tehát attól függ, hogy x milyen értéket vesz fel. A függvényeket a közgazdaságtanban is a jól ismert derékszögû koordináta-rendszerben ábrázoljuk, ahol a változók nevének megfelelõen általában a vízszintes tengelyre kerül a független vagy magyarázó, a függõlegesre pedig a vízszintes tengelyen mérttõl függõ eredményváltozó. Elsõként azonban mindjárt két, hagyományos közgazdasági ábrázolását tekintve kivételt képzõ függvénnyel ismerkedünk meg. Keresleti és kínálati függvény Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban megpróbálunk függvényekkel jellemezni. A függvényformulák alkalmazása matematikai modellek felírását teszi lehetõvé, melyek segítségével mennyiségi kijelentéseket is tehetünk. Vegyük például egy olyan termék piacát, ahol mind a megvásárolni, mind az eladni kívánt termékmennyiség függvényszerû kapcsolatban van a termék árával. 4 Ha a keresleti függvényt D (a kereslet angolul: demand), a kínálati függvényt S (supply), a keresett és kínált mennyiséget (quantity) rendre QD és QS, a termék árát (price) pedig P betûvel jelöljük, akkor a következõ formulák adódnak: Q D D( P ) illetve Q S S ( P ) , vagyis mind a keresett, mind a kínált mennyiség az ár függvénye. Minél többe kerül egy termék, a vevõk annál kevesebbet hajlandóak megvásárolni, az eladók viszont annál többet szeretnének eladni belõle.5 A keresleti és kínálati összefüggést (persze miután megismertük a függvények pontos formuláját) a matematikai ábrázolás hagyományai szerint egy olyan koordináta-rendszerbe kellene felrajzolnunk, ahol a vízszintes tengelyen az ár mint független, a függõlegesen pedig a mennyiség mint függõ változó szerepel. Ha analógiát keresünk az y f ( x ) és a Q D D( P ) képletek között, akkor világos, hogy y szerepét QD, f-ét D, x-ét pedig P tölti be. Így a szokásos módon az 1. ábrának megfelelõen történne az ábrázolás: minden x, vagyis P értékhez hozzárendelnénk a formula által meghatározott y-t, vagyis Q-t. A XIX. század végén azonban Alfred Marshall a mikroökonómiában más hagyományt teremtett. Az árat, vagyis a független változót Marshall a függõleges, míg a mennyiséget, vagyis a függõ változót a vízszintes tengelyre mérte fel. 6 A 2. ábra a különbözõ árakhoz tartozó keresett és kínált mennyiségek leolvasásának módjára hívja fel az Olvasó figyelmét. (Vegye észre, hogy a szaggatott nyilak iránya itt pont ellentétes, mint az elõzõ, 1. ábrán!) A bal oldalon a keresleti függvény látható: minél magasabb az ár, a vevõk annál kevesebb termék iránt támasztanak keresletet. A jobb oldalon a kínálati függvény szerepel: itt magasabb árhoz, magasabb kínálat tartozik. A mikroökonómiában a keresleti és kínálati függvények 2. ábrán látható, inverz módon történõ ábrázolása tekinthetõ szokásosnak. Ha tehát az inverz keresleti vagy kínálati görbe7 fogalmakat hallja, akkor mindig a 2. ábrán látható függvényekre, s ne valami bonyolult dologra gondoljon!
Természetesen még számos tényezõ felsorolható, amely a keresleti vagy kínálati függvénynek független változója lehet, de itt most mi egyelõre csak egyváltozós függvényekkel foglalkozunk. 5 Az összefüggések irányának magyarázatát természetesen a tankönyvben megtalálja. Tulajdonképpen a teljes mikroökonómia könyv arról szól, hogyan vezethetõ le a piacok keresleti és kínálati oldalán megjelenõ gazdasági szereplõk magatartása azok önmaguk számára legjobb megoldásokat keresõ, vagyis optimalizáló viselkedésébõl. 6 Ennek logikai magyarázatát a késõbbiekben a határhaszon és a határköltség függvények tárgyalásánál ismertetjük. 7 Az elnevezést a matematikai precizitás követeli meg. 4
9
y
y0
y1 y2 y = f(x) x0
x1
x2
x
1. ábra: Egyváltozós függvény hagyományos ábrázolása
P
P
S
P0
P0
P1
P1 P2
D Q0D
Q1D
Q2D
P2
QD
Q2S
Q1S
Q0S
QS
2. ábra: Inverz módon ábrázolt keresleti és kínálati függvény
Most vegyünk egy konkrét példát! Legyen a keresleti függvény Q D 1000 2 P , a kínálati pedig Q S 3P 900 alakú. Ebben a formában mindkét összefüggés a mennyiségre vonatkozóan ad meg valamilyen P-t tartalmazó képletet. Ha függvényeinket ábrázolni szeretnénk, célszerû azokat úgy átrendezni, hogy mindkét esetben P szerepeljen a bal oldalon. Ezzel az átrendezéssel tulajdonképpen az inverz keresleti és kínálati függvény formuláját határozzuk meg.
Q D 1000 2 P
2 P 1000 Q D
P 500 0, 5Q D
10
Q S 3P 900
Q S 900 3P 1 S Q 300 P 3
1 P 300 Q S 3 1 A P 500 0,5Q D illetve a P 300 Q S alakokból kiindulva könnyebben fel tudjuk 3 rajzolni a függvények grafikonját. Látható, hogy mindkét függvény megfelel az y a bx paraméteres formulának, tehát lineáris keresleti és kínálati függvényekkel van dolgunk, ahol a a függõleges tengelymetszet, b pedig a görbe (amely most persze egyenes) meredeksége.8 Az inverz képletek alapján nagyon könnyen meghatározhatók az összetartozó árak és mennyiségek, vagyis a függvények bármely pontja. A görbék felrajzolásához azonban néhány kitüntetett pont megjelölése nyújthatja a legnagyobb segítséget. Vegyük például a keresleti függvényt! A függõleges tengelymetszetet úgy kapjuk, hogy meghatározzuk mekkora lesz P értéke, ha Q helyére nullát írunk. Ez nagyon egyszerû, hiszen a képlet alapján ránézésre megállapítható, hogy 500. (Ez akkor is nyilvánvaló, ha az y a bx paraméteres formula alapján gondolkodunk, hiszen a értéke most 500.) Természetesen a meredekség is leolvasható (ez b 0,5 ), de ennél többet segít a vízszintes tengelymetszet meghatározása. Ez utóbbit úgy kapjuk meg, ha kiszámoljuk, mekkora a kereslet nagysága, ha az ár nulla.
0 500 0,5Q D 0,5Q D 500
Q D 1000
Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a keresleti függvény eredeti formulájába P helyére zérust írunk. (Jól látszik, hogy az eredeti képlet alapján az inverz függvény vízszintes tengelymetszete állapítható meg ránézésre.) Mivel a függvény lineáris, a két tengelymetszetet nyugodtan összeköthetjük vonalzóval, s máris megvan a keresleti görbénk. A keresleti görbe függõleges tengelymetszete azt az árat adja meg, amely mellett már a legkitartóbb vevõ is kilép a piacról, s a kereslet nullára csökken. Ezt az árat rezervációs árnak nevezzük. A vízszintes tengelymetszet ezzel szemben azt mutatja meg, hogy mennyi termékre lenne igény, ha azt ingyen osztogatnák.9 A kínálati függvény függõleges tengelymetszete ugyancsak nyilvánvaló az inverz képlet alapján, a 300 . Ennél alacsonyabb ár esetén a termék gyártóinak nem éri meg egyetlen darab terméket sem elõállítani és piacra vinni. Mivel a függvény meredeksége pozitív, a vízszintes tengelymetszet kívül esik a keresleti és kínálati függvények értelmezési tartományán.10 Célszerû ezért inkább egy másik, értelmezési tartományon belüli pont kijelölése. Határozzuk meg például, hogy milyen ár esetén lesz a kínálat 300 egységnyi.
Mind a gyakorló, mind a vizsgafeladatok nagy részében lineáris keresleti és kínálati függvényekkel találkozunk majd. 9 A keresleti függvény vízszintes tengelymetszete összefügg a termék fogyasztóinak telítõdési pontjával, melyet a segédlet Egyváltozós függvények szélsõ értékei címû fejezetében tárgyalunk. 10 Mind a keresleti, mind a kínálati függvényeket csak nemnegatív árakra és mennyiségekre értelmezzük. 8
11
1 P 300 300 400 3
Az így kapott pontot és a kínálati függvény függõleges tengelymetszetét ugyancsak összeköthetjük vonalzóval, mivel a kínálati görbe is lineáris. A 3. ábra a keresleti és kínálati görbék diagramját mutatja egy koordináta-rendszerben. Az ilyen ábrát hívjuk Marshall-keresztnek. P 600
500
400
300
200
100
0 0
100
200
300
400
500
600
Keresleti görbe
700
800
Kínálati görbe
900
1000
1100 Q D és Q S
3. ábra: A keresleti és a kínálati függvény alakja a konkrét példában
A Marshall-kereszt explicit módon rávilágít arra a pontra, amelyben a piac egyensúlyi állapotba kerül. Ez a két függvény metszéspontja, melynek függõleges és vízszintes koordinátáját ugyancsak megjelöltük a 3. ábrán. Persze egy vonalzóval vagy szabadkézzel elkészített rajz alapján nehéz egyértelmûen meghatározni az egyensúlyi értékeket. A függvények ábrázolása mellett ezért minden esetben végezzünk számításokat is! Elõször is határozzuk meg azt az árat, amely mellett a keresett és a kínált mennyiség megegyezik! QD QS 1000 2 P 3P 900 1900 5 P P e 380
Az így kapott Pe árat egyensúlyi árnak nevezzük. Ezen ár mellett a kereslet és a kínálat egyaránt 240 egységnyi. A Q e 240 értéket egyensúlyi mennyiségnek nevezzük. Q D 1000 2 380 240 Q S 3 380 900 240
Ha az ár nagysága meghaladja az egyensúlyi értéket, akkor a kínált mennyiség nagyobb lesz a keresettnél, vagyis ilyenkor többlet vagy más néven túlkínálat alakul ki a piacon. Ha a termék eladói a kínált termékmennyiség egy részét nem tudják értékesíteni, nagy valószínûséggel csökkenteni fogják a termelést, s ezzel együtt a termék kínálati árát is. Egyensúlyinál
12
magasabb ár, azaz túlkínálat esetén tehát az ár valószínûleg csökkeni fog, vagyis az egyensúlyi ár irányába mozdul el. Egy ilyen szituáció látható a 4. ábra bal oldalán, ahol Pa az aktuális piaci árat jelöli. Ha az ár alacsonyabb az egyensúlyinál, akkor pont fordítva, a keresett mennyiség lesz nagyobb a kínáltnál. Ekkor hiány vagy más néven túlkereslet alakul ki. Az eladók ilyenkor úgy gondolkodnak, hogy több termékre, s ráadásul még egy kicsit magasabb áron is lesz elegendõ vevõjük, ezért az ár valószínûleg emelkedni fog, vagyis ismét az egyensúlyi ár lesz az áralakulás vonzáspontja. Ez látható a 4. ábra jobb oldali részén. A piac modelljében kialakuló egyensúly ezek szerint stabil. Képzeljünk el egy golyót, amely egy gödör alján nyugalomban van. Az 5. ábrán látható, hogy akármilyen irányban mozdítjuk ki golyónkat egyensúlyi helyzetébõl, az mindig visszatalál ebbe a kitüntetett állapotba. A piac modelljének feltevései szerint ilyen az áralakulás is. P
P S
S
Pa Pe
Pe Pa
QD
D Qe
QS
QD
QS
Qe
QD
D QD
4. ábra: Túlkínálat és túlkereslet
5. ábra: Stabil egyensúly
Nézzünk ezek után egy rövid számpéldát a piaci egyensúlytalanság nagyságának és irányának meghatározására! Számoljuk ki, hogy mekkora lenne a kereslet és a kínálat nagysága az elõzõekben használt lineáris függvényekkel jellemezhetõ piacon mondjuk P1 420 és P2 330 nagyságú árak esetén!
13
Q1D 1000 2 420 160 Q1S 3 420 900 360 Q1D Q1S
Q1S Q1D 200 Q1D 1000 2 330 340 Q1S 3 330 900 90 Q1D Q1S
Q1D Q1S 250 420-as ár esetén tehát 200 egységnyi túlkínálat, 330-as árnál pedig 250 egységnyi túlkereslet alakul ki a vizsgált termék piacán. A nem egyensúlyi helyzetek vizsgálata után ismét lépjünk egy kicsit tovább! A legelsõ lábjegyzetben utaltunk arra, hogy a kereslet és kínálat nagysága nemcsak az ártól, hanem még sok egyéb tényezõtõl is függhet. Ilyen lehet például a kereslet esetében az adott termék piacán megjelenõ fogyasztók jövedelme, a kínálat esetében pedig az adott termék elõállításához szükséges erõforrások ára (mondjuk egy igen munkaigényes terméknél a munkaerõé). Ha a fogyasztók jövedelme emelkedik és a termék normál jószág11, akkor minden egyes ár mellett valószínûleg több termék iránt támasztanak keresletet, mint korábban. Ha a termék gyártói magasabb munkabéreket kell, hogy fizessenek, ugyanakkora mennyiséget valószínûleg magasabb áron kínálnak majd. Ha kiválasztunk egy adott árat (Pk), akkor látni fogjuk, hogy az ilyen áron kínált mennyiség korábban, alacsonyabb munkabérek esetén magasabb volt: a kínálat tehát csökkent. A 6. ábra bal oldali része a kereslet megnövekedését, a jobb oldali pedig a kínálat csökkenését mutatja. P
P
S’ S
Pk
D
D’ QD
D QS
6. ábra: A keresleti és a kínálati görbe eltolódása külsõ tényezõk változásának hatására
Látható, hogy a koordináta-rendszerek tengelyein nem tüntettük fel sem a fogyasztók jövedelmét, sem a munkaerõ árát. Ezek a modell szempontjából külsõ adottságok, ún. exogén válA tankönyv 5. fejezetének elolvasása után meg fogja érteni, mit jelent az, hogy egy termék normál jószág, illetve, hogy ezt a kikötést itt miért kellett megtennünk! 11
14
tozók. A keresleti és kínálati görbék az ár és a mennyiség közötti összefüggést mutatják: ha az ár változik, akkor elmozdulunk a keresleti és kínálati görbe mentén. A koordináta-rendszer tengelyein fel nem tüntetett, pontosabban a modellen belül nem kezelt külsõ tényezõk megváltozása ezzel szemben a görbék helyzetét változtatja meg. Nézzünk ismét egy számpéldát! Ehhez egy kicsit módosítjuk az általunk használt keresleti és kínálati függvények alakját. A kereslet és kínálat nagyságát leíró összefüggések rendre legyenek Q D I 2 P illetve Q S 3P PL , ahol a szokásos jelölések mellett I a fogyasztók jövedelmét (income), PL pedig az adott termék gyártói által kifizetendõ munkabéreket (price of labour) jelentse. Látszólag túlhaladtunk a módszertani segédlet elsõ fejezetének hatáskörén: holott a fejezet címe Egyváltozós függvények, úgy tûnik máris kétváltozós keresleti és kétváltozós kínálati függvényekkel kell dolgozunk. Mindjárt látni fogjuk azonban, hogy a probléma megoldása milyen egyszerûen visszavezethetõ egyváltozós függvényekkel való számolásra. Tételezzük fel, hogy kezdetben a fogyasztók jövedelme 1000 pénzegység, a munkabérek nagysága pedig 900 pénzegység volt. Ha ezeket a konstansokat behelyettesítjük az elõzõ bekezdésben megadott keresleti és kínálati függvényekbe, máris a kiinduló formulákat kapjuk, amelyek esetén ráadásul már az egyensúlyi ár és mennyiség értékét is meghatároztuk. Ez tehát a kiinduló állapot. Ezek után tegyük fel, hogy a fogyasztók jövedelme 1200, a munkabérek nagysága pedig 1000 egységre növekedett. Tudjuk, hogy a változások következtében a keresleti függvény jobbra felfelé, a kínálati pedig balra felfelé tolódik. De mi lesz pontosan az új egyensúlyi ár és egyensúlyi mennyiség? Helyettesítsük be most ezeket az értékeket a keresleti és kínálati függvénybe, majd végezzük el a szokásos számításokat! Q D 1200 2 P Q S 3P 1000
Q D Q S 1200 2 P 3P 1000 2200 5P P e 440
Q e 1200 2 440 3 440 1000 320 A piaci egyensúlyi ár tehát 60, az egyensúlyi mennyiség pedig 80 egységgel emelkedett. Ezeket a változását mutatja a 7. ábra is.
15
P 700 600 500 400 300 200 100 0 0
100
200
300
Keresleti görbe
400
500
600
Kínálati görbe
700
800
900
1000
Új keresleti görbe
1100
1200 Q D és Q S
Új kínálati görbe
7. ábra: A keresleti és kínálati függvény eltolódása és az új egyensúly
Elemzésünk során kétféle változót használtunk. Az exogén változók értéke külsõ adottság, vagyis konstans, amely a modellen belül nem változik. A fenti példában ilyen volt a fogyasztók jövedelme és a munkabér. Igaz ugyan, hogy két különbözõ jövedelemmel és munkabérrel is számoltunk, de ezek az értékek nem a modell egyenleteivel való számolás eredményeként változtak a fentieknek megfelelõen. Csak úgy egyszerûen mi mint modellezõk kívülrõl megváltoztattuk azokat, s még csak nem is indokoltuk, hogy miért így módosultak ezek a paraméterek. A másik csoportba azok a változók tartoznak, melyek egyensúlyi értéke a modellen belül alakul ki, vagyis amelyek elemzésére tulajdonképpen a modellt magát létrehoztuk. Ezeket a modell belsõ, vagyis endogén változóinak nevezzük. Ilyenek a piac általunk tanult, legegyszerûbb modelljében az ár és a termék mennyisége. A modell megoldásával pontosan ezeknek a változóknak az értékét határozzuk meg. Ahogy a fentiekben is láthattuk, modellünk az exogén változók különbözõ értékeit feltételezve is „lefuttatható”. Ezen a ponton pedig – a 8. ábra alapján – a modellezés lényege már könnyen érhetõvé válik. A közgazdasági modellek segítségével azt próbáljuk elõrejelezni, hogyan alakul a modell szempontjából endogén gazdasági változók értéke különféle külsõ adottságok, vagyis az exogén gazdasági változók különbözõ értékei esetén.
exogén változók értéke
MODELL
endogén változók értéke
8. ábra: A közgazdasági modellek mûködése
Mindezek után térjünk vissza fejezetünk szûkebb témájához, a közgazdaságtanban leggyakrabban használt egyváltozós függvények bemutatásához!
16
