Kapitola 6. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Definice 6.1(derivace funkce více proměnných)

MA2, M2

MA2, M2

102

103

6. Diferenciální počet funkcí více proměnných

Definice 6.1 (derivace funkce více proměnných)

Kapitola

Nechť f : Ω → R, Ω ⊂ Rn a nechť x0 ∈ Ω je vnitřní bod množiny Ω. Nechť dále s je daný pevný vektor. Jestliže existuje konečná limita

6

f (x0 + ts) − f (x0) , t→0 t pak tuto limitu nazveme derivací funkce f v bodě x0 podle vektoru s a označíme ji lim

Diferenciální počet funkcí více proměnných

∂f (x0 ) . ∂s

c 2009, analyza.KMA.zcu.cz


Je-li s jednotkový vektor, pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě x0 ve směru vektoru s.

MA2, M2

MA2, M2 6. Diferenciální počet funkcí více proměnných

104

105


Definice 6.2 (gradient)

Věta 6.3 (gradient a derivace podle vektoru)

Buď f : Ω → R, Ω ⊂ Rn otevřená, a nechť f má parciální derivace podle všech proměnných v Ω. Potom vektor ∂f ∂f ∂f , ,..., ∂x1 ∂x2 ∂xn

Buď f : Ω → R, x0 ∈ Ω ⊂ Rn vnitřní bod, s pevný vektor. (x0) a existuje grad f (x0 ), potom platí Pokud existuje ∂f ∂s ∂f (x0) = (s, grad f (x0 )) . ∂s

nazýváme gradientem funkce f a značíme nebo ∇f.


grad f


Je-li s = ei (tj. jednotkový vektor ve směru osy xi), potom derivaci ∂f (x0 ) ∂f = (x0) = fi(x0) ∂ei ∂xi nazýváme parciální derivací funkce f v bodě x0 podle i-té proměnné nebo podle xi.

MA2, M2


106


107

Definice 6.4 (diferenciál)

Věta 6.5 (totální diferenciál a gradient)

Buď f : Ω → R, x0 ∈ Ω ⊂ Rn vnitřní bod a h = (h1, h2, . . . , hn) bod z Rn. Řekneme, že funkce f je diferencovatelná v bodě x0 vzhledem k h, jestliže existuje vektor D = (D1, D2, . . . , Dn) a funkce ω(h) tak, že

Je-li df (x0 , h) = (D, h) totální diferenciál funkce f v bodě x0, je

f (x0 + h) − f (x0 ) = (D, h) + ω(h),

lim

h→0

Dj =

∂f (x0), ∂xj

j = 1, 2, . . . , n.

ω(h) = 0. khk Poznámka

Výraz

Obvykle píšeme (D, h) = D1h1 + D2h2 + · · · + Dnhn df =

nazýváme totálním diferenciálem funkce f v bodě x0 a značíme df (x0 , h).

∂f ∂f dx1 + · · · + dxn. ∂x1 ∂xn



Je-li f diferencovatelná v každém bodě x ∈ Ω, řekneme, že f je diferencovatelná v Ω.

MA2, M2 108



109

Věta 6.6 (diferencovatelnost a spojitost)

Věta 6.7 (postačující podmínka diferencovatelnosti)

Je-li f diferencovatelná v x0, je v tomto bodě spojitá.

∂f , j = 1, 2, . . . , n, spojité v bodě Jsou-li parciální derivace ∂x j x0 , je funkce f v tomto bodě diferencovatelná.

Poznámka



Pouhá existence parciálních derivací nezaručuje diferencovatelnost!

MA2, M2


110


111

Věta 6.8 (směr největšího růstu)

Definice 6.9 (tečná nadrovina)

∂f (x0) ∂z

derivace funkce f v bodě x0 ve směru gradiJe-li entu z = grad f , potom ∂f (x0 ) = max ∂f (x0) , ∂z s ∂s

Buď dána funkce f a bod x0. Řekneme, že nadrovina y = D 1 x 1 + · · · + D n x n + D0 je tečnou nadrovinou ke grafu funkce f v bodě (x0, f (x0)), jestliže platí

kde s je libovolný jednotkový vektor.

f (x) − (D1x1 + · · · + Dnxn + D0) = ω(x − x0), kde lim

MA2, M2


112

113


Věta 6.10 (diferenciál a tečná nadrovina)

Věta 6.11 (derivace složené funkce I)

Funkce f má v bodě x0 = (x0,1, . . . , x0,n) totální diferenciál právě tehdy, když v bodě (x0, f (x0 )) existuje tečná nadrovina.

Nechť x a y jsou reálné funkce jedné reálné proměnné definované na okolí bodu t0 ∈ R. Nechť x a y jsou obě diferencovatelné v t0. Nechť f je reálná funkce dvou reálných proměnných definovaná na okolí bodu (x0, y0) ∈ R2, kde x0 = x(t0), y0 = y(t0). Nechť f je diferencovatelná v bodě (x0, y0). Potom funkce F (t) = f (x(t), y(t)) je diferencovatelná v bodě t0 a platí

Rovnice této nadroviny je y=

n X ∂f (x0 ) j=1

∂xj

(xj − x0,j ) + f (x0 ).

∂f (x0, y0) dx(t0) ∂f (x0, y0) dy(t0) dF (t0) = + . dt ∂x dt ∂y dt

Normála v tomto bodě má tvar xn − x0,n y − f (x0 ) x1 − x0,1 = ∂f (x ) = · · · = ∂f (x ) . 0 0 −1 ∂xn


∂x1


ω(x − x0) = 0. kx − x0 k



x→x0

MA2, M2


114

Věta 6.12 (derivace složené funkce II)

Věta 6.13 (derivace složené funkce III)

Nechť u a v jsou reálné funkce dvou reálných proměnných definované na okolí bodu (x0, y0) ∈ R2. Nechť u a v jsou obě diferencovatelné v (x0, y0). Nechť f je reálná funkce dvou reálných proměnných definovaná na okolí bodu (u0, v0) ∈ R2, kde u0 = u(x0, y0), v0 = v(x0, y0). Nechť f je diferencovatelná v bodě (u0, v0). Potom funkce F (x, y) = f (u(x, y), v(x, y)) je diferencovatelná v bodě (x0, y0) a platí

Nechť f je funkce n reálných proměnných, která má v otevřené množině Ω ⊂ Rn spojité parciální derivace podle všech proměnných. Nechť xj = ϕj (t1, . . . , tr ) jsou funkce r proměnných se spojitými parciálními derivacemi podle všech proměnných v otevřené množině D ⊂ Rr . Potom funkce F (t1, t2, . . . , tr ) = f (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)) má parciální derivace podle všech proměnných v množině D a platí n

∂F X ∂f ∂ϕj = , ∂tk ∂xj ∂tk j=1

k = 1, 2, . . . , r.



∂F ∂f (u0, v0) ∂u(x0, y0) ∂f (u0 , v0) ∂v(x0, y0) (x0, y0) = + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂f (u0, v0) ∂u(x0, y0) ∂f (u0 , v0) ∂v(x0, y0) ∂F (x0, y0) = + . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

MA2, M2


116


117

Poznámka (derivace vyšších řádů)

Věta 6.14 (záměnné smíšené derivace)

Analogicky jako derivace prvního řádu definujeme derivace vyšších řádů: ∂f ∂ ∂ 2f , f11 = 2 = ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂f ∂ ∂ 2f = , f12 = ∂x1∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂f ∂ ∂ 2f = , f21 = ∂x2∂x1 ∂x1 ∂x2 2 ∂ 3f ∂ f ∂ f221 = 2 , = ∂x2∂x1 ∂x1 ∂x22

Buď f funkce n proměnných definovaná na okolí bodu x0 . Nechť f má na tomto okolí parciální derivace fi, fj 2f je spojitá v x0. Potom je v bodě x0 a nechť fij = ∂x∂i∂x j definovaná i derivace fji =

∂ 2f ∂xj ∂xi

a platí

fij (x0 ) = fji(x0).


..



115

MA2, M2


118


119

Poznámka (vyšší derivace složené funkce)

Definice 6.15 (diferenciál vyššího řádu)

Nechť z(t) = f (x(t), y(t)). Pak

Nechť má funkce f diferenciál df (x, h) = (h, grad f ) vzhledem k přírůstku h v jistém okolí bodu x0. Diferenciál funkce df (x, h) v bodě x0 opět vzhledem k h nazýváme druhým diferenciálem funkce f v x0 a značíme d2f (x0 , h). Diferenciál k-tého řádu definujeme rekurentně jako ! dk f (x, h) = d dk−1f (x, h) .

dz ∂f dx ∂f dy = + , dt ∂x dt ∂y dt 2 ∂ 2f dx dy ∂ 2f dx d2 z + 2 = + dt2 ∂x2 dt ∂x∂y dt dt 2 ∂ 2f dy ∂f d2x ∂f d2x + 2 + + . ∂y dt ∂x dt2 ∂x dt2

Poznámka



d2f (x, h) = (Hh, h),

MA2, M2

kde H je Hessova matice  2 ∂ 2f ∂ f , ... ,  ∂x21 ∂x1∂x2 .  H= . ∂ 2f ∂ 2f ∂xn∂x1 , ∂xn∂x2 , . . .

∂ 2f ∂x1∂xn ∂ 2f ∂x2n



 . 

Formálně dk f (x, h) = (

∂ ∂ h1 + · · · + hn)k f. ∂x1 ∂xn


120


121

Věta 6.16 (Taylorova věta)

Definice 6.17 (lokální a globální extrémy)

Nechť funkce f : Ω → R má na okolí U (x0) ⊂ Ω diferenciál řádu k+1. Nechť h ∈ Rn je takové, že x0 +h ∈ U (x0). Potom existuje θ ∈ (0, 1) tak, že

Buď f funkce definovaná na množině Ω ⊂ Rn. Řekneme, že číslo f (x0 ) je lokálním minimem (resp. maximem) funkce f na množině Ω, jestliže existuje okolí U (x0) bodu x0 takové, že

f (x0 + h) = f (x0) +

1 df (x0 , h) + 1!

∀x ∈ U (x0)∩Ω :

1 1 2 d f (x0 , h) + . . . dk f (x0, h) + 2! k! +

f (x0 ) ≥ f (x)

(resp. f (x0 ) ≤ f (x)).

Pokud platí ostré nerovnosti, řekneme, že f má v bodě x0 ostré lokální minimum (resp. maximum).

1 dk+1f (x0 + θh, h) . (k + 1)! {z } | zbytek

Zapisujeme: f (x0 ) =

min

x∈U (x0)∩Ω

f (x)

(resp. f (x0) =

max

x∈U (x0)∩Ω

f (x)).

Řekneme, že f (x0) je globálním minimem (resp. maximem) funkce f na množině Ω, jestliže platí ∀x ∈ Ω :

f (x0 ) ≥ f (x)

(resp. f (x0 ) ≤ f (x)).



Zapisujeme: f (x0 ) = min f (x) x∈Ω

(resp. f (x0) = max f (x)). x∈Ω

MA2, M2


122


123

Věta 6.18 (nutná podmínka extrému)

Definice 6.19 (stacionární bod)

Nechť má funkce f : Ω ⊂ Rn → R ve vnitřním bodě x0 ∈ Ω lokální extrém a nechť je v tomto bodě diferencovatelná. Potom ∀h ∈ Rn : df (x0 , h) = 0,

Bod x0 ∈ Ω, pro který je grad f (x0 ) = 0, nazýváme stacionárním bodem diferencovatelné funkce f .

respektive



grad f (x0 ) = 0.

MA2, M2


124

125

Věta 6.20 (postačující podmínka extrému)

Definice 6.21 (řešení rovnice)

Nechť je funkce f : Ω → R, Ω ⊂ Rn, dvakrát diferencovatelná ve vnitřním bodě x0 ∈ Ω a nechť pro všechna h ∈ Rn je df (x0, h) = 0. Potom platí

Buď F (x, y) = F (x1, x2, . . . , xn, y) funkce (n+1) proměnných a uvažujme rovnici F (x, y) = 0. Funkci y = f (x) pro x ∈ Ω ⊂ Rn nazveme (globálním) řešením této rovnice na Ω, jestliže pro všechna x ∈ Ω platí

1. Je-li ∀h ∈ Rn , h 6= 0 : d2f (x0 , h) > 0, má funkce f v x0 ostré lokální minimum.

F (x, f (x)) = 0.

2

2. Je-li ∀h ∈ R , h 6= 0 : d f (x0 , h) < 0, má funkce f v x0 ostré lokální maximum. n

Jestliže pro všechna x ∈ U (x0) ⊂ Rn je F (x, f (x)) = 0, pak y = f (x) nazveme lokálním řešením dané rovnice.


3. Jestliže existují h1, h2 ∈ Rn tak, že d2f (x0 , h1) > 0, d2f (x0 , h2) < 0, nemá funkce f v x0 extrém, ale sedlový bod.



MA2, M2


126

127


Definice 6.22 (implicitní funkce)

Věta 6.23 (existence globálního řešení)

Funkci y = f (x), která je řešením rovnice F (x, y) = 0 nazveme implicitní funkcí nebo funkcí danou implicitně.

Buď funkce F (x, y) definovaná na množině Ω × ha, bi ⊂ Rn+1 a nechť pro všechna pevná x ∈ Ω je F (x, y) spojitá funkce proměnné y. Jestliže pro všechna x ∈ Ω platí F (x, a) F (x, b) ≤ 0, pak existuje alespoň jedna funkce y = f (x) definovaná na Ω tak, že



∀x ∈ Ω F (x, f (x)) = 0.


128

Věta 6.24 (existence lok. řešení – věta o implicitní funkci) Buď F (x, y) funkce, která má spojité parciální derivace až do k-tého řádu v jistém okolí bodu (x0, y0) a nechť F (x0, y0) = 0,

∂F (x0 , y0) 6= 0. ∂y

Potom platí: 1. Existuje okolí U (x0) ⊂ Rn bodu x0 a funkce y = f (x), která je jediným řešením rovnice F (x, y) = 0 na U (x0), tj. ∀x ∈ U (x0) : F (x, f (x)) = 0.


2. Funkce y = f (x) má spojité parciální derivace až do k-tého řádu pro x ∈ U (x0).

Kapitola 6. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Definice 6.1(derivace funkce více proměnných)

Recommend Documents