KÍSÉRLETI MODÁLIS ELEMZÉS ÉAÜLT EMA J JEGYZET Dr. Pápai Ferenc EGY SZABADSÁGFOKÚ RENDSZEREK 1.1 MOZGÁSEGYENLETEK

KÍSÉRLETI MODÁLIS ELEMZÉS ÉAÜLT

BME

ÉAGT

EMA J 01 01 JEGYZET Dr. Pápai Ferenc 2011

1. EGY SZABADSÁGFOKÚ RENDSZEREK 1.1 MOZGÁSEGYENLETEK TARTALOMJEGYZÉK 1

BEVEZETÉS....................................................................................................................................................... 1

2

RENDSZEREGYENLET, ÁTVITELI FÜGGVÉNY ..................................................................................... 2 2.1.1 2.1.2 2.1.3

A rendszer pólusai, sajátfrekvenciái és csillapítási tényezői .......................................................... 5 Rezídumok ..................................................................................................................................... 7 Frekvencia válasz függvény, impulzus válasz függvény ................................................................ 7 2.1.3.1

3

Fizikai paraméterek változtatásának hatása ............................................................................................ 10

HISZTERÉZISES CSILLAPÍTÁS ................................................................................................................. 13

1 BEVEZETÉS Ebben a fejezetben bevezetünk néhány, a kísérleti modális elemzéssel kapcsolatos alapfogalmat [Sas_1]. Ezeket a fogalmakat többszabadságfokú rendszereknél is értelmezni fogjuk. A mozgásegyenletből kiindulva levezetjük az átviteli függvényt. Ez a kimenet (output) és a bemenet (input) hányadosa az operátor tartományban. Ennek a függvénynek a nevezője a rendszer karakterisztikus egyenlete, mely meghatározza a rendszer pólusait, sajátfrekvenciáit és csillapítási hányadosait. Az átviteli függvény részlettört alakjának a számlálója tartalmazza az ún. rezidumokat. Tárgyaljuk az átviteli függvény frekvenciatartománybeli és időtartománybeli megfelelőit. Megmutatjuk a tömeg, a csillapítás és a merevség változtatásának a hatását az egyszabadságfokú rendszer viselkedésére. Végül kitérünk a szerkezeti (hiszterézises) csillapítás mozgásegyenleteire.

D:\papai\modal\jegyzetek\EMA J 01 01 SDOF rendszerek.doc

2

2 RENDSZEREGYENLET, ÁTVITELI FÜGGVÉNY Tekintsük az 1. ábrán látható egy szabadságfokú lineáris lengőrendszer modelljét.

1.1-1. ábra Egy szabadságfokú lineáris lengőrendszer modellje Viszkózusan csillapított egy szabadságfokú (SDOF = Single Degree of Freedom) rendszer mozgásegyenlete (1.1-1) a tehetetlenségi erők, a csillapító erők, a rugalmas erők és a külső erők közötti egyensúlyt fejezi ki [Sas_1. ..

.

m x(t )  c x(t )  k x(t )  f (t ) ahol:

tömeg kg m csillapítás Ns / m c merevség N / m k f (t ) külső erő, N  (1) megoldása

x(t ) x (t ) x(t ) t

(1.1-1)



gyorsulás m / s 2 sebesség m / s  elmozdulás m idő s 



x(t )  xc (t )  x p (t ) , ahol

xc (t ) x p (t )

tranziens rész, állandósult rész.

Homogén egyenlet általános megoldása: (A megoldás tranziens része) f (t )  0 helyettesítéssel (1) homogén egyenletét kapjuk. ..

A megoldást xc (t )  X  e t egyenletébe:

.

m x(t )  c x(t )  k x(t )  0 (1.1-2) alakban keresve, ahol  konstans behelyettesítve (1.1-1) homogén (2 m  c  k )  X  e t  0

(1.1-3)

t

Nem triviális ( X  e  0) megoldáshoz akkor jutunk, ha: 2 m  c  k  0 . (1.1-4) a rendszer karakterisztikus egyenlete. A karakterisztikus egyenlet gyökei a rendszer pólusai (sajátértékei):

(1.1-4)

c k  c  1, 2    (1.1-5)   2m m  2m  Mivel az m, c, k együtthatók valósak, a 1, 2 gyökök vagy valósak, vagy konjugált komplex párok. 2

Példa: Számítsuk ki az 1.1-1. ábrán látható lengőrendszer karakterisztikus egyenletének gyökeit: m  1kg , k  16 N / m , különböző c csillapítási értékek esetére: EMA J 01 01 SDOF rendszerek

1, 2   j  4 rad / s 1, 2  0,5  j  3,969 rad / s 1  2 rad / s

c  0 Ns / m c  1Ns / m

c  10 Ns / m

3

2  8 rad / s

A rendszer pólusainak a segítségével a tranziens megoldástag a következőképpen írható fel: xc (t )  X 1  e 1t  X 2  e 2t , (1.1-6) ahol X 1 és X 2 a t  0 időpillanatban meglévő kezdeti feltételek alapján meghatározható. Példa: F17 timefunc.xmcd Írjuk fel tetszőleges x(0) , x (0) (konstansok) esetére a tranziens válasz függvényét. A mozgásegyenletnek ki kell elégítenie a kezdeti feltételeket, így az előírt kezdeti elmozdulásra és kezdeti sebességre a mozgásegyenlet: x(0)  X 1  e 1 0  X 2  e 2 0  X 1  X 2 x (0)  1 X 1  e 1 0  2 X 2  e 2 0  1 X 1  2 X 2 A fenti egyenletrendszerben keresük X 1 , X 2 értékét, tehát a megoldandó egyenletrendszer:

 1 1   X 1   x(0)      X    x (0)   2  2  1 Az együtthatómátrix inverzének felhasználásával a megoldás: 1  X 1   1 1   x(0) 1  2  1  x(0) 1  2 x(0)  x (0)     X       x (0)         1   x (0) 2  1  1 x(0)  x (0)  2  1  2  1 2 1  1 2 x(0)  x(0) e 1t  1  1 x(0)  x(0) e 2t xc (t )  2  1 2  1 x(0) x (0) 2t xc (t )  2 e 1t  1e 2t  e  e 1t 2  1 2  1 A fenti megoldásfüggvény mindkét tagjának mindkét tényezője tiszta képzetes mennyiség, ezért mindkét tag valós. Ellenőrizzük le, hogy az így felírt megoldásfüggvény teljesíti-e a kezdeti feltételeket: x(0) x (0) 2 0 x(0) 2  1   x(0) 1  1  x(0) xc (0)  2 e 1 0  1e 2 0  e  e 1 0  2  1 2  1 2  1 2  1 x(0) x (0) x (0) 2  1   x(0) x c (0)  2 1e 1 0  12 e 2 0  2 e 2 0  1e 1 0  0  2  1 2  1 2  1 Valóban, a megoldásfüggvény teljesíti a kezdeti feltételeket. A megoldásfüggvényt tovább részletezve, csak elmozdulásra vonatkozó kezdeti feltételek esetére: x(0) x(0) xc (t )  2 e 1t  1e 2t  (  j )e (  j )t  (  j )e (  j )t 2  1 (  j )  (  j )





































x(0)  t x(0)  t e (  j )e  jt  (  j )e  jt  e (  j )cost  j sin t   (  j )cost  j sin t   2 j  2 j x(0)  t x(0)  t xc (t )  e  2 j cost  j (  j    j ) sint   e  2 j cost  2 j sint   2 j  2 j x(0)  t    xc (t )  e  2 j cost  2 j sint   x(0)e t cost  sint   2 j   

xc (t ) 

Az 1.1-2. ábrán különböző csillapítási értékekre és különböző kezdeti értékekre ábrázoltuk a megoldásfüggvény alakját (időbeli lefutását)

EMA J 01 01 SDOF rendszerek

4 c  0 Ns / m

c  1Ns / m

c  10 Ns / m

x(0)  1 m , x (0)  0 m / s

x(0)  0 m , x (0)  1m / s

1.1-2. ábra A szabad rendszer megoldás függvényének alakja különböző kezdeti feltételekre és csillapítási értékekre Megfigyelhető, hogy a c csillapítás értéke lényegesen befolyásolja a megoldásfüggvény alakját. A válaszfüggvény a kezdeti értékeknek megfelelően ’indul, kezdeti elmozdulásra vonatkozó előírás esetén a megoldásfüggvény értéke veszi fel az előírt elmodulást, míg a kezdeti sebességre vonatkozó előírás esetén a válaszfüggvény deriváltja veszi fel a megfelelő értéket a t  0s időpillanatban. Állandósult megoldás Az (1) egyenletet a Laplace (operátor) tartományba transzformálva, 2 m  c  k  X ( )  (m  c) x(0)  mx(0)  F ( ) ahol kezdeti feltételek a t  0 időpillanatban, x(0) , x (0) X ( ) a rendszer x(t ) válaszának Laplace transzformáltja, F ( ) a rendszer f (t ) gerjesztésének Laplace transzformáltja,





Zérus kezdeti feltételekkel, vagyis, feltételezve, hogy az x(0) kezdeti elmozdulás és kezdeti sebesség zérus, a következő kifejezéshez jutunk: 2 m  c  k  X ( )  F ( ) vagy Z ( )  X ( )  F ( ) ahol Z ( ) a dinamikai merevség. Definíciószerűen az átviteli függvény (transfer function) a dinamikai merevség H ( )  Z 1 ( ) : X ( )  H ( )  F ( ) . X ( ) 1/ m H ( )   c k F ( ) 2    m m A H ( ) átviteli függvény komplex értékű.



EMA J 01 01 SDOF rendszerek



(1.1-7)

az x (0) (1.1-8) (1.1-9) inverze, (1.1-10) (1.1-11)

5 2.1.1

A rendszer pólusai, sajátfrekvenciái és csillapítási tényezői

A karakterisztikus egyenlet alapján néhány fontos mennyiség vezetünk be. Csillapítalan körfrekvencia Ha nincs csillapítás ( c  0 ), a rendszer konzervatív, ekkor az (1.1-5) egyenletből az ún. csillapítatlan körfrekvenciát kapjuk (rad/sec): k . (1.1-12)  m Kritikus csillapítás Kritikusnak nevezzük a csillapítást, ha a c csillapítás értéke olyan, hogy a karakterisztikus egyenletben a gyök alatti mennyiség (D diszkrimináns) zérussá válik: 2

k  c  D (1.1-13)    0. m  2m  A fenti egyenletből a kritikus csillapítást kifejezve k . (1.1-14) c krit  2m m Csillapítási tényező A csillapítási tényező, mint dimenziónélküli számadat azt fejezi ki, hogy a rendszer csillapítási együtthatója a kritikus csillapításnak hányadrésze. A  csillapítási tényező: c 1  (1.1-15) ckrit A  csillapítási tényező értékétől függően a rendszereket a következők szerint csoportosíthatjuk:  0 o csillapítatlan D<0 konjugált képzetes gyökök  1 o alulcsillapított D<0 konjugált komplex gyökök  1 o kritikusan csillapított D=0 két egybeeső valós gyök  1 túlcsillapított. D>0 két (különböző) valós gyök o A továbbiakban az alulcsillapított rendszereket vizsgáljuk. Ebben az esetben a karakterisztikus egyenlet (5) megoldása két konjugált gyökhöz vezet: 1   1  j 1 2  1  j 1 (1.1-16) ahol  a csillapítási faktor, a komplex gyök valós része  a csillapított sajátkörfrekvencia, a komplex gyök képzetes része. Az 1.1-3. ábrán a gyökök komplex síkon való elhelyezkedését mutatjuk be.

EMA J 01 01 SDOF rendszerek

6

2  1* Im

c Im

  1  2

1    j

1   j

 j



Re

Re

 j

2    j

2   j

Alulcsillapított

Csillapítatlan

1.1-3. ábra A gyökök elhelyezkedése a komplex síkon Csillapítatlan rendszereknél a gyökök tiszta képzetes mennyiségek. A c csillapítás növelésével a gyököknek megfelelő komplex vektrok az origó körül elfordulnak, abszolút értékük nem változik. Ugyanis:

c k  c  k  c  k  c  1  j           2m m  2m  2m  m  2m  m      Re  2

1

2

2

(1.1-17)

Im 1

Tehát a csillapított rendszer komplex gyökeinek abszolút értéke megegyezik a csillapítatlan rendszer gyökeinek abszolút értékével. Az 1.1-4. ábrán a komplex síkon feltüntetve ábrázoljuk, hogyan módosul a tranzens megoldástag időbeli lefutása, attól függően, hogy a karakterisztikus egyenelet gyökei a sík mely pontjára esik.

1.1-4. ábra A tranziens megoldástag időbeli lefutása a komplex gyök elhelyezkedésének függvényében Amennyiben a gyök a valós tengelyre esik, képzetes része   0 , a megoldásfüggvény nem tartalmaz szinuszos tényezőt, nem alakul ki oszcilláció.   0 esetén a lengések csillapodnak,   0 esetén a lengések minden határon túl növekednek,   0 esetén nem csillapodnak. A komplex sajátértékek és a csillapítási tényező közötti további összefüggések:





    j 1 2 

EMA J 01 01 SDOF rendszerek

(1.1-18)



7



(1.1-19)

 2  2

   

(1.1-20)

   2  2

(1.1-21)

2.1.2 Rezídumok A (11) felhasználásával az átviteli függvény gyöktényezős alakja a következőképpen írható: 1/ m H ( )  (1.1-22)   1     2





Ezt átírva parciális tört, másnéven részlettört alakba: P1 P2 H ( )     1   2

(1.1-23)

A részlettört alak P, P* számlálóit rezídumoknak nevezzük. Határozzuk meg a P1 , P2 rezídumokat.





P1 P2 P   2  P2   1  ( P1  P2 )  P12  P2 1   1  (1.1-24)   1   2   1     2   1     2 (1.1-22) és (1.1-24) számlálójában a  azonos kitevői szerinti együtthatókat egyenlővé téve P1  P2  0 ,  P12  P2 1  1 / m . A megoldandó egyenletrendszer mátrixos alakban: 1   P1   0   1        P   1 / m   1  2   2 Ebből 1 1   0   P1   1 1  1  1  0  1 / m  1 1 / m  1    j  P        1 / m           1  1 / m  2 j  1  2  1   1  2  2  2 2 1  H ( ) 









Tehát a keresett P1 , P2 rezidum paraméterek 1/ m 1/ m P1  P  j P2  P *   j 2 2 Tehát az egy szabadságfokú, viszkózusan csillapított rendszer rezídumai tiszta képzetes mennyiségek, az átviteli fv. két tagjának rezídumai egymás konjugáltjai. Végül az átviteli függvény részlettört alakja: P P* H ( )   (1.1-25)   1   2 1/ m P j ahol: 2 Az átviteli függvéy részlettört alakja többszabadságfokú rendszerek tárgyalásánál nagy jelentőséggel bír.

2.1.3

Frekvencia válasz függvény, impulzus válasz függvény

A H ( ) átviteli függvényben   j  helyettesítést végezve kapjuk a Frekvenciaválasz függvényt (FRF = Frequency Response Function). P* P H ( )  H  j    . (1.1-26)   j j   1 j  2 EMA J 01 01 SDOF rendszerek

8 Az FRF függvény komplex értékű függvény, megjelenítési módjai a következők: Abszolút érték – frekvencia , H  j 

Fázisszög – frekvencia , arcH  j  Valós rész – frekvencia , ReH  j  Képzetes rész – frekvencia , ImH  j  Valós rész –képzetes rész (Nyquist-plot) ReH  j , ImH  j  Az 1.1-5.- 9. ábrákon ezek jellegét mutatjuk be. 1.1-5. ábra Abszolút érték – frekvencia diagram Jellegzetességei: Maximumhely a csillapított körfrekvencia közelében. Zérus frekvencián helyettesítési értéke a statikus hajlékonysággal egyenlő

1.1-6. ábra Fázisszög – frekvencia Jellegzetességei: Sajátfrekvencián a fázisszög arcH ( j )   / 2 . Fázisváltozás sebessége maximális.

1.1-7. ábra Valós rész – frekvencia diagram     Szélsőértékei az helyeken. helyettesítési értéke   0 körfrekvencián Re H (0)  1 / k , statikus hajlékonyság.

1.1-8. ábra Képzetes rész – frekvencia diagram Minimumhelye az    körfrekvencián.

EMA J 01 01 SDOF rendszerek

9 1.1-9. ábra Nyquist plot: Valós rész –képzetes rész diagram

1.1-1. táblázat. Az FRF függvényből származtatott mennyiségek elnevezései. Compliance Mobility Inertance / Receptance

elmozdulás / erő sebesség / erő gyorsulás / erő

Dynamic Stiffness Impedance Dynamic Mass

erő / elmozdulás erő / sebesség erő / gyorsulás

Modal körök: Igazoljuk, hogy az SDOF rendszer részlettört alakban felírt FRF függvénye két tagjának helyettesítési értékei a Nyquist síkon egy kör kerületére esnek. P* P H ( j )   j  1 j  2       H1 ( j )

H 2 ( j )

Fodor György [Fodor_1] alapján igazoljuk, hogy a két tag mindegyikének a helyettesítési értéke az  körfrekvencia függvényében egy-egy olyan kör kerületére esik, amelynek középpontja az P* P * első tag esetében H 0   , a második tag esetében pedig H 0   . 2 2 Az első tag esetében képezzük egy tetszőleges H 1 ( j ) kerületi pont és a H 0 középpont távolságát: P 2 P  P  j  (  j ) P R1  H 1 ( j )  H 0     j  (  j ) 2 2 1  j  (  j ) P 2  j    j P   j (   ) P   j (   ) P       2 j  (  j )  2   j (   )  2   j (   )  2 A számítás utolsó lépésénél kihasználtuk, hogy a második tényező számlálója éppen a nevező konjugáltja, így hányadosuk abszolút értéke egyenlő abszolút értékük hányadosával, ami konjugáltak esetén 1-gyel egyenlő. A H 1 ( j ) kerületi pont és a H 0 pont távolsága állandó, tehát

a kerületi pontok valóban egy H 0 középpontú kör kerületére esnek. A kör sugara: R1  H 0 . A

H 1 ( j ) tagnak megfelelő kör az origót érinti    és    esetén. A második tagra hasonlóan elvégezhetjük az ellenőrzést: P P R2  H 2 ( j )  H 0*  H 2* ( j )  H 0     j  (1  j 1 ) 21 

2P  P j  (  j ) P 2  j    j P   j (   )      2  j  (  j ) 2  j  (  j )  2   j (   )



P   j (   ) P    2   j (   )  2

EMA J 01 01 SDOF rendszerek

10 Im

H 2 ( j )

H 2 ( j ) 

P* j  2



0 0 H0 

P  21

P R  2

H0

Re 

R

H 1 ( j ) 

P j  1

1.1-10. ábra Modal körök Vizsgáljuk meg, hogy milyen mértékű hibával kell számolnunk akkor, ha az FRF függvény két tagja helyett, csak az első tagot, az ún. főtagot vesszük figyelembe, és a második tagot elhanyagoljuk. Ehhez a H 2 ( j ) H ( j ) kifejezés elemzése szükséges. 2.1.3.1 Fizikai paraméterek változtatásának hatása A következőkben azt vizsgáljuk, hogy a csillapított rendszer FRF függvénye Abszolút érték – frekvencia diagramjának milyen változásait idézik elő a modell tömeg, csillapítás és merevségi paraméterének módosításai.

1.1-11. ábra A k merevség, a c csillapítás és az m tömeg növelésének hatása az FRF diagramra. [v_2_2.pdf] EMA J 01 01 SDOF rendszerek

11 A merevség növelésével az amplitúdó maximum helye a frekvencia tengely mentén jobbra tolódik (A csillapított sajátfrekvencia növekedik.). A statikus merevség növekszik (a hajlékonyság csökken). A csillapítás növelésekor az Abs-frekv függvény maximumhelye lényegesen nem változik, a maximum értéke csökken. Tehát a csillapítás növelésével a hajlékonyság csökken. A tömeg növelésével a maximumhely balra tolódik, vagyis a sajátfrekvencia csökken, a hajlékonyság pedig növekszik. FRF függvény érzékenysége Az FRF függvények érzékenységi egyenletei a H ( j )  Z ( j )  1 azonosságból képezhetők. Ezt az azonosságot deriválva fizikai változás együtthatója szerint  H ( j )  Z ( j ) (1.1-27) Z ( j )  H ( j )  0.  pm  pm Átrendezve:  H ( j )  Z ( j ) (1.1-28)   H ( j ) H ( j )  pm  pm Tömegváltoztatásra  Z ( j )  ( 2 m  jc  k )    2 (1.1-29) m m Behelyettesítve, tehát az FRF függvény érzékenysége tömegváltoztatásra:  H ( j ) (1.1-30)   H ( j )( 2 ) H ( j )   2 H 2 ( j ) m Hasonlóan csillapítás változtatásra és merevségváltoztatásra hasonlóan számítható az érzékenységi függvény. Az összefüggéseket az az alábbi táblázatban foglaljuk össze: 2. táblázat FRF függvény érzékenysége  H ( j )   H ( j )( 2 ) H ( j )   2 H 2 ( j ) tömeg m  H ( j )   H ( j )( j ) H ( j )   jH 2 ( j ) csillapítás c  H ( j )   H ( j )  1  H ( j )   H 2 ( j ) merevség k

A sajátérték paraméterek érzékenysége Azt vizsgáljuk, hogy infinitézimálisan a komplex sajátérték milyen változását idézi elő a tömeg, csillapítás és merevség változása 2 1    c k   c  (1.1-31)       m m  2m 2m  m    2 1    c k   c  (1.1-32)       c c  2m 2m  m    2 1    c k   c  (1.1-33)       k k  2m 2m  m    EMA J 01 01 SDOF rendszerek

12 Nyquist kerületi sebesség Az FRF függvény körfrekvencia szerinti deriváltja. A függvény értéke komplex. dH ( ) Npervel( )  d A fenti definíciós képlet kifejtve:

(1.1-34)

dH ( ) dH 1 ( ) dH 2 ( ) d P d P*  jP  jP *       d d d d j  1 d j  2  j  1 2  j  2 2 Elhanyagolva a második tagot, közelítő alakja: dH 1 ( )  jP (1.1-35) Npervele ( )   d  j  1 2 Npervel( ) 

Relatív komplex Nyquist kerületi sebesség Az előzőekben definiált Nyquist kerületi sebesség, osztva az FRF függvénnyel. A függvény értéke komplex. dH ( ) Npervel( ) Rcnp ( )   d (1.1-36) H ( ) H ( ) Közelítő alakja:

 jP dH 1 ( )  j  1 2 j (1.1-37) Rcnp e ( )  d   P H 1 ( ) j  1 j  1 Rcnp e ( ) függvény grafikonja a komplex síkon egy kört ír le.    -nál helyettesítési értéke: j j j (1.1-38) Rcnp e ( )    j  1 j  (  j ) 

EMA J 01 01 SDOF rendszerek

13

3 HISZTERÉZISES CSILLAPÍTÁS Ebben a fejezetben az ún. hiszterézises (hysteretic damping), másnéven szerkezeti (structural damping) csillapítású SDOF rendszereket vizsgáljuk [Zaveri_1]. A gyakorlatban sok olyan eset van, amikor az ilyen csillapítási mechaniznus feltételezés közelíti meg jobban a valóságot. Sok szerkezeti anyagnál a (rugalmassági határ alatti) ciklikus terhelés hatására a feszültségalakváltozás görbe egy hiszterézis hurkot ír le. Az anyag belső súrlódása miatt fellépő, ciklusonként disszipált energia arányos a hiszterézis hurok területével, innen ered a hiszterézises csillapítás kifejezés. Ennek a hiszterézishuroknak a területe független az alakváltozási sebességtől (a ciklikus terhelés frekvenciájától) és csak az alakváltozás nagyságától függ. Így a csillapító erő nagysága arányos a rugalmas erővel, de fázisa a sebesség irányába esik. Tehát hiszterézises csillapítás esetén harmónikus mozgásnál a csillapító erő az alábbi: x j k x   k



ahol



szerkezeti csillapítási faktor [-].

Az egyszabadságfokú, szerkezeti csillapítású rendszer mozgásegyenlete k m x  x  k x  F e jt ,  vagy m x  k (1  j ) x  F e jt . ahol k (1  j ) az ún. komplex merevség. A fenti egyenlet állandósult megoldása: 1 F x  X  e jt   e jt . 2 1   /   j k A nevezőből küszöböljük ki a komplex mennyiséget úgy, hogy bővítjük a törtet a nevező konjugáltjával:  1   /  2  F j x    e jt . 2 2 2 2 2 2  1   /     1   /      k Különválasztva a válaszjel valós és képzetes részét, a valós rész: 2 1   /  F Re( x)   e jt . 2 2 1   /    2 k









a képzetes rész: Im( x) 







1   /  

2 2

 2



F jt e k

Karakterisztikus egyenlete

2 m  k (1  j )  0 , a karakterisztikus egyenlet gyökei pedig:  4mk (1  j ) k 1, 2   j 1  j   j 1  j . 2m m (Diagramon ábrázolni kell,  függvényében)

EMA J 01 01 SDOF rendszerek

14

1.1-12. ábra

EMA J 01 01 SDOF rendszerek