INTEGRAL NUMERIK KUADRATUR ADAPTIF DENGAN KAIDAH SIMPSON Makalah Disusun guna memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh Dr. Nur Shofianah
Disusun oleh: M. Adib Jauhari Dwi Putra
146090400111001
Zulfiana S. Akib
146090400111007
Danang Indrajaya
146090400111008
PROGRAM PASCASARJANA ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2015
DAFTAR ISI DAFTAR ISI............................................................................................................2 BAB I PENDAHULUAN........................................................................................3 1.1.Rumusan Masalah.............................................................................................4 1.2.Tujuan...............................................................................................................4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA..............................................................................5 Deret.......................................................................................................................5 Interpolasi..............................................................................................................5 Integral...................................................................................................................6 Teorema Weierstrass............................................................................................11 BAB III PEMBAHASAN......................................................................................15 3.1. Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson.................................................15 3.2. Perbaikan Kaidah Simpson...........................................................................17 3.3. Algoritma Integral Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson..................21 3.4. Penyelesaian Masalah Integral dengan Metode Kuadratur Adaptif.............23 BAB IV KESIMPULAN........................................................................................30 DAFTAR PUSTAKA............................................................................................31 LAMPIRAN...........................................................................................................32 Flow Chart...........................................................................................................32 Source code program (MATLAB).......................................................................33
2
BAB I PENDAHULUAN 1.1.Latar Belakang Integral merupakan salah satu dari dua pokok bahasan matematika yang paling mendasar di samping turunan. Secara umum, integral dikenal sebagai anti turunan. Konsep integral digunakan dalam menghitung masalah-masalah pada bidang sains maupun teknik, misalnya dalam bidang fisika, kimia, transportasi, dan lain-lain. Tidak setiap fungsi dapat diintegralkan secara analitik. Sering kali ditemui fungsi yang sulit atau bahkan tidak dapat dicari penyelesaiannya menggunakan cara analitik. Untuk mencari nilai integral tersebut digunakan cara numerik, sehingga dapat diketahui nilai hampirannya. Berbagai metode dengan berbagai pendekatan yang berbeda telah diciptakan untuk menentukan solusi persoalan integral dengan menggunakan cara numerik. Salah satu pendekatan numerik dalam menyelesaikan persoalan integral adalah pendekatan berdasarkan polinom interpolasi. Pada pendekatan ini, fungsi integran dihampiri dengan polinom, karena suku-suku polinom lebih mudah untuk diintegrasikan. Integran yang didekati dengan polinom interpolasi Lagrange yaitu metode Newton Cotes. Metode ini menggunakan titik-titik yang berjarak sama. Jadi untuk memperoleh nilai aproksimasi yang mendekati nilai eksak, interval dibagi menjadi sub interval yang sangat kecil. Hal ini membutuhkan waktu yang sangat lama, sehingga metode ini kurang efisien. Untuk mengatasi masalah ini diciptakan metode yang lebih efisien yaitu kuadratur
adaptif.
Kuadratur
adaptif merupakan skema integrasi
yang
menyesuaikan panjangnya sub interval pada perilaku lokal dari integrannya (Conte dan Boor, 1992). Dalam mengevaluasi integrannya cukup dipilih sub interval yang tepat dan ukurannya tidak harus sama, sehingga dapat meminimalkan jumlah sub interval. Karena itulah metode kuadratur adaptif memerlukan waktu yang lebih cepat untuk mengevaluasi nilai integral dan memiliki nilai pendekatan yang baik terhadap nilai eksaknya. Pada makalah ini dibahas mengenai metode integrasi dengan kuadratur adapatif berdasarkan kaidah Simpson beserta contoh perhitungannya.
3
1.2.Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut. 1. Bagaimana langkah-langkah integrasi numerik pada metode kuadratur adaptif dengan kaidah Simpson? 2. Bagaimana penerapan kaidah kuadratur Adaptif dalam menyelesaikan masalah integral? 1.3.Tujuan Tujuan dalam makalah ini adalah sebagai berikut. 1. Mengetahui langkah-langkah integrasi numerik pada metode kuadratur adaptif dengan kaidah Simpson. 2. Mengetahui penerapan kaidah kuadratur Adaptif dalam menyelesaikan masalah integral.
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Deret Definisi 1 Misalkan *
+
Jumlahan parsial ke-
adalah barisan, maka ∑ ∑
adalah
konvergen jika dan hanya jika barisan *
adalah deret tak hingga.
. Deret tak hingga dikatakan
+
konvergen ke limit , yaitu ∑
Jika deret tidak konvergen, maka disebut sebagai deret divergen. (Mathews dan Fink, 1999) Teorema 2 (Teorema Taylor) ,
Diasumsikan bahwa (
setiap
- dan misalkan
), terdapat bilangan
yang terletak antara
dan
( ) (nilai dari
,
-, maka untuk
bergantung pada nilai )
sedemikian sehingga ( )
( )
( )
di mana ( )
( )
∑
( )
(
)
dan (
( )
)
(
( ) ( )
) (Mathews dan Fink, 1999)
2.2. Interpolasi Interpolasi merupakan metode menghasilkan titik-titik data baru dalam suatu jangkauan dari suatu barisan diskret data-data yang diketahui. Definisi 3 Andaikan
. Misalkan
bilangn real. Polinom
,
bilangn real berbeda, dan
didefisikan oleh
5
( ) ( ),
dengan
( )
∑
didefinisikan oleh ( ) ( )
∏
ketika
, dan
ketika
, disebut polinom interpolasi Lagrange
berderajat
untuk himpunan dari titik-titik *(
)
+. Bilangan
,
disebut titik-titik interpolasi. (Suli dan Mayers, 2003) Seringkali, bilangan real
diberikan sebagai nilai dari fungsi bernilai real
yang didefinisikan pada interval tertutup , ,
berbeda
-,
- di titik-titik interpolasi yang
.
Definisi 4 Misalkan
. Diberikan fungsi bernilai real , terdefinisi dan kontinu
pada interval tertutup , polinom
-, dan titik-titik interpolasi
,
-,
,
didefinisikan oleh ( )
∑
( ) (
adalah polinom interpolasi Lagrange berderajat
) (dengan titik interpolasi
,
) untuk fungsi . (Suli dan Mayers, 2003) 2.3. Integral Dalam sub bab ini dijelaskan mengenai integral tak tentu, aturan pangkat yang diperumum, integral tentu, integrasi numerik, dan teorema-teorema yang berkaitan dengan integral. 2.3.1. Anti Turunan (Integral Tak Tentu) Definisi 5 Kita sebut yakni, jika
( )
suatu anti turunan dari ( ) untuk semua
pada selang
dalam . Jika
jika
suatu titik ujung dari ,
( ) hanya perlu berupa turunan satu sisi. (Purcell dan Varberg, 1990) 6
pada
Teorema 6 (Aturan Pangkat). Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali
, maka
∫ (Purcell dan Varberg, 1990) Bukti. Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk ∫ ( )
( )
cukup dengan membuktikan , ( )
-
( ).
Dalam kasus ini, (
)
Teorema 7 (Kelinearan dari ∫
)
0
Andaikan andaikan
1
dan
mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan
suatu konstanta maka: ( )
∫ ( )
(i)
∫
(ii)
∫, ( )
( )-
∫ ( )
∫ ( )
; dan
(iii)
∫, ( )
( )-
∫ ( )
∫ ( )
.
;
(Purcell dan Varberg, 1990) 2.3.2. Aturan Pangkat yang Diperumum Jika
( ) adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan
adalah suatu bilangan rasional (
), maka *
+
atau dalam cara penulisan fungsional, , ( )(
, ( )-
)
( )
Dari sini kita peroleh suatu aturan penting untuk integral tak tentu (Purcell dan Varberg, 1990).
7
Teorema 8 (Aturan Pangkat yang Diperumum) Andaikan
suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan
rasional yang bukan
suatu bilangan
, maka ∫, ( )-
, ( )-
( )
(Purcell dan Varberg, 1990) 2.3.3. Integral Tentu Definisi 9 (Integral Tentu) Andaikan
suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup ,
-.
Jika ∑ ( )
| |
ada, kita katakan
terintegralkan pada ,
integral tentu (integral Riemann) ∫
dari
( )
-. Lebih lanjut ∫
( )
, disebut
ke , diberikan oleh ∑ ( )
| |
(Purcell dan Varberg, 1990) Teorema 10 (Teorema Keterintegralan) Jika
terbatas pada ,
- dan
pada sejumlah terhingga titik, maka kontinu pada seluruh selang ,
kontinu pada interval tersebut kecuali
terintegralkan pada ,
-, maka
-. Khususnya, jika
terintegralkan pada ,
-.
(Purcell dan Varberg, 1990) Teorema 11 (Teorema Dasar Kalkulus I) Andaikan
kontinu (karenanya terintegralkan) pada ,
sebarang anti turunan dari
- dan andaikan
pada interval tersebut maka ∫
( )
( )
( ) (Purcell dan Varberg, 1990)
8
Bukti. Andaikan
adalah partisi
sebarang dari , ( )
-, diperoleh
( )
(
)
(
)
∑, ( )
(
(
)
(
)
( )
( )
)-
Menurut Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan yang diterapkan pada selang ,
pada
-, ( )
(
)
( ̅ )(
)
untuk suatu pilihan ̅ dalam selang terbuka ( ( )
( )
(̅)
). Jadi,
∑ (̅)
Pada ruas kiri kita mempunyai sebuah konstanta, sedangkan pada ruas kanan kita mempunyai jumlah Riemann untuk limitnya untuk | | ( )
pada ,
-. Bilamana kedua ruas diambil
, diperoleh ( )
∑ (̅)
| |
( )
∫
Teorema 12 (Kelinearan Integral Tentu) Andaikan bahwa konstanta, maka
dan
∫
(ii)
∫ , ( )
(iii)
∫ , ( )
- dan bahwa
terintegralkan dan
( )
(i)
terintegralkan pada ,
dan
( )
,
( )-
∫
( )
∫
( )
,
( )-
∫
( )
∫
( )
.
∫
(Purcell dan Varberg, 1990) Teorema 13 (Teorema Nilai Rata-rata Integral) Jika diasumsikan (
,
-, maka terdapat bilangan
), sedemikian sehingga ∫
( )
9
( )
, dengan
Nilai ( ) adalah nilai rata-rata dari
pada interval ,
-. (Mathews dan Fink, 1999)
Teorema 14 (Teorema Nilai Rata-rata Integral Berbobot) ,
Diasumsikan (
bilangan , dengan
- dan ( )
,
untuk
-, maka terdapat
), sedemikian sehingga ( ) ( )
∫
( )∫
( ) (Mathews dan Fink, 1999)
2.3.4. Integrasi Numerik Misalkan tertutup ,
fungsi bernilai real, terdefinisi, dan kontinu pada interval real
-, dan andaikan kita menaksir integral ∫ ( )
Oleh karena polinom mudah diintegralkan, maka fungsi polinom interpolasi Lagrange
berderajat . Jadi
∫ ( ) Untuk bilangan bulat
diaproksimasi oleh
( )
∫
, misalkan
(2.2)
,
, menotasikan titik-titik
interpolasi. Kita akan mengasumsikan bahwa terdapat jarak yang sama, yaitu
di mana
Polinom irterpolasi Lagrange berderajat ( )
untuk fungsi
∑
di mana ( )
∏
10
( ) (
)
adalah
Selanjutanya, masukkan
ke persamaan (2.2), diperoleh
∫ ( )
( ) (
∑
)
(2.3)
di mana ( )
( )
∫
(2.4)
Kaidah kuadratur numerik (2.3) dengan bobot kuadratur (2.4) disebut rumus Newton-Cotes dengan orde Jika kita ambil Lagrange berderajat
(Suli dan Mayers, 2003). , sehingga
untuk fungsi ( )
,
adalah
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
,( Jika
( ) diintegralkan dari ∫ ( )
, maka polinom interpolasi
ke ∫
) ( )
(
) ( )-
dan mengingat (2.2) diperoleh ( )
( ( )
( ))
Integrasi numerik ini disebut kaidah Trapesium (Suli dan Mayers, 2003). Jika kita ambil
, sehingga
,
, dan fungsi
diaproksimasi oleh polinom interpolasi kuadratik, maka diperoleh ∫ ( )
∫
( )
( ( )
(
)
( ))
Integrasi numerik ini disebut kaidah Simpson (Suli dan Mayers, 2003). 2.4. Teorema Weierstrass Teorema 15 (Teorema Aproksimasi Weierstrass) Jika ( ) kontinu untuk
dan
( ) di mana | ( )
( )|
11
maka terdapat polinom
Bukti. Dengan tidak mengurangi umumnya pembuktian, dimisalkan , ,
- dan
( )
( )
Sebab, jika teorema ini telah dibuktikan untuk
keadaan ini, maka fungsi ( )
dengan
( )
( )
( ( )
kontinu pada ,
adalah kontinu jika
-
( )) -. Di sini ( )
( )
. Jika
dapat
didekati secara seragam oleh barisan suku banyak, maka demikian juga dengan , sebab
suatu suku banyak yakni ( )
( )
( ( )
di luar selang
-, dibentuk fungsi suku banyak dalam ( )
di mana
( )
( ) bernilai nol untuk
Selanjutnya dengan mendefinisikan tertutup ,
( ))
(
)
dipilih sehingga ( )
∫ Selanjutnya untuk
(2.5) berlaku ketidaksamaan Bernoulli
(
)
yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika, atau dengan mengambil turunan fungsi ( ) di mana ( )
dan ∫(
( ) )
(
)
untuk
, sehingga diperoleh
∫(
)
√
∫ (
)
√
∫(
)
Dengan memperhatikan (2.5), diperoleh
12
√
√
∫(
)
√
Jadi √ Dengan demikian akan mengakibatkan bahwa untuk setiap ( )
√ (
Karena barisan √ (
)
| |
Selanjutnya untuk
〉
| |
dibentuk suku banyak dalam ∫ (
( )
(2.6)
konvergen ke nol, maka barisan fungsi 〈
)
konvergen seragam ke fungsi nol pada
Karena
berlaku
di ,
untuk
)
( )
-, maka dengan mensubstitusi
diperoleh ( )
( )
∫
-. Diberikan
untuk
,
Karena
- maka |
kontinu seragam pada
maka untuk
. Jadi terdapat
dalam , yang seragam -, dan ( ) sehingga
( )|
| ( )|. Karena
( )
, mengingat (2.5) dan (2.6),
, berlaku ( )|
)
berlaku
Misalkan
( )
(
kontinu seragam pada ,
| ( )
|
∫ ( )
fungsi real. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
pada , untuk |
)
( ) suatu suku banyak derajat
yang memperlihatkan bahwa real apabila
(
|∫ (
)
∫| (
)
( )
( ) ∫
( )|
13
( )
( ) |
∫| (
)
∫| (
)
)
( )
( )|
( )
∫
karena √ (
( )|
)
∫√ (
)
∫
untuk
)
( )|
( )
( )
( )
∫
∫√ (
∫| (
∫
( )
( )
, maka terdapat
, sehingga untuk
berlaku √ ( Jadi untuk semua
,
dan semua |
sehingga
)
( )
seragam pada ,
- berlaku
( )| -. (Soemantri, 2000)
14
BAB III PEMBAHASAN 3.1 Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson Kuadratur adaptif merupakan skema integrasi yang menyesuaikan panjang sub interval pada perilaku lokal integrannya. Dalam pembahasan makalah ini integrasi kuadratur adaptif berdasar pada kaidah Simpson. sub interval ,
Kaidah Simpson pada
- dirumuskan sebagai berikut. (
)
(
di mana
( (
)
( )
(
))
) adalah pusat dari ,
(3.1)
- dan
(
).
Kesalahan pemenggalan pada persamaan (3.1) ditentukan dengan persamaan berikut ini (
)
∫ ( ) (
Oleh karena ( ), ( ), (
( (
)
( )
), maka
(
))
dan
(3.2) . Selanjutnya,
) masing-masing diekspansikan ke dalam deret Taylor di sekitar
, sehingga diperoleh
f x f ak x ak f ak '
x ak 4!
4
x ak 2!
2
f
''
ak
x ak
3
3!
f 4 ak
f ''' ak
(3.3)
f ck f ak h f ak hf ' ak
h 2 '' h3 ''' f ak f ak 2! 3!
h 4 4 f ak 4! 4h 2 '' 8h3 ''' f bk f ak 2h f ak 2hf ak f ak f ak 2! 3! 16h 4 4 f ak . 4!
(3.4)
'
15
(3.5)
Persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2), sehingga diperoleh ( x ak ) 2 ( x ak )3 f "(ak ) f '"(ak ) ak 2 h f ( ak ) ( x ak ) f '( ak ) 2! 3! dx E1 (h, f ) 4 ( x a ) ak k f (4) (ak ) 4!
4h h2 h3 h 4 (4) f ( a ) hf '( a ) f "( a ) f "'( a ) f (ak ) k k k k 3 2! 3! 4!
h 4h 2 8h3 16h 4 (4) f (ak ) 2hf '(ak ) f "(ak ) f "'(ak ) f (ak ) 3 2! 3! 4!
(2h) 2 (2h)3 ( a 2 h ) f ( a ) f '( a ) f "(ak ) k k k 2 6 ak f (ak ) 0 E1 (h, f ) 4 5 (2h) (2h) (4) f "'(ak ) f (ak ) 120 24 h 20h 4 (4) 6 f (ak ) 6hf '(ak ) 4h 2 f "(ak ) 2h3 f "'( ak ) f ( ak ) 3 24
4h 3 2h 4 32h5 (4) E1 (h, f ) 2hf (ak ) 2h 2 f '(ak ) f "(ak ) f "'(ak ) f ( ak ) 3 3 120 3 4 5 4h 2h 20h (4) 2hf (ak ) 2h 2 f '(ak ) f "(ak ) f "'(ak ) f (ak ) 3 3 72
E1 (h, f )
32h5 (4) 20h5 (4) f (ak ) f (ak ) 120 72
8 5 E1 (h, f ) h5 f (4) (ak ) 30 18 f (4)(d1 ) h5 , 90
untuk ,
,
(3.6)
-. Jadi dapat disimpulkan, jika
,
-, maka terdapat
- sedemikian sehingga ( )
∫ ( )
(
)
(
)
(3.7)
(Mathews dan Fink, 1999)
16
3.2. Perbaikan Kaidah Simpson Untuk menggunakan kaidah Simpson gabungan yang menggunakan empat sub interval pada interval ,
-, dapat dilakukan dengan membagi interval
tersebut menjadi dua sub interval yang sama yaitu ,
- dan ,
- dan
mengaplikasikannya ke dalam persamaan (3.1). Akibatnya ukuran langkah pada kaidah Simpson gabungan adalah , sehingga diperoleh (
)
(
)
( (
)
(
)
(
)) (3.8)
( ( di mana ,
,
-, dan
)
,
(
)
,
(
))
adalah titik tengah dari
adalah titik tengah dari ,
-. Persamaan untuk
menghitung nilai kesalahan pemenggalan pada persamaan (3.8) adalah sebagai berikut (
)
∫ ( )
( (
)
(
)
(
)) (3.9)
( ( (
Oleh karena , (
(
), (
)
(
))
), maka
,
, dan
. Selanjutnya,
), dan (
( ),
(
),
(
)
) masing-masing diekspansikan ke dalam deret Taylor
( ),
(
)
( ), dan
(
)
(
) yaitu seperti pada
persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5). Sehingga ekspansi deret Taylor untuk ( dan (
),
. Sebelumnya telah diperoleh ekspansi deret Taylor untuk ( ),
di sekitar (
)
) adalah (
)
(
)
17
)
(
)
( .
(
)
(
(
/
.
)
( )
(
/
(
)
(
)
.
/
.
/
),
(
(
)
(
)
)
)
)
( .
Ekspansi deret Taylor
/ ( ),
.
)
( )
(
(
/
) ),
(
),
(
), dan
(
)
disubstitusikan ke dalam persamaan (3.9). Dengan cara yang sama seperti (3.6) sehingga diperoleh kesalahan pemenggalan E2 (h, f )
ak h
ak
h h f ( x)dx ( f (ak1 ) 4 f (ck1 ) f (bk1 )) ( f (ak2 ) 4 f (ck2 ) f (bk2 )) 6 6
(2h) 2 (2h)3 a 2 h f ( a ) f '( a ) f "(ak ) k k k h 2 6 ak f (ak ) 0 f (ak ) E2 (h, f ) 1 4 5 6 (2h) (2h) (4) f "'(ak ) f (ak ) 120 24 2h h h 2h h f (ck1 ) f (bk1 ) f (ak2 ) f (ck2 ) f (bk2 ) 3 6 6 3 6
4h 3 2h 4 2 2 hf ( a ) 2 h f '( a ) f "( a ) f "'(ak ) k k k h 3 3 f (ak ) E2 (h, f ) 5 32h (4) 6 f (ak ) 120 2 3 4 1 1 1 h h h 2h 1 2 2 2 (4) f (ak ) hf '(ak ) f "(ak ) f "'(ak ) f (ak ) 3 2 2! 3! 4!
18
h h2 h3 h (4) (4) f (ak ) hf '(ak ) f "(ak ) f "'(ak ) f ( ak ) 6 2! 3! 4!
h h2 h3 h (4) (4) f (ak ) hf '(ak ) f "(ak ) f "'(ak ) f ( ak ) 6 2! 3! 4!
2 3 4 3 3 3 h h h 2h 3 2 2 2 (4) f (ak ) hf '(ak ) f "(ak ) f "'(ak ) f (ak ) 3 2 2! 3! 4!
3 4 5 4h 2h 32h (4) 2 E2 (h, f ) 2hf (ak ) 2h f '(ak ) f "(ak ) f "'(ak ) f ( ak ) 3 3 120
3 4 5 4h 2h 77h (4) 2 2hf (ak ) 2h f '(ak ) f "(ak ) f "'(ak ) f ( ak ) 3 3 288
( )
(
( (
untuk
( )
)
,
(
(
( )
) ( )
( )
)
(
)
) (
)
)
-. Sehingga dapat disimpulkan bahwa, jika ,
maka terdapat
,
-,
- sedemikian sehingga ( )
∫ ( )
(
Jika diasumsikan bahwa
) ( )
(
( ( )
)
) (
(
)
(3.10)
), maka sisi sebelah kanan pada
persamaan (3.7) dan (3.10) digunakan untuk memperoleh hubungan sebagai berikut ( )
( ( )
) (
)
( )
(
)
(
)
( )
19
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
) )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
( (
)
)
(
(
)
) (3.11)
(
))
Selanjutnya persamaan (3.11) disubstitusikan ke persamaan (3.10) untuk memperoleh taksiran kesalahan dan hasilnya. ( )
∫ ( )
(
)
(
)
∫ ( )
(
)
(
)
∫ ( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
(
(
)
( (
)
)
(
)
))
|∫ ( ) (
(
)
(
)|
| (
)
(
)
)| (Mathews dan Fink, 1999)
Berdasarkan pada hasil di atas, apabila diasumsikan bahwa toleransi kesalahan pada interval ,
integral adalah | (
)
(
-. Jika )
(
)|
(3.12)
maka dapat dikatakan bahwa |∫ ( )
(
)
(
)|
Sehingga aproksimasi integral kuadratur adapatif berdasarkan kaidah Simpson gabungan (3.8) pada interval ,
- adalah
20
∫ ( )
(
dengan batas kesalahan (error) jika
)
(
)
. Nilai aproksimasi akan mendekati nilai eksak
sangat kecil.
3.3. Algoritma Integral Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson Langkah-langkah perhitungan integral numerik dengan metode kuadratur adaptif yang diterapkan pada kaidah Simpson adalah sebagai yang pertama, diketahui *, ,
-
+, di mana
adalah toleransi untuk kuadratur numerik pada
-. Interval diperhalus atau dibagi menjadi dua sub interval, yaitu ,
dan ,
-. Jika uji ketelitian pada (3.12) dipenuhi, maka persamaan kuadratur
(3.8) diterapkan pada ,
- dan dilakukan proses perhitungan. Jika uji pada
(3.12) gagal, maka interval , ,
-
- menjadi dua sub interval yaitu ,
- dengan toleransi masing-masing
dan
- dan
. Sehingga
diperoleh dua interval dengan toleransi yang berhubungan untuk pengujian selanjutnya, *,
-
+ dan *,
-
+, di mana
. Jika kuadratur
adaptif harus dilanjutkan, interval yang lebih kecil harus diperhalus dan diuji, masing-masing dengan toleransi yang berhubungan. Langkah kedua yaitu, perhatikan *, menjadi ,
- dan ,
-. Jika ,
ketelitian (3.12) dengan toleransi pada ,
- dan ,
-
- memenuhi uji
- dan ketelitian telah dicapai pada interval ini. Jika tidak memenuhi uji , maka masing-masing interval ,
-
- harus diperhalus dan diuji pada langkah ketiga dengan mereduksi
toleransi menjadi interval ,
+. Perhalus interval ,
maka persamaan kuadratur (3.8) diterapkan
ketelitian pada (3.12) dengan toleransi dan ,
-
. Selanjutnya perhatikan interval *,
- menjadi ,
- dan ,
-. Jika ,
memenuhi uji ketelitian pada (3.12) dengan toleransi kuadratur (3.8) diterapkan pada ,
-
+. Perhalus
- dan ,
maka persamaan
- dan ketelitian telah dicapai pada interval
ini. Jika tidak memenuhi uji ketelitian pada (3.12) dengan toleransi masing-masing interval ,
-
- dan ,
21
, maka
- harus diperhalus dan diuji pada
langkah ketiga dengan mereduksi toleransi menjadi
. Oleh karena itu, pada
langkah kedua diperoleh tiga atau empat interval, yang kita beri label kembali dengan
teratur. -
{*, dengan
Tiga
+ *,
-
interval
+ *,
empat -
{*,
+ *,
-
yang
+ *,
-
tersebut
+}, di mana
interval, -
dihasilkan
. Pada kasus
kita + *,
adalah
akan
-
memperoleh
+}, di mana
. Jika kuadratur adaptif dilanjutkan, interval yang lebih kecil harus diuji, masing-masing dengan toleransinya yang berhubungan. Untuk secara ringkasnya, diberikan algoritma sebagai berikut: 1. Mulai {[
]
},
2. Perhalus menjadi sub interval [
] dan [
],
3. Uji ketelitian | (
)
(
(
i. Jika dipenuhi,
)
)
(
(
)|
) diterima dan dilakukan
perhitungan berikutnya, ii. Jika gagal, [ [
] dibagi menjadi dua sub interval yaitu [
], sehingga {[
]
} dan {[
]
] dan
} di mana
dan
, 4. Lakukan {[
]
langkah
2-3
pada
masing-masing
{[
]
},
5. Ulangi sampai tidak ada interval yang gagal dalam uji ketelitian, 6. Aproksimasi nilai integralnya adalah ∑ untuk (
)
(
( (
)
(
) yang diterima.
22
))
}
dan
3.4. Penyelesaian Masalah Integral dengan Metode Kuadratur Adaptif Contoh 1 Dengan menggunakan kuadratur adaptif, carilah aproksimasi terhadap integral ∫√ tepat sampai suatu kesalahan
.
Jawab Jika diselesaikan secara analitik, nilai integral tersebut adalah ∫√
|
Selanjutnya, digunakan kudratur adaptif untuk mendekati integral tersebut. Pertama, kita terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval , (
(
)
)
√
(√
Interval , 0
( (
))
( ))
√ )
- dibagi menjadi dua sub interval untuk diterapkan pada (3.8) yaitu
1 dan 0 (
( ( )
-, diperoleh
1. )
(
)
(
)
(
(√
( ( ) )
( (
( ( )
√
23
√ )
))
( (
(√
( ))
))
√
( ))
√ )
Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi | (
)
(
(
)
.
)|
Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval , interval, diperoleh 0
1 dan 0
- dibagi lagi menjadi dua
1. Kemudian terapkan interval 0
1 terlebih
dahulu pada persamaan (3.1) dan (3.8), diperoleh (
.
)
/
( ( )
(√
Interval 0 yaitu 0 (
√
( (
( ))
))
√ )
1 dibagi menjadi dua sub interval untuk menerapkannya pada (3.8) 1 dan 0 )
1. (
.
)
/
.
( ( ) /
( ( )
√
(√
( (
( (
√ )
)
(
)
(
( ))
))
(√
(
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi | (
))
√
( ))
√ )
)
.
.
/ diterima dan
)|
Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka
.
/
dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval 0
1, diperoleh
24
(
.
)
/
√
(√
Interval 0 yaitu 0
( (
))
√ )
)
1. (
.
)
/
( ( )
.
/
( (
( ( )
√
(√
| (
)
(
)
(
√ )
1 dan 0
dan (3.8) pada interval 0 .
)
( ))
))
(√
( ))
√
(
√ )
)
.
)|
Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval 0 interval, diperoleh 0
))
( (
Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi
(
( ))
1 dibagi menjadi dua sub interval untuk menerapkannya pada (3.8) 1 dan 0
(
( ( )
1 dibagi lagi menjadi dua
1. Dengan cara yang sama dan menerapkan (3.1)
1, diperoleh /
( ( )
( (
))
( ))
dan (
)
(
)
.
/
( ( )
25
( (
))
( ))
.
/
( ( )
( (
))
( ))
(
Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi
)
. | (
)
(
)
(
)|
Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka
.
/
.
/ diterima dan
dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval 0 (
1, diperoleh
.
)
/
( ( )
( (
))
( ))
dan (
)
(
)
.
/
.
( ( ) /
( (
( ( )
))
( (
( ))
))
( ))
(
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi
)
. | (
)
(
)
(
)|
Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval 0 interval, diperoleh 0 interval 0 (
1 dan 0
1 dibagi lagi menjadi dua
1. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada
1, diperoleh )
.
/
( ( )
( (
26
))
( ))
dan (
)
(
)
.
/
.
/
( ( )
( (
( (
)
))
( (
(
))
))
( ))
(
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi
)
. | (
)
(
)
(
)| .
Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka
/
.
/ diterima dan
dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Dengan cara yang sama dan menerapkan (3.1) dan (3.8) pada interval 0 (
)
.
/
(
)
( ( )
1 diperoleh
( (
))
( ))
dan (
)
.
/
.
/
( ( )
( (
( (
)
))
( (
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi
(
))
))
( ))
(
)
. | (
)
(
)
(
)|
Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka diperoleh
27
.
/
.
/ diterima. Jadi
∫√
( (
)
( (
(
))
)
( (
( (
( )
)
(
))
)) (
))
∫√ Karena nilai integral secara analitik diperoleh |
, maka
|
Jadi aproksimasi terhadap memenuhi kriteria toleransi yang diinginkan.
Contoh 2 Tentukan nilai integral dari ∫
Jawab: Jika diselesaikan secara analitik, nilai integral tersebut adalah ∫
∫
| | (
)
28
Jika menggunakan pendekatan numerik dengan metode kuadratur adaptif, diperoleh hasil seperti pada tabel berikut ini.
Tabel 3.1 Toleransi awal
Galat 92,0528505515
2,0528505515
89,4025127793
0,5974872207
89,7602698329
0,2397301671
89,7602706225
0,2397293775
89,7602710715
0,2397289285
Dari kasus diatas diperoleh bahwa hasil integrasi dengan kaidah kuadratur adaptif menunjukkan hasil pendekatan yang baik, karena integral dievaluasi dengan menyesuaikan perilaku lokal integrannya. Semakin krcil nilai toleransi awalnya maka nilai galatnya semakin kecil, sehingga nilai aproksimasinya semakin baik, hanya saja diperlukan iterasi yang lebih banyak lagi.
29
BAB IV KESIMPULAN Berdasarkan pada hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya dapat diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu 1. Metode kuadratur adaptif merupakan skema integrasi numerik yang perhitungannya menyesuaikan pada perilaku lokal dari integrannya. Sehingga panjang sub interval pada metode kuadratur adaptif tidak selalu sama tergantung pada integrannya. 2. Ketepatan metode ini bergantung pada nilai toleransi awal, semakin kecil nilai toleransi awal, nilai aproksimasi mendekati nilai eksak, artinya semakin baik nilai aproksimasinya 3. Metode kuadratur adaptif dengan kaidah simpson merupakan metode yang sangat baik untuk mengaproksimasi nilai integral.
30
DAFTAR PUSTAKA Conte, S.D. dan Boor, C.D. 1992. Dasar-dasar Analisis Numerik: Suatu Pendekatan Algoritma. Erlangga. Jakarta. Levy, D. 2010. Introduction to Numerical Analysis. Department of Mathematics and Center Scientific Computation and Mathematical Modelling (CSCMM) University of Maryland. United States. Mathews, J.H. dan K.D. Fink. 1999. Numerical Method Using Matlab, Third Edition. Prentice Hall. United States. Munir, R. 2010. Metode Numerik. Informatika. Bandung. Purcell, E.D. dan D. Varberg. 1990. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid I (Terjemahan, B. Kartasasmita). Erlangga. Jakarta. Soemantri, R. 2000. Analisis Real I. Pusat Penerbitan Universitas Terbuka. Jakarta. Suli, E. dan D. Mayers. 2003. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. Cambridge.
31
LAMPIRAN Flow Chart
Mulai
*,𝑎
𝑏 - 𝜀 +
𝑏 ]
Bagi 2 sub interval [𝑎 dan [𝑎
𝑏 ], 𝜀
𝜀
NO
|𝑆(𝑎 𝑆(𝑎 𝜀
𝑏 ) 𝑏 )
𝑆(𝑎
𝑏 )|
YES
𝐼
𝑁
∑
𝑘
(𝑆(𝑎𝑘
𝑏𝑘 )
SELESAI
32
𝑆(𝑎𝑘
𝑏𝑘 ))
Source Code Program (MATLAB) function [I,err,iflg]=adpsim(a,b,tol,fun) % implementasi adaptif kuadratur Simpson % Masukkan integrand,fun. % a,b :Batas integrasi,tol:toleransi eror absolute % errest: estimasi error % iflg: Modus pengembalian , memberikan jumlah subinterval di mana % jumlah maksimum ( levmax = 10 ) dari terbagi dua diperlukan dan % nilai diterima secara default. Semakin besar iflg, kepercayaan semakin % berkurang % harus memiliki nilai yang dihitung, y. % nofun: jumlah fungsi yang dievaluasi % inisialisasi I=0;iflg=0;jflg=0;err=0;levmax=20; fsave=zeros(levmax,3);xsave=zeros(levmax,3);simp=zeros( levmax); a=input('a='); b=input('b='); tol=input('toleransi awal='); %fun=@(x)sqrt(x); %integrand fun=@(x)(sin(x))^2; %integrand tol2=tol+10*eps; tol1=tol2*15/(b-a); x=a:(b-a)/4:b; for j=1:5 f(j)=feval(fun,x(j)); end level=1; %level=0 berarti seluruh interval tertutup , maka selesai while level>0 for k=1:3 fsave(level,k)=f(k+2); 33
xsave(level,k)=x(k+2); end h=(x(5)-x(1))/4; simp(level)=(h/3)*(f(3)+4*f(4)+f(5)); if jflg<=0 s1=2*(h/3)*(f(1)+4*f(3)+f(5)); end sl=(h/3)*(f(1)+4*f(2)+f(3)); s2=sl+simp(level); d=abs(s1-s2); if d<=tol1*4*h level=level-1; jflg=0; I=I+s2; err=err+d/15; if level<=0 fprintf('nilai integral= return end for j=1:3 jj=2*j-1; f(jj)=fsave(level,j); x(jj)=xsave(level,j); end else level=level+1; s1=sl; if level <= levmax jflg=1; f(5)=f(3);f(3)=f(2);
34
%.10f \n',I)
x(5)=x(3);x(3)=x(2); else iflg=iflg+1; level=level-1; jflg=0; I=I+s2; err=err+d/15; end end for k=1:2 kk=2*k; x(kk)=.5*(x(kk+1)+x(kk-1)); f(kk)=feval(fun,x(kk)); end end
35
