KÍSÉRLETI MODÁLIS ELEMZÉS ÉAÜLT EMA J JEGYZET Dr. Pápai Ferenc MODELLELEMZÉS 5.4 SZERKEZET DINAMIKAI MÓDOSÍTÁS

KÍSÉRLETI MODÁLIS ELEMZÉS

J 05 04

ÉAÜLT EMA J 05 04 JEGYZET Dr. Pápai Ferenc 2012.

BME

ÉAGT

5 MODELLELEMZÉS 5.4 SZERKEZET DINAMIKAI MÓDOSÍTÁS 1

MODÁLIS SZERKEZETDINAMIKAI MODIFIKÁCIÓ.............................................................................. 2

2

DIREKT FELADAT........................................................................................................................................... 6 CSILLAPÍTATLAN RENDSZEREK MODÁLIS SZERKEZETDINAMIKAI MODIFIKÁCIÓJA ................................ 6 Példa: 2DOF csillapítatlan rendszer tömeg- és merevségmódosítása ............................................ 7 2.2 CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK MODÁLIS SZERKEZETDINAMIKAI MODIFIKÁCIÓJA .................................... 8 2.2.1 Példa: 2DOF csillapított rendszer csillapítás- és merevségmódosítása .......................................... 9 2.3 WINMOD SDM RENDSZER ............................................................................................................... 11 2.4 KÍSÉRLETI MODELLEK MÓDOSÍTÁSA ................................................................................................... 13 2.4.1 Esettanulmány .............................................................................................................................. 13 2.4.2 Kísérleti vizsgálatok ..................................................................................................................... 14 2.1

2.1.1

3

INVERZ FELADAT ......................................................................................................................................... 15 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

AZ ÁLTALÁNOSÍTOTT SZELŐMÓDSZER................................................................................................ 17 PÉLDA: 2DOF CSILLAPÍTOTT RENDSZER MEREVSÉGMÓDOSÍTÁS PARAMÉTERIDENTIFIKÁCIÓJA ......... 20 PEREMFELTÉTEL IDENTIFIKÁCIÓ ......................................................................................................... 22 ANALITIKUS TESZTPÉLDÁK PEREMFELTÉTEL IDENTIFIKÁCIÓRA ......................................................... 23 SDM-EN ALAPULÓ PEREMFELTÉTEL-IDENTIFIKÁCIÓ DISZKUSSZIÓJA ................................................. 26

4

SZERKEZETI MODIFIKÁCIÓ A DINAMIKAI HAJLÉKONYSÁG VIZSGÁLATÁVAL ................... 27

5

SZERKEZETI MODIFIKÁCIÓ A DINAMIKAI MEREVSÉG VIZSGÁLATÁVAL .............................. 29

6

KÍSÉRLETI MÉRÉSEKKEL MEGHATÁROZOTT OUTPUT-ONLY MODELLEK SKÁLÁZÁSA .. 30

Míg az 5.3 fejezetben tárgyalt érzékenységi egyenletek az infinitézimálisan kicsiny szerkezeti változtatások hatását vizsgálják, addig a szerkezetdinamikai módosítás (Structural Dynamics Modification = SDM) módszere a sajátértékeknek és a sajátvektoroknak egy véges nagyságú szerkezeti beavatkozásra történő megváltozását vizsgálja. Az SDM technikák a szerkezeti változtatások két nagy csoportját tartalmazzák: o Modifikáció o Alszerkezetek szintézise Rendszer

M

Rendszer "A"

M

K

Rendszer "B" C Modifikáció

Alszerkezetek szintézise

5.4-1. ábra SDM feladatok osztályozása [Sas_1]

D:\papai\modal\jegyzetek\ EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás.doc

2 A két csoport közötti lényeges különbség, hogy szerkezet modifikáció esetén az eredeti rendszer kiegészítésekor nem keletkeznek újabb szabadsági fokok. Az alszerkezetek szintézisekor két MDOF alrendszer illesztése történik, mikor a szabadsági fokok száma megváltozik (növekszik). Az alszerkezetek szintézise történhet rugalmas összekapcsolással, vagy merev összekapcsolással. A módszerek az alábbi táblázatban foglalhatók össze. 5.4-1. táblázat. Szerkezeti módosítási módszerek összefoglaló táblázata Modifikáció Modális Λ, V T , U Dinamikai hajlékonyság H( j ) Dinamikai merevség Z( j ) Komponens módus szintézis (CMS)

+

Szintézis kapcsolat Merev Rugalmas + +

+ +

+ +

+ + +

A táblázat 10 elemű, így 10 különböző SDM módszer származtatható. A következő két alfejezetben a modális modifikációt és a modális szintézist mutatjuk be egy-egy példával illusztrálva.

1 MODÁLIS SZERKEZETDINAMIKAI MODIFIKÁCIÓ Az additív jellegű SDM esetét vizsgáljuk, vagyis amikor a szerkezeti módosítások valamilyen pótlólagos tömeg, rugó, vagy csillapítóelem szerkezethez való kapcsolását, vagy elvételét jelentik úgy, hogy nem változtatják meg a szerkezet szabadságfokainak a számát. Az „additív szerkezetdinamikai módosítás” megnevezés a „modális modifikáció” szinonimája. (e)

(e) (e)

( m) ( m) ( m) T

Λ , U, V T

Λ, U,V

Rendszer

M

M

K C Modifikáció

5.4-1. ábra Modális modifikáció Eredeti szerkezet modellje

(e) (e)

(e)

Λ , U, V T

Módosított szerkezet modellje

Módosítás

+

M C G K R

=

(m) (m)

( m)

Λ, U, VT

5.4-2. ábra Modális szerkezetdinamikai modifikáció vázlata EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

3 Az ilyen jellegű beavatkozások együtthatómátrixai: M, C, G, K, R (rendre tömeg, csillapítás, giroszkópikus hatás, merevség, cirkulatórikus hatás), melyekkel a 2n-edrendű (nemszimmetrikus) általánosított sajátérték-feladat módosító mátrixai:

M  O B   , M C  G 

O M  A   .  O  (K  R )

(5.4-1)

Ezek figyelembevételével a módosított szerkezet általánosított sajátérték-feladata:

 (B  B)  (A  A)u 0  0 .

(5.4-2)

A fenti sajátérték-feladatot írjuk fel az eredeti modell modális terében, vagyis az (5.4-2) egyenletrendszeren végezzük el az (e)

u 0  U u m modális koordináta-transzformációt, akkor

 (B  B)  (A  A) U u m  0 . ( e)

Az egyenletrendszert balról V T -vel beszorozva (e)

V T  (B  B)  ( A  A) U u m  0 (e)

(e) (e) (e) (e) (e)   ( eT) ( e ) T T T  ( V B U  V  B U )  ( V A U  V A U) u m  0 ,   

és figyelembe véve a (e)

(e)

(e)

(e)

(e)

VT B U  E2n , VT A U  Λ azonosságokat, a módosított szerkezet sajátértékfeladata az eredeti szerkezet modális terében felírva a következő alakú,  (E2n  β)  (Λ  α)u m  0 , (5.4-3) ahol: (e)

(e)

(e)

(e)

α  V T A U .

β  V T BU ,

A β és α mátrixok nem diagonálmátrixok. A fenti két sajátérték-feladat (5.4-2) és (5.4-3) sajátértékei megegyeznek. (5.4-3) egyenletnél figyeljük meg, hogy a módosított szerkezet sajátjellemzőinek meghatározásához, nincs szükség az eredeti szerkezet B és A együtthatómátrixaira. Emiatt kísérletileg meghatározott (nem teljes) modelleknél is lehetőség van a módosított szerkezet sajátjellemzőinek meghatározására. (SDM ) T

(SDM )

Az utóbbi (5.4-3) v , u m sajátvektorai és velük képzett V és U modálmátrixok az eredeti szerkezet modális terében vannak értelmezve. Az eredeti, fizikai térbe való „visszatranszformáltjukat” a következő összefüggéssel számíthatjuk: T m

( m)

( SDM ) ( e )

VT  VT VT , ( m)

(5.4-4a)

( e ) ( SDM )

U V U ,

(5.4-4b)

ahol (e )

(e )

VT , U (SDM ) (SDM ) T

V , U

(m ) T

(m )

V ,U

eredeti szerkezet sajátvektorai (fizikai térben), módosított szerkezet sajátvektorai (az eredeti szerkezet modális terében), módosított szerkezet sajátvektorai (fizikai térben).

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

4 A direkt és az inverz feladat A modális szerkezetdinamikai modifikációs feladatoknak két alaptípusa különböztethető meg, attól függően, hogy a keresett mennyiség a módosított szerkezet modellje, vagy pedig maga a szerkezeti módosítás (5.4-3 ábra). Eredeti szerkezet modellje

(e) (e)

Módosított szerkezet modellje

Módosítás

(e)

+

Λ , U, V T

Ismert

M C G K R

(m) (m)

=

( m)

Λ, U, VT

?

Ismert

Eredeti szerkezet modellje

(e) (e)

Módosított szerkezet modellje

Módosítás

(e)

M C G K R

+

Λ , U, V T

=

?

Ismert

(m) (m)

( m)

Λ, U, VT

Ismert

Direkt feladat Inverz feladat 5.4-3. ábra Modális szerkezetdinamikai modifikáció két feladattípusa Direkt feladat: Ekkor ismert az eredeti szerkezet modellje valamint a szerkezeti módosítás, és keressük a módosított szerkezet modelljét. Direkt feladatként kezelhető az az eset is, mikor ismert a módosított szerkezet modellje valamint a szerkezeti módosítás, és keressük az eredeti szerkezet modelljét. Ekkor nyilvánvalóan a módosított szerkezet modelljén a szerkezeti módosításokat negatív előjellel vesszük figyelembe. Inverz feladat: Ekkor ismert az eredeti szerkezet modellje valamint a módosított szerkezet modellje, és keressük a szerkezeti módosítást. Az inverz feladat megoldása (egyetlen speciális esetet kivée) iteratív számításokat igényel. Az eredeti szerkezet és a módosított szerkezet modális tere közötti kapcsolatot csillapításmentes esetre az 5.4-4 ábrán illusztráljuk. Az ábra bal felső részén az eredeti szerkezet modellje látható. Ez egy 4 szabadságfokú rendszermodell, elmozduláskoordinátái az x vektor elemei. Ettől jobbra látható az eredeti szerkezet modellje a modális térben, melynek modális elmozdulás koordinátái a q vektor elemei. (e)

Ez a modell csatolásmentes, mert az x és q elmozduláskoordináták közötti x  Φ q ( xq )

(e)

transzformációt az eredeti szerkezet Φ modálmátrixával adtuk meg. ( xq )

Az ábra bal alsó részén a szerkezeti módosítás látható, mely az ábrán láthatóan három rugóelem, a merevségmódosítás mátrixa K . Ettől jobbra a szerkezeti módosítás modális térbe való (e)

(e)

( xq )

( xq )

κ  ΦT K ΦT transzformáltjának vázlata látható. A κ mátrix nem diagonálmátrix. A szerkezeti módosítás miatt az eredeti szerkezet modális terében a mozgásegyenletek ismét csatolttá válnak. Ennek a csatolt rendszernek a modálmátrixa

( SDM )

Φ . Úgy jutunk csatolatlan

( qs)

( SDM )

rendszerhez, ha a q  Φ s koordinátatranszformációt alkalmazzuk. Az eredeti rendszer x ( qs)

elmozduláskoordinátái és a módosított rendszer s elmozduláskoordinátái közötti kapcsolatot a (e)

x Φq ( xq )

transzformációk miatt a EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

( SDM )

q Φ s ( qs)

5 ( e ) ( SDM )

x Φ Φ s ( xq ) ( qs)

transzformáció írja le. Módosított szerkezet az eredeti szerkezet modális terében

Eredeti szerkezet modális térben

Eredeti szerkezet fizikai térben

q1

1

Módosított sz. modális tere

(e)

12 x1

q2

1 (e)

 22 x2

x3

q3

1

(e)

( m)

(e)

x4

q4

1

(s)

(e)

(e)

(e)

(e)

Z ( )  2 E  Ω 2

(e)

Z ( )   M  K

(q )

(x)

1

K

(e) T

(e) T

κ  Φ K Φ ( xq ) ( xq ) q1 1

1

1

x2

q2

x4

1

Módosítás fizikai térben

q Φ s

q3

( qs)

(e)

1

s3

1 (m)

 32

q4

s4

1 (e) 2 4



x3 1

(m)

 22

( SDM )

 32

x1

s2

1



x Φq ( xq )

(m)

12

q2 (e) 2 2

(e)

s1

1

12

 2

q1

1

(e) 2 4

(e)

Z ( )  2 E  Ω 2

(q)

 32

( m)

( m)

Z ( )  2 E  Ω 2  κ

(m)

 24

q3

q4

Módosítás eredeti szerkezet modális terében

5.4-4. ábra Csillapítatlan 4DOF rendszer merevségmódosítása Itt is megfigyelhető, hogy a módosított szerkezet sajátjellemzői kiszámíthatók az eredeti szerkezet sajátjellemzői és az additív szerkezeti módosítás együtthatómátrixai alapján. EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

6

2 DIREKT FELADAT A modális szerkezetdinamikai modifikáció direkt feladatában ismertek o o

(e)

(e) (e)

az eredeti szerkezet Λ, U, V T modális jellemzői, a szerkezeti módosítás M, C, G, K, R együtthatómátrixai, ( m) ( m)

( m)

és meghatározandók a módosított modell Λ , U , V T sajátértékei és sajátvektorai. Eredeti szerkezet modellje

(e)

(e) (e)

Λ , U, V T

Ismert

Módosított szerkezet modellje

Módosítás

+

M C G K R

=

(m) (m)

( m)

Λ, U, VT

?

Ismert

5.4-5. ábra Modális szerkezetdinamikai modifikáció direkt feladat A feladat egy lépésben megoldható, a megoldás nem igényel iteratív számításokat. A 2.1 fejezetben bemutatjuk a csillapítatlan eset megoldásának lépéseit, majd egy tesztpéldát ismertetünk. A 2.2 fejezetben a csillapított eset megoldásának lépéseit, és egy teszttpéldát közlünk.

2.1

Csillapítatlan rendszerek modális szerkezetdinamikai modifikációja

Csillapítatlan rendszereknél, ha a szerkezeti módosítás sem tartalmaz csillapítást, nem szükséges áttérni a 2n -edrendű feladatra. Ekkor a homogén mozgásegyenlet (M  M)x  (K  K)x  0 , (5.4-5) operátor-tartományban 2 (M  M)  (K  K) x  0 . (5.4-6)



(e )



(e )

(e )

Legyen Φ az eredeti szerkezet modálmátrixa, Ω a spektrálmátrixa. Bevezetve az x  Φ q modális (e )

koordinátatranszformációt, majd az (5.4-6) egyenletrendszert balról Φ T vel szorozva (e)





(e)

ΦT 2 (M  M)  (K  K ) Φ q  0 . Felbontva a zárójeleket (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)   2 ( e T) 2 T T T  Φ M Φ   Φ  M Φ  Φ K Φ  Φ  K Φ  q  0 ,   majd figyelembe véve a (e)

(e)

ΦT M Φ  E n , azonosságokat, a

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

(e)

(e)

(e)

ΦT K Φ  Ω 2

(5.4-7)

(5.4-8)

7 (e) (e)   2  ( E  Φ  M Φ )  Ω  Φ  K Φ  q  0   sajátértékfeladat adódik. Vezessük be a (e) T

(e)

(e) 2

(e) T

(e)

(e)

(5.4-9)

(e)

μ  ΦT M Φ , κ  ΦT K Φ mennyiségeket. Ezeket (5.4-9)-ba helyettesítve a (e)  2  2  (E n  Δμ)  Ω  Δκq  0 .   sajátértékfeladatot kapjuk.

(5.4-10)

Csillapítatlan esetben a direkt feladat megoldásának menete: (e) (e)

1. Adott Ω, Φ , M, K . (e) T

(e) T

(e)

2. μ  Φ M Φ ,

(e)

κ  Φ K Φ számítása.

(e)   3. 2 (E n  Δμ)  Ω 2  Δκq  0 sajátértékfeladat megoldása.  

(5.4-11)

( SDM ) ( SDM )

Eredménye: Ω , Φ . 4. Módosított szerkezet sajátjellemzőinek a számítása: ( m)

( SDM )

( SDM )

Ω Ω ,

2.1.1

( e ) ( SDM )

Φ  Φ Φ .

Példa: 2DOF csillapítatlan rendszer tömeg- és merevségmódosítása

Számítsuk ki az 5.4-6 ábrán látható kéttömegű lengőrendszer tömeg és merevségmódosítását. x1 x2

k12

k1

m2

m1

m1

(  ) Módosítás

k12

5.4-6. ábra SDM modifikáció MDOF tesztmodellje (SDM undamped MK MDOF=2 eigenvecs normált sajátvektorokkal.xmcd)

Eredeti szerkezet: Tömegmátrix 0 m M 1 ,  0 m2  (e)

Merevségi mátrix  k12  k  k K   1 12 . k12    k12 (e)

Módosítás: Tömegmátrix m 0 M   1 ,  0 0 m1  m2  0.01 kg , Paraméterei: k1  k12  4 N / m , Eredeti szerkezet sajátjellemzői: EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

(e) Eredeti

Merevségi mátrix  k12   k K   12 .  k12 k12  m2  0.005 kg , k12  4 N / m .

8 (e)  ( e ) ( e )  5.257  8.507 1 Φ   φ1 φ1    .  ( xq ) ( xq ) ( xq )  8.507 5.257  kg

(e) (e) (e) 1 Ω  1  2  12.361 32.361 , s

(e )

(e )

Határozzuk meg a módosított szerkezet sajátjellemzőit az eredeti szerkezet Ω , Φ sajátjellemzői és a módosítás k12 , m1 paraméterei alapján. A módosító mátrixok transzformálása az eredeti szerkezet modális terébe: (e) (e) (e) (e) 0.138 0.224  21.115  89.443 T μ  ΦT M Φ    κ  Φ K Φ   ,  . ( xq ) ( xq ) (q) ( xq ) ( xq ) (q) 0.224 0.362  89.443 378.885  Az eredeti szerkezet modális terében a módosított szerkezet rendszermátrixa (e)

( m)

Z ( )  2 (E  μ)  Ω 2  κ .

(q)

(q)

(q)

Sajátértékfeladat megoldása: ( SDM ) 1 ( SDM ) ( SDM )  0.915 0.267  1 Φ   φ1 φ2    , .  ( qs) s ( qs)   ( qs)  0.09  0.866 kg Visszatranszformálás a fizikai térbe (5.4-11) 4. lépése alapján ( SDM ) ( e ) ( SDM ) 5.257  8.507 0.915 0.267  5.574 5.966  Φ Φ Φ    . ( xs ) ( xq ) ( qs) 8.507 5.257   0.09  0.866 7.307  6.827 ( SDM )

( SDM )

Ω  1

( SDM )

2

 11.929 33.532

Ellenőrzésképpen közvetlenül is számítsuk ki a módosított szerkezet sajátjellemzőit. A módosított szerkezet együtthatómátrixai az eredeti együtthatómátrixok és a módosítási mátrixok összege: Tömegmátrix Merevségi mátrix ( m ) ( e ) ( m) (e) m  m1 0  k  k12  k12  k12  k12  , . M  M  M   1 K  K  K   1  0 m2  k12  k12     k12  k12 Módosított szerkezet sajátjellemzőit közvetlenül az (5.4-5) sajátértékfeladat megoldásával kapjuk, ezek: (m) ( m) ( m) ( m) 1  ( m ) ( m )  5.574 5.966  1 Ω  1  2  11.929 33.532 , Φ  φ 2 φ 2    .  ( x) s  ( x ) ( x )  7.307  6.827 kg (m)

( SDM )

( xs )

( xs )

A Φ és Φ

elemeinek összehasonlításával látható, hogy a módosított szerkezet sajátvektorai

megegyeznek az SDM-mel számított sajátvektorokkal.

2.2

Csillapított rendszerek modális szerkezetdinamikai modifikációja

Csillapított esetben a direkt feladat megoldásának menete: (e)

(e)

(e)

1. Adottak Λ, V T , U , és M, C, G, K, R mátrixok. M  O O M  2. A B   , A     M C  G   O  (K  R) együtthatómátrixok képzése. (e)

(e)

(e)

(e)

3. β  V T B U , α  V T A U számítása. (e)   4.  (E 2 n  β)  ( Λ  α)u m  0 , sajátértékfeladat megoldása.  

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

(5.4-12)

9 ( SDM ) ( SDM ) ( SDM ) T

Eredménye: Λ , V , U . 5. Módosított szerkezet sajátjellemzőinek számítása: ( m)

( SDM )

( m)

( e ) ( SDM )

( m)

Λ Λ ,

( SDM ) ( e )

VT  VT VT ,

U V U .

2.2.1

Példa: 2DOF csillapított rendszer csillapítás- és merevségmódosítása

Tekintsük az 5.4-7. ábrán látható két-szabadságfokú csillapított lengőrendszert.

x1

x2

k12

k1

(e) Eredeti

m1

m2

c12

c2 (  ) Módosítás

k12

c1

5.4-7. ábra SDM modifikáció MDOF tesztmodellje (SDM CK MDOF=2 eigenvecs normált sajátvektorokkal.xmcd)

Eredeti szerkezet: Tömegmátrix (e) 0 m M 1 ,  0 m2  Módosítás: Tömegmátrix 0 0  M   , 0 0  Paraméterei:

Csillapítási mátrix (e)  c12  c C   12 ,  c12 c2  c12 

Merevségi mátrix (e)  k12  k  k K   1 12 . k12    k12

Csillapítási mátrix c 0 C   1 ,  0 0

Merevségi mátrix  k12   k K   12 .  k12 k12 

m1  m2  0.01 kg , k1  k12  4 N / m , c2  c12  0.04 Ns / m ,

k12  4 N / m , c1  0.04 Ns / m .

Végezzük el a modális szerkezetdinamikai modifikációt a k12 merevségmódosítást, és c1 csillapítás-módosítást figyelembe véve. Az eredeti szerkezet együtthatómátrixaira nem teljesül a CM1K  KM 1C felcserélhetőségi reláció, ezért 2n -edrendű általánosított sajátértékfeladatot kell megoldani, aminek megoldásával az eredeti szerkezet sajátjellemzői: Sajátértékek: (e) 1 Λ   4.324  j31.832  4.324  j31.832  1.676  j12.338  1.676  j12.338 , s A B -re normált sajátvektorok:  22.869 + 25.48j 22.869 - 25.48j 7.154 + 11.177j 7.154 - 11.177j  (e) (e)   - 9.404 - 19.818j - 9.404 + 19.818j 13.585 + 16.739j 13.585 - 16.739j s (e) Ψ Λ  U   (e)    .   kg 0.69 0.812j 0.69 + 0.812j 0.812 0.69j 0.812 + 0.69j  Ψ    1.185 - 1.262j 1.185 + 1.262i   - 0.572 + 0.373j - 0.572 - 0.373j EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

10 (e )

(e )

Határozzuk meg a módosított szerkezet sajátjellemzőit az eredeti szerkezet Λ , U sajátjellemzői és a módosítás k12 , c1 paraméterei alapján. A módosító mátrixok transzformálása az eredeti szerkezet modális terébe:

- 7.334E -3 - 0.045j 0.045 - 0.045j 0.045 - 7.334E -3 j    (e) (e) 0.045 - 7.334E -3 + 0.045j 0.045 + 7.334E -3 j 0.045j   T β  U B U   , - 0.045j 0.045 + 7.334E -3 j 7.334E -3 - 0.045j 0.045   -3 0.045j 0.045 7.334E -3 + 0.045j  0.045 - 7.334E j - 0.752 + 11.967j - 11.99 - 0.828 - 4.656i 4.595 + 1.118i    (e) (e) - 11.99 - 0.752 - 11.967i 4.595 - 1.118i 4.656i   1. T α  U A U   - 0.828 - 4.656j 4.595 - 1.118i 0.752 + 1.707i - 1.865  s   - 1.865 0.752 - 1.707i   4.595 + 1.118j - 0.828 + 4.656i A szerkezeti módosítás sajátérték feladata az eredeti szerkezet modális terében:

B SDM  E2n  β , Sajátértékfeladat

(e )

A SDM  Λ  α .

B SDM  A SDM u  02n .

Sajátértékfeladat megoldása: ( SDM )

Λ  - 5.939 + 42.288j - 5.939 - 42.288j - 2.061 + 13.086j - 2.061 - 13.086i

1 . s

A B SDM -re normált sajátvektorok:

 0.014  0.139 j 0.122  0.055 j  0.017  0.057 j   1.009  0.028 j  ( SDM )  0.014  0.139 j 1.009  0.028 j  0.017  0.057 j 0.122  0.055 j  U  .   0.133  0.098 j  0.018  0.074 j 0.996  0.036 j  0.031  0.034 j     0.018  j 0.074 j  0.133  0.098 j  0.031  0.034 j 0.996  0.036 j  (SDM )

Az U visszatranszformálása az eredeti szerkezet elmozduláskoordinátáinak terébe 9.243  12.97 j 9.243  12.97 j  22.579  28.758 j 22.579  28.758 j 16.496  23.425 j  16.496  23.425 j 12.123  16.443 j 12.123  16.443 j  ( SDM ) ( SDM ) ( e ) ( SDM )  U fiz  U fiz  U U    0.593  0.617 j 0.593  0.617 j 0.859  0.824 j 0.859  0.824 j     0.489  0.459 j 1.084  1.097 j 1.084  1.097 j    0.489  0.459 j (SDM )

Ennek második n számú sora adja a módosított szerkezet Ψ fiz mode-shape vektorait a fizikai térben: ( SDM )  0.593 - 0.617j 0.593 + 0.617j 0.859 - 0.842j 0.859 + 0.842j s Ψ fiza   .  - 0.489 + 0.459j - 0.489 - 0.459j 1.084 - 1.097j 1.084 + 1.097j  kg

A számítások helyességének ellenőrzésére számítsuk ki közvetlenül is a módosított szerkezet sajátjellemzőit. Módosított szerkezet: Tömegmátrix Csillapítási mátrix Merevségi mátrix (m) (e) m MM 1 0

0 , m2 

(e)  c12  c  c1 , C  C C   12 c2  c12    c12

( m)

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

(e) k  k  k12 K  K  K   1 12   k12  k12

( m)

 k12  k12  . k12  k12 

11 A módosított szerkezet sajátjellemzőinek számítása: A módosított szerkezet együtthatómátrixaira nem teljesül a felcserélhetőségi reláció, ezért 2n -edrendű sajátértékfeladatot kell megoldani. Ennek megoldása: ( m) 1 Λ  - 5.939 + 42.288j - 5.939 - 42.288j - 2.061 + 13.086j - 2.061 - 13.086i , s 22 . 579  28 . 758 j 22 . 579  28 . 758 j 9 . 243  12 . 97 j 9 . 243  12 . 97 j   16.496  23.425 j  16.496  23.425 j 12.123  16.443 j 12.123  16.443 j  ( m)  s . U   0.593  0.617 j 0.593  0.617 j 0.859  0.824 j 0.859  0.824 j  kg    0.489  0.459 j 1.084  1.097 j 1.084  1.097 j    0.489  0.459 j (m )

Ennek második n számú sora adja a módosított szerkezet Ψ mode-shape vektorait:

 0.593 - 0.617j 0.593 + 0.617j 0.859 - 0.842j 0.859 + 0.842j s Ψ .  - 0.489 + 0.459j - 0.489 - 0.459j 1.084 - 1.097j 1.084 + 1.097j  kg

( m)

(SDM )

(m )

Ψ fiz valóban megegyezik Ψ -val.

2.3

WINMOD SDM rendszer

Az SDM modifikáció számításai a WINMOD programmal is elvégezhetők. A WINMOD SDM moduljának felhasználói interfésze az 5.4-8. ábrán látható.

5.4-8. ábra A WINMOD program SDM párbeszédablaka A WINMOD SDM modulban alkalmazott lépések: 1. Adott az eredeti szerkezet visszavezetése közönséges sajátérték-feladatra. 2. Közönséges sajátérték feladat együtthatómátrixának felső Hessenberg alakra transzformálása [Popper_2]. 3. A Hessenberg alakra transzformált együtthatómátrix sajátértékeinek számítása Francis féle QR algoritmussal [Popper_2]. 4. Sajátértékek visszahelyettesítése és a homogén lineáris egyenletrendszer megoldása. (Sajátvektorok) 5. Sajátvektorok normálása az E  β mátrixára. 6. Sajátvektorok visszatranszformálása a fizikai térbe.

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

(5.4-13)

12 Az SDM számítás ellenőrzése analitikus koncentrált paraméterű modellek segítségével úgy történhet, hogy (e)

o Első lépésben az ismert M, C, K együtthatómátrixok alapján meghatározzuk a Z ( ) eredeti modell sajátértékeit és sajátvektorait, o Második lépésben az ismert M, C, K együtthatómátrixok és az ismert módosítás a C , (m)

K módosító mátrixok alapján a Z ( ) módosított szerkezet sajátértékeit és sajátvektorait. (Módosított szerkezet újraszámítása) o Harmadik lépésben a C , K módosító mátrixokat az eredeti szerkezet modális terébe transzformálva, a modális térben megoldjuk a sajátértékfeladatot, amelynek eredményét a fizikai térbe visszatranszformáljuk. Az SDM számítás akkor helyes, ha második és harmadik lépésben számított sajátérték és sajátvektor rendszer megegyezik. A 2.2.1 fejezetben bemutatott feladat WINMOD SDM-mel végzett számítási eredményeit az 5.4-2. táblázat tartalmazza.

5.4-2. táblázat SDM analitikus teszt számított sajátértékei

1

1. 2. 3.

Eredeti szerkezet Módosított SDM-mel számított

 1.6760  j12.3383  2.0667  j13.0856  2.0607  j13.0857

2

 4.3240  j31.8319  5.9393  j 42.2882  5.9393  j 42.2882

A táblázati értékek összevetésével megfigyelhető, a program SDM moduljának számítási pontossága. (A számítási pontosságot az alkalmazott sajátérték feladat megoldó algoritmusok iterációs pontossága befolyásolja.) Az SDM modifikáció tesztelési tapasztalatai azt mutatják, hogy teljes modális tér esetén a számítási eredményt kizárólag az alkalmazott numerikus módszerek (beállítható) pontossága befolyásolja. Nem teljes (csonkolt) modális tér esetén az SDM nem elhanyagolható mértékű eltéréssel határozza meg a módosított szerkezet sajátértékei és sajátvektorait. Az eltéréseket az elhanyagolt (outband) módusok rezidumainak a megtartott (vizsgált) módusokra való hatása okozza. Ugyanis szerkezeti módosítások az eredeti szerkezet modális terébe transzformálva a modális térben értelmezett mozgásegyenleteket ismét csatolttá teszik. A rezíduum kompenzáció módszereinek bő szakirodalma van, kapcsolódó területe az F7. függelékben ismertetett CMS technika. A módszer továbbfejlesztésénél célszerű tovább vizsgálni, hogy a kísérletileg meghatározott Hˆ ( j ) FRF függvények kl

Nm  Pi kl Pi*kl  xk ( j ) 1 H kl ( j )        Rkl f l ( j ) mkl  2 i 1  j  i j  *i 

((3.-1))

alakú közelítő függvényében szereplő Rkl (maradó hajlékonysági) tag értéke milyen módon használható fel rezídum-kompenzációra. Szimmetrikus rendszerek kísérleti vizsgálata esetében általában a H j   H kl ( j ) FRF mátrixnak csak egy oszlopa, vagy egy sora kerül meghatározásra, a modellképzés a paraméterszintézis összefüggéseinek felhasználásával történik (3.4 fejezet). A maradék hajlékonysági tagokból képzett közelítő R  Rkl  mátrix így egyetlen diáddal közelíti az outband módusoknak a modellképzési frekvenciaintervallumra való hatását.

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

13 2.4

Kísérleti modellek módosítása

Kísérletileg meghatározott (nem teljes) modelleknél is lehetőség van a módosított szerkezet sajátjellemzőinek meghatározására, ehhez nincs szükség az eredeti szerkezet B és A együtthatómátrixaira. (e)

(e) (e)

A kísérleti modelleknél a V T , Λ, U mátrixok nem teljesek, tehát a mérésekkel meghatározott (e) (e) (e) T

modell nem minden módusra vonatkozik. Mivel csak csonkolt V , Λ, U mátrixok állnak rendelkezésre, a szerkezetdinamikai módosítás sajátérték-feladata nem 2n , hanem csak 2 N m méretű (ahol N m a kísérletileg meghatározott módusok száma). A szerkezetdinamikai modifikáció pontosságát rontja az outband módusok rezídumainak figyelmen kívül hagyása. Jezequel [Jezequel_1] a merevségmódosítási feladatnál az outband módusok rezidumainak felhasználásával javítja az SDM számításokat úgy hogy a K merevségi mátrixot a 1 K korr  E  K  R K , (5.4-14) ahol outband módusok rezíduális (maradó) hajlékonysági mátrixa R korrrigált módosító mátrixszal helyettesíti az (5.4-1) egyenletben. Megjegyezzük, hogy az R mátrix elemeinek közelítése a kísérleti modális elemzési módszerek esetében az FRF függvények analitikus alakkal való közelítésénél meghatározásra kerülnek, tehát a korrekciós célból felhasználhatók. Fenti összefüggés levezethető a CMS technika Craig-Chang módszere alapján is. [Sas_1, A.5.26. o.] 2.4.1 Esettanulmány A szerkezetdinamikai módosítás egy szerszámgép-vizsgálati példája található [Okubo_1]-ben. Okubo az ún. segédtömeges rezgéscsillapításra mutat be példát. Egy síkköszörűgép vizsgálatánál próbaforgácsolás során a megmunkált próbadarab felületi hullámossága a gép f  80 Hz -es rezonanciafrekvenciájából eredt. Elvégezték a dinamikai tesztet, modális modellt állítottak fel. A modellt elemezve 8 variánsra az SDM összefüggések alkalmazásával kiszámították, hogy adott nagyságú póttömeg felszerelésével milyen mértékben változna a köszörű-orsóház – gépasztal eredő relatív dinamikai hajlékonysága. A póttömegnek a szimulációk alapján talált legkedvezőbb pontban való elhelyezésével mintegy 10%-os dinamikai merevségnövelést értek el. A módosítás kivitelezése után ismét próbaköszörülést végeztek, a próbadarab megmunkált felületéről az f  80 Hz -re visszavezethető hullámosság eltűnt (és újabb hullámosság nem keletkezett).

5.4-9. ábra Segédtömeges rezgéscsillapítás

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

14 2.4.2 Kísérleti vizsgálatok A szerkezetdinamikai módosítás kísérleti példájaként tekintsük a korábbiakban vizsgált befogott rúd, és annak EMA1 mérésekkel meghatározott modális modelljét. Végezzük el a SDM módosítást úgy, hogy az az 5.4-10. ábra fényképén látható szerkezetet modellezze.

5.4-10. ábra Befogott rúd, módosított szerkezet Az ábrán láthatóan, a 7  8  9 -es mérési pontok magasságában egy m  1.460kg tömegű motor lett felszerelve. Az eredeti szerkezet sajátfrekvenciáit az 5.4-3. táblázat első sorában tüntettük fel, a módosított szerkezet mért sajátfrekvenciáit a második sorban. A felszerelt tömeg módosító hatásának ellenőrzésére különböző modellváltozatokat készítettünk, az ezekre számított sajátfrekvenciák a táblázat további soraiban találhatók.

Realizált Módosítás

5.4-3. táblázat Befogott rúd sajátfrekvenciái 1 2 3 4 Póttömeg Hz m7  m8  m9  0kg 5.00 31.00 87.25 125.00 Felszerelt tömeg: m7  m8  m9  1.460kg 4.25 30.75 82.75 86.00

SDM_1

m8  1.46kg

Eredeti

SDM_2

m7  0.29kg m8  0.51kg m9  0.51kg

5 171.00 160.00

4.73

30.99

81.17

119.3

127.01

4.74

30.99

81.96

85.54

131.44

 7,9  0.1kgm2 Az eltérések lehetséges okai: o Tömegmódosítás helytelen modellezése o Rezidum figyelmen kívül hagyása Az SDM direkt feladatát elemeztük, ez a kísérleti modális elemzés területén széles körben alkalmazott módszer. A szerkezeti károsodás diagnosztikája szempontjából az SDM inverz feladatának megoldása szükséges, amikor adott két kísérleti modális modell (eredeti és károsodott 1

Beam_2

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

15 szerkezet modelljei) és keressük azt a szerkezetdinamikai módosítást amely az egyik modellen megvalósult ahhoz, hogy a másik dinamikai modell keletkezett. Az inverz feladat megoldásához kulcsfontosságú a direkt feladat megoldását végző, hatékonyan alkalmazható SDM modul kifejlesztése.

3 INVERZ FELADAT A szerkezetdinamikai módosítás paraméter-identifikációja a kísérleti modális elemzés egyik speciális területe, a szerkezetdinamikai modifikáció inverz feladata. Ilyenkor adott két kísérleti modális modell és keressük azt a szerkezetdinamikai módosítást amelyet az egyik modellen meg kell valósítani ahhoz, hogy a másik dinamikai modellt kapjuk. A modális szerkezetdinamikai modifikáció inverz feladatában ismertek o

(e) (e)

(e)

az eredeti szerkezet Λ, U, V T modális jellemzői, ( m)

( m) ( m)

o a módosított modell Λ , U , V T sajátértékei és sajátvektorai, és meghatározandók a szerkezeti módosítás M, C, G, K, R együtthatómátrixai. Eredeti szerkezet modellje

(e) (e)

(e)

Λ , U, V T

Ismert

Módosított szerkezet modellje

Módosítás

+

M C G K R

=

?

(m) (m)

( m)

Λ, U, VT

Ismert

5.4-11. ábra Modális szerkezetdinamikai modifikáció inverz feladata

Az identifikációs feladat megfogalmazása Tegyük fel, hogy a modális elemzés módszerével meghatározásra került az eredeti és a módosított (pl. károsodott) rendszer modális modellje, melyek modális jellemzőit a következőképpen jelöljük: Módosított

Eredeti (e )

Λ

(e)

(e) T

U, V

spektrálmátrix

(m )

modálmátrixok

( m) ( m) T

Λ

U,V

Tegyük fel továbbá, hogy ismert annak az additív módosításnak a struktúrája, amely az eredeti szerkezeten végre lett hajtva és a módosított szerkezetet eredményezte. A szerkezeti módosítás keresett paramétereit foglaljuk egy p -vel jelzett paramétervektorba. A p paramétervektor elemeinek értéke ismeretlen, a szerkezeti módosítás struktúrája ismert, tehát ismertek a ˆ  C ˆ (p) , ˆ  K ˆ (p) , C K (5.4-15) M  M(p) , ahol EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

16

M ˆ C

tömegmódosítás, ˆ  C  G csillapítás módosítás, C ,

ˆ K

ˆ  K  R merevségmódosítás, K ~ ~ ~T függvények. Jelöljük Λ, U, V -vel annak modális modellnek a sajátjellemzőit, melyet az eredeti szerkezet modális modelljén az (5.4-15) módosítások figyelembevételével az (5.4-12) SDM algoritmus végrehajtásával nyerünk (5.4-12. ábra). Eredeti (mért)

(e) (e)

(e)

Λ , U, V T

+

Módosított (mért)

Közbenső (számított)

SDM

M (p) ˆ (p) C

~ ~ ~ Λ, U, V T

=

(m) (m)

( m)

Λ, U, VT

ˆ (p) K h(p) hiba

5.4-12. ábra SDM paraméter identifikáció vázlata Képezzünk most egy h(p) különbségvektort mely az eredeti szerkezet, p -vel módosított ~ ~ ~ változatának sajátértékei és sajátvektorai ( Λ, U, V T ), valamint a módosított szerkezet ( m) ( m)

( m)

sajátértékeinek és sajátvektorainak ( Λ , U , V T ) különbsége ( m)

h(p)  ~ c (p)  c , ahol

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ c  [1 ,..., n , x1T ,..., x nT , y1T ,..., y Tn ]T ( m)

( m)

( m) ( m)

( m) ( m)

(5.4-16)

eredeti szerkezet SDM módosításának sajátjellemzői,

( m)

c  [ 1 ,..., n , x1T ,..., xTn , y1T ,..., y Tn ]T módosított szerkezet sajátjellemzői. A h(p) hibavektor (vagy különbségvektor normája akkor nulla, mikor a p paramétervektor értéke olyan, hogy a módosított modell sajátértékei és sajátvektorai fizikai koordinátákban éppen megegyeznek a károsodott szerkezet sajátértékeivel és sajátvektoraival. Keressük a p paramétervektor elemeinek az értékét. Ez a h(p) normának a minimálásával oldható meg, így az identifikációs feladatot visszavezettük egy minimálási feladatra. Az identifikációs algoritmus A h(p) hibavektor-norma minimálására, mint ismeretes, leggyorsabb a Newton módszer. Azonban ennek alkalmazásakor minden egyes iterációs lépésben szükséges a Jacobi mátrix   h (p)  számítása, melynek elemei a J  J q , s   q  parciális deriváltak. A Jacobi mátrix eleminek   ps  összefüggéseit az érzékenységi egyenletek adják. Ezek rendkívül összetettek és minden egyes dinamikai feladatnál különbözőek, gyakorlatilag nagy szabadságfokú rendszereknél kezelhetetlenek. Az identifikációs probléma minimumfeladatának megoldására az általánosított szelőmódszert alkalmazzuk. Az általánosított szelőmódszer egy non-derivatív módszer, az egyváltozós függvények zérushely-keresésénél alkalmazott szelőmódszer (húrmódszer) vektorvektor függvényekre való általánosítása [Popper_1], [Popper_2]. Ez nem igényli a Jacobi mátrix számítását. (Az általánosított szelőmódszer vázlata az F12. függelékben található.)

 

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

17 3.1

Az általánosított szelőmódszer

y  f (x) y1  f ( x1 )

y3  f ( x3 )

y4  f ( x4 ) x1

x3

x4

x

x2

y2  f ( x4 )

5.4.13. ábra Szelő módszer vázlata

N Q az azonosítandó paraméterek száma, vagyis a p vektor elemeinek a száma.

Legyen

azon dinamikai jellemzők száma, mely alapján az identifikációt végezzük, vagyis a h(p) hibavektor elemeinek a száma. 1. Felveszünk N Q  1 különböző paramétervektort, ezeket induló bázisvektoroknak nevezzük. M

Foglaljuk a bázisvektorokat egy PB  [p1 , p 2 ,..., p NQ , p NQ 1 ] mátrixba ( N Q , N Q  1 méretű). 2. Minden egyes p i ( i  1,, N Q  1) induló bázisvektorhoz kiszámítjuk a h i (p i ) hibavektort. 3. Az N Q  1 db induló bázisvektort a hozzájuk tartozó hibavektorokkal kiegészítetten egy

N Q  M dimenziós tér vektorainak tekintjük. Ezek a vektorok tehát:  p  i  1,, N Q , N Q  1 . si   i  , h i (p i ) Az s i vektorokból képezett mátrix: S  [s1 , s 2 ,..., s NQ , s NQ 1 ] {mérete: ( N Q  M , N Q  1 )} 4. Az általánosított szelőmódszer értelmében [Popper_1] ezen az N Q  M dimenziós-térbeli

M  1 számú ponton fektessünk át egy N Q dimenziós síkot (szelősík). A szelősík egyenlete: S d  g , ahol g a szelősík pontjainak helyvektora, N Q 1

d vektor elemeire, mint együtthatókra pedig érvényes a

d l 1

így d írható a

 NQ  d   1  t i   i 1  alakban. EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

l

 1 összefüggés,

18 5. Keressük az S  d  g egyenletű szelősíknak azt a pontját, amely pont helyvektora utolsó M koordinátájának négyzetösszege minimális. A szelősík paraméteres egyenletének ezen pontra vonatkozó együtthatóit a H1t  h1 lineáris egyenletrendszer legkisebb négyzetes megoldása adja. Ez a következő: t  H1 h1 , ahol h i  h(p i ) H1  h 2  h1 h 3  h1  h m1  h1  6. A t együtthatók ismeretében kiszámítjuk a p paramétervektor új értékét:

1  t  p śj  P    i   t  7. Kiszámítjuk a p ú j -hoz tartozó új h ú j  h(p ú j ) hibavektort. 8. Képezzük az p  sú j   ú j  h ú j  új bázisvektort. 9. Az új bázisvektort behelyettesítjük, S azon oszlopa helyébe, melyre a h i (p) hiba vektor norma maximális. 10. A 4. ponthoz visszatérve újabb iterációs lépést hajtunk végre. Az iterációt a konvergencia bekövetkeztéig folytatjuk. Az induló bázisvektorok felvétele A p j induló bázisvektorokat úgy kell felvenni, hogy a h j (p j ) hibavektorok lineárisan függetlenek legyenek. Ezen feltétel biztosítására explicit előírás nem adható meg. A gyakorlati tesztelési próbafuttatásoknál bevált a i j (5.4-17) p j ;i  p1;i 1      i 1, j  j  2,..., N Q  1 , i  1,..., N Q összefüggés, ahol a keresett paramétervektor kezdeti becslése, p1;i





p j ;i

a j -edik bázisvektor elemei,

  0.5  i, j

’empírikus konstans, Kronecker delta (nem tévesztendő össze az egyindexes csillapítással).

Például,

tegyük

fel,

hogy

a

paramétervektor

NQ  4

elemű,

és

kezdeti

becslése

p1  1 3 5 7 . Ekkor N Q  1  5 induló bázisvektort kell felvenni. Ezek az (5.4-17) T

összefüggés alkalmazásával a 1 1  1 0.5 1 3 3 4.5 3 3   PB  5 5 5 2.5 5    7 7 10.5 7 7

mátrix oszlopvektorai. Alkalmazás feltételei (e)

(e) T

( m) ( m) T

Teljes modális tér esetén a U, V (eredeti) és a U , V (módosított) modálmátrixok nemszingulárisak, tehát invertálhatók. Ekkor a 2n -edrendű B, A módosító mátrixok közvetlenül számíthatók a EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

19 (e) T

(e) T

(e)

V BU  E , ( m) T

(e)

(e)

V AU  Λ , ( m) T

( m)

V B  B  U  E , ortogonalitási relációkból a következőképpen:

( m)

(eredeti)

(5.4-18)

( m)

V A  A  U  Λ ,

(módosított) (e)

(e)

A B és B és mátrixra vonatkozó (5.4-18) elsőegyenletéből: B  V T U 1 , a második ( m)

egyenletből

( m)

B  B  V T U 1 , ez utóbbiban (e) T

(e) 1

B

modálmátrixszal kifejezett alakját V U  B  V mátrixokra hasonlóan járunk el, végeredményül 1

1

U

összefüggéshez jutunk. Az A és A 1

 (m) (m)   (e) (e)  B   U V T    U V T  ,     (m)

helyébe beírva az eredeti szerkezet

( m) ( m) T 1

1

 (m) (m) (m)   (e) (e) (e)  A   U Λ 1 V T    U Λ 1 V T  .     

(e)

(m)

(5.4-19)

(e)

B B A A Ebből következik, hogy teljes modális tér esetén az identifikációs algoritmus alkalmazása felesleges.

Ellenőrző számítások az „SDM inverz teljes modális tér.xmcd” MathCAD állományban találhatók. Nem teljes modális tér esetén, a B , A módosítási mátrixok nem fejezhetők ki közvetlenül a modálmátrixokkal, az (5.4-19) összefüggés nem alkalmazható. Mint tudjuk, a modális modell képzésénél a fizikai térben n dimenziós feladatot redukáljuk N M dimenziós feladattá n  N M . Ez a projekció korlátozza az identifikálható paraméterek számát. A szelőmódszer alkalmazásának feltétele, hogy a p  h(p) leképezés egyértelmű legyen. A B , A módosító mátrixoknak az (e) T

(e)

(e) T

(e)

eredeti szerkezet modális terébe való V B U és V A U transzformációjánál ez az egyértelműség nem mindig teljesül. Szimmetrikus rendszerekre részletezve a módosítás M, C, K együtthatómátrixainak az alábbi transzformáltjai adódnak: (e) (e) (e) (e) (e) (e)  Ψ T C Ψ  γ , Ψ T M Ψ  μ , ΨT K Ψ  κ , (5.4-20) a b c ahol μ, γ, κ a módosítás együtthatómátrixai az eredeti szerkezet modelljének modális terében. Lokalizált módosítást feltételezve például merevségmódosításra NQ

K   l q  l Tq  k q ,

(5.4-21)

q 1

ahol NQ

módosító rugóelemek száma

k q

q -adik módosító rugóelem merevsége N / m

lq

q -adik módosító rugóelem lokalizációs vektora, mely

l q  el ,

q  1,...N Q

ha az l -edik elmozdulás koordánát és a bázist kapcsoljuk össze a k q merevségű rugóelemmel

l q  e l  e k , ha az l -edik és k -adik elmozdulás-koordinátákat kapcsoljuk.

(5.4-21)-et (5.4-20c)-be helyettesítve

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

20

0   l1T  k1    T  (e) (e)  k 2 T    l 2  Ψ  κ , Ψ l1 l 2 ... l NQ             k N q  l TNQ   0    





A fenti összefüggés szerint k q

(5.4-22)

K  κ leképezés akkor egyértelmű, ha a (5.4-22) k q -kra nézve

lineáris egyenletrendszernek van egyértelmű legkisebb négyzetes megoldása. (5.4-22)-t a lineáris egyenletrendszerek szokásos mátrixos alakjára átírva:  k1   κ 1   k   κ 2  2    , w1  z1 w 2  z 2 ... w NQ  z NQ             k NQ  κ N m  ahol κ 1 ,..., κ N m κ oszlopvektorai,







(e)



W  ΨT l1 l 2 ... l NQ szorzat oszlopvektorai,

w1 ,..., w NQ

 l1T   T  (e) l2 T Z    Ψ szorzat sorvektorai.    T  l NQ  WZ rendszereknél és ezért

z 1T ,..., z TNQ

Szimmetrikus

ekkor szimmetrikus N ( N  1) w1  z1 w 2  z 2 ... w NQ  z NQ együtthatómátrixnak N m2  m m számú sora 2 megegyezik egymással (valamint a κ mátrix is szimmetrikus). A lineárisan független sorok N ( N  1) N ( N  1) maximális száma m m , tehát az identifikálható paraméterek száma N Q max  m m , 2 2 feltéve, hogy a w1  z1 w 2  z 2 ... w NQ  z NQ együtthatómátrix rangja N Q max . Az alábbi







az



5.4-4 táblázatban az identifikálható paraméterek számát mutatjuk a meghatározott módusok számának függvényében ( N m -edrendű négyzetes mátrix főátlóbeli és afölötti elemek száma). 5.4-4. táblázat Identifikálható paraméterek száma Identifikálható Módusszám paraméterek száma N Q max Nm 1 2 3 4

1 3 6 10

Ugyanerre az eredményre jutunk, tömeg, ill. csillapításmódosítás esetében is.

3.2

Példa: 2DOF csillapított rendszer merevségmódosítás paraméteridentifikációja

Tekintsük a 5.4-14. ábrán látható két-szabadságfokú lengőrendszert. EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

21

x1 k1

x2 k12

m1

m2

k1

c12

c2

5.4-14. ábra SDM paraméteridentifikáció MDOF tesztmodellje Legyenek az eredeti szerkezet együtthatómátrixai: Tömegmátrix Csillapítási mátrix 0  c12  m c C   12 M 1 , ,   c12 c2  c12   0 m2  Módosítás:

Merevségi mátrix  k12  k  k K   1 12 . k12    k12 Merevségi mátrix k 0 K   1 .  0 0

m1  m2  0.01 kg , k1  k12  4 N / m , k1  4 N / m , c2  c12  0.04 Ns / m . Tegyük fel, hogy nem ismert a szerkezeti módosítás lokációja, jellege és paramétereinek értéke, vegyük fel ezek kezdeti becsléseként a k1,becslés  2 N / m , k12,becslés  1 N / m , k 2,becslés  1 N / m , d1,becslés  0.3 Ns / m értékeket. A paraméter identifikáció fent ismertetett módszerét alkalmazva identifikáltuk a tényleges szerkezeti módosítás értékét. Az 5.4-15. ábrán az identifikált paraméterek értékének alakulását ábrázoljuk az iterációk számának függvényében. Paraméterei:

SDM Identifikáció. Módosító paraméterek. Project: Analitikus_tesztek Analitical SDM Init.Est.: A12. Analitical SDM Result: A19 Source Modal model: Q6. Destination:Q7

K1 [N/m] 4 D1 [N]/[m/s] 3.175E-09 K12 [N/m] 2.2053E-06 K2 [N/m] -1.6806E-07

5.0E+00

3.0E+00 2.0E+00 1.0E+00 0.0E+00 -1.0E+00

30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2.0E+00 0

Módosító paraméterek

4.0E+00

Iteráció [Weight of shape:100%] [Secantstep Eps.:1E-10] [HQR Eps.:1E-10]

5.4-15. ábra Szerkezeti módosítás paraméter-identifikációja. Paraméterértékek Az ábrán megfigyelhető, hogy a választott példa esetében az iteráció konvergens. A tényleges merevségváltozást a paraméteridentifikációs számítás k1,identifikált  3.999997044 N / m értékkel EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

22 azonosította. A további három paraméter - melyek a tényleges változtatásban nem szerepeltek – identifikált értékei: k12,identifikált  2.20528E  6 N / m , k 2,identifikált  1.6805E  7 N / m , d1,identifikált  3.1749E  9 Ns / m ,

zérusnak tekinthetők. A sajátfrekvenciák értékének alakulását az 5.4-16. ábra mutatja. SDM Identifikáció. Sajátfrekvenciák Project: Analitikus_tesztek Analitical SDM Init.Est.: A12. Analitical SDM Result: A19 Source Modal model: Q6. Destination:Q7

f1: 2.4561 f2: 5.834

6.0E+00 5.0E+00 4.0E+00 3.0E+00 2.0E+00

30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

1.0E+00 Iteráció [Weight of shape:100%] [Secantstep Eps.:1E-10] [HQR Eps.:1E-10]

5.4-16. ábra Szerkezeti módosítás paraméter-identifikációja. Sajátfrekvenciák Szerkezetdinamikai módosítás paraméter-identifikációjára mutatnak további alkalmazási példákat a [P2], [P3], [P4] publikációk.

3.3

Peremfeltétel identifikáció

Az SDM identifikáció lényege, hogy két mért modell sajátlengési adatait vetjük össze, és a sajátlengésekben mutatkozó különbségek alapján számítjuk numerikus módszerrel azt a szerkezeti beavatkozást, amely a sajátlengési adatokban mutatkozó eltérést okozta. Ezt az eljárást most peremfeltétel identifikációra alkalmazzuk. SDM-en alapuló peremfeltétel-identifikáció Peremfeltétel identifikáció esetében nem két mérési modell alapján végezzük a számításokat, hanem egyetlen mért modell alapján. Ezen egyetlen kísérleti modális modell sorozatos szerkezetdinamikai módosításával végezzük a peremfeltételek identifikálását. Mint ismeretes, egy lefogásoktól mentes dinamikai modellnek zérus sajátfrekvenciái is vannak. A peremfeltételeket úgy identifikáljuk, hogy a kísérleti modális modellen sorozatosan szerkezetdinamikai módosításokat hajtunk végre, mindaddig, míg annak kiválasztott merevtestszerű módusaihoz tartozó sajátértékek zérusok nem lesznek. Annak a szerkezetdinamikai módosításnak a „-1” szeresét tekintjük a vizsgált objektum lefogási paramétereinek, amely a mért sajátfrekvenciák valamelyikét zérussá teszi. Peremfeltétel identifikáció esetén a feladat p paramétervektora a peremfeltételeknek megfelelő SDM C, K együtthatómátrixainak elemeit tartalmazza. Az identifikációs feladat   h(p)  c(p)  c hibavektorát pedig a szerkezeten mért egyetlen modális modell sajátjellemzőiből EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

23 állítjuk elő! A klasszikus SDM identifikációtól eltérően most egyetlen mért modális modell áll rendelkezésre. Ez képezi a kiinduló módosítandó modell sajátjellemzőinek vektorát.        c  [1 ,..., n , x1T ,..., xTn , y1T ,..., y Tn ]T Az elérendő (cél) modell        c  [1 ,..., n , x1T ,..., xTn , y1T ,..., y1T ]T paramétervektorának feltöltéséhez a következő megfontolásokat kell tenni: 1. A peremfeltételek megváltozása maga után vonja az összes módus sajátértékeinek megváltozását. 2. A peremfeltételek megváltozása maga után vonja az összes módus sajátvektorainak megváltozását. Megjegyzés: Feltehetően bizonyos speciális esetekben a peremfeltétel megváltozásakor kimutatható összefüggés az eredeti és a megváltozott peremfeltételű rendszer megfelelő sajátvektor komponensei között. (Ilyenek lehetnek a klasszikus normál módusok azon alesetei, mikor a peremfeltétel csak merevségi paramétert tartalmaz.) Mivel a probléma megoldásánál az általánosságra törekszünk, ezeket a speciális eseteket itt nem elemezzük. 3. Zérus paraméterű peremfeltétel rendszer egy, vagy több módus sajátértékét (komplex) zérussá teszi. 4. Az SDM identifikáció csak akkor alkalmazható, ha a módosítás struktúrája ismert.   Fentiek alapján a c és c vektorokban nem szerepeltethetjük a sajátvektor-jellemzőket. A sajátérték-jellemzőkkel a módosított paramétervektorok, tehát a következő felépítésűek:      c  [1 , 2 , 3 ,...,  N m ]T ,      c  [1 , 2 , 3 ,...,  N m ]T .

A peremfeltétel identifikációs feladatban az a kritérium, hogy az elérendő dinamikai modell első sajátértéke(i) zérus értékű(ek) legyen(ek). Ha az első k számú sajátértékre írjuk elő a zérus követelményt, akkor a paramétervektorok a következők:        c  [1 , 2 , 3 ,..., k , k 1 ,...,  Nm ]T ,    c  [0,0,0,...,0, k 1 ,...,  N m ]T .   A k 1 ,...,  N m sajátértékekre pedig az eredeti szerkezet sajátértékeit helyettesítjük be. Tehát a két paramétervektor végleges szerkezete:        c  [1 , 2 , 3 ,..., k , k 1 ,...,  Nm ]T ,    c  [0,0,0,...,0, k 1 ,...,  N m ]T . A hibavektor minimalizálására két módszert vizsgáltunk meg: 1. Általánosított Newton-Raphson módszer. 2. Általánosított szelőmódszer.

3.4

Analitikus tesztpéldák peremfeltétel identifikációra

A következőkben az SDM-en alapuló peremfeltétel identifikációra kidolgozott módszer ellenőrzésére végzett analitikus próbaszámítások eredményeit ismertetjük. Tekintsük az 5.4-17. ábrán látható véges szabadságfokú lengőrendszert!

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

24

x1

x2 k12

k1 m1

m2 c12

c2

5.4-17. ábra. Peremfeltétel identifikáció MDOF tesztmodell Paraméterei: m1  m2  0.01 kg , Együtthatómátrixai 0 m M 1 ,  0 m2 

k1  k12  4 N / m ,

c2  c12  0.04 Ns / m .

 k12   c12  k  k c K   1 12 C   12 , .  k12   c12 (c12  c2 )   k12 Látható, hogy a modellben a k1 merevségi c 2 csillapítási együttható képviselik a peremfeltételeket. Az eredeti modellből további három modellt is képeztünk, úgy, hogy négy különböző peremfeltételi esetet kapjunk. Mindegyik feladatra kiszámítottuk a sajátjellemzőket is. Az alábbi 5.4-5. táblázatban a négy különböző peremfeltételi értékpárt és a számított sajátértékeket foglaljuk össze.

Modell

1 2 3 4

5.4-5. táblázat. Peremfeltétel identifikáció tesztfeladatai Modellparaméterek Számított sajátértékek Mode #1 Mode #2 Peremfeltétel Re Im Re Im k1 c2[Ns/m] [rad/sec] [rad/sec] [rad/sec] [rad/sec] [N/m] Rugó+Csill. 4 0,04 -1,67 12,338 -4,32 31,832 Csill. 0 0,04 -2,01 0 -4,99 27,76 Rugó 4 0 -0,209 12,38 -3,79 32,08 Lefogás mentes 0 0 0 0 -4,000 28,000

A modellek koncentrált tömegei az első sajátfrekvencián fázisban, a másodikon ellenfázisban mozognak, tehát az első sajátfrekvencia a lefogások sajátfrekvenciája. A numerikus kísérleteknél az egyes peremfeltételeket identifikáljuk, nyomon követve az iteráció konvergenciáját, megfigyelve a konvergencia-tartományt. A számításokat elvégeztük az általánosított szelőmódszerrel és az általánosított Newton módszerrel egyaránt. Ez utóbbinál a hibavektor minimalizálására felírt nemlineáris egyenletrendszer Jacobi mátrixában a modális elemzésből ismert elsőrendű érzékenységi egyenleteket használtuk fel. A számításokat a WINMOD programmal végeztük, mely peremfeltétel identifikációs moduljának felhasználói felülete az 5.4-18. ábrán látható.

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

25

5.4-18. ábra Peremfeltétel identifikáció felhasználói párbeszédablak. WINMOD 1. sz. Numerikus kísérlet: Az 1.sz modellen identifikáljuk a k1 merevségi paraméter értékét. Célsajátértékként közvetlenül a zérust megadva az iteráció divergens. Konvergenssé tehető az iteráció, ha célértékként nem közvetlenül a zérus sajátértéket adjuk meg, hanem a zérust a kiinduló sajátértékből kiindulva fokozatosan közelítjük, a következő módon: -első iteráció sorozatnál (13 lépés) cél értékként a kiinduló modell sajátértékénél fél nagyságrenddel kisebb értéket adunk: 12,33 / 10  3,89 (rad / sec) . - második iteráció sorozatnál a kiinduló modell sajátértékének egytizedét, 1,233 (rad/sec)-ot. ... - negyedik sorozatnál a kiinduló modell sajátértékének egy századát 0,123 (rad/sec)-ot, stb. Így minden iterációs sorozatnál fél nagyságrenddel csökkentve (0-hoz közelítve) a cél értéket, megőrizhető a konvergencia. Az iteráció-sorozat végeredményeként a k1 merevségi paraméterre k1  3.9912 N / m merevségi értéket kaptunk (a pontos érték 4 N/m), a kapott sajátértékek pedig:  1  1,02  j 0,14(rad / sec) ,  2  4,98  j 27,783(rad / sec) . Tehát a rugalmasságtól mentesített modell második sajátértéke valóban a fenti táblázat 2.sz. modelljét közelítette meg. (Newton és szelő módszerrel ugyanezt az eredményt kaptuk.) 2. sz. Numerikus kísérlet: A 2.sz modellen identifikáljuk a c1 csillapítási paraméter értékét. Az 1.sz numerikus kísérlethez hasonló módon fél nagyságrendenként csökkentettük a cél értéket. A c2 csillapítás identifikált értéke c2=0,03804 Ns/m, (pontos érték 0,04 Ns/m). A sajátértékek a 3.sz. modell sajátértékeihez tartanak. 3.sz. Numerikus kísérlet: A 3.sz modellen identifikáltuk a k1 merevségi paraméter értékét, a fentiekhez hasonló módon. Az iteráció a 4. számú lefogásmentes modellhez konvergál. 4. sz. Numerikus kísérlet: Az 1.sz modellen egyidejűleg identifikáljuk a k1 merevségi paraméter és a c2 csillapítási paraméter értékét. A számított értékek: k1= 3,99947 N/m (pontos érték: 4 N/m) c2= 0,04304 Ns/m (pontos érték: 0,04 Ns/m) 1  0,0761  j 0,1431(rad / sec) , 2  3,9239  j 28,0108(rad / sec) A lefogásmentes modell pontos sajátértékei pedig a fenti táblázat 4-dik sora alapján:  1  0,000  j 0,0(rad / sec) ,  2  4,000  j 28,000(rad / sec) Az iteratív számításokat az 5.4-19. és 5.4-20. ábrák mutatják.

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

Peremfeltétel Identifikáció. Módosító paraméterek. Project: Analitikus_tesztek In.Estimate:A5 Result:A5 Starter:Q6 Number of zerusmodus: 1

K1 [N/m] -3.9995 D2 [N]/[m/s] -0.043044

0.0E+00 -1.0E+00 -2.0E+00 -3.0E+00

4_18

4_14

4_10

4_6

4_2

3_17

3_13

3_9

3_5

3_1

2_16

2_12

2_8

2_4

1_19

1_15

1_11

1_7

0 1_3

-4.0E+00

Iteráció [Weight of shape:100%] [HQR Eps.:1E-10]

5.4-19. ábra 4. sz numerikus kísérlet eredményei. Paraméterek. Peremfeltétel Identifikáció. Sajátfrekvenciák Project: Analitikus_tesztek In.Estimate:A5 Result:A5 Starter:Q6 Number of zerusmodus: 1

f1: 0.025797 f2: 4.5016

5.0E+00 4.0E+00 3.0E+00 2.0E+00

4_15 4_18

4_12

4_9

4_3 4_6

3_19

3_13 3_16

3_10

3_7

3_1 3_4

2_17

2_14

2_8 2_11

2_5

2_2

1_15 1_18

1_9

1_12

0

1.0E+00

1_3 1_6

Módosító paraméterek

26

Iteráció [Weight of shape:100%] [HQR Eps.:1E-10]

5.4-20. ábra 4. sz numerikus kísérlet eredményei. Sajátfrekvenciák.

3.5

SDM-en alapuló peremfeltétel-identifikáció diszkussziója

Az analitikus tesztpéldákon végzett numerikus kísérletek tapasztalatai azt mutatják, hogy o Mint várható volt, a Newton módszer konvergenciája gyorsabbnak bizonyult a szelő módszerénél. o Azoknál a példáknál, ahol a kiinduló modell első sajátértékének valós, vagy képzetes része zérus, az iteráció nem volt stabil, nem konvergált a célként megjelölt paraméterekhez. o Konvergenciát azokban az esetekben kaptunk, ahol a kiinduló modellből közelítettünk a lefogás-mentes modellhez. Tehát nem voltak konvergensek azok az esetek, mikor egy lefogás-mentes modellből kiindulva próbáltuk a lefogással bíró szerkezetet megközelíteni. o A peremfeltétel identifikáció fenti megoldása a célértékként megadott zérus sajátfrekvenciát fokozatos közelítésekkel iterálja. Erre azért van szükség, mert a közelítő módszerek zérus sajátfrekvencia, mint megoldás közelében instabillá válik. Ennek az, az oka, hogy mind a Newton, mind a szelő módszer a megoldás környezetében olyan közelítési értéket is felhasznál, amelyek a megoldás értékén "átnyúlik" a negatív frekvenciákra. Ez feladatunkban azt jelenti, hogy valamely soron következő iterációban (pl. merevség identifikációnál) negatív merevségi együtthatót számolnak. Negatív merevségi, vagy csillapítási együttható esetén azonban a vizsgált rendszermodell instabil, EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

27 nem teljesülnek a stabilis rendszer követelményei. Sem a Newton, sem a szelő módszer nem volt képes valamely negatív merevségi, vagy csillapítási paraméterértékről a közelítéseket a pozitív tartományba ’visszahúzni’. A peremfeltétel identifikációs módszer gyakorlati alkalmazhatóságának eldöntéséhez figyelembe kell venni, hogy a fenti analitikus tesztpéldák mindegyikében: o ismert volt a lefogás struktúrája, o az identifikáció azon alapult, hogy a lefogási paraméter értékét úgy módosítottuk, hogy a modell első sajátfrekvenciája legyen zérus értékű. o a modell nem mérési adatokból származtatott, hanem számított adatokból volt képezve, teljes modális térrel. Kísérleti mérések alapján képezett modelleknél ezek a körülmények nincsenek biztosítva, ugyanis: o a lefogás struktúrája nem ismert, o a lefogás szabadságfokainak száma egynél nagyobb, tehát a lefogás-mentesítés nem csak egy, hanem több sajátfrekvenciát tesz zérussá. o a modell sajátértékei mérési hibával terheltek. Gyakorlati méréseken való alkalmazás a fenti körülmények figyelembevételével történhet csak meg.

4 SZERKEZETI MODIFIKÁCIÓ A DINAMIKAI HAJLÉKONYSÁG VIZSGÁLATÁVAL

(e)

(m)

H p ,q

H p ,q

Rendszer (e )

(e )

Hc

Hd

M

M

K C Modifikáció

5.4-21. ábra Szerkezeti modifikáció, hajlékonyság elemzése Az eredeti rendszerre (e)

(e)

H( ) Z( )  E (e)

(e)

ahol Z( ) az eredeti rendszer dinamikai merevségi mátrixa, H( ) eredeti rendszer dinamikai hajlékonysági mátrixa. A módosított rendszerre ( m)

( m)

H( ) Z( )  E , (m)

(*) (m)

ahol Z( ) a módosított rendszer dinamikai merevségi mátrixa, H( ) a módosított rendszer dinamikai hajlékonysági mátrixa. A módosított rendszer rendszermátrixára írhatjuk, hogy ( m)

(e)

Z( )  Z( ) Z( ) ahol Z( ) a szerkezeti módosítás mátrixa. Ezt behelyettesítve (*)-ba EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

28 ( m)  (e)  H( ) Z( ) Z( )   E  

(e)

Az egyenletet jobbról megszorozva az eredeti rendszer H( ) FRF mátrixával ( m) (e)  (e)  (e) H( ) Z( ) Z( )  H( )  H( )   ( m) (e) (e)   H( ) E  Z( ) H( )   H( ) ,   vagy pedig ezt átrendezve [Sas_1, A.5.16]

1

(e)   H( )  H( ) E  Z( ) H( )  . (**)   A fenti egyenlet a módosított szerkezet FRF (hajlékonysági) mátrixát fejezi ki az eredeti szerkezet FRF mátrixa és a szerkezeti módosítás függvényében. [Sas_1, A.5.16 oldal] ( m)

(e)

[Sestieri_1] cikkben a (**)-nak megfelelő összefüggés 1

(e) (e)   H( )   E  H( ) Z( )  H( ) .   A (**) egyenleteket elemezve, jelöljük c -vel (connection) azokat a szabadsági fokokat, melyekben szerkezeti módosítás történt, és jelöljük f -fel a többi (free) szabadsági fokot. Ekkor ezen elmozduláskoordináták szerint partícionálhatjuk (**) egyenleteket ( m)

1

(e) (e) O  O O  H ff H fc    (e)  .  (e) E cc  O Z cc  H cf H cc     A fenti egyenlet jobboldalának második tényezőjében elvégezve a beszorzást,

( m ) ff (H m)  H cf 

( m ) ff (H m)  H cf 

  (e) H fc  H ff  (e) ( m)  H cc   H cf

( m)

  (e) H fc  H ff  (e) (m) H cc  H cf

( m)

 H fc  E ff (e)  H cc   O (e)

 H fc  E ff (e)  H cc   O (e)

O  (e)  E cc  Z cc H cf O

(e)  H ff (e)   (e) Z cc H cc  H cf 

O

1

 H fc   (e)  , H cc   (e)

majd az összegképzést

  (e) H fc  H ff  (e) ( m)  H cc  H cf

(m)

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

 H fc   E ff (e) (e) H cc  ΔZcc H cf

1

  . (3*) (e)  E cc  ΔZcc H cc  A jobboldalon szereplő második tényező inverze (F20. függelék alapján) 1 E O     1 1 O (e) (e) (e)  E ff       , (e) (e)   E cc  ΔZcc H cc  ΔZcc H cf  E cc  ΔZcc H cc         ΔZcc H cf E cc  ΔZcc H cc    ezt behelyettesítve (3*)-ba, ( m) (e) E O  ( m )   (e)  1 1 H H H H ff fc ff fc  (e) (e) (e) ( m)     (e)     , ( m) (e)  H cf H cc  H cf H cc    E cc  ΔZcc H cc  ΔZcc H cf  E cc  ΔZcc H cc            majd elvégezve a jobboldalon a beszorzást 1 1 (e) (e) (e) (e) (e)  (e)      (m) (m) H  H E  ΔZ H ΔZ H H E  ΔZ H fc  cc cc  cf fc  cc cc      ff cc cc cc H fc   ff     . (H  m) (m) 1 1 ( e ) ( e ) (e) (e) ( e ) (e)   H cf H cc          H cf  H cc  E cc  ΔZcc H cc  ΔZcc H cf H cc  E cc  ΔZcc H cc         Az n -edrendű minorokat részletezve: ( m ) ff (H m)  H cf 

(e)

O

29 1

(e) (e) (e) (e)   H ff  H ff  H fc  E cc  ΔZcc H cc  ΔZcc H cf  

( m)

(1,1)

(e)   H cc  H cc  E cc  ΔZcc H cc   

( m)

(2,2)

(e)

(4*a)

1

(4*b) ( m)

( m)

Ezeket az egyenleteket minden érdekes frekvenciára ki kell értékelni, ( H ff  H ff ( ) ;   j helyettesítéssel). A fenti egyenletekben megfigyelhető, hogy csak azokra az FRF függvényekre van szükség, mely pontokban a szerkezeti módosítás történt, és azokra mely pontokban kíváncsiak vagyunk az FRF megváltozására. ( m)

Például, tekintsünk egyetlen mc tömegmódosítást a c elmozduláskoordináta mentén. A H ff ( m) ( m )  H  H ff p ,q elemére ff mátrixra vonatkozó (4*a) összefüggés alapján annak    p ,q (e)

( m)

H

(e)

ff p ,q

 H ff p ,q 





(e)

H fc p ,c   2  mc H cf c ,q (e)

1   2  mc H ccc ,c

(e)

 H ff p ,q

(e)

H fc p ,c H cf c ,q

(e)

 

2

 mc



1

(e)

.

 H cc c ,c

Például, rugómerevség módosítás a c és d elmozduláskoordináták közötti rugómerevség  1  1 módosítására, amikor ΔZcc  k c ,d (e c  e d )  (e c  e d )T  k c ,d    1 1  ( m)

H

ff p ,q

(e) (e)  (e)  ( e )  H fc c ,q  H fc d ,q  H fc p ,c  H fc p ,d   (e)   .  H ff p ,q   (e) (e) (e) (e) k cd1  H cc d ,d  H cc c ,d  H cc c ,c  H cc d ,c

5 SZERKEZETI MODIFIKÁCIÓ A DINAMIKAI MEREVSÉG VIZSGÁLATÁVAL (e )

Ha Z az eredeti szerkezet dinamikai merevségi (rendszer) mátrixa, és Z a rendszermodifikáció mátrixa, akkor a módosított szerkezet dinamikai merevségi mátrixa ( m)

(e)

Z  Z  Z .

(e )

Az eredeti szerkezet Z rendszermátrixa FEM módszerek alkalmazásával meghatározható, kísérleti módszereknél azonban igen nehéz. Kísérleti módszereknél az FRF mátrix kerül meghatározásra és az sem minden elmozduláskoordinátára, ezért annak invertálása nem lehetséges. [Klostermann_1] a kísérleti mérésekkel meghatározott modális modell alkalmazását (e)

javasolja. Ekkor, noha rendelkezésre áll a H( j ) analitikus alakban, a fő problémát annak invertálása okozza [Sas_1, A.5.19 old].

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás

30 (e )

(m )

Z

Z

Rendszer

M

M

K C Modifikáció

5.4-22. ábra Szerkezeti modifikáció, merevség elemzése

6 KÍSÉRLETI MÉRÉSEKKEL MEGHATÁROZOTT OUTPUT-ONLY MODELLEK SKÁLÁZÁSA A kísérlei modális elemzés Output-only módszerei nem skálázott modellt eredményeznek. A 3.4 fejezetben áttekintettük az ismert módszereket, a befogott rúd és híddaru kísérleti mérései által igazolt Output-only módszert fejlesztettünk ki. A 7. fejezetben kísérletileg meghatározott modellek tehát nem skálázottak. A 7.2.2 fejezetben bemutattuk, hogy az Output-only érésekkel meghatározott modell nem skálázott. A skálázott modell képzéséhez legalább egy hitelesítő FRF függvény mérése szükséges, melynek gerjesztési lokációja meg kell, hogy egyezzen az OO méréseknél alkalmazott gerjesztési lokációval. A 7.4 fejezetben a híddaru indításos módszerrel való gerjesztésekor gyakorlatilag nem ismert a gerjesztő erő pontos helye, csupán a reprodukálhatóság volt biztosítva. A híddaru indításos vizsgálatánál képzett OMA modell úgy lenne skálázható, ha a daruszerkezet szinuszos gerjesztővel, vagy impulzus gerjesztéssel (Y) haladási irányban gerjesztenénk a kerékszekrény(ek) vonalában. Ennek a gerjesztésnek a megvalósítása nehézkes, ipari körülmények között működő daruk (vagy egyéb szerkezeteknél pedig gyakorlatilag kivitelezhetetlen). Az iparszerű szerkezetdiagnosztikai felhasználhatóság érdekében kidolgoztunk egy új módszert, mely nem igényli OMA módszerek esetén a hitelesítő FRF mérést. Ez a módszer szerkezetdinamikai módosítással (SDM) skálázza az OMA modellt.

_________________________________________________________________ Függelékek F 20 Mátrixalgebra MathCAD SDM undamped MK MDOF=2 eigenvecs normált sajátvektorokkal.xmcd SDM CK MDOF=2 eigenvecs normált sajátvektorokkal.xmcd SDM inverz teljes modális tér.xmcd

-.-

EMA J 05 04 Szerkezetdinamikai módosítás