Penyelesaian Penempatan Kutub Umpan Balik Keluaran dengan Matriks Pseudo Invers
Agung Wicaksono, J2A605006, Jurusan Matematika, FSM UNDIP, Semarang, 2012 Abstrak: Metode matriks pseudo invers merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan masalah penempatan kutub umpan balik keluaran. Tujuan penyelesaian masalah penempatan kutub tersebut adalah untuk menstabilkan sistem lup tertutup. Perilaku sistem lup tertutup terlihat dari respon impulsa sistem lup terbuka dengan umpan balik keluaran yang dihasilkan dari matriks pseudo invers. Kata kunci: Sistem LTI, penempatan kutub.
Untuk menyederhanakan bentuk persamaan
1. PENDAHULUAN Matematika
matematika, sebaiknya digunakan notasi
sebagai
ilmu
matriks
โ
vektor.
Sebenarnya,
teoritis,
penyederhanaan
notasi
untuk yang
pengetahuan dasar memegang peranan yang
diperoleh dengan menggunakan operasi
sangat penting dalam perkembangan ilmu
matriks โ vektor, terutama untuk analisis
pengetahuan lain di dunia. Pada paper ini
dan sintesis sistem kontrol modern.
adalah suatu analisis matematika yang di
Suatu teknik yang sudah pasti
aplikasikan dalam matematika terapan,
dalam pembahasan ini adalah penempatan
selanjutnya akan di kembangkan suatu
kutub. Hal ini disebabkan oleh kenyataan
metode
ada
bahwa stabilitas dan dinamika perilaku
sebelumnya di bidang matematika sistem
sistem diatur terutama oleh lokasi kutub
kontrol modern.
sistem lup tertutup. Hasil penting pertama
dari
Dalam
metode yang telah
menurunkan
dalam
model
penempatan
kutub
adalah
membuktikan bahwa ๐ โmasukan, ๐ โ
matematika sistem kontrol modern, akan
keluaran pada sistem ordeโ๐, ๐๐๐(๐, ๐ +
menemukan persamaan diferensial linier
berubah terhadap waktu dan tidak berubah
๐ โ 1) kutub lup tertutup dapat ditetapkan
terhadap waktu yang mungkin terlibat
beberapa
cukup
menetapkan
dan nonlinier dengan parameter yang
rumit
karena
oleh umpan balik keluaran yang disediakan
keanekaragaman
persyaratan. kutub
Prosedur
๐๐๐(๐, ๐๐)
untuk dengan
Banyaknya,
umpan balik keluaran, yang memungkinkan
masukan dan keluaran pada suatu sistem
penempatan kutub selesai untuk orde sistem
yang kompleks dapat mencapai ratusan.
yang lebih tinggi untuk banyaknya masukan
masukan
dan
keluaran.
1
dan keluaran sistem karena ๐๐ > (๐ + ๐ โ
2. PERMASALAHAN
1) pada sistem tersebut.
Solusi
Diberikan sistem persamaan ruang
untuk masalah keluaran
keadaan kontinyu berikut
penempatan kutub, ketika itu ada, adalah umumnya tidak langka. Hal ini terutama
๐ฬ = ๐จ๐ + ๐ฉ๐
berlaku bila ๐๐ > ๐. Dalam kasus ini,
kebebasan dalam memilih matriks umpan
๐ = ๐ช๐
balik keluaran dapat dimanfaatkan untuk optimalisasi.
Biasanya
optimasi
(1)
dimana ๐ฅ adalah vektor keadaan ๐ ร 1, ๐ข
ini
0T
digunakan untuk meminimalkan sensivitas
๐ ร 1 dan ๐ฆ
adalah vektor masukan
0T
adalah vektor keluaran ๐ ร 1 dengan
kutub lup tertutup dari gangguan parameter
๐ > max (๐, ๐). Persamaan (1) merupakan
sistem. Hal ini biasa disebut penempatan kutub yang sulit. Perkiraan penempatan
sistem
kutub dinilai ketika penempatan kutub yang
persamaan polinomial karakteristik, berikut
lup
terbuka
dan
mempunyai
tepat tidak mungkin karena, misalnya, ๐(๐ ) = det(๐ ๐ผ โ ๐ด)
kelebihan relatif order sistem terhadap jumlah masukan dan keluaran, yakni ketika ๐ > ๐๐.
Prosedur
yang
= ๐ ๐ + ๐1 ๐ ๐โ1 + โฏ + ๐๐
melibatkan
penyelesaian persamaan matriks tertentu diberikan
untuk
menentukan
dimana ๐0 , ๐1 , โฆ , ๐๐ adalah vektor koefisien
kutub
karakteristik sistem lup terbuka, dengan
mendekati ke lokasi dengan terlebih dahulu
๐0 = 1. Sistem lup terbuka adalah sistem
menentukan vektor nilai eigen (๐ โ ๐). Solusi
matriks
pseudo
kontrol yang keluarannya tidak diukur atau
invers
diumpan
balikkan
untuk
merupakan pendekatan diferensial yang
dengan
digunakan untuk menemukan umpan balik
kontrol umpan balik keluaran
yang
diperlukan
masalah
umpan
untuk balik
๐ข = โ๐พ๐ฆ + ๐ฃ
keluaran.
pseudo
invers
kesulitan
(3)
perintah ๐ ร 1.
lain rumus yang sederhana, menggunakan jika
hukum
keluaran ๐ ร ๐ dan ๐ฃ adalah vektor
ini
mempunyai beberapa keunggulan, antara
perkiraan
Menetapkan
dimana ๐พ adalah matriks umpan balik
invers dimanfaatkan untuk mencapai tujuan Solusi
masukan.
dibandingkan
penyelesaian
Kemungkinan akan adanya solusi pseudo
optimasi.
(2)
Mensubtitusikan persamaan (3) ke
untuk
persamaan (1) diperoleh sistem lup tertutup,
menyelesaikan dengan tepat.
yaitu :
2
๐ฅฬ = ๐ด๐ฅ + ๐ต(โ๐พ๐ฆ + ๐ฃ)
๐๐ = ๐๐ + (๐๐โ1 ๐0 + ๐๐โ2 ๐1 + โฏ + ๐๐โ1 )๐
dengan ๐ = 1, 2, โฆ , ๐
๐ฅฬ = ๐ด๐ฅ โ ๐ต๐พ๐ฆ + ๐ต๐ฃ
dimana ๐๐ adalah hasil dari matriks ๐ถ๐ด๐โ1 ๐ต
๐ฅฬ = ๐ด๐ฅ โ ๐ต๐พ๐ถ๐ฅ + ๐ต๐ฃ
yang
disusun
menjadi
matriks
baris,
sedangkan ๐ adalah matriks ๐พ yang
๐ฅฬ = (๐ด โ ๐ต๐พ๐ถ)๐ฅ + ๐ต๐ฃ
ditumpuk menjadi matriks kolom.
๏ฟฝ ๐ + ๐ฉ๐ ๐ฬ = ๐จ
(4) Masalah penempatan kutub ini adalah menemukan ๐พ matriks berukuran
Sehingga sistem lup tertutup (4) mempunyai
(8)
persamaan
๐ ร ๐,
polinomial
atau
menemukan
berukuran ๐๐ ร 1
karakterisitk berikut
๐
vektor
sedemikian
rupa
sehingga perubahan koefisien dari nilai
๐(๐ ) = det(๐ ๐ผ โ ๐ด + ๐ต๐พ๐ถ)
awal (vektor koefisien karakteristik lup
= ๐ ๐ + ๐1 ๐ ๐โ1 + โฏ + ๐๐
terbuka)
(5)
๐ = (๐1 ๐2 โฆ ๐๐ )๐
mendekati
kenilai akhir (vektor koefisien karakteristik
dimana ๐0 , ๐1 , โฆ , ๐๐ adalah vektor koefisien
dengan
yang diinginkan) ๐ = (๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ )๐ yang
๐0 = 1. Sistem lup tertutup adalah sistem
๐) , dimana ๐ adalah lamanya perpindahan
karakteristik sistem lup tertutup,
1
dinotasikan sebagai matriks ๐๐๐๐ = ๐ (๐ โ 0T
kontrol berumpan balik.
nilai awal ๐ mendekati nilai akhir ๐ .
Dari persamaan (5) menunjukkan
Perhatikan sistem pada persamaan
adannya keterhubungan vektor koefisien karakteristik
lup
tertutup
๐๐
0T
(4)
dengan
persamaan
polinomial
yang
karakteristik pada persamaan (5) sebagai
bersesuaian dengan koefisien polinomial
sistem lup terbuka dan menerapkan matriks
karateristik lup terbuka ๐๐ , yaitu
umpan balik tambahan ๐ฟ๐พ dimana elemen
๐๐ = ๐๐ + ๐ฟ๐ + โ
๐ (๐พ)
๐ฟ๐พ , yaitu ๐ฟ๐1 , ๐ฟ๐2 , โฆ ๐ฟ๐๐๐ โcukup kecilโ.
(6)
Penerapan ๐ฟ๐พ ini menyebabkan perubahan
kecil dari koefisien ๐ฟ๐1 , ๐ฟ๐2 , โฆ ๐ฟ๐๐ kedalam
dimana
koefisien ๐ฟ๐ = ๏ฟฝ๐๐โ1 ๐ถ๐ต + ๐๐โ2 ๐ถ๐ด๐ต + โฏ + ๐ถ๐ด๐โ1 ๐ต๏ฟฝ๐
polinomial
karakteristik
๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ . Dari persamaan (8), diperoleh
(7)
dengan ๐ = 1, 2, โฆ , ๐
๐๐ + ๐ฟ๐๐ =
Mensubstitusikan persamaan (7) ke
= ๐๐ + (๐๐โ1 ๐0 + ๐๐โ2 ๐1 + โฏ + ๐๐โ1 )๐ฟ๐
persamaan (6)), diperoleh
(9)
dengan ๐ = 1, 2, . . , ๐
3
dimana ๐๐ adalah hasil dari matriks ๐ถ๐ดฬ๐ ๐ต = ๐ถ(๐ด โ ๐ต๐พ๐ถ)๐โ1 ๐ต
๐ฬ = ๐ฝโ (๐) ๐ฬ ๐๐๐ +โ (๐ผ๐๐ โ ๐ฝโ (๐)๐ฝ(๐))โ
yang disusun menjadi
dimana ๐ฝโ (๐) adalah matriks pseudo invers
matriks baris dan ๐ฟ๐ mengandung fungsi non
linier
0T
berorde
menghasilkan
2
atau
elemen
pada
(13)
berukuran ๐๐ ร ๐ dari ๐ฝ(๐), ๐๐๐๐ merupakan
lebih
vektor polinomial karakteristik lup tertutup
matrik
yang dinginkan, โ adalah skalar sebarang, โ
tambahan. Persamaan (9) dapat ditulis
adalah vektor ๐๐ ร 1 sebarang dan
sebagai ๐ฟ๐1 1 ๐1 ๐ฟ๐2 ๏ฟฝ ๏ฟฝ=๏ฟฝ โฎ ๐๐โ1 ๐ฟ๐๐
0 1
๐๐โ2
โฆ โฆ โฎ โฆ
adalah matriks identitas ๐๐ ร ๐๐.
๐0 ๐ ๏ฟฝ ๏ฟฝ 1 ๏ฟฝ ๐ฟ๐ โฎ 1 ๐๐โ1 0 0
Rank
matriks
Jacobian
๐ผ๐๐
๐ฝ(๐)
menentukan keberadaan dan keakuratan dari solusi persamaan (13). Karena rank
(10)
๐ฝ(๐) = rank(๐(๐)๐น(๐)) = rank ๐น(๐), dengan
atau ๐ฟ๐ = ๐(๐)๐น(๐)๐ฟ๐ โก ๐ฝ(๐)๐ฟ๐
๐น(๐) adalah matrik ๐ ร ๐๐ yang terbentuk
dari ๐ถ๐ดฬ๐โ1 ๐ต, yaitu ๐น = (๐0 ๐1 ๐2 โฆ ๐๐โ1 )๐ .
(11)
Karena
perubahan
vektor
koefisien
adalah vektor ๐ ร 1 , ๐(๐) dan
karakteristik dari nilai awal ke nilai akhir,
๐ฝ(๐) โก ๐(๐)๐น(๐) adalah matriks Jacobian
berubah. Akibatnya, rank matriks Jacobian
๐ฟ๐
0T
maka nilai matriks umpan balik ๐พ juga
๐น(๐) adalah matriks ๐ ร ๐ dan ๐ ร ๐๐ dan
tergantung pada nilai matriks ๐พ .
๐ ร ๐๐, dan karena struktur tertentu rank
0T
๐(๐พ) = ๐.
Misalkan
(11)
ini
dapat
๐ ๐ฅ ๐๐
semua full rank(๐พ). Dalam hal ini generik
dinyatakan
rank ๐น(๐) dan ๐ฝ(๐)adalah ๐ dan menulisnya
sebagai persamaan diferensial jika membagi
grank๏ฟฝ๐ฝ(๐)๏ฟฝ =grank๐น(๐) = ๐.
sebagai
kedua sisinya dengan ๐ฟ๐ก, diperoleh ๐ฬ = ๐ฝ(๐)๐ฬ
matriks
akibatnya ๐ฝ(๐) memiliki full rank ๐ untuk
Matriks tambahan ๐ฟ๐ ini pada
persamaan
๐น(๐)
Grank adalah struktur tertentu rank sebuah (12)
matrks
dan
dapat
ditemukan
dengan
memasukkan matriks umpan balik secara 3. SOLUSI
Persamaan
(12)
acak ke sistem, dan menghitung rank ๐น(๐)
yang dihasilkan. Matriks ๐พ ini mungkin
merupakan
membuat ๐น(๐) atau ๐ฝ(๐) kekurangan rank
persamaan differensial yang berhubungan
dan mempunyai solusi ๐๐๐ก๏ฟฝ๐น(๐)๐น ๐ (๐)๏ฟฝ = 0.
antara vektor polinomial karakteristik ke
Jika grank ๐น(๐) = ๐, maka polinomial
vektor umpan balik. ๐ฬ dapat di temukan
hanya terbatas pada titik tertentu, maka
dengan metode pseudo invers, yaitu
๐น(๐)
4
menjadi
kekurangan
rank.
perubahan ๐๐ dengan perubahan masing โ
Menerapkan nilai awal matriks umpan balik ๐พ0
masing elemen matriks umpan balik.
secara sebarang ke sistem untuk
menghasilkan sistem baru yang kemudian Menentukan matrik umpan balik ๐ฬ
efektif mengubah nilai awal koefisien polinomial vektor ๐. Sistem baru ini
pada persamaan (13) akan mengalami
sekarang berbeda kecuali untuk nilai akhir
kesulitan
yang merupakan polinomial karakteristik
karena
vektor ๐ . Pada akhirnya nilai akhir ini
menyebabkan ketidakstabilan dari solusi.
menyebabkan kekurangan rank, itu akan
Untuk
memungkinkan menempatkan kutub secara
didefinisikan koefisien error karakteristik
seperti kecilnya
integrasi
ketidakakuratan
menghindari
masalah
dapat
ini
๐(๐ก), yaitu
tepat. Sebaiknya perhatikan untuk skala awal matriks umpan balik ๐พ0 seperti
๐(๐ก) = ๐๐๐๐ (๐ก) โ ๐(๐ก)
โ๐ต๐พ0 ๐ถโ yang mempunyai orde sama seperti
dimana
sistem atau menyebabkan perubahan yang
karakteristik
tidak signifikan. Dalam hal yang istimewa
karakteristik
โ๐ดโ, jadi
menghitung
๐พ0 tidak melebihi karakteristik
kekurangan rank ๐ฝ(๐) disebabkan oleh
๐๐๐๐ (๐ก)
(14) adalah
yang
koefisien
diinginkan
sebenarnya
vektor
dan ๐(๐ก)
merupakan koefisien yang di peroleh dari
polinomial karakteristik vektor ๐ , dapat
menempatkan satu kutub secara dekat,
diterapkan sebuah perhitungan baru umpan
tetapi
balik, yaitu
belum tepat,
pada
det(๐ ๐ผ โ ๐ด + ๐ต๐พ๐ถ).
letak yang
Sekarang
akan
diinginkan.
matriks
๐ฬ = ๐ฝโ (๐ฬ ๐๐๐ + ๐บ๐)+โ (๐ผ๐๐ โ ๐ฝโ ๐ฝ)โ
Latihan evaluasi ๐ฝ(๐) menggunakan ๐ถ(๐ด โ ๐ต๐พ๐ถ)๐โ1 ๐ต ,
mengakibatkan
keadaan
dimana ๐บ adalah perhitungan pasti positif
dapat
yang
(15)
umpan
tidak
balik
matriks
๐ ร ๐
untuk
perhitungan
kesederhanaan dapat dipilih dari diagonal
kompleksitas eksponensial matrik ๐ ร ๐
matriks dengan elemen โ elemen positif.
dihitung menggunakan persamaan (11),
adalah skalar sebarang. Karena pilihan
diinginkan
dan
karena
๐ฝ(๐)
๐ผ๐๐ adalah matrik identitas ๐๐ ร ๐๐. โ
yakni elemen โ elemen matriks umpan balik
istimewa ๐ฬ ๐๐๐ terbatas. Persamaan (15),
adalah pangkat ๐. Oleh karena itu,
berubah secara bertahap, satu per satu, dan
sebagai sistem pendamping yang dinamis.
mengakibatkan perubahan vektor koefisien
Untuk kesederhanaan notasi ๐ฝ tergantung ๐ pada (15), yakni ๐ฝ โก ๐ฝ(๐).
polinomial karakteristik lup tertutup ๐๐ .
Matriks
Jacobian
dengan
menyusun
kemudian
dihitung
perbandingan
Sebelum mengalikan kedua sisi
dari
persamaan (15) dengan ๐ฝ dan mulai 5
menggunakan persamaan (12), diketahui
mengenai rank matriks Jacobian untuk
persamaan
mencari solusi, dinyatakan teorema berikut.
berikut
dari
penjelasan
sebelumnya Teorema ๐ฬ = ๐ฝ๐ฝโ (๐ฬ ๐๐๐ + ๐บ๐)+โ ๐ฝ(๐ผ๐๐ โ ๐ฝโ ๐ฝ)โ
[3.1].
Perhatikan
sistem
๐ โmasukan, ๐ โkeluaran pada ordeโ๐
(16)
yang diberikan pada persamaan (11) dan
Dibentuk turunan ๐ฬ = ๐ฬ ๐๐๐ โ ๐ฬ , substitusi ๐ฬ
hukum umpan balik keluaran statis pada
ke persamaan (14), diperoleh persamaan
persamaan (12). Kemudian memungkinkan menempatkan kutub โ kutub ๐๐๐(๐, ๐๐)
๐ฬ = โ๐ฝ๐ฝโ ๐บ๐ + (๐ผ๐ โ ๐ฝโ ๐ฝ)๐ฬ ๐๐๐
secara tepat atau mendekati letak yang
โ๏ฟฝโ ๐ฝ(๐ผ๐๐ โ ๐ฝโ ๐ฝ)๏ฟฝโ
diinginkan dengan ketentuan grank (๐ฝ) = ๐.
(17)
๐ ) =๐ ๐๐๐๐๐(๐น) = ๐๐๐๐๐(๐0๐ , ๐1๐ , โฆ ๐๐โ1
Dianggap rank(๐ฝ) = ๐, didapat ๐ฝ๐ฝโ = ๐ผ๐ dan ๐ฝ(๐ผ๐๐ โ ๐ฝโ ๐ฝ) = ๐ฝ โ ๐ฝ๐ฝโ ๐ฝ = 0.
Selanjutnya,
skalar
(17)
(10)
dipilih ๐บ = ๐๐ผ๐ , dimana ๐ adalah konstanta
Contoh :
disederhanakan
Diberikan berikut ini sistem persamaan
positif,
persamaan
dapat
๐ฬ = โ๐๐
(18)
๐(๐ก) = ๐ โ๐๐ก โ ๐0
(19)
ruang keadaan yang berorde 5 dengan
atau
banyaknya masukkan 3 dan keluaran 2. ๐ฬ = ๐จ๐ + ๐ฉ๐
dimana ๐0 = ๐(0) adalah vektor error awal.
Terlihat dari error menurun monoton (yaitu, error
yang
stabil
asimtotik),
๐ = ๐ช๐
dengan dengan
demikian vektor koefisien karakteristik yang diinginkan ditemukan pada keadaan tetap.
Umpan
balik
keluaran
yang
โ0.4 โก 0 โข ๐ด=โข 0 โข 0.2 โฃ 0.25
diperlukan adalah nilai ๐(๐ก) pada keadaan
tetap yang diperoleh dengan menyelesaikan sistem pendamping yang dinamis pada
1 โก2 โข ๐ต = โข0 โข0 โฃ0
persamaan (15) menggunakan Matlab. Dengan memperhatikan keadaan diatas
dan
pembahasan
sebelumnya
6
โ1 1 0 0 0
0.2 0.6 0.1 โ0.5 0 0 0 โ2 0 0.1 0.5 โ1.25 0 โ0.2 0.5 0 0โค 1 โฅโฅ dan โ2โฅ 1โฆ
โ0.2 0.4 โค 0.2 โฅโฅ, 0 โฅ 1 โฆ
1 ๐ถ=๏ฟฝ 1
1 โ1
0 0 0 ๏ฟฝ 0 0 0
Dari hasil simulasi diperoleh sistem lup tertutup stabil dimana semua kutub terletak disebelah kiri sumbu ๐ (bagian real
Diketahui untuk masing โ masing ๐ = 10, ๐ = 1, ๐ = 10, ๐ = 5, ๐ = 3 dan ๐ = 2.
dari
Diinginkan
diinginkan). Nilai eigen yang diinginkan ini
๐ = [10.98
dapat diperoleh menggunakan penempatan
Dengan
menempatkan
44.86
kutub
84.62 73.54
menggunkan
metode
pada
23.8]
nilai
eigen
negatif
sesuai
yang
kutub. Perilaku sistem lup tertutup dapat
matriks
dilihat dari respon impulsa sistem lup
pseudo invers diatas tentukan nilai matriks
terbuka dengan umpan balik keluaran yang
umpan balik keluaran ๐พ , kestabilan sistem,
diperoleh dengan metode matriks pseudo
menggambarkan respon impulsa untuk
invers.
mengetahui perilaku sistem lup terbuka dan lup tertutup.
5. DAFTAR PUSTAKA [1]
4. KESIMPULAN
Ogata, K., 1990, Teknik Kontrol
Automatik (Sistem Pengaturan), jilid 1. Penyelesaian
penempatan
kutub
Erlangga, Jakarta.
sistem umpan balik keluaran ini dapat [2]
ditemukan dengan menggunakan matriks pseudo
invers.
Untuk
Engineering, Third Edition. Prentice Hill,
mengetahui
kestabilan sistem umpan balik ini dapat
[3] Tarokh, M., 2008, A Unified Approach
dikaji melalui nilai eigen dari sistem lup
to Exact, Approximate, Optimized And
tertutup, yaitu dengan mengamati nilai
Decentralized
eigen sistem. Jika bagian real dari nilai
Assignment,
eigen tersebut negatif maka sistem stabil. Metode
matriks
pseudo
Ogata, K., 1997, Modern Control
Output
Feedback
International
Journal
Pole of
Control, Automotion, and Systems, vol. 6, no. 6, pp. 939 โ 947.
invers
merupakan salah satu metode yang dapat
[4] Tarokh, M., 1989, An Approach to Pole
digunakan
Assignment
by
umpan balik keluaran pada sebuah sistem
Decentralized
Output
terkontrol. Dengan metode ini diperoleh
Proceeding, Part D, vol. 136, no. 2, pp. 89 โ
kutub (nilai eigen) sistem lup tertutup
97.
untuk
menentukan
matriks
mendekati letak kutub (nilai eigen) yang diinginkan.
7
Centralized Feedback,
and IEE
