IV.7. Potenciální vektorové pole

E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)

IV.7. Potenci´ aln´ı vektorov´ e pole Vektorové pole f~ = (U, V, W ) se nazýv´ a potenci´ aln´ı pole v oblasti G ⊂ E3 , jestliˇze existuje skalárn´ı funkce ϕ taková, ˇze f~ = grad ϕ v oblasti G. Podobnˇe pro vektorové pole f~ = (U, V ) v oblasti G ⊂ E2 . Skal´ arn´ı funkci ϕ nazýv´ ame potenci´ alem vektorov´ eho pole f~ v G. Plat´ı n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı (podrobnˇeji ve skriptu Matematika II od J. Neustupy): Vˇ eta. Necht’ f~ je potenci´ aln´ı a spojité vektorové pole s potenci´ alem ϕ v oblasti G ⊂ E3 (resp. E2 ). Necht’ c je orientovan´ a kˇrivka v G s poˇc´ ateˇcn´ım bodem A a s koncovým bodem B. Pak Z f~ · d~s = ϕ(B) − ϕ(A). c

´ mka.Protoˇze pro potenci´ Pozna aln´ı vektorové pole f~ z´ avis´ı hodnota kˇrivkového integrálu Z f~ · d~s pouze na poˇc´ ateˇcn´ım a koncovém bodˇe, lze v tomto pˇr´ıpadˇe ps´ at c Z Z B ~ f · d~s = f~ · d~s. c

A

Vˇ eta. Necht’ f~ je spojité vektorové pole v oblasti G ⊂ E3 (resp. E2 ). Pak n´ asleduj´ıc´ı tˇri výroky jsou ekvivalentn´ı: a) f~ je potenci´ aln´ı pole v G. R avis´ı v oblasti G na integraˇcn´ı cestˇe. b) Kˇrivkový integr´ al c f~ · d~s nez´ c) Cirkulace pole f~ po libovolné uzavˇrené kˇrivce v G je nulov´ a. V dalˇs´ım textu se soustˇred´ıme pˇredevˇs´ım na vektorov´ e pole v E2 . Vˇ eta. (Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka potenci´ alnosti v E2 .) Necht’ a) G je jednoduˇse souvisl´ a oblast v E2 a ~ b) f = (U, V ) je vektorové pole, jehoˇz souˇradnicové funkce U (x, y), V (x, y) maj´ı v oblasti G spojité parci´ aln´ı derivace a ∂U ∂V c) funkce U, V splˇ nuj´ı podm´ınku = v G. ∂x ∂y Pak f~ je potenci´ aln´ı vektorové pole v G. Pˇri v´ ypoˇctu potenciálu zpravidla nejprve ovˇeˇr´ıme podle postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky, ˇze dané vektorové pole je potenciáln´ı v oblasti G. Pro v´ ypoˇ cet potenci´ alu v E2 pak máme nˇekolik moˇznost´ı. 1. metoda. Potenciál urˇc´ıme z definice potenciálu, tzn. f~ = gradϕ v E2 . Tak dostáváme rovnice ∂ϕ ∂ϕ (1) = U, (2) =V ∂x ∂y 2. metoda. Potenciál urˇc´ıme ypoˇctem kˇrivkového integrálu. Z v´ yˇse uvedené vˇety R v´ ~ vypl´ yvá, ˇze potenciál ϕ(x, y) = c f · d~s, kde c je vhodnˇe zvolená kˇrivka v G se zvolen´ ym poˇca´teˇcn´ım bodem [x0 , y0 ] a koncov´ ym bodem [x, y]. Pˇ r´ıklad 554. Urˇcete nejvˇetˇs´ı moˇznou oblast(i), na n´ıˇz je dané vektorové pole po y2 2 2y 2 ~ = y , − 2y + y 2 . tenciáln´ı. a) f~ = − sin y, − + y , b) f x2 x x2 x 116


ˇ sen´ı: a) Souˇradnicové funkce U, V daného pole maj´ı spojité parciáln´ı derivace Reˇ v oblastech D1 a D2 , kde D1 = {[x, y] ∈ E2 ; x > 0}, D2 = {[x, y] ∈ E2 ; x < 0}. 2y ∂U 2y ∂V = 2 , zat´ımco = 2 − cos y. Vypoˇcteme parciáln´ı derivace: ∂x x ∂y x Nen´ı tedy splnˇena nutná podm´ınka, aby vektorové pole bylo potenciáln´ı, tj. podm´ınka ∂V ∂U = . ∂x ∂y b) Dané vektorové pole má spojité parciáln´ı derivace v oblasti D1 a v oblasti D2 z u ´lohy a). Kaˇzdá z tˇechto oblast´ı je jednoduˇse souvislá a plat´ı ∂V 2y ∂U 2y = 2, = 2 . Zadané vektorové pole tedy splˇ nuje v´ yˇse uvedenou postaˇcuj´ıc´ı ∂x x ∂y x podm´ınku a proto je potenciáln´ı v kaˇzdé z oblast´ı D1 , D2 . Pˇ r´ıklad 555. a) Ovˇeˇrte, ˇze vektorové pole f~ = (3 + 2xy, x2 − 3y 2 ) je potenciáln´ı v oblasti E2 . b) Urˇcete potenciál tohoto vektorového pole. c) Vypoˇc´ıtejte R kˇrivkov´ y integrál c f~ · d~s, kde c je u ´seˇcka od bodu A = [1, 3] do bodu B = [2, 1]. ˇ sen´ı: a) Souˇradnicové funkce U, V jsou polynomy. Maj´ı tedy spojité parciáln´ı derivace Reˇ v mnoˇzinˇe E2 , coˇz je oblast jednoduˇse souvislá. V´ ypoˇctem ∂V ∂U = 2x, = 2x vid´ıme, ˇze dané pole je potenciáln´ı v oblasti E2 . ∂x ∂y b) Pˇri v´ ypoˇctu potenciálu podle 1. metody vyjdeme ze dvou podm´ınek ∂ϕ ∂ϕ = 3 + 2xy, (2) = x2 − 3y 2 ∂x ∂y Integrován´ım podle x vypoˇc´ıtáme z podm´ınky (1): Z ϕ(x, y) = (3 + 2xy) d x = 3x + x2 y + K(y). (1)

Takto vypoˇctená funkce ϕ(x, y) obsahuje neznámou funkci K(y). Po dosazen´ı za ϕ do podm´ınky (2) z´ıskáme rovnici (2’), ve které uˇz nebude promˇenná x . dK To je ”kontroln´ı m´ısto”v´ ypoˇctu. Derivaci funkce K zap´ıˇseme ve tvaru , nebot’ K je dy funkce jedné promˇenné. dK dK (2′ ) x2 + = x2 − 3y 2 =⇒ = −3y 2 . dy dy Funkci K(y) pak z´ıskáme integrován´ım: Z K(y) = −3y 2 d y = −y 3 + C. Po dosazen´ı za K(y) obdrˇz´ıme v´ ysledn´ y tvar potenciálu ϕ(x, y) = 3x + x2 y − y 3 + C, [x, y] ∈ E2 , C je libovolné reálné ˇc´ıslo. c) Zadan´ y kˇrivkov´ y integrál lze vypoˇc´ıtat pomoc´ı parametrizace dané u ´seˇcky. Protoˇze vˇsak dané pole je potenciáln´ı v E2 , lze kˇrivkov´ y integrál vypoˇc´ıtat pomoc´ı potenciálu: Z c

(3 + 2xy, x2 − 3y 2 ) · d~s = ϕ(B) − ϕ(A) = ϕ(2, 1) − ϕ(1, 3) = 30.

117

E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerová, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)

Pˇ r´ıklad 556. a) Ovˇeˇrte, ˇze jsou splnˇeny postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky potenciálnosti pro dané vektorové pole f~ v oblasti G = E2 . b) Urˇcete jeho potenciál v´ ypoˇctem kˇrivkového integrálu, tj. 2. metodou. Z B c) Vypoˇctˇete (3x2 y − 3y 2 , x3 − 6xy) · d~s, je-li A = [1, 3], B = [2, 1]. A

ˇ sen´ı: a) Funkce U a V jsou spojité a diferencovatelné v celém E2 . Reˇ G = E2 je jednoduˇse souvislá oblast, ∂V ∂U = : Pak k ovˇeˇren´ı, ˇze f~ je potenciáln´ı v G, staˇc´ı zjistit, zda ∂y ∂x ∂U ∂V = 3x2 − 6y, = 3x2 − 6y. Ano, pole f~ je potenciáln´ı v E2 . ∂y ∂x ∂ ϕ ∂ ϕ b) f~ = grad ϕ = , ∂x ∂y Z [x,y] Z [x,y] Z [x,y] ∂ ϕ ∂ ϕ f~ · d~s = d ϕ = ϕ x, y − ϕ x0 , y0 . dx + dy = ∂y [x0 ,y0 ] [x0 ,y0 ] ∂x [x0 ,y0 ] Z [x,y] (3x2 y − 3y 2 ) dx + (x3 − 6xy) dy = Zvol´ıme [x0 , y0 ] = [0, 0] : ϕ(x, y) = [0,0] y v´ıme, ˇze integrál nezávis´ı na cestˇe, proto zvol´ıme [x, y] lomenou ˇca´ru [0, 0] −→ [x, 0] −→ [x, y] : [0, 0] −→ [x, 0] : y = 0, dy = 0 x [x, 0] −→ [x, y] : x = konst., dx = 0 [0, 0] [x, 0] [x,0]

Z

2

2

Z

3

[x,y]

(3x y − 3y ) dx + (x − 6xy) dy + (3x2 y − 3y 2 ) dx + (x3 − 6xy) dy = 0,0] [x,0] Z y Z x (x3 − 6xy) dy = x3 y − 3xy 2 =⇒ 0 dx + = =

0

0

c)

Z

[2,1] [1,3]

ϕ(x, y) = x3 y − 3xy 2 + C, f~ · d~s = ϕ(2, 1) − ϕ(1, 3) = (8 − 6) − (3 − 27) = 26.

√ Pˇ r´ıklad 557. Je dáno vektorové pole f~ = (3x2 y, x3 + y). Napiˇ Zste postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky pro to, aby kˇrivkov´ y integrál vektorové funkce f~·d~s nezávisel c

ˇ sen´ı: Reˇ a v ∂V ∂x

v oblasti D ⊂ E2 na cestˇe. Urˇcete potenciál ϕ a uˇzijte jej k v´ ypoˇctu ~ kˇrivkového integrálu vektorové funkce f po dané kˇrivce. a) c1 je u ´seˇcka z bodu A = [2, 4] do bodu B = [1, 1]. b) c2 je zápornˇe orientovaná hranice mnoˇziny M = {[x, y] : x2 + (y − 3)2 ≤ 8, x ≥ 0}. √ U (x, y) = 3x2 y, V (x, y) = x3 + y. Ovˇeˇrte si, ˇze parciáln´ı derivace jsou spojité oblasti D = { [x, y] ∈ E2 ; y > 0}, která je jednoduˇse souvislá plat´ı rovnost ∂U = . ∂y

V´ ypoˇcet potenciálu ϕ: Podm´ınky (1) a (2) maj´ı tvar:

118


(1)

∂ϕ = 3x2 y, ∂x

(2)

∂ϕ √ = x3 + y ∂y Z

3x2 y d x = x3 y + K(y).

Z podm´ınky (1) vypoˇc´ıtáme ϕ(x, y) =

dK dK √ √ Po dosazen´ı do (2): x3 + = x3 + y. Po u = y, ´pravˇe z´ıskáme rovnici dy Z dy 2p 3 √ ydy = y + C. ze které urˇc´ıme K(y) = 3 2p 3 y + C. Hledan´ y potenciál v D je ϕ(x, y) = x3 y + 3 a) y A Z Z √ ~ f · d~s = (3x2 y, x3 + y) · d~s = c1 c1 c1 = ϕ([1, 1]) − ϕ([2, 4]) = −107/3. B x b)

y M

c2

Daná kˇrivka c2 je uzavˇrená. Je to obvod p˚ ulkruhu M , kter´ y leˇz´ı v oblasti D, v n´ıˇz je dané vektorové pole f~ potenciáln´ı. Z vlastnosti potenciálu pak vypl´ yvá, ˇze cirkulace daného vektorového pole f~ podél této kˇrivky c2 je rovna nule.

x Pˇ r´ıklad 558. Je dáno vektorové pole f~ = (2x cos y, −x2 sin y). a) Ovˇeˇrte, ˇzZe je pole potenciáln´ı v E2 . b) Urˇcete jeho potenciál ϕ. c) Vypoˇctˇete f~ · d~s, c

kde c je kˇrivka s poˇca´teˇcn´ım bodem A = [2, 0] a koncov´ ym bodem B = [4, π/2]. ˇ sen´ı: a) Oblast E2 je jednoduˇse souvislá oblast a plat´ı Reˇ ∂U ∂V = −2x sin y, = −2x sin y =⇒ f~ je potenciáln´ı v E2 . ∂y ∂x Z ∂ϕ = 2x cos y ⇒ ϕ(x, y) = 2x cos y dx = x2 cos y + K(y) b) ∂x ∂ϕ dK dK = −x2 sin y ⇒ x2 (− sin y) + = −x2 sin y ⇒ = 0 ⇒ K(y) = C ∂y dy dy ϕ(x, y) = x2 cos y + C. c)

Z

π f~ · d~s = ϕ(4, π/2) − ϕ(2, 0) = 16 cos − 4 cos 0 = −4 . 2 c

1 y ~ − 2 + 2y − 5, Pˇ r´ıklad 559. Urˇcete oblasti G ⊂ E2 , v nichˇz je pole f = y x 1 x − + 2x + 11 potenciáln´ı a stanovte jeho potenciál ϕ(x, y), x y2 kter´ y splˇ nuje podm´ınku ϕ(−2, 2) = 0.

119


ˇ sen´ı: Reˇ

G1 = {[x, y] ∈ E2 ; x > 0, y > 0}, G3 = {[x, y] ∈ E2 ; x > 0, y < 0},

G2 = {[x, y] ∈ E2 ; x < 0, y > 0}, G4 = {[x, y] ∈ E2 ; x < 0, y < 0}.

∂U ∂V 1 1 = = − 2 − 2 + 2, tedy je f~ potenciáln´ı v Gi , i = 1, 2, 3, 4 . ∂y ∂x y x V´ ypoˇcet potenciálu ϕ : Z ∂ϕ x y 1 y 1 y = − 2 + 2y − 5 ⇒ ϕ(x, y) = − 2 + 2y − 5 dx = + + 2xy − 5x + K(y) ∂x y x y x y x x 1 1 x dK 1 x ∂ϕ = − 2 +2x+11 ⇒ − 2 + +2x+ = − 2 +2x+11 ⇒ K(y) = 11y +C ∂y x y y x dy x y x y ϕ(x, y) = + + 2xy − 5x + 11y + C; y x Plat´ı

Z podm´ınky ϕ(−2, 2) = 0 vypoˇcteme konstantu C: −1 + 1 − 8 + 10 + 22 + C = 0 =⇒ C = −22 x y ϕ(x, y) = + + 2xy − 5x + 11y − 22 pro [x, y] ∈ G2 . y x Pˇ r´ıklad 560. Urˇcete nejvˇetˇs´ı moˇznou oblast G ⊂ E2 , v n´ıˇ Zz je vektorová funkce y2 √ f~ = √ , 4y x spojitá a rozhodnˇete, zda f~·d~s nezávis´ı na integraˇcn´ı x c Z [4,−2] f~ · d~s. cestˇe v G. Pokud tato oblast existuje, vypoˇctˇete [1,2]

ˇ sen´ı: G = {[x, y] ∈ E2 , x > 0} je polorovina, a tedy je jednoduˇsˇse souvislá oblast v E2 . Reˇ Z f~ · d~s nezávis´ı na cestˇe, protoˇze parciáln´ı derivace souˇradnicov´ ych funkc´ı U, V c

jsou spojité v G a plat´ı

∂U ∂V 2y = =√ ∂y ∂x x

⇒

existuje potenciál ϕ.

Z 2 √ y ∂ϕ y2 √ dx = y 2 · 2 x + K(y) =⇒ ϕ(x, y) = =√ ∂x x x √ √ √ dK ∂ϕ = 4y x =⇒ 2y · 2 x + = 4y x ⇒ K(y) = C ∂y dy √ 2 ϕ(x, y) = 2y x + C Z

[4,−2] [1,2]

f~ · d~s =

Z

[4,−2]

[1,2]

√ y2 √ , 4y x · d~s = ϕ(4, −2) − ϕ(1, 2) = 8 x

Pˇ r´ıklad 561. Je dána funkce ϕ(x, y) = x3 y + x2 y 2 . Urˇcete a) silové pole f~, jehoˇz potenciálem je funkce ϕ(x, y); b) práci s´ıly f~ pˇri pohybu z bodu M = [1, 1] do bodu N = [−2, 3]; c) práci s´ıly f~ podél kˇrivky c = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + 4y 2 = 4}, která je orientována kladnˇe.

ˇ sen´ı: a) f~ = grad ϕ Reˇ

=⇒

f~ = (3x2 y + 2xy 2 , x3 + 2x2 y);

120


b) W =

Z

N M

f~ · d~s = (integrál nezávis´ı na cestˇe) = ϕ(N ) − ϕ(M ) =

= (−24 + 36) − (1 + 1) = 10; I c) W = f~ · d~s = 0. c

(x − y, x + y) Pˇ r´ıklad 562. Je dáno vektorové pole f~ = v G = E2 \ {[0, 0]}. x2 + y 2 I ∂V ∂U = v G. b) V´ ypoˇctem integrálu f~ · d~s, a) Ovˇeˇrte, ˇze plat´ı ∂y ∂x c kde c je zápornˇe orientovaná kruˇznice S = [0, 0], r = 2, se pˇresvˇedˇcte, ˇze pole nen´ı potenciáln´ı v G. ∂V −x2 + y 2 ∂U = = 2 ∂y ∂x (x + y 2 )2 I I (x − y, x + y) b) Cirkulace f~ · d~s = · d~s = x2 + y 2 c c P (t) = [2 cos t, 2 sin t], t ∈ h0, 2πi = P˙ (t) = (−2 sin t, 2 cos t) = kˇrivka je nesouhlasnˇe orientovaná s parametrizac´ı Z 2π 2(cos t − sin t), 2(cos t + sin t) =− · (−2 sin t, 2 cos t) dt = 4 0Z Z 2π 1 2π 1 dt = −2π − 4(cos t − sin t) sin t + 4(cos t + sin t) cos t dt = − =− 4 0 0 I ~ Pole f nen´ı potenciáln´ı, protoˇze f~ · d~s 6= 0.

ˇ sen´ı: a) Reˇ

c

´ mka: K v´ Pozna ypoˇctu tohoto integrálu nelze pouˇz´ıt Greenovu vˇetu, jelikoˇz bod [0, 0] ∈ int c = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + y 2 < 4} nepatˇr´ı do D(f~). Pˇ r´ıklad 563. Vypoˇctˇete

Z

N M

f~ · d~s, kde M = [1, 0, e], N = [2, −1, e2 ], v´ıte-li, ˇze pole f~ je

potenciáln´ı v oblasti E3 a jeho potenciál je funkce ϕ(x, y, z) = xy 2 ln z. Urˇcete nejvˇetˇs´ı moˇznou oblast G, v n´ıˇz je ϕ potenciálem pole f~. Z N ˇ Reˇsen´ı: G = {[x, y, z] ∈ E3 ; z > 0}; f~ · d~s = ϕ(N ) − ϕ(M ) = 2 ln e2 − 0 = 4. M

• Je dáno vektorové pole f~Z. Ovˇeˇrte, ˇze je pole potenciáln´ı v G ⊂ E2 , resp. E3 , stanovte B f~ · d~s : jeho potenciál a vypoˇctˇete A

Pˇ r´ıklad 564.* f~ = (3x2 y − z 2 + 2z, x3 + 2yz − 3, y 2 − 2xz + 2x + 5), A = [0, 1, 1], B = [3, 0, 2], G = E3 ˇ sen´ı: a) K ovˇeˇren´ı staˇc´ı: Reˇ 1) spojitost parciáln´ıch derivac´ı funkc´ı U (x, y, z), V (x, y, z), W (x, y, z) v oblasti G, která je jednoduˇsˇse souvislá v E3 , 121


2) rot f~ = ~0 v G. ~i ∂ rot f~ = ∂x 2 3x y − z 2 + 2z

~j ∂ ∂y 3 x + 2yz − 3

= (2y − 2y, −2z + 2 + 2z − 2, 3x2 − 3x2 ) = ~0

~k ∂ = ∂z 2 y − 2xz + 2x + 5 =⇒ f~ je potenciáln´ı v E3 .

b) ϕ(x, y, z) = [x,y,z]

=

Z

x

=

Z

(3x2 y − z 2 + 2z) dx + (x3 + 2yz − 3) dy + (y 2 − 2xz + 2x + 5) dz = [0,0,0] z [x, y, z] Z [x,0,0] Z [x,y,0] Z [x,y,z] ~ ~ ~ = f · d~s + f · d~s + f · d~s = [0,0,0] [x,0,0] [x,y,0] [0, 0, 0] [0, 0, 0] =⇒ [x, 0, 0] : y = 0, dy = 0, z = 0, dz = 0 y [x, 0, 0] =⇒ [x, y, 0] : dx = 0, z = 0, dz = 0 [x, y, 0] =⇒ [x, y, z] : dx = 0, dy = 0 [x, 0, 0] [x, y, 0] x 0 dx + 0

Z

y 0

3

2

(x3 − 3) dy +

Z

z 0

(y 2 − 2xz + 2x + 5) dz =

2

= x y − 3y + y z − xz + 2xz + 5z + C , Z [3,0,2] f~ · d~s = ϕ(3, 0, 2) − ϕ(0, 1, 1) = 7 . c) [0,1,1]

565. f~ = (xe2y , (x2 + 1)e2y ), A = [1, 0], B = [3, 1]

h

ϕ=

566. f~ = (3x2 y − 2xy 2 , x3 − 2x2 y), A = [1, 1], B = [2, −1]

i 1 2 (x + 1)e2y + C; 5e2 − 1 2 [ϕ = x3 y − x2 y 2 + C; −12]

567. f~ = (cos 2y + y + x, y − 2x sin 2y + x), A = [0, 7], B = [1, 0] [ϕ =

x2 y2 + + x cos 2y + xy + C; −23] 2 2

568.* f~ = (x2 − 2yz, y 2 − 2xz, z 2 − 2xy), A = [0, 0, 3], B = [3, 3, 0] h ϕ=

i 1 3 (x + y 3 + z 3 ) − 2xyz + C; 9 3

569.* f~ = (2y + z 2 , 2x + 1, 2xz + 2), A = [0, 1, 1 ], B = [3, 0, 2] [ϕ = 2xy + y + xz 2 + 2z + C; 13]

570.* f~ =

x y , , 2z , A = [1, 0, 0], B = [0, 1, 1] x2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 + 1 h ϕ=

i 1 ln(x2 + y 2 + 1) + z 2 + C; 1 2

571. Ovˇeˇrte, ˇze pole f~ = (y 2 , 2xy) je potenciáln´ı v E2 . Stanovte potenciál ϕ(x, y), splˇ nuj´ıc´ı ϕ(−4, 3) = −9 . [ϕ = xy 2 + 27] 1 y x x xy 572.* Stanovte potenciál pole f~ = 1− + , + 2 , 2z − 2 na G ⊂ E3 : y > 0, z > 0. y z z y z h i ϕ=x−

122

x xy + + z2 + C y z


y 573. Najdˇete práci silového pole f~, jehoˇz potenciálem je funkce ϕ(x, y) = arctg x √ √ √ e l kˇ r ivky i pˇri pohybu a) z bodu M = [1, 3] do bodu N = [ 2, 2] ; b) pod´ h π 2 2 c = {[x, y] ∈ E2 ; (x − 2) + y = 1} v kladném smˇeru. a) − , b) 0 12

• Vypoˇctˇete : [1,2]

y dx − x dy x2

574.

Z

575.

Z

[π/4,2]

576.

I

c

[2,1]

i h 3 al nez´ avis´ı na cestˇe − , integr´ 2

[π/6,1]

h 3i − 2

2y sin 2x dx + (1 − cos 2x) dy

(2x + y) dx + (x + 2y) dy,

c : x2 + y 2 = a2

[0]

• Urˇcete oblasti G, v nichˇz je vektorové pole f~ potenciáln´ı a stanovte potenciál : 577. f~ = (x3 y 2 + x, y 2 + yx4 )

[ G = ∅, f~ nen´ı potenci´ aln´ı]   G1 ⊂ E2 : y > 0, x > 0  G2 ⊂ E2 : y > 0, x < 0    ey + x ln y + C ϕ= x G ⊂ E3 : x > y, z > 0 √ ϕ = z ln(x − y) + 2 z + C

ey ey x 578. f~ = ln y − 2 , + x x y 579.* f~ =

z z 1 , , ln(x − y) + √ x−y y−x z

• Je dáno vektorové pole f~ = (U, V ) a kˇrivka c. a) Pomoc´ı kˇrivkového integrálu vektorové funkce vypoˇc´ıtejte práci, kterou vykoná s´ıla f~ p˚ usoben´ım po kˇrivce c. b) Ovˇeˇrte, ˇze vektorové pole f~ = (U, V ) je potenciáln´ı v E2 . c) Urˇcete potenciál ϕ tohoto pole a pomoc´ı nˇeho ovˇeˇrte v´ ysledek z u ´lohy a). 580. f~ = (x+3y , 3x), c je orientovaná u ´seˇcka s poˇca´teˇcn´ım bodem A = [0, 1] a koncov´ ym a) 19/2 bodem B = [1, 3] c) ϕ(x, y) = x2 /2 + 3xy + C 581. f~ = (y 2 , 2xy), c je ˇca´st paraboly y = x2 s poˇca´teˇcn´ım bodem A = [0, 0] a koncov´ ym a) 32 bodem B = [2, 4] c) ϕ(x, y) = xy 2 + C 582. f~ = (2x − y 2 , 3 − 2xy), c = {[x, y] ∈ E2 ; x = −y 2 − 1} od bodu [−1; 0] a) 38 do bodu [−5; −2] c) ϕ(x, y) = x2 − xy 2 + 3y + C

583. f~ = (−x , y), c = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + y 2 = 4} od bodu A = [2, 0] do bodu B = [0, 2] a) 4 c) ϕ(x, y) = −x2 /2 + y 2 /2 + C

584. a) Vysvˇetlete, co to znamená, ˇze integrál

Z

c

f~ · d~s nezávis´ı v oblasti G ⊂ E2

na integraˇcn´ı cestˇeR. ~ nezávis´ı v E2 na integraˇcn´ı cestˇe. b) Zd˚ uvodnˇete, zda c (y sin x , y − cos x) · ds c) Existuje-li potenciál pole f~ = (y sin x , y−cos x) v E2 , najdˇete jej a vypoˇc´ıtejte 123


kˇrivkov´ y integrál tohoto pole po kˇrivce c s poˇca´teˇcn´ım bodem A = [0, 0] a koncov´ ym bodem B = [0, π]. h

b) ovˇeˇrte splnˇen´ı postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky, c) ϕ(x, y) = y 2 /2 − y cos x + C, π 2 /2 − π

• Je dána skalárn´ı funkce ϕ(x, y, z), která je potenciálem nˇejakého vektorového pole f~. a) Urˇcete nejvˇetˇs´ı oblast v E3 , ve které má ϕ spojité parciáln´ı derivace a vyjádˇrete v této oblasti pole f~. b) Je-li jeˇstˇe nˇejaká jiná funkce potenciálem f~ v této oblasti, pak ji uved’te. R c) Vypoˇc´ıtejte kˇrivkov´ y integrál c f~ · d~s pro danou kˇrivku c. 1 ln(x2 + y 2 ) + z 2 ; 2 a koncov´ ym bodem [0, 1, 1].

585. ϕ(x, y, z) =

i

c je kˇrivka v G s poˇca´teˇcn´ım bodem [1, 0, 0]  2 2 a) G = {[x, y, z] ∈ Ex3 ; x + yy > 0}   , , 2z   b) f~(x, y, z) =   x 2 + y 2 x2 + y 2 c) 1 

586. ϕ(x, y, z) = xy + xz + yz; o pro t ∈ h0, 4i

tπ t , c = [x, y, z] : x = −1 + t, y = 2 + , z = − cos 2 4 n



 a) E3 , funkce ϕ + C  b) f~ = (y + z, x + z, x + y)  c) 22

• Je dáno vektorové pole f~ = (U, V ), oblast D a kˇrivka c.

a) Napiˇste postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky pro to, aby vektorové pole f~ = (U, V ) bylo potenciáln´ı v oblasti D ⊂ E2 . b) Ovˇeˇrte, ˇze postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky potenciálnosti jsou splnˇeny pro dané vektorové pole f~ a danou oblast D (nen´ı-li oblast D dána, uved’te nejvˇetˇs´ı moˇznou). c) Urˇcete potenciál a uˇzijte jej k v´ ypoˇctu kˇrivkového integrálu vektorové funkce f~ po dané kˇrivce c. x y 587. f~ = , D = { [x, y] ∈ E2 ; x > 0, y > 0 }, c je u ´seˇcka AB , x2 + y 2 x2 + y 2 s poˇca´teˇcn´ım bodem A = [2, 4] a koncov´ ym bodem B = [1, 2]

ϕ(x, y) =

1 2

ln(x2 + y 2 ) + C; − ln 2

−x y , D = {[x, y] ∈ E2 ; y > 0}, c je kladnˇe orientovaná , x2 + y 2 x2 + y 2 1 ϕ(x, y) = arctg xy + C; 0 kruˇznice (x − 1)2 + (y − 1)2 = 4 x 1 589. f~ = y 2 − p , 2xy + p , D = {[x, y] ∈ E2 ; y > x2 }, c je kˇrivka 2 2 y−x 2 y−x p s poˇc. bodem A = [0, 1] a konc. bodem B = [1, 2] ϕ(x, y) = xy 2 + y − x2 + C; 0 y2 + x2 , 2y ln x − cos 2y , c je kˇrivka s poˇca´teˇcn´ım bodem A = [1, π/4] 590. f~ = x ϕ(x, y) = x3 /3 + y 2 ln x − sin 2y/2 + C; 17/6 a koncov´ ym bodem B = [2; 0]

588. f~ =

124

IV.7. Potenciální vektorové pole

Recommend Documents