J 03 02
KÍSÉRLETI MODÁLIS ELEMZÉS ÉAÜLT EMA J 03 02 JEGYZET Dr. Pápai Ferenc 2012.
BME
ÉAGT
3 MODELLKÉPZÉS 3.2 MODÁLIS PARAMÉTEREK BECSLÉSE FREKVENCIATARTOMÁNYBAN 1. KÍSÉRLETI VIZSGÁLATOK KÖRÜLMÉNYEI ............................................................................................... 4 1.1 HARDVER ÉS SZOFTVER ESZKÖZÖK .................................................................................................................... 4 1.2 BEFOGOTT RÚD MODÁLIS ELEMZÉSE .................................................................................................................. 5 1.3 BEFOGOTT RÚD EMA VIZSGÁLATA KLASSZIKUS SISO FRF MÉRÉSI ÖSSZEÁLLÍTÁSA ........................................ 6 2. REZONANCIAHELYEK DETEKTÁLÁSA – MÓDUSINDIKÁTOR FÜGGVÉNYEK ................................. 8 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
MÓDUSINDIKÁTOR FÜGGVÉNYEK OSZTÁLYOZÁSA ........................................................................................... 10 VÍZESÉS DIAGRAM ............................................................................................................................................ 10 ÖSSZEGZETT (ÁTLAGOLT) TELJESÍTMÉNYSPEKTRUM ........................................................................................ 11 NORMÁLT TELJESÍTMÉNYSPEKTRUMOK ÁTLAGOLÁSA ..................................................................................... 11 NORMÁL MÓDUS INDIKÁTOR FÜGGVÉNY .......................................................................................................... 11 MULTIVARIATE MÓDUS INDIKÁTOR FÜGGVÉNY ................................................................................................ 12 KOMPLEX MÓDUS INDIKÁTOR FÜGGVÉNY ........................................................................................................ 13 2.7.1 CMIF komplex módusindikátor alkalmazása ....................................................................................... 14
3. LOKÁLIS SDOF PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREK ........................................................................... 15 3.1 SDOF GRAFIKUS MÓDSZEREK .......................................................................................................................... 16 3.2 SDOF NUMERIKUS MÓDSZEREK ....................................................................................................................... 18 4. LOKÁLIS MDOF PARAMÉTERBECSLÉSEK ................................................................................................ 20 4.1 MDOF GRAFIKUS MÓDSZEREK ......................................................................................................................... 20 4.2 MDOF NUMERIKUS MÓDSZEREK ...................................................................................................................... 22 4.2.1 Lineáris komplex görbeillesztés FRF és RCNP függvényeken.............................................................. 25 4.2.2 Nemlineáris komplex görbeillesztés FRF függvényeken ....................................................................... 27 5. RCNP MÓDUSINDIKÁTOR FÜGGVÉNY ........................................................................................................ 28 5.1 5.2 5.3 5.4
RCNP DIAGRAMM AGGREGÁTOR TÍPUSÚ MÓDUSINDIKÁTORKÉNT VALÓ ALKALMAZÁSA ................................. 31 DIFFERENCIAFORMULÁK ALKALMAZÁSA AGGREGÁLT RCNP FÜGGVÉNYEN ................................................... 32 KOMPLEX LINEÁRIS GÖRBEILLESZTÉS RCNP DIAGRAMON ............................................................................... 34 KOMPLEX NEMLINEÁRIS GÖRBEILLESZTÉS RCNP DIAGRAMON........................................................................ 34
Lásd még RADES II. könyv 194. oldal 10.3. fejezet. A modális paraméterek ( Λ, X, Y elemeinek) becslésére az utóbbi 30 évben számos módszer került kifejlesztésre. A módszerek sokféleségének oka egyrészt a kísérleti mérési technikák különbözősége, a jelfelvétel lehetőségei, a frekvencia-átviteli mátrix és annak időtartománybeli változatának az impulzus válasz mátrixának különböző analitikus alakjai. A gerjesztési módszer lehet impulzusgerjesztés, szinuszos gerjesztés, random, egységugrás függvény. Bizonyos esetekben a gerjesztés lefutása vagy egyáltalán nem mérhető, vagy mérhető, de nem befolyásolható. A méréseket végző laboratórium felszereltségétől függően alkalmaznak egypontos, és többpontos gerjesztési technikákat. Szintén laborfelszereltségtől függően válaszmérések történhetnek egyidejűleg egy, vagy több pontban. A paraméterbecslés történhet a jelek frekvenciatartománybeli, vagy időtartománybeli alakja alapján. A paraméterbecslési módszerek osztályozását több szerző Allemang [Allemang_3], Allen [Allen_1], Brown et a.l [Brown_2], Sas et al. [Sas_1], Lee et al. [Lee_1], Maia et al. [Maia_1], D:\papai\modal\jegyzetek\ EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban.doc
2 Richardson [Richardson_5] több szempont szerint is elvégezte; ezek a szempontok a következők lehetnek: SDOF / MDOF: Egy-szabadságfokú, vagy több-szabadságfokú paraméterbecslés. Elkülönült módusoknál az egyszabadságfokú rendszereknél alkalmazott paraméterbecslési módszerek használhatók, átlapolt módusoknál a módusok interferenciája miatt egyidejűleg az összes módus becslését szimultán el kell végezni. Általában elkülönültnek nevezik a módusokat, ha azok i i i szélességű intervallumai nem fedik át egymást Craig - Blair [Craig_1]. i i 1 esetére a (3.2-1) (1 i )i (1 i 1 ) i 1 reláció érvényessége az # i és # (i 1) módus elkülönültségét jelzi. A nem elkülönült módusokat interferáló (vagy átlapolt) módusoknak is szokásos nevezni. Egy kiválasztott lokációhoz tartozó FRF függvényen az érvényesülő módusok számának meghatározása legtöbbször az amplitúdó-frekvencia diagram szemrevételezésével történik. Jól elkülönült módusok esetén a sajátfrekvenciák környezetében lokális amplitúdómaximum ("kiemelés") található. Azonban kapcsolt (közeli, átlapolt) sajátfrekvenciáknál nem mindig található egyértelmű amplitúdó-csúcs a rezonanciafrekvencián. A 3.2-1 ábrán mutatjuk be ezt a hatást Béliveau [Béliveau_1] alapján.
a.)
b.)
3.2-1. ábra Módusok interferenciája [Béliveau_1] Az 3.2-1. ábra a.) részén látható, hogy a csillapítás növekedése, ill. a két szomszédos rezonanciafrekvencia közelsége hogyan módosítja a Nyquist diagramot. A 3.2-1. ábra b.) részén vastag vonallal rajzoltuk meg azt a határhelyzetet, amikor a Nyquist diagramon a két módust nem választja el zárt hurok. Interferáló módusoknál a fél-teljesítményhez tartozó frekvenciasávok már átfedik egymást, a sajátfrekvenciát nem jelzi H ( j ) lokális amplitúdó-csúcsa. A H ( j ) függvény H ( j i ) helyettesítési értékét a i sajátkörfrekvencia helyen erősen módosítja a szomszédos módus, a rezonanciákat elválasztó hurok ki sem alakul a Nyquist síkon való ábrázolásban. Lokális / globális becslés (SO/MO): Lokális becslési módszerek egy kiválasztott k, l lokációban Hˆ kl ( j ) , vagy hˆkl (t ) alapján végzik a becslést, a globális módszerek egyidejűleg több ˆ ( j ) , vagy hˆ (t ) . függvényen H SI / MI Egypontos/multireferenciás becslés: Egypontos input módszerek a paraméterbecslésbe a ˆ ( j ) frekvenciaátviteli mátrixnak, vagy a hˆ (t ) impulzus válasz mátrixnak csak egy H EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
3 oszlopát veszik figyelembe, a lokációk indexpárjában l rögzített, a k pedig futóindex, (egyszerű szavakkal kifejezve: a gerjesztés helye és iránya rögzített, a válaszmérés lokációja pedig mérésenként változó). Multireferenciás becslési módszereknél a gerjesztési lokáció l indexe is változó. A multireferenciás becslés nem tévesztendő össze a többpontos gerjesztéssel. A multireferenciás paraméterbecsléssel többszörös multiplicitású sajátértékek is meghatározhatók. Különbséget kell tenni a mérések SISO/MIMO és a paraméterbecslések SISO/MIMO vonatkozásai között. Modális-model / direkt-modell: Modális modell képző módszerek (indirekt módszerek) a Λ, X, Y modálmátrixok meghatározását végzik, míg a direkt modell meghatározó módszerek közvetlenül az M, C, K, (G, R) együtthatómátrixok becslését határozzák meg. Idő- / frekvenciatartomány: Időtartománybeli módszerek a gerjesztési és válaszjelek időtartománybeli lefutását elemzik, a frekvenciatartománybeli módszerek a gerjesztési és válaszjelek spektrumát. Sajátértékek / Módusok: A módszer a Λ sajátérték paramétereket, vagy pedig az X, Y lengéskép adatokat is meghatározza. Valós / komplex módusok: Klasszikus normál módusok esetén sajátvektorok valósak. Amennyiben a csillapítási mátrix nem elégíti ki a (2-34) CM 1K KM 1C feltételt, vagyis az M 1C és a M 1K mátrixok nem felcserélhetők, a sajátvektorok elemei komplexek. Fenti csoportosítási szempontok alapján az ismert módszereket a 3.2-1 táblázatban foglaljuk össze. 3.2-1 táblázat Becslési módszerek áttekintő táblázata SDOF / Lokális/ SI/ Modal/ Idő/ Valós/ Λ/ MDOF Globális MI Direkt Frekv. X, Y Komplex PP FRF amplitúdócsúcs FRF Nyquist Körillesztés ITD MRITD PTD CEA LSCE ERA TDPI LSFD ISSPA OP RFP FDPI SFD PFD MRFD CMIF
SDOF MDOS
LokGlob SIMI
SDOF
Lokális
SI
SDOF SDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF MDOF
Lokális Lokális Globális Globális Globális Lokális Globális Globális Globális Globális Globális Globális Globális Globális Globális Globális Globális Globális
SI SI MI MI MI MI MI MI MI MI MI MI MI MI SI MI MI MI
Frekv
Nm
Modal
Frekv.
Λ
Modal Modal Modal Modal Modal Modal Modal Direkt Direkt Modal Direkt Modal Modal Direkt Modal Modal Modal Modal
Frekv. Frekv. Idő Idő Idő Idő Idő Idő Idő Frekv. Frekv. Frekv. Frekv Frekv Frekv Frekv Frekv Frekv
X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ Λ Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y Λ, X, Y
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
V/K V/K Komplex Komplex
Komplex Komplex V/K Valós V/K V/K V/K V/K V/K V/K V/K
4 A táblázat rövidítései az EMA nemzetközi szakirodalmában elterjedt jelöléseket tartalmazzák: PP (Peak Picking) Rezonanciahelyek detektálása ITD (Ibrahim Time Domain) Ibrahim időtartománybeli módszer [Ibrahim_1], [Fukuzono_1]. MRITD (Multiple Reference Ibrahim Time Domain) [Fukuzono_1]. PTD (Polyreference Time Domain) [Vold_2], [Vold_3], [Doebling_2]. CEA (Complex Exponential Algorithm) [Allemang_2] [Brown_1], [Doebling_2]. LSCE (Least Square Complex Exponential) Legkisebb-négyzetes komplex exponenciális görbeillesztés [Allemang_2], [Brown_1]. ERA (Eigensystem Realisation Algorithm) Sajátrendszer realizációs algoritmus [Juang_1], [Longman_1], [Doebling_2]. TDPI (Time Domain Direct Parameter Identification) Időtartománybeli direkt paraméteridentifikáció [Leuridan_1]. LSFD (Least Squares Frequency Domain) Nemlineáris legkisebb négyzetes frekvenciatartománybeli paraméter azonosítás [Busturia_1], [Mergeay_1], [Doebling_2]. ISSPA (Identification of Structural System Parameters) Szerkezeti paraméterek identifikációja [Link_1]. OP Orthogonal Polynomial [Richardson_1], [Shih_1], [Vold_1], [Van der Auweraer_2], [MTSideas_1] RFP Rational Fraction Polynomial [Van der Auweraer_4], [Doebling_2], [Pumacats_1]. FDPI (Frequency Domain Direct Parameter Identification) [Lembregts_2], [Coppolino_1], [MTSideas_1]. SFD (Simultaneous Frequency Domain) [Coppolino_1]. PFD Polyreference Frequency Domain [Ebersbach_1], [Lembregts_3], [Leonard_1], [Leuridan_1], [Natke_3], [Zhang_1]. MRFD (Multi-Reference Frequency Domain) [Craig_2]. CMIF (Complex Mode Indicator Function) [Shih_1],[Shih_2], [Fladung_1]. A fenti összefoglaló táblázatból látható, hogy napjainkra az ún. globális technikák kerültek előtérbe. Ennek oka egyrészt a jobb műszerezettségi (sokcsatornás jelfelvételi) lehetőségek, másrészt a nagyobb adatfeldolgozási kapacitás. A továbbiakban röviden áttekintjük az ismertebb módszereket.
1. KÍSÉRLETI VIZSGÁLATOK KÖRÜLMÉNYEI
1.1
Hardver és szoftver eszközök
A kifejlesztett módszerek ellenőrzésére és alkalmazási lehetőségeinek behatárolására a következő kísérleti vizsgálatokat végeztük el. Befogott rúd kísérleti vizsgálatai o Klasszikus EMA SISO FRF impulzusgerjesztéses módszer. o Output-only módszer. o OMA módszer Híddaru kísérleti vizsgálatai o Tested Output-only módszer, kétcsatornás mérések. o Tested Output-only módszer, többcsatornás mérések. o OMA módszer. EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
5 A befogott rúd kísérleti vizsgálatainak célja egyrészt a klasszikus EMA módszerek alkalmazásának bemutatása, másrészt azt új kifejlesztett EMA módszerek kísérleti igazolása, harmadszor, pedig az Output-Only módszereknél alkalmazható gerjesztési módok és adatfeldolgozási módszerek tesztelése. A híddaru kísérleti vizsgálatánál a kifejlesztett Output-Only módszerek ipari körülmények között való alkalmazhatóságát vizsgáltuk.
Befogott rúd modális elemzése
1.2
A kísérleti vizsgálatok első szakaszában a 3.2-2. ábrán látható befogott rúdon végeztünk méréseket. Szabadvég
z
Befogás
3.2-2. ábra Befogott rúd A vizsgált rúd egyik végén befogott, másik végén szabad prizmatikus rúd, melynek alapadatai a 3.2-3. ábrán láthatók. e e = 10,1 mm
f L
f = 97 mm L = 1300 mm z
E = 2,06*1011 N/m2
= 7,8*103 kg/m3
x y
3.2-3. ábra Befogott rúd alapadatai A vizsgált rúd a BME ÉAÜLT Tanszék EMA kísérleti és demonstrációs oktatási eszköze, a rajta végzett bemutató kísérleteken keresztül Dr. Rácz Kornélia vezetésével a „Műszaki Diagnosztika” tárgyban [Rácz_1] évente mintegy 10-15 hallgató, Dr. Kulcsár Béla professzor által oktatott „Robotok és vizsgálatuk” tárgy [Kulcsár_3] gyakorlatain pedig, 8-10 hallgató ismerkedik az EMA alapjaival. A bemutató mérésekhez Dr. Pristyák András és Dr. Vonhauser Olivér [Pristyák_1] EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
6 által készített oktatási segédlet tartalmazza a befogott rúd x-z síkbeli hajlító-lengéseinek f 0 200 Hz tartományba eső számított sajátfrekvenciáit és lengésalakjait. A számítások részletezése az F8 függelékben megtalálható. A kontinuum modell sajátfrekvenciáit a 3.22. táblázat tartalmazza. A vizsgált frekvenciatartományba 4 hajlító sajátfrekvencia esik. 3.2-2. táblázat Befogott rúd sajátfrekvenciái és lengésképeink csomópontjai i f i [Hz] Csomópontok helye [m (1)] 1 2
4,96 31,09
0 0
3
87,06
0
4
170,61
0
1,018 (0,783) 0,655 1,128 (0,504) (0,868) 0,465 0,827 1,178 (0,358) (0,644) (0,906)
Az egyes módusokhoz tartozó számított lengésképek az alábbi 3.2-4. ábrán láthatók.
X4( y ) E4 U k4 y F4 V k4 y
0.8
0.6
x
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
z 3.2-4. ábra Befogott rúd x-z síkbeli hajlító lengésalakjai [Pristyák_1]
1.3
Befogott rúd EMA vizsgálata klasszikus SISO FRF mérési összeállítása
Az alkalmazott műszer-összeállítás blokkvázlata a 3.2-5. ábrán látható. A konzolosan befogott rúd gerjesztését egy B&K impulzuskalapács szolgáltatja. A kalapácsfejben egy piezoelektromos erőmérőmérő-cella van elhelyezve, melynek segítségével lehet érzékelni a gerjesztő erőt. A szerkezet válaszfüggvényét egy állandó mágnessel rögzített piezoelektromos gyorsulásérzékelővel mértük.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
7 1,2,3
B&K 2635 Töltéserősítő
CH2
B&K 2635 Töltéserősítő
CH1
B&K 2034 2 csatornás FFT analizátor
16,17,18 GPIB / USB
31,32,33
3.2-5. ábra Klasszikus EMA SISO FRF mérési összeállítás A két időjelet egy – egy B&K 2635-ös töltéserősítőn keresztül a B&K 2034 típusú kétcsatornás frekvencia analizátorba vezetjük. Az analizátor feladata a mért időjelek alapján a frekvenciaátviteli függvény számítása és megjelenítése. A jelfelvétel menete: o Az input csatornákon érkezett jelek mintavételezése és A/D átalakítása. o Mintavételezett jelek Fourier transzformálása (Frekvenciaspektrum előállítása) o Az átlagolt autokorrelációs és keresztkorrelációs spektrumok alapján a (3.1-4) összefüggés szerint a H 1 ( j r ) FRF függvény képzése. o Az átlagolt FRF függvény kiolvasása az analizátorból, majd lemezes állományban való tárolása. (Terjedelmi okokból a B&K analizátor és a PC kommunikációjának megoldását nem részletezzük) o Lemezes állomány importálása WINMOD adatbázisba A 3.2-6. ábrán látható a 33 kijelölt mérési pont elhelyezése a rúd hossza mentén.
3.2-6. ábra Befogott rúd kísérleti vizsgálat mérési pontjai (drótvázmodell) A gerjesztés és a válaszjel mérés vízszintes (xy) irányokban történt. A mérési lokációk mátrixa a 3.2-3. és 3.2-4. táblázatokban található.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
8 3.2-3 táblázat Befogott rúd X irányú gerjesztés lokációi (2006_2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Gerjesztés iránya: X Gerjesztési pont sorszáma
Válasz helye iránya
1 2 3 4 5 6 7 8 … … 29 30 31 32 33
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x x . . . . x x x x x x x x x x
3.2-4 táblázat Befogott rúd Y irányú gerjesztés lokációi (2006_2)
Válasz hely, ir.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Gerjesztés iránya:Y Gerjesztési pont sorszáma
1 2 … … 10 11
y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
y y
Mért lokációk összes száma 153. Minden egyes lokációban 7 FRF mérést végeztünk, az FRF adatbázisban ezek átlagát tároljuk. A kiértékelés határfrekvenciája f max 200Hz .
2. REZONANCIAHELYEK DETEKTÁLÁSA – MÓDUSINDIKÁTOR FÜGGVÉNYEK A rezonanciahelyek (sajátfrekvenciák) detektálása (PP) a vizsgált frekvenciatartományban érvényesülő módusok számának a meghatározását jelenti, továbbá ezen túlmenően egy durva kezdeti becslést a sajátfrekvencia értékekre. A 3.2-1. táblázatban felsorolt paraméterbecslési ill. modellképzési technika mindegyikének fontos problémája a vizsgált frekvenciatartományban érvényesülő módusok számának a meghatározása. Ez polinomos közelítéseknél a polinom fokszámának a megadását, globális szinguláris érték (SVD) szerinti felbontáson alapuló módszereknél a megtartott szinguláris értékek számának a megadását, részlettörtekkel (3.-1) való közelítésnél, pedig a részlettörtek számának a megadását jelenti. Így a modell képzés menetének legalább egy fázisában minden esetben interaktív operátori beavatkozásra van szükség, amelyet célszerű függvénygrafikus ábrázolással támogatni. Tekintsük a klasszikus SISO FRF mérési módszert. Ennél a módszernél egypontos gerjesztéssel egypontos válaszmérésekkel különböző lokációkban (gerjesztés helye, iránya; válaszmérés helye iránya) FRF méréseket végzünk, tehát az FRF mátrixnak egy MIMO dataset-je áll rendelkezésre.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
9
H 13
H 23
H 33
H 31
H 33
H 32
3.2-7. ábra FRF Mérési lokációk elhelyezési változatai [Avitabile_1] a. Válaszmérési pont egy adott lokációban, gerjesztési lokáció változik b. Válaszmérési pont lokáció változik, gerjesztés egy adott lokációban
A 3.2-7. ábrán látható lokáció elhelyezési megoldások „a” jelű változatánál a H( j ) frekvenciaátviteli mátrix egy sorát mérjük, míg a „b” jelű változatánál annak egy oszlopát. A magyarázó ábrán megfigyelhető az is hogy a 2-es sorszámú szerkezeti ponthoz tartozó mérések FRF függvényeiben csak két lokális amplitúdó-maximum található, míg az 1-es és 3-as mérési pontokhoz tartozó lokációkban három amplitúdó-maximum van. Ennek oka, hogy a 2-es sorszámú pont a szerkezet egyik módusának csomópontja. Valamely módus detektálhatósága az FRF függvényben lokációtól függő. Richardson [Richardson_1] először görbeillesztést végez az egyedi FRF függvényeken, majd a görbeillesztések eredményeként kapott i ,k ,l sajátértékek paramétereit rendezi és átlagolja. Ezt a módszert nem tartjuk praktikusnak, mert időigényes, a rendezés áttekinthetetlen. Legegyszerűbb megoldásként úgy járhatnánk el, hogy minden egyes FRF függvényen elvégezzük a komplex görbeillesztést, de csak az első néhány legkiemelkedőbb módust vesszük nyilvántartásba. Ezekből táblázatot készíthetnénk – lásd Richardson [Richardson_1] - például így: 3.2-5. táblázat Richardson módus-rendezési módszere ExPo
Lokáció ExDi RePo
ReDi
1 15 …
X Y …
X Z …
1 32 …
f1 1
f2
Módusok 2 …
fn
n
… … …
A lokális görbeillesztések domináns módusainak táblázata alapján átlagképzéssel lennének meghatározhatók a globális sajátérték becslések. A táblázat áttekinthetőnek látszik, azonban összeállítása rendkívül fáradságos. 1. A sajátfrekvenciák nem pontosan az amplitúdó-maximumon vannak, ezért erősen interferáló módusoknál a módus detektálása nehéz. 2. A nagy számú mérés miatt manuálisan nehézkes, hosszadalmas az összerendezés, (vagyis annak megoldása, hogy egy talált módust melyik oszlopba is helyezzünk el). Esetleg numerikus rendező módszer bevezethető, de nagyon közeli módusoknál nem garantált, hogy sikerre vezetne.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
10 2.1
Módusindikátor függvények osztályozása
Ez olyan módus-indikátor (aggregátor) függvény alkalmazását teszi szükségessé, amelyben az összes módus detektálható, felismerhető. Módus-indikátor függvényként az alábbi megoldások ismertek, ezek mindegyike frekvenciatartománybeli függvény: 1. Vízesés diagram 2. Összegzett (átlagolt) teljesítményspektrum. 3. Normált teljesítményspektrumok átlagolása 4. Normál módus indikátor függvény 5. RCNP diagram 6. Multivariate módus indikátor függvény 7. Komplex módus indikátor függvény A kísérleti modális elemzés gyakorlati módszerének fontos lépése a szerkezet - a vizsgált frekvencia tartományban érvényesülő - módusai számának meghatározása. A módusindikátor függvények számítási módszerük alapján az alábbi 3.2-8. ábrán láthatóan három osztályba sorolhatók. Módus indikátor függvények
Lokális
Aggregátor típusú
FRF Abszolút értéke. Tejesítményspektrum. NyPervel
Vízesés diagram Összegzett teljesítményspektrum. Normált teljesítményspektrumok átlagolása Normál módus indikátor függvény RCNP diagram
Tértartomány típusú
Multivariate MIF Komplex MIF
3.2-8. ábra Módusindikátor függvények osztályozása Lokális módusindikátor függvények csoportjába a hagyományos függvények tartoznak, melyek segítségével a módusdetektálást egyetlen lokáció mért Hˆ ( j ) FRF függvényének diagramjai kl
alapján végzik Aggregátor típusú módusindikátor függvények, melyek a mért FRF függvények valamilyen összefüggés szerinti összegét/átlagát képezik, melynek eredménye egyetlen spektrum. Az ’összegzőképletek nem tartalmaznak lokációra vonatkozó információkat globális rendszerjellemzőknek tekinthetők. Tértartomány típusú módusindikátor függvények a mért FRF függvények lokációra (általánosított koordináták terére) vonatkozó információkat megtartják, az általánosított koordináták terében keresnek sajátfrekvenciára vonatkozó szélsőértéket. A fenti felsorolás első öt módszere aggregátor típusú függvénynek tekinthető, mert a különböző lokációkban mért FRF függvények lokációra jellemző adatai a függvény képzésekor nem kerülnek felhasználásra. Az utóbbi két indikátorfüggvény számítási módjánál a lokáció megőrződik, ezek tértartománybeli módszereknek nevezhetők.
2.2
Vízesés diagram
Az összes mért FRF függvény amplitúdó-frekvencia függvényének ábrázolása egy közös diagramon. EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
11
2006_benchmark4 All FRFs
Mode #3
1E-01
1E-02
1E-03
0,00 7,50 15,50 23,75 31,75 39,75 48,00 56,00 64,25 72,25 80,50 88,50 96,50 104,80 112,80 121,00 129,00 137,00 145,30 153,30 161,50 169,50 177,50 185,80 193,80
1E-04
3.2-9. ábra Vízesés diagram (47 FRF függvény) WINMOD A 3.2-9 ábrán 47 mért FRF függvény amplitúdó-spektrumának vízesésdiagramját mutatjuk be. A diagramseregen 6 sajátfrekvencia detektálható. A markánsan kiemelkedő amplitúdó-maximumok ellenére a vízesésdiagram csupán a sajátfrekvenciák detektálására és a frekvenciafelbontásból adódóan f hibával az f i i becslésére alkalmas, görbeillesztésre nem. 2
2.3
Összegzett (átlagolt) teljesítményspektrum
A teljes szerkezeten érvényesülő összes módus detektálására az összes elvégzett mérés FRF függvényének teljesítményspektrumát képezzük, majd ezeket összeadjuk (/átlagoljuk). A teljesítményspektrumok nem tartalmaznak fázisinformációt, ezért a módusok különböző lokációkban megjelenő ellenfázisú amplitúdói egy összegzett teljesítményspektrumban nem oltják ki egymást, a detektálásra alkalmas. NO N I
NO N I
k 1 l 1
k 1 l 1
SUMPOWER( j ) : H k ,l ( j ) H k*,l ( j ) H k ,l ( j )
2.4
Normált teljesítményspektrumok átlagolása
A teljesítményspektrumokat az összegképzés előtt 1 -re normálják (Ren [Ren_1]).
2.5
Normál módus indikátor függvény
(NMIF, Normal Mode Indicator Function)
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
2
(3.2-2)
12 NO N I
NMIF ( j ) :
ReH k 1 l 1
kl
( j ) H kl ( j ) (3.2-3)
NO N I
H k 1 l 1
kl
( j )
2
A normál módus indikátor függvény két összeg hányadosa. A számláló a valós részek abszolút értékének és az amplitúdók szorzatának összege, a nevező, pedig az amplitúdók négyzetének összege. Elkülönült módusok detektálására alkalmas. Elkülönült normál módusoknak azt a tulajdonságát használja ki, hogy sajátfrekvencián gerjesztve a rendszert a válaszjel 90 -ot késik a gerjesztéshez képest Re( H ( j ) -nak minimuma van. Kis amplitúdójú módusok is detektálhatók, mivel a NMIF ( j ) függvényértékek a 0 1 intervallumra normáltak [Ata_1], minimumhelyei indikálják a módus sajátfrekvenciáját.
2.6
Multivariate módus indikátor függvény
(MvMIF),(MMIF) [Allemang_4] A multivariate módus indikátor függvényt Williams et al. [Williams_1] vezette be 1985-ben. Elkülönült módusok detektálására alkalmas. A módszer tekinthető a NMIF tértartománybeli változatának. Annak analógiájára most minden egyes r vizsgált körfrekvenciára keressük azt a térbeli fizikai irányt, melyre egységnyi amplitúdójú r körfrekvenciájú gerjesztő erő esetén a
f T Re( H r ) T Re( H r ) f f T Ar f R(f , r ) T f Re( H r ) T Re( H r ) Im(H r ) T Im(H r ) f f T B r f
(3.2-4)
ahol: H r H( jr ) A r Re( H r )T Re( H r )
B r Re( H r )T Re( H r ) Im(H r )T Im(H r )
H r C NO N I
A r R Ni N I B r R Ni N I
mennyiségnek (v.ö. NMIF függvény) minimuma van. Az R(f , r ) mennyiség az r körfrekvencián éppen egy Rayleigh hányados [Rózsa_1, 204.old]. Az MMIF (r ) függvény így az r körfrekvencián a (B r A r )f 0 általánosított sajátértékfeladat sajátértékeit ábrázolja az r függvényében. A 3.2-10. ábrán [Allemang_4] egy MMIF (r ) függvénye látható N I 7 esetre.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
13 3.2-10 ábra Multivariate módus indikátor függvény [Allemang_4] Az MMIF (r ) függvény minimum helyei detektálják a sajátfrekvenciákat f pontossággal. Az MMIF (r ) függvény megegyezik a „SDTools Vibration Softvare & Consulting” cég által a MATLAB™-hoz fejlesztett „Structural Dynamic Toolbox”-ának “ii_mmif” függvényével.
2.7
Komplex módus indikátor függvény
(CMIF, Complex Mode Indicator Function) A komplex módus indikátor diagram (CMIF) az FRF mátrix szinguláris értékeinek logaritmusát ábrázolja a frekvencia függvényében. A módszert a H( j ) FRF mátrix frekvenciatartománybeli dekompozíciójának is nevezik (Frequency Domain Decomposition = FDD). A CMIF (r ) függvényt úgy képezik, hogy a H( j ) mért FRF mátrix r köfrekvenciákon vett helyettesítési értékeit a H( j r ) mátrixokat minden egyes r körfrekvenciára
H( jr ) U r Σ r VrH
(3.2-5)
szinguláris érték szerinti felbontás (SVD = Singular Value Decomposition) alá vetik, majd a Σ r r ;i szinguláris értékeket ábrázolják r függvényében.
3.2-11. ábra CMIF Komplex módus indikátor függvény [Allemang_4] A CMIF (r ) függvény az r körfrekvencián H( j r ) összes szinguláris értékét tartalmazza, ezek közül az első szinguláris érték maximumhelyei jelzik a sajátkörfrekvenciákat. A CMIF (r ) diagram alkalmazásával többszörös multiplicitású pólusok körfrekvenciája is detektálható. Allemang [Allemang_4] szerint többszörös multiplicitást az jelzi, hogy a diagramon a második szinguláris értéknek is lokális maximumhelye van. Elméletileg az első szinguláris érték maximumhelye sajátfrekvenciát jelez, a második szinguláris érték maximumhelye kétszeres multiplicitású sajátértéket jelez, a harmadiké háromszoros, stb. [Sas_1, A.6.33 old]. A 3.211. ábrán 7 módus detektálható, ezek közül a második egyszeres, a hetedik háromszoros, a többi pedig kétszeres multiplicitású sajátértéket jelent. A H( ) FRF mátrix (SVD) dekompozíciójával a CMIF (r ) diagram származtatásán túl a modális modell skálázott sajátvektorai is meghatározhatók.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
14 2.7.1 CMIF komplex módusindikátor alkalmazási példa A befogott rúd EMA kísérleti mérési adatain a módusindikáció (3.2-5) összefüggéssel definiált ismert módszerét is alkalmaztuk. Az alkalmazás során azt tapasztaltuk, hogy SISO FRF méréseknél az FRF mátrix szinguláris érték szerinti felbontása Allemang [Allemang_4] megállapításától eltérő eredményeket ad. A befogott rúd kísérleti méréseinél a (3.2-5) ˆ ( j ) mátrix mérete a 6.2-3 táblázat alapján. felbontásban a mért H r
ˆ ( j ) U Σ V H H r r r r
(3.2-6)
ahol
ˆ ( j ) C NO N I H r N O 66 N I 66
FRF mátrix (komplex elemű), output lokációk száma (33 pont 2 irány), input lokációk száma (33 pont 2 irány), r körfrekvencia (r 0,,800) . A szinguláris érték szerinti dekompozíciót Dr. Popper György [Popper_3] algoritmusa alapján implementáltuk a WINMOD rendszerbe. Elvégezve mind az r 0,,800 frekvenciapontra a 66x66-os komplex FRF mátrix szinguláris érték szerinti felbontását a 3.2-12. ábra diagramját ˆ ( j ) mátrix Σ nyerjük, mely a frekvencia függvényében ábrázolja (logaritmikus léptékben a H r
r
szinguláris értékeit. A 2006_2 FDD FRF/TRF 1.0E-01 1.0E-02 1.0E-03 1.0E-04 1.0E-05
0.000 5.000 10.500 15.750 21.250 26.750 32.000 37.500 42.750 48.250 53.750 59.000 64.500 70.000 75.250 80.750 86.000 91.500 97.000 102.250 107.750 113.250 118.500 124.000 129.250 134.750 140.250 145.500 151.000 156.500 161.750 167.250 172.500 178.000 183.500 188.750 194.250 199.500
1.0E-06
Frekvencia [Hz]
3.2-12. ábra Befogott rúd EMA SISO mért FRF mátrixának szinguláris értékei a frekvencia függvényében A diagramot tekintve megállapításaink a következők: o EMA SISO méréseknél nem csak az első, de további (az ábrán 2., 3.,4.) szinguláris értékek is lokális maximumot vesznek fel a sajátfrekvencián (pl. f 31Hz ). o A szinguláris értékek sorrendje antirezonanciában vált. (lásd 3.2-12. ábra „A”-val jelzett frekvenciaértékei). Ez teljesen érthető, mert az első szinguláris értékhez az adott r frekvencián domináló (3.2-33) szerinti U r mátrix első (domináló) oszlopa tartozik. Terjedelmi okokból a szinguláris érték szerinti felbontáson alapuló lengéskép-meghatározással itt nem foglalkozunk. Továbbfejlesztésképpen célszerű lenne megvizsgálni, hogy egy sajátfrekvencián kiemelést adó szinguláris értékek száma milyen összefüggésben van o a módusok lineáris függetlenségével, vagy o az outband módusok ezen a frekvencián érvényesülő rezidumaival, ugyanis az ábrán látható ( y irányú hajlítólengéshez tartozó) ~ 41.5Hz -es kiemelés csak az első szinguláris érték frekvenciafüggvényén található, amelyre bizonyosan nem hatnak a szomszédos módusok.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
15
3. LOKÁLIS SDOF PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREK A frekvenciatartománybeli lokális paraméterbecslési módszerek valamely kiválasztott k, l lokációban meghatározott folytonos, vagy FFT-vel képzett diszkretizált H kl ( j ) FRF függvény jellemzői alapján végzik a sajátérték és/vagy a rezídumok becslését. Ezen módszerek körében elkülönülnek az SDOF és az MDOF becslési módszerek. A rezonanciák jellege szerinti osztályozásnál az interferenciát elhanyagoló (ún. SDOF) módszerek azokat a jellemző tulajdonságokat használják fel paraméterbecslésre, melyek az egyszabadságfokú rendszerek FRF függvényeinek jellemzői; míg az interferenciát figyelembe vevő (ún. MDOF) módszerek egy valamely # i módusra jellemző paramétereket úgy határozzák meg, hogy már kiküszöbölik a szomszédos # (i 1) és # (i 1) módusok torzító hatását. Az alkalmazott módszereket a fenti módusinterferencia miatt két szempont szerint csoportosíthatjuk: A rezonanciák jellege szerint - SDOF Interferenciát elhanyagoló - MDOF Interferenciát figyelembe vevő A kiértékelés módja szerint - Grafikus - Numerikus. Ezt az osztályozást mutatjuk be a 3.2-13. ábrán. MDOF Interferáló módusok
Numerikus
Grafikus
SDOF Nem interferáló módusok
3.2-13. ábra Modális paraméterek lokális becslési módszereinek osztályozása Grafikus módszereknek azokat az eljárásokat nevezzük, amelyeknél az FRF függvény valamilyen grafikus alakban adott (pl. regisztrátum), továbbá amelyeket akkor alkalmazhatunk, ha a EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
16 kiértékelést mérés közben végezzük, tehát lehetőség van arra, hogy valamely tetszőleges gerjesztési frekvencián pontosító méréseket végezzünk. (Léptető szinuszos módszer.) "Numerikus" módszerek közé soroltuk azokat a becslési eljárásokat, amelyek akkor használhatók, amikor az FRF függvény mért pontjai diszkrét (legtöbbször ekvidisztáns) gerjesztési frekvenciákhoz lettek meghatározva és a kiértékelést utólag kell elvégezni.
3.1
SDOF grafikus módszerek
Amennyiben a módusok jól elkülönültek (3.2-1), az FRF függvény valamely #i módus környezetében jól közelíti az egy-szabadságfokú rendszer FRF diagramját, ekkor a modális jellemzők gyakorlati szempontból megfelelő pontossággal meghatározhatók az egyszabadságfokú rendszerek jellemzői segítségével. Az következő módszerek ismeretesek. Sajátrezgési körfrekvencia A i 2 f i [rad / s] sajátrezgési körfrekvencia közelítő meghatározásánál a következő tulajdonságokat valamelyikét használhatjuk fel: 1. H kl ( j ) lokális amplitúdó-maximum helyei (körfrekvenciái). Az amplitúdó-maximum pontos helye az i2 i2 körfrekvencián, Ludvig Győző [Ludvig_1].
d arc( H kl ( j )) fázisszög változás maximális d 3. Im( H kl ( j )) képzetes rész maximális 4. Re( H kl ( j ) 0 Valós rész zérus = fáziskésés 90º Zavery [Zavery_1] alapján a 3.2-14. ábrán mutatjuk be ezeknek a kritériumoknak a relatív elhelyezkedését egy Nyquist görbe mentén. 2.
3.2-14. ábra Sajátfrekvencia kritériumok Csillapítás becslése i i i [rad / s] A csillapítás becslése legáltalánosabban a félteljesítményhez tartozó relatív sávszélesség meghatározása alapján történik. Az így kapott eredmény 0,1 esetén ad megfelelő pontosságot. A módszer előnye, hogy kizárólag az amplitúdó-frekvencia diagram alapján (fázismérések nélkül is) alkalmazható. Pontosabb becslés érhető el Kennedy-Pancu [Kennedy_1] módszerével, mely a rezonáló módusra vonatkozó EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
17
Pi Pi* (3.2-7) j i j *i FRF összetevő második tagját elhanyagolja és az első tag alapján a mért FRF függvény Nyquist görbéjére a rezonancia környezetében kört illeszt (3.2-15. ábra). H i ( j )
3.2-15. ábra A Kennedy-Pancu módszer [Kennedy_1] Az illeszkedő kör „C” és „D” pontjaihoz tartozó C és D körfrekvenciákat tekinti a félteljesítményhez tartozó sávszélesség két határ-körfrekvenciájának. A csillapítást így a C (3.2-8) D [rad / s] 2 vagy a D C 100 % (3.2-9) 2 B összefüggéssel számíthatjuk. Az ábrából kiolvasható, hogy az OA pontokat összekötő vektor mutatja a szomszédos rezonanciák torzító hatását. Az interferenciát ez a módszer nem küszöböli ki, mert feltételezi, hogy az illesztett modal kör 180 0 szögben simul a mért görbére. A P Q jZ amplitúdó-paraméterek (rezidumok) becslése. 1. Amplitúdó-frekvencia diagram alapján történő durva becslést nyerhetünk [P37] az alábbi összefüggésekkel:
Z ahol:
A F
A m ; F Ns
Q0
(3.2-10)
LEHR féle csillapítás a becsült sajátrezgési körfrekvencia (lokális amplitúdó maximumhoz tartozó körfrekvencia) rad / s Az körfrekvencián mért elmozdulás-amplitúdó [m] Gerjesztő erő amplitúdója [N ]
2. Kennedy-Pancu módszere EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
18
m Q jZ 2 a c j (b d ) Ns ahol:
a jb c jd
(3.2-11)
LEHR féle csillapítás, a sajátrezgési körfrekvencia (lokális amplitúdó maximumhoz tartozó körfrekvencia) rad / s , a mért FRF függvény komplex értéke az körfrekvencián [m / N ] , az illeszkedő modál kör középpontjának koordinátái a Nyquist síkon [m / N ] .
3.2
SDOF numerikus módszerek
Ebbe a módszercsaládba tartozó összefüggéseket először Richardson [Richardson_1] publikálta 1975-ben. Valamely # i -edik módus i sajátérték és Pi rezidumának becslésére Richardson differenciaformulákat vezetett be. Ezek az # i -edik módus FRF függvénye H i ( j )
Pi j i
közelítő alakjának segítségével képezhetők. Sajátértékek becslése i i j i Az # i -edik módus FRF függvénye H i ( j )
Pi közelítő alakjának segítségével képezzük a j i
következő azonosságot:
H i ( j ) ( ) H i ( j j ) ji H i ( j ) H i ( j j ) ahol: 2 f H i ( j ) H i ( j j )
(3.2-12)
körfrekvencia felbontás rad / s #i-edik módus közelítő FRF függvénye az körfrekvencián m / N #i-edik módus közelítő FRF függvénye az körfrekvencián m / N
Ezt az azonosságot i becslésére úgy használhatjuk fel, hogy H i ( j ) és H i ( j j ) helyébe az és ( ) körfrekvenciákon mért Hˆ ( j ) és Hˆ ( j j ) FRF értékeket helyettesítjük be, az körfrekvencia helyébe az i detektált sajátkörfrekvenciát helyettesítjük. A i i j i sajátérték paraméterek kezdeti becslésére a (3.2-12) összefüggés szerinti differenciaformula módosított változatát alkalmazzuk. A differenciaformulát nem csak a detektált sajátkörfrekvencia értékére számítjuk, hanem annak néhány szomszédos pontjára is, majd a kapott értékek átlagát képezzük. Az átlagképzést a mérési hibák (zaj) csökkentése indokolja. Tehát a sajátérték becslés módosított változata Nq i q Hˆ ( ji q ) (i q ) Hˆ ( ji q j ) 1 i : (3.2-13) 2 N q 1 q N q Hˆ ( ji q ) Hˆ ( ji q j ) ahol i Hˆ ( j
detektált sajátkörfrekvencia, körfrekvencia felbontás, iq
2N q 1
)
FRF mért értéke az i q (i q) körfrekvencián, becslésnél figyelembevett pontok száma.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
19 Az átlagképzést a mérési hibák (zaj) csökkentése indokolja.
Komplex amplitúdó-paraméterek becslése Pi Qi jZ i A rezidumparaméterek becslésére a H i ( j )
j
Pi közelítő összefüggés segítségével most a j i
H i ( j ) H i ( j j ) Pi H i ( j ) H i ( j j )
(3.2-14)
azonosságot használjuk fel. A rezídumok kezdeti becslésére a (3.2-14) differenciaformula módosított változata alkalmazható: Nq Hˆ ( ji q ) Hˆ ( ji q j ) 1 . (3.2-15) Pi : j ˆ 2 N q 1 q N q H ( ji q ) Hˆ ( ji q j ) ahol a jelölések megegyeznek (3.2-12) jelöléseivel. Kísérleti mérések FRF függvényein végzett kezdeti becsléseinek tapasztalatai alapján a sajátfrekvencia környezetében N q 2 értékkel 5 mérési pont elegendő olyan pontosságú kezdeti becslés meghatározásához, amelyből egy iteratív görbeillesztés már konvergens. N q értékét célszerű úgy megválasztani, hogy az átlagképzésnél figyelem be vett pontok a félteljesítményhez tartozó sávszélességen belülre (a modális félkör kerületére essenek). A kezdeti becslés szoftveres megvalósításának egy példáját mutatja a 3.2-16. ábra. Ezen a befogott rúd egy lokális EMA SISO mérésének (loc:1X1X) FRF diagramja és kezdeti becslése látható. ExPo:1 ExDi:1 RePo:1 ReDi:1 FRF [m/s]/[N] Magnitude-Frequency
Mért FRF
Measured
Fitted LOC
Amplitúdó
1.00E-01
Kezdeti becslés
1.00E-02
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
90
100
80
70
60
50
40
30
20
0
10
1.00E-03
Frekvencia [Hz] Local Estimates:5 f [Hz] kszi[%] 1. 5.00000E+0 1.08406E+1 2. 3.12500E+1 1.13353E+0 3. 8.75000E+1 4.02084E-1 4. 1.25750E+2 2.78716E-1 5. 1.71750E+2 2.18895E-1
3.2-16. ábra Kezdeti becslés módosított differenciaformulákkal lokális FRF függvényen. WINMOD Az ábrán megfigyelhető, hogy az f1 5Hz -es kezdeti becslés a rezídumokra pontatlan. A gyakorlati mérési kiértékelési feladatoknál a kezdeti becsléseket a lineáris komplex görbeillesztéssel kombinálva célszerű elvégezni úgy, hogy EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
20 o a kezdeti becsléseket az FRF-en található amplitúdó maximumok csökkenő sorrendjében kell végezni, o minden egyes módus becslés után egy lineáris görbeillesztést célszerű beilleszteni.
4. LOKÁLIS MDOF PARAMÉTERBECSLÉSEK Azokban az esetekben, amikor a szomszédos módusok interferálnak, az egy szabadságfokú feltételezésen alapuló becslések erősen hibás becsléseket eredményeznek. Ekkor többszabadságfokú paraméterazonosítási technikát kell alkalmazni, melyek figyelembe veszik a szomszédos módusok torzító hatását.
4.1
MDOF grafikus módszerek
Sajátrezgési körfrekvencia i 2 f i [rad / s] becslése Interferáló módusoknál a félteljesítményhez tartozó sávok már átfedik egymást ( (1 i )i (1 i 1 ) i 1 ), sok esetben Hˆ ( j ) függvényen a sajátrezgési körfrekvencia környezetében nem is található a lokális amplitúdó-csúcs, sőt előfordul olyan eset, amikor a rezonanciákat elválasztó hurok ki sem alakul a Nyquist síkon való ábrázolásban (lásd 3.2-1 ábra). Nyquist kerületi sebesség A Nyquist kerületi sebesség (Nyquist peripheral velocity) diagram alkalmazását Béliveau [Béliveau_1] vezette be egyetlen lokációra vonatkozó skalár FRF függvénynél a rezonanciák detektálására és a sajátrezgési frekvencia becslésére. Ezt egy kiválasztott lokációra a
NYPERVEL kl ( j ) :
dH kl ( j ) d 2 n Pikl d d i 1 j i
2n
jPikl
i 1
i
j
2
(3.2-16)
kifejezéssel definiálja. Kimutatja, hogy i 0.1 esetén még interferáló módusoknál is a Nyquist kerületi sebesség maximumhelyének és az i körfrekvenciának az eltérése kisebb, mint 0.5% . A NYPERVEL kl ( j ) függvény (amplitúdó-frekvencia) diagramja jól kiemeli a közeli módusokat is. A 3.2-17. ábrán egy – az ábrán látható paraméterű – kétmódusú rendszer H ( j ) és NYPERVEL ( j ) diagramját mutatjuk be. A két módus átlapolt, mert (félteljesítmény) sávszélességeik átfedik egymást. A 3.2-17a ábrán megfigyelhető, hogy az amplitúdómaximum nem alkalmas a módus detektálásra, és a Nyquist-diagramon sem különül el a két módus. A 3.29b ábrán mutatott NYPERVEL diagramon ugyanezek a módusok jól megkülönböztethetők, így ellenőrizhető a NYPERVEL diagram jó móduskiemelő tulajdonsága.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
21
1 2 100 j 2 1 102 j H1
P i Pi j i j 1 i
1
i
P1 0 10 j P2 1 2 j
6 0
H( )
a.
Im( H( ) )
4
Im( H1( ) )
H1( )
2
Im( H2( ) )
H2( )
4
2
6
0
60
80
100
120
4
140
2
0
2
Re( H( ) ) Re( H1( ) ) Re( H2( ) )
5
4
WDER ( )
b.
Im( W DER( ) )
2
0
60
80
100
120
0
140 5
5
0
5
Re( W DER( ) )
3.2-17. ábra NYPERVEL diagram móduskiemelő tulajdonsága. a. H ( j ) b. NYPERVEL ( j ) A NYPERVEL ( j ) diagram egyfajta értelmezésben módusindikátor függvénynek is tekinthető. Azonban Béliveau eredetileg lokális FRF függvényeken alkalmazta modálcsúcsok detektálására ezért a diagramot a lokális módszerek közé soroltuk. Csillapítás becslése i i i [rad / s] A Kennedy-Pancu módszert interferáló módusokra Marples [Marples_1] általánosította.
3.2-18. ábra Csillapítás becslése Marples szerint [Marples_1] A 3.2-18. ábra jelöléseivel Marples képlete:
f 2 f1
1 tg 2 f 0 tg 2 2
ahol:
f0 f1 f2
sajátfrekvencia [Hz] illeszkedő kör belépési pontjához tartozó frekvencia [Hz] illeszkedő kör kilépési pontjához tartozó frekvencia [Hz]
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
(3.2-17)
22
f 2 f1 képletre egyszerűsödik. A 2 f0 P Q jZ komplex amplitúdó becslése interferencia esetén regressziós kör illesztéssel (az illeszkedő tartományban), majd az illeszkedő kör adataiból a (3.2-11) Kennedy-Pancu módszerrel történhet. Megjegyzés: A (3.2-17) összefüggést interferáló módusok csillapítási értékének meghatározására első ízben [P35]-ben alkalmaztuk CNC palástköszörűgép prototípusvizsgálatánál (lásd 3.1-7 ábra). Ez az összefüggés 1 2 90 0 esetén a jól ismert
4.2
MDOF numerikus módszerek
Ezen módszerek alapelve, hogy a mért FRF függvények azon intervallumára, ahol közeli módusok találhatók a többszabadságfokú rendszerek FRF karakterisztikáját leíró analitikus függvényt illesztenek. Az illesztés általában a legkisebb négyzetek módszerével történik. A mért FRF függvényre illeszkedő analitikus függvényt (3.-1) felhasználásával választják. A mért Hˆ ( j ) és kl
r
az illesztett H kl ( j ) FRF függvény négyzetes eltérését minimalizáló funkcionál általános alakja: Nˆ
kl (p) Hˆ kl ( j r ) H kl ( j r , p) Hˆ kl* ( j r ) H kl* ( j r , p) r 1
ahol: Nˆ
(3.2-18)
r
a vizsgált körfrekvencia intervallum diszkrét körfrekvencia értékeinek száma, diszkrét körfrekvencia értékek, r 0,, Nˆ
Hˆ kl ( j r ) H kl ( jr , p)
az FRF függvény mért értéke az r körfrekvencián, az illesztő analitikus függvény helyettesítési értéke az r körfrekvencián,
p Q1,kl Nm
QNm ,kl Z1,kl Z Nm ,kl 1 Nm 1 Nm mkl Rkl a meghatározandó paraméterek oszlopvektora, a detektált módusok száma. A p paramétervektor elemeinek száma 4N m 2 . T
Az kl kl (p) funkcionál egy 4 N m 2 változós függvény, minimálása a p paramétervektor elemeire nézve nemlineáris egyenletrendszerre vezet. A lokációt jelölő k, l indexeket elhagyva az (p) min , 4 N m 2 változós függvény szélsőérték létezésének feltétele, hogy a p elemei szerinti parciális deriváltak eltűnjenek: (p) q 1,,4 Nm 2 . (3.2-19) 0 p q Ebből a legkisebb-négyzetes közelítéshez megoldandó egyenletrendszer: ˆ H * ( j r ) (p) N 2 Re Hˆ ( j r ) H ( j r , p) q 1,,4 N m 2 0 p q p q r 1
(3.2-20)
Ennek Jacobi mátrixa: 2 (p) J (p) p q p s EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
(3.2-21)
23
ˆ ˆ H ( j , p) H * ( j r , p) 2 H * ( j r , p) N J (p) 2 Re H ( j r ) H ( j r , p) 2 Re p q p s p q r 1 r 1 p s Nˆ
(3.2-20) nemlineáris egyenletrendszer a p paramétervektor elemeire nézve, megoldása iterációs módszerekkel történhet. Az iterációhoz szükség van p elemeinek valamilyen kezdeti becslésére, melyet a 3.2.2 fejezetben ismertetett SDOF becslési módszerek valamelyikének alkalmazásával nyerhetünk. A nemlineáris egyenletrendszer megoldása nagy mennyiségű számítási munkát igényel. Számos módszer ismeretes, melyek bizonyos egyszerűsítéseket tesznek a számítási idő csökkentése érdekében. Ezek a módszerek abban különböznek, hogy a legkisebb négyzetes közelítésnél o mely paramétereket vonják az iterációba és melyeket tartják a kezdeti becslésnél meghatározott értéken, o az illesztést a komplex amplitúdóra végzik, vagy pedig a csak a képzetes részre, esetleg a teljesítményspektrumra, o komplex Pi Qi jZ i , avagy tiszta képzetes Pi jZ i modál amplitúdókat vesznek figyelembe, o a Jacobi mátrix számításánál tesznek-e egyszerűsítést, vagy sem, o az illesztést az elmozdulás-válasz/erő, vagy a gyorsulásválasz/erő spektrumra végzik. Gaukroger [Gaukroger_1] az elmozdulás-válasz/erő spektrumra, komplex amplitúdókat figyelembe vevő módszerénél a Gauss-Newton módszert alkalmazza. Ennek lényege, hogy az (p) második parciális deriváltjainak képzésénél – feltéve, hogy a közelítő analitikus FRF függvény és a méréssel meghatározott csak kis mértékben tér el egymástól – a H ( j r , p) második parciális deriváltjait tartalmazó tagokat elhanyagolja. Ekkor a Jacobi mátrix közelítő alakja: * Nˆ ˆJ (p) Jˆ (p) 2 Re H ( j r , p) H ( j r , p) q, s 1,,4 N m 2 . (3.2-22) q,s p q p s r 1
Wang és Sato [Wang_1] három különböző eljárást mutat be. Ezek mindegyike a görbeillesztést a gyorsulásválasz/erő spektrumon végzi, valamint feltételezi a klasszikus normál módusokat. 1. Az MSSE jelű módszere a gyorsulás-átviteli függvényen végez legkisebb négyzetes görbeillesztést Newton iterációval úgy, hogy az első lépésben csak a képzetes részeket veszi figyelembe. Az iteráció befejezése után a kapott eredményeket kezdeti becslésként használja a valós-részekre felírt legkisebb négyzetes funkcionál minimalizálásához. 2. A COLP jelű módszer a minimalizálandó funkcionált nem a négyzetes eltérések összegére írja fel, hanem az eltérések összegére Nˆ
1
(p) Im( A( j r , p)) Im( Aˆ ( j r )) , r 1
(3.2-23)
ahol: T p Qi , Z i , i , i keresett paraméterek vektora i 1, N m ,
A( j r , p)
a közelítő analitikus gyorsulás-átviteli függvény helyettesítési értéke az r körfrekvencián,
Aˆ ( j r )
a mért gyorsulás-átviteli függvény értéke az r körfrekvencián,
továbbá minden rezonancia környezetében csak 3-3 mérési pontot használ fel az illesztésre. Newton iterációval minimalizál, majd a kapott eredményeket – az MSSE jelű módszeréhez hasonlóan – a valós-részekre történő minimalizáláshoz kezdeti becslésként használja. 3. A harmadik módszer az előző kettőhöz képest lényegesen gyorsabb és kisebb számítógépi memóriaigényű, ezáltal alkalmasabb nagy számú frekvenciacsúcs esetére. Első lépésben elvégzi EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
24 a göbeillesztést az első rezonanciára a (3.2-23) összefüggés szerinti értelemben, a többi rezonancia hatásának figyelmen kívül hagyásával. Második lépésben a második sajátfrekvenciára végez görbeillesztést, de ennél már figyelembe veszi az első sajátfrekvenciának az előző lépésben meghatározott paramétereivel a torzító hatását. A további lépésekben minden egyes további sajátfrekvenciára elvégzi a görbeillesztést úgy, hogy a korábbi lépéseknél az alacsonyabb sajátfrekvenciáknál kapott paraméterekkel a torzító hatásokat figyelembe veszi az éppen soron lévő sajátfrekvencia paramétereinek számításánál. Miután az összes sajátfrekvenciára az első menetben meghatározta a paraméterbecsléseket, ugyanezt az eljárást folytatja a sajátfrekvenciák csökkenő sorrendjében. Ezt az oda-vissza becsléssorozatot addig folytatja, míg a becsült paraméterek értéksorozata konvergens nem lesz. Végül megismétli az eljárást a valós részekre. A fentiekben ismertetett lokális becslési módszerek összefoglalása a 3.2-6. táblázatban található. 3.2-6. táblázat Lokális becslési módszerek összefoglaló táblázata Sajátérték Modal amplitúdó Pi Qi j Z i i i j i
i , ahol
GRAFIKUS
SDOF
i
Qi
H ( j ) max
f 2 f1 2 f0
GRAF.
NUM.
Re( H ( j )) 0
f 2 f1
1 tg 2 f 0 tg 2 2
(p) min Nˆ
r Hˆ r r 1 Hˆ r 1
Pi j
Hˆ r Hˆ r 1
[Z i ]T
NUMERIKUS
MDOF
Nˆ
2 (p) Re( A( r , p)) Re( Aˆ ( r )) r 1
Nˆ
(p) Im( A(r , p)) Im( Aˆ (r )) r 1 Nˆ
(p) r 1 Nˆ
(p) r 1
Hˆ r Hˆ r 1 Hˆ Hˆ
[ i ]T
T
i 1,4 N m 2
2
J (p) teljes
[Wang_1, MSSE]
2
1
J (p) teljes
[Wang_1, COLP]
H ( r , p)) Hˆ ( r ))
Jˆ (p) csonkolt [Gaukroger_1]
J (p) teljes
H ( r , p)) Hˆ ( r ))
2
r 1
Kör-regresszió
[ i ]T
1 (p) Im( A( r , p)) Im( Aˆ ( r )) r 1
F
r
NYPERVEL ( j) max
p [Qi ]T
i i H ( j ) max
Pi 2 i i H ( j ) C ahol: C az illeszkedő kör középpontja i
Im(H ( j)) max
i i j i
Zi
: 0
d ( j ) max d
( 10%)
Zi
2
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
[6. fejezet]
25 4.2.1
Lineáris komplex görbeillesztés FRF és RCNP függvényeken
Amint a 3.2.3 fejezetben bemutattuk, az FRF méréseken alapuló, interferenciát figyelembe vevő numerikus módszerek a görbeillesztésre a H kl ( j ) FRF közelítő függvényt leggyakrabban a (3.1) szerinti parciális tört alakban írják fel. Ezt a függvényt elemezve belátható, hogy a legkisebb négyzetes funkcionál minimalizálására szolgáló (3.2-20) egyenletrendszer lineáris egyenletrendszerré redukálódik, ha a rendszerre nézve globális i (i 1,, N m ) sajátérték paramétereket konstans értéken tartjuk, és a p paramétervektorba csak a lokációtól függő 1 / mkl Qikl , Z ikl , Rkl paramétereket, valamint az mkl effektív tömeg reciprokát az mkl paramétereket vonjuk be. A lineáris komplex görbeillesztéssel meghatározandó paraméterek vektora (elhagyva a lokációra vonatkozó kl indexeket) tehát: T p Q1 Q2 QNm Z1 Z 2 Z Nm R m (2 N m 2 elemű ) . (3.2-24)
Az (p) funkcionál egy 2 N m 2 változós függvény, melynek minimálása a p paramétervektor elemeire nézve lineáris egyenletrendszerre vezet. A legkisebb-négyzetes közelítéshez megoldandó egyenletrendszer: ˆ H * ( j r ) (p) N ˆ 2 Re H ( j r ) H ( j r , p) (3.2-25) 0 q 1,,2 N m 2 p q p q r 1 A (3.2-25) egyenlőséget tovább kifejtve, a következő lineáris egyenletrendszerre jutunk: A11 A12 a13 a14 b1 A T A b a 23 a 24 22 12 2 (3.2-26) p T T a13 b3 a 23 a33 a34 T T b4 a14 a 24 a 43 a 44
ahol
S 1jr S 3jr
j
j2 r j 2 r j r j
2
2 j
Nˆ
,
S 2jr
,
S 4jr
A11 A11i , j S S r 1 Nˆ
1 jr
2 jr
S
1 ir
S
j
j2 r j 2 r j j2 r j 2
Nˆ
2 ir
S
r 1 Nˆ
3 jr
, ,
i, j 1,, N m ,
i, j 1,, N m ,
S 4jr S ir3 S ir4 ,
A12 A12i , j S 3jr S 4jr S ir1 S ir2 S 1jr S 2jr S ir3 S ir4 , r 1
Nˆ
r 1
1
i 1,, N m ,
a14 a14i (1) S ir1 S ir2 ,
i 1,, N m ,
a13 a13i
r 1
2 r
Nˆ
S
1 ir
S ir2 ,
r 1
Nˆ
A 22 A22i , j S S
r 1
Nˆ
1
3 jr
S
3 ir
S
Nˆ
4 ir
S r 1
1 jr
i 1,, N m ,
a 24 a 24i (1) S ir3 S ir4 ,
i 1,, N m ,
2 r 1 r Nˆ
r 1
Nˆ
a33 r 1
3 ir
S ir4 ,
S 2jr S ir1 S ir2 ,
a 23 a 23i
S
4 jr
1 1 2, 2
r r
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
i, j 1,, N m ,
26 Nˆ
a34 (1) r 1
1
r2
,
Nˆ
a 44 (1)(1) Nˆ , r 1
a43 a34 ,
j 1,, N m ,
j 1,, N m ,
Nˆ b1 b1 j Re Hˆ r S 1jr S 2jr Im Hˆ r S 3jr S 4jr , r 1 ˆ N b 2 b2 j Re Hˆ r S 3jr S 4jr Im Hˆ r S 1jr S 2jr , r 1 Nˆ
1 b3 Re Hˆ r 2 , r r 1 Nˆ
b4 Re Hˆ r (1) , r 1
Hˆ r Hˆ ( j r ) . A görbeillesztés (3.2-26) szerinti módszere azért nevezhető komplex lineáris görbeillesztésnek, mert a regresszióhoz o a mért FRF függvény valós és képzetes részét is felhasználja komplex o a funkcionál minimálása lineáris egyenletrendszerre vezet. lineáris A komplex lineáris görbeillesztés ezen módszerét a WINMOD programrendszerbe beillesztettük és sokoldalúan teszteltük. Példaként a 3.2-16. ábra szerinti kezdeti becslésekkel a befogott rúd „EMA SISO 1X1X” lokációjában mért FRF-re a lineáris komplex görbeillesztés eredménye a 3.219. ábrán látható. ExPo:1 ExDi:1 RePo:1 ReDi:1 FRF [m/s]/[N] Magnitude-Frequency Measured
Fitted LOC
Amplitúdó
1.00E-01 1.00E-02 1.00E-03
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
90
100
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1.00E-04
Frekvencia [Hz] Local Estimates:5 f [Hz] kszi[%] 1. 5.00000E+0 1.08406E+1 2. 3.12500E+1 1.13353E+0 3. 8.75000E+1 4.02084E-1 4. 1.25750E+2 2.78716E-1 5. 1.71750E+2 2.18895E-1
3.2-19. ábra Befogott rúd „EMA SISO 1X1X” komplex lineáris görbeillesztése. A J3.2 fejezetben eddig elvégzett feladatokat összefoglalva tehát módszereket fejlesztettünk ki a o Módusindikációra o A sajátérték és rezidumparaméterek kezdeti becslésére EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
27 o A rezidumparaméterek pontos meghatározására A következő fejezetben a sajátérték és rezidumparaméterek együttes pontosításának eljárását mutatjuk be.
4.2.2
Nemlineáris komplex görbeillesztés FRF függvényeken
A nem-lineáris komplex görbeillesztés eljárása a (3.2-20) legkisebb négyzetes egyenletrendszerbe bevonja a i sajátérték paramétereket is. Ekkor a meghatározandó paraméterek vektora (elhagyva a lokációra vonatkozó kl indexeket) tehát:
p p TQ
p TZ
p T
pT
R m
T
(4 N m 2 ) elemű .
(3.2-27)
A nemlineáris egyenletrendszer megoldására a klasszikus Gauss-Newton módszert alkalmazzuk. A Jacobi mátrixot a (3.2-21) szerint képezzük. A Jacobi mátrix feltöltését terjedelmi okokból nem részletezzük, elviekben megegyezik a (3.2-21)-ben megfogalmazottal, azzal a különbséggel, hogy H ( j ) H ( j ) a Jacobi mátrixot a parciális deriváltakkal is ki kell egészíteni. A Jacobi i i mátrix feltöltésének időigénye a mai számítástechnikai eszközöket használva elhanyagolható. A kísérleti próbafuttatások tapasztalatai azt mutatták, hogy a Jˆ (q, s 1,,4 N ) elemeinek
qs
m
feltöltésénél az összegképzés csonkolható, sőt a konvergencia-tulajdonságokat is javítja ha a Jˆ qs (q, s 1,,4 N m ) elemekre vonatkozó (3.2-21) szerinti összegképzést nem a teljes vizsgált
frekvenciaintervallumra végezzük, hanem csak a sajátkörfrekvencia rögzített (például
2 i
pq , p s
paramétereknek megfelelő i
sugarú) környezetére. Ezt a frekvenciasávot a
továbbiakban Jacobi sávszélességnek nevezzük. A Jˆ qs összeg Jacobi sávszélességen kívüli tagjai a vizsgált feladatoknál elhanyagolhatóan
kicsinyek voltak. Az m (effektív tömeg ) és R (maradó hajlékonyság ) paraméterekkel kapcsolódó összegképzéseket (q 4 N m 1, 4 N m 2, és s 4 N m 1, 4 N m 2) a teljes min , max intervallumra el kell végezni, mert különben az iteráció divergenssé válik. További általános tapasztalat, hogy az iteráció elkülönült módusokra gyorsan konvergál, míg az egymással interferáló módusoknál relatíve lassú a konvergencia. A komplex nemlineáris görbeillesztés alkalmazási példájaként tekintsük a 3.2-20. ábrát, mely a befogott rúd lokális FRF RCNP görbeillesztésének eredményeit mutatják. ExPo:1 ExDi:1 RePo:1 ReDi:1 FRF [m/s]/[N] Magnitude-Frequency Measured
Fitted LOC
Amplitúdó
1.00E-01 1.00E-02 1.00E-03
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1.00E-04
Frekvencia [Hz]
3.2-20. ábra Befogott rúd „EMA SISO 1X1X” komplex nemlineáris görbeillesztése. Valamely lokális FRF függvény komplex görbeillesztése a hagyományos EMA modellképzési feladatok közé tartozik, amint azt a 3.2.3.2 fejezetben áttekintettük. Új eredménynek tekintjük azt EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
28 a numerikus tapasztalatot, miszerint az m (effektív tömeg ) és R (maradó hajlékonyság ) paraméterekre vonatkozó összegképzést a konvergencia biztosítása érdekében a teljes vizsgált frekvenciasávra el kell végezni. Továbbfejlesztésként célszerű megvizsgálni, hogy a görbeillesztés Rkl maradó hajlékonyság paramétere o komplex értékűként (esetleg lineáris függvényként) kezelve javít-e a görbeillesztés minőségén o szerkezetdinamikai módosításnál történő további felhasználása javítja-e az SDM pontosságát. Lásd még [Rades_1, 194. old. 10.3. fejezet].
5. RCNP MÓDUSINDIKÁTOR FÜGGVÉNY A következőkben egy új, aggregátor típusú módusindikátort vezetünk be. A 3.2-1 fejezetben ismertettük a módusok detektálási problémáját. A nagy számú frekvencia-átviteli függvény a sajátértékek detektálását valójában megnehezíti, mivel a különböző lokációkban más és más amplitúdóval vannak jelen az egyes módus-komponensek. Valamely lokációhoz tartozó mérés FRF függvényében nem feltétlenül jelenik meg amplitúdó-csúcs formájában minden keresett sajátfrekvencia. Gondot jelent a nagy számú mérés áttekintése ill. annak megítélése, hogy mely komponensek fontosak, melyek nem. Ugyanakkor az egyedi FRF függvények komplex görbeillesztése gyors konvergenciával jó adatokat produkál. A Nyquist kerületi sebesség (NYPERVEL) amplitúdó frekvencia diagramja jól kiemeli a közeli módusokat is. Numerikus kísérleti és gyakorlati mérési tapasztalatok alapján a kifejlesztendő indikátorral szemben a következő kritériumok fogalmazhatók meg: o Legyen globális, tehát az összes mért FRF függvényből képezhető valamely összegképzéssel (vagy átlagképzéssel) úgy, hogy tartalmazza a i .sajátértékekkel – mint globális jellemzőkkel – kapcsolatos információkat. o Hordozza a (3.2-16) alatt definiált Nyquist kerületi sebesség móduskiemelő tulajdonságait. o Komplex alakú, valamely módus modális kör formájában jelenjen meg, tehát alkalmazható rá a komplex görbeillesztés eljárása, annak érdekében, hogy a sajátérték becslése a körfrekvencia felbontásnál pontosabban becsülhető legyen. Erre a célra nem alkalmas az összes komplex FRF függvény egyszerű átlaga, hiszen azok bizonyos esetekben (lokációtól függő fázis / ellenfázis) kioltják egymást. A komplex Nyquist kerületi sebesség diagramok összegzése ugyanezt eredményezné. Olyan függvényre van tehát szükség, mely az összes módus (modal körének) fázishelyzetét ugyanarra a szöghelyzetre forgatja, továbbá a modális amplitúdókat ( Pi ,kl rezídumokat) Pi ,kl 1 normálja.
dH ( j ) (komplex) Nyquist kerületi sebesség és a d H ( j ) FRF függvény hányadosát úgy, hogy valamely i -edik módusra elhanyagoljuk a nem rezonáló módusokat és a rezonáló i -edik módusnak csak az első (fő-) tagját tartjuk meg. Nevezzük emiatt „Relatív Komplex Nyquist Kerületi Sebesség” diagramnak (RCNP =Relative Complex Nyquist Peripheral Velocity). Az RCNP diagram ekkor az alábbi összefüggéssel definiálható: Képezzük ehhez valamely k, l lokációra a
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
29
jPi dH i ( j ) j i 2 j d (3.2-28) RCNPi ( j ) : Pi H i ( j ) j i j i Az RCNP diagram képzésénél tehát egy adott frekvenciaponthoz tartozó komplex Nyquist kerületi sebességet osztjuk az FRF függvény ugyanazon frekvenciaponthoz tartozó komplex függvényértékével. Ez a módusok detektálásával és globális becslésével kapcsolatos fenti feltételeket kielégíti, ezen kívül pedig, azzal a tulajdonsággal is rendelkezik, hogy az összes módust (rezidumot) Pi j -re normálja. Tehát az egyes módusokhoz tartozó modal körök átmérője csak a ( i ) csillapítástól függ, a modal kör középpontjának 90 -tól való elfordulása
i . AZ RCNP függvény műszaki elnevezése a pedig i arc i szögtől sin(i ) 2 i következő is lehet: "Normalizált FRF diagram". Az RCNP diagram módusindikátorként való alkalmazását számos analitikus FRF függvényen teszteltük, és megállapítottuk, hogy az RCNP diagram módusok detektálására alkalmas. Illusztrációként a 3.2-7. táblázat adataival generált FRF függvényen való alkalmazást mutatjuk be. 3.2-7. táblázat Analitikus FRF teszt paraméterei Módusok száma
Nm 4
Frekvenciafelbontás
Maximális frekvencia
f 0.5 Hz
f max 200 Hz
Modális paraméterek Rezidum Sajátérték
i 1 2 3 4
Pi Qi jZ i
i i j i
m s N
rad s
Qi 1.0 2.5 6.0 2.0
Zi 1.0 0.5 3.0 1.0
i
i
20 20 60 10
200 240 600 900
A táblázat adatait úgy választottuk, hogy átlapolt módusok i 1; i 2 , kis csillapítású módus i 4 és nagy csillapítású módus i 3 is megtalálható legyen. A 3.2-21. ábrán mutatjuk be a 3.2-7. táblázat analitikus FRF teszt függvényének grafikonjait, a 3.2-22. ábrán pedig ennek RCNP diagramjait. FRF Measurements FRF ________ Magnitude-Frequency
FRF Measurements FRF ________ Nyquist plot
0.00E+00
Frekvencia [Hz]
3.2-21. ábra Analitikus FRF teszt függvény grafikonja EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
Valós rész
0.2
0.1
-1.00E-01 0.15
5.00E-02
0
1.00E-01
1.00E-01
0.05
1.50E-01
2.00E-01
-0.1
2.00E-01
-0.05
Képzetes rész
Measured
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Amplitúdó
Measured
30 A két ábrát összehasonlítva megfigyelhető, hogy RCNP függvény amplitúdó-frekvencia diagramja jó móduskiemelő tulajdonságú, a Nyquist diagramján pedig látható, hogy az elkülönült módusok modal körei a 90 közelébe fordulnak. Megjegyezzük, hogy a maximális amplitúdó-hely 90 -tól való eltérésére ugyanazok a törvényszerűségek vonatkoznak, mint egy közönséges egy-szabadságfokú rendszer Nyquist diagramjánál.
Task:Analitik; Meas.:0; FRF Measurements FRF ________ Magnitude-Frequency
Task:Analitik; Meas.:0; FRF Measurements FRF ________ Nyquist plot
Measured
Measured
Frekvencia [Hz]
0.04
2.00E-02
0 0.02
4.00E-02
-0.04 -0.02
6.00E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 Képzetes rész 180 190 200
Amplitúdó
8.00E-02
4.00E-02 2.00E-02 0.00E+00 -2.00E-02 -4.00E-02 -6.00E-02 -8.00E-02 -0.08 -0.06
Valós rész
3.2-22. ábra Analitikus RCNP teszt függvény A választott tesztpéldák görbeillesztései erősen interferáló módusokra is a gyakorlat számára pontos eredményeket adtak. Méréssel meghatározott, diszkrét frekvenciapontokon értelmezett FRF függvényen az RCNP függvényt a (3.2-28) differenciahányadossal való közelítéseként az Hˆ Hˆ r RCNP j r r 1 r 0,, Nˆ 1 (3.2-29) ˆ H r
összefüggés alkalmazható, ahol körfrekvencia-felbontás, r r , diszkrét körfrekvencia értékek Hˆ r , Hˆ r 1 az FRF függvény mért értéke az r , r 1 körfrekvenciákon. A mérésekkel meghatározott FRF függvényen való alkalmazásnál – a differenciaképzés miatt – a mérési zajok bizonyos fokú felerősödésével kell számolni. Csillapítás közvetlen becslése RCNP diagramon Az RCNP j függvény közvetlenül alkalmas a i csillapítás közvetlen becslésére, ugyanis, ha (3.2-28) összefüggésben az i helyettesítést végezzük (a csillapított sajátfrekvencia kezdeti becslését), akkor j j j RCNPi ( j i ) . (3.2-30) j i i i i Tehát ha rendelkezésre áll a i csillapított sajátkörfrekvencia becslése, akkor a mért FRF függvények alapján képzett RCNP ( j ) függvény képzetes része alapján a i csillapítás közvetlenül becsülhető a 1 IM i : , (3.2-31) ImRCNP ( j i ) vagy a 1 ABS i : (3.2-32) RCNP ( j i ) EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
31 formulával. Az alábbi 6.3-3 táblázatban összevetjük a ABS i és a IM i formulákkal képezett becsléseket az analitikus FRF teszt (3.2-8. táblázat) pontos értékeivel. 3.2-8. táblázat RCNP alapú kezdeti becslések Pontos Becslés i i i ABS i IM i
rad / sec
1 2 3 4
20 20 60 10
200 240 600 900
24.8 22.3 60.7 11.4
26.4 22.3 60.8 11.7
A táblázat adatait elemezve megállapítható, hogy a csillapítási együtthatót mindegyik becslés abszolút-értéket tekintve túlbecsülte, különösen az átlapolt módusok esetében. További elemzéseket igényel annak elemzése, hogy a becslési hibára milyen hatással van a módusok átlapolása, és a csillapítási hányados értéke. Hasonlóan képezhetők a sebességválaszra (2-19) és a gyorsulásválaszra (2-20) vonatkozó RCNP diagramok is, továbbá származtathatók az ezeken alapuló ABS i IM i becslő formulák. Amennyiben a kísérleti mérések nem az elmozdulás-válaszra vonatkozó FRF függvényeket határozták meg, hanem a sebességválaszra, vagy a gyorsulásválaszra vonatkozókat, akkor is i becslése (3.2-31) szerint történik, ugyanis a sebességválaszra vonatkozó RCNPV i ( j ) függvény
d jH i ( j 1 RCNPV i ( j ) d RCNPi ( j ) jH i ( j ) a gyorsulásválaszra vonatkozó pedig d 2 H i ( j 2 RCNPAi ( j ) d 2 RCNPi ( j ) H i ( j ) és ezekben i helyettesítéssel Im( RCNP ( j i )) Im( RCNPV ( j i )) Im( RCNPA( j i )) .
5.1
(3.2-33)
(3.2-34)
(3.2-35)
RCNP diagramm aggregátor típusú módusindikátorként való alkalmazása
Az átlagolt RCNP diagram aggregátor típusú módusindikátorként való alkalmazását a befogott rúd EMA mérésein is ellenőriztük. A kísérleti mérések vízesés diagramját és az átlagolt RCNP diagramot mutatjuk be a 3.2-23. ábrán.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
32 RCNP diagram
FRF diagramok
2006_beam_2 All FRFs 1E-01 1E-02 1E-03 1E-04
0.00 7.25 15.25 23.00 31.00 39.00 46.75 54.75 62.50 70.50 78.50 86.25 94.25 102.00 110.00 118.00 125.80 133.80 141.50 149.50 157.50 165.30 173.30 181.00 189.00 197.00
1E-05
Frekvencia [Hz]
3.2-23. ábra Befogott rúd méréseinek diagramja és átlagolt RCNP diagramja (Log. Amplitúdó- Frekv.)
Az RCNP diagram alkalmazása azért előnyös, mert a befogott rúd vizsgálatánál az x irányú gerjesztés és x irányú válaszmérési lokációk FRF diagramjain a ~ 41.5Hz -es (y irányú első hajlítólengési) módus nem detektálható. Ugyanígy a szerkezet középvonalában x irányban gerjesztett és mért FRF diagramokon a ~ 125.8Hz -es (első torziós) módus nem detektálható. Az aggregált RCNP diagramon ezek a módusok is detektálhatók. A 3.2-24. ábrán mutatjuk be a kísérleti mérések átlagolt RCNP diagramját a Nyquist síkon való ábrázolásban. Task:2006_2; Meas.:1; ExPo:0 ExDi:0 RePo:0 ReDi:0 FRF [m/s]/[N] Nyquist plot Measured Fitted GLOB 1.00E-01 5.00E-02
Képzetes rész
0.00E+00 -5.00E-02 -1.00E-01 -1.50E-01 -2.00E-01 -2.50E-01 -3.00E-01
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-3.50E-01
Valós rész
. 3.2-24. ábra Befogott rúd átlagolt RCNP diagramja (Nyquist-plot) A 3.2-24. ábrán megfigyelhető, hogy mind a 6 módus modál köre a Nyquist síkon a / 2 irányba fordult, a kísérleti mérések alapján származtatott RCNP diagram a rezonanciafrekvenciákon kívüli tartományokban zajosak.
5.2
Differenciaformulák alkalmazása aggregált RCNP függvényen
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
33 A sajátértékek kezdeti becslésére szolgáló (6.4-3, 6.4-4) differenciaformulák a lokális FRF függvényen kívül az előző - 6.3 fejezetben - bemutatott RCNP módusindikátor függvényen is alkalmazhatók, akár valamely lokális FRF függvényen, akár az aggregált globális RCNP függvényen. Ehhez (3.2-13) összefüggésben Hˆ ( j ) helyébe lokális esetben egyetlen mért FRF iq
függvény alapján számított RCNP függvényt aggregált esetben pedig az átlagolt RCNP függvényt kell helyettesíteni. Tehát a sajátérték becslés továbbfejlesztett differenciaformulája RCNP diagramra: Nq i q RCNP ( ji q ) (i q ) RCNP ( ji q j ) 1 (3.2-36) i : 2 N q 1 q N q RCNP ( ji q ) RCNP ( ji q j ) A 3.2-25. ábrán a befogott rúd EMA mérései alapján képzett aggregált RCNP diagram továbbfejlesztett differenciaformulákkal való sajátérték és rezidumbecslésének eredményét mutatjuk be. Task:2006_2; Meas.:1; ExPo:0 ExDi:0 RePo:0 ReDi:0 FRF [m/s]/[N] Magnitude-Frequency Measured
Fitted LOC
Amplitúdó
1.00E-01 1.00E-02
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1.00E-03
Frekvencia [Hz] Local Estimates:6 f [Hz] kszi[%] 1. 4.50000E+0 8.35837E+0 2. 3.07500E+1 1.19947E+0 3. 4.12500E+1 1.13326E+0 4. 8.72500E+1 5.51879E-1 5. 1.26000E+2 5.03855E-1 6. 1.71250E+2 2.97307E-1
3.2-25. ábra. Kezdeti becslés továbbfejlesztett differenciaformulákkal aggregált RCNP függvényen. WINMOD A 6.4-1. és 6.4-2. ábrák összehasonlításakor figyelembe kell venni, hogy az RCNP függvény maga is egy deriváltfüggvény, ezért a mérési zaj (logaritmikus ábrázolás) nagyobb hatású a kezdeti becslési formulákon. Az RCNP diagram viszont aggregátorfüggvény, így detektálja az f 3 41.2Hz -es módust, ami a (6.4-1 ábrán látható) lokális FRF diagramon nem detektálható (nincs lokális maximumhelye f 40Hz környezetében). A 6.3 és 6.4 fejezet eredményeit összefoglalva a módusindikációra és a sajátértékek ill. rezídumok kezdeti becslésére a 3.2-9. táblázat szerinti lehetőségeket teremtettük meg. 3.2-9. táblázat Módusindikáció és kezdeti becslési lehetőségek Függvény Lokális FRF függvény Vízesés diagram CMIF függvény Aggregált RCNP
o o o o o o
Módusindikáció Amplitúdómaximum o Nypervel maximum o RCNP maximum Amplitúdómaximum o Szinguláris érték maximum o Amplitúdómaximum o o
Sajátérték becslés Rezidumbecslés Differencia formula o Differenciaformul RCNP közvetlen a becslés 3 dB sávszélesség 3 dB sávszélesség Közvetlen becslés Differenciaformula
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
34 A táblázatban differencia formulával a továbbfejlesztett differenciaformulát jelöltük.
Komplex lineáris görbeillesztés RCNP diagramon
5.3
A komplex lineáris görbeillesztés lokális FRF függvények mellett aggregált RCNP függvényeken is alkalmazható. A 3.2-26. ábrán az aggregált RCNP diagram alapján végzett komplex lineáris görbeillesztés eredményei láthatók.
Task:2006_2; Meas.:1; ExPo:0 ExDi:0 RePo:0 ReDi:0 FRF [m/s]/[N] Magnitude-Frequency Measured
Fitted LOC
1.00E-02
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1.00E-03
0
Amplitúdó
1.00E-01
Frekvencia [Hz] Local Estimates:6 f [Hz] kszi[%] 1. 4.50000E+0 8.35837E+0 2. 3.07500E+1 1.19947E+0 3. 4.12500E+1 1.13326E+0 4. 8.72500E+1 5.51879E-1 5. 1.26000E+2 5.03855E-1 6. 1.71250E+2 2.97307E-1
3.2-26. ábraBefogott rúd. Komplex lineáris görbeillesztés aggregált RCNP függvényen. WINMOD
5.4
Komplex nemlineáris görbeillesztés RCNP diagramon
A komplex nemlineáris görbeillesztés alkalmazási példájaként tekintsük a 3.2-27. ábrát, mely a befogott rúd lokális FRF és aggregált RCNP görbeillesztésének eredményeit mutatják.
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
35 Task:2006_2; Meas.:1; ExPo:0 ExDi:0 RePo:0 ReDi:0 FRF [m/s]/[N] Magnitude-Frequency Measured
Fitted LOC
1.00E-02
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1.00E-03
0
Amplitúdó
1.00E-01
Frekvencia [Hz] Local Estimates:6 f [Hz] kszi[%] 1. 4.77872E+0 5.25464E+0 2. 3.09960E+1 9.99781E-1 3. 4.14661E+1 8.15924E-1 4. 8.74820E+1 4.69200E-1 5. 1.25276E+2 7.87774E-1 6. 1.71481E+2 3.44438E-1
3.2.27. ábra Befogott rúd komplex nemlineáris görbeillesztése aggregált RCNP függvényen. WINMOD Az aggregált RCNP diagramon a - lokális FRF függvényekkel szemben - valamennyi módus indikálható, azokra kezdeti becslés határozható meg és pontos nemlineáris komplex görbeillesztés végezhető el. Továbbfejlesztésként célszerű megvizsgálni, hogy a görbeillesztés Rkl maradó hajlékonyság paramétere o komplex értékűként (esetleg lineáris függvényként) kezelve javít-e a görbeillesztés minőségén o szerkezetdinamikai módosításnál történő további felhasználása javítja-e az SDM pontosságát. -.-
EMA J 03 02 Modális paraméterek becslése frekvenciatartományban
