KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat, karunia dan hidayahNya, buku Dasar Statistik untuk Kesehatan ini dapat terselesaikan. Statistik merupakan salah satu cabang ilmu Pengetahuan yang sangat diperlukan dalam suatu kegiatan Penelitian. Usaha-usaha yang dilakukan dalam rangka pengambilan Keputusan dan menentukan kebijakan perlu di dukung oleh hasil penelitian yang akurat. Dalam Buku ini akan dipelajari tentang bagaimana cara menyelesaikan Masalah-Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan, alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah yang dihadapi. Serta sebagai dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna memecahkan masalah yang dihadapi. Adapun isi dari Buku Dasar Statistik Untuk Kesehatan ini adalah sebagai berikut : Teori probabilitas, Distribusi Probabilitas Diskret, Teori Keputusan, Metode dan Distribusi Sampling, Hipotesa, Uji Chi Kuadrat, Korelasi, Analisis Regresi, Uji t, dan Anova.. Buku Dasar Statistika Untuk Kesehatan ini untuk membekali kompetensi mahasiswa, namun demikian. Dengan adanya buku ini di harapkan kepada mahasiswa agar lebih mudah dan mengerti didalam pemahaman materi - materi yang ada, karena di susun menggunakan bahasa yang sederhana, dan mudah – mudahan dapat mengaplikasikan dalam kehidupan sehari – hari. Ucapan Terima Kasih Penulis sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu proses penyelesaian buku ini. Kritik dan saran bersifat membangun dalam penyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan. Semoga Buku ini membawa manfaat kepada pembaca. Aamiin.
Kediri, April 2016
Penulis
DAFTAR ISI Kata pengantar ................................................................................................................. Daftar isi ...........................................................................................................................
i ii
BAB I KONSEP DASAR PROBABILITAS ................................................................ A. PENDAHULUAN............................................................................................... 1. Manfaat mempelajari Probabilitas ................................................................ 2. Pengertian Probabilitas ................................................................................. B. PENDEKATAN PROBABILITAS .................................................................... 1. Pendekatan Klasik ........................................................................................ 2. Pendekatan Relatif ........................................................................................ 3. Pendekatan Subjektif .................................................................................... BAB 2 KONSEP DASAR DAN HUKUM PROBABILITAS ..................................... A. Hukum Penjumlahan ........................................................................................... 1. Peristiwa atau kejadian bersama ................................................................... 2. Kejadian Saling Lepas ................................................................................. B. Hukum Perkalian ................................................................................................. 1. Probabilitas Bersyarat ................................................................................... 2. Peristiwa Pelengkap ...................................................................................... C. Diagram Pohon Probabilitas .............................................................................. BAB 3 TEOREMA BAYES ........................................................................................... A. Faktorial .............................................................................................................. B. Permutasi ............................................................................................................ C. Kombinasi ........................................................................................................... BAB 4 KARAKTERISTIKDISTRIBUSI KURVA NORMAL.................................. a. Distribusi Probabilitas dan kurva normal dengan dan Simbol .................................................................................................... b. Distribusi Probabilitas dan kurva normal dengan berbeda dan sama ......................................................................................... c. Distribusi Probabilitas dan kurva normal dengan berbeda dan berbeda ..................................................................................... d. Distribusi Probabilitas Normal Baku .................................................................. e. Luas Dibawah Kurva Normal ............................................................................. f. Pendekatan Normal Terhadap Binomial ............................................................. g. Faktor Koreksi Kontinuitas .................................................................................
1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 8 8 8 9 11
BAB 5 DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL .................................................... A. Pengertian Distribusi Probabilitas ...................................................................... B. Variabel Acak/Random ....................................................................................... a. Variabel Acak ............................................................................................... b. Variabel Acak Diskret .................................................................................. c. Variabel Acak Kontinu ................................................................................. C. Rata-rata hitung, varians, dan standart deviasi .................................................... a. Nilai Rata-rata Hitung .................................................................................. b. Varians dan Standar Deviasi ......................................................................... D. Distribusi Probabilitas Binomial ......................................................................... BAB 6 TEORI KEPUTUSAN ....................................................................................... 1. Elemen-elemen Keputusan ................................................................................. 2. Keputusan dalam Keadaan Beresiko ................................................................... A. Nilai yang diharapkan (Expected Value) ...................................................... B. Expected Opportunity Loss ..........................................................................
15 15 16 16 16 16 16 16 17 18 21 21 22 22 23
11 11 12 12 13 13 14
C. Expected Value of Perfect Information ........................................................ D. Pengambilan keputusan dalam kondisi ketidakpastian ................................. E. Analisis Pohon Keputusan ............................................................................ BAB 7 MEETODE DAN DISTRIBUSI SAMPLING ................................................. A. Metode Penarikan Sample................................................................................... 1. Penarikan Sample Acak Sederhana .............................................................. 1. Sistem Kocokan ..................................................................................... 2. Menggunakan tabel Acak....................................................................... 2. Penarikan Sampel Acak Terstuktur .............................................................. 3. Penarikan sampel Cluster ............................................................................. 4. Penarikan Sample secara sistematis.............................................................. 5. Penarikan Sampel kuota ............................................................................... 6. Penarikan sample purposive ......................................................................... B. Kesalahan Penarikan Sample (Sampling Error) .................................................. C. Distribusi Sampel Rata-rata dan proporsi ........................................................... D. Distribusi Sampel Selisih Rata-rata dan proporsi ............................................... E. Faktor koreksi untuk populasi terbatas................................................................ F. Penarikan sampel purposive (purposive sampling) ............................................. BAB 8 HIPOTESIS ........................................................................................................ A. Hipotesis.............................................................................................................. B. Pengujian Hipotesis............................................................................................. C. Prosedur Pengujian Hipotesis ............................................................................. BAB 9 MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR ............................
23 24 24 25 25 25 25 25 26 26 27 28 28 28 29 29 29 29 31 31 31 32 35
BAB 10 PENGUJIAN HIPOTESA SAMPEL KECIL ...............................................
39
BAB 11 UJI CHI KUADRAT ............................................................................ A. Statistika Non Parametrik ......................................................................... B. Chi Kuadrat untuk Uji Goodness of Fit .................................................... C. Uji keselarasan .......................................................................................... D. Uji keselarasan dengan frekuensi harapan sama ...................................... E. Uji Chi Kuadrat untuk uji kenormalan ..................................................... F. Uji Chi Kuadrat untuk uji Independensi ...................................................
41 41 41 41 42 44 44
BAB 12 DATA STATISTIK .............................................................................. A. Pengertian Statistik ................................................................................... B. Data Statistik ............................................................................................ C. Penyajian Data ..........................................................................................
46 45 45 48
BAB 13 KORELASI BIVARIATE ............................................................................... A. Pengertian Korelasi ............................................................................................ B. Koefisien Korelasi ............................................................................................... C. Interpretasi Dalam Korelasi ................................................................................ D. Macam Korelasi dan Teknik Penghitungan………………………………… .... a. Korelasi Pearson ........................................................................................... b. Tata Jenjang .................................................................................................. c. Phi ................................................................................................................. d. Coefficient Contingency ...............................................................................
51 51 51 52 53 53 55 56 57
BAB 14 REGRESI LINIER SEDERHANA..................................................... A. Definisi Regresi Linier .............................................................................
58 58
B. Metode Regresi Linier Sederhana ............................................................
58
BAB 15 UJI BEDA BIVARIATE ...................................................................... A. Paired Sample t-test ................................................................................. B. Independent Sample t-test.........................................................................
62 62 58
BAB 16 ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA) ............................................ A. Anova Satu Arah ...................................................................................... B. Analisis Sesudah Anova ...........................................................................
67 67 70
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
BAB 1 KONSEP DASAR PROBABILITAS A. PENDAHULUAN Secara sederhana probabilitas dapat diartikan sebagai sebuah peluang untuk suatu kejadian.
1. Manfaat mempelajari probabilitas sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, sehingga diperlukan untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi. Probabilitas dinyatakan dalam angka pecahan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase. Contoh: Seluruh mahasiswa STIKes Surya Mitra Husada harus memiliki sertifikat Bahasa Inggris. Di kota Kediri sendiri banyak terdapat tempat kursus Bahasa Inggris diantaranya Mozaik, Mahesa, Elfas dll. Maka akan muncul kebingungan dalam memilih tempat kursus. Untuk menentukan pilihan biasanya mahasiswa akan bertanya kepada teman-teman, mereka kursus dimana? Dari ratusan mahasiswa mungkin anda bertanya hanya pada 20 orang mahasiswa. Yang paling banyak diminati anda akan memilih tempat tersebut untuk kursus. Dari contoh tersebut dapat dilihat bahwa keputusan diambil hanya dari beberapa contoh atau sampel dari populasi keseluruhan.
2. Pengertian Probabilitas Lind (2002) dalam mendefinisikan probabilitas sebagai : “Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa mendatang. Probabilitas dinyatakan anatara 0 sampai 1 atau dalam persentase” Tiga Hal penting dalam membicarakan probabilitas : a. Percobaan (Experiment) Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi. b. Hasil (Outcome) Suatu Hasil dari sebuah percobaan. Dalam Hasil ini semua Kejadian akan dicatat atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam sebuah percobaan. Misalnya dalam mengikuti ujian semester maka hasil yang akan diperoleh ada mahasiswa yang lulus dan ada yang tidak lulus. Ada yang lulus memuaskan ada yang tidak memuaskan. c. Peristiwa (Event)
Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Contoh : Percobaan
Hasil
Peristiwa
Tabel 1.1 Tabel peristiwa Pertandingan Sepak Bola antara Prodi IKM dan Prodi IKP STIKes SMH Prodi IKM menang, Prodi IKM kalah, Seri, tidak ada yang menang dan tidak ada yang kalah Prodi IKM Menang
Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan dari 0 sampai 1. probabilitas 0 menunjukan sesuatu yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa pasti terjadi. Contoh penulisan probabilitas dalam desimal atau persentase : 1. Pada hari jumat adalah penutupan bursa saham, maka kebanyakan investor berusaha meraih keuntungan melalui penjualan saham atau yang biasanya diistilahkan profit taking, sehingga probabilitas menjual mencapai 0.7 sedangkan membeli 0,3. 2. melihat kondisi kesiapan mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika Inferensial, maka mahasiswa yang mempunyai probabilitas untuk lulus 70 % dan kalah 30 % Probabilitas kejadian dengan nilai 0 berati peristiwa yang tidak mungkin terjadi, seperti seorang anak balita melahirkan seorang bayi. Sedangkan probabilitas dengan nilai 1 adalah peristiwa yang terjadi, seperti semua manusia pasti akan meninggal. B. PENDEKATAN PROBABILITAS Untuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian, maka ada tiga pendekatan yaitu pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif. 1. Pendekatan Klasik Diasumsikan bahwa semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil). Probabilitas = Contoh : Pada kegiatan mahasiswa belajar semua hasil ada yang sangat memuaskan, memuaskan dan terpuji. Jumlah hasil ada 3 dan hanya 1 peristiwa yang terjadi, maka probabilitas setiap peristiwa 1/3.
Pada suatu percobaan hanya 1 peristiwa yang terjadi, dan peristiwa lain tidak mungkin terjadi pada waktu yang bersamaan maka dikenal sebagai peristiwa saling lepas. “Peristiwa saling lepas (mutually exclusive) adalah terjadinya suatu peristiwa sehingga peristiwa yang lain tidak terjadi pada waktu yang bersamaan” Pada suatu percobaan atau kegiatan semua hasil mempunyai probabilitas yang sama, dan hanya satu peristiwa yang terjadi maka peristiwa ini dikenal dengan lengkap terbatas kolektif (collectio exhaustive). “lengkap terbatas kolektif (collection exhaustive) adalah sedikitnya satu dari seluruh hasil yang ada pasti terjadi pada setiap percobaan atau kegiatan yang dilakukan” 2. Pendekatan Relatif Probabilitas suatu keadian tidak dianggap sama, tergantung dari beberapa banyak suatu kejadian terjadi, yang dinyatakan sebagai berikut :
Contoh : Dari Kegiatan belajar mahasiswa dapat dilihat hasilnya pada Wisuda Sarjana Sarjana STIKes SMH tahun 2015 sebanyak 800 orang mahasiswa. 500 orang lulus dengan memuaskan, 200 orang dengan sangat memuaskan dan 100 orang dengan predikat terpuji. Maka probabilitas lulus memuaskan adalah 500/800 = 0.625; lulus dengan sangat memuaskan 200/800 = 0.25 dan lulus dengan terpuji 100/800 = 0.125. 3. Pendekatan Subjektif Yang dimaksud dengan pendekatan subjektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Contoh : Menurut pengamat politik, Jokowi akan menang dalam Pemilu Indonesia tahun 2019.
BAB 2 KONSEP DASAR DAN HUKUM PROBABILITAS Dalam Teori probabilitas, probabilitas kejadian dilambangkan dengan “P”, apabila kejadian jual saham dilambagkan dengan huruf “A”, Maka probabilitas jual saham dilambagkan dengan P “A”. Sebaliknya apabila kejadian beli saham dilambangkan dengan “B”, Maka probabilitas beli saham dilambangkan dengan P (B). A. Hukum Penjumlahan Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa yang saling lepas (mutually exclusive) yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. Hukum ini dilambangkan sebagai : P (A ATAU B) = P(A) + P(B) Untuk Kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n yaitu: P (A atau ... n) = P (A) + P (B) + ......... + P (n) Contoh : Berikut adalah kegiatan unit mahasiswa untuk tiga sekolah tinggi kesehatan di xediri dengan jumlah total sebanyak 200 kegiatan. Tabel 2.1 Jenis transaksi Jenis Transaksi
Volume Transaksi 120 80 200
Kegiatan A Kegiatan B Jumlah Total kegiatan
Penyelesaian : Dari data diatas diketahui bahwa : Probabilitas Kegiatan A = P (A) = 120/200 = 0.60 Probabilitas Kegiatan B = P (B) = 80/200 = 0.40 Sehingga Probabilitas A atau B, P (A atau B) = P (A) + P(B) = 0.6 + 0.4 = 1.0
1. Peristiwa atau Kejadian Bersama Pada peristiwa bersama dua atau lebih peristiwa dapat terjadi secara bersamasama, peristiwa bersama tersebut dapat lebih mudah dilihat dengan diagram Venn seperti berikut A AD
D
Gambar 2.1 Kejadian bersama Penjumlahan probabilitas dengan adanya unsur kegiatan bersama, maka rumus penjumlahan dirumuskan kembali menjadi sebagai berikut : P (A atau D) = P(A) + P(D) –P(AD) Dimana : P (A atau D) P (A) P (D) P (AD)
: probabilitas terjadinya A atau D atau A dan D bersma-sama : probabilitas terjadinya A : probabilitas terjadinya D : probabilitas terjadinya A dan D bersama-sama
2. Kejadian saling lepas (mutually exclusive) Kejadian saling lepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa yang dapat terjadi. Dapat digambarkan dengan diagram Venn:
A
B Gambar 2.2 Kejadian saling lepas
Oleh sebab itu, untuk peristiwa yang saling lepas, probabilitas kejadian A atau B yang Dinyatakan P (A atau B) P(A atau b) = P (A) – P (B) – P (AB) Karena P (AB) = 0 maka P (A atau B) = P (A) + P (B) – 0 Sehingga : P (A atau B) = P (A) + P (B) Contoh : Cobalah hitung beberapa probabilitas kegiatan mahasiswa yang meliputi kegiatan A dan kegiatan B disebut P(AB) dan probabilitas kejadian untuk sekolah kesehatan X, Y, dan Z di sebut P(CDE) Tabel 2.1 Probabilitas Kegiatan di Sekolah kesehatan Sekolah Tinggi Kesehatan Kegiatan Jumlah X (C) Y (D) Z (E) Kegiatan ( A ) 30 50 40 120 Kegiatan ( B ) 40 39 10 80 Jumlah 70 80 50 200 Penyelesaian : Probabilitas kejadian A dan B adalah kejadian yang saling lepas, maka P(AB) = 0. maka hukum penjumlahan untuk peristiwa saling lepas adalah : P (A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.6 + 0.4 = 1.0
probabilitas kejadian ketiga Sekolah Tinggi Kesehatan juga merupakan kejadian saling lepas, maka hukum penjumlahannya adalah : P (C atau D atau E) = P (C) + P (D) + P (E) – P(CDE) = 0.35 + 0.40 + 0.25 – 0 = 1.0 probabilitas P(C atau D atau E) = P(C) + P (D) + P(E) – P(CDE) = 0.35 + 0.40 +0.25 – 0 = 1.0 probabilitas P(C atau D) P (C atau D) = P (C) + P(D) – P(CD) = 0.35 + 0.40 = 0.75 B. Hukum Perkalian Dalam hukum perkalian dikehendaki setiap peristiwa independent yaitu suatu peristiwa yang terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. “ Peristiwa Independent adalah terjadinya peristiwa atau kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain. “ Dapat dinyatakan dalam bentuk : P(A dan B) = P(A) x P(B) 1. Probabilitas bersyarat (Condicional Probability) Probabilitas bersyarat adalah suatu peristiwa akan terjadi, dengan kektentuan perstiwa lain telah terjadi. Hukum perkalian untuk probabilitas bersyarat bahwa peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi dinyatakan sebagai berikut : P (A dan B) = P(A) x P(B) 2. Peristiwa Pelengkap (Complementary Event) Peristiwa pelengkap menunjukan bahwa aabila ada dua peristiwa A dan B yang saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. Maka probabilitas keduanya dapat dirumuskan sebagai berikut : P (A) + P (B) =1 atau P(A) = 1 – P(B ) Dalam bentuk diagram Venn dapat digambarkan sebagai berikut :
A
B
Gambar 2.3 Diagram Venn
C. Diagram Pohon Probabilitas Tahapan dalam menyusun diagram pohon : 1. Tahap 1 adalah langkah awal kegiatan, kita mulai dengan tanda titik atau bulatan dengan angka, tahap 1 diumpamakan sebagai pohonnya dengan pohon utamanya berupa kegiatan dibursa saham. Nilai probabilitas pada tahap 1 adalah 1. 2. Tahap 2, membuat cabang. Kegiatan di sekolah kesehatan ada 2 yaitu kegiatan A dan kegiatan B dengan probabilitas kegiatan A = 0,6 dan probabilitas kegiatan B = 0,4. Nilai probabilitas pada cabang = 0,6 + 0,4 = 1,0 3. Tahap 3 membuat ranting. Pada setiap cabang baik kegiatan A maupun kegiatan B ada 3 ranting jenis saham. Ranting jenis sekolah kesehatan yaitu X , Y dan Z. Nilai probabilitas setiap ranting = 0,35 + 0,40 + 0,25 = 1 4. Tahap 4, menghitung probabilitas bersama (joint probability) antara kejadian pertama A dan B dengan kejadian kedua C,D dan E. kita bisa menghitung probabilitas P(C|A) atau P(D|B)Secara langsung. Nilai probabilitas keseluruhan pada tahap empat juga harus sama dengan 1. Contoh : Hasil penelitian di jakarta menunjukkan bahwa 60 % dari usaha kecil dan menengah (UKM) tidak berbadan hukum, sedang sisanya berbadan hukum. Bank sebagai lembaga pembiayaan dengan memperhatikan aspek kehati-hatian memberikan probabilitas 80 % kepada UKM berbadan hukum masih mempunyai kesempatan sebesar 20 % untuk mendapatkan kredit. Hitunglah beberapa persen probabilitas UKM mendapat kredit dari Bank ? Penyelesaian :
X
Kegiatan B (0,4)
Y
Z 1 X
Kegiatan A (0,6)
Y
Z
Gambar 2.4 Diagram pohon
BAB 3 TEOREMA BAYES Teorema ini dikembangkan oleh Thomas Bayes pada abad ke-18. Bayes seorang pendeta, bertanya apakah Tuhan ada dengan memperhatikan fakta-fakta yang ada di bumi. Jadi bila Tuhan ada, maka ada fakta sebagai ciptaan Tuhan. Apabila fakta dilambangkan P(A1) untuk suatu fakta dan P(A2) untuk fakta lain, sedang keberadaan Tuhan dinyatakan dengan P(B), maka teorema Bayes dinyatakan sebagai :
(
)
Rumus diataas merupakan probabilitas bersyarat, suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada. P( B) menyatakan bahwa fakta-fakta di bumi akan ada apabila Tuhan ada. Karena banyak fakta tersebut maka rumus Bayes diperluas :
(
)
(
)
BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG A. FAKTORIAL Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu kelompok. Contoh konvensional, apabila kita mempunyai tiga sekolah kesehatan yaitu SMH, Karya dan Bhakti ada berapa cara menyusun urutan ketiga bank tersebut? Secara sederhana dapat kita lakukan dengan mengurut ketiga bank sebagai berikut: SMH, Karya, Bhakti Karya, SMH, Bhakti
SMH, Bhakti, Karya Karya, Bhakti, SMH Bhakti, SMH, Karya Bhakti, Karya, SMH
Dari uraian diatas dapata kita ketahui bahwa terdapat 6 cara mengurutkan nama sekolah kesehatan tersebut tersebut, namun apabila jumlah sekolah kesehatan tersebut tersebut 50 buah sekolah kesehatan, tentu kita akan kewalahan dalam mengurutkan. Maka dapat dilakukan dekat pendekatan faktorial, Apabila sekolah kesehatan berjumlah tigas maka cara mengurutkan nama Sekolah Kesehatan Tersebut : 3! = 3 X 2 X 1 = 6 B. PERMUTASI Digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. Pada permutasi ini kita berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek, permutasi dirumuskan sebagai berikut:
dimana : P : Jumlah permutasi atau cara Objek disusun n : Jumlah total objek yang disusun r : Jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r sama dengan n atau lebih lebih ! : tanda dari faktorial
dapat
Contoh : Dari 20 Kelas di STIKes Surya Mitra Husada, ingin dikelompokkan menjadi beberapa kelompok. Jika satu kelompok terdiri dari 5 kelas, ada berapa susunan kelompok yang dapat dibuat ? Jabab :
C. COMBINASI Kombinasi digunakan apabila kita tertarik pada berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memerhatikan urutannya. Misalnya ada 10 Sekolah Kesehatan dan kita hanya akan mengambil 3 Sekolah Kesehatan, maka ada beberapa kombinasi bank yang dapat diambil tanpa memperhatikan urutan atau susunannya. Dirumuskan sebagai berikut :
Contoh : Ada 5 orang siswa mendaftar sebagai pembawa acara dalam suatu kegiatan hiburan. Pihak penyelenggara hanya akan memilih 2 orang yang dapat dijadikan pasangan. Ada berapa kombinasi pasangan yang dapat dipilih oleh panitia ?
BAB 4 KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL Kurva normal bentuk simetris, masing-masing sisi sama
Gambar 4.1 Kurva normal 1. 2. 3. 4. 5.
Kurva berbentuk genta (=Md=Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva normal berbentuk asimptotis Kurva mencapai puncak pada saat X= Luas daerah di bawah kurva adalah 1 ; ⁄ di sisi kanan nilai tengah dan ⁄ di sisi kiri. Distribusi probabilitas dan kurva mempunyai persamaan matematika yang sangat tergantung pada nilai tengah () dan standar defiasi (). Distribusi probabilitas dan kurva normal dari suatu variable acak (X) yang nilainya terletak - sampai dinyatakan dengan lambang X ~ N (X; ,). Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah :
-1/2(x-)/2,
untuk -< X <
√
Jenis-Jenis Probabilitas Normal Jenis-jenis probabilitas normal sangat dipengaruhi oleh nilai rata-rata hitung dan standar deviasinya, maka distribusi probabilitas kurva normal diantaranya. a. Distribusi probabilitas dan kurva Normal dengan dan berbeda.
Gambar 4.2 kurva normal dengan
dan berbeda
1. Mesokurtik Kurva normal ini mempunyai = Md dan Mo yang sama, namun berbeda 2. Platykurtik Nilai semakin tinggi dan kurva semakin pendek. Nilai tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin menyebar dari nilai tengahnya (). 3. Leptokurtik Nilai semakin rendah dan kurva semakin runcing. Nilai rendah ini menunjukan data semakin mengelompokkan pad nilai tengahnya () b. Distribusi probabilitas dan kurva Normal dengan Berbeda dan sama Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan berbeda dan sama mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Gambar diataas menunjukan nilai rata-rata berbeda dengan standar daviasi yang sama. Pada contoh dapat dilihat mangga dikelompokkan menjadi mutu “A” dengan berat rata-rata 450 gram, mutu “B” dengan 300 gram dan mutu “C” dengan 150 gram.
Gambar 4.3 kurva Normal dengan Berbeda dan sama c. Distribusi probabilitas dan Kurva normal dengan Berbeda dan berbeda Kurva dengan berbeda dan berbeda mempunyai titik pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena mempunyai standar deviasi yang berbeda. Kurva seperti ini relatif sering terjadi karena antara populasi terdapat perbedaan atau setiap populasi juga mempunyai keragaman yang berbeda.
Gambar 4.4 Kurva normal dengan Berbeda dan berbeda d. Distribusi probabilitas Normal Baku Distribusi normal baku adalah distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1. Beberapa hal yang perlu dlakukan dalam rangka distribusi probabilitas normal baku adalah mengubah atau membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi normal baku yang dikenal dengan Z. atau skor Z. rumus nilai Z adalah :
Dimana : Z = skor Z atau nilai normal baku X = NIlai dari suatu pengamaan atau pengukuran
μ σ
= Nilai rata-rata hitung suatu Distribusi = stndar deviasi suatu distribusi
e. Luas dibawah Kurva Normal Kurva Normal juga mengikuti hukum empirik. Untuk distribusi simetris, dengan distribusi frekuensi berbentuk lonceng seperti kurva normal diperkirakan 68,26% data akan berada pada kisaran rata-rata hitung ditambah dua kali standar deviasi, (X ± 1σ), (X ± 2σ) dan semua data atau 99,74 % akan berada pada kisaran rata-rata hitung ditambahtiga kali standar deviasi, (X ± 3σ).
Gambar 4.5 kurva normal contoh soal
Luas antara nilai Z (-1
Gambar 4.6 Grafik normal terhadap binomial Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar. Pada saat n = 20 terlihat bahwa distribusi probabilitas binomial mendekati distribusi probabilitas normal yaitu kurva berbentuk lonceng, memiliki puncak tunggal dan simetris. Dalil pendekatan normal terhadap Binomial .
Bila nilai X dalah distribusi acak Binomial dengan nilai tengah = np dan standar deviasi σ= , maka nilai Z untuk distribusi normal adalah: √
Dimana n
dan nilai p mendekati 0,5
g. Faktor Koreksi Kontunuitas Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal (menurut Lind 2002) diperlukan faktor koreksi selain syarat binomial terpenuhi yaitu : a. Hanya terdapat dua peristiwa b. Peristiwa bersifat independen c. Besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan d. Data merupakan hasil perhitungan Apabila telah memenuhi syarat binomial, maka kita menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0,5. Faktor koreksi ini diperlukn untuk mentransformasi dari binomial menuju normal yang merupakan variable acak kontinu. Contoh : Sudah merupakan pedagang buah di pusat pasar medan. Setiap hari membeli 300 kg jeruk. Probabilitas buah laku dijual adalah 80 % dan 20 % tidak laku atau busuk. Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dan tidak busuk ? Jawab : n = 300; probabilitas laku p = 0,8 dan q = 0,2 μ = np = 300 x 0,80 = 240 σ = = 6,93 diketahui X = 250, dikurang faktor koreksi 0,5 sehingga X = 250 – 0,5 = 249,5 dengan demikian nilai Z menjadi ; Z = (249,5 – 240)/6,93 = ,37 dan P(Z <1,37) = 0,4147 Jadi probabilitas buah laku 250 kg adalah = 0,5 + 0,4147 = 0,9147 Jadi harapan buah laku 250 kg adalah 91,47%
BAB 5 DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT Untuk mempermudah mengetahui probabilitas banyak kejadian atau percobaan dapat dilakukan dengan bantuan distribusi probabilitas. Dimana distribusi probabilitas memberikan keseluruhan kemungkinan nilai yang mungkin muncul atau terjadi dari sebuah kejadian atau percobaan. A. Pengertian Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas menunjukan hasil yang diharapkan terjadi dari suatukegiatan dengan nilai probabilitas masing-masing hasil tersebut. Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil(event). Contoh: Ada tiga orang mahasiswa yang akan memilih mata kuliah pada semester genap tahun 2015/2016. Mata kuliah tersebut adalah Biostasistika (BSTK) dan Aplikasi Komputer (Aplikom). Ketiga mahasiswa tersebut bebas memilih mata kuliah mana yang akan diikuti, bisa memilih BSTK semua, BSTK dan Aplikom atau Aplikom semua. Berikut adalah kemungkinan dari ketiga pilihan mahasiswa tersebut. Tabel 5.1 Tabel pilihan kegiatan Kemungkinan Pilihan Mahasiswa Jumlah Pilihan BSTK A B C 1 BSTK BSTK BSTK 3 2 BSTK BSTK Aplikom 2 3 BSTK Aplikom BSTK 2 4 BSTK Aplikom Aplikom 1 5 Aplikom BSTK BSTK 2 6 Aplikom BSTK Aplikom 1 7 Aplikom Aplikom BSTK 1 8 Aplikom Aplikom Aplikom 0 dari tabel dapat dilihat kemungkinan mahasiswa tidak memilih BSTK sama sekali ada satu kejadian, mahasiswa hanya satu yang memilih BSTK ada 3 kejadian, ada 2 mahasiswa yang memilih BSTK ada 3 kejadian. Mahasiswa ada 3 orang yang memilih BSTK ada 1 kejadian. Dari ke 8 kejadian tersebut kita dapat menyusun distribusi probabilitas sebagai berikut : Tabel 5.2 Tabel distribusi probabilitas Jumlah BSTK di Pilih Jumlah Total Distribusi Probabilitas Mahasiswa Frekuensi Kemungkinan Hasil P(r) 0 1 8 1/8 0,125 1 3 8 3/8 0,375 2 3 8 3/8 0,375 3 1 8 1/8 0,125 Jumlah Total Distribusi Probabilitas 1,000
Dari tabel distribusi probabilitas kita dapat dengan mudah menentukan berapa probabilitas ketiga mahasiswa akan memilih mata kuliah Biostatistik yaitu 0,125. Dalam bentuk grafik poligon dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 5.1 Distribusi Probabilitas pilihan mahasiswa B. Variabel Acak/Random a. Variabel Acak Variabel acak didefenisikan sebagai sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi secara acak atau untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda. Contoh: Petani menimbang berat setiap semangka yang telah dipanen. Dari lima semangka beratnya berturut-turut 3.56; 3.80; 2.79; 3.60 dan 4.05 kg. Maka penimbangan berat adalah percobaan acak dan nilai berat setiap semangka adalah variabel acak. b. variabel acak diskret variabel acak diskret merupakan hasil dari percobaan yang bersifat acak dan mempunyai nilai tertentu yang terpisah dalam suatu interval. Variabel acak diskret ini biasanya berupa bilang bulat dan berasal dari hasil perhitungan. Contoh: jumlah mahasiswa 800 orang, jumlah buah jeruk 20 buah, jumlah telur 300 butir dan sebagainya. c. variabel acak kontinu variabel acak kontinu mempunyai nilai yang menempati pada seluruh interval hasil percobaan, biasanya dihasilkan dari hasil pengukuran dan bukan penjumlahan. Semua nilai yang dihasilkan dari kegiatan pengukuran baik bulat maupun pecahan merupakan variabel acak kontinu. Contoh: pada buah semangka jumlah buah semangka 10 buah adalah variabel acak diskret, tapi berat semangka misalnya 3,56 kg ini merupakan variabel acak kontinu. C. Rata-rata Hitung, Varians, dan Standar Deviasi a. Nilai Rata-rata Hitung
Nilai rata-rata hitung merupakan nilai harapan dilambangkan E(x) Rumus nilai rata-rata hitung:
(expected
value)
yang
μ = E(x) = ∑ (X). P(X) dimana: μ : Nilai rata-rata hitung distribusi pobabilitas E(x) : Nilai harapan (expected value) X : Kejadian P(X) : Probabilitas suatu kejadian ∑ : Lambang operasi penjumlahan b. Varians dan Standar deviasi Varian dan standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yaitu mengukur seberapa besar data menyebar dari nilai tengahnya. Semakin kecil sebaran data, maka semakin baik, karena menunjukkan data mengelompok pada nilai rata-rata hitung. Varian dan standar deviasi dirumuskan sebagai berikut
√
Dimana: 2 : Varians : Standar deviasi X : Nilai suatu kejadian : Nilai rata-rata hitung distribusi probabilitas P(X) : Probabilitas suatu kejadian X ∑ : Lambang operasi penjumlahan Contoh: Hitunglah nilai rata-rata hitung, Standar deviasi dan Varian pada kasus pilihan tiga mahasiswa pada mata kuliah Biostatistika pada contoh terdahulu?
X 0 1 2 3
P(x) 0,125 0,375 0,375 0,125
x.P(x) 0,000 0,375 0,750 0,375 1,500
Penyelesaian : Tabel 5.3 tabel probabilitas X-P (x-p)2 -1,500 2,250 -0,500 0,250 0,500 0,250 1,500 2,250 2
(x-r)2 – P(x) 0,281 0,094 0,094 0,281 0,750
Dari data diatas dapat dilihat bahwa : Rata-rata hitung adalah sebesar 1,500 menunjukan bahwa ada 1,5 mahasiswa yang mengambil mata kuliah Biostatistika. Namun karena orang tidak dalam bentuk pecahan, maka bisa didekatkan pada 1 atau 2 orang. Varians 2 = 0,75, maka standar deviasi = = = = 0,87. Ini menunjukan bahwa standar penyimpangan data dari nilai tengahnya adalah 0,87.
D. Distribusi Probabilitas Binomial Ini menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan Bernoulli. Ciri-ciri Percobaan Bernouli: Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian: (a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan; (b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain. Probabilitas suatu kejadian untuk sukses atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1. Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas. Data yang dihasilkan adalah data perhitungan. Pembentukan Distribusí Binomial Hal yang diperlukan dalam membentuk distribusí binomial: a. banyaknya atau jumlah dari percobaan atau kegiatan b. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal Dapat dinyatakan sebagai berikut: Dimana:
P (r) P r n q !
: Nilai probabilitas binomial : Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan : Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan : Jumlah total percobaan : Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1 – p : Lambang faktorial
Contoh: PT Sari Buah Lestari mengirim buah-buah segar setiap harinya kepada sebuah swalaya terkenal di kota Kediri. Dengan jaminan kualitas buah yang segar, 80% buah yang dikirim lolos seleksi oleh swalayan tersebut. PT Sari Buah Lestari mengirim 10 buah Melon setiap harinya Permintaan: a. Berapa probabilitas 10 buah diterima b. Berapa probabilitas 8 buah diterima c. Berapa probabilitas 7 buah diterima Penyelesaian: a. probabilitas 100 buah diterima semua n = 10 p = 0,8 r = 10 q = 0,2
E. Distribusi probabilitas Hipergeometrik Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap atau konstan atau antar-kejadian saling lepas. Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering terjadi tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan. Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi Hipergeometrik. Pada kasus dimana terjadi percobaan tanpa pengembalian pada populasi yang terbatas, dan jumlah sampel terhadap populasinya lebih 5%, distribusi hipergeometrik lebih tepat digunakan. Distribusi hipergeometrik dinyatakan sebagai berikut:
Dimana: P (r) : Nilai probabilitas hipergeometrik dengan kejadian r sukses N : Jumlah populasi S : Jumlah sukses dalam populasi r : Jumlah sukses yang menjadi perhatian n : Jumlah sampel dari populasi C : Simbol kombinasi Contoh : Seorang penjual kelapa muda baru mendapat kiriman 20 buah kelapa yang 5 diantaranya sudah terlalu tua. Jika seseorang mengambil 2 buah kelapa secara acak, tentukanlah peluang bahwa : a. Kelapa yang terambil kedua-duanya adalah kelapa tua b. Kelapa yang terambil kedua-duanya adalah kelapa muda c. Kelapa yang terambil salah satunya adalah kelapa tua Jawab : Diketahui : N = 20 S = 15 n=2 a. r = 2
b. S = 5 r=2
c. r = 1
F. Distribusi Probabilitas Poisson Dikembangkan oleh Simon Poisson Distribusi Probabilitas Poisson adalah distribusi yang digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial. Ciri utama dari distribusi poisson adalah untuk menghitung peluang jumlah kedatangan, kunjungan pada suatu tempat menurut satuan waktu. Seperti peluang penambahan orang cacat dari tahun ke tahun, peluang jumlah kendaraan yang lewat per jamnya sampai peluang jumlah penelpon sebuah operator per menitnya. Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p) sangat kecil akan sulit mendapatkan nilai binomialnya. Rumus:
dimana P(X) μ e X P !
: Nilai probabilitas distribusi poisson : Rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses; dimana μ = n.p : Bilangan konstan = 2,71828 : Jumlah nilai sukses : probabilitas sukses suatu kejadian : Lambang faktorial
Contoh soal : 1. Jumlah mobil yang memasuki gerbang jalan tol dalam setiap menit diketahui berdistribusi Poisson. Jika rata-rata jumlah mobil yang memasuki gerbang tol permenitnya adalah 3 buah mobil tentukan peluang bahwa antara jam 10.00 sampai 10.01 terdapat dua mobil yang memasuki gerbang tol tersebut. 2. Survei Komnas PA pada tahun 2015, menunjukkan bahwa dari 8.564 siswa SMP berusia 13-14 tahun, sebanyak 90% sudah terpapar iklan rokok dan 41% dari
yang sudah terpapar rokok tersebut akhirnya mencoba untuk merokok. Apabila diambil 20 siswa SMP di DKI Jakarta secara acak, maka hitunglah peluang: a. Tidak ada siswa yang tidak merokok b. Lebih dari 5 siswa yang merokok. 3. Pada tahun 2014, sebuah kota di pedalaman Watampone, diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino per 175 orang. 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Dengan menggunakan pendekatan Possion, tentukanlah peluang: a. Didapat tidak ada yang albino. b. Terdapat ada albino.
BAB 6 TEORI KEPUTUSAN Setiap hari kita harus mengambil keputusan, baik keputusan yang sederhana maupun keputusan jangka panjang. Untuk membantu dalam pengambilan keputusan, ilmu statistika telah mengembangkan cabang statistika baru yaitu teori keputusan statistika. Ilmu ini berkembang sejak tahun 1950-an yang sebenarnya telah dipelopori sejak abad ke-18 oleh pendeta Thomas Bayes. Contoh: Keputusan yang diambil suatu perusahaan atau Universitas Swasta: Barang dan jasa apa yang akan diproduksi, Metode apa yang dipakai untuk memproduksi, Untuk siapa barang dan jasa di produksi, Bagaimana strategi pemasaran dan promosinya, Apakah perusahaan membutuhkan tenaga pemasaran, dan lain-lain. 1.
Elemen-elemen Keputusan Kepastian (certainty): informasi untuk pengambilan keputusan tersedia dan valid. Risiko (risk): informasi untuk pengambilan keputusan tidak sempurna, dan ada probabilitas atas suatu kejadian. Ketidakpastian (uncertainty): suatu keputusan dengan kondisi informasi tidak empurna dan probabilitas suatu kejadian tidak ada. Konflik (conflict): keputusan di mana terdapat lebih dari dua kepentingan.
Setiap keputusan dalam atatistika mempunyai tiga elemen atau komponen penting 1. Pilihan atau alternatif yang terjadi bagi setiap keputusan. 2. States of nature yaitu peristiwa atau kejadian yang tidak dapat dihindari atau dikendalikan oleh pengambil keputusan. 3. Hasil atau payoff dari setiap keputusan. Hubungan elemen keputusan menurut Lind (2002) Peristiwa
Ketidakpastian berkenaan dengan kondisi mendatang, Pengambil keputusan tidak mempunyai kendali terhadap kondisi mendatang
Tindakan
Dua atau lebih alternatif dihadapi pengambil keputusan. Pengambil keputusan harus mengevaluasi alternatif dan memilih alternatif dengan kriteria tertentu
Hasil/Payoff
Laba, Impas, (Break even), rugi
2. Keputusan dalam Keadaan Beresiko Pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko berarti bahwa terdapat informasi Namur tidak sempurna, dan ada probabilitas terhadap statu kejadian. Ada beberapa langkah yang diperlukan dalam pengambilan keputusan berisiko yaitu: 1. Mengidentifikasi berbagai macam alternatif yang ada dan layak bagi suatu keputusan. 2. Menduga probabilitas terhadap setiap alternatif yang ada. 3. Menyusun hasil/payoff untuk semua alternatif yang ada 4. Mengambil keputusan berdasarkan hasil yang baik Contoh: Kode Perusahaan
Aventis
Juml Harga Saham
saham
Kondisi baik Deviden/ Total lbr deviden
9.000
1.111
400
Kimia Farma 18.500
541
Soho
333
30.000
Kondisi Buruk Deviden/ Total lbr deviden
444.444
250
277.778
2.000
1.081.081
300
162.162
4.463
1.487.667
185
61.667
Ibrahim merupakan apoteker modern, dan menginvestasi sebagian keuntungan untuk membeli saham. Pada tahun 2015 ia berinvestasi sebesar Rp. 10.000.000,-. Ada tiga saham perusahaan yang sedang dipelajari yaitu saham Aventis, saham Kimia Farma dan Saham Soho. Beberapa metode dalam statistika yang digunakan untuk pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko: SAHAM
Aventis
OL BAIK P= 0,5 444.444
OL BURUK P = 0,5 277.778
Perhitungan EV
Nilai EV
(444.444x0,5) + (277.778x0,5) 361.111
A. Nilai yang diharapkan (Expected Value) EV = Payoff x Probabilitas Suatu Kejadian
Kimia Farma 1.081.081 115.616 Soho 61.667 216.111 B. Expected Opportunity Loss Metode lain dalam mengambil keputusan selain EV EOL mempunyai prinsip meminimumkan kerugian karena pemilihan bukan keputusan terbaik. Hasil yang terbaik dari setiap kejadian diberikan nilai 0, sedangkan untuk hasil yang lain adalah selisih antara nilai terbaik dengan nilai hasil pada peristiwa tersebut. EOL = Opportunity Loss x Probabilitas Suatu Peristiwa
SAHAM
Aventis Kimia Farma Soho
OL BAIK P= 0,5 1.043.223 406.586 0
OL BURUK P = 0,5 0
Perhitungan EV (1.043.223 x 0,5) + (0 x 0,5)
Nilai EV 521.612
115.616 216.111
Nilai OL untuk alternatif terbaik adalah nol, maka kondisi baik adalah Soho = 0 dan kondisi terburuk Aventis = 0. nilai OL terendah adalah untuk Soho maka dapat direkomendasikan untuk dibeli oleh investor. 3. Ecpected value of Perfect Information Hasil yang diharapkan dalam informasi sempurna merupakan perbedaan antara hasilmaksimum dalam kondisi kepastian dan hasil maksimum dalam kondisi ketidak pastian Setiap keputusan tidak harus tetap setiap saat. Keputusan dapat berubah untukmengambil kesempatan yang terbaik. Pada kasus harga saham, pada kondisi baik, saham Aventis adalah pilihan terbaik, namun pada kondisi buruk, maka saham Kimia Farma lebih baik.Apabila hanya membeli saham Soho maka EV = 1.487.667 x 0,5 + 61.667 x 0,5 = 774.667 Apabila keputusan berubah dengan adanya informasi yang sempurna denganmembeli harga saham Soho dan Kimia Farma EVif = 1.487.667 x 0,5 + 277.778 x 0,5 = 822.723 Nilai EVif lebih tinggi dari EV dengan selisih: = 822.723 -774.667 = 108.056.Nilai ini mencerminkan harga dari sebuah informasi. Nilai informasi ini menunjukkan bahwa informasi yang tepat itu berharga dan menjadi peluang pekerjaan -- seperti pialang, analis pasar modal, dan lain-lain. 4. Pengambilan Keputusan dalam Kondisi Ketidakpastian Keputusan dalam ketidakpastian menunjukkan tidak adanya informasi yang sempurna,juga tidak adanya probabilitas atau informasi tentang probabilitas suatu kejadian. Ada beberapa kriteria yang telah dikembangkan dalam pengambilan keputusan untuk kondisi ketidakpastian: 1. Kriteria Laplace
Probabilitas semua kejadian diasumsikan sama, dan hasil perkalian antara hasil dengan probabilitas yang tertinggi tertinggi adalah keputusan terbaik. 2. Kriteria Maximin Keputusan didasarkan pada kondisi pesimis atau mencari Nilai maksimum pada kondisi pesimis (lakukan yang terbaik dalam situasi terburuk) 3. Kriteria Maximax Keputusan didasarkan pada kondisi optimis dan mencari nilai maksimumnya. 4. Kriteria Hurwicz Keputusan didasarkan pada perkalian hasil dan koefisien optimisme. Koefisien ini nilainya antara 0 sampai 1. nilai 0 untuk kondisi yang sangat pesimis dan nilai 1 untuk kondisi yang sangat optimis. Koefisien ini merupakan perpaduan antara optimis dan pesimis. Alternatif yang terbaik adalah nilai yang tertinggi dari hasil perkalian antara hasil atau payoff dengan koefisien optimisme. 5. Kriteria (Minimax) Regret Keputusan didasarkan pada nilai regret minimum. Nilai regret diperoleh dari nilai OL (opportunity Loss) pada setiap kondisi dan dipilih yang maksimum. Alternatif keputusan yang diambil adalah nilai regret yang Perusahaan Aventis Kimia Farma Soho minimum
Kondisi Perekonomian Boom Normal 1.180 488 2.000 1.356 4.463 1.666
Krisis 250 300 185
Contoh : Berikut adalah deviden yang dibagikan oleh tiga perusahaan yang ada di BEJ yaitu Aventis, Kimia Farma dan Soho. Deviden dibedakan dalam krisis, normal dan Boom. a. Kriteria Laplace 1. EV (Aventis) = 1/3 X 1.180 + 1/3 X 488 + 1/3 X 250 = 639 2. EV (Kimia Farma) = 1/3 X 2.000 + 1/3 X 1.356 + 1/3 X 300 = 1.219 3. 3. EV (Soho) = 1/3 X 4.463 + 1/3 x 1.666 + 1/3 x 185 = 2.015 Berdasarkan kriteria Laplace, keputusan terbaik adalah membeli saham Soho. μ : Rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses; dimana μ = n.p e : Bilangan konstsan = 2,71828 X : Jumlah nilai sukses P : probabilitas sukses suatu kejadian ! : Lambang faktorial
5. Analisis Pohon Keputusan Keputusan
EV
PayOff
Probabilitas
Boom (0,63)
836
188 0 250
Membeli saham Aventis
Krisis (0,37)
1372
Boom (0,63)
2000
2880 Membeli farma
saham
kimia Krisis (0,37)
2880
300
4463 Boom (0,63)
Membeli Saham Soho Krisis (0,37)
185
BAB 7 METODE DAN DISTRIBUSI SAMPLING Populasi dan sampel merupakan aspek penting dalam mempelajari statistika induktif. Populasi adalah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda dan ukuran lain yang menjadi objek perhatian atau kumpulan seluruh objek yang menjadi perhatian. Sampel adalah suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian. Hubungan populasi dan sample dapat digambarkan sebagai berikut:
Populasi
Sampel
Gambar 7.1 Populasi sampel Populasi dapat dikelompokkan menjadi dua, yaitu: a. Populasi terbatas (finite) yaitu populasi yang ukurannya terbatas berukuran N. Contoh: semua Sekolah Tinggi Kesehatan yang ada misalnya 140 Sekolah Tinggi Kesehatan. b. Populasi tidak terbatas (infinite) yaitu populasi yang mengalami proses secara terus menerus sehinga usuran N menjadi tidak terbatas perubahan nilainya.
Secara umum, sampel yang baik adalah yang dapat mewakili sebanyak mungkin karakteristik populasi. Dalam bahasa pengukuran, artinya sampel harus valid, yaitu bisa mengukur sesuatu yang seharusnya diukur. Kalau yang ingin diukur adalah masyarakat Sunda sedangkan yang dijadikan sampel adalah hanya orang Banten saja, maka sampel tersebut tidak valid, karena tidak mengukur sesuatu yang seharusnya diukur (orang Sunda). Sampel yang valid ditentukan oleh dua pertimbangan. a. Akurasi atau ketepatan, yaitu tingkat ketidakadaan “bias” (kekeliruan) dalam sample. Dengan kata lain makin sedikit tingkat kekeliruan yang ada dalam sampel, makin akurat sampel tersebut. Tolok ukur adanya “bias” atau kekeliruan adalah populasi. b. Presisi, Kriteria kedua sampel yang baik adalah memiliki tingkat presisi estimasi. Presisi mengacu pada persoalan sedekat mana estimasi kita dengan karakteristik populasi. Belum pernah ada sampel yang bisa mewakili karakteristik populasi sepenuhnya. Oleh karena itu dalam setiap penarikan sampel senantiasa melekat keasalahan-kesalahan, yang dikenal dengan nama “sampling error” Presisi diukur oleh simpangan baku (standard error). Makin kecil perbedaan di antara simpangan baku yang diperoleh dari sampel (S) dengan simpangan baku dari populasi (s), makin tinggi pula tingkat presisinya. Walau tidak selamanya, tingkat presisi mungkin bisa meningkat dengan cara menambahkan jumlah sampel, karena kesalahan mungkin bisa berkurang kalau jumlah sampelnya ditambah ( Kerlinger, 1973 ). Sampel dapat dibedakan menjadi dua yaitu: Sampel probabilitas Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga masing-masing anggota populasi memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel. Sampel nonprobabilitas Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel. A. Metode penarikan sample Metode Penarikan Sampel
Sampel Probabilitas (Probability Sampling)
1.
Penarikan sampel acak sederhana (Simple random sampling) 2. Penarikan sampel acak terstruktur (Stratified random sampling) 3. Penarikan sampel cluster (cluster sampling) 4. Penarikan sampel sistematika (Systematic random sampling)
Sampel Non Probabilitas (NonProbabilitas Sampling)
1. Penarikan sampel sistematis 2. Penarikan sampel kuota 3. Penarikan sampel purposive (Purposive Sampling)
Sampel Probabilitas (Probability Sampling) 1. Penarikan sampel acak sederhana (simple random sampling) 2. Penarikan sampel acak terstruktur (stratified random sampling) 3. Penarikan sampel cluster (cluster sampling) 4. Penarikan sampel sistematika (Systematic Random Sampling) Sampel Nonprobabilitas (Nonprobability Sampling) 1. Penarikan sampel sistematis (systematic sampling) 2. Penarikan sampel kuota (kuota sampling) 3. Penarikan sampel purposive (purposive sampling) 1. Penarikan Sampel Acak Sederhana Merupakan pengambilan sampel dari populasi secara acak tanpa memperhatikan strata yang ada dalam populasi dan setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dijadikan sampel. Ada dua cara pengambilan sampel acak sederhana 1. Sistem Kocokan Sistem sampel acak sederhana dengan cara sama sistem arisan. 2. Menggunakan tabel acak Memilih sampel dengan menggunakan suatu tabel. Dalam penggunaannya ditentukan terlebih dahulu titik awal (starting point). 2. Penarikan sampel acak terstruktur: Penarikan sampel acak terstruktur dilakukan dengan membagi anggota populasi dalam beberapa sub kelompok yang disebut strata, lalu suatu sampel dipilih dari masing-masing stratum. Dari table diatas terlihat bahwa jumlah sample setiap stratumnya didasarkan pada jumlah proporsi persentsae setiap stratum terhadap jumlah totalnya.
Gambar 7.2 penarikan sampel terstruktur Sampel acak terstruktur terbagi menjadi dua, yaitu : a. Proporsional
Teknik sampling random strata proporsional digunakan apabila proporsi ukuran subpopulasi atau jumlah satuan elementer dalam setiap strata relatif seimbang atau relatif sama besar. Dalam sampel strata proporsional, dari setiap strata diambil sampel yang sebanding dengan besar setiap strata dengan berpatokan pada pecahan sampling (sampling fraction) yang sama yang digunakan. Pecahan sampling adalah angka yang menunjukkan persentase ukuran sampel yang akan diambil dari ukuran populasi tertentu. Cara pengambilan sample dilakukan dengan menyeleksi setiap unit sampling yang sesuai dengan ukuran unit sampling. Keuntungannya ialah aspek representatifnya lebih meyakinkan sesuai dengan sifat-sifat ynag membentuk dasar unit-unit yang mengklasifikasinya, sehingga mengurangi keanekaragamannya. Karakteristik-karakeristik masing-masing strata dapat diestimasikan sehingga dapat dibuat perbandingan. Kerugiannya ialah membutuhkan informasi yang akurat pada proporsi populasi untuk masingmasing strata. Jika hal tersebut diabaikan maka kesalahan akan muncul. b. Disproporsional Pada Sampel Strata Disproporsional, ukuran sampel yang diambil dari setiap subpopulasi (strata) sama besarnya, yang berbeda adalah pecahan samplingnya. Strategi pengambilan sample sama dengan proporsional. Perbedaanya ialah terletak pada ukuran sample yang tidak proporsional terhadap ukuran unit sampling karena untuk kepentingan pertimbangan analisa dan kesesuaian. 3. Penarikan sample Cluster (cluster sampling) Penarikan cluster adalah teknik memilih sampel dari kelompok unit-unit kecil (cluster) dari sebuah populasi yang relatif besar dan tersebar luas. Anggota dalam setiap cluster bersifat tidak homogen berbeda dengan penarikan sampel terstruktur. Pemilihan sampel pada metode ini adalah dengan metode acak sederhana, dengan harapan akan mengurangi biaya penarikan sampel populasi yang tersebar pada area geografis yang terlalu besar.
Gambar 7.3 teknik sampling cluster
4. Penarikan sampel secara sistematis (systematic Random Sampling) Penarikan dikatakan sampel sistematis apabila setiap unsur atau anggota dalam populasi disusun dengan cara tertentu-Secara alfabetis, dari besar kecil atau sebaliknya-kemudian dipilih titik awal secara acak lalu setiap anggota ke K dari populasi dipilih sebagai sampel. Sebagai contoh apabila akan dipilih 5 perusahaan reksadana, maka perusahaan mana yang akan menjadi sampel dengan menggunakan metode sistematis, beberapa langkah yang harus dilakukan adalah: a. memberikan nomor urutan misalnya dari aset terbesar sampai terkecil atau sebaliknya b. jumlah populasi misalnya 59, dan jumlah sampel 5, maka jarak antara sampel adalah 12 c. nomor sampel adalah 1, 13, 25, 37, dan 49 (setiap sampel berjarak secara sistematis yaitu 12) 5. Penarikan sampel Kuota (Kuota sampling) Penarikan sampel kuota adalah pengambilan sampel dari populasi yang mempunyai ciri-ciri tertentu sampai jumlah atau kuota yang diinginkan. Tujuan penarikan sampel kuota adalah untuk memperbaiki keterwakilan seluruh komponen dalam populasi. Sebagai contoh apabila akan dilakukan penelitian terhadap tingkat kehadiran mahasiswa yang mengambil matakuliah statistika dari populasi 150 orang ditentukan kuota 20 orang. Kalau pengumpulan data belum mencapai 20 orang maka penelitian belum dianggap selesai. 6. penarikan sampel purposive (purposive sampling) Penarikan sampel purposive adalah penarikan sampel dengan pertimbangan tertentu. Pertimbangan tersebut berdasarkan pada kepentingan atau tujuan penelitian. Penarikan sampel dengan purposive ada dua cara: a. convenience sampling yaitu penarikan sampel berdasarkan keinginan peneliti sesuai dengan tujuan penelitian. b. Judment sampling yaitu penarikan sampel berdasarkan penilaian terhadap karakteristik anggota sampel yang disesuaikan dengan tujuan penelitian. B. Cara Menentukan Ukuran Sampel 1. Dengan Tabel Salah satu cara menentukan ukuran sampel yang di kembangkan oleh Isaac dan Michael dengan menggunakan pendekatan statistic untuk tingkat Kesalahan 1%, 5%, dan 10% adalah sebagai berikut :
2. Dengan Rumus a. Dengan asumsi jumlah populasi diketahui
Dimana : n : jumlah sampel minimal yang di perlukan
d : presisi absolut N : jumlah populasi Z1-α/2 = nilai pada table Z sesuai dengan nilai d yang telah di tentukan b. Dengan asumsi jumlah populasi tidak di ketahui
Dengan pendekatan rumus Lemeshow
Dengan pendekatan kohort dan case control (retrospektif) c. Dengan pendekatan eksperimen Menurut Supranto J (2000) untuk penelitian eksperimen dengan rancangan acak lengkap, acak kelompok atau faktorial, secara sederhana dapat dirumuskan: (t-1) (r-1) > 15 dimana : t = banyaknya kelompok perlakuan j = jumlah replikasi Contohnya: Jika jumlah perlakuan ada 4 buah, maka jumlah ulangan untuk tiap perlakuan dapat dihitung: (4 -1) (r-1) > 15 (r-1) > 15/3 r>6 Untuk mengantisipasi hilangnya unit ekskperimen maka dilakukan koreksi dengan 1/(1-f) di mana f adalah proporsi unit eksperimen yang hilang atau mengundur diri atau drop out.
C. Kesalahan penarikan sampel (sampling error)
Merupakan perbedaan antara nilai statistik sampel dengan nilai parameter dari populasi. Dalam pemilihan sampel, dimana jumlah sampel adalah sebagian dari populasi, mungkin akan terdapat perbedaan antara rata-rata hitung dan standar deviasi sampel terhadap rata-rata hitung dan standar deviasi populasi. Perbedaan nilai statistik ini yang dikenal dengan kesalahan penarikan sampel (sampling error). Dengan menggunakan sampel bisa ditemukan kesalahan penarikan sampel pada saat hasil sampel tersebut digunakan untuk menduga parameter suatu populasi. Untuk menentukan tingkat keyakinan akan hasil menggunakan sampel untuk menduga parameter dapat dipahami dengan mentusun distribusi sampel (sampling distribution) dan rata-rata hitung sampel (sampel means). D. Distribusi Sampel rata-rata dan proporsi Distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel dan populasi adalah suatu distribusi probabilitas yang terdiri dari seluruh kemungkinan rata-rata hitung sampel dari suatu ukuran sampel tertentu yang dipilih dari populasi, dan probabilitas terjadinya dihubungkan dengan setiap rata-rata hitung sampel. a. Distribusi sampel rata-rata dan proporsi menpunyai nilai hitung rat-rata: ∑ b. Distribusi sampel rata-rata dan proporsi mempunyai standar deviasi √
∑
√
c. Hubungan antara standar deviasi sampel x dan proporsi pada kondisi sampel terbatas
√
√
d. Hubungan standar deviasi sampel x dan proporsi pada kondisi sampel tidak terbatas
√
e. Distribusi sampel rata-rata dan porposi merupakan distribusi normal, sehingga dapat diketahui nilai Znya yaitu
E. Distribusi Sampel Selisih rata-rata dan proporsi Distribusi sampel selisih apabila terdapat dua atau lebih populasi yang diambil sebagai sampel a. Distribusi sampel selisih rata-rata Distribusi sampling selisih rata-rata adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi dari selisih rata-rata dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua
sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya. Untuk ukuran sampel n1 dan n2 yang cukup besar (n1, n2 > 30), maka distribusi sampling selisih rata-rata sangat mendekati distribusi normal, untuk mengubahnya ke dalam bentuk normal standart. 1. Nilai rata-rata
2. Nilai standar deviasi √
√ 3. Nilai Z
F. Distribusi Sampel Selisih Proporsi Distribusi sampling selisih proporsi adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi dari selisih proporsi dua sampel ang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya. 1. Nilai Rata-rata
2. Nilai Standar Deviasi √
√
3. Nilai Z
G. Faktor Koreksi untuk populasi terbatas Faktor koreksi adalah usaha untuk memperbaiki hasil dugaan parameter dan diterapkan jika rasio n/N lebih besar dari 0,05. faktor koreksi terhadap standar deviasi dirumuskan sebagai berikut
√
sedang untuk standar deviasi proporsi
√
√
BAB 8 HIPOTESIS A. Hipotesis Hipotesa adalah suatu pernyataan mengenai nilai suatu parameter populasi yang dimaksudkan untuk pengujian dan berguna untuk pengambilan keputusan. Hipotesa sebenarnya disusun berdasarkan data, akan tetapi karena data tersebut dihasilkan dari sample yang mempunyai probabilitas, sehingga hasilnya bisa saja benar dan mungkin saja salah. Oleh sebab itu sebuah hipotesa sebelum menjadi keputusan haruslah diuji terlebih dahulu dengan menggunakan data observasi. Menurut Nasir (1988) hipotesa yang baik mempunyai ciri-ciri: a. menyatakan hubungan b. sesuai dengan fakta c. sederhana dan dapat diuji d. dapat menerangkan fakta dengan baik B. Pengujian Hipotesis Pengujian hipotesa adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai untuk menentukan apakah hipotesa merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak, atau hipotesa tersebut tidak wajar dan oleh karena itu harus ditolak. C. Jenis Kesalahan Dalam Hipotesis Ada dua jenis kesalahan yang bias terjadi di dalam pengujian hipotesis. Kesalahan bisa terjadi karena kita menolak hipotesis nol padahal hipotesis nol itu benar atau menerima hipotesis nol padahal hipotesis nol itu salah. Kesalahan yang disebabkan karena kita menolak hipotesis nol padahal hipotesis nol itu benar disebut kesalahan jenis pertama atau type 1 error. Sebaliknya kesalahan yang disebabkan karena kita menerima hipotesis nol padahal hipotesis itu salah disebut kesalahan jenis 2 atau type 2 error. Tabel 8.1 Jenis kesalahan hipotesis PENGERTIAN KESALAHAN JENIS I DAN II
Situasi Keputusan
H0 Benar
H0 Salah
Terima H0
Keputusan tepat (1 – α)
Kesalahan Jenis II (β)
Tolak H0
Kesalahan Jenis I (α)
Keputusan tepat (1 – β)
D. Prosedur Pengujian Hipotesa Langkah 1. Merumuskan Hipotesa (Hipotesa nol (H0) dan Hipotesa Alternatif (H1)) Langkah 2. Menentukan Taraf Nyata (Probabilitas menolak hipotesa) Langkah 3. Menentukan Uji statistik (Alat uji statistik, uji Z, t, F, χ2 dan lain-lain) Langkah 4. Menentukan Daerah Keputusan (Daerah di mana hipotesa nol diterima atau ditolak)) Langkah 5. Mengambil Keputusan
Menerima H0
Menerima H1, Menolak H0
Langkah 1 Merumuskan Hipotesis Perumusan hipotesa dikembangkan oleh Fisher yang dikenal sebagai Bapak Stastistik, yang membedakan hipotesa menjadi nol dan hipotesa alternative. Hipotesa nol (H0) Satu pernyataan mengenai nilai parameter populasi Hipotesa alternative (H1) Suatu pernyataan yang diterima jika data sampel memberikan cukup bukti bahwa hipotesa nol adalah salah Contoh: 1. Rata-rata penyebaran penyakit flu singapura tidak sama dengan 13,17%, maka H0 : μ = 13,17% H1 : μ≠ 13,17% 2. Rata-rata IPK mahasiswa diatas 3 H0 : IPK = 3 H1 : IPK > 3 Langkah 2. menentukan taraf nyata Taraf nyata adalah Probabilitas menolak hipotesa nol apabila hipotesa nol tersebut adalah benar. Taraf nyata adalah nilai kritis yang digunakan sebagai dasar untuk menerima atau menolak hipotesa nol. Taraf nyata dilambangkan dengan α, dimana α = 1 – C. C adalah tingkat keyakinan, apabila C = 0,95 maka taraf nyata 0,05. semakin tinggi tingkat keyakinan maka semakin kecil taraf nyata. Kebiasaan yang sering digunakan untuk penelitian sosial dan ekonomi adalah taraf nyata 5% atau tingkat keyakinan 95%.
Langkah 3. menentukan Uji Statistik Suatu nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan untuk memutuskan apakah akan menerima atau menolak hipotesa. Pada bagain ini akan dibahas uji Z, yang diperoleh dari rumus berikut:
dimana : z = Nilai Z x = Rata -rata hitung sampel μ = Rata - rata hitung populasi Langkah 4. Menentukan daerah Keputusan
Gambar 8.1 Daerah keputusan Pengujian satu arah Adalah daerah penolakan H0 hanya satu yaitu terletak di ekor sebelah kanan saja atau ekor sebelah kiri saja. Karena hanya satu daerah penolakan berarti luas daerah penolakan tersebut sebesar taraf nyata yaitu a, dan untuk nilai kritisnya biasa ditulis dengan Za. Sedangkan pengujian dua arah Adalah daerah penolakan Ho ada dua daerah yaitu terletak di ekor sebelah kanan dan kiri. Karena mempunyai dua daerah, maka masing-masing daerah mempunyai luas ½ dari taraf nyata yang dilambangkan dengan ½α, dan nilai kritisnya biasa dilambangkan dengan Z ½α.
Langkah 5. mengambil Keputusan Keputusan ditentukan dengan melihat nilai Z, apabila terletak pada daerah yang menerima H0 maka hipotesa dapat diterima atau sebaliknya apabila nilai Z tidak terletak pada daerah penerimaan H0 maka hipotesa ditolak Contoh : Waktu rata-rata yang diperlukan permahasiswa untuk mendaftar ulang pada semester ganjil di suatu perguruan tinggi adalah 20 menit dengan simpangan baku 5 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru yang menggunakan mesin antrian sedang dicoba. Bila sample 12 mahasiswa memerlukan waktu pendaftaran rata-rata 8 menit dengan simpangan baku 3,2 menit dengan system baru tersebut, ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-ratanya sekarang tidak sama dengan 20 menit. Gunakan α = 5%.
BAB 9 MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR
CONTOH PENGUJIAN DUA ARAH 1. Ujilah nilai rata-rata sama dengan 15,17%. Maka hipotesanya dirumuskan sebagai berikut: H0 : µ = 15,17%. H1 : µ ≠15,17%. 2. Ujilah nilai koefisien untuk b sama dengan 0. Maka hipotesanya dirumuskan sebagai berikut: H0 : β = 0 H1 : β ≠ 0.
Gambar 9.1 Daerah keputusan MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA DAN PROPORSI SAMPLE BESAR Ada Tiga hal yang terkait dengan pengujian hipotesa rata-rata dan porposi sample besar yaitu: a. Proses pengujian hipotesa, dimana pengujiannya tetap mengikuti 5 langkah b. Yang diuji dalam hal ini adalah rata-rata populasi dan proporsi dari populasi c. Sample besar. Sample besar adalh sample yang berjumlah 30 atau lebih. Dengan menggunakan sample besar diharapkan akan mendekati distribusi normal sehingga dapat digunakan nilai dan uji Z. CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR Dinas Kesehatan menyatakan bahwa penyebaran penyakit flu singapura rata-rata mencapai 13,17% untuk setiap daerah di wilayah kerjanya. Untuk menguji apakah pernyataan tersebut benar, maka lembaga konsultan YESS mengadakan penelitian pada 36 daerah di wilayah kerja Dinas Kesehatan dan didapatkan hasil bahwa rata-rata penyebaran flu singapura tiap daerah adalah 11,39% dan standar deviasinya 2,09%. Ujilah apakah pernyataan Dinas Kesehatan tersebut benar dengan taraf nyata 5%. Langkah 1 Merumuskan hipotesa. Hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata penyebaran penyakit flu singapura sama dengan 13,17% merupakan hipotesa nol, dan hipotesa alternatifnya
adalah rata-rata penyebaran penyakit flu singapura tidak sama dengan 13,17%. Hipotesa tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: H0 : µ = 13,17%. H1 : µ ≠ 13,17%. Langkah 2 Menentukan taraf nyata. Taraf nyata sudah ditentukan sebesar 5%, apabila tidak ada ketentuan dapat digunakan taraf nyata lain. Taraf nyata 5% menunjukkan probabilitas menolak hipotesa yang benar 5%, sedang probabilitas menerima hipotesa yang benar 95%. Nilai kritis Z dapat diperoleh dengan cara mengetahui probabilitas daerah keputusan H0 yaitu Zα/2 = α/2 – 0,5/2 = 0,025 dan nilai kritis Z dari tabel normal adalah 1,96. Langkah 3 Melakukan uji statistik dengan menggunakan rumus Z. Dari soal diketahui bahwa ratarata populasi = 13,17%, rata-rata sampel 11,39% dan standar deviasi 2,09%. Mengingat bahwa standar deviasi populasi tidak diketahui maka diduga dengan standar deviasi sampel, dan standar error sampel adalah Sx = s/√n sehingga nilai Z adalah
Langkah 4 Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z=1,96 Langkah 5 Mengambil Keputusan. Nilai uji Z ternyata terletak pada daerah menolak H0. Nilai uji Z = –5,11 terletak disebelah kiri –1,96. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa menolak H0, dan menerima H1, sehingga pernyataan bahwa hasil rata-rata investasi sama dengan 13,17% tidak memiliki bukti yang cukup kuat.
Gambar 9.2 Daerah keputusan MENGUJI HIPOTESIS PROPORSI SAMPEL BESAR Rumus uji Z untuk proporsi adalah
√
dimana: Z = Nilai uji Z p = Proporsi sampel P = Proporsi populasi N = jumlah sampel MENGUJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA SAMPEL BESAR Distribusi sampling dari selisih rata-rata proporsi memiliki distribusi normal dan mempunyai standar deviasi sebagai berikut:
Di mana: x1-x2 1 2 n1 n2
√
: Standar deviasi selisih dua populasi : Standar deviasi populasi 1 : Standar deviasi populasi 2 : Jumlah sampel pada populasi 1 :Jumlah sampel pada populasi 2
sedangkan untuk rumus Z adalah sebagai berikut: Z : Nilai uji statistik x1 -x 2 : Selisih dua rata-rata hitung sampel 1 dan sampel 2 1 - 2 : Selisih dua rata-rata hitung populasi 1 dan populasi 2 S x1-x2 : Standar deviasi selisih dua populasi standar deviasi selisih dua sampel adalah:
√ Di mana: S x1-x2 : Standar deviasi selisih dua populasi s1 : Standar deviasi populasi 1 s2 : Standar deviasi populasi 2 n1 : Jumlah sampel pada populasi 1 n2 :Jumlah sampel pada populasi 2 MENGUJI HIPOTESA SELISIH PROPORSI SAMPEL BESAR Untuk standar deviasi proporsi populasi dirumuskan sebagai berikut:
√ sedangkan nilai uji Z dirumuskan sebagai berikut:
standar deviasi selisih dua sampel
√
1.
Contoh soal : Manajer pemasaran suatu produk kesehatan menyatakan tidak ada perbedaan volume penjualan rata-rata setiap bulan antara Pasar I dan Pasar II. Untuk membuktikan pernyataan tersebut diambil sampel mengenai volume penjualan selama 12 bulan terakhir di kedua pasar tersebut dan diperoleh informasi bahwa volume penjualan setiap bulan di Pasar I adalah 236 unit dengan standar deviasi 20 unit. Sedangkan volume penjualan setiap bulan pada periode tersebut di Pasar II adalah 200 unit dengan standar deviasi 30 unit. Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%, apakah sampel mendukung pernyataan bahwa tidak terdapat perbedaan volume penjualan di kedua pasar tersebut.
2.
Empat puluh karyawan di PT. A dan 36 karyawan di PT. B dipilih secara random sebagai sampel untuk menguji dugaan bahwa upah rata-rata per hari di PT. A lebih tinggi daripada upah rata-rata per hari di PT. B. Berdasarkan sampel tersebut diperoleh informasi bahwa besarnya upah rata-rata per hari di PT. A adalah $80,0 dengan standar deviasi $1,6 dan di PT. B adalah $78,2 dengan standar deviasi $2,1. Dengan = 5%, apakah sampel mendukung dugaan bahwa upah rata-rata per hari di PT. A lebih tinggi daripada upah rata-rata per hari di PT. B.
3.
Manajer produksi suatu perusahaan menyatakan bahwa persentase barang yang rusak dari dua jalur produksi (production lines) adalah sama. Untuk menguji pernyataan tersebut diambil sampel sebanyak 200 barang yang dihasilkan jalur produksi pertama dan ternyata terdapat 20 barang yang rusak. Sedangkan dari jalur produksi ke dua diambil sampel sebanyak 300 barang, ternyata ter-dapat 45 barang yang rusak. Dengan = 5%, apakah sampel yang diperoleh dapat digunakan sebagai bukti membenarkan pernyataan tersebut?
BAB 10 PENGUJIAN HIPOTESA SAMPEL KECIL Pada sampel kecil yaitu kasus dimana jumlah sampel kurang dari 30, maka nilai standar deviasi (s) berfluktuasi relatif besar, sehingga nilai uji Z tidak bersifat normal. Oleh karena itu, untuk sebaran distribusi sampel kecil dikembangkan suatu distribusi khusus yang dikenal sebagai distribusi t atau t-student. Nilai distribusi t dinyatakan sebagai berikut
dimana: t = Nilai distribusi t = nilai rata-rata populasi x = nilai rata-rata sampel s = standar deviasi sampel n = jumlah sampel CIRI-CIRI DISTRIBUSI t-STUDENT a. Distribusi t-student seperti distribusi Z merupakan sebuah distribusi kontinu, di mana nilainya dapat menempati semua titik pengamatan. b. Distribusi t-student seperti c. distribusi Z berbentuk genta atau lonceng dan simetris dengan nilai rata-rata sama dengan 0. d. Distribusi t-student bukan merupakan satu kurva seperti kurva Z, tetapi keluarga dari distribusi t. Setiap distribusi t mempunyai rata-rata hitung sama dengan nol, tetapi dengan standar deviasi yang berbeda-beda, sesuai dengan besarnya sampel (n). Ada distribusi t untuk sampel berukuran 2, yang berbeda dengan distribusi untuk sampel sebanyak 15, 25 dan sebagainya. Apabila sampel semakin besar maka distribusi t akan mendekati normal. Tahap menguji rata-rata hitung populasi dalam sampel kecil : a) Merumuskan hipotesa nol dan hipotesa alternatif (H0 dan H1), b) Menentukan taraf nyata apakah 1%, 5% atau pada taraf lainnya serta mengetahui titik kritis berdasarkan pada tabel t-student, c) Menentukan uji statistik dengan menggunakan rumus uji-t, d) menentukan daerah keputusan yaitu daerah tidak menolak H0 dan daerah menolak H0, dan e) Mengambil keputusan untuk menolak dan menerima dengan membandingkan nilai kritis taraf nyata dengan nilai uji-t. CIRI DISTRIBUSI F
1. Distribusi F lebih mirip dengan distribusi t, yaitu mempunyai “keluarga” distribusi F. df(29,28) df(20,7) df(5,5) Pada gambar di atas terlihat bahwa distribusi dengan derajat bebas pembilang 5 dan penyebut 5 yang ditulis df(5,5) mempunyai distribusi F yang berbeda dengan distribusi df(20,7) dan df(29,28). 2. Distribusi F tidak pernah mempunyai nilai negatif sebagaimana pada distribusi Z. Distribusi Z mempunyai nilai positif di sisi kanan dan negatif sisi kiri nilai tengahnya. Distribusi F seluruhnya adalah positif atau menjulur ke positif (positively skewed) dan merupakan distribusi kontinu yang menempati seluruh titik di kurva distribusinya. 3. Nilai distribusi F mempunyai rentang dari tidak terhingga sampai 0. Apabila nilai F meningkat, maka distribusi F mendekati sumbu X, namun tidak pernah menyentuh sumbu X tersebut. 4. Distribusi F juga memerlukan syarat yaitu: (a) populasi yang diteliti mempunyai distribusi yang normal, (b) populasi mempunyai standar deviasi yang sama, dan (c) sampel yang ditarik dari populasi bersifat bebas serta diambil secara acak.
Contoh : 1. Seorang peneliti ingin mengetahui apakah dengan pemberian aspirin mampu meredakan rasa sakit dalam waktu rata-rata 15 menit. Sehingga dilakukan pengambilan sample pada 10 pasien. Ujilah apakah pendapat dari peneliti tersebut benar. No. Waktu No. Waktu 1 9 6 10 2 13 7 9 3 18 8 11 4 20 9 14 5 21 10 16
BAB 11 UJI CHI-KUADRAT A. Statistika nonparametrik: Statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk distribusi atau bebas distribusi, sehingga tidak memerlukan asumsi terhadap populasi yang akan diuji Kapan kita dapat menggunakan statistik nonparametrik? 1. Apabila ukuran sampel sedemikian kecil sehingga distribusi sampel atau populasi tidak mendekati normal, dan tidak ada asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber populasi. 2. Apabila hasil pengukuran menggunakan data ordinal atau data berperingkat. Data ordinal hanya menyatakan lebih baik, lebih buruk atau sedang atau bentuk ukuran lainnya. Data ini sama sekali tidak menyatakan ukuran perbedaan. 3. Apabila hasil pengukuran menggunakan data nominal. Data nominal hanya merupakan “kode” dan tidak mempunyai implikasi atau konsekuensi apa-apa. Jenis kelamin diberikan kode “laki-laki” dan “perempuan”, pengkodean tersebut tidak berimplikasi lebih rendah atau lebih tinggi, hanya sekadar kode. B. Chi Kuadrat untuk Uji Goodness of Fit Uji goodness of fit dikembangkan oleh Karl Pearson pada tahun 1900 dan ada yang menyebutnya dengan uji keselarasan. Rumus yang dikembangkan oleh Pearson adalah:
dimana: X2 = nilai chi-Kuadrat fo = Frekuensi yang diperoleh fe = frekuensi yang diharapkan distribusi Chi-kuadrat berbeda dengan distribusi t dan F. Distribusi t dan F mempunyai distribusi probabilitas tunggal. Distribusi Chi-kuadrat merupakan suatu keluarga dari kurva bermacam distribusi yang bentuknya ditentukan oleh derajat bebasnya (df), dimana df tergantung dari jumlah sampel (n) dan jumlah variabel (k), df = n-k. Semakin besar nilai n maka distribusi chi-kuadrat akan mendekati kurva normal. Pada gambar dapat dilihat semakin banyak jumlah sampel maka kurva semakin mendekati normal. C. Uji Keselarasan (Goodness of Fit) Uji keselarasan adalah untuk menguji seberapa tepatkah frekuensi yang teramati (observed frequencies, fo) cocok atau sesuai dengan frekuensi yang diharapkan (expected frequencies, fe). Uji keselarasan dimaksudkan apakah ada kecocokan atau kesesuaian antara harapan dengan kenyataan.pada uji ini ada dua hal penting a. frekuensi yang diharapkan sama, apabila setiap data pengamatan nilai frekuensi yang diharapkan sama b. frekuensi yang diharapkan tidak sama
D. Uji keselarasan dengan Frekuensi Harapan sama Hasil perdagangan saham perusahaan obat pada minggu pertama 2016 adalah sebagai berikut: Tabel 11.1 Saham perusahan obat No Perusahaan Prosentase Perubahan Harga 1 Abbot 4 2 Aventis 10 3 Afifarma 56 4 Actavis -3 5 BioFarma 3 6 Bintang toedjo 29 7 Combiphar -3 8 Dexa Medica 9 9 Henson Farma 10 10 Darya Varia 7 Untuk melakukan pengujian memerlukan beberapa tahapan atau langkah yaitu: 1. Menentukan hipotesa Hipotesa yang disusun adalah hipotesa nol (H0) dan hipotesa alternatif (H1). Hipotesa nol, H0, menyatakan bahwa tidak ada perbedaan antara nilai atau frekuensi observasi atau teramati dengan nilai atau frekuensi harapan. Sedangkan hipotesa alternatif, H1, menyatakan bahwa ada perbedaan antara nilai atau frekuensi teramati dengan nilai atau frekuensi yang diharapkan. Hipotesa selanjutnya dinyatakan sebagai berikut: H0 : fo = fe H1 : fo ≠ fe 2. Menentukan Taraf Nyata dan Nilai Kritis Untuk kasus ini, nilai n adalah kategori atau sampel yaitu 10, sedang k adalah variabel, dimana k= 1, jadi derajat bebasnya adalah df= 10 - 1= 9. Setelah menemukan nilai df dan taraf nyata, maka dapat dicari nilai kritis chi-kuadrat dengan menggunakan tabel chi-kuadrat sebagai berikut:
T a r a f Nyata Df
0,1
0,05
0.02
0.01
1
2.706
3.841
5.412
6.635
2
4.605
5.991
7.824
9.210
3
6.251
7.815
9.837
11.345
7
12.017
14.067
16.622
18.475
8
13.362
15.507
18.168
20.090
9
14.684
16.919
19.679
21.666
29
39.087
42.557
46.693
49.588
30
40.256
43.773
47.962
50.892
…
….
3. Menentukan Daerah Keputusan Tabel 11.2 perhitunngan chi-square fo fe (fo-fe) (fo-fe)2 (fo-fe)2/fe 3,85 13 -9,15 83,8 6,4 9,87 13 -3,13 9,8 0,4 55,67 13 42,67 1820,7 140.1 -3,17 2,67 28,57 -3,08 8,55 9,76 6,67
13 13 13 13 13 13 13
-16,17 -10,33 15,57 -16,08 -4,45 -3,24 -6,33
261,6 106,8 242,5 258,5 19,8 10,5 40,1
20,6 8,2 18,7 19.9 1,5 0,8 5,1
4. Menentukan Keputusan
Gambar 11.1 Daerah Keputusan 5. Langkah kelima adalah Kesimpulan. Berdasarkan aturan pada langkah ke-4, diketahui nilai chi-kuadrat hitung adalah 219,5 dan nilai chi-kuadrat kritis 16,919 berarti nilai chi-kuadrat hitung > dari chi kuadrat kritis. Dengan demikian Ho ditolak dan H1 diterima. Jadi terdapat cukup bukti untuk menolak Ho, sehingga antara kenyataan yang terjadi dengan harapan dari analisis adalah tidak sama. E. Uji Chi-Kuadrat untuk uji Kenormalan Beberapa tahapan untuk uji kenormalitasan: 1. Membuat distribusi frekuensi. 2. Menentukan nilai rata-rata hitung μ dan standar deviasi σ dengan menggunakan data berkelompok. 3. Menentukan nilai Z dari setiap kelas, dimana Z = (X - μ)/σ 4. Menentukan probabilitas setiap kelas dengan menggunakan nilai Z. 5. Menentukan nilai harapan dengan mengalikan nilai probabilitas dengan jumlah data. 6. Menentukan pengujian chi-kuadrat untuk menentukan apakah suatu distribusi bersifat normal atau tidak. F. Uji chi-kuadrat untuk uji Independensi Langkah-langkah yang harus dilakukan: 1. Menyusun hipotesa. Hipotesa H0 biasanya menyatakan tidak ada hubungan antara dua variabel, sedangkan H1 menyatakan ada hubungan antara dua variabel. 2. Mengetahui nilai 2 kritis dengan taraf nyata dan derajat bebas df=(r - 1) x (c 1) 3. Menentukan frekuensi harapan (fe) dimana fe untuk setiap sel dirumuskan 4.
IPK >3.5 2.753.5 <2.75
<0.8 22 67
Tingkat Penghasilan (jutaan) 0,8-1.5 1,5-3,5 31 31 80 73
124 213
161 272
122 226
Total >3.5 8 17
92 237
15 40
422 751
5. Menentukan nilai χ2 dengan Rumus : ∑
6. Menentukan daerah kritis yaitu daerah penerimaan H0 dan penolakan H0 7. Menentukan keputusan apakah menerima H0 atau menolak H0. Contoh Soal: Ada keyakinan bahwa apabila IPK tinggi. maka akan mendapatkan penghasilan tinggi. Berdasarkan keyakinan tersebut. Nani dari YESS tahun 2015 melakukan penelitian terhadap 751 sarjana dari berbagai Sekolah Tinggi Kesehatan yang bekerja disektor Kesehatan di Jawa Timur. Berikut adalah hasilnya Dari data tersebut. apakah keyakinan adanya hubungan antara IPK dengan tingkat penghasilan dapat dibenarkan? Fo 22 67 127 31 80 161 31 73 122 8 17 15 χ2 = ∑ (fo - fe)2 /fe
Fe 26 67 120 33 86 153 28 71 127 5 13 22
(fo-fe)2 /fe 0,64 0,00 0,45 0,16 0,40 0,44 0,40 0,04 0,20 1,96 1,52 2,49 8,68
1. Hipotesa. H0: tidak ada hubungan antara acara tingkat penghasilan dengan IPK. H1 ada hubungan antara tingkat penghasilan dengan IPK.
2. Menentukan nilai kritis. df= (c - 1)(r - 1)= (3 - 1)(4 - 1) = 6 dengan taraf nyata 5% adalah 12.596 3. Nilai chi-kuadrat hitung = 8.68 < dari chi-kuadrat tabel 12.596, dengan demikian H0 diterima dan H1 ditolak. Jadi tidak ada hubungan antara tingkat penghasilan dengan IPK
BAB 12 DATA STATISTIK A. Pengertian Statistik Pada awal mulanya kata statistik di gunakan oleh Gottfriet Achmenwall (1719 – 1772). Kemudian Dr. E.A.W. Zimmerman memperkenalkan kata statistic ke negeri Inggris, selanjutnya kata statistic itu di populerkan oleh Sir Jhon Sinclaer. Secara etimologi kata statistic berasal dari bahasa Italia “statista” yang berarti negarawan atau ahli kenegaraan. Karena sejak dahulu kala statistic hanya di gunakan untuk kepentingan Negara saja. Kita sering mendengar statistik dan statistika itu sama dalam artian pasti berhubungan dengan angka. Statistik adalah kumpulan data mengenai suatu permasalahan sehingga dapat memberikan suatu gambaran dari permasalahan tersebut. Statistika adalah suatu metode ilmiah yang mempelajari teknik pengumpulan data, penghitungan, penggambaran, pengaturan data di sertai pengaturan kesimpulan yang valid dari penganalisaan yang di lakukan serta pembuatan keputusan secara rasional. Berdasarkan tingkat atau tahapan kegiatan, statistic dapat di bagi menjadi dua golongan, yaitu : 1. Statistik Deskriptif atau statistik deduktif Yaitu kegiatan statistik yang di mulai dari menghimpun data, menyusun atau mengatur data, mengolah data, menyajikan dan mengolah data guna memberikan gambaran tentang suatu gejala, peristiwa atau keadaan. 2. Statistik Inferensial atau statistic induktif Yaitu statistic yang menyediakan aturan atau cara yang dapat di gunakan untuk menarik kesimpulan (conclusion), membuat ramalan (forecast) dan penaksiran (estimation) dsb. B. Data Statistik Data adalah segala fakta dan angka yang dapat dijadikan bahan untuk menyusun suatu informasi (Suharsimi Arikunto, 2002). Data merupakan materi mentah yang membentuk semua laporan penelitian (Dempsey dan Dempsey, 2002). Data berbentuk jamak sedangkan bentuk tunggalnya adalah datum. Jadi data sama dengan datum-datum. Data statistik ialah data yang berwujud angka, namun tidak semua angka di sebut data statistik. Suatu angka atau bilangan di sebut data statistik bila angka itu menunjukkan suatu ciri dari suatu penelitian yang bersifat agregatif yaitu pencatatan yang di lakukan lebih dari satu kali pada satu individu serta mencerminkan suatu kegiatan dalam bidang tertentu. Pengenalan jenis-jenis data statistic sangat penting, karena menyangkut pilihan instrument pengumpul data yang akan di gunakan dan menentukan pilihan teknik analisis yang akan digunakan. Dari sudut pandang statistic data dapat dibagi menjadi dua yaitu : 1. Data kualitatif Data yang dinyatakan bukan dalam bentuk angka. Contohnya adalah Jenis kelamin (laki-laki, perempuan), program studi (ilmu kesehatan masyarakat, ilmu pendidikan ners, kebidanan, analist, dsb). Data kualitatif dapat diolah dan dianalisis dengan statistik tetapi harus diubah kedalam data kuantitatif. 2. Data kuantitatif
Data kuantitatif adalah data yang dinyatakan dalam bentuk angka. Misalnya tinggi badan, kadar gula darah, kadar kolesterol, nilai ujian.
1)
2)
3)
4)
Berdasarkan skala pengukurannya Data yang merupakan hasil pengukuran variabel memiliki jenis skala pengukuran sebagaimana yang terdapat pada variabel. Dengan demikian berdasarkan tinjauan ini, data dapat dibedakan menjadi : data nominal Data nominal di sebut juga data deskrit atau data kategorik, yaitu data statistic yang cara penyusunannya di klasifikasikan dalam beberapa kategori saling lepas (mutual exlusive) dan tuntas (exhaustive). Masing-masing kategori memiliki kategori yang sama. Data nominal termasuk data yang memiliki tingkat yang paling rendah dibandingkan dengan jenis data statistik yang lain. Contoh : warna kulit, agama, jenis minuman data ordinal Data ordinal adalah data statistik yang diurutkan dari jenjang yang paling rendah sampai ke jenjang yang paling tinggi atau sebaliknya dari jenjang yang paling tinggi sampai yang paling rendah, dan dalam bentuk kategori atau klasifikasi. Ciri data ordinal adalah : a. Dalam bentuk kategori b. Posisi data tidak setara atau bertingkat c. Tidak bisa dilakukan operasi matematika Contoh : pengetahuan (baik, cukup, kurang), Rangking (I, II, III, IV), Tingkat nyeri (Nyeri berat, Nyeri sedang, nyeri ringan, tidak nyeri) data interval Data interval adalah data statistic yang mempunyai jarak yang sama diantara hal-hal yang sedang di selidiki. Ciri khas data interval adalah : a. satuan ukurannya mempunyai skala yang sama b. antar kategori data dapat ketahui selisihnya c. tidak memiliki nilai 0 (nol) mutlak d. Data interval tidak dapat di bandingkan Contoh : nilai skor yang didapatkan dari kuesioner, nilai ujian ( rentang nilai 0 – 100) atau (0 – 10). Pada contoh nilai ujian missal si A mendapat 50 dan si B mendapat nilai 100 tidak bisa di katakana bahwa si B dua lebih pandai dari si A. data rasio Data ratio merupakan jenis data statistic yang menempati posisi tertinggi di bandingkan dengan jenis data statistic yang menempati posisi tertinggi di bandingkan dengan jenis data statistik yang lain. Ciri-ciri data ratio adalah: a. Data diperoleh merupakan hasil pengukuran, dimana jarak dua titik pada skala di ketahui dari alat ukurnya. b. Dapat di ketahui selisihnya c. Data dapat di bandingkan d. Memiliki nilai nol (0) mutlak Contoh : berat badan (50 kg, 75kg, 90 kg), tinggi badan (170 cm, 130 cm). Data pada skala ratio dapat di bandingkan. Misalnya A memiliki berat badan 60 kg, dan B memiliki berat badan 120 kg, maka dapat dikatakan bahwa berat badan B 2 kali daripada berat badan A.
Statistika Deskriptif dan Inferensia Statistika deskriptif melakukan proses pengumpulan data sampai dengan penyajiannya/presentasi. Statistika deskriptif berkaitan dengan pencatatan dan peringkasan data, dengan tujuan menggambarkan hal-hal penting pada sekelompok data. Contohnya menampilkan rata-rata, variansi, menampilkan dalam bentuk diagram atau tabel. Statistika inferentia melakukan proses pengumpulan data sampai dengan melakukan pendugaan terhadap populasi. Inferensia melakukan generalisasi terhadap populasi. Statistika inferensia berkaitan dengan pengambilan keputusan dari data yang telah dicatat dan diringkas tersebut. Adapun contoh statistika inferensia Diambil 15 sampel mahasiswa putri di sebuah sekolah tinggi kemudian diukur kadar hb-nya, diketahui rata-rata kadar Hb 10,1. Maka bisa disimpulkan bahwa rata-rata kadar Hb mahasiswa sekolah tinggi tersebut (sebagai populasi) adalah 10.5 Diambil sampel 180 laki-laki dan perempuan yang bekerja pada sebuah kantor yang memiliki 400 karyawan. Dari proses statitika inferentia pada 180 sampel tersebut didapatkan perbedaan antara laki-laki dan perempuan pada motivasi bekerja mereka. Maka bisa disimpulkan bahwa rata-rata motivasi kerja laki-laki dan perempuan dikator tersebut memang berbeda. Mungkin saja motivasi laki-laki dalam bekerja lebih tinggi dibandingkan perempuan atau sebaliknya. Dengan demikian, jika pengambilan sebuah sampel adalah salah,atau penggunaan metode statistic tertentu pada sebuah sampel adalah salah, maka akan berakibat kesalahan dalam pengambilan keputusan secara umum terhadap populasi. Beberapa kemungkinan bisa terjadi : Pengambilan sampel yang salah akan mengakibatkan keputusan yang bisa salah. Seperti mengambil 15 sampel pada mahasiswa yang kebetulan kadar hbnya kurang dari 10, akan mengakibatkan kesimpulan yang salah, jika kebanyakan isi populasi justru kadar hbnya diatas 10. Pengambilan sampel sudah benar, namun metode statistic inferenti yang diterapkan salah, keputusan yang diambil juga bisa salah. Seperti membandingkan motivasi laki-laki dan perempuan yang seharusnya kedua sampel tersebut independent satu sama lain, namun diperlakukan sebagai satu sampel saja, maka keputusan bisa saja salah. Statistika Parametrik dan Non Parametrik Analisa Statistika Parametrik adalah analisis statistika untuk jenis skala Data Interval (yang memenuhi asumsi normal) dan Ratio sedangkan analisa Statistika Non Parametrik adalah analisis statistika untuk Jenis Skala data Nominal dan Ordinal dan interval yang tidak normal. Adapun konsep kaidah penggunaan analisis statistika inferensia bisa dilihat pada gambar 14.1 Sumber data statistik dapat di peroleh dari manusia, hewan, tumbuh-tumbuhan, benda, dan gejala atau peristiwa yang terjadi di sekitar kita. Data dapat di kumpulkan langsung oleh peneliti dari pihak yang bersangkutan atau di sebut juga sumber primer, atau data di peroleh dari pihak lain (pihak kedua) atau di
sebut juga teknik sekunder. Metode-metode pengumpulan data yang sesuai dan banyak digunakan dalam penelitian social, keagamaan, dan lain-lain meliputi: observasi, wawancara, quesioner dan penggalian data dari sumber-sumber sekunder.
Gambar 14.1 Bagan Parametrik dan Non Parametrik Sumber data statistik dapat di peroleh dari manusia, hewan, tumbuh-tumbuhan, benda, dan gejala atau peristiwa yang terjadi di sekitar kita. Data dapat di kumpulkan langsung oleh peneliti dari pihak yang bersangkutan atau di sebut juga sumber primer, atau data di peroleh dari pihak lain (pihak kedua) atau di sebut juga teknik sekunder. Metode-metode pengumpulan data yang sesuai dan banyak digunakan dalam penelitian social, keagamaan, dan lain-lain meliputi: observasi, wawancara, quesioner dan penggalian data dari sumber-sumber sekunder. 1. Observasi Observasi merupakan metode pengumpulan data yang palin galamiah dan paling banyak digunakan tidak hanya dalam dunia keilmuan, tetapi juga dalam berbagai aktivitas kehidupan. Secara umum, observasi berarti pengamatan, penglihatan. Sedangkan secara khusus, dalam dunia penelitian, observasi adalah mengamati dan mendengar dalam rangka memahami, mencari jawaban, mencari bukti terhadap fenomena sosial keagamaan (perilaku, kejadian-kejadian, keadaan, benda, dan simbol-simbol tertentu) selama beberapa waktu tanpa mempengaruhifenomena yang diobservasi, dengan mencatat, merekam, memotret fenomena tersebut guna penemuan data analisis. 2. Wawancara Pengertian dan macam-macam wawancara Wawancara adalah percakapan langsung dan tatap muka (face to face)dengan maksud tertentu. Percakapan itu dilakukan oleh dua pihak, yaitu pewawancara (interviewer)
yang mengajukan pertanyaan dan yang diwawancarai (interviewee) yang memberikan jawaban atas pertanyaan itu. Maksud mengadakan wawancara secara umum adalah untuk menggali struktur kognitif dan dunia makna dari perilaku subjek yang diteliti. Pembagian macam-macam wawancara yang dikemukakan oleh Patton (1980:197), yaitu: a. Wawancara pembicaraan informal Pada jenis wawancara ini pertanyaan yang diajukan sangat bergantung pewawancara itu sendiri, bergantung spontanitasnya dalam mengajukan pertanyaan kepada yang diwawancarai. b. Petunjuk umum menggunakan petunjuk wawancara Jenis wawancara ini mengharuskan pewawancara membuat kerangka dan garis besar pokok-pokok yang akan ditanyakan dalam proses wawancara. Petunjuk wawancara hanyalah berisi petunjuk secara garis besar tentang proses dan isi wawancara untuk menjaga agar pokok-pokok yang dibicarakan dapat tercakup seluruhnya. Petunjuk itu didasarkan atasanggapan bahwa ada jawaban yang secara umum akan sama diberikan oleh para responden. Pelaksanaan wawancara dan pengurutan pertanyaan disesuaikan dengan keadaan responden dan konteks wawancara yang sebenarnya. c. Wawancara Baku terbuka Jenis wawancara ini adalah wawancara yang menggunakan seperangkat pertanyaan baku. Dalam mengadakan pendalaman (probing) terbatas, dan hal itu bergantung situasi wawancara dan kecakapan wawancara. C. Penyajian Data Data yang di kumpulkan dengan menggunakan teknik pengumpulan data baik dari data sumber primer maupun sumber sekunder perlu di sajikan dalam bentuk yang jelas sehingga mudah untuk di baca dan dianalisis. Distribusi (distribution) memiliki arti pembagian atau pencaran. Frekuensi (frequency) berarti kekerapan atau keseringan. Jadi distribusi frekuensi berarti pembagian nilai menurut kelompok atau kategori masingmasing yang dimuat di dalam kolom dan lajur. Menurut bentuk datanya, distribusi frekuensi dibagi menjadi 2, yaitu distribusi untuk data tunggal dan distribusi untuk data kelompok. Ukuran gejala pusat adalah suatu ukuran yang digunakan untuk mengetahui kumpulan data mengenai sampel atau populasi yang disajikan dalam tabel dan diagram, yang dapat mewakili sampel atau populasi. Ada beberapa macam ukuran tendensi sentral,yaitu rata-rata (mean), median, modus. 1. Pada Data tunggal x a. Rata-rata dapat di hitung : x n
b. Varians dapat di hitung : 2
s c. Median dapat di hitung
xi x n 1
2
( )
d. Modus : nilai yang paling sering muncul 2. Pada Data Kelompok (dalam distribusi frekuensi) Penyajian data statistic dalam bentuk distribusi frekuensi data kelompok dilakukan apabila penyebaran data atau nilai terlalu luas, atau nilai tertinggi dengan nilai terendah memiliki range yang terlalu besar. Langkah-langkah dalam membuat table frekuensi adalah sebagai berikut : a. Mencari nilai tertinggi (H) dan nilai terendah (L). b. Menetapkan nilai penyebarannya (Range = R) dengan rumus R = H – L c. Menentukan banyak kelas interval yang diperlukan. Banyak kelas interval biasanya dipilih paling sedikit 5 dan paling banyak 15, atau sesuai dengan kebutuhan, atau dapat menggunakan aturan Sturges, yaitu : Banyak kelas = 1 + (3.3) log n d. Menentukan panjang kelas dengan rumus : p
R banyakkela
a.
e. Pilih Ujung Kelas Interval Pertama, untuk ini bisa diambil sama dengan data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas yang telah di tentukan. Selanjutnya daftar diselesaikan dengan menggunakan harga-harga yang telah di hitung. Rata-rata dapat dihitung : X
b.
f x i
f
Varians dapat di hitung : 2
s c.
s
f
M
o
b p
a.
i
x x
2
i
i
n 1
Modus : Dimana :
i
f f
1
1
f
2
b adalah batas bawah kelas modus, kelas interval dengan frekuensi terbanyak. b. p adalah panjang kelas modus c. f1 frekuensi kelas modus – frekuensi kelas interval dengan tanda kelas < sebelum tanda kelas modus d. f2 frekuensi kelas modus – frekuensi kelas interval dengan tanda kelas > sesudah tanda kelas modus e.
Median
M
e
1 n F b p 2 f med
F adalah jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas < dari tanda kelas median f adalah frekuensi median f.
Kuartil Letak
K
i
K
i
datake
i n 1 4
in F 4 b p f
Contoh soal : 1. Data dibawah ini adalah nilai ujian Biostatistika 50 mahasiswa suatu Perguruan tinggi.
Interval nilai
f
50 -54 5 55 – 59 10 60 – 64 7 65 – 69 15 70 – 74 6 75 – 79 4 80 - 84 3 Tentukan rata-rata, median, modus, dan kuartil
BAB 13 KORELASI BIVARIATE
A. Pengertian Korelasi Apa sebenarnya korelasi itu? Korelasi merupakan teknik analisis yang termasuk dalam salah satu teknik pengukuran asosiasi / hubungan (measures of association). Pengukuran asosiasi merupakan istilah umum yang mengacu pada sekelompok teknik dalam statistik bivariat yang digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan antara dua variabel. Diantara sekian banyak teknik-teknik pengukuran asosiasi, terdapat dua teknik korelasi yang sangat populer sampai sekarang, yaitu Korelasi Pearson Product Moment dan Korelasi Rank Spearman. Pengukuran asosiasi mengenakan nilai numerik untuk mengetahui tingkatan asosiasi atau kekuatan hubungan antara variabel. Dua variabel dikatakan berasosiasi jika perilaku variabel yang satu mempengaruhi variabel yang lain. Jika tidak terjadi pengaruh, maka kedua variabel tersebut disebut independen. Korelasi (correlation) dalam ilmu statistic berarti hubungan antara dua variable atau lebih. Hubungan antara dua variable di sebut korelasi bivariate (bivariate correlation). Contohnya hubungan antara pengetahuan mengenai bahaya merokok dengan perilaku merokok. Korelasi lebih dari dua variable di sebut multivariate correlation. B. Koefisien Korelasi Dalam kehidupan sehari-hari sering kita menjumpai dua peubah atau lebih yang bergantung. Sebagai contoh, kita mungkin menemukan sesuatu hal yang memperlihatkan adanya suatu pertambahan pada peubah X yang dibarengi dengan pertambahan pada peubah Y. Bila dapat ditunjukkan perubahan pada satu peubah yang berhubungan dengan peubah lain, maka kedua peubah itu dapat dikatakan berkorelasi. Korelasi dikatakan positif apabila penambahan pada peubah X akan menyebabkan penambahan pada variable Y, sebaliknya korelasi dikatakan negatif jika penambahan pada peubah X menyebabkan berkurangnya variable Y. Korelasi erat antara dua peubah tidak harus berarti suatu sebab akibat. Korelasi yang berarti, mungkin menunjukkan kemungkinan semacam itu bagi peneliti, tetapi petunjuk atau fakta yang mendukung dari sumber lain harus diketemukan sebelum simpulan yang menyangkut sebab-akibat dijamin. Korelasi bermanfaat untuk mengukur kekuatan hubungan antara dua variabel (kadang lebih dari dua variabel) dengan skala-skala tertentu, misalnya Pearson data harus berskala interval atau rasio; Spearman dan Kendal menggunakan skala ordinal. Kuat lemah hubungan diukur menggunakan jarak (range) 0 sampai dengan 1. Korelasi mempunyai kemungkinan pengujian hipotesis dua arah (two tailed). Korelasi searah jika nilai koefesien korelasi diketemukan positif; sebaliknya jika nilai koefesien korelasi negatif, korelasi disebut tidak searah. Yang dimaksud dengan koefesien korelasi ialah suatu pengukuran statistik kovariasi atau asosiasi antara dua variabel. Jika koefesien korelasi diketemukan tidak sama dengan nol (0), maka terdapat hubungan antara dua variabel tersebut. Jika koefesien korelasi diketemukan +1. maka hubungan tersebut disebut sebagai korelasi sempurna atau hubungan linear sempurna dengan kemiringan (slope) positif. Sebaliknya. jika koefesien korelasi diketemukan -1. maka hubungan tersebut disebut sebagai korelasi
sempurna atau hubungan linear sempurna dengan kemiringan (slope) negatif. Dalam korelasi sempurna tidak diperlukan lagi pengujian hipotesis mengenai signifikansi antar variabel yang dikorelasikan, karena kedua variabel mempunyai hubungan linear yang sempurna. Artinya variabel X mempunyai hubungan sangat kuat dengan variabel Y. Jika korelasi sama dengan nol (0), maka tidak terdapat hubungan antara kedua variabel tersebut. Korelasi dinyatakan dengan koefisien (r) dan merentang dari –1 sampai +1. Koefisien 1, dengan tanda + atau -, menunjukkan korelasi sempurna antara dua peubah. Sebaliknya, koefisien nol berarti tidak ada korelasi sama sekali. Jika koefisien korelasi (r) dikuadratkan, didapat koefisien penentu (r2). Nilai ini dapat digunakan sebagai taksiran untuk kekuatan antara kaitan antara dua peubah yang berkorelasi. Koefisien penentu khususnya menaksir persentase keragaman X yang berkaitan dengan (atau diterangkan oleh) keragaman Y – atau sebaliknya. Misal diketahui korelasi sebesar –0.9786 menunjukkan suatu hubungan linier yang amat baik antara X dan Y. Karena r2 = 0.9581 maka dapat dikatakan bahwa hampir 96% dari variasi dalam Y disebabkan oleh hubungan linier dengan X. Untuk memudahkan melakukan interpretasi mengenai kekuatan hubungan antara dua variabel penulis memberikan kriteria sebagai berikut (Sarwono : 2006):
0 : Tidak ada korelasi antara dua variabel
>0 – 0,25: Korelasi sangat lemah
>0,25 – 0,5: Korelasi cukup
>0,5 – 0,75: Korelasi kuat
>0,75 – 0,99: Korelasi sangat kuat
1: Korelasi sempurna
C. Interpretasi dalam korelasi Apa sebenarnya signifikansi itu? Dalam bahasa Inggris umum, kata, "significant" mempunyai makna penting; sedang dalam pengertian statistik kata tersebut mempunyai makna “benar” tidak didasarkan secara kebetulan. Hasil riset dapat benar tapi tidak penting. Signifikansi / probabilitas / α memberikan gambaran mengenai bagaimana hasil riset itu mempunyai kesempatan untuk benar. Jika kita memilih signifikansi sebesar 0,01, maka artinya kita menentukan hasil riset nanti mempunyai kesempatan untuk benar sebesar 99% dan untuk salah sebesar 1%. 99% itu disebut tingkat kepentingan (confidence interval); sedang 1% disebut toleransi kesalahan. Secara umum kita menggunakan angka signifikansi sebesar 0,01; 0,05 dan 0,1. Pertimbangan penggunaan angka tersebut didasarkan pada tingkat kepercayaan (confidence interval) yang diinginkan oleh peneliti. Angka signifikansi sebesar 0,01 mempunyai pengertian bahwa tingkat kepercayaan atau bahasa umumnya keinginan kita untuk memperoleh kebenaran dalam riset kita adalah sebesar 99%. Jika angka signifikansi sebesar 0,05, maka tingkat kepercayaan adalah
sebesar 95%. Jika angka signifikansi sebesar 0,1, maka tingkat kepercayaan adalah sebesar 90%. Pertimbangan lain ialah menyangkut jumlah data (sample) yang akan digunakan dalam riset. Semakin kecil angka signifikansi, maka ukuran sample akan semakin besar. Sebaliknya semakin besar angka signifikansi, maka ukuran sample akan semakin kecil. Unutuk memperoleh angka signifikansi yang baik, biasanya diperlukan ukuran sample yang besar. Untuk pengujian dalam IBM SPSS digunakan kriteria sebagai berikut: Jika angka signifikansi hasil penelitian ≤ 0,05, maka hubungan kedua variabel signifikan. Jika angka signifikansi hasil penelitian > 0,05, maka hubungan kedua variabel tidak signifikan Atau jika pengujian menggunakan penghitungan secara manual maka dapat melihat table dengan kriteria sebagai berikut : Jika nilai hitung hasil penelitian ≥ nilai tabel, maka hubungan kedua variabel signifikan. Jika nilai hitung hasil penelitian < nilai tabel, maka hubungan kedua variabel tidak signifikan Ada tiga penafsiran hasil analisis korelasi, meliputi: pertama, melihat kekuatan hubungan dua variabel; kedua, melihat signifikansi hubungan; dan ketiga, melihat arah hubungan. Untuk melakukan interpretasi kekuatan hubungan antara dua variabel dilakukan dengan melihat angka koefesien korelasi hasil perhitungan dengan menggunakan kriteria sbb: a) Jika angka koefesien korelasi menunjukkan 0, maka kedua variabel tidak mempunyai hubungan; b) Jika angka koefesien korelasi mendekati 1, maka kedua variabel mempunyai hubungan semakin kuat; c) Jika angka koefesien korelasi mendekati 0, maka kedua variabel mempunyai hubungan semakin lemah; d) Jika angka koefesien korelasi sama dengan 1, maka kedua variabel mempunyai hubungan linier sempurna positif; e)Jika angka koefesien korelasi sama dengan -1, maka kedua variabel mempunyai hubungan linier sempurna negatif. Interpretasi berikutnya melihat signifikansi hubungan dua variabel dengan didasarkan pada angka signifikansi yang dihasilkan dari penghitungan dengan ketentuan sebagaimana sudah dibahas di atas. Interpretasi ini akan membuktikan apakah hubungan kedua variabel tersebut signifikan atau tidak. Interpretasi ketiga melihat arah korelasi. Dalam korelasi ada dua arah korelasi, yaitu searah dan tidak searah. Pada IBM SPSS hal ini ditandai dengan pesan two tailed. Arah korelasi dilihat dari angka koefesien korelasi. Jika koefesien korelasi positif, maka hubungan kedua variabel searah. Searah artinya jika variabel X nilainya tinggi, maka variabel Y juga tinggi. Jika koefesien korelasi negatif, maka hubungan kedua variabel tidak searah. Tidak searah artinya jika variabel X nilainya tinggi, maka variabel Y akan rendah. Dalam kasus, misalnya hubungan antara kepuasan pelanggan dan loyalitas sebesar 0,86 dengan angka signifikansi sebesar 0,000 akan mempunyai makna bahwa hubungan antara variabel kepuasan pelanggan dan loyalitas sangat kuat, signifikan dan searah. Sebaliknya dalam kasus hubungan antara variabel pengetahuan dengan perilaku terhadap kebiasan merokok
sebesar -0,86, dengan angka signifikansi sebesar 0; maka hubungan kedua variabel sangat kuat, signifikan dan tidak searah. D. Macam Korelasi dan Teknik Penghitungan 1. Teknik Korelasi Pearson (Product Moment) Korelasi Pearson Product Moment, yang merupakan pengukuran parametrik, akan menghasilkan koefesien korelasi yang berfungsi untuk mengukur kekuatan hubungan linier antara dua variable. Jika hubungan dua variable tidak linier, maka koefesien korelasi Pearson tersebut tidak mencerminkan kekuatan hubungan dua variable yang sedang diteliti; meski kedua variable mempunyai hubungan kuat. Simbol untuk korelasi Pearson adalah "p" jika diukur dalam populasi dan "r" jika diukur dalam sampel. Korelasi Pearson mempunyai jarak antara -1 sampai dengan + 1. Jika koefesien korelasi adalah -1, maka kedua variable yang diteliti mempunyai hubungan linier sempurna negatif. Jika koefesien korelasi adalah +1, maka kedua variable yang diteliti mempunyai hubungan linier sempurna positif. Jika koefesien korelasi menunjukkan angka 0, maka tidak terdapat hubungan antara dua variable yang dikaji. Jika hubungan dua variable linier sempurna, maka sebaran data tersebut akan membentuk garis lurus. Sekalipun demikian pada kenyataannya kita akan sulit menemukan data yang dapat membentuk garis linier sempurna. Data yang digunakan dalam Korelasi Pearson sebaiknya memenuhi persyaratan, diantaranya ialah: a) Berskala interval / rasio, b) Variabel X dan Y harus bersifat independen satu dengan lainnya, c) Variabel harus kuantitatif simetris. Asumsi dalam Korelasi Pearson, diantaranya ialah: a) Terdapat hubungan linier antara X dan Y, b) Data berdistribusi normal, c) Variabel X dan Y simetris. Variabel X tidak berfungsi sebagai variabel bebas dan Y sebagai variable tergantung, d) Sampling representative, e) Varian kedua variable sama. Rumus yang bisa di gunakan untuk menghitung korelasi product moment adalah sebagai berikut :
r
x x y y
n
1 s
x
s
dimana S Y
y
1 n 1
y y
2
Sehingga untuk mencari nilai Sx dapat menggunakan rumus yang sama dengan Sy tetapi menggunakan variable X Contoh soal : Misalnya ingin diketahui apakah terdapat hubungan antara nilai statistika dengan nilai aplikasi komputer. Dengan hasil penelitian sebagai berikut : ̅ ̅ ̅ No X Y ̅
1 2 3 4 5
70 83 65 79 54
80 76 57 56 70
-0.2 12.8 -5.2 8.8 -16.2
12.2 8.2 -10.8 -11.8 2.2
-2.44 104.96 56.16 -103.84 -35.64
Total =
19.2
Dimana ̅
̅
Selanjutnya memberikan interpretasi dengan menyusun hipotesis dimana : H0 : tidak ada hubungan antara nilai statistika dengan nilai aplikasi computer ( ) H1 : ada hubungan antara nilai statistika dengan nilai aplikasi komputer ( ) Membandingkan nilai r hitung dengan nilai r table yang di dapatkan sebesar 0,754 (0,382 < 0,754) sehingga memberikan kesimpulan terima H0, yang artinya tidak ada hubungan antara nilai biostatistika dengan nilai aplikasi computer. 2. Teknik Korelasi Tata Jenjang (Spearman) Korelasi Spearman merupakan pengukuran non-parametrik. Koefesien korelasi ini mempuyai simbol r (rho). Pengukuran dengan menggunakan koefesien korelasi Spearman digunakan untuk menilai adanya seberapa baik fungsi monotonik (suatu fungsi yang sesuai perintah) arbitrer digunakan untuk menggambarkan hubungan dua variabel dengan tanpa membuat asumsi distribusi frekuensi dari variabel-variabel yang diteliti. Nilai koefesien korelasi dan kriteria penilaian kekuatan hubungan dua variabel sama dengan yang digunakan dalam korelasi Pearson. Penghitungan dilakukan dengan cara yang sama dengan korelasi Pearson, perbedaan terletak pada pengubahan data kedalam bentuk ranking sebelum dihitung koefesien korelasinya. Itulah sebabnya korelasi ini disebut sebagai Korelasi Rank Spearman. Data yang digunakan untuk korelasi Spearman harus berskala ordinal. Berbeda dengan Korelasi Pearson, Korelasi Spearman tidak memerlukan asumsi adanya hubungan linier dalam variable-variabel yang diukur dan tidak perlu menggunakan data berskala interval, tetapi cukup dengan menggunakan data berskala ordinal. Asumsi yang digunakan dalam korelasi ini ialah tingkatan (rank) berikutnya harus menunjukkan posisi jarak yang sama pada variable-variabel yang diukur. Jika menggunakan skala Likert, maka jarak skala yang digunakan harus sama. Juga, data tidak harus berdistribusi normal. Rumus yang bisa di gunakan untuk menghitung korelasi tata jenjang adalah sebagai berikut: 2 6 X Y dimana X dan Y adalah data yang sudah di rangking rs 1 2
n n
1
Contoh soal : Suatu penelitian dilakukan untuk mengatahui apakah ada hubungan tingkat kelahiran hiperbilirubin dengan tingkat keteraturan ibu hamil dalam meminum obat. Untuk itu dilakukan pengambilan data pada sebagian ibu hamil trisemester 3 di puskesmas wilayah “X”. Kejadian hiperbilirubin dikategorikan menjadi 3 :
hiperbilirubin grade 1; 2 : hiperbilirubin grade 2; 1 : normal. Sedangkan tingkat keteraturan dikategorikan menjadi : 3 : teratur, 2: cukup, dan 1 : tidak teratur. Dan didapatkan data sebagai berikut : (x) (y) Rank (x) Rank (y) (x – y) (x – y)2 6.5 42.25 3 1 9,5 3 -1.5 2.25 2 2 5,5 7 6.5 42.25 3 1 9,5 3 6.5 42.25 3 1 9,5 3 1 3 2 10 -8 64 -1.5 2.25 2 2 5,5 7 -1.5 2.25 2 2 5,5 7 -8 64 1 3 2 10 6.5 42.25 3 1 9,5 3 2.5 6.25 2 1 5,5 3 -8 64 1 3 2 10 Total
374
Cara memberikan ranking pada variable a. Data diurutkan dari yang terkecil yang terbesar b. Cara memberikan ranking adalah dengan menjumlahkan banyaknya data yang sama di bagi dengan jumlah data yang sama sehingga pada variable x cara mendapatkan rangkingnya seperti :
Gunakan cara yang sama untuk mendapatkan rangking selanjutnya Sehingga Selanjutnya memberikan interpretasi dengan menyusun hipotesis dimana : H0 : tidak ada hubungan antara kejadian hiperbilirubin dengan keteraturan minum obat ( ) H1 : ada hubungan antara kejadian hiperbilirubin dengan keteraturan minum obat ( ) Membandingkan nilai r hitung dengan nilai r table yang di dapatkan sebesar 0,618 (-0,700 > 0,618) sehingga memberikan kesimpulan tolak H0, yang artinya ada hubungan antara kejadian hiperbilirubin dengan keteraturan minum obat. Dimana nilai korelasi nya bertanda ( -) sehingga dapat di simpulkan semakin teratur minum obat maka akan semakin normal dengan tingkat keeratan hubungannya adalah kuat. 3. Teknik korelasi Phi Teknik korelasi Phi digunakan bila data yang akan dikorelasikan adalah data yang terpisah secara tajam atau variable diskrit murni. Contohnya adalah lakilaki dan perempuan, lulus dan tidak lulus, ikut profesi dan tidak ikut profesi. Rumus korelasi phi adalah
( ad bc ) ( a b )( a c )( b d )( c d )
Contoh soal : Jenis kelamin Laki-laki Perempuan Jumlah Prestasi Berhasil 100 (a) 72 (b) 172 Gagal 15 (c) 13 (d) 28 Jumlah 115 85 200 Langkah-langkah menghitung korelasi phi adalah : a. Membuat table seperti contoh soal diatas dengan memberi tanda a,b,c, dan d dan memasukkan kedalam rumus √
b. Membuat hipotesis H0 : tidak ada hubungan antara jenis kelamin dengan prestasi ( ) H1 : ada hubungan antara jenis kelamin dengan prestasi ( ) c. Penarikan kesimpulan dilakukan dengan membandingkan antara nilai korelasi phi dengan table korelasi product moment.Dengan n = 200 di dapatkan nilai table 1,38 sehingga terima H0, yang artinya tidak ada hubungan antara jenis kelamin dengan prestasi belajar. 4. Teknik Korelasi Koefisient Kontingency (Coefficient Contingency) Teknik korelasi koefisien kontingensi digunakan apabila dua buah variable yang akan dikorelasikan berbentuk kategori (dua atau lebih) atau merupakan gejala ordinal. Rumus yang di gunakan untuk mencari coefficient contingency adalah :
C
2
2
2
rumus untuk mencari chi-kuadrat adalah : n
f
f
0
f
h
2
h
Untuk memberikan interpretasi terhadap koefisien kontingensi maka harga koefisien kontingensi (C atau koreksi) harus diubah menjadi phi dengan menggunakan rumus dibawah ini :
C 1
2
c
Contoh soal : Pemahaman agama Baik Pelaksanaan sholat Baik 65 Sedang 35
Cukup
Kurang
Jumlah
25 55
9 10
99 100
Kurang Jumlah
14 114
13 93
24 43
51 250
Langkah pengerjaan korelasi coefficient contingency : a. Dengan cara penghitungan yang sama pada materi sebelumnya maka di dapatkan nilai .
b. Langkah selanjutnya adalah mensubsitusikan dan di dapatkan nilai : √
Selanjutnya mengubah harga C menjadi phi yaitu : √
c. Membuat suatu hipotesis H0 : tidak ada hubungan pemahaman agama dengan pelaksanaan sholat ( ) H1 : ada hubungan antara pemahaman agama dengan pelaksanaan sholat ( ) d. Penarikan kesimpulan dilakukan dengan membandingkan antara nilai korelasi coefficient contingency dengan table korelasi product moment. Dengan n = 250 di dapatkan nilai table 1,38 (menggunakan pendekatan) sehingga tolak H0, yang artinya ada hubungan antara pemahaman agama dengan pelaksanaan shola, dimana memiliki korelasi yang positif antara semakin baik pemahaman agama maka semakin baik pula pelaksanaan sholat, dan memiliki tingkat keeratan yang cukup kuat.
BAB 14 REGRESI LINIER SEDERHANA A. Definisi Regresi Linier Untuk mengukur besarnya pengaruh variabel bebas terhadap variabel tergantung dan memprediksi variabel tergantung dengan menggunakan variabel bebas. Gujarati (2006) mendefinisikan analisis regresi sebagai kajian terhadap hubungan satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (the explained variabel) dengan satu atau dua variabel yang menerangkan (the explanatory). Variabel pertama disebut juga sebagai variabel tergantung dan variabel kedua disebut juga sebagai variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari satu, maka analisis regresi disebut regresi linear berganda. Disebut berganda karena pengaruh beberapa variabel bebas akan dikenakan kepada variabel tergantung. Untuk mengetahui apakah variable-variabel yang akan di analisis tersebut sesuai menggunakan regresi linier atau regresi non linier ada beberapa metode yang dapat di gunakan, yaitu metode diagram pencar (scatter plot) dan metode kuadrat terkecil (least square). Metode scatter plot menggunakan diagram diagram pencar sebagai bahan pertimbangan untuk menentukan apakah data yang di miliki dapat menggunakan regresi linier atau tidak linier dan merupakan metode yang paling sederhana. Sedangkan metode least square untuk menentukan apakah data yang di miliki dapat menggunakan regresi linier atau tidak linier menggunakan rumus tertentu. Untuk dapat menggunakan regresi linier maka data pada variable independent dan variable dependent memiliki skala data interval dan ratio. B. Metode Regresi Linier Sederhana 1. Scatter Plot Metode diagram pencar merupakan cara untuk menentukan regresi dengan menggunakan grafik, dimana sebagai sumbu X adalah variable independent (X) dan sebagai sumbu Y adalah variable dependent (Y). Untuk menentukan apakah data yang di miliki dapat menggunakan analisis regresi linier atau tidak linier dengan mlihat letak titik-titik pada diagram pencar. Jika titik-titik tersebut berada di sekitar garis lurus maka dapat di duga bahwa regresi linier merupakan analisis yang tepat. Tetapi bila letak titik-titik data tersebut berada di sekitar garis lengkung maka dapat di duga bahwa analisis yang di gunakan adalah regresi nonlinier. Contoh soal Data berikut merupakanhasil penelitian yang dilakukan untuk menentukan hubungan antara usia dengan denyut jantung (banyaknya denyut jantung per menit) pada perempuan dari usia satu sampai 15.
No. Umr DJ
Tabel 14.1 Tabel Umur dengan Denyut Jantung 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 111 108 108 102 99 92 93 88
9 9 90
10 10 90
11 11 88
12 12 86
Gambar 14.1 scatter plot Dari data pada table 14.1 dapat di buat diagram pencar yang dapat memperlihatkan apakah variable yang di teliti dapat di analisis menggunakan regresi linier atau tidak. Jika titik-titik point nya terletak atau membentuk garis lurus, maka dapat dianggap bahwa regresi linier merupakan analisis yang tepat yang dapat digunakan.
Gambar 14.2 scatter plot umur dengan denyut jantung
Gambar diatas menunjukkan adanya gejala linieritas karena letk titik-titik yang cenderung mendekati garis lurus sehingga dapat di duga regresi yang dapat di gunakan adalah regresi linier. 2. Metode Least Square Metode kuadrat terkecil untuk regresi linier digunakan untuk menentukan dugaan bentuk regresi apakah linier atau tidak dimana terdapat perbedaan dugaan. Persoalan penting didalam pembuatan garis regresi sampel adalah begaimana kita bisa mendapatkan garis regresi yang baik. Garis regresi sampel yang baik ini terjadi jika nilai prediksinya sedekat mungkin dengan data aktualnya. Dengan kata lain kita mencari nilai β0 dan β1 yang menyebabkan residual sekecil mungkin, maka untuk menduga regresi liniernya perlu menaksir parameter-parameter regresinya sehingga di peroleh persamaan sebagai berikut : ̂
Dimana : Ŷ = variable terikat X = variable bebas a = parameter intercept b = parameter koefisien variable bebas Koefisien-koefisien regresi a dan b dapat di hitung dengan rumus sebagai berikut :
∑ ̅ ∑
̅ ̅
a y bx
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Dengan menggunakan data pada table 14.1 maka : Umr DJ ̅ ̅ (X) (Y) ̅ ̅ 1 111 -7 17.33 -121.31 2 108 -6 14.33 -85.98 3 108 -5 14.33 -71.65 4 102 -4 8.33 -33.32 5 99 -3 5.33 -15.99 6 92 -2 -1.67 3.34 7 93 -1 -0.67 0.67 8 88 0 -5.67 0 9 90 1 -3.67 -3.67 10 90 2 -3.67 -7.34 11 88 3 -5.67 -17.01 12 86 4 -7.67 -30.68 13 84 5 -9.67 -48.35 14 83 6 -10.67 -64.02
̅
49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36
15
15
83 7 Total Sehingga di dapatkan :
-10.67
-74.69 -570
49 280
sehingga persamaan yang didapatkan adalah : ̂
Dari persamaan diatas di dapatkan nilai koefisien variable bebas memiliki tanda negative yang artinya semakin bertambah usia setiap satu satuan maka denyut nadi akan berkurang 2,04 satuan. Sehingga ketika seorang responden berusia 13 tahun maka denyut nadinya adalah : ̂ ̂
̂
BAB 15 UJI BEDA BIVARIATE (PARAMETRIK) Bila seorang peneliti ingin mengetahui apakah parameter dua populasi berbeda atau tidak, maka uji statistik yang digunakan disebut uji beda dua mean. Umumnya, pendekatan yang dilakukan bisa dengan distribusi Z (uji Z), ataupun distribusi t (uji t).
Uji Z dapat digunakan bila (1) standar deviasi populasi (σ) diketahui, dan (2) jumlah sampelnya besar (> 30). Bila kedua syarat tersebut tidak terpenuhi, maka jenis uji yang digunakan adalah uji t dua sampel (two sample t-test). Tes “t” adalah salah satu uji statistik yang digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya perbedaan yang significant (menyakinkan) dari dua buah mean sample (dua buah variable yang dikomparatifkan). Tes “t” dikembangkan oleh William Seely Gosset seorang konsultan statistik Irlandia pada tahun 1915. Ia menggunakan samaran “student” dan huruf “t” pada istilah tes “t” sehingga tes “t” juga dikenal dengan istilah “student t”. Uji t pada satu populasi akan menguji apakah rata-rata populasi sama dengan suatu harga tertentu. Sedangkan uji t dua sample akan menguji apakah rata-rata dua populasi sama ataukah berbeda secara nyata. Berdasarkan hubungan antar populasinya, uji t dapat digolongkan kedalam dua jenis uji, yaitu Paired sample t-test, dan independent sample t-test.
1.
Paired sample t-test (Uji t berpasangan) Dependent sample t-test atau sering diistilakan dengan Paired Sampel t-Test, adalah jenis uji statistika yang bertujuan untuk membandingkan rata-rata dua grup yang saling berpasangan. Sampel berpasangan dapat diartikan sebagai sebuah sampel dengan subjek yang sama namun mengalami 2 perlakuan atau pengukuran yang berbeda, yaitu pengukuran sebelum dan sesudah dilakukan sebuah treatment. Syarat jenis uji ini adalah: (a) data berdistribusi normal; (b) kedua kelompok data adalah dependen (saling berhubungan/berpasangan); dan (c) jenis data yang digunakan adalah numeric. Sampel berpasangan (Paired sample) adalah sebuah sampel dengan subyek yangs ama namun mengalami dua perlakuan atau pengukuran yang berbeda. Seperti seorang detailer yang bekerja sebelumnya tanpa mendapat training, dengan sesudah ia mendapat training, bagaimana efektifitas training tersebut terhadap kemampuan menjualnya, apakah ada peningkatan atau tidak. Disini sampelnya tetap detailer yang sama, tapi mendapat dua perlakuan berbeda, yaitu kondisi sebelum dan kondisi sesudah training. Rumus yang di gunakan adalah a. Paired sample t test untuk n < 30 sample d t
S
d
d
n
Contoh soal : Untuk menghadapi persaingan dengan perusahaan Obat lain, Obat produksi DUTA FARMA yang selama ini dikemas secara sederhana, akan diubah kemasannya. Untuk itu, pada 15 daerah penjualan yang berbeda, dilakukan pengamatan dengan mencatat penjualan Obat dengan kemasan lama (kemasan1). Kemudian kemasan diganti dengan kemasan yang lebih atraktif (kemasan 2), dan kemudian mencatat tingkat penjualan Obat dengan kemasan baru pada 15 daerah yang sama. Tabel 15.1 Data penjualan kemasan 1 kemasan 2 d 23,00 26,00 30,00 26,00 26,00 29,00 29,00 28,00 31,00 30,00 26,00 31,00 28,00 32,00 29,00 27,00 24,00 22,00 26,00 25,00 22,00 24,00 24,00 26,00 27,00 29,00 22,00 28,00 26,00 23,00 ̅=
-3 4 -3 1 1 -5 -4 2 2 1 -2 -2 -2 -6 3 -0,87
Langkah-langkah untuk melakukan uji t berpasangan adalah sebagai berikut : 1. Menghitung nilai thitung
2. Membuat hipotesis
H0 : tidak ada perbedaan tingkat penjualan berdasarkan kemasan 1 dan kemasan 2 ( µ1 = µ2 ) H1 : ada perbedaan tingkat penjualan berdasarkan kemasan 1 dan kemasan 2 (µ1 ≠ µ2) 3. Membandingkan t hitung dengan t table Mencari df (degree of freedom) atau derajat kebebasan = n-1 Df = 15 – 1 ttabel = 2,14 4. Memberikan kesimpulan Karena nilai thitung < ttabel (tanpa memperhatikan tanda – karena pengujian dua arah) maka H0 di terima sehingga tidak ada perbedaan penjualan berdasarkan pergantian kemasan.
b. Paired sample t test untuk n > 30 sample Rumus yang di gunakan untuk menghitung sample besar > 30 adalah sebagai berikut : ̅ √
̅ ( )( )
̅ = rata-rata sample 1 ̅ = rata-rata sample 2 = standart deviasi sample 1 = standart deviasi sample 2
Penghitungan paired sample t test > 30 dengan langkah yang sama seperti pada sample < 30.
2.
Independent sample t-test (Uji t independen) Independent sample t-test adalah jenis uji statistika yang bertujuan untuk membandingkan rata-rata dua grup yang tidak saling berpasangan atau tidak saling berkaitan. Tidak saling berpasangan dapat diartikan bahwa penelitian dilakukan untuk dua subjek sampel yang berbeda. Prinsip pengujian uji ini adalah melihat perbedaan variasi kedua kelompok data, sehingga sebelum dilakukan pengujian, terlebih dahulu harus
diketahui apakah variannya sama (equal variance) atau variannya berbeda (unequal variance). Homogenitas varian diuji berdasarkan rumus:
Data dinyatakan memiliki varian yang sama (equal variance) bila F-Hitung < F-Tabel, dan sebaliknya, varian data dinyatakan tidak sama (unequal variance) bila F-Hitung > FTabel. Bentuk varian kedua kelompok data akan berpengaruh pada nilai standar error yang akhirnya akan membedakan rumus pengujiannya.
Uji t untuk varian yang sama (equal variance) menggunakan rumus Polled Varians: 2
s
p
s
t
n
1 s 2
1
1
n
n
2
n x
1
1
s
p
x
1
n
n
1
2
1 s
2 2
2
1
1
2
2
2
dimana µ1 dan µ2 diasumsikan 0
s
Uji t untuk varian yang berbeda (unequal variance) menggunakan rumus Separated Varians: ̅
̅
√
Contoh soal : Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui pengaruh pemberian lendir bekicot terhadap proses penyembuhan luka. Penelitian ini dilakukan terhadap tikus putih betina dengan cara tikus putih betina tersebut dibagi kedalam dua kelompok, yaitu kelompok perlakuan dan kontrol. Semua tikus diberikan luka sayatan sepanjang 7 mm. Dan didapatkan hasil penelitian setelah penelitian selama 2 hari sebagai berikut :
Tabel 15.2 tabel penyembuhan luka Perlakuan (dlm mm) Kontrol (mm) 4,3 5,6 4,9 5,0 3,6 6,1 3,7 5,7 3,5 4,8 4,0 5,3 4,2 5,1 3,9 6,5 3,8 Langkah-langkah dalam mengerjakan uji t-independent adalah 1. Menguji kehomogenan data = 0,431 = 0,580 = 0,186 = 0,336
Sehingga
Selanjutnya nilai Fhitung di bandingkan dengan F table dimana Hipotesisnya : H0 : data homogen (σ1 = σ2) H1 : data tidak homogen (σ1 ≠ σ2) Ftabel = 3,44 Dari hasil diatas Fhitung < Ftabel sehingga H0 di terima data homogeny (equal varians assume) 2. Mencari thitung Untuk mencari thitung menggunakan rumus thitung pooled sehinggha thitung = 3,01 3. Menentukan hipotesis H0 : tidak ada perbedaan penyembuhan luka karena pemberian lender bekicot (µ1 = µ2) H1 : ada perbedaan penyembuhan luka karena pemberian lender bekicot (µ1 ≠ µ2) 4. Membandingkan dengan ttabel Mencari df (degree of freedom) atau derajat kebebasan = n1+ n2 – 2 Sehingga df = 9 + 8 – 2 = 15 Di dapatkan ttable = 2,13 5. Penarikan kesimpulan
Karena nilai thitung>besar dari ttabel (tanpa memperhatikan tanda karena merupakan pengujian dua arah) maka H0 ditolak, ada perbedaan penyembuhan luka karena pemberian lender bekicot sebesar 1,5 mm (selisish rata-rata antara kelompok control dan kelompok perlakuan) dalam waktu 2 hari.
BAB 16 Analysis Of Variance (ANOVA) Teknik analisis menggunakan uji “t” yaitu dengan mencari perbedaan yang signifikan dari 2 buah rata-rata hanya akan effektif bila jumlah variabelnya adalah dua. Apabila jumlah variabelnya lebih dari dua, maka penggunaan uji “t” tidak effektif lagi karena langkah pengujiannya akan dilakukan satu persatu. Kemungkinan terjadinya kesalahan juga sangat besar selain membutuhkan waktu yang lebih lama dan biaya yang besar. Untuk mengatasi hal tersebut ada teknik komparasi yang menggunakan variable lebih dari dua, yaitu Analysis of Variance atau ANOVA. Jenis data yang tepat untuk digunakan pada ANOVA adalah nominal dan ordinal pada variable independent nya atau variable bebasnya, sedangkan pada variable terikatnya adalah data interval atau ratio. Dalam menggunakan anova harus memenuhi asumsi dasarnya, agar kesimpulan yang diambil tidak menimbulkan kesalahan atau kurang akurat. Adapun asumsi dasar yang harus terpenuhi adalah : 1. distribusi data harus normal, agar data berdistribusi normal dapat ditempuh dengan cara memperbanyak jumlah sample dalam kelompok. 2. setiap kelompok hendaknya berasal dari populasi yang sama dengan variansi yang sama pula. Bila banyaknya sample sama pada setiap kelompok pada setiap kelompok maka kesamaan variansinya dapat diabaikan. Tapi bila banyaknya sample pada masing-masing kelompok tidak sama maka kesamaan variansi populasi sangat diperlukan. 3. Pengambilan sample dilakukan secara random. Anova pada dasarnya terdiri dari dari dua kelompok. Pengelompokan di tentukan dari jumlah variable bebasnya. Bila variable yang akan dianalisis terdiri dari satu variable terikat dan satu varaibel bebas maka di sebut Analysis of Variance (ANOVA) satu arah. Apabila variable yang akan dianalisis terdiri dari satu variable bebas dan lebih dari satu variable terikat maka disebut ANOVA dua arah. 1.
ANOVA satu arah Analisis variance satu arah berarti kita ingin mengetahui apakah ada perbedaan rata-rata yang didasarkan pada satu kriteria tertentu. Ada hal yang harus diperhatikan yaitu tujuannya membandingkan rata-rata antar sampel dan sampel yang digunakan adalah berasal dari sampel yang berbeda. Misalkan kita memiliki k populasi. Masing-masing populasi diambil sampel sebanyak n. Dan k populasi yang diambil adalah bebas serta berdistribusi normal dengan nilai tengah 1, 2, 3,..., k dan ragam atau variansi sama 2. Misalkan xij adalah pengamatan ke-j dari populasi ke-i, maka hasilnya dapat di lihat pada gambar 15.1. Ada tiga bagian pengukuran variabilitas pada data yang akan dianalisis dengan ANOVA, yaitu : a. Variabilitas antar kelompok (between treatment variability) Variabilitas antar kelompok adalah variansi mean kelompok sampel terhadap rata-rata total, sehingga variansi lebih terpengaruh oleh adanya perbedaan perlakuan antar kelompok, Jumlah Kuadrat antar Kelompok (JKA). Rumusnya adalah :
JKA n
x 2
2
x
k
Gambar 17.1 pengamatan ke j dari populasi ke-i
b. Variabilitas dalam kelompok (Within treatmen variability) Variabilitas dalam kelompok adalah varians yang ada dalam masing-masing kelompok. Banyaknya variansi akan tergantung pada banyaknya kelompok. Variansi tidak terpengaruh oleh perbedaan perlakuan antar kelompok, atau Jumlah Kuadrat Dalam (JKD). Rumusnya adalah : JKT = JKA + JKD c. Jumlah Kuadrat penyimpangan total (total sum of squares) Jumlah Kuadrat penyimpangan total adalah jumlah kuadrat selisih antara skor individual dengan mean totalnya, atau JKT. Dengan rumusnya adalah :
x
2
JKT
2
x
N
Langkah-langkah dalam melakukan analisis Anova adalah : 1. Menghitung JKA, JKD, dan JKT (jumlah kuadrat) 2. Membuat hipotesis, misalnya H0 : Kelima tablet memiliki waktu yang sama dalam mengurangi rasa sakit. H1 : Terdapat tablet yang tidak memiliki waktu sama dalam mengurangi rasa sakit.
3. Mencari Derajat Kebebasan dengan menggunakan Tabel F dimana dengan derajat kebebasan ke-1 : df1=k-1 dan derajat kebebasan k-2 : df2=n-k. 4. Membuat ringkasan table Anova
Sumber variasi Perlakuan
Jumlah Kuadrat JKA
Tabel 17.1 Ringkasan Anova Derajat Rataan Kebebasan Kuadrat k-1 JKA 2
s
1
k 1
F hitungan 2
s s
Galat Jumlah
JKD JKT
k(n-1)
2
s
1
2
JKD k ( n 1)
nk-1
5. Penarikan Kesimpulan dengan membandingkan Fhitung dengan Ftabel. Untuk mengambil keputusan maka : - Ho ditolak jika F-hitung > F-Tabel - Ho diterima jika F-hitung ≤ F-Tabel
Gambar 17.2 Kurva F Contoh soal : Dari 5 tablet sakit kepala yang diberikan kepada 25 orang dicatat berapa lama tablet-tablet tersebut dapat mengurangi rasa sakit. Ke-25 orang itu dibagi secara acak ke dalam 5 kelompok dan masing-masing diberi satu jenis tablet yang berbeda yaitu tablet A, B, C, D dan E. Dalam pengujian ini ingin mengetahui apakah kelima tablet tersebut sama lamanya dalam mengurangi rasa sakit. Tabel 17.2 tabel waktu mengurangi rasa sakit
Penyelesaian : Tabel 17.3 penyelesaian
Dari hasil perhitungan di dapatkan : 1. JKA = 79,440 JKT = 137,04 JKD = 137,04 – 79,440 = 57,600 2. H0 : Kelima tablet memiliki waktu yang sama dalam mengurangi rasa sakit. H1 : Terdapat tablet yang tidak memiliki waktu sama dalam mengurangi rasa sakit. 3. Df1 = 4 Df2 = 20 Sehingga Ftabel = 2,87 Tabel 17.4 Tabel Anova Sumber Jumlah Derajat Rataan F hitung variasi Kuadrat Kebebasan Kuadrat Perlakuan 79,440 4 19,860 6,896 Galat
57,600
20
2,880
Jumlah
137,04
24
4. Karena Fhitung lebih besar dari Ftabel maka H0 di tolak ada tablet yang memiliki waktu yang tidak sama untuk meredakan sakit. 2.
Analisis Sesudah ANOVA Analisis sesudah Anova atau pasca Anova (Post Hoc) dilakukan jika Hipotesis nol (H0) di tolak. Apabila hipotesis nol di terima maka analisis post hoc tidak perlu dilakukan, karena tujuan analisis sesudah anova adalah untuk mencari kelompok mana yang berbeda hal ini dapat dilakukan bila Fhitung nya berbeda. Ada beberapa teknik analisis yang dapat digunakan untuk melakukan analisis sesudah ANOVA, antara lain Tukey’s HSD, Bonferroni, Sidak, Duncan, dll. Analisis sesudah anova yang popular dan sering di gunakan adalah Tukey’s HSD dengan rumus sebagai berikut : a. Menghitung Tukey’s HSD dengan rumus √
Dimana : q = the student range statistic. q di peroleh dengan melihat table student range statistic. kolom untuk jumlah kelompok atau perlakuan sehingga dalam hal ini k = 5. Df = n – k sehingga 25 – 5 = 20. Sehingga dengan melihat table student range statistic q = 4,23 k = kelompok √
b. Mencari perbedaan rata-rata antar kelompok Menghitung rata-rata masing-masing kelompok dimana : Kelompok A = 5,2 Kelompok B = 7,8 Kelompok C = 4,0 Kelompok D = 2,8 Kelompok E = 6,6 Selanjutnya berdasarkan rata-rata masing-masing kelompok di buat table perbedaan antar kelompok sebagai berikut :
XA XB XC XD XE
XA 2,6 -1,2 -2,4 1,4
Tabel 16.5 Tabel Post Hoc XB XC -2,6 1,2 3,8 -3,8 -5 -1,2 -1,2 2,6
XD 2,4 5 1,2 -3,8
XE -1,4 1,2 -2,6 3,8 -
Selanjutnya membandingkan perbedaan rata-rata antar kelompok dengan nilai HSD, bila perbedaan rata-rata lebih besar dari nilai HSD (tanpa memperhatikan tanda – dan +) maka ada perbedaan yang significant. Tetapi bila lebih kecil dari nilai HSD berarti tidak ada perbedaan yang significant Dari table diatas dapat di simpilkan : XA = XB XB ≠ XC XC = XD XD ≠ XE XA = XC XA = XD XA = XE
XB ≠ XD XB = XE
XC = XE
c. Interpretasi 1. Obat yang paling baik untuk meredakan sakit kepala adalah obat merk D karena menyembuhkan lebih cepat daripada yang lainnya. Sedangkan Obat merek B menyembuhkan yang paling lama di bandingkan obat merk lainnya. 2. Dari table 16.5 dapat diinterpretasikan sebagai berikut : Obat A dan obat B memberikan waktu penyembuhan yang sama Obat A dan obat C memberikan waktu penyembuhan yang sama Obat A dan obat D memberikan waktu penyembuhan yang sama Obat A dan obat E memberikan waktu penyembuhan yang sama Obat B dan obat C memberikan waktu penyembuhan yang tidak sama Obat B dan obat D membarikan waktu penyembuhan yang tidak sama Obat B dan obat E membarikan waktu penyembuhan yang sama Obat C dan obat D membarikan waktu penyembuhan yang sama Obat C dan obat E membarikan waktu penyembuhan yang sama Obat D dan obat E membarikan waktu penyembuhan yang tidak sama
DAFTAR PUSTAKA Arikunto, Suharsimi. 2010. Prosedur Penelitian : Suatu Pendekatan Praktik. Edisi Revisi 2010. Jakarta : Rineka Cipta. Cohran, W.G. 2005. Teknik Penarikan Sampel.Terj. Rudiansyah. Ed. 3. Jakarta : Penerbit UI Press Ghozali, Imam. 2011. Aplikasi Analisis Multivariate Dengan Program SPSS. Semarang : BP Universitas Diponegoro Gudono, 2011. Analisis Data Multivariate. Yogyakarta : BPFE Gujarati, Damodar. 2006. Dasar-Dasar Ekonometrika.Jakarta : Erlangga. Hartono. 2004. Statistik Untuk Penelitian. Yaogjakarta : Pustaka Pelajar http://junaidichaniago.wordpress.com Jan Jonker, Bartjan J.W. Pennink, Sari Wahyunil. 2011. Metodologi Penelitian. Panduan Untuk Master Ph.D di bidang Manajemen. Jakarta : Salemba Empat Neuman, W, L. (2006). Social Research Methods : Qualitative and Quantitative Approaches. Sixth Edition, New York : Pearson International, Inc Riduwan dan Sunarto. 2007. Statistika untuk penelitian. Bandung : Alfabeta Santoso, Singgih. 2002. Statistik dengan SPSS. Jakarta : Elex media Komputindo. Sarwono, Jonathan. 2006. Metode Penelitian Kuantitatif dan Kualitatif. Yogyakarta : Graha Ilmu Sugiyono. 2012. Metode Penelitian Kombinsasi. Bandung : Alfabeta Usman Husaini dan R. Purnomo Akbar, 2000. Pengantar Statistika, Jakarta, Bumi Aksara Walpole, E Ronald, 1997. Pengantar Statistika Edisi Ke-3. Jakarta : Gramedia Pustaka Utama
Dr. H. Sandu S.Sos.,SKM.,M.Kes
Siyoto,
Dr. H. Sandu Siyoto, S.Sos.,SKM.,M.Kes, lahir di Desas Klagen Rejoso Nganjuk Jawa Timur 16 Februari 1970. Lulusan Pendidikan D-III Akademi Penilik Kesehatan Surabaya (Dep. Kesehatan RI), S-1 pada Fakultas Sospol Unikad tahun 1996 dan Sarjana Kesehatan Masyarakat di STIKes Majapahit tahun 2013 . Program Magister Ilmu Kesehatan Masyarakat di Universitas Gadjah Mada Yogyakarta tahun 2001 dan Program Doktor Ilmu Kesehatan Masyarakat Universitas Airlangga Surabaya Tahun 2013. Beberapa pelatihan, workshop dan kursus baik sebagai peserta maupun pembicara yang berkaitan dengan aktifis prastis dan juga akademik telah diikuti oleh penulis baik yang bersifat lokal, regional, nasional serta Internasional (Singapura, Johor Malaysia, Melbounre, Hobart Tasmania,Taiwan, Philipina). Beberapa hasil penelitian penulis sudah dipublikasikan dalam forum regional, nasional bahkan internasional. Selain itu beberapa buku dan karya penulis juga telah diterbitkan, diantaranya “Kesehatan Reproduksi “ (2013) yang ditulis bersama Dr. Hasdiana, M.Kes, “Kledek Nganjuk” (2014) yang ditulis bersama budayawan Dr. Purwadi, SS.,M.Hum, “Dasar-dasar Riset Keperawatan” ditulis bersama Dr. Hasdianah Hasan Rohan, M.Si, Dr. Indasah, M.Kes.
Ratna Wardani, SSi., MM
Ratna Wardani, SSi., MM, lahir di Kediri, Jawa Timur 6 Desember 1978. Lulusan S-1 Statistika Institut 10 Nopember Surabaya tahun 2001. Program Magister Manajemen di Universitas Airlangga Surabaya tahun 2006. Beberapa pelatihan, workshop dan kursus baik sebagai peserta maupun pembicara yang berkaitan dengan aktifis prastis dan juga akademik telah diikuti oleh penulis. Beberapa hasil penelitian penulis sudah dipublikasikan dalam forum regional dan nasional. Selain itu beberapa buku dan karya penulis juga telah diterbitkan, diantaranya “Dasar-dasar Riset Keperawatan” ditulis bersama Dr. Hasdianah Hasan Rohan, M.Si, Dr. Indasah, M.Kes, Pengolahan dan Analisa Data di tulis bersama Niasari, SSi., M.Kes.
