GIM9.r aoc b&?
KESTABILAN SISTEM PRODUKSI SEL DENGAN UMPAN BALIK
AIH SALIMAH
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGQR 2001
RINGKASAN AIH SALIMAH. Keslabilaii Sisle~nProduksi Sel dengan Unlpan Balik (Tlie Stnbili(v ofcells Prod~rction Svste~lrsivilli Feedback). Dibinibing oleh ALI KUSNANTO dan TONI BAKHTIAR. Sisteni sel dalain tubu11 makhluk hidup bersel banyak senantiasa berproduksi secara konlinu untuk lllelllpertahankan popula~inya,terntanla pada saal terjadi gangguan yang dapat bempa seralyon sualu penyakit atau mengalami kecelakaan. Pada saat itu sistem sel akan lnelakukan upaya penyembuhan secara alami atau dengan diberi pengamh (umpan balik) dari luar. Sisleli~prodilksi sel dirnodelkan sebagai berikut: N = a(t)N[l-d(t)/ R = -pR +n(t)d(riN. Model lersebut menpatakan laju pernballan banyaknya sel asal (M dan laju pembahan banyaknya sel lilatang (R) dalan~sistem. dengall a(1) adalal~tingkat keluaran sel asal, d(t) adalal~peluang sel asal mengalami proses peinatangan. dan P adalah tingkat keluaran sel matang. Dalani tulisan ini diballas tiga variasi model sistenl produksi sel di atas yalig nienggan~barka~~ keterlibalan unlpan balik yang berbeda di dalan~nya.Dengan melakukan analisis kenabilan pada niodel yang terbenluk, dapat dilillat tingkah laku sistem sel ketika terjadi gangyan dengan atau tanpa melibackan umpan balik lertentu. Dari analisis yang dilakukan, dapal dituliskan balnva dengan keterlibatan umpan balik jangka pendek sistem akan nlanlpu bertallan bila terjadi gangguan. Begitu jnga dengan keterlibatan umpan balik jangka panjang yang dapat membantu mempertahankan keberadaan sistem pada kondisi lertenlu. Sedangka~l tanpa keterlibalan umpan balik, sisteln tidak niainpu mempertal~ankankeberadaannya.
KESTABILAN SISTEM PRODUKSI SEL DENGAN UMPAN BALIK
AIH SALIMAH
Skripsi sebagai salall satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Maten~atika
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2001
Judul Nama NRP
: Kestabilan Sistem Produksi Sel dengan Umpan Bdik : Aih Salimah : GO5496015
Me~lyelujui,
Pe~uibi~~ibing I
Tanggal Lulus: 19 April 2001
Pembimbing I1
Penulis dilahirkan di Cianjur pada tanggal 7 Febmari 1978 sebagai anak keelnpat dari enam bersaudara, ayah bernama Adin Adnludin dan ibu bernama Hoiriyah. Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar pada tahun 1990 di SD Negeri Bojongsari. sekolah lanjutan tingkat pertanla tallun 1993 di SMF' Negeri Sukaresmi, dan sekolah lanjutan tingkat atas taliu~l 1996 di SMA Negeri Cipanas. Tahun 1996 pennlis lulus seleksi ~uasukIPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) di jumsan matematika, Fakultas Matenlatika dan Ilmu Pengetahuan Alan1
PRAKATA Puji d a ~syukur i penulis panjatkan kepada Allah SWT alas segala karunia-Nya sehingga karya ilniial~ ini dapal diselesaikan. Karya itmiall ini ~nerupakanl~asilstudi pustaka dengall judul Kestabilan Sisle~n Produksi Sel dengao Un~panBalik. Terima kasili penulis sa~npaikankepada berbagai pillak yang telah ~nelnbanlupenyelesaian kana ilmiah ini, alilara lain Bapak Drs. Ali Kusnanlo M.Si. dan Bapak Ir. Toni Bakl~liarM.Sc. selaku pelnbimbing I dan pe~nbiinbingI1 yang dengan sabar llle~nbi~libing penulis liingga karya il~iiial~ ini selesai. Di sali~pil~g ilu lerinla kasilljnga disalnpaikan kepada ibu, kakak dan seluruh keluarga alas segala doa d;ln kasih saylngnya. serla kepada rekan-rekan ~liaten~atika 33, leman-teman di BZ. dan senula pil~akgang telah i ~ l e ~ i b a ~diet lua ~penyelesaian i~ karya iliniah ini. Senloga karya ilniiah ini dapat bennanfaat. Bogor. April LOO1 Aih Soli111nl7
DAFTAR GAMBAR
1.
Struktur model sistem produksi sel
Halaman 4
2 . Bentuk kestabilan titik tetap pada model I ...................................................................
7
3 . Bentuk kestabilan titik tetap pada model 2 ....................................................................
8
4 . Bentuk kestabilan titik tetap pada model 3 untuk kasus $ ( N o )
Bentuk kestabilan titik tetap padamodel 3 untuk kasus $ (Na)>2PR .......................................
9
DAPTAR IS1
PENDAHULUAN Latar Belakang ...................................................................................................... Tujuan Peuulisan .....................................................................................................
1 1
TINJAUAN PUSTAKA Sisle~nPersa~naanDiferensial Mandi Definisi Tilik Teta Bidang Fas Pelinearan.. ......................................................................................................... Analisis Kestabilan Titik Teta '
MODEL SISTEM PRODUKSI SEL Asun~sidan Notasi.. ............................................................................................... Pcnp~sunanModcl ................................................................................................
.4 ..4
PEMBAHASAN Model 1.............................................................................................................. Model 2.. .............................................................................................................. Model
.6 7
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................
10
PENDAHULUAN berkurangnya jumlah sel matang pada sistein tersebut. Dalam tulisan ini akan dipelajari dua Di dalaln tubul~mahluk hidup bersel banyak macam umpan balik, yaitu: terdapat bejuta-juta set yang mempunyai pennan 1. Umpan balik jangka panjang, yakni sistem sel tertentu. Scl-sel tersebut senantiasa n~elakukan bempaya menyelidiki gangyan pada sel peinban~an populasinya secara kontinu. Untuk matang serla menycsuaikan tingkat produksi selanjutnya kita nlenyebut proses ini sebagai sistem sel asal dan sel prekursor. Dengan kata lain, produksi sel. sistein sel mengatur keberadaan ketiga Dalam kehidupan sel, ada subpopulasi sel subpopulasinya. tcrbanyak yang mcrupakan sel primitif dan disebut 2. Umpan balik jangka pendek, yakni siste~lisel sel asal (stel?! cell). Sel ini selalu memnbelah untuk akan menghentikan atau il~enun~nkan produksi mcnghasilkan sel asal bam clan sel prekursor sel prekursor bila banyaknya sel asal menurun. @recl~rsor ceN). Setelah mencapai tingkat Dala~n ha1 ini siste~li sel hanya mengatur kede~vasaantertentu, sel prekursor akan menjadi banyaknya sel asal dan sel prekursor taupa sel matang (nmfzire cell) yang tidak mempunyai memperllatikan keberadaan sel matang. kemanipuan untuk membelah lagi (Kiinme1,1986). Dengan memnperl~atikankedua umpan balik di Sel matang akan metaksanakan peranannya dalam atas, dapat dibentuk model matemalika dari sistem kehidupan organisme sampai sel tersebut inati dan produksi sel, di niana setiap variasi model kcluar dari tubuh organisme. inenggambarkan unipan balik apa yang dilibalkan Pada setiap keadaan sistem sel selalu dalam sistem. Dengan model tersebut dapat meinpertahaukan jumlall sel matangnya, termasuk dilakukan analisis untuk melil~at tingkal~ laku saat terjadi gangguan. Gangguan di sini dapat sistem saat terjadi gangguan dan melil~atpengamh berupa serangan suatu penyakit atau kecelakaan ulllpan balik terl~adapperilaku sistem, yaitu dapat yaiig akan nleiuaksa sistem sel untuk melakukaii lnelil~at kestabilan yang terjadi ketika sistem upaya-upaya denii menjaga kelangsungan ~uelibalkanumpan balikjangka pendek atau ulnpan hidupnya. Mempelajari upaya tersebut berarti kita balik jangka panjang. i~~cmpelajari urnpan balik (feedback) pada sistein sel, karena urnpan balik adalah suatu pengamli Tujuan Penulisan yang diberikan pada s i s t e i ~sel ~ agar tejadi proses produksi atau penye~llbulian yang dil~arapkan Tujuan penulisan karya ilinial~iui adalah: untuk mcujaga kelestariannya. Proses pengobatan 1. Mempelajari model sistem produksi sel. atau penibcrian e n z i i ~terlentu ~ rnempakan contoll 2. Menentukan kestabilan sistem. uinpan balik yang diberikan dari luar. Dalam 3. Mempelajari pengamll umpan balik terhadap peilibei~lukan model, didefinisikan bahwa kestabilan sistem. gnugguan pada sistem sel dianggap sebagai
TINJAUAN PUSTAKA Sistem Persamaan Diferensiat Mandiri
(aufo17omous) kareua tidak memuat t secara eksplisil di dalam~iya. [~~erl~mlst, 19901
Pandang sistern persamaan diferensial (SPD) berikut: f = f (s,y ) (2.1.1) 2.1 Dcfinisi Titik Tetap f adalab fungsi konlinu bernilai real dari x dail y, dan mempunyai turuilan parsial kontinu. SPD Diberikall SPD lak lillier (2.1.1) discbut persaillaan diferensial i i ~ a ~ ~ d i r i x=flx): R+rC (2.2.1) adalah bilangan real bcrdillicnsi 11. deugau
Suatu titik x yang ~ne~nenulliXx)=O disebut titik kritis atau titik tetap. Sedangkan senlua titik lain yang bukan n~erupakantitik tetap disebut titik biasa. [Verllulst, 19901 Scllingga SPD (2.5.1) dapat ditulis dalan~bentuk: Bidang Fase
t
Diberikan SPD berikut:
Solusi SPD (2.4.1) ~nen~bentuksuatu kuwa berdilnensi tiga ( t , x, y ) . Akan tetapi karena secara eksplisit t tidak ada dala~nsistem tersebut, maka setiap solusi sistenl (2.4.1) untuk to < t < t , membentuk suatu kuwa di bidang (x,y). Jelasnya, jika I bergerak dari to ke tl, gugus titik-titik ( x ( l ) , y ( t ) ) membentuk suatu kurva di bidang (x,y), kunla ini disebut orbit (trajectory) dan bidang ( x a ) disebut bidang fase dari solusi tersebut. [Hasibuan, 19861 Pelinearan Anggap SPD berikut tak linear :
Atau dapat dituliskan sebagai:
Dew.
z
.[
:I
x-x
Y -Y Karena suku g(2) pada sisteln (2.5.2) sangat kecil dibandingkan suku linear J Z di sekitar titik tetap, nlaka sislen~ (2.5.2) dapat dianggap sebagai llan~piranyang ruemenuhi siste~ntak linear (2.5.1). [Rindengan, 19991 Malriks J untuk sistenl (2.5.2) ~nerupakan matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik ( 2 , F ) dan didelinisikan sebagai: J = ~f(?) = ~f(x) ;,,I
Fungsi fdan g ~nelnpunyaiturunan parsial kontinu di 521. Berikut ini akan dilakukan pelinearan terhadap SPD (2.5.1). Perhatikan unian Taylor di sekitar titik tetap ( ? , j ) berikut:
+- T(?,3)
(y-,$) + T, ( x ,y ) ,
ay
Bentuk 2 = J Z disebut pelinearan dari persamaan (2.5.1). Unluk SPD tak linear dua dimensi, J adalah ~nalriksberordo 2s2. Nilai eigen dari J diperoleh dengan lnenyelesaikan persalnaan karakteristik (2.5.3) c(1) = d e l ( ~ - hl) = 0 . Misalkan J adalah lmlatriks segi berordo 2x2 dengan elemen-elcmennya sbb:
-
Dengan
rli ( x .Y ) (..v)->(.C..C) ( ( x - ?) J (, -
lim
+
-
J lne~nenullipersamaan:
=o
untuk i= 1,2. Karena f (?,,$) dan g(?, ,$) mnerupakan tilik tetap SPD (2.5.1), ~uakaberlaku:
(2.5.4)
Aualisis Kestabilan Titik Tetal: Nilai eigen pang diperolel~ dari persalnaan (2.5.4) lergantung dari nilai T~ 4 6 . Kasus 1.z2 -46 >O Nilai eigeli yang diperoleh adalah real dan berbeda XI # 12, sehingga solusi umumX(t) me~~ienul~i x(!)=c I ~ ~ , e+h "~ ~ 1 ~ ~ e ~ l(2.6.1) ~ dengan CI dan cz serta vl dan v2 adalah konstanta serta veklor eigen gang bersesuaian de~igan masing-masing nilai eigennya. Kestabilan titik letap rncmpu~~yai tiga sifat. yaitu: 1. Nilai eigen negaliC (hl
Kasus 3. 2 -46 < 0. ~. Nilai eigen yang diperoleh adalah idlai eigen komplek;. Misalkan nilai eigen tersebut adalah h = a+ib, dengan a dan b adalab bilangan real dan b>O. Sehingga sisteninya dapat diuliskan sehapni. ---o--. ~
~
I;[ ];[I: = b: [
x=ax+by atan . (2.6.3) y=-bx+ay. Ddaln kwrdinat Polar, x dan Y dapat din~atakan Y sebagai x = rcos 0 , y = r s i n Q, dan tan8 = -
-
sel~inggadiperoleh r2 =r2+ y2 . (2.6.4) Tumnan persamaan (2.6.4) terl~adap r dapat t+m dituliskan sebagai stabil. 2ri. = 2x.t + 2yL 2. Nilai eigen positif (h+O dan h2>0). Dengan =ri.+y~ (2.6.5) ~nenggunakan persalllaan (2.6.1) diperoleh lim X(t) = w , sel~ingga ritik tetap bcrsifat Dengan ~nensubstitusikan persaniaan (2.6.3) ke I-*m dalamnya, diperolel~ lidak st;~bil. ri.=a(x 2 + y 2 ) = o r 2 3. Nilai eigen berbeda tanda (hl
0 . Dengan kata 1+m
lain, x(t) akan nienuju no1 sepanjang vektor v, dan lnenuju tak l~inggasepanjang vcktor vz. Titik tetap ini adalah titik sadel yang bersifat lidak stabil. Kasus 2. z2 -46 = 0 Nilai eigen yang diperoleh adalah real ganda Z
h, = h 2 = h = 2' mnemenuhi
x,(I) =
sehingga solnsi uInunlnya
danX, (I) = c2(11~~ +i12)ehi X(1) =x(l)+,Y2(l) . (2.6.2) Kestabilan titik tetap mempunyai dua sifat, yaitu: 1. Nilai eigen negatif (hl
x2 sec2(Q)i=xj-y;(2.6.7) Dengan mensubstitnsikan persalnaan (2.6.3) dan r 2 = x 2 sec2(Q) ke dalaln persaniaan (2.6.7) diperolel~ r 2 8' =-b(x2 + y 2 ) = -br2 Q=-b sel~ingga Q(t)= -bt +Q(0) (2.6.8) Dari persamaan (2.6.6) dau persalnaan (2.6.8) terdapat tiga kasns yang mnngkin terjadi pada titik tetap, tergantnng pada nilai a dan b. Kasus yang lnungkin itu ialah: 1. a
salnaan (2.6.8) akan berkurang jika b>O dsn I-4m bertanbah jika bO dan h2>O). Dengall dengan aral~gerak searah jamln jam bila b>O mengynakan persamaan (2.6.2) diperolel~ dan berlawanan arah janiln jam bila bO. Pada kasns ini, r pada persa~~iaan (2.6.6) , 4.m . ~ ~ i e ~ ~ i e nlim u l ~r(t) i = on, dan O(t) pada tidak stabil I+m
persalnaan (2.6.8) akan berkurang jika b>O dan bertanibah jika bO dan berlawanan arali j a m jam bila b
berkurang jika b>O atau berla~nbal~ jika b.;O. Gerak orbit ~nembentuksuatu lingkaran. Titik telap tersebut bersifat stabil netral dengan gerak searall jaw11 jam bila b>O dan berlawanan arah jam111jam bila b
MODEL SISTEM PRODUKSI SEL Asumsi &an Notasi
Penyusunan Model
Model umum sistem produksi sel dibentuk Berdasarkan asumsi-asumsi di atas. maka berdasarkan asumsi-asu~nsiberikut ini: sluklur n~odel sisle~n produksi sel dapat I. Dina~nika perke~nbangbiakan sel asal diga~nbarkansebagai berikul: digambarkan sebagai suatu siklus yang terdiri dari dua iase. yaitu iase aktif dan Case pasif. Pada iase aktif siste~nsel nlel'akukan siutesis protein. persiapan dan mitosis. Sedangkau pada Case pasif sisleni sel berada pada keadaan istiral~atdan pertu~l~buhan awal. Lanlanya sel berada pada iase aktif sangat singkat, sel~ingga dianggap nol. 2. Variasi n~odelumum dibuat dengan ~nengubal~ fungsi (4yaitu peluang pembahan sel asal dan (a) yaitu tingkat keluaran sel asal dari iase pasii. 3. Seliap sel asal, dalau sekali perubalian ~nengllasilkan sebanyak 1 sel matang dala~n waklu yang sangat singkat (dianggap nol). 4. Tingkal keluaran sel Iliatang dari sistem sel adalalr p. Misalkau N(t) ~nerupakanbanyaknya sel asal pada fasc pasif. R(t) adalali banyaknya sel matang. P(r) adalal~banyaknya sel asal pada Case aktif, dan L;t,ju Perubal~an Banyalinya Sel Asal C(1) bauyaknya sel prekursor dalaln sislem sel. Terhatlap Walitu. Pewballan banyaknya sel asal Kehidupan sel di~uulaidari keadaan enibrio, yaitu dala~n sistem sel secara matem:i~!s dapat scl asal pada iase pasif. Dala~nfase pasii sel dinpatakan sebagai: ~nelakukanistirailat dan ~nengalamipertu~i~buhan ?J' = - a ( t ) ~ ( l +2[1-d(l)]a(l)~'(l). ) (3.2.1) awal uutuk ~lle~llpersiapkanCase berikutnya. [Kimmel, 19861 Setelall itu sel enibrio tadi dapat bembah nlenjadi Model tersebut menpatakan laju pembahall sel muda (sel prekursor) dengan peluaug banyaknya sel asal terl~adap waktu. a (r) dan d(t) perubahannya d(t) atau menuju Case aktif untuk adalah faktor pengatur bagi model, masing-masing melakukan ~uitosis dengan peluang (1-d(t)), di mana setiap satu sel akan men~belah~nenjadidua mel~yatakantingkal keluaran sel asal dari fase pasii sel e~nbriobam yang nantinya akan masuk kenlbali dan peluang diferensiasi scl asal menjadi sel ke lase aktif. Senlentara itu sel prekursor akan prekursor. sehingga (1-d(t)) adalah peluang sel asel menjadi sel nlatang yang siap ~nelaksanakan tidak tcrdiferensiasi. Inpot sel asal dari Case aktif mempakan peranannya dalani tubul~makbluk liidup sampai sel perkalian dari tiga komponen. yaitu (I-d(t)), a (t), lcrscbul mati. dan A'(1). Ketiga kompo~lentersebut mempengaruhi
bai~yaknyasel asal sejak sebelum fase aktif. Output sel asal dari fase pasif merupakan perkalian N(t) dengan a ( I ) .
penurunan tersebnt maka tingkat diferensiasinya juga akan menurun. Hal ini sesuai dengan definisi umpan balik jangka pendek. Jelas bal~wa pada inodel 1 sistem melibatkan nmpan balik jangka pendek. Tingkat diferensiasi yang menurun akan menyebabkan sel asal pada fase aktif meningkat, yang berarti juga meningkatkan banyaknya sel asal pada rase pasif. Kemudian tejadi proses sebaliknya, begitu seterusnya. Salah satu contoh untuk model 1 adalah siste~n sel darah merah sbb: ~ ( 1=) -cru(l) + c - " ( ' - ~ ) . [Kii~ullel,19861 dengan u(t) menyatakan banyaknya sel darah merah matang pada sistem.
Laju Perubahan Banyaknya Sel Matang Terl~adap Waktu. Perubahan banyaknya sel matang dipengaruhi oleh tingkat keluaran sel iliatang p dan faktor pengatur d(1). Model mateinatis bagi banyaknya sel matang sama seperti l~alnyapada iuodel banyaknya set asal, model ini pun inerupakan selisih dari input dan output sel matang. Input sel matang merupakan perkalian dari a ( I ) , d(f),dan N(1) yang sekaliys 111empakan input bagi sel prekursor. Sedangkan output sel matang adalal~ perkalian lingkat keluaran sel matang dengan banyaknya sel matang itu sendiri. Sehingga i~todelbagi banyaknya sel matang dapat Model 2 (Tanpa Keterlibatan Urnpan Balilc). dinyatakan dalam bentuk: Model 2 disusun berdasarkan asumsi berikut ini: R = -pR(l) +Aa(t)d(I)N(l) (3.2.2) d ( f )= s ( R ) Dengan menggabungkan persamaan (3.2.1) a(1)= h(R). dan (3.2.2), maka diperolel~inodel siste~nproduksi Fungsi-fungsi f dan g adalah fungsi bernilai real sel sebagai berikut: positif yang kontinu dan terturunkan serta N = - a ( t ) ~ ( t ) + 2 [-1d ( t ) b ( t ) ~ ( t ) memenuld: (3.2.3) h(~)=h.>~, h(m)=O, h' (R)O. R = -pR(I) + Aa(t)d(t)N(t) g(O)=l,g(m)=O, g' (N)0 ,h(m)=O, h'(R)O. Model 3 (Melibatltan Urnpan Balik Janglca ~ ( 0=)0, g(m)=l, g' (N)>O, N>O. Panjangf. Asulusi yang digunakan untuk Dari asuinsi tersebnt dapat dipahami bal~wa meiubentuk model 3 adalah: banyaknya scl matang akan rnempengaruhi tingkat d ( t ) = g ( R ) keluaran sel asal pada fase pasif. Pada akhimya a(1)= h ( N ) akan meinpengaruld tingkat diferensiasi sel asal menjadi sel prekursor. Artinya ketika banyaknya Di111ana fungsi g dan h adalah fungsi bernilai real scl matang menurun, siste111 akan menaikkan positif yang kontinu dan terturunkan serta tiugkat keluaran sel asal, yang berarti sisteil~juga memenuhi kriteria berikut: menurunkan banyaknya sel asal. Dengan h(O)=h'>O,h(m)=O. h' (R)0.
g(O)=l, g(m)=O, g' (N) 0 u n t u k N< N o + ' ( ~ ) < ~ u n l u kNo~ > 4(m)=0. Secara umum, n~odel3 nlempakan kebalikan dari model 1, yakni ada keterlibatan urnpan balik
jangka panjang di dalamnya. Banyaknya sel matang yang n m w u n ~nenyebabkan tingkat diferensiasinya meningkat, hal ini jugs akan ~nengakibatkanbanyaknya sel asal pada fase pasif penumnan lnenyebabkan kenaikan tingkat keluaran sel yang pada akhirnya meningkatkan j u n ~ l a l sel ~ tnatang. Selanjutnya berlaku proses kebalikannya. Di dalaru model 3, siste~n~nelibatkanumpan balik jangka panjang.
PEMBAHASAN Berdasarkan asnmsi-asumsi yang digunakan N = [l-2g(N)]Nh(R) (4.1.2) dalaln bab sebelunmnya, rnodel yang diperolch R = -PR + Ng(N)h(R) berbentuk persalnaan diferensial biasa tak linear (PDBTL). Model umum dapat dituliskan ke~nbali Titik tetap rnodel 1 diperoleh dengan menolkan persaluaan (4.1.2), sbb: ruenjadi: 1) Untuk N = 0 , N = cr([)N[l-2d(i)] ~naka11- 2g(N)]Nh(R) = 0 R = -pR +a(t)d(r)N (4.1.1) Nh(R) = 0 atau (1-2g(N)) = 0. Salali satu contoll untuk 111ode1di atas adalal~ mengakibatkan perubahan bentuk @rolijerosi) sel anak. Menurut Nl = 0 atau ~ ~ = g - ~ ( l / 2 ) . Macdonald (1971). rata-rata banyaknya sel anak 2) Dan untuk R = 0 , yang telah melewati proses mitosis sela~naselang dengan mensubstitusikan N = 0, diperole11R = 0. waktu t + dt adalal~: Dan dengan mensubstitusikan NZ= g-'(112) kNe1-'d[ . diperoleh: A-1 -p~~+g-~(l/2).112.h(~2) =0 Dengan bR2= g'1(1/2)h(~2)/2 0< k d F 1 , k€ R. scl~ingga A: banyaknya sel anak hasil n~itosis yang Rz= N2lr(Rz)/2P. dihasilkan dari satu sel anak sebeluln proses Diperoleh dua titik tetap yaitu: mitosis (A =2). TI = (0,O) dan Tz =(N2,R2). N: banyaknya sel anak yang mengalami proses Untuk melihat kestabilan titik tetap yang diperoleh, i~~ilosis. diynakan rnatriks J yang niempakan matriks Contoh prolijerosi sel di atas dapat turunan pertama dari model 1 lnelalui pelinearan dianalogikan dengan pertamballan banyaknya sel persarnaan (4.1.2). Pelinearannya sbb: asal pada fase pasif Model 1
~(N)~J(R)+N&?."(R)
Dengan memperliatikan asumsi yang s e ~ r t tercantum i pada digunakan pada lnodel bab sebelumnya, maka 111ode1 umum persamaan (4.1.1) dapat dituliskan dalarn bentuk:
I
(1 -z~(N))~I(R)~S'(N)N;I(R)(1 - 2 g ( ~ ) ) ~ l ; ( ~ )
-P+Ak(N)ir'(R) (,v,n)
per~arlla-tal~a, &an dilillat kestabilan di titik TI, Sellingga di atas untuk (A!R) = (0,O).
Titilc Tetap T, Matriks J untuk titik TI = (0,o) adalah:
I
(1- 2g(0))h(0)-2gt(0)Oh(0)
R
s(o)~~(o)+o~'(o)~(o) -P +OS(O)~'(O) i
Nilai eigen lnatriks J diperolelt dengan rnenggunakan persamaan (2.5.4): diperoleh z = - p + h' dan S = - 17.p. Sel~inggah,,? =1/2[(-p+/?') ( P+ h . )] XI = 11' dan h2=-p. Karena 11 > 0 dan h2< 0, tnaka titik TI tidak stabil.
+
N
(0.0) ..
-
Gmsbar 2. Bentuk kcstabilan tilik ! t a p pad.? model I (Canbur dibunt dengnn rnutlg.gunakan Locbrj: Dimiwlkan filngsi d(l)=l+.Ndun ~ l ) = e .scrta ~ , pammeler P= 0,5).
Titik Tetap T, Matriks J untnk titik tersebut adalah: Z.ll2)htRz) - 2 i ( N 2 ) N 2 h ( R 2 ) ( I - 2 l l Z ) N h(R1) Model 2 I / ~ . ~ ( R ~ ) + N ~ ~ ' ( N-~P )+~I(/ R~ ~N)~ ~ ' ( R ~ ) Dalam ~ncnga~~alisismodel 2, perlu diperhatikan asumsi-asulusi nod el 2 yang telal~ 0 = -2ifNdN2Jlf~d dituliskan pada bab 3. Sel~inggamodel ulnuln pada 1/2./)(Rl + ~ 2 i ( ~ z ) h (-P ~ d+ 1 / 2 . ~ 2 / ; ( ~ 2 ) persa~naan(4.1.1) menjadi: N = N I ~ ( R )( I2g(R)) Dengan ~ite~nperl~atikan asulnsi asu~nsipada model (4.2.1) R = -pR + l?(R)g(R)N 1, dapat disilnpulkan baltwa : Titik tetap inode1 2 diperoleh dengan cara - 2 i ( N 2 ) ~ 2 / 1 ( ~C20) lnenolkan persalnaan (4.2.1). yaitu: 1/2/?(R~) + Nge(N2)h(R2) >0 dan -p+1/2Ar2h'(R2)c 0 . 1) ~ n t u N k =0 Sellingga dapat dituliskan bal~watanda dari elemen NI?(R)(I- 2 g ( ~ = ) )0 ~t~atriks J adalah: Nl7(R)=O atau (1-2g(R))=O. NI = 0 atau ~ ~ = g " ( l l 2 ) . J=[+ - O] 2 ) Dan u n t u k ~= 0 mengakibalkan : -pH + h(R)g(R)N= 0 z CO dan 6 >0. dengan mensubstitusikan N = 0 diperoleh R = 0. Dengan t~iengynakan persalnaan (2.5.41, akau Sedangkan untuk R2 = g"(112) diperoleli dihasilkan XICO dan h2<0. R=- h(R)N Sehingga dapat disitnpulkan balnva titik tetap 28 sang dintaksud adalal~stabil. Dengan kata lain, mengakibalkan N2 = 2f31i2/17(R2). keterlibalan urnpan balik jangka pendek pada Titik tetap yang diperoleh dari perhilungan di siste~n akan dapat melnbantu lnempertal~ankan atas ada dua, yaitu TI = (0.0) dan T2 = (N2R2). sistcln pada keadaan (N2,R2) ketika terjadi Langkal~ sclanjulnya adalah melakukan pelinearan gangyan, atau dapat memulilkan sistem sel ke persamaan (4.2.1), sbb: keadaan sebelu~litcrjadi gangguan. Dengan lnenga~nbil fungsi-fungsi yang mcmenuhi asun~si nod el 1, Inaka kestabilan sisteln sel yang ntelibalkan utnpan balik jangka pendek &pal digatnbarkan sebagai berikut:
=[(l
[
I
I
Titik Tetal) T, Matriks J pada titik (0,O) adalah:
Nilai eigen untuk ~uatriksJ di atas ditentukan dengan ruiiius pada persacnaau (2.5.4). Diperolel~ r = -(11'+P) dan S =h'p. Sehingga nilai eigennya adalah hl=-p dan hz=-l1'. Kedua nilai eigen yang diperoleh adalal~negatif, nlaka semua ini akan inengakibatkan titik TI stabil. ~
~
Titili Tetap T2 Matriks J pada titik tcrsebut adalah:
[
- ZNZYRIIS'IR~)+ NII;(RZJ(~ J ~ l R ~ l s l R 2 ) - P + Y R Z I ~ ( R I J N Z+
.=[ ~ ( R ~ J I-ZP + O
Gntaihr 3. BEnluk keslabilan titik telap padn model 2. (gnmbnr dibud dcngan menggttnakan Locbi/: Dimiwkan fungsi e.adana(,)=c. R,.':scfin P=0.4),
Model 3
, li(RzI(1- 2slR1) =
__-__A
I
I.
-~Nz~(RI)~'(RI) ~ ( R )Z~ ' ( R ~ I N+, ~'(R,).I/zN,
Dalam n~enganalisis niodel 3. perlu diperhatikan keinbali asulusi - asunlsi yang nle~nbangunnya seperti tercantu~u pada bab 3. Sel~inggamodel uiuuln pada persaniaan (4.1.1) beruball menjadi:
fi = O N ) -2s(R)+(N)
R = -PR ++(N)g(R) (4.3.1) Titik tetap diperoleh dengan cara ~nenolkan persalnaan (4.3. I), sbb: 1) Untuk N = 0 4 ( ~ ) ( 1 - 2 g ( ~= ) )0 N, =0 atau RI =g1(1/2). 2) Dan untuk R = 0 Dengan n~ensubstitusikanN =O,diperoleh R=O, L' J ~ e r tdengan i n~ensubstitusikanR]-= g1(1/2) mengakibatkan r < 0 dan 8 < 0. Dengan mendiperoleb substitusikan pertidaksamaan-pertidaksamaan di +(N) = 2pR. atas pada persamaan (2.5.4), menghasilkan hl>O Seliingga N2=2PR2/I~(Nz). dan h2<0. Dapat disin~pulkanbah~vatitik (N2.R2) Seperti telal~dinyatakan pada asu~nsi111odel 3_ tidak stabil. NO lnerupakan inaksi~nuin fungsi 4(.\). Pada Berbeda dengan model 1 yang melibalkan kenyataannya terdapat beberapa kenlungkinan, unipan balik jangka pendek, niodel 2 yang tidak yaitu: melibatkan uinpan balik justru stabil di titik tetap trivial dan tidak stabil di titik tetap nontrivialnya. 1. Jika +(No)<2j3R, dapat dikatakan ball\\za tidak ada titik tetap nontrivial. Dengan kata lain, sisten~akan menuju ke no1 atau 2 .Jika 4(No)=2PR, terdapat satu titik temp tak l~inggaketika terjadi gangyan. Artinya tanpa keterlibatan mupan balik di dalamnya, sistem tak nontrivial yaitu (N,,Z). Kasus tersebut tidak mampu mcmpertahankan kelangsungan hidupnya, diballas dalarn tulisan ini. yang ditandai dellgall punal~nya subpopi~lasisel 3. Jika +(No)>2PR, terdapal dua ritik temp asal dan sel matang. Kestabilan nod el 2 dapat nontrivial yang nlempakan akar dari persalnaan diganibarkan sebagai berikut: $(No)-ZPR=O. Misalkan kedua akar persaulaaii Dengan mnemnperhatikan asumsi-asumsi pada inodel2, maka dapat dituliskan bal~uza: -2Nzh(Rz)g'(Rz)> 0 -P+I~(Rz)gs(R,)Nz< 0 dan /1(R2)/2 > 0. Sellingga tanda dari elemen inatriks Jadalah:
tersebut adalal~ N2, dan Nz2, dengan N2 1
- ?g(R))
N~'(N)~(R)
- -2fiUW) P + NI(N)S'(R)
I
(N,n,
Titili Tetap TI= (0,O) J dievaluasi pada titik tetap (0.0):
I
~(0112~(o))+ 0.1,(0x1-zs(o)) -zpl(o)o.i,(o) li(0) 1+ 0 - p + o.li(o)g,(0)
Gntrtbnr 4. Bcntok kostabilnn titik tetap pada niodel 3 ttntok kvsus HNo)c2PR. (pambar dibuat denpal mcnggunakan Locbi/: Dimisalkan f u n ~ s d(f)=l"dan i a(f)=c". sedu P =
0.5).
Sehingga z =-(h(O)+p dan 6 =h(O)p. Nilai eigen matriks J diperoleh dengan n~enggunakan persalnaan (2.5.3) nleng~lasilkan dan h2=K~~~~~ kedua nilai eigen yang diperolell adalah negatif, ~nakadapat disitnpulkanballwa titik tetap TI stabil.
2. Titik Tzt=(N22rR~)
Dengan n~ennperl~atikanpertaksa~uaan (4.3.2.1) dapat dituliskan bal~watanda dari elelnen tnatriks J adalal~: J =
[- -+1 0
diperolel~z < 0 dan 6 > 0, nlaka nilai eigennya adald~Xt 0 Titili Tetap T2= (N2,R2) unt& nlelillat kestabilannya, ,,,aka dievaluasi pada titik tersebut:
]
]
-P + ~%.h(N2)g'(R?)< 0
Nilai (h(N2) + N2/7(N2))/2 siillla dcngan q(N2)12 yang berdasarkan asutusi pada model 3 adalah negalif untuk N2>No, dan positif unluk N2
. -
R
1. Titili Tz1= (Nzl,Rz) Dengan memperhatikan pertaksamaanpertaksamaan (4.3.2.1) dapal dituliskan ballwa tanda dari elenlen niatriks J adalah:
+
(0,O)
--
-
dcngan r < 0 dan 6 < 0, maka nilai eigell X I < d~m h2>0. Hal tersebut lnengisyaratkan ball~i,atitik T ~ I adalah tilik sadel (tidak stabil).
~ ~ , , 5. , b~ ~~, , t~, , kkedabilall titik tztap pada "~odd3 itnlok kasus +(No)>2pR. (Gunbar dibual denpan menggunakan hcbif, dengall fingsi d(t)=dR dan a(t)=c". seita paranictcr
P=O,l).
