Két példa – lineárisan változó keresztmetszetű rúd húzása Előző dolgozatunkban – melynek címe: Hullámos rúd húzása – szintén egy változó keresztmetszetű, egyenes tengelyű, végein P nagyságú erővel húzott rúd esetét vizs gáltuk. Most két olyan esetet részletezünk, melyekben ismert, zárt alakú képletekkel is, majd numerikusan is kiszámítjuk a rudak megnyúlását. Ettől azt várjuk, hogy nö vekszik a numerikus integrálásba vetett bizalom, ill. csökken az ettől való ódzkodás. 1. Példa: Csonkakúp alakú rúd húzása – [ 1 ] Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!
1. ábra Az 1. ábra jelöléseivel a kör keresztmetszet sugara az x koordináta függvényében:
rx ≡ r ( x ) = r1 +
r2 − r1 ⋅x . l
(1)
A megfelelő keresztmetszeti terület:
A( x) = π ⋅ r2 ( x) ;
(2)
most ( 1 ) és ( 2 ) - vel:
r −r A ( x ) = π ⋅ r1 + 2 1 ⋅ x . l
(3)
A húzófeszültség nagyságának alakulása a rúd hossza mentén: N ( x) P σ ( x) = = . 2 A( x) r −r π ⋅ r1 + 2 1 ⋅ x l
(4)
2
A rúd megnyúlása:
2
σ( x) ∆dx ∆l = ∫ dx = ∫ ε dx = ∫ dx = dx E 0 0 0 l
l
l
=∫ 0
N ( x)
E ⋅ A( x)
l
l
dx = ∫ 0
P dx = E ⋅ A( x)
l
l
1 P P dx , dx = = ⋅∫ ⋅∫ 2 E 0 A( x) E ⋅π 0 r2 − r1 ⋅ x r1 + l tehát: l
P dx P ∆l = ⋅∫ = ⋅I . 2 E ⋅π 0 E ⋅π r2 − r1 ⋅ x r1 + l
(5)
Az integrálás:
r −r d r1 + 2 1 ⋅ x dx l l ; I =∫ = ⋅∫ 2 2 r2 − r1 0 r2 − r1 r2 − r1 0 ⋅ x ⋅ x r1 + r1 + l l l
l
(6)
most az
r −r u = r1 + 2 1 ⋅ x l helyettesítéssel:
1 1 1 1 du −1 2 −1 u 2 I1 = ∫ 2 = − u = = − − = − = u1 u u u1 u2 u1 u1 u2 u1 1 1 r −r = − = 2 1 , r1 r2 r1 ⋅ r2 u2
u
(7)
majd ( 6 ) és ( 7 ) - tel:
I=
l r −r l ⋅ 2 1= , r2 − r1 r1 ⋅ r2 r1 ⋅ r2
ezután ( 5 ) és ( 8 ) - cal:
(8)
3
∆l =
P ⋅l . E ⋅ π ⋅ r1 ⋅ r2
(9)
Az r1 = r2 = r0 speciális esetben azt kapjuk, hogy P ⋅l P ⋅l ∆l ∗ = = , 2 E ⋅ π ⋅ r0 E ⋅ A0
( 9*)
ami az állandó keresztmetszetű húzott rúd megnyúlásának ismert képlete. Most felvesszük az acél anyagú rúdra az alábbi adatokat: ~ P = 10 kN , ~ E = 2,1 · 107 N / cm2, ~ l = 100 cm , ( A1 ) ~ r1 = 1 cm , ~ r2 = 2 cm . Majd ( 9 ) és ( A1 ) - gyel: P ⋅l 10000 N ⋅100 cm 1 ∆l = = = cm ≅ 0,0076 cm , E ⋅ π ⋅ r1 ⋅ r2 2,1⋅107 N ⋅ π ⋅1 cm ⋅ 2 cm 10 ⋅ 2,1⋅ π ⋅ 2 cm 2 tehát:
∆l ≅ 0, 076 mm .
( E1 )
Most ugyanezekkel az adatokkal elvégezzük a numerikus integrálást – 2. ábra.
2. ábra
4
Ennek eredménye: I = 50 ( 1 / cm ) .
(8/1)
A megnyúlás ( 5 ) és ( 8 / 1 ) - gyel: P 10000 N 1 ∆l = ⋅I = ⋅ 50 ⋅ = 0, 007579 cm ≅ 0,076 mm , E ⋅π cm 7 N 2,1 ⋅10 ⋅π cm 2 megegyezésben ( E1 ) - gyel. ☺ A húzófeszültségek nagyságának alakulása ( 4 ) alapján – 3. ábra:
2. ábra Megjegyzések: M1. A rúdban az x = 0 cm koordinátájú végkeresztmetszetben ébred a legnagyobb húzófeszültség, melynek nagysága 3,183 kN / cm2, ami lényegesen kisebb az acél anyagú rúdra megadott 18 kN / cm2 nagyságú arányossági határnál, így számításunk érvényes. M2. Ennél a feladatnál célszerű az x koordinátát a szabad végtől mérni, mert ekkor kényelmesebb a számolás.
5
2. Példa: Változó szélességű téglalap keresztmetszetű rúd központos húzása – [ 2 ] Ehhez tekintsük a 4. ábrát is!
4. ábra A keskenyedő derékszögű négyszög keresztmetszetű, t = konst. vastagságú rudat egy P erő terheli, a 4. ábra szerint. A rúd szélessége lineáris törvény szerint változik a b2 szabad végi mérettől a b1 befogott végi méretig. Meghatározandó a rúd δ megnyúlása. Az 1. ábrához hasonlóan az x koordinátát a rúd szabad végétől mérve a keresztmetszet szélessége az x koordináta függvényében:
b ( x ) = b2 +
b1 − b2 ⋅x . L
( 10 )
A keresztmetszeti terület függvénye:
b −b A ( x ) = t ⋅ b ( x ) = t ⋅ b2 + 1 2 ⋅ x . L
( 11 )
A húzófeszültség függvénye:
σ( x) =
N ( x) A( x)
=
P . b1 − b2 t ⋅ b2 + ⋅ x L
( 12 )
A megnyúlás kifejezése: L
N ( x)
L
P dx P δ=∫ dx = ⋅∫ = ⋅J , b − b E ⋅ A x E ⋅ t E ⋅ t ( ) 2 0 0 b + 1 ⋅x 2 L ahol:
( 13 )
6
b −b d b2 + 1 2 ⋅ x dx L L = L ⋅J ; J =∫ = ⋅∫ 1 b − b2 b1 − b2 b − b b − b 1 2 1 2 0 b + 1 0 ⋅x b2 + ⋅x 2 L L L
L
( 14 )
bevezetve a v új változót:
v = b2 +
b1 − b2 ⋅x ; L
( 15 )
ezzel és ( 14 ) - gyel: v2
J1 = ∫ v1
dv v b = ln v2 − ln v1 = ln 2 = ln 1 ; v v1 b2
( 16 )
most ( 14 ) és ( 16 ) - tal:
J=
L b ⋅ ln 1 , b1 − b2 b2
( 17 )
majd ( 13 ) és ( 17 ) - tel:
δ=
P L b ⋅ ⋅ ln 1 , E ⋅ t b1 − b2 b2
( 18 )
egyezésben a [ 2 ] - ben megadott végeredménnyel. Adatok: ~ P = 50 kN , ~ E = 2,1 · 107 N / cm2, ~ t = 1 cm ; ~ L = 100 cm , ~ b1 = 10 cm , ~ b2 = 5 cm .
( A2 )
Az alábbiakban először ( 12 ) alapján a húzófeszültség ábráját állítjuk elő – 5. ábra A rúdban a legnagyobb húzófeszültség az x = 0 cm koordinátájú keresztmetszetben ébred, melynek nagysága 10 kN / cm2, ami kisebb, mint a rúd anyagára megadott 18 kN / cm2 arányossági határ. Ezután meghatározzuk a megnyúlást, először ( 18 ) alapján, ( A2 ) - vel is:
7
5. ábra δ=
50000 N 100 cm 10 cm 5 ⋅106 ln 2 ⋅ ⋅ ln = ⋅ ln 2 cm = cm ≅ 0, 033 cm , 7 10 cm − 5 cm 5 cm 5 ⋅ 2,1 ⋅ 10 21 7 N 2,1 ⋅10 ⋅1 cm cm 2
tehát:
δ ≅ 0,33 mm .
( E2 )
Majd ( 14 ) szerint kiszámítjuk a J integrált – 6. ábra:
6. ábra
8
Az áráról leolvashatóan:
J = 13,8629 .
( 14 / 1 )
Most ( 13 ) és ( 14 / 1 ) - gyel: P 50000 N δ= ⋅J = ⋅13,8629 = 0, 033 cm , E ⋅t 7 N ⋅1 cm 2,1 ⋅10 cm 2 tehát: P 50000 N δ= ⋅J = ⋅13,8629 = 0, 033 cm = 0,33 mm , E ⋅t 7 N ⋅1 cm 2,1 ⋅10 cm 2 megegyezésben ( E2 ) - vel. ☺ Ezzel kitűzött feladatainkat megoldottuk. Látjuk, hogy a numerikus integrálás mindkét esetben könnyen és gyorsan szolgáltatta a számszerűen pontos eredményt. A részletesen tárgyalt két feladat közös vonása, hogy ismeretes a zárt alakú képlettel adott megnyúlás - végeredmény. Azt kívántuk megmutatni, hogy a számtalan, sokkal bonyolultabb integranduszhoz tartozó – esetleg zárt alakban meg sem adható – vég eredmények keresésének erőltetése helyett nagyon ajánlható a numerikus integrálás alkalmazása, akár a mindennapi munka szintjén is. Ezt a lehetőséget már az előző dolgozat feladatával kapcsolatban is kihasználtuk. Igaz, ennek előfeltétele egy köny nyen használható szoftver megléte. Az általunk évek óta használt Graph - ról el mondhatjuk, hogy használata viszonylag egyszerűen megtanulható, és korábban reménytelennek tartott feladatok sorát oldottuk meg vele. Erről az érdeklődő Olvasó saját maga is meggyőződhet, honlapunk böngészésével.
Irodalom: [ 1 ] – J. P. Den Hartog: Strength of Materials Dover Publication, Inc., New York, 1977., 5. ~ 6. o. [ 2 ] – S. P. Timoshenko ~ James M. Gere: Mechanics of Materials orosz kiadás: MIR, Moszkva, 1976., 53. o.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2014. február 24.
