Jaroslav Vosáhlo Návrh dynamických rozhodovacích strategií pro obchodování na futures trzích

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

Jaroslav Vos´ahlo N´ avrh dynamick´ ych rozhodovac´ıch strategi´ı pro obchodov´ an´ı na futures trz´ıch Katedra pravdˇepodobnosti a matematick´e statistiky MFF UK

Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Dipl.-Eng. Tatiana V.Guy, PhD., ´ ˇ UTIA AV CR Studijn´ı program: Finanˇcn´ı matematika, Obor Matematika 2011

Chtˇel bych podˇekovat vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace Dipl.-Eng. Tatianˇe V.Guy, PhD. ˇ za trpˇelivost a cenn´e rady a d´ale Ing. Janu Zemanovi a Mgr. Janu Sindel´ aˇrovi, kteˇr´ı byli tak ochotn´ı a vˇenovali mi sv˚ uj ˇcas. Pr´ace byla ˇc´asteˇcnˇe podˇ ˇ 1M0572, GACR 102/08/0567. porov´ana MSMT CR

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakal´aˇrskou pr´aci napsal samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcov´an´ım pr´ace a jej´ım zveˇrejˇ nov´an´ım. V Praze dne 13.7.2011

Jaroslav Vos´ahlo

1

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 Z´akladn´ı pojmy a znaˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6

2 Obchodov´ an´ı s futures 2.1 Popis kontraktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Popis obchodov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Hled´an´ı strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8 8

3 Dynamick´ e programov´ an´ı jako n´ astroj optimalizace 3.1 Syst´em: z´akladn´ı definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Zisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Optimalizace a Bellmanova funkce . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 11 11

4 Bayesovsk´ a statistika a model v´ yvoje cen 4.1 Bayesovsk´a pˇredpovˇed’ a odhad parametr˚ u . . . . . . . . . . 4.2 Norm´aln´ı autoregresn´ı model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Bayesovsk´e odhadov´an´ı autoregresn´ıho modelu . . . . . . . .

15 15 17 19

5 Aproximace optim´ aln´ıho ˇ reˇ sen´ı ´ 5.1 Uprava Bellmanovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Optim´aln´ı zisk a zisk aproximovan´eho optim´aln´ıho ˇreˇsen´ı . . 5.3 Rozdˇelen´ı ztr´atov´e funkce pˇri zn´am´ ych akc´ıch a parametrech

20 20 21 22

6 Riziko a neurˇ citost 6.1 Rozptyl ztr´atov´e funkce . . . . . . . . . . 6.2 VaR a CVaR . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Porovn´avac´ı funkce . . . . . . . . . . . . . 6.4 M´ıra rizika zaloˇzen´a na aktu´aln´ı u ´spˇeˇsnosti

24 24 25 25 27

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . algoritmu

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

7 Popis algoritm˚ u 7.1 Pˇr´ım´ y pˇr´ıstup pomoc´ı bodov´ ych odhad˚ u . . . . . . . . . . . 7.2 Algoritmus s bayesovsk´ ym odhadem parametr˚ u . . . . . . . 7.3 Volba parametr˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 31 33

8 V´ ysledky, z´ avˇ er 8.1 V´ ysledky porovn´avac´ı funkce Q1 (x) . . . . . . . . . . 8.2 V´ ysledky porovn´avac´ı funkce Q2 (x) . . . . . . . . . . 8.3 V´ ysledky algoritm˚ u zaloˇzen´ ych na aktu´aln´ı u ´spˇeˇsnosti 8.4 Z´avˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

34 34 35 36 36

9 Pˇ r´ıloha 9.1 Uk´azky obchodov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 38

Literatura

40

3

. . . .

. . . .

. . . .

N´azev pr´ace: N´avrh dynamick´ ych rozhodovac´ıch strategi´ı pro obchodov´an´ı na futures trz´ıch Autor: Jaroslav Vos´ahlo Katedra (´ ustav): Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta, Univerzita Karlova ´ ˇ Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Dipl.-Eng. Tatiana V.Guy, PhD., UTIA AV CR e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: Pr´ace se zab´ yv´a problematikou obchodov´an´ı na komoditn´ıch trz´ıch z hlediska investiˇcn´ıho spekulanta a zamˇeˇruje se na tzv. komoditn´ı futures kontrakty. C´ılem pr´ace je pomoc´ı metod dynamick´eho programov´an´ı a pˇribliˇzn´eho dynamick´eho programov´an´ı navrhnout optim´aln´ı strategii a tuto strategii otestovat na re´aln´ ych datech. K dosaˇzen´ı u ´spˇeˇsn´e strategie jsou pouˇzity prostˇredky bayesovsk´e statistiky pro pˇredpovˇedi chov´an´ı n´ahodn´ ych veliˇcin a rizikov´e ukazatele pro n´avrh m´ıry opatrnosti pˇri obchodov´an´ı. Algoritmus je otestov´an v programu Matlab na v´ıce neˇz 15 tis´ıc´ıch obchodovac´ıch dnech. Kl´ıˇcov´a slova: futures, dynamick´e programov´an´ı, bayesovsk´a statistika

Title: Design of dynamic decision-making strategies for futures trading Author: Jaroslav Vos´ahlo Department: Faculty of mathematics and physics, Charles University ´ ˇ Supervisor: Dipl.-Eng. Tatiana V.Guy, PhD., UTIA AV CR Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: This thesis deals with an issue of futures derivative trading from a perspective of a minor speculator. The aim of this work is to find and design an optimal trading strategy using dynamic programming and approximate dynamic programming. We use means of Bayesian statistics to obtain predictions of variate´s behavior and risk indicators to form a rate of carefulness. Effectivity of algorithm is afterwards tested in Matlab program. Available data for testing the success of the method offer more then 15.000 trading days. Keywords: futures derivatives, dynamic programming, Bayesian statistics

4

Kapitola 1 ´ Uvod Tato pr´ace se zab´ yv´a hled´an´ım optim´aln´ı strategie pro obchodov´an´ı s futures kontrakty z pohledu menˇs´ıho spekulanta [3], tedy spekulanta, kter´ y sv´ ym chov´an´ım neovlivˇ nuje trh. V´ ysledkem by mˇel b´ yt ucelen´ y postup, kter´ y n´am na z´akladˇe dostupn´ ych dat (minul´ y cenov´ y v´ yvoj a naˇse pˇredchoz´ı akce na trhu) doporuˇc´ı, jak postupovat, a z´aroveˇ n odhadne velikost rizika, tzn. urˇc´ı, jak moc m˚ uˇzeme naˇsemu rozhodnut´ı vˇeˇrit. Futures je velmi vhodn´ ym finanˇcn´ım deriv´atem pro spekulov´an´ı na trhu s komoditami. Nab´ız´ı totiˇz pr´aci s cenami t´emˇeˇr vˇsech moˇzn´ ych druh˚ u zboˇz´ı. Cena kontraktu z´avis´ı v´ yraznˇe pr´avˇe na cenˇe dan´e komodity - podkladov´eho aktiva. ´ ˇ [14],[15],[12],[11]. Pr´ace navazuje na v´ yzkum pracovn´ık˚ u UTIA AV CR Oproti pˇredchoz´ım v´ yzkum˚ um se obchodn´ı strategie navrˇzen´a v t´eto pr´aci pokus´ı zohlednit riziko a dle z´ıskan´eho rizik´eho ukazatele mˇenit mnoˇzstv´ı nakoupen´ ych nebo prodan´ ych kontrakt˚ u (pˇredchoz´ı algoritmy pracovaly s jednotkov´ ymi n´akupy ˇci prodeji). Tento pˇr´ıstup se op´ır´a o metody pˇribliˇzn´eho dynamick´eho programov´an´ı (Kapitola 3). K pˇredpovˇed´ım v´ yvoje cen pouˇz´ıv´ame autoregresn´ı model (Kapitola 4). V Kapitole 5 je pops´ano aproximativn´ı ˇreˇsen´ı u ´lohy. Kapitola 6 je kl´ıˇcovou ˇc´ast´ı, kde se pracuje s rozptylem a hodnotami VaR (Value at Risk) a CVaR (Conditional Value at Risk), jako ukazateli rizika. Z´aroveˇ n je k urˇcen´ı rizikovosti investice navrˇzena i metoda, zaloˇzena na aktu´aln´ı u ´spˇeˇsnosti algoritmu. Navrˇzen´e strategie jsou naprogramov´any v jazyce a programov´em prostˇred´ı Matlab a otestov´any na re´aln´ ych datech pˇeti trh˚ u na ˇcasov´em intervalu deseti let. Porovn´av´ame analytick´e ˇreˇsen´ı s metodami Monte Carlo. Algoritmy jsou pops´any v Kapitole 7 a v´ ysledky v Kapitole 8.

5

1.1

Z´ akladn´ı pojmy a znaˇ cen´ı

t T t∗ yt ut

ˇcas, poˇrad´ı dne; ˇcas ukonˇcen´ı obchodov´an´ı; mnoˇzina obchodovac´ıch ˇcas˚ u, t∗ = (1, .., T ); cena kontraktu v ˇcase t; akce v ˇcase t, tj. mnoˇzstv´ı nakoupen´ ych ˇci prodan´ ych kontrakt˚ u, napˇr. ut = −2 znamen´a prodej dvou kontrakt˚ u v ˇcase t, ut = 1 znamen´a n´akup jednoho kontraktu; u∗t mnoˇzina pˇr´ıpustn´ ych akc´ı v ˇcase t; xt stav obchodn´ıka v ˇcase t, mnoˇzstv´ı kontrakt˚ u a pozice v nich; c transakˇcn´ı n´aklady spjat´e s prodejem/n´akupem, za kaˇzdou operaci ut plat´ıme poplatek ve v´ yˇsi c|ut |; Pt pozorovan´a data do ˇcasu t, Pt = (y1 , u1 , y2 , u2 , .., yt−1 , ut−1 , yt ); Q posloupnost popisuj´ıc´ı cel´ y syst´em do ˇcasu T , Q = (y1 , u1 , .., yT , uT ); Rt rozhodovac´ı pravidlo v ˇcase t, Rt : Pt∗ → u∗t ; Rto optim´aln´ı rozhodovac´ı pravidlo v ˇcase t; gt,t+1 zisk zp˚ usoben´ y akc´ı ut ; zt,t+1 ztr´ata zp˚ usoben´a akc´ı ut ; Gt (Q) zisk od ˇcasu t aˇz do konce obchodov´an´ı T ; Zt (Q) ztr´ata od ˇcasu t aˇz do konce obchodov´an´ı T ; R+ nez´aporn´a re´aln´a ˇc´ısla ; 0 N pˇrirozen´a ˇc´ısla ; yˆt+1 bodov´ y odhad yt+1 ; X∼A X m´a rozdˇelen´ı A; 2 N (µ, δ ) norm´aln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µ a rozptylem δ 2 ; f (x | y) podm´ınˇen´a pravdˇepodobnostn´ı hustota; E[·] stˇredn´ı hodnota; D[·] rozptyl.

6

Kapitola 2 Obchodov´ an´ı s futures 2.1

Popis kontraktu

Futures kontrakt je dohoda mezi dvˇema stranami, z nichˇz jedna se zavazuje prodat dan´e mnoˇzstv´ı konkr´etn´ıho podkladov´eho aktiva v dan´ y ˇcas za pˇredem urˇcenou cenu (kr´atk´a pozice) a druh´a strana se zavazuje toto aktivum koupit (dlouh´a pozice). Aktu´aln´ı cena tohoto deriv´atu tedy z´avis´ı pˇredevˇs´ım na cenˇe podkladov´eho aktiva. D´ale se pak v cenˇe kontraktu odr´aˇz´ı doba splatnosti (ˇcasov´a hodnota penˇez) a skladovac´ı a dopravn´ı n´aklady. Futures se na rozd´ıl od jednoduˇsˇs´ıch forwardov´ ych smluv, kter´e vznikaj´ı mezi obchodn´ıky u ´stn´ı dohodou, obchoduj´ı na burz´ach (nejvˇetˇs´ı takov´e burzy jsou Chicago Board of Trade a Chicago Mercantile Exchange). Podkladov´a aktiva jsou standardizov´ana z hlediska kvality, mnoˇzstv´ı a geografick´e polohy, coˇz usnadˇ nuje obchodovatelnost a porovnatelnost s jin´ ymi kontrakty. Na trhu s futures deriv´aty se nach´azej´ı tˇri druhy obchodn´ık˚ u s r˚ uzn´ ymi c´ıli. Prvn´ı skupinou jsou hedgeˇri. Ti se vstupem do dlouh´e ˇci kr´atk´e pozice jist´ı proti nepˇr´ızniv´emu v´ yvoji cen na trhu, popˇr´ıpadˇe mnoˇzstv´ı komodity na trhu (od dostatkovosti“ se vˇetˇsinou odv´ıj´ı cena). Druhou skupinou jsou ” spekulanti. Ti nemaj´ı z´ajem o podkladov´e aktivum. Zauj´ımaj´ı m´ısto na trhu za u ´ˇcelem nabyt´ı kladn´eho zisku, vznikl´ ym s´azkou na pokles ˇci r˚ ust ceny podkladov´eho aktiva. Tˇret´ım d˚ uvodem k obchodov´an´ı s futures je vstup na trh za u ´ˇcelem bezrizikov´eho v´ ynosu (arbitr´aˇzn´ı zisk). Tento pˇr´ıpad se ˇcasto pˇrekr´ yv´a s hedgingem, ale arbitr´aˇz vyˇzaduje operace na v´ıce r˚ uzn´ ych trz´ıch, napˇr´ıklad n´akup ciz´ıch st´atn´ıch dluhopis˚ u a futures na prodej t´eto mˇeny.

7

2.2

Popis obchodov´ an´ı

Tato pr´ace se snaˇz´ı naj´ıt optim´aln´ı strategii pro spekulanta. Princip spekulace je jednoduch´ y: pokud oˇcek´av´ame zv´ yˇsen´ı ceny dan´eho aktiva, vstoup´ıme do dlouh´e pozice a po n´ar˚ ustu ceny kontrakt se ziskem prod´ame. Oˇcek´av´ameli naopak pokles ceny, kontrakt pˇred poklesem prod´ame a pak levnˇeji nakoup´ıme. Optim´aln´ı strategie se hled´a s ohledem na transakˇcn´ı n´aklady, kter´e plat´ıme za kaˇzdou akci. K finanˇcn´ımu vyrovn´an´ı doch´az´ı aˇz v dobˇe splatnosti. Za kontrakt plat´ı obchodn´ıci pouze z´alohu clearingov´emu centru (tzv. marˇzov´ y vklad). Tato ˇc´astka, kter´a je zlomkem nomin´aln´ı hodnoty kontraktu a m˚ uˇze tedy b´ yt potˇreba ji doplatit podle aktu´aln´ıho v´ yvoje ceny, je z´arukou toho, ˇze obchodn´ıci dostoj´ı sv´ ym z´avazk˚ um. To umoˇzn ˇuje obchodovat s objemem komodit, kter´ y m´a vˇetˇs´ı hodnotu neˇz vlastn´ı kapit´al (p´akov´ y efekt). Z´aroveˇ n nepotˇrebujeme ˇz´adn´e sklady nebo pˇrepravn´ı techniku, kter´a by pˇri opravdov´em n´akupu podkladov´ ych aktiv byla nutn´a.

2.3

Hled´ an´ı strategie

´ eˇsnost obchodn´ı strategie kl´ıˇcovˇe z´avis´ı na kvalitn´ı pˇredpovˇedi budouc´ıho Uspˇ cenov´eho v´ yvoje. Dalˇs´ım probl´emem je urˇcen´ı optim´aln´ıch obchodovac´ıch okamˇzik˚ u, nebot’ vzhledem k uvaˇzovan´ ym transakˇcn´ım n´aklad˚ um nen´ı optim´aln´ı strategie zaloˇzena pouze na postupu: cena se nach´az´ı v lok´aln´ım ” maximu, pˇrejdeme do kr´atk´e pozice“ a obr´acenˇe. Velk´ ym probl´emem a v´ yzvou, za kterou m˚ uˇzeme vidˇet pˇr´ıpadnou ne´ uspˇeˇsnost strategie, je volba modelu, podle nˇehoˇz pˇredpokl´ad´ame, ˇze se ceny vyv´ıjej´ı. N´ami zvolen´ y autoregresn´ı model pˇredpov´ıd´a cenov´ y v´ yvoj na z´akladˇe pˇredchoz´ıch cen kontrakt˚ u. Na v´ yvoj cen kontrakt˚ u, kter´e vznikaj´ı na burze stejnˇe jako ostatn´ı ceny z´akonem nab´ıdky a popt´avky, m´a ale vliv spousta faktor˚ u (v´aleˇcn´e konflikty, objeven´ı nov´ ych naleziˇst’, pˇr´ırodn´ı katastrofy apod.) a takov´e vlivy nen´ı moˇzn´e do tˇechto model˚ u zahrnout.

8

Kapitola 3 Dynamick´ e programov´ an´ı jako n´ astroj optimalizace V t´eto kapitole vymez´ıme ˇreˇsenou optimalizaˇcn´ı u ´lohu a veliˇciny, se kter´ ymi budeme pracovat.

3.1

Syst´ em: z´ akladn´ı definice

Syst´emem rozum´ıme ˇc´ast svˇeta, kter´a n´as pro ˇreˇsen´ı u ´lohy zaj´ım´a a kterou se snaˇz´ıme popsat nebo ovlivnit. V t´eto u ´loze syst´em pˇredstavuje trh, na kter´em se obchoduje jednou dennˇe. Rozhodovaˇc (obecnˇe osoba, nebo stroj, v naˇsem pˇr´ıpadˇe obchodn´ık) pozoruje syst´em a navrhuje/aplikuje rozhodnut´ı s c´ılem maximalizovat sv˚ uj zisk. Syst´em popisujeme pomoc´ı posloupnosti pozorovan´ ych v´ystup˚ u syst´emu yt a vstup˚ u ut (akce rozhodovaˇce) do syst´emu: (y1 , u1 ), (y2 , u2 ), (y3 , u3 ), ...

(3.1)

yt ∈ R0+ , t ∈ t∗ = {1, .., T }, T je horizont, pˇredstavuje cenu jednoho kontraktu v ˇcase t. ut ∈ u∗t , t ∈ t∗ znaˇc´ı akci obchodn´ıka na trhu v ˇcase t, to znamen´a n´akup (kladn´a hodnota) nebo prodej (z´aporn´a hodnota), pˇr´ıpadnˇe nulov´a akce. Mnoˇzina u∗t je mnoˇzina vˇsech pˇr´ıpustn´ ych akc´ı v ˇcase t. Znalost syst´emu, kterou m´ame v dan´ y ˇcas t ∈ t∗ , jsou pozorovan´e vstupy a v´ ystupy: Pt = (y1 , u1 , y2 , u2 , .., yt−1 , ut−1 , yt ). (3.2) Napozorovan´e hodnoty naz´ yv´ame data. Tato znalost popisuje syst´em jen ˇc´asteˇcnˇe. 9

Posloupnost vstup˚ u a v´ ystup˚ u do ˇcasu T , tzn. chov´an´ı smyˇcky syst´em” rozhodovaˇc“, znaˇc´ıme Q. V ˇcase t ∈ t∗ se mnoˇzina Q skl´ad´a z minul´ ych vstup˚ u a pozorovan´ ych v´ ystup˚ u Pt , navrhovan´e akce ut a nezn´am´ ych budouc´ıch veliˇcin (yt+1 , ut+1 , .., yT , uT ): Q = (Pt , ut , yt+1 , ut+1 , .., yT , uT )

(3.3)

uˇze vstup ut ovlivnit chov´an´ı syst´emu. Pozn´ amka 1 V obecn´em pˇr´ıpadˇe m˚ V naˇsem pˇr´ıpadˇe pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze akce ut syst´em neovlivˇ nuje, tzn. ˇze spekulant˚ uv n´akup/prodej neovlivn´ı budouc´ı cenov´y v´yvoj (yτ )τ >t (viz Podkapitola 4.2). Na z´akladˇe znalosti Pt vytv´aˇr´ıme akci ut . Rozhodovac´ı pravidlo Rt : Pt∗ → u∗t

(3.4)

je tedy zobrazen´ı, kter´e n´am na z´akladˇe znalosti syst´emu urˇcuje naˇsi akci na trhu. Posloupnost tˇechto rozhodovac´ıch pravidel {Rt }t∈t∗ pak naz´ yv´ame strategi´ı. K urˇcen´ı kvality rozhodovac´ıho pravidla a cel´e strategie se definuje ztr´atov´a funkce Z(Q). Tato funkce ke kaˇzd´e realizaci Q ∈ Q∗ , pˇriˇrazuje ohodnocen´ı - ztr´atu Z(Q). Optim´ aln´ı strategie (Rto )t∈t∗ je ta, kter´a minimalizuje ztr´atovou funkci, popˇr. jej´ı stˇredn´ı hodnotu. Stav obchodn´ıka xt popisuje mnoˇzstv´ı a pozici vlastnˇen´ ych kontrakt˚ u. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze m˚ uˇzeme nakupovat a prod´avat pouze cel´e mnoˇzstv´ı kontrakt˚ u. Je zˇrejm´e, ˇze akce ut mˇen´ı stav xt−1 n´asledovnˇe: xt = xt−1 + ut

(3.5)

Pozn´ amka 2 V pr´aci [4] se pracuje s v´ıcerozmˇern´ymi v´ystupy yt . Tento vektor pak pro jeden typ kontraktu obsahuje v´ıce neˇz 30 tzv. informaˇcn´ıch kan´al˚ u, napˇr´ıklad cenu pˇri otevˇren´ı a ukonˇcen´ı obchodovac´ıho dne, nejvyˇsˇs´ı a nejniˇzˇs´ı cenu dne, poˇcet aktivn´ıch obchod˚ u na dan´e burze za den a tak d´ale. V´ıcerozmˇern´e modelov´an´ı nedos´ ahlo poˇzadovan´e kvality predikc´ı, proto v t´eto pr´aci z˚ ustaneme u skal´arn´ıch cen, konkr´etnˇe u cen kontraktu pˇri ukonˇcen´ı obchodov´an´ı.

10

3.2

Zisk

Budeme obchodovat s omezen´ım xt ∈ (x, x). Tato podm´ınka neznamen´a pˇr´ımo omezen´e mnoˇzstv´ı finanˇcn´ıch prostˇredk˚ u, ale ohraniˇcen´ı mnoˇzstv´ı kontrakt˚ u, kter´e m˚ uˇzeme koupit nebo prodat (k finanˇcn´ımu vyrovn´an´ı doch´az´ı aˇz v dobˇe splatnosti). Horn´ı hranice x m˚ uˇze b´ yt menˇs´ı a d´ıky p´akov´emu efektu i vˇetˇs´ı, neˇz kolik bychom mohli z´ıskat s naˇs´ım voln´ ym finanˇcn´ım kapit´alem. Za kaˇzdou akci ut plat´ı obchodn´ık transakˇcn´ı n´aklady c|ut |. Definujeme parci´aln´ı zisk zp˚ usoben´ y akc´ı ut v ˇcase t gt,t+1 (xt−1 , xt , yt , yt+1 ) = gt,t+1 = xt (yt+1 −yt )−c|xt −xt−1 | = xt (yt+1 −yt )−c|ut | (3.6) Celkov´ y zisk od ˇcasu τ ≤ T je souˇctem tˇechto parci´aln´ıch zisk˚ u: Gτ (Q) =

T −1 ∑

[xt (yt+1 − yt ) − c|ut |] − c|uT | =

t=τ

T −1 ∑

gt,t+1 − c|uT |

(3.7)

t=τ

Pozn´ amka 3 Finanˇcn´ı toky by se mˇely diskontovat bezrizikovou u ´rokovou ’ m´ırou. To ale pro jednoduchost zanedb´ ame, nebot n´ as nezaj´ım´ a ani tak souˇcasn´a hodnota zisku, jako sp´ıˇs nalezen´ı strategie maximalizuj´ıc´ı zisk na ˇcasov´em intervalu. V Kapitole 5 uvid´ıme, ˇze t´ımto pˇredpokladem nedojde k zv´yhodnˇen´ı strategie s dlouhodobˇejˇs´ım n´avratem investice.

3.3

Optimalizace a Bellmanova funkce

Krit´erium pro hled´an´ı rozhodovac´ıho pravidla Rt : Pt∗ → u∗t je maximalizace celkov´eho zisku (3.7). Jak bylo ˇreˇceno, v optimalizaˇcn´ıch u ´loh´ach se ˇcasto minimalizuje ztr´atov´a funkce Zt (Q). V naˇsem pˇr´ıpadˇe lze ztr´atu v ˇcase t zapsat: zt,t+1 = −gt,t+1 (3.8) Pro celkovou ztr´atu od ˇcasu t ≤ T do ˇcasu T plat´ı: Zt (Q) = −Gt (Q)

(3.9)

Hled´an´ı optim´aln´ı strategie (Rto )t∈t∗ je zat´ıˇzen´e neurˇcitost´ı, kter´a plyne: i) z nezn´am´eho budouc´ıho chov´an´ı syst´emu, napˇr. yτ , pro τ > t, τ < T , ii) z neznalosti vnitˇrn´ıch veliˇcin syst´emu (odhadujeme parametry modelu, 11

kter´ y pouˇz´ıv´ame k pˇredpov´ıd´an´ı yτ , τ > t). Vzhledem k t´eto neurˇcitosti uˇze minimalizovat nezn´amou ztr´atu, ale optim´aln´ı strategie (Rto )t∈t∗ nem˚ pouze“ oˇcek´avanou ztr´atu E[Zt (Q)]. ” Optim´aln´ı strategie se skl´ad´a z optim´aln´ıch rozhodovac´ıch pravidel (Rto )t∈t∗ . Principem dynamick´eho programov´an´ı [1] je rozdˇelen´ı celkov´eho optimalizaˇcn´ıho probl´emu na v´ıce jednoduˇsˇs´ıch probl´em˚ u se stejnou strukturou, napˇr´ıklad ˇreˇsen´ı optimalizaˇcn´ı u ´lohy opakovan´ ym hled´an´ım optim´aln´ıho rozhodovac´ıho pravidla. Vˇ eta 1 Optim´aln´ı rozhodovac´ı pravidlo Rto , pracuj´ıc´ı se znalost´ı Pt v ˇcase t a minimalizuj´ıc´ı danou oˇcek´ avanou ztr´atou funkci E[Zt (Q)], m˚ uˇze b´yt zkonstruov´ano n´asledovnˇe: Ke kaˇzd´emu Pt ∈ Pt∗ pˇriˇrad´ıme argument minima min E[Zt (Q) | Pt , ut ]

(3.10)

ut ∈u∗t

Dosaˇzen´e minimum m´a hodnotu: (

min

Rt :Pt∗ →u∗t

E[Zt (Q)] = E min∗ E[Zt (Q) | Pt , ut ] ut ∈ut

) (3.11)

D˚ ukaz lze nal´ezt v [7]. Tato z´akladn´ı optimalizaˇcn´ı vˇeta prakticky pˇrev´ad´ı minimalizaci pˇres jednotliv´e obchodovac´ı ˇcasy na jednoduchou minimalizaci (3.11). N´asleduj´ıc´ı vˇeta n´am uk´aˇze, jak´ ym zp˚ usobem lze dynamicky navrhovat optim´aln´ı strategii. Vˇ eta 2 (Stochastick´ e dynamick´ e programov´ an´ı) Optim´ aln´ı strategie (Rto : Pt∗ → u∗t )t∈t∗ , t∗ = {0, .., T } pracuj´ıc´ı s nezmenˇsuj´ıc´ı se znalost´ı (Pt )t∈t∗ a minimalizuj´ıc´ı oˇcek´ avanou ztr´atu E[Zt (Q)] m˚ uˇze b´yt zkonstruov´ana n´ asledovnˇe rekurzivnˇe proti smˇeru n´ar˚ ustu znalosti: V kaˇzd´em ˇcase t ∈ t∗ vybereme minimalizuj´ıc´ı argument uot (Pt ) v rovnici: V(Pt ) = min∗ E[V(Pt+1 ) | ut , Pt ], ∀t ∈ t∗ ut ∈ut

(3.12)

Rekurzivn´ı vzorec m´a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku: V(PT ) = E[Z(Q) | PT +1 ]

(3.13)

Pˇriˇcemˇz dosaˇzen´e minimum m´a hodnotu: V(P0 ) =

min

{Rt :Pt∗ →u∗t }t≤T

12

E[Z(Q)]

(3.14)

D˚ ukaz lze nal´ezt v [7]. Bellmanova funkce V(·) (3.12), pojmenovan´a po Richardu Bellmanovi, popisuje nejmenˇs´ı oˇcek´avanou ztr´atu vzniklou posloupnost´ı optim´aln´ıch akc´ı na intervalu [t + 1, T ]. Optim´aln´ı strategii tedy podle tˇechto vˇet lze z´ıskat rekurz´ı s poˇc´atkem v okamˇziku ukonˇcen´ı obchodov´an´ı. Pozn´ amka 4 Obecnˇe Bellmanova funkce z´avis´ı na ˇcase. Tato vˇeta popisuje optimalizaci pro stacion´arn´ı verzi Bellmanovy funkce V(·), kdy V(·) na ˇcase t nez´avis´ı, coˇz plat´ı pro naˇsi u ´lohu, viz [15]. Vzhledem k aditivitˇe ztr´atov´e funkce (3.7),(3.9) m˚ uˇzeme Bellmanovu rovnici upravit na tvar minimalizace stˇredn´ı hodnoty souˇctu parci´aln´ıch ztr´at: ( ) (∑ ) E Z(Q) = E zt,t+1 (3.15) t∈t∗

uot = arg min∗ E[zt,t+1 + V(Pt+1 ) | ut , Pt ] ut ∈ut

(3.16)

Pro (3.15) vypad´a analogie k rovnici (3.12) n´asledovnˇe: V(Pt ) = min∗ E[zt,t+1 + V(Pt+1 ) | ut , Pt ] ut ∈ut

(3.17)

S poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou: V(PT ) = 0

(3.18)

Vˇ eta 3 (Bang bang) Necht’ {uot }t∈t∗ je posloupnost optim´aln´ıch akc´ı maximalizuj´ıc´ı zisk, potom pokud je uol nenulov´e pro nˇejak´e l ∈ t∗ , pak posloupnost {yt }t∈t∗ nab´yv´a v l lok´aln´ı extr´em. Maxim´aln´ı zisk E(G1 ) (3.7) u ´lohy s omezen´ym kapit´alem vznik´a, pokud hodnoty nenulov´ych akc´ıch nab´yvaj´ı stˇr´ıdavˇe hranic {x, x}. Tato zˇrejm´a a praktick´a vˇeta z [4] zuˇzuje moˇznosti ut ∈ u∗t , ze kter´ ych m´ame na v´ ybˇer. Ze zad´an´ı u ´lohy tedy plyne, ˇze za u ´ˇcelem maximalizace zisku m´ame v kaˇzd´em ˇcase t pomoc´ı rozhodovac´ıho pravidla vybrat jednu ze dvou moˇznost´ı uot tak, ˇze uot + xot−1 = xot ∈ {x, x}, t ∈ {t∗ } \ {T }

(3.19)

uot + xot−1 = xot = 0, t = T

(3.20)

a

13

Vlastnˇe jsme pˇrevedli pˇredchoz´ı rozhodov´an´ı jak obchodovat“ na ot´azku ” jestli obchodovat“ a rozdˇelili jsme obchodovac´ı okamˇziky na ˇcasy nulov´ ych a ” nenulov´ ych akc´ı. Se vzd´alenostmi okamˇzik˚ u nenulov´ ych akc´ı se d´ale pracuje v [4].

14

Kapitola 4 Bayesovsk´ a statistika a model v´ yvoje cen Pro ˇreˇsen´ı Bellmanovy rovnice pro aditivn´ı ztr´atovou funkci (3.17) zˇrejmˇe budeme potˇrebovat prediktivn´ı hustotu pravdˇepodobnosti: {f (yt+1 | Pt , ut )}t∈t∗

(4.1)

Tento model ale nen´ı moˇzn´e zvolit pˇr´ımo. Proto vol´ıme parametrickou tˇr´ıdu model˚ u: {f (yt+1 | Pt , ut , Θ)}t∈t∗

(4.2)

a pouˇzijeme bayesovskou statistiku na z´ısk´an´ı prediktivn´ı hustoty (4.1). Protoˇze budeme pouˇz´ıvat bayes˚ uv vzorec, pˇredpokl´ad´ame, ˇze vˇsechny uvaˇzovan´e veliˇciny maj´ı absolutnˇe spojit´e rozdˇelen´ı.

4.1

Bayesovsk´ a pˇ redpovˇ ed’ a odhad parametr˚ u

Tvorbu prediktivn´ı hustoty na z´akladˇe tˇr´ıdy parametrick´ ych model˚ u ˇreˇs´ı bayesovsk´a statistika za n´asleduj´ıc´ıch podm´ınek: • Z´avislost inovace yt+1 na Pt a ut lze vyj´adˇrit pomoc´ı parametrick´eho modelu {f (yt+1 | Pt , ut , Θ)}t∈t∗ (4.3) Toto vyj´adˇren´ı se vol´ı se pˇred samotn´ ym zpracov´an´ım dat. 15

• Nezn´am´e parametry Θ ∈ Θ∗ jsou pops´any apriorn´ı hustotou pravdˇepodobnosti f (Θ) = f (Θ | P1 ) (4.4) D´ale pˇrid´ame pˇredpoklad bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ y v bayesovsk´em odhadov´an´ı: • Podm´ınˇen´a hustota Θ nez´avis´ı na rozhodnut´ı ut , pokud zn´ame pouze Pt , tj. nezn´ame yt+1 f (Θ | Pt , ut ) = f (Θ | Pt )

(4.5)

Poˇzadavek (4.5) se naz´ yv´a pˇrirozen´a podm´ınka ˇr´ızen´ı [8] a dle Bayesovy vˇety je ekvivalentn´ı s rovnic´ı: f (ut | Θ, Pt ) = f (ut | Pt )

(4.6)

V okamˇziku rozˇs´ıˇren´ı znalosti doch´az´ı k zahrnut´ı nov´e informace. Je tˇreba naj´ıt zp˚ usob, jak n´am nov´a data o syst´emu zmˇen´ı n´ahled na parametry Θ. Pouˇzit´ım Bayesova vzorce a pˇredchoz´ıch pˇredpoklad˚ u z´ısk´ame n´asleduj´ıc´ı rovnice: ∫ f (yt+1 | Pt , ut ) = f (yt+1 | Pt , ut , Θ)f (Θ | Pt )dΘ, (4.7) Θ∗

kde f (Θ | Pt+1 ) =

f (yt+1 | Pt , ut , Θ)f (Θ | Pt ) f (yt+1 | Pt , ut , Θ)f (Θ | Pt ) = ∫ f (yt+1 | Pt , ut ) f (yt+1 | Pt , ut , Θ)f (Θ | Pt )dΘ Θ∗

(4.8) Rovnice (4.8) popisuje, jak prob´ıh´a v´ yvoj parametr˚ u pˇri rozˇs´ıˇren´ı znalosti. Pokud pouˇzijeme rekurzivn´ı vyj´adˇren´ı t−kr´at, ˇretˇezov´ ym pravidlem z´ısk´ame: f (Θ | Pt+1 ) = ∫ Θ∗

Πtτ =1 f (yτ +1 | Pτ , uτ , Θ)f (Θ) Πtτ =1 f (yτ +1 | Pτ , uτ , Θ)f (Θ)dΘ

(4.9)

Apriorn´ı hustota f (Θ) = f (Θ | P1 ) se vˇetˇsinou vol´ı tak, aby celkov´e vyj´adˇren´ı mˇelo pokud moˇzno jednoduch´ y tvar a aby se s t´ımto rozdˇelen´ım snadno poˇc´ıtalo. Pro lepˇs´ı pˇrehlednost oznaˇc´ıme Lt (Pt+1 , Θ) = Πtτ =1 f (yτ +1 | Pτ , uτ , Θ) 16

(4.10)

L(·) se naz´ yv´a vˇerohodnostn´ı funkce (likehood function). Potom f (Θ | Pt+1 ) = ∫ Θ∗

Lt (Pt+1 , Θ)f (Θ) t Πτ =1 Lt (Pt+1 , Θ)f (Θ)dΘ

(4.11)

N´aslednˇe po dosazen´ı do (4.7) a vytknut´ı jmenovatele pˇred integr´al vyjde: ∫ f (yt+1 | Pt , ut , Θ)Lt−1 (Pt , Θ)f (Θ)dΘ Θ∗ ∫ f (yt+1 | Pt , ut ) = (4.12) Lt−1 (Pt , Θ)f (Θ)dΘ Θ∗

T´ım dost´av´ame vyj´adˇren´ı podm´ınˇen´eho rozdˇelen´ı inovace pouze pomoc´ı parametrick´eho modelu, apriorn´ıho rozdˇelen´ı parametru Θ a pozorovan´ ych dat. Obˇe rozdˇelen´ı jiˇz z´avis´ı na naˇs´ı volbˇe.

4.2

Norm´ aln´ı autoregresn´ı model

Volba parametrick´eho modelu cenov´eho v´ yvoje je sloˇzit´ yu ´kol nemaj´ıc´ı jed’ noznaˇcn´e ˇreˇsen´ı, nebot ˇcasto neexistuje racion´aln´ı zd˚ uvodnˇen´ı, proˇc by se mˇel syst´em chovat pr´avˇe takto. V modelov´an´ı ˇcasov´ ych ˇrad se ve financ´ıch pouˇz´ıvaj´ı r˚ uzn´e modely v´ yvoje cen nebo napˇr´ıklad u ´rokov´ ych mˇer. Zm´ınit m˚ uˇzeme zobecnˇen´ y Brown˚ uv pohyb a jeho obecnˇejˇs´ı verzi - Ito˚ uv proces [3]. My pouˇzijeme norm´aln´ı autoregresn´ı model, u kter´eho m˚ uˇzeme pomˇernˇe snadno odhadovat nezn´am´e parametry a z´aroveˇ n m˚ uˇzeme pˇredpokl´adat, ˇze tento model pˇredpov´ıd´a i okamˇziky, kdy doch´az´ı ke zmˇenˇe orientace v´ yvoje ˇcasov´e ˇrady ( oh´ yb´an´ı“). ” Norm´aln´ı autoregresn´ı model pracuje s anal´ yzou ˇcasov´ ych ˇrad s tˇemito pˇredpoklady: • cenov´ y v´ yvoj v ˇcase t je modelov´an na z´akladˇe minul´ ych dat (y1 , .., yt−1 ). To znamen´a, ˇze ani naˇse akce nemaj´ı vliv na chov´an´ı trhu. Tento model uvaˇzuje tedy sp´ıˇse menˇs´ı“ obchodn´ıky. ” • vliv nejnovˇejˇs´ıch dat (yt−m , .., yt−1 ) na cenov´ y v´ yvoj yt dominuje, m ∈ N je d´elka dat ovlivˇ nuj´ıc´ıch yt - ˇr´ad modelu, • podm´ınˇen´a stˇredn´ı hodnota E[yt | yt−m , .., yt−1 ] z´avis´ı line´arnˇe na vektoru φt = (yt−m , .., yt−1 ): yt = ϕφTt + et 17

(4.13)

kde ϕ = (ϕ1 , .., ϕm )

(4.14)

jsou koeficienty autoregresn´ıho modelu a et ∼ N (0, δ 2 ), t ∈ t∗

(4.15)

je posloupnost nez´avisl´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin s norm´aln´ım rozdˇelen´ım s nulovou stˇredn´ı hodnotou a rozptylem δ 2 . Parametry autoregresn´ıho modelu znaˇc´ıme: Θ = (ϕ, δ 2 ) = (ϕ1 , .., ϕm , δ 2 )

(4.16)

• yt m´a podm´ınˇen´e norm´aln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou ϕφTt a rozptylem δ 2 f (yt | yt−m , .., yt−1 , Θ) = √

1 −(yt − ϕφTt )2 exp{ } 2δ 2 2πδ

(4.17)

Pozn´ amka 5 D´ale pˇripomeneme pˇredpoklad, ˇze parametry (ϕ1 , .., ϕm )T a δ 2 se s ˇcasem nemˇen´ı nebo se mˇen´ı velmi pomalu. Pozn´ amka 6 Pˇri pˇredpov´ıd´ an´ı ceny kontraktu s danou dobou splatnosti se pˇredpoklad normality predikce ˇcasto aplikuje na transformovanou posloupnost yt /yt−1 . Zd˚ uvodnˇen´ı pro tuto volbu je n´asledovn´e: Pokud vstupujeme do dlouh´e pozice, ˇc´astka, kterou jsme ochotni pˇrisl´ıbit za dod´an´ı podkladov´eho aktiva, by mˇela b´yt souˇcasnou hodnotou ceny podkladov´eho aktiva St diskontovanou oˇcek´ avan´ym v´ynosem r. Pˇri spojit´emu diskontov´an´ı z´ısk´ame: yt = St e−r(T −t) (4.18) kde T je doba splatnosti. yt tedy pˇri st´al´e cenˇe podkladov´eho aktiva s ˇcasem roste. Zmˇeny v cenˇe podkladov´eho aktiva nep˚ usob´ı pˇr´ımo na yt jako sp´ıˇse na pomˇer yt+1 /yt , jenˇz je jinak konstantn´ı pro kaˇzd´e t ≤ T . Pˇri t´eto transformaci se pak napˇr´ıklad v pˇr´ıpadˇe zobecnˇen´eho Brownova pohybu u oceˇ nov´an´ı deriv´at˚ u pˇrech´ az´ı od norm´aln´ıho k logaritmicko-norm´ aln´ımu rozdˇelen´ı v predikci v´yvoje cen ([3]). U norm´aln´ıho autoregresn´ıho modelu tento efekt nen´ı stejn´y, napˇr´ıklad kv˚ uli tomu, ˇze autoregresn´ı model ˇr´ adu vˇetˇs´ıho jak jedna na rozd´ıl od pˇredchoz´ıch model˚ u vykazuje oh´yb´ an´ı.

18

4.3

Bayesovsk´ e odhadov´ an´ı autoregresn´ıho modelu

Mnoˇzina parametrizuj´ıc´ıch veliˇcin Θ = (ϕ1 , .., ϕm , δ 2 ) popisuje model n´asledovnˇe: f (yt+1 | Pt , ut , Θ) = √

−(yt+1 − ϕφTτ+1 )2 1 exp{ } 2δ 2 2πδ

(4.19)

Pˇr´ısluˇsn´a podm´ınˇen´a vˇerohodnostn´ı funkce (4.10) m´a tvar: Lt (Pt+1 , Θ) = (2π)−

t−1 2

δ −(t−1) exp{

t 1 ∑ (yτ +1 − ϕφTτ+1 )2 } 2δ 2 τ =1

(4.20)

Pˇreps´an´ım v´ yrazu v exponentu do maticov´eho souˇcinu a algebraick´ ymi u ´pravami (kompletn´ı odvozen´ı najdeme v [8]) se dostaneme aˇz k GaussWisshartovˇe pravdˇepodobnostn´ı hustotˇe: f (Θ | Pt+1 ) = αt+1 δ −νt+1 exp{−

1 (−1, ϕ)Vt+1 (−1, ϕ)T } 2δ 2

(4.21)

kde αt+1 je normalizaˇcn´ı konstanta zajiˇst’uj´ıc´ı jednotkov´ y integr´al. D´ale νt+1 = νt + 1

(4.22)

Vt+1 = Vt + dt+1 dTt+1

(4.23)

dt+1 = (yt+1 , φt+1 )

(4.24)

Apriorn´ı hustota f (Θ | Pm ) pro model ˇr´adu m pak obsahuje zvolen´e konstanty: Vm = V (4.25) νm = ν

19

(4.26)

Kapitola 5 Aproximace optim´ aln´ıho ˇ reˇ sen´ı Nalezen´ı optim´aln´ıho ˇreˇsen´ı je spojeno s nalezen´ım Bellmanovy funkce. Cel´ y tento probl´em nen´ı jen ot´azkou predikc´ı cenov´eho v´ yvoje aˇz do ˇcasu konce obchodov´an´ı T , ale hlavnˇe urˇcen´ı stˇredn´ı hodnoty funkce, jej´ıˇz tvar je n´am nezn´am´ y. Analytick´e ˇci numerick´e nalezen´ı ˇreˇsen´ı optimalizaˇcn´ı rovnice je prakticky nemoˇzn´e. Nezb´ yv´a neˇz ustoupit od hled´an´ı optim´aln´ıho ˇreˇsen´ı a snaˇzit se k optim´aln´ımu ˇreˇsen´ı pˇribl´ıˇzit.

´ Uprava Bellmanovy rovnice

5.1

Bellmanovu rovnici (3.15) pro aditivn´ı ztr´atovou funkci (3.9) uprav´ıme na tvar: V(Pt ) =

min

ut ∈u∗t ,..,ut+p ∈u∗t+p

E[Zt,t+p + V(Pt+p ) | ut , .., ut+p , Pt ],

(5.1)

kde p ∈ N pro n´as bude pˇredstavovat d´elku pˇredpovˇedi cenov´eho v´ yvoje. ´ Ustupek optimalitˇe (5.1) by se dal popsat takto: je moˇzn´e, ˇze budeme ” v´ıce maximalizovat zisk ted’ na u ´kor budoucnosti“. Tato u ´prava n´am d´ıky aditivitˇe stˇredn´ı hodnoty umoˇzn´ı n´asleduj´ıc´ı z´apis: V(Pt ) =

min

ut ∈u∗t ,..,ut+p ∈u∗t+p

(E[Zt,t+p | ut , .., ut+p , Pt ]+E[V(Pt+p ) | ut , .., ut+p , Pt ]) (5.2) 20

Prvn´ı z minimalizovan´ ych stˇredn´ıch hodnot m˚ uˇzeme d´ale podle (3.15) rozepsat: ∑

k+p−1

E[Zt,t+p | ut , .., ut+p , Pt ] = E[−(

gt,t+1 − c|ut+p |) | ut , .., ut+p , Pt ] =

t=k

(5.3) ∑

k+p−1

= E[−

[xt (yt+1 − yt ) − c|ut |] + c|ut+p | | ut , .., ut+p , Pt ]

(5.4)

t=k

∑ Jelikoˇz xt = tτ =1 uτ a vˇsechna uτ aˇz do τ = t+p se nach´azej´ı v podm´ınce stˇredn´ı hodnoty, m˚ uˇzeme d´ale upravit: ∑

k+p−1

=−

[xt (E(yt+1 ) − E(yt )) − c|ut |] + c|ut+p | | ut , .., ut+p , Pt ]

(5.5)

t=k

Urˇc´ıme tedy rozhodovac´ı pravidlo na z´akladˇe vektoru (E(yt+1 ), .., E(yt+p )). Na tˇechto hodnot´ach budeme minimalizovat Zt,t+p , pˇres vˇsechna pˇr´ıpustn´a rozhodnut´ı (ut , .., ut+p ).

5.2

Optim´ aln´ı zisk a zisk aproximovan´ eho optim´ aln´ıho ˇ reˇ sen´ı

Pˇri hled´an´ı rozd´ılu zisk˚ u aproximovan´eho a optim´aln´ıho postupu budeme k probl´emu pˇristupovat, jako bychom v ˇcase t + p mˇeli ukonˇcit obchodov´an´ı. Tento pˇredpoklad pouˇzijeme pouze v t´eto ˇc´asti, nebot’ d´ıky nˇemu dok´aˇzeme (rekurzivnˇe) spoˇc´ıtat zisk za toto obdob´ı. Pokud tedy oznaˇc´ıme xo,t+p = xom m

(5.6)

xo,t+p =0 m

(5.7)

pro m ̸= t + p, m ∈ {t, .., T },

pro m = t + p, 21

pak se optim´aln´ı zisk od ˇcasu t a celkov´ y zisk pˇres akce xo,t+p , m m ∈ {t, .., T } liˇs´ı n´asledovnˇe: o,t+p o Got − Go,t+p = gto + gt+1 − gto,t+p − gt+1 = t

(5.8)

= xot+p (yt+p+1 −yt+p )−c|xot+p −xot+p−1 |−c|xot+p+1 −xot+p |+c|xot+p−1 |+c|xot+p+1 | (5.9) V pr´aci ([4], kap. 4.4) nalezneme doporuˇcen´ı, jak volit d´elku okna, aby byl tento rozd´ıl co nejmenˇs´ı. Je napˇr´ıklad zˇrejm´e, ˇze pokud hodnoty yt+p a yt+p+1 nebudou lok´aln´ımi extr´emy posloupnosti {yk , k ∈ t∗ }, pak tedy ˇcasy t + p a t + p + 1 nebudou obchodovac´ımi okamˇziky a rozd´ıl optim´aln´ıho a aproximovan´eho zisku (5.9) se zjednoduˇs´ı. V naˇsem pˇr´ıpadˇe bychom sice mohli pracovat s odhady stˇredn´ıch hodnot tˇechto cen, ale vzhledem k nepˇr´ıliˇs kvalitn´ım odhad˚ um cenov´eho v´ yvoje zvol´ıme pˇredem pevnˇe d´elku okna p a na n´ı budeme minimalizovat souˇcet parci´aln´ıch ztr´at.

5.3

Rozdˇ elen´ı ztr´ atov´ e funkce pˇ ri zn´ am´ ych akc´ıch a parametrech

Pˇredpokl´adejme, ˇze jsme v ˇcase t ∈ t∗ na z´akladˇe znalosti Pt bodovˇe odhadli parametry Θ = (ϕ1 , .., ϕm , δ 2 ). Z (4.17) a nez´avislosti et plyne: yt+1 = (ϕ1 , .., ϕm )T (yt−m+1 , .., yt ) + et+1 = yˆt+1 + et+1 ∼ N (ˆ yt+1 , δ 2 ) (5.10) yt+2 = (ϕ1 , .., ϕm )T (yt−m+2 , .., yt+1 ) + et+2 =

(5.11)

= (ϕ1 , .., ϕm−1 )T (yt−m+2 , .., yt ) + ϕm yt+1 + et+2 ∼ N (ˆ yt+2 , δ 2 (1 + ϕ2m )) (5.12) kde yˆt+2 = (ϕ1 , .., ϕm )T (yt−m+2 , .., yˆt+1 )

(5.13)

Opakov´an´ım postupu budeme z´ısk´avat line´arn´ı kombinace nez´avisl´ ych norm´alnˇe rozdˇelen´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin. V´ ysledkem tedy bude norm´aln´ı rozdˇelen´ı se zvˇetˇsuj´ıc´ım se rozptylem s rostouc´ı neurˇcitost´ı. D´ale pˇredpokl´adejme, ˇze se n´am z upraven´e Bellmanovy rovnice (5.1) podaˇrilo z´ıskat odhad optim´aln´ıch akc´ı (ut , .., ut+p ) a z nich plynouc´ı doporuˇcen´e stavy (xt , .., xt+p ). Tento vektor je tedy vektorem konstant. Tvar souˇctu parci´aln´ıch ztr´at na tomto oknˇe

22

∑

t+p−1

Zt,t+p = −(

gk,k+1 − c|uk+p |) = −

∑t+p−1 k=t

[xk (yk+1 − yk ) − c|xk − xk−1 |] +

k=t

+c|xk+p − xk+p−1 |

(5.14)

bude m´ıt vzhledem k nez´avislosti pˇredpovˇed´ı (ˆ yt+1 , .., yˆt+h ) opˇet norm´aln´ı tvar. T´ımto postupem m˚ uˇzeme analyticky z´ıskat r˚ uzn´e statistiky funkce Zt,t+p pro zvolenou mnoˇzinu rozhodnut´ı (ut , .., ut+p ). Hodnoty tˇechto statistik se pokus´ıme zahrnout do zohlednˇen´ı rizika investice.

23

Kapitola 6 Riziko a neurˇ citost Dosud jedin´a m´ıra opatrnosti“ byla obsaˇzena ve volbˇe hranic (x, x). V t´eto ” ˇc´asti se pokus´ıme upravit rozhodovac´ı pravidlo tak, aby se tyto hranice s ˇcasem mˇenily podle aktu´aln´ı rizikovosti investice. Teoreticky by aplikace tohoto pravidla mohla zisk sn´ıˇzit, ale z´aroveˇ n by mˇela zabr´anit velk´ ym ztr´at´am. Toto opatˇren´ı by mˇelo zohlednit existenci nepozorovan´ ych a tˇeˇzko pˇredpov´ıdateln´ ych faktor˚ u, kter´e nejsou implementovateln´e do algoritmu a kter´e ovlivˇ nuj´ı syst´em. V pˇr´ıpadˇe vˇetˇs´ıho vlivu tˇechto faktor˚ u je vhodn´e st´ahnout“ hranice (x, x) bl´ıˇze k nule. ” Pro hodnocen´ı spolehlivosti odhadnut´e optim´aln´ı akce a urˇcen´ı aktu´aln´ı rizikovosti investice m˚ uˇzeme pouˇz´ıt nˇekolik krit´eri´ı. V algoritmu pracujeme s rozptylem ztr´atov´e funkce a hodnotami VaR (Value at Risk)[13] a CVaR (Conditional Value at Risk, nˇekdy t´eˇz naz´ yv´an Mean Excess Loss, nebo Tail VaR)[13] a nakonec pouˇzijeme anticipativn´ı porovn´an´ı u ´spˇeˇsnosti rozhodovac´ıho pravidla s maxim´aln´ım moˇzn´ ym ziskem za posledn´ıch nˇekolik obchodovac´ıch okamˇzik˚ u.

6.1

Rozptyl ztr´ atov´ e funkce

Rozptyl ztr´atov´e funkce je ovlivnˇen rozptylem cenov´eho v´ yvoje. Pokud si povedeme statistiku pˇredchoz´ıch rozptyl˚ u ztr´atov´e funkce a tato data budeme porovn´avat s rozptylem ztr´atov´e funkce v aktu´aln´ım ˇcase, z´ısk´ame pˇredstavu o moment´aln´ı rizikovosti investice. Stejnˇe budeme postupovat i u zbyl´ ych dvou statistik.

24

6.2

VaR a CVaR

Hodnota VaR n´am odpov´ıd´a na ot´azku: jak´a je maxim´aln´ı ztr´ata na dan´e pravdˇepodobnostn´ı hladinˇe? U rozdˇelen´ı odhadnut´e ztr´atov´e funkce tedy budeme hledat (100−α)%n´ı v´ ybˇerov´ y kvantil, kde α je n´ami zvolen´a hladina. CVaR ud´av´a hodnotu pr˚ umˇern´e ztr´aty pro dan´e procento nejhorˇs´ıch pˇr´ıpad˚ u. Hodnota CVaR ztr´atov´e funkce tedy bude na stejn´e hladinˇe vyˇsˇs´ı neˇz VaR. CVaR mˇel by l´epe ohodnotit riziko u n´ahodn´ ych veliˇcin, kter´e mohou s malou pravdˇepodobnost´ı nab´ yvat v´ yraznˇe vych´ ylen´ ych hodnot ( heavy” tailed distributions“). Pozn´ amka 7 Abychom zajistili, ˇze hodnoty rozptylu, VaR a CVaR jsou aktu´aln´ı, tzn. z´avis´ı na kol´ısavosti ned´ avn´eho cenov´eho v´yvoje, m˚ uˇzeme zanedbat pˇri odhadech parametr˚ u starˇs´ı data (metoda zapom´ın´ an´ı), popˇr´ıpadˇe pouˇz´ıt v´ ahov´e vektory, kter´e daj´ı vˇetˇs´ı d˚ uraz na data novˇejˇs´ı.

6.3

Porovn´ avac´ı funkce

Po v´ ypoˇctu aktu´aln´ıho rozptylu, VaRu nebo CVaRu ztr´atov´e funkce je tˇreba tuto hodnotu nˇejak´ ym zp˚ usobem porovnat s pˇredchoz´ımi v´ ysledky. Hled´ame porovn´avac´ı funkci, od kter´e vyˇzadujeme, aby menˇs´ım hodnot´am ztr´aty pˇriˇrazovala lepˇs´ı ohodnocen´ı a naopak. Jde tedy o nerostouc´ı funkci, kter´a bude nab´ yvat hodnot v intervalu (0,1), abychom jej´ı hodnotou mohli vyn´asobit stav, kter´ y jsme z´ıskali minimalizac´ı ztr´atov´e funkce. Od t´eto funkce z´aroveˇ n vyˇzadujeme, aby jej´ı hodnoty s ˇcasem pˇr´ıliˇs nekol´ısaly (n´ızk´a volatilita), nebot’ pˇr´ıliˇs ˇcast´a zmˇena stavu ut zvyˇsuje transakˇcn´ı n´aklady, a tedy sniˇzuje zisk. Nejdˇr´ıve byla jako porovn´avac´ı funkce testov´ana upraven´a distribuˇcn´ı funkce norm´aln´ıho rozdˇelen´ı: ∫x 1 −(u − η)2 √ Q1 (x) = 1 − F (x) = 1 − exp{ }du (6.1) 2Ω2 2πΩ −∞

kde η je pr˚ umˇer pˇredchoz´ıch statistik a Ω jejich v´ ybˇerov´ y rozptyl. Na obr´azku 6.1 vid´ıme pˇr´ıklad takov´e funkce pro hodnoty VaR se stˇredn´ı hodnotou 1.37 · 106 . Bohuˇzel tato funkce vzhledem k velk´emu rozptylu napozorovan´ ych hodnot neposkytovala potˇrebnou informaci o riziku (viz Kapitola 8) a po urˇcit´em mnoˇzstv´ı obchodovac´ıch dn˚ u uˇz nab´ yvala pouze jedn´e 1 hodnoty a to 2 . 25

por_funkce 1

0.5

VaR

1.37745 ´ 106

Obr´azek 6.1: Porovn´avac´ı funkce odvozen´a od norm´aln´ı distribuˇcn´ı funkce por_funkce 1

0.5

VaR

1.37745 ´ 106

Obr´azek 6.2: Porovn´avac´ı funkce odvozen´a od empirick´e distribuˇcn´ı funkce Druh´a testovan´a porovn´avac´ı funkce je zaloˇzena na empirick´e distribuˇcn´ı funkci [16] z´ıskan´e z pˇredchoz´ıch hodnot rizikov´ ych ukazatel˚ u. Pokud tuto empirickou distribuˇcn´ı funkci oznaˇc´ıme F e (x), v´ yslednou porovn´avac´ı funkci Q2 (x) z´ısk´ame opˇet pˇredpisem: Q2 (x) = 1 − F e (x)

(6.2)

Tato funkce s ˇcasem nab´ yvala v´ıce hodnot neˇz Q1 (x), vˇcetnˇe {0, 1}. 26

Pozn´ amka 8 Za zamyˇslen´ı stoj´ı i moˇznost nen´asobit rizikov´ym ukazatelem optim´aln´ı stav, ale doporuˇcenou optim´aln´ı akci. Tento pˇr´ıstup by se dal popsat jako pokud je vˇetˇs´ı riziko ztr´aty, naˇse akce na trhu budou menˇs´ı“. ” V tomto pˇr´ıpadˇe by jiˇz ale neplatil pˇredpoklad ze zaˇc´ atku t´eto kapitoly, ˇze se pˇri vˇetˇs´ım riziku zmenˇs´ı interval (x, x).

6.4

M´ıra rizika zaloˇ zen´ a na aktu´ aln´ı u ´ spˇ eˇ snosti algoritmu

Hlavn´ım mˇeˇr´ıtkem u ´spˇeˇsnosti obchodov´an´ı je celkov´ y zisk. Pokud ji hodnot´ıme zpˇetnˇe, prvn´ı informace, kter´a n´as zaj´ım´a, je, zda byl n´aˇs zisk kladn´ y (popˇr. jestli v´ ynos pˇrekroˇcil bezrizikovou u ´rokovou m´ıru). D´ale zkoum´ame, jak´eho zisku jsme mohli dos´ahnout a jak jsme se k t´eto optim´aln´ı hodnotˇe pˇribl´ıˇzili. To se naz´ yv´a anticipativn´ı pˇr´ıstup - zn´ame cenov´ y v´ yvoj a hled´ame optim´aln´ı akce. Pokud povaˇzujeme obchodov´an´ı za ukonˇcen´e, d´a se optim´aln´ı ˇreˇsen´ı naj´ıt jednoduˇse pomoc´ı line´arn´ıho programov´an´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze st´ale obchodujeme, nelze hodnotu optim´aln´ıho zisku urˇcit zcela pˇresnˇe, nebot’ na nˇej m´a vliv i budouc´ı cenov´ y v´ yvoj. M˚ uˇzeme ale spoˇc´ıtat parci´aln´ı zisk za dan´e obdob´ı. Pomˇer naˇseho zisku Gt−o,t na oknˇe (yt−o , .., yt ) d´elky (o + 1), o ∈ N a pˇr´ısluˇsn´eho optim´aln´ıho zisku Got−o,t oznaˇc´ıme qt−o,t = Gt−o,t /Got−o,t

(6.3)

Tato hodnota je pro n´as informac´ı, jak se n´am moment´alnˇe daˇr´ı a jak moc m˚ uˇzeme vˇeˇrit naˇsemu algoritmu, a tedy kolik m˚ uˇzeme investovat. Nejjednoduˇseji lze pomˇeru qt−o,t uˇz´ıt tak, ˇze akci ut z´ısk´ame vyn´asoben´ım qt−o,t a pˇr´ısluˇsnou horn´ı nebo doln´ı hranic´ı x, x pro qt−o,t kladn´e a stanoven´ım ut = 0 pro qt−o,t ≤ 0. Jenomˇze pokud bychom se pˇri z´aporn´em Gt−o,t rozhodli neobchodovat, nemuseli bychom uˇz nikdy vyk´azat kladn´e Gt−o,t a veˇsker´e akce by uˇz byly nulov´e. Z´aroveˇ n by tento postup naznaˇcoval, ˇze pokud zvol´ıme nulovou akci, nic t´ım nezkaz´ıme, coˇz nen´ı pravda. D´ale je tˇreba zm´ınit, ˇze jelikoˇz s velkou pravdˇepodobnost´ı budeme st´ale dosahovat pouze zlomku optim´aln´ıho zisku, pˇribliˇzovaly by se akce ut s ˇcasem opˇet k nule. Zde uv´ad´ım sv˚ uj postup, jak by mohlo rozhodovac´ı pravidlo na principu aktu´aln´ı u ´spˇeˇsnosti pracovat:

27

• Zvol´ıme velikost okna o + 1 a hodnotu koeficientu κ urˇcuj´ıc´ı minim´aln´ı velikost nenulov´e akce. Ten pouˇzijeme, pokud Gt−o,t je z´aporn´ y nebo pokud pomˇer qt−o,t (6.3) nepˇres´ahne pr´avˇe hodnotu κ. T´ım zajist´ıme, ˇze naˇse budouc´ı akce nez˚ ustanou natrvalo nulov´e. • Vedeme si statistiku pˇredchoz´ıch modifikovan´ ych hranic z´ıskan´ ych naˇs´ım mod mod mod mod postupem ((x0 , x0 ), .., (xt , xt )). • Spoˇc´ıt´ame pr˚ umˇernou spodn´ı a horn´ı modifikovanou hranici na oknˇe d´elky o. • Pomoc´ı line´arn´ıho programov´an´ı spoˇc´ıt´ame optim´aln´ı zisk na tˇechto pr˚ umˇern´ ych hranic´ıch. • Vypoˇcteme pomˇer naˇseho zisku a optim´aln´ıho zisku na pr˚ umˇern´ ych mod hranic´ıch qt−o,t (6.3). • V´ yslednou akci, ve kter´e bude zohlednˇeno riziko, z´ısk´ame vyn´asoben´ım akce, kterou jsme z´ıskali minimalizac´ı ztr´atov´e funkce za podm´ınky mod xt ∈ (x, x), a hodnoty max(qt−o,t , κ).

28

Kapitola 7 Popis algoritm˚ u Pouˇzit´e algoritmy se skl´adaj´ı ze ˇctyˇr krok˚ u: • estimace - odhad parametr˚ u Θ, • predikce budouc´ıho cenov´eho v´ yvoje, • optimalizace - hled´an´ı optim´aln´ıch akc´ı, • v´ ypoˇcet rizikov´eho ukazatele.

7.1

Pˇ r´ım´ y pˇ r´ıstup pomoc´ı bodov´ ych odhad˚ u

• V prvn´ı metodˇe parametry Θ = (ϕ1 , .., ϕm , δ 2 ) odhadneme bodovˇe. Matlab nab´ız´ı zabudovan´e funkce, kter´e parametry autoregresn´ıho modelu odhaduj´ı pomoc´ı metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u (Burgova metoda) [6] a d´ale kovarianˇcn´ı nebo Yule-Walkerovou metodou. ych odhad˚ u podle pˇredpisu (5.11) urˇc´ıme • Na z´akladˇe tˇechto bodov´ bodov´e pˇredpovˇedi (ˆ yt+1 , .., yˆt+p ). • Z (3.19) vypl´ yv´a, ˇze pˇri hled´an´ı nejlepˇs´ıch moˇzn´ ych akc´ı vyb´ır´ame z koneˇcn´e mnoˇziny vektor˚ u (u∗t , .., u∗t+p ). Z t´eto mnoˇziny vybereme ˇreˇsen´ı, kter´e minimalizuje Zt,t+p a z´ısk´ame odhad optim´aln´ıch akc´ı. • Z Kapitoly 5 v´ıme, ˇze funkce Zt,t+p m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı, v t´eto ˇc´asti tedy analyticky urˇc´ıme parametry rozdˇelen´ı:

29

Nejprve vyj´adˇr´ıme stˇredn´ı hodnotu a rozptyl predikc´ı cenov´eho v´ yvoje. Stˇr´ıˇsku nad pˇredpovˇed’mi, kter´a symbolizovala, ˇze se jedn´a o bodov´ y odhad, m˚ uˇzeme zapsat i nad jiˇz napozorovan´e hodnoty. Potom yˆt+k = (ϕ1 , .., ϕm )T (ˆ yt+k−m , .., yˆt+k−1 ),

(7.1)

kde 1 ≤ k ≤ p. 2 . Je zˇrejm´e, ˇze m´a rekurzivn´ı vyj´adˇren´ı: Rozptyl predikce yt+k oznaˇc´ıme δt+k

2 δt+k

=

2 2 ϕ2m−k+2 δt+1 +..+ϕ2m δt+k−1 +δ 2

k−1 ∑

=

2 ϕ2m−(k−l)+1 δt+l +δ 2

l=max(1,k−m)

(7.2) Jiˇz v´ıme, ˇze poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka m´a tvar: 2 δt+1 = δ2

(7.3)

Tato rozdˇelen´ı dosad´ıme do (5.14) a z´ısk´ame opˇet norm´aln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou ∑

t+p−1

Z = E[Zt,t+p ] = −

[xk (ˆ yk+1 − yˆk ) − c|xk − xk−1 |] + c|xk+p − xk+p−1 |

k=t

(7.4) a rozptylem ∑

t+p−1 2

σ =

2 [x2k (δk+1 + δk2 )]

(7.5)

k=t

T´ım jsme z´ıskali pravdˇepodobnostn´ı hustotu upraven´e ztr´atov´e funkce. Rozptyl je tedy zn´am´ y, k v´ ypoˇctu VaR se pouˇz´ıv´a inverzn´ı distribuˇcn´ı funkce tak, aby pro hladinu h platilo: V ∫aR

√ −∞

1 −(z − Z))2 exp{ }dz = 1 − h 2σ 2 2πσ

(7.6)

Pro hodnotu CVaR pak plat´ı: 1 CV aR = h

∫∞ √

1 −(z − Z))2 exp{ }dz 2σ 2 2πσ

V aR

30

(7.7)

7.2

Algoritmus s bayesovsk´ ym odhadem parametr˚ u

• V bayesovsk´em pˇr´ıstupu pouˇzijeme metodu Monte Carlo [2]. Monte Carlo je stochastick´a metoda, kter´a pracuje na principu opakov´an´ı simulace ud´alosti s n´ahodn´ ym charakterem pomoc´ı generovan´ ych pseudon´ahodn´ ych ˇc´ısel. Pouˇz´ıv´a se v pˇr´ıpadˇe, kdy modelov´an´ım chceme z´ıskat pˇrehled o chov´an´ı n´ahodn´e veliˇciny a kdy k t´eto informaci nem˚ uˇzeme dospˇet analyticky. V naˇsem pˇr´ıpadˇe budeme generovat v kaˇzd´em ˇcase parametry Θ = (ϕ1 , .., ϕm , δ 2 ) z Gauss-Wishartova rozdˇelen´ı odvozen´eho v sekci 4.3. • Ke kaˇzd´emu vektoru vygenerovan´ ych parametr˚ u urˇc´ıme pˇredpovˇed’ cenov´eho v´ yvoje. Θ1 → (ˆ y1,t+1 , .., yˆ1,t+p ); ... ... ... ... Θr → (ˆ yr,t+1 , .., yˆr,t+p ); • Na z´akladˇe tˇechto r pˇredpovˇed´ı, kde r je rozsah vygenerovan´eho v´ ybˇeru, chceme zvolit akce (ut , .., ut+p ). K tomu pouˇzijeme zpr˚ umˇerovan´e hodnoty tˇechto pˇredpovˇed´ı, se kter´ ymi pracujeme stejnˇe jako v pˇredchoz´ım postupu (7.1). 1∑ (ˆ yt+1 , .., yˆt+p ) = (ˆ yk,t+1 , .., yˆk,t+p ) → (ut , .., ut+p ) r k=1 r

(7.8)

• Z´ıskan´ y vektor akc´ı (ut , .., ut+p ) pˇriˇrad´ıme ke kaˇzd´e predikci (ˆ yk,t+1 , .., yˆk,t+p ), k ∈ {1, .., r}, a t´ım z´ısk´ame r norm´aln´ıch rozdˇelen´ı s pravdˇepodobnostn´ımi hustotami zk (x) = √

−(z − Z))2 1 exp{ }, k ∈ {1, .., r}, x ∈ R, 2σk2 2πσk

(7.9)

kde Z je k-t´a stˇredn´ı hodnota a σk2 je pˇr´ısluˇsn´ y k-t´ y rozptyl, k ∈ {1, .., r}. 31

Na tˇechto rozdˇelen´ıch se opˇet pokus´ıme zaloˇzit anal´ yzu rizikovosti investice. Nejjednoduˇseji bychom mohli napˇr´ıklad zpr˚ umˇerovat stˇredn´ı hodnoty a rozptyly a jako v´ ysledn´e rozdˇelen´ı pouˇz´ıt opˇet norm´aln´ı rozdˇelen´ı s tˇemito hodnotami. My ale chceme hodnoty VaR a CVaR otestovat na v´ıce nepravideln´em“ rozdˇelen´ı. Proto jako rozdˇelen´ı cel” kov´e ztr´atov´e funkce pouˇzijeme funkci, kter´a bude pr˚ umˇerem funkc´ı zk (x). 1∑ z(x) = zk (x), x ∈ R r k=1 r

(7.10)

Z rovnice (7.10) plyne, ˇze funkce z(x) m´a vlastnosti hustoty spojit´e n´ahodn´e veliˇciny. Pro rozptyl D[Zt,t+p ] tedy plat´ı: ∫∞

∫∞ x z(x)dx − ( 2

D[Zt,t+p ] =

xz(x)dx)2

(7.11)

−∞

−∞

Po dosazen´ı z (7.10) z´ısk´ame: 1∑ D[Zt,t+p ] = r k=1 r

∫∞

−∞

1∑ = [ r k=1 r

∫∞

∫∞ 2

∫∞ 2

x zk (x)dx−(

=

r 1∑

r

−∞

(σk2 + Zk2 ) − (

k=1

r 1∑

r

(7.12)

1∑ Zk ))2 = r k=1 r

xzk (x)dx)2 ]−(

xzk (x)dx) +(

−∞

−∞

1∑ Zk ))2 = r k=1 r

x2 zk (x)dx − (

(7.13) Zk ))2 ,

(7.14)

k=1

V´ ypoˇcet hodnoty VaR se prov´ad´ı numerickou metodou s podm´ınkou, ˇze v´ ysledn´a hodnota mus´ı leˇzet v intervalu ohraniˇcen´em minim´aln´ı a maxim´aln´ı hodnotou VaR jednotliv´ ych norm´aln´ıch rozdˇelen´ı. Hodnotu CVaR lze d´ıky aditivitˇe integr´alu spoˇc´ıtat: 1∑1 CV aR = r k=1 h r

∫∞ √ V aR

−(z − Zk ))2 1 exp{ }dz 2σk2 2πσk

32

(7.15)

7.3

Volba parametr˚ u

Parametry u ´lohy byly zvoleny n´asledovnˇe: • ˇr´ad modelu byl na z´akladˇe pˇredchoz´ıch experiment˚ u[14] zvolen m = 2, (model s t´ımto ˇr´adem poskytoval nejkvalitnˇejˇs´ı predikce) • d´elka predikce p = 5 (vˇetˇs´ı d´elka predikce neposkytovala lepˇs´ı v´ ysledky), • hranice (x, x) = (−10, 10), • rizikov´ y ukazatel u ´spˇeˇsnosti (Sekce 6.4) testujeme pro hodnoty κ = {0.1, 0.25, 0.5}, na oknˇe dlouh´em o = 20, ych trh˚ u nav´ yˇsen´e • transakˇcn´ı n´aklady jsou skuteˇcn´e hodnoty z jednotliv´ o tzv. slippage, kter´e pˇredstavuj´ı rozd´ıl mezi oˇcek´avanou a opravdovou v´ yˇs´ı n´aklad˚ u, • rozsah dat z jednotliv´ ych trh˚ u je v pr˚ umˇeru 3600 dn˚ u, prvn´ıch pades´at dn˚ u se z´ısk´av´a odhad parametr˚ u a n´asleduj´ıc´ıch 450 dn˚ u se obchoduje naneˇcisto“, ” • rozsah vzork˚ u parametr˚ u (ϕ1,1 , ϕ1,2 , δ12 , .., ϕr,1 , ϕr,2 , δr2 )t generovan´ ych ∗ v kaˇzd´em ˇcase t ∈ t metodou Monte Carlo byl pˇredem zvolen r = 100. u nemus´ı b´yt urˇcen pouze konPozn´ amka 9 Rozsah generovan´ych parametr˚ stantou, napˇr. lze generovat dalˇs´ı vzorky, dokud nov´e hodnoty budou mˇenit celkov´y v´ysledek, tzn. dokud se v´ysledek neust´al´ı. Hodnota 100 byla zvolena vzhledem k ˇcasov´e n´aroˇcnosti integrov´ an´ı v pˇr´ıpadˇe v´ypoˇctu statistik ztr´atov´e funkce (7.10).

33

Kapitola 8 V´ ysledky, z´ avˇ er Algoritmy byly otestov´any na datech z pˇeti trh˚ u, kter´e reprezentuj´ı v´ yznamn´e kategorie kontrakt˚ u. Jedn´a se o trh s kakaem (CC), lehkou ropou (CL), pˇetilet´ ymi americk´ ymi dluhopisy (FV2), japonsk´ ym jenem (JY) a pˇsenic´ı (W).

8.1

V´ ysledky porovn´ avac´ı funkce Q1(x)

Jak bylo zm´ınˇeno, porovn´avac´ı funkce Q1 (x) (6.1) po urˇcit´em ˇcase, kdy m´ame k dispozici vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı rizikov´ ych ukazatel˚ u k porovn´an´ı, nab´ yv´a 1 pouze hodnoty 2 . Z tabulky 8.1 jsou poloviˇcn´ı hodnoty zisku jasnˇe vidˇet. Metody Monte Carlo (Tabulka 8.2) pracuj´ı s jin´ ymi hodnotami rizikov´ ych ukazatel˚ u a z´aroveˇ n obsahuj´ı n´ahodn´ y prvek, proto tento jev nen´ı z v´ ysledk˚ u zˇrejm´ y. Bodov´e odhady Pr˚ um. cena kontraktu Bez zohlednˇen´ı rizika Rozptyl VaR CVaR

CC 19.3 -40.3 -20.2 -20.2 -20.2

CL 43.1 -247.3 -123.3 -123.7 -124.0

FV2 83.5 215.9 107.5 108.0 107.9

JY W celkem 136.4 30.6 312.9 386.7 109.5 424.5 190.0 54.7 208.7 193.4 54.7 212.2 193.4 54.7 211.8

Tabulka 8.1: V´ ysledky metody s bodov´ ymi odhady a funkc´ı Q1 (x) v tis´ıc´ıch dollarech

34

Monte Carlo CC CL FV2 JY Pr˚ um. cena kontraktu 19.3 43.1 83.5 136.4 Bez zohlednˇen´ı rizika -8.3 -45.7 298.8 390.0 Rozptyl -70.3 89.6 47.7 165.9 VaR -19.9 -11.5 120.8 132.3 CVaR -20.6 17.0 148.9 177.9

W celkem 30.6 312.9 25.6 660.4 14.9 247.8 35.1 256.8 36.1 359.3

Tabulka 8.2: V´ ysledky metody Monte Carlo s funkc´ı Q1 (x) v tis´ıc´ıch dollarech

8.2

V´ ysledky porovn´ avac´ı funkce Q2(x)

Porovn´avac´ı funkce Q2 (x) jiˇz nab´ yvala v´ıce hodnot (Pˇr´ıloha, Obr´azky 9.2, 9.3) neˇz funkce Q1 (x). Bohuˇzel tento jev zp˚ usobil mnohem ˇcastˇejˇs´ı nenulov´e akce a t´ım sn´ıˇzen´ı zisku o transakˇcn´ı n´aklady. V´ yrazn´ y byl tento efekt hlavnˇe u metod Monte Carlo (Tabulka 8.4). Bodov´e odhady CC CL FV2 JY W celkem Pr˚ um. cena kontraktu 19.3 43.1 83.5 136.4 30.6 312.9 Bez zohlednˇen´ı rizika -40.3 -247.3 215.9 386.7 109.5 424.5 Rozptyl 48.4 -42.4 -30.3 48.9 -4.2 20.4 VaR 49.3 -40.8 -34.9 -121.7 -2.1 -150.2 CVaR 49.3 -32.6 -32.3 -276.1 -2.4 -294.1 Tabulka 8.3: V´ ysledky metody s bodov´ ymi odhady a funkc´ı Q2 (x) v tis´ıc´ıch dollarech

Monte Carlo CC CL FV2 JY W celkem Pr˚ um. cena kontraktu 19.3 43.1 83.5 136.4 30.6 312.9 Bez zohlednˇen´ı rizika -8.3 -45.7 298.8 390.0 25.6 660.4 Rozptyl -195.1 -104.1 -398.4 -170.4 -302.0 -1170 VaR -2.7 -52.4 -302.8 -312.3 -62.9 -733.1 CVaR -37.1 -18.1 -340.1 -1610 -105.8 -2111 Tabulka 8.4: V´ ysledky metody Monte Carlo s funkc´ı Q2 (x) v tis´ıc´ıch dollarech

35

8.3

V´ ysledky algoritm˚ u zaloˇ zen´ ych na aktu´ aln´ı u ´ spˇ eˇ snosti

Algoritmy zaloˇzen´e na u ´spˇeˇsnosti nedosahovaly poˇzadovan´ ych v´ ysledk˚ u. To bylo zp˚ usobeno stejnˇe jako u metod Monte Carlo s porovn´avac´ı funkc´ı Q2 (x) v´ yraznˇe ˇcastˇejˇs´ımi nenulov´ ymi operacemi, d´ıky kter´ ym vysok´e transakˇcn´ı n´aklady nav´ yˇsen´e o slippage v´ yraznˇe sniˇzovaly zisk. To by bylo moˇzn´e omezit zvˇetˇsen´ım d´elky okna o, na kter´em porovn´av´ame nabyt´ y a nejlepˇs´ı moˇzn´ y zisk. T´ımto ˇreˇsen´ım ale naopak ubereme atributu aktu´alnosti rizika. Bodov´e odhady Pr˚ um. cena kontraktu M´ıra u ´sp., κ = 0.1 M´ıra u ´sp., κ = 0.25 M´ıra u ´sp., κ = 0.5 Monte Carlo M´ıra u ´sp., κ = 0.1 M´ıra u ´sp., κ = 0.25 M´ıra u ´sp., κ = 0.5

CC CL FV2 JY W celkem 19.3 43.1 83.5 136.4 30.6 312.9 -92.9 -112.8 -103.4 30.3 -65.0 -343.8 -66.3 -126.6 -21.1 99.2 -23.1 -137.9 -46.2 -145.3 58.3 177.4 9.0 53.2 -88.9 -105.8 -98.8 -7.0 -32.3 -53.7

-107.0 -47.4 96.6

1.7 -71.2 62.0 -44.5 139.3 -33.0

-371.2 -135.7 116.9

Tabulka 8.5: V´ ysledky algoritmu zaloˇzen´em na aktu´aln´ı u ´spˇeˇsnosti v tis´ıc´ıch dollarech

8.4

Z´ avˇ er

V t´eto pr´aci jsme se sezn´amili s obchodov´an´ım s futures kontrakty, s metodami pˇribliˇzn´eho dynamick´eho programov´an´ı a bayesovsk´e statistiky. Urˇcili jsme tvar aproximovan´e ztr´atov´e funkce, z´ıskan´e jak pomoc´ı v´ıcekrokov´ ych bodov´ ych odhad˚ u, tak pomoc´ı metod Monte Carlo. Pro tuto funkci jsme odvodili v´ ypoˇcet rozptylu a hodnot VaR a CVaR a zavedli jsme dvˇe porovn´avac´ı funkce, kter´e s tˇemito hodnotami pracovaly. Zaveden´ı aspektu rizika do rozhodovac´ıho pravidla pˇrineslo poˇzadovan´ y efekt drˇzen´ı r˚ uzn´eho mnoˇzstv´ı kontrakt˚ u v ˇcase. Bohuˇzel tato metoda nezlepˇsila u ´spˇeˇsnost obchodn´ı strategie. Ne´ uspˇeˇsnost je zp˚ usobena pˇr´ıliˇs ˇcast´ ym obchodov´an´ım. Celkov´a ˇc´astka za transakˇcn´ı n´aklady a slippage v´ yraznˇe pˇresahuje ztr´atu, tzn. ˇze samotn´ y 36

odhad r˚ ustu nebo poklesu ceny je kvalitn´ı. Pˇresto je vidˇet, ˇze se model nechov´a podle autoregresn´ıho modelu - ˇreˇsen´ı bez rizika zaloˇzen´e na pr˚ umˇeru pˇredpovˇed´ı (Tabulka 8.2) je lepˇs´ı neˇz to, kter´e je zaloˇzen´e na stˇredn´ıch hodnot´ach (Tabulka 8.1). Hled´an´ı u ´ˇcinnˇejˇs´ı porovn´avac´ı funkce a snaha o sn´ıˇzen´ı celkov´ ych transakˇcn´ıch n´aklad˚ u m˚ uˇze b´ yt pˇredmˇetem dalˇs´ı pr´ace.

37

Kapitola 9 Pˇ r´ıloha 9.1

Uk´ azky obchodov´ an´ı Channel 1 − Price 2000 1000 0

0

500

1000

1500 2000 2500 3000 Channel 1 − Contracts held

3500

4000

500

1000

1500 2000 2500 3000 Channel 1 − Cumulative gain

3500

4000

500

1000

3500

4000

10 0 −10

0 5

5

x 10

0 −5

0

1500

2000

2500

3000

Obr´azek 9.1: Uk´azka obchodov´an´ı bez zohlednˇen´ı rizika 38

Sum over all channels − Contracts held 10 5 0 −5 −10

0

500 4

15

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

3500

4000

Sum over all channels − Cumulative gain

x 10

10 5 0 −5

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Obr´azek 9.2: Uk´azka obchodov´an´ı pomoc´ı bodov´ ych odhad˚ u pˇredpovˇed´ı cen zohledˇ nuj´ıc´ı rozptyl ztr´atov´e funkce

Sum over all channels − Contracts held 10 5 0 −5 −10

0

500 4

5

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

3500

4000

Sum over all channels − Cumulative gain

x 10

0 −5 −10 −15

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Obr´azek 9.3: Uk´azka obchodov´an´ı pomoc´ı metod Monte Carlo a hodnoty CVaR ztr´atov´e funkce

39

Literatura [1] Bellman R.: Dynamic Programming, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1957 [2] Hammersley J. M., Handscomb D. C.: Monte Carlo Methods, Chapman and Hall, London New York, 1964 [3] Hull J.: Options, futures and other derivatives, 6th edition, Prentice hall, New Jersey, 2006 ˇ ˇ Zeman J. : Adaptively Optimized Trading [4] K´arn´ y M., Sindel´ aˇr J, P´ırko S., ´ ˇ 2011 with Futures, technical report, UTIA AV CR, [5] K´arn´ y M.: Optimized Bayesian Dynamic Advising: Theory and Algorithms, Springer, London, 2006 [6] Lawson C. L., Hanson R. J.: Solving Least Squares Problems, Prentice Hall Englewood Cliffs, NJ, 1974 [7] Nagy I., Pavelkov´a L., Suzdaleva E., Homolov´a J, K´arn´ y M.: Bayesian ´ ˇ 2005. decision making, theory and examples, UTIA AV CR, [8] Peterka V.: Bayesian approach to system identification, Pergamon Press, Oxford, 1981. [9] Pr´aˇskov´a Z.: Z´aklady n´ahodn´ych proces˚ u II.,Karolinum, 2007 [10] Slim´aˇcek V.: Bakal´aˇrsk´ a pr´ace: Dynamick´e rozhodov´ an´ı pomoc´ı pˇribliˇzn´eho dynamick´eho programov´an´ı, Fakulta jadern´a a fyzik´alnˇe ˇ inˇzen´ yrsk´a, CVUT, 2008 ˇ aˇr J, Kˇriv´anek O. : Dynamick´e rozhodovan´ı s pouˇzit´ım strategie [11] Sindel´ ´ ˇ (Praha 2008) Rezaloˇzen´e na rozloˇzeni iterac´ı v ˇcase, UTIA AV CR, search Report 2228 (2008) 40

ˇ [12] Sindel´ aˇr J., K´arn´ y M.: Adaptive Control Applied to Financial Market Data , Advanced Mathematical Methods for Finance 2007, Vienna Austria 2007 [13] Uryasev S.P: Probabilistic constrained optimization : methodology and applications, Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2000 [14] Zeman J.: Futures Trading: Design of a Strategy, Proceedings of the International Conference on Operations Research and Financial Engineering 2009, ICORFE 2009, Italy [15] Zeman J: Estimating of Bellman function via suboptimal strategies , IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics Istanbul, 2010 ˇ ep´an J.: Pravdˇepodobnost a matematick´a statistika, Mat[16] Zv´ara K., Stˇ fyzpress, Praha, 2002. Pouˇzit´e programy: ´ y M., Guy T. V., Nagy I., Bohm J. Mixtools , UTIA [17] Nedoma P., K´arn´ ˇ AV CR, Praha 2003 ´ [18] Zeman J, Kopeck´ y M.: Bayes Job, UTIA Praha 2009

41