Kinematika – příklad
Robotika Kinematika – příklad
Vladimír Smutný
1
2
3
Centrum strojového vnímání České vysoké učení technické v Praze
4
5
ROBOTICS: Vladimír Smutný
Slide 1, Page 1
Příklad praktické úlohy 3D měřicí stroj s kamerou, případně kuličkou. 1
2
3
4
5
Příkladem úlohy, kterou byste měli být schopni řešit, je úloha analýzy kinematického řetězce a koncepční návrh jeho kalibrace. Ukážeme si na příkladě, jak by takový proces mohl vypadat. Mějme konkrétní zařízení, měřicí stroj. Při jeho vývoji byste byli pravděpodobně už u jeho konstrukce, můžete ale dostat jeho mechanickou část již ve finálním, neměnném stavu. Nejdříve je třeba nalézt jednotlivé stupně volnosti a zjistit, v jaké jsou vzájemné poloze. Zavedeme si jednotlivé souřadné soustavy např. v souladu s Denavitovou-Hartenbergovou notací. Souběžně kreslíme graf reprezentující kinematické vztahy ve stroji. V tomto grafu uzly reprezentují souřadné soustavy, hrany reprezentují vzájemnou polohu souřadných soustav popsanou například transformační maticí. Je třeba si uvědomit, že konkrétní mechanická soustava může být popsána grafem s libovolným počtem uzlů, protože nám nic nebrání, abychom si zvolili libovolné množství souřadných soustav. Graf je také v principu úplný, protože mezi libovolnými souřadnými systémy existuje transformace polohy. V praxi ale budeme do grafu zakreslovat jen takové hrany, které můžeme způsobem určit:
2. souřadné soustavy jsou pevně spojeny a jejich vzájemnou polohu umíme změřit vhodným externím přístrojem nebo postupem, 3. souřadné soustavy jsou na ramenech spojených řízeným nebo alespoň měřeným kloubem, transformační matice je pak funkcí této kloubové proměnné, 4. vzájemnou polohu souřadných soustav jsme schopni měřit nějak jinak, například kamerovým systémem, 5. vzájemnou polohu souřadných soustav jsme schopni určit jako posloupnost transformací, určenými některými z výše uvedených postupů.
Při úlohách analýzy a kalibrace takového stroje můžeme úlohu polohování objektu nebo měření polohy formulovat jako sestrojení takového grafu, kde mezi uzly = souřadnými soustavami, jejichž vzájemnou polohu máme měřit, je cesta (posloupnost hran), která se skládá jen z hran, jejichž transformace známe. V grafu tak můžeme všechny uzly, které jsou spojeny cestou (v grafové terminologii je taková množina označena jako klika), doplnit na úplný podgraf (třídu ekvivalence), protože 1. souřadné soustavy jsou pevně spojeny a jejich vzájemná relace “mezi souřadnými systémy je známá transformace” je poloha je známa z výkresu, reflexivní, symetrická a tranzitivní.
ROBOTICS: Vladimír Smutný
Slide 2, Page 2
Příklad praktické úlohy
1
C4
C3
C5
2
3 C8 C1
C6
C2
C7
4
5
noduchý vztah k souřádným soustavám C2 a C4. Při volbě souřadných soustav se snažíme volit souřadné soustavy tak, aby vztahy mezi nimi byly jednoduché, osobně dávám přednost raději zvolit více souřadných soustav, mezi C4 Souřadná soustava vedlejšího pojezdu. kterými jsou jasné vztahy. Souřadné soustavy můžeme zvolit C5 Souřadná soustava vedlejšího pojezdu, posunutá. například takto: C1 Souřadná soustava pracovního stolu.
C6 Souřadná soustava kamery nebo dotyku.
C2 Souřadná soustava hlavního pojezdu.
C7 Souřadná soustava měřeného výrobku.
C3 Souřadná soustava hlavního pojezdu, posunutá. Hlavním C8 Souřadná soustava objektu zájmu na měřeném výrobku, důvodem pro zavedení této souřadné soustavy je její jednapř. otvoru obdélníkového tvaru.
ROBOTICS: Vladimír Smutný
Slide 3, Page 3
Příklad praktické úlohy 4/5 C5
111 000 000 111
T56
T45
C6
11 00 00 11
11 00 00 11
C4
T68 T67
T34 T61
C7
11 00 00 11
111 000 000 111
C3 C4
T71 T78
C8
T23
11 00
C3
C5
11 C2 00 111 000 000C1 111
T12
C8 C1
C6
C2
C7
.
Kamera měří v souřadné soustavě C6, předmětem měření jsou body, úsečky, kruhové oblouky, kružnice a jiné geometrické objekty. Cílem měření je poloha těchto objektů v souřadné soustavě C7. Protože měříme v C6 a chceme znát výsledky měření v C7, musíme najít cestu přes známé hrany z C8 do C7. Vztah mezi souřadnými soustavami je dán následujícími transformacemi: T12
T23 T34 T45 T56
T78 Tato transformace je předmětem měření.
Při měření transformace T78 změříme kamerou několik referenčních bodů na výrobku (souřadná soustava C7). Tím určíme T67. Pak změříme několik bodů na hledaném objektu (souřadná soustava C8). Výpočtem určíme T68. Násobením transformačních matic najdeme hledanou transformaci T78. V praxi nás nejčastěji zajímají polohy bodů nebo objektů v souřadném systému výrobku C7, takže nemusíme určovat Transformace je dána pevným posunutím, které lze vypolohu souřadného systému C8, ale tuto skutečnost neumíme číst z výkresu a posuvným kloubem, který je odečítán zachytit konzistentně v uvedeném grafu. snímačem. V příkladu je nutné určit polohu založení výrobku (resp. Transformace je dána pevným posunutím, které lze vy- s ním spojené souřadné soustavy C7) v souřadné soustavě číst z výkresu. stroje C1, tedy transformaci T71. Tu můžeme určit například tak, že změříme několik referenčních bodů na výrobku Transformace je dána posuvným kloubem, jehož poloha v soustavě souřadné stroje C1. Mějme na výrobku referenční je odečítána snímačem. body Pj , jejichž souřadnice Pj7 v souřadném systému výrobku (kamerou, dotyTransformace je dána pevným posunutím, které lze vy- známe například z výkresu výrobku. Změřme j v souřadném systému kovým čidlem,. . .) jejich souřadnice P 1 číst z výkresu. C1. Protože měření kamerou není náplní tohoto předmětu, Transformace je dána posuvným kloubem, jehož poloha nahraďme ho měření se záměrným křížem. Změření těchto je odečítána snímačem. bodů vlastně znamená
T68 Poloha souřSouřadná soustava kamery nebo dotyku. T71 Transformace je dána založením výrobku na pracovní stůl. Na začátku měření je neznámá, ale předpokládá se neměnná po dobu měření. ROBOTICS: Vladimír Smutný
Slide 4, Page 4
Pj1 = T12 (q1j )T23 T34 (q2j )T45 T56 (q3j )Pj6 ,
(1)
kde kloubové souřadnice ~qj určují polohu optiky se záměrným křížem (“chapadla” robotu) v okamžik měření bodu Pj a Pj6
je poloha záměrného kříže v C6, například [0, 0, 0, 1]T . Tedy 0 j 1 j 2 3 j 4 5 j 0 (2) P1 = T2 (q1 )T3 T4 (q2 )T5 T6 (q3 ) = 0 1 0 1 j 0 (3) = T6 (~q ) 0 1 Vzájemný vztah mezi souřadnicemi těchto bodů je pak dán známým vztahem
P17
...
Pj7 = T71 Pj1 , = T71 P11 Pj7
(4) ...
Pj1
.
(5)
Tento vztah použijeme pro výpočet matice T71 . Při řešení soustavy si musíme dát pozor na řešitelnost soustavy. Ta je dána počtem a vzájemnou polohou měřených bodů Pj . Můžeme rozlišit následující situace 1. Bodů je málo, pokud máme méně než tři body, poloha souřadného systému výrobku není dostatečně určena. 2. Body leží na přímce, poloha souřadného systému je nedourčená. 3. Body leží skoro na přímce, poloha souřadného systému je špatně podmíněná.
5. Bodů je dost, nejsou ani přibližně kolineární, nejsou ale změřeny přesně. Nepřesnost může být v souřadnicích Pj7 (nesouhlasí skutečná poloha bodů s výkresem) nebo Pj1 (stroj nezměřil přesně polohy bodů). V praxi je nepřesnost v obou vektorech. Toto je realistická situace, o kterou usilujeme. Více bodů nám přináší více informace, ale není to prostý počet bodů, ale také jejich vzájemná poloha, co rozhoduje o přesnosti odhadu parametrů transformační matice. Druhým problémem, se kterým se musíme vyrovnat, je to, že transformační matice ma vnitřní strukturu, jinými slovy, ačkoliv má 16 prvků, má jen 6 stupňů volnosti. Prvky jsou svázány nelineárními (kvadratickými) podmínkami, neboť levá horní 3x3 podmatice má být rotační. Dále pak poslední řádek je [0, 0, 0, 1]. Principielně chceme, aby kvadratické podmínky byly splněny přesně (v kontextu numerické matematiky) a lineární soustava rovnic byla vyřešena s minimální chybou (například ve smyslu nejmenších čtverců). Řešení takovýchto soustav je netriviální problém, který má ale řadu řešení popsaných v literatuře. Kromě bodů můžeme učit polohu výrobku např. přímkou, rovinou a podobně. Takto se v praxi usazují například strojní součásti. Po určení transformační matice T71 můžeme přímo měřit v souřadnicích výrobku 0 0 (6) P7 = T71 T16 (~q) 0 . 1
4. Bodů je dost, nejsou kolineární, jsou změřeny absolutně přesně. Existuje právě jedno řešení. Takováto situace je Měřit tedy znamená najet záměrným křížem na měřený ale v praxi neuskutečnitelná a kromě toho numerické bod, odečíst kloubové souřadnice ~q a vypočítat souřadnice řešení nám skoro jistě nedá přesný výsledek. bodu v souřadném systému výrobku P7 .
ROBOTICS: Vladimír Smutný
Slide 4, Page 5
Praktické poznámky k návrhu
1
2
3
4
5
Jestliže stavíme zařízení, které má být velmi přesné, často nevystačíme s přesností, která je daná přeností výroby a přesností montáže. Přesnost, s jakou známe vzájemnou polohu dvou smontovaných dílů vzrůstá v následujícím seznamu: 1. Díl nebo díly jsou jen standardně vyrobeny. 2. Styčné plochy dílů jsou specielně upraveny a jejich vzájemná poloha je tolerována, tedy výroba kontroluje přesnost, s jakou jsou plochy vyrobeny. Specální úprava může spočívat v broušení, leštění, kolíkování a podobně. 3. Díly jsou vzájemně tzv. justovány, tedy jejich vzájemná poloha je v rámci vzájemné vůle před závěrečnou fixací (např. před utažením šroubů, zalepením,. . . ) nastavována pomocí přípravků například na kolmost, rovnoběžnost, na správnou vzdálenost a podobně. 4. Po smontování nebo výrobě jsou skutečné rozměry nebo tvary dílů změřeny a v modelu (např. přímé kinematické úloze) jsou použity ne nominální, ale skutečné rozměry. 5. V provozu jsou periodicky prováděny kalibrace rozměrů nebo tvarů, takže skutečné rozměry jsou upřesňovány periodicky. Technik například zkontroluje vzájemné polohy nebo něco dostaví. 6. V provozu jsou online prováděny kalibrace rozměrů nebo tvarů, takže skutečné rozměry jsou upřesňovány ROBOTICS: Vladimír Smutný
periodicky. Stroj sám doměřuje při provozu své parametry např. najetím do referenční polohy a jejím změřením. Operace uvedené pod body ?? a ?? jsou typicky drahé. V minulosti, zhruba do poloviny minulého století nebyly k dispozici jiné metody než vyjmenované v prvních třech bodech. S rozvojem počítačů a řídicích systému bylo možné používat i body ??, ?? a ??. V principu je možné použít i např. jen body ?? a ?? a výrobu velmi zlevnit odstraněním drahých operací. Pro velmi přesná zařízení to ale není možné, protože operace broušení a podobně také zajišťují stálost vzájemné polohy a tak umožňují dotlačit dosaženou přesnost dále. U pevných transformací bývají výkresové hodnoty jen odhadem skutečných parametrů. Přeměření stroje externími pomůckami nebo kalibrace speciálními kalibry a postupy, které jsou standardními součástmi stroje a jeho provozu, udává skutečné hodnoty. Například vyrobit dostatečně přímé vedení pro stroj, který měří s přesností na 1 µm je skoro nemožné. Je ale možné offline změřit skutečný průběh přímosti za pomoci laseru a naměřené hodnoty vložit formou opravné tabulky do kinematického modelu stroje. Jiná možnost je vybavit stroj kalibrem přímosti a provádět pravidelné kalibrace přímosti. Takto naměřené hodnoty pak reflektují i například tepelné deformace stroje, průhyby a podobně. Jestliže jsou kalibrační body např. 100 mm od sebe, mechanika stroje musí zaručit, že nelinearity přímosti budou mezi kalibračními body mnohem menší než požadovaná přesnost. Slide 5, Page 6
