Interakce mezonů v hadronovém prostředí a související procesy

Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta

Interakce mezonů v hadronovém prostředí a související procesy Disertační práce obor: Teoretická fyzika a astrofyzika

Vypracoval: Josef Juráň Opava 2008

Školitel: Prof. Ing. Peter Lichard, DrSc. Ústav fyziky, FPF SU Opava

Touto cestou bych rád poděkoval svému školiteli

Prof. Ing. Peteru Lichardovi, DrSc. za všestrannou pomoc v průběhu mého studia. Především však za poskytnutí nesčetně mnoha stimulujících konzultací a diskusí, jenž mě vždy vyvedly ze slepé uličky a motivovaly pokračovat dál.

Obsah 1 Úvod

7

2 Některé charakteristiky reakcí částic 2.1 Reakční výtěžek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Reakční výtěžek v reakci 1 + 2 + . . . + I → a + b . . . 2.3 Reakční výtěžek v reakci 1 + 2 + . . . + I → a + b + c . 2.4 Střední srážková frekvence . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Střední volná dráha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Kolizní šířka netermalizované částice . . . . . . . . . 3 Mezon φ v hadronovém plynu 3.1 Střední kolizní šířka φ v reakci 3.2 Střední kolizní šířka φ v reakci 3.3 Střední kolizní šířka φ v reakci 3.4 Střední kolizní šířka φ v reakci

∗

∗

φK → πK φK ∗ → πKπ φKπ → πK ∗ φKπ → πKπ

. . . .

. . . .

4 Kolizní šířka kaonu 4.1 Kolizní šířka kaonu v reakci Kπ → Kπ . . . . . ¯ → ππ . . . . . 4.2 Kolizní šířka kaonu v reakci K K 4.3 Kolizní šířka kaonu v reakci KK → KK . . . . 4.4 Celková kolizní šířka kaonu v binárních reakcích

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

11 11 12 14 15 16 18

. . . .

21 24 26 28 34

. . . .

47 48 50 51 53

5 Produkce dileptonů v interakcích mezi piony 5.1 Elektron-pozitronová anihilace na čtyři piony . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Reakční výtěžek dileptonů v reakci 1 + 2 + . . . + I → l + ¯l v jednofotonové aproximaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 57

6 Závěr

65

A Model amplitud reakcí A.1 Lagrangiány . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Vertexy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Rozpadové šířky K a K ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 68 70

5

63

6 B Prohlášení a související publikace B.1 Prohlášení autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Prohlášení spoluautora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Electron-positron annihilation into four charged pions and the a1 ρπ Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Joint description of the e+ e− annihilation into both four-pion channels .

71 71 72

Reference

93

73 87

Kapitola 1 Úvod Dnešní velké urychlovače částic (jako např. Relativistic Heavy Ion Collider v Brookhaven National Laboratory, USA nebo Super Proton Synchrotron v CERN, EU) dokáží urychlit těžké ionty (např. zlata nebo olova) téměř na rychlost světla a jejich následnými srážkami vytvořit velice horké a husté systémy mnoha částic. Tímto systémem může být hadronový plyn nebo kvark-gluonová plazma, popř. jejich smíšený stav [1, 2, 3]. My se budeme zabývat pouze hadronovým plynem. Počáteční stav takto vytvořeného systému může být různý. Všeobecně je přijat názor, že se systém krátce po svém vzniku (t ≈ 10−23 s) dostává do tepelné rovnováhy. To je způsobeno interakcemi mezi částicemi. V tomto systému až několika tisíců částic probíhají různé reakce typu 1 + 2 + ... + I → a + b + ... + F

(1.1)

kde I, F je počet počátečních, resp. koncových částic. Celkový počet částic zúčastněných v dané reakci (1.1) označme N , N = I + F . Interakcemi mezi částicemi systém spěje k termodynamické rovnováze. Pak je počet přímých I → F a obrácených F → I reakcí roven. Systém se s rostoucím časem rozpíná a chladne až nakonec interakce mezi částicemi prakticky ustanou. Takto vytvořené silně interagující systémy se studují pomocí různých částic (tzv. sond) z nich pocházejících. Informace z nich získané pomáhají v rekonstrukci vývoje systému, tj. propojení pozorovaného konečného stavu a nepozorovatelné srážkové (kolizní) historie. Podle typu požadované informace o systému volíme sondu a následně se snažíme registrovat její signál. Např. elektromagnetické signály [4, 5] jsou vhodné ke studiu různých fází takto vytvořeného systému, protože jakmile jsou vytvořeny ihned opouštějí systém. Naproti tomu hadrony silně interagují a dochází tedy k jejich srážkám a rozptylům v tomto expandujícím systému. Čili hadronové signály přinášejí informaci především z doby, kdy je již systém ”průhledný” a k dalším srážkám téměř nedochází. Vektorové mezony jsou vhodnými nástroji pro sondáž takového systému. Jsou to tzv. rezonance. Rezonance je typ částice, která žije velmi krátce. Střední doba života je řádově τ ≈ 10−23 s. Rezonance se rozpadají vlivem silné interakce a to různými způsoby, tzv. kanály. Rezonanci lze přiřadit veličinu zvanou rozpadová šířka Γ, která je charakteristická pro každou rezonanci. Se střední dobou života rezonance τ souvisí vztahem Γ = h ¯ τ −1 . V tabulce 1.1 jsou uvedeny některé rezonance s jejich základními charakteristikami [6]. 7

8

Úvod Tabulka 1.1: Některé rezonance a jejich charakteristiky. rezonance

hmotnost m (MeV)

rozpad. šířka Γ (MeV)

G

PC

I (J

rozpad. kanály

)

poměr (%)

1+ (1−− )

π π, ∼ 100

ρ(770)

775.5 ± 0.4

ω(782)

782.65 ± 0.12

8.49 ± 0.08

0− (1−− )

π + π − π 0 , 89.1

φ(1020)

1019.460 ± 0.019

4.26 ± 0.05

0− (1−− )

K + K − , 49.2

h1 (1170)

1170 ± 20

360 ± 40

0− (1+− )

ρ π, pozorován

b1 (1235)

1229.5 ± 3.2

142 ± 9

1+ (1+− )

ω π, dominantní

a1 (1260)

1230 ± 40

425 ± 1751)

1− (1++ )

ρ π, pozorován

J/Ψ(1S)

3096.916 ± 0.011

149.4 ± 1.0

kvant. čísla

0.0934 ± 0.0021

−

−−

0 (1

)

e+ e− , 5.94

Chování částic v hmotném prostředí je obecně jiné od chování ve vakuu [7, 8, 9, 10]. Částice nacházející se v takto vytvořeném hustém hmotném prostředí interaguje s ostatními částicemi systému přičemž dochází k mnohonásobným rozptylům, anihilaci, opětovné kreaci a dále pokud je částice nestabilní může dojít také k jejímu samotnému rozpadu. Její kreace, propagace a případný rozpad může být velmi ovlivněn mnohočásticovou dynamikou systému. Dochází ke změně charakteristik částice jako např. hmotnostní posun nebo u nestabilní částice k rozšíření její rozpadové šířky. Proto znalost chování vektorových mezonů při nenulových teplotách je důležitá pro systémy vytvořené v ultrarelativistických srážkách těžkých iontů. V horkém a hustém hadronovém plynu dochází mezi částicemi k mnoha srážkám. Nejčastěji jsou počítány tyto srážky jako reakce, kde v počátečním a koncovém stavu vystupují dvě částice, tzv. binární reakce. Vystupuje-li však v počátečním stavu rezonance, nemusí být tento přístup správný. Rezonanci totiž musíme přiřadit jistou pevnou hmotnost, která však může být ve skutečnosti značně rozmazána. Rezonance může s jistou nenulovou pravděpodobností existovat i s jinou hmotností než nominální. Tato skutečnost se obvykle popisuje zavedením spektrálních funkcí rezonancí, které jsou však silně modelově závislé. Proto je realističtější zahrnout i popis tvorby rezonance a to ve srážkách stabilních částic. Tento způsob bere do úvahy i případné interference, které jsou jinak ignorovány. Například těch částic, na které se rezonance nejčastěji rozpadá. Podobně, vystupuje-li rezonance jako koncová částice nějaké reakce, dopouštíme se i zde jisté nepřesnosti. V experimentu se totiž v koncovém stavu rezonance nepozoruje, ale měří se energie a hybnosti jejich rozpadových produktů. Proto je vhodné zahrnout rozpad rezonance i do teoretického popisu celého procesu. Obecně je tedy vhodnější počítat srážky s rezonancemi jako vícečásticové reakce. Binární reakce mohou v těchto případech sloužit jako první přiblížení. Předkládaná práce je rozdělena do šesti kapitol. Po úvodu se v druhé kapitole obecně věnujeme některým charakteristikám částice, které mají souvislost s pohybem částice 1)

Tato hodnota (i její chyba) je zprůměrována. Rozpadová šířka částice a1 (1260) je v [6] udávána jako Γa1 = 250 − 600 MeV.

Úvod

9

v hmotném prostředí. Začínáme s veličinou zvanou reakční výtěžek. Z ní je dále odvozena střední srážková frekvence (neboli střední kolizní šířka) pro částici nacházející se v tepelné rovnováze se systémem. Střední srážková frekvence je nalezena v konkrétních případech reakcí typu (1.1) a to v procesech 2 → 2, 2 → 3, 3 → 2, 3 → 3 (tedy I, F = 2, 3). Ze střední srážkové frekvence pak plyne další charakteristika tzv. střední volná dráha částice. V případě procesu 2 → 2 je odvozena kolizní šířka částice se zadanou energií. Získané vztahy jsou v následujících kapitolách aplikovány na konkrétní procesy. Vše je počítáno na stromové úrovni. Ve třetí kapitole počítáme střední kolizní šířku φ mezonu. Čtvrtá kapitola se podrobně věnuje výpočtu kolizní šířky kaonu se zadanou energií, která byla využita ve třetí kapitole. V páté kapitole se zmíníme o produkci dileptonů v interakcích mezi piony. Konkrétně je spočten proces opačný a to anihilace elektronu s pozitronem na čtyři piony. Tento výpočet slouží k určení Lagrangiánu a1 ρπ interakce. Jeho určení představuje přípravu na výpočty reakčního výtěžku dileptonů z interakcí čtyř pionů. Po této kapitole následuje závěr a dále příloha. Příloha A má souvislost s třetí a čtvrtou kapitolou. Jsou v ní uvedeny výchozí Lagrangiány, jejich vertexy a dále rozpadové šířky pseudoskalárního a vektorového kaonu. Příloha B se váže k páté kapitole. Jsou v ní dva články, které byly publikovány ve Physical Review D ; jmenovitě Electronpositron annihilation into four charged pions and the a1 ρπ Lagrangian a Joint description of the e+ e− annihilation into both four-pion channels. Jejich stručné shrnutí je zahrnuto v článku 5.1. Pod pojmem souřadný systém tepelné lázně bude v dalším míněn těžišťový souřadný systém spojený se systémem částic vytvořeným srážkami těžkých iontů. V něm je suma všech tříhybností částic tvořících systém rovna nule. V dalším bude používána přirozená soustava jednotek (¯h = 1, c = 1). Veškeré výpočty byly naprogramovány v počítačovém kódu jazyka Fortran 77, přičemž byly použity některé subrutiny cernovské knihovny (zdroj: http://wwwasd.web.cern.ch/wwwasd/index.html).

10

Úvod

Kapitola 2 Některé charakteristiky reakcí částic 2.1

Reakční výtěžek

Jednou ze základních charakteristik reakce (1.1) je tzv. reakční výtěžek (angl. rate), ozn. R. Ten udává počet interakcí (např. blíže specifikované reakce) za jednotku času a v jednotkovém objemu. Konvolucí pravděpodobnosti přechodu s hustotou stavů koncových částic a hybnostní distribucí počátečních částic získáváme pro reakční výtěžek vztah Z

R=

Z

dΦI

dΦF (2π)4 δ(PI − PF )

X

X

|MI→F |2 ,

(2.1)

λ1 ,...,λI λa ,...,λF

P

P

kde PI = Ii=1 pi , PF = Ff=a pf je celková počáteční, resp. koncová čtyřhybnost částic, λn n = 1, . . . , N označují polarizace nebo spiny částic a MI→F je amplituda dané reakce. Ta v sobě skrývá charakter interakce, která může být modelově závislá. V případě volného plynu v termodynamické rovnováze lze psát dΦI = dΦF =

I Y d3 pi i=1 F Y

(2π)3

1 fi (Ei ), 2Ei

d3 pf 1 Ff (Ef ), 3 f =a (2π) 2Ef

kde Ei , pi (Ef , pf ) jsou energie, resp. hybnosti počátečních (resp. koncových) částic v souřadném systému spojeném s tepelnou lázní. Dále fn (En{j} ) =

1 {j} (En −µn )/T

e

±1

n = 1, . . . , N

(2.2)

jsou Fermi–Diracovo (+) nebo Bose–Einsteinovo (–) obsazovací číslo částic n. To udává střední počet částic v daném {j}-tém kvantovém stavu s příslušnou energií E {j} , kde {j} může být množina kvantových čísel. Zde T je teplota tepelné lázně a µ je chemický potenciál částice. Veličiny Ff (Ef ) = 1 ∓ ff (Ef ) jsou Fermi–Diracův snižující (–) nebo Bose–Einsteinův zvyšující (+) faktor koncových částic. Ty se zde objeví z důvodu, že je-li systém v termodynamické rovnováze, je počet reakcí I → F a k nim obrácených F → I 11

12

Některé charakteristiky reakcí částic

stejný. Vezmeme-li v úvahu, že amplituda reakce je pro proces přímý a obrácený stejná, pak musí platit f1 (E1 ) . . . fI (EI ) Fa (Ea ) . . . FF (EF ) = fa (Ea ) . . . fF (EF ) F1 (E1 ) . . . FI (EI ), což lze přepsat na e−EI /T e µI /T e−E1 /T e µ1 /T . . . Fa (Ea ) . . . FF (EF ) = 1 ± e−(E1 −µ1 )/T 1 ± e−(EI −µI )/T e−Ea /T e µa /T e−EF /T e µF /T ... F1 (E1 ) . . . FI (EI ). (2.3) 1 ± e−(Ea −µa )/T 1 ± e−(EF −µF )/T S použitím zákona zachování energie E1 + . . . + EI = Ea + . . . + EF a dále zákona zachování chemického potenciálu µ1 +. . .+µI = µa +. . .+µF se nám zkrátí exponenciální funkce v čitatelích. Levá i pravá strana je funkcí stejných proměnných. Pro konkrétní přímou reakci jsou zafixovány počáteční energie E1 , . . . , EI . Příslušné energie koncových částic Ea , . . . , EF se mohou měnit v souladu se zákonem zachování energie a hybnosti. Pro zachování rovnosti stran v (2.3) musí platit Ff (Ef ) =

1 1±

e−(Ef −µf )/T

f = a, . . . , F,

což lze upravit na tvar Ff (Ef ) = 1 ∓ ff (Ef ).

2.2

Reakční výtěžek v reakci 1 + 2 + . . . + I → a + b

Odvoďme nyní vztah pro reakční výtěžek v případě reakce, kde v koncovém stavu vystupují dvě částice, tedy 1 + 2 + . . . + I → a + b. Přepišme vztah (2.1) na tvar

Z

R = (2π)

dΦI Fout ,

(2.4)

kde nyní konkrétně Z

Fout =

Y f =a,b

"

#

X X d3 pf Ff (Ef ) 3 − P ) |MI→2 |2 (2π) δ(P I F 3 (2π) 2Ef λ1 ,...,λI λa ,λb

(2.5)

a PF = pa +pb . Diracova funkce nám dává možnost provést částečnou integraci. Uvažujme nyní těžišťový systém počátečních částic. K němu vztažené veličiny budeme označovat hvězdičkou. Tedy P∗I = 0. Pak lze Diracovu funkci v (2.5) přepsat na tvar součinu dvou Diracových funkcí √ δ(PI∗ − p∗a − p∗b ) = δ( s − Ea∗ − Eb∗ ) δ(p∗a + p∗b ), kde s je v těžišťovém systému počátečních částic kvadrátem jejich celkové energie. Druhá Diracova funkce v tomto součinu nám umožní prointegrovat např. přes d3 p∗b , čili v amplitudě MI→2 se nahradí p∗b za −p∗a , ozn. M0I→2 . Element d3 p∗a přepíšeme na tvar


13

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ p∗2 a dpa dΩa , kde pa = |pa | a dΩa je element prostorového úhlu koncové částice a v těžišťovém systému počátečních částic. V dalším využijeme relaci

δ[ϕ(p)] =

X δ(p − pj ) j

|ϕ0 (pj )|

,

kde se sumuje přes všechny jednoduché (jednonásobné) kořeny pj rovnice ϕ(p) = 0. V našem případě má první Diracova funkce argument ve tvaru ϕ(p∗a ) =

√

q

q

m2a + p∗2 a −

s−

m2b + p∗2 a ,

který má jen jeden kořen (ozn. pˆ∗a ) a to 1 q pˆ∗a = √ λ(s, m2a , m2b ), 2 s

(2.6)

kde λ(x, y, z) je tzv. trojúhelníková funkce λ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2xy − 2xz − 2yz.

(2.7)

Tedy

√ pˆ∗a s |ϕ = . Ea Eb Po dosazení a prointegrování přes dp∗a dostáváme 0

Fout

(ˆ p∗a )|

X X pˆ∗a Z 1 √ |M0I→2 |2 . dΩ∗a Fa (Ea ) Fb (Eb ) = 3 (2π) 4 s λ1 ,...,λI λa ,λb

(2.8)

Celkově tedy pro reakční výtěžek získáváme vztah R=

X X 1 Z pˆ∗a Z √ dΦ dΩ∗a Fa (Ea ) Fb (Eb ) |M0I→2 |2 , I 2 16π s λ1 ,...,λI λa ,λb

(2.9)

kde energie koncových částic v systému tepelné lázně Ea , Eb jsou dány vztahy i 1 h ∗ Ea,b = √ EI Ea,b ± PI .p∗a , s

(2.10)

kde EI a PI jsou celková energie a hybnost počátečních částic v systému termální lázně. Připomeňme si zde, že energie koncových částic v jejich těžišťovém systému (neboli težišťovém systému počátečních částic) jsou konkrétním výběrem stavu počátečních částic zafixovány a to s ± m2a ∓ m2b ∗ √ . = Ea,b 2 s Pro úplnost uvádíme ještě vztah pro hybnosti koncových částic v systému tepelné lázně pa , pb " # PI .p∗a PI ∗ √ ± p∗a . pa,b = √ Ea,b ± s EI + s

14

2.3


Reakční výtěžek v reakci 1 + 2 + . . . + I → a + b + c

Nyní odvodíme vztah pro reakční výtěžek v případě reakce, kde v koncovém stavu vystupují tři částice, tedy 1 + 2 + . . . + I → a + b + c. S využitím vztahu (2.1) a (2.4) dostáváme pro tento případ Z

"

Y

Fout =

f =a,b,c

#

X X d3 pf Ff (Ef ) (2π)3 δ(PI − PF ) |MI→3 |2 , 3 (2π) 2Ef λ1 ,...,λI λa ,λb ,λc

kde PF = pa + pb + pc . Přepišme Fout na tvar Z

Fout =

d3 pa d3 pb d3 pc δ(PI − pa − pb − pc ) × A, Ea Eb Ec

(2.11)

kde A je zkratka pro A=

X X 1 F (E ) F (E ) F (E ) |MI→3 |2 . a a b b c c 3 6 2 (2π) λ1 ,...,λI λa ,λb ,λc

Pomocí relace mezi Diracovými funkcemi δ(PI − pa − pb − pc ) = δ(PI − Pab − pc ) δ(Pab − pa − pb ) přidáme do (2.11) čtyřintegraci přes d4 Pab . K prointegrování přes dpa a d3 pb použijeme stejného postupu jako v sekci 2.2. K tomu vybereme težišťový systém částic a a b. Veličiny vyjádřené vůči tomuto souřadnému systému budeme označovat dvěmi hvězdičkami, (ab)∗∗ . Pak P∗∗ ab = 0. Po částečné integraci dostáváme Z

kde Mab =

3 ∗∗ d3 p∗∗ a d pb ∗∗ ∗∗ δ(Pab − p∗∗ a − pb ) × A Ea∗∗ Eb∗∗

→

Z pˆ∗∗ a 0 dΩ∗∗ a ×A, Mab

q

2 Pab je invariantní hmotnost systému částic a a b,

pˆ∗∗ a =

1 q 2 λ(Mab , m2a , m2b ) 2Mab

∗∗ 0 a dΩ∗∗ a je element prostorového úhlu částice a v těžišťovém systému (ab) . Ve výrazu A ∗∗ je p∗∗ b nahrazeno −pa . Dále vybereme težišťový systém částic a, b a c. Veličiny vyjádřené vůči tomuto souřadnému systému budeme označovat jednou hvězdičkou, (abc)∗ . Pak P∗I = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ . = Mab dMab /Eab , kde dEab dEab přepíšeme na d3 Pab 0 a tedy P∗ab = −p∗c . Element d4 Pab Po úpravě a dosazení výše uvedeného do (2.11) dojdeme ke vztahu

Z

Z

Fout =

dMab

Z ∗ d3 p∗c d3 Pab 0 ∗∗ ∗ ∗ ∗ dΩ∗∗ ) p ˆ − p − P δ(P a ×A. a c ab I ∗ Ec∗ Eab

3 ∗ ∗ 3 ∗∗ Analogicky dle předchozí integrace přes dp∗∗ a a d pb provedeme integraci přes dpc a d Pab . Získáváme Z Z 1 Z ∗ ∗∗ ∗ 00 Fout = √ dMab pˆc pâ dΩc dΩ∗∗ a ×A , s


15

kde s je kvadrát celkové energie koncových částic v jejich těžišťovém systému, 1 q 2 pˆ∗c = √ λ(s, Mab , m2c ) 2 s a dΩ∗c je element prostorového úhlu částice c v těžišťovém systému koncových částic. Ve výrazu A00 je P∗ab nahrazeno −p∗c . Celkově tedy pro reakční výtěžek získáváme vztah Z Z Z 1 1 Z ∗ ∗ ∗∗ dΩc dΩ∗∗ R = 3 dΦI √ dMab pˆc pâ a × 2 (2π)5 s X

Fa (Ea ) Fb (Eb ) Fc (Ec )

X

|M00I→3 |2 ,

(2.12)

λ1 ,...,λI λa ,λb ,λc

kde v amplitudě reakce M00I→3 díky zákonům zachování došlo k následujícím substitucím: ∗∗ ∗ ∗ p∗∗ b → −pa a Pab → −pc . Energie a hybnosti koncových částic v systému tepelné lázně Ea , Eb , Ec a pa , pb , pc jsou dány vztahy i 1 h ∗∗ Eab Ea,b ± Pab .p∗∗ a , Mab 1 = √ [EI Ec∗ + PI .p∗c ] , s " # Pab Pab .p∗∗ a ∗∗ = Ea,b ± ± p∗∗ a , Mab Eab + Mab " # PI .p∗c PI ∗ √ + p∗c , = √ Ec + s EI + s

Ea,b = Ec pa,b pc

kde EI a PI jsou celková energie a hybnost počátečních částic a Eab = Ea + Eb = EI − Ec a Pab = pa + pb = PI − pc celková energie a hybnost systému částic a a b v systému termální lázně.

2.4

Střední srážková frekvence

Jednou z charakteristik částice nacházející se v tepelné rovnováze se systémem je tzv. střední srážková frekvence ν. Ta udává střední počet srážek dané částice za jednotku času. S reakčním výtěžkem je tedy v relaci νi =

R , ni

(2.13)

kde ni i = 1, . . . , I je hustota vyšetřované částice. Ta je dána vztahem Z

ni = gi

d3 pi fi (Ei ), (2π)3

kde gi je degenerační stupeň částice daný relací gi = (2Ii + 1) (2Ji + 1),

(2.14)

16


Obrázek 2.1: Závislost částicové hustoty pro vybrané částice na teplotě tepelné lázně s níž jsou částice v tepelné rovnováze. kde Ii je izospin a Ji spin studované částice. Částicová hustota je funkcí teploty systému, která vystupuje v obsazovacím čísle částice. Na obr. 2.1 je částicová hustota vyobrazena pro některé částice. Střední kolizní šířka dané i−té částice Γi souvisí s její střední srážkovou frekvencí ν i v soustavě jednotek SI vztahem Γi = h ¯ ν i. (2.15)

2.5

Střední volná dráha

Další charakteristickou veličinou pro částici pohybující se v tepelné lázni je tzv. střední volná dráha λ. Ta udává střední vzdálenost mezi dvěmi po sobě jdoucími srážkami. Odvodíme ji na základě následující úvahy. Mějme částici pohybující se rychlostí v ve směru osy x. Označme její srážkovou frekvenci jako ν. Ta udává počet srážek částice za jednotku času. Pak pravděpodobnost, že dojde ke srážce za infinitezimální časový úsek dt lze psát jako ν dt. Pravděpodobnosti, že se částice nesrazí na své dráze do bodů x a x+dx označme jako P (x) a P (x + dx). Pak platí P (x + dx) = P (x) (1 − ν dx/v). Parciální pravděpodobnost, že nedojde ke srážce na úseku délky dx je dP (x, x + dx) = −P (x) ν dx/v.


17

Integrací získáme pravděpodobnost s jakou nedojde ke srážce na cestě do bodu x P (x) = P (0) e−ν x/v . Odtud plyne pro střední volnou dráhu částice se zadanou energií λ=

v . ν

Pro termalizovanou částici máme střední volnou dráhu λ=

v . ν

(2.16)

Její střední rychlost v v tepelné lázni je dána vztahem Z

v = n−1 g

d3 p p f (E) , 3 (2π) E

kde n je hustota částice a g je její degenerační stupeň. Na obr. 2.2 je vyobrazena střední rychlost vybraných částic. Pro dvě střední volné dráhy λ1 , λ2 z různých reakcí (jejichž střední kolizní šířka se sčítá) je příslušná výsledná střední volná dráha dána redukovanou střední volnou dráhou, tj. λ = λ1 λ2 /(λ1 + λ2 ). Obdobně pro λ.

Obrázek 2.2: Závislost střední rychlosti pro vybrané částice na teplotě tepelné lázně s níž jsou částice v tepelné rovnováze.

18

2.6


Kolizní šířka netermalizované částice

V této části si odvodíme vztah pro kolizní šířku částice, která se pohybuje v tepelné lázni se zadanou energií. Budeme uvažovat pouze binární reakce, tj. 1 + 2 → a + b. Částice č. 1 bude vyšetřovanou částicí. Nejprve uvažujme usměrněné toky srážejících se částic. Jejich hustoty a rychlosti označme ρ1 a v1 , resp. ρ2 a v2 . Vyšetřujme srážky v konkrétním objemu V po dobu t. Pak pro střední počet srážek n platí n = ρ1 ρ2 |v1 − v2 | V t σ(p1 , p2 ), kde σ(p1 , p2 ) je koeficient úměrnosti, který závisí na hybnostech počátečních částic p1 a p2 . Celkový počet částic č. 1 ve vyšetřovaném objemu je ρ1 V . Definujme srážkovou frekvenci částice č. 1, ozn. ν1 , jako počet interakcí jedné částice č. 1 za jednotku času a v jednotkovém objemu, tedy n ν1 = . ρ1 V t Nyní uvažujme, že částice č. 2 tvoří tepelnou lázeň o teplotě T . Jejich rychlosti již nejsou usměrněny. Srážková frekvence částice č. 1 způsobená částicemi č. 2 s hybnostmi v intervalu (p2 ,p2 +dp2 ) je d3 ν1 = d3 n2 |v1 − v2 | σ(p1 , p2 ), (2.17) kde d3 n2 = g2

d3 p2 f2 (E2 ). (2π)3

Celkovou srážkovou frekvenci lze psát jako integrál (2.17) přes všechny hybnosti částice č. 2 Z d3 p2 ν1 = g2 f2 (E2 ) |v1 − v2 | σ(p1 , p2 ). (2.18) (2π)3 Střední počet srážek n je invariantem. Proto i veličina ρ1 ρ2 |v1 −v2 | σ(p1 , p2 ) je invariantem. Hustota částic stejně jako energie částic vystupuje v první komponentě příslušných čtyřvektorů (čtyřproud, čtyřhybnost). Mají tedy stejné transformační vlastnosti. Proto i veličina I ≡ E1 E2 |v1 − v2 | σ(p1 , p2 ) je invariantem. Upravme ji na tvar |p1 E2 − p2 E1 | σ(p1 , p2 ). V těžišťovém systému počátečních částic pak lze invariant I zapsat √ I = s pˆ∗1 σ(s), kde s je kvadrát celkové energie počátečních částic v jejich těžišťovém systému a 1 q λ(s, m21 , m22 ), pˆ∗1 = √ 2 s kde λ(x, y, z) je trojúhelníková funkce daná vztahem (2.7). Srovnáním výše uvedených vztahů pro I dostáváme √ ∗ s pˆ1 σ(s). |v1 − v2 | σ(p1 , p2 ) = E1 E2


19

Po dosazení do (2.18) získáme pro srážkovou frekvenci √ g2 Z d3 p2 ν1 = f2 (E2 ) s pˆ∗1 σ(s). 3 E1 (2π) E2

(2.19)

Uveďme si ještě jiný vztah pro srážkovou frekvenci. Pro totální účinný průřez platí Z

σ(s) =

dσ(s, Ω∗a ) dΩ∗a , ∗ dΩa

kde z binárních reakcí pro nepolarizované svazky je pro diferenciální účinný průřez známo dσ(s, Ω∗a ) 1 pˆ∗a 1 X X = |M1+2→a+b |2 . ∗ ∗ 2 dΩa 64π s pˆ1 g1 g2 λ1 ,λ2 λa ,λb Dále s využitím vztahu pro Fout (2.8), kde I = 2, a jeho identity s (2.5) lze vztah (2.19) přepsat na tvar Z X X 1 Z ν1 = |M1+2→a+b |2 , dΦ2 dΦab (2π)4 δ(p1 + p2 − pa − pb ) 2g1 E1 λ1 ,λ2 λa ,λb

(2.20)

kde význam veličin dΦ2 a dΦab je dán vztahy d3 p2 1 f2 (E2 ), (2π)3 2E2 Y d3 pf 1 = Ff (Ef ). 3 f =a,b (2π) 2Ef

dΦ2 = dΦab

Ze vztahu (2.20) se vychází v kapitole 4 při výpočtu kolizní šířky propagovaného kaonu. Pro další použití si zde ještě provedeme jeho částečnou integraci. Přepišme ν1 na tvar 2π Z ν1 = dΦ2 Fout , 2g1 E1 kde Z

Fout =

Y

"

f =a,b

(2.21)

#

X X d3 pf Ff (Ef ) (2π)3 δ(p1 + p2 − pa − pb ) |M1+2→a+b |2 . 3 (2π) 2Ef λ1 ,λ2 λa ,λb

Využitím postupu v článku 2.2 dostáváme Fout =

X X 1 pˆ∗a Z ∗ √ F (E ) F (E ) |M1+2→a+b |2 , dΩ a a b b a 3 (2π) 4 s λ1 ,λ2 λa ,λb

kde dΩ∗a je element prostorového úhlu koncové částice a v těžišťovém systému počátečních částic, pˆ∗a je dáno vztahem (2.6) a energie koncových částic v systému tepelné lázně Ea , Eb jsou dány (2.10). Dosazením Fout do vztahu (2.21) získáváme pro srážkovou frekvenci částice se zadanou energií vztah Z Z X X 1 pˆ∗a ∗ √ ν1 = dΦ F (E ) F (E ) dΩ |M1+2→a+b |2 . 2 a a b b a 32π 2 g1 E1 s λ1 ,λ2 λa ,λb

(2.22)

Kolizní šířka netermalizované částice Γ1 je v přirozené soustavě jednotek rovna příslušné srážkové frekvenci ν1 .

20


Kapitola 3 Mezon φ v hadronovém plynu V této části se budeme zabývat některými vlastnostmi mezonu φ(1020), které jsme si obecně popsali v předešlé kapitole. Jak již bylo řečeno, vektorové mezony hrají důležitou roli při studiu vlastností hmoty vytvořené ultrarelativistickými srážkami těžkých iontů. V tomto směru má φ mezon jako sonda zvláštní postavení. Jeho výhodou je, že se v hmotnostním spektru nekryje s podobnými částicemi, jako např. ρ(770) a ω(782). Další výhodou je, že poskytuje oba signály; elektromagnetický i hadronový. Rozpadá se především na kaonový pár (nabitý i nenabitý) a vzácněji pak na dileptony tj. e+ e− , µ+ µ− (viz tabulka 3.1 [6]). Oba kanály byly detekovány na SPS v CERNu [11]. Tabulka 3.1: Některé rozpadové kanály mezonu φ(1020). rozpadový kanál

větvící poměr (Γi /Γ)

K +K −

(49.2 ± 0.6) %

KL0

(34.0 ± 0.5) %

KS0 + − 0

ρπ + π π π

(15.3 ± 0.4) %

ηγ

(1.301 ± 0.024) %

0

π γ

(1.25 ± 0.07) ×10−3

e+ e−

(2.97 ± 0.04) ×10−4

µ+ µ −

(2.86 ± 0.19) ×10−4

π+π−

(7.3 ± 1.3) ×10−5

Celková rozpadová šířka φ mezonu ve vakuu je Γ = 4.26 ± 0.05 MeV. Tedy střední doba života je τ ∼ 1.55 × 10−22 s neboli c τ ∼ 46.3 fm. Čili doba života je relativně dlouhá. Při srážkách těžkých iontů je transverzální velikost vzniklého systému zhruba rovna R ' 1.2 fm × A1/3 , kde A je hmotnostní číslo projektilu (urychleného iontu). Současné experimenty s těžkými svazky dosahují R okolo 10 fm. Meson φ je považován, díky malému účinnému průřezu v procesech s nepodivnými hadrony, za málo interaktivní částici. Podaří se mu projít celý systém bez toho, aby došlo ke srážce nebo rozptylu? V hmotném prostředí o teplotách kolem hmotnosti pionu a výše dochází k rozšíření rozpadové šířky částice díky intenzivní interakci s ostatními částicemi, poněvadž hustoty 21

22

Mezon φ v hadronovém plynu

jsou téměř jeden hadron/fm3 . Otázkou je, zda i střední volná dráha takové částice je řádově femtometr. Lze totiž očekávat různé výsledky v závislosti na tom, jestli jeho střední volná dráha je menší, stejná nebo větší než R. Celková střední volná dráha částice je rovna součtu všech jejich dílčích středních volných drah příslušných různým reakcím. Většinou je počítána z několika reakcí dávajících dominantní příspěvek. Vlastnosti φ mezonu byly studovány v různých pracích. V práci [12] byla nalezena pro teplotu T = 200 MeV střední kolizní šířka Γ = 27.4 MeV, čemuž odpovídá střední volná dráha λ = 4.4 fm. V úvahu bylo vzato celkem 17 reakcí (a to srážky převážně s π, K, ρ a dále s K ∗ , K1 , φ). Později byla práce rozšířena o srážky φ mezonu s baryony [13]. Díky nim se kolizní šířka modifikuje o 1–10 MeV při teplotě T = 170 MeV v závislosti na chemickém potenciálu baryonů. V práci [14] byla kolizní šířka počítána až z 28 reakcí. Hadronový plyn se skládal z částic K ∗ , K, ρ, π, ω a φ. Pořadí částic zde udává výši příspěvku k celkové šířce, přičemž dominantní příspěvek mají srážky s K ∗ . Bylo spočteno, že střední volná dráha při teplotách T > 170 MeV je λ < 2.4 fm. V poslední zde zmíněné práci [15] je nalezeno, že střední doba života φ mezonu je při velkých teplotách zhruba 5–8 fm/c. Všechny tyto výsledky naznačují, že díky srážkám φ mezonu s ostatními částicemi systému dochází k jeho rozpadu uvnitř systému. Ve všech pracech byla střední kolizní šířka počítána z binárních reakcí, tj. φ+2 → a+b. V úvodní kapitole jsme se zmínili, že pokud vystupuje v počátečním nebo koncovém stavu rezonance, nemusí být toto přiblížení vhodné. Rezonanci totiž musíme přiřadit jistou pevnou hmotnost, která však může být ve skutečnosti značně rozmazána. Proto je vhodnější uvažovat tuto rezonanci jako systém složený z více částic. Přesněji řečeno, místo pohybu částice φ v plynu obsahujícího rezonance X budeme počítat pohyb φ v plynu obsahující částice, na které se rezonance X nejčastěji rozpadá. Místo reakcí s rezonancemi budeme počítat reakce s více částicemi (a to v počátečním nebo i koncovém stavu). Výpočty binárních reakcí s rezonancemi mohou v těchto případech sloužit jako první přiblížení. V této kapitole bude naším cílem spočtení střední kolizní šířky φ mezonu v reakcích 2 → 2, 2 → 3, 3 → 2 a 3 → 3. Jako základní reakci vezmeme φK ∗ → πK ∗ .

(3.1)

V tomto procesu vystupuje rezonance1) K ∗ (892) v počátečním i koncovém stavu. Její hmotnost je m = 893.83 ± 0.26 MeV, celková rozpadová šířka Γ = 50.55 ± 0.75 MeV2) a rozpadá se téměř výhradně kanálem K ∗ → Kπ. Tuto rezonanci postupně nahradíme dvojicí částic K a π. Nahrazení provedeme nejdříve pro K ∗ v koncovém stavu φK ∗ → πKπ,

(3.2)

φKπ → πK ∗

(3.3)

φKπ → πKπ.

(3.4)

pak v počátečním stavu a nakonec v obou stavech 1)

Mezon φ je také rezonance. Jeho rozpadová šířka je však o řád menší než rozpadová šířka K ∗ . Proto zde mezon φ bereme v úzké aproximaci. 2) Hmotnost a celková rozpadová šířka jsou zprůměrovány přes nábojové stavy částice.


23

Společným rysem všech reakcí s přidanou třetí částicí je posunutí prahové energie koncového, počátečního nebo obou stavů. Dále dochází k přídavným interferencím. Lze prohodit koncové piony nebo počáteční a koncový pion nebo kaon, popř. jejich kombinace. Abychom lépe viděli, které diagramy v procesech se třemi částicemi hrají dominantní roli, provedeme u těchto reakcí tři dodatečná dělení: 1) zahrnutí pouze diagramů, kde rezonance K ∗ vzniká nebo zaniká s kanálem (příslušné veličiny opatříme indexem s), 2) zahrnutí všech diagramů s tříčásticovými vertexy (označení bez indexu), 3) k případu 2) přidáme i kontaktní členy z LφK ∗ Kπ (označeno indexem c). V případě reakce 2 → 3 přístup 1) a 2) splývá. Celkem tedy provedeme devět výpočtů střední kolizní šířky φ mezonu (1x 2 → 2, 2x 2 → 3, 3x 3 → 2 a 3x 3 → 3). K popisu interakce φ mezonu s pseudoskalárními a vektorovými mezony použijeme Lagrangiány z [14], které jsou založeny na modelu skryté lokální symetrie [16]. Uvažujeme pouze stromové diagramy. K tvorbě amplitud těchto diagramů potřebujeme příslušné vertexy, propagátory a případně form faktory. Pravidla pro vertexy jsou popsány v příloze A.2. Vyměňovanými částicemi budou pouze pseudoskalární a vektorový kaon. Používáme propagátory ve tvaru PK (s) = i PKµν∗ (s) = i

h

1

i,

s − m2K + i mK ΓK (s) + Γcoll K (mKv , EK ; T )

(3.5)

−g µν + P µ P ν /m2K ∗ , s − m2K ∗ + i mK ∗ ΓK ∗ (s)

kde celkové rozpadové šířky ΓK (s), ΓK ∗ (s) jsou dány součtem sedmi, resp. osmi dílcoll čích rozpadových šířek uvedených v příloze √ A.3. Kolizní šířka kaonu ΓK (mKv , EK ; T ) je funkcí invariantní hmotnosti mKv = s a kinetické energie kaonu EK a dále teploty tepelné lázně v níž se kaon pohybuje. Zahrnutí kolizní šířky kaonu do vztahu (3.5) je nevyhnutelné. V procesech kde vystupují tři částice v počátečním nebo koncovém stavu může totiž oproti případu φK ∗ → πK ∗ dojít k situaci, kdy vyměňovaný pseudoskalární kaon se dostane na hmotovou nadplochu. Protože však rozpadová šířka ΓK (s) je v oblasti s ' m2K nulová, protože ještě není otevřen žádný silný rozpadový kanál, dojde k znehodnocení výpočtů. V procesu φK ∗ → πK ∗ k tomuto nedochází, protože v s kanálu je (mφ + mK ∗ )2 À m2K . V u kanálu platí i 1 h (s + m21 − m22 )(s + m2b − m2a ) ∓ λ1/2 (s, m21 , m22 ) λ1/2 (s, m2a , m2b ) , 2s kde trojúhelníková funkce λ(x, y, z) je dána vztahem (2.7) a m1 = mφ , m2 = mK ∗ , ma = mπ , mb = mK ∗ . Tedy maximální hodnota umax < 0, viz obr. 3.1. Proto je nutné k samotné rozpadové šířce ΓK (s) v (3.5) připočítat ještě kolizní šířku kaonu Γcoll K (mKv , EK ; T ), která je indukována srážkami virtuálního kaonu s ostatními částicemi prostředí. Jejímu výpočtu se věnuje kapitola 4. Form faktor, který obecně podchycuje nebodovost hadronů, používáme ve tvaru 2 2 umax min (s) = m1 +mb −

F F (s) =

Λ2 , Λ2 + |s − m2 |

kde pro parametr Λ používáme hodnotu 1 GeV [17]. Čím je jeho hodnota nižší, tím je potlačení interakce vyšší. Tímto form faktorem se násobí propagátor každé vyměňované

24


Obrázek 3.1: Závislost maximální a minimální hodnoty invariantu u na invariantu s. částice a to v libovolném kanálu, čímž se liší od form faktorů vázaných na vertex [18]. Jeho výhodou oproti ostatním používaným form faktorům je, že je symetrický vzhledem k různým kanálům (spojitost pro všechny hodnoty s ∈ R). Dále nabývá pouze hodnot z intervalu (0, 1i a je normován na rozpad na hmotové nadploše. Je to lorentzovský invariant. Při výpočtu jsou použity parametry z [6] (jako např. hmotnosti částic, jejich rozpadové šířky, . . . ). Pokud existuje částice ve více nábojových stavech jsou parametry zprůměrovány. Ve všech zmíněných reakcích vystupují pouze bosonové částice. Je tedy použita Bose–Einsteinova statistika. Chemický potenciál vystupující v příslušných obsazovacích číslech (2.2) klademe, jak bývá zvykem, roven nule. To odpovídá skutečně neutrálnímu prostředí, které vznikne srážkou částice a antičástice. V případě jiných srážek se pak předešlé výsledky násobí tzv. fugacitou. Výsledky jsou potom správné pouze v případě, že je použita pro zúčastněné částice srážky Boltzmannova statistika. V ostatních případech pak lze tento výsledek brát jako první přiblížení.

3.1

Střední kolizní šířka φ v reakci φK ∗ → πK ∗

V této části budeme počítat střední kolizní šířku φ mezonu indukovanou reakcí φK ∗ → πK ∗ .


25

Podle (2.15) a s využitím (2.13) platí Γφ = n−1 φ R2→2 ,

(3.6)

kde nφ je hustota φ mezonu v tepelné lázni daná vztahem (2.14) v němž gφ = 3, protože mezon φ je izosingletní vektorová částice. Průběh hustoty je znázorněn na obr. 2.1. Pro R2→2 s využitím (2.9) dostáváme R2→2 =

Z 3 X d p1 d3 p2 pˆ∗a Z 1 ∗ √ f (E ) f (E ) dΩ F (E ) F (E ) |M02→2 |2 . 1 1 2 2 a a b b a 16(2π)8 E1 E2 s λ1 ,λ2 ,λb

Amplitudu reakce M02→2 dále značme jen jako M, její sumaci přes všechny dostupné počáteční a koncové polarizace budeme značit sumací přes λm a nebudeme již dále vypisovat závislost některých veličin na energii či hybnosti. K vyčíslení tohoto integrálu použijeme numerickou metodu Monte Carlo. Pro zjednodušení výpočtů zužitkujeme některé symetrie počátečního stavu. Bez újmy na obecnosti lze uvažovat, že φ se pohybuje vždy ve směru jedné osy a dále, že ke srážce s K ∗ dochází vždy ve stejné rovině. Element d3 p1 přepíšeme na p1 E1 dE1 dΩ1 . Pak lze úhlovou část ihned prointegrovat; získáme 4π. Podobně element d3 p2 přepíšeme na p2 E2 dE2 dcos ϑ2 dϕ2 . Zde lze hned prointegrovat přes dϕ2 ; získáme 2π. Pak pro R2→2 máme Z Z Z Z X 1 Z pˆ∗a ∗ ∗ √ R2→2 = |M|2 . dE p f dE p f F F dcos ϑ dcos ϑ dϕ 1 1 1 2 2 2 a b 2 a a 6 8(2π) s λm (3.7) Pro provedení integrace metodou Monte Carlo potřebujeme převést integrační objem na jednotkový. K tomu poslouží substituce

E1 = m1 − T ln ξ1 , E2 = m2 − T ln ξ2 ,

dE1 = − ξT1 dξ1 , dE2 =

− ξT2

dξ2 ,

cos ϑ2 = 2 ξ3 − 1,

dcos ϑ2 = 2 dξ3 ,

cos ϑ∗a = 2 ξ4 − 1,

dcos ϑ∗a = 2 dξ4 ,

ϕ∗a

= 2π ξ5 ,

dϕ∗a

= 2π dξ5 ,

Z ∞ m1 Z ∞ m2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 2π 0

→ → → → →

Z 0 1

Z 0 1 Z 1 0

Z 1 0

, ,

, ,

Z 1 0

(3.8)

,

kde ξ1 , . . . , ξ5 jsou nové integrační proměnné nabývající hodnoty z intervalu h0, 1i. Pro generaci čísel z tohoto intervalu jsou použity generátory s rovnoměrným rozložením náhodných čísel. Pro veličiny spojené s počátečními nebo koncovými částicemi jsou použity jiné generátory. Teplota T vystupující v substitucích energií zajišťuje spolu s logaritmickou funkcí nerovnoměrnou generaci energií na intervalu hm, ∞), která je v korespondenci s daným rozdělením energií v tepelné lázni o teplotě T . Vztah (3.7) lze pak přepsat na R2→2 =

Z Z Z X p2 p1 Z pˆ∗a T2 Z √ dξ5 |M|2 . dξ dξ dξ dξ f f F F 4 2 3 1 1 2 a b 5 64π ξ1 ξ2 s λm

26


Obrázek 3.2: Feynmanovy diagramy reakce φK ∗ → πK ∗ . V s i u kanálu se vyměňuje K nebo K ∗ . Celkem máme čtyři diagramy. Zaměřme se nyní na amplitudu. Ta je v tomto případě indukována celkem čtyřmi Feynmanovými diagramy, viz obr. 3.2. Dochází k výměně částice K nebo K ∗ v s nebo u kanálu. Vezmeme-li v počátečním stavu kladně nabitý kaon, pak může docházet k těmto konkrétním reakcím φK ∗ + → π 0 K ∗ + , φK ∗ + → π + K ∗ 0 . ¯ ∗0 . Máme tedy Počáteční kaon má však čtyři nábojové stavy, a to K ∗ + , K ∗ − , K ∗ 0 a K celkem 8 reakcí typu (3.1). Silná interakce je nábojově nezávislá. Pro kvadrát celkové amplitudy tedy platí |M|2 = 4 |MφK ∗ + →πK ∗ |2 = 12 |MφK ∗ + →π0 K ∗ + |2 , kde MφK ∗ + →π0 K ∗ + sestává ze čtyř interferujících amplitud (viz obr. 3.2). Výsledek numerické integrace je graficky znázorněn na obr. 3.3. Je vidět, že střední kolizní šířka s teplotou monotónně roste. Pro teplotu T = 150 MeV je rovna 0.2470 ± 0.0004 MeV a pro T = 200 MeV je Γφ = 1.892 ± 0.004 MeV.

3.2

Střední kolizní šířka φ v reakci φK ∗ → πKπ

Nyní nalezněme střední kolizní šířku φ mezonu pro reakci φK ∗ → πKπ. Analogicky dle předchozího (viz (3.6)) potřebujeme nyní vyjádřit R2→3 . S využitím (2.12) dostáváme R2→3 =

Z Z Z 3 X 1 Z 1 d p1 d3 p2 ∗∗ ∗ ∗ ∗∗ √ F F F |M|2 , dΩ dΩ p ˆ f f dM p ˆ a b c 1 2 ab a c a c 5 11 2 (2π) E1 E2 s λ1 ,λ2 (3.9)


27

Obrázek 3.3: Střední kolizní šířka φ mezonu v reakci φK ∗ → πK ∗ jako funkce teploty tepelné lázně v níž se φ pohybuje. kde jsme již zkrátili zápis některých veličin jako v předchozím případě. K numerickému zpracování tohoto integrálu reakčního výtěžku metodou Monte Carlo převedeme integrační objem opět na jednotkový. Substituce použité pro veličiny vážící se k počátečním částicím se nemění, viz (3.8). S přidáním jedné koncové částice máme navíc tři stupně volnosti a tedy tři nové proměnné. Substituce veličin koncových částic jsou následující cos ϑ∗∗ a

= 2 ξ4 − 1,

dcos ϑ∗∗ a

= 2 dξ4 ,

ϕ∗∗ a = 2π ξ5 ,

dϕ∗∗ a = 2π dξ5 ,

cos ϑ∗c = 2 ξ6 − 1,

dcos ϑ∗c = 2 dξ6 ,

ϕ∗c

= 2π ξ7 ,

dϕ∗c

= 2π dξ7 ,

Z 1 −1 Z 2π 0

Z 1

Z

Mab = ma + mb + 4M ξ8 , kde 4M = R2→3

√

dMab = 4M dξ8 ,

√

0

→ →

s−mc

ma +mb

,

Z 1

→

Z

−1 Z 2π 0

→

Z 1

0 1

0

,

Z 1 0

,

,

→

Z 1 0

,

s − mc − ma − mb . Vztah (3.9) lze pak přepsat na

X p2 4M Z p1 Z T2 Z ∗ ∗∗ √ F F F |M|2 . dξ p ˆ dξ f f dξ p ˆ = a b c 2 1 1 2 4−8 c a 2(2π)7 ξ1 ξ2 s λ1 ,λ2

28


Nyní k amplitudě daného procesu. Vezmeme-li v počátečním stavu kladně nabitý kaon, pak může docházet k těmto konkrétním reakcím φK ∗ + → π 0 K + π 0 , φK ∗ + → π 0 K 0 π + , φK ∗ + → π + K + π − . Počáteční kaon existuje ve čtyřech nábojových stavech. Máme tedy celkem 12 reakcí typu (3.2). Pro kvadrát celkové amplitudy platí ½

|M|2 = 4

¾

1 |MφK ∗ + →π0 K + π0 |2 + |MφK ∗ + →π0 K 0 π+ |2 + |MφK ∗ + →π+ K + π− |2 , 2!

kde faktor 1/2! u první dílčí amplitudy zohledňuje identičnost pionů v koncovém stavu. Tuto první reakci budeme brát za referenční reakci. Ta se může realizovat pomocí deseti Feynmanových diagramů zobrazených na obr. 3.4. Provedeme rozdělení diagramů na dvě skupiny. Diagramy vlevo označíme jako Ma (5 diagramů) a diagramy vpravo jako Mb (5 diagramů). Pak MφK ∗ + →π0 K + π0 = Ma + Mb a tedy

½

|M|2 = 4

¾

1 |Ma + Mb |2 + 2 |Ma − Mb |2 + 4 |Mb |2 . 2!

Jak již bylo řečeno dříve, budeme provádět více výpočtů, abychom lépe viděli přínos jednotlivých diagramů k celkovému výsledku. V tomto případě provedeme dva výpočty, a to bez a s kontaktními diagramy (dolní řádek na obr. 3.4). Výsledek numerické integrace je graficky znázorněn na obr. 3.5. Lze vidět, že kontaktní diagramy k celkové amplitudě přispívají velice málo. Střední kolizní šířka φ mezonu je v tomto případě srovnatelná se šířkou indukovanou základním procesem φK ∗ → πK ∗ .

3.3

Střední kolizní šířka φ v reakci φKπ → πK ∗

V pořadí třetí budeme počítat střední kolizní šířku φ mezonu příslušející reakci φKπ → πK ∗ . K vyjádření R3→2 použijeme (2.9) čímž získáváme R3→2 =

Z 3 X 1 pˆ∗a Z d p1 d3 p2 d3 p3 √ f f f dΩ∗a Fa Fb |M|2 , 1 2 3 5 11 2 (2π) E1 E2 E3 s λm

(3.10)

kde jsme opět zkrátili zápis některých veličin. Pro převod integračního objemu využijeme substituce z procesu 2 → 2, viz (3.8). K nim přidáme pouze substituce vážící se k přidané třetí počáteční částici. Opět máme navíc tři stupně volnosti a tedy tři nové nezávislé


29

Obrázek 3.4: Feynmanovy diagramy reakce φK ∗ → πKπ. Ve čtyřech horních diagramech lze vyměňovaný K zaměnit za K ∗ . Spodní řádek jsou kontaktní diagramy. Celkem máme deset diagramů. Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových pionů.

30


Obrázek 3.5: Střední kolizní šířka φ mezonu v reakci φK ∗ → πKπ jako funkce teploty tepelné lázně v níž se φ pohybuje. Index (c) znamená, že byly započítány také kontaktní diagramy. Pro porovnání je zobrazen i základní proces φK ∗ → πK ∗ . integrační proměnné. Substituce volíme následovně E3 = m3 − T ln ξ6 , cos ϑ3 = 2 ξ7 − 1, ϕ3 = 2π ξ8 ,

dE3 =

− ξT6

dξ6 ,

dcos ϑ3 = 2 dξ7 , dϕ3 = 2π dξ8 ,

Z ∞ m3 Z 1 −1 Z 2π 0

→ → →

Z 0 1 Z 1 0

,

,

Z 1 0

,

Pak vztah (3.10) lze přepsat na R3→2

Z Z X p2 Z p3 T3 Z p1 Z pˆ∗a √ dξ |M|2 . dξ dξ dξ = dξ f f f F F 3−5 2 6 7,8 1 1 2 3 a b 7 2(2π) ξ1 ξ2 ξ6 s λm

K reakci (3.3) budeme přistupovat ze třech různých hledisek: 1) nejdříve budeme uvažovat, že počáteční K a π vytváří s kanálem rezonanci K ∗ (připneme s index), 2) nebudeme počáteční K a π vázat jen na s kanál (tzn. bude docházet k interferenci mezi počátečním a koncovým pionem) a nebudeme brát kontaktní diagramy (označení bez indexu), 3) k případu 2) přidáme kontaktní diagramy (připneme c index). S tím souvisí tři rozdílné amplitudy reakcí.


31

Obrázek 3.6: Feynmanovy diagramy reakce φKπ → πK ∗ , kde počáteční K a π vytvářejí rezonanci K ∗ v s kanálu. Díky výměně K a K ∗ máme celkem čtyři diagramy. První z nich získáme následovně. V počátečním stavu uvažujme kladně nabitý vektorový kaon. Ten se dá vytvořit dvěmi způsoby. Jako vázaný stav K + a π 0 nebo K 0 a π + . Může tedy docházet k těmto čtyřem reakcím φK + π 0 φK + π 0 φK 0 π + φK 0 π +

→ → → →

π0K ∗+, π+K ∗0, π0K ∗+, π+K ∗0.

Feynmanovy diagramy libovolné z uvedených reakcí jsou znázorněny na obr. 3.6. Vezmeme-li opět v úvahu, že podobně mohou interagovat další tři nábojové stavy vektorového kaonu a zohledníme Clebsch–Gordanovy koeficienty příslušných vázaných stavů tvořících K ∗ , získáme v tomto případě pro kvadrát celkové amplitudy vztah |Ms |2 = 4

4 X

2 2 |Mm s | = 36 |MφK + π 0 →π 0 K ∗ + | .

m=1

Ke konstrukci amplitudy v druhém případě budeme uvažovat v počátečním stavu kladný pseudoskalární kaon K + . Pak dochází k těmto reakcím φK + π 0 φK + π 0 φK + π − φK + π − φK + π +

→ → → → →

π0K ∗+, π+K ∗0, π0K ∗0, π−K ∗+, π+K ∗+.

Máme tedy v tomto případě celkem 20 reakcí typu (3.3). Za referenční amplitudu zvolme první amplitudu MφK + π0 →π0 K ∗ + . Feynmanovy diagramy referenční amplitudy jsou znázorněny na obr. 3.6 a obr. 3.7. Opět provedeme rozdělení diagramů na dvě skupiny.

32


Obrázek 3.7: Feynmanovy diagramy reakce φKπ → πK ∗ , kde počáteční K a π nevytvářejí rezonanci K ∗ v s kanálu. Díky výměně K a K ∗ máme celkem čtyři diagramy.

Obrázek 3.8: Feynmanovy kontaktní diagramy reakce φKπ → πK ∗ . Celkem máme dva diagramy. Ty se liší pouze záměnou počátečního a koncového pionu.


33

Obrázek 3.9: Střední kolizní šířka φ mezonu v reakci φKπ → πK ∗ jako funkce teploty tepelné lázně v níž se φ pohybuje. Index (s) znamená, že byly uvažovány pouze diagramy, kde počáteční kaon a pion vytvoří rezonanci K ∗ v s kanálu; křivka bez indexu bere v úvahu i ostatní kanály; index (c) znamená, že byly započítány také kontaktní diagramy. Pro porovnání je zobrazen i základní proces φK ∗ → πK ∗ . Diagramy na obr. 3.6 označíme jako Ma a na obr. 3.7 jako Mb . Pak MφK + π0 →π0 K ∗ + = Ma + Mb . Sumací všech kvadrátů pěti, resp. dvaceti dílčích amplitud získáváme pro kvadrát celkové amplitudy n

o

|M|2 = 4 |Ma + Mb |2 + 2 |Ma − Mb |2 + 2 | − Ma + Mb |2 + 4 |Ma |2 + 4 |Mb |2 . (3.11) Amplituda reakce třetího případu se od druhého liší pouze přítomností kontaktních Feynmanových diagramů, viz. obr. 3.8. Předefinujeme veličiny Ma a Mb . K Ma přidáme diagram vlevo na obr. 3.8 a k Mb diagram vpravo. Pak pro kvadrát celkové amplitudy |Mc |2 lze použít vztah (3.11). Výsledek numerické integrace je graficky znázorněn na obr. 3.9. Opět kontaktní členy prakticky nepřispívají. Vyjma prvního případu (kdy je rezonance K ∗ tvořena s kanálem) je střední kolizní šířka φ mezonu z reakce φKπ → πK ∗ o něco větší než v předešlých dvou případech.

34


3.4

Střední kolizní šířka φ v reakci φKπ → πKπ

V posledním případě budeme počítat střední kolizní šířku φ mezonu indukovanou reakcí φKπ → πKπ. K vyjádření R3→3 použijeme (2.12) čímž získáváme R3→3 =

Z 3 1 1 Z d p1 d3 p2 d3 p3 √ f (E ) f (E ) f (E ) dMab pˆ∗c pˆ∗∗ 1 1 2 2 3 3 a × 26 (2π)14 E1 E2 E3 s

Z

Z

dΩ∗c

dΩ∗∗ a Fa (Ea ) Fb (Eb ) Fc (Ec )

X

|M|2 ,

(3.12)

λ1

kde jsme zkrátili označení celkové amplitudy reakce. K integraci (3.12) metodou Monte Carlo využijeme substituce použité v předešlých případech. Provedeme jejich přeznačení a pro přehlednost je zde vypisujeme E1 = m1 − T ln ξ1 , E2 = m2 − T ln ξ2 , cos ϑ2 = 2 ξ3 − 1, E3 = m3 − T ln ξ4 , cos ϑ3 = 2 ξ5 − 1, ϕ3 = 2π ξ6 ,

dE1 = − ξT1 dξ1 , dE2 =

− ξT2

dξ2 ,

dcos ϑ2 = 2 dξ3 , dE3 =

− ξT4

dξ4 ,

dcos ϑ3 = 2 dξ5 , dϕ3 = 2π dξ6 ,

Mab = ma + mb + 4M ξ7 ,

dMab = 4M dξ7 ,

cos ϑ∗∗ a = 2 ξ8 − 1,

dcos ϑ∗∗ a = 2 dξ8 ,

ϕ∗∗ a

= 2π ξ9 ,

cos ϑ∗c = 2 ξ10 − 1, ϕ∗c = 2π ξ11 ,

dϕ∗∗ a

= 2π dξ9 ,

dcos ϑ∗c = 2 dξ10 , dϕ∗c = 2π dξ11 ,

Z ∞ m1 Z ∞ m2 Z 1 −1 Z ∞ m3

Z 1

−1 Z 2π 0

→ → → → →

Z 0 1

Z 0 1 Z 1 0

1

0

0

Z 1 −1 Z 2π 0

→ → →

,

0

,

→

ma +mb Z 1 Z 1

→

,

Z 1

→

Z √s−mc

−1 Z 2π

,

,

Z 0 Z 1

,

0

0

0

,

,

,

Z 1 0

0

,

Z 1 Z 1

Z 1

,

√ kde 4M = s − mc − ma − mb . Máme tedy celkem 11 nezávislých integračních proměnných. Jejich dosazením do (3.12) dostaneme R3→3

Z Z p1 p2 p3 4M Z T3 Z dξ1 f1 (E1 ) dξ2 f2 (E2 ) dξ4 f3 (E3 ) √ dξ7 pˆ∗c pˆ∗∗ = a × 2(2π)9 ξ1 ξ2 ξ4 s Z

Z

dξ5,6

dξ8−11 Fa (Ea ) Fb (Eb ) Fc (Ec )

X λ1

|M|2 .

(3.13)


35

Jako v předešlém případě budeme i zde k reakci (3.4) přistupovat ze třech různých hledisek. Začneme však nejobecnějším případem, kdy bereme v úvahu všechny možné diagramy. Uvažujme v počátečním stavu kladný kaon K + . Může probíhat těchto osm reakcí φK + π 0 φK + π 0 φK + π 0 φK + π − φK + π − φK + π − φK + π + φK + π +

→ → → → → → → →

π0K +π0, π0K 0π+, π−K +π+, π0K 0π0, π−K +π0, π−K 0π+, π0K +π+, π+K 0π+.

Za referenční amplitudu zvolíme první amplitudu. Její Feynmanovy diagramy jsou znázorněny na obr. 3.10 až obr. 3.14. Je jich celkem 44. Dochází zde k prohazování počátečního a koncového kaonu, také počátečního a koncového pionu a navíc dvou koncových pionů a dále k různým kombinacím těchto výměn. Jak už jsme viděli dříve, ne všechny amplitudy daných reakcí jsou indukovány všemi Feynmanovými diagramy. To jestli Feynmanův diagram pro danou reakci existuje či nikoliv rozhoduje především zákon zachování náboje a podivnosti. V tabulce 3.2 je uvedeno, které Feynmanovy diagramy se pro danou reakci realizují. Vystupují v ní čísla {1, 0, -1}, které charakterizují příslušnou amplitudu dané reakce vůči amplitudě referenční reakce. Jsou to tedy koeficienty relativní realizace rc. Koeficient ’1’ znamená, že se daná amplituda realizuje se stejným znaménkem jako amplituda referenční reakce, ’0’ znamená, že příslušná amplituda neexistuje a ’-1’ k m-té znamená, že se realizuje s opačným znaménkem. Celkový relativní koeficient CCm k amplitudy k-té reakce sestává ještě z Clebsch-Gordanova koeficientu CG . Tedy k CCm = rckm CGk

m = 1, . . . 44,

k = 1, . . . 8

k k a platí CCm = CCm+16 pro každou reakci k, kde m = 1, . . . , 16, protože příslušné diagramy se liší pouze záměnou vyměňovaného K za K ∗ , což koeficienty nezmění. V případě referenční reakce se při konstrukci její celkové amplitudy uplatní všech 44 diagramů. Kvadrát této amplitudy je pak určen 990-ti nezávislými dílčími interferenčními členy. Pro zbývajících sedm reakcí se interferenční členy opakují až na jistou konstantu k a případně faktoru identity F I k (podchydanou celkovými relativními koeficienty CCm cující nerozlišitelnost koncových pionů). Součtem všech těchto konstant dané interference i-té a j-té amplitudy příslušné reakce pro všech osm reakcí získáme interferenční faktor Ci,j , který nám ulehčí výpočet celkové amplitudy. Tento interferenční faktor je tedy dán relací

Ci,j =

8 X

(CGk )2 F I k rcki rckj

i = 1, . . . , 44,

j = i, . . . , 44.

k=1

Kvadrát celkové amplitudy vystupující ve vztahu (3.13) je pak dán součtem všech 990-ti dílčích interferenčních členů |Mc |2 = 4 (|Mac |2 + |Mbc |2 ),

(3.14)

36


Obrázek 3.10: Feynmanovy diagramy reakce φKπ → πKπ. Ve všech diagramech lze vyměňovaný K zaměnit za K ∗ . Celkem máme tedy osm diagramů. Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových pionů.


37

Obrázek 3.11: Feynmanovy diagramy reakce φKπ → πKπ. Ve všech diagramech lze vyměňovaný K zaměnit za K ∗ . Celkem máme na této straně tedy dvanáct diagramů. Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových pionů.

38


Obrázek 3.12: Feynmanovy diagramy reakce φKπ → πKπ. Ve všech diagramech lze vyměňovaný K zaměnit za K ∗ . Celkem máme na této straně tedy dvanáct diagramů. Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových pionů.


39

Obrázek 3.13: Feynmanovy kontaktní diagramy reakce φKπ → πKπ. Celkem máme na této straně šest diagramů. Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových pionů.

40


Obrázek 3.14: Feynmanovy kontaktní diagramy reakce φKπ → πKπ. Celkem máme na této straně tedy šest diagramů. Diagramy vlevo a vpravo se liší záměnou koncových pionů.


41

Tabulka 3.2: Souhrn relativních koeficientů realizace rc Feynmanových diagramů v reakcích typu 3 → 3. Koeficient ’1’ znamená, že se daná amplituda realizuje se stejným znaménkem jako amplituda referenční reakce, ’0’ znamená, že příslušná amplituda neexistuje a ’-1’ znamená, že se realizuje s opačným znaménkem. Platí rcm = rcm+16 , kde m = 1, . . . , 16 pro každou reakci 1–8. Vedle číselného označení diagramu je uveden odkaz na příslušný obrázek. Písmenka jsou v daném obrázku přiřazována jednotlivým diagramům zleva doprava a dolů. číslo reakce 1 2 3 4 5 6 7 8 √ √ √ √ C-G koeficient (CG) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 faktor identity (F I) 1/2! 1/2! 1/2! 2 CG · F I 1/2 2 4 1 4 8 4 4 Feyn. diagram relativní koeficient realizace (rc) 1 obr. 3.10 a 1 1 0 1 1 1 0 0 2 obr. 3.11 a 1 1 0 -1 0 0 0 1 3 obr. 3.11 c 1 1 1 1 0 1 -1 0 4 obr. 3.11 e 1 1 1 1 0 1 -1 0 5 obr. 3.10 b 1 -1 1 1 -1 0 0 0 6 obr. 3.11 b 1 -1 -1 -1 1 0 1 1 7 obr. 3.11 d 1 -1 0 1 0 0 1 0 8 obr. 3.11 f 1 -1 0 1 0 0 1 0 9 obr. 3.10 c 1 1 0 1 1 1 0 0 10 obr. 3.12 a 1 1 0 -1 0 0 0 1 11 obr. 3.12 c 1 1 1 1 0 1 -1 0 12 obr. 3.12 e 1 1 1 1 0 1 -1 0 13 obr. 3.10 d 1 -1 1 1 -1 0 0 0 14 obr. 3.12 b 1 -1 -1 -1 1 0 1 1 15 obr. 3.12 d 1 -1 0 1 0 0 1 0 16 obr. 3.12 f 1 -1 0 1 0 0 1 0 33 obr. 3.13 a 1 1 0 1 1 1 0 0 34 obr. 3.13 c 1 1 0 -1 0 0 0 1 35 obr. 3.13 e 1 1 1 1 0 1 -1 0 36 obr. 3.13 b 1 -1 1 1 -1 0 0 0 37 obr. 3.13 d 1 1 -1 -1 1 0 1 1 38 obr. 3.13 f 1 -1 0 1 0 0 1 0 39 obr. 3.14 a 1 1 1 1 -1 0 0 0 40 obr. 3.14 c 1 -1 0 1 0 0 1 0 41 obr. 3.14 e 1 1 -1 -1 1 0 1 1 42 obr. 3.14 b 1 1 0 1 1 1 0 0 43 obr. 3.14 d 1 1 1 1 0 1 -1 0 44 obr. 3.14 f 1 1 0 -1 0 0 0 1 počet diagramů 44 44 22 44 18 16 26 12

42


kde |Mac |2

=

44 X

Ci,i |Mi |2 ,

i=1

|Mbc |2 =

43 X 44 X

Ci,j 2 Re(Mi M∗j ),

i=1 j=i+1

√ kde Mi je 2-násobek příslušné i-té referenční amplitudy. Amplitudu případu, kdy neuvažujeme kontaktní členy získáme z výše odvozené amplitudy (3.14) nulováním interferenčního faktoru Ci,j = 0 pro i, j = 33, . . . , 44. Tím vypneme 12 kontaktních členů (viz obr. 3.13 a obr. 3.14) a máme tedy celkem 528 dílčích interferenčních členů. Přejděme nyní k nejjednoduššímu případu procesu 3 → 3, kde uvažujeme, že obě původní rezonance K ∗ z procesu 2 → 2 nahrazujeme systémem částic K a π v s kanálu. Zde dochází k výměně koncových pionů (ty nenaruší požadovaný s kanál) a dále k výměně počáteční a koncové soustavy Kπ. Uvažujme v počátečním stavu kladně nabitý kaon K ∗ + . Tomu odpovídá vázaný stav K + π 0 nebo K 0 π + . Může tedy docházet k těmto reakcím φK + π 0 φK + π 0 φK + π 0 φK 0 π + φK 0 π + φK 0 π +

→ → → → → →

π0K +π0, π0K 0π+, π+K +π−, π0K +π0, π0K 0π+, π+K +π−.

I zde lze nahradit počáteční K ∗ + jeho dalšími třemi nábojovými stavy. Pro kvadrát celkové amplitudy platí |Ms |2 = 4 |Mφ(Kπ)+ →πKπ |2 = 12 |MφK + π0 →πKπ |2 , kde |MφK + π0 →πKπ |2 =

1 |MφK + π0 →π0 K + π0 |2 + |MφK + π0 →π0 K 0 π+ |2 + |MφK + π0 →π+ K + π− |2 . 2!

První reakci budeme brát za referenční. Ta je indukována osmi Feynmanovými diagramy. Ty jsou znázorněny na obr. 3.10. Opět provedeme jejich rozdělení na dvě skupiny. Diagramy vlevo označíme jako Ma (4 diagramy) a diagramy vpravo jako Mb (4 diagramy). Pak MφK + π0 →π0 K + π0 = Ma + Mb a tedy

1 |Ma + Mb |2 + 2 |Ma − Mb |2 + 4 |Mb |2 . 2! Výsledek numerické integrace je graficky znázorněn na obr. 3.15. Nejmenší kolizní šířka φ mezonu je opět dána případem, kdy uvažujeme rezonanci K ∗ jako vázaný nebo |MφK + π0 →πKπ |2 =


43

Obrázek 3.15: Střední kolizní šířka φ mezonu v reakci φKπ → πKπ jako funkce teploty tepelné lázně v níž se φ pohybuje. Index (s) znamená, že byly uvažovány pouze diagramy, kde počáteční nebo koncový kaon a pion vytvoří rezonanci K ∗ v s kanálu; křivka bez indexu bere v úvahu i ostatní kanály; index (c) znamená, že byly započítány také kontaktní diagramy. Poslední zmíněná křivka je za účelem vyhlazení aproximována polynomem třetího stupně – modrá tečkovaná křivka. Pro porovnání je zobrazen i základní proces φK ∗ → πK ∗ . rozpadající se systém částic K a π. Bereme-li v úvahu všechny dostupné diagramy, pak v tomto případě je kolizní šířka φ mezonu oproti základní reakci φK ∗ → πK ∗ přibližně 2.3 krát větší. Přičemž kontaktní diagramy tomuto navýšení prakticky nepřispívají. Příslušná křivka je na obr. 3.15 zvlněna. Je to dáno kompromisem mezi přesností a výpočetním časem. Proto je za účelem vyhlazení křivka aproximována polynomem třetího stupně. Pro celkové srovnání jsou na obr. 3.16 nahoře znázorněny jednotlivé střední kolizní šířky φ mezonu ze všech čtyř počítaných reakcí. Jsou brány pouze reakce s kontaktními diagramy (kromě základní reakce φK ∗ → πK ∗ , kde kontaktní diagramy nejsou). V případě reakce φKπ → πKπ je místo příslušné křivky zobrazena její aproximace polynomem třetího stupně (jako na obr. 3.15). Na obr. 3.16 dole je zobrazena střední volná dráha φ mezonu odpovídající příslušným reakcím. Připomeňme si, že střední volná dráha souvisí se střední kolizní šířkou částice vztahem λ = v/Γ, viz (2.16), kde v je střední rychlost částice. Průběh střední rychlosti φ mezonu je zobrazen na obr. 2.2.

44


Obrázek 3.16: Střední kolizní šířka (nahoře) a střední volná dráha φ mezonu indukována uvedenými reakcemi jako funkce teploty tepelné lázně v níž se φ mezon pohybuje.


45

Na závěr uvádíme tabulku 3.3, která shrnuje numerické hodnoty střední kolizní šířky φ mezonu ze všech počítaných reakcí pro dvě vybrané teploty tepelné lázně, jmenovitě T = 150 MeV a T = 200 MeV. Všimněme si, že pro reakci φKπ → πKπ při teplotě T = 200 MeV (mimo případ s indexem s) je střední kolizní šířka φ mezonu srovnatelná s jeho rozpadovou šířkou Γφ = 4.26 ± 0.05 MeV. Ostatní kolizní šířky jsou při této teplotě zhruba poloviční. Tabulka 3.3: Střední kolizní šířka φ mezonu z daných reakcí pro teplotu tepelné lázně T = 150 MeV a T = 200 MeV. U každé reakce je uveden i jejich celkový počet realizací. Při výpočtu metodou Monte Carlo byla pro všechny reakce použita stejná sekvence jednoho miliónu náhodných čísel. Pro zajímavost vypisujeme u každé reakce i orientační čas výpočtu. reakce

index

φK ∗ → πK ∗ ∗

φK → πKπ

počet

střední kolizní šířka (MeV)

čas

T = 150 MeV

T = 200 MeV

výpočtu

8

0.2470 ± 0.0004

1.904 ± 0.004

5s

12

0.2375 ± 0.0015

1.940 ± 0.013

105 s

φK ∗ → πKπ

c

12

0.2387 ± 0.0015

1.952 ± 0.013

118 s

φKπ → πK ∗

s

16

0.2233 ± 0.0013

1.873 ± 0.011

52 s

20

0.2879 ± 0.0016

2.124 ± 0.011

206 s

φKπ → πK ∗ ∗

c

20

0.2903 ± 0.0016

2.142 ± 0.011

206 s

φKπ → πKπ

s

24

0.2155 ± 0.0042

1.871 ± 0.026

20 m

32

0.5114 ± 0.0099

4.528 ± 0.148

5h

32

0.5201 ± 0.0101

4.606 ± 0.150

5h

φKπ → πK

φKπ → πKπ φKπ → πKπ

c

46


Kapitola 4 Kolizní šířka kaonu Kaon je z hlediska silných interakcí považován za stabilní částici. Rozpadová šířka ΓK (s) je v oblasti s ' m2K nulová, protože není otevřen žádný silný rozpadový kanál. V některých reakcích se však vyměňovaný virtuální kaon může občas dostat na hmotovou nadplochu, což pak z principu znemožní výpočet. Probíhá-li reakce v hmotném prostředí, získává virtuální kaon ve svém propagátoru imaginární část, která má souvislost s kolizní šířkou částice. Konstantní šířka ΓK ∼ 20 MeV byla použita např. v [19]. Volba této velikosti se opírá o výsledky uvedené v práci [20], která se zabývala modifikací vlastností kaonu v horkém hadronovém prostředí. Nekonstantní kolizní šířka Γcoll K (E, T ) byla použita např. v [12]. Ta je funkcí celkové energie částice a dále teploty tepelné lázně v níž se částice pohybuje. Zde však není řečeno, co se pod celkovou energií virtuální částice myslí. Není jasná vazba mezi energií-hybností-hmotností virtuální částice. Navíc uvedená kolizní šířka platí pouze pro kolineární srážky částic. coll V této kapitole přistupujeme √ ke kolizní šířce kaonu ΓK (mKv , EK ; T ) jako funkci invariantní hmotnosti mKv = s a kinetické energie EK = E − mKv virtuálního kaonu a dále teploty tepelné lázně T v níž se kaon pohybuje. Celková energie kaonu E je dána absolutní hodnotou ze součtu energií všech částic v jednom z vertexů s virtuálním kaonem, P E = | j Pj0 |. Tuto kolizní šířku jsme využili v kaonovém propagátoru (3.5), kde se místo coll rozpadové šířky ΓK (s) dosazuje celková šířka Γtot K (s) = ΓK (s)+ΓK (mKv , EK ; T ). Celková kolizní šířka Γcoll K (mKv , EK ; T ) je dána součtem všech dílčích kolizních šířek z různých reakcí. V našem případě budeme uvažovat pohyb kaonu v termální lázni pionů a kaonů. Kolizní šířku spočteme pouze z dominantních procesů typu K + 2 → a + b. Konkrétně ¯ → ππ a KK → KK. Vztah pro kolizní šířku netermalizované pro Kπ → Kπ, K K částice indukovanou binárními reakcemi je odvozen v článku 2.6. Přepišme vztah (2.22) (Γcoll K = νK ) pro náš případ na tvar Γcoll K =

Z

1 32π 2 g(EK + mKv )

Z pˆ∗ dΦ2 √a Fa (Ea ) Fb (Eb ) dΩ∗a |MK+2→a+b |2 , s

kde stupeň degenerace v dalším klademe g = 1, protože kaon je pseudoskalární částice a dΦ2 =

d3 p2 1 f2 (E2 ). (2π)3 2E2

Výpočet provedeme opět metodou Monte Carlo. Uvažujme pohyb kaonu ve směru jedné osy a dále, že ke srážce s druhou částicí dochází v jedné rovině. Analogicky s postupem 47

48

Kolizní šířka kaonu

v článku 3.1 a využitím substitucí E2 = m2 − T ln ξ1 ,

− ξT1

dE2 =

dξ1 ,

cos ϑ2 = 2 ξ2 − 1,

dcos ϑ2 = 2 dξ2 ,

cos ϑ∗a

dcos ϑ∗a

= 2 ξ3 − 1, ϕ∗a = 2π ξ4 ,

= 2 dξ3 ,

dϕ∗a = 2π dξ4 ,

Z ∞ m2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 2π 0

→ → → →

Z 0 1 Z 1 0

Z 1 0

,

, ,

Z 1 0

,

získáváme pro kolizní šířku kaonu vztah Γcoll K =

T 32π 3 (EK + mKv )

Z

dξ1

Z Z p2 pˆ∗ f2 (E2 ) √a Fa (Ea ) Fb (Eb ) dξ2 dξ3,4 |MK+2→a+b |2 , ξ1 s

kde ξ1 , . . . , ξ4 jsou nové integrační proměnné nabývající hodnoty z intervalu h0, 1i. Používáme generátory s rovnoměrným rozložením náhodných čísel v tomto intervalu. V dalším se budeme zabývat amplitudou pro výše uvedené reakce.

4.1

Kolizní šířka kaonu v reakci Kπ → Kπ

Uvažujme, že je počáteční kaon kladně nabitý. Pak je celková amplituda indukována těmito šesti reakcemi K +π0 K +π0 K +π− K +π− K +π− K +π+

→ → → → → →

K +π0, K 0π+, K +π−, K −π+, K 0π0, K +π+.

(4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6)

Na obr. 4.1 jsou symbolicky vyobrazeny Feynmanovy diagramy příslušných procesů. V s a u kanálu dochází k výměně K ∗ a v t kanálu se vyměňuje ρ mezon. Konkrétní zastoupení jednotlivých diagramů v reakcích (4.1)–(4.6) je shrnuto v tabulce 4.1. Čísla v ní znamenají relativní velikost vůči s a u amplitudě reakce (4.1) a t amplitudě reakce (4.5). Kvadrát celkové amplitudy je dán součtem dílčích kvadrátů z jednotlivých procesů. Výsledná kolizní šířka kaonu je graficky znázorněna na obr. 4.2 pro dvě různé teploty tepelné lázně v níž se kaon pohybuje, jmenovitě T = 150 MeV a T = 200 MeV. Pro nulovou invariantní hmotnost kaonu má křivka kolizní šířky pík, který s rostoucí hmotností ustupuje vlevo a jeho maximum nepatrně roste. Kolizní šířka kaonu s jeho rostoucí invariantní hmotností roste. Vyjma při nižších hodnotách invariantní hmotnosti a vyšších hodnotách kinetické energie, kde je zpočátku tendence klesající. Dále lze vidět, že s rostoucí teplotou tepelné lázně roste i kolizní šířka kaonu.


49

Obrázek 4.1: Feynmanovy diagramy reakce Kπ → Kπ. Tabulka 4.1: Zastoupení jednotlivých Feynmanových diagramů na obr. 4.1 v reakcích (4.1)–(4.6). reakce

(4.1)

s kanál

1

t kanál

0

u kanál

1

(4.2) (4.3) (4.4) √ 2 2 2 √ − 2 -1 0 √ − 2 0 2

(4.5) 0 1 2

(4.6) √ − 2 √ 2 √ 2

Obrázek 4.2: Závislost kolizní šířky kaonu Γcoll K na jeho kinetické energii EK pro vybrané invariantní hmotnosti (mKv = 0, 0.5, 1, 3, 5 GeV) při teplotě tepelné lázně T = 150 MeV (vlevo) a T = 200 MeV.

50

4.2


¯ → ππ Kolizní šířka kaonu v reakci K K

V tomto případě je celková amplituda indukována následujícími třemi reakcemi K +K − → π0π0, K +K − → π+π−, ¯ 0 → π+π0. K +K

(4.7) (4.8) (4.9)

Na obr. 4.3 jsou symbolicky vyobrazeny Feynmanovy diagramy příslušných procesů. V t a u kanálu dochází k výměně K ∗ a v s kanálu se vyměňuje ρ mezon. Konkrétní zastoupení jednotlivých diagramů v reakcích (4.7)–(4.9) je shrnuto v tabulce 4.2. Čísla v ní znamenají relativní velikost vůči t a u amplitudě reakce (4.7) a s amplitudě reakce (4.8). Kvadrát celkové amplitudy je dán opět součtem dílčích kvadrátů z jednotlivých procesů. Výsledná kolizní šířka kaonu je graficky znázorněna na obr. 4.4 pro dvě různé teploty tepelné lázně v níž se kaon pohybuje. Ostrý pík vznikající v nule je zapříčiněn tím, že i v limitě nulové celkové energie virtuálního kaonu může proces probíhat, protože mK > 2mπ . Pík má v nule konečnou hodnotu.

¯ → ππ. Obrázek 4.3: Feynmanovy diagramy reakce K K

Tabulka 4.2: Zastoupení jednotlivých Feynmanových diagramů na obr. 4.3 v reakcích (4.7)–(4.9). reakce

(4.7)

(4.8)

s kanál

0

1

t kanál

1

2

(4.9) √ − 2 √ − 2

u kanál

1

0

0


51


4.3

Kolizní šířka kaonu v reakci KK → KK

V tomto posledním uvažovaném případě je celková amplituda dána těmito pěti reakcemi K +K + K +K − K +K − K +K 0 ¯0 K +K

→ → → → →

K +K +, K +K −, ¯ 0, K 0K K +K 0, ¯ 0. K +K

(4.10) (4.11) (4.12) (4.13) (4.14)

Na obr. 4.5 jsou symbolicky vyobrazeny Feynmanovy diagramy příslušných procesů. Ve všech kanálech dochází k výměně ρ, ω a φ mezonu. Konkrétní zastoupení jednotlivých diagramů v reakcích (4.10)–(4.14) je shrnuto v tabulce 4.3. Čísla v ní znamenají relativní velikost vůči s a t amplitudě reakce (4.11) a u amplitudě reakce (4.10). Čísla psaná tučně označují reakce, kde se vyměňuje nabitý ρ mezon. Čísla psaná normálně indikují výměnu neutrálního ρ, ω a φ mezonu. Celkem máme 24 amplitud. Kvadrát celkové amplitudy je dán opět součtem dílčích kvadrátů z jednotlivých reakcí. Výsledná kolizní šířka kaonu je graficky znázorněna na obr. 4.6 pro dvě různé teploty tepelné lázně v níž se kaon pohybuje. Chování kolizní šířky kaonu je obdobné s předchozími případy. S rostoucí invariantní hmotností kaonu roste i jeho kolizní šířka. Ta roste i s přibývající teplotou tepelné lázně. Co se týče velikosti je tato šířka menší než šířka z reakce Kπ → Kπ a větší ¯ → ππ. než šířka z reakce K K

52


Obrázek 4.5: Feynmanovy diagramy reakce KK → KK. Tabulka 4.3: Zastoupení jednotlivých Feynmanových diagramů na obr. 4.5 v reakcích (4.10)–(4.14). Tučná čísla indikují diagramy s výměnou nabitého ρ mezonu. reakce

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)

s kanál

0

1

1

0

2

t kanál

-1

1

2

-1

1

u kanál

1

0

0

2

0



4.4

53

Celková kolizní šířka kaonu v binárních reakcích

Celková kolizní šířka kaonu v binárních reakcích K + 2 → a + b je v našem případě dána ¯ → ππ a KK → součtem tří dílčích kolizních šířek, jmenovitě z reakcí Kπ → Kπ, K K KK. Výsledná šířka je pro dvě různé teploty zobrazena na obr. 4.7. Při výpočtu střední

Obrázek 4.7: Závislost celkové kolizní šířky kaonu Γcoll na jeho kinetické energii EK K pro vybrané invariantní hmotnosti (mKv = 0, 0.5, 1, 3, 5 GeV) při teplotě tepelné lázně T = 150 MeV (vlevo) a T = 200 MeV. kolizní šířky φ mezonu není kolizní šířka virtuálního kaonu počítána přímo. Z důvodu zkrácení výpočetního času je kolizní šířka kaonu napočtena dopředu. Pro invariantní hmotnost mKv < 0 je Γcoll K nulová. V opačném případě je kolizní šířka dopočtena lineární aproximací z hodnot v předem napočtených bodech. Ty jsou uvedeny v tabulce 4.4. Tabulka 4.4: Zvolené dělení pro výpočet Γcoll K (mKv , EK ; T ) rozsah

mKv

0.0 − 1.0 0.0 − 1.0

1.0 − 5.0

(GeV)

EK

0.0 − 1.0 1.0 − 3.5

0.0 − 3.5

počet bodů

mKv

21

11

9

EK

21

6

8

diference

mKv

0.05

0.1

0.5

(GeV)

EK

0.05

0.5

0.5

54


Kapitola 5 Produkce dileptonů v interakcích mezi piony V této kapitole se stručně zmíníme o produkci dileptonů. Pod pojmem dilepton rozumíme pár lepton l a antilepton ¯l, např. elektron a pozitron. Název dilepton je spjat s produkcí páru lepton a antilepton při vysokoenergetických srážkách těžkých iontů. Při těchto srážkách vznikají horké a husté systémy tisíců částic. Jejich interakcemi vznikají mimo jiné také dileptony. Ty jsou buď produkovány samostatně nebo spolu s dalšími částicemi. Mohou vznikat ze srážek nebo z rozpadů částic. Pocházejí-li dileptony ze srážek částic, pak hovoříme o tzv. přímých dileptonech. Jejich detekcí získáváme informaci o vlastnostech systému vytvořeného vysokoenergetickou srážkou těžkých iontů. Dileptony mohou pocházet ze dvou zdrojů: (i) kvark-gluonová plazma, (ii) hadronový plyn. Zabývejme se dále reakčním výtěžkem dileptonů z hadronového plynu. Kreaci dileptonů lze počítat např. z binárních reakcí jako např. πρ → e+ e− , π 0 ω → e+ e− , π 0 φ → e+ e− [21] nebo πa1 → e+ e− , ρ+ ρ− → e+ e− [22]. Rezonance v počátečních stavech jsou zde brány v tzv. úzké aproximaci. Jak již bylo zmíněno v úvodu, bylo by vhodnější počítat tyto srážky s rezonancemi jako srážky s více částicemi v počátečním stavu. To z toho důvodu, že takto lépe vystihneme tu skutečnost, že rezonance nemusí mít vždy svou nominální hmotnost a dále podchytíme případné interference, ke kterým může ve vícečásticových systémech snadněji docházet. Každá rezonance ve výše uvedených srážkách se dá nahradit systémem pionů. Reakční výtěžky dileptonů pro některé třípionové reakce typu 1 + 2 + 3 → l + ¯l a 1 + 2 → 3 + (l + ¯l) byly spočteny např. v [23]. V dalším se omezíme pouze na reakce π1 + π2 + . . . + πI → l + ¯l. Tedy v počátečním stavu uvažujeme pouze piony. Ty jsou v hustém a horkém hadronovém plynu téměř vždy obsaženy. Dileptony mohou vznikat ze srážek libovolného počtu pionů, I ∈ N\{1}. Například srážka dvou pionů může vytvořit ρ mezon, který se konvertuje na foton a ten se dále rozpadá na dilepton. Nebo srážka tří pionů může probíhat přes rezonanci ω nebo φ. Srážka čtyř pionů může probíhat i přes výměnu dvou fotonů. Ta byla + − + − + − + − + − + − však √ pozorována v reakci e e → π π π π a e e → K K π π až při vyšších ( s ≈ 10 GeV) energiích [24, 25]. Některé vybrané procesy jsou zachyceny na obr. 5.1. Nedávný NA60 experiment naměřil s nebývalou přesností produkci mionových dilep55

56

Produkce dileptonů v interakcích mezi piony

Obrázek 5.1: Některé procesy produkce dileptonů ve srážkách pionů π1 +π2 +. . .+πI → l+¯l na stromové úrovni.


57

tonů (tzv. dimionů) v In-In kolizích [26]. To zvýšilo obecný zájem o produkci dileptonů, neboť přesný experiment je vždy výzvou teoretickým modelům. Nadbytek produkce dimionů v těchto spektrech při invariantních hmotnostech M > 0.9 GeV je připisováno čtyřpionovým anihilacím [27]. V současné době jsou však teoretické výpočty reakčních výtěžků dileptonů z hadronového plynu se čtyřmi piony v počátečním stavu omezeny neznalostí interakčního Lagrangiánu a1 ρπ [28, 29]. Proto jsme se nejdříve místo samotného výpočtu produkce dileptonů zaměřili na bližší určení tohoto Lagrangiánu. K tomuto účelu jsme navrhli způsob jak tento interakční Lagrangián najít a tím udělat předpovědi produkce dileptonů spolehlivější. Idea spočívá ve fitování modelu a1 ρπ interakce na experimentální data účinného průřezu opačného procesu. Tedy procesu anihilace elektronu s pozitronem na čtyři piony. Účinný průřez této reakce byl změřen několika laboratořemi (např. viz [30, obr. 10]). Výsledky fitování modelu s volnými parametry na tato data byly publikovány ve dvou článcích, které vyšly ve Physical Review D. Oba jsou součástí přílohy B. Shrnutí těchto výsledků přináší následující článek.

5.1

Elektron-pozitronová anihilace na čtyři piony

Jak již bylo řečeno, omezená znalost a1 ρπ interakce vede v případě produkce dileptonů ze čtyřpionové anihilace na nespolehlivé předpovědi. Proto jsme měli snahu nalézt uspokojivý model a1 ρπ interakce. Výsledky našeho snažení, které dále shrnujeme, byly publikovány ve dvou článcích • Electron-positron annihilation into four charged pions and the a1 ρπ Lagrangian, • Joint description of the e+ e− annihilation into both four-pion channels. Zabývali jsme se v nich především úkolem zpřesnění modelu a1 ρπ interakce. Nejdříve k samotné částici a1 (1260) [6]. Jedná se o axiální vektorovou izovektorovou částici s kvantovými čísly I G (J P C ) = 1− (1++ ). Její hmotnost je 1230 ± 40 MeV. Rozpadová šířka není určena přesně. Leží v mezích Γa1 = 250 − 600 MeV. Možné roz¯ ∗ (892) + c.c. a πγ. pady a1 (1260) jsou např. ρπ, ρ(1450)π, σπ, f0 (1370)π, f2 (1270)π, K K Všechny tyto rozpadové kanály byly pouze viděny. Jejich větvící poměry nejsou známy. Částice a1 (1260) vystupuje např. v těchto procesech: i) hadronový rozpad ρ(1700) → a1 π, ii) elektromagnetická anihilace e+ e− → π + π − π + π − , iii) slabý rozpad τ − → ντ π − π − π + . Interakci částic a1 , ρ a π modelujeme následujícím fenomenologickým Lagrangiánem ga ρπ L = √1 (L1 cos θ + L2 sin θ) , 2

(5.1)

kde ga1 ρπ a θ jsou volné parametry modelu, L1 = Aµ · (Vµν × ∂ ν φ) , L2 = Vµν · (∂ µ Aν × φ)

(5.2) (5.3)

a Vµν = ∂µ Vν − ∂ν Vµ . Izovektor obsahující polní operátory příslušející mezonu ρ je označen jako Vµ , podobně pro π a a1 je označení φ a Aµ . Členy (5.2) a (5.3) jsou

58


používány v různých kombinacích, popř. i samotné. Z výše uvedeného Lagrangiánu plyne pro rozpadovou šířku a1 → ρπ vztah Γa1 →ρπ = ga21 ρπ f (sin θ). Podrobnější relace je dána vztahy (2.7) a (2.8) v článku B.3. Dále předpokládáme, že tato dílčí šířka reprezentuje celkovou šířku a1 . Volné parametry ga1 ρπ a sin θ určíme ze dvou požadavků: i) zpětné získání správné rozpadové šířky Γa1 , ii) nejlepší možný fit na experimentální data účinného průřezu reakce e+ e− → 4π. Anihilace elektronu s pozitronem na čtyři piony má dva kanály: i) nabitý e+ e− → π + π − π + π − a ii) smíšený e+ e− → π + π − π 0 π 0 . Oba kanály byly studovány několika autory, ale vždy byl vybrán model s fixními parametry. Některé dosud použité hodnoty parametru sin θ ukazuje tabulka VII v článku B.3. Experimentální data nabitého kanálu jsou přesnější. Proto nejdříve fitujeme model na tato data.

Fit na data nabitého kanálu V tomto případě počítáme nejdříve excitační křivku1) pomocí tří existujících modelů, ozn. ESK [31], PB/HG [32] a AK [33]. Tyto modely uvažují v intermediálních stavech pouze piony a ρ mezony. Vybrali jsme dvě sady experimentálních dat: CMD-2 data [34] (celkem 11 dat2) pokrývající oblast 0.765 − 0.970 GeV) a BaBar data [35] (celkem 144 dat pokrývající oblast√0.6125 − 4.4500 GeV). Energetickou oblast jsme rozdělili na dvě části: i) nízké energie s < 1 GeV, zde patří CMD-2 data a dále data BaBar do 1 GeV (ozn. BaBar-LE, 16 dat) a ii) vyšší energie, kde bereme pouze BaBar data v jejich celém rozsahu. Excitační křivku spočtenou na základě třech existujících modelů porovnáváme nejdříve se samotnými CMD-2 daty a dále je kombinujeme s BaBar-LE daty. V tomto případě není v originálních modelech žádný volný parametr. Výsledky s těmito modely jsou neuspokojivé, neboť dostáváme χ2 /NDF > 9. Proto tyto modely doplňujeme o intermediální stavy s a1 , popsané Lagrangiánem (5.1). Protože je rozpadová šířka Γa1 známa nepřesně, bereme v úvahu postupně její tři hodnoty, jmenovitě 250, 400 a 600 MeV. Fit provádíme opět na CMD-2 data a pak na souhrn dat CMD-2 a BaBar-LE. Nakonec přidáváme další experimentální dato, a to poměr D-vlny ku S-vlně amplitudy rozpadu a1 → ρπ, ozn. D/S ratio [36]. Všechny výsledky jsou uvedeny v tabulkách I až III v článku B.3. Zde pro ukázku přepisujeme tabulku č. III jako tabulku 5.1. Je vidět, že zahrnutí intermediálních stavů s a1 zlepší fit výrazně. Dokonce samotný model3) s a1 (poslední sloupec v tabulce 5.1) popisuje experimentální data lépe než původní modely uvažující intermediálními stavy ρ a π mezonů. Jejich zahrnutí však převážně zlepšuje fit. Z tabulky je dále patrno, že preferovaná rozpadová šířka a1 je Γa1 = 600 MeV. Příslušné hodnoty optimálního parametru sin θ vyplývající z jednotlivých fitů na příslušná experimentální data shrnují tabulky 5.2 a 5.3 a dále tabulka 5.4, která je v článku B.3 označena jako tabulka IV. Čísla v závorkách udávají chybu. 1) Excitační křivkou rozumíme závislost účinného průřezu dané reakce na vstupní energii kolidujících částic (na invariantu s). 2) Dvě první data jsme již vyřadili, protože dávají pouze horní hranici účinného průřezu. 3) Samotným modelem a1 rozumíme model, který nebere v úvahu intermediální stavy původních modelů AK, PB/HG a ESK. Je to model daný pouze Lagrangiánem (5.1).


59

Tabulka 5.1: χ2 /NDF z fitu modelů na data účinného průřezu CMD-2 a BaBar-LE doplněná datem D/S ratio (celkem 28 dat). Γa1 (MeV)

ESK PB/HG

AK

pouze a1

250

3.66

1.95

1.99

1.96

400

1.98

1.34

1.33

1.48

600

1.65

1.20

1.18

1.41

Tabulka 5.2: Hodnoty optimálního sin θ z fitu na CMD-2 data. Γa1 (MeV)

ESK

PB/HG

AK

pouze a1

250

0.4062(27) 0.4289(35) 0.4276(33)

0.4330(43)

400

0.4363(27) 0.4663(46) 0.4644(43)

0.4728(61)

600

0.4681(36) 0.5109(65) 0.5080(61)

0.5213(91)

Tabulka 5.3: Hodnoty optimálního sin θ z fitu na CMD-2 data a BaBar-LE data. Γa1 (MeV)

ESK

PB/HG

AK

pouze a1

250

0.4041(20) 0.4255(24) 0.4243(23)

0.4290(28)

400

0.4343(21) 0.4617(31) 0.4600(29)

0.4671(38)

600

0.4655(26) 0.5043(43) 0.5019(41)

0.5129(54)

Tabulka 5.4: Hodnoty optimálního sin θ z fitu na CMD-2 data a BaBar-LE data doplněná datem D/S ratio. Γa1 (MeV)

ESK

PB/HG

AK

pouze a1

250

0.4092(33) 0.4278(32) 0.4267(32)

0.4312(35)

400

0.4352(24) 0.4624(34) 0.4608(32)

0.4679(39)

600

0.4659(27) 0.5046(44) 0.5022(41)

0.5132(55)

60


Popis excitační křivky procesu e+ e− → π + π − π + π − při nízkých energiích je blízce vázán s rozpadovou šířkou procesu ρ0 → π + π − π + π − viz vztah (2.14) v článku B.3. Za jistých podmínek platí σe+ e− →π+ π− π+ π− (s) = f (s) Γρ0 →π+ π− π+ π− (s). Experimentální hodnota je Γρ0 →π+ π− π+ π− (m2ρ ) = (2.8 ± 1.4 ± 0.5) keV. Tato rozpadová šířka, jak plyne z nalezeného optimálního parametru sin θ pro daný model a pro danou šířku Γa1 z fitu na CMD-2 data a BaBar-LE data doplněná datem D/S ratio, je uvedena v tabulce V v článku B.3. Achasov a Kozhevnikov zdůrazňují [33], že tato rozpadová šířka není dobře experimentálně definovaná, protože vyžaduje zprůměrování přes energetický interval, v kterém však rychle roste. Proto je pro porovnávání vhodnější veličinou excitační křivka. Při fitu excitační křivky na data vyšších energií (BaBar data až do 4.5 GeV) uvažujeme pouze rozpadovou šířku Γa1 = 600 MeV. Při těchto energiích je již nutné vzít v úvahu i těžší ρ rezonance. Konkrétně počítáme s rezonancemi ρ(1450) a ρ(1700). Do modelu jsou zahrnuty prostřednictvím form faktoru (4.1) v článku B.3. S tím souvisí zavádění nových volných parametrů modelu. Výsledky fitu jsou shrnuty v tabulce VI v článku B.3. V úvahu bylo vzato také experimentální dato D/S ratio. Z tabulky je patrno, že dosažený fit pro všechny modely je výborný. Dva ze tří originálních modelů ovlivňují samotný model a1 jen nepatrně. Intermediální stavy s a1 mezonem zde hrají dominantní roli.

Fit na data smíšeného kanálu Za experimentální data v tomto případě byla vybrána SND data [37] (celkem 35 dat pokrývající oblast 0.980 − 1.380 GeV). Existují i další data, která pokrývají větší energetickou oblast (více v článku B.4), ale ta nejsou ještě oficiálně zpřístupněna. Výpočet excitační křivky na SND data provádíme nejdříve pro samotný model a1 , protože v případě fitu na data nabitého kanálu vyšších energií popisuje tento model sám příslušná data výborně. Parametry modelu jsou fixní (dány posledním sloupcem v tabulce VI v článku . B.3). Dosažený výsledek χ2 /NDF = 59 je však katastrofální. Je žádoucí přidat k amplitudě tohoto procesu další příspěvky. Nejčastěji je počítáno s intermediálními stavy s ω mezonem. I my tak učiníme. Jejich popis provádíme pomocí dvou modelů. První popis je dán modelem ESK, druhý pak modelem ozn. jako PL [23]. Oba modely ωρπ interakce neobsahují žádné volné parametry. Nyní je však možné opět parametry ve form faktoru (4) v článku B.4 považovat za volné. To z toho důvodu, že charakter interakce je oproti samotnému modelu a1 jiný. Stavy s výměnou mezonů a1 a ω interferují. Příslušné parametry jsou odlišeny, od těch v nabitém kanálu, čárkou. Výsledek je zobrazen v tabulce I v článku B.4. Pro model ESK (tedy model a1 doplněný intermediálními stavy s ω popsané ESK modelem) není možné najít uspokojivý fit. Ve snaze zlepšit tento výsledek bereme v úvahu také intermediální stavy s mezonem h1 (1170). Jeho základní vlastnosti jsou uvedeny v tabulce 1.1. Interakční Lagrangián částic h1 , ρ a π modelujeme podobným způsobem jako interakci částic a1 , ρ a π (viz vztah (8) v článku B.4). Model má tedy dva další volné parametry, které získáme ze stejných požadavků jako v případě a1 ρπ


61

interakce, tj. reprodukce rozpadové šířky Γh1 a nejlepší možný fit na SND data. Společné parametry modelů, tedy parametry, které vystupují v popisu dat účinného průřezu nabitého i smíšeného kanálu, jsou fixní. Volné jsou pouze parametry ve form faktoru (4) v článku B.4 a parametr sin η vystupující v interakčním h1 ρπ Lagrangiánu. Výsledek fitu obsahuje tabulka II v článku B.4. Je vidět, že zahrnutí částice h1 (1170) zlepšilo fit výrazně v případě ESK modelu. V případě PL modelu je výsledek také lepší, ale zlepšení není tak výrazné jako v případě ESK modelu.

Fit na data obou kanálů Nyní provedeme simultánní fit obou kanálů reakce e+ e− → 4π. Excitační křivku nabitého kanálu fitujeme na BaBar data [35] a to samotným modelem a1 . Excitační křivku smíšeného kanálu fitujeme na SND data [37] a to modelem PL (tedy intermediální stavy s a1 , h1 a ω). Data doplníme o experimentální dato D/S ratio. To je společné oběma kanálům. Celkem máme 180 dat. Rozpadovou šířku a1 volíme opět Γa1 = 600 MeV. Nyní ve společném modelu nedržíme žádný parametr fixní. Máme celkem patnáct volných reálných parametrů; z nich čtyři se váží k nabitému procesu, pět k smíšenému procesu a šest parametrů je společných pro oba procesy. Získáváme fit s χ2 /NDF = 1.06, čemuž odpovídá tzv. confidence level 28.4%. Optimální hodnoty parametrů shrnuje tabulka III v článku B.4. Ty jsou víceméně kompatibilní s hodnotami získanými z jednotlivých samostatných fitů. Excitační křivky jednotlivých kanálů v porovnání s příslušnými experimentálními daty jsou zachyceny na obr. 5.2.

Hlavním cílem prováděných fitů bylo bližší určení volných parametrů ga1 ρπ a sin θ interakčního Lagrangiánu (5.1). Parametr ga1 ρπ plyne z fixnuté rozpadové šířky Γa1 a z parametru sin θ. V tabulce 5.5 uvádíme souhrn dosažených hodnot pro parametr sin θ v případě fitu samotného modelu a1 na různé kombinace experimentálních dat. Z tabulky plyne, že parametr sin θ leží v intervalu (0.43, 0.52). Simultánní fit obou kanálů dává . hodnotu sin θ = 0.47. Tabulka 5.5: Hodnoty parametru sin θ nalezené v případě fitu samotného modelu a1 na různé kombinace experimentálních dat. Čísla v závorkách udávají chybu. Γa1 (MeV)

sin θ

kanál

data

250-600

0.4330(43)–0.5213(91)

nabitý

CMD-2

250-600

0.4290(28)–0.5129(54)

nabitý

CMD-2 + BaBar-LE

250-600

0.4312(35)–0.5132(55)

nabitý

CMD-2 + BaBar-LE + D/S ratio

600

0.4603(28)

nabitý

BaBar + D/S ratio

600

0.4662(52)

smíšený

BaBar + SND + D/S ratio

62


Obrázek 5.2: Porovnání excitačních křivek nabitého (nahoře) a smíšeného kanálu reakce e+ e− → 4π s příslušnými experimentálními daty účinného průřezu. Excitační křivky jsou dány společným modelem získaným ze simultánního fitu obou kanálů na data účinného průřezu doplněná o D/S ratio (celkem 180 dat).


5.2

63

Reakční výtěžek dileptonů v reakci 1+2+. . .+I → l + l¯ v jednofotonové aproximaci

Zaměřme se nyní na reakční výtěžek, který je obecně dán vztahem (2.1). Zabývejme se produkcí dileptonů v reakci 1 + 2 + . . . + I → l + ¯l, kde v počátečním stavu uvažujeme libovolné částice. V případě dvou částic v koncovém stavu přechází obecný vztah pro reakční výtěžek na tvar (2.9), kde a = l, b = ¯l. Leptony po svém vzniku ihned opouštějí systém. Nepodílejí se tedy na udržování termodynamické rovnováhy systému a proto Fl (El ) = F¯l (E¯l ) = 1. V případě produkce dileptonů tedy pro reakční výtěžek dileptonů z reakce I → l + ¯l získáváme vztah 1 Z pˆ∗l Z R= dΦI √ dΩ∗l 16π 2 s

X

X

|M0I→l¯l |2 .

(5.4)

λ1 ,...,λI λl ,λ¯l

V případě výměny jednoho fotonu v tomto procesu lze tento vztah dále zjednodušit. Maticový element má v tomto případě strukturu (viz obr. 5.3) MI→l¯l = Aµ (p1 , . . . , pI ; p) B µ (p; pl , p¯l ), kde p je čtyřhybnost virtuálního fotonu. Skalární část fotonového propagátoru zahrneme do druhého členu.

Obrázek 5.3: Struktura maticového elementu procesu 1+2+. . .+I → l+ ¯l v jednofotonové aproximaci. Uvažujme nyní hypotetickou reakci, při které vzniká foton γ ∗ s nenulovou hmotností4) , tedy reakci 1 + 2 + . . . + I → γ ∗. Amplitudu tohoto procesu pak lze psát jako MI→γ ∗ = Aµ ²µ (λ), kde ²µ (λ) je polarizační vektor tohoto masivního fotonu s polarizací λ. Přepišme reakční výtěžek (5.4) na tvar Z

R = 2π

dΦI

X

(−Aµ A∗ν ) T µν ,

(5.5)

λ1 ,...,λI 4)

Procesy s těžkými fotony jako prostředek k vyšetřování dileptonových procesů byly uvažovány např. v pracích [23, 38, 39].

64


kde zavedený tenzor T µν je pak dán vztahem T µν =

X 1 pˆ∗l Z ∗ √ (−B µ B ∗ν ). dΩ l 32π 3 s λl ,λ¯

(5.6)

l

µ

Explicitní vyjádření B má v tomto případě tvar e B µ = − 2 u¯(pl , λl ) γ µ v(p¯l , λ¯l ). p Díky relacím u¯(p/ − m) = 0 a (p/ + m)v = 0 platí pµ B µ = 0. Tedy také pµ T µν = 0. Podobně i pν T µν = 0. Veličina B µ je obecně funkcí čtyřhybností pµ , pµl a p¯µl . V amplitudě reakce ve vztahu (5.4) jsou však tyto čtyřhybnosti svázány. Amplituda v sobě zahrnuje zákony zachování. Z výše uvedeného plyne, že obecný tvar pro tenzor T µν lze psát ve tvaru ¶

µ

T

µν

= g

µν

pµ pν T (M 2 ), − 2 M

(5.7)

kde M 2 = p2 je kvadrát hmotnosti dileptonu a T (M 2 ) je nějaká skalární funkce, jejíž tvar budeme dále hledat. Spočtením stopy tohoto vztahu získáváme pro funkci T (M 2 ) vazbu s tenzorem T µν ve tvaru 1 T (M 2 ) = Tµµ . (5.8) 3 K nalezení této stopy nejdříve provedeme sumaci přes polarizace dileptonu ve vztahu −B µ B ∗ν . Získáme X

(−B µ B ∗ν ) = −4

λl ,λ¯l

´ e2 ³ µ ν ν µ µν 2 µν p p + p p − (p p )g − m g , ¯ ¯ l l l ¯ l p4 l l

kde m je hmotnost příslušného leptonu. Provedením stopy tohoto vztahu a dále využitím e2 = 4πα a 2 pl p¯l = M 2 − 2m2 dostáváme 



Tr 

X

(−B µ B ∗ν ) =

λl ,λ¯l

´ 16απ ³ 2 2 M + 2m . M4

Dosaďme tento vztah do stopy ze vztahu (5.6). Při integraci přes prostorový úhel dΩ∗l využijeme skutečnosti, že dosazovaný vztah na tomto úhlu nezáleží. Pak s využitím vztahu (5.8) nakonec pro funkci T (M 2 ) získáváme s

4m2 α M 2 + 2m2 . 1 − T (M 2 ) = 3π M4 M2 Vraťme se nyní k reakčnímu výtěžku. Amplituda MI→γ ∗ je kalibračně invariantní a tedy platí Aµ pµ = 0. Pro její kvadrát sesumovaný přes polarizace masivního fotonu platí P 2 ∗µ µν ve tvaru (5.7) do reakčního λ |MI→γ ∗ | = −Aµ A . Toho využijeme při dosazení T výtěžku (5.5). Pro reakční výtěžek tak dostáváme vztah Z

R = 2π

dΦI |MI→γ ∗ |2 T (M 2 ),

kde nadtržení amplitudy reakce označuje sumaci přes polarizace masivního fotonu a počátečních částic. Jsou-li některé počáteční částice nerozlišitelné, násobí se reakční výtěžek dodatečným faktorem podchycující tuto skutečnost.

Kapitola 6 Závěr Ve druhé kapitole byly odvozeny některé charakteristiky částic vystupující při popisu chování částic v hmotném prostředí. Mezi nimi byla odvozena střední kolizní šířka částice pohybující se v tepelné lázni s danou teplotou. Ta byla ve třetí kapitole spočtena konkrétně pro čtyři reakce v nichž vystupoval φ mezon v počátečním stavu. Výsledná střední kolizní šířka φ mezonu je znázorněna na obr. 3.16. Jsou započteny i kontaktní diagramy, tj. diagramy obsahující vertex čtyř částic. Jejich přínos k celkové kolizní šířce je však nepatrný. Při jejich zanedbání klesne kolizní šířka o méně než 1 % u reakcí φK ∗ → πKπ a φKπ → πK ∗ a o méně než 2 % u reakce φKπ → πKπ (pro všechny uvažované teploty). Střední kolizní šířka s rostoucí teplotou monotónně roste. Výsledky pro různé reakce jsou si zhruba rovny až na jeden případ. Tím je reakce, kde vystupují v počátečním i koncovém stavu tři částice. Její křivka je přibližně 2.3 krát výš než křivky ostatních reakcí. To naznačuje, že rezonance K ∗ není tak úzká jak se obecně předpokládá. Místo pohybu φ mezonu v termalizovaném plynu sestávajícího z částic K ∗ by bylo vhodnější uvažovat plyn sestávající z pseudoskalárních pionů a kaonů. Jak zde bylo spočteno, tyto rozdílné přístupy mohou vést na více než stoprocentně rozdílné výsledky. Bylo by zajímavé spočítat další reakce v nichž vystupuje rezonance K ∗ , popř. i jiné rezonance. Ve čtvrté kapitole byla spočtena kolizní šířka pseudoskalárního kaonu se zadanou energií. Kromě závislosti této kolizní šířky na energii jsme uvažovali také závislost na invariantní hmotnosti tohoto kaonu a dále na teplotě prostředí v němž se kaon pohybuje. Kolizní šířku jsme počítali pouze z binárních reakcí. Celková kolizní šířka kaonu byla v našem případě aproximována jako součet třech kolizních šířek a to z reakcí Kπ → Kπ, ¯ → ππ a KK → KK. Největší příspěvek dává kolizní šířka z první reakce. Výsledná KK šířka je pro dvě různé teploty tepelné lázně zachycena na obr. 4.7. Lze říci, že s rostoucí invariantní hmotností kaonu roste i jeho kolizní šířka. Ta také roste při vzrůstající teplotě tepelné lázně. Takto spočtená kolizní šířka kaonu byla využita ve třetí kapitole. Tam se, při výpočtu střední kolizní šířky φ mezonu v reakcích se třemi částicemi v počátečním nebo koncovém stavu, dostával vyměňovaný kaon na hmotovou nadplochu. Protože se kaon nerozpadá silnou interakcí a jeho rozpadová šířka je tedy rovna nule, je nutné do imaginární části jeho propagátoru zahrnout kolizní šířku. Uveďme zde ještě, že pokud nepoužijeme kolizní šířku kaonu v základní reakci φ + K ∗ → π + K ∗ je výsledek téměř shodný jako když ji použijeme. Relativní chyba je menší než jedno procento pro všechny uvažované teploty tepelné lázně. 65

66

Závěr

V páté kapitole jsme se zmínili o produkci dileptonů v interakcích mezi piony. Konkrétně byla spočtena anihilace elektronu s pozitronem na čtyři piony. Tento výpočet byl především zaměřen na bližší určení interakčního Lagrangiánu částic a1 , ρ a π, resp. jeho parametru sin θ. Tento úkol představuje přípravu na výpočty reakčního výtěžku dileptonů z interakcí čtyř pionů. Bylo nalezeno, že parametr sin θ leží v intervalu (0.43, 0.52). . Simultánní fit obou kanálů dává hodnotu sin θ = 0.47 s relativní chybou ∼ 1%. K přesnějšímu určení tohoto parametru by mohly přispět BaBar data [24], která pokrývají široký energetický interval. Tato data nyní existují pouze v tzv. preliminary formě. Jsou kompatibilní s námi použitými SND daty. Bylo by také zajímavé přibrat do simultánního fitu další proces, např. rozpad τ − → ντ π − π − π + . Náš model a1 ρπ interakce byl použit při výpočtu produkce dimionů v relativistických jaderných srážkách [40]. V této kapitole byl dále odvozen vztah pro reakční výtěžek dileptonů v reakci 1+2+. . .+I → l+ ¯l. V případě výměny jednoho fotonu v této reakci byl tento reakční výtěžek dále zjednodušen. Jak jsme se již zmínili v úvodu, v horkém a hustém hadronovém plynu dochází mezi částicemi k mnoha srážkám. Ve třetí a páté kapitole jsme si ukázali, že pokud vystupuje v počátečním nebo koncovém stavu nějaké reakce rezonance, je vhodné počítat tyto reakce s rezonancemi jako vícečásticové reakce. Ty nám lépe podchytí správný popis tvorby a rozpadu rezonance v dané reakci než přístup binárních reakcí. Úzkou aproximaci rezonance lze brát pouze jako první přiblížení.

Příloha A Model amplitud reakcí A.1

Lagrangiány

V této části jsou shrnuty Lagrangiány z [14] použité v této práci. Je použito následující kompaktní maticové značení polních operátorů π, ρ, K a K ∗ 

π≡ √ 

K≡

K+ K

0

π0 2 π−

√

2 π+

−π 0





ρ0 ρµ ≡  √ µ − 2 ρµ

,

 ,



¯ ≡ (K − K ¯ 0 ), K

Kµ∗ ≡ 

Kµ∗ + Kµ∗ 0

√

2 ρ+ µ

−ρ0µ

 ,

 ,

¯ µ∗ ≡ (Kµ∗ − K ¯ µ∗0 ). K

Používáme konvenci, že kladně označený operátor obsahuje anihilační operátor příslušné kladně nabité částice a kreační operátor záporně nabité částice. Operátor K 0 , K ∗ 0 obsahuje ¯ 0 , resp. K ¯ ∗0 . A opačně anihilační operátor částice K 0 , resp. K ∗ 0 a kreační operátor K pro hermitovsky sdružené operátory. Používáme Lagrangiány ag 1 ¯ µ ∂ µK − ∂ µKρ ¯ µ K), (Kρ 4 1 + cA ag 1 ¯ µK − ∂ µKK), ¯ = i ωµ (K∂ 4 1 + cA ag 1 + 2 cV ¯ ¯ µK − ∂ µKK), φµ (K∂ = −i √ 2 2 1 + cA ag 1 + cV ¯ ∂ µ π K ∗ ), ¯ ∗ ∂ µπ K − K ¯ ∗ π ∂ µK + K ¯ π K∗ − K √ = i (∂ µK µ µ µ µ 4 1 + cA √ 3 3 ag 1 ¯ σ∗ ∂µ ρν K), ¯ ∂µ ρν ∂λ Kσ∗ + ∂λ K = ²µνλσ (K 2 16π mρ 1 + cA √ 3 a g3 1 ¯ λ K ∗ + ∂λ K ¯ ∗ K), = ²µνλσ ∂µ ων (K∂ σ σ 2 16π mρ 1 + cA √ 3 3 a g 1 + 2 cW Z µνλσ ¯ σ∗ K), ¯ λ Kσ∗ + ∂λ K ² ∂µ φν (K∂ = √ 2 8 2π mρ 1 + cA

LρKK = i LωKK LφKK LK ∗ Kπ LρK ∗ K LωK ∗ K LφK ∗ K

67

68

Příloha

LK ∗ K ∗ π = LρK ∗ K ∗ = LωK ∗ K ∗ = LφK ∗ K ∗ = LφK ∗ Kπ =

√ 3 a g 3 1 + 2 cW Z µνλσ ¯ ∗ π ∂λ K ∗ ), √ ² (∂µ K ν σ 16π 2 mρ 1 + cA n o g ¯ ν∗ − ∂ν K ¯ µ∗ )ρµ K ∗ν − K ¯ ∗µ (∂µ ρν − ∂ν ρµ )K ∗ν − K ¯ ∗ν ρµ (∂µ Kν∗ − ∂ν Kµ∗ ) , (∂µ K i 2 o gn µ ¯ ∗ν (∂µ K ∗ − ∂ν K ∗ ) − (∂µ ων − ∂ν ωµ )K ¯ ∗µ K ∗ν , ¯ ∗ − ∂ν K ¯ ∗ )K ∗ν − ω µ K i ω (∂µ K ν µ ν µ 2 o g n ¯ ∗ − ∂ν K ¯ ∗ )K ∗ν − φµ K ¯ ∗ν (∂µ K ∗ − ∂ν K ∗ ) − (∂µ φν − ∂ν φµ )K ¯ ∗µ K ∗ν , −i √ φµ (∂µ K ν µ ν µ 2 cV ag 2 ¯ π K ∗ ). ¯∗ π K + K φµ (K − √ √ µ µ 4 2 1 + cA

Použité hodnoty parametrů jsou následující: a = 2, g = 5.89, cA = 0.49, cV = 0.36, cW Z = −0.1.

A.2

Vertexy

Zde uvádíme pravidla pro vertexy, které jsou součástí amplitud reakcí, použité v této práci. Vertexy již zahrnují faktor −i vystupující při konstrukci matice reakce S, z které se pravidla odvozují. Pravidla jsou odvozena za předpokladu, že všechny částice z vertexů vycházejí. Pro vcházející částici mění její čtyřhybnost znaménko. Dále jsou zavedeny konstanty cK , cK ∗ , cπ , cρ . Konstanta cK = ±1; zápornou hodnotu nabývá pokud částice ¯ 0 }, tedy když daná K1 ∈ { vcházející K + , vcházející K 0 , vycházející K − , vycházející K částice ve vertexu snižuje podivnost. Konstanta cK ∗ = ±1; zápornou hodnotu nabývá pokud částice K1∗ nebo K ∗ ∈ { vcházející K ∗ + , vcházející K ∗ 0 , vycházející K ∗ − , vycházející √ ¯ ∗0 }, podivnost s touto částicí opět klesá. Konstanta cπ ∈ {1, 2, −1} záleží na náboK √ jovém stavu pionu; pokud je pion nabitý cπ = 2; zápornou hodnotu nabývá pokud se ve vertexu sejdou pouze neutrální částice. Stejným způsobem závisí na nábojovém stavu ρ konstanta cρ . V dalším označujeme symbolem X částici z množiny X ∈ {ρ, ω, φ}. Pro vertex částic XKK µ (pK1 , pK2 ) = i cK gXKK (pK1 − pK2 )µ , VXKK

kde gρKK = cρ gωKK , ag 1 gωKK = , 4 1 + cA ag 1 + 2 cV gφKK = − √ . 2 2 1 + cA Pro vertex částic K ∗ Kπ VKµ∗ Kπ (pK , pπ ) = i cK ∗ cπ gK ∗ Kπ (pK − pπ )µ , kde gK ∗ Kπ =

ag 1 + cV √ . 4 1 + cA

Příloha

69

Pro vertex částic XK ∗ K VXνσν Kσ∗ K (pX , pK ∗ ) = i gXK ∗ K εµνλσ pX µ pK ∗ λ , kde gρK ∗ K = cρ gωK ∗ K , √ 1 3 a g3 , gωK ∗ K = − 2 16π mρ 1 + cA √ 3 a g 3 1 + 2 cW Z gφK ∗ K = − √ 2 . 8 2π mρ 1 + cA Pro vertex částic K ∗ K ∗ π µνλσ pK1∗ µ pK2∗ λ , VKνσ1ν ∗ K ∗ π (pK ∗ , pK ∗ ) = i cπ gK ∗ K ∗ π ε 1 2 2σ

kde gK ∗ K ∗ π

√ 3 a g3 =− (1 + 2 cW Z ). 16π 2 mρ

Pro vertex částic XK ∗ K ∗ VXµνλ = i cK ∗ gXK ∗ K ∗ ∗ ∗ (pX , pK ∗ , pK ∗ ) µ K1ν K 1 2 2λ

h

i

g µν (pX − pK1∗ )λ + g νλ (pK1∗ − pK2∗ )µ + g λµ (pK2∗ − pX )ν ,

kde gρK ∗ K ∗ = cρ gωK ∗ K ∗ , g gωK ∗ K ∗ = − , 2 g gφK ∗ K ∗ = √ . 2 Prohození pořadí XK1∗ K2∗ libovolných dvou částic změní celkové znaménko vertexu. Je-li vertex v amplitudě dvakrát, nehraje pak toto prohození roli. Pro vertex částic φK ∗ Kπ VφK ∗ Kπ = i cπ gφK ∗ Kπ , kde

ag 2 cV . gφK ∗ Kπ = − √ √ 4 2 1 + cA Pro úplnost uvedeme ještě vertex částic ρππ µ Vρππ (pπ1 , pπ2 ) = i cρππ gρππ (pπ1 − pπ2 )µ ,

kde gρππ = g a cρππ = ±1; zápornou hodnotu nabývá tehdy, když se pro částici π1 uplatní: a) operátor π ˆ + zároveň s operátorem ρˆ0 , b) operátor π ˆ − zároveň s operátorem ρˆ+ nebo c) operátor π ˆ0 zároveň s operátorem ρˆ− . Tento vertex plyne z Lagrangiánu Lρππ = −i g/2 Tr[ρµ π ∂ µ π].

70

Příloha

A.3

Rozpadové šířky K a K ∗

Z výše uvedených Lagrangiánů plyne pro parciální rozpadové šířky částice K, jako funkce kvadrátu její invariantní hmotnosti s, následující vztahy 3a2 g 2 1 p∗ 3 (s, mK , mρ ) , ΓK→Kρ (s) = 32π (1 + cA )2 m2ρ a2 g 2 1 p∗ 3 (s, mK , mω ) , 32π (1 + cA )2 m2ω a2 g 2 (1 + 2 cV )2 p∗ 3 (s, mK , mφ ) ΓK→Kφ (s) = , 16π (1 + cA )2 m2φ

ΓK→Kω (s) =

3a2 g 2 (1 + cV )2 p∗ 3 (s, mK ∗ , mπ ) , 32π 1 + cA m2K ∗ 27ag 6 1 ∗ ΓK→K ρ (s) = p∗ 3 (s, mK ∗ , mρ ), 5 2 2 1024π mρ (1 + cA )

ΓK→K ∗ π (s) =

ΓK→K ∗ ω (s) =

9ag 6 1 p∗ 3 (s, mK ∗ , mω ), 5 2 1024π mρ (1 + cA )2

ΓK→K ∗ φ (s) =

9ag 6 (1 + 2 cW Z )2 ∗ 3 p (s, mK ∗ , mφ ) 512π 5 m2ρ (1 + cA )2

a pro částici K ∗ a2 g 2 (1 + cV )2 p∗ 3 (s, mK , mπ ) , 32π 1 + cA s 1 9ag 6 p∗ 3 (s, mK , mρ ), ΓK ∗ →Kρ (s) = 5 2 2 1024π mρ (1 + cA )

ΓK ∗ →Kπ (s) =

ΓK ∗ →Kω (s) =

1 9ag 6 p∗ 3 (s, mK , mω ), 3072π 5 m2ρ (1 + cA )2

ΓK ∗ →Kφ (s) =

9ag 6 (1 + 2 cW Z )2 ∗ 3 p (s, mK , mφ ), 1536π 5 m2ρ (1 + cA )2

ΓK ∗ →K ∗ π (s) =

(1 + 2 cW Z )2 ∗ 3 9ag 6 p (s, mK ∗ , mπ ), 1024π 5 m2ρ 1 + cA

ΓK ∗ →K ∗ ρ (s) =

g 2 p∗ 2 (s, mK ∗ , mρ ) + 3 (m2K ∗ + m2ρ + m2K ∗ m2ρ /s) ∗ 3 p (s, mK ∗ , mρ ), 8π m2K ∗ m2ρ

g 2 p∗ 2 (s, mK ∗ , mω ) + 3 (m2K ∗ + m2ω + m2K ∗ m2ω /s) ∗ 3 p (s, mK ∗ , mω ), 24π m2K ∗ m2ω g 2 p∗ 2 (s, mK ∗ , mφ ) + 3 (m2K ∗ + m2φ + m2K ∗ m2φ /s) ∗ 3 ∗ ∗ p (s, mK ∗ , mφ ). ΓK →K φ (s) = 12π m2K ∗ m2φ

ΓK ∗ →K ∗ ω (s) =

Hybnost p∗ (s, ma , mb ) je dána vztahem (2.6). Všechny rozpadové šířky souhlasí se šířkami uvedenými v [14, příloha B] kromě třech posledních. Navíc je vzata v úvahu i rozpadová šířka ΓK→K ∗ π (s).

Příloha B Prohlášení a související publikace B.1

Prohlášení autora

Prohlašuji tímto, že můj osobní přínos k společným pracím Electron-positron annihilation into four charged pions and the a1 ρπ Lagrangian a Joint description of the e+ e− annihilation into both four-pion channels spočívá především v nezávislém zhotovení numerických procedur a samostatném provedení výpočtů.

V Opavě dne 16. června 2008.

................................... RNDr. Josef Juráň

71

72

Příloha

B.2

Prohlášení spoluautora

Potvrzuji tímto, že přínos RNDr. Josefa Juráně k pracím Electron-positron annihilation into four charged pions and the a1 ρπ Lagrangian a Joint description of the e+ e− annihilation into both four-pion channels je relevantní. Souhlasím s jeho prohlášením na předešlé straně a také se zahrnutím obou zmíněných prací do jeho disertační práce Interakce mezonů v hadronovém prostředí a související procesy.

V Opavě dne 16. června 2008.

................................... Prof. Ing. Peter Lichard, DrSc.

Příloha

B.3

73

Electron-positron annihilation into four charged pions and the a1ρπ Lagrangian

Peter Lichard and Josef Juráň Physical Review D 76, 094030 (2007) arXiv: hep-ph/0601234v2

74

Příloha

PHYSICAL REVIEW D 76, 094030 (2007)

Electron-positron annihilation into four charged pions and the a1 Lagrangian Peter Lichard1,2 and Josef Jurańˇ1 1

Institute of Physics, Silesian University in Opava, Bezrucˇovo na´m. 13, 746 01 Opava, Czech Republic Institute of Experimental and Applied Physics, Czech Technical University, Horska´ 3/a, 120 00 Prague, Czech Republic (Received 27 January 2006; revised manuscript received 23 August 2007; published 29 November 2007)

2

The excitation curve of e e annihilation into four charged pions in the 770 region is calculated using three existing models with mesons and pions in intermediate states supplemented by Feynman diagrams with the a1 1260 intermediate states. A two-term phenomenological Lagrangian of the a1 interaction is used. The mixing angle is determined by fitting the e e ! cross section data of the Novosibirsk CMD-2 Collaboration and also its combination with the low-energy part of the BABAR Collaboration data. It is shown that the inclusion of the a1 intermediate states succeeds in obtaining a good agreement with the data on both cross section and the 0 ! decay width. When moving to energies above 1 GeV, the 1450 and 1700 resonances are taken into account to get excellent agreement with the BABAR data over the full energy range up to 4.5 GeV. DOI: 10.1103/PhysRevD.76.094030

PACS numbers: 13.30.Eg, 12.39.Fe, 13.25.Jx, 13.66.Bc

I. INTRODUCTION The task of describing the excitation curve of the e e ! reaction at low energies is closely related to the investigation of the energy-dependent decay width of the four-pion decay of 770. The validity of the factorization of the cross section into the 770 production and decay parts is generally assumed on the basis of the vector meson dominance (VMD) hypothesis [1]. The assumption of factorization allows experimentalists to determine a particular partial decay width at the nominal 770 mass on the basis of measurement of the e e annihilation cross section into the corresponding final state at the corresponding energy. The current experimental value 0 ! 2:8 1:4 0:5 keV was obtained in that way [2]. In this work, we will also assume a one-to-one correspondence between the cross section and the energy-dependent decay width at the same energy, ignoring the complications which may appear if some conditions are not met [3]. Needless to say that the evaluation of the decay width is less demanding technically and computationally than that of the cross section (fivedimensional quadrature instead of the eight-dimensional one in the case of four-body final states). The cross section of the e e annihilation into the 2 2 and 20 final states was considered by Decker, Heiliger, Jonsson, and Finkemeier [4] in conjunction with the conserved-vector-current-related decays of the lepton. The intermediate states of their model contained 770, a1 1260, and a scalar-isoscalar two-pion resonance. In the two-charged-two-neutral case also the !782 was included. The a1 vertex factors were adopted from the study of the three-pion decay of the lepton by Isgur, Morningstar, and Reader [5]. Czyz˙ and Ku¨hn [6] constructed a Monte Carlo generator of the reaction e e ! 4. The hadronic matrix elements were used in the form suggested in [4], corrected only for some minor deficiencies. To check the soundness of their

1550-7998= 2007=76(9)=094030(12)

approach, Czyz˙ and Ku¨hn calculated also the excitation curves of the nonradiative reactions e e ! and e e ! 20 in qualitative agreement with available data. Ecker and Unterdorfer [7,8] performed the first calculation of the processes e e ! 4 and ! 4 with the correct structure to Op4 in the low-energy expansion of the standard model extrapolated to the resonance region. To get a good description of the e e ! cross section up to 1 GeV, they had to include as an additional contribution the a1 exchange. They circumvented the a1 Lagrangian ambiguity by choosing a special relation among the individual coupling constants. The four-pion decays of the 770 are generally considered a convenient test ground of the low-energy effective theories of the interactions of mesons and pions. In the past, several papers appeared that calculated the corresponding partial decay widths [9–13]. Moreover, Achasov and Kozhevnikov [12,13] argued that the four-pion decay widths of 770 are not experimentally well defined because they require the averaging over a mass interval in which they rise rapidly. They therefore calculated, in addition to the decay widths 0 ! , 0 ! 0 0 , ! 30 , and ! 2 0 , the e e ! reaction cross section as a function of incident energy (excitation curve) and compared it to the CMD-2 data [2] from Novosibirsk. With respect to the role of the axial-vector meson a1 1260 in the four-pion decays of 0 , the situation is somewhat controversial. On one side, the intermediate states containing the a1 1260 were either ignored [9–13] or shown [11] to have little influence on the four-pion decay widths of 770.1 On the other side, the analysis of the differential distributions of charged pions coming 1

Ecker and Unterdorfer [7,8] also included the a1 contribution when calculating the 0 ! 4 branching fractions, but it is impossible for us to assess its role because they did not show results without it.

094030-1

© 2007 The American Physical Society

Ń ˇ PETER LICHARD AND JOSEF JURA


from the e e annihilation in the energy range 1.05– 1.38 GeV demonstrated the dominance of the a1 1260 intermediate states [14]. Given the large width of a1 1260 (a1 250 to 600 MeV [15]) it would be surprising if the role of the a1 -meson diminished so fast outside the above range, which is not too far from the 770 mass. Moreover, the a1 1260 meson was shown to be important in the four-pion decays of the -lepton [4,16,17], which are in a sense isospin counterparts of the four-pion final states in the e e annihilation. Recently, the paper of Achasov and Kozhevnikov appeared [18] that included the intermediate states with the a1 meson using the generalized hidden local symmetry model [19]. This increased the 0 ! 2 2 decay width from 0.94 keV to 1.59 keV assuming the nominal mass of the a1 resonance, see Table I in [18]. Unfortunately, the authors of [18] do not provide the comparison with the e e ! 2 2 cross section, which has a greater discriminatory value than the decay width alone [12,13]. The present work was triggered by our interest in the electromagnetic probes in relativistic heavy-ion collisions. The production of prompt dileptons and photons has for a long time been considered a powerful tool for investigating the properties of dense systems created in the hadronic and nuclear collisions [20,21]. The interest of the heavy-ion community in dilepton production has recently been boosted by very precise dimuon data by the CERN/NA60 Collaboration [22]. The prompt dileptons and photons can, in principle, originate from two sources: (i) quark-gluon plasma and (ii) hadron gas. The theoretical calculations of the dilepton and photon yield from the latter are hampered by the not uniquely known Lagrangian of the a1 interaction [23,24]. We suggest one way to relieve this problem and make the predictions of the dilepton and photon production from hadron gas more reliable. The results of the present work have already been utilized [25] in the evaluation of the dimuon production rate in In-In collisions at 158 A GeV. A way of narrowing the uncertainty interval in dilepton production from the hadron gas was advocated a long time ago by Li and Gale [26]. They checked the feasibility of the dilepton rate calculation in, e.g., !0 collisions, by comparing the inverse process (e e annihilation into the !0 final state) with the available experimental data. Li and Gale also considered the e e annihilation into four pions in the narrow a1 width approximation, i.e., as process e e ! a1 . In the present work we handle it as a genuine four-final-pion process, considering not only the a1 intermediate states but also other intermediate states following from various models based on the chiral perturbation theory. In this paper we investigate the role of the a1 1260 resonance in the e e annihilation into four charged pions and in the four-charged-pion decays of 770 in more detail. We supplement three existing models, which con-

sider only and in intermediate states (diagrams (a) and (b) in Fig. 1), with the a1 contribution (diagrams (d) in Fig. 1). Those three models are (1) the model of Eidelman, Silagadze, and Kuraev [10], (2) one of the models considered by Plant and Birse [11], and (3) the model of Achasov and Kozhevnikov [12,13]. We will consider only the final state with all charged pions, for which the experimental data are best. The difference between the approach of Achasov and Kozhevnikov [18] and ours lies mainly in the a1 Lagrangian. In [18], the generalized hidden local symmetry Lagrangian was chosen, whereas we choose a more phenomenological two-term Lagrangian, which is often used in a different branch of the particle physics. Its individual terms and their specific combinations appeared in many papers computing the dilepton and photon production rate from a thermalized meson gas. In this paper we consider the mixing angle between the two terms as a free parameter and will determine its value by fitting the excitation curve of the e e ! reaction. In order to evaluate the amplitude induced by the eight diagrams of Fig. 1(d) we have to choose a Lagrangian of the a1 interaction. For this choice, there are basically two approaches in the literature. One explores well-defined theoretical concepts to build dynamical models, the free parameters of which are then fixed by comparison with observed masses and decay widths. See, e.g., Refs. [23,27– 34]. In other, more phenomenological, approaches the authors simply chose for the a1 Lagrangian various ex-

FIG. 1. Selected Feynman diagrams describing decay 0 !

094030-2

ELECTRON-POSITRON ANNIHILATION INTO FOUR . . .


pressions built from the field operators and compatible with the fundamental conservation laws. Such Lagrangians, after fixing their coupling constants, were then used to calculate various observable quantities, see, e.g., [35–38]. In some approaches [5,39], the vertex factors were written directly without showing the corresponding Lagrangian. From the fact that different authors pick different Lagrangians one might get the impression that the choice of Lagrangian is not very important and that various Lagrangians lead to identical, or at least similar, results. This is not true, and the observable quantities may be very sensitive to the choice of the a1 Lagrangian, as was demonstrated, e.g., by Song [23]. The discussion of the a1 phenomenology with emphasis on the photon and dilepton production from a hot meson gas can be found in Ref. [24]. With so many a1 effective Lagrangians, it is interesting to learn which Lagrangian is preferred experimentally. This would require constructing a general Lagrangian with a set of free parameters and fixing them by comparing all possible observables with the existing data. Of course, such a program is very ambitious. In this paper we are going to do something much simpler. Below, we choose a twocomponent Lagrangian and determine its two free parameters by requiring that the decay width of a1 1260 be reproduced and the best possible fit obtained for the excitation curve of the e e ! reaction. Even this restricted program cannot be accomplished completely. First, the width of a1 1260 is not reliably known. We will consider three values from the range given in the Particle Data Group tables [15], namely, 250, 400, and 600 MeV. Second, the result of the fit will depend also on the basic and intermediate state model to which we add the a1 contribution. Nevertheless, we will show that the inclusion of the a1 intermediate states is necessary for obtaining good agreement with the e e ! excitation curve. Following the suggestion of T. Barnes [40] we also include the ratio of the D-wave and S-wave amplitudes of the a1 ! decay as a fitted quantity. The importance of the D=S ratio for selecting among the a1 Lagrangians was stressed in a different context in [24]. We use the experimental value D=S 0:14 0:11 [41], which was obtained by genuine partial wave analysis of the reaction p ! p. We consider the other values which exist in literature strongly model biased. They were obtained by fitting the three-pion mass spectrum in the decay ! 3 using the model of Isgur, Morningstar, and Reader [5] and then calculating the D=S ratio from the optimal parameters of the model. II. ORIGINAL MODELS, MODIFICATIONS, AND ADDITIONS As we already stated, we will complement three existing models of the four-pion decays, which consider only intermediate states with mesons and pions, with the inter-

mediate states containing the axial-vector resonance a1 1260. We must admit that our choice of models is rather arbitrary. Moreover, we took the models as they appeared in the literature and did not check their compatibility with chiral symmetry and with the constraints on coupling of resonances to the pions [42,43]. Those three models are characterized below. A. Model of Eidelman, Silagadze, and Kuraev (ESK) This model [10] is based on the effective chiral Lagrangian by Brihaye, Pak, and Rossi [44], which was investigated also in [45]. It follows from that Lagrangian that all (a) and (b) diagrams depicted in Fig. 1 contribute to the 0 ! decay rate. Their amplitudes (in the notation slightly different from ours) are shown in the paper. Our usage of this model will differ from the original paper in three respects: (1) We add a1 diagrams of Fig. 1(d). (2) We use a different value of the parameter k , defined in [10]. Instead of 0.55 we set k 0:5, which follows from the Kawarabayashi-Suzuki-RiazuddinFayyazuddin (KSRF) relation [46], to be in conformity with other two models. (3) We replace the scalar part of the -meson propagator with fixed mass and fixed width by the prescription P s

s

M2 s

i ; im s

(2.1)

which uses the running mass squared M2 s and the energy-dependent total width s from Ref. [47]. The last point deserves more comments. The denominator of our propagator (2.1) is an analytic function in the s plane with a cut running from 4m2 to infinity, as required by general principles. This property differs (2.1) from most of the formulas used in the literature. The real function M2 s is calculated from s using a once subtracted dispersion relation, which guarantees that the condition M2 m2 m2 is satisfied. A further condition dM2 s 0 (2.2) ds sm2 is not fulfilled automatically and serves as a test that all important contributions to the total -meson width s have properly been taken into account. See [47] for details. If we replace the m accompanying s in Eq. (2.1) by p s, as it is done in some existing formulas, the condition (2.2) cannot be satisfied for any reasonable choice of s. The running mass approach [47] takes into account, in addition to the basic two-pion decay channel, several channels (!0 , K K , K 0 K 0 , and ) which open as the resonance goes above its nominal mass. It also considers structure effects described by the strong form factors. In these two respects it differs from other approaches that appeared in the literature [48–50]. Gounaris and Sakurai [48] considered only the two-pion

094030-3


PHYSICAL REVIEW D 76, 094030 (2007) 0

contribution to the total width of the resonance and ignored structure effects. Vaughn and Wali [49] took into account the strong form factor, but again ignored higher decay channels. Melikhov, Nachtmann, Nikonov, and Paulus [50] included the K K and K 0 K 0 channels, but did not consider the strong form factors. We will use the propagator (2.1) not only in conjunction with the ESK model, but also with the other ones. This is the main reason why our results calculated within the original models (i.e., without the a1 intermediate states) and presented below differ slightly from the results quoted in the original papers. B. One of the models of Plant and Birse (PB/HG) Plant and Birse [11] investigated several models of the four-pion decays of 0 770. One of them (labeled HG) is a corrected version of the model by Bramon, Grau, and Pancheri [9], which was based on the hidden gauge theory of Bando et al. [51]. The 22 contact terms, see diagram (b1) in Fig. 1, are missing in this approach. The amplitude of the (a1) diagram is different from that in work by Eidelman, Silagadze, and Kuraev [10] by a factor ( 1=2). The amplitudes of (a2) and (b2) diagrams are equal to their ESK counterparts. C. Model of Achasov and Kozhevnikov (AK) Achasov and Kozhevnikov [12,13] studied the four-pion decays of 770, five-pion decays of !782, and the processes related to them. Namely, the e e annihilation into the four- and five-pion final states and the four-pion decays of the lepton. They used the Weinberg Lagrangian [52] obtained upon the nonlinear realization of chiral symmetry. From their rather extensive work we adopt their prescriptions for the amplitudes (a1), (a2), and (b2) of the 0 ! decay. The contact amplitude (b1) is again vanishing. Achasov and Kozhevnikov used a fixed-mass, variable-width formula for the -meson propagator. D. a1 Lagrangian and the amplitude of the diagrams containing the a1 meson We choose the following interaction among the a1 , , and fields ga L p1 L1 cos L2 sin; (2.3) 2 where ga1 and are yet undetermined parameters,

L 1 A V @ ;

(2.4)

L 2 V @ A ;

(2.5)

and V @ V @ V . The isovector composed of the -meson field operators is denoted by V , similar objects for and a1 are and A , respectively. We write

1

1 p c yc ; 2

i

2 p c yc ; 2

3 n ;

and assume that c contains the annihilation operators of the positive pion and creation operators of the negative pion. n is the operator of neutral pion field. A specific combination of terms (2.4) and (2.5) appeared in the pioneering work by Wess and Zumino [27]. Term (2.4) alone was used by Xiong, Shuryak, and Brown [39] in their study of the photon production from meson gas. Janssen, Holinde, and Speth [37] picked the term (2.5) when they evaluated the amplitude of the scattering. Another combination of (2.4) and (2.5) appeared in the calculation of dilepton production from meson gas by Song, Ko, and Gale [53]. The Lagrangian (2.3) leads to the following factor for the 0 vertex in which an incoming a 1 (index ), an outgoing (index ), and an outgoing meet ga V pa1 ; p ; p p1 fcos p p

p p g 2 sin p p

g: a1 pa1 p g

(2.6) 0 The a vertex acquires an extra minus sign. The 1 0 evaluation of the decay rate of a 1 ! using vertex (2.6) is straightforward.

a1 !0

g2a1 1=2 m2a1 ; m2 ; m2 Rm2a1 ; m2 ; m2 ; 192m3a1 (2.7)

where x; y; z x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz and

y Rx; y; z x y z2 x y z2 cos2 2x 2 x z2 yx z 2y cos sin x y z2 2xy sin2 :

If we assume the charge independent a1 coupling constant and masses of and a1 , the width of the decay a 1 ! 0 is obtained from (2.7) by changing just the pion mass. Formula a1 a1 !0 a1 ! 0

(2.8)

enables us to find the coupling constant ga1 for given a1 and sin. Because each of the diagrams of Fig. 1(d) contains two a1 vertices, the overall sign of the Lagrangian (2.3) is not important and we can assume a non-negative cos. A question arises whether the narrow -width approximation used above is accurate enough for the purpose of determining the ga1 coupling constant. Achasov and

094030-4



Kozhevnikov [18] showed that the a1 decay width calculated as a1 ! came out larger than that calculated as a1 ! 3 using the same coupling constant ga1 . We have examined this issue, too, using our twocomponent Lagrangian (2.3) and got that the a1 ! 3=a1 ! ratio is smaller than unity (like in [18]) for sin & 0:2 and sin * 0:65. In the remaining interval, which contains all the values of sin that will be met in our calculations, this ratio is greater than one. Moreover, we have found that if one takes into account the strong form factors in the a1 and vertices, the results of both approaches become almost identical. This can be explained as follows. According to the Kokoski and Isgur [54] formula, which will be shown later, the strong form factor in a particular decay vertex is a decreasing function of the three-momentum of an outgoing particle in the rest frame of the parent particle. In the a1 ! 3 decay the intermediate mass of is mostly smaller than its nominal mass, which means higher momenta of particles emerging from the a1 vertex. In addition, the a1 ! 3 width is further reduced by the form factor in the vertex. Let us now turn to the amplitude of the a1 diagrams in Fig. 1(d) for the decay 0 p ! p1 p2 p3 p4 . We first introduce the notation qi p pi ;

sij r2ij ;

rij pi pj ;

(2.9)

and then write the amplitude in the form M d Jd; ; 0 where is the polarization vector of the decaying and

Jd; 1 P12 P34 1 P14 1 P23 V q4 ; p; p4 P a1 q4 V q4 ; r12 ; p3 g p2 p1 P s12 : Here, Pij denotes the operator that interchanges fourmomenta pi and pj . The axial-vector meson propagator

P a1 q i

g

1 m2a1

q q

q2 m2a1 ima1 a1

(2.10)

is chosen in a simple fixed-mass, fixed-width form. Here, we are going to consider the four-pion system with invariant energies less than 1 GeV. The invariant mass of the p three-pion system, which is equal to q2 , is thus limited by 0.86 GeV. Achasov and Kozhevnikov [18] showed that the a1 decay width is negligible in that energy range. Referring to their finding we set a1 0 in Eq. (2.10). The scalar part of the propagator is again used in the form (2.1). E. Technicalities The complete amplitude of the 0 ! decay is

M J ;

(2.11)

0 where is the polarization vector of the decaying and

J Ja; Jb; Jd; : Four-vectors Ja; and Jb; describe the contributions from (a) and (b) diagrams in a particular model and Jd; is the contribution from (d) diagrams. The sum over the -meson polarizations of the amplitude (2.11) squared is given by X p p jM j2 g (2.12) J J : 2 m This formula is more complicated than that used in [10], because the four-vectors Ja; and Jb; of PB/HG and AK models do not satisfy the transversality condition J p 0. We used the algebraic manipulation program REDUCE [55] to express the sum (2.12) in terms of six invariants sij , i < j, j 2, 3, 4 defined in (2.9). Of course, only P five of them are independent and we used the identity i<j sij m2 8m2 for the checks in the process of evaluation of the decay width. When calculating the excitation curve, m2 is replaced by s, the square of the incident energy. When calculating the decay width of an unpolarized parent particle, we may take advantage of the spherical symmetry of the problem and choose the following kinematic configuration: (1) The parent particle a is at rest. (2) The summed momentum p12 of particles 1 and 2 points in the direction of the z axis. (3) The individual momenta p1 and p2 lie in the xz plane. Then the following formula, written in a general case with arbitrary masses and spins, is valid: Z ma m3 m4 Z ma m12 N dm12 p1 dm34 p12 p3 6 2 162 ma m1 m2 m3 m4 Z1 Z 2 Z1 d cos1 d cos3 d’3 jMj2 : (2.13) 1

1

0

The last quantity is the amplitude squared, averaged over the initial spin states, and summed over the final spin states. The factor N takes into account the identity of the final particles and equals 1=4 in our case. The asterisk denotes the momentum in the corresponding rest frame (1–2 or 3– p q2 4), p jpj, and mij sij pi pj . For evaluation of the integrals in (2.13) we used a sequence of the five one-dimensional Gauss-Legendre quadratures of the 16th order. We prefer this method to Monte Carlo integration because we use the result of the integration in a minimization procedure and therefore we require that the same value of the optimized variable (Lagrangian mixing angle) yield always the same value of the minimized function, which would not be satisfied with the Monte Carlo integration. Nevertheless, we checked our computer code by evaluating the decay width for a particular value of the mixing angle using a com-

094030-5



pletely independent code based on the Monte Carlo method. To convert the calculated decay width into the cross section, we start with the formula s s: 4 s s 4 Using s

2 4m2 3=2 1 jF sj2 ; 3s s

where F s is the contribution of the resonance to the pion form factor, and g2 W 4m2 3=2 s 1 s 48 p with W s, we arrive at 4 2 1 4 s jF sj2 4 s: (2.14) g W3 We further use the VMD expression for the dielectron decay width of 0 4m 2 e e (2.15) g 3 and get 4 s

12e e jF sj2 4 s: m W 3

(2.16)

If we set, following Achasov and Kozhevnikov [13], F s

m2 ; D s

(2.17)

where the inverse -meson propagator D s is defined in Eq. (2.2) of [13], we reproduce their Eq. 3.1. In our opinion, Eq. (2.16) overestimates the cross section if the experimental value of e e is used. The reason is that the dielectron decay width calculated from (2.15) is smaller than the experimental value. We will therefore stick with formula (2.14). We utilize the scalar part of the -meson propagator (2.1) to write our ansatz for the -meson contribution to the pion form factor F s

M2 s

M2 0 : s im s

(2.18)

As shown in [47], this formula gives the correct value of the mean square radius of the pion. The form factor (2.17) fails in this test. For the coupling constant we use the same value as in [11–13], namely g 5:89. This value is compatible with what follows from the KSRF relation [46] (5:900 0:011).

Both values are a little lower than g 6:002 0:015 calculated from the -meson width. III. LOW-ENERGY RESULTS (W < 1 GeV) We deal with the excitation curves of the reaction e e ! calculated in three different models (ESK, PB/HG, AK) supplemented with the a1 diagrams in Fig. 1(d). We first fit them to the CMD-2 data [2] by varying the sine of the mixing angle , defined in (2.3), for the three fixed values of the width of the a1 1260 meson. We did not consider the first two points in the CMD-2 data, because they give only upper bounds of the cross section. The ratios of the usually defined 2 to the number of degrees of freedom (NDF), which characterize the quality of the fit, are shown in Table I. The last row in Table I shows the values of 2 =NDF that indicate how well (or badly) the original models without a1 agree with the data. No free parameter is involved in the latter case. Table I shows that the ratio 2 =NDF is always greater than one. In what follows, we shall therefore multiply the statistical errors of the quantities obtained in the process of minimization by the square root of that ratio. The inspection of Table I shows that the inclusion of the a1 contribution greatly improves the agreement with the data. The interference between the original diagrams and the new ones is important, the results of the combined model are better than those of the a1 diagrams alone. The best results (lowest 2 ) are obtained with the AK model supplemented with the a1 intermediate states. To investigate the sensitivity of our results to the input data, we combine the CMD-2 data [2] and the low-energy (s < 1 GeV2 ) part of the BABAR data [56] (BABAR-LE in what follows) into a new set and repeat the calculations. The results are shown in Table II. Their comparison with the results obtained from the CMD-2 data alone shows two important differences: (i) The agreement of all models with data, characterized by 2 =NDF, is now better. It indicates that the CMD-2 and BABAR-LE data are compatible, so the increased number of data points does not bring proportional increase of 2 . (ii) Whereas merging of the a1 diagrams with the PB/HG or AK model improves the fit, adding the ESK model diagrams to the pure a1 contribution leads to the opposite effect. Next, we add the D=S ratio [41] to the set of fitted experimental values and repeat the calculations. The reTABLE I. 2 =NDF of the fits to the CMD-2 cross section data (11 data points). a1 (MeV)

ESK [10]

PB/HG [11]

AK [12,13]

Only a1

250 400 600 Only ,

1.60 1.53 1.61 17.6

1.34 1.37 1.41 15.0

1.28 1.30 1.31 14.8

1.68 1.82 1.94

094030-6



2

TABLE II. =NDF of the fits to the combined CMD-2 and BABAR-LE cross section data (27 data points). a1 (MeV)

ESK [10]

PB/HG [11]

AK [12,13]

Only a1

250 400 600 Only ,

1.42 1.48 1.55 9.4

1.20 1.21 1.22 10.4

1.19 1.18 1.19 10.3

1.32 1.39 1.44

TABLE III. 2 =NDF of the fits to the CMD-2 and BABAR-LE cross section data and to the D=S ratio (28 data points). a1 (MeV) 250 400 600

ESK [10]

PB/HG [11]

AK [12,13]

Only a1

3.66 1.98 1.65

1.95 1.34 1.20

1.99 1.33 1.18

1.96 1.48 1.41

sults are shown in Table III. The salient feature of those results is a clear preference of the highest assumed value (600 MeV) of the total a1 width. In Figs. 2 – 4, we show the comparison of the combined set of data with the excitation curves calculated in all three models supplemented with the a1 diagrams in Fig. 1(d). The same comparison for the a1 diagrams alone is depicted in Fig. 5. In Table IV we can see the values of sin together with their errors (defined in the usual way [57]) obtained from the fit to the CMD-2 and BABAR-LE cross section data and to the D=S ratio. As we mentioned above, three differ-

FIG. 2. Excitation curves calculated in the original (without a1 meson) and expanded ESK model compared to the CMD-2 and BABAR-LE data. The D=S ratio was also used in fit.

FIG. 3. Excitation curves calculated in the original (without a1 meson; dash-dotted curve close to the abscissa) and expanded PB/HG model compared to the CMD-2 and BABAR-LE data. The D=S ratio was also used in fit.

ent values of the a1 1260 width are assumed. Table V compares the experimental value of the 0 ! decay width [2] with the results obtained

FIG. 4. Excitation curves calculated in the original (without a1 meson; dash-dotted curve close to the abscissa) and expanded AK model compared to the CMD-2 and BABAR-LE data. The D=S ratio was also used in fit.

094030-7



virtual photon and then convert into four pions. We include two resonances: 0 1450 and 00 1700. We assume that the decay of those resonances into four pions is governed by the same Feynman diagrams as that of 770, with all coupling constants scaled by the same factor (different for 0 and 00 ). This assumption implies that the four-pion decay widths of 0 and 00 have the same shape in W as that of 770. They only differ from it by constant factors. The simplifying assumption we have made allows us to use the same cross section formula (2.14) as in the low-energy case, with F s replaced by Fs F s F0 s F00 s;

(4.1)

where F s differs from (2.18) by including also 0 ! s into the total decay width of 770, F s 0

FIG. 5. Excitation curves calculated from the a1 diagrams only, compared to the CMD-2 and BABAR-LE data. The D=S ratio was also used in fit. TABLE IV. Values of sin from the fit to the CMD-2 and BABAR-LE data and to the D=S ratio. a1 (MeV)

ESK [10]

PB/HG [11] AK [12,13]

250 400 600

0.4092(33) 0.4352(24) 0.4659(27)

0.4278(32) 0.4624(34) 0.5046(44)

Only a1

0.4267(32) 0.4312(35) 0.4608(32) 0.4679(39) 0.5022(41) 0.5132(55)

TABLE V. Decay width 0 ! (keV) calculated in various models using sin from the fits to the CMD-2 and BABAR-LE data and to the D=S ratio. Experimental value is 2:8 1:4 0:5 keV [2]. a1 (MeV)

ESK [10]

PB/HG [11]

AK [12,13]

Only a1

250 400 600 Only ,

4.28(01) 2.81(01) 1.94(02) 16.2

3.16(25) 3.55(28) 3.77(30) 0.59

2.70(23) 3.03(26) 3.22(27) 0.89

4.52(30) 5.08(32) 5.39(37)

from various models under the same conditions. The results for both quantities obtained with other data sets (CMD-2 only, CMD-2 and BABAR-LE) are very similar.

When we want to get a good description of the data on the e e annihilation to four charged pions at energies above 1 GeV, we should consider also the contribution from diagrams where higher resonances couple to the

m20 s im0 0

;

(4.2)

and a similar expression holds also for F00 s. Constants and not only include the coupling constants’ modification factors mentioned above, but also account for the fact that the couplings of 0 and 00 to photon differ from that of 770, which is fixed by VMD. Unknown complex parameters and will be determined, together with the masses and widths of 0 and 00 and other two parameters mentioned later on, by fitting the experimental excitation function.2 Another effect that has to be taken into account when dealing with higher energies is connected with the structure of the strongly interacting particles. Our decay amplitudes have been derived under the assumption that the pions, ’s, and a1 ’s, are elementary quanta of the corresponding quantum fields. But this assumption is justified only when their mutual interaction is soft. When the momenta of the mesons which enters a specific interaction vertex get higher, the contribution of that vertex to the amplitude becomes smaller than in the case of the pointlike participants. This effect is usually described by strong form factors. Given the present status of the strong interaction theory, we have to turn to models. For example, in the chromoelectric flux-tube breaking model of Kokoski and Isgur [54], the vertex describing a two-body decay is modified by the factor expfp2 =12 2 g, where p is the three-momentum magnitude of the decay products in the parent particle rest frame and 0:4 GeV. For decay of the meson with a (non-nominal) mass W into two on2

IV. HIGH-ENERGY RESULTS (W UP TO 4.5 GeV)

m20

When we replaced (2.18) by (4.1) in the low-energy region and kept the form-factor parameters as determined in the highenergy fit, we got the results that differed slightly from those in Sec. III. If we varied also those parameters when fitting the lowenergy data, they acquired unphysical values (masses of 0 and 00 around 1 GeV). It may signify that some contribution important at low energies (scalar resonances) is still missing in our approach.

094030-8



mass-shell pions, this form factor can be written as s s0 FKI s exp ; (4.3) 48 2 where s W 2 and s0 is the threshold value of s (4m2 in the two-pion decay). The complete amplitude of the four-pion decay of 0 contains many vertices, some of them with more than three incoming/outgoing particles. Applying the Kokoski-Isgur factor to each of them would be cumbersome and would require additional assumptions in the case of more complicated vertices. We will therefore assign an ‘‘effective’’ strong form factor of the form (4.3) to the complete amplitude of the decay 0 ! , but with s0 16m2 . When fitting the experimental excitation curve, will be considered as another parameter. With the masses and widths of 0 and 00 , complex parameters and , and with the sine of the mixing angle there are ten real parameters to be determined by fitting the e e ! cross section data of the BABAR Collaboration [56]. In the following, we assume the a1 decay width of 600 MeV, for which the results of all models at energies below 1 GeV were best. The same value was used in the a1 propagator (2.10). The resulting optimized values of the parameters listed above and their MINUIT [57] errors are shown in Table VI for the three different models supplemented with the a1 intermediate states and for the latter alone. Mutual comparison of the 2 =NDF ratios clearly shows that the presence of the a1 intermediate states is crucial for obtaining good agreement of the calculated excitation curve with data. They provide a good fit even if taken alone. Adding the diagrams with ’s and ’s in the intermediate states does not change the quality of the fit if their amplitudes are taken from the PB/HG and AK models. On the other hand, the inclusion of the amplitudes of the ESK model brings some deterioration of the fit. The values of parameter do not differ very much from the value advocated in [54] for the three-line vertices, which indicates that the effectivestrong-form-factor approach we have chosen (4.3) is reaTABLE VI. Results of the fit to the BABAR cross section data and to the D=S ratio (145 data points) for a1 600 MeV. Model 2 =NDF

ESK [10]

PB/HG [11]

AK [12,13]

Only a1

1.21 1.12 1.12 1.12 sin 0.4474(22) 0.4592(28) 0.4588(27) 0.4603(28)

(GeV) 0.3505(89) 0.3665(97) 0.3657(97) 0.3695(98) m0 (GeV) 1.419(12) 1.439(13) 1.438(13) 1.442(13) 0 (GeV) 0.564(20) 0.568(21) 0.568(21) 0.566(21) Re 0.1038(41) 0.1145(51) 0.1144(51) 0.1149(53) Im 0:03911 0:01912 0:02112 0:01513 m00 (GeV) 1.903(21) 1.923(24) 1.922(24) 1.926(24) 00 (GeV) 0.247(38) 0.284(44) 0.283(44) 0.290(45) Re 0:001611 0:000217 0:000317 0.0002(18) Im 0:0037394 0:005412 0:005412 0:005613

FIG. 6. Theoretical excitation curve compared with the BABAR data [56]. The D=S ratio was also used in fit. The result of the pure a1 model is shown. The other models combined with a1 intermediate states provide almost identical curves.

sonable. The values of the sine of the mixing angle are somewhat lower than those at low energies. The central values of the masses and widths of 0 and 00 are a little different from those listed in [15], but differences are acceptable keeping in mind relatively large errors. The graphical comparison of the excitation curve calculated from the model containing only the diagrams with the a1 intermediate states, shown in Fig. 1(d), with experimental data [56] is presented in Fig. 6. The excitation curves of other models (ESK, PB/HG, AK) combined with the a1 contribution differ only slightly and are not shown. V. CONCLUSIONS AND COMMENTS Our low-energy results show that the inclusion of the a1 intermediate states is of vital importance for obtaining a good agreement with the experimental data on the cross section of the reaction e e ! as a function of the incident energy (see Tables I, II, and III or Figs. 2 – 4,). The 2 =NDF ratio gets much smaller if a particular model is supplemented with the diagrams containing the a1 resonance in the intermediate states. Viewing from another perspective, the pure a1 model provides relatively good agreement with the cross section data, much better than each of the three models without the a1 intermediate states. (See Tables mentioned above and Fig. 5.) Adding the diagrams from the original models to the pure a1 model improves the fit in the case of the PB/HG and AK models, but worsens it in the case of the ESK model. Unfortunately,

094030-9

Ń ˇ PETER LICHARD AND JOSEF JURA 2


the =NDF ratio remains greater than one everywhere. It may be the consequence of our ignoring some important contributions, perhaps those with a scalar resonance considered in [4,6]. The original models ESK, PB/HG, and AK do not contain any scalar resonances. We also have not included them as our main concern was the role of the a1 resonance. It is also possible that the a1 Lagrangian should contain more terms than considered in (2.3). Using the D=S ratio as an additional data point is important. It can discriminate among various models. In our case it increases the separation of the ESK model from the others. It also strongly prefers larger values of the assumed a1 width. In calculations without the D=S ratio we were able to find a value of sin for each a1 that led to an acceptable fit to the e e ! 2 2 cross section. However, the lowest value of a1 is excluded if we add the D=S ratio to the fitted data (see Table III). As to the partial decay width of 0 ! , the conclusion is not so categorical. Two models (PB/HG and AK) in their original forms provided results that were a little smaller, but did not contradict strongly the experimental value with its large errors. Only the original ESK model gave too large a figure, which was in a clear disagreement with the experimental value. The inclusion of the a1 intermediate states brought all values into the interval given by the experimental value and its errors summed linearly, see Table V. It must be said that the pure a1 model gives the decay widths that are close to the one-sigma upper limit or even beyond it. We originally hoped that our study would tell us the form of the a1 Lagrangian. But with respect to the a1 Lagrangian, no clear picture can be inferred from the low-energy results yet. The optimal values of the sine of the mixing angle, see Table IV, are from a broad interval and depend not only on the choice of the original model to which the a1 diagrams are added, but also on the assumed value of the a1 width. The optimized values of sin squeeze into interval 0:40; 0:51. The quality of the fit over the whole energy range of the BABAR experiment [56], as measured by the 2 =NDF ratio, seems to be better than that at low energies. But a more careful investigation in terms of the confidence level, which takes into account 2 and NDF separately, shows equal quality of those two fits. The values of sin are compatible with those found at low energies, sin 2 0:41; 0:47 (lower boundary is obtained from the fits where a1 250 MeV was used). They occupy a narrower interval, what can be explained by lesser importance of subdominant diagrams with only and mesons in the intermediate states. It is interesting to compare our estimates of the mixing parameter sin, defined in Eq. (2.3), with its values that have been used so far, see Table VII. The values in the first and fifth row simply reflect the fact that Lagrangians in Refs. [37–39] contained just one term. The remaining rows

TABLE VII. Survey of the mixing parameter sin for various versions of two-component a1 Lagrangian (2.3) that appeared in literature. No. 1 2 3 4 5

sin

Reference

0 0.2169 0.5582 0.6308 1 0.40 – 0.51 0.41– 0.47

[38,39] [23,24,53] [58] [23,24,59] [37] Our low-energy fits Our all-energy fits

refer to various sets of four fundamental parameters (m0 , g, , and ) of the model in which the vector and axial-vector mesons were included as massive Yang-Mills fields of the SU2 SU2 chiral symmetry [23]. The model built on previous works [28–30]. Our mixing parameter is related to the parameters 1 and 2 of that model, which can be expressed in terms of the four fundamental parameters using Eqs. (2.9) and (2.10) in [23]. The formula is very simple: 2 sin q : 21 22 In [23], the fundamental parameters of the massive YangMills model were determined using the experimental values of the masses and width of the and a1 mesons. This procedure is not unique; there are two solutions. The corresponding mixing parameter is shown in the second and fourth row of Table VII. Row 3 corresponds to an ad hoc choice of fundamental parameters made in [58]. The last two rows show the range of our results obtained from various models (ESK, PB/HG, AK) and various assumed values of a1 (250, 400, and 600 GeV). Unfortunately, there is no overlap with the rows above. The issue definitely requires more attention. The phenomenological models may be improved by including other intermediate states, perhaps those with scalar resonances. The parameters of the massive Yang-Mills model may be tuned by using richer experimental input (a1 ! and D=S ratio as in [24,32]) and more realistic formulas for relating theoretical parameters to experimental quantities, e.g., calculating the a1 width as a1 ! 3 instead of a1 ! . Our failure to obtain a more precise value of the mixing angle of the a1 Lagrangian suggests that it is necessary to make a simultaneous fit to data about several physical processes. The natural candidates are the e e annihilation into various four-pion final states, the decay of the lepton into neutrino and three or four pions, and the exclusive hadronic reactions of the type investigated, e.g., in [37].

094030-10


ACKNOWLEDGMENTS P. L. is indebted to David Kraus for useful discussions. We thank Professor T. Barnes for useful correspondence. This work was supported by the Czech Ministry of

[1] Y. Nambu, Phys. Rev. 106, 1366 (1957); W. R. Frazer and J. R. Fulco, Phys. Rev. Lett. 2, 365 (1959); J. J. Sakurai, Ann. Phys. (N.Y.) 11, 1 (1960); Y. Nambu and J. J. Sakurai, Phys. Rev. Lett. 8, 79 (1962); 8, 191(E) (1962); M. Gell-Mann, D. Sharp, and W. Wagner, ibid. 8, 261 (1962); J. J. Sakurai, Currents and Mesons (University of Chicago Press, Chicago, IL, 1969). [2] R. R. Akhmetshin et al., Phys. Lett. B 475, 190 (2000). [3] P. Lichard, Acta Phys. Slovaca 49, 215 (1999). [4] R. Decker, P. Heiliger, H. H. Jonsson, and M. Finkemeier, Z. Phys. C 70, 247 (1996). [5] N. Isgur, C. Morningstar, and C. Reader, Phys. Rev. D 39, 1357 (1989). [6] H. Czyz˙ and J. H. Ku¨hn, Eur. Phys. J. C 18, 497 (2001). [7] G. Ecker and R. Unterdorfer, Eur. Phys. J. C 24, 535 (2002). [8] G. Ecker and R. Unterdorfer, Nucl. Phys. B, Proc. Suppl. 121, 175 (2003). [9] A. Bramon, A. Grau, and G. Pancheri, Phys. Lett. B 317, 190 (1993). [10] S. I. Eidelman, Z. K. Silagadze, and E. A. Kuraev, Phys. Lett. B 346, 186 (1995). [11] R. S. Plant and M. C. Birse, Phys. Lett. B 365, 292 (1996). [12] N. N. Achasov and A. A. Kozhevnikov, Phys. Rev. D 61, 077904 (2000). [13] N. N. Achasov and A. A. Kozhevnikov, Phys. Rev. D 62, 056011 (2000). [14] R. R. Akhmetshin et al., Phys. Lett. B 466, 392 (1999). [15] W.-M. Yao et al., J. Phys. G 33, 1 (2006). [16] A. E. Bondar, S. I. Eidelman, A. I. Milstein, and N. I. Root, Phys. Lett. B 466, 403 (1999). [17] K. W. Edwards et al., Phys. Rev. D 61, 072003 (2000). [18] N. N. Achasov and A. A. Kozhevnikov, Phys. Rev. D 71, 034015 (2005); Yad. Fiz. 69, 314 (2006) [Phys. At. Nucl. 69, 293 (2006)]. [19] M. Bando, T. Fujiwara, and K. Yamawaki, Prog. Theor. Phys. 79, 1140 (1988). [20] E. L. Feinberg, Nuovo Cimento A 34, 391 (1976). [21] E. Shuryak, Phys. Lett. B 78, 150 (1978); Yad. Fiz. 28, 796 (1978) [Sov. J. Nucl. Phys. 28, 408 (1978)]. [22] R. Arnaldi et al. (NA60 Collaboration), Phys. Rev. Lett. 96, 162302 (2006). [23] C. Song, Phys. Rev. C 47, 2861 (1993). [24] S. Gao and C. Gale, Phys. Rev. C 57, 254 (1998). [25] J. Ruppert, C. Gale, T. Renk, P. Lichard, and J. I. Kapusta, arXiv:0706.1934. [26] G.-Q. Li and C. Gale, Phys. Rev. Lett. 81, 1572 (1998); Phys. Rev. C 58, 2914 (1998); Nucl. Phys. A 638, c491 (1998).


Education, Youth, and Sports under Contract No. MSM6840770029, No. MSM4781305903, and No. LC07050.

[27] J. Wess and B. Zumino, Phys. Rev. 163, 1727 (1967). ¨ . Kaymakcalan, and J. Schechter, Phys. Rev. [28] H. Gomm, O D 30, 2345 (1984). [29] B. R. Holstein, Phys. Rev. D 33, 3316 (1986). [30] U. G. Meissner, Phys. Rep. 161, 213 (1988). [31] N. Kaiser and U. G. Meissner, Nucl. Phys. A 519, 671 (1990). [32] P. Ko and S. Rudaz, Phys. Rev. D 50, 6877 (1994). [33] B. A. Li, Phys. Rev. D 52, 5165 (1995). [34] J. Smejkal, E. Truhlı´k, and H. Go¨ller, Nucl. Phys. A 624, 655 (1997). [35] T. N. Pham, C. Roiesnel, and T. N. Truong, Phys. Lett. B 78, 623 (1978). [36] J. H. Ku¨hn and A. Santamaria, Z. Phys. C 48, 445 (1990). [37] G. Janssen, K. Holinde, and J. Speth, Phys. Rev. C 49, 2763 (1994). [38] K. Haglin, Phys. Rev. C 50, 1688 (1994). [39] L. Xiong, E. Shuryak, and G. E. Brown, Phys. Rev. D 46, 3798 (1992). [40] T. Barnes (private communication). [41] S. U. Chung et al. (BNL/E852 Collaboration), Phys. Rev. D 65, 072001 (2002). [42] G. Ecker, J. Gasser, H. Leutwyler, A. Pich, and E. de Rafael, Phys. Lett. B 223, 425 (1989). [43] G. Ecker, J. Gasser, A. Pich, and E. de Rafael, Nucl. Phys. B321, 311 (1989). [44] Y. Brihaye, N. K. Pak, and P. Rossi, Nucl. Phys. B254, 71 (1985); Phys. Lett. B 164, 111 (1985). [45] E. A. Kuraev and Z. K. Silagadze, Phys. Lett. B 292, 377 (1992). [46] K. Kawarabayashi and M. Suzuki, Phys. Rev. Lett. 16, 255 (1966); 16, 384(E) (1966); Riazuddin and Fayyazuddin, Phys. Rev. 147, 1071 (1966). [47] P. Lichard, Phys. Rev. D 60, 053007 (1999). [48] G. J. Gounaris and J. J. Sakurai, Phys. Rev. Lett. 21, 244 (1968). [49] M. T. Vaughn and K. C. Wali, Phys. Rev. Lett. 21, 938 (1968). [50] D. Melikhov, O. Nachtmann, V. Nikonov, and T. Paulus, Eur. Phys. J. C 34, 345 (2004). [51] M. Bando, T. Kugo, S. Uehara, K. Yamawaki, and T. Yanagida, Phys. Rev. Lett. 54, 1215 (1985); M. Bando, T. Kugo, and K. Yamawaki, Nucl. Phys. B259, 493 (1985). [52] S. Weinberg, Phys. Rev. 166, 1568 (1968). [53] C. Song, C. M. Ko, and C. Gale, Phys. Rev. D 50, R1827 (1994). [54] R. Kokoski and N. Isgur, Phys. Rev. D 35, 907 (1987). [55] A. C. Hearn, Reduce User’s Manual, Version 3.6 (The Rand Corporation, Santa Monica, 1995). See also http://

094030-11



www.reduce-algebra.com/. [56] B. Aubert et al. (BABAR Collaboration), Phys. Rev. D 71, 052001 (2005). [57] F. James and M. Roos, Comput. Phys. Commun. 10, 343 (1975).

[58] S. Turbide, R. Rapp, and C. Gale, Int. J. Mod. Phys. A 19, 5351 (2004). [59] S. Turbide, R. Rapp, and C. Gale, Phys. Rev. C 69, 014903 (2004).

094030-12

Příloha

B.4

87

Joint description of the e+e− annihilation into both four-pion channels

Josef Juráň and Peter Lichard Physical Review D 78, 017501 (2008) arXiv: 0802.4229v2

88

Příloha


Joint description of the eþ e annihilation into both four-pion channels Josef Jurańˇ1 and Peter Lichard1,2 1

Institute of Physics, Silesian University in Opava, Bezrucˇovo na´meˇstı´ 13, 746 01 Opava, Czech Republic Institute of Experimental and Applied Physics, Czech Technical University, Horska´ 3/a, 120 00 Prague, Czech Republic (Received 27 February 2008; revised manuscript received 22 May 2008; published 7 July 2008)

2

The eþ e ! þ 0 0 reaction cross section as a function of the incident energy is calculated using a model that is an extension of our recently published model of the eþ e annihilation into four charged pions. The latter considered the intermediate states with the , , and a1 mesons and fixed the mixing angle of the a1 Lagrangian and other parameters by fitting the cross section data. Here we supplement the original intermediate states with those containing !ð782Þ and h1 ð1170Þ, but keep unchanged the values of those parameters that enter both charged and mixed channel calculations. The inclusion of ! is vital for obtaining a good fit to the cross section data, while the intermediate states with h1 further improve it. Finally, we merge our models of the eþ e ! þ 0 0 and eþ e ! þ þ reactions and obtain a simultaneous good fit. DOI: 10.1103/PhysRevD.78.017501

PACS numbers: 13.30.Eg, 12.39.Fe, 13.25.Jx, 13.66.Bc

The electron-positron annihilation into four pions has been theoretically studied by several authors [1–5]. Assuming the one-photon approximation and vector meson dominance, this process goes via the ð770Þ meson and its recurrences. If some conditions on the rho-decay amplitude into four pions are met [6], the cross section of the eþ e annihilation into four pions at invariant energy W can be expressed in terms of the decay width of a meson with mass W into four pions [3,7]. Some of the models of the four-pion decay of the meson [3,8–10] can thus be conveniently utilized when determining the excitation function of the eþ e annihilation into four pions. In our recent work [7] we calculated the excitation function of the eþ e annihilation into four charged pions and compared it to the existing data. We confirmed the conclusion of several experimental and theoretical papers [2,4,5,11,12] that the axial-vector isovector resonance a1 ð1260Þ plays an important role. The new feature of our approach was that we did not take some a priori chosen Lagrangian of the a1 interaction, but considered a twocomponent Lagrangian that contained two parameters: a mixing angle and an overall coupling constant. We varied the mixing angle in an effort to get the best fit to the data. The coupling constant was determined for each mixing angle from the given total width of the a1 resonance. Besides the intermediate states with the a1 resonance, we considered also those with only pions and ’s as given in various theoretical schemes [3,8–10]. They influence the calculated cross section mainly in the rho mass region. However, the quality of the fit throughout the energy region covered by the BABAR experiment [13] has improved only slightly. As far as the eþ e annihilation cross section data are concerned, the situation in the þ 0 0 sector is worse than in the þ þ one. The data coming from various experimental groups did not agree with one another very well; see, e.g., Fig. 10 in [14]. It is good news that the

1550-7998= 2008=78(1)=017501(4)

latest published data by the SND Collaboration at BINP in Novosibirsk [15] agree well with the newest BABAR [14,16] and CMD-2 [14,17] data. Unfortunately, those data are still preliminary and publicly unavailable [18,19]. We can therefore use only the SND data, which cover the energy interval from 980 to 1380 MeV. The statistical errors are combined with the 8% systematic error [15] in quadrature. We will first compare the cross section data to a simple pure-a1 model, which is characterized by four Feynman diagrams depicted in Fig. 1. The model is an obvious modification of the model used in [7], which is defined by a two-component a1 interaction Lagrangian ga (1) L a1 ¼ p1ffiffiffi ðL1 cos þ L2 sinÞ 2 where L 1 ¼ A ðV @ Þ;

(2)

L 2 ¼ V ð@ A Þ;

(3)

and V ¼ @ V @ V . The isovector composed of the -meson field operators is denoted by V ; similar objects for and a1 are and A , respectively. The sine of the mixing angle sin ¼ 0:4603ð28Þ was determined in [7] by

FIG. 1. Two Feynman diagrams of a pure-a1 model of eþ e ! þ 0 0 . Two others can be obtained by exchanging 0 ’s.

017501-1

Ó 2008 The American Physical Society

BRIEF REPORTS þ

PHYSICAL REVIEW D 78, 017501 (2008) þ

þ

fitting the e e ! cross section data from the BABAR Collaboration [13] supplemented with the experimental value of the D=S ratio in the a1 ! decay [20]. The value of the coupling constant ga1 follows from sin and the total width of the a1 meson, which was chosen at 600 MeV. Also defining our model is the form factor generated by the ð770Þ, 0 ð1450Þ, and 00 ð1700Þ resonances, FðsÞ ¼ F ðsÞ þ F0 ðsÞ þ F00 ðsÞ:

(4)

As far as the individual contributions on the right-hand side are concerned, we refer the reader to formulas in [7]. Here we only note that the complex parameters and as well as the masses and widths of the 0 and 00 resonances hidden in F0 and F00 were determined by fitting the four-charged-pion BABAR data [13]. The last ingredient of our model is connected with the structure of the strongly interacting particles. Each vertex is usually modified by a strong form factor to soften the interaction. In [7], we used a simplified approach. We merged all form factors to one, effective, strong form factor of the Kokoski-Isgur [21] type, which multiplies the total annihilation amplitude s s0 FKI ðsÞ ¼ exp ; (5) 48 2 where s0 ¼ 16m2 . The value of ¼ 0:3695ð98Þ GeV follows from the fit to the BABAR data [13]. The same form factor is also used here. When calculating the eþ e ! þ 0 0 excitation curve in the pure-a1 model, we keep all the parameters at values determined in [7]. The result 2 ¼ 2076 for 35 data points is disastrous. A poor result for the pure-a1 model clearly signifies that an additional contribution to the amplitude of the electron-positron annihilation into two charged and two neutral pions is needed. The intermediate states with the ! meson, considered already by Renard in 1969 [1] and later by other authors [3–5,9,11], are an obvious choice. We will pursue two different ways of including the intermediate states with the ! meson. First, we adopt the approach of Eidelman, Silagadze, and Kuraev (ESK) [9], who used the anomalous part of the chiral Lagrangian [22– 24] to describe the ! and !3 vertices. The Feynman diagrams are shown in Figs. 2 and 3. The second approach (PL) [25] is more phenomenological. It does not consider, like [3,11], the !3 contact term. The Lagrangian L! ¼ G! ð@ ! Þð @ V Þ

FIG. 2. The generic Feynman diagram describing the ! contribution to eþ e ! þ 0 0 . The other five diagrams are obtained by obvious modifications.

sponding quantity in [9] by only about 2.6%, so the main difference between the two approaches lies in the diagrams with the !3 contact terms. To check the soundness of our approach, we performed two tests. First, we calculated the width of the radiative decay ! ! 0 assuming the strength of the 0 coupling, as it follows from the normalization of the pion form factor, L 0 ¼

em2 0 A : g

(7)

The calculated branching fraction of ð9:48 0:28Þ% differs a little from the current experimental value Bð! ! 0 Þ ¼ ð8:90þ0:27 0:23 Þ% [26]. Second, we determined the strength of the ! coupling from the ! ! eþ e decay width and used it in calculating the rate of the 0 ! decay. The result, expressed in terms of the 0 mean lifetime, ¼ ð7:7 0:4Þ 1017 s agrees well with the experimental value of ð8:4 0:6Þ 1017 s. What remains unsettled is a possible transfer-momentum-squared (t) dependence of the coupling. In fact, the experimental width of the 0 ! eþ e decay, where t ¼ m2 , requires about 20% stronger coupling than that indicated in (7). The latter gives good results for the t ¼ 0 processes ! ! 0 and 0 ! . Our derivation [7] of the eþ e ! 4 cross section formula used the standard 0 coupling (7) and assumed that all the t dependence is absorbed in the form factor. We use the same approach here. Now, we can also vary the form-factor parameters and , as the structure of the intermediate states is different from the pure-a1 model. We will distinguish them from the þ þ case by primes. There is no free parameter

(6)

has the same form as in [3,9,11]. But now, the coupling constant G! is determined from the ! ! 3 decay width, taking into account the value of the ! coupling constant g as it follows from the ! decay width, g2 ¼ 35:77 0:24. We get G2! ¼ ð216:2 3:0Þ GeV2 . The value of G! is higher than the corre-

FIG. 3. One of the two Feynman diagrams with the contact !3 term. Another is obtained by exchanging 0 ’s.

017501-2

BRIEF REPORTS


connected with the ! intermediate states. The results are shown in Table I. In an effort to further improve the agreement of our model with data, we include the intermediate states with the isoscalar axial-vector meson h1 ð1170Þ. The corresponding Feynman diagrams can be obtained from those in Fig. 2 by replacing ! with h1 . The interaction Lagrangian is again assumed in a two-component form similar to (1) but respecting the isoscalar character of h1 ð1170Þ, gh L h1 ¼ p1ffiffiffi ðLa cos þ Lb sinÞ; 3

(8)

L a ¼ h ðV @ Þ;

(9)

L b ¼ @ h ðV Þ:

(10)

where

In the following, the sine of the mixing angle will be varied to achieve the best possible description of the cross section data. For each sin the coupling constant will be determined from the condition that the total width of the h1 ð1170Þ, calculated as ðh1 ! Þ, should be equal to 360 MeV. While fitting the eþ e ! þ 0 0 data the mixing angle of the a1 Lagrangian (1) is kept fixed at the value determined in the þ þ case, as it represents a universal process-independent parameter. The results of the fit are shown in Table II for both approaches to the intermediate states with !. It is clear that the inclusion of the h1 intermediate states greatly improves the confidence level of the model with ! described by the ESK scheme. The confidence level of the model utilizing the PL scheme for ! also rises, but because it was already high in the a1 þ ! model, the inclusion of the intermediate states with h1 is not necessary. The excitation curves are compared to data in Fig. 4. Following the idea that a simultaneous fit to more processes may lead to a more precise value of the mixing angle of the a1 Lagrangian, we are now going to perform a joint fit to the eþ e ! þ þ and eþ e ! þ 0 0 cross section data. We merge the pure-a1 model of our previous paper [7] with the a1 þ ! þ h1 model described here. For the ! intermediate states we TABLE I. Fitting the a1 þ ! model to the þ 0 0 cross section data (35 data points).

eþ e !

Approach to !

PL [25]

2 =NDF CL (%) Re 0 Im 0 Re 0 Im 0

ESK [9] 2.19 0.01 0:52ð25Þ 1:27ð25Þ 0:79ð34Þ 0.953(97)

0.82 74.9 0:36ð27Þ 1:05ð32Þ 0:71ð37Þ 0.628(79)

TABLE II. Fitting the a1 þ ! þ h1 model to the eþ e ! þ 0 0 cross section data (35 data points). Approach to !

2 =NDF CL (%) sin Re 0 Im 0 Re 0 Im 0

ESK [9]

PL [25]

1.18 22.4 0.3434(36) 0.092(62) 0.028(22) 0.022(71) 0:030ð58Þ

0.80 77.8 0.3433(46) 0.102(74) 0.035(23) 0.028(86) 0:049ð65Þ

will use the PL version, which describes the data better than ESK. Simultaneous handling of both four-pion channels enables us to use a more correct description of the ð770Þ part of the electromagnetic form factor [4], namely, F ðsÞ ¼

M2 ð0Þ

~ ðsÞ M2 ðsÞ s im

;

(11)

where M ðsÞ is the running mass of the meson calculated in [27]. The total decay width of the 0 meson, ~ ðsÞ ¼ ðsÞ þ þ þ ðsÞ þ þ 0 0 ðsÞ; (12) now includes not only the contribution of several two- and three-body decay channels ðsÞ given in [27], but also the contributions from both four-pion decay modes. Similarly to [7] we also consider the masses and widths of 0 and 00 as free parameters. They have the same values in both channels, as well as the a1 Lagrangian mixing parameter sin and the parameter of the strong form factor (5).

FIG. 4. Comparison of the a1 þ ! þ h1 model with the eþ e ! þ 0 0 data for two approaches to !.

017501-3

BRIEF REPORTS


Besides those six common parameters, there are two sets of parameters specific for each of the two four-pion annihilation channels. The charged-pion-channel set contains four real parameters entering the electromagnetic form factor (4). The four form-factor parameters in the mixedpion channel are distinguished from those in the þ þ channel by primes. The fifth parameter in the mixed-pion channel is the h1 Lagrangian mixing parameter sin. All together, this makes 15 real free parameters. In Table III we present the optimized values of all free parameters. The corresponding confidence level is 28.4%. If we compare them with those obtained in individual models (Table II here and Table VI in [7]), we can say that they are in good agreement. Only the error domains of m0 , m00 , and do not overlap, but the disagreement is very small. The excitation curves of individual reactions do not visually differ from those obtained when fitting the two models separately and are not shown. Unfortunately, our goal to narrow the interval of the a1 Lagrangian mixing parameter and thus make the calculations of the dilepton and photon production from hadron gas more reliable (see the analysis in [28]) has not been reached. The uncertainty of sin is larger than that obtained in [7]. We hope that the situation will improve when more precise cross section data in the mixed-pion channel are available. The identification of the essential contributions to the eþ e annihilation into four pions is

[1] F. M. Renard, Nuovo Cimento A 64, 979 (1969). [2] R. Decker, P. Heiliger, H. H. Jonsson, and M. Finkemeier, Z. Phys. C 70, 247 (1996). [3] N. N. Achasov and A. A. Kozhevnikov, Phys. Rev. D 61, 077904 (2000); 62, 056011 (2000). [4] H. Czyz˙ and J. H. Ku¨hn, Eur. Phys. J. C 18, 497 (2001). [5] G. Ecker and R. Unterdorfer, Eur. Phys. J. C 24, 535 (2002); Nucl. Phys. B, Proc. Suppl. 121, 175 (2003). [6] P. Lichard, Acta Phys. Slovaca 49, 215 (1999). [7] P. Lichard and J. Jurańˇ, Phys. Rev. D 76, 094030 (2007). [8] A. Bramon, A. Grau, and G. Pancheri, Phys. Lett. B 317, 190 (1993). [9] S. I. Eidelman, Z. K. Silagadze, and E. A. Kuraev, Phys. Lett. B 346, 186 (1995). [10] R. S. Plant and M. C. Birse, Phys. Lett. B 365, 292 (1996). [11] N. N. Achasov and A. A. Kozhevnikov, Phys. Rev. D 71, 034015 (2005); Yad. Fiz. 69, 314 (2006) [Phys. At. Nucl. 69, 293 (2006)]. [12] R. R. Akhmetshin et al., Phys. Lett. B 466, 392 (1999). [13] B. Aubert et al. (BABAR Collaboration), Phys. Rev. D 71, 052001 (2005). [14] V. P. Druzhinin, arXiv:0710.3455. [15] M. N. Achasov et al., Zh. Eksp. Teor. Fiz. 123, 899 (2003)

TABLE III. Joint fit of the pure-a1 model of eþ e ! þ þ and the a1 þ !ðPLÞ þ h1 model of eþ e ! þ 0 0 to a combined set of the cross section data and the D=S ratio (180 data points). Quantity 2

=NDF m0 (GeV) 0 (GeV) m00 (GeV) 00 (GeV) sin (GeV) sin

Value 1.06 1.383(16) 0.551(21) 1.883(18) 0.237(35) 0.4662(52) 0.3617(70) 0.336(11)

Quantity Re Im Re Im Re Im Re Im

0

0 0 0

Value 0.088(73) 0.024(22) 0.025(81) 0:011ð74Þ 0.171(14) 0.045(29) 0.0002(14) 0:0050ð12Þ

important for the reliable assessment of the dilepton production by the four-pion annihilation in heavy ion collisions [29]. A new result of our work is the mixing angle of the h1 Lagrangian sin 0:34. It may help in investigating the role of the h1 ð1170Þ resonance in thermal production of dileptons and photons from hadron gas, which has been ignored so far. We thank T. Barnes, A. Denig, and S. I. Eidelman for useful correspondence. This work was supported by the Czech Ministry of Education, Youth and Sports under Contract No. MSM6840770029, No. MSM4781305903, and No. LC07050.

[JETP 96, 789 (2003)]. [16] A. Petzold (BABAR Collaboration), Report No. SLACPUB-12844, 2007. [17] I. B. Logashenko, Nucl. Phys. B, Proc. Suppl. 162, 13 (2006). [18] A. Denig (private communication). [19] S. I. Eidelman (private communication). [20] S. U. Chung et al. (BNL/E852 Collaboration), Phys. Rev. D 65, 072001 (2002). [21] R. Kokoski and N. Isgur, Phys. Rev. D 35, 907 (1987). [22] J. Wess and B. B. Zumino, Phys. Lett. 37B, 95 (1971); E. Witten, Nucl. Phys. B223, 422 (1983). [23] M. Bando, T. Fujiwara, and K. Yamawaki, Prog. Theor. Phys. 79, 1140 (1988); M. Bando, T. Kugo, and K. Yamawaki, Phys. Rep. 164, 217 (1988). [24] E. A. Kuraev and Z. K. Silagadze, Phys. Lett. B 292, 377 (1992). [25] P. Lichard, Phys. Rev. D 49, 5812 (1994). [26] W.-M. Yao et al., J. Phys. G 33, 1 (2006). [27] P. Lichard, Phys. Rev. D 60, 053007 (1999). [28] S. Gao and C. Gale, Phys. Rev. C 57, 254 (1998). [29] J. Ruppert, C. Gale, T. Renk, P. Lichard, and J. I. Kapusta, Phys. Rev. Lett. 100, 162301 (2008).

017501-4

Reference [1] K. Werner, Phys. Rep. 232, 87 (1993). [2] P. Braun-Munzinger and J. Wambach, arXiv: 0801.4256v1 (2008). [3] E. Shuryak, arXiv: 0804.1373v1 (2008). [4] H. Hees, arXiv: 0804.4493v1 (2008). [5] D. K. Srivastava, arXiv: 0805.3401v2 (2008). [6] W.-M. Yao et al., J. Phys. G 33, 1 (2006). [7] G. E. Brown and M. Rho, Phys. Rev. Lett. 66, 2720 (1991); Phys. Rep. 363, 85 (2002). [8] C. M. Ko and G. Q. Li, J. Phys. G 22, 1673 (1996). [9] R. Rapp and J. Wambach, Adv. Nucl. Phys. 25, 1 (2000). [10] E. V. Shuryak and G. E. Brown, Nucl. Phys. A 717, 322 (2003). [11] S. V. Afanasiev et al. (NA49 Collaboration), Phys. Lett. B 491, 59 (2000); C. Quintans et al. (NA50 Collaboration), J. Phys. G 27, 405 (2001); C. Quintans et al. (NA50 Collaboration), J. Phys. G 28, 1809 (2002); D. Jouan et al., J. Phys. G 30, S277 (2004). [12] K. Haglin, Nucl. Phys. A 584, 719 (1995). [13] W. Smith and K. L. Haglin, arXiv: nucl-th/9710026v1 (1997). [14] L. Alvarez-Ruso and V. Koch, Phys. Rev. C 65, 054901 (2002). [15] K. L. Haglin, arXiv: nucl-th/0404069v1 (2004). [16] M. Bando, T. Kugo, and K. Yamawaki, Nucl. Phys. B 259, 493 (1985). [17] A. Bourque, C. Gale, arXiv: 0802.2738v1 (2008). [18] R. Kokoski and N. Isgur, Phys. Rev. D 35, 907 (1987). [19] C. M. Ko and D. Seibert, Phys. Rev. C 49, 2198 (1994). 93

94

Reference

[20] E. Shuryak and V. Thorsson, Nucl. Phys. A 536, 739 (1992). [21] C. Gale and P. Lichard, Phys. Rev. D 49, 3338 (1994). [22] C. Song, C. M. Ko, and C. Gale, Phys. Rev. D 50, R1827 (1994). [23] P. Lichard, Phys. Rev. D 49, 5812 (1994). [24] A. Petzold (BaBar Collaboration), Report No. SLAC-PUB-12844, 2007. [25] M. Davier, M. Peskin, and A. Snyder, arXiv: hep-ph/0606155v1 (2006). [26] R. Arnaldi et al. (NA60 Collaboration), Phys. Rev. Lett. 96, 162302 (2006); S. Damjanovic et al. (NA60 Collaboration), Nucl. Phys. A 783, 327 (2007). [27] H. Hees and R. Rapp, Phys. Rev. Lett. 97, 102301 (2006). [28] C. Song, Phys. Rev. C 47, 2861 (1993). [29] S. Gao and C. Gale, Phys. Rev. C 57, 254 (1998). [30] V. P. Druzhinin, arXiv: 0710.3455v1 (2007). [31] S. I. Eidelman, Z. K. Silagadze, and E. A. Kuraev, Phys. Lett. B 346, 186 (1995). [32] R. S. Plant and M. C. Birse, Phys. Lett. B 365, 292 (1996). [33] N. N. Achasov and A. A. Kozhevnikov, Phys. Rev. D 61, 077904 (2000); N. N. Achasov and A. A. Kozhevnikov, Phys. Rev. D 62, 056011 (2000). [34] R. R. Akhmetshin et al., Phys. Lett. B 466, 392 (1999); R. R. Akhmetshin et al., Phys. Lett. B 475, 190 (2000). [35] B. Aubert et al. (BaBar Collaboration), Phys. Rev. D 71, 052001 (2005). [36] S. U. Chung et al. (BNL/E852 Collaboration), Phys. Rev.D 65, 072001 (2002). [37] M. N. Achasov et al., Zh. Eksp. Teor. Fiz. (123), 899 (2003) [JETP 96, 789 (2003)]. [38] V. N. Baier and V. A. Khoze, J. Exptl. Theoret. Phys. 48, 946 (1965) [Soviet Physics JETP 21, 629 (1965)]. [39] V. Balek, N. Pišútová, J. Pišút, Acta Phys. Slov. 41, 224 (1991). [40] J. Ruppert, C. Gale, T. Renk, P. Lichard, and J. I. Kapusta, Phys. Rev. Lett. 100, 162301 (2008) [arXiv: 0706.1934v3].

Interakce mezonů v hadronovém prostředí a související procesy

Recommend Documents