INTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH. Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh. Dr. Trisilowati, S.Si., M

INTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh Dr. Trisilowati, S.Si., M.Sc Disusun Oleh: Danang Indrajaya (146090400111008) M. Adib Jauhari Dwi Putra (146090400011001) Zulfiana S. Akib(146090400111007)

PROGRAM PASCASARJANA ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2015

BAB I PENDAHULUAN 1.1.Latar Belakang Dalam bidang matematika analisis numerik, interpolasi adalah metode menghasilkan titik-titik data baru dalam suatu jangkauan dari suatu set diskret data-data yang diketahui. Atau dengan kata lain Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui. Di dunia nyata, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi, yang mana fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data-data atau tabel, misalnya tabel dari hasil percobaan. Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial. Dalam makalah ini akan dibahas tentang interpolasi polinomial Chebyshev. Polinomial Chebyshev diambil dari nama Pafnuty Chebyshev, adalah sebua barisan polinomial ortogonal yang didefinisikan secara rekursif. Polinomial Chebyshev mengambil peran penting dalam analisis numerik dan perkembangan ilmu pengetahuan modern, diantaranya adalah tentang polinomial ortogonal, aproksimasi polinomial, integrasi numerik dan metode spektral untuk persamaan diferensial parsial. Dengan mempelajari polinomial Chebyshev akan mengarah pada semua bidang dalam analisis numerik. Hal ini berarti bahwa polinomial Chebyshev memberikan pelajar kesempatan untuk mengenal luas berbagai bidang analisis numerik dan matematika. 1.2.Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut, pokok permasalahan yang dibahas dalam makalah ini adalah a. Bagaimana

memperoleh

polinomial

pendekatan

Chebyshev dan ketunggalan interpolasi Chebyshev.

2

pada

interpolasi

b. Bagaimana perbandingan galat interpolasi dengan polinomial Lagrange dan interpolasi dengan polinomial Chebyshev

1.3. Tujuan Tujuan dari penulisan makalah ini adalah: 1. Mengetahui hasil polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev dan ketunggalan interpolasi Chebyshev. 2. Mengetahui perbandingan

galat interpolasi

dengan polinomial

Lagrange dan interpolasi dengan polinomial Chebyshev

3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 1.1. Galat Galat atau error adalah sumber variasi data yang tidak dapat dimasukkan ke dalam model. Ada tiga macam galat: 1. Galat bawaan, terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala, atau karena kurangnya pengertian mengenai hukumhukum fisik dari data yang diukur. 2. Galat

pembulatan

(round-off

error),

terjadi

karena

tidak

diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Sebagai contoh, 3.1415926 dapat dibulatkan menjadi 3.14. 3. Galat pemotongan (truncation error), terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. 1.2. Interpolasi 

Misalkan 𝑦=𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi yang diketahui nilanya pada (𝑁+1) buah titik berbeda 𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑛 dalam selang [𝑎,𝑏]. Polinomial 𝑃𝑁(𝑥) disebut polinom penginterpolasi berderajat 𝑁 bagi 𝑓(𝑥), jika untuk setiap 𝑘=0,1,…,𝑁 berlaku 𝑃𝑁 (𝑥𝑘)=𝑓(𝑥𝑘)=𝑦𝑖. Selanjutnya, jika 𝑃𝑁(𝑥) digunakan untuk mengaproksimasi fungsi 𝑓(𝑥) pada selang (𝑥0,𝑥𝑁) maka proses tersebut disebut proses interpolasi dan nilai 𝑃𝑁(𝑥) disebut nilai interpolasi.



Interpolasi polinomial Lagrange merupakan salah satu bentuk interpolasi yang menggunakan polinomial Lagrange sebagai polinom penginterpolasinya. Polinomial Lagrange berderajat 𝑁 memiliki bentuk umum yaitu, 𝑁

𝑃𝑁 (𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑘 )𝐿𝑁,𝑘 (𝑥) 𝑘=0

4

dengan 𝐿𝑁,𝑘 (𝑥) adalah koefisien polinomial Lagrange yang dinyatakan persamaan 𝑛 ∏𝑗=1 (𝑥−𝑥𝑗 )

𝐿𝑁,𝑘 (𝑥) = ∏𝑛𝑗≠𝑘(𝑥 𝑗=1 𝑗≠𝑘

𝑘 −𝑥𝑗 )

1.3. Polinomial Monik Suatu polinomial dikatakan sebagai polinomial monik jika koefisien utamanya adalah satu. Misalkan(𝑥) adalah polinomial monik berderajat 𝑁 maka koefisien dari 𝑥 𝑁 dalam polinomial tersebut adalah satu. Bentuk umum polinomial monik berderajat 𝑁 dinyatakansebagaiberikut 𝑃(𝑥) = 𝑥 𝑁 + 𝑎𝑁−1 𝑥 𝑁−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0

5

BAB III PEMBAHASAN 3.1. Interpolasi Polinomial Chebyshev Metode numerik selalu berhubungan dengan eror, yaitu bagaimana meminimalkan galat atau eror. Sebelumnya kita ingat bahwa ketika kita punya fungsi f(x) yang memiliki n turunan kontinu, interpolasi erornya adalah sebagai berikut

f ( x)  Qn ( x) 

n 1 f ( n 1) (n ) ( x  x j ). (n  1)! j 0

Dimana Qn ( x) adalah polinomial interpolasi dan  n adalah titik diantara interval. Dari persamaan di atas terlihat bahwa titik interpolasi sangat mempengaruhi eror. Memang bukan hanya titik interpolasi yang berpengaruh, namun paling tidak untuk meminimalkan eror atau mendapatkan hasil yang optimal dalam interpolasi pemilihan titik interpolasi juga sangat penting. Salah satu solusinya adalah dengan menggunakan titik Chebyshev. 3.1.1. Polinomial Chebyshev Polinomial Chebysev memiliki beberapa sifat berikut. a. Persamaan rekursif Polinomial Chebyshev dapat didefinisikan sebagai relasi rekursif berikut: T0 ( x)  1 T1 ( x)  x Tn ( x)  2 xTn 1 ( x)  Tn  2 ( x), n  2

Atau dapat ditulis Tn1 ( x)  2 xTn ( x)  Tn1 ( x), n  1 Sebagai contohnya, T2 ( x)  2 xT1 ( x)  T0 ( x)  2 x 2  1 , dan T3 ( x)  4 x3  3x . b. Koefisien Utama Persamaan rekursif polinomial Chebyshev menyatakan bahwa koefisien dari 𝑥 𝑁 yang merupakan koefisien utama pada polinomial 𝑇𝑁 (𝑥) adalah 2 × (𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑥 𝑁−1 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑇𝑁−1 (𝑥)). 6

Oleh karena itu, koefisien dari 𝑥 𝑁 dalam polinomial 𝑇𝑁 (𝑥) adalah 2𝑁−1 untuk 𝑁 ≥ 1 c. Representasi trigonometri dalam [−𝟏, 𝟏] Untuk setiap x [1,1] , Tn ( x)  cos(n cos1 x), n  0. Atau bisa ditulis sebagai 𝑇𝑁 (𝑥) = cos(𝑁 arccos(𝑥)).

Bukti: Dalam trigonometri berlaku cos(n  1)  cos  cos n  sin  sin n , cos(n 1)  cos  cos n  sin  sin n .

Karena itu, cos(n  1)  2cos  cos n  cos(n 1) .

Diberikan   cos1 x , maka x  cos , dan definisikan tn ( x)  cos(n cos1 x)  cos(n ) .

Sehingga

t0 ( x)  1,   t1 ( x)  x,  t ( x)  2 xt ( x)  t ( x), n  1. n n 1  n 1 Oleh karena itu tn ( x)  Tn ( x). ▄ d. Akar Polinomial di [-1,1] Polinomial Chebyshev 𝑇𝑁 (𝑥) dengan orde 𝑁 ≥ 1 memiliki 𝑁 buah akar dalam interval [−1,1], yaitu 2𝑘+1

𝑥𝑘 = cos (

2𝑁

𝜋) untuk 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − 1.

Nilai tersebut dikatakan sebagai titik Chebyshev. Bukti:

7

Diketahui bahwa 𝑇𝑁 (𝑥) = cos(𝑁 arccos(𝑥)) , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 Akar persamaan 𝑇𝑁 (𝑥) ditentukan menggunakan persamaan berikut. 𝑇𝑁 (𝑥) = 0 ⇔ 𝑁 arccos(𝑥) = arccos(0) 2𝑘 + 1 𝑁 arccos(𝑥) = 𝜋 2 2𝑘+1 𝑥𝑘 = cos ( 2𝑁 𝜋) , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − 1. Oleh karena itu, diperoleh akar persamaan 𝑇𝑁 (𝑥) pada interval [−1,1] adalah e.

2𝑘+1

𝑥𝑘 = cos (

2𝑁

𝜋) , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − 1

Nilai ini disebut titik Chebyshev. 3.2. Interpolasi Chebysev Dalam kasus yang lebih umum dimana interval interpolasi untuk fungsi f(x) adalah x  [a,b] pertama harus mengubah interval interpolasi ke y  [-1,1] dengan 𝑏−𝑎 𝑎+𝑏 𝑥𝑘 = ( ) 𝑡𝑘 + 2 2 𝜋

𝑡𝑘 = 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 [(2𝑁 + 1 − 2𝑘) 2𝑁+2] , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁

Dengan

adalah

titik

Chebyshev dari polinomial 𝑇𝑁+1 (𝑥) pada [−1,1]. Hal ini mengubah masalah interpolasi untuk f(x) di [a,b] ke f(x)=g(x(y)) pada y  [-1,1]. Teorema Misalkan𝑓 fungsi terdefinisi dan kontinu pada [𝑎, 𝑏]dan sedemikian sehingga turunan orde ke-𝑁 + 1 dari 𝑓 kontinu di [𝑎, 𝑏] Jika𝑃𝑁 (𝑥) adalah polinomial interpolasi Lagrange dengan titik interpolasinya merupakan titik Chebyshev dari 𝑇𝑁+1 (𝑥) maka: max |𝑓(𝑥) − 𝑃𝑁 (𝑥)| ≤

𝑥∈[𝑎,𝑏]

(𝑏 − 𝑎)𝑁+1 max |𝑓 (𝑁+1) (𝜉)| 22𝑁+1 (𝑁 + 1)! 𝜉∈[𝑎,𝑏]

3.2.1. Polinomial Chebyshev Polinomial interpolasi Chebyshev dapat ditulis sebagai berikut: 𝑁

𝑃𝑁 (𝑥) = ∑ 𝑐𝑘 . 𝑇𝑘 (𝑥) = 𝑐0 . 𝑇0 (𝑥) + 𝑐1 . 𝑇1 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑁 . 𝑇𝑁 (𝑥) 𝑘=0

8

Misalkan 𝑓(𝑥) diinterpolasi oleh polinomial 𝑃𝑁 (𝑥) dengan 𝑁 + 1 titik 2𝑘+1

interpolasi Chebyshev yaitu 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (

2𝑁

𝜋) , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁, oleh karena itu

pada titik tersebut berlaku 𝑓(𝑥) = 𝑃𝑁 (𝑥) . Akibatnya, 𝑁 𝑁 𝑁 ∑𝑁 𝑘=0 𝑓(𝑥𝑘 )𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) = ∑𝑖=0 𝑐𝑖 . 𝑇𝑖 (𝑥𝑘 ). 𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) = ∑𝑖=0 𝑐𝑖 . ∑𝑖=0 𝑇𝑖 (𝑥𝑘 ). 𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) =

∑𝑁 𝑖=0 𝑐𝑖 𝐾𝑖 𝛿𝑖𝑗 . 𝑁 Untuk 𝑖 = 𝑗 = 0 ⇒ ∑𝑁 𝑖=0 𝑐𝑖 𝐾𝑖 𝛿𝑖𝑗 = ∑𝑖=0 𝑐𝑖 (𝑁 + 1)𝛿𝑖𝑗 = 𝑐0 (𝑁 + 1) 1

Sehingga 𝑐0 = 𝑁+1 ∑𝑁 𝑘=0 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑁 Untuk 𝑖 = 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 ⇒ ∑𝑁 𝑖=0 𝑐𝑖 𝐾𝑖 𝛿𝑖𝑗 = ∑𝑖=0 𝑐𝑖

𝑁+1 2

𝛿𝑖𝑗 = 𝑐𝑗

𝑁+1 2

2

Sehingga 𝑐𝑗 = 𝑁+1 ∑𝑁 𝑘=0 𝑓(𝑥𝑘 )𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) Teorema: Polinomial pendekatan Chebyshev 𝑃𝑁 (𝑥) untuk fungsi 𝑓(𝑥) pada [−1,1] dinyatakan sebagai 𝑁

𝑓(𝑥) = 𝑃𝑁 (𝑥) = ∑ 𝑐𝑗 . 𝑇𝑗 (𝑥) 𝑘=0

Dengan kosfisien 𝑐𝑗 adalah 𝑁

1 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ) , 𝑁+1 𝑐𝑗 =

𝑗=0

𝑘=0 𝑁

2 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ), 𝑁 + 1 {

𝑗 = 1,2, … , 𝑁

𝑘=0

𝑗𝜋(2𝑘+1)

Dimana 𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) = 𝑐𝑜𝑠 (

2𝑁+2

),

𝑗 = 1,2, … , 𝑁

3.2.2. Sifat Ortogonal 𝑘+1⁄2

Misalkan 𝑥𝑘 = cos (

𝑁+1

𝜋) untuk 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 maka polynomial Chebyshev

memenuhi sifat-sifat berikut: 1) ∑𝑁 𝑘=0 𝑇𝑖 (𝑥𝑘 )𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) = 0 𝑖 ≠ 𝑗

9

𝑁

∑ 𝑇𝑖 (𝑥𝑘 )𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) = 𝑘=0

2)

∑𝑁 𝑘=0 𝑇0 (𝑥𝑘 )𝑇0 (𝑥𝑘 )

𝑁+1 , 2

𝑖=𝑗≠0

=𝑁+1

Sifat ortogonal tersebut juga dapat dinyatakan dalam persamaan: 𝑁

∑

𝑇𝑖 (𝑥𝑘 ) 𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) = 𝐾𝑖 𝛿𝑖𝑗

𝑘=0

Dengan: 0, 𝑖 = 𝑗 𝛿𝑖𝑗 = { 1, 𝑖 = 𝑗 𝐾𝑖 =

𝑁+1 ,1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁 2 𝐾0 = 𝑁 + 1

Berdasarkan sifat otogonal

polinomial Chebyshev diperoleh polinomial

pendekatan untuk aproksimasi Chebyshev seperti yang dinyatakan dalam teorema: Teorema Polinomial pendekatan Chebyshev 𝑃𝑁 (𝑥) berderajat ≤ 𝑁 untuk 𝑓(𝑥) pada selang [−1,1] dinyatakan sebagai berikut: 𝑁

𝑓(𝑥) ≈ 𝑃𝑁 (𝑥) = ∑

𝑗=0

𝐶𝑗 𝑇𝑗 (𝑥)

Dengan koefisien {𝑐𝑗 } dinyatakan pada persamaaan: 𝑁 1 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ), 𝑛 + 1 𝑘=0 𝑐𝑗 = 𝑁 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 )𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) , { 𝑁 + 1 𝑘=0

Untuk 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (

2𝑘+1 2𝑁

𝜋) dan 𝑘 = 0,1, … 𝑁

Bukti:

10

𝑗=0 𝑗 = 1,2, … , 𝑁

Diketahui bahwa 𝑃𝑁 (𝑥) = ∑𝑁 𝑗=0 𝑐𝑗 𝑇𝑗 (𝑥). Karena 𝑃𝑁 (𝑥) menginterpolasi 𝑓(𝑥) 2𝑘+1

pada (𝑁 + 1) titik Chebyshev, yaitu 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (

2𝑁

𝜋) , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 diperoleh

pada titik tersebut berlaku 𝑓(𝑥𝑘 ) = 𝑃𝑁 (𝑥𝑘 ). Oleh karena itu: 𝑁

𝑁

∑ 𝑘=0

𝑓(𝑥𝑘 )𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) = ∑

𝑁

𝑖=0

𝑐𝑖 ∑

𝑁

𝑇𝑖 (𝑥𝑘 )𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) = ∑

𝑘=0

𝑖=0

𝑐𝑖 𝐾𝑖 𝛿𝑖𝑗

Untuk 𝑖 = 𝑗 = 0, maka: 𝑁

𝑁

∑ 𝑖=0

𝑐𝑖 𝐾𝑖 𝛿𝑖𝑗 = ∑

𝑖=0

𝑐𝑖 (𝑁 + 1)𝛿𝑖𝑗 = 𝑐0 (𝑁 + 1)

Oleh karena itu, diperoleh: 𝑁

𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑇0 (𝑥𝑘 ) = 𝑐0 (𝑁 + 1) ⇒ 𝑐0 =

∑

𝑘=0

=

𝑁 1 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑇0 (𝑥𝑘 ) 𝑁 + 1 𝑘=0

𝑁 1 ∑ 𝑓(𝑥𝑘) 𝑁 + 1 𝑘=0

Sementara itu untuk 𝑖 = 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 maka 𝑁

∑ 𝑖=0

𝑁

𝑐𝑖 𝐾𝑖 𝛿𝑖𝑗 = ∑

𝑖=0

𝑐𝑖

(𝑁 + 1) (𝑁 + 1) 𝛿𝑖𝑗 = 𝑐𝑗 2 2

Oleh karena itu diperoleh: 𝑁

∑ 𝑘=0

𝑓(𝑥𝑘 )𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) = 𝑐𝑗

𝑁 (𝑁 + 1) 2 ⟹ 𝑐𝑗 = ∑ 𝑓(𝑥𝑘 )𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) 2 𝑁 + 1 𝑘=0

Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh koefisien polinomial pendekatan seperti pada: 𝑁 1 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ), 𝑛 + 1 𝑘=0 𝑐𝑗 = 𝑁 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 )𝑇𝑗 (𝑥𝑘 ) , { 𝑁 + 1 𝑘=0

11

𝑗=0 𝑗 = 1,2, … , 𝑁

BAB IV APLIKASI INTERPOLASI POLINOMIAL CHEBYSHEV Bandingkan polinomial pendekatan berderajat 3 (N=3) untuk 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 pada selang [−1,1] yang dibentuk dari: 1.

Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi berjarak seragam 𝑥𝑘 = −1 +

2𝑘 3

,

𝑘 = 0,1,2,3. 2.

Polinomial 7−2𝑘

𝑐𝑜𝑠 ( 3.

8

Lagrange

2𝑘+1 8

titik

interpolasi

Chebyshev

𝑥𝑘 =

interpolasi

Chebyshev

𝑥𝑘 =

𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

Polinomial 𝑐𝑜𝑠 (

dengan

Chebyshev

dengan

titik

𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

Penyelesaian 1.

Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi berjarak seragam 𝑥𝑘 = −1 +

2𝑘

𝑘 = 0,1,2,3. 𝑥0 = −1 ⇒ 𝑓(𝑥0 ) = 𝑒 −1 = 0,36787944 𝑥1 = −

1 1 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) = 𝑒 −3 = 0,71653131 3

1 3

⇒ 𝑓(𝑥2 ) = 𝑒 3 = 1,39561243

𝑥3 = 1

⇒ 𝑓(𝑥3 ) = 𝑒 1 = 2,71828183

𝑥2 =

1

L0 ( x) 

x  x1 x  x2 x  x3 . .  0,0625  0,0625 x  0,5625 x 2  0,5625 x 3 x0  x1 x0  x2 x0  x3

L1 ( x) 

x  x 0 x  x 2 x  x3 . .  0,5625  1,6875 x  0,5625 x 2  1,6875 x 3 x1  x0 x1  x2 x1  x3

L2 ( x) 

x  x0 x  x1 x  x3 . .  0,5625  1,6875 x  0,5625 x 2  1,6875 x 3 x2  x0 x2  x1 x2  x3

12

3

,

L3 ( x) 

x  x0 x  x1 x  x2 . .  0,0625  0,0625 x  0,5625 x 2  0,5625 x 3 x3  x0 x3  x1 x3  x2

Maka interpolasi polinomial Lagrange order 3 sebagai berikut 3

P3 ( x)   Li ( x). f ( xi )

=

i 0

L0 ( x). f ( x0 )  L1 ( x). f ( x1 )  L2 ( x). f ( x2 )  L3 ( x). f ( x3 )

= (  0,0625  0,0625x  0,5625x 2  0,5625x 3 ) 0,36787944 + ( 0,5625  1,6875x  0,5625x 2  1,6875x 3 ) 0,71653131 + ( 0,5625  1,6875x  0,5625x 2  1,6875x 3 ) 1,39561243 + (  0,0625  0,0625x  0,5625x 2  0,5625x 3 ) 2,71828183 Sehingga diperoleh 𝑃3𝐴 (𝑥) = 0,99519577 + 0,99904923𝑥 + 0,54788486𝑥 2 + 0,17615196𝑥 3

2.

Polinomial 7−2𝑘

𝑐𝑜𝑠 (

8

Lagrange

dengan

titik

interpolasi

Chebyshev

𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

7 𝑥0 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = cos 157,5𝑜 = −0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥0 ) = 𝑒 −0,92387953 8 = 0,39697597 5 𝑥1 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = cos 112,5𝑜 = −0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) = 𝑒 −0,38268343 8 = 0,68202877 3 𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = cos 67,5𝑜 = 0,38268343 8

⇒ 𝑓(𝑥2 ) = 𝑒 0,38268343

= 1,46621380 1 𝑥3 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = cos 22,5𝑜 = 0,92387953 8 = 2,51904417

13

⇒ 𝑓(𝑥3 ) = 𝑒 0,92387953

𝑥𝑘 =

L0 ( x) 

x  x1 x  x2 x  x3 . . x0  x1 x0  x2 x0  x3

L0 ( x)  0,10355339  0,11208538 x  0, 70710678 x 2  0, 76536686 x3 L1 ( x) 

x  x0 x  x2 x  x3 . . x1  x0 x1  x2 x1  x3

L1 ( x)  0, 60355339  1,57716102 x  0, 70710678 x 2  1,84775906 x3

L2 ( x) 

x  x0 x  x1 x  x3 . . x2  x0 x2  x1 x2  x3

L2 ( x)  0, 60355339  1,57716102 x  0, 70710678 x 2  1,84775906 x3 L3 ( x) 

x  x0 x  x1 x  x2 . . x3  x0 x3  x1 x3  x2

L3 ( x)  0,10355339  0,11208538 x  0, 70710678 x 2  0, 76536686 x3

Maka interpolasi polinomial Lagrange orde 3 dengan titik interpolasi Chebyshev sebagai berikut 3

P3 ( x)   Li ( x). f ( xi )

=

i 0

L0 ( x). f ( x0 )  L1 ( x). f ( x1 )  L2 ( x). f ( x2 )  L3 ( x). f ( x3 )

= (  0,10355339  0,11208538x  0,70710678x 2  0,76536686 x 3 ) 0,39697597 + ( 0,60355339  1,57716102 x  0,70710678x 2  1,84775906 x 3 ) 0,68202877 + ( 0,60355339  1,57716102 x  0,70710678x 2  1,84775906 x 3 ) 1,46621380 + (  0,10355339  0,11208538x  0,70710678x 2  0,76536686 x 3 ) 2,51904417 Sehingga diperoleh 𝑃3𝐵 (𝑥) = 0,99461532 + 0,99893323𝑥 + 0,54290072𝑥 2 + 0,17517569𝑥 3

14

3.

Polinomial 2𝑘+1

𝑐𝑜𝑠 (

8

Chebyshev

dengan

titik

interpolasi

Chebyshev

𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

1 𝑥0 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = cos 22,5𝑜 = 0,92387953 8

⇒ 𝑓(𝑥0 ) = 𝑒 0,92387953

= 2,51904417 3 𝑥1 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = cos 67,5𝑜 = 0,38268343 8

⇒ 𝑓(𝑥1 ) = 𝑒 0,38268343

= 1,46621380 5 𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = cos 112,5𝑜 = −0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥2 ) = 𝑒 −0,38268343 8 = 0,68202877 7 𝑥3 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = cos 157,5𝑜 = −0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥3 ) = 𝑒 −0,92387953 8 = 0,39697597

Dengan memanfaatkan teorema aproksimasi Chebyshev, diperoleh 𝑁

3

𝑘=0

𝑘=0

1 1 1 𝑐0 = ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ) = ∑ 𝑒 𝑥𝑘 = (5,06426271) = 1,26606568 𝑁+1 4 4 𝑁

𝑐1 =

2 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑇1 (𝑥𝑘 ) 𝑁+1 𝑘=0

3

=

1 2𝑘 + 1 ∑ 𝑒 𝑥𝑘 . 𝑐𝑜𝑠 (𝜋 ) 2 8 𝑘=0

1 1 3 5 7 = (𝑒 𝑥0 . 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋) + 𝑒 𝑥1 . 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋) + 𝑒 𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋) + 𝑒 𝑥3 . 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋)) 2 8 8 8 8 = 1,13031500 𝑁

2 𝑐2 = ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑇2 (𝑥𝑘 ) 𝑁+1 𝑘=0

3

=

1 2𝑘 + 1 ∑ 𝑒 𝑥𝑘 . 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 ) 2 8 𝑘=0

15

𝑥𝑘 =

=

1 𝑥 1 3 5 7 (𝑒 0 . 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋) + 𝑒 𝑥1 . 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋) + 𝑒 𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋) + 𝑒 𝑥3 . 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋)) 2 4 4 4 4

= 0,27145036 𝑁

2 𝑐3 = ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑇3 (𝑥𝑘 ) 𝑁+1 𝑘=0

3

1 2𝑘 + 1 = ∑ 𝑒 𝑥𝑘 . 𝑐𝑜𝑠 (3𝜋 ) 2 8 𝑘=0

=

1 𝑒 𝑥0 . 𝑐𝑜𝑠 (3 𝜋) + 𝑒 𝑥1 . 𝑐𝑜𝑠 (9 𝜋) + 𝑒 𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠 (15 𝜋) + 𝑒 𝑥3 . 𝑐𝑜𝑠 (21 𝜋) ( ) 8 8 8 8 2

= 0,04379392

Sehingga interpolasi polinomial Chebyshev orde 3 dengan titik interpolasi Chebyshev sebagai berikut 3

𝑃3 (𝑥) = ∑ 𝑐𝑘 . 𝑇𝑘 (𝑥) = 𝑐0 . 𝑇0 (𝑥) + 𝑐1 . 𝑇1 (𝑥) + 𝑐2 . 𝑇2 (𝑥) + 𝑐3 . 𝑇3 (𝑥) 𝑘=0

= (1,26606568)(1) + (1,13031500)(𝑥) + (0,27145036)(2𝑥 2 − 1) + (0,04379392)(4𝑥 3 − 3𝑥) Jadi, 𝑃3𝐶 (𝑥) = 0,99461532 + 0,99893324𝑥 + 0,54290072𝑥 2 + 0,17517568𝑥 3

16

BAB V KESIMPULAN 1. Berdasarkan hasil tersebut, polinomial pendekatan 𝑃3𝐵 (𝑥) = 𝑃3𝐶 (𝑥), maka polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev adalah tunggal dan dapat diperoleh melalui polinomial Lagrange atau polinomial Chebyshev. 2. Perbandingan galat interpolasi dengan titik berjarak seragam (a) dan titik Chebyshev (b)

(a). Galat interpolasi dengan titik berjarak seragam Dengan nilai error |𝑒 𝑥 − 𝑃(𝑥)| ≤ 0,01

3

0.01 Pn(x)

2.5

f(x) Titik Seragam E(X)

2 f(X)

galat interpolasi 0.008

1.5 1

0.004 0.002

0.5 0 -1

0.006

-0.5

0 X

0.5

1

(b). Galat interpolasi dengan titik Chebyshev Dengan nilai error |𝑒 𝑥 − 𝑃(𝑥)| ≤ 0,0067

17

0 -1

-0.5

0 X

0.5

1

-3

8

3 Pn(x)

2.5

galat interpolasi

f(x) Titik Seragam

6 E(X)

2 f(X)

x 10

1.5

4

1 2 0.5 0 -1

-0.5

0 X

0.5

1

18

0 -1

-0.5

0 X

0.5

1

DAFTAR PUSTAKA Levy, Doron. 2010. Introduction to Numerical Analysis. Maryland: University of Maryland. Mathews, John H. dan Kurtis D. Fink. 2004. Numerical Methods Using MATLAB (4th ed.). USA: Pearson Prentice Hall.

19

DAFTAR LAMPIRAN

a. Titik Interpolasi Seragam clc;clear;close; n=4;a=-1;b=1; for k=1:n x(k)=-1.+2/3*(k-1); y(k)=exp(x(k)) ; end for i=1:n pp=poly(x((1:n)~=i)); pvals(i,:)=pp./polyval(pp,x(i)); end Pn=y*pvals; xi=[a:0.01:b]; yi=polyval(Pn,xi); 27

20

for i=1:length(xi) zi(i)=exp(xi(i)); end hi=abs(zi-yi); Hii=max(hi) subplot(1,2,1); plot(xi,yi,'g',xi,zi,'r--',x,y,'o','linewidth',2); grid; legend('P_n(x)','f(x)','Titik Seragam','Location','NorthWest'); subplot(1,2,2); plot(xi,hi,'r','linewidth',2); grid; legend('galat interpolasi');

b. Titik Interpolasi Chebyshev clc;clear;close; n=4;a=-1;b=1; for k=1:n A=cos((pi*(n+1-k-0.5))/n); x(k)=(b-a)*A/2+(a+b)/2; y(k)=exp(x(k)) ; end for i=1:n pp=poly(x((1:n)~=i)); pvals(i,:)=pp./polyval(pp,x(i)); end Pn=y*pvals; xi=[a:0.01:b]; yi=polyval(Pn,xi); for i=1:length(xi) zi(i)=exp(xi(i)); end hi=abs(zi-yi); Hii=max(hi) subplot(1,2,1); plot(xi,yi,'g',xi,zi,'r--',x,y,'o','linewidth',2); grid; legend('P_n(x)','f(x)','Titik Seragam','Location','NorthWest'); subplot(1,2,2); plot(xi,hi,'r','linewidth',2); grid; legend('galat interpolasi');

21