DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS NEGERI MANADO JURUSAN MATEMATIKA 2008
Kata Pengantar Puji syukur saya panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, oleh karena berkat dan penyertaan-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan pembuatan Modul Matematika ini. Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA kelas XI (Program IPA) dalam memahami kompetensi konsep Turunan melalui penerapan belajar tuntas. Sebagai manusia yang penuh dengan kekurangan dan kelemahan, sudah tentu saya menyadari bahwa dalam Modul Pembelajaran ini, masih ada begitu banyak kekurangan dan kelemahan. Oleh karena itu,saran dan kritikan dari semua pihak sangatlah diharapkan demi kesempurnaan Modul ini. Akhirnya, saya tak lupa mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah berpartisipasi dalam pembuatan Modul pembelajaran ini. Harapan saya, biarlah kiranya Modul ini dapat menambah wawasan kita semua.
Tondano, Februari 2008
PENULIS
Daftar Isi Halaman Halaman Francis …………………………………………….. Kata Pengantar………………………………………………. Daftar Isi………………………………………………………. Peta kedudukan Modul Glosarium Bab I
Pendahuluan
A. Deskripsi.............................................................................. B. Prasyarat.............................................................................. C. Petunjuk Penggunaan Modul................................................. D. Tujuan Akhir......................................................................... E. Kompetensi............................................................................... F. Cek Kemampuan.................................................................... Bab II
Pembelajaran.......................................................................
A. Rencana Belajar Peserta Diklat................................................. B. Kegiatan Belajar......................................................................... 1. Kegiatan Belajar 1................................................................ 2. Kegiatan Belajar 2................................................................ Bab III Evaluasi A. Evaluasi Kompetensi....................................................................... Bab IV Penutup................................................................................. Daftar Pustaka.....................................................................................
KEGIATAN 1 Menerapkan pembagian suku banyak Dengan pembagian linear, pembagian panjang dan menggunakan metode Horner
KEGIATAN 2 Pembagian Suku banyak dengan pembagi kuadrat, Mencari teorema sisa, Mencari teorema sisa dengan pembagi Kuadrat Menetukan Teorema faktor
Glosarium Univariabel : Sukubanyak-sukubanyak di atas adalah suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel. Multivariabel : Selain itu ada pula suatu suku banyak yang mempunyai lebih dari satu variabel. teorema faktor : saat suku banyak f(x)dibagi (ax + b) maka sisanya adalah nol, atau , f(x) habis dibagi oleh (ax + b), atau (ax + b) adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x)..
BAB I PENDAHULUAN A. DESKRIPSI Modul suku banyak ini terdiri atas dua bagian proses pembelajaran sesuai dengan sub kompetensinya yaitu: Menerapkan pembagian suku banyak Dengan pembagian linear, pembagian panjang dan menggunakan metode Horner Pembagian Suku banyak dengan pembagi kuadrat, Mencari teorema sisa, Mencari teorema sisa dengan pembagi Kuadrat Menetukan Teorema faktor B. PRASYARAT Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah: Terampil dalam operasi hitung bilangan real Terampil dalam operasi Aljabar Terampil dalam operasi Substitusi dan eliminasi Terampil dalam operasi eksponen C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL a. Penjelasan Bagi Peserta Diklat bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan cek kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya. setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah menguasainya. laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Anda berkembang dengan baik. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertianpengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan. dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terlebih dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan. cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudian kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda.
b. Peranan Guru 1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar. 2. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini. 3. membantu peserta diklat dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. 4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta diklat 5. menjelaskan kepada peserta diklat mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya. D. TUJUAN AKHIR Setelah selesai mempelajari modul ini, Anda akan memiliki kemampuan sebagai berikut : 1. Memiliki pemahaman mengenai suku banyak. 2. Dapat menuliskan bentuk umum suku banyak. 3. Dapat membagi suku banyak dengan pembagi linear 4. Dapat membagi suku banyak dengan pembagian panjang 5. Dapat mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat 6. Dapat mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa 7. Dapat mencari sisa pembagian oleh pembagi kuadrat 8. Bisa mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor E. KOMPETENSI : Menerapkan Konsep Suku Banyak
KOGNITIF
1.
KOMPETENSI DASAR
STANDAR KOMPETENSI
No.
AFEKTIF
Setelah selesai Siswa menyadari mengikuti pentingnya pelajaran matematika matematika sehingga selalu suku banyak menujukan maka siswa apresiasi yang 1. Menerapkan positif setiap kali pembagian suku belajar banyak Dengan matematika pembagian khususnya linear, dalam pembagian mempelajari panjang dan materi tentang menggunakan suku banyak. metode Horner 2. Melakukan pembagian Suku banyak dengan pembagi kuadrat, Mencari
PSIKOMOTOR
KOGNITIF
Siswa selalu menujukan kinerja yang baik dalam setiap kegiatan belajar matematika khusus dalam mempelajari materi suku banyak.
Setelah selesai mengikuti pelajaran matematika suku banyak maka siswa dapat menuliskan bentuk umum suku banyak, membagi suku banyak dengan pembagi linear, membagi suku banyak dengan pembagian panjang, mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat, mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa,
AFEKTIF
Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika secara bertanggung jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dalam mempelajari materi tentang suku banyak
PSIKOMOTOR 1.
Siswa selalu menujukan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugas-tugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi suku banyak.
teorema sisa, Mencari teorema sisa dengan pembagi Kuadrat Menetukan Teorema faktor
mencari sisa pembagian oleh pembagi kuadrat dan bisa mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor.
CEK KEMAMPUAN No 1
Pertanyaan
Ya
Apakah Anda telah memahami pengertian suku banyak ?
2
Dapatkah Anda menuliskan bentuk umum suku banyak
3
Dapatkah anda membagi suku banyak dengan pembagi linear
4
Dapatkah anda membagi suku banyak dengan pembagian panjang
5
Dapatkah anda mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat
6
Dapatkah anda mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa?
7
Dapatkah anda sisa pembagian oleh pembagi kuadrat
8
Dapatkah anda mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor
Jika Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.
Tidak
BAB II PEMBELAJARAN
A.
RANCANGAN BELAJAR SISWA Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagian dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konsep Turunan. Untuk
mengembangkan
kompetensi
anda dalam
Substansi
Non
Instruksional, Anda perlu latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Untuk itu, maka dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang. 1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep Turunan dengan menggunakan format sebagai berikut. No
Kegiatan Tgl
Mengetahui Guru pembimbing
(..............................)
Pencapaian Jam Tempat
Alasan Perubahan bila diperlukan
Paraf Siswa Guru
.............., ............ 20 Peserta Diklat
(................................)
2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan. a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan kliping terhadap informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda pelajari. b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengkapi dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, siapa yang terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa). c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh benda kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain). d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus diperbaiki/dilengkapi, maka Anda harus melaksanakan saran guru pembimbing Anda.
B. KEGIATAN BELAJAR 1. KEGIATAN BELAJAR 1: (a) Tujuan kegiatan belajar 1 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan: o Memiliki pemahaman mengenai suku banyak. o Dapat menuliskan bentuk umum suku banyak. o Dapat membagi suku banyak dengan pembagi linear o Dapat membagi suku banyak dengan pembagian panjang (b) Uraian materi
Pengertian suku banyak Bentuk umum dari suku banyak a n x n a n -1 x n1 a n -2 x n 2 a n -3 x n 3 ... a 3 x 3 a 2 x 2 a 1 x a 0
Untuk n suatu bilangan cacah Pada bentuk umum suku banyak di atas terdapat beberapa istilah yang perlu dipahami, antara lain: 1. Pangkat tertinggi x yaitu n disebut derajat dari suku banyak tersebut. 2. an disebut koefisien dari x n , an-1 disebut koefisien dari x n1 , ..., dan a1 disebut koefisien dari x . 3. Suku yang tidak memuat peubah x disebut Suku tetap. Perhatikan bahwa suku-suku pada suku banyak diatas di awali dengan suku yang peubahnya mempunyai pangkat tertinggi, yaitu a n x n . Kemudian diikuti oleh suku-suku berikutnya dan diakhiri dengan suku tetap a 0 . Suku banyak yang disusun atau ditulis semacam ini dikatakan menurut aturan pangkat turun dalam peubah acak x . Perlu diketahui bahwa peubah suatu suku banyak tidak harus dalam peubah x , tetapi tetapi dalam peubah-peubah lain seperti peubah a, b, c,..., s, t , u ,..., y, dan z . Sukubanyak-sukubanyak di atas adalah suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel, dan biasanya disebut univariabel. Selain itu ada pula suatu suku banyak yang mempunyai lebih dari satu variabel atau bisa disebut multivariabel. Sebagai contoh suku banyak multivariabel: x 3 xy y 4 10 merupakan suku banyak dalam dua peubah x dan y dengan x berderajat 3 dan y
berderajat 4.
1. MEMBAGI SUKU BANYAK DENGAN PEMBAGI LINEAR Sebuah suku banyak memiliki bentuk umum a0 xn + a1xn-1+ a2xn-2 + ...+ an Disini n disebut sebagai derajat suku banyak. Sebagai contoh 1. 4x4 + 10x2 + 5x +6 : 3
suku banyak berderajat 4 (kuartik)
2
2. 5x - 6x - 11 x + 1 : 2
suku banyak berderajat 3 (kubik)
3. 3x - 3x + 2
:
suku banyak berderajat 2 (kuadrat)
4. 2x + 5
:
suku banyak berderajat 1 (linear)
Pembagian suku banyak menyerupai pembagian bilangan, Sebagai contoh pada bilangan : Karena 3 × 4 = 12 maka 12 : 4 = 3, atau 12 : 3 = 4. pada kasus 12 :4 =3, maka 4 di sebut pembagi dan 3 disebut hasil bagi. Sebgai contoh pada suku banyak : karena (2x+3)(x + 5) = 2x2 + 13x +12, maka (2x2 + 13x +12) : (2x +3) = x + 5 atau (2x2 + 13x +12) : (x + 5) =2x+3 Pada kasus (2x2 + 13x +12) : (2x +3) = x + 5, (2x +3) di sebut pembagi dan x + 5 disebut hasil bagi. Sampai di sini cara kita menemukan hasil bagi dapat disimpulkan sebgai berikut : a. Berapa hasil bagi dari 12 : 4 ? Dengan mengingat-ingat bahwa 3 × 4 = 12, maka mendapatkan bahwa 12 : 4 = 3 b. Berapa hasil bagi dari (2x2 + 13x +12) : (2x +3) ? Dengan memperhitungkan bahwa (2x +3) (x + 5) = (2x2 + 13x +12), maka diperoleh 13x +12) : (2x +3) = : (2x +3) 2. PEMBAGIAN PANJANG Berapa hasil bagi dari 4369:14 ? dengan pembagian panjang kita dapatkan :
312 14 4 3 6 9 Pembagi
42 16 14 29 28 1 Sisa
Hasil Bagi Yang Dibagi
(2x2
+
Hasil baginya adalah 312 dan sisanya adalah 1. Berapa hasil bagi dari (x3+4x2 - 2x +4) : (x -1)? Dengan cara serupa, kita dapatkan: x 5 5x 3 x 1 x3 4x 2 2x 4 Pembagi
Hasil Bagi Yang Dibagi
x3 x2 5x 2 2 x 5x 2 5x 3x 4 3x 3 7 Sisa
Hasil baginya adalah x5 + 5x + 3 dan sisanya adalah 7. Kita mungkin bertanya, apakah betul bahwa 679 : 21 memberikan hasil bagi 32 dan sisa 7? Melalui perkalian dan penjumlahan : (32 × 21) + 7 = 672 + 7 = 679, jadi jawabannya betul. Lalu apakah betul bahwa (6x2 + 7x +9) : (2x +1) memberikan hasil bagi 3x + 2 dan sisa 7? Memelalui perkalian dan penjumlahan: (3x + 2 ) (2x +1) + 7 = 6x2 + 7x + 2 + 7 = 6x2 + 7x +9, jadi betul. Beberapa contoh berikut akan memperjelas pembagian panjang pada suku banyak. 4x 2 6x 6 1. x 1 4 x 3 2 x 2 1 4x3 4x 2
6x2-1 6x2-6x 6x-1 6x-6 5
Pembagian:
( 4 x 3 2 x 2 1 ):(x-1) Hasil baginya: 4 x 3 2 x 2 1 Sisa
: 5
Dan kita dapat menuliskan bahwa: 4 x 3 2 x 2 1 =(x-1) ( 4 x 2 6 x 6 )+5
x3 x2 x 1 x4 1 2. . x 1 4x3 x3
-x3-1 -x3-x2 x2 - 1 x2 + x -x – 1 -x – 1 0 Pembagian: ( x 4 1 ):(x+1) Hasil baginya: x 3 x 2 x 1 Sisa
:0
Dan kita dapat menuliskan bahwa: x 4 1 =(x+1) ( x 3 x 2 x 1 ) + 0 x 4 1 =(x+1) ( x 3 x 2 x 1 )
Karena sisanya adalah 0, maka kita dapat mengatakan bahwa x 4 1 habis dibagi oleh x + 1. Atau, x + 1 adalah sebuah faktor dari x 4 1 (faktor lainnya adalah x 3 x 2 x 1 ). 3. METODE HORNER (1) Melalui pembagian panjang, kita akan mendapatkan bahwa pembagian (5x2 + 6x + 4):(x + 2) memberikan hasil bagi 5x – 4 dan sisa 12. Sekarang kita akan mengerjakan kembali pembagian tersebut dengan suatu metode yang disebut metode Horner. Ada 2 cara menggunakan metode Horner, sebagaimana ditunjukkan sebagai berikut ini. Cara pertama:
Penjelasan: (b)
5
2
(c)
6
4
10
-8
(d)
(e)
(-) (f)
5
(a)
-4
(g) 12
Hasil bagi
Sisa
Keterangan: (a) Koefisien-koefisien dari 5x2 + 6x + 4. (b) Konstanta dari pembagi x + 2 (c) Pindahkan 5 ke bawah (d) 5 × 2 = 10, angka 2 berasal dari (b) (e) 6 – 10 = -4 (f) -4 × 2 = -8 (g) 4 – (-8) = 12 Hasil bagi : 5x – 4 dan sisa : 12
Cara kedua: Penjelasan: (b)
5
-2
(c)
6
4
-10
8
(d)
(e)
(-) (f)
5
(a)
-4
Hasil bagi
(g) 12 Sisa
Keterangan: (h) Koefisien-koefisien dari 5x2 + 6x + 4. (i) Negatif dari konstanta pembagi x + 2
(j) Pindahkan 5 ke bawah (k) 5 × (-2) = -10, angka (-2) berasal dari (b) (l) 6 + (-10) = -4 (m)(-4) × (-2) = 8 (n) 8 + 4 = 12 Dan seperti sebelumnya, hasil bagi : 5x – 4 dan sisa : 12 Perhatikan bahwa pada langkah (a) suku banyak harus ditulis dalam bentuk umum. Perhatikan pembagian-pembagian dengan metode Horner berikut ini. (i). x3 : (x - 5) Bentuk umum dari suku banyak x3 adalah : 1 x3 + 0 x2 + 0x + 0.
1 5
0
0
0
5
25
125 (+)
1
5
25
125
Hasil bagi
Sisa
Hasil bagi : 1 x3 + 5x + 25x0 = x2 + 5x + 25 .
Sisa
: 125
Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: x3 = (x-5)(x2 + 5x + 25) + 125 (ii). (2x4- 1) : (4 + x) Pembilang : 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + (-1), penyebut : (x + 4). 2 4
0
0
0
-1
8
-32
128
-512 (+)
2
-8
32
Hasil bagi
-128 511 Sisa
Hasil bagi : 2x3 - 8x2 + 32x - 128 .
Sisa
: 511
Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: 2x4- 1= (x + 4) (2x3 - 8x2 + 32x - 128) + 511. Metode Horner yang telah kita pelajari untuk pembagi bentuk x + b. Pada bagian selanjutnya kita akan mempelajari untuk pembagian bebberntuk ax + b. 4. METODE HORNER (2) Jika pembagi berbentuk ax+b maka kita harus menuliskan koefisien pembagi dengan b/a jika kita menggunakan cara pertama, dan –b/a jika kita menggunakan cara kedua. Perhatikan contoh-contoh berikut: 12 x 3 20 x 2 11x 3 2x 1
(i).
12 ½ 12
20
11
3
6
7
2
14
4
1 Sisa = 1
Hasil bagi: ½ (12x2 + 14x + 4) = 6x2 + 7x +2 Memeriksa melalui perkalian: (2x + 1)( 6x2 + 7x +2) + 1 = 12 x 3 20 x 2 11x 3
Latihan 1.
Berapa hasil bagi dari 679 : 21 ?
2.
Berapa hasil bagi dari (6x2 + 7x +9) : (2x +1)?
3.
(3x3 + x2 + x - 6) : (3x - 2)
Kunci Jawaban Soal Latihan 1. Dengan pembagian panjang kita dapatkan :
32 21
679 63 (-) 49 42 (-) 7
Hasil baginya adalah 32 dan sisanya adalah 7. 3x + 2
2.
2x +1 6x2 + 7x +9 6x2 + 3x
(-)
4x +9 4x +2 (-) 7 Hasil baginya adalah 3x + 2 dan sisanya adalah 7. 3. 3 2/3 3
1
1
-6
2
2
2
3
3
-4 Sisa = -4
Hasil bagi: 2/3 (3x2 + 3x + 3) = x2 + x +1
(c) Rangkuman kegiatan belajar 1: 1. Bentuk umum dari suku banyak
a n x n a n -1 x n1 a n -2 x n 2 a n -3 x n 3 ... a 3 x 3 a 2 x 2 a 1 x a 0 2. Hasil bagi dapat disimpulkan sebgai berikut : Misalkan a. Berapa hasil bagi dari 12 : 4 ? Dengan mengingat-ingat bahwa 3 × 4 = 12, maka mendapatkan bahwa 12 : 4 = 3 b. Berapa hasil bagi dari (2x2 + 13x +12) : (2x +3) ? Dengan memperhitungkan bahwa (2x +3) (x + 5) = (2x2 + 13x +12), maka diperoleh
(2x2
13x +12) : (2x +3) = : (2x +3) 3. Melalui pembagian panjang suku banyak kita dapat mencari hasil bagi dan sisanya. 4. Selain pembagian panjang kita dapat mengerjakan pembagian suku banyak dengan metode horner. 5. Ada 2 cara menggunaakan metode horner yaitu - Untuk pembagian berbentuk x + b - Untuk pembagian berbentuk ax + b (d) Tugas kegiatan belajar 1 Diskusikan sosl-soal LKS tentang dasar integral, untuk dipresentasikan. (e) Tes formatif 1. Berapa hasil bagi dari 12 : 4 ? 2. Carilah hasil bagi dari 679 : 21 dengan pembagian panjang! 3. Carilah hasil bagi dari (6x2 + 7x +9) : (2x +1) dengan pembagian panjang! Cari hasil bagi dan sisanya dengan menggunakan metode Horner bentuk x + b 4. (2x4- 1) : (4 + x) 5. x3 : (x - 5) Cari hasil bagi dan sisanya dengan menggunakan metode Horner bentuk ax + b 6. (3x3 + x2 + x - 6) : (3x - 2) 7.
12 x 3 20 x 2 11x 3 2x 1
(f) Kunci jawaban
+
1. Hasil bagi dari 12 : 4 adalah 3. Yaitu dengan mengingat-ingat bahwa 3 × 4 = 12, maka mendapatkan bahwa 12 : 4 = 3 2. Hasil bagi dari 679 : 21 dengan pembagian panjang: 32 21
679 63 (-) 49 42 (-) 7
Hasil baginya adalah 32 dan sisanya adalah 7. 3. Hasil bagi dari (6x2 + 7x +9) : (2x +1) dengan pembagian panjang! 3x + 2 2x +1 6x2 + 7x +9 6x2 + 3x
(-)
4x +9 4x +2 (-) 7 Hasil baginya adalah 3x + 2 dan sisanya adalah 7. 4. (2x4- 1) : (4 + x) Pembilang : 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + (-1), penyebut : (x + 4).
2 4
0
0
0
-1
8
-32
128
-512 (+)
2
-8
32
Hasil bagi
-128 511 Sisa
Hasil bagi : 2x3 - 8x2 + 32x - 128 .
Sisa
: 511
Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: 2x4- 1= (x + 4) (2x3 - 8x2 + 32x - 128) + 511. Metode Horner yang telah kita pelajari untuk pembagi bentuk x + b. Pada bagian selanjutnya kita akan mempelajari untuk pembagian bebberntuk ax + b. x3 : (x - 5)
5.
Bentuk umum dari suku banyak x3 adalah : 1 x3 + 0 x2 + 0x + 0.
1 5
0
0
0
5
25
125 (+)
1
5
25
125
Hasil bagi
Sisa
Hasil bagi : 1 x3 + 5x + 25x0 = x2 + 5x + 25 .
Sisa
: 125
Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: x3 = (x-5)(x2 + 5x + 25) + 125 6.
(3x3 + x2 + x - 6) : (3x - 2)
3 2/3 3
1
1
-6
2
2
2
3
3
-4 Sisa = -4
Hasil bagi: 2/3 (3x2 + 3x + 3) = x2 + x +1 Memeriksa melalui perkalian: (3x - 2)( x2 + x +1) - 4 = 3x3 + x2 + x - 6
12 x 3 20 x 2 11x 3 2x 1
7.
12 ½ 12
20
11
3
6
7
2
14
4
1 Sisa = 1
Hasil bagi: ½ (12x2 + 14x + 4) = 6x2 + 7x +2 Memeriksa melalui perkalian: (2x + 1)( 6x2 + 7x +2) + 1 = 12 x 3 20 x 2 11x 3
Bobot soal ditentukan sebagai berikut: Nomor soal
Bobot
Keterangan
1
1
Skor maksimum = 28
2
1
3
2
4 dan 5
4
6 dan 7
4
(g)
Lembar kerja siswa (LKS)
Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca jawablah soal-soal berikut ini. Carilah hasil bagi dari 1. (x2 – 1 ) : (x – 1 ) 2.
10 x 3 5 x 2 15 x 6 5x 1
Carilah hasil bagi dan sisanya dengan metode Horner dari 3. x4 : (x + 2) 4. (3x4-5x2 + 2x2+ x +1) : (2x - 1)
(h)
Tingkat penguasaan
Rumus :
Tingkat penguasaan =
jumlahskoryangdiperoleh x 100% 28
Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat penguasaan yang telah Anda capai sebagai berikut : 1. > 80 %
Bagus ! pertahankan
prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2 2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkompetensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum Anda kuasai 3. < 60 %
Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda
2.
KEGIATAN BELAJAR 2: (i) Tujuan kegiatan belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan: o Dapat mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat o Dapat mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa o Dapat mencari sisa pembagian oleh pembagi kuadrat o Bisa mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor (j) Uraian materi
5.
PEMBAGI KUADRAT
Dengan memperhatikan derajat hasil bagi dan sisa pada contoh-contoh pembagi suku banyak f(x) oleh karena (x-k) dan (ax+b), secara umum dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut: Jika suku banyak berderajat n dan dibagi oleh pembagi berderajat m, berlaku: 1. derajat hasil bagi = derajat suku banyak kurang derajat pembagi 2. derajat sisa = satu lebih kecil daripada derajat pembagi. Misalkan f(x) dibagi dengan ax 2 bx c maka f ( x) ( ax 2 bx c).H ( x) S H (x) merupakan hasil bagi dari suku banyak tersebut, S merupakan sisa dari suku banyak dan ax 2 bx c adalah pembagi.
Perhatikan contoh – contoh berikut: (ii). (4x2 + 4x + 8) : (2x2 + 2x + 4) 2 2x 2x 4 4x 4x 4 2
2
Bandingkan
4x 4x 4 2
0 Hasil bagi : 2 Sisa
:0
(-)
2 224 448 448
0
(-)
(iii). (6x3 + 7x2 + 9x + 8) : (3x2 + 2x + 1) 2x 1 3x 2 2x 1 6x 3 7x 2 9x 8
Bandingkan
6x 3 4x 2 2x
3x2 + 7x + 8
(-)
3x2 + 2x + 1 5x + 7
21 321 6798 642
378
(-)
321 (-)
57 (-)
Hasil bagi : 2x + 1 Sisa
: 5x + 7
Catatan: Kita bisa membandingkan dengan bilangan, karena jika kita menggantikan x dengan 10 ( bilangan pokok yang kita pergunakan adalah 10) maka kita akan mendapatkan bilangan. Misalnya: 3x2 + 2x + 1 2(10)2 + 2(10) + 1 = 321 5. TEOREMA SISA Jika suku banyak f(x) dibagi oleh (ax + b ) memberikan hasil bagi Q(x) dan sisa R, maka kita dapat menuliskan bahwa: f(x) = (ax + b) Q(x) + R ..............................(1) jika kita mensubstitusikan x dengan –b/a, maka kita akan mendapatkan: f(-b/a) = (-b + b) Q(x) + R = 0 + R R = f(-b/a) ..................................................(2) Rumus (2) mengatakan bahwa : jika suku banyak f(x) dibagi oleh ax + b, maka sisanya adalah f(b/a), yang berarti kita cukup mensubstitusikan x = -b/a pada suku banyak dan kita akan mendapatkan sisa pembagian. Contoh 1: Tentukan sisa pembagian : (2x4 + 3x3 + x2 – x - 3 ): (x - 1) Jawab: Sisa: (2x(1)4 + 3(1)3 + 12 – 1 - 3 ) = 2 Contoh 2: Diketahui f(x) adalah sebuah suku banyak berderajat 2. saat f(x) dibagi oleh x + 1 maka sisanya 3, saat f(x) dibagi oleh x – 3 maka sisanya 23, dan saat f(x) dibagi oleh x – 2 maka sisanya 15.
Tentukan suku banyak f(x). Jawab: Misalnya: f(x) = qx2 + mx + n Saat f(x) dibagi x + 1, sisa = q(-1)2 + m(-1) + n = 3 q – m + n = 3 .............(1) Saat f(x) dibagi x - 3, sisa = q(3)2 + m(3) + n = 23 9q + 3m + n = 23 .............(2) Saat f(x) dibagi x - 2, sisa = q(2)2 + m(2) + n = 15 4q + 2m + n = 15 .............(3) Eliminasi: (2) – (3) : 5q + m = 8
5q + m = 8
(3) – (1) : 3q + 3m = 12
q+m=4
4q
=4
q
(-)
= 1, m = 3, n = 5
Jadi f(x) = 1x2 + 3x + 5 = x2 + 3x + 5 6. SISA PEMBAGIAN OLEH PEMBAGI KUADRAT Jika suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi kuadrat (x – a)(x – b), maka sisanya adalah suku banyak linear sehingga kita bisa menuliskan; f(x) = (x – a)(x – b) Q(x) + mx + n ................................................(3) jika kita mensubstitusikan x = a dan x = b maka kita dapatkan: f(a) = ma + n f(b) = mb + n mengeliminasi, kita dapatkan : f(a) – f(b) = m(a – b) dan bf(a) – af(b) = n(b – a). Oleh karena itu:
f(x) = (x – a)(x – b)Q(x) +
f (a ) f (b) af (a ) bf (b) x + x .......................(4) ab a b
dan tentu saja anda dapat menggunakan rumus (4) ini sebagai sebuah jalan pintas. Contoh 3: Tentukan sisa dari pembagian : Jawab: Cara biasa:
( x 3) 4 ( x 1)( x 2)
Kita ekspansikan pembilang terlebih dahulu. Karena (α + ß)4 = α4 + 4α3ß + 6α2ß2 + 4αß2 + ß4, Maka (x – 3)4 = x4 – 12x3 + 54x2 – 108x + 81. Sementara itu, pada penyebut: (x - 1)(x - 2) = x2 – 3x + 2. Pembagian panjang: x 2 9x 25 x 2 3x 2 x 4 - 12x 3 54x 2 108x 81 x 4 - 3x 3 2x 2 - 9x 3 54x 2 108 x - 9x 3 27x 2 18 x
(-)
25x2 – 90x + 81
(-)
25x2 – 75x + 50 - 15x + 31 Sisa:
(-)
- 15x + 31
Jalan pintas: f(x) = (x – 3)4 ;
f(1) = (1-3)4 = 16 f(2) = (1-2)4 = 1
Rumus (4): Sisa =
f (1) f (2) 1. f (2) 2. f (1) 15 31 x x 15 x 31 1 2 1 2 1 1
Perhatikan bahwa rumus (4) dapat juga dipergunakan saat suku banyak f(x) dibagi (x-a), dan f(b) adalah sisa saat f(x) dibagi oleh (x-b). Perhatikan contoh berikut: Contoh 4: Saat suku banyak f(x) dibagi oleh x-3 maka sisanya -9, dan saat suku banyak f(x) dibagi oleh x-5 maka sisanya 25. Tentukan sisa pembagian, saat f(x) dibagi oleh (x-3)(x-5). Jawab: Cara biasa:
f(x) = (x-3) Q1(x)-9
→f(3) = -9
f(x) = (x-5) Q2(x)+25
→f(5) = 25
f(x) = (x-3)(x-5) Q3(x)+25 + mx + n f(3) = 3m + n = -9 f(5) = 5m + n = 25 Mengurangkan : 2m = 34 m = 17 Mensubstitusi: n = -60 Sisa:
mx + n = 17x – 60
Jalan pintas: Rumus (4): f(a) = -9, f(b) = 25, a = 3, b=5. Sisa = =
9 25 3(25) 5(9) x 35 35 34 120 x 2 2
= 17x - 60 7. TEOREMA FAKTOR Mengingat kembali rumus (1) dan (2), jika kita mendapatkan R = f(-b/a) = 0, hal ini berarti : saat suku banyak f(x)dibagi (ax + b) maka sisanya adalah nol, atau , f(x) habis dibagi oleh (ax + b), atau (ax + b) adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x). Hal ini disebut dengan teorema faktor. Teorema faktor: ax + b adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(-b/a) = 0. Kasus khusus adalah jika a = 1 dan b = -n yaitu: x-n adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(n) = 0. Contoh 5: Tentukan nilai m agar x – 2 adalah sebuah faktor dari suku banyak x3 + 2x2 + mx – 6. tentukan juga faktor-faktor lainnya. Jawab: 23 + 2(2)2 + 2m – 6 = 0 Pembagian panjang:
m = -5
x 2 4x 3 x - 2 x 3 2x 2 5x - 6
x 3 2x 2 5x - 6 = (x -2)( x 2 4 x 3 )
x 3 2x 2
4x2 – 5x
(-)
= (x-2)(x+1)(x+3)
4x2 -8x 3x - 6
(-)
3x - 6 0
Faktor lainnya adalah: (x+1) dan (x+3).
Contoh 6: Jika n adalah sebuah bilangan ganjil, buktikan bahwa 2n + 1 selalu habis dibagi 3. Jawab: Misalnya ada suku banyak f(x) = xn + 1. Jika n adalah sebuah bilangan ganjil, maka f(-1) = (-1)n + 1 = (-1) + 1 = 0. Sesuai dengan teorema faktor, maka x + 1 adalah sebuah faktor dari xn + 1, jika n ganjil. Dan jika kita mensubstitusikan x = 2 maka kita dapatkan: 2+1 adalah sebuah faktor dari 2n + 1, atau 3 adalah sebuah faktor dari 2n + 1, saat n ganjil. Oleh karena itu 2n + 1 habis dibagi 3, saat n ganjil. Contoh 7: Tentukan syarat bagi n, agar an + bn habis dibahagi a+b . Jawab: Misalnya ada suku banyak f(x) = an + bn. Jika n ganjil, maka f(-b) = (-b)n + bn = (-b)n + bn = 0,yang berarti x + b adalah faktor dari an + bn. Mensubstitusikan x = a, maka a + b adalah faktor dari an + bn , saat n ganjil. Jadi , syaratnya adalah: n harus ganjil. (k) Rangkuman kegiatan belajar 2: 1. Jika suku banyak berderajat n dan dibagi oleh pembagi berderajat m, berlaku: a. derajat hasil bagi = derajat suku banyak kurang derajat pembagi b. derajat sisa = satu lebih kecil daripada derajat pembagi. 2. Jika suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi kuadrat (x – a)(x – b), maka sisanya adalah suku banyak linear 3. Teorema faktor:
ax + b adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(-b/a) = 0. Kasus khusus adalah jika a = 1 dan b = -n yaitu: x-n adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(n) = 0. 2. Tugas kegiatan belajar 2 Diskusikan sosl-soal LKS tentang dasar integral, untuk dipresentasikan. 3. Tes formatif 1.
Carilah hasil bagi dan sisa dari (4x2 + 4x + 8) : (2x2 + 2x + 4)
2.
Carilah hasil bagi dan sisa dari (6x3 + 7x2 + 9x + 8) : (3x2 + 2x + 1)
3.
Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa (2x4 + 3x3 + x2 – x - 3 ): (x - 1)
4.
Diketahui f(x) adalah sebuah suku banyak berderajat 2. saat f(x) dibagi oleh x + 1 maka sisanya 3, saat f(x) dibagi oleh x – 3 maka sisanya 23, dan saat f(x) dibagi oleh x – 2 maka sisanya 15. Tentukan suku banyak f(x). ( x 3) 4 ( x 1)( x 2)
5.
Tentukan sisa dari setiap pembagian berikut:
6.
Saat suku banyak f(x) dibagi oleh x-3 maka sisanya -9, dan saat suku banyak f(x) dibagi oleh x5 maka sisanya 25.Tentukan sisa pembagian, saat f(x) dibagi oleh (x-3)(x-5).
7.
Tentukan nilai m agar x – 2 adalah sebuah faktor dari suku banyak x3 + 2x2 + mx – 6. tentukan juga faktor-faktor lainnya. 4.
Kunci jawaban Tes Formatif
1. Hasil bagi dan sisa dari (8x2 + 8x + 16) : (2x2 + 2x + 4) 4 2x 2x 4 8x 8x 16 2
2
Bandingkan
8x 2 8x 16
0 Hasil bagi : 4 Sisa
:0
(-)
4 224 896 896
0
(-)
2. Hasil bagi dan sisa dari (6x3 + 7x2 + 9x + 8) : (3x2 + 2x + 1) 2x 1 3x 2 2x 1 6x 3 7x 2 9x 8
Bandingkan
6x 3 4x 2 2x
3x2 + 7x + 8
(-)
378
3x2 + 2x + 1 5x + 7
21 321 6798 642
(-)
321 (-)
57 (-)
Hasil bagi : 2x + 1 Sisa
: 5x + 7
4
3. (3x + 3x3 + x2 – x - 3 ): (x - 1) Sisa: (3(1)4 + 3(1)3 + 12 – 1 - 3 ) = 3+3+1-4 = 3 4. Diketahui f(x) adalah sebuah suku banyak berderajat 2. saat f(x) dibagi oleh x + 1 maka sisanya 6, saat f(x) dibagi oleh x – 3 maka sisanya 46, dan saat f(x) dibagi oleh x – 2 maka sisanya 30. Tentukan suku banyak f(x). Jawab: Misalnya: f(x) = qx2 + mx + n Saat f(x) dibagi x + 1, sisa = q(-1)2 + m(-1) + n =6 q – m + n = 6 .............(1) Saat f(x) dibagi x - 3, sisa = q(3)2 + m(3) + n = 46 9q + 3m + n = 46 .............(2) Saat f(x) dibagi x - 2, sisa = q(2)2 + m(2) + n = 30 4q + 2m + n = 30.............(3) 9q + 3m + n - 46 –(4q + 2m + n - 30)
= 9q-4q+3m-2m+n-n-46+30 = 5q+m-16
4q + 2m + n = 30-( q – m + n - 6) = 4q-q+2m+m+n-n-30+6 = 3q+3m-24 Eliminasi: (2) – (3) : 5q + m = 16
5q + m = 16
(3) – (1) : 3q + 3m = 24
q+m=8 4q
q
=8
= 2, m = 6, n = 10
Jadi f(x) = 2x2 + 6x + 10 = x2 + 3x + 5
(-)
5.
( x 3) 4 ( x 1)( x 2)
Kita ekspansikan pembilang terlebih dahulu. Karena (α + ß)4 = α4 + 4α3ß + 6α2ß2 + 4αß2 + ß4, Maka (x – 3)4 = x4 – 12x3 + 54x2 – 108x + 81. Sementara itu, pada penyebut: (x - 1)(x - 2) = x2 – 3x + 2. Pembagian panjang: x 2 9x 25 x 2 3x 2 x 4 - 12x 3 54x 2 108x 81 x 4 - 3x 3 2x 2 - 9x 3 54x 2 108 x - 9x 3 27x 2 18 x
(-)
25x2 – 90x + 81
(-)
25x2 – 75x + 50 - 15x + 31 Sisa: 6.
(-)
- 15x + 31
23 + 2(2)2 + 2m – 6 = 0
m = -5
Pembagian panjang: x 2 4x 3 x - 2 x 3 2x 2 5x - 6
x 3 2x 2 5x - 6 = (x -2)( x 2 4 x 3 )
x 3 2x 2
4x2 – 5x
(-)
2
4x -8x 3x - 6
(-)
3x - 6 0 Faktor lainnya adalah: (x+1) dan (x+3).
= (x-2)(x+1)(x+3)
Bobot soal ditentukan sebagai berikut: Nomor soal
Bobot
Keterangan
1
3
Skor maksimum = 20
2
3
3
1
4
5
5 dan 6
4
6.
Lembar kerja siswa (LKS)
Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca jawablah soal-soal berikut ini. 1. Carilah hasil bagi dan sisa dari (4x3 – 5x2+ 6x + 1) : (2x2 - x - 1) 2. Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa (2x4 + 3x3 + x2 – x - 3 ): (x - 1) 3. Tentukan sisa dari pembagian berikut:
( x 3) 4 ( x 1)( x 2)
4. Tentukan nilai k agar x + 1 adalah sebuah faktor dari suku banyak x3 + 2x2 + kx - 6. Tentukan juga faktor-faktor lainnya.
7.
Tingkat penguasaan
Rumus : Tingkat penguasaan = jumlahskor yangdipero leh x 100% 20
Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat penguasaan yang telah Anda capai sebagai berikut : 4.
> 80 %
Bagus ! pertahankan
prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2 5. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkompetensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum Anda kuasai 6. < 60 %
Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda
BAB III EVALUASI Evaluasi kompetensi (Waktu : 2 x 45 menit) 1. Berapa hasil bagi dari: a.
12 : 4 ?
b.
679 : 21
c.
(6x2 + 7x +9) : (2x +1) dengan pembagian panjang!
2. Cari hasil bagi dan sisanya dengan menggunakan metode Horner bentuk x + b a.
(2x4- 1) : (4 + x)
b.
(3x3 + x2 + x - 6) : (3x - 2)
3. Selesaikan soal berikut: a.
Carilah hasil bagi dan sisa dari (6x3 + 7x2 + 9x + 8) : (3x2 + 2x + 1)
b.
Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa
c.
(2x4 + 3x3 + x2 – x - 3 ): (x - 1)
4. Tentukan sisa dari setiap pembagian berikut:
( x 3) 4 ( x 1)( x 2)
5. Tentukan nilai m agar x – 2 adalah sebuah faktor dari suku banyak x3 + 2x2 + mx – 6. tentukan juga faktor-faktor lainnya.
SISTEM PENILAIAN Mata Diklat Kompetensi Alokasi Waktu
: :
Matematika Menerapkan Konsep Suku Banyak
:
20 J am
Sub
Metode
Penilaian
TotaL nilai
kompetensi
penilaian
Instrumen
Nilai
Pemberian
Tes-1
15
tugas
Tes formatif 1
20
Pemberian
Tes-2
15
tugas
Tes formatif 2
20
(kode) K. 1
35
Uraian materi K. 2
35
Uraian materi Ulangan blok Jumlah
30 Nilai akhir
100
BAB IV PENUTUP Sebagai tindak lanjut seluruh kegiatan belajar dalam Modul Turunan ini adalah : 1.
Jika hasil evaluasi terhadap penguasaan kompetensi mencapai 75 % atau lebih, maka siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya.
2.
Siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya setelah memperoleh rekomendasi dari guru mata pelajaran matematika.
3.
Peserta diklat yang masih belum mencapai penguasaan kompetensi 75 %, maka siswa harus mengulang secara keseluruhan atau bagian-bagian tahap kegiatan belajar yang belum dikuasai dengan baik.
4.
Kemungkinan diberikannya pembelajaran remedial bagi yang memperoleh nilai yang lebih kecil dari 6, terutama terhadap siswa yang memperoleh nilai terendah.
5.
Pengayaan serta akselerasi bagi siswa yang berprestasi juga dimungkinkan sesuai dengan ketersediaan waktu
