 1 ví, že musíme dokázat existenci takovéhoto zobrazení l : C −→ l(C), jinak by Definice 5.5 nezaváděla vůbec žádný pojem. Dále bychom rádi ukázali, že toto zobrazení je jediné. Nesmíříme se jistě s pocitem, že nějaký oblouk by měl dvě různé délky. Při hledání explicitního vyjádření l(C) přitom získáme i metodu výpočtu. Věta 5.7. Zobrazení l z Definice 5.5 existuje a je jediné. Navíc l(C) =
Zb a
kϕ0 (t)k dt,
kde ϕ : ha, bi → C je libovolná parametrizace oblouku C. Důkaz. Z axiomů Definice 5.5 se pokusíme ukázat, že pro pevně zvolenou parametrizaci ϕ : ha, bi −→ C oblouku C, nemůže být l(C) ničím jiným než určitým integrálem Rb 0 a kϕ (t)k dt. Vraťme se proto na chvíli ke Kapitole 1. Podobným způsobem, kterým jsme došli k závěru, že objem tělesa V (f, T ) je dvojný integrál funkce f přes množinu T , bychom mohli postupovat i zde. Vyzkoušíme si však kratší cestu. Využijeme totiž již dokázané tvrzení o reprezentaci objemu V (f, T ) dvojným integrálem k tomu, abychom problém délky křivky na něj převedli. Zobrazení l(C) je zobrazení, které intervalu ha, bi a funkci ϕ : ha, bi → C přiřadí číslo podléhající axiomům (A) a (M). Za prvé si všimneme, že v axiomech se nevyskytuje funkce ϕ ale pouze norma její derivace kϕ 0 k. To znamená, že číslo l(C) = l(ϕ(ha, bi)) nebude záviset na ϕ, ale pouze na kϕ0 k.
2. DÉLKA KŘIVKY
83
Z intervalu ha, bi utvořme zcela formálně obdélník T = ha, bi × hc, di. Na funkci kϕ 0 (t)k můžeme rovněž pohlížet jako na funkci dvou proměnných f (t, u) = kϕ 0 (t)k. Vytvoříme pomocné zobrazení Ve (f, T ) = l ϕ(ha, bi) · (d − c), kde f (t, u) = kϕ0 (t)k a T = ha, bi × hc, di. Ověříme, že toto zobrazení splňuje axiom aditivity pro objem: Rozdělme obdélník T na dva T1 a T2 nejprve svislou úsečkou, viz obr. 2.1(a). Tím jsme interval ha, bi rozdělili číslem α na dva podintervaly. Tedy i oblouk C na dva kusy C1 = ϕ(ha, αi) a C2 = ϕ(hα, bi). Protože zobrazení l splňuje (A) máme Ve (f, T ) = l(C) = l(C1 ) + l(C2 ) = Ve (f, T1 ) + Ve (f, T2 ).
(5.3)
Pro rozdělení T vodorovnou úsečkou, viz obr. 2.1(b), dostaneme mnohem snadněji Ve (f, T ) = l ϕ(ha, bi) (d − c) = = l ϕ(ha, bi) (d − β) + l ϕ(ha, bi) (β − c) = = Ve (f, T1 ) + Ve (f, T2 ).
Jak to vypadá s monotonií výrazu Ve (f, T )? Protože l splňuje (M) můžeme toho využít:
(5.4)
min(f ) obsah(T ) = min kϕ0 (t)k (b − a)(d − c) ≤ l(C) (d − c) = Ve (f, T ) ≤ T
ha,bi
≤ max kϕ0 (t)k(b − a)(d − c) = max(f ) obsah(T ). T
ha,bi
Z (5.3) a (5.4) plyne, že Ve (f, T ) splňuje axiomy aditivity a monotonie. Z Věty 1.9 dostáváme, že takové Ve (f, T ) je jediné a platí ZZ e V (f, T ) = f. T
Ale hodnota Ve (f, T ) je rovna l ϕ(ha, bi) (d − c), takže
ZZ Zb Zd Zb Ve (f, T ) 1 1 0 l(ϕ(ha, bi)) = = f= kϕ (t)k du dt = kϕ0 (t)k dt. d−c d−c d−c a
T
c
a
Délkou tedy nemůže být nic jiného než integrál z normy derivace parametrizace. Avšak parametrizací je více. Musíme proto ukázat, že integrál tohoto typu nezávisí na volbě parametrizace tj., že Zb
(5.5)
a
0
kϕ (t)k dt =
Zd c
kψ 0 (s)k ds
pro každou další parametrizaci ψ : hc, di → C oblouku C. Podle Tvrzení 5.4 je možno nalézt transformaci parametrů h : ha, bi → hc, di tak, že ϕ(t) = ψ(h(t)). Pak ϕ 0 (t) = ψ 0 (h(t))h0 (t). Takže Zb Zb 0 kϕ (t)k dt = kψ 0 (h(t))k · |h0 (t)| dt. a
a
KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA
84
Víme také z Tvrzení 5.4, že h0 nemění znaménko na (a, b). Je-li tedy h 0 > 0 na (a, b), pak není třeba psát absolutní hodnotu v posledním integrálu a užijeme substituci s = h(t). Tím dostaneme Zd Zb 0 0 kψ (h(t))k h (t) dt = kψ 0 (s)k ds. c
a
h0
|h0 (t)|
−h0 (t).
Je-li < 0 na (a, b), pak = Zároveň ale je funkce h klesající. Při té samé substituci jako prve se změní pořadí mezí c a d: Zb a
0
0
kψ (h(t))k |h (t)| dt = −
Zc
0
kψ (s)k ds =
d
Zd c
kψ 0 (s)k ds.
Ověřili jsme tak rovnost (5.5), a tedy vzorec pro délku oblouku nezávisí na zvolené parametrizaci. Tím je důkaz věty dokončen. Uvažujme nyní obecnou křivku C. Pro její parametrizaci ϕ existuje dělení definičního oboru ha, bi na intervaly s krajními body a = t 1 < t2 < · · · < tn+1 = b tak, že množiny Ci = ϕ(hti , ti+1 i), i = 1, . . . , n, jsou oblouky tvořící dělení křivky C. Délka l(C) křivky je pak l(C) = l(C1 ) + l(C2 ) + · · · + l(Cn ). Rt Z Věty 5.7 víme, že pro oblouky Ci platí l(Ci ) = tii+1 kϕ0 (t)k dt, a proto (5.6)
l(C) =
t n Zi+1 X i=1 t i
0
kϕ (t)k dt =
Zb a
kϕ0 (t)k dt.
Ukažme dále, že ani hodnota l(C) definovaná rovností (5.6) nezávisí na výběru parametrizace. Mějme tedy jinou parametrizaci ψ : hc, di −→ C křivky C. Ta nám dává jisté dělení intervalu hc, di, a tím i dělení křivky C na oblouky K 1 , . . . , Km obecně jiné než byly oblouky C1 , . . . , Cn . Stačí ukázat, žeProzdělíme-li P křivku jednou na oblouky C 1 , . . . , Cn a n podruhé na oblouky K1 , . . . , Km , je i=1 l(Ci ) = m j=1 l(Kj ). Průnik Ci ∩ Kj oblouků Ci a Kj je buďto oblouk, bod nebo prázdná množina. Zřejmě l(C i ∩Kj ) = 0 v posledních dvou jmenovaných případech. Z aditivity máme následující vztahy platné pro všechny možné hodnoty indexů i, j: l(Ci ) =
m X j=1
l(Ci ∩ Kj )
l(Kj ) =
n X i=1
l(Ci ∩ Kj ).
Využitím těchto vztahů s pomocí změny pořadí sumace: l(C) =
n X i=1
l(Ci ) =
m n X X i=1 j=1
l(Ci ∩ Kj ) =
n m X X j=1 i=1
l(Ci ∩ Kj ) =
m X
l(Kj ).
j=1
Ukázali jsme, že hodnota integrálu v (5.6) je pro všechny parametrizace stejná.
2. DÉLKA KŘIVKY
85
Příklad 5.8. Vypočtěte dráhu l, kterou urazí střed odrazového sklíčka připevněného na obvodu jízdního kola o poloměru r, při jednom otočení kola. Předpokládáme přitom, že jízdní kolo se pohybuje po rovné cestě a bez klouzání. Při idealizaci této úlohy se jedná o výpočet délky křivky, kterou vytvoří pevný bod P ležící na valící se kružnici o poloměru r. Uvedená křivka se nazývá cykloida a je znázorněna na obr. 5.5. y
t
r
P
x
Obr. 5.5. Parametrizaci cykloidy lze získat pomocí parametru t udávajícího úhel, o který se bod P při svém pohybu po obvodu kružnice otočil. Otočí-li se bod P při svém pohybu o úhel t, musí střed valící se kružnice urazit stejnou dráhu, tj. rt. Souřadnice bodu P odpovídající tomuto parametru tedy budou x = rt − r sin t, y = r − r cos t.
Máme k dispozici parametrizaci ϕ(t) = (rt−r sin t, r −r cos t), t ∈ h0, 2πi a můžeme použít Větu 5.7.
l=
Z2π 0
0
kϕ (t)k dt =
Z2π
k(r − r cos t, r sin t)k dt
0
Z2π p r 2 − 2r 2 cos t + r 2 cos2 t + r 2 sin2 t dt = 0
2π 2π √ Z √ √ Z √ t 2π t = 8r. 1 − cos t dt = 2r 2 sin dt = 4r − cos = 2r 2 2 0 0
0
Při uvedeném pohybu jízdního kola tedy střed odrazového sklíčka urazí dráhu 8r. Jízdní . kolo samotné se při tom posune o 2πr = 6, 28r.
KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA
86
3
Cvičení Úloha. Určete délku l asteroidy o rovnici x 2/3 + y 2/3 = a2/3 , a > 0. Řešení. Danou křivku můžeme parametrizovat zobrazením ϕ(t) = (a cos3 t, a sin3 t),
t ∈ h0, 2πi.
Ve shodě s Větou 5.7 pak máme l =
Z2π 0
= 3a
Z2π p 9a2 cos2 t sin2 t dt k(−3a cos t sin t, 3a sin t cos t)k dt = 2
2
0
Z2π 0
Zπ/2 − cos 2t π/2 = 6a. sin t cos t dt = 6a | cos t sin t| dt = 12a 2 0 0
Úloha. Vypočtěte délku části kuželové spirály (n závitů) definované parametrizací ϕ(t) = (t cos t, t sin t, t), kde t ∈ h0, 2nπi. Řešení. Bezprostřední aplikací Věty 5.7 získáme délku l integrací funkce p kϕ0 (t)k = k(−t sin t + cos t, t cos t + sin t, 1)k = 2 + t2 .
přes interval parametrizace. Tedy
l =
√ 2nπs 2nπ Z Z Z2nπp p √ t 2 2 dt = 2 2 + t dt = 2 1+ √ 1 + u2 du 2 0
0
p √2nπ p 1 u 1 + u2 + ln(u + 1 + u2 ) = 2 2 2 p p 0 √ √ 2 2 = 2nπ 1 + 2n π + ln( 2nπ + 1 + 2n2 π 2 ).
0
Úloha. Určete délku l křivky C, která je v polárních souřadnicích popsána rovnicí (5.7)
% = a sin3
ϕ , a > 0, ϕ ∈ h0, 3πi. 3
Řešení. Vzhledem k tomu, že x = % cos ϕ, y = % sin ϕ, můžeme dosazením za % ze vztahu (5.7) získat parametrizaci Ψ: 3 ϕ 3 ϕ cos ϕ, a sin sin ϕ ϕ ∈ h0, 3πi. Ψ(ϕ) = a sin 3 3
3. CVIČENÍ
87
Pak ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos cos ϕ − sin sin ϕ, cos sin ϕ + sin cos ϕ 3 3 3 3 3ϕ ϕ 2 ϕ + ϕ , sin +ϕ . cos = a sin 3 3 3
Ψ0 (ϕ) = a sin2
Tedy
kΨ0 (ϕ)k = a sin2
ϕ . 3
Podle integrálního vzorce pro délku máme Z3π
l =
ϕ a sin dϕ = a 3 2
0
Z3π 0
1 − cos 32 ϕ 3 3 2 3π dϕ = πa − a sin ϕ 2 2 4 3 0
3 πa. 2
=
Úloha. Určete dráhu s pohybujícího se bodu, je-li poloha v čase t ∈ h0, 1i dána rovnicí ϕ(t) = (t, t2 , t). (Bod se pohybuje po parabole v prostoru.) Řešení. Platí kϕ0 (t)k = k(1, 2t, 1)k = Tedy
p 2 + 4t2 .
1 Z1 p √ √ Z q 2 s = 2 + 4t dt = 2 1 + ( 2t)2 dt
=
0 √ Z2 0
=
√
p
0
p √2 p u 1 1 + u2 du = 1 + u2 + ln(u + 1 + u2 ) 2 2 0
√ √ 2√ 1 3 + ln( 2 + 3). 2 2
1. Vypočtěte délku n závitů šroubovice s poloměrem a > 0 a výškou závitu h > 0. 2. Vypočtěte délku rovinné křivky zadanou parametrickými rovnicemi x = e −t cos t, y = e−t sin t, t ∈ h0, ∞i, tzv. logaritmická spirála. 3. Ukažte, že pro délku l křivky, která je spojitě diferencovatelné funkce f p R b grafem definované na intervalu ha, bi platí l = a 1 + f 0 (x)2 dx.
KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA
88
4. Vypočtěte délku grafu funkce f (x) = arcsin x +
√ 1 − x2 .
5. Vypočtěte délku řetězovky y = cosh x, x ∈ h0, ai (a > 0). 6. Odvoďte vztah l=
Zϕ2 p
f (ϕ)2 + f 0 (ϕ)2 dϕ,
ϕ1
kde l je délka křivky vyjádřené v polárních souřadnicích rovnicí % = f (ϕ), kde f je spojitě diferencovatelná funkce definovaná na intervalu hϕ 1 , ϕ2 i. 7. Vypočtěte délku křivky, je-li v polárních souřadnicích vyjádřena rovnicí % = a(1 + cos ϕ), a > 0, ϕ ∈ h0, 2πi. 8. Rovinná křivka je charakterizována následující vlastností: vzdálenost bodu na ni ležícím od počátku je nepřímo úměrná úhlu, který průvodič tohoto bodu svírá s kladnou částí osy x. Víme dále, že křivka prochází bodem (cos 1, sin 1). Vypočtěte délku té části křivky, pro kterou jsou úhly průvodiče v intervalu h3/4, 4/3i. 9. Určete délku spirály mající v polárních souřadnicích tvar % = e −3ϕ , a 4
ln a+x a−x , a > 0,
t2 2 ).
Určete velikost
10. Určete délku křivky v R3 dané rovnostmi y = a arcsin xa , z = přičemž krajní body této křivky jsou body (0, 0, 0) a (x 0 , y0 , z0 ). 11. Hmotný bod se pohybuje tak, že poloha v čase t je (sin t, cos t, dráhy, kterou urazí v časovém intervalu h0, 1i.
ϕ ∈ h0, 2πi.
12 Rozhodněte která křivka má větší délku a) kružnice o poloměru a b) elipsa s poloosami a2 , 2a. Výsledky. 1. 2πn
q
a2 +
kde |x0 | < a; 11.
√ √ 10 5 h2 3 −6π ); 2; 4. 4; 5. sinh a; 7. 8a; 8. ln ; 2. + ; 9. 2 2 12 3 (1−e 4π√ √ 1 1 2 2 + 2 ln(1 + 2); 12. délka(elipsy)>délka(kružnice).
10. |x0 |+|z0 |,
