Inleiding Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek: wiskundige verbanden in de natuurwetenschappen als casus

Tijdschrift voor Didactiek der -wetenschappen 27 (2010) nr. 1 & 2

3

Inleiding Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek: wiskundige verbanden in de natuurwetenschappen als casus Dirk De Bock Hogeschool-Universiteit Brussel Centrum voor Instructiepsychologie en -technologie, Katholieke Universiteit Leuven Wim Van Dooren Centrum voor Instructiepsychologie en -technologie, Katholieke Universiteit Leuven Pauline Vos Universiteit van Amsterdam Dit thematisch deel van het Tijdschrift voor Didactiek der Bètawetenschappen wil de dialoog stimuleren tussen ‘math educators’ en ‘science educators’ enerzijds, en tussen vakdidactici en algemeen onderwijskundigen anderzijds. De dialoog is wenselijk: mede omwille van hun gemeenschappelijke wortels zijn wiskunde en (natuur)wetenschappen als disciplines sterk op elkaar aangewezen. Dit uit zich onder meer in het gebruik van gemeenschappelijke begrippen en methoden, maar soms verschilt de ‘verschijningsvorm’ van een begrip in de wiskunde van die in meer toegepaste disciplines. Nemen we als voorbeeld het afgeleidebegrip: door een wiskundige bril bekeken, gaat het over de limiet van een differentiequotiënt (of meetkundig: de helling van een raaklijn), terwijl dit concept in de natuurwetenschappen vaak naar voren treedt als (groei)snelheid en in de economie onder andere als ‘marginale kosten’. Voor een goede integratie van wetenschappelijke kennis is het wellicht wenselijk de leerlingen te ondersteunen bij het ‘overbruggen’ van verschillen tussen disciplines. Leerlingen kunnen er enerzijds expliciet op gewezen worden dat het wel degelijk om gemeenschappelijke ideeën gaat, maar anderzijds moet ook niet verhuld worden dat er verschillen bestaan in benadering en perspectief en dat er onderliggende redenen zijn voor deze verschillen. Om dit te realiseren moet er allereerst een interdisciplinaire dialoog tussen ‘math’ en ‘science educators’ op gang komen, waarbij het voorvoegsel ‘inter’ betrekking heeft op wederzijdse uitwisseling. Deze dialoog kan exemplarisch zijn voor andere interdisciplinaire dialogen, bijvoorbeeld tussen vakdidactici van de talen of van de zaakvakken. Bij dergelijke dialogen willen we ook nadrukkelijk algemeen onderwijskundigen betrekken, omdat zij een vakoverstijgende inbreng kunnen leveren, en omdat zij theorieën over misconcepties, transfer en gesitueerde kennis kunnen toetsen aan de praktijk. Het themadeel bestaat uit deze inleiding, drie empirische artikelen en een discussiebijdrage. De rode draad in de drie empirische artikelen vormt het onderzoeken van de ken-

4

Inleiding: transdisciplinair vakdidactisch onderzoek

nis en misconcepties over een wiskundig idee (lineariteit, verandering) buiten het wiskundeonderwijs. Deze onderzoeken laten dus een ‘nieuw geluid’ horen en zijn niet ontstaan vanuit de vigerende cognitieve onderzoekstraditie in bijvoorbeeld de vak-eigen didactiek van de fysica. Bij de beschrijving van het theoretisch kader van deze onderzoeken worden zij dus eerder (summier) gepositioneerd ten opzichte van, dan wel ingebed in het bestaande corpus van onderzoek naar cognitieve problemen bij het leren in het betreffende vakgebied. In het eerste artikel door De Bock, Van Dooren & Verschaffel wordt gerapporteerd hoe onterecht lineair redeneren de leerlingen in diverse fysische situaties parten speelt, en hoe de formulering van fysische problemen een rol speelt bij dit onterecht lineair redeneren. Anderzijds zijn er ook indicaties dat zij dat niet helemaal kritiekloos doen en rekening houden met de specificiteit van de context. Het tweede artikel door Van Dooren, Ebersbach & Verschaffel focust op wiskundige lineariteitsillusies bij één natuurkundig fenomeen, namelijk dat van de valbeweging, en toont aan hoe leerlingen, afhankelijk van leeftijd en testconditie, heel anders (en vaak onterecht lineair) redeneren over de valbeweging. Wanneer hen expliciet naar de valbeweging werd gevraagd, benoemden zij deze als versneld (dus: niet lineair, in de zin van een lineair verband tussen afgelegde weg en tijd), terwijl zij eenzelfde vraag binnen een wiskundige toets of in een impliciete conditie vaker incorrect beantwoordden. Toch denken heel wat leerlingen dat voorwerpen met een grotere massa sneller vallen, en doen ze dit quasi onafhankelijk van de manier van bevragen. In het derde artikel door Vos, Den Braber, Roorda & Goedhart wordt ingegaan op het begrip afgeleide in de vakken natuurkunde, scheikunde en economie. Deze auteurs rapporteren onder andere over verschillen tussen de vakken in terminologie, symbolengebruik en uitleg, hetgeen tot verwarring zou kunnen leiden bij leerlingen, zeker wanneer niet expliciet op deze verschillen wordt ingegaan. In de drie beschreven studies is een oversteek gemaakt vanuit de wiskunde naar aangrenzende disciplines en we betitelen dit als ‘transdisciplinair’ onderzoek in de betekenis van ‘over grenzen reikend’. Wij erkennen hiermee de eenzijdige gerichtheid van ons onderzoek naar de kennis van wiskundige begrippen (lineariteit, afgeleide). Hadden wij tevens de kennis van natuurwetenschappelijke begrippen onderzocht, dan was sprake geweest van wederzijdsheid (en dus van interdisciplinariteit) met betrekking tot het onderzoeksobject. Echter, ons transdisciplinaire onderzoek kan leiden tot een interdisciplinaire discussie, en dit wordt geïllustreerd met de discussiebijdrage van De Cock, die vanuit het perspectief van de natuurkundedidactiek een brug slaat tussen het onderwijsonderzoek van de bètavakken en daarmee het themadeel afsluit. ‘Math education’, ‘science education’ en algemene onderwijskunde zijn momenteel wereldwijd ontwikkeld tot autonome, maar helaas ook deels ‘gescheiden’ wetenschappelijke disciplines, elk met hun eigen benaderingswijzen, klemtonen, theoretische kaders en publicatiekanalen (tijdschriften, congressen, handboeken, …). Interdisciplinariteit vormt in het onderzoekslandschap tot hiertoe eerder de uitzondering dan de regel, doch heeft vol-

De Bock e.a.

5

gens ons een sterk potentieel, onder meer om verbanden tussen disciplines te ondersteunen en verder te ontwikkelen. Wanneer kennis in het isolement van één discipline wordt opgedaan, riskeert ze immers ‘inert’ (Whitehead, 1929) te zijn of te worden: de leerling kan de kennis wel verwoorden, maar slaagt er niet in die adequaat in te zetten in situaties waarin zij potentieel toepasbaar is (Bereiter & Scardamalia, 1985). Dit gevaar dreigt in het bijzonder voor het vakdomein wiskunde: één van de wezenskenmerken van de wiskunde is immers dat ze begrippen en methoden optilt naar een hoger abstractieniveau, precies opdat ze in verschillende (andere) domeinen zouden toepasbaar zijn. Het lijkt ons een gemeenschappelijke opdracht voor wiskundedocenten én docenten in disciplines die wiskunde ‘gebruiken’ om leerlingen te helpen bij het linken van de abstractere formuleringswijzen van de wiskunde met de meer toegepaste of ‘realistische’ benaderingen. ‘Math’ en ‘science educators’ zouden op hun beurt docenten daarbij moeten kunnen ondersteunen. Daarvoor is een interdisciplinaire dialoog noodzakelijk, op het vlak van het onderwijsonderzoek, maar ook op het vlak van het onderwijsbeleid en de onderwijspraktijk. Met dit thematisch deel willen wij vanuit het onderzoek een aanzet geven om een interdisciplinaire dialoog in het Nederlandse taalgebied op gang te brengen. De bijdragen daartoe werden geschreven door onderzoekers met een verschillende wetenschappelijke achtergrond (wiskunde, natuurwetenschappen, en onderwijskunde), maar met een gemeenschappelijke zorg voor en onderzoeksinteresse in het onderwijs van de bètawetenschappen. De bijdragen leggen een aantal pijnpunten – en bijbehorende hypothetische verklaringen – vast, die in vervolgonderzoek, al dan niet trans- of interdisciplinair, verder uitgediept kunnen worden en die ook een solide basis kunnen vormen voor toekomstige interventiestudies gericht op het voorkomen of remediëren van de vastgestelde knelpunten. Literatuur Bereiter, C., & Scardamalia, M. (1985). Cognitive coping strategies and the problem of inert knowledge. In S. S. Chipman, J. W. Segal, & R. Glazer (Eds.), Thinking and learning skills (vol. 2): Current research and open questions (pp. 65-80). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Whitehead, A. N. (1929). The aims of education. New York: MacMillan.

6

Inleiding: transdisciplinair vakdidactisch onderzoek


7

(On)terecht lineair redeneren bij het oplossen van fysicavraagstukken door leerlingen van het secundair onderwijs Dirk De Bock Hogeschool-Universiteit Brussel Centrum voor Instructiepsychologie en -technologie, Katholieke Universiteit Leuven Wim Van Dooren Centrum voor Instructiepsychologie en -technologie, Katholieke Universiteit Leuven Lieven Verschaffel Centrum voor Instructiepsychologie en -technologie, Katholieke Universiteit Leuven Samenvatting Aristoteles geloofde dat voorwerpen vallen met een snelheid die evenredig is met hun massa. Dus als je een bal hebt die 100 g weegt en één die 1000 g weegt, dan zal als beide ballen vanaf eenzelfde hoogte worden losgelaten, de zwaarste bal tien keer zo snel vallen. Het duurde eeuwen vooraleer Galilei aantoonde dat dit niet klopt (Galilei, 1638). Wanneer Socrates aan zijn slaaf een vierkant toont en hem vraagt welke zijde het vierkant met een dubbele oppervlakte moet hebben, antwoordt de slaaf: ‘Het is evident, Socrates, dat de zijde dan het dubbele moet zijn’. Pas wanneer Socrates hem met een tekening de onjuistheid van zijn stelling aantoont, verlaat de slaaf dit idee (zie bijvoorbeeld Garuti, Boero, & Chiappini, 1999). 1. Inleiding Hoewel de twee bovenstaande historische voorbeelden op het eerste gezicht weinig met elkaar gemeen hebben – Aristoteles’ opvatting is niet in overeenstemming met de hedendaagse fysische inzichten en het antwoord van Socrates’ slaaf is wiskundig gezien fout – is er toch een opvallende overeenkomst: in beide wordt een lineair (of proportioneel) verband verondersteld in een situatie die niet-lineair is. In het voorbije decennium hebben instructiepsychologen en wiskundedidactici op systematische wijze de neiging tot onterecht lineair redeneren van leerlingen bij het oplossen van wiskundeproblemen onderzocht. Zo toonde onderzoek aan dat een overgrote meerderheid van tien- en twaalfjarigen ‘170 seconden’ antwoordde op het vraagstuk: ‘De recordtijd van Jan op de 100 meter is 17 seconden. In hoeveel tijd loopt hij de 1000 meter?’ (Verschaffel, De Corte, & Lasure, 1994), hoewel, als je de context serieus neemt, een eenduidig of precies antwoord hier niet mogelijk is. Van Dooren, De Bock, Depaepe, Janssens & Verschaffel (2003) bespreken een voorbeeld uit de kansrekening: veel leerlingen uit het hoger secundair onderwijs antwoorden proportioneel (2 x 1/6 = 2/6) op het probleem ‘De kans om een zes te gooien

8

(On)terecht lineair redeneren bij fysicavraagstukken

in één dobbelsteenworp is 1/6. Wat is de kans om minstens één zes te gooien in twee dobbelsteenworpen?’ – een foutief antwoord dat makkelijk doorgeprikt kan worden aangezien volgens deze redenering de kans op een zes groter dan één zou worden als je meer dan zes keer gooit. Sinds verscheidene jaren loopt aan de Katholieke Universiteit Leuven een onderzoeksprogramma naar het fenomeen van onterecht lineair redeneren bij het oplossen van wiskundeproblemen. Empirische studies in diverse wiskundige deeldomeinen toonden aan dat dergelijke fouten te wijten zijn aan (1) het intuïtieve karakter van het lineair model (De Bock, Van Dooren, Janssens, & Verschaffel, 2002; Fischbein, 1987; Gillard, Van Dooren, Schaeken, & Verschaffel, 2009), (2) de eenzijdige aandacht die aan dit model in het wiskundeonderwijs wordt geschonken (Van Dooren, De Bock, Hessels, Janssens, & Verschaffel, 2005), en (3) wiskundespecifieke kenmerken van het domein waarin het fenomeen zich voordoet (De Bock, Van Dooren, Janssens, & Verschaffel, 2008). Ook in de geschiedenis van de fysica, en in de fysicadidactische literatuur, wordt sporadisch melding gemaakt van fouten die gekenschetst kunnen worden als onterecht lineair redeneren – meestal in de marge van studies met een andere inhoudelijke focus – maar tot op heden werden deze fouten niet op een systematische, empirische wijze onderzocht. Bovendien worden deze fouten in de literatuur meestal domeinspecifiek geduid, terwijl wij het onterecht lineair redeneren zien als een element dat over verschillende fysicadomeinen heen speelt. Wij hopen met onze studie te wijzen op een leemte in de fysicadidactische literatuur die niet enkel van theoretisch belang is, maar die ook praktische consequenties heeft naar het remediëren van fouten in de fysica. 2. Theoretische en empirische achtergrond De mainstream cognitieve benaderingswijzen in de fysicadidactiek schrijven fouten, misconcepties of andere ongewenste denkbeelden toe aan mentale representaties die leerlingen ontwikkelen op basis van alledaagse ervaringen (Hashweh, 1998; Vosniadou, 2002). Deze denkbeelden over diverse fysicatopics ontstaan vaak vooraleer die topics in het formele fysicaonderwijs aan bod komen en blijken daarenboven zeer weerbarstig te zijn voor verandering door dat onderwijs (Stein, Barman, & Larrabee, 2006; Steinberg, Brown & Clement, 1990). Uiteraard leveren dergelijke cognitieve benaderingswijzen in de meeste gevallen een kader op waarin die denkbeelden adequaat geïnterpreteerd kunnen worden. Wij stellen echter dat in een aantal gevallen foutieve redeneerpatronen in de fysica ook op een andere manier geïnterpreteerd kunnen worden, met name als het kritiekloos toepassen van een eenvoudig wiskundig model – met name lineariteit – waarmee tal van fenomenen wél afdoende gemodelleerd kunnen worden en dat bovendien heel wat aandacht krijgt in het vigerende reken-/wiskundeonderwijs. We verduidelijken ons punt aan de hand van een – weliswaar onvolledig – overzicht van opvattingen over fysische fenomenen die, naar huidige wetenschappelijke inzichten incorrect zijn, en die op één of andere wijze gerelateerd kunnen worden aan een onterecht gebruik van het lineair model.

De Bock e.a.

9

Deze bijdrage werd geopend met Aristoteles’ opvatting dat de snelheid van een vallend object evenredig is met de massa van dat voorwerp. Eveneens was Aristoteles ervan overtuigd dat, voor een gegeven voorwerp, de valsnelheid constant is, hetgeen een lineair verband tussen de valhoogte en de valtijd impliceert. De onterechte lineaire assumpties van Aristoteles hielden stand tot in de renaissance toen ze op basis van Galilei’s experimenten werden weerlegd (Galilei, 1638). Ook heden ten dage vormt mechanica een domein waarin de opvattingen van leerlingen vaak eerder aansluiten bij de Aristotelische fysica en waarbij zij dus geregeld lineaire fouten maken. Een essentieel verschil met de huidige benadering is dat in de pre-Newtoniaanse fysica snelheid (in plaats van versnelling) gedacht werd evenredig te zijn met de kracht die op een bewegend voorwerp wordt uitgeoefend, een benadering die ook beter aansluit bij onze intuïtieve, alledaagse ervaringen met ‘bewegingen’. Zo stelden Stavy & Tirosh (2000) in hun onderzoek vast dat kinderen en volwassenen nog steeds geneigd zijn te denken dat de snelheid van een vallend voorwerp afhangt van de massa en dat zwaardere objecten dus sneller de grond bereiken dan lichtere (met dezelfde vorm en grootte) indien ze van dezelfde hoogte worden losgelaten. Volgens deze auteurs worden mensen beïnvloed door de (irrelevante) massa-variabele omdat ze redeneren ‘hoe zwaarder een object weegt, hoe sneller het valt’, wat in hun theoretisch kader een uiting is van de intuïtieve regel ‘meer A – meer B’. Anderson (1983) voerde met universiteitsstudenten een reeks intuïtieve fysica-experimenten uit met een hellend vlak zoals ook Galilei gebruikte om de relatie tussen valtijd en afgelegde weg te onderzoeken. In een eerste experiment dienden de studenten de tijd te voorspellen die een balletje nodig had om van hellende vlakken met verschillende hellingshoeken te rollen vóór en nadat dit fysische experiment daadwerkelijk werd uitgevoerd. Anderson concludeert dat de proefpersonen lineaire relaties veronderstellen en opleggen en dat deze neiging versterkt wordt wanneer hen gevraagd werd te antwoorden in een zogenaamde ‘factorial graph response mode’, een conditie waarin hen gevraagd werd de voorspelde tijden in grafiek te brengen. De uitvoering van het fysische experiment had een corrigerende invloed, in het bijzonder bij hellende vlakken met een grote hellingshoek. In een tweede experiment werd een massa aan een slinger vanaf een bepaalde hoogte losgelaten om een bal te treffen die daardoor op een hellend vlak werd gedreven. De studenten moesten dan voorspellen hoe ver de bal op het hellend vlak werd gedreven in functie van de massa aan de slinger en de hoogte vanwaar de slinger werd losgelaten, opnieuw vóór en nadat dit experiment werd uitgevoerd. Eens te meer toonden de resultaten een veralgemeende lineaire tendens aan: de voorspelde krommen waren ‘rechter’ dan de fysische krommen. De observatie van dit botsingsexperiment had enkel een corrigerende invloed op de helling van de krommen. Oliva (1999) interviewde vijftien- en zestienjarige leerlingen over hun kinematicaopvattingen en vroeg hen onder meer voorspellingen te doen over de valtijd van objecten. Hij stelde vast dat de meeste leerlingen dachten dat een object dat uit een venster op de tiende verdieping van een appartementsgebouw naar buiten wordt gegooid er dubbel zo

10


lang over zou doen om de grond te bereiken dan een object dat vanaf de vijfde verdieping naar buiten wordt gegooid. De weinige argumenten die werden aangehaald, waren herhalend (‘het duurt twee keer zo lang’) of erg basaal, bijvoorbeeld ‘dat is toch logisch’ of ‘dat is normaal’. Deze vaststellingen liggen in de lijn van wat De Bock et al. (2004) het intuitieve karakter van het lineair model noemden (cf. supra). De weinige leerlingen die aannamen dat de beweging versnelde, hadden het vaak moelijk om de precieze relatie tussen de variabelen tijd, afstand en snelheid te duiden en vielen uiteindelijk ook vaak terug op een lineaire tijd-afstandrelatie. In een studie over het betekenisvol leren gebruiken van vergelijkingen in de fysica door universiteitsstudenten confronteerde Sherin (1999) zijn proefpersonen met een reeks standaardopgaven uit fysicaleerboeken. In één van deze problemen liet men twee objecten vallen. De objecten hadden dezelfde vorm en grootte, maar de massa van het ene object was het dubbele van die van het andere. Luchtweerstand beïnvloedde de val van de beide objecten en bijgevolg, als ze van een voldoende grote hoogte werden losgelaten, bereikten ze allebei een constante eindsnelheid. Aan de proefpersonen werd gevraagd de eindsnelheden van beide objecten te vergelijken. Om dit probleem op te lossen, dienden zij met twee krachten die in dezelfde richting maar in tegengestelde zin op de objecten inwerken rekening te houden: de zwaartekracht en de luchtweerstand. Voor de grootte van de zwaartekracht kenden alle studenten een formule F z = mg , maar een uitdrukking voor de luchtweerstand was hen niet bekend, wat hen ertoe verplichtte zelf een formule te construeren. De ‘correcte’ formule relateert de grootte van deze kracht aan het kwadraat van de snelheid van het vallend object F lucht = kv 2 , maar over het algemeen relateerden de studenten in deze studie de grootte van deze kracht (lineair) proportioneel aan de snelheid F lucht = kv . Typische motivaties weerspiegelden het correcte inzicht dat de luchtweerstand toeneemt met de snelheid; ‘ze wordt groter als de snelheid toeneemt omdat het object meer luchtatomen treft’, ‘hoe groter de snelheid, hoe groter de luchtweerstand’. Deze rechtvaardigingen houden echter geen kwantificering in, maar blijkbaar identificeerden deze studenten ‘toename’ met ‘proportionele toename’ (zie in dit verband ook De Bock et al., 2004). Sherin (1999) verklaart deze tendens in termen van een conceptueel schema geassocieerd met de prop+ (‘proportionality plus’) vorm, verwijzend naar het feit dat het relevante symbool in de teller van een breuk staat, onafhankelijk van de macht waartoe dit symbool wordt verheven. Analoog is er de prop- (‘proportionality minus’) vorm waarmee gespecificeerd wordt dat een symbool in de noemer van een breuk moet staan wanneer studenten willen kwantificeren dat een grootheid afneemt wanneer een andere toeneemt. Exemplarische uitingen van onterechte lineaire redeneringen werden ook teruggevonden in andere fysicadomeinen zoals de warmteleer en de hydrostatica (zie bijvoorbeeld Anderson, 1979; Avrams, 1989; Strauss & Stavy, 1982). Zoals eerder vermeld, bestond er tot op heden echter geen systematisch empirisch onderzoek over dit fenomeen in het fysicaonderwijs. Meer algemeen stelt Oliva (1999) dat fysica-didactici de concepties van

De Bock e.a.

11

leerlingen gewoonlijk relateren aan specifieke taak- en contextkenmerken en minder vaak op zoek gaan naar regelmaat en patronen over verschillende deelgebieden van de fysica heen. Onderhavig verkennend onderzoek werd wel vanuit een dergelijk comprehensief perspectief geconcipieerd. 3. Onderzoeksvragen en methode Het onderzoek had tot doel na te gaan: (1) hoe sterk de neiging is tot onterecht lineair redeneren bij Vlaamse leerlingen van het secundair onderwijs wanneer zij geconfronteerd worden met probleemsituaties uit diverse domeinen van de fysica, (2) of het volgen van fysicaonderwijs bijdraagt tot het doorbreken van deze tendens, en (3) wat de invloed is van een specifieke formuleringswijze van de probleemsituaties. Om deze onderzoeksvragen te beantwoorden, werden twee meerkeuzetoetsen ontwikkeld met probleemsituaties uit vier verschillende fysicacontexten: uitrekking van een veer, hydrostatische druk, de wet van Archimedes en kinematica. De contexten behoren tot het Vlaamse fysicacurriculum voor de tweede graad van het secundair onderwijs (veertien- en zestienjarigen) en binnen eenzelfde context kunnen zowel lineaire als niet-lineaire verbanden worden geformuleerd. Om de kwaliteit van de toetsen vast te stellen werd een eerste versie van de toetsen afgenomen van zowel een klas dertien- en veertienjarigen als van een klas zestien- en zeventienjarigen en werden nadien ook enkele leerlingen uit deze groepen individueel geïnterviewd om hun interpretaties en oplossingswijzen van de toetsitems te peilen. Bovendien werd aan fysicadidactici van onze universiteit gevraagd commentaar te geven op de inhoud en de presentatie van de items. Op basis van de resultaten van de try-out en van de ontvangen feedback van de fysicadidactici werden definitieve versies van de toetsen geconstrueerd en achtereenvolgens collectief afgenomen bij een representatieve groep van dertien- en veertienjarige (n = 121) en zestien- en zeventienjarige (n = 137) leerlingen van het algemeen secundair onderwijs. Wij selecteerden deze twee leeftijdsgroepen voor het meten van de invloed van het fysicaonderwijs (onderzoeksvraag 3): enkel de tweede groep genoot reeds formeel onderwijs over deze fysicacontexten. Hoewel de contexten dus nog niet formeel werden onderwezen aan de dertien- en veertienjarigen, gaat het wel om situaties die voldoende dicht bij alledaagse ervaringen staan zodat men er vanuit mag gaan dat ook deze leerlingen er minstens enige intuitieve kennis van hebben. Dat laatste werd ook bevestigd door de try-out van de eerste toetsversies. Via de eerste meerkeuzetoets werd nagegaan in welke mate de leerlingen een goed kwalitatief inzicht hebben in de vier aangehaalde fysicacontexten. Per context werden de leerlingen met één lineair en één niet-lineair item geconfronteerd. Om te vermijden dat de leerlingen de onderzoeksopzet al te makkelijk zouden kunnen achterhalen, werd ook een aantal bufferitems ingelast. Om volgorde-effecten te neutraliseren kregen de leerlingen de toetsitems in verschillende volgorden aangeboden. Van de tweede toets werden twee versies aangeboden (elke versie gerandomiseerd aan de helft van de deelnemende leerlingen). In de eerste versie werden de probleemsituaties van de eerste meerkeuzetoets in

12


een ontbrekende-waarde-structuur geformuleerd (dit is een format waarin drie getallen gegeven zijn en de leerling een vierde, ontbrekend getal moet bepalen, bijvoorbeeld: men stelt dat op een zekere diepte de hydrostatische druk in een meer met 300 miljoen liter water 200 000 Pascal bedraagt en vraagt de hydrostatische druk te bepalen op eenzelfde diepte, maar in een meer met 900 miljoen liter water). Uit onderzoek binnen wiskunde weten we dat een ontbrekende-waarde-structuur leerlingen er sterk toe aanzet lineair te redeneren (De Bock, Verschaffel, & Janssens, 2002). In een tweede versie werden dezelfde vraagstukken als vergelijkingsopgaven aangeboden (er werd bijvoorbeeld gevraagd naar de hydrostatische druk op eenzelfde diepte in een meer dat ‘drie keer zoveel water bevat’), een format waarvan onderzoek binnen wiskunde heeft aangetoond dat het leerlingen er aanzienlijk minder toe aanzet om lineair te kwantificeren (De Bock et al., 2002). In een appendix geven we een voorbeeld van zowel een lineaire als een nietlineaire probleemsituatie voor één van de vier gebruikte fysicacontexten (kinematica) zoals die in de eerste en in de twee versies van de tweede meerkeuzetoets voorkwamen. In het voorbeeld waarbij een keitje wordt losgelaten vanaf een toren is de luchtweerstand verwaarloosbaar klein, zodat de afgelegde weg evenredig is met het kwadraat van de valtijd (niet-lineaire probleemsituatie), terwijl de valsnelheid evenredig is met de valtijd (lineaire probleemsituatie). De antwoorden van de leerlingen op beide toetsen werden geanalyseerd via twee logistische regressie-analyses voor elk van de vier contexten. Via logistische regressie-analyse wordt nagegaan of er samenhang is tussen één dichotome afhankelijke variabele en een aantal onafhankelijke variabelen, de voorspellers. De twee regressie-analyses werden voor de vier contexten afzonderlijk uitgevoerd, omdat een voorafgaande analyse van de data op descriptief niveau had uitgewezen dat de resultaten voor de vier contexten sterk van elkaar verschilden. In de eerste analyse werd het voorkomen van een correct antwoord voorspeld op basis van ‘Item type’ (kwalitatieve items, kwantitatieve items in ontbrekende-waarde structuur en kwantitatieve items in vergelijkingsstructuur), ‘Lineariteit’ (lineaire versus niet-lineaire items) en ‘Leeftijd’ (dertien- en veertienjarigen en zestien- en zeventienjarigen). In de tweede analyse werd het voorkomen van een lineair antwoord voorspeld op basis van ‘Item type’ en ‘Leeftijd’, maar aangezien het label ‘lineair antwoord’ geen betekenis heeft voor de kwalitatieve items van de eerste toets, werden enkel de kwantitatieve items van de tweede toets in deze tweede analyse betrokken. 4. Resultaten Tabel 1 geeft een overzicht van de percentages correcte antwoorden voor elk van de vier contexten (uitrekking van een veer, hydrostatische druk, de wet van Archimedes en kinematica) in functie van ‘Item type’ (kwalitatieve items, kwantitatieve items in ontbrekendewaarde-structuur en kwantitatieve items in vergelijkingsstructuur), ‘Lineariteit’ (lineaire versus niet-lineaire items) en ‘Leeftijd’ (dertien- en veertienjarigen en zestien- en zeventienjarigen).

De Bock e.a.

13

Tabel 1. Percentage correcte antwoorden voor elk van de vier contexten in functie van ‘Item type’ (kwalitatieve items, kwantitatieve items in ontbrekende-waarde structuur en kwantitatieve items in vergelijkingsstructuur), ‘Lineariteit’ (lineaire versus niet-lineaire items) en ‘Leeftijd’ (dertien- en veertienjarigen en zestien- en zeventienjarigen). Item type context

kwal.

kwan. o.-w.

kwan. v.

Lineariteit

Leeftijd

lin.

dertien-viertien

n. lin.

vijftien-zestien

Veer

90

54

48

80

61

67

74

Hydro

78

70

69

85

63

66

81

Archimedes

40

41

39

59

20

35

44

Kinematica

79

70

69

53

70

57

66

De eerste logistische regressie-analyse toonde een significante invloed aan van ‘Item type’ voor drie van de vier contexten: uitrekking van een veer, hydrostatische druk en kinematica (p < .01) en voor elk van deze contexten werden de kwalitatieve items significant beter beantwoord dan de kwantitatieve. Voor de context van de wet van Archimedes werd geen significante invloed van ‘Item type’ vastgesteld (en lagen de percentages van correcte antwoorden voor elk van de drie itemtypes rond 40%). Het beperkt (zelfs kwalitatief) inzicht van de leerlingen in de wet van Archimedes heeft allicht te maken met de complexiteit van deze wet: het is niet zomaar meteen duidelijk dat de Archimedeskracht enkel wordt bepaald door de massadichtheid van de vloeistof en het volume van het voorwerp dat er wordt in ondergedompeld. Bovendien is deze kracht niet ‘rechtstreeks’ waarneembaar, bijvoorbeeld bij het nemen van een bad. Wat we dan voelen is ‘een verschil’, het verschil tussen ons ‘gewicht’ in en uit het water (Mullet, 1988). De eerste logistische regressie-analyse toonde ook aan dat de lineaire opgaven significant beter werden beantwoord dan de niet-lineaire voor de contexten uitrekking van een veer, hydrostatische druk, de wet van Archimedes (p < .01). Voor de kinematicacontext was dit echter net omgekeerd (p < .01), wellicht omdat de lineaire opgave verwees naar de (intuïtief moeilijk te vatten) tijd-snelheidrelatie van een vallend voorwerp. Omdat fouten op niet-lineaire opgaven niet noodzakelijk altijd toeschrijfbaar zijn aan onterecht lineair redeneren – een leerling kan bijvoorbeeld ook vastlopen bij het uitvoeren van een, in vergelijking met een lineaire redenering relatief complexere, niet-lineaire redenering – en omdat bij meerkeuzetoetsen geen informatie beschikbaar is over hoe een antwoord tot stand kwam, leveren de in het algemeen slechtere prestaties van de leerlingen op de nietlineaire opgaven slechts een indirecte indicatie op voor de tendens tot onterecht lineair redeneren in fysica. De eerste regressie-analyse toonde tenslotte ook aan dat in elk van de vier contexten de zestien- en zeventienjarigen significant beter presteerden dan de dertien- en veertienjarigen (p < .05). Het fysicaonderwijs dat de leerlingen genoten, blijkt dus een (gematigd)

14


positief effect te hebben op het inzicht van de leerlingen in de betrokken contexten. De tweede regressie-analyse toonde aan dat de dertien- en veertienjarigen meer lineaire antwoorden gaven dan de zestien- en zeventienjarigen in de contexten hydrostatische druk (p < .01; 55% tegenover 46%) en kinematica (p < .05; 48% tegenover 32%). Voor de twee andere contexten werd geen significant verband vastgesteld tussen het voorkomen van een lineair antwoord en de leeftijd van de leerlingen. De mate waarin het fysicaonderwijs erin slaagt de tendens tot (onterecht) lineair redeneren te doorbreken, lijkt dus contextafhankelijk te zijn. Tenslotte, in tegenstelling tot onze verwachting op basis van de wiskundedidactische literatuur (zie boven), wees de tweede regressieanalyse ook uit dat enkel in de context van de wet van Archimedes de leerlingen significant meer lineaire antwoorden gaven op de ontbrekende-waarde-opgaven dan op de vergelijkingsopgaven (p < .01; 48% tegenover 25%). Dit resultaat wijst erop dat de leerlingen het lineair model niet zomaar toepasten op basis van linguïstische kenmerken van een formuleringswijze, maar wel degelijk rekening hielden met de betekenis van de begrippen. 5. Discussie Algemeen gesproken gaven de resultaten een ambivalent beeld van de neiging tot onterecht lineair redeneren bij het oplossen van fysicavraagstukken door leerlingen van het secundair onderwijs. Hoewel lineair redeneren vaak als ‘default strategie’ wordt gebruikt in niet-lineaire contexten en mogelijk ook lineaire contexten, zelfs nadat de betreffende contexten in de fysicales aan bod kwamen, suggereert dit verkennend onderzoek dat de mentale voorstellingen die leerlingen hebben over fysicafenomenen meer contextafhankelijk zijn dan men op grond van gelijkaardig wiskundedidactisch onderzoek zou verwacht hebben. De fysicacontext – en bijvoorbeeld niet de wijze waarop een vraagstuk geformuleerd wordt – kan leerlingen behoeden voor het maken van lineaire fouten, een bevinding die ook vanuit wiskundedidactisch standpunt niet onbelangrijk is. Toekomstig onderzoek naar lineair redeneren in fysica kan het belang van mentale voorstellingen en de bijbehorende natuurkundige theorie verder ontrafelen. Hoewel we met de onderhavige studie een eerste aanzet gaven tot het beter begrijpen van het onterecht lineair redeneren in fysica, heeft zij ook heel wat beperkingen, niet in het minst omdat de data enkel werden verzameld via collectief afgenomen meerkeuzetoetsen (cf. infra). Meer procesmatig onderzoek, bijvoorbeeld via het gebruik van open vragen of de afname van individuele interviews, zou ongetwijfeld kwalitatief rijkere data opleveren, bijvoorbeeld over de aard van de fouten die de leerlingen maken en over de relatie tussen onterecht lineair redeneren en meer vakspecifieke misconcepties. Een ander aspect waarop verder trans- of interdisciplinair onderzoek een licht zou kunnen werpen, is de verschillende houding ten aanzien van lineariteit in de vakgebieden wiskunde en fysica. In de fysica is het strikt genomen moeilijk om te spreken over ‘onterecht lineair redeneren’ omdat lineaire en niet-lineaire modellen er altijd een benadering

De Bock e.a.

15

van de werkelijkheid zijn, en die benaderingen meer of minder geschikt kunnen zijn in een bepaalde situatie. In die zin is lineair redeneren niet zozeer fout, maar in vele gevallen wel onvoldoende nauwkeurig. Daarbij geldt voor tal van verschijnselen dat zij onder bepaalde omstandigheden of bij bepaalde parameters (bij benadering) lineair zijn, terwijl dat onder andere omstandigheden en bij andere parameters niet het geval is. Of in een bepaalde situatie wel of niet lineair geredeneerd mag worden, hangt dus af van een daarover eventueel gemaakte inschatting. Een belangrijke onderzoeksvraag is dus niet zozeer hoe het onderwijs de leerlingen kan behoeden voor onterecht lineair redeneren in fysica, maar eerder hoe het onderwijs het redeneerrepertoire van leerlingen kan uitbreiden met nietlineaire redeneringen en hoe het onderwijs hen kan uitdagen deze meer complexe redeneervormen adequaat in te zetten. English summary A vast amount of research in mathematics education has shown that students of different ages have a strong tendency to apply linear or proportional models anywhere. Now and then, science educators report students’ tendency to assume and impose linear relations in physics, but – as far as we know – no substantial efforts were undertaken to study this phenomenon systematically. To fill up this hiatus in the science education literature, we conducted an empirical investigation aimed at identifying the competence of 8th- and 11thgraders – before and after being taught the relevant physical topics – to qualitatively grasp situations in physics, as well as their tendency to quantify that qualitative insight linearly. The results provide an ambivalent picture of students’ overuse of linearity in physics: Although linear reasoning is sometimes used as a default strategy, this study also indicates that in physics the context is taken more into account than is suggested by research on mathematical problem solving. Noten 1. Dit onderzoek werd deels gefinancierd door de onderzoekstoelage GOA 2006/01 ‘Developing adaptive expertise in mathematics education’ van het Onderzoeksfonds van de Katholieke Universiteit Leuven. 2. De auteurs bedanken Marc Beddegenoodts voor zijn hulp bij de selectie van de fysicacontexten en voor zijn feedback bij de eerste versie van de toetsen. Literatuur Andersson, B. (1979). Some aspects of children’s understanding of boiling points. In W. F. Archenhold, R. H. Driver, A. Orton & C. Wood-Robinson (Eds.), Cognitive development research in science and mathematics (pp. 252-260). Leeds, England: University of Leeds.

16


Anderson, N. H. (1983). Intuitive physics: Understanding and learning of physical relations. In T. J. Tighe & B. E. Shepp (Eds.), Perception, cognition and development: Interactional analyses (pp. 231-265). Mahwah NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Avrams, R. (1989). Development and evaluation of microcomputer-based diagnosis system. Unpublished master's thesis, Tel Aviv University, Tel Aviv, Israel. (in Hebrew) De Bock, D., Verschaffel, L., & Janssens, D. (2002). The effects of different problem presentations and formulations on the illusion of linearity in secondary school students. Mathematical Thinking and Learning, 4(1), 65-89. De Bock, D., Van Dooren, W., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2002). Improper use of linear reasoning: An in-depth study of the nature and the irresistibility of secondary school students’ errors. Educational Studies in Mathematics, 50, 311-334. Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics. Dordrecht: Reidel. Galilei, G. (1638). Discorsi e dimostrazioni matematiche intorna a due nuove scienze: 1954, Dialogues concerning two new sciences. New York: Dover. Garuti, R., Boero, P., & Chiappini, G. (1999). Bringing the voice of Plato in the classroom to detect and overcome conceptual mistakes. In O. Zaslavsky (Ed.), Proceedings of the 23rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 9-16), Haifa, Israel. Gillard, E., Van Dooren, W., Schaeken, W., & Verschaffel, L. (2009). The overuse of proportionality as a heuristic based process. Experimental Psychology, 56(2), 92-99. Hashweh, M. (1988). Descriptive studies of students’ conceptions in science. Journal of Research in Science Teaching, 25(2), 121-134. Mullet, E. (1988). Archimedes’ effect, information integration and individual differences. International Journal of Science Education, 10(3), 285-301. Oliva, J. Ma. (1999). Structural patterns in students’ conceptions in mechanics. International Journal of Science Education, 21(9), 903-920. Sherin, B. (1999, March). Common sense clarified: Intuitive knowledge and its role in physics expertise. Paper presented at the Annual Meeting of the National Association for Research in Science Teaching, Boston, NA, US. Stavy, R., & Tirosh, D. (2000). How students (mis-)understand science and mathematics. Intuitive rules. New York: Teachers College Press. Stein, M., Barman, C. R., & Larrabee, T. (2006). What are they thinking? The development of an instrument that identifies common science misconceptions. Journal of Science Teacher Education, 18(2), 233-242. Steinberg, M. S., Brown, D. E., & Clement, J. (1990). Genius is not immune to persistent misconception: Conceptual difficulties impeding Isaac Newton. International Journal of Science Education, 12(3), 265-273. Strauss, S., & Stavy, R. (1982). U-shaped behavioral growth: Implications for theories of development. In W. W. Hartup (Ed.), Review of child development research (pp. 547599). Chicago: University of Chicago Press.

De Bock e.a.

17

Van Dooren, W., De Bock, D., Depaepe, F., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2003). The illusion of linearity: Expanding the evidence towards probabilistic reasoning. Educational Studies in Mathematics, 53, 113-138. Van Dooren, W., De Bock, D., Hessels, A., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2005). Not everything is proportional: Effects of age and problem type on propensities for overgeneralization. Cognition and Instruction, 23(1), 57-86. Van Dooren, W., De Bock, D., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2008). The linear imperative: An inventory and conceptual analysis of students’ over-use of linearity. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 311-342. Verschaffel, L., De Corte, E., & Lasure, S. (1994). Realistic considerations in mathematical modelling of school arithmetic word problems. Learning and Instruction, 4, 273294. Vosniadou, S. (2002). On the Nature of Naive Physics In M. Limon and L. Mason (Eds.), Reconsidering the Processes of Conceptual Change. Kluwer Academic Publishers, 61-76.

18


APPENDIX Experimentele probleemsituaties uit de kinematicacontext in de verschillende toetsversies Eerste meerkeuzetoets Lineaire probleemsituatie Tine en Jeroen doen een experimentje. Tine staat boven op de Onze-Lieve-Vrouwetoren in Antwerpen. Ze laat daar een keitje vallen. Kort nadat Tine het keitje heeft losgelaten, meet Jeroen de snelheid ervan. Even later heeft het keitje de grond nog niet bereikt. Jeroen meet de snelheid van het keitje opnieuw. Op dat moment is de snelheid: – kleiner – hetzelfde – groter. Niet-lineaire probleemsituatie Tine en Jeroen doen een experimentje. Tine staat boven op de Onze-Lieve-Vrouwetoren in Antwerpen. Ze laat daar een keitje vallen. Kort nadat Tine het keitje heeft losgelaten, meet Jeroen de afstand die het al heeft afgelegd. Even later heeft het keitje de grond nog niet bereikt. Jeroen meet opnieuw de totale afstand die het keitje al heeft afgelegd. Op dat moment is de afgelegde weg: – kleiner – hetzelfde – groter. Tweede meerkeuzetoets, versie 1 Lineaire probleemsituatie Gerda en Koen doen een experimentje. Gerda staat boven op de Onze-Lieve-Vrouwetoren in Antwerpen. Zij laat daar een keitje vallen. Twee seconden na vertrek meet Koen de snelheid van het keitje. Die is 20 meter per seconde. Vier seconden na vertrek heeft het keitje de grond nog niet bereikt. Koen meet de snelheid van het keitje opnieuw. Op dat moment is de snelheid: – 20 meter per seconde – 40 meter per seconde – geen van bovenstaande mogelijkheden. Niet-lineaire probleemsituatie Gerda en Koen doen een experimentje. Gerda staat boven op de Onze-Lieve-Vrouwetoren in Antwerpen. Zij laat daar een keitje vallen. Eén seconde na vertrek meet Koen de

De Bock e.a.

19

afstand die het keitje al heeft afgelegd. De afgelegde weg is dan 5 meter. Drie seconden na vertrek heeft het keitje de grond nog niet bereikt. Koen meet opnieuw de totale afstand die het keitje al heeft afgelegd. Op dat moment is de afgelegde weg: – 5 meter – 15 meter – geen van bovenstaande mogelijkheden. Tweede meerkeuzetoets, versie 2 Lineaire probleemsituatie Joke en Wim doen een experimentje. Joke staat boven op de Onze-Lieve-Vrouwetoren in Antwerpen. Ze laat daar een keitje vallen. Twee seconden na vertrek meet Wim de snelheid van het keitje. Vier seconden na vertrek heeft het keitje de grond nog niet bereikt. Wim meet de snelheid van het keitje opnieuw. Op dat moment is de snelheid: – hetzelfde – twee keer zo groot – geen van bovenstaande mogelijkheden. Niet-lineaire probleemsituatie Joke en Wim doen een experimentje. Joke staat boven op de Onze-Lieve-Vrouwetoren in Antwerpen. Ze laat daar een keitje vallen. Eén seconde na vertrek meet Wim de afstand die het keitje al heeft afgelegd. Drie seconden na vertrek heeft het keitje de grond nog niet bereikt. Wim meet opnieuw de totale afstand die het keitje al heeft afgelegd. Op dat moment is de afgelegde weg: – hetzelfde – drie keer zo groot – geen van bovenstaande mogelijkheden.

20



21

Over rekenen, doen en weten De ontwikkeling van schoolse, impliciete en expliciete kennis over beweging op een hellend vlak Wim Van Dooren Katholieke Universiteit Leuven, België Mirjam Ebersbach Universiteit Halle-Wittenberg, Duitsland Lieven Verschaffel Katholieke Universiteit Leuven, België Theoretische en empirische achtergrond Intuïtieve fysica Onderzoek heeft aangetoond dat leerlingen – reeds voor ze formeel natuurkundeonderwijs kregen – al heel wat kennis over de fysische wereld rondom zich hebben opgedaan. Deze kennis wordt aangeduid met termen als ‘intuïtieve fysica’, ‘common sense beliefs’, of ‘preconcepties’, en ontstaat vaak op vroege leeftijd (voor een uitvoerig overzicht, zie Duit, 2009). Ze is gebaseerd op onze interacties met de fysische wereld. Sommige auteurs nemen aan dat deze vroege fysische kennis erg gefragmenteerd is (diSessa, 1993), terwijl anderen aannemen dat ze veeleer als een theorie is georganiseerd (Vosnidaou, 1994). In nogal wat gevallen is de intuïtieve fysische kennis in overeenstemming met de aanvaarde fysische wetten (Clement, Brown, & Zietsman, 1989). In die zin is de intuïtieve fysische kennis erg nuttig, en kan ze het vertrekpunt vormen voor het natuurkundeonderwijs. Peuters houden bijvoorbeeld vaak al correct rekening met de afstand, massa en hoek bij het gooien van voorwerpen (Krist, Fieberg, & Wilkening, 1993) en ze hebben al enig inzicht in het functionele verband tussen de snelheid, afstand en tijd bij bewegingen aan een constante snelheid (Wilkening, 1981). In andere gevallen zijn de inzichten die mensen (kinderen en volwassenen, maar soms ook experts) etaleren tegengesteld aan de fysische wetten. Die ideeën kunnen dan erg resistent zijn voor verandering, zelfs in het licht van duidelijke tegenevidentie. Een gekend voorbeeld is de verwachting dat een voorwerp dat men vanuit een vliegtuig laat vallen in rechte lijn naar beneden valt in plaats van een parabolisch pad te volgen (McCloskey, 1983). Ook in die gevallen zal het natuurkundeonderwijs moeten vertrekken van deze ideeën, omdat ze het fundament zullen zijn waarop het formele onderwijs bewust of onbewust voortbouwt (diSessa, 1993). Wanneer intuïtieve ideeën niet in lijn zijn met aanvaarde fysische wetten, dan kunnen ze een obstakel vormen voor het verwerven

22

Over rekenen, doen en weten

van de correcte kennis, en kunnen misvattingen ontstaan die zelfs blijven werken na het natuurkundeonderwijs (Vosniadou, 1994). In deze studie gingen we na welk inzicht leerlingen hebben in de eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging, meer bepaald de beweging van voorwerpen op een hellend vlak. Vroeger onderzoek in dit gebied heeft zowel gewezen op correcte als op incorrecte intuïtieve ideeën bij leerlingen van diverse leeftijden. Een eerste aspect van de beweging op een hellend vlak is dat rollende voorwerpen versnellen. Onderzoek heeft aangetoond dat peuters al verrast waren wanneer een voorwerp dat van een hellend vlak rolt niet versnelde maar vertraagde (Kim & Spelke, 1992), en wanneer peuters een voorwerp in vrije val bekeken, dan besteedden ze hier meer aandacht aan wanneer het voorwerp viel met constante snelheid dan wanneer het versnelde (Friedman, 2002). Ook volwassenen hebben productieve ideeën over de eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging. Ze kunnen op correcte wijze rekening houden met de afstand en de hellingsgraad van een hellend vlak, wanneer ze schattingen moeten maken van de tijd die een voorwerp nodig heeft om van een hellend vlak te rollen (Anderson, 1983). Anderzijds maken mensen ook heel wat fouten in situaties over de eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging. Zo toonde Suarez (1977) aan dat adolescenten vaak uitgaan van een lineair verband tussen reistijd en afgelegde weg bij bewegingen op een hellend vlak. Een andere courante fout bij kinderen en volwassenen is dat ze geneigd zijn te denken dat de snelheid van een vallend voorwerp afhangt van de massa en dat zwaardere objecten dus sneller de grond bereiken dan lichtere, indien ze van eenzelfde hoogte vallen (bijvoorbeeld Tirosh & Stavy, 2000). Er lijkt dus een grote discrepantie te bestaan tussen de – vaak accurate – voorschoolse fysicakennis die mensen etaleren enerzijds, en de fouten die ze maken in vergelijkbare fysische situaties anderzijds. Een mogelijke verklaring voor deze discrepanties kan liggen in de verschillende soorten taken die in onderzoek gebruikt worden, en de kennisrepresentaties die door deze taken werden uitgelokt (bijvoorbeeld Krist, Fieberg, & Wilkening, 1993). Ook de omstandigheden waarin die taken worden aangeboden (een alledaagse situatie, een toets op school, een opdracht in een labo) en de impliciete verwachtingen die in die omstandigheden gelden, kunnen een invloed hebben op de ideeën die worden aangewend bij het oplossen. Een veelgemaakt onderscheid in de literatuur is dat tussen impliciete en expliciete kennis (bijvoorbeeld Dienes & Perner, 1999). Hoewel het onderscheid tussen beide in de praktijk vaak niet strikt te maken valt, kan er wel een conceptueel verschil worden gemaakt in de manier waarop deze verworven worden, en wordt er in de literatuur van uitgegaan dat bepaalde taken meer de ene of de andere kennisrepresentatie uitlokken. Impliciete kennis wordt dan verworven door (buitenschoolse) ervaringen, terwijl er geen intentie aanwezig is om te leren. Dit soort kennis blijft grotendeels onbewust, en is moeilijk verbaal uit te drukken. De kennis komt vaak wel tot uiting in de handelingen die een individu stelt, of in de (snelle) beslissingen die het neemt. Metingen van impliciete kennis gebeuren daarom vaak via indirecte methoden zoals het uitvoeren van handelingen, of

Van Dooren e.a.

23

het registreren van de tijd waarin iemand een situatie bekijkt (Kim & Spelke, 1992). Expliciete kennis daarentegen wordt vooral verworven tijdens formeel onderwijs, is bewust toegankelijk en kan verbaal uitgedrukt worden, bijvoorbeeld als antwoord op een verbale vraag (Proffitt, Kaiser, & Whelan, 1990) of tijdens het uitvoeren van berekeningen (Suarez, 1977). In taken waar de expliciete kennis gepeild wordt werden vaker hardnekkige foutieve ideeën vastgesteld, terwijl taken die impliciete kennis peilen vaak betere prestaties genereren (Anderson, 1983). Het omgekeerde is echter ook mogelijk: Halloun & Hestenes (1985) stelden vast dat studenten de Newtoniaanse wetten wel mondeling konden expliciteren, maar ze niet in een specifiek probleem konden toepassen. Onterecht lineair redeneren in de wiskunde De ideeën van leerlingen over de beweging op een hellend vlak kunnen in verband worden gebracht met een wiskundedidactische onderzoekslijn die de laatste jaren werd ontwikkeld, namelijk over de neiging om lineariteit toe te passen in situaties waar dit niet terecht is. Eerder onderzoek heeft aangetoond dat onterecht lineair redeneren voorkomt in diverse gebieden van de wiskunde, zoals elementaire rekenvraagstukken, meetkunde, calculus, of kansrekening (Van Dooren, De Bock, Janssens, & Verschaffel, 2008), en zowel bij erg jonge leerlingen als bij volwassen wiskunde-experts. Veel leerlingen in het secundair onderwijs denken bijvoorbeeld dat de oppervlakte van een figuur drie keer vergroot als de zijden van de figuur drie keer langer worden (De Bock, Van Dooren, Janssens, & Verschaffel, 2007), of dat de kans om een zes te gooien verdubbelt als het aantal dobbelsteenworpen verdubbelt (Van Dooren, De Bock, Depaepe, Janssens, & Verschaffel, 2003). Opvallend is dat onterecht lineair redeneren in de wiskunde al voorkomt in de eerste jaren van het basisonderwijs, maar dat het daarna drastisch toeneemt met de aandacht die het onderwijs aan lineair redeneren besteedt (voornamelijk in het vijfde en zesde leerjaar van het basisonderwijs), waarna het weer enigszins afneemt maar niet verdwijnt (Van Dooren, De Bock, Janssens, & Verschaffel, 2005). Verder werd al aangetoond dat onterecht lineair redeneren afhangt van het type taak: er worden veel meer lineaire fouten gemaakt op taken die worden aangeboden in de typische schoolse setting van het beantwoorden van een reeks vraagstukken in een wiskundetoets, en veel minder op taken die zijn ingebed in een authentiekere setting waarin een betekenisvolle handeling moet worden gesteld (Van Dooren, De Bock, Janssens, & Verschaffel, 2007). Er kan dus in dit geval moeilijk worden gesproken van ‘misvattingen’ in de strikte zin van het woord: in bepaalde omstandigheden blijken leerlingen geneigd hun realiteitskennis te negeren, en los van de context een goed geautomatiseerde wiskundige formule toe te passen. Sinds kort wordt ook onderzoek gedaan naar onterecht lineair redeneren in de fysica (De Bock, Van Dooren, & Verschaffel, dit nummer). Sommige van de daar gerapporteerde fouten hebben betrekking hebben op de valbeweging (en de beweging op een hellend vlak). Zo beschouwen leerlingen de relatie tussen de valtijd en de afgelegde weg als line-

24


air wanneer ze aannemen dat de valsnelheid van een voorwerp constant is: een voorwerp dat van dubbel zo hoog valt, heeft dubbel zoveel tijd nodig om de grond te bereiken. Uiteraard is deze aanname fout, aangezien een voorwerp op een hellend vlak versnelt: er is een lineair verband tussen de snelheid en de tijd. Verder vermeldden we reeds het foutieve idee dat de snelheid van een vallend voorwerp afhangt van de massa (Tirosh & Stavy, 2000). Ook dit idee zou lineair gekwantificeerd kunnen worden: Een voorwerp dat drie keer zo zwaar is, heeft bij het vallen dan drie keer minder tijd nodig om de grond te bereiken, terwijl het in feite – bij het negeren van luchtweerstand – evenveel tijd nodig heeft als een lichter voorwerp. Beide onterechte lineaire assumpties (over het verband tussen de valtijd en de afgelegde weg, en over het verband tussen de massa en de valtijd) werden reeds gemaakt door Aristoteles. Zijn ideeën hielden stand tot in de renaissance toen ze op basis van Galilei’s experimenten werden weerlegd (Galilei, 1638). Ook nu nog wordt gerapporteerd dat leerlingen vaak een Aristoteliaanse visie op mechanica hebben en dus onterecht lineaire aannamen maken (bijvoorbeeld Champagne et al., 1980; Halloun & Hestenes, 1985; Suarez, 1977). Probleemstelling In deze studie gingen we na welk inzicht leerlingen hebben in de beweging van voorwerpen op een hellend vlak, en in welke mate leerlingen in diverse situaties geneigd zijn tot lineair redeneren. Daarbij richtten we onze aandacht specifiek op de twee aspecten die lineair redeneren zouden kunnen uitlokken, namelijk het verband tussen valtijd en afgelegde weg, en het verband tussen de valtijd en de massa van het vallende voorwerp. Een tweede belangrijk doel was om aan te tonen dat dit inzicht sterk afhangt van de manier waarop er wordt gepeild, en dat de productieve inzichten die leerlingen hebben niet steeds tot uiting komen in hun antwoordgedrag. Verschillende soorten taken kunnen immers verschillende kennisrepresentaties – en dus meer of minder onterecht lineair redeneren – uitlokken. Daarom werd in deze studie een vergelijking gemaakt tussen de prestaties op verschillende taken die betrekking hadden op dezelfde fysische principes. Aan de hand van taken die werden ontwikkeld en gevalideerd in een eerdere studie (Ebersbach, Van Dooren, & Verschaffel, in press) peilden we zowel de impliciete kennis van de deelnemers (door hen in een realistische context niet-numerieke schattingen te laten maken) als hun expliciete kennis (door hen te vragen om het fysische principe in de situatie te verwoorden). Daarnaast werd in deze studie nog een derde type taak gebruikt, die zogenaamde ‘schoolse kennis’ peilde, aangezien we uit eerder onderzoek vermoedden dat onterecht lineair redeneren vooral het resultaat is van de activering van schoolse kennis. Dit type kennis heeft kenmerken van zowel expliciete als van impliciete kennis. Wanneer leerlingen onterecht lineair redeneren, gaat het immers om een expliciet verworven oplossingsstrategie, die wordt veralgemeend naar een situatie waar ze niet van toepassing is. Deze veralgemening werd niet expliciet aangeleerd, maar is het resultaat van

Van Dooren e.a.

25

een impliciete associatie die een leerling maakt tussen kenmerken van een taak (bijvoorbeeld een vraagstuk in een toets met een specifieke formulering) en een bepaalde oplossingswijze. Zoals hierboven reeds aangegeven, is uit eerder onderzoek gebleken dat lineaire redeneringen vaak worden uitgelokt in een schoolse setting waarin bepaalde impliciete verwachtingen gelden, terwijl leerlingen in een meer authentieke situatie veel vaker correct antwoorden (Van Dooren et al., 2007). Een laatste vraag in deze studie was hoe de drie kennistypes en de neiging tot onterecht lineair redeneren evolueren met de leeftijd en onderwijservaring van leerlingen. Leerlingen van verschillende leeftijden hebben immers meer of minder ervaring met schoolse settings en de impliciete verwachtingen die daarbij gelden, en ze werden al dan niet expliciet onderwezen in de fysische principes met betrekking tot de eenparig versnelde rechtlijnige beweging. Methode In het onderzoek werden leerlingen van drie leeftijdsgroepen betrokken: een groep van achtjarige leerlingen (n = 81) die nog geen onderwijservaring hadden met lineair/proportioneel redeneren, een groep elfjarige leerlingen (n = 69) die recent veel instructie kregen in proportioneel redeneren (dit is ook de leeftijdsgroep die het meest geneigd is onterecht proportioneel te redeneren bij rekenvraagstukken in een schoolse setting, Van Dooren et al., 2005), en een groep achttienjarige leerlingen (n = 48) die enkele weken voor het onderzoek onderwezen werden over de eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging in de context van vrije val. Alle leerlingen namen achtereenvolgens deel aan drie testcondities. In elk van deze testcondities werden taken gegeven over de snelheid waarmee een voorwerp van een hellend vlak rolt (en meer bepaald of er een versnelling optreedt), en over de rol die de massa van het voorwerp speelt in deze snelheid. De manier waarop deze kennis gepeild werd, verschilde echter grondig tussen condities. We lichten elk van deze condities in meer detail toe. Schoolse conditie (S-conditie) In deze conditie kregen leerlingen tijdens een reguliere wiskundeles en van hun eigen wiskundeleerkracht een toets met vraagstukken aangepast aan het kennisniveau van de leerlingen, die handelden over diverse deelgebieden van de wiskunde. Tussen deze vraagstukken – die louter als buffervraagstukken fungeerden – zaten ook vier experimentele vraagstukken die gemeenschappelijk waren voor de drie leeftijdsgroepen. Deze vraagstukken hadden een ontbrekende-waardeformulering en handelden over contexten die verwezen naar een hellend vlak (twee over de relatie tijd/afgelegde weg, twee over de invloed van massa). Het volgende vraagstuk gaat bijvoorbeeld over de versnelling van het voorwerp tijdens het rollen:

26


‘Jan staat met zijn fiets boven aan een lange helling. Hij laat zich langs een rechte weg naar beneden rollen. Na 3 seconden is hij 9 meter ver. Hoe ver zal Jan ongeveer gerold zijn na 6 seconden?’ Het antwoord ‘18 meter’ (op basis van de redenering: na dubbel zoveel seconden is Jan dubbel zo ver) gaat uit van een constante rolsnelheid, en kan dus als het resultaat van lineair redeneren worden beschouwd. Wanneer wrijving buiten beschouwing wordt gelaten, zou het correcte antwoord zijn dat Jan 36 meter ver is, maar elk alternatief waarin een grotere afstand dan 18 meter was aangeduid, werd ook correct gerekend, aangezien leerlingen dan aangeven dat ze beseffen dat er een versnelling optreedt. Een voorbeeld van een vraagstuk over de invloed van massa is het volgende: ‘Een kolenkar met een massa van 200 kg rolt een helling af. Na 5 seconden heeft de kar een afstand van 20 meter afgelegd. Nu rolt er een kolenkar met een massa van 600 kg de helling af. Welke afstand heeft die kolenkar afgelegd na 5 seconden?’ Het correcte antwoord is 20 meter, maar leerlingen kunnen een grotere afstand aanduiden als ze denken dat de grotere massa ertoe leidt dat de kar een grotere afstand aflegt omdat ze sneller beweegt, en wanneer ze dit inzicht lineair kwantificeren (lineair sneller) zullen ze aangeven dat de kolenkar dan 60 meter heeft afgelegd (aangezien ze drie keer zwaarder is). Het aanbieden van de vraagstukken aan de leerlingen in een traditionele wiskundetoets in hun vertrouwde wiskundeklas gebeurde met de specifieke bedoeling om de ideeen te peilen die leerlingen zouden ontwikkelen in deze schoolse omstandigheden. Uit vroeger onderzoek is gebleken dat leerlingen in gelijkaardige situaties sterk geneigd zijn om lineair te redeneren. Impliciete conditie (I-conditie) In deze conditie – die twee tot drie weken na de S-conditie plaatsvond – werden leerlingen individueel in een practicumsituatie gebracht. Er stond een hellend vlak opgesteld, waarop dadelijk Lego-wagentjes zouden gaan rijden. In een eerste taak werd door de onderzoeker aangeduid waar het wagentje zich na 2 seconden ongeveer bevindt, wanneer het van boven aan de helling wordt losgelaten. Leerlingen moesten aanduiden waar het wagentje na 4 seconden ongeveer zou zijn, en vervolgens ook schattingen maken voor 6 en 8 seconden. In de tweede taak in deze conditie werd aan de leerlingen getoond waar het wagentje zich na 3 seconden ongeveer bevindt. Daarna werden twee wagentjes op elkaar gezet (om de massa te verdubbelen) en moesten de leerlingen opnieuw voorspellen waar de wagentjes zich na 3 seconden zouden bevinden. Vervolgens gebeurde hetzelfde voor drie en vier op elkaar geplaatste wagentjes. De antwoorden op de eerste taak werden gecodeerd als correct indien een duidelijke toename in de aangeduide afstanden aanwezig was, als lineair/constante snelheid wan-

Van Dooren e.a.

27

neer min of meer gelijke afstanden werden aangeduid, en als anders wanneer geen duidelijk patroon aanwezig was. Op de tweede taak werden antwoorden gecodeerd als correct indien de aangeduide afstand voor op elkaar gestapelde wagentjes gelijk was, als sneller bij een grotere afstand voor op elkaar gestapelde wagentjes, en (binnen die laatste categorie) als lineair sneller wanneer voor twee op elkaar gestapelde wagentjes een dubbel zo grote afstand werd aangeduid, enzovoort. De taken in de impliciete conditie zijn een aanpassing van taken die werden ontwikkeld en gevalideerd in een eerdere studie (Ebersbach et al., in press). Er werd verwacht dat de taken in deze conditie (in tegenstelling tot de expliciete conditie) eerder beroep zouden doen op de impliciete kennis van leerlingen. De leerlingen moesten immers geen kwantitatief antwoord geven, en de focus lag duidelijk niet op het uitvoeren van berekeningen. Leerlingen moesten in deze conditie enkel een handeling stellen, en op basis van een schatting de locatie aanduiden waar ze dachten dat een wagentje zich op een bepaald moment zou bevinden. Er werd nooit expliciet gesproken over het al dan niet versnellen, het verband tussen de tijd en de afgelegde weg, of het verband tussen de massa en de afgelegde weg. Expliciete conditie (E-conditie) In deze conditie werd leerlingen rechtstreeks gevraagd naar hun opvattingen over de manier waarop het Lego-wagentje van de helling rijdt. Leerlingen waren nog steeds in de individuele practicumsituatie, en beantwoordden de volgende twee vragen: ‘Als het wagentje straks naar beneden rijdt, gaat het dan overal even snel of niet?’ en ‘Dadelijk zullen we ook nog eens wagentjes op elkaar zetten. Denk je dat dit een invloed zal hebben op de snelheid of niet?’ Voor beide vragen werd verder doorgevraagd indien de leerling ‘ja’ antwoordde, om te achterhalen wat de leerling precies dacht. Indien een leerling op de eerste vraag antwoordde dat het wagentje overal even snel reed, werd dit antwoord als lineair gecodeerd. In het andere geval werd doorgevraagd om na te gaan of de leerling een versnelling veronderstelde (correct antwoord) dan wel een vertraging (ander antwoord). Bij de tweede vraag werd het antwoord ‘geen invloed’ als correct gecodeerd. Indien wel een invloed werd aangegeven, werd nagegaan of de leerling veronderstelde dat een voorwerp met een grotere massa sneller dan wel trager bewoog, maar er gebeurde geen verdere codering aangezien de vraagstelling niet toeliet om na te gaan of leerlingen eventueel dachten dat er een lineair verband was tussen de snelheid en de massa. Ook deze taak is een aanpassing van taken die werden ontwikkeld en gevalideerd in een eerdere studie (Ebersbach et al., in press). Het verschil met de impliciete conditie is dat hier de fysische principes expliciet ter sprake werden gebracht. De leerlingen moesten

28


zich rechtstreeks uitspreken over het eventuele verband tussen de betrokken concepten, eerder dan dit inzicht via schattingen en handelingen uit te drukken. Procedure Alle leerlingen namen deel aan de drie onderzoekscondities, in de hierboven beschreven volgorde en modaliteiten. Dit gebeurde enerzijds om praktische redenen, en anderzijds omwille van de geanticipeerde impact. We vermoedden namelijk dat in de S-conditie de meeste lineaire antwoorden zouden gegeven worden, terwijl de E-conditie de meeste correcte antwoorden zou uitlokken. Een andere volgorde in de condities zou de resultaten dan ook kunnen vertekenen door het optreden van ongewenste leereffecten. Overzicht van de resultaten Afgelegde weg in functie van tijd Tabel 1 geeft een overzicht van de antwoorden op de items over de valversnelling. Leerlingen gaven in de schoolse conditie zeer veel antwoorden waarin wordt aangenomen dat de beweging aan een constante snelheid plaatsvindt. Ze leken dus te veronderstellen dat er een lineair verband is tussen de tijd en de afgelegde weg op een hellend vlak. Over condities heen was de neiging om dit antwoord te geven het sterkst bij elfjarigen, minder sterk bij achtjarigen en nog minder (maar nog steeds duidelijk aanwezig) bij zeventienjarigen. Deze ontwikkeling liep dus gelijk met het aantal onterecht lineaire antwoorden dat gegeven wordt op diverse wiskundeproblemen (Van Dooren et al., 2005). In de andere twee onderzoekscondities werd veel minder vaak uitgegaan van een constante snelheid op het hellend vlak, maar ook hier waren nogal wat leeftijdsverschillen. Wanneer de achtjarigen de impliciete taak oplosten, gaven ze veel minder constante snelheidsantwoorden, maar dit resulteerde slechts ten dele in meer correcte antwoorden, aangezien deze leerlingen ook vaker andere (i.e. onsystematische) antwoorden gaven. In de expliciete conditie presteerden de achtjarigen niet beter dan in de impliciete conditie, en de onsystematische antwoorden in de impliciete conditie resulteerden opnieuw in antwoorden waarbij wordt uitgegaan van een constante snelheid. Bij de elfjarigen trad de grootste verbetering op doorheen de onderzoekscondities.Terwijl deze groep in de schoolse conditie nooit een correct antwoord gaf (en vrijwel alle antwoorden uitgingen van een constante snelheid), steeg het aantal correcte antwoorden (en daalde het aantal constante snelheidsantwoorden) in de impliciete conditie. Deze trend zette zich verder door in de expliciete conditie. De zeventienjarigen, ten slotte, gaven nogal wat constante snelheidsantwoordeen in de schoolse conditie, terwijl dit nauwelijks het geval was in de impliciete conditie, waar ze aanzienlijk meer correcte antwoorden geven. In de expliciete conditie was er dan weer een lichte toename in het aantal leerlingen dat dacht dat de snelheid op het hellende vlak constant is.

Van Dooren e.a.

29

Tabel 1. Overzicht van de antwoorden voor de items in verband met afgelegde weg in functie van tijd achtjarigen n = 81

elfjarigen n = 69

zeventienjarigen n = 48

Versnelling

12.4

0.0

64.6

Lineair (constante snelheid)

81.5

95.6

35.4

Anders

6.1

4.4

0.0

Versnelling

46.9

33.3

89.6


17.3

40.6

6.3

Anders

35.8

26.1

4.1

Versnelling

44.4

50.6

85.4


40.7

27.5

14.6

Anders

14.9

21.9

0.0

S-conditie

I-conditie

E-conditie

Snelheid in functie van massa Tabel 2 geeft een overzicht van de antwoorden op de items in verband met de invloed van de massa op de snelheid. Een eerste vaststelling in deze tabel is dat heel wat leerlingen veronderstelden dat een grotere massa een voorwerp sneller doet voortbewegen. Dit idee wordt dominanter met de leeftijd. Hoewel ze eerder expliciet leerden dat in situaties zonder wrijving de massa geen invloed heeft op de valsnelheid, gaven zeventienjarigen dit antwoord aanzienlijk vaker dan de achten elfjarigen. Nu is er bij beweging op een hellend vlak zoals in onze studie wel sprake van wrijving, en is het dus wel degelijk mogelijk dat een wagentje met een zwaardere massa zich sneller voortbeweegt. Maar ook in dat geval zou er nog steeds geen sprake zijn van een lineair verband tussen de massa en de afgelegde weg in dezelfde tijd. Een nadere analyse van de antwoorden die uitgaan van een grotere snelheid onder invloed van massa wijst uit dat heel wat leerlingen dit verband lineair kwantificeren. Ook hier waren verschillen tussen de onderzoekscondities, maar minder uitgesproken dan bij de items over de versnelling in functie van de tijd. De zeventienjarige leerlingen gaven iets vaker correcte antwoorden in de impliciete en expliciete conditie, en de achten elfjarige leerlingen gaven iets vaker correcte antwoorden in de expliciete conditie, maar het aantal leerlingen dat aannam dat voorwerpen met meer massa sneller bewegen, bleef

30


Tabel 2. Overzicht van de antwoorden voor de items in verband met snelheid in functie van massa achtjarigen n = 81

elfjarigen n = 69

zeventienjarigen n = 48

Constant

8.6

4.3

12.5

Sneller

70.3

76.8

83.3

73.0

91.1

71.6

Trager

21.1

18.9

4.2

Constant

1.2

4.3

22.9

Sneller

56.8

55.1

68.8

48.1

31.9

48.0

Trager

42.0

40.6

8.3

Constant

33.3

21.7

27.1

Sneller

32.1

53.6

70.8

Trager

34.6

24.7

2.1

S-conditie

Waarvan lineair sneller

I-conditie

Waarvan lineair sneller

E-conditie

sterk aanwezig. Uit een verdere analyse van de antwoorden bleek dat heel wat leerlingen die aannamen dat een grotere massa een grotere snelheid met zich meebrengt, dit inzicht ook lineair kwantificeerden: in de schoolse conditie verwees 73 tot 91% van de antwoorden die gecodeerd werden als sneller naar lineair sneller en in de impliciete conditie was dit het geval in 32 tot 48% van alle antwoorden. Verder bleek dat heel wat achten elfjarige leerlingen onverwacht aangaven dat een voorwerp met een grotere massa zich trager op het hellend vlak zou bewegen. Dit idee manifesteerde zich slechts zelden bij de zeventienjarigen. Conclusies en discussie Deze studie heeft in eerste instantie aangetoond dat leerlingen reeds op jonge leeftijd productieve ideeën kunnen ontwikkelen over de beweging op een hellend vlak. Daarnaast

Van Dooren e.a.

31

stelden we vast dat leerlingen ook geneigd zijn om onterecht lineaire verbanden te veronderstellen. Net als in eerder onderzoek over wiskundeproblemen (Van Dooren et al., 2005) evolueert deze neiging met de leeftijd: elfjarige leerlingen maken meer lineaire fouten dan achtjarigen (wellicht omwille van de aandacht voor proportioneel redeneren in de wiskundelessen in de bovenbouw van het basisonderwijs), en zeventienjarigen maken minder lineaire fouten, maar het fenomeen is geenszins verdwenen. Belangrijker is de vaststelling dat de antwoorden van leerlingen over beweging op het hellend vlak erg inconsistent zijn, en dat het antwoordgedrag sterk afhankelijk is van de omstandigheden waarin het plaatsvindt. De vraag kan gesteld worden of de kennis van de onderzochte leerlingen inconsistent is, dan wel of er überhaupt van kennis gesproken kan worden. Heel wat leerlingen in alle leeftijdsgroepen – zelfs de jongste leerlingen – geven in hun reacties aan dat voorwerpen op een hellend vlak versnellen, althans wanneer we hen er expliciet naar vragen. Ook in een practicumopstelling waarin leerlingen schattingen moeten maken, tonen velen onder hen dat ze ervan uitgaan dat voorwerpen versnellen, maar wanneer diezelfde leerlingen een toets met traditionele, schoolse wiskundevraagstukken oplossen, dan doen ze dat veel minder of zelfs helemaal niet. In die gevallen gaan ze bewust of onbewust uit van een lineair verband tussen de afgelegde weg op een hellend vlak en de tijd. Een heel ander fenomeen betrof de invloed van de massa op de snelheid van een voorwerp. De meeste leerlingen (zelfs achttienjarigen die dit in het onderwijs ontmoetten) geloven dat zwaardere voorwerpen zich sneller bewegen. Ze geven dit aan als er expliciet naar gevraagd wordt, en hun antwoorden op de vraagstukken in de wiskundetoets suggereren hetzelfde, evenals hun voorspellingen wanneer ze in een practicumopstelling schattingen moeten maken. Op zich is deze redenering niet zo vreemd. Wanneer we realistisch naar de gestelde problemen kijken en bijvoorbeeld ook de wrijving met het hellend vlak meenemen in onze redenering, dan kan het aannemelijk zijn dat zwaardere voorwerpen zich sneller op een hellend vlak bewegen. Toch blijkt dat een zeer groot deel van de leerlingen in alle leeftijdsgroepen en condities geneigd is om het verband tussen de massa en de snelheid vervolgens lineair te kwantificeren, hetgeen ook dan nog steeds inadequaat is. Tot slot werd hier onverwacht vastgesteld dat heel wat van de jongere leerlingen geloven dat voorwerpen met een grotere massa trager bewegen op een hellend vlak dan voorwerpen met een kleinere massa. Opnieuw kan bij deze leerlingen het idee van wrijving hebben meegespeeld. Dit soort onderzoek brengt redeneringen in een fysische situatie aan het licht die sterke parallellen vertonen met de neiging van leerlingen om lineaire methoden te gebruiken bij het oplossen van wiskundeproblemen. Het toont verder aan dat de kennis die we observeren bij leerlingen heel sterk afhangt van de manier waarop die kennis gemeten wordt. Vooral bij het oplossen van vraagstukken die ingebed zijn in traditionele wiskundetoetsen gaan leerlingen heel sterk uit van lineaire verbanden, terwijl ze dit minder vaak

32


doen in practicumsituaties waarin ze schattingen moeten maken, en zelfs nog minder wanneer ze zich expliciet over de fysische situatie uitspreken. Het blijkt echter dat dit effect op zijn beurt afhankelijk is van het type van fout: problemen over de toename in snelheid in functie van de tijd lijken sterk te evolueren met leeftijd en afhankelijk te zijn van het soort van taak, terwijl problemen over de invloed van massa op de snelheid veel minder evolueren met de leeftijd, en zich systematischer manifesteren in verschillende soorten taken. Uiteraard moeten de conclusies van dit onderzoek met de nodige omzichtigheid worden geïnterpreteerd. De studie is namelijk niet zonder tekortkomingen. Zo geven de gestandaardiseerde onderzoeksmethode en het beperkt aantal subjecten slechts een beperkte blik op de eigenlijke ideeën die de leerlingen in de aangeboden probleemsituaties ontwikkelden. Door het verzamelen van meer kwalitatieve data, het meer doorvragen en het langduriger volgen van leerlingen in verschillende situaties zou wellicht kunnen worden aangetoond hoe consistent de kennis is die leerlingen hebben over de beweging op het hellend vlak, en in welke mate die wordt beïnvloed door de specifieke taak en de omstandigheden waarin die taak wordt afgenomen. Men kan zich zelfs afvragen in welke mate de verschillende condities werkelijk impliciete, expliciete en schoolse kennis hebben uitgelokt, en of de verschillende kennisvormen ook niet van invloed waren in de andere condities. De verschillen in de antwoordpatronen hebben echter wel duidelijk uitgewezen dat er andere vormen van kennis werden uitgelokt in de onderzoekscondities. Verder is er een aantal moeilijkheden met de opdrachten die in dit onderzoek werden gebruikt, met name de taak in verband met de invloed van de massa op de versnelling op het hellend vlak. In een ideale situatie (valsituatie in een vacuüm) is er geen wrijving, en is er geen enkel verband tussen de massa en de snelheid van een vallend voorwerp. Op een hellend vlak in een niet-ideale situatie liggen de zaken natuurlijk anders. Onderzoek (Cahyadi & Butler, 2004) heeft immers aangetoond dat studenten bij problemen over beweging beter presteren wanneer de situatie als ideale situatie kan worden beschouwd, dan wanneer ook reële overwegingen moeten worden gemaakt. Niettemin heeft dit onderzoek aangetoond welke productieve ideeën leerlingen op relatief jonge leeftijd reeds hebben over de beweging op een hellend vlak, terwijl ze tegelijk sterk geneigd zijn om lineair te redeneren in gelijkaardige problemen die op een geheel andere manier worden aangeboden. Deze productieve ideeën kunnen het vertrekpunt vormen voor het natuurkundeonderwijs, maar ook het feit dat leerlingen – net als bij het oplossen van wiskundeproblemen – in andere situaties hun productieve ideeën aan de kant laten liggen, lijkt een belangrijke vaststelling die de nodige aandacht verdient in de onderwijspraktijk. English summary Previous research has shown that already before the start of formal physics education, students often acquire knowledge about the principles governing certain physical situati-

Van Dooren e.a.

33

ons. Moreover, the responses given by learners seem to depend strongly on the way in which this knowledge is tapped. In this paper, we investigated students’ knowledge of the motion on an inclined plane, and more specifically on the acceleration (relation distance/ time) and on the relation between the speed and the mass of an object. We specifically focused on students’ tendency to assume linear relations in these situations. A group of 8-, 11-, and 17-year olds was involved in three research conditions, that were developed to tap specifically students’ scholastic, implicit, and explicit knowledge about the same physical situations. The results showed that students of all age groups were inclined to improperly assume linear relations in the aforementioned situations. This tendency, however, was strongest in 11-year olds and weakest in 8-year olds. Moreover, substantial differences were found between the research conditions. The linear reasoning tendency was strongest in the scholastic condition, and much weaker in the tasks tapping implicit and explicit knowledge. Noot 1. Dit onderzoek werd deels gefinancierd door de onderzoekstoelage GOA 2006/01 ‘Developing adaptive expertise in mathematics education’ van het Onderzoeksfonds van de Katholieke Universiteit Leuven. De auteurs bedanken Carolien Verheyen, Dieter Coudeville en Friedel Pattyn voor hun assistentie bij het uitvoeren van dit onderzoek, en de anonieme beoordelaars voor hun behulpzame feedback op een eerdere versie van dit manuscript. Literatuur Anderson, N.H. (1983). Intuitive physics: Understanding and learning of physical relations. In T.J. Tighe and B.E. Shepp (Eds.), Perception, cognition, and development: Interactional analyses (pp. 231-265). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Cahyadi, M.V., & Butler, P.H. (2004). Undergraduate students’ understanding of falling bodies in idealized and real-world situations. Journal of Research in Science Teaching, 41, 569-583. Champagne, A.B., Klopfer, L.E., & Anderson, J.H. (1980). Factors influencing the learning of classical mechanics. American Journal of Physics, 48, 1074-1079. Clement, J., Brown, D.E., & Zietsman, A. (1989). Not all preconceptions are misconceptions: Finding ‘anchoring’ conceptions for grounding instruction on students’ intuitions. International Journal of Science Education, 11, 554-566. De Bock, D., Van Dooren, W., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2007). The illusion of linearity: From analysis to improvement (Mathematics Education Library). New York: Springer. Dienes, Z., & Perner, J. (1999) A theory of implicit and explicit knowledge. Behavioural and Brain Sciences, 22, 735-755.

34


diSessa, A. (1993). Toward an epistemology of physics. Cognition and Instruction, 10, 105-225. Duit, R. (2009). Bibliography: Students’ and Teachers’ Conceptions and Science Education. Op 19 augustus 2009 geraadpleegd op http://www.ipn.uni-kiel.de/aktuell/stcse/ download_stcse.html Ebersbach, M., Van Dooren, W., & Verschaffel, L. (in press). Comparing knowledge on accelerated movements as measured by implicit and explicit tasks in 5- to 16-yearolds. International Journal of Science and Mathematics Education. Friedman, W.J. (2002). Arrows of time in infancy: The representation of temporal-causal invariances. Cognitive Psychology, 44, 252-296. Galilei, G. (1638). Discorsi e dimostrazioni matematiche intorna a due nuove scienze: 1954, Dialogues concerning two new sciences. New York: Dover. Halloun, I.A., & Hestenes, D. (1985). Common sense concepts about motion. American Journal of Physics, 53, 1056-1065. Kim, I.K., & Spelke, E.S. (1992). Infants’ sensitivity to effects of gravity on visible object motion Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 18, 385-93. Krist, H., Fieberg, E.L., & Wilkening, F. (1993). Intuitive physics in action and judgement: The development of knowledge about projectile motion. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 19, 952-966. McCloskey, M. (1983). Naïve theories of motion. In D. Gentner & A. L. Stevens (Eds.), Mental models (pp. 299-324). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Proffitt, D.R., Kaiser, M.K., & Whelan, S.M. (1990). Understanding wheel dynamics. Cognitive Psychology, 22, 342-373. Stavy, R., & Tirosh, D. (2000). How students (mis-)understand science and mathematics. Intuitive rules. New York: Teachers College Press. Suarez, A. (1977). Die quadratische Funktion [The quadratic function]. In A. Suarez, Formales Denken und Funktionsbegriff bei Jugendlichen (pp. 93 - 121). Bern: Huber. Van Dooren, W., De Bock, D., Depaepe, F., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2003). The illusion of linearity: Expanding the evidence towards probabilistic reasoning. Educational Studies in Mathematics, 53, 113-138. Van Dooren, W., De Bock, D., Hessels, A., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2005). Not everything is proportional: Effects of age and problem type on propensities for overgeneralization. Cognition and Instruction, 23, 57-86. Van Dooren, W., De Bock, D., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2007). Students’ over-reliance on linear methods: A scholastic effect? British Journal of Educational Psychology, 77, 307-321. Van Dooren, W., De Bock, D., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2008). The linear imperative: An inventory and conceptual analysis of students’ over-use of linearity. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 311-342.

Van Dooren e.a.

35

Vosniadou, S. (1994). Capturing and modeling the process of conceptual change. Learning and Instruction, 4, 51-67. Wilkening, F. (1981). Integrating velocity, time, and distance information: A developmental study. Cognitive Psychology, 13, 231-247.

36



37

Hoe begrijpen en gebruiken docenten van de schoolvakken natuurkunde, scheikunde en economie het wiskundige concept ‘afgeleide’? Pauline Vos Universiteit van Amsterdam Nelleke den Braber Stichting Leerplan Ontwikkeling Gerrit Roorda Rijksuniversiteit Groningen Martin Goedhart Rijksuniversiteit Groningen Samenvatting Wiskundige concepten worden ingezet in niet-wiskundelessen zoals natuurkunde, scheikunde en economie; dit betekent dat deze lessen ook een leeromgeving vormen voor het leren van wiskunde. Om een beeld te krijgen van deze leeromgeving, en als bijdrage aan discussies rondom samenhangend onderwijs, hebben wij een exploratieve studie uitgevoerd naar de kennis en het gebruik van wiskundige concepten van docenten natuur-, scheikunde en economie. Het onderzoek richtte zich op het concept afgeleide, dat bij natuurkunde gebruikt wordt voor bijvoorbeeld snelheden en versnelling, bij scheikunde voor reactiesnelheid en bij economie voor marginale kosten. We splitsten docentenkennis met betrekking tot dit concept op in Content Knowledge (CK) en Pedagogical Content Knowledge (PCK) (Shulman, 1986). Tien docenten werden geïnterviewd over en getoetst op hun kennis van de afgeleide en manieren van uitleg in de klas. Het bleek dat veel wiskundekennis uit de studie weggezakt was en voor de lespraktijk als onnodig werd ervaren, en dat het repertoire van oplossingsmethoden van wiskundeproblemen beperkt was. De docenten benaderden het wiskundige concept niet vanuit de abstractie, maar zochten naar concrete betekenisgeving. In de onderwijspraktijk ontweken zij wiskundige achtergronden, technieken en verbanden, en hielden zij hun uitleg situatiegebonden. We observeerden een geringe afstemming tussen de exacte vakken, zowel in conventies van terminologie en symbolengebruik, alsmede van de curricula en van manieren van uitleg. Eén docent, een natuurkundedocent die ook wiskundeonderwijs verzorgde, vormde een uitzondering door in de klas expliciet verbindingen tussen vakken te leggen. Wij bevelen daarom meer interdisciplinaire professionalisering aan om zowel voor CK als voor PCK een betere afstemming tussen de exacte vakken te creëren.

38

Hoe begrijpen en gebruiken docenten de ‘afgeleide’

1. Inleiding In deze bijdrage van het TD-themadeel over transdisciplinair onderzoek kijken we naar natuurkunde-, scheikunde- en economieonderwijs als leeromgevingen van wiskunde. In deze vakken wordt wiskunde gebruikt voor het onderwijs van niet-wiskundige concepten. Zo steunen natuurkundige concepten als versnelling en radioactief verval, of een economisch concept als marginale kosten op de wiskundige beschrijving van ‘verandering’, waarbij door middel van differentiëren de afgeleide functie, of kortweg: de afgeleide, wordt bepaald. Leerlingen maken dus niet alleen in wiskundelessen kennis met wiskundige concepten. Een dergelijke variatie aan invalshoeken kan een verrijking voor de leerling zijn, waarbij enerzijds wiskunde haar bruikbaarheid toont voor andere disciplines, en anderzijds natuurkundige of economische contexten betekenis geven aan wiskundige concepten. Sinds Thorndike & Woodworth (1901) wordt echter geconstateerd dat wisselwerkingen tussen kennisgebieden haperen, onder andere als vakken afzonderlijk worden aangeboden: leerlingen slaan dan kennis op verschillende plaatsen in het geheugen op, hetgeen door Van Parreren (1982) is aangeduid als systeemscheiding. Hierdoor worden kennis en vaardigheden die al aan de orde zijn geweest bij wiskunde, vaak niet als zodanig ook door leerlingen herkend en ingezet in een ander schoolvak. Om effectiviteit en efficiëntie van het onderwijs te vergroten is daarom, zowel nationaal als internationaal, gepleit voor het verbeteren van samenhang tussen schoolvakken (Berlin, 1991; Reulen & Rosmalen, 2000; WRR, 1986). In Nederland kreeg deze aanbeveling vorm bij de invoering van de Basisvorming in 1993, waarbij de begrippen toepassing, vaardigheid en samenhang (TVS) centraal werden gesteld (Van Luyn, 1998). Ook in de Tweede Fase havo-vwo werd samenhang nagestreefd, enerzijds met de invoering van vier profielen (een combinatie van vakken die opleiden voor een segment in het vervolgonderwijs), en anderzijds met de invoering van vakken waarin monodisciplines geïntegreerd werden, zoals ANW (algemene natuurwetenschappen) en NLT (natuur, leven en technologie). Beleidsintenties zijn belangrijk, maar uiteindelijk kenmerkt samenhangend onderwijs zich door de mate waarin leerlingen in hun onderwijs samenhang ervaren. Dit betekent dat (1) er verbanden zijn tussen de verschillende vakdisciplines, (2) kennis niet geïsoleerd ontstaat en (3) hetgeen geleerd wordt binnen één vak gebruikt kan worden in een ander vakgebied (Krüger, Paus & Van der Zwaart, 2005; Roorda & Van Streun, 2002). De Werkgroep afstemming wiskunde-natuurkunde (2007) constateert dat er van samenhangend onderwijs geen sprake kan zijn, zolang er geen afstemming van vakinhouden is. Afstemming betreft bijvoorbeeld de curriculaire tijdsfasering zodat wiskundige concepten tijdig zijn geleerd voordat deze in andere vakken worden toegepast. Curriculaire afstemming betreft ook notatiewijzen, bijvoorbeeld als natuurwetenschappelijke contexten in wiskundeopgaven dimensieloos met x en y worden beschreven, terwijl de betreffende discipline hiervoor vakspecifieke symbolen voor een grootheid gebruikt. Afstemming betreft ook het gebruik van terminologie. Den Braber (2007) noemt bijvoor-

Vos e.a.

39

beeld dat de term lijn in niet-wiskundige schoolboeken gebruikt kan worden voor een kromme of voor een coördinaatas. Het afstemmen van notatiewijzen en terminologie impliceert dan niet het op-één-lijn brengen van gebruikte symbolen en termen, maar het onderkennen van verschillen en overeenkomsten tussen vakken, het erkennen van de vakspecificiteit en deze aan leerlingen voorleggen. Oorzaken van een tekortschietende afstemming zijn onder andere dat het veel tijd en inzet vergt om gemeenschappelijke doelen te stellen, dat docenten uitsluitend binnen de kaders van hun eigen discipline geschoold zijn en dat lesmaterialen gericht op samenhangend onderwijs (nog) niet goed functioneren (Doorman, 2005; Geraedts, Boersma & Eijkelhof, 2006; Werkgroep afstemming wiskunde-natuurkunde, 2007; Zegers e.a., 2003). Landelijk beleid voor samenhangend onderwijs en veelbelovende initiatieven op schoolniveau (zie o.a. Geraedts, Boersma & Eijkelhof, 2006; Mooldijk & Lichtenegger, 2006) zijn nodig omdat het gebruik van wiskundige concepten en technieken in niet-wiskundige lessen nochtans geïsoleerd gebeurt van wiskundelessen. Basson (2002) noemt v het voorbeeld hoe leerlingen het natuurkundige concept versnelling leren als a = ----t zonder dat aandacht wordt besteed aan de complexe achtergronden hiervan. Den Braber (2007) constateert dat in economieboeken voor de Tweede Fase vwo termen als differentie- en differentiaalquotiënt worden gebruikt, en in natuurkundeboeken gesproken wordt over differentialen, terwijl deze termen niet in de parallel gebruikte wiskundeboeken voorkomen. Aldus leren leerlingen in vakken verwant aan wiskunde óók wiskunde en spelen docenten van deze vakken dus ook een rol in wiskundige kennisconstructie en in hoe leerlingen wiskunde gaan waarderen (Fennema & Franke, 1992; Cooney & Wiegel, 2003). Deze leeromgevingen voor wiskunde, die geen wiskundelessen zijn, geven aanleiding tot diverse vragen, bijvoorbeeld naar de mate waarin leerlingen samenhang of een gebrek daaraan ervaren. Wij hebben ons in het voorliggende onderzoek gericht op het niveau van het geïmplementeerd curriculum en een onderzoek opgezet naar hetgeen docenten van deze leeromgevingen weten en doen, voor zover relevant voor het leren van wiskunde door leerlingen. Een beschrijving hiervan kan een basis bieden voor het verklaren van leerlingprestaties, die niet geduid kunnen worden door het genoten wiskundeonderwijs. Tevens kan ons onderzoek achtergronden geven voor de problematiek rond samenhangend onderwijs en kan het bijdragen aan, onder andere, onderzoek naar docentenkennis en naar houdingen van leerlingen ten opzichte van wiskunde. We hebben de volgende onderzoeksvragen gesteld: wat is de kennis van docenten natuurkunde, scheikunde en economie in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs over wiskundige concepten en methoden die in hun vakgebieden toegepast worden? Hoe worden wiskundige concepten en methoden in hun onderwijs behandeld en toegelicht door de docent? Om het onderzoek in te perken, hebben we ons gericht op het concept afgeleide als belangrijk en exemplarisch wiskundig concept. Deze focus maakte dat we ons richtten op natuur-, scheikunde en economie en niet op exacte vakken waarin het concept niet of nauwelijks aan de orde komt, zoals biologie en informatica.

40


2. Theoretisch kader Centraal in dit onderzoek staat de kennis van docenten natuurkunde, scheikunde en economie. Cobb & Bowers (1999) hebben erop gewezen dat docentenkennis sociaal ingebedde praktijkkennis is: sommige kenniscomponenten ontstaan of worden gedeeld binnen een gemeenschap van leraren en sommige kenniscomponenten zijn gebonden aan bepaalde (onderwijs)situaties. Shulman (1986) splitst docentenkennis in vakkennis (content knowledge, CK), vakdidactische kennis (pedagogical content knowledge, PCK) en algemene didactische kennis (pedagogical knowledge, PK). Een goede afbakening van bovenstaande begrippen, het onderlinge verband tussen deze vormen van kennis, en een domeinspecifieke toespitsing van bovenstaande categorieën voor het wiskundeonderwijs zijn nochtans onderwerp van discussie (Ball, Thames, & Phelps, 2008; Even, 1993; Monk, 1994; Hill, Ball, Sleep, & Lewis, 2007; Hill, Rowan & Ball, 2005). Het eerste type kennis, vakkennis (CK), wordt door Shulman omschreven als: ‘.. going beyond knowledge of the facts or concepts of a domain. It requires understanding the structures of the subject matter’ (Shulman, 1986, p.9). Hierop aansluitend gaat ons onderzoek van CK erom in hoeverre de docenten de afgeleide niet alleen gebruiken in hun eigen vak, maar ook de achterliggende wiskunde ‘begrijpen’. Hiebert & Carpenter (1992) beschrijven ‘begrijpen’ als de manier waarop informatie is gestructureerd in relaties tussen feiten, representaties, procedures en ideeën. Ook Kilpatrick, Swafford & Findell brengen ‘begrip’ in verband met representaties: ‘.. being able to represent mathematical situations in different ways and knowing how different representations can be useful for different purposes. To find one’s way around the mathematical terrain, it is important to see how the various representations connect with each other, how they are similar, and how they are different’ (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001, p. 119). De CK van het concept afgeleide operationaliseren we dan in de relaties die men legt tussen wiskundige representaties (numeriek, grafisch, symbolisch), binnen representaties (discreet, met een limiet, continu) en tussen wiskundige representaties en toepassingen in andere domeinen. Om deze relaties te beschrijven, gebruiken we het analyse-framework van Roorda, Vos & Goedhart (2007), gebaseerd op Zandieh (2000) en Kendal & Stacey (2003). Dit schema bevat kolommen, elk behorende tot een representatievorm van de afgeleide, namelijk symbolisch, grafisch, numeriek of tot een toegepast domein. In figuur 1 maakt de vierde kolom duidelijk hoe de natuurkundige afleiding van de afgelegde weg s(t) naar de snelheid v(t) in overeenkomstige stappen verloopt als de wiskundige afleidingen. Het schema kan worden uitgebreid met andere voorbeeldkolommen die verband houden met de afgeleide, niet alleen uit de kinematica, maar ook uit de elektriciteitsleer (ontladende condensator), uit de scheikunde (reactiesnelheden) of uit de economie (marginale kosten). Het begrijpen van de afgeleide betreft dan het kunnen leggen van verban-

Vos e.a.

41

den tussen cellen en tussen kolommen. Daarmee omvat het begrijpen van de afgeleide dus ook het toepassen en overstijgt het de vaardigheid van het symbolisch differentiëren (van een functie naar een afgeleide functie). Symbolisch

Grafisch

Numeriek

Natuurkundig

S1: f  x  functie

G1: grafiek

N1: tabel

Na1: afgelegde weg

S2: differentiequotiënt

G2: gemiddelde helling (van koorde)

 f  x -----------x

st N2: gemiddelde verandering

Na2: gemiddelde snelheid (over traject)

s v gem = -----t

S3: differentiaalquotiënt

f  x  -----------x

G3: richtingscoëfficiënt raaklijn

N3: mate van verandering

Na3: momentane snelheid

ds v = lim  -----s- = ----dt t  0 t

S4: f  x  afgeleide functie

G4: hellinggrafiek

N4: tabel met veranderingen

Na4: snelheid

v  t  = s  t 

Figuur 1. schema van wiskundige representaties m.b.t. afgeleide

Naast Content Knowledge, bestuderen we ook ‘Pedagogical Content Knowledge’ (PCK). Volgens Van Driel (2008) gaat het bij PCK – kort gezegd – om inzicht van docenten in de manieren waarop leerlingen vakinhoudelijke zaken begrijpen (of niet) en om de kennis van doceeractiviteiten waarmee dit begrip bevorderd kan worden. Veal & MaKinster (1999) geven een overzicht van verschillende classificaties van PCK, waaronder de verdeling in vijf componenten door Magnussen e.a. (1999). Zij onderscheiden voor docenten in de natuurwetenschappen: a) ‘orientations towards science teaching’, b) ‘knowledge of curriculum’, c) ‘knowledge of science assessment’, d) ‘knowledge of science learners’, en e) ‘knowledge of instructional strategies’. In dergelijke classificaties wordt geen specificatie gegeven van de kennis van een docent ten bate van de afstemming met andere vakken en de benodigde (wiskunde)kennis voor zijn/haar eigen vak, zoals wij willen onderzoeken. De manier waarop een docent verbanden legt (of niet) met wiskunde kunnen we echter wel associëren met bovengenoemde componenten: a) houding ten opzichte van wiskundeonderwijs en het belang ervan inzien voor het eigen vak, b) kennis van het wiskundeleerplan in relatie tot het eigen vak, c) kennis van wiskundige toetsvormen in relatie tot het eigen vak, d) kennis van de wiskundige kennis van de leerlingen, e) kennis van instructiestrategieën van wiskundige begrippen in de context van het eigen vak. We specificeren

42


aldus voor PCK vier componenten met betrekking tot het wiskundige concept afgeleide binnen het natuurwetenschappelijk onderwijs: 1. een affectieve component (zie a) hierboven), 2. een curriculaire component (zie b), c) en d) hierboven), 3. een instructionele component (zie e) hierboven), en 4. een interdisciplinaire component: een nieuwe component van PCK voor de kennis die nodig is voor het leggen van verbanden tussen het eigen vak en wiskunde. 3. Methode Dit onderzoek is een exploratief onderzoek naar kennis van ervaren docenten. Om drie redenen is het onderzoek exploratief: er werden nieuwe onderzoeksaspecten verkend voor a) de manier van selecteren van deelnemers, b) de manier van toetsen van CK en PCK en voor c) het analysekader voor samenhangend onderwijs. We lichten dit hieronder toe. In onderzoek naar docentenkennis worden data doorgaans verzameld in studies van professionalisering en doorlopen de deelnemers een professionaliseringstraject, bijvoorbeeld gericht op vakvernieuwing. Wij wilden echter docenten niet binnen dergelijke kaders spreken maar binnen hun schoolomgeving. We interviewden uiteindelijk tien bovenbouwdocenten van vier scholen: vijf natuurkundedocenten aangeduid met namen met een P (van Physics), twee scheikundedocenten aangeduid met namen met een S, en drie economiedocenten aangeduid met namen met een E (zie tabel 1). We nodigden in eerste instantie alle natuurkunde-, scheikunde- en economiedocenten uit die lesgeven aan een groep vwo-leerlingen uit een flankerend onderzoek. Dit onderzoek vond plaats aan twee scholen in de regio Groningen en hierover zal elders gepubliceerd worden (Roorda, in voorbereiding). Aan deze twee scholen reageerden zes docenten positief (aan elke school twee natuurkunde- en één economiedocent); de andere docenten konden niet deelnemen (reden: tijdgebrek, niet op kennis getoetst willen worden). We hebben vervolgens de steekproef aangevuld met docenten van andere scholen, waarbij we streefden naar variatie in de steekproef door alleen docenten toe te voegen indien zij een ander schoolboek voor hun vak gebruikten, zie tabel 1. Aldus bereikten we een convenience sample met tien docenten. De onderwijservaring van de geïnterviewden was gemiddeld 20 jaar. Allen hadden een eerstegraads bevoegdheid voor hun vak; met uitzondering van de twee zij-instromers Erik en Ewout, hadden allen aan een universiteit gestudeerd; Peter, Philip en Simone waren na hun studie gepromoveerd; vier van de vijf natuurkundedocenten had ook een wiskundebevoegdheid, maar slechts één van hen, Peter, gaf les in beide vakken. Het toetsen van docenten op CK en PCK middels een interview is niet nieuw, maar wel de toetsing van kennis op een aangrenzend vakgebied. Het interview bestond uit twee delen.

Vos e.a.

43

Tabel 1. Namen en kenmerken van de geïnterviewde docenten Naam

onderwijservaring (in jaren)

vak

schoolboek in vwo Tweede Fase

opmerkingen*

Paul

12

Natuurkunde

Pulsar

ook bevoegd voor wiskunde

Peter

9

Natuur- en Wisk.

Scoop

gepromoveerd, ook bevoegd voor wiskunde

Philip

11

Natuurkunde

Scoop

gepromoveerd, ook bevoegd voor wiskunde

Piet

39

Natuurkunde

Newton

Pim

18

Natuurkunde

Pulsar

ook bevoegd voor wiskunde

Simone

22

Scheikunde

Chemie

gepromoveerd

Stefan

18

Scheikunde

Chemie Overal

eerst HBO-analistenopleiding gestudeerd

Enno

32

Economie

Prakt. Econ.

eerst twee jaar Econometrie gestudeerd

Erik

26

Economie

Econ. in Balans

eerst HTS bouwkunde gestudeerd, zij-instromer

Ewout

19

Economie

LWEO**

zij-instromer, ook bevoegd voor geschiedenis & aardrijkskunde

* Enkele docenten zijn als zij-instromer genoteerd, de overige werkten vanaf de studie in het onderwijs. ** Lesbrieven van de Landelijke Werkgroep Economie Onderwijs.

Het eerste deel van het interview was task-based (Goldin, 2000) met drie opdrachten voor het toetsen van CK. De docenten werden verzocht de opgaven hardop denkend te maken. Eén opgave was geselecteerd uit het schoolvak van de docent, zie appendix A. De tweede opgave ging over de snelheid van het pompen van water uit een vat, en is sterk gelijkend aan opgaven zoals frequent gebruikt in het Nederlandse wiskundeonderwijs, zie appendix B. Bij deze opgave vroegen we expliciet naar verschillende oplossingsmethoden, zodat de docenten verschillende representaties konden gebruiken en met elkaar konden verbinden. In het flankerend onderzoek van Roorda (in voorbereiding) met hetzelfde instrument waren tenminste zes oplossingsmethodenoplossingsmethoden geïdentificeerd: het gemiddelde over een interval bepaald met verschilwaarden (numeriek), de helling van een koorde (grafisch), de helling van een getekende raaklijn (grafisch), de

44


knop ‘dy/dx’ in een Grafische Rekenmachine (grafisch), de knop ‘Tangent’ in een grafische rekenmachine (grafisch) en tenslotte: differentiëren (symbolisch). Om de variatie in oplossingsmethoden van de geïnterviewden te vergelijken, weten we uit Roorda's onderzoek dat acht van de tien vwo6-wiskunde B-leerlingen twee of meer oplossingsmethoden konden toepassen. De derde opgave was een opgave ontleend aan Bezuidenhout (1997), zie appendix B. Deze opgave gaat over de relatie tussen de snelheid van een auto en de lengte van de remweg. Er is geen functievoorschrift gegeven, speelt de variabele tijd t geen rol, maar wordt een interpretatie gevraagd. Onderdeel a) is een instapopgave voor het interpreteren van de afhankelijke variabele R en de onafhankelijke variabele v. Onderdeel b) gaat over het interpreteren van de afgeleide R’, waarvoor een toename van de remweg moet worden gerelateerd aan een toename van snelheid; R’(80)=1,15 is een afstand per snelheid. Dergelijke interpretatievragen wijken af van veel standaardopgaven. Een geïnterviewde kan zijn manier van ‘begrijpen’ van het concept afgeleide hier tonen met bijvoorbeeld een grafische interpretatie vanuit een R-v-grafiek, een symbolische interpretatie met R  v of met een numerieke interpretatie: ‘als de snelheid toeneemt van 80 km/uur naar 81 km/ uur, dan neemt de remweg toe met 1,15 m’. Om de interpretaties van de geïnterviewden te vergelijken, weten we uit Roorda’s onderzoek dat onderdeel b) door drie van de tien vwo-6-wiskunde B-leerlingen correct werd geïnterpreteerd als afstand per snelheid. Het tweede deel van het interview was semi-gestructureerd en ging over affectieve, curriculaire, instructionele en interdisciplinaire componenten van PCK. De vragen volgden thema's als de vooropleiding, aantal jaren onderwijservaring, de houding ten opzichte van wiskunde, de voorkennis van leerlingen, overleg met de wiskundecollega’s, (de afstemming van) curricula en verbanden die de docent legt tussen wiskunde en het eigen vak. Een deel van het instrument bestond uit geselecteerde pagina’s over de afgeleide uit het schoolboek natuurkunde, scheikunde of economie dat de docent voor zijn eigen vaklessen in de Tweede Fase vwo gebruikte (zie tabel 1). Dit deel was dus docentspecifiek en bedoeld om het interview praktijkgericht te houden. Bij deze pagina’s werd de docent gevraagd naar zijn/haar manieren van uitleg bij deze betreffende pagina's en gebruik van wiskundige termen als formule, functie, grafiek of afgeleide. De interviews werden op geluidsdrager vastgelegd. Transcripten zijn geanalyseerd op CK en PCK. Voor CK keken we naar het ‘begrijpen’ van het concept afgeleide (geanalyseerd met het schema in figuur 1), zoals zichtbaar uitspreken en handelen bij het oplossen van de drie opgaven. Voor de PCK hebben we uitspraken geselecteerd voor de affectieve, curriculaire, instructionele en interdisciplinaire componenten, waarvan de laatste een nieuw aspect is van PCK. We realiseren ons de beperkingen van de gekozen onderzoeksmethode. Het aantal deelnemende docenten is laag, natuurkundedocenten zijn over-, en jonge docenten zijn ondervertegenwoordigd. Ook genereert een interview slechts data van beperkte betrouwbaarheid voor het uitgevoerde curriculum: met klassenobservaties hadden we de bewe-

Vos e.a.

45

ringen van de docenten kunnen valideren. Klassenbezoek op precies díe momenten dat een niet-wiskundedocent de afgeleide gebruikt, bleek echter binnen het bestek van ons onderzoek organisatorisch onhaalbaar. Op basis van de interviews kunnen we daarom onderzoeksvraag 2, naar behandeling en toelichting van het concept afgeleide in de lespraktijk, slechts indicatief beantwoorden. 4. Resultaten 4.1 CK van de afgeleide Op één na, losten alle docenten de eerste twee opgaven correct op. De voorkeursmethode van alle natuur- en scheikundedocenten was de raaklijnmethode: een raaklijn aan de grafiek tekenen en daarvan de helling berekenen, zijnde de momentane verandering (in figuur 1: een verband leggen tussen cel G3 en Na3). Zie tabel 2 voor de gegeven oplossingsmethoden bij een vraag naar momentane snelheid (vraag b uit de opgave Leegpompen, zie appendix B). Bij een correcte oplossing vroegen we naar alternatieve oplossingsmethoden voor dezelfde opgave. Zo antwoordde een scheikundedocent op de vraag naar een alternatieve manier: ‘Oh, dan heb ik even wat meer tijd nodig. Dan moet je de formule volgens mij gaan integreren of zo…oh nee differentiëren, de raaklijn, dan moet je de differentiaal nemen van zo’n lijn, dat zou wel kunnen en dan stop je 40 erin …zal ik eens kijken, ik heb geen idee of dat goed gaat…hoe ging dat ook al weer, dit doe ik niet alle dagen’ (Simone). Het symbolisch differentiëren werd dus door de meeste docenten als alternatieve methode gebruikt, met de aantekening dat het geen gangbare techniek was: ‘Als je dat wiskundig zou doen, dan moet je de afgeleiden aan elkaar gelijk stellen, maar dat doet geen enkele natuurkundeleerling, dat doen ze niet. De eerste [helling] heb je uitgerekend, en dan ga je dus een raaklijn trekken met een helling van 4’ (Piet). Een van de economiedocenten gebruikte de begrippen raaklijn en afgeleide door elkaar, als een soort gelijkschakeling van de grafische en de symbolische representatie: ‘En dan moet je de snelheid weten. Met andere woorden …eh…snelheid is, dat is weer de afgeleide van die lijn. De verandering van volume per minuut. Dus de verandering in volume gedeeld door de verandering in t. Raaklijn maken. De afgeleide dV  dt is…nou daar gaan we. Productregel, quotiëntregel ken ik niet meer, maar ik kan het wel zo afleiden….dan op de ouderwetse manier’ [gaat haakjes uitwerken] (Enno). Ondanks de concreetheid gebruiken slechts twee docenten een numerieke methode, waarbij een toe- of afname over een interval op basis van verschilwaarden wordt bepaald. Over het niet noemen van deze methode zei een docent in de nabespreking:

46


Vos e.a.

47

‘Omdat ik denk, als je de snelheid op dat moment wil hebben zijn er mijn inziens alleen maar twee methoden [raaklijn en differentiëren]. Als je deze methode [numerieke] gebruikt is het een benadering die slechter is dan de eerste twee. Ik heb dat ook nooit zo geleerd, dat zal wel het allerbelangrijkste zijn’ (Pim). Het repertoire bestond dus bij de meeste docenten uit twee oplossingsmethoden, namelijk een grafische en een symbolische. Eén docent, Peter, week in dit onderzoek af van zijn collega’s: een natuurkundedocent die naast zijn eigen vak ook wiskundeonderwijs verzorgde. Hij was de enige docent die de grafische rekenmachine kon inzetten als alternatieve oplosmethode. Hij was ook de enige die de remwegopgave (zie appendix B) probleemloos oploste. Bij deze niet-standaardopgave raakten alle andere docenten in verwarring en ontbrak het abstractievermogen om de standaardoplossingsaanpak te verlaten. Ze zochten naar bekende elementen of methodes uit het eigen vak om een oplossing voor het probleem te vinden, zoals: de afgeleide van de afgelegde weg is de snelheid, of: de afgeleide van de snelheid is de versnelling. Een natuurkundedocent probeerde met een zeer uitgebreide eenhedenanalyse de oplossing (tevergeefs) te achterhalen: ‘[…] … dus bij 80 km /uur is mijn remtijd 1,15, maar die 1,15 is…eh wat is de eenheid ervan? Die massa dat is kg..die v in km/u delen door newtons…dan moet ik even newtons in kg …..kg …m..per s2 kg valt weg.. (schrijft dit allemaal op) er komt dus een tijd uit…je moet dus een….als je dat wegstreept….dan moet je dus delen door 1000 en als……dan klopt hij…..we zijn er!!…..er blijft seconden staan’ (Paul). Bij de opgave over de leeglopende tank (Leeglopen b, zie appendix B) konden vijf van de tien docenten twee oplossingsmethoden inzetten en twee docenten konden meer dan twee oplossingsmethoden inzetten (zie tabel 2). Daarmee bleek het repertoire niet breder dan dat van vwo6-wiskunde B-leerlingen: bij dezelfde opgave gebruikten acht van de tien leerlingen meer dan twee oplossingsmethoden (raaklijnmethode, symbolisch differentiëren, gebruik grafische rekenmachine) en de niet-standaardopgave over de remweg werd door slechts één van de docenten tegen drie van de tien leerlingen goed volbracht. We zien dus, dat de CK van de afgeleide bij de docenten aanwezig is, maar vooral grafisch georiënteerd en gericht op een vakgebonden, instrumenteel gebruik. 4.2 Affectieve componenten van PCK Op één na gaven alle docenten aan wiskunde leuk te vinden: ‘Nou ja wiskunde is altijd leuk natuurlijk, ik vind wiskunde erg leuk’ (Simone). De docenten beschouwden wiskunde, begrijpelijkerwijs, als een ondersteunend vak: ‘Voor natuurkundigen is het een gereedschap. En dat is ook echt een beetje zo’ (Paul). En:

48


‘Bij de economie gebruik je het inderdaad als hulpmiddel. Niet cijferen om het cijferen zoals bij zuivere wiskunde wel eens het geval is, maar puur om iets helder te krijgen’ (Enno). Een meerderheid van de docenten gaf aan dat de opgedane wiskundekennis tijdens hun studie veelal niet nodig of onbruikbaar bleek in de onderwijspraktijk: ‘Ik zag het nut er niet zo van in. Veel van die wiskunde gebruikte je nooit. Het was wiskunde om de wiskunde. Veel van die wiskunde zie ik hier ook niet gebruikt worden’ (Pim). De wiskundekennis zakte weg, zonder dat dit een probleem opleverde: ‘O jee, kijk, we zeggen op een gegeven moment kun je dingen en weet je dat het zo is, maar hoe het precies zit, ik weet het niet meer. Ik weet nog iets van het verhaal van de limiet tot…het wordt steeds kleiner, nadert naar nul. Dan zeg ik, jongens als je het precies wil weten, ga je naar je wiskundedocent’ (Erik). Alle docenten gaven aan, dat hen de abstractie van wiskunde minder en de toepassingen meer aanspraken: ‘Wiskundig zit zo'n wereld heel mooi in elkaar. Dat is denk ik ook de reden dat ik van de wiskunde afgestapt ben, ik wil het toch wat concreter hebben, dat past beter bij me’ (Enno). Alle docenten onderkenden het belang van wiskunde voor hun vak, maar ze benadrukten tevens verschillen. Een van de natuurkundedocenten illustreerde de verschillen tussen de vakken in de omgang met eenheden, waarbij hij verwees naar een opgave uit de Kangoeroewedstrijd1: 18. De omtrek (in cm) van een cirkel is gelijk aan zijn oppervlakte (in cm2). Hoeveel cm is de straal van de cirkel? A. 1

B.2

C. 

D. 4

E. 2

De omtrek en oppervlakte worden aan elkaar gelijk gesteld, hetgeen ‘je wiskundig wel kunt doen, maar natuurkundig niet, omdat we praten over verschillende eenheden’ (Peter). Bij het vak wiskunde kunnen dus opgaven zodanig geformuleerd zijn, dat ze niet goed verenigbaar zijn met de aanpak van de andere vakken. In plaats van ondersteunend, is wiskunde dan eerder storend of zelfs ‘irritant’.

Vos e.a.

49

4.3 Curriculaire componenten van PCK Voor de curriculaire componenten van PCK vroegen we naar kennis van het wiskundeleerplan in relatie tot het eigen vak, kennis van wiskundige toetsvormen in relatie tot het eigen vak en kennis van de wiskundige kennis van de leerlingen. Met uitzondering van de natuurkundedocent die ook wiskundeonderwijs verzorgde, gaven alle docenten in dit onderzoek aan niet precies te weten wat er in het wiskundeleerplan stond met betrekking tot relevante concepten voor hun vak. Ook gaven ze aan alleen informeel met de wiskundecollega's te overleggen, terwijl ze dit wel belangrijk achtten: ‘Ik vind het wel belangrijk dat ik weet, als natuurkundeleraar, wat voor woord ze daarvoor [helling] leren bij wiskunde. Dat weet ik op dit moment niet, omdat het weer vernieuwd is’ (Pim). Kennis van het wiskundeleerplan werd ook niet nagestreefd door drie natuurkundedocenten met een wiskundebevoegdheid; zij gaven aan met deze bevoegdheid niets te (willen) doen. Ondanks onbekendheid met het wiskundeleerplan, noemde men wel de hinder van tekortschietende leerplanafstemming en ontbrekende wiskundekennis bij leerlingen. Met name de basisrekenvaardigheden werden als problematisch ervaren: ‘Wat ik wel merk is dat het gebruik van een rekenmachine, van de lagere school, de brugklas, eigenlijk dodelijk is voor het getalinzicht. Je ziet het overal in terug, 4 procent van 100 daar krijg je de antwoorden 4, 25, 60 en 96 op ... bijna standaard als je dat vraagt… 40 was ik nog vergeten trouwens’ (Stefan). In tegenstelling tot de gewone rekenmachine werden over de grafische rekenmachine, een veel gebruikt tool in het wiskundeonderwijs, vrijwel geen opmerkingen gemaakt en dus ook niet over het gebruik ervan in het eigen vak. De docenten hadden kritiek op de manier waarop contextopgaven in het Nederlandse wiskundecurriculum worden gepresenteerd. Dit kwam naar voren bij de opgave over het Leeglopen (een gangbaar type opgave uit het wiskundeonderwijs). Bijna alle docenten maakten opmerkingen bij lezing van de opgavetekst, dus nog voordat ze aan de vraag toe kwamen. Ze probeerden bijvoorbeeld de in de tekst aangereikte formule te koppelen aan concepten uit hun eigen vak. Een natuurkundedocent: ‘Met behulp van de wet van Torricelli kun je een formule afleiden voor de hoeveelheid vloeistof in de tank. Die formule, die heb ik zo niet paraat. Eh… dat is toch de druk en hoogte bij de uitstroomopening. Dan moet je toch weten hoe groot die is. Er staat niet bij hoe groot het gat is, of wel? Nou maakt niet uit. Ik ga eerst eens verder ... Een pas2 sende formule bij deze tank is: V = 10  2 – 1  60t  . En dan kom je weer met zo’n formule en dan weet ik ook niet waar die vandaan komt en dat vind ik niet leuk’ (Paul).

50


‘Deze formule, daar zou ik zelf nog even heel goed over moeten nadenken. Die leid je volgens mij af via een differentiaalvergelijking. Dat moet ik echt even op mijn gemak uitschrijven. Het is niet triviaal dat het dit is... het zal wel kloppen…’ (Peter) Naast het ontbreken van de natuurkundige achtergrond vonden de geïnterviewde docenten dat de gepresenteerde formule ‘niet deugde’: het ontbrak aan dimensies. Een docent: ‘Hier heb ik iets raars. Hoe kun je het volume uitdrukken in t? Voor het volume van water in de tijd…V druk je uit in m3. Nou goed’ (Enno). Ook de scheikundedocenten benoemen hun verwarring over het gebrek aan eenheden in de formule V = 40 – 1  3t eensluidend: ‘ 1  3 is 1  3 kuub per minuut’ (Stefan, Simone). De curriculaire conventie bij wiskunde, om formules over concepten uit andere vakken ‘uit de lucht te laten vallen’ en dimensieloos te presenteren, bleek dus belemmerend. 4.4 Instructionele componenten van PCK Bij confrontatie met de ondersteunende pagina’s over de afgeleide in het schoolboek van hun eigen vak meldden de meeste docenten dat zij deze pagina’s negeerden. De reden hiervoor was dat de uitleg in de boeken overbodig was of niet aansloot op de eigen didactische aanpak. Een economiedocent zei: ‘Als ik denk: voor het examen heb je het niet echt nodig, vraag het dan even aan je wiskundedocent, die weet er veel meer van wat dat betreft dan ik. Ik verwijs gewoon door en ga verder met dingen die op het examen komen’ (Ewout). Aan zijn leerlingen gaf hij de volgende boodschap mee: ‘Lees het geïnteresseerd door maar we richten ons op de opgaven zoals ze in het examen worden gesteld, dat is belangrijk en de wiskundige uitwerking, en hoe je dat wiskundig doet, dat is even buiten mijn competentie’ (Ewout). De docenten benadrukten dat de (economische/natuurkundige) concepten, begrijpelijkerwijs, prioriteit hebben binnen de beperkingen van hun lesprogramma. Over een economische opgave met een formule (symbolische representatie) zei een economiedocent dat hij in een proefwerk leerlingen eerst vragen zou stellen over economische interpretaties van de functie als: ‘wat zijn de vaste kosten?’, ‘is er sprake van degressieve of progressieve groei?’. De docenten gaven aan dat zij hun uitleg vakspecifiek hielden, bijvoorbeeld ‘je produceert… en dat levert één euro extra op...’, zonder het noemen van het begrip ‘imietovergang’. In tegenstelling tot natuur- en scheikunde bleek bij economie de afgeleide onderdeel van het examenprogramma en ook opgenomen in de schoolboeken. Hier was de afstemming

Vos e.a.

51

tussen de curricula een zorgpunt en noopte de economiedocenten tot het behandelen van iets dat bij wiskunde A nog niet aan de orde was geweest. Een economiedocent zei over zijn aanpak: ‘Het probleem is… dit onderwerp [differentiëren] hebben we voor in het curriculum van de vijfde klas zitten. En dan hebben de 5 wiskunde alfa, eh… A-leerlingen het nog niet gehad of krijgen het helemaal niet. Dan moet ik het met wat kunst-en-vliegwerk wat proberen te bereiken en de wiskunde B-leerlingen beginnen een beetje aan afgeleiden te ruiken en die kunnen dan met behulp van de formulekaart de afgeleide bepalen. Dus limiet gebruik ik niet’ (Enno). De didactische aanpak voor de afgeleide bestond dus globaal uit: vermijden of concreet (situatiegebonden) houden. Verder gebruikten de meeste geïnterviewden termen en symbolen, zoals ‘functie’ of ‘helling’ op een andere manier dan bij wiskunde, net zoals de termen en symbolen in hun schoolboeken ook afwijken van de wiskundige gebruiken. 4.5 Interdisciplinaire componenten van PCK In aanvulling op de affectieve, curriculaire en instructionele componenten van PCK hebben we de docenten ook gevraagd naar verbanden die ze in hun onderwijs leggen met het vak wiskunde. De scheikundedocenten gaven echter aan eerder verbanden met het vak natuurkunde te leggen dan met wiskunde: ‘Ik zie wiskunde meer als een hulpvak bij de scheikunde dan scheikunde als een hulpvak bij wiskunde. Bij biologie en natuurkunde is het duidelijker. Daar zeg ik regelmatig, dat hebben jullie bij natuurkunde gehad of dat hebben jullie bij biologie gehad. Dat heb ik bij wiskunde niet zoveel’ (Simone). Voor het leggen van verbanden met wiskunde waren er een aantal belemmeringen. Als eerste waren de docenten meestal niet op de hoogte van kennis die in het schoolvak wiskunde wordt onderwezen (zie ook 4.3). Ten tweede was sinds de invoering van de Tweede Fase veel wiskunde weggesneden uit de examenprogramma’s van natuurkunde, economie of scheikunde. Over het verbanden leggen met wiskunde zei een natuurkundedocent daarom: ‘Wat dat betreft weinig. En als je naar de opgaven kijkt… als ze het [hij bedoelt: wiskunde] in de opgaven nodig zouden hebben, zou ik er meer aandacht aan besteden, maar ze hebben het niet meer nodig’ (Philip). Ten derde kón een verband niet altijd gelegd worden, omdat de bijbehorende wiskundetechnieken nog niet aan bod gekomen waren in de wiskundelessen: ‘Soms probeer ik ook wel eens een differentiaalvergelijking, trillingen, de tweede afgeleide van een sinus is ook weer een sinus… Zeer summier allemaal. Dat ligt ook een

52


beetje aan zo’n klas. Zijn ze een beetje geïnteresseerd, nou dan doe ik het… Heb je het gevoel dat het paarlen voor de zwijnen zijn dan denk ik, laat maar’ (Philip). Ten slotte waren er weinig prikkels tot het leggen van verbanden, mede ook omdat er geen overleg werd gevoerd binnen de school tussen de eigen vaksectie en de wiskundesectie: ‘Ja, er is informeel contact, scheikunde, natuurkunde en biologie zitten dan aan één tafel, en wiskunde zit apart’ (Philip). ‘We hebben het ooit geprobeerd met andere BiNaSk-vakken, maar nooit met wiskunde’ (Piet). Peter, de enige docent die naast zijn natuurkundelessen ook wiskundelessen gaf, legde veel verbanden met de wiskunde en gaf bovendien vanuit beide vakken de werkwijzen weer om zo de leerlingen op de verschillen tussen de vakken te wijzen. Hij gaf aan dat hij echt ging zoeken naar parallellen met wiskunde. Hij noemde de afgeleide en differentiëren en reikte de leerlingen extra diepgang en achtergronden aan. Hij probeerde ook aan te geven wat de verschillen zijn in de aanpak tussen de vakken: ‘Maar ik vertel leerlingen er ook altijd bij dat we er anders mee omgaan bij natuurkunde. Bij wiskunde krijg je de formule, dan moet je hem differentiëren en de afgeleide op nul stellen en maxima berekenen en wat al nog maar meer. (...) Wij trekken raaklijnen, wij tellen hokjes. Het is hetzelfde. Het stelt hetzelfde voor, maar de techniek die je gebruikt, de manier waarop je er mee omgaat is anders’ (Peter). 5. Conclusie en discussie We hebben een verkennend onderzoek uitgevoerd naar de kennis van een veelgebruikt wiskundig concept en de bijbehorende behandeling ervan in hun onderwijs door docenten natuurkunde, scheikunde en economie. We hebben hiervoor enerzijds de wiskundekennis (Content Knowledge, CK) en anderzijds de kennis over het onderwijzen van die kennis (Pedagogical Content Knowledge, PCK) met betrekking tot het wiskundige concept afgeleide bij tien docenten van niet-wiskundevakken getoetst middels een interview. De wiskundekennis (CK) uit hun opleiding was niet alleen weggezakt, maar ook verschoven naar bruikbare kennis voor het eigen vakgebied. De geïnterviewde docenten benaderden het concept niet vanuit de wiskundige abstractie, maar geconcretiseerd in vakspecifieke betekenissen. De meest gebruikte methode bij het oplossen van de voorgelegde problemen was de grafische raaklijnmethode; de symbolische methode van het differentiëren had een meerderheid paraat, maar niet als routine. Alleen bij enkelen omvatte het repertoire nog andere oplossingsmethoden, zoals numerieke of met de grafische rekenmachine. Een toegepaste, niet-standaardsituatie veroorzaakte verwarring – hierbij bleken de meeste docenten niet in staat om terug te vallen op wiskundige kennis van het concept. Uiteindelijk presteerden de docenten niet beter dan vwo6-wiskundeB-

Vos e.a.

53

leerlingen uit een flankerend onderzoek waarin hetzelfde instrument werd gebruikt (Roorda, in voorbereiding). Het onderzoek naar PCK hebben we uitgesplitst in vier componenten: een affectieve, een curriculaire, een instructionele en een interdisciplinaire component. Met betrekking tot de affectieve component gaven de meeste docenten aan wiskunde leuk te vinden, maar een voorkeur te hebben voor toepassingen boven abstractie. Allen onderkenden het nut van wiskunde voor hun eigen vak. Met betrekking tot de curriculaire component gaven alle docenten toe niet op de hoogte te zijn van het wiskundeleerplan, noch van de kennis die leerlingen opdoen bij wiskunde (met één uitzondering: de natuurkundedocent die ook wiskunde gaf). Daarnaast constateerden de docenten een tekort aan rekenvaardigheden bij de leerlingen en een gebrek aan aansluiting tussen conventies uit het eigen vak en de manier waarop in wiskundeopgaven natuurwetenschappelijke contexten dimensieloos gebruikt worden. Met betrekking tot de instructionele component bleek de aanpak van wiskundige aspecten in de vaklessen onafhankelijk te zijn van het gebruikte schoolboek (de pagina’s met uitleg over de afgeleide werden overgeslagen), en ook onafhankelijk van de aanpak van de wiskundecollega (er was geen overleg tussen de vaksecties). Kortom, de benodigde wiskunde voor de vaklessen werd zo veel mogelijk beperkt of overgeslagen. Indien onvermijdelijk werd de uitleg vakspecifiek en concreet gehouden, waarbij wiskundige achtergronden, technieken of verbanden ook vaak niet noodzakelijk waren om te voldoen aan de exameneisen van het betreffende vak. Met betrekking tot de interdisciplinaire component gaven de docenten aan, dat zij geen expliciete verbanden tussen hun eigen vak en wiskunde legden, omdat hun eigen vak daar niet om vroeg. Er was echter één uitzondering: de natuurkundedocent die ook wiskundelessen verzorgde, gaf expliciete voorbeelden van bruggen die hij legde tussen de vakken. Uit ons onderzoek komt een zwakke afstemming naar voren tussen enerzijds natuurscheikunde en economie en anderzijds wiskunde. In natuurkunde-, scheikunde- en economielessen wordt een vakspecifieke aanpak van wiskunde gehanteerd, waarbij wiskundige methoden worden gehanteerd (met name de raaklijnmethode) zonder afstemming met de wiskundedocent. De geïnterviewde docenten beschouwden wiskunde als nuttig, maar ook als struikelblok. Ze zijn bijvoorbeeld ontevreden over de wiskundige voorbereiding van de leerlingen en over hoe in het schoolvak wiskunde vakspecifieke formules vervormd worden tot dimensieloze oefeningen, terwijl deze zouden kunnen functioneren als concretiseringen van wiskundige concepten. De zwakke afstemming is zowel curriculair als instructioneel en lijkt niet gelegen in de affectieve component. De zwakke afstemming lijkt ook niet gelegen in de inhoudelijke kennis: de docenten hebben, hoewel enigszins weggezakt en met een voorkeur voor de grafische representatie, kennis van wiskundige methoden. Deze kennis is voldoende voor het beoefenen van het eigen vak, maar bleek ook voldoende voor een interdisciplinaire uitwisseling met een interviewer met een wiskunde-achtergrond.

54


Naast curriculaire en instructionele componenten kent de zwakke afstemming een interdisciplinaire component. Vaksecties blijken nauwelijks met elkaar te overleggen en docenten slaan geen bruggen tussen hun vak en wiskunde, of geven aan wat de merites zijn van de verschillende invalshoeken. In ons onderzoek was er slechts één docent die expliciet bruggen bouwde tussen zijn eigen vak, natuurkunde, en wiskunde. Bijzonder kenmerk van deze docent was, dat hij zowel natuur- als wiskunde gaf en zich daardoor met name in de curriculaire en instructionele componenten van de twee vakken had verdiept. Voor de andere docenten ontbrak een dergelijke prikkel, zelfs bij de drie natuurkundedocenten met een slapende wiskundebevoegdheid. Voor het leggen van verbanden tussen vakken kunnen dergelijke ‘dubbelvakkers’ dus een exemplarische rol spelen. Voor een beleid gericht op samenhangend onderwijs zouden scholen dus meer gebruik kunnen maken van de docenten met meerdere bevoegdheden. Scholen kunnen, ten behoeve van interdisciplinaire contacten, stimuleren dat deze docenten in verschillende vakken lesgeven en hen ondersteuning bieden voor de studie van curriculaire en instructionele componenten van PCK van het tweede vak. Daarnaast zal interdisciplinariteit een onderdeel van professionalisering moeten worden, zowel voor de CK als voor de PCK, en zowel voor de wiskundedocenten als voor hun collega's. Hierin kan bijvoorbeeld uitgewisseld worden over hoe concepten twintig jaar geleden en nu in het onderwijs worden geleerd. Een thema voor uitwisseling is ook het bestuderen van elkaars schoolboeken en bespreken waarom differentiaal en differentiequotiënt geen termen zijn in wiskundelessen en wel in natuur-, scheikunde en economielessen. Ook kan er uitgewisseld worden, hoe en waarom in natuur- en scheikunde gekozen is voor de grafische raaklijnmethode, in economie is gekozen voor een numerieke aanpak met een toename van één eenheid (bijvoorbeeld marginale kosten), en bij wiskunde een grafische rekenmachine wordt gehanteerd. In deze uitwisseling moet ook plaats ingeruimd worden voor een verbetering van de kennis (CK en PCK) van wiskundedocenten met betrekking tot natuurwetenschappelijke concepten die gebruikt worden als contexten in wiskundeopgaven (bijvoorbeeld de Wet van Torricelli bij de opgave over het leeglopen van een watervat). We willen nog kort terugblikken op de gehanteerde onderzoeksmethode. De ervaringen uit ons onderzoek leren dat de respons negatief beïnvloed werd doordat ons interview een kennistoets omvatte. Dit is enerzijds begrijpelijk (getoetst worden kan onaangenaam zijn), maar anderzijds zorgelijk: de kwaliteit van onderwijs hangt mede af van het kennisniveau van docenten; er moeten dan ook methoden zijn om dit te meten en de beroepsgroep moet daaraan medewerking verlenen. Daarnaast leert ons onderzoek dat interviews informatieve data opleveren over de lespraktijk, met name met een instrument gebaseerd op schoolboeken die de docent gebruikt. Een dergelijk docent-specifiek instrument komt dichter bij de praktijk dan een meer algemene vragenlijst. Aan de andere kant blijven dergelijke data gekleurd door de zelfrapportage. We willen daarom pleiten voor aanvullend onderzoek met lesobservaties, waarmee met name het onderzoek naar de

Vos e.a.

55

PCK van ervaren docenten verdiept kan worden. In dit verband willen we ook wijzen op een beperking in de diverse theoretische kaders rond PCK waarop we in ons onderzoek stuitten. Deze kaders hebben steevast betrekking op het eigen schoolvak zonder raakvlakken met aangrenzende schoolvakken te beschrijven. We stellen daarom voor om de PCK uit te breiden met een component voor samenhangend onderwijs, namelijk de kennis om verbanden aan te brengen tussen vakken. Ten slotte: leerlingen maken op verschillende plaatsen in het onderwijs kennis met wiskundige concepten. Deze variatie kan leiden tot een brede vorming, maar ook tot verwarring door de verschillen tussen de ‘boodschappen’ in opeenvolgende lesuren. De effecten van de niet-samenhangende informatie die de leerling ontvangt verdienen nader onderzoek. Noot 1. De Stichting Wiskunde Kangoeroe organiseert jaarlijks de rekenen wiskundewedstrijd in Nederland als onderdeel van een internationaal evenement. English summary Mathematical concepts are used in non-mathematical lessons, such as physics, chemistry and economics; consequently, these lessons are also a learning environment for mathematics. To characterize this environment, and to contribute to discussions on coherent education, we carried out an exploratory study on the knowledge and usage of mathematical concepts among teachers of physics, chemistry and economics. The study focused on the concept derivative, which is used for velocity and acceleration in physics, for reaction speed in chemistry, and for marginal costs in economics. For teacher knowledge with respect to the derivative we discerned Content Knowledge and Pedagogical Content Knowledge (Shulman, 1986). We interviewed and assessed ten teachers on their knowledge and their methods of explaining the derivative in the classroom. It turned out that mathematical knowledge had dwindled and was perceived as useless for classroom practice, and that the repertoire of solution methods for mathematics problems was limited. The teachers did not approach the mathematical concept as an abstraction, but looked for concrete signification. In classroom practice they avoided mathematical backgrounds, techniques and relationships, and they kept their explanations linked to situations. We observed little alignment between mathematics and the affiliated sciences, both in conventions of terminology and symbol usage, and between curricula and explanation methods. There was one exception: a physics teacher, who simultaneously taught mathematics, explicitly connected subjects in the classroom. Therefore, we recommend more interdisciplinary professional development, both for CK and for PCK, as a basis for a better alignment between subjects.

56


Literatuur Ball, D.L., Thames, M.H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407. Basson, I. (2002). Physics and mathematics as interrelated fields of thought development using acceleration as an example. International Journal for Mathematical Education in Science and Technology, 33(5), 679-690. Berlin, D.F. (1991). Integrating Science and Mathematics in Teaching and Learning: A Bibliography. Columbus, OH: ERIC/CSMEE Publications. Bezuidenhout, J. (1998). First-year university students’ understanding of rate of change, International Journal of Mathematics Education in Science & Technology, 29(3), 389399. Braber, N.S. den (2007). Schoolboekenanalyse; tussenrapportage van het onderzoek ‘Hellingen, snelheden en marginale kosten’. Beschikbaar van: http://www.nwo.nl/nwohome.nsf/pages/NWOA_763ATR . Den Haag: NWO. Cobb, P., & Bowers, J. (1999). Cognitive and situated learning: Perspectives in theory and practice. Educational Researcher, 28(2), 4-15. Cooney, T.J., & Wiegel, H. G. (2003). Examining the mathematics in mathematics education. In A. J. Bischop e.a. (red.), Second International Handbook of Mathematics Education (pp. 795-828). Dordrecht: Kluwer. Doorman, L.M. (2005). Modelling motion: from trace graphs to instantaneous change. Utrecht: CD-Bèta Press. Driel, J.H. van (2008). Van een lerende vakdocent leer je het meest. Tijdschrift voor Didactiek der Bètawetenschappen, 25(1&2), 71-75. Even, R. (1993). Subject-Matter Knowledge and Pedagogical Content Knowledge: Prospective Secondary Teachers and the Function Concept. Journal for Research in Mathematics Education, 24(2), 94-116. Fennema, E., & Franke, M.L. (1992). Teachers’ knowledge and its impact. In D. Grouws (red.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 147-164). Reston, VA: NCTM. Geraedts C., Boersma K.Th., & Eijkelhof H.M.C. (2006). Towards coherent Science and Technology education. Journal of Curriculum Studies, 38(3), 307-325. Geraedts, C.L., Boersma, K. Th., Huijs, H.A.M., & Eijkelhof, H.M.C. (2001). Ruimte voor SONaTe; onderzoek naar good practice op het gebied van samenhangend onderwijs in natuur en techniek in de basisvorming. Delft: Stichting AXIS. Goldin, G.A. (2000). A scientific perspective on structured, task-based interview in mathematics education research. In A. E. Kelly & R.A. Lesh (red.), Handbook of Research Design in Mathematics and Science Education (pp. 517-545). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Vos e.a.

57

Hiebert, J., & Carpenter, T.P. (1992). Learning and teaching with understanding. In D. Grouws (red.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 65-97). Reston, VA: NCTM. Hill, H.C., Rowan, B., & Ball, D.L. (2005). Effects of teachers’ mathematical knowledge for teaching on student achievement. American Education Research Journal, 42(2), 371406. Hill, H.C., Ball, D.L., Sleep, L., & Lewis, J.M. (2007). Assessing teachers’ mathematical knowledge: what knowledge matters and what evidence counts? In F. Lester (red.), Second Handbook for Research on Mathematics Education (pp. 111-155). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Inspectie van het Onderwijs (1999). Werk aan de basis. Evaluatie van de basisvorming. Den Haag: SDU. Kendal, M., & Stacey, K. (2003). Tracing Learning of Three Representations with the Differentiation Competency Framework. Mathematics Education Research Journal, 15(1), 22- 41. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. Washington, DC: National Academy Press. Krüger, J., Paus, J., & Zwaart, P. van der (2005). Samenhangend onderwijs voor natuurkunde en wiskunde; Tweede fase Voortgezet onderwijs. Enschede: SLO. Luyn, J. van (1998). Basisvorming: de basis van het studiehuis. Den Haag: PMVO. Magnussen, S., Krajcik, J., & Borko, H. (1999). Nature, sources and development of pedagogical content knowledge. In J. Gess-Newsome & N.G. Lederman (red.), Examining pedagogical content knowledge (pp. 95-132). Dordrecht: Kluwer. Monk, D.H. (1994). Subject Area Preparation of Secondary Mathematics and Science Teachers and Student Achievement. Economics of Education Review, 13(2), 125-145. Mooldijk A.H., & Lichtenegger I. (2006). Biertje? SaLVO!, een samenwerkingsproject gericht op inhoudelijke samenhang van vakken. NVOX, 31(10), 482-484. Parreren, C.F. van (1982). Leren op school. Groningen: Wolters Noordhoff. Reulen, J.J.M., & Rosmalen, P.H.W. (2000). Het voortgezet onderwijs in Nederland: ontwikkelingen, structuren en regelingen. Tilburg: Remmers. Roorda, G. (in voorbereiding). De ontwikkeling van wiskundige bekwaamheid van leerlingen in de natuurprofielen van het VWO met betrekking tot het begrip ‘afgeleide’. Groningen: Rijksuniversiteit Groningen. Roorda, G., & Streun, A. van (2002). Criteria voor samenhangend (wiskunde)onderwijs. In J.F. Deinum, J. van Maanen, A. van Streun & J. Tolboom (red.), Werken aan de kwaliteit van het onderwijs in de bètavakken. Groningen: Rijksuniversiteit Groningen, UCLO. Roorda, G., Vos, P., & Goedhart, M. (2007). Derivatives in Applications: Describing Students’ Understanding. In G. Kaiser, F. Garcia, & B. Sriraman (red.), Proceedings of the Working Group on Mathematical Modelling and Applications at the 5th Conference on

58


European Research in Mathematics Education (CERME-5). Nicosia, Cyprus: University of Cyprus. Shulman, L.S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), 4-14. Thorndike, J.G.L., & Woodworth, R.S. (1901). The influence of improvement in one mental function upon the efficiency of other functions. Psychological Review, 8, 247-261, 384395, 553-564. Veal, W.R., & MaKinster, J.G. (1999). Pedagogical Content Knowledge Taxonomies. Electronic Journal of Science Education, 3(4). Werkgroep afstemming wiskunde-natuurkunde. (2007). Eindverslag van Werkgroep Afstemming Wiskunde-Natuurkunde aan vernieuwingscommissies wiskunde (cTWO) en natuurkunde (NiNa). Rapport. Utrecht: WAWN. Wetenschappelijke Raad voor het Regeringsbeleid (WRR) (1986). Basisvorming in het onderwijs. Den Haag: WRR. Zandieh, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. In E. Dubinsky, A. Schoenfeld & J. Kaput (red.), Research in Collegiate Mathematics Education, Volume IV (pp. 103-127). Providence, RI: AMS. Zegers, G.E., Boersma, K.Th., Genseberger, R.J., Jambroes-Willebrand, A.G., Kooij, H. van der, Mooldijk, A.H., Wijers, M., & Eijkelhof, H.M.C. (2003). Een basis voor SONaTe. Voorbeelden van inhoudelijke samenhang tussen de natuurwetenschappelijke vakken en wiskunde in de tweede fase havo/vwo. Delft: Stichting Axis.

Vos e.a.

59

Appendix A – Vakspecifieke opdrachten in de interviews Kogel (natuurkunde) Bij een practicum voor natuurkunde laten twee leerlingen een kogel van een hoogte van 90 cm vallen. Ze gebruiken een opstelling waardoor er geen wrijving optreedt. Tijdens de val maken ze een stroboscopische foto van de kogel. De stroboscoop geeft 25 flitsen per seconde. De leerlingen hebben hun metingen eerst in een tabel, en vervolgens in een grafiek weergegeven. Je ziet de tabel en de grafiek hieronder. tijd (s)

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,20

0,24

0,28

0,32

0,36

0,40

hoogte (cm)

90

89

87

83

77

70

62

52

40

26

12

De leerlingen hebben ontdekt dat de grafiek een deel van een parabool is. Daarom is het hun gelukt om een formule op te stellen voor de hoogte (m) van de kogel afhankelijk van 2 de tijd (s), namelijk h  t  = 0 9 – 4 ,9 t Bij één van de punten staat een pijl. In het practicumverslag beschrijven de leerlingen hoe ze op dat moment de snelheid van de kogel kunnen berekenen. Hoe kunnen ze die snelheid berekenen?

60


Distikstofpenta-oxyde (scheikunde) Distikstofpenta-oxyde is een kleurloze stof die bij hogere temperaturen ontleedt onder vorming van het bruine stikstofdioxide en het eveneens kleurloze zuurstof volgens de vergelijking: 2N 2 O 5  g   4 NO 2  g  + O 2  g  In een experiment werden bij een constante temperatuur de volgende meetresultaten verkregen Reactietijd (seconden)

–1

 NO 2   molL 

0

0,00

500

2,96

1500

6,50

2500

8,26 –1

a. Op tijdstip t = 0 was  N 2 O 5  gelijk aan 5,00 L . Bereken  N 2 O 5  en  O 2  op elk van de tijdstippen die in de tabel vermeld zijn. b. Maak een zo nauwkeurig mogelijke schatting van de reactiesnelheid op t = 0 Monopolie (economie) Wanneer een firma de alleenverkoop (het monopolie) bezit van een bepaald product, dan moeten alle consumenten bij die ene firma kopen. Als het product volgens de consumenten te duur wordt, dan neemt het aantal verkochte eenheden van dat product af. Een bedrijf produceert een bepaald product. Door een marktonderzoek is vastgesteld dat voor het verband tussen de prijs en de verkochte hoeveelheid geldt p = – 0 ,5q + 12 , hierin is q het aantal verkochte eenheden in duizendtallen en p de prijs in euro per stuk. 2 Voor de totale opbrengst in duizenden euro’s geldt dan TO = – 0 ,5q + 12q Als het bedrijf meer produceert zullen de kosten voor de productie ook toenemen. Het wiskundig model dat het bedrijf voor de totale kosten heeft opgesteld is 3 2 TK = 0 ,03q – 0 ,5q + 4q + 15 . Hierin is q in duizendtallen en TK in duizenden euro’s. a. Als het bedrijf meer gaat produceren is er geen constante toename van de totale kosten. Bij welke productieomvang is de toename van de totale kosten het laagst? b. Onderzoek bij welke productie de kosten en de opbrengst even snel toenemen.

Vos e.a.

61

Appendix B – Opdrachten gebruikt in alle tien interviews Leegpompen of leeglopen Een grote tank wordt leeggepompt (zie figuur 1). De tank heeft een inhoud van 40 m3 dat 1 is 40.000 liter. Voor het volume van het water in de tank geldt de formule V = 40 – --- t 3 3 Hierin is V het volume in m , en t de tijd in minuten.

Figuur 1.

a. Met welke snelheid (liter/minuut) wordt deze tank (figuur 1) leeggemaakt? Een andere manier om deze tank leeg te maken is door aan de onderkant van de tank een opening te maken (figuur 2). Met behulp van de wet van Torricelli kun je een formule afleiden voor de hoeveelheid vloeistof in de tank.

Figuur 2. Tank leeg laten lopen (zie opdracht b)

De snelheid van leeglopen hangt namelijk af van de hoeveelheid water die op een bepaald moment nog aanwezig is in de tank. Als er minder water in de tank zit is de waterdruk bij 1 2 de opening ook lager. Een passende formule bij deze tank is: V = 10  2 – ------ t . Hierin is 60 V het volume van het water in de tank in m3 en t de tijd in minuten. In figuur 3 zie je de grafiek waarin V is uitgezet tegen t.

62


Figuur 3. grafiek van het leeglopen van een tank waar onderin een gat is gemaakt

a. Met welke snelheid (liter/minuut) stroomt de tank leeg op t = 40 minuten? b. Beide tanks (figuur 1 en figuur 2) zijn na 2 uur leeg. Onderzoek op welk moment de uitstroomsnelheid in beide tanks gelijk is. Remweg De remweg R  v  van een auto is de afstand die een auto nog rijdt, nadat de bestuurder begint te remmen. Deze remweg R in meter, is een functie van de snelheid v in km/u. Ga ervan uit dat de maximumsnelheid van een auto 200 km/uur is. Wat betekenen de volgende formules in termen van remweg en snelheid a. R  100  = 80 b. R  80  = 1 15 c. R  v   0


63

Een discussiebijdrage Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek: wiskundige verbanden in de wetenschappen als casus Mieke De Cock Academische Lerarenopleiding Natuurkunde & LESEC, Katholieke Universiteit Leuven 1. Inleiding In dit themadeel werden drie artikelen gepresenteerd. In deze artikelen gaat het telkens over wiskunde binnen een ander vak. Dit kan natuurkunde zijn, maar ook economie of scheikunde. In elk van deze artikelen krijgt de wiskunde binnen dat andere vak een concrete betekenis. Niet de wiskunde om de wiskunde – waarin begrippen worden opgetild naar een hoger abstractieniveau – staat centraal, maar de wiskundige beschrijving van een concrete realiteit: een karretje dat versnelt, een veer die wordt uitgerekt, een verandering van snelheid, of marginale kosten. Toch wordt in de verschillende bijdragen een verschillend gezichtspunt ingenomen. De Bock et al. en Van Dooren et al. kijken naar de manier waarop leerlingen wiskunde gebruiken binnen fysica: zijn zij in staat een concrete fysische situatie wiskundig te beschrijven; wanneer wel, wanneer niet? Bij Vos et al. staan de leraren/docenten centraal: welke wiskundekennis bezitten zij (nog), hoe kijken zij naar wiskunde vanuit het vak dat ze onderwijzen, hoe behandelen ze wiskundige concepten en methoden in hun eigen onderwijs, en in welke mate zijn ze op de hoogte van het wiskundecurriculum van hun leerlingen? Zo komen de twee protagonisten bij onderwijsleerprocessen in beeld: de leerling en de leraar/docent. Vanuit mijn achtergrond als natuurkundige zoom ik in deze discussiebijdrage exemplarisch in op een aspect dat in elk van de drie bijdragen terugkomt: het gebruik van wiskunde binnen fysica. 2. Fysica en wiskunde: een haat-liefdeverhouding? Fysica is de wetenschap die algemene eigenschappen van fenomenen rondom ons bestudeert: de beweging van de planeten, het vallen van een bal, het koken van water, ... De taal waarin fysici deze realiteiten beschrijven, is wiskunde. Dit is (voor leerlingen) allesbehalve evident: een concrete werkelijkheid – een appel die uit een boom valt – wordt beschreven met behulp van een abstract formalisme: F = ma . Enerzijds blijken uit de studies van De Bock et al. en van Van Dooren et al. de moeilijkheden die leerlingen ondervinden bij het beschrijven van concrete situaties met behulp van wiskundige – al dan niet lineaire – verbanden. De studies tonen aan dat leerlingen een concrete situatie vaak betekenisloos vertalen in een foutieve (lineaire) formule. De oorzaak kan liggen in een incorrect begrip van de onderliggende fysische principes, in het niet effectief inschakelen van aanwezige kennis, of in een gebrekkige interpretatie van of

64

Discussiebijdrage: transdisciplinair vakdidactisch onderzoek

inzicht in de betekenis van formules. Anderzijds tonen Vos et al. aan dat leraren, bij het omgekeerde vertaalproces (vertrekken van de formule), juist een concrete realiteit gebruiken om betekenis te geven aan abstracte formules. De abstracte wiskundekennis van de docenten lijkt weggezakt en hun kennis is verschoven naar kennis die bruikbaar is in het eigen vakdomein. Hoe leerlingen met dit omgekeerde vertaalproces omgaan, komt niet aan bod in de artikelen, maar het is niet uitgesloten dat ze hiermee minder (of andere) problemen hebben. Het is dus uiterst belangrijk dat leraren beseffen dat de koppeling tussen concrete realiteit en abstracte wiskunde – die ze zelf gebruiken bij het betekenis geven aan formules – voor leerlingen misschien niet evident is en dat het vertalen van een situatie naar een formule bij leerlingen niet altijd betekenisvol gebeurt! Moet het onderwijs in fysica voor alle leerlingen wel kwantitatief georiënteerd zijn, of volstaat voor sommige studierichtingen een kwalitatieve benadering, waarbij de klemtoon dan ligt op de concepten en hun onderlinge verbanden (Hewitt, 2001), maar niet op de wiskundige beschrijving? En als zowel een kwalitatieve als een kwantitatieve beschrijving aan bod moet komen, in welke volgorde gebeurt dit dan het beste? Hierover zijn de meningen onder natuurkundedidactici verdeeld, maar wat duidelijk is, is dat de link tussen een kwalitatieve benadering en een wiskundige beschrijving meer aandacht verdient. Uit de onderzoeksresultaten van De Bock et al. en Van Dooren et al. blijkt dat kwalitatieve fysicaopgaven doorgaans beter beantwoord worden dan kwantitatieve. Bij De Bock et al. wordt ‘kwalitatief’ ook zo genoemd, bij Van Dooren et al. wordt de kwalitatieve kennis eerder uitgelokt in de impliciete en expliciete conditie. Leerlingen moeten in deze condities immers niets kwantificeren. Uit de resultaten blijkt verder dat zowat alle leerlingen – ook voordat ze formeel fysicaonderwijs hebben genoten – in een aantal topics al een goed kwalitatief inzicht hebben, maar dat het kwantificeren van dat inzicht moeilijk is, zeker als er een niet-lineaire relatie aan de orde is. Toch past hierbij een kanttekening: deze resultaten zijn niet zomaar veralgemeenbaar naar alle fysicadomeinen. Zo blijkt uit de resultaten van De Bock et al. dat het kwalitatief inzicht in de wet van Archimedes te wensen overlaat en bij Van Dooren et al. zien we dat leerlingen in het algemeen geen goed kwalitatief inzicht hebben in de invloed van de massa op de valversnelling. Dat het missen van een goed kwalitatief inzicht echter niet altijd het succes op schoolse fysicatoetsen in de weg staat, blijkt uit onderzoek van Mazur (1997): na het volgen van traditioneel onderwijs blijken heel wat studenten in staat te zijn kwantitatieve oefeningen rond elektrische circuits op te lossen zonder kwalitatief te kunnen aangeven wat er gebeurt. De relatie tussen fysische realiteit en intuïtie ligt niet zo eenvoudig. Enerzijds bouwen kinderen door hun dagelijkse ervaringen een groot aantal inzichten op, zonder dat ze die noodzakelijk expliciet kunnen verwoorden of benoemen. Van Dooren et al. verwezen in dat verband reeds naar de term ‘intuitive physics’ (Anderson, 1983). Anderzijds stroken onze intuïtieve inzichten zeker niet altijd met de wetten van de natuur (bijvoorbeeld McCloskey, 1983; Vosniadou & Brewer, 1992, 1994; Wiser & Amin, 2001)! Het zit bij velen

De Cock

65

van ons diepgeworteld dat zware voorwerpen sneller vallen, of dat een voorwerp waar geen kracht op inwerkt, stilvalt. Je moet toch blijven trappen op je fiets om te blijven vooruitgaan? Uit de eerste twee manuscripten in dit themadeel wordt duidelijk dat sommige fenomenen kwalitatief niet goed begrepen worden en dat leerlingen foute intuïties hebben én behouden, ondanks formeel fysicaonderricht. Blijkbaar is het gangbare onderwijs niet in staat deze leerlingendenkbeelden om te buigen tot correcte wetenschappelijke inzichten. Dit wordt bevestigd door een groot aantal studies in physics education (voor een uitvoerig overzicht, zie Duit, 2009). Er moet in het onderwijs wellicht meer én op adequatere wijze aandacht worden geschonken aan – correcte, maar ook incorrecte – leerlingendenkbeelden. Dit vraagt onderzoek, zowel naar de denkbeelden zelf, als naar methodes om er op in te spelen. Dit behoort ook een expliciet aandachtspunt te zijn bij de vorming van leraren. Immers, de leraar moet weten wat de leerlingen moeilijk vinden. Topics of verschijnselen waar onze intuïtie ons op het verkeerde been zet, of waarover we niet gemakkelijk intuïtieve kennis kunnen opbouwen, worden kwalitatief vaak minder goed begrepen. Zonder kwalitatief basisinzicht wordt kwantificeren moeilijk… Ook voor onderwerpen die wel kwalitatief begrepen zijn, kan het in het beschrijven van een fenomeen echter fout lopen door een gebrekkige of ontbrekende wiskundekennis. Het is bij dit aspect dat de curriculaire component van de PCK uit het artikel van Vos et al. aansluit: een leraar fysica moet niet alleen weten welke (foutieve) fysicadenkbeelden er leven bij de leerlingen, maar moet ook op de hoogte zijn van de wiskundige inhouden uit het curriculum en van de wiskundige problemen die zich voordoen in zijn/haar vak. Uit de studie van Vos et al. blijkt echter dat leraren deze interdisciplinaire component van PCK nog (te) weinig bezitten. 3. Kwantificeren = lineariseren? Het Leuvense Centrum voor Instructiepsychologie en -technologie bouwde de voorbije 10 tot 15 jaar een uitgebreide expertise op omtrent het onterecht lineair redeneren van leerlingen in diverse deeldomeinen van de wiskunde: meetkunde (De Bock, Van Dooren, Janssens, & Verschaffel, 2007), kansrekening (Van Dooren, De Bock, Depaepe, Janssens, & Verschaffel, 2003), elementaire rekenkunde (Van Dooren, De Bock, Hessels, Janssens, & Verschaffel, 2005). Binnen die domeinen gebruiken leerlingen massaal het lineaire model in situaties waarin dit niet geoorloofd is, mede omwille van het intuïtieve karakter van dit model (De Bock et al., 2007). Tegen de verwachting in blijken leerlingen zich minder snel te laten verleiden tot een blinde toepassing van het lineair model wanneer ze geconfronteerd worden met diverse contexten in de fysica. Fysica vertroebelt en compliceert blijkbaar het beeld, maakt het wiskundig minder zuiver. Zowel de resultaten van De Bock et al. als die van Van Dooren et al. suggereren dat leerlingen in een aantal gevallen toch rekening (proberen te) houden met hun inzicht in een specifieke fysische

66


werkelijkheid, dat ze meer aandacht besteden aan het interpreteren van de probleemsituatie alvorens tot oplossen over te gaan: – In de impliciete conditie bij Van Dooren et al. zijn de resultaten voor de vraag over het verband tussen de afstand en de tijd verrassend goed bij kinderen van acht jaar! Blijkbaar zijn leerlingen in die concrete setting wel in staat ‘versnelling’ om te zetten in correcte grootteordes van afstanden (niet expliciet in getallen). In de schoolse conditie, waar expliciet naar getallen wordt gevraagd, gebeurt dit echter niet. – Hoewel uit het artikel van De Bock et al. blijkt dat leerlingen ook bij fysicaproblemen vaak (onterecht) lineair redeneren, is deze neiging toch minder uitgesproken dan wat in bovenvermelde studies binnen wiskunde werd gerapporteerd. Dit wijst er op dat leerlingen de specificiteit van de context meer au sérieux nemen. Een kanttekening hierbij is dat niet elke toepassing van het lineaire model in een situatie die strikt genomen niet-lineair is, noodzakelijk ontmoedigd moet worden! Lineaire verbanden zijn nu eenmaal eenvoudiger dan kwadratische, exponentiële of omgekeerd evenredige verbanden. Wanneer wiskundigen of natuurwetenschappers er in slagen iets te ‘lineariseren’ dan is dat vaak een pluspunt, het maakt de situatie ‘berekenbaar’. Een methode zoals ‘curve fitting’ wordt door de meesten dan ook onmiddellijk geassocieerd met ‘lineaire regressie’... . Vaak vormen lineaire of ‘eerste-orde-benaderingen’ ook een goed startpunt dat, afhankelijk van de vereiste nauwkeurigheid, achteraf verder verfijnd kan worden. Op die manier bekeken, vormt het antwoord van de leerlingen op de vraag bij De Bock et al. over de tijd die nodig is om 1000 m te lopen niet eens een slechte ‘eerste benadering’! Van Dooren et al. geven aan dat sommige leerlingen die correct antwoorden in de expliciete conditie toch (onterecht) lineair redeneren op het schoolse vraagstuk. Blijkbaar gebruiken die leerlingen hun kwalitatief inzicht niet of onvoldoende bij het oplossen van vraagstukken in een schoolse context. Dergelijke dissociatie van kennis wordt ook beschreven in andere studies. Kanim (1999) onderzocht het oplossen van kwalitatieve en kwantitatieve vragen in verband met elektrische circuits. Uit de resultaten blijkt dat studenten eenzelfde vraag anders beantwoorden naargelang die in kwalitatieve dan wel in kwantitatieve vorm wordt gesteld. Studenten maken bij het beantwoorden van de kwantitatieve vraag geen gebruik van hun conceptueel inzicht in de gegeven situatie, doch werken zuiver ‘formula driven’. Ook bij het besluit over het niet-gebruiken van kwalitatief inzicht door de leerlingen van acht jaar bij Van Dooren et al. past een bedenking. Een vraag die in deze situatie rijst, is of dit wel van leerlingen kan verwacht worden. Op basis van de geziene leerstof kunnen ze het probleem van ‘Jan die met de fiets naar beneden rolt’ onmogelijk wiskundig correct oplossen! Om toch een correct antwoord te kunnen geven, moeten ze dus steunen op hun intuetie. Ook dat is verre van evident, zelfs niet indien deze intuïtie daadwerkelijk aanwezig is. Heel vaak wordt immers op een vraagstuk één correct én exact te berekenen ant-

De Cock

67

woord verwacht. Het druist in tegen de 'klascultuur' om een uitkomst aan te duiden die niet echt ‘berekend’ kan worden. Dat toch doen, vraagt veel 'lef' van een kind van acht. 4. Over de vorm van de vraag en taal Bij Van Dooren et al. is één van de centrale thema’s de rol van de ‘vorm’ waarin een vraag wordt gesteld. Uit de resultaten blijkt dat de antwoorden sterk variëren naargelang de vraag gesteld wordt in een schoolse dan wel in een meer authentieke context. De invloed van de presentatie van een vraag komt ook in de andere bijdragen terug. De Bock et al. vergelijken, telkens in een eerder schoolse setting, de antwoorden op vragen die gesteld zijn in een ontbrekende-waarde- en in een vergelijkingsstructuur. Uit voorafgaand onderzoek binnen wiskunde (De Bock, Verschaffel, & Janssens, 2002) blijkt dat het antwoordpatroon in beide structuren sterk kan verschillen: opgaven in ontbrekende-waardeopgaven zetten leerlingen sterker aan tot lineair redeneren dan vergelijkingsopgaven. In de in dit themadeel voorgestelde onderzoeksresultaten binnen fysica is deze tendens opnieuw veel minder duidelijk: leerlingen lijken wel degelijk rekening te houden met de betekenis van de begrippen en de aard van de context kan hen (soms) behoeden voor het maken van (lineaire) fouten. We merken hierbij ook op dat dit gelinkt is aan een gewoonte die deel uitmaakt van de klascultuur. Leerlingen zijn gewoon om met opgaven in een ontbrekende-waarde-structuur te werken en lineaire problemen worden quasi altijd in deze structuur aangeboden. Ook in de studie van Vos et al., waar vanuit het lerarenperspectief wordt gekeken, speelt de vorm van de vraagstelling een rol. Immers, bij niet standaard-opgaven blijken ook docenten in de war te geraken en bij een opgave over de wet van Torricelli hindert een dimensieloze formule hen. Daarbij aansluitend past nog een volgende bedenking in verband met taal. Uit de studie van Vos et al. blijkt dat qua conventies over terminologie en symbolengebruik er slechts een geringe afstemming is tussen de exacte vakken. Vanuit het perspectief van deze studie betreffen de aangehaalde voorbeelden verschillen in verband met wiskundebegrippen. Het spreekt voor zich dat een betere afstemming leerlingen zou kunnen helpen bij het slaan van de brug tussen wiskunde en fysica. Babylonische spraakverwarring zou aldus vermeden worden. Dit geldt echter niet alleen voor technische begrippen uit de wiskunde, maar ook voor meer vertrouwde concepten uit de fysica. Een nauwkeurig gebruik van vaktaal blijft een voortdurend aandachtspunt, niet enkel binnen een discipline maar ook wanneer de disciplinegrenzen worden overgestoken: massa is niet hetzelfde als gewicht, er is een verschil tussen ‘snelheid’ en de ‘grootte van de snelheid’, het maatgetal voor een fysische grootheid wordt uitgedrukt in een bepaalde eenheid. De vaststellingen uit de artikelen over de invloed van een vorm van vraagstelling hebben mijns inziens belangrijke repercussies voor het onderwijs. In de eerste plaats is het belangrijk dat leraren zich ervan bewust zijn dat verschillende wijzen van probleemformulering verschillende soorten kennis en vaardigheden oproepen. Zo blijkt het geen goed

68


idee te zijn het kwalitatief inzicht van leerlingen te toetsen met een opgave geformuleerd in een ontbrekende-waarde-structuur. Het stellen van een vraag in die vorm lokt bij de leerlingen immers een kwantitatieve redenering uit. Als de leraar het kwalitatief inzicht van leerlingen wil toetsen, kan hij de vraag beter stellen in een vorm die kwalitatieve kennis oproept. Ook dergelijke onderzoeksresultaten moeten aan bod komen in de lerarenopleiding. Het aanspreken van de verschillende vormen van kennis in verschillende settings zou – tijdens het leerproces – echter een krachtig didactisch instrument kunnen zijn. Kan de leraar het belang van de link tussen kwalitatieve kennis enerzijds en de beschrijving van een fysische realiteit in getallen en/of formules anderzijds aan de leerlingen duidelijk maken door hen te confronteren met de contradicties in hun antwoorden op verschillende soorten vragen? Het is dan ook een uitdaging voor het onderwijs om te variëren in de vraagstelling, zodat leerlingen de inhoudelijke – wiskundige, fysische, … – kern leren loskoppelen van de formuleringswijze van de opgave en flexibel leren omgaan met de verschillende vraagvormen. 5. Tot slot Fysica en wiskunde zijn sterk op elkaar aangewezen, maar de link is voor leerlingen niet altijd evident. Uit de eerste twee studies blijkt wel dat een fysicacontext leerlingen kan behoeden voor het maken van wiskundefouten. Bij de vakleraren die Vos et al. interviewden, blijkt duidelijk dat zij wiskunde invullen vanuit het eigen vakperspectief. Omdat leerlingen moeilijkheden ondervinden bij het slaan van bruggen tussen aanverwante disciplines, in casu fysica en wiskunde, moeten vakleraren dit proces mee begeleiden, onder meer door dwarsverbanden duidelijker te expliciteren. Om dit proces van ‘mathematiseren’ te vergemakkelijken is een optimale afstemming tussen de vakken noodzakelijk. Uit de studie van Vos et al. blijkt echter dat dit nog erg weinig en zeker niet op een consequente wijze gebeurt: niet alleen is er nauwelijks sprake van afstemming qua terminologie en symbolengebruik, de docenten zijn ook amper vertrouwd met het wiskundecurriculum. Uit deze studie blijkt bovendien dat de ‘zuivere’ wiskundekennis van de (andere) vakleraren is weggeëbd, wat het expliciet refereren ernaar uiteraard bemoeilijkt. Persoonlijk denk ik dat de afstemming tussen fysica en wiskunde (en ook tussen andere verwante disciplines) meer aandacht verdient en dat de manier waarop die afstemming het beste gerealiseerd kan worden, het voorwerp moet uitmaken van trans- en/of interdisciplinair wetenschappelijk onderzoek. Een samenwerking tussen math educators, science educators en (algemene) onderwijskundigen kan hier zeker een meerwaarde bieden! We sluiten af met enkele concrete vragen die in de voorgestelde studies nog geen afdoend antwoord kregen en om vervolgonderzoek vragen: – De onderzoeksresultaten van De Bock et al. en van Van Dooren et al. tonen aan dat leerlingen – ook in fysica – geregeld onterecht lineair redeneren. Het wordt evenwel niet helemaal duidelijk waarom zij dit doen. Zijn leerlingen inderdaad overtuigd van de juistheid van

De Cock

–

–

– –

–

69

het lineaire model in een gegeven situatie? Of ligt het probleem bij het kwantificeren zelf? Misschien willen leerlingen wel hun intuïtie gebruiken, maar weten zij niet precies hoe (wegens een te beperkte wiskundige kennis, geen of een onvoldoende diep inzicht in de manier waarop fenomenen wiskundig worden beschreven, ...). Het lijkt aangewezen hierover meer wetenschappelijk onderbouwde inzichten te verwerven, bijvoorbeeld aan de hand van diepte-interviews met leerlingen. Wat zouden we kunnen verwachten indien de impliciete en expliciete conditie in de studie van Van Dooren et al. niet zo drastisch waren, met andere woorden als de situatie bijvoorbeeld enkel geschetst werd, zonder de concrete opstelling met Lego-wagentjes? Welke soort kennis zou er dan worden opgeroepen? Werd er ook gekeken naar het perspectief van de wiskundeleraar? In welke mate heeft die zicht op het gebruik van elementen uit het wiskundecurriculum in andere disciplines? In welke mate is hij zelf vertrouwd met de toepassingen van wiskunde in deze disciplines? Welke attitude hebben wiskundeleraren ten opzichte van het gebruik van contexten uit andere disciplines? Wat zijn (mogelijke) oorzaken van het geconstateerde gebrek aan samenhangend onderwijs? Wat hebben leraren nodig om te werken naar meer samenhangend onderwijs? Het lijkt ook bijzonder interessant en relevant om te kijken door de ogen van de leerlingen: (hoe) voelen zij de geringe afstemming tussen wiskunde en fysica aan, heeft een betere afstemming invloed op hun prestaties in wiskunde en fysica? Kunnen er op basis van de voorgestelde onderzoeksresultaten concrete voorstellen worden geformuleerd voor een betere afstemming tussen aanverwante disciplines in het algemeen en tussen fysica en wiskunde in het bijzonder?

We hopen dat verder onderzoek een antwoord kan geven op deze vragen en dat op die manier verder wordt gebouwd aan trans- en interdisciplinair onderzoek. Literatuur Anderson, N. H. (1983). Intuitive physics: Understanding and learning of physical relations. In T. J. Tighe & B. E. Shepp (Eds.), Perception, cognition and development: Interactional analyses (pp. 231-265). Mahwah NJ: Lawrence Erlbaum Associates. De Bock, D., Van Dooren, W., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2007). The illusion of linearity: From analysis to improvement (Mathematics Education Library). New York: Springer. De Bock, D., Verschaffel, L., & Janssens, D. (2002). The effects of different problem presentations and formulations on the illusion of linearity in secondary school students. Mathematical Thinking and Learning, 4(1), 65-89. Duit, R. (2009). Bibliography - STCSE: Students’ and teachers’ conceptions and science education. Op 19 augustus 2009 geraadpleegd op http://www.ipn.uni-kiel.de/aktuell/ stcse/download_stcse.html

70


Hewitt, P. (2001). Conceptual physics. San Francisco: Addison Wesley. Kanim, S. (1999). An investigation of student difficulties in qualitative and quantitative problem solving: Examples form electric circuits and electrostatics. Unpublished doctoral dissertation, University of Washington, Washington, US. Mazur, E. (1997). Peer instruction: A user’s manual. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. McCloskey, M. (1983). Naïve theories of motion. In D. Gentner & A. L. Stevens (Eds.), Mental models (pp. 299-324). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Van Dooren, W., De Bock, D., Hessels, A., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2005). Not everything is proportional: Effects of age and problem type on propensities for overgeneralization. Cognition and Instruction, 23(1), 57-86. Van Dooren, W., De Bock, D., Depaepe, F., Janssens, D., & Verschaffel L. (2003). The illusion of linearity: Expanding the evidence towards probabilistic reasoning. Educational Studies in Mathematics, 53, 113-138. Vosniadou, S., & Brewer, W. F. (1992). Mental models of the earth. A study of conceptual change in childhood. Cognitive Psychology, 24, 535-585. Vosniadou, S., & Brewer, W. F. (1994). Mental models of the day/night cycle. Cognitive Science, 18, 123-183. Wiser, M., & Amin, T. (2001). ‘Is heat hot?’ Inducing conceptual change by integrating everyday and scientific perspectives on thermal phenomena. Learning and Instruction, 11(4-5), 331-355.

Inleiding Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek: wiskundige verbanden in de natuurwetenschappen als casus

Recommend Documents