Kennisbasis. docent wiskunde master

Kennisbasis docent wiskunde master

3 | Kennisbases hbo-masteropleidingen wiskunde

Voorwoord Wat ligt er aan de basis van echte kennis? Ervaring, inzicht, maar vooral ook: samenwerking. Kennis wordt nooit alleen gemaakt. Zo is ook deze Kennisbasis er gekomen. Hierin staat de basiskennis die iedere startbekwame leraar aan het einde van de opleiding minimaal dient te beheersen. Dat begon in 2009 bij de lerarenopleidingen voor het primair en voortgezet onderwijs, voor een groot aantal vakken. Vervolgens zijn de andere lerarenopleidingen aan de slag gegaan om hun eigen kennisbasis te beschrijven. En afgelopen jaar heeft een grote groep docenten van de lerarenopleidingen met veel enthousiasme hard gewerkt aan het beschrijven van deze nieuwe set van kennisbases. Hun concept is weer door inhoudelijke experts (deskundigen per vakgebied) bestudeerd en waar nodig van aanwijzingen voorzien. Met inzet van zoveel betrokken mensen wordt dit eindresultaat breed gedragen. Nu dit product er ligt zullen lerarenopleidingen aan de slag gaan met het gebruik van deze kennisbases in de opleidingen. Al dat werk heeft ook nog iets anders opgeleverd. De auteurs zijn uitgedaagd hun eigen kennis te overzien, te beschrijven en te toetsen aan de expertise van hun collega’s elders in het land. Dat bracht collega’s van diverse instellingen met elkaar in contact. Dat bood gelegenheid om met vakgenoten te discussiëren en daarmee hun eigen expertise aan te scherpen. Hoewel niet in kennisbases uit te drukken mag deze opbrengst beslist niet worden vergeten: ervaring en inzicht groeien zelf ook door samenwerking. Velen uit de sector zijn zo op enigerlei wijze betrokken bij de ontwikkeling en implementatie van de kennisbasis of bij het construeren van de kennistoetsen. Door het harde werk en de grote betrokkenheid van al deze mensen tonen de lerarenopleidingen dat ambitieuze doelstellingen, in combinatie met nauwe samenwerking en kennisuitwisseling, kunnen resulteren in nieuwe kwaliteit: een vaste basis onder goed gedeelde kennis. Een kwaliteitsslag die de nieuwe generatie leraren degelijk zal voorbereiden op hun toekomst als pedagoog, zodat men met recht kan zeggen: Een tien voor de leraar! Ik dank allen die hieraan hebben bijgedragen.

dr. Guusje ter Horst voorzitter HBO-raad

Kennisbases hbo-masteropleidingen wiskunde | 4

Inhoud 1. Algemene inleiding

6

2. Preambule

10

3. Kennisbasis Wiskunde

14

1. Analyse

15

2. Meetkunde

19

3. Algebra en discrete wiskunde

21

4. Statistiek en kansrekening

25

5. Wetenschappelijke grondslagen en ontwikkelingen

25

6. Vakdidactiek

29


1. Algemene inleiding Doelen De voorliggende kennisbasis vormt een systematische beschrijving van de vakinhoudelijke en vakdidactische kennis en vaardigheden waarover studenten beschikken aan het eind van hun hbo-masteropleiding tot bevoegd docent wiskunde in het voorbereidend hoger onderwijs (havo en vwo). Het belangrijkste doel van de kennisbasis is om studenten, lerarenopleiders, verwante opleidingen, het werkveld en de samenleving duidelijkheid te verschaffen over de ‘body of knowledge’. De kennisbasis is verder geschikt als referentiekader voor leerplanontwikkeling, als instrument voor kwaliteitszorg, en desgewenst als inhoudelijk raamwerk voor samenwerking tussen hbo-masteropleidingen.

De algemene inleiding geeft achtergrondinformatie over: t de positionering van de hbo-masteropleidingen leraar vho; t de totstandkoming van de kennisbases binnen het landelijke project Werken aan Kwaliteit (WAK);

t de ijkpunten voor de inhoudelijke keuzes bij de samenstelling van de kennisbases.

Positionering van de hbo-masteropleidingen leraar vho In Nederland bestaan twee routes die leiden naar een bevoegdheid voor het eerstegraads gebied.

t De universitaire route: aansluitend aan het behalen van een Master of Arts/Science volgt een student een eerstegraads opleiding in voltijd. De vakinhoudelijke kennis verwerft de student binnen een wetenschappelijke opleiding. Daarna maakt hij zich (vak)didactische en onderwijskundige kennis eigen tijdens de (meestal eenjarige) universitaire lerarenopleiding.

t De hbo-route: een tweedegraads bevoegde docent volgt, na zijn hbo-bacheloropleiding en meestal na enige jaren werkervaring, een driejarige eerstegraads hbo-masteropleiding in deeltijd. Binnen de hbo-masteropleiding worden vakinhoudelijke, (vak)didactische en onderwijskundige kennis in samenhang verworven. Het geheel van de vakinhoudelijke en vakdidactische kennis van de student is beschreven in de kennisbases voor de bacheloren de masteropleidingen. Beide routes leiden tot hetzelfde civiele effect, namelijk een bevoegdheid voor de bovenbouw van het vho (havo en vwo).

Totstandkoming van de kennisbasis hbo-masteropleidingen leraar VHO De kennisbases van de hbo-masteropleidingen vormen een onderdeel van het project ‘Werken aan Kwaliteit’ (WAK). Dit project is ontstaan als uitwerking van de ‘Kwaliteitsagenda voor het opleiden van leraren 2008-2011’ van toenmalig staatssecretaris Van Bijsterveldt en valt onder verantwoordelijkheid van de HBO-raad. De uitkomsten van het project zijn daarnaast beïnvloed door beleidsmatige ontwikkelingen, zoals het advies ‘Kwaliteitsborging van het eindniveau van aanstaande leraren’ van de Onderwijsraad en de aanbevelingen voor een toekomstbestendig hoger onderwijs van de commissie Veerman.


1 De activiteiten in het WAK-deelproject waren erop gericht om in onderlinge samenwerking de kwaliteit van de vakinhoudelijke en vakdidactische kennis van toekomstige eerstegraadsleraren te versterken. De uitkomsten vormen een gemeenschappelijk kader dat recht doet aan het eigen karakter van hbo-masteropleidingen. Het kader legt een brede, gemeenschappelijke basis vast, maar biedt opleidingen leerplanruimte voor eigen indeling, inkleuring en aanvullingen. Het deelproject ging van start in februari 2010 en heeft kennisbases gerealiseerd voor de volgende schoolvakken:

t Nederlands, Engels, Frans, Duits, Spaans, Fries; t wiskunde, scheikunde, natuurkunde, biologie; t geschiedenis, aardrijkskunde, maatschappijleer, algemene economie, bedrijfseconomie, godsdienst/levensbeschouwing. Alle kennisbases zijn opgezet volgens een gezamenlijke, vaste indeling, die voortbouwt op de indeling van de kennisbases voor de bacheloropleidingen van tweedegraads leraren. Elke kennisbasis benoemt de vakinhoudelijke en vakdidactische domeinen en subdomeinen, licht deze toe, formuleert de bijbehorende indicatoren (eindtermen) voor het masterniveau, en geeft per subdomein voorbeelden van kenmerkende toetsvragen en opdrachten. Elke kennisbasis is samengesteld door een redactieteam bestaande uit lerarenopleiders van alle hogescholen die de betreffende hbo-masteropleiding aanbieden. Een projectleider bewaakte de voortgang en zorgde voor afstemming samen met de voorzitters van de redactieteams en het landelijk overleg van de ADEF-werkgroep hbo-masteropleidingen. Redactieteams hebben een conceptversie van de kennisbasis beschikbaar gesteld voor commentaar door de vakgroepen in de hogescholen. De herziene versie van de kennisbasis is vervolgens ter legitimatie voorgelegd aan een onafhankelijk panel met vertegenwoordigers uit wetenschap, docenten uit het vho en vakverenigingen. De commentaren van de panels zijn verwerkt in de eindversies van de kennisbases. De namen van de leden van het redactieteam en de namen van de leden van het legitimeringspanel staan vermeld bij de kennisbasis. Een geaccordeerd verslag van het gesprek tussen redactieleden en het panel is beschikbaar.

Kaders en bronnen voor de kennisbases Voor een systematische beschrijving van de vakinhoudelijke en vakdidactische kennis en vaardigheden vormt competentie 3 uit de wet Beroepen in het Onderwijs (BiO) het uitgangspunt: de bevoegde leraar vho kan theoretische, methodische en praktische kennis over het schoolvak tijdig en gepast inzetten in beroepspraktijk. De kennisbases geven een overzicht van de vakinhoudelijke en vakdidactische kennisdomeinen in de opleidingen. De gekozen (sub)domeinen weerspiegelen die van de leerinhoud van het vho. Daarnaast bieden ze voldoende aangrijppunten om de ontwikkelingen in de wetenschappelijke discipline een belangrijke plaats te geven in de opleiding. De indicatoren en de voorbeeldvragen en -opdrachten tonen een niveau dat duidelijk uitstijgt boven het niveau van de voorafgaande bacheloropleiding.


Een leraar vho begeleidt leerlingen op weg naar hoger onderwijs. Mede daarom is aandacht voor wetenschap en onderzoek belangrijk in een hbo-masteropleiding. De betekenis ervan vormt een kenmerkend onderscheid met de voorafgaande bacheloropleiding. Er is in de kennisbasis voor gekozen het vakgerichte onderzoek niet in een apart domein onder te brengen. Het doen van vakgericht onderzoek kan immers in elk domein tot uitdrukking komen. Het is de verantwoordelijkheid van een opleiding de plaats van vakgericht onderzoek te expliciteren in het eigen leerplan. De keuze om het domein ‘Wetenschappelijke grondslagen en ontwikkelingen’ op te nemen, benadrukt het belang dat de hbo-masteropleidingen hechten aan kennis van en inzichten in de wijze waarop in het eigen vakgebied aan kennisontwikkeling werd en wordt gedaan. Het doen van onderzoek is evenwel geen doel op zichzelf, maar een middel dat studenten in staat stelt ontwikkelingen in de wetenschappelijke wereld ten aanzien van hun vakgebied te duiden en daaraan als leraar vho binnen het schoolvak betekenis te geven. N.B. Onderzoek in de hbo-masteropleidingen is breder dan het terrein van de eigen discipline. Het betreft ook vraagstukken die betrekking hebben op ontwikkeling en duurzame innovatie in de eigen onderwijspraktijk. De hierbij behorende vormen van onderzoek worden aangeduid als praktijkgericht onderzoek en behoren niet direct tot de vak- en vakdidactische kennisbases. De kennisbases van de hbo-masteropleidingen zijn tot stand gekomen onder invloed van een aantal richtinggevende documenten.

t De wet Beroepen in het Onderwijs (BiO) en de beschrijving daarin van de leraar vho, die in staat is om ‘leerlingen te introduceren in de kennis, principes, onderzoekswijzen en toepassingen van de wetenschappelijke discipline(s) waaraan het schoolvak is gerelateerd.’

t De zeven onderwijscompetenties voor de leraar vho, zoals beschreven door de Stichting Beroepskwaliteit Leraren. De competentiebeschrijvingen plaatsen de vakinhoudelijke en vakdidactische domeinen van de kennisbasis in een context van beroepshandelingen.

t De Dublin-descriptoren, die in Europa worden gehanteerd als kwalificaties voor het niveau van onder meer masteropleidingen. De Dublin-descriptoren impliceren onder meer de noodzaak van kennis van onderzoeksmethoden en kennis van de wetenschapsfilosofische achtergronden van het vakgebied.

t De kennisbasis van de voorafgaande bacheloropleiding, die de voorkennis definieert van de instromende studenten in de masteropleiding.

t De eindtermen van het betreffende schoolvak in havo en vwo, die onder meer van invloed zijn op de keuze van domeinen binnen het wetenschappelijk vakgebied.

t De brochure ‘Vakinhoudelijk Masterniveau’ van de Interdisciplinaire Commissie Lerarenopleidingen (ICL), waarin per vakgebied het vakinhoudelijke masterniveau van de universitaire lerarenopleidingen wordt beschreven.


1 Een leven lang leren De diplomering van de student vormt het eindpunt van de opleiding en een beginpunt van het levenslang verder leren. De Commissie Veerman adviseert om via een ruim aanbod van masteropleidingen een Leven Lang Leren te bevorderen. De masteropleidingen zijn een goed voorbeeld van wat de Commissie voor ogen staat, want zij bieden leraren doorgroeimogelijkheden tijdens hun loopbaan. Op de leraren en op de school als goed werkgever rust vervolgens de verantwoordelijkheid om voort te bouwen aan de professionele ontwikkeling waarvoor de kennisbasis per vakgebied één van de pijlers vormt. Drs. A.W. van der Stouwe Projectleider kennisbasis hbo-masteropleidingen leraar vho


2. Preambule Inleiding kennisbasis hbo-masteropleiding wiskunde Samenstelling en status kennisbasis Deze preambule hoort bij de kennisbasis wiskunde die in 2010 is ontwikkeld door de vakredactie wiskunde, samengesteld uit de gemeenschappelijke lerarenopleidingen wiskunde van de hogescholen Amsterdam (HvA), Fontys (FLOT), Utrecht (HU), Leeuwarden (NHL) en Arnhem-Nijmegen (HAN). In deze kennisbasis wordt de vakkennis en de didactische kennis beschreven die wij noodzakelijk achten in de opleiding tot eerstegraads docent wiskunde. In deze kennisbasis wordt geen onderwijskundige kennis beschreven en wordt ook niet ingegaan op stage en praktijkonderzoek in de masteropleiding. Met nadruk willen we vermelden dat de kennisbasis geen leerplan is. De kennisbasis koppelt kennisgebieden niet aan cursussen en studiepunten. Elke opleiding blijft daarvoor zelf verantwoordelijk en stelt een curriculum gebaseerd op de kennisbasis - vast in overeenstemming met haar eigen didactische concept.

Relatie met de kennisbasis tweedegraad: verdieping en verbreding In 2009 zijn drie kennisbases vastgesteld voor de bacheloropleiding leraar wiskunde (de tweedegraads-opleiding): de kennisbasis vak, de kennisbasis vakdidactiek en de kennisbasis ICT, waarin de algemene ICT-vaardigheden worden beschreven. Deze kennisbases worden in 2010-2011 geïmplementeerd in de curricula van de bacheloropleidingen. De kennisbasis voor de wiskunde master bouwt hierop voort. Vakinhoudelijk gezien is de wiskundekennis in de master verdiepend en verbredend ten opzichte van de kennis opgebouwd in de bachelor.

t kennisbasis wiskunde bachelor-opleiding: http://ict.aps.nl/k3/docs_kennisbasis/KB_DEF/kb_wiskunde_7sept2009_pakket.pdf

t kennisbasis vakdidactiek wiskunde bachelor-opleiding: http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/20100207_vakdidactische_kennisbasis_wiskunde.pdf

t kennisbasis ict bachelor-opleiding: http://www.leroweb.nl/docs/lero/kennisbasis-ict.pdf

Visie op de eerstegraadsdocent wiskunde De opleiding tot eerstegraads docent wiskunde leidt op voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs. Ons eerste uitgangspunt daarbij is:

de eerstegraadsdocent overziet en beheerst de inhouden en de achtergronden van de wiskunde uit de domeinen in de bovenbouw en in de aanpalende vakken van het vo uitstekend. Daarnaast moet een bovenbouwdocent ook een rol spelen in het voorbereiden van leerlingen in het voortgezet onderwijs op het vervolgonderwijs. Daarom is ons tweede uitgangspunt:

de eerstegraadsdocent kent de wiskundeleerstof in de eerste fase van het vervolgonderwijs op de (technische) universiteiten en hogescholen.


2 Tenslotte willen we docenten opleiden die wiskunde in een wijder perspectief kunnen plaatsen en kijk moeten hebben op wiskunde als wetenschappelijke discipline. Daarom is ons derde uitgangspunt:

de eerstegraadsdocent is vertrouwd met de vakwetenschappelijke benadering van wiskunde en heeft een reëel beeld van haar beoefening en toepassing binnen de algehele wetenschappelijke en technologische ontwikkeling.

Algemene uitgangspunten In de kennisbasis wordt vooral specifieke vakkennis beschreven. De opleiding moet die vakkennis in samenhang en gecombineerd met de generieke opleidingsonderdelen, op basis van de bovengenoemde drie uitgangspunten, vervatten in een programma dat waarborgt dat onze startbekwame docent: a) een diversiteit aan toepassingen kent, die laten zien dat wiskunde in de huidige maatschappij een onmisbare factor is in productie en organisatie; b) vertrouwd is met de deductieve methode bij theorievorming in de wiskunde; c) de initiële wiskundestof kent van vervolgopleidingen, zodat de startbekwame leraar in staat is leerlingen adequaat te adviseren over de keuze van een studie en de rol van wiskunde daarin; d) dermate vertrouwd is met het gebruik van programmatuur om dit in zijn onderwijs in de tweede fase te integreren en om leerlingen in deze zicht te bieden op de rol van de computer in de beoefening en de toepassing van de wiskunde; e) de centrale concepten en methoden uit de schoolwiskunde kan plaatsen in de lijn waarin zij binnen de wiskunde (op universiteiten en in praktische toepassing) worden behandeld en gebruikt; f) de historische context kent waarbinnen de centrale concepten en methoden uit de schoolwiskunde zijn ontstaan; g) op een onderzoekende manier wiskunde kan bedrijven; h) de wiskunde kent als een heuristische discipline, waarin men gericht is om open vragen op te lossen in zuiver en in toepassinggericht onderzoek.

Indeling kennisbasis wiskunde master De leerstof en kennis in de kennisbasis master is verdeeld over de zes vakdomeinen analyse, meetkunde, algebra en discrete wiskunde, statistiek, wetenschappelijke grondslagen en ontwikkelingen en het domein vakdidactiek. De meeste domeinen bestaan uit een aantal subdomeinen. In totaal bestaat de kennisbasis uit vijftien subdomeinen. Deze subdomeinen kunnen niet alle in het curriculum (waarvan ongeveer zestig studiepunten voor vak en vakdidactiek) worden opgenomen. In overeenstemming met de uitgangspunten en de visie is daarom gekozen voor verplichte subdomeinen en keuze-subdomeinen.

Verplichte en keuze-subdomeinen Er zijn acht verplichte subdomeinen. Dat zijn de kerndomeinen die we wezenlijk achten in de opleiding en die noodzakelijk zijn om de doelen geformuleerd in bovenstaande algemene uitgangspunten te realiseren. De verplichte subdomeinen zijn basisconcepten analyse, dynamische systemen, meetkunde, lineaire algebra, getaltheorie, statistiek, grondslagen en vakdidactiek. Daarnaast zijn er zeven


subdomeinen die elk afzonderlijk een goede bijdrage kunnen leveren aan de wiskundige ontwikkeling – in breedte en diepte - van de student. Elke opleiding kiest uit deze domeinen minstens twee subdomeinen in overeenstemming met de volgende regels:

t binnen het domein analyse minstens een subdomein uit meervoudige integraalrekening of complexe functietheorie;

t binnen het domein algebra en discrete wiskunde minstens een subdomein uit grafentheorie, combinatoriek of algebra. In het volgende schema is een totaaloverzicht af te lezen.

Verplicht

Analyse

Meetkunde

Algebra en discrete wiskunde

Statistiek en kansrekening

Wetenschappelijke grondslagen en ontwikkelingen

Vakdidactiek

t basisconcepten

meetkunde

t lineaire algebra t getaltheorie

statistiek

grondslagen

vakdidactiek

projectieve meetkunde

Minstens een uit: t combinatoriek t grafentheorie en discrete optimalisatie t algebra

t Keuze

analyse dynamische systemen

Minstens een uit: t meervoudige integraalrekening t complexe functietheorie

geschiedenis

In de kennisbasis wordt bij elk subdomein een korte omschrijving van de meest wezenlijke concepten gegeven en zijn indicatoren en twee kenmerkende opgaven of opdrachten opgenomen die het masterniveau omschrijven.

Het subdomein ‘geschiedenis’ In de algemene uitgangspunten wordt aangegeven dat een opleiding aandacht dient te geven aan de historische context waarbinnen de centrale concepten en methoden uit de schoolwiskunde zijn ontstaan. Deze aandacht kan expliciete aandacht krijgen in het subdomein geschiedenis dat op die manier dan het elfde subdomein wordt. Een opleiding kan er ook voor kiezen om de inhoud, zoals die beschreven is in het subdomein geschiedenis, te integreren in diverse andere subdomeinen. Ook een combinatie van geschiedenis en grondslagen is een optie die goed binnen een opleidingscurriculum past.

Het domein ‘vakdidactiek’ Het domein vakdidactiek bestaat uit één subdomein. De indicatoren in dat subdomein zijn gebaseerd op het WiVa-rapport. Dat rapport is opgesteld door het samenwerkingsverband Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren en het Freudenthal Instituut en het SBL. Het beschrijft de vakdidactische beroepsstandaarden van een leraar wiskunde. In de master dient vooral gefocust te worden op die onderdelen die specifiek van toepassing zijn op het functioneren als docent eerstegraad in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs. Onderdelen van dit domein kunnen worden ondergebracht in aparte cursussen maar ze kunnen ook worden gekoppeld aan de stage en/of het masteronderzoek van de opleiding WiVa-rapport: http://www.nvvw.nl/media/files/werkgroepen/beroepsregister/Wiva0804.pdf


2 Meer subdomeinen In totaal omvat de kennisbasis van een opleiding minstens tien subdomeinen. Elke opleiding mag naar eigen inzicht meer subdomeinen aanbieden. Subdomeinen die in het overzicht aangeboden zijn, bijvoorbeeld projectieve meetkunde of een subdomein uit algebra en discrete wiskunde, maar een opleiding mag ook kiezen voor een onderdeel dat niet in deze kennisbasis is beschreven.

Aanbevolen studieboeken In de bijlage studiemateriaal master wiskunde staan aanbevolen boeken bij elk subdomein. De meeste van die boeken worden ook in het universitaire wiskundeonderwijs gebruikt. Elke opleiding kan hieruit een keuze maken voor het studiemateriaal dat het beste bij het eigen leerplan en het didactisch concept past.

ICT en wiskundige software Algemene ICT-vaardigheden worden ontwikkeld binnen de bacheloropleiding en hoeven in de master geen speciale aandacht te krijgen (zie de kennisbasis bachelor ICT). De opleiding dient – conform uitgangspunt ‘d’ – wel aandacht te besteden aan de omgang van specifieke wiskundesoftware die een rol kan spelen in het wiskundeonderwijs in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs of in het hbo. Dat betekent dat er binnen de verschillende domeinen op onderzoeksmatige en verkennende wijze met programmatuur moet worden gewerkt. Bij analyse/ getaltheorie kan een CAS (ComputerAlgebraSysteem) worden ingezet, bij meetkunde DMS (Dynamische MeetkundeSoftware) en bij statistiek een statistisch softwarepakket.

t kennisbasis bachelor ICT: http://www.leroweb.nl/docs/lero/kennisbasis-ict.pdf


3. Kennisbasis wiskunde Analyse 1.1 Basisconcepten analyse verplicht 1.2 Meervoudige integraalrekening keuze minstens 1 uit 2 1.3 Dynamische systemen verplicht 1.4 Complexe functies keuze minstens 1 uit 2

15 15 15 17 17

Meetkunde 2.1 Meetkunde verplicht 2.2 Projectieve meetkunde vrije keuze

19 19 19

Algebra en discrete wiskunde 3.1 Lineaire algebra verplicht 3.2 Getaltheorie verplicht 3.3 Grafentheorie en discrete optimalisatie keuze minstens 1 uit 3.4 Combinatoriek keuze minstens 1 uit 3 3.5 Algebra keuze minstens 1 uit 3

21 21 21 23 23 25

Statistiek en kansrekening 4.1 Statistiek verplicht

25 25

Wetenschappelijke grondslagen en ontwikkelingen 5.1 Grondslagen verplicht 5.2 Geschiedenis vrije keuze

25 25 27

Vakdidactiek 6.1 Vakdidactiek verplicht

29 29


3 Domeinen

Subdomeinen

Omschrijvingen en/of toelichtingen

Indicatoren masterniveau

Kenmerkende voorbeeldvragen

1 Analyse

1.1

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: functie, limiet, continuïteit, differentieerbaarheid, reeks, supremum en infimum, extremen, existentiestellingen voor nulpunten en extremen waarden, partiële-, totale en richtingsafgeleide.

De startbekwame docent kan: 1.1.1 supremum en infimum van verzamelingen bepalen; 1.1.2 de limietdefinitie hanteren bij functies van een of meer variabelen over de reële getallen en limieten bewijzen met behulp van een “epsilon-delta” bewijs; 1.1.3 bewijzen dat een functie continu en (totaal) differentieerbaar is en verbanden leggen tussen deze begrippen; 1.1.4 met de fundamentele stellingen uit de analyse (onder andere BolzanoWeierstrasz, tussenwaardestelling, extremenwaardenstelling, middelwaardestelling) existentie en uniciteit van nulpunten en extremen aantonen; 1.1.5 convergentie van reeksen onderzoeken en Taylorreeksen opstellen bij functies van een variabele en daarmee functiewaarden benaderen en limieten berekenen; 1.1.6 kettingregels voor functies van meer variabelen afleiden en toepassen; 1.1.7 partiële afgeleiden en richtingsafgeleiden berekenen en daarmee vergelijkingen van raaklijnen en raakvlakken opstellen; 1.1.8 extremen bepalen van functies van een en van meer variabelen, eventueel onder voorwaarden.

(Vraag bij indicator 1.1.4)

Basisconcepten analyse verplicht

De functie R is differentieerbaar op . en voor alle Gegeven is verder, dat a) Bewijs dat . b) Bewijs dat f precies één nulpunt heeft op . (Vraag bij indicator 1.1.2 en 1.1.7) Gegeven is de functie f van R

R met voorschrift:

a) Bewijs dat f continu is in . b) Bepaal voor c) Toon aan dat niet continu is in d) Bereken voor alle reële waarden

en bereken .. . in het punt

de richtingsafgeleide in de richting van

1.2 Meervoudige integraalrekening keuze minstens 1 uit 2

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: integreerbaarheid, coördinatentransformatie, oppervlakte-integraal en lijnintegraal.

De startbekwame docent kan: 1.2.1 bij functies van meer variabelen dubbelintegralen betekenis geven en berekenen met diverse integratietechnieken; 1.2.2 rekentechnieken voor meervoudige integralen verklaren en toepassen; 1.2.3 in voorkomende situaties bij aanpalende vakgebieden integraalrekening verklaren en demonstreren; 1.2.4 integraalrekening herkennen en toepassen in contexten onder andere betreffende lengte-, oppervlakte- en inhoudsberekeningen.

.

.

(Vraag bij indicator 1.2.1 en 1.2.2) In onderstaand figuur zie je twee oppervlakken in de R3.

De vergelijkingen bij de oppervlakken zijn en . In de tekening zie je niet echt goed de doorsnede. a) Beschrijf met een formule en meetkundig de doorsnede van de twee oppervlakken Het gebied vastgelegd door en noemen we S. b) Laat zien dat voor de punten in dat gebied geldt met c) Bereken de inhoud van gebied S. (Vraag bij indicator 1.2.2) Bereken

2xy dA waarin S het gebied is beschreven door ,


,

.


3 Domeinen

Subdomeinen




1 Analyse

1.3 Dynamische systemen verplicht

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: lineaire en niet-lineaire differentie- en differentiaalvergelijkingen, oplossingsmethoden, stabiliteit, stelsels differentie- en differentiaalvergelijkingen en faseportret.

De startbekwame docent kan: 1.3.1 discrete en continue (stelsels) differentie- en differentiaalvergelijkingen opstellen en gebruiken bij toepassingen zoals koelwet, trillingen en roofdier-prooimodellen; 1.3.2 eerste en tweede orde differentiaalvergelijkingen oplossen met diverse oplossingsmethoden; een ruime selectie uit: scheiding variabelen, integrerende factor, homogene dv, exacte dv, dv van Bernoulli, dv van Euler en variatie van constanten; 1.3.3 lineaire stelsels eerste-orde differentiaalvergelijkingen omzetten naar hogere orde- differentiaalvergelijkingen en andersom en oplossen, onder andere met behulp van eigenwaarden; 1.3.4 de stabiliteit van niet-lineaire differentiaalvergelijkingen analyseren met behulp van een faseportret en de aard van kritieke punten typeren; 1.3.5 zich naast bovenstaande basistheorie verder theoretisch verdiepen in minstens een van de onderstaande onderwerpen en kan 1.3.5.1 differentiaalvergelijkingen oplossen met een machtreekssubstitutie; 1.3.5.2 met verschillende numerieke methoden, bijvoorbeeld de methode van Heun of de Runge-Kutta methode, oplossingen van differentiaalvergelijkingen numeriek benaderen; 1.3.5.3 met behulp van de theorie van Bendixson en Poincaré de periodiciteit van oplossingen en de stabiliteit met de methode van Lyapunov onderzoeken; 1.3.5.4 theorie van discrete dynamische systemen toepassen in chaos- en fractaltheorie.


En een keuze uit: machtreekssubstitutie, numeriek oplossen, periodiciteit en chaos- en fractals.

Los de volgende differentiaalvergelijkingen op: a)

geen voorwaarde maar wel geldt

b)

voorwaarden

c) d)

voorwaarde

en

geen voorwaarde maar wel geldt

e) f)

voorwaarden

(Vraag bij indicator 1.3.1 en 1.3.2) In een tank met 100 liter water is 5 kg zout opgelost. Aan de bovenkant van de tank laat men op tijdstip t = 0 schoon water in de tank stromen met een snelheid van 2 liter per minuut. Aan de onderkant van het vat zit een opening waaruit het (zoute) water met een snelheid van 3 liter per minuut wegloopt. Midden in de tank zit een ronddraaiende schroef die het water in de tank voortdurend mengt. Omdat er schoon water in de tank stroomt en zout water wegloopt zal de hoeveelheid opgelost zout in de tank afnemen. Geef de hoeveelheid zout (in kg) op tijdstip t aan met m(t). a) Stel een differentievergelijking voor de massa zout op en bepaal met de differentievergelijking de hoeveelheid zout na 8 minuut als minuut. b) Leid uit de differentievergelijking een differentiaalvergelijking af en de differentiaalvergelijking op. c) Bereken met de oplossing van b) de hoeveelheid zout in de tank na 8 minuten en vergelijk je antwoord met het antwoord van a).

1.4 Complexe functies keuze minstens 1 uit 2


De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: de complexe basisfuncties sin, cos en exp, de complexe meerwaardige functies wortel en log, complexe functies als transformaties van het (complexe) vlak inclusief möbiustransformaties, complexe differentieerbaarheid, Cauchy-Riemann vergelijkingen, complexe lijnintegralen, (hoofd)stelling van Cauchy, residuenstelling en toepassing op het berekenen van reële integralen.

De startbekwame docent kan: 1.4.1 complexe functiewaarden berekenen (o.a. wortel, sin en cos, exp en ln); 1.4.2 complexe limieten bepalen 1.4.3 een complexe functie onderzoeken op continuïteit en differentieerbaarheid; 1.4.4 complex-differentieerbaarheid vergelijken met gewone differentieerbaarheid; 1.4.5 de onderlinge verbanden tussen analyticiteit, comformiteit en complexe differentieerbaarheid benoemen en in bewijsvoeringen en berekeningen benutten; 1.4.6 complexe functies integreren langs geparametriseerde gladde bogen; 1.4.7 residuen van complexe functies berekenen en met behulp van die residuen contourintegralen berekenen; 1.4.8 de contourintegraal gebruiken om reële integralen te bepalen. 1.4.9 zich naast bovenstaande basistheorie verder theoretisch verdiepen in minstens een van de onderstaande onderwerpen t machtreeksontwikkeling en complexe differentieerbaarheid t product en quotiënt van machtreeksen t Laurentreeksen en residuenberekening t conformiteit

(Vraag bij indicator 1.4.6 en 1.4.7) a) C is de rechterhelft van de cirkel

, van

tot

.

Toon aan dat: b) Bereken:

.

(Vraag bij indicator 1.4.5) Zij G een gebied in . Beschouw de uitspraken: (i) f is complex-differentiëerbaar op G (ii) f heeft een complexe primitieve op G a) Toon aan: (ii) => (i). Geef daarbij de gebruikte stellingen aan. b) Geldt ook (i) => (ii)? (onderscheid: G wel of niet enkelvoudig samenhangend)


3 Domeinen

Subdomeinen




2 Meetkunde

2.1 Meetkunde verplicht

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: axiomatiek, stellingen, deductieve opbouw (axioma, stelling, definitie), basisbegrippen van de Euclidische meetkunde en afbeeldingen (m.b.t. isometrie, gelijkvormigheid, inversie), constructies, synthetische en algebraïsche benaderingen.

De startbekwame docent kan: 2.1.1 afleidingen vanuit axiomatiek m.b.t. meetkunde herkennen, analyseren en creëren; 2.1.2 bijzondere meetkundige stellingen benoemen, bewijzen en demonstreren (voorbeelden: machtsstellingen, rechte Wallace, Ceva, Morley, etc.); 2.1.3 verbanden leggen tussen een meetkundige en algebraïsche benadering (bijv. bij constructies); 2.1.4 m.b.v. verschillende benaderingen zoals inversie en congruentieafbeeldingen meetkundige problemen oplossen.

(Vraag bij indicator 2.1.2) Op de zijden van een willekeurige vierhoek staan vierkanten. De middens daarvan noemen we met de klok mee: P, Q, R en S. a) Bewijs:

en

b) Bewijs: De middens van

,

,

en

vormen weer een vierkant.

(Vraag bij indicator 2.1.4) Van de cirkelraakproblemen van Apollonius laten zich een aantal gemakkelijk oplossen m.b.v. inversie. Zoek dat uit voor de gevallen PCC en PLC. 2.2 Projectieve meetkunde vrije keuze

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: projectieve rechte, projectieve vlak, dualiteit, dubbelverhouding, harmonische ligging, volledige vierhoek, perspectiviteit, projectieve afbeelding, involutie, collineatie, kegelsnede, poolverwantschap, de stellingen van Desargues, Pappos, Steiner, Pascal en Brianchon.

De startbekwame docent kan: 2.2.1 verband leggen tussen principes bij het perspectieftekenen en de basisconcepten van de projectieve meetkunde; 2.2.2 eigenschappen van gegeven figuren bewijzen; 2.2.3 bijzondere punten en lijnen in een gegeven figuur construeren en de correctheid van de gehanteerde constructie aantonen; 2.2.4 meetkundige vraagstukken oplossen met behulp van projectieve middelen; 2.2.5 verband leggen tussen kegelsneden en projectieve afbeeldingen tussen lijnenwaaiers of puntenreeksen; 2.2.6 redeneringen opzetten met en verbanden leggen tussen de begrippen en stellingen uit de projectieve meetkunde.

(Vraag bij indicator 2.2.6) Gegeven is een lijn l en een punt P niet op l. Op l wordt de afbeelding d gedefinieerd op de volgende manier. Voor X op l : - trek de lijn door X en P ; - draai mX om P over een hoek van 120o (in positieve draaizin); dit levert de lijn nX ; - snijd nX met l; dit levert d(X).

a) Beredeneer dat d een projectieve afbeelding op l is. b) Bewijs dat d geen dekpunten heeft. c) Bij de afbeelding d komt elk punt X na d drie keer toe te passen weer op zichzelf terecht, oftewel: er geldt . Bewijs dat voor elke projectieve afbeelding zonder dekpunten het volgende geldt: . (Vraag bij indicator 2.2.2 en 2.2.5) a) Gegeven zijn de parallellogrammen OAPC en OBQD. De punten O, A en B zijn collineair, evenals O, C en D. Bewijs dat de lijnen AD, BC en PQ concurrent zijn. b) Zij gegeven een rechte m en twee punten A en B niet op m. Voor een punt C op m bekijken we driehoek ABC; we construeren met behulp van de hoogtelijnen uit A en uit B het hoogtepunt H van deze driehoek. Als we nu het punt C van de driehoek laten bewegen over m, laat H een spoor achter. Bewijs met behulp van projectieve meetkunde dat het spoor van H een (al dan niet ontaarde) kegelsnede is die door A en B gaat.



3 Domeinen

Subdomeinen




3 Algebra en discrete wiskunde

3.1 Lineaire algebra verplicht

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: lineaire ruimte, lineaire afbeelding, onafhankelijkheid, matrix (van afbeelding), inverse matrix, rang, determinant, inproduct en uitproduct, inproductruimte, kern, beeldruimte, basis, dimensie, determinant, karakteristiek polynoom, eigenvectoren en eigenruimte, orthogonale projectie en afbeelding, orthogonalisatie, orthogonaal complement en diagonalisatie.

De startbekwame docent kan: 3.1.1 de relevante concepten uit kolom 2 interpreteren in de meetkunde van R2 en R3; 3.1.2 de stellingen over dimensie en determinant gebruiken bij het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen; 3.1.3 bij een gegeven lineaire afbeelding de matrix ten opzichte van een gegeven basis, kern en beeldruimte bepalen; 3.1.4 een gegeven basis orthonormaliseren, bij een gegeven lineaire afbeelding eigenwaarden met bijbehorende eigenruimten bepalen en zo mogelijk diagonaliseren; 3.1.5 eigenschappen van gegeven stelsels, matrices, afbeeldingen en ruimten bewijzen op basis van de formele definities; 3.1.6 de behandelde noties illustreren en toepassen in een aantal toepassingen zoals de kleinste- kwadraten-methode, Markov-processen, Leontief modellen, de classificatie van kegelsneden en kwadrieken, stelsels differentiaalvergelijkingen.

(vraag bij indicatoren 3.1.1 en 3.1.3) Gegeven in R3 zijn de drie vectoren (geschreven ten opzichte van de standaardbasis e):

,

en

.

Deze drie vectoren staan loodrecht op elkaar en vormen een basis voor R3, die wij zullen aangeven met u. a) Schrijf de vector

als lineaire combinatie van

,

en

.

Van de lineaire afbeelding L is bekend dat: b) Beschrijf de afbeelding L meetkundig. c) Bepaal de matrix van L t.o.v. de standaardbasis e. (vraag bij indicator 3.1.5) In een inproductruimte V is gegeven een orthonormaal stelsel vectoren . Bewijs dat het stelsel onafhankelijk is.

3.2 Getaltheorie verplicht

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: deelbaarheid, irrationaliteit, priemgetal, priemfactorontbinding, priemtest, factorisatietechniek, ggd, lineaire Diophantische vergelijking, -functie van Euler, modulair rekenen en cryptosysteem.

De startbekwame docent kan: 3.2.1 bij getaltheoretische vraagstukken herkennen welke begrippen en stellingen hierbij bruikbaar zijn om deze vervolgens correct toe te passen; 3.2.2 een aantal getaltheoretische stellingen bewijzen en formules afleiden. In elk geval: de hoofdstelling van de rekenkunde (eenduidige priemfactorontbinding), -functie van Euler, Euclides bewijs voor het bestaan van oneindig veel priemgetallen, correctheid van het (uitgebreide) algoritme van Euclides, oplosbaarheid van lineaire Diophantische vergelijkingen en stellingen van Euler en Fermat. Verder een ruime selectie uit: formules voor (n) en (n), priemgetallen in een rekenkundige rij (Dirichlet), Wilson, multiplicativiteit van de -functie, Gauss -stelling en Chinese reststelling; 3.2.3 een aantal voor de Getaltheorie historisch belangrijke momenten toelichten zoals bijvoorbeeld het bewijs van de priemgetallenstelling en de vermoedens van Fermat; 3.2.4 moderne toepassingen beschrijven van Getaltheorie en de hierbij gebruikte wiskundige technieken toelichten en voorbeeldmatig gebruiken, bijvoorbeeld (i) cryptosystemen (bijvoorbeeld. RSA), (ii) factorisatietechnieken (bijvoorbeeld kwadratische zeef) en (iii) (probabilistische) priemtesten (bijvoorbeeld Miller-Rabin).

(Vraag bij indicator 3.2.2) a) Licht de rol van de stelling van Euler toe bij het oplossen van de onderstaande vergelijking en los deze vergelijking vervolgens op.

b) Bewijs met volledige inductie dat voor Fermat-getallen

geldt dat

Leid hier uit af dat elk tweetal verschillende Fermatgetallen relatief priem is en laat tenslotte zien dat hiervan een direct gevolg is dat er oneindig veel priemgetallen zijn. c) Indien gekozen is voor de stelling van Dirichlet: Een James-Bond-priemgetal is een priemgetal dat eindigt op de cijfers ‘007’. Geef een schatting van het aantal ‘James-Bond-priemgetallen’ van precies 10 cijfers. (Vraag bij indicator 3.2.4) a) Indien gekozen is voor de ‘kwadratische zeef’: Bij de kwadratische zeef voor nemen we als factorbasis . Bepaal een geschikt -product dat leidt tot de ontbinding van . b) Indien gekozen is voor de Miller-Rabin-test: Ontmasker met de Miller-Rabin priemtest het Carmichaelgetal 561 als samengesteld (een Carmichaelgetal is een Fermat-pseudopriemgetal voor elke basis).



3 Domeinen

Subdomeinen





3.3 Grafentheorie en discrete optimalisatie keuze minstens 1 uit 3

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: graaf, isomorfie, Eulergraaf en het Chinese postbodeprobleem, Hamiltongraaf en het Handelsreizigerprobleem, boom, minimaal opspannende boom, vlakke graaf, chromatisch getal en het vierkleurenprobleem en kortste pad algoritme.

De startbekwame docent kan: 3.3.1 in een contextprobleem een grafenprobleem herkennen en dit met behulp van geschikte technieken uit de grafentheorie oplossen; 3.3.2 door basiseigenschappen/begrippen/stellingen te combineren, bewijzen opstellen voor eigenschappen van grafen; 3.3.3 bewijzen geven van stellingen en correctheid van algoritmes, in elk geval een selectie uit: Eulergraaf-stelling Fleury, Chinese postbode, Dirac/Ore, Kruskal/Prim, Dijkstra, Euler’s formule voor vlakke grafen en ‘vijf’- of ‘zes’-kleurenstelling; 3.3.4 moderne toepassingen van Grafentheorie noemen, b.v. het Handelsreizigerprobleem met heuristiek en kwaliteitsuitspraak, Shift Registers en De Bruijn rijen, Zoekmachines en Page Ranking; 3.3.5 onderzoeken of een graaf vlak is en een classificatie geven van niet-vlakke grafen (Kuratowski) ; 3.3.6 naast bovenstaande basisbegrippen en basiskenmerken zich verder theoretisch verdiepen in enkele onderwerpen uit de Grafentheorie, zoals bijvoorbeeld: 3.3.6.1 netwerkstromen een maximale stroom construeren (tegen minimale kosten) in een netwerk met het algoritme van Ford & Fulkerson; 3.3.6.2 koppelingen; 3.3.6.2.1 een koppelingsprobleem herkennen en het verband leggen met een maximale stroomprobleem; 3.3.6.2.2 een complete koppeling in verband brengen met de Hall-voorwaarde en een maximale koppeling construeren met behulp van Konig’s wisselpad-algoritme; 3.3.6.3 toewijzingen een toewijzingsprobleem oplossen met behulp van het Hongaarse algoritme van Egerváry.


En een keuze uit: netwerkstromen, toewijzingen en koppelingen.

3.4 Combinatoriek keuze minstens 1 uit 3

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: combinatie, variatie, permutatie, multinomiaalcoëfficiënt, partitie, recurrente betrekking, inclusie/exclusie en formele machtreeks.

De startbekwame docent kan: 3.4.1 bij telproblemen met of zonder terugleggen en met of zonder herhalingen het juiste model hanteren; 3.4.2 voor een gegeven (in)homogene lineaire recurrente betrekking met constante coëfficiënten met behulp van de karakteristieke vergelijking de rangnummerformule afleiden; 3.4.3 de formule van inclusie/exclusie in voorkomende gevallen toepassen; 3.4.4 een combinatorisch vraagstuk door middel van formele machtreeksen vertalen naar een algebraïsch vraagstuk.

a) Bewijs dat een specifieke lijn van een gelabelde volledige graaf in precies opspannende bomen van voorkomt. b) Leid een formule af voor het aantal lijnen van de lijngraaf van (wielgraaf met k ‘spaken’). (Vraag bij indicator 3.3.6.2) a) Bewijs dat er, zolang nog geen nultoewijzing is gevonden, bij elke iteratie van het Hongaarse algoritme (nxn-matrix) een nulbedekking bestaat van minder dan n lijnen. b) Hieronder zie je de reiskostentabel voor een vergaderprobleem. De letters geven reizigers aan en de cijfers de bestemmingen. Wat kosten de reizen samen minimaal en hoe kan dit bedrag worden gerealiseerd? 1

2

3

4

5

50

41

50

85

42

B

110

122

54

147

57

C

127

78

151

99

172

D

109

67

144

73

160

E

52

102

117

89

49

A

(Vraag bij indicator 3.4.1 en 3.4.3) a) Een vereniging gaat stemmen over de nieuwe voorzitter. Er zijn vijf kandidaten, Auke, Bart, Chris, Denise en Eva. De overige 20 leden mogen elk één stem uitbrengen op één van deze kandidaten. Een mogelijke uitslag van de verkiezingen is bijvoorbeeld 3 stemmen voor Auke, 4 stemmen voor Bart, 0 stemmen voor Chris, 7 stemmen voor Denise en 6 stemmen voor Eva. Hoeveel uitslagen zijn mogelijk? b) We hangen een vlaggenlijn van oranje, witte en blauwe vlaggen op tussen een boom en de schuur. We hebben plaats voor twintig vlaggen, en we willen dat iedere kleur tenminste een keer voorkomt. Hoeveel mogelijkheden zijn er? c) We maken nog zo’n vlaggenlijn van oranje, witte en blauwe vlaggen tussen de boom en de schuur. We hebben wederom plaats voor twintig vlaggen, maar nu willen we dat er precies 3 oranje vlaggen zijn, die bovendien niet naast elkaar mogen hangen. Hoeveel mogelijkheden zijn er nu? (Vraag bij indicator 3.4.2 en 3.4.4) a) Los de volgende recurrente betrekking op: , . Het aantal rijtjes bestaande uit de symbolen 1 en 2, waarvan de som van . de elementen gelijk is aan n, noemen we b) Stel een recurrente betrekking op voor

, met beginvoorwaarden.

c) Los de recurrente betrekking op m.b.v. formele machtreeksen.



3 Domeinen

Subdomeinen





3.5 Algebra keuze minstens 1 uit 3

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: groep, ring, lichaam en lineaire ruimte.

De startbekwame docent kan: 3.5.1 uiteenlopende voorbeelden geven van abstracte structuren: groep, ring, lichaam en lineaire ruimte (bijvoorbeeld. met betrekking tot getallen, matrices, veeltermen, permutaties en transformaties); 3.5.2 van een abstracte structuur nagaan of het een groep, ring, lichaam of lineaire ruimte is; 3.5.3 zich binnen één gebied verder theoretisch verdiepen, zoals bijvoorbeeld: (i) groepentheorie (onder andere ondergroep, orde normaaldeler, isomorfie en symmetriegroepen), (ii) ringen en lichamen (onder andere oplossen van vergelijkingen, ideaal, quotiëntring en Euclidische ring) en (iii) lichaamsuitbreidingen als lineaire ruimten (verband met meetkundige constructies).


En een keuze uit: groepentheorie, quotiëntlichamen en lichaamsuitbreidingen.

Indien gekozen is voor (i) ‘groepentheorie: a) Toon aan dat de diëdergroep van de gelijkzijdige driehoek isomorf is met de symmetrische permutatiegroep van drie elementen. b) Bewijs de stelling van Lagrange over de orde van een ondergroep. Indien gekozen is voor (ii) ‘ringen en lichamen’: a) Bepaal alle elementen van de restklassenring Z[X]/(2,x3). b) Bepaal de multiplicatieve inverse van c) Is Z[X]/(2,x3) een lichaam?

.

Indien gekozen is voor (iii) ‘lichaamsuitbreidingen als lineaire ruimten’: a) Bewijs dat de dimensie van de lineaire ruimte Q(cos 20°) over het lichaam Q geen macht van 2 is. b) Bewijs uit a) dat een regelmatige 9-hoek niet met passer en liniaal kan worden geconstrueerd.

4 Statistiek en kansrekening

4.1 Statistiek verplicht

De startbekwame docent kent en begrijpt de volgende concepten: kansruimten, kansverdelingen, schatten, betrouwbaarheid, toetsen van hypothesen, onderscheidingsvermogen, verdelingsvrije toetsen, verschiltoetsen, correlatie en regressie, kwantitatief onderzoek en onderzoekscyclus.

De startbekwame docent kan: 4.1.1 kansdichtheids- en kansverdelingsfunctie, verwachting en variantie afleiden van onder andere de binomiale, de Poisson, de Hypergeometrische en de normale verdeling; 4.1.2 de kansverdelingen herkennen en hanteren die bij toetsen worden gebruikt; 4.1.3 standaardtoetsen herkennen, verklaren en toepassen. In elk geval een ruime selectie uit: toetsen op proporties, toetsen op passing en onafhankelijkheid (chikwadraat-toetsen), toetsen voor gemiddelde (t-toets) en variantie (F-toets), gepaarde en ongepaarde verschiltoetsen en one-way anova; 4.1.4 een statistisch onderzoek doen m.b.v. een gegeven database en resultaten interpreteren.

(Vraag bij indicator 4.1.2) zijn onafhankelijke kansvariabelen met i = 1, 2, 3 Verder geldt Bepaal de kansverdeling van variantie van deze kansvariabele.

en de verwachting en de

(Vraag bij indicator 4.1.4) Op een school wordt het onderwijs in de onderbouw ook aangeboden in een speciale afdeling: de muzische afdeling. In die afdeling zitten kinderen met een speciale begaafdheid voor muziek, dans of beeldende kunsten heterogeen bij elkaar (vmbo, havo en vwo dus bij elkaar). Na drie jaar stromen deze leerlingen samen met de leerlingen uit het reguliere onderwijs in de bovenbouw. Men vraagt zich af of er verschillen zijn in de beheersing van de leerstof van de onderbouw in het begin van klas 4. Onderzoek dit aan de hand van de rapportcijfers van alle vakken van de leerlingen in 4 havo en 4 vwo en stel een rapport op voor het management waarin je bevindingen worden besproken. [bij deze opdracht hoort een databestand met de rapportcijfers]

5.1 Grondslagen 5 Wetenverplicht schappelijke grondslagen en ontwikkelingen

De startbekwame docent is bekend met de volgende thema’s uit de filosofie van de wiskunde: 1) rond oneindigheid: de paradoxen van Zeno, het limietbegrip, het Hilbert Hotel, kardinaliteit en overaftelbaarheid; 2)rond formalisme en waarheid: Plato’s ideeënwereld, de axiomatische methode bij Euclides, de formalisering van de wiskunde in de moderne tijd en het optreden van paradoxen, onafhankelijkheid van axioma’s zoals het paralellenpostulaat en de continuümhypothese, consistentie en volledigheid en de onvolledigheidstellingen van Gödel; 3) rond constructie: passer&liniaal-constructies, (niet-)constructieve existentiebewijzen, Brouwers verwerping van de uitgesloten derde, de Turing-Church These, de mogelijkheden en beperkingen van algoritmen.

De startbekwame docent kan: 5.1.1 bestaande opvattingen over de wiskunde benoemen en vergelijken; 5.1.2 bestaande opvattingen over de wiskunde in verband brengen met metamathematische resultaten; 5.1.3 bestaande opvattingen over de wiskunde relateren aan de inhoud en didactiek van de schoolwiskunde; 5.1.4 zich verder theoretisch verdiepen in minstens een van de onderstaande onderwerpen: 5.1.4.1 bestudering van Euclides boek I bezien vanuit de positie van het parallellenpostulaat; modellen van Poincaré en Klein voor de nieteuclidische meetkunde; de betekenis van deze modellen; 5.1.4.2 verzamelingenleer: epsilonrelatie, inclusie, vereniging, doorsnede, complement, product, relatie, functie, quotiënt, machtigheid en kardinaalgetallen; 5.1.4.3 werken in een formeel systeem zoals de Peano-rekenkunde; 5.1.4.4 invoering van de getallenverzamelingen Z, Q en R; 5.1.4.5 Turing-machines, de universele Turingmachine en de toepassing op Hilberts Entscheidungsproblem.


(Vraag bij indicator 5.1.4.1) Lang hoopten wiskundigen dat het parallellenpostulaat af te leiden zou zijn uit de overige axioma’s van de euclidische meetkunde. Hoe weten wij tegenwoordig dat, dat nooit zal lukken? (Vraag bij indicator 5.1.4.2 ) Volgens Galileï kun je niet spreken van “het aantal (natuurlijke) getallen” omdat het twee keer zo groot zou zijn als het aantal even getallen, maar tegelijkertijd over even groot. Leg uit hoe Cantor deze paradox oploste. (Vraag bij indicator 5.1.4.5 ) Op dit moment wordt er gewerkt aan computerprogramma’s die bewijzen leveren voor wiskundige stellingen. Wat zegt Turings “Application on the Entscheidungsproblem” over het mogelijk welslagen van deze onderneming.


3 Domeinen

Subdomeinen

5.2 Geschiedenis 5 Wetenvrije keuze schappelijke grondslagen en ontwikkelingen




De startbekwame docent kent in hoofdlijnen de geschiedenis van de wiskunde met betrekking tot:

De startbekwame docent kan: 5.2.1 de wiskunde in de volgende tijdvakken typeren: oudheid, Middeleeuwen, Renaissance, zeventiende eeuw, Verlichting, negentiende eeuw en Moderne tijd; 5.2.2 de rol schetsen die specifieke sleutelfiguren speelden, zoals: Pythagoras, Euclides, Archimedes, Fermat, Descartes, Pascal, Newton, Leibniz, Euler, Gauss, Weierstraß, Cantor, Cauchy, Riemann, Hilbert, Brouwer, Nash, Turing, Gödel en Wiles; 5.2.3 de belangrijke etappen aangeven in de historische ontwikkeling van getalbegrip en numerieke methoden, van de vakgebieden meetkunde, analyse, algebra, statistiek en besliskunde en kan voorbeelden geven van de beïnvloeding van de wiskundige vakgebieden onderling; 5.2.4 van een representatieve selectie van bronnenmateriaal (d.w.z. fragmenten van authentieke wiskundige verhandelingen in transcriptie of moderne vertaling) aan de hand van vakliteratuur: t de wiskundig inhoud blootleggen en analyseren; t de aanpak vergelijken met de eigentijdse benadering; t de thematiek, aanpak en geest plaatsen in het betreffende tijdvak; t de inhoud plaatsen in de lijn waarlangs het onderwerp zich ontwikkeld heeft; t de inhoud plaatsen in het leven en werk van de schrijver. 5.2.5 thema’s uit de geschiedenis van de wiskunde verweven met zijn/haar onderwijs in de Tweede Fase.


1) 2) 3) 4) 5)

de onderwerpen waarmee wiskundigen zich in opeenvolgende tijdvakken bezig hielden; de vorm waarin wiskunde beoefend werd; de manier waarop de beoefening georganiseerd was; de wetenschappelijke attitude ten aanzien van het vak; de wisselwerking tussen ontwikkelingen in de wiskunde enerzijds en in de politiek, de cultuur en economie anderzijds.

werd bij getallen gedacht aan Tot de ontdekking van de irrationaliteit van ‘aantallen’. Maar omdat niet uit te drukken bleek als verhouding van aantallen moest het getalbegrip worden aangepast in de richting van ‘lengtes’. Vaker in de geschiedenis moest het getalbegrip worden aangepast omdat getallen bepaalde eigenschappen niet bleken te hebben, of juist wel. In dit verband noemen we: 1) rationaal versus irrationaal 2) construeerbaar (met passer en liniaal) 3) algebraïsch versus transcendent 4) te schrijven als machtreeks 5) te schrijven als kettingbreuk. Zoek uit wat deze termen betekenen, onderzoek welke bekende constanten zoals , e en de betreffende eigenschap hebben, door wie en wanneer zulks bewezen werd en onderzoek in welke periode en in welke context deze begrippen werden ontwikkeld. Zoek daarbij de bijbehorende historische bronteksten. (Vraag bij indicator 5.2.1 en 5.2.2) De getallenmatrix van binomiaalcoëfficienten “ n boven m” draagt niet geheel terecht de naam ‘driehoek van Pascal’. Dezelfde getallendriehoek is namelijk al terug te vinden in Chinese en Arabische handschriften die vele eeuwen ouder zijn dan het beroemde “’traité du triangle Arithmétique’ van Blaise Pascal uit 1654. Wel was Pascal de eerste die de algemene eigenschappen van de getallen in de driehoek bewees. a) In hoeverre is de bewijsvoering van Pascal in het traité naar moderne maatstaven nog acceptabel. In hoofdstuk 2 bouwt Pascal de theorie van de binomiaalcoëfficiënten op, daar treffen wij het volgende lemma: Lemma 4 Stel je neemt 4 willekeurige getallen. Het eerste getal (E) kies je willekeurig. Het tweede getal (T) neem je 1 groter dan het eerste getal. Het derde getal (D) mag je willekeurig kiezen, maar moet groter zijn dan het tweede getal. Het vierde getal (V) neem je 1 groter dan het derde getal. Dan geldt: Aantal combinaties van E uit D + aantal combinaties T uit D = aantal combinaties T uit V. b) Formuleer het bovenstaande lemma in moderne bewoordingen waarbij duidelijk wordt waar de vier getallen E, T, D, V precies voor staan in relatie tot de parameters van de getallen uit de driehoek van Pascal.



3 Domeinen

Subdomeinen




6 Vakdidactiek

6.1 Vakdidactiek verplicht

De startbekwame docent heeft vakdidactische kennis op het gebied van:

Deze indicatoren zijn gebaseerd op de beroepsstandaarden zoals vermeld in het WiVa-rapport. De meeste van deze beroepsstandaarden zijn in de kennisbasis van de bachelor opgenomen. In de master wordt vooral gefocust op die beroepsstandaarden die gerelateerd zijn aan het functioneren als eerstegraaddocent in de bovenbouw.


t t t t

het schoolvak wiskunde omgevingsfactoren van het wiskundeonderwijs leerprocessen toetsing, beoordeling en evaluatie van wiskundeonderwijs

De startbekwame docent Schoolvakkennis 6.1.1 heeft overzicht over de totale onderwijsinhoud en leerstof wiskunde in de bovenbouw havo en vwo; 6.1.2 beheerst de leerstof in perfectie; 6.1.3 beheerst het gebruik van vakspecifieke ICT middelen. Omgevingsfactoren 6.1.4 heeft goed inzicht in de vooropleiding en vervolgopleiding voor wat betreft wiskunde en in het gebruik van wiskunde in andere vakken in het voortgezet onderwijs; 6.1.5 kent het belang en de doelen van wiskundeonderwijs in een breder kader. Toetsing, beoordeling en evaluatie 6.1.6 kan bij verschillende soort vaardigheden een passende toetsvorm kiezen en ontwerpen zoals: schriftelijk, mondeling, praktische opdracht, computertoets, practicum en geïntegreerde wiskundige activiteit; 6.1.7 kan een toets of serie toetsen ontwerpen of samenstellen. Leerprocessen 6.1.8 kan verschillende aspecten uit theorieën over het leren van rekenen/ wiskunde en uit de vakdidactiek in de praktijk inzetten; 6.1.9 kan leerlingen motiveren voor het leren van wiskunde; 6.1.10 kan beargumenteerd zijn onderwijs vormgeven in een compleet leertraject; 6.1.11 kent verschillende aanpakken en kan de leerstof op verschillende manieren uitleggen; 6.1.12 kan omgaan met verschillen tussen leerlingen op het gebied van rekenen/ wiskundeleren en kan aandacht besteden aan individuele leerlingen; 6.1.13 is bekend met theoretische achtergronden van de vakdidactiek en met vakdidactisch onderzoek op het gebied van de wiskunde.

Kies een leerstofgebied uit de bovenbouw van het voortgezet onderwijs uit één van de wiskundevakken A, B, C of D. Denk daarbij aan, vlakke meetkunde, ruimtemeetkunde, analytische meetkunde, statistiek, kansrekening, differentiaalrekening, integraalrekening, goniometrische functies, dynamische systemen, complexe getallen, discrete dynamische modellen en logica in wiskunde C. Het doel van deze opdracht is dat je aantoont dat je overzicht hebt over het betreffende leerstofgebied. Beantwoord daarvoor de volgende vragen: t Wat moeten de leerlingen volgens het examenprogramma van het betreffende leerstofgebied weten? t Welke opbouw wordt in een schoolmethode gekozen voor het betreffende leerstofgebied? (of vergelijk de opbouw van dit leerstofgebied volgens twee schoolmethoden?) t Welke voorkennis uit voorgaande leerjaren is nodig voor het betreffende leerstofgebied? t Analyseer twee examenopgaven waarin het betreffende leerstofgebied wordt getoetst en werk deze uit. t Vraag een docent die dat leerstofgebied onderwijst naar zijn ervaringen. Wat vinden leerlingen moeilijk? Waar moet je om denken bij het uitleggen? Vinden leerlingen het een leuk onderdeel? Presenteer je bevindingen in een verslag en een mondelinge presentatie voor je medestudenten. (Vraag bij indicator 6.1.6) Ook op internet zijn veel Excel-bestanden te vinden met kant en klaar leerlingenmateriaal. Een voorbeeld is bijvoorbeeld ParaboolSchuif. Open dit bestand en onderzoek de inhoud en functionaliteiten op de drie werkbladen. De opdracht zoals die nu op de werkbladen staat geformuleerd, is eigenlijk weinig creatief. “Bedenk een opdracht bij die werkbladen die leerlingen “dwingt om meer na te denken” over parabolen, voorschriften en de rol van de parameters. Geef ook een uitwerking voor een “docentenhandleiding” bij jouw opdracht. [bij deze opdracht hoort een werkblad in Excel]

Redactie Herman Bloem

NHL Hogeschool

Jan Essers

Fontys Hogescholen

Fred Muijrers

Hogeschool van Arnhem en Nijmegen

Quintijn Puite

Hogeschool Utrecht

Marco Swaen

Hogeschool van Amsterdam

Legitimeringspanel professor dr. F. Beukers

hoogleraar Universiteit Utrecht

dr. G.A.M. Jeurnink

universitair docent Lerarenopleiding Wiskunde, voorzitter Onderwijscommissie Platform Wiskunde Nederland

M.A. Lambriex - van der Heijden MA docent VO, bestuurslid NVvW


drs. A.J. Pach

docent wiskunde Montessori Lyceum Amsterdam

dr. H.J.M. Sterk

docent Wiskunde TU/e, lerarenopleider ESoE

drs. J.L.J. Tolboom

leerplanontwikkelaar wiskunde, SLO


Colofon Kennisbasis docent wiskunde master Vormgeving Elan Strategie & Creatie, Delft Omslagontwerp Gerbrand van Melle, Auckland www.10voordeleraar.nl © HBO-raad, vereniging van hogescholen 2011/2012


Kennisbasis. docent wiskunde master

Recommend Documents