1
Inhoudstabel Cursus Controletheorie 1.
2.
Hoofdstuk I: Inleiding
3
I.1 Beknopt historisch overzicht van controletheorie
4
I.2 Intuïtieve inleiding tot terugkoppeling (feedback)
24
I.3 Doel controle
27
I.4 Intuïtieve vergelijking open en gesloten lus regelsystemen
28
I.5 Rekenen met en vereenvoudigen van blokschema’s
30
I.6 Intuïtieve studie gesloten lus regelkring
37
I.6.1 Teken terugkoppeling
37
I.6.2 Storingsgedrag + nauwkeurigheid regelkring
38
I.6.3 Invloed meet- of sensorfout
39
I.6.4 Besluit
40
I.7 Inleiding tot een praktijkvoorbeeld: antenne-azimut-positieregelsysteem
41
I.8 Moderne controle
43
Hoofdstuk II: Lineaire systemen
44
II.1 Eenvoudige voorbeelden
45
II.2 Toestandsvergelijkingen van een systeem
47
II.3 Overgang differentiaalvergelijking naar toestandsvergelijking en omgekeerd
49
II.3.1 Overgang differentiaalvergelijking naar toestandsvergelijking
49
II.3.2 Overgang toestandsvergelijking naar differentiaalvergelijking
50
II.4 Tijdantwoord
52
II.4.1 Berekenen tijdsdomein oplossing vanuit de differentiaalvergelijking
52
II.4.2 Berekenen tijdsdomein oplossing vanuit de toestandsvergelijkingen
52
II.4.3 Stapantwoord
53
II.4.4 Statische fout
58
II.4.5 Statische fout bij verstoringen
61
II.5 Praktijkvoorbeeld: antenne-azimut positieregeling
64
II.6 Frequentieantwoord
65
II.6.1 Bode diagrams
65
II.6.2 Winst- en fasemarge
65
II.6.3 Systemen met vertraging
68
II.7 Poolbanen
70
II.7.1 Definities en voorbeelden
70
II.6.2 Schetsen van positieve poolbanen
72
II.7.3 Schetsen van negatieve poolbanen
74
II.8 Nyquist criterium
76
2
3.
II.8.1 Nyquist stabiliteitscriterium
76
II.8.2 Schetsen van het Nyquist diagram
78
Hoofdstuk III: Regelen van lineaire systemen III.1 State feedback regelaars
5.
83
III.1.1 Regelbaarheid (controllability) van een systeem
83
III.1.2 Waarneembaarheid (observability) van een systeem
85
III.1.3 Regelaarontwerp
86
III.1.4 Waarnemerontwerp
89
III.1.5 Integrerende regeling
91
III.1.6 Bespreking
92
III.1.7 Praktijkvoorbeeld: de antennebesturing
93
III.2 Compensatie regelaars
4.
82
97
III.2.1 PD compensation
97
III.2.2 Lead compensatie
98
III.2.3 PI compensatie
100
III.2.4 Lag compensatie
101
III.2.5 PID compensator
102
Hoofdstuk IV: Praktische voorbeelden
106
IV.1 De operationele versterker
107
IV.2. De spanningsregulator
111
IV.3 De compact disk speler
113
Hoofdstuk V: Inleiding tot digitale en niet-lineaire controle V.1 Digitale controle
117 107
V.1.1 De stapinvariante transformatie
118
V.1.2 De gesloten lus transferfunctie
121
V.1.3 Bespreking
121
V.2 Niet-lineaire controle V.2.1 Limietcyclus
122
V.2.2 Describing function
123
V.2.3 Voorbeeld: de bang-bang regelaar
125
V.3 Appendix
6. 7.
V.3.1 Appendix 1: bewijs van formule (221)
127
V.3.2 Appendix 2: antwoord op een Dirac trein
127
Bibliografie Oefeningen
Rik Pintelon, Brussel, september 2004 Versie 17 februari 2015
129 130
3
Hoofdstuk I: Inleiding
4 I.1 Beknopt historisch overzicht van controletheorie Reprinted from Chapter 1: Introduction to Modern Control Theory, in: F.L. Lewis, Applied Optimal Control and Estimation, Prentice-Hall, 1992. A BRIEF HISTORY OF FEEDBACK CONTROL Contents • Outline • A Brief History of Automatic Control Water Clocks of the Greeks and Arabs The Industrial Revolution The Millwrights Temperature Regulators Float Regulators Pressure Regulators Centrifugal Governors The Pendule Sympathique The Birth of Mathematical Control Theory Differential Equations Stability Theory System Theory Mass Communication and The Bell Telephone System Frequency-Domain Analysis The World Wars and Classical Control Ship Control Weapons Development and Gun Pointing M.I.T. Radiation Laboratory Stochastic Analysis The Classical Period of Control Theory The Space/Computer Age and Modern Control Time-Domain Design For Nonlinear Systems Sputnik - 1957 Navigation Optimality In Natural Systems Optimal Control and Estimation Theory Nonlinear Control Theory Computers in Controls Design and Implementation
5 The Development of Digital Computers Digital Control and Filtering Theory The Personal Computer The Union of Modern and Classical Control • The Philosophy of Classical Control • The Philosophy of Modern Control • References Outline In this chapter we introduce modern control theory by two approaches. First, a short history of automatic control theory is provided. Then, we describe the philosophies of classical and modern control theory. Feedback control is the basic mechanism by which systems, whether mechanical, electrical, or biological, maintain their equilibrium or homeostasis. In the higher life forms, the conditions under which life can continue are quite narrow. A change in body temperature of half a degree is generally a sign of illness. The homeostasis of the body is maintained through the use of feedback control [Wiener 1948]. A primary contribution of C.R. Darwin during the last century was the theory that feedback over long time periods is responsible for the evolution of species. In 1931 V. Volterra explained the balance between two populations of fish in a closed pond using the theory of feedback. Feedback control may be defined as the use of difference signals, determined by comparing the actual values of system variables to their desired values, as a means of controlling a system. An everyday example of a feedback control system is an automobile speed control, which uses the difference between the actual and the desired speed to vary the fuel flow rate. Since the system output is used to regulate its input, such a device is said to be a closed-loop control system. In this book we shall show how to use modern control theory to design feedback control systems. Thus, we are concerned not with natural control systems, such as those that occur in living organisms or in society, but with man-made control systems such as those used to control aircraft, automobiles, satellites, robots, and industrial processes. Realizing that the best way to understand an area is to examine its evolution and the reasons for its existence, we shall first provide a short history of automatic control theory. Then, we give a brief discussion of the philosophies of classical and modern control theory. The references for Chapter 1 are at the end of this chapter. The references for the remainder of the book appear at the end of the book. 1.1 A BRIEF HISTORY OF AUTOMATIC CONTROL There have been many developments in automatic control theory during recent years. It is difficult to provide an impartial analysis of an area while it is still developing; however, looking back on the progress of feedback control theory it is by now possible to distinguish some main trends and point out some key advances.
6 Feedback control is an engineering discipline. As such, its progress is closely tied to the practical problems that needed to be solved during any phase of human history. The key developments in the history of mankind that affected the progress of feedback control were: 1. The preoccupation of the Greeks and Arabs with keeping accurate track of time. This represents a period from about 300 BC to about 1200 AD. 2. The Industrial Revolution in Europe. The Industrial Revolution is generally agreed to have started in the third quarter of the eighteenth century; however, its roots can be traced back into the 1600's. 3. The beginning of mass communication and the First and Second World Wars. This represents a period from about 1910 to 1945. 4. The beginning of the space/computer age in 1957. One may consider these as phases in the development of man, where he first became concerned with understanding his place in space and time, then with taming his environment and making his existence more comfortable, then with establishing his place in a global community, and finally with his place in the cosmos. At a point between the Industrial Revolution and the World Wars, there was an extremely important development. Namely, control theory began to acquire its written language- the language of mathematics. J.C. Maxwell provided the first rigorous mathematical analysis of a feedback control system in 1868. Thus, relative to this written language, we could call the period before about 1868 the prehistory of automatic control. Following Friedland [1986], we may call the period from 1868 to the early 1900's the primitive period of automatic control. It is standard to call the period from then until 1960 the classical period, and the period from 1960 through present times the modern period. Let us now progress quickly through the history of automatic controls. A reference for the period -300 through the Industrial Revolution is provided by [Mayr 1970], which we shall draw on and at times quote. See also [Fuller 1976]. Other important references used in preparing this section included [M. Bokharaie 1973] and personal discussions with J.D. Aplevich of the University of Waterloo, K.M. Przyluski of the Polish Academy of Sciences, and W. Askew, a former Fellow at LTV Missiles and Space Corporation and vice-president of E-Systems. Water Clocks of the Greeks and Arabs The primary motivation for feedback control in times of antiquity was the need for the accurate determination of time. Thus, in about -270 the Greek Ktesibios invented a float regulator for a water clock. The function of this regulator was to keep the water level in a tank at a constant depth. This constant depth yielded a constant flow of water through a tube at the bottom of the tank which filled a second tank at a constant rate. The level of water in the second tank thus depended on time elapsed. The regulator of Ktesibios used a float to control the inflow of water through a valve; as the level of water fell the valve opened and replenished the reservoir. This float regulator performed the same function as the ball and cock in a modern flush toilet. A float regulator was used by Philon of Byzantium in -250 to keep a constant level of oil in a lamp.
7 During the first century AD Heron of Alexandria developed float regulators for water clocks. The Greeks used the float regulator and similar devices for purposes such as the automatic dispensing of wine, the design of syphons for maintaining constant water level differences between two tanks, the opening of temple doors, and so on. These devices could be called “gadgets” since they were among the earliest examples of an idea looking for an application. In 800 through 1200 various Arab engineers such as the three brothers Musa, Al-Jazari, and Ibn al-Saati used float regulators for water clocks and other applications. During this period the important feedback principle of "on/off" control was used, which comes up again in connection with minimum-time problems in the 1950's. When Baghdad fell to the Mongols in 1258 all creative thought along these lines came to an end. Moreover, the invention of the mechanical clock in the 14th century made the water clock and its feedback control system obsolete. (The mechanical clock is not a feedback control system.) The float regulator does not appear again until its use in the Industrial Revolution. Along with a concern for his place in time, early man had a concern for his place in space. It is worth mentioning that a pseudo-feedback control system was developed in China in the 12th century for navigational purposes. The south-pointing chariot had a statue which was turned by a gearing mechanism attached to the wheels of the chariot so that it continuously pointed south. Using the directional information provided by the statue, the charioteer could steer a straight course. We call this a “pseudofeedback” control system since it does not technically involve feedback unless the actions of the charioteer are considered as part of the system. Thus, it is not an automatic control system. The Industrial Revolution The Industrial Revolution in Europe followed the introduction of prime movers, or self-driven machines. It was marked by the invention of advanced grain mills, furnaces, boilers, and the steam engine. These devices could not be adequately regulated by hand, and so arose a new requirement for automatic control systems. A variety of control devices was invented, including float regulators, temperature regulators, pressure regulators, and speed control devices. J. Watt invented his steam engine in 1769, and this date marks the accepted beginning of the Industrial Revolution. However, the roots of the Industrial Revolution can be traced back to the 1600's or earlier with the development of grain mills and the furnace. One should be aware that others, primarily T. Newcomen in 1712, built the first steam engines. However, the early steam engines were inefficient and regulated by hand, making them less suited to industrial use. It is extremely important to realize that the Industrial Revolution did not start until the invention of improved engines and automatic control systems to regulate them. The Millwrights The millwrights of Britain developed a variety of feedback control devices. The fantail, invented in 1745 by British blacksmith E. Lee, consisted of a small fan mounted at right angles to the main wheel of a windmill. Its function was to point the windmill continuously into the wind. The mill-hopper was a device which regulated the flow of grain in a mill depending on the speed of rotation of the millstone. It was in use in a fairly refined form by about 1588.
8 To build a feedback controller, it is important to have adequate measuring devices. The millwrights developed several devices for sensing speed of rotation. Using these sensors, several speed regulation devices were invented, including self-regulating windmill sails. Much of the technology of the millwrights was later developed for use in the regulation of the steam engine. Temperature Regulators Cornelis Drebbel of Holland spent some time in England and a brief period with the Holy Roman Emperor Rudolf II in Prague, together with his contemporary J. Kepler. Around 1624 he developed an automatic temperature control system for a furnace, motivated by his belief that base metals could be turned to gold by holding them at a precise constant temperature for long periods of time. He also used this temperature regulator in an incubator for hatching chickens. Temperature regulators were studied by J. J. Becher in 1680, and used again in an incubator by the Prince de Conti and R.-A.F. de Réaumur in 1754. The "sentinel register" was developed in America by W. Henry around 1771, who suggested its use in chemical furnaces, in the manufacture of steel and porcelain, and in the temperature control of a hospital. It was not until 1777, however, that a temperature regulator suitable for industrial use was developed by Bonnemain, who used it for an incubator. His device was later installed on the furnace of a hot-water heating plant. Float Regulators Regulation of the level of a liquid was needed in two main areas in the late 1700's: in the boiler of a steam engine and in domestic water distribution systems. Therefore, the float regulator received new interest, especially in Britain. In his book of 1746, W. Salmon quoted prices for ball-and-cock float regulators used for maintaining the level of house water reservoirs. This regulator was used in the first patents for the flush toilet around 1775. The flush toilet was further refined by Thomas Crapper, a London plumber, who was knighted by Queen Victoria for his inventions. The earliest known use of a float valve regulator in a steam boiler is described in a patent issued to J. Brindley in 1758. He used the regulator in a steam engine for pumping water. S.T. Wood used a float regulator for a steam engine in his brewery in 1784. In Russian Siberia, the coal miner I.I. Polzunov developed in 1765 a float regulator for a steam engine that drove fans for blast furnaces. By 1791, when it was adopted by the firm of Boulton and Watt, the float regulator was in common use in steam engines. Pressure Regulators Another problem associated with the steam engine is that of steam-pressure regulation in the boiler, for the steam that drives the engine should be at a constant pressure. In 1681 D. Papin invented a safety valve for a pressure cooker, and in 1707 he used it as a regulating device on his steam engine. Thereafter, it was a standard feature on steam engines. The pressure regulator was further refined in 1799 by R. Delap and also by M. Murray. In 1803 a pressure regulator was combined with a float regulator by Boulton and Watt for use in their steam engines.
9 Centrifugal Governors The first steam engines provided a reciprocating output motion that was regulated using a device known as a cataract, similar to a float valve. The cataract originated in the pumping engines of the Cornwall coal mines. J. Watt's steam engine with a rotary output motion had reached maturity by 1783, when the first one was sold. The main incentive for its development was evidently the hope of introducing a prime mover into milling. Using the rotary output engine, the Albion steam mill began operation early in 1786. A problem associated with the rotary steam engine is that of regulating its speed of revolution. Some of the speed regulation technology of the millwrights was developed and extended for this purpose. In 1788 Watt completed the design of the centrifugal flyball governor for regulating the speed of the rotary steam engine. This device employed two pivoted rotating flyballs which were flung outward by centrifugal force. As the speed of rotation increased, the flyweights swung further out and up, operating a steam flow throttling valve which slowed the engine down. Thus, a constant speed was achieved automatically. The feedback devices mentioned previously either remained obscure or played an inconspicuous role as a part of the machinery they controlled. On the other hand, the operation of the flyball governor was clearly visible even to the untrained eye, and its principle had an exotic flavor which seemed to many to embody the nature of the new industrial age. Therefore, the governor reached the consciousness of the engineering world and became a sensation throughout Europe. This was the first use of feedback control of which there was popular awareness. It is worth noting that the Greek word for governor is kußernan. In 1947, Norbert Wiener at MIT was searching for a name for his new discipline of automata theory- control and communication in man and machine. In investigating the flyball governor of Watt, he investigated also the etymology of the word kußernan and came across the Greek word for steersman, kußerntV . Thus, he selected the name cybernetics for his fledgling field. Around 1790 in France, the brothers Périer developed a float regulator to control the speed of a steam engine, but their technique was no match for the centrifugal governor, and was soon supplanted. The Pendule Sympathique Having begun our history of automatic control with the water clocks of ancient Greece, we round out this portion of the story with a return to mankind's preoccupation with time. The mechanical clock invented in the 14th century is not a closed-loop feedback control system, but a precision open-loop oscillatory device whose accuracy is ensured by protection against external disturbances. In 1793 the French-Swiss A.-L. Breguet, the foremost watchmaker of his day, invented a closed-loop feedback system to synchronize pocket watches. The pendule sympathique of Breguet used a special case of speed regulation. It consisted of a large, accurate precision chronometer with a mount for a pocket watch. The pocket watch to be synchronized is placed into the mount slightly before 12 o'clock, at which time a pin emerges from the chronometer, inserts into the watch, and begins a process of automatically adjusting the regulating arm of the watch's balance spring. After a few placements of the watch in the pendule sympathique, the regulating arm is
10 adjusted automatically. In a sense, this device was used to transmit the accuracy of the large chronometer to the small portable pocket watch. The Birth of Mathematical Control Theory The design of feedback control systems up through the Industrial Revolution was by trial-and-error together with a great deal of engineering intuition. Thus, it was more of an art than a science. In the mid 1800's mathematics was first used to analyze the stability of feedback control systems. Since mathematics is the formal language of automatic control theory, we could call the period before this time the prehistory of control theory. Differential Equations In 1840, the British Astronomer Royal at Greenwich, G.B. Airy, developed a feedback device for pointing a telescope. His device was a speed control system which turned the telescope automatically to compensate for the earth's rotation, affording the ability to study a given star for an extended time. Unfortunately, Airy discovered that by improper design of the feedback control loop, wild oscillations were introduced into the system. He was the first to discuss the instability of closed-loop systems, and the first to use differential equations in their analysis [Airy 1840]. The theory of differential equations was by then well developed, due to the discovery of the infinitesimal calculus by I. Newton (1642-1727) and G.W. Leibniz (1646-1716), and the work of the brothers Bernoulli (late 1600's and early 1700's), J.F. Riccati (1676-1754), and others. The use of differential equations in analyzing the motion of dynamical systems was established by J.L. Lagrange (1736-1813) and W.R. Hamilton (1805-1865). Stability Theory The early work in the mathematical analysis of control systems was in terms of differential equations. J.C. Maxwell analyzed the stability of Watt's flyball governor [Maxwell 1868]. His technique was to linearize the differential equations of motion to find the characteristic equation of the system. He studied the effect of the system parameters on stability and showed that the system is stable if the roots of the characteristic equation have negative real parts. With the work of Maxwell we can say that the theory of control systems was firmly established. E.J. Routh provided a numerical technique for determining when a characteristic equation has stable roots [Routh 1877]. The Russian I.I. Vishnegradsky [1877] analyzed the stability of regulators using differential equations independently of Maxwell. In 1893, A.B. Stodola studied the regulation of a water turbine using the techniques of Vishnegradsky. He modeled the actuator dynamics and included the delay of the actuating mechanism in his analysis. He was the first to mention the notion of the system time constant. Unaware of the work of Maxwell and Routh, he posed the problem of determining the stability of the characteristic equation to A. Hurwitz [1895], who solved it independently. The work of A.M. Lyapunov was seminal in control theory. He studied the stability of nonlinear differential equations using a generalized notion of energy in 1892 [Lyapunov 1893]. Unfortunately, though his work was applied and continued in Russia, the time was not ripe in the West for his elegant theory, and it remained unknown there until approximately 1960, when its importance was finally realized.
11 The British engineer O. Heaviside invented operational calculus in 1892-1898. He studied the transient behavior of systems, introducing a notion equivalent to that of the transfer function. System Theory It is within the study of systems that feedback control theory has its place in the organization of human knowledge. Thus, the concept of a system as a dynamical entity with definite "inputs" and "outputs" joining it to other systems and to the environment was a key prerequisite for the further development of automatic control theory. The history of system theory requires an entire study on its own, but a brief sketch follows. During the eighteenth and nineteenth centuries, the work of A. Smith in economics [The Wealth of Nations, 1776], the discoveries of C.R. Darwin [On the Origin of Species By Means of Natural Selection 1859], and other developments in politics, sociology, and elsewhere were having a great impact on the human consciousness. The study of Natural Philosophy was an outgrowth of the work of the Greek and Arab philosophers, and contributions were made by Nicholas of Cusa (1463), Leibniz, and others. The developments of the nineteenth century, flavored by the Industrial Revolution and an expanding sense of awareness in global geopolitics and in astronomy had a profound influence on this Natural Philosophy, causing it to change its personality. By the early 1900's A.N. Whitehead [1925], with his philosophy of "organic mechanism", L. von Bertalanffy [1938], with his hierarchical principles of organization, and others had begun to speak of a "general system theory". In this context, the evolution of control theory could proceed. Mass Communication and The Bell Telephone System At the beginning of the 20th century there were two important occurrences from the point of view of control theory: the development of the telephone and mass communications, and the World Wars. Frequency-Domain Analysis The mathematical analysis of control systems had heretofore been carried out using differential equations in the time domain. At Bell Telephone Laboratories during the 1920's and 1930's, the frequency domain approaches developed by P.-S. de Laplace (1749-1827), J. Fourier (1768-1830), A.L. Cauchy (1789-1857), and others were explored and used in communication systems. A major problem with the development of a mass communication system extending over long distances is the need to periodically amplify the voice signal in long telephone lines. Unfortunately, unless care is exercised, not only the information but also the noise is amplified. Thus, the design of suitable repeater amplifiers is of prime importance. To reduce distortion in repeater amplifiers, H.S. Black demonstrated the usefulness of negative feedback in 1927 [Black 1934]. The design problem was to introduce a phase shift at the correct frequencies in the system. Regeneration Theory for the design of stable amplifiers was developed by H. Nyquist [1932]. He derived his Nyquist stability criterion based on the polar plot of a complex function. H.W. Bode in 1938 used the magnitude and phase frequency response plots of a complex function [Bode 1940]. He investigated closed-loop stability using the notions of gain and phase margin. The World Wars and Classical Control As mass communications and faster modes of travel made the world smaller, there was much tension as men tested their place in a global society. The result was the World Wars, during which the development
12 of feedback control systems became a matter of survival. Ship Control An important military problem during this period was the control and navigation of ships, which were becoming more advanced in their design. Among the first developments was the design of sensors for the purpose of closed-loop control. In 1910, E.A. Sperry invented the gyroscope, which he used in the stabilization and steering of ships, and later in aircraft control. N. Minorsky [1922] introduced his three-term controller for the steering of ships, thereby becoming the first to use the proportional-integral-derivative (PID) controller. He considered nonlinear effects in the closed-loop system. Weapons Development and Gun Pointing A main problem during the period of the World Wars was that of the accurate pointing of guns aboard moving ship and aircraft. With the publication of "Theory of Servomechanisms" by H.L. Házen [1934], the use of mathematical control theory in such problems was initiated. In his paper, Házen coined the word servomechanisms, which implies a master/slave relationship in systems. The Norden bombsight, developed during World War II, used synchro repeaters to relay information on aircraft altitude and velocity and wind disturbances to the bombsight, ensuring accurate weapons delivery. M.I.T. Radiation Laboratory To study the control and information processing problems associated with the newly invented radar, the Radiation Laboratory was established at the Massachusetts Institute of Technology in 1940. Much of the work in control theory during the 1940's came out of this lab. While working on an M.I.T./Sperry Corporation joint project in 1941, A.C. Hall recognized the deleterious effects of ignoring noise in control system design. He realized that the frequency-domain technology developed at Bell Labs could be employed to confront noise effects, and used this approach to design a control system for an airborne radar. This success demonstrated conclusively the importance of frequency-domain techniques in control system design [Hall 1946]. Using design approaches based on the transfer function, the block diagram, and frequency-domain methods, there was great success in controls design at the Radiation Lab. In 1947, N.B. Nichols developed his Nichols Chart for the design of feedback systems. With the M.I.T. work, the theory of linear servomechanisms was firmly established. A summary of the M.I.T. Radiation Lab work is provided in Theory of Servomechanisms [James, Nichols, and Phillips, 1947]. Working at North American Aviation, W.R. Evans [1948] presented his root locus technique, which provided a direct way to determine the closed-loop pole locations in the s-plane. Subsequently, during the 1950's, much controls work was focused on the s-plane, and on obtaining desirable closed-loop step-response characteristics in terms of rise time, percent overshoot, and so on. Stochastic Analysis During this period also, stochastic techniques were introduced into control and communication theory. At M.I.T in 1942, N. Wiener [1949] analyzed information processing systems using models of stochastic processes. Working in the frequency domain, he developed a statistically optimal filter for stationary
13 continuous-time signals that improved the signal-to-noise ratio in a communication system. The Russian A.N. Kolmogorov [1941] provided a theory for discrete-time stationary stochastic processes. The Classical Period of Control Theory By now, automatic control theory using frequency-domain techniques had come of age, establishing itself as a paradigm (in the sense of Kuhn [1962]). On the one hand, a firm mathematical theory for servomechanisms had been established, and on the other, engineering design techniques were provided. The period after the Second World War can be called the classical period of control theory. It was characterized by the appearance of the first textbooks [MacColl 1945; Lauer, Lesnick, and Matdon 1947; Brown and Campbell 1948; Chestnut and Mayer 1951; Truxall 1955], and by straightforward design tools that provided great intuition and guaranteed solutions to design problems. These tools were applied using hand calculations, or at most slide rules, together with graphical techniques. The Space/Computer Age and Modern Control With the advent of the space age, controls design in the United States turned away from the frequencydomain techniques of classical control theory and back to the differential equation techniques of the late 1800's, which were couched in the time domain. The reasons for this development are as follows. Time-Domain Design For Nonlinear Systems The paradigm of classical control theory was very suitable for controls design problems during and immediately after the World Wars. The frequency-domain approach was appropriate for linear timeinvariant systems. It is at its best when dealing with single-input/single-output systems, for the graphical techniques were inconvenient to apply with multiple inputs and outputs. Classical controls design had some successes with nonlinear systems. Using the noise-rejection properties of frequency-domain techniques, a control system can be designed that is robust to variations in the system parameters, and to measurement errors and external disturbances. Thus, classical techniques can be used on a linearized version of a nonlinear system, giving good results at an equilibrium point about which the system behavior is approximately linear. Frequency-domain techniques can also be applied to systems with simple types of nonlinearities using the describing function approach, which relies on the Nyquist criterion. This technique was first used by the Pole J. Groszkowski in radio transmitter design before the Second World War and formalized in 1964 by J. Kudrewicz. Unfortunately, it is not possible to design control systems for advanced nonlinear multivariable systems, such as those arising in aerospace applications, using the assumption of linearity and treating the singleinput/single-output transmission pairs one at a time. In the Soviet Union, there was a great deal of activity in nonlinear controls design. Following the lead of Lyapunov, attention was focused on time-domain techniques. In 1948, Ivachenko had investigated the principle of relay control, where the control signal is switched discontinuously between discrete values. Tsypkin used the phase plane for nonlinear controls design in 1955. V.M. Popov [1961] provided his circle criterion for nonlinear stability analysis. Sputnik - 1957 Given the history of control theory in the Soviet Union, it is only natural that the first satellite, Sputnik, was launched there in 1957. The first conference of the newly formed International Federation of
14 Automatic Control (IFAC) was fittingly held in Moscow in 1960. The launch of Sputnik engendered tremendous activity in the United States in automatic controls design. On the failure of any paradigm, a return to historical and natural first principles is required. Thus, it was clear that a return was needed to the time-domain techniques of the "primitive" period of control theory, which were based on differential equations. It should be realized that the work of Lagrange and Hamilton makes it straightforward to write nonlinear equations of motion for many dynamical systems. Thus, a control theory was needed that could deal with such nonlinear differential equations. It is quite remarkable that in almost exactly 1960, major developments occurred independently on several fronts in the theory of communication and control. Navigation In 1960, C.S. Draper invented his inertial navigation system, which used gyroscopes to provided accurate information on the position of a body moving in space, such as a ship, aircraft, or spacecraft. Thus, the sensors appropriate for navigation and controls design were developed. Optimality In Natural Systems Johann Bernoulli first mentioned the Principle of Optimality in connection with the Brachistochrone Problem in 1696. This problem was solved by the brothers Bernoulli and by I. Newton, and it became clear that the quest for optimality is a fundamental property of motion in natural systems. Various optimality principles were investigated, including the minimum-time principle in optics of P. de Fermat (1600's), the work of L. Euler in 1744, and Hamilton's result that a system moves in such a way as to minimize the time integral of the difference between the kinetic and potential energies. These optimality principles are all minimum principles. Interestingly enough, in the early 1900's, A. Einstein showed that, relative to the 4-D space-time coordinate system, the motion of systems occurs in such as way as to maximize the time. Optimal Control and Estimation Theory Since naturally-occurring systems exhibit optimality in their motion, it makes sense to design man-made control systems in an optimal fashion. A major advantage is that this design may be accomplished in the time domain. In the context of modern controls design, it is usual to minimize the time of transit, or a quadratic generalized energy functional or performance index, possibly with some constraints on the allowed controls. R. Bellman [1957] applied dynamic programming to the optimal control of discrete-time systems, demonstrating that the natural direction for solving optimal control problems is backwards in time. His procedure resulted in closed-loop, generally nonlinear, feedback schemes. By 1958, L.S. Pontryagin had developed his maximum principle, which solved optimal control problems relying on the calculus of variations developed by L. Euler (1707-1783). He solved the minimum-time problem, deriving an on/off relay control law as the optimal control [Pontryagin, Boltyansky, Gamkrelidze, and Mishchenko 1962]. In the U.S. during the 1950's, the calculus of variations was applied to general optimal control problems at the University of Chicago and elsewhere.
15 In 1960 three major papers were published by R. Kalman and coworkers, working in the U.S. One of these [Kalman and Bertram 1960], publicized the vital work of Lyapunov in the time-domain control of nonlinear systems. The next [Kalman 1960a] discussed the optimal control of systems, providing the design equations for the linear quadratic regulator (LQR). The third paper [Kalman 1960b] discussed optimal filtering and estimation theory, providing the design equations for the discrete Kalman filter. The continuous Kalman filter was developed by Kalman and Bucy [1961]. In the period of a year, the major limitations of classical control theory were overcome, important new theoretical tools were introduced, and a new era in control theory had begun; we call it the era of modern control. The key points of Kalman's work are as follows. It is a time-domain approach, making it more applicable for time-varying linear systems as well as nonlinear systems. He introduced linear algebra and matrices, so that systems with multiple inputs and outputs could easily be treated. He employed the concept of the internal system state; thus, the approach is one that is concerned with the internal dynamics of a system and not only its input/output behavior. In control theory, Kalman formalized the notion of optimality in control theory by minimizing a very general quadratic generalized energy function. In estimation theory, he introduced stochastic notions that applied to nonstationary time-varying systems, thus providing a recursive solution, the Kalman filter, for the least-squares approach first used by C.F. Gauss (1777-1855) in planetary orbit estimation. The Kalman filter is the natural extension of the Wiener filter to nonstationary stochastic systems. Classical frequency-domain techniques provide formal tools for control systems design, yet the design phase itself remained very much an art and resulted in nonunique feedback systems. By contrast, the theory of Kalman provided optimal solutions that yielded control systems with guaranteed performance. These controls were directly found by solving formal matrix design equations which generally had unique solutions. It is no accident that from this point the U.S. space program blossomed, with a Kalman filter providing navigational data for the first lunar landing. Nonlinear Control Theory During the 1960's in the U.S., G. Zames [1966], I.W. Sandberg [1964], K.S. Narendra [Narendra and Goldwyn 1964], C.A. Desoer [1965], and others extended the work of Popov and Lyapunov in nonlinear stability. There was an extensive application of these results in the study of nonlinear distortion in band-limited feedback loops, nonlinear process control, aircraft controls design, and eventually in robotics. Computers in Controls Design and Implementation Classical design techniques could be employed by hand using graphical approaches. On the other hand, modern controls design requires the solution of complicated nonlinear matrix equations. It is fortunate that in 1960 there were major developments in another area- digital computer technology. Without computers, modern control would have had limited applications. The Development of Digital Computers In about 1830 C. Babbage introduced modern computer principles, including memory, program control, and branching capabilities. In 1948, J. von Neumann directed the construction of the IAS
16 stored-program computer at Princeton. IBM built its SSEC stored-program machine. In 1950, Sperry Rand built the first commercial data processing machine, the UNIVAC I. Soon after, IBM marketed the 701 computer. In 1960 a major advance occurred- the second generation of computers was introduced which used solid-state technology. By 1965, Digital Equipment Corporation was building the PDP-8, and the minicomputer industry began. Finally, in 1969 W. Hoff invented the microprocessor. Digital Control and Filtering Theory Digital computers are needed for two purposes in modern controls. First, they are required to solve the matrix design equations that yield the control law. This is accomplished off-line during the design process. Second, since the optimal control laws and filters are generally time-varying, they are needed to implement modern control and filtering schemes on actual systems. With the advent of the microprocessor in 1969 a new area developed. Control systems that are implemented on digital computers must be formulated in discrete time. Therefore, the growth of digital control theory was natural at this time. During the 1950's, the theory of sampled data systems was being developed at Columbia by J.R. Ragazzini, G. Franklin, and L.A. Zadeh [Ragazzini and Zadeh 1952, Ragazzini and Franklin 1958]; as well as by E.I. Jury [1960], B.C. Kuo [1963], and others. The idea of using digital computers for industrial process control emerged during this period [Åström and Wittenmark 1984]. Serious work started in 1956 with the collaborative project between TRW and Texaco, which resulted in a computer-controlled system being installed at the Port Arthur oil refinery in Texas in 1959. The development of nuclear reactors during the 1950's was a major motivation for exploring industrial process control and instrumentation. This work has its roots in the control of chemical plants during the 1940's. By 1970, with the work of K. Åström [1970] and others, the importance of digital controls in process applications was firmly established. The work of C.E. Shannon in the 1950's at Bell Labs had revealed the importance of sampled data techniques in the processing of signals. The applications of digital filtering theory were investigated at the Analytic Sciences Corporation [Gelb 1974] and elsewhere. The Personal Computer With the introduction of the PC in 1983, the design of modern control systems became possible for the individual engineer. Thereafter, a plethora of software control systems design packages was developed, including ORACLS, Program CC, Control-C, PC-Matlab, MATRIXx, Easy5, SIMNON, and others. The Union of Modern and Classical Control With the publication of the first textbooks in the 1960's, modern control theory established itself as a paradigm for automatic controls design in the U.S. Intense activity in research and implementation ensued, with the I.R.E. and the A.I.E.E. merging, largely through the efforts of P. Haggerty at Texas Instruments, to form the Institute of Electrical and Electronics Engineers (I.E.E.E) in the early 1960's.
17 With all its power and advantages, modern control was lacking in some aspects. The guaranteed performance obtained by solving matrix design equations means that it is often possible to design a control system that works in theory without gaining any engineering intuition about the problem. On the other hand, the frequency-domain techniques of classical control theory impart a great deal of intuition. Another problem is that a modern control system with any compensator dynamics can fail to be robust to disturbances, unmodelled dynamics, and measurement noise. On the other hand, robustness is built in with a frequency-domain approach using notions like the gain and phase margin. Therefore, in the 1970's, especially in Great Britain, there was a great deal of activity by H.H. Rosenbrock [1974], A.G.J. MacFarlane and I. Postlethwaite [1977], and others to extend classical frequency-domain techniques and the root locus to multivariable systems. Successes were obtained using notions like the characteristic locus, diagonal dominance, and the inverse Nyquist array. A major proponent of classical techniques for multivariable systems was I. Horowitz, whose quantitative feedback theory developed in the early 1970's accomplishes robust design using the Nichols chart. In 1981 seminal papers appeared by J. Doyle and G. Stein [1981] and M.G. Safonov, A.J. Laub, and G.L. Hartmann [1981]. Extending the seminal work of MacFarlane and Postlethwaite [1977], they showed the importance of the singular value plots versus frequency in robust multivariable design. Using these plots, many of the classical frequency-domain techniques can be incorporated into modern design. This work was pursued in aircraft and process control by M. Athans [1986] and others. The result is a new control theory that blends the best features of classical and modern techniques. A survey of this robust modern control theory is provided by P. Dorato [1987]. 1.2 THE PHILOSOPHY OF CLASSICAL CONTROL Having some understanding of the history of automatic control theory, we may now briefly discuss the philosophies of classical and modern control theory. Developing as it did for feedback amplifier design, classical control theory was naturally couched in the frequency domain and the s-plane. Relying on transform methods, it is primarily applicable for linear timeinvariant systems, though some extensions to nonlinear systems were made using, for instance, the describing function. The system description needed for controls design using the methods of Nyquist and Bode is the magnitude and phase of the frequency response. This is advantageous since the frequency response can be experimentally measured. The transfer function can then be computed. For root locus design, the transfer function is needed. The block diagram is heavily used to determine transfer functions of composite systems. An exact description of the internal system dynamics is not needed for classical design; that is, only the input/output behavior of the system is of importance. The design may be carried out by hand using graphical techniques. These methods impart a great deal of intuition and afford the controls designer with a range of design possibilities, so that the resulting control systems are not unique. The design process is an engineering art. A real system has disturbances and measurement noise, and may not be described exactly by the mathematical model the engineer is using for design. Classical theory is natural for designing control systems that are robust to such disorders, yielding good closed-loop performance in spite of them. Robust design is carried out using notions like the gain and phase margin.
18 Simple compensators like proportional-integral-derivative (PID), lead-lag, or washout circuits are generally used in the control structure. The effects of such circuits on the Nyquist, Bode, and root locus plots are easy to understand, so that a suitable compensator structure can be selected. Once designed, the compensator can be easily tuned on line. A fundamental concept in classical control is the ability to describe closed-loop properties in terms of open-loop properties, which are known or easy to measure. For instance, the Nyquist, Bode, and root locus plots are in terms of the open-loop transfer function. Again, the closed-loop disturbance rejection properties and steady-state error can be described in terms of the return difference and sensitivity. Classical control theory is difficult to apply in multi-input/multi-output (MIMO), or multi-loop systems. Due to the interaction of the control loops in a multivariable system, each single-input/single-output (SISO) transfer function can have acceptable properties in terms of step response and robustness, but the coordinated control motion of the system can fail to be acceptable. Thus, classical MIMO or multiloop design requires painstaking effort using the approach of closing one loop at a time by graphical techniques. A root locus, for instance, should be plotted for each gain element, taking into account the gains previously selected. This is a trial-and-error procedure that may require multiple iterations, and it does not guarantee good results, or even closed-loop stability. The multivariable frequency-domain approaches developed by the British school during the 1970's, as well as quantitative feedback theory, overcome many of these limitations, providing an effective approach for the design of many MIMO systems. 1.3 THE PHILOSOPHY OF MODERN CONTROL Modern controls design is fundamentally a time-domain technique. An exact state-space model of the system to be controlled, or plant, is required. This is a first-order vector differential equation of the form dx(t) ----------- = Ax(t) + Bu(t) dt y(t) = Cx(t)
(1)
where x(t) is a vector of internal variables or system states, u(t) is a vector of control inputs, and y(t) is a vector of measured outputs. It is possible to add noise terms to represent process and measurement noises. Note that the plant is described in the time-domain. The power of modern control has its roots in the fact that the state-space model can as well represent a MIMO system as a SISO system. That is, u(t) and y(t) are generally vectors whose entries are the individual scalar inputs and outputs. Thus, A B C are matrices whose elements describe the system dynamical interconnections. Modern controls techniques were first firmly established for linear systems. Extensions to nonlinear systems can be made using the Lyapunov approach, which extends easily to MIMO systems, dynamic programming, and other techniques. Open-loop optimal controls designs can be determined for nonlinear systems by solving nonlinear two-point boundary-value problems. Exactly as in the classical case, some fundamental questions on the performance of the closed-loop system can be attacked by investigating open-loop properties. For instance, the open-loop properties of
19 controllability and observability of (0 (Chapter 2) give insight on what it is possible to achieve using feedback control. The difference is that, to deal with the state-space model, a good knowledge of matrices and linear algebra is required. To achieve suitable closed-loop properties, a feedback control of the form u(t) = – Kx(t)
(2)
may be used. The feedback gain K is a matrix whose elements are the individual control gains in the system. Since all the states are used for feedback, this is called state-variable feedback. Note that multiple feedback gains and large systems are easily handled in this framework. Thus, if there are n state components (where n can be very large in an aerospace or power distribution system) and m scalar controls, so that u(t) is an m -vector, then K is an m n matrix with mn entries, corresponding to mn control loops. In the standard linear quadratic regulator (LQR), the feedback gain K is chosen to minimize a quadratic time-domain performance index (PI) like
J =
0 x(t) T Qx(t) + u(t) T Ru(t) dt
(3)
The minimum is sought over all state trajectories. This is an extension to MIMO systems of the sorts of PIs (ITSE, ITAE, etc.) that were used in classical control. Q and R are weighting matrices that serve as design parameters. Their elements can be selected to provide suitable performance. The key to LQR design is the fact that, if the feedback gain matrix K can be successfully chosen to make J finite, then the integral (3) involving the norms of u(t) and x(t) is bounded. If Q and R are correctly chosen, well-known mathematical principles then ensure that u(t) and x(t) go to zero with time. This guarantees closed-loop stability as well as bounded control signals in the closed-loop system. It can be shown (see Chapter 3), that the value of K that minimizes the PI is given by K = R –1 B T S
(4)
where S is an n n matrix satisfying the Riccati equation 0 = A T S + SA – SBR – 1 B T S + Q
(5)
Within this LQ framework, several points can be made. First, as long as the system (1) is controllable and Q and R are suitably chosen, the K given by these equations guarantees the stability of the closed-loop system dx(t) ----------- = A – BK x(t) + Bu(t) dt
(6)
Second, this technique is easy to apply even for multiple-input plants, since u(t) can be a vector having many components. Third, the LQR solution relies on the solution of the matrix design equation (4), and so is unsuited to hand calculations. Fortunately, many design packages are by now available on digital computers for solving
20 the Riccati design equation for S , and hence for obtaining K . Thus, computer-aided design is an essential feature of modern controls. The LQR solution is a formal one that gives a unique answer to the feedback control problem once the design parameter Q has been selected. In fact, the engineering art in modern design lies in the selection of the PI weighting matrices Q and R . A body of theory on this selection process has evolved. Once Q is properly selected, the matrix design equation is formally solved for the unique K that guarantees stability. Observe that K is computed in terms of the open-loop quantities A B Q , so that modern and classical design have this feature of determining closed-loop properties in terms of open-loop quantities in common. However, in modern control, all the entries of K are determined at the same time by using the matrix design equations. This corresponds to closing all the feedback control loops simultaneously, which is in complete contrast to the one-loop-at-a-time procedure of classical controls design. Unfortunately, formal LQR design gives very little intuition on the nature or properties of the closed-loop system. In recent years, this deficiency has been addressed from a variety of standpoints. Although LQR design using state feedback guarantees closed-loop stability, all the state components are seldom available for feedback purposes in a practical design problem. Therefore, output feedback of the form u(t) = – Ky(t)
(7)
is more useful. LQR design equations for output feedback are more complicated than (4), but are easily derived (see Chapter 4). Modern output-feedback design allows one to design controllers for complicated systems with multiple inputs and outputs by formally solving matrix design equations on a digital computer. Another important factor is the following. While the state feedback (2) involves feedback from all states to all inputs, offering no structure in the control system, the output feedback control law (7) can be used to design a compensator with a desired dynamical structure, regaining much of the intuition of classical controls design. Feedback laws like (2) and (7) are called static, since the control gains are constants, or at most timevarying. An alternative to static output feedback is to use a dynamic compensator of the form dz(t) ----------- = Fz(t) + Gy(t) + Eu(t) dt u(t) = Hz(t) + Dy(t)
(8)
The inputs of this compensator are the system inputs and outputs. This yields a closed-loop and is called dynamic output feedback. The design problem is to select the matrices F , G , E , H , D for good closed-loop performance. An important result of modern control is that closed-loop stability can be guaranteed by selecting F = A – LC for some matrix L which is computed using a Riccati design equation similar to (5). The other matrices in (8) are then easily determined. This design is based on the vital separation principle (Chapter 10).
21 A disadvantage with design using F = A – LC is that then the dynamic compensator has the same number of internal states as the plant. In complicated modern aerospace and power plant applications, this dimension can be very large. Thus, various techniques for controller reduction and reduced-order design have been developed. In standard modern control, the system is assumed to be exactly described by the mathematical model (1). In actuality, however, this model may be only an approximate description of the real plant. Moreover, in practice there can be disturbances acting on the plant, as well as measurement noise in determining y(t) . The LQR using full state feedback has some important robustness properties to such disorders, such as an infinite gain margin, 60° of phase margin, and robustness to some nonlinearities in the control loops (Chapter 10). On the other hand, the LQR using static or dynamic output feedback design has no guaranteed robustness properties. With the work on robust modern control in the early 1980's, there is now a technique (LQG/LTR, Chapter 10) for designing robust multivariable control systems. LQG/ LTR design incorporates rigorous treatments of the effects of modelling uncertainties on closed-loop stability, and of disturbance effects on closed-loop performance. With the work on robust modern design, much of the intuition of classical controls techniques can now be incorporated in modern multivariable design. With modern developments in digital control theory and discrete-time systems, modern control is very suitable for the design of control systems that can be implemented on microprocessors (Part III of the book). This allows the implementation of controller dynamics that are more complicated as well as more effective than the simple PID and lead-lag structures of classical controls. With recent work in matrix-fraction descriptions and polynomial equation design, a MIMO plant can be described not in state-space form, but in input/output form. This is a direct extension of the classical transfer function description and, for some applications, is more suitable than the internal description (1). REFERENCES FOR CHAPTER 1 Airy, G.B., "On the Regulator of the Clock-Work for Effecting Uniform Movement of Equatorials," Memoirs of the Royal Astronomical Society, vol. ll, pp. 249-267, 1840. Åström, K.J., Introduction to Stochastic Control Theory, New York: Academic Press, 1970. Åström, K.J., and B. Wittenmark, Computer-Controlled Systems: Theory and Design, New Jersey: Prentice-Hall, 1984. Bellman, R., Dynamic Programming, New Jersey: Princeton Univ. Press, 1957. Bertalanffy, L. von, "A quantitative theory of organic growth," Human Biology, vol. 10, pp. 181-213, 1938. Black, H.S., "Stabilized Feedback Amplifiers," Bell Syst. Tech. J., 1934. Bode, H.W., "Feedback Amplifier Design," Bell System Tech. J., vol. 19, p. 42, 1940. Bokharaie, M., A summary of the History of Control Theory, Internal Rept., School of Elect. Eng., Ga. Inst. of Technology, Atlanta, GA 30332, 1973. Brown, G.S. and D.P. Campbell, Principles of Servomechanisms, New York: Wiley, 1948. Chestnut, H. and R.W. Mayer, Servomechanisms and Regulating System Design, vol. 1, 1951, vol. 2, 1955, Wiley. Desoer, C.A., "A Generalization of the Popov Criterion," IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-10, no.
22 2, pp. 182-185, 1965. Dorato, P., "A Historical Review of Robust Control," IEEE Control Systems Magazine, pp. 44-47, April 1987. Doyle, J.C. and G. Stein, "Multivariable Feedback Design: Concepts for a Classical/Modern Synthesis," IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-26, pp. 4-16, Feb. 1981. Evans, W.R., "Graphical Analysis of Control Systems," Trans. AIEE, vol. 67, pp. 547-551,1948. Friedland, B., Control System Design: An Introduction to State-Space Methods, New York: McGrawHill, 1986. Fuller, A.T., "The Early Development of Control Theory," Trans. ASME (J. Dynamic Systems, Measurement, & Control), vol. 98G, no. 2, pp. 109-118, June 1976. Fuller, A.T., "The Early Development of Control Theory II," Trans. ASME (J. Dynamic Systems, Measurement & Control), vol. 98G, no. 3 pp. 224-235, September 1976. Gelb, A., ed., Applied Optimal Estimation, Cambridge: MIT Press, 1974. Hall, A.C., "Application of Circuit Theory to the Design of Servomechanisms," J. Franklin Inst., 1966. Házen, H.L., "Theory of Servo-mechanisms," J. Franklin Inst., 1934. Hurwitz, A., "On the Conditions Under Which an Equation Has Only Roots With Negative Real Parts," Mathematische Annalen, vol. 46, pp. 273-284, 1895. James, H.M., N.B. Nichols, and R.S. Phillips, Theory of Servomechanisms, New York: McGraw-Hill, M.I.T. Radiation Lab. Series, Vol. 25, 1947. Jury, E.I., "Recent Advances in the Field of Sampled-Data and Digital Control Systems," Proc. Conf. Int. Federation Automat. Control, pp. 240-246, Moscow, 1960. Kalman, R.E., "Contributions to the theory of optimal control,"Bol. Soc. Mat. Mexicana, vol. 5, pp. 102-119, 1960. Kalman, R.E., "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems," ASME J. Basic Eng., vol. 82, pp.34-45, 1960. Kalman, R.E. and R.S. Bucy, "New Results in Linear Filtering and Prediction Theory," ASME J. Basic Eng., vol. 80, pp. 193-196, 1961. Kalman, R.E., and J.E. Bertram, "Control System Analysis and Design via the 'Second Method' of Lyapunov. I. Continuous-time Systems," Trans. ASME J. Basic Eng., pp. 371-393, June 1960. Kolmogorov, A.N., "Interpolation and Extrapolation von Stationaren Zufalligen Folgen," Bull. Acad. Sci. USSR, Ser. Math. vol. 5, pp. 3-14, 1941. Kuhn, T.S., The Structure of Scientific Revolutions, Chicago: Univ. of Chicago Press, 1962. Kuo, Benjamin C., Analysis and Synthesis of Sampled-Data Control Systems, New Jersey: Prentice-Hall, 1963. Lauer, H., R.N. Lesnick, and L.E. Matdon, Servomechanism Fundamentals, New York: McGraw-Hill 1947. Lyapunov, M.A., "Problème général de la stabilité du mouvement," Ann. Fac. Sci. Toulouse, vol. 9, pp. 203-474, 1907. (Translation of the original paper published in 1892 in Comm. Soc. Math. Kharkow and reprinted as Vol. 17 in Ann. Math Studies, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1949.) MacColl, L.A., Fundamental Theory of Servomechanisms, New York: Van Nostrand, 1945. MacFarlane, A.G.J., and I. Postlethwaite, "The Generalized Nyquist Stability Criterion and Multivariable Root Loci," Int. J. Contr., vol. 25, pp. 81-127, 1977. Maxwell, J.C., "On Governors," Proc. Royal Soc. London, vol. 16, pp. 270-283, 1868. Mayr, O., The Origins of Feedback Control, Cambridge: MIT Press, 1970. Minorsky, N., "Directional Stability and Automatically Steered Bodies," J. Am. Soc. Nav. Eng., vol. 34, p. 280, 1922. Narendra, K.S., and R.M. Goldwyn: "A Geometrical Criterion for the Stability of Certain Nonlinear Nonautonomous Systems," IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-11, no. 3, pp. 406-407, 1964. Nyquist, H., "Regeneration Theory," Bell Syst. Tech. J., 1932.
23 Pontryagin, L.S., V.G. Boltyansky, R.V. Gamkrelidze, and E.F. Mishchenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes, New York: Wiley, 1962. Popov, V.M., "Absolute Stability of Nonlinear Systems of Automatic Control," Automat. Remote Control, vol. 22, no. 8 , pp. 857-875, 1961. Ragazzini, J.R., and G.F. Franklin, Sampled-Data Control Systems, New York: McGraw-Hill, 1958. Ragazzini, J.R. and L.A. Zadeh, "The Analysis of Sampled-Data Systems," Trans. AIEE, vol. 71, part II, pp. 225-234, 1952. Rosenbrock, H.H., Computer-Aided Control System Design, New York: Academic Press, 1974. Routh, E.J., A Treatise on the Stability of a Given State of Motion, London: Macmillan & Co., 1877. Safonov, M.G., A.J. Laub, and G.L. Hartmann, "Feedback Properties of Multivariable Systems: The Role and Use of the Return Difference Matrix," IEEE Trans. Auto. Cont., vol. 26, no. 1, pp. 47-65, 1981. Sandberg, I.W., "A Frequency-Domain Condition for the Stability of Feedback Systems Containing a Single Time-Varying Nonlinear Element," Bell Syst. Tech. J., vol. 43, no. 4, pp. 1601-1608, 1964. Truxal, J.G., Automatic Feedback Control System Synthesis, New York: McGraw-Hill, 1955. Vyshnegradsky, I.A., "On Controllers of Direct Action," Izv. SPB Tekhnolog. Inst., 1877. Whitehead, A.N., Science and the Modern World, Lowell Lectures (1925), New York: Macmillan, 1953. Wiener, N., The Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications, New York: Wiley, 1949. Wiener, N., Cybernetics: or Control and Communication in the Animal and the Machine, Cambridge: MIT Press, 1948. Zames, G., "On the Input-Output Stability of Time-Varying Non-linear Feedback Systems, Part I: Conditions Derived Using Concepts of Loop Gain, Conicity, and Positivity," IEEE Trans. Automatic Control, vol. AC-11, no. 2, pp. 228-238, 1966. Zames, G., "On the Input-Output Stability of Time-Varying Non-linear Feedback Systems, Part II: Conditions Involving Circles in the Frequency Plane and Sector Nonlinearities," IEEE Trans. Automatic Control, vol. AC-11, no. 3, pp. 465-476, 1966.
24 I.2 Intuïtieve inleiding tot terugkoppeling (feedback) Voorbeelden regelsystemen: - waterklok voor tijdsmeting, 3de eeuw v. Chr. (China, later Arabië) [Franklin et al. (2002)]
- incubator voor uitbroeden van eieren (1624) of couveuse premature baby’s (eind 19de eeuw, Franse geneesheren) [Franklin et al. (2002)]
- snelheidregeling windmolens (Lee Edmund, 1745) via positie bladen wieken (harde wind => bladen kantelen naar achteren => effectief oppervlakte kleiner …)
25 - snelheidregeling stoommachine van James Watt (1788) [Franklin et al. (2002)]
Principeschema Storing
referentie waarde
Comparator
Compensator
Sensor
Te regelen systeem
26 Andere voorbeelden regelsystemen: - temperatuur menselijk lichaam - liften: positie + snelheid - doorspoeling toilet - snelheidscontrole in (vracht)wagens - volgen van het spoor op een CD - spanningsregulator - feedbackversterkers - temperatuurregeling moederbord computer
27 I.3 Doel controle
ingangssignaal
uitgangssignaal regelsysteem
gewenst antwoord
werkelijk antwoord
1.5
1.4 1.2
Stapantwoord
Stapantwoord
1
1
0.5
0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
50
100 Tijd
150
200
0 0
50
Merk op: • statische fout • oscillaties • vertraging in antwoord Gevolg de drie hoofddoelen in het ontwerpen van regelsystemen zijn: 1. een goed volggedrag: 1.a minimaliseren van de statische fout 1.b produceren van het gewenste overgangsgedrag 2. een goed stoorgedrag: 2.a onderdrukken van storingen zoals ruis, externe signalen 2.b onderdrukken van tijdsvariaties en niet lineariteiten van het systeem 3. stabiliteit (bijv. gevechtsvliegtuigen zijn intrinsiek instabiel)
100 Tijd
150
200
28 I.4 Intuïtieve vergelijking open en gesloten lus regelsystemen Vier hoofdredenen om regelsystemen te bouwen 1. nauwkeurig volgen van het ingangssignaal 2. onderdrukken (compenseren) van storingen (ruis, tijdsvariatie, verloop, niet lineariteiten …) 3. besturen op afstand 4. vermogenversterking Twee mogelijke regelstructuren 1. open lus regelkring (open loop or feedforward) Storing referentie waarde
geregelde
Omzetter
Te regelen systeem
Regelaar
ingangssignaal
+ grootheid
+
uitgangssignaal
2. gesloten lus regelkring (closed loop or feedback) Storing referentie waarde ingangssignaal
geregelde
Omzetter
+
Te regelen systeem
Regelaar
-
Sensor
+
+ grootheid uitgangssignaal
29 Voor- en nadelen regelstructuren Tabel I.1 open lus (open loop, feedforward)
gesloten lus (closed loop, feedback)
stabiliteit
++
-
storingsgevoeligheid (ruis, tijdsvariatie, niet lineairiteiten, …)
--
++
materiaal kost
+
-
kennis systeem
-
+
nauwkeurigheid
+
++
regelen instabiele systemen (bijv. de omgekeerde slinger)
--
+
Een moderne regelkring bestaat meestal uit de combinatie van meerdere open lus en een gesloten lus regelstructuren. De feedforward corrigeert het “vaste” deel van het systeem, terwijl de feedback zorgt voor het corrigeren van tijdsvariatie, niet lineariteiten, ruis in het te regelen systeem. Opmerking: de nauwkeurigheid van een gesloten lus systeem hangt sterk af van de nauwkeurigheid van de sensor.
30 I.5 Rekenen met en vereenvoudigen van blokschema’s • Signaal R(s)
• Systeem U(s)
Y(s) = G(s)U(s) G(s)
• Optelpunt Y(s) = R 1(s) + R 2(s) – R 3(s)
+
R 1(s)
+ R 2(s)
R 3(s)
• Aftakpunt R(s)
R(s)
R(s) R(s)
• Cascade (hypothese: de blokken belasten elkaar niet; bijv. ingangsimpedantie elke blok = , of uitgang blok = ideale bron) U(s) G 1(s)
Z(s) = G 1(s)U(s)
Y(s) = G 1(s)G 2(s)U(s) G 2(s)
U(s)
Y(s) G 1(s)G 2(s)
31 Tegenvoorbeeld: RC-kringen R1
R2
V 1(s)
C1
E(s)
C2
V 1(s)
V 1(s) G 1(s) = -----------E(s)
V 2(s)
V 2(s) G 2(s) = -----------V 1(s) R1
R2
X(s)
C1
E(s)
C2
V 2(s)
V 2(s) V 2(s) X(s) G(s) = ------------ = ------------ ---------- G 1(s)G 2(s) E(s) X(s) E(s) R1
R2
V 1(s)
C1
E(s)
V 1(s)
C2
V 2(s)
V 2(s) V 2(s) V 1(s) G(s) = ------------ = ------------ ------------ = G 1(s)G 2(s) E(s) V 1(s) E(s) • Parallelstructuur G 1(s) Y(s)
R(s) G 2(s)
R(s)
G 1(s) G 2(s) G 3(s)
G 3(s) Y(s) = G 1(s) G 2(s) G 3(s) R(s)
Y(s)
32 • Terugkoppelstructuur (gesloten lus, closed loop, feedback) R(s)
E(s)
Y(s)
G(s)
R(s)
Y(s)
G(s) ------------------------------1 + G(s)H(s)
H(s)
Inderdaad, uit E(s) = R(s) – H(s)Y(s) en Y(s) = G(s)E(s) leiden we af dat G(s) 1 Y(s) = ------------------------------- R(s) en E(s) = ------------------------------- R(s) 1 + G(s)H(s) 1 + G(s)H(s) Hieruit volgt de algemene regel: de transferfunctie van een signaal buiten de gesloten lus naar een willekeurig signaal in de gesloten lus wordt gevonden door de transferfunctie van het rechtstreekse pad te delen door één plus het product van de transferfuncties in de gesloten lus. • Verplaatsen blokken R(s) G(s)
Y(s)
R(s)
Y(s) G(s)
X(s) G(s)
X(s) R(s)
Y(s) G(s)
R(s) G(s)
X(s) 1 ---------G(s)
X(s)
Y(s)
33
G(s)R(s)
G(s)R(s)
G(s) R(s)
R(s)
R(s)
1 ---------G(s)
G(s)
R(s)
1 ---------G(s)
• Reductie van blokschema’s: voorbeeld 1
Y(s)
R(s) G 1(s)
G 2(s)
G 3(s)
H 1(s)
H 2(s)
H 3(s)
Y(s)
R(s) G 1(s)
G 2(s)
H 1(s)
H 2(s)
H 3(s)
G 3(s)
R(s)
R(s)
34
Y(s)
R(s) G 1(s)
G 2(s)G 3(s)
H 1(s) – H 2(s) + H 3(s)
R(s)
Y(s)
G 1(s)G 2(s)G 3(s) ---------------------------------------------------------------------------------------------1 + G 2(s)G 3(s) H 1(s) – H 2(s) + H 3(s)
• Reductie van blokschema’s: voorbeeld 2
Y(s)
R(s) G1
G2
G3
H2
H3
H1
1 ------G2 R(s) G1
G2 H2
H1
G3 ----------------------1 + G3 H3
Y(s)
35 • Reductie van blokschema’s: voorbeeld 2
R(s)
Y(s)
G3 1 ------ + 1 ----------------------G 1 + G H
G1 G2
2
3 3
H2 ------G1 H1
R(s) G1 G2
G3 1 ------ + 1 ----------------------G 1 + G H 2
Y(s)
3 3
H2 ------- + H 1 G1
R(s)
G1 G2 ------------------------------------------------1 + G2 H2 + G1 H1
R(s)
G3 1 ------ + 1 ----------------------G 1 + G H 2
G1 G3 1 + G2 ---------------------------------------------------------------------------------- 1 + G2 H2 + G1 H1 1 + G3 H3
3 3
Y(s)
Y(s)
36 • Reductie van blokschema’s: voorbeeld 3
R(s) s
s
1s
s
1s
Y(s)
37 I.6 Intuïtieve studie gesloten lus regelkring I.6.1 Teken terugkoppeling R(s)
G(s) Y(s) = -------------------R (s) 1 G(s)
E(s) G(s)
• Groot gevaar voor instabiliteit bij positieve terugkoppeling want voor G(s) = B(s) A(s) wordt de gesloten lus transfer functie G c(s) G(s) B(s) G c(s) = ------------------- = -------------------------1 – G(s) A(s) – B(s)
(9)
Indien de coëfficiënten van de veelterm A(s) – B(s) van teken wisselen dan is G c(s) zeker instabiel. • Bij negatieve terugkoppeling wordt G c(s) B(s) G(s) G c(s) = -------------------- = -------------------------1 + G(s) A(s) + B(s)
(10)
Kans op tekenwisseling in coëfficiënten veelterm A(s) + B(s) is kleiner doch zelfs bij zelfde tekens is stabiliteit nog niet gegarandeerd. Enkel voor veeltermen van graad 1 en 2 is een vast teken van de coëfficiënten een nodige en voldoende voorwaarde voor stabiliteit (bewijs dit als oefening). Voorbeeld 1: 2
1.5
0
1
2
5
1
K G(s) = ----------------------------------------s 3 + 2s 2 + 2s + 1
0.5
K = 5 4 3 2
1
0
-1.5
-1
0
K = 0:1:5 K instabiel = 3 osc =
-0.5
2
-1
-1.5
-2 -2.5
-2
-0.5
0
0.5
Intuïtieve uitleg: bij het aanleggen van een sinus bij een bepaalde frequentie fasedraaiing van 180° + G(j) 1 foutsignaal E(j) neemt toe. Toepassing: oscillatoren. Of de polen van de gesloten lus transfer functie (10), met B(s) = K en A(s) = s 3 + 2s 2 + 2s + 1 , al dan niet in het rechterhalfvlak terecht komen voor toeneemde K -waarden, wordt als volgt nagegaan. We drukken uit dat de noemer van (10) een wortel heeft op de imaginaire as
38 (11)
A(j) + B(j) = 0
en gaan na of er een K 0 en reële bestaat die voldoen aan (11). Oplossing van (11) geeft K = 3 en = 2 . Voorbeeld 2: de opamp als spanningsbuffer
V out(s) V in(s)
A(s)
A(s) V out(s) = A(s) V +(s) – V -(s) V out(s) = ------------------- V in(s) 1 + A(s) Ga voor de volgende open lus transfer functies na of de spanningsbuffer instabiel kan worden met als parameter de DC-winst A 0 0 A0 A0 1 0 s A0 A0 A(s) = ----------------- -------------------------------------------- -------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------1 + 1 s 1 + 1 s 1 + 2 s 1 + 1 s 1 + 2 s 1 + 1 s 1 + 2 s 1 + 3 s
(12)
en waarbij 0 1 2 3 0 . Ga de stabiliteit ook na wanneer de terugkoppeling gebeurt naar de positieve ingangsklem van de opamp. I.6.2 Storingsgedrag + nauwkeurigheid regelkring V(s) R(s)
E(s)
U(s) H(s)
G(s)
Y(s)
G(s)H(s) 1 Y(s) = ------------------------------- R(s) + ------------------------------- V(s) 1 + G(s)H(s) 1 + G(s)H(s) met G(s) het te regelen systeem en H(s) de regelaar. Neem bijvoorbeeld H(s) = K (= proportionele regelaar) dan is de uitgang (output) gegeven door KG(s) 1 Y(s) = ------------------------ R(s) + ------------------------ V(s) 1 + KG(s) 1 + KG(s)
(13)
1 V(s) Y(s) 1 – --------------- R(s) + -------------- KG(s) KG(s)
(14)
Voor K » 1 wordt (13)
• Besluit: voor K
39 1. invloed storing V(s) (ruis, tijdsvariatie, niet lineariteit, …) op uitgang Y(s) gaat naar nul 2. uitgang Y(s) volgt perfect het referentiesignaal R(s) • Opgelet: stabiliteit gesloten lus KG(s) 1 + KG(s) voor K groot (zie vorige Sectie I.6.1). • Gevolg: K niet te groot om stabiele closed loop transfer functie te hebben regellaar ontwerpen = streven naar robuuste stabiliteit (maximale fase en amplitude marge, of phase and gain margin) + maximale statische en dynamische performantie (minimale statische fout, minimale stijgtijd, percentage doorschot, …) • De transferfunctie S(s) van de storing V(s) naar de uitgang Y(s) 1 S(s) = ------------------------------1 + G(s)H(s)
(15)
noemt men de gevoeligheidsfunctie (sensitivity). Een lage gevoeligheid van de regelkring t.o.v. storingen houdt in dat de gevoeligheidsfunctie S(s) laag moet zijn (veel kleiner dan één). I.6.3 Invloed meet- of sensorfout R(s)
E(s)
U(s) H(s)
Y(s) G(s)
G(s)H(s) G(s)H(s) Y(s) = ------------------------------- R(s) – ------------------------------- V(s) 1 + G(s)H(s) 1 + G(s)H(s)
V(s)
Neem bijvoorbeeld H(s) = K (= proportionele regelaar) met K » 1 dan is de uitgang (output) gegeven door Y(s) R(s) – V(s)
(16)
• Besluit: de meet- of sensorfout wordt niet weggeregeld! • De transferfunctie T(s) van de storing – V(s) naar de uitgang Y(s) G(s)H(s) T(s) = ------------------------------1 + G(s)H(s)
(17)
noemt men de complementaire gevoeligheidsfunctie (complementary sensitivity). Opdat de uitgang het referentiesignaal zo goed mogelijk zou volgen moet T(s) zo dicht mogelijk bij één liggen. • Het ingangssignaal U(s) van het te regelen proces is gegeven door H(s) U(s) = ------------------------------- R(s) – V(s) 1 + G(s)H(s)
(18)
waarbij H(s) 1 + G(s)H(s) de ingangsgevoeligheid (input sensitivity) wordt genoemd. Deze transferfunctie
40 bepaalt de gevoeligheid van de ingang t.o.v. storingen en het commandosignaal. I.6.4 Besluit R(s)
U(s)
E(s)
Y(s)
G(s)
H(s)
Gezien de meeste systemen laagdoorlaat zijn, d.w.z. H(j)G(j) 0 als , kan een goed volggedrag en een goede storingsonderdrukking maar in een zekere frequentieband gegarandeerd worden. De bandbreedte B waarover de regelaar goed moet werken wordt opgelegd door de toepassing. Een goede regelkring heeft dus de volgende sensitiviteitsfuncties |T(j)|
|S(j)|
1
0
B
0
De bandbreedte van de gesloten lus regelaar kan als volgt vergroot worden door een feedforward compensator F(s) R(s)
E(s) F(s)
U(s) H(s)
G(s)
Y(s)
Merk op dat de gesloten lus transferfunctie G c(s) = H(s)G(s) 1 + H(s)G(s) in zeer goede benadering linear en tijdsinvariant is zodat aan alle voorwaarden is voldaan voor een feedfoward compensatie. Dit kan ook gerealiseerd worden als F(s)
R(s)
E(s)
H(s)G(s) + F(s)G(s) Y(s) = ------------------------------------------------- R(s) 1 + G(s)H(s) U(s)
H(s)
G(s)
Indien F = G – 1 dan is de gesloten lus transferfunctie gelijk aan één.
Y(s)
41 I.7 Inleiding tot een praktijkvoorbeeld: antenne-azimut-positieregelsysteem
antenne gewenste azimut hoek i(t) azimut hoek u(t)
verschil- en vermogenversterker
i
Vi K pot
potentiometer
motor
vermogensversterker
voorversterker Ve
Vp K0
K1 ----------s+a
potentiometer K pot potentiometer
motor en last Ea
Km ----------------------s s + am
azimuthoek
m Kg
u
42 Modelvergelijkingen: 1. Tientoeren potentiometer gevoed tussen +V cc en -V cc 2V cc V cc K pot = ------------------ = --------10 2 10
(19)
2. Verschilversterker V p(s) = KV e(s)
(20)
K1 E a(s) = -----------V p(s) s+a
(21)
3. Vermogenversterker
4. Motor + belasting d 2 m(t) d m(t) J ------------------ + D --------------- + E m(t) = T(t) dt dt 2 T(t) = Ki a(t) di a(t) R a i a(t) + L a ------------- = e a(t) dt
Km m(s) ----------------------- E a(s) ss + a
(22)
m
(termen E m(t) en L a di a(t) dt verwaarlozen) 5. Overbrenging
u(t) = K g m(t) Vragen: 1. Kan de gesloten lus transferfunctie instabiel worden als K te groot wordt? 2. Wat indien de vermogenversterker gemodelleerd wordt als K 1 ?
(23)
43 I.8 Moderne controle Deze cursus: voornamelijk lineaire tijdsinvariante een ingang, een uitgang systemen (= SISO: single input, single output systems) + analoge regelaars. Toepassing: analoge feedbackversterkers in de elektronica, DC voedingen. Praktisch: meer ingang, meer uitgang systemen (= MIMO: multiple input, multiple output systems) + digitale regelaars gemengde (hybride) data systemen. Moderne regelaars: 1. state feedback controllers 2. (dynamic) output feedback controllers 3. adaptieve regelaars 4. neuro-fuzzy controllers 5. niet-lineaire controle Opmerking: state en output feedback regelaars vereisen een goede kennis van het te regelen systeem, d.w.z. een (transferfunctie of toestands-) model moet beschikbaar zijn systeemidentificatie. Dit is niet het geval voor de neuro-fuzzy regelaars. Echter: in industrie hoofdzakelijk (> 90%) PID regelaars waarvan typisch 30% nog met de hand ingesteld worden
44
Hoofdstuk II: Lineaire systemen
45 II.1 Eenvoudige voorbeelden • Voorbeeld 1: LRC-kring R
L
i(t)
u(t)
C
y(t)
di(t) 1 t u(t) = Ri(t) + L ---------- + ---- i(t) dt dt C 0 1 t y(t) = ---- i(t) dt C 0 Stel x 1(t) = i(t) x 2(t) =
(24)
t i(t) dt 0
dan dx 1(t) R 1 1 -------------- = – ---x 1(t) – -------x 2(t) + --- u(t) LC L dt L dx 2(t) -------------- = x 1(t) dt 1 y(t) = ---- x 2(t) C • Voorbeeld 2: massa-veer-demper systeem z(t) b u(t) k
m
d 2 z(t) dz(t) m -------------- = u(t) – b ----------- – kz(t) dt dt 2 dz(t) y(t) = ----------dt Stel
(25)
46
x 1(t) = z(t) (26)
dz(t) x 2(t) = ----------dt dan dx 1(t) -------------dt dx 2(t) -------------dt y(t) =
= x 2(t) (27)
b 1 k = – ---- x 1(t) – ---- x 2(t) + ---- u(t) m m m x 2(t)
• Voorbeeld 3: elektrisch netwerk R1
i 1(t)
L1
R2 i 3(t)
i 2(t) u(t)
L2
L3
di 1(t) di 2(t) L 1 ------------- = u(t) – R 1 i 1(t) – L 2 ------------dt dt di 2(t) di 1(t) di 2(t) L 2 ------------- = R 2 i 1(t) – i 2(t) + L 3 ------------- – ------------- dt dt dt y(t) = i 2(t) – i 3(t)
Stel x 1(t) = i 1(t) x 2(t) = i 2(t)
(28)
dx 1(t) R1 L2 + L3 + R2 L2 R2 L2 L2 + L3 -------------- = – ------------------------------------------------- x 1(t) + ------------x 2(t) + ----------------------- u(t) dt R2 L1 L3 dx 2(t) R1 L3 – R2 L1 -------------- = – ------------------------------- x 1(t) – ------------x 2(t) + ------ u(t) dt y(t) = 2x 2(t) – x 1(t)
(29)
dan
waarbij = L 1 L 2 + L 1 L 3 + L 2 L 3 .
47 II.2 Toestandsvergelijkingen van een systeem Merk op: alle vergelijkingen van de eenvoudige voorbeelden kunnen geschreven worden onder de vorm dx(t) ----------- = Ax(t) + Bu(t) dt y(t) = Cx(t) + Du(t)
(30)
met u(t) het ingangssignaal, y(t) het uitgangssignaal, A de systeemmatrix (system matrix), B de ingangsmatrix (input matrix), C de uitgangsmatrix (output matrix), D de doorkoppelmatrix (direct transmission matrix), en x(t) de toestandsvector x 1(t) x =
x 2(t)
(31)
x n(t)
• Definities: 1. Orde n van het systeem = aantal onafhankelijke energieopslag mogelijkheden (potentiële energie, kinetische energie, …) = orde van de differentiaalvergelijking die het systeem beschrijft. 2. Toestandsveranderlijken = kleinste verzameling linear onafhankelijke systeem-veranderlijken die de waarde van alle systeemveranderlijken bepalen. 3. Toestandsvector = vector waarvan de elementen de toestandsveranderlijken zijn. 4. Toestandsruimte = n -dimensionale ruimte waarvan de assen de toestands-veranderlijken zijn. Voor n = 2 spreekt men ook van het fasevlak. x 2(t)
toestandsbaan (trajectory)
x(t) x 1(t)
toestandsruimte (fasevlak)
5. Toestandsvergelijkingen = verzameling van n (gekoppelde) eerste orde differentiaalvergelijkingen met n veranderlijken (= toestandsveranderlijken). 6. Uitgangsvergelijking = algebraïsche vergelijking die de uitgang van het systeem uitdrukt als lineaire combinatie van de toestandsveranderlijken en de ingangssignalen. • Opmerkingen:
48 1. Keuze toestandsveranderlijken is niet uniek. Inderdaad neem een reguliere n bij n matrix T en vermenigvuldig de toestandsvergelijking in (30) met T dx(t) T ----------- = TAx(t) + TBu(t) dt y(t) = Cx(t) + Du(t) Definieer nu Tx(t) = x T(t) , dan wordt (32) dx T(t) -------------- = A T x T(t) + B T u(t) dt y(t) = C T x T(t) + D T u(t)
(32)
(33)
waarbij A T = TAT –1 B T = TB C T = CT – 1 D T = D
(34)
Vergelijking (34) heet men een gelijkvormigheidstransformatie (similitude transformation), die aanleiding geeft tot een andere toestandsvector x T(t) en andere toestandsmatrices A T , B T , C T , doch met hetzelfde ingang- uitgangsverband (de uitgangsvergelijking blijft ongewijzigd). Gevolg: A , B , C , en D zijn ook niet uniek en zij gekoppeld aan de keuze van x(t) . 2. De toestandsvergelijkingen (30) gelden zowel voor een ingang, een uitgangsystemen (= single input, single output = SISO) als meer ingang, meer uitgangsystemen (multiple input, multiple output = MIMO). Het enige verschil tussen beiden zijn de matrix dimensies van B , C , en D . • De vraag stelt zich nu of (30) bestaat voor om ‘t even welk lineair tijdsinvariant systeem. Dit wordt behandeld in de volgende Sectie.
49 II.3 Overgang differentiaalvergelijking naar toestandsvergelijking en omgekeerd II.3.1 Overgang differentiaalvergelijking naar toestandsvergelijking Om de notaties te vereenvoudigen vertrekken we van een 2de orde differentiaalvergelijking d 2 y(t) dy(t) d 2 u(t) du(t) a 2 -------------- + a 1 ----------- + a 0 y(t) = b 2 -------------- + b 1 ------------ + b 0 u(t) 2 2 dt dt dt dt
(35)
waarbij we a 2 = 1 kiezen (dit is geen beperking van de algemeenheid). Onder transferfunctie vorm wordt dit (vertrek vanuit rust: initiële condities = 0) b0 + b1 s + b2 s 2 y(s) G(s) = --------- = -------------------------------------u(s) a0 + a1 s + s 2
(36)
Vermenigvuldig teller en noemer van de transferfunctie (36) met x s 0 b 0 + b 1 s + b 2 s 2 x(s) y(s) --------- = ---------------------------------------------------u( s ) a 0 + a 1 s + s 2 x(s)
(37)
en kies x(s) zodanig dat y(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 x(s) u(s) = a 0 + a 1 s + s 2 x(s)
(38)
Omgezet naar het tijdsdomein (initiële condities = 0) geeft dit y(t) = b 0 x(t) + b 1 x'(t) + b 2 x''(t) u(t) = a 0 x(t) + a 1 x'(t) + x''(t)
(39)
Kiezen we nu de 2 toestandsveranderlijken (2e orde systeem) als volgt x1 t = x t x 2 t = x' t
(40)
dan wordt (39) y(t) = b 0 x 1 t + b 1 x 2 t + b 2 x 2' t u(t) = a 0 x 1 t + a 1 x 2 t + x 2' t
(41)
Uit de tweede vergelijkingen van (40) en (41) halen we de toestandsvergelijking x 1'(t) = x 2(t) x 2'(t) = – a 0 x 1 t – a 1 x 2 t + u(t)
(42)
Substitutie van de tweede vgl. van (42) in de eerste vgl. van (41) levert finaal de uitgangsvergelijking y(t) = b 0 – b 2 a 0 x 1(t) + b 1 – b 2 a 1 x 2(t) + b 2 u(t)
(43)
50 Merk op dat (42) en (43) van de vorm (30) zijn met A =
0 1 , B = 0 , C = b 0 – b 2 a 0 b 1 – b 2 a 1 , en D = b 2 –a0 –a1 1
(44)
• Opmerkingen: 1. De redenering verloopt gelijkaardig voor een n de orde systeem. 2. De bewijsvoering gaat niet meer op indien de order van de teller van de transfer-functie groter is dan deze van de noemer. Systemen (transferfuncties) waarvoor dit het geval is noemt men improper (graad teller = graad noemer proper; graad teller < graad noemer strictly proper). Gevolg: de toestandsbeschrijving (30) bestaat enkel voor proper systems. Indien men een toestandsbeschrijving van een improper system wenst moet men de rol van ingang en uitgang omwisselen. Indien de orde van de teller één hoger is dan die van de noemer kan men de volgende uitbreiding van het toestandsmodel gebruiken dx(t) ----------- = Ax(t) + Bu(t) dt du(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + E -----------dt
(45)
Toepassing van (45): modeleren van impedantie of admittantie matrices. 3. De Matlab instructie ss zet transferfunctie modellen om in state space vorm II.3.2 Overgang toestandsvergelijking naar differentiaalvergelijking (a) Rechtstreeks in tijdsdomein. We maken de redenering voor SISO systemen; deze voor MIMO systemen verloopt gelijkaardig. Afleiden naar de tijd van de uitgangsvergelijking in (30) geeft y 1 (t) = Cx 1 (t) + Du 1 (t) = CAx(t) + CBu(t) + Du 1 (t)
(46)
waarbij de overgang gebruik maakt van de toestandsvergelijking (30). Leiden we (46) af naar de tijd dan bekomen we op dezelfde manier y 2 (t) = CAx 1 (t) + CBu 1 (t) + Du 2 (t) = CA 2 x(t) + CABu(t) + CBu 1 (t) + Du 2 (t)
(47)
Herhaaldelijk toepassen tot de n de afgeleide en onder het elkaar schikken van de uitgangsvergelijking met al zijn afgeleiden levert de volgende n + 1 vergelijkingen Y n + 1(t) = O n + 1 x(t) + S n + 1 U n + 1(t) waarbij
(48)
51
y(t)
C CA
y 1 (t)
Y n + 1(t) = y 2 (t) , O n + 1 = CA 2 , en S n + 1 = y n (t)
CA n
D CB CAB
0 D CB
0 0 D
0 0 0
(49)
CA n – 1 B CA n – 2 B CB D
en gelijkaardig voor U n + 1(t) . De n onbekenden x(t) in (48) worden als volgt geëlimineerd. Construeer de volgende projectiematrix = I n + 1 – O n + 1 O nT + 1 O n + 1 –1 O nT + 1
(50)
waarbij rang() = n + 1 – rang(O n + 1) = n + 1 – n = 1 , en vermenigvuldig (48) links met . Dit geeft de volgende n + 1 differentiaalvergelijkingen Y n + 1(t) = S n + 1 U n + 1(t)
(51)
Gezien rang() = 1 bevat (51) slechts één lineaire onafhankelijke differentiaal vergelijking selecteer een niet nulle rij j in j Y n + 1(t) = j S n + 1 U n + 1(t)
(52)
is de gezochte differentiaalvergelijking. (b) Via Laplace getransformeerde. De eerste stap bestaat erin om G(s) op te stellen G(s) = C sI n – A – 1 B + D
(53)
en vervolgens de gemeenschappelijke polen en nullen te vereenvoudigen. Dit geeft G(s) = B(s) A(s) , en finaal wordt de invers Laplace getransformeerde berekend van de volgende input/output betrekking A(s)y(s) = B(s)u(s) Opmerking: de Matlab instructie tf zet een state space model om in een transferfunctie model.
(54)
52 II.4 Tijdantwoord II.4.1 Berekenen tijdsdomein oplossing vanuit de differentiaalvergelijking • Rechtstreeks n
n –1
n
n –1
d a y(t) d a y(t) d b u(t) d b u(t) a n ---------------- + a n – 1 ------------------------ + + a 0 y(t) = b n ----------------- + b n – 1 ------------------------ + + b 0 u(t) (55) n n –1 n n –1 a a b b dt a dt a dt b dt b n – 1 n – 1 met beginvoorwaarden u(0-) , u 1 (0-) , … u b (0-) ; y(0-) , y 1 (0-) , …, y a (0-) (zie cursus analyse).
• Via de Laplace getransformeerde (initiële condities = 0; anders bijkomende termen) nb
y(t) = L – 1 {y(s)} = L –1 {G(s)u(s)} met G(s) =
b sk k=0 k ---------------------------- en u(s) na
k = 0
= L{u(t)}
(56)
ak sk
(zie cursus systeemtheorie). II.4.2 Berekenen tijdsdomein oplossing vanuit de toestandsvergelijkingen • Rechtstreeks dx(t) ----------- = Ax(t) + Bu(t) dt y(t) = Cx(t) + Du(t)
(57)
met beginvoorwaarde x(0-) . De oplossing van het differentiaalstelsel wordt gegeven door t
x(t) = e At x(0-) + e A t – Bu() d
(58)
0
waarbij e At =
Ak tk ---------k = 0 k!
de volgende eigenschappen heeft Ae At = e At A
e At –1 = e –At (59)
de At ----------- = Ae At dt
Bewijs: gebruik makend van (59) kan gemakkelijk aangetoond worden dat de oplossing van de homogene vergelijking x'(t) = Ax(t) gegeven wordt door x(t) = e At K
(60)
met K een constante vector. Toepassing van de variatie van de constante geeft t
Ae At K(t) + e At K'(t) = e At K(t) + Bu(t) K(t) = K(0) + e – A Bu() d 0
Samenbrengen van (60) en (61) geeft finaal de oplossing van de gedwongen vgl. (57)
(61)
53 t
x(t) = e At K(0) + e A t – Bu() d
(62)
0
Invullen van de initiële conditie t = 0 x(t) = x(0-) geeft K(0) = x(0-) wat (58) bewijst.
䊐
Substitutie van (62) in de uitgangsvgl. van (57) geeft het gezochte uitgangssignaal t
y(t) = Ce At x(0-) + Ce A t – Bu() d + Du(t) 0
Opmerkingen: 1. voor enkelvoudige eigenwaarden kan de matrixexponentiaal e At berekend worden via de eigenwaardenontbinding van de matrix A A = T T –1 e At = Te t T – 1 met = diag( 1 2 n) en e t = diag(e 2. vgl. (58) stelt een convolutie integraal voor.
1 t
e
2 t
e
(63) n t
).
• Via de Laplace getransformeerde van (57) sx(s) – x(0-) = Ax(s) + Bu(s) y(s) = C sI n – A –1 B + D u(s) + C sI n – A – 1 x(0-) y(s) = Cx(s) + Du(s)
(64)
en y(t) = L –1 {y(s)} . II.4.3 Stapantwoord • Berekening stapantwoord via y(t) =
1 L – 1 { --- G(s)} s
=
1 Res(--- G(s)e st) s
1 polen --- G(s) s
(65)
waarbij de som strekt over de polen van G(s) s , en met 1 s de Laplace getransformeerde van de Heavyside stap. Het stapantwoord (65) kan via de instructie step in Matlab uitgerekend worden voor stabiele rationale functies G(s) . • Eerste orde laagdoorlaat systeem Toepassen van (65) op G(s) = 1 s + 1 levert y(t) = 1 – e –t /
(66)
54
01
X n
n
n n
sin = ---------- =
X
• Tweede orde laagdoorlaatsysteem 1 G(s) = -------------------------------------------2 s s -----+ 2 ------ + 1 n
(67)
n
met n de natuurlijke frequentie (undamped natural frequency), en de relatieve demping (damping ratio). De vorm van het stapantwoord (65) wordt bepaald door de ligging van de polen van (67) s 1 2 = – 2 – 1 n
(68)
We onderscheiden de volgende gevallen 1. = 0 : ongedempt (undamped) y(t) = 1 – cos( n t)
(69)
2. 0 1 : onderkritisch gedempt (under critically damped)
1 – n t y(t) = 1 – ------------------e cos( n 1 – 2 t – arctan(------------------)) 1 – 2 1 – 2
(70)
3. = 1 : kritisch gedempt (critically damped) y(t) = 1 – e
–n t
– t n e
–n t
(71)
4. 1 : bovenkritisch gedempt (over critically damped) s2 s t s1 s t y(t) = 1 – ---------------- e 1 – ---------------- e 2 s2 – s1 s1 – s2
(72)
55 Antwoord tweede orde systeem als functie van de relatieve demping j
ongedempt 2
1.5
y(t)
j n
= 0
1
–j n
0.5
0 0
5
10
15
t
j
onderkritisch gedempt 1.4 1.2 1
j n 1 – 2 01
y(t)
0.8
– n –j n 1 –
0.6 0.4 0.2
2
0 0
5
10
15
t
kritisch gedempt
j
2
y(t)
1.5
= 1
– n
1
0.5
0 0
5
10
15
t
j
bovenkritisch gedempt 2
– + 2 – 1 n y(t)
1.5
1
1
0.5
– – 2 – 1 n
0 0
5
1.8
1.6 1.4 1.2 y(t)
10 t
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
5
10 t
15
15
56 • Definities 1. piektijd (peak time) T p : tijd vereist om de eerste of maximale piek y max te bereiken. 2. percentage doorshot (overshoot) %DS : de hoeveelheid waarmee de golfvorm de eindwaarde (steady state value) op de piektijd overschrijdt uitgedrukt in percentage van de eindwaarde y max – y eind %DS = 100 ----------------------------- . y eind
(73)
3. insteltijd (settling time) T s : tijd die de gedempte oscillaties van de overgangsverschijnselen nodig hebben om binnen ±2% van de eindwaarde te komen. 4. stijgtijd (rise time) T r : tijd nodig om van 0.1y eind naar 0.9y eind te gaan.
y(t)
onderkritisch gedempt
1.4 y max
1.2 1.02y eind y eind1 0.98y eind
y(t)
0.9y eind 0.8
0.6 0.4 0.2 0.1y eind
0 0 Tr
Tp
5
t Ts
10
15 t
• Merk op dat voor een tweede orde systeem G(s) = 1 s n 2 + 2 s n + 1 : 1. de omhullende van het stap- of impulsantwoord enkel functie is van het reëel gedeelte van de pool, 2. de frequentie van de oscillaties in het stap- of impulsantwoord enkel functie zijn van het imaginair gedeelte van de pool, 3. het percentage doorschot bij het stapantwoord enkel functie is van de demping, en dus van de hoek tussen de pool en de imaginaire as.
57 Bewijs dit gedrag als oefening.
zelfde omhullende 1.6
3
3
2
1.4
j
2
1
1.2
1
y(t)
1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
5
10
15
t zelfde frequentie
1
1.4
j
2
1.2
3
3
1
2
1
0.8 y(t)
0.6 0.4 0.2 0 0
5
10
15
t zelfde doorschot 1.4
3
2
1
3 1
1 0.8 y(t)
0.6 0.4 0.2 0 0
j
2
1.2
5
10
15
t
• Tweede orde laagdoorlaatsystemen met een nul op de reële as,
58
s --- + 1 a G(s) = -------------------------------------------2 s s -----+ 2 ------ + 1 n
(74)
n
Voor stabiele systemen onderscheidt men naargelang het teken van a 1. a 0 nul in het linkerhalfvlak minimum fase systeem, 2. a 0 nul in het rechterhalfvlak niet-minimum fase systeem. niet-minimum fase: a < 0
minimum fase: a > 0 1.5
1.5
1 1 y(t)
y(t)
0.5
a = 3 a = 5
0.5
a = –2 0
a = 10
-0.5
a = 0 0
1
2
3
4
5
-1
0
1
2
t
3
4
5
t
Verklaring: noem y 0(t) het stapantwoord op het systeem (67) zonder nul in de teller. Als we nu een nul s a + 1 toevoegen aan de teller dan wordt het stapantwoord y(t) gegeven door 1 dy 0(t) y(t) = L –1 {y 0(s) s a + 1 } = --- -------------- + y 0(t) a dt
(75)
Gevolg: 1. a 0 doorschot (overshoot) groter ( dy 0(t) dt 0 tot aan eerste piek). 2. a 0 en a 0 stapantwoord sneller, wat een algemene eigenschap van de differentiator is. 3. a 0 y(0+) = y 0'(0+) a 0 negatief stapantwoord voor t “voldoende klein”. Voorbeeld: mocht een robot een niet minimum fase karakteristiek hebben dan zou deze op een commando om naar links te gaan eerst even naar rechts uitwijken. • Algemene definitie 1. minimum fase systeem = alle polen en nullen liggen in het linkerhalfvlak 2. niet-minimum fase systeem = één of meerdere nullen en/of polen liggen in het rechterhalfvlak. II.4.4 Statische fout
59 • Klassieke testsignalen
stap
constante positie
constante snelheid
talud
parabool
constante versnelling
1 --s
1
t
1 ----s2
t2 ---2
1 ----s3
Opmerkingen: 1. de talud en parabool kunnen herleid worden tot de stap wanneer toegepast op respectievelijk de afgeleide en de tweede afgeleide van het referentiesignaal. Bijgevolg beperken we ons in de studie tot de statische fout op de stap. 2. het impuls- en stapantwoord kunnen in Matlab via de instructies impulse en step berekend worden. • Definitie e stap() = 1 – y()
(76)
wanneer de ingang u(t) een eenheidsstap is.
statische fout
60 • Eenvoudige voorbeelden: e(t) K
e(t)
y(t)
K 1 y(t) = ------------- e stap() = 1 – y() = ------------1+K 1+K
K ---s
y(t)
y(t) = 1 – e – Kt e stap() = 1 – y() = 0
• Berekening statische fout in het algemeen Algemeen hebben we dat ( u(t) = 1 voor t 0 en u(t) = 0 voor t 0 ) e stap() = lim se stap(s) = 1 – lim sy(s) s0 s0
(77)
Bewijs (einde waarde theorema): dy(t) L{ -----------} = sy(s) – y(0-) dt
(78)
dy(t) dy(t) L{ -----------} = -----------e – st dt dt 0- dt
Indien sy(s) enkel polen heeft in het linker halfvlak (en niet op de imaginaire as) dan convergeert de integraal in (78) voor alle Re(s) 0 . Bijgevolg kunnen we (78) evalueren in s = 0 dy(t) dy(t) lim L{ -----------} = ----------- dt = y() – y(0-) lim sy(s) = y() dt s0 s0 0- dt
(79) 䊐
Merk op dat y(s) een enkelvoudige pool in de oorsprong mag hebben. • Berekening statische fout voor eenheidsterugkoppeling e(t) G(s)
y(t)
1 1 G(s) 1 e stap() = lim se stap(s) = lim s --- – --- -------------------- = ------------------------------1 + lim G(s) s0 s 0 s s 1 + G(s) s0
Besluit
(80)
61 1. indien G(0) = dan is de statische fout gelijk aan nul. Deze voorwaarde is voldaan indien G(s) een integrator bevat (= pool in de oorsprong). 2. indien G(s) geen integrators bevat dan is de statische fout op een stap verschillend van nul. • Opgelet, voor niet-eenheidsterugkoppelingen geldt de voorgaande integratorregel niet noodzakelijk. Inderdaad beschouw e(t)
1 e stap(s) = --- – y(s) s
y(t)
G(s)
1 G(s) = --- 1 – ------------------------------- s 1 + G(s)H(s) 1 1 + G(s)H(s) – G(s) = --- ----------------------------------------------s 1 + G(s)H(s)
H(s)
met G(s) = 100 s s + 10 en H(s) = 1 s + 5 , dan vinden we dat de fout op het stapantwoord H(0) – 1 e stap() = lim se stap(s) = -------------------- = – 4 H(0) s0
(81)
verschillend is van nul! Verklaar dit! • Voor de fout op het talud- en paraboolantwoord van een eenheidsterugkoppeling krijgen we respectievelijk 1 e talud() = lim t – y(t) = ------------------------lim sG(s) t s0
(82)
1 1 e parabool() = lim --- t 2 – y(t) = ---------------------------2 t lim s 2 G(s) s0
II.4.5 Statische fout bij verstoringen • Eenheidsterugkoppeling regelaar r(t)
e(t)
d(t)
systeem y(t)
G 1(s)
G 2(s)
Het verschil tussen het gewenste signaal r(s) en het werkelijke uitgangssignaal y(s) wordt gegeven door G 2(s)d(s) r(s) e r(s) = r(s) – y(s) = ------------------------------------ – -----------------------------------1 + G 1(s)G 2(s) 1 + G 1(s)G 2(s)
(83)
62 In de onderstelling dat 1 1 + G 1(s)G 2(s) en G 2(s) 1 + G 1(s)G 2(s) enkel polen hebben in het linkerhalfvlak + eventueel in de oorsprong, dan wordt de statische fout gegeven door sG 2(s)d(s) sr(s) e r() = lim se r(s) = lim ------------------------------------ – lim -----------------------------------s0 s 0 1 + G 1(s)G 2(s) s 01 + G 1(s)G 2(s)
(84)
De eerste term is de statische fout ten gevolge van r(s) , de tweede term deze ten gevolge van de storing d(s) . Voor de statische fout op het stapantwoord (zowel voor r(t) als d(t) een stap nemen) wordt dit 1 1 e stap() = lim ------------------------------------ – lim --------------------------------1 G 1 + ( s )G ( s ) s0 s 0 ------------- + G (s) 1 2 1 G 2(s)
(85)
De bijdrage van de eerste term in (85) is nul indien de regelaar G 1(s) een integrator bevat en het systeem G 2(s) geen nul heeft bij DC. De tweede term is nul indien de regelaar G 1(s) een integrator bevat of indien het systeem G 2(s) een nul heeft bij DC. Gezien een nul bij DC G 2(0) = 0 de bijdrage van de eerste term verschillend van nul maakt is de geschikte strategie om beide termen in (85) klein te maken door G 1(0) » 1 G 2(0) en G 1(0) » 1 te kiezen (in de limiet een integrator G 1(0) = ). • Niet-eenheidsterugkoppeling d(t)
regelaar r(t)
e(t)
systeem y(t)
G 1(s)
G 2(s)
H(s) sensor Het verschil tussen het gewenste signaal r(s) en het werkelijke uitgangssignaal y(s) wordt nu gegeven door 1 + G 1(s)G 2(s) H(s) – 1 G 2(s)d(s) e r(s) = r(s) – y(s) = r(s) ------------------------------------------------------------- – ----------------------------------------------1 + G 1(s)G 2(s)H(s) 1 + G 1(s)G 2(s)H(s)
(86)
De statische fout op het stapantwoord ( r(s) = 1 s , d(s) = 1 s ) is nul indien (bij onderstelling zijn de transferfuncties in (86) stabiel) 1 + G 1(s)G 2(s) H(s) – 1 G 2(s) lim ------------------------------------------------------------- = 0 en lim ----------------------------------------------- = 0 s 0 1 + G 1(s)G 2(s)H(s) s 0 1 + G 1(s)G 2(s)H(s) Deze voorwaarden zijn voldaan indien 1. de regelaar G 1(s) een integrator bevat: G 1(0) = , 2. het systeem G 2(s) geen nul heeft bij DC: G 2(0) 0 , 3. de DC-versterking van de sensor H(s) één is: H(0) = 1 .
(87)
63 De laatste eis kan gemakkelijk intuïtief begrepen worden: het is onmogelijk om de statische fout van het stapantwoord (= DC fout) nul te maken indien de meting van het DC-niveau aan de uitgang niet correct is.
64 II.5 Praktijkvoorbeeld: antenne-azimut positieregeling • Blokschema (zie ook Hoofdstuk 1, sectie 7)
i
Vi
vermogensversterker
voorversterker Ve
Vp
K1 ----------s+a
K0
K pot
motor en last Ea
Km ----------------------s s + am
azimuthoek
m Kg
u
potentiometer K pot potentiometer Dit schema kan vereenvoudigd worden tot
i(t)
u(t)
e(t) G(s)
K G(s) = ---------------------------------------s s + a s + am
waarbij
K = K pot K 0 K 1 K m K g
• De statische fout op het stapantwoord ( i(t) = 1 s ), het taludantwoord ( i(t) = 1 s 2 ), en het paraboolantwoord ( i(t) = 1 s 3 worden respectievelijk gegeven door 1 e stap() = lim -------------------- = 0 s 0 1 + G(s)
(88)
aa m 1 e talud() = ------------------------- = ---------lim sG(s) K
(89)
1 e parabool() = ---------------------------- = lim s 2 G(s)
(90)
s0
s0
Vraag: kan e talud() willekeurig klein gemaakt worden door K ? Wat indien de vermogenversterker gemodelleerd wordt door K 1 . • Besluit: de regelkring laat toe om de hoek foutloos in te stellen met een (kleine?) statische fout op de snelheid. De versnelling kan echter niet ingesteld worden.
65 II.6 Frequentieantwoord II.6.1 Bode diagrams Langsheen de imaginaire as kan de transferfunctie geschreven worden als G(j) = G(j) e j G(j)
(91)
waarbij G(j) de amplitude en G(j) de fase karakteristiek voorstelt. 20log 10 G(j) (decibel schaal) en G(j) in graden uitgezet als functie van op een logaritmische as noemt men de Bode diagrams. Voorbeeld 8000 G(s) = ------------------------------------------------------- s + 5 s + 20 s + 50 Bode Diagrams
0 -20
Phase (deg); Magnitude (dB)
-40 -60 -80 -100
-50 -100 -150 -200 -250 0
1
10
2
10
10 Frequency (rad/sec)
In Matlab wordt deze grafiek getekend via de instructie Bode. II.6.2 Winst- en fasemarge • Beschouw een eenheidsterugkoppeling met open lus transferfunctie G(s) . r(t)
u(t) G(s)
y(t)
3
10
66 De winstmarge (gain margin) wordt gedefinieerd als de versterking die nodig is om de amplitude van G(j) te laten stijgen tot 0 dB bij de frequentie waar de fase van G(j) gelijk is aan 180°. De fase marge (fase margin) wordt gedefinieerd als het faseverschil van G(j) t.o.v. 180° bij die frequentie waar de amplitude van G(j) gelijk is aan 0 dB. Deze frequentie noemt men de crossover frequentie. • Voorbeeld: winstmarge = 21 dB, fasemarge = 108°, en crossover frequentie = 5.7 rad/s. 8000 G(s) = ------------------------------------------------------- s + 5 s + 20 s + 50 Bode Diagrams Gm=21.606 dB (at 36.742 rad/sec), Pm=108.23 deg. (at 5.771 rad/sec) 0 -20
Phase (deg); Magnitude (dB)
-40 -60 -80 -100
-50 -100 -150 -200 -250 1
2
10
10 Frequency (rad/sec)
• Nut: voor stabiele open loop transferfuncties G(s) zijn de winst- en fasemarge zijn een maat van hoever de regelkring van de instabiliteitsgrens werkt (= maat robuustheid t.o.v. verloop van de karakteristieken). Dit volgt uit de gesloten lus transferfunctie G(s) G c(s) = -------------------1 + G(s)
(92)
Deze bereikt de stabiliteitsgrens (oscillerend antwoord) wanneer voor een zekere pulsatie 1 + G(j) = 0 of G(j) = – 1
(93)
wat voldaan is wanneer G(j) = 1 en G(j) = 180° . De winstmarge en fasemarge geven dus aan hoeveel de open lus winst (open loop gain) nog mag toenemen en de fase verder mag afnemen voordat de gesloten lus transferfunctie (closed loop transfer function) instabiel wordt. In Matlab wordt deze berekend via de instructie margin. • Tegenvoorbeelden
67 (i) Beschouw de open lus transferfunctie 7 s + 10 2 G(s) = ------------------------s3 Bode Diagrams Gm=-2.9226 dB (at 10 rad/sec), Pm=10.029 deg. (at 11.924 rad/sec) 100
Phase (deg); Magnitude (dB)
50
0
-100
-150
-200
-250 0
1
10
10 Frequency (rad/sec)
Uit de grafiek volgt dat de winstmarge = -2.9 dB, en fasemarge = 10°. Alhoewel de winstmarge een instabiele werking van de gesloten lus kring suggereert, is in werkelijkheid de gesloten lus transferfunctie stabiel (polen op -5.338, en -0.8309 ±11.42j). De tegenstelling is een gevolg van de instabiliteit van de open lus transferfunctie (drie-voudige pool in de oorsprong). (ii) Beschouw de volgende open lus transferfunctie 85 s + 1 s 2 + 2s + 43.25 G(s) = ----------------------------------------------------------------------------s 2 s 2 + 2s + 82 s 2 + 2s + 101 Uit de grafiek volgt dat de winstmarge = 2.1 dB, en fasemarge = 36.5°. Het overeenstemmende Bode diagram heeft drie crossover frequenties, namelijk = 0.7 , 8.5 , en 9.8 rad/s (3 frequenties waar G(j) = 1 ). De Matlab routine margin selecteert deze met de kleinste fasemarge. In dit voorbeeld is enkel de winstmarge een maat voor de eerder zwakke stabiliteit van het systeem. • Besluiten 1. voordeel van de aanpak: uit open lus metingen van de frequentieresponsiefunctie (frequency response function) kan men de stabiliteit van de gesloten lus voorspellen, 2. de stabiliteitsanalyse via de winst- en fasemarge parameters moet met de nodige omzichtigheid
68
Bode Diagrams Gm=2.1271 dB (at 10.343 rad/sec), Pm=36.539 deg. (at 0.73832 rad/sec)
50
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-50
-50 -100 -150 -200 -250 -1
0
10
1
10
10
Frequency (rad/sec)
gebeuren, gezien die enkel geldt voor stabiele open lus systemen, 3. voor open loop systemen met meerdere crossover frequenties is de stabiliteitsanalyse via Bode diagrams ambigu. II.6.3 Systemen met vertraging • Beschouw een systeem met vertraging (delay) G(s)e – s
(94)
G(j) –
(95)
De fase van de open loop wordt dan
Vgl. (95) toont aan dat een vertraging de fasemarge doet afnemen en dus de kans op instabiliteit doet toenemen. In de procesindustrie heeft men dikwijls systemen van de vorm (94); denk bijv. aan het transport van stoffen over een zekere afstand. • Voorbeeld r(t)
u(t)
e – s
y(t)
69 De oscillatievoorwaarde (93) is voldaan voor
= 2n + 1 of = 2n + 1 met n = 0 1 (toon dit aan!).
(96)
70 II.7 Poolbanen II.7.1 Definities en voorbeelden • Beschouw de volgende eenheidsterugkoppelstruktuur e(t)
u(t)
y(t)
G(s)
K
met gesloten lus transferfunctie G c(s) KG(s) B(s) G c(s) = ------------------------ en G(s) = ---------1 + KG(s) A(s)
(97)
De poolbanen figuur toont nu de polen van de gesloten lus transferfunctie G c(s) als functie van de open lus winst K closed loop polen = wortels van A(s) + KB(s) = 0
(98)
Deze figuren kunnen via (98) gemakkelijk in Matlab gegenereerd worden via de instructie rlocus. De waarde van K op de poolbaan vindt men via de instructie rlocfind. • Voorbeelden s + 3 s + 4 s + 5 G(s) = ----------------------------------------------------- s + 1 s + 2 s + 2.5
s + 3 G(s) = ----------------------------------------------------ss + 1s + 2s + 4 Poolbaan 4
1.5
3
1
2 Imaginary axis
Imaginary axis
Poolbaan 2
0.5 0 -0.5
0 -1
-1
-2
-1.5
-3
-2 -6
Merk op:
-5
-4
-3 -2 Real axis
-1
0
1
K = 9.7
1
-4 -6
-4
-2 Real axis
0
2
71
s 2 – 2s + 2 G(s) = ----------------------------------------------- s + 1 s 2 + 4s + 5
s 2 + 2s + 2 G(s) = ----------------------------------------------- s + 1 s 2 – 4s + 5
Poolbaan 1.5 1
K = 0 K = 1
Poolbaan
K = 3.8
4
K =
K = 4.4
3
K = 1
0.5
Imaginary axis
Imaginary axis
2
0 -0.5
1
K =
K = 0
0 -1 -2
-1
-3
-1.5 -3
-2
-1
0
1
-4 -4
2
Real axis
-3
-2
-1 0 Real axis
1
2
3
1. de regel dat de kans op instabiliteit toeneemt voor stijgende waarden van K geldt enkel voor stabiele open lus systemen, 2. de stabiliteit uit de Bode-diagrams halen gaat enkel voor stabiele open lus systemen 2s + 2 s 2 +Diagrams Bode G(s) = ------------------------------------------------ K = 1 2 s + 1 s – 4s + 5 -8 -10 -12
Phase (deg); Magnitude (dB)
-14 -16 -18 -20
200 150 100 50 0 -1 10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
• De poolbanen (wortels van vgl. (98)) kunnen ook geschetst worden via eenvoudige grafische regeltjes (zie verder). Het voordeel van deze grafische techniek is dat deze inzicht geeft in het verband tussen enerzijds
72 de stabiliteit van de closed loop en anderzijds het aantal open loop polen en nullen en hun positie in het complexe vlak. Definities ( G(s) = B(s) A(s) ) 1. open loop polen = wortels A(s) = 0 2. open loop nullen = wortels B(s) = 0 3. closed loop polen = wortels van A(s) + KB(s) = 0 Opmerking: indien we de polen en nullen in het oneindige meetellen, dan heeft de rationale vorm G(s) = B(s) A(s) evenveel polen als nullen. II.7.2 Schetsen van positieve poolbanen • Regels voor het schetsen van de poolbanen G c(s) = KG(s) 1 + KG(s) waar nb
nb
r = 0 b r s r r = 1 s – z r B(s) G(s) = ---------- = ---------------------------- = K G ------------------------------------- met KK G 0 na na A(s) r a s r s – pr r=0
(99)
r=1
Basisregels positieve poolbanen (positive root locus): 1. Aantal takken: aantal takken van de poolbaan = aantal open loop polen, 2. Begin- en eindpunten: closed loop polen gaan van open loop polen ( K = 0 in (98)) naar open loop nullen ( K = in (98)), 3. Symmetrie: de poolbaan is symmetrisch t.o.v. de reële as, 4. Reële as: op de reële as liggen rechts van de poolbaan een oneven aantal eindige open loop polen en/of nullen, 5. Gedrag in het oneindige: voor K nadert de poolbaan de asymptoten met hoeken 2k + 1 # eindige polen – # eindige nullen
2k + 1 na – nb
asympt = --------------------------------------------------------------------------------- = ----------------------- voor k = 0 1 2
(100)
Het snijpunt van de asymptoten met de reële as is
asympt =
eindige polen – eindige nullen -------------------------------------------------------------------------------------# eindige polen – # eindige nullen
na
nb
r = 1 p r – r = 1 z r
= --------------------------------------------------na – nb
(101)
Aanvullende regels positieve poolbanen (root locus): 6. Uitbreek- en invalspunten op de reële as: in een uitbreek- en invalspunt is de hoek van de poolbaan met de reële as gelijk aan n met n het aantal polen dat de reële as verlaat of aankomt, 7. Snijpunten met de imaginaire as: los A(j) + KB(j) = 0 op, 8. Hoeken van vertrek- en aankomst: de poolbaan verlaat een complexe open loop pool p j met de hoek
73
nb
r = 1
jvertrek =
p j – z r –
na r = 1 r j
p j – p r – 2k + 1
(102)
en komt in een complexe nul z j aan met de hoek
jaankomst =
na
r = 1
z j – p r –
nb r = 1 r j
z j – z r + 2k + 1 .
(103)
• Het bewijs van de grafische regels vertrekt van de definitie van de closed loop polen nb
r = 1 s – zr
KG(s) = – 1 KK G ------------------------------------- = – 1 na
(104)
r = 1 s – p r
(zie Franklin et al., 2002, en Nise, 2002 voor de details). In de onderstelling dat KK G 0 leiden we uit (104) af dat nb
r = 1
s – z r –
na r=1
s – p r = 2k + 1
(105)
Bewijs regel 4: Voor s = , een punt op de reële as, vereenvoudigt (105) zich tot
reële nullen – zr – reële polen – pr
= 2k + 1
(106)
(de bijdrage van complex toegevoegde polen en nullen vallen tegen elkaar weg), waarbij 0 – x =
x x
(107)
Gevolg: indien er rechts van een even aantal polen en/of nullen zijn is het linkerlid in (106) een veelvoud van 2 en behoort dus niet tot de poolbaan. Indien er daarentegen een oneven aantal polen en/of nullen rechts van liggen dan is het linkerlid van (106) een oneven veelvoud van en behoort tot de poolbaan. 䊐 Bewijs regel 8: Neem een punt s = p j + op de poolbaan met willekeurig klein. Betrekking (105) wordt dan nb
r = 1
p j + – z r –
na r = 1 r j
p j + – p r – = 2k + 1
(108)
Neem nu de limiet van (108) voor 0 waarbij per definitie lim = jvertrek
0
(109)
74 Dit bewijst (102). Het bewijs van (103) verloopt op dezelfde manier (neem s = z j + ).
䊐
Bewijs regel 5: Neem een punt s op de poolbaan en laat s . Vgl. (105) wordt dan nb
r = 1
na
2m + 1 2k + 1 s = 2m + 1 s = ------------------------- = ----------------------n – n na – nb r=1 b a
s –
(110)
voor k = 0 1 2 , wat overeenkomt met (100). • Voorbeeld van het grafisch schetsen: neem s+3 G(s) = ----------------------------------------------------ss + 1s + 2s + 4
(111)
hoeken asymptoten = 3 , en ; snijpunt asymptoten – 1 – 2 – 4 – –3 3
4 3
asympt = ----------------------------------------------- = – ---
(112)
Samen met regel 4 voor de reële as levert dit de volgende schets s+3 G(s) = ----------------------------------------------------ss + 1 s + 2s + 4
Poolbaan 4 3
Imaginary axis
2
/3
-4/3
1 0 -1 -2 -3 -4 -6
-4
-2 Real axis
0
2
II.7.3 Schetsen van negatieve poolbanen • Wanneer de coëfficiënten van de hoogste macht van s in teller en noemer van de open lus transfer
75 functie een verschillend teken hebben (bijv. niet-minimum fase transfer functie) of in geval van een positieve terugkoppeling is KK G 0 in (104). Men spreekt dan van een negatieve poolbanen (negative root locus). De basisregels voor het schetsen blijven geldig met de volgende wijzigingen: regel 4 vervang oneven door even, regel 5: vervang in asympt 2k + 1 door 2k , en regel 8: vervang in jvertrek en jaankomst 2k + 1 door 2k . • Voorbeeld, de hoogtecontrole transferfunctie van een Boeing 747, 6–s s–6 G(s) = ------------------------------------- = – ------------------------------------2 2 s s + 4s + 13 s s + 4s + 13 Poolbaan 5
K = 0 Imaginary axis
K = 4.9 K = 0
-5
0
5 Real axis
10
76 II.8 Nyquist criterium II.8.1 Nyquist stabiliteitscriterium • Beschouw de volgende eenheidsterugkoppelstructuur r(t)
u(t) G(s)
y(t)
en teken het beeld G(s) in het complexe vlak wanneer s de kromme C doorloopt Im(G(s))
Im(s) s-vlak
G(s)-vlak
s Re(s)
Re(G(s))
+
-1
G(s) C
Het Nyquistcriterium legt nu een verband tussen het aantal polen van de gesloten lus transferfunctie G c(s) = G(s) 1 + G(s) binnen C in het s -vlak en het netto aantal keren dat het punt (-1, 0) in wijzerszin omcirkelt wordt in het G(s) -vlak. Door de straal van C naar oneindig te laten gaan omvat C in de limiet het ganse rechterhalfvlak. Nyquist stabiliteitscriterium: 1. teken het beeld G(s) wanneer s het ganse rechterhalfvlak (RHV) in wijzerszin omloopt, 2. bepaal N , het netto aantal omcirkelingen in wijzerszin rond het punt (-1, 0), 3. bepaal P , het aantal instabiele open loop polen (= polen G(s) in het RHV), 4. bereken Z , het aantal instabiele closed loop polen (= nullen 1 + G(s) in het RHV) Z = N+P
(113)
• Bewijs: het bewijs gebeurt in twee stappen. Eerst bewijzen we Cauchy’s principe van het argument voor een analytische functie f(s) . Vervolgens passen we deze stelling toe op f(s) = 1 + G(s) . Stap 1 (Cauchy’s principe van het argument): beschouw een eenvoudige gesloten kromme C waarbinnen f(s) een analytische functie is van s behalve in een eindig aantal polen, en met f(s) 0 op C . Er geldt dan
77
1 d -------- logf(s)ds = Z – P 2j d s
(114)
C+
waarbij Z en P respectievelijk het aantal nullen en polen van f(s) binnen C voorstellen (multipliciteit meegerekend, bijv. een dubbele pool telt voor twee), en waarbij de kromme C in tegenwijzerszin doorlopen wordt. Vgl. (114) toont men aan via de residu stelling 1 -------- g(s)ds = 2j C+
Res(g(s))
(115)
polen g(s) binnen C
toegepast op g(s) = dlogf(s) ds . In een nulpunt z 0 met multipliciteit n , of een pool p 0 met multipliciteit m kunnen we f(s) altijd schrijven als f(s) = s – z 0 n h(s)
h(z 0) 0
k(s) f(s) = --------------------- s – p0 m
k(p 0) 0
waarbij h(s) en k(s) analytisch zijn in respectievelijk z 0 en p 0 . Bijgevolg 1 df(s) 1 dh(s) n -------- ----------- = --------- ------------ + ------------f(s) ds h(s) ds s – z0 1 df(s) 1 dk(s) m -------- ----------- = --------- ------------ – -------------k(s) ds s – p0 f(s) ds
(116)
(117)
waaruit we besluiten dat de logaritmische afgeleide enkel polen met multipliciteit één heeft. Samenvoegen van (115) en (117) geeft (114). Gebruik makend van f(s) = f(s) e j f(s) kunnen we het linkerlid in (114) schrijven als 1 d 1 1 -------- logf(s)ds = -------- dlog f(s) + -----2j d s 2j 2 C+
C+
+ d f(s)
(118)
C
Gezien log f(s) continu is over C ( f(s) 0 over C ) is de eerste term in het rechterlid van (118) nul. De tweede term stelt het netto aantal omcirkelingen in tegenwijzerszin rond de oorsprong voor ( N ). Samen met (114) resulteert dit in Cauchy’s principe van het argument N = Z–P
(119)
Stap 2: we passen Cauchy’s principe van het argument (119) toe op f(s) = 1 + G(s) waarbij C een kromme is die het ganse RHV omsluit en in wijzerszin doorlopen wordt. N stelt dan het netto aantal omcirkelingen in wijzerszin van 1 + G(s) rond de oorsprong voor, wat gelijk is aan het netto aantal omcirkelingen in wijzerszin van G(s) rond het punt (-1, 0). Z zijn het aantal nullen van 1 + G(s) in het RHV wat precies gelijk is aan de closed loop polen in het RHV ( G c = G 1 + G ). P stelt ten slotte het aantal open loop polen voor in het RHV. • Opmerkingen:
78 1. uit het bewijs volgt dat 1 + G(s) geen polen noch nullen op de kromme C mag bevatten. Indien G(s) toch polen op de j -as heeft dan moet deze rechts omcirkeld worden waarbij de straal van de cirkel in de limiet naar nul gaat. Bijvoorbeeld voor een open loop pool in de oorsprong,
Im(s) s-vlak Re(s)
C
2. om de stabiliteit van KG 1 + KG te analyseren tekenen we het beeld van G(s) en tellen we het netto aantal omcirkelingen in wijzerszin van G(s) rond het punt ( – 1 K , 0), 3. het bepalen van de stabiliteit van de gesloten lus transferfunctie via het Nyquist diagram stamt vanuit de periode dat digitale computers niet voorhanden waren (bijv. om de wortels van een veelterm numeriek te berekenen). Via de kleinste afstand tussen het punt (-1, 0) en de Nyquist kromme (= vector marge) toont het diagram echter mooi aan hoe robuust de stabiliteit van de gesloten lus kring is. II.8.2 Schetsen van het Nyquist diagram Het schetsen van het Nyquist diagram wordt uitgelegd aan de hand van een aantal voorbeelden. Merk op dat de Matlab instructie nyquist niet de waarden van G(s) tekent in het oneindige. • Voorbeeld 1: s + 3 s + 5 G(s) = --------------------------------s – 2 s – 4
(120)
)
Teken G(s) wanneer s de kromme C doorloopt: 1. lijnstuk ab : s = j met = 0+ + en G(j) =
2 + 9 2 + 25 --------------------------------------------- , G(j) = bgtg(----) + bgtg(----) + bgtg(----) + bgtg(----) 2 2 3 5 2 4 + 4 + 16 G(j) = 15 8 1 G(j) = 0 2 )
(121)
(fase neemt toe draaien in tegenwijzerszin). Het snijpunt van het beeld van ab met de reële as vinden we door de vergelijking Im G(j) = 0 op te lossen. Dit levert twee waarden voor
79 s + 3s + 5 G(s) = --------------------------------s – 2s – 4 Nyquist 2
Im(s) b
s-vlak
0
1.5
0
c
a
Re(s)
Imaginaire as
1 0.5
=
0 -0.5 -1
d
C
= 0
0
-1.5 -2 -1.5
0 -1
-0.5
0 0.5 Reële as
1
1.5
2
namelijk 0 en 11 . We vinden G(j 11) = – 4 3 wat het snijpunt is van de Nyquist curve met de negatief reële as. )
)
)
2. cirkel bcd : s = Re j met = 2 0 – 2 en R G(s) = 1 , 3. lijnstuk da : complex toegevoegde van het beeld van het lijnstuk ab . Besluiten: 1. voor K = 1 : N = – 2 (tweemaal in tegenwijzerszin rond het punt (-1, 0)), P = 2 (twee instabiele open loop polen) Z = N + P = 0 (geen instabiele closed loop polen, 2. de closed loop is stabiel voor zover K 1 4 3 = 3 4 (het punt ( – 1 K , 0) moet binnen de twee omcirkelingen liggen). • Voorbeeld 2: 1 G(s) = ---------------------s s + 1 2
(122)
)
Teken G(s) wanneer s de kromme C doorloopt: 1. lijnstuk ab : s = j met = 0+ + G(j) = + 0 G(j) = – 2 – – 3 2 )
(123)
(fase neemt af draaien in wijzerszin). Het snijpunt van het beeld van ab met de reële as vinden we door de vergelijking Im G(j) = 0 op te lossen. Dit levert twee waarden voor namelijk 0 en 1 . We vinden G(j) = – 1 2 wat het snijpunt is van de Nyquist curve met de negatief reële as.
80
1 G(s) = ---------------------s s + 12 Nyquist 1
Im(s) s-vlak
= 0-
b
0
a
g
d
Re(s)
f
Imaginaire as
0.5
=
0
0
-0.5
e
C
= 0+ -1 -1.5
-1
-0.5
0 Reële as
0.5
1
1.5
)
)
)
2. cirkel bde : s = Re j met = 2 0 – 2 en R G(s) = 0 , 3. lijnstuk ef : complex toegevoegde van het beeld van lijnstuk ab , )
4. cirkel fga : s = re j met = – 2 0 2 en r 0 G(j) = + G(j) = 2 0 – 2
(124)
(fase neemt af draaien in wijzerszin). Besluiten: 1. voor K = 1 : N = 0 (geen omcirkelingen rond het punt (-1, 0)), P = 0 (geen instabiele open loop polen) Z = N + P = 0 (geen instabiele closed loop polen, 2. de closed loop is stabiel voor zover K 1 1 2 = 2 (het punt ( – 1 K , 0) moet buiten de kleine omcirkeling liggen). • Voorbeeld 3: s + 10 2 G(s) = ---------------------s3
(125)
)
Teken G(s) wanneer s de kromme C doorloopt: 1. lijnstuk ab : s = j met = 0+ + G(j) = + 0 G(j) = – 3 2 – – 2 )
(126)
(fase neemt toe draaien in tegenwijzerszin). Het snijpunt van het beeld van ab met de reële as vinden we door de vergelijking Im G(j) = 0 op te lossen. Dit levert twee waarden voor
81
s + 10 2 G(s) = ---------------------s3 Nyquist 1
Im(s) b
s-vlak
= 0+
a
g
d
Re(s)
f
Imaginaire as
0.5
0 0
=
+ 0
-0.5
e
C
= 0-1 -1.5
-1
-0.2 -0.5
0 Reële as
0.5
1
1.5
namelijk 0 en 10 . We vinden G(j10) = – 1 5 wat het snijpunt is van de Nyquist curve met de negatief reële as. )
)
)
2. cirkel bde : s = Re j met = 2 0 – 2 en R G(s) = 0 3. lijnstuk ef : complex toegevoegde van het beeld van lijnstuk ab , )
4. cirkel fga : s = re j met = – 2 0 2 en r 0 G(j) = + G(j) = 3 2 0 – 3 2
(127)
(fase neemt af draaien in wijzerszin). Besluiten: 1. voor K = 1 : N = 2 (twee omcirkelingen rond het punt (-1, 0) voorgesteld door ‘+’ in de Nyquist figuur), P = 0 (geen instabiele open loop polen) Z = N + P = 2 (twee instabiele closed loop polen), 2. de closed loop is stabiel voor zover K 1 0.2 = 5 (het punt ( – 1 K , 0) moet binnen de kleine omcirkeling liggen). • Opmerking: Vergelijk voor de 3 voorbeelden de resultaten met de stabiliteitsanalyse via de methode van de poolbanen.
82
Hoofdstuk III: Regelen van lineaire systemen
83 III.1 State feedback regelaars III.1.1 Regelbaarheid (controllability) van een systeem • Definities 1. Een systeem is regelbaar (controllable) indien er een ingangssignaal u(t) van het systeem kan gevonden worden dat de toestandsvector x(t) (alle toestandsverandelijken) van een willekeurige begintoestand x(0) naar een willekeurige eindtoestand x(t f) brengt. · 2. Beschouw een n -de orde systeem met toestandsvergelijking x = Ax + Bu , dan is (128)
C n = B AB A 2 B A n – 1 B de regelbaarheidsmatrix (controllability matrix).
• Stelling: een systeem van orde n is regelbaar enkel en alleen indien de regelbaarheidsmatrix rang n heeft: rang(C n) = n . · Bewijs: de oplossing van de toestandsvergelijking x = Ax + Bu is gegeven door (58) t
x(t) = e At x(0) + e A t – Bu() d
(129)
0
Evaluatie van (129) in t = t f gebruik makende van de definitie van de matrixexponentiaal geeft x( t f ) = e
At f
tf
x(0) +
1
---- t f – r A r Bu() d 0 r = 0 r! tf
0 u() d tf
0 tf – u() d = e
At f
(130)
tf
x(0) + B AB A 2 B A r B 1--- t – 2 u() d 2 0 f 1 tf ---- t f – r u() d r! 0
Gezien een vierkante matrix een oplossing is van zijn karakteristieke vergelijking (stelling van CayleyHamilton) kan A r , r = n n + 1 geschreven worden als een lineaire combinatie van I n , A , A 2 , …, A n – 1 . Bijgevolg kan de oneindige som in (130) herleidt worden tot een som bestaande uit n termen
84
0 x( t f ) = e
At f
1
x(0) + B AB A 2 B A n – 1 B
(131)
n – 1 = e
At f
x(0) + C n
met r een lineaire combinatie van alle elementen van de vector in (130) die afhangt van u(t) . Voor willekeurige waarden van x(0) en x(t f) kan er een gevonden worden uit (131) enkel en alleen indien de rang van C n gelijk is aan n (SISO C n = n n matrix; MIMO C n = n n u n matrix). Om het bewijs volledig te maken zou men nog moeten aantonen dat er een ingangssignaal u(t) bestaat dat de gegeven realiseert. Een sluitend bewijs vindt de lezer in Franklin et al. (2002). 䊐 • Opmerkingen 1. de regelbaarheid (controleerbaarheid) is een functie van de toestand van het systeem en kan niet afgeleid worden uit de transferfunctie, 2. de rang van de controleerbaarheidsmatrix C n wordt in de praktijk berekend via een singuliere waarden ontbinding van C n . In Matlab via de instructie svd. • Voorbeelden Het systeem
· x(t) =
0 0 0 0 0 – a 2 0 x(t) + 1 u(t) C n = 1 – a 2 a 22 1 0 0 –a3 1 – a 3 a 32
–a1 0
0
(132)
is niet-regelbaar (uncontrollable) want rang(C n) = 2 3 . Verklaar dit zonder berekening van de regelbaarheidsmatrix. De overeenstemmende transferfunctie wordt in ‘t algemeen gegeven door ( C = c 1 c 2 c 3 ) c2 c3 G(s) = -------------- + -------------- + d s + a2 s + a3
(133)
Merk op dat (133) een tweede orde systeem is terwijl n = 3 in (132). Het systeem · x(t) =
–1 1 2 2 2 1 1 x ( t ) + u ( t ) C = 0 –1 5 1 1 4 –9 n 0 3 –4 1 1 – 1 16
is controleerbaar want rang(C n) = 3 ( det(C n) = 80 0 ).
(134)
85 III.1.2 Waarneembaarheid (observability) van een systeem • Definities 1. Een systeem is waarneembaar (observable) indien de toestandsvector x(t) afgeleid kan worden uit de kennis van het ingangssignaal u(t) en het ingangssignaal y(t) . · 2. Beschouw een n -de orde systeem met toestandsvergelijking x = Ax + Bu , en uitgangsvergelijking y = Cx + Du , dan is C CA On =
(135)
CA 2 CA n – 1
de waarneembaarheidsmatrix (observability matrix). • Stelling: een n de orde systeem is waarneembaar enkel en alleen indien de waarneembaarheidsmatrix rang n heeft: rang(O n) = n . Bewijs: afleiden naar de tijd van de uitgangsvergelijking y = Cx + Du geeft y 1 (t) = Cx 1 (t) + Du 1 (t)
(136)
= CAx(t) + CBu(t) + Du 1 (t)
· waarbij de overgang gebruik maakt van de toestandsvergelijking x = Ax + Bu . Leiden we (136) af naar de tijd dan bekomen we op dezelfde manier y 2 (t) = CAx 1 (t) + CBu 1 (t) + Du 2 (t)
(137)
= CA 2 x(t) + CABu(t) + CBu 1 (t) + Du 2 (t)
Herhaaldelijk toepassen tot de n – 1 de afgeleide en onder het elkaar schikken van de uitgangsvergelijking met al zijn afgeleiden levert de volgende n vergelijkingen (138)
Y n(t) = O n x(t) + S n U n(t) waarbij y(t)
C CA
y 1 (t) Y n(t) =
y 2 (t) y n – 1 (t)
, On =
CA 2 CA n – 1
, en S n =
D CB CAB
0 D CB
0 0 D
0 0 0
(139)
CA n – 2 B CA n – 3 B CB D
en gelijkaardig voor U n(t) . Het stelsel (138) kan opgelost worden naar x(t) enkel en alleen indien de rang van O n gelijk is aan n
86 x(t) = O nT O n – 1 O nT Y n(t) – S n U n(t) (SISO O n = n n matrix; MIMO O n = nn y n matrix).
(140) 䊐
• Opmerkingen 1. de waarneembaarheid (observeerbaarheid) is een functie van de toestand van het systeem en kan niet afgeleid worden uit de transferfunctie, 2. de rang van de observeerbaarheidsmatrix O n wordt in de praktijk berekend via een singuliere waarden ontbinding van O n . • Voorbeelden Het systeem · x =
0 1 x + 0 u met y = 5 4 x O n = 5 4 – 5 – 21 4 1 – 20 – 16
(141)
is niet waarneembaar want rang(O n) = 1 2 ( det(O n) = 0 ). Het systeem is echter wel controleerbaar (toon dit als oefening aan!). De overeenkomstige transferfunctie wordt gegeven door 4 4s + 5 G(s) = ---------------------------------- = ----------2 s + 4 s + 5.25s + 5
(142)
Merk op dat (142) een eerste orde systeem is terwijl n = 2 in (141). Het systeem · x =
–2 –1 –3 2 4 6 8 x + u y = x O met = 0 –2 1 1 4 6 8 – 64 – 80 – 78 n –7 –8 –9 2 674 848 814
(143)
is waarneembaar want rang(O n) = 3 ( det(O n) = – 1576 0 ). Ga na of het systeem controlleerbaar is? III.1.3 Regelaarontwerp • De toestandsvergelijkingen zonder directe term D ( order teller G(s) < order noemer G(s) ) · x(t) = Ax(t) + Bu(t) (144) y(t) = Cx(t)
87 kunnen als volgt voorgesteld worden d.m.v. een blokschema · x( t )
u(t)
x(t)
1 --s
B
y(t) C
A
In de state feedback controller (toestandsveranderlijke regelaar) wordt elke toestandsveranderlijke teruggekoppeld via een proportionele versterking naar de ingang van het systeem (145)
u(t) = r(t) – Kx(t)
met r(t) het referentiesignaal (stuursignaal), u(t) de ingang van het te regelen systeem, en K een n u n matrix. Het overstemmende blokschema is r(t)
· x(t)
u(t) B
1 --s
x(t)
y(t) C
A
K
met als gesloten lus toestandsvergelijkingen · x(t) = A – BK x(t) + Br(t) y(t) = Cx(t)
(146)
Het ontwerpen (design) van de toestandsveranderlijke regelaar bestaat erin om K te kiezen zodanig dat de gesloten lus transferfunctie aan gegeven specificaties voldoet. Dit kan op verschillende manieren gebeuren, bijv. door K zodanig te kiezen dat
0 x(t) T Qx(t) + u(t) T Ru(t) dt
(147)
minimaal is = Linear Quadratic Regulator (zie inleiding blz. 19: voor goed gekozen gewichtsmatrices Q en R verzekert de gevonden K waarde de stabiliteit van de gesloten lus transferfunctie). Een andere manier bestaat erin om de polen van de gesloten lus transferfunctie op te leggen = poolplaatsing (pole placement). Dit wordt hieronder verder besproken.
88 • Poolplaatsing ontwerp van de regelaar (SISO geval): we vertrekken van een strikt eigenlijke (strictly proper) transferfunctie bn – 1 sn – 1 + bn – 2 sn – 2 + + b1 s + b0 G(s) = -------------------------------------------------------------------------------------------------s n + an – 1 s n – 1 + + a1 s + a0
(148)
Gebruik makend van dezelfde redenering als in Sectie II.3.1 kunnen we (148) omzetten in toestandsvergelijking vorm (144) met 0 0 A = 0 –a0
1 0 0 –a1
0 1 0 –a2
0 0 0 , B = 0 , C = b 0 b 1 b n – 1 , en D = 0 0 1 1 –an – 1
(149)
Vgl. (149) is de toestandsvergelijking in regelbaarheid canonieke vorm (control canonical form). Met de keuze K = k1 k2 kn
(150)
(SISO) heeft de systeemmatrix van het gesloten lus systeem de vorm 0 1 0 0 0 1 A – BK = 0 0 0 – a0 + k1 – a1 + k2 – a2 + k3
0 0 0 1 – an – 1 + kn
(151)
De gesloten lus transferfunctie is bijgevolg gelijk aan bn – 1 s n – 1 + bn – 2 s n – 2 + + b1 s + b0 G c(s) = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s n + a n – 1 + k n s n – 1 + + a 1 + k 2 s + a 0 + k 1
(152)
De noemer van G c(s) wordt nu gelijk gesteld aan de gewenste noemer (= poolplaatsing) s n + dn – 1 s n – 1 + + d1 s + d0 waarin de d i ‘s de gewenste noemer coëfficiënten zijn, d i = a i + k i + 1 k i + 1 = d i – a i voor i = 0 1 n – 1
(153)
(154)
Opmerkingen: 1. de coëfficiënten d i volgen uit de opgelegde specificaties (stabiliteit, doorschot, insteltijd …), 2. de poolplaatsing methode beïnvloed niet de ligging van de nullen van de gesloten lus transferfunctie,
89 3. de state feedback aanpak gaat er van uit dat alle toestandsveranderlijken kunnen gemeten worden. 4. In Matlab gebeurt de pole placement via de instructies acker (SISO) en place (MIMO). III.1.4 Waarnemerontwerp • Het regelaarontwerp vereist de kennis van alle toestandsveranderlijken van het systeem. Dit vereist de aanwezigheid van sensoren (bijv. positie en snelheid op een ruimtevaartuig) die om redenen van prijs, nauwkeurigheid (veroudering of verloop van de sensoren) of beschikbaarheid niet altijd aanwezig zijn. Indien de toestandsveranderlijken niet beschikbaar zijn vanwege de systeemconfiguratie of de kosten dan worden deze op een of andere manier geschat (estimated) of waargenomen (observed). Het principeschema van het gesloten lus systeem ziet er dan als volgt uit
y(t) systeem r(t)
u(t)
waarnemer (observer) xˆ (t)
geschatte toestanden
regelaar (controller)
• Een eerste mogelijkheid om de toestanden te schatten bestaat erin om de toestandsvergelijking · xˆ = Axˆ + Bu (155) te integreren. Om in te schatten hoe goed de waarneming xˆ aansluit bij de echte waarde x maken we het verschil tussen (144) en (155) · · · x – xˆ = A x – xˆ of e x = Ae x (156) De dynamica van het verschil is een ongedwongen vergelijking en bijgevolg nadert de fout e x ten gevolge van verschillen in initiële condities naar nul als het open lus systeem stabiel is. De convergentiesnelheid van de waarnemer (schatter) is dezelfde als de responsietijd van het open lus systeem. Dit is duidelijk te traag: opdat de regelaar ogenblikkelijk de geschatte toestanden zou ontvangen moet de responsietijd van de waarnemer veel korter zijn dan deze van het gesloten lus systeem. • De convergentiesnelheid van de waarnemer wordt verhoogd door het verschil tussen de echte uitgang en de voorspelde uitgang e y = y – yˆ terug te koppelen. Dit geeft de volgende waarnemer vergelijkingen
90 · xˆ = Axˆ + Bu + L y – yˆ
yˆ = Cxˆ
· xˆ = A – LC xˆ + Bu + Ly
(157)
yˆ = Cxˆ
met L een n n y matrix en met als overeenstemmend blokschema e y(t) L · xˆ (t)
u(t) B
xˆ (t)
1 --s
yˆ (t)
y(t)
C systeemoutput
systeeminput A naar de regelaar
De dynamica van het verschil e x = x – xˆ wordt gevonden door vgl. (144) en (157) van elkaar af te trekken · e x = Ae x – Le y · e x = A – LC e x (158) e y = Ce x Als alle eigenwaarden van A – LC een negatief reëel deel hebben dan convergeert de fout e x naar nul. Het ontwerpen (design) van de waarnemer (observer) houdt in dat we L zodanig kiezen dat de responsietijd van (158) veel kleiner dan deze van het geregelde gesloten lus systeem. Dit kan bijv. via de poolplaatsing procedure. • Poolplaatsing ontwerp van de waarnemer (SISO geval): de strikt eigenlijke (strictly proper) transferfunctie (148) kan in toestandsvergelijking vorm (144) geschreven worden met –an – 1 1 0 0 0 –an – 2 0 1 0 0 A =
–a1
,B = 0 0 0 1
–a0
0 0 0 0
bn – 1 bn – 2 b0
,C = 1 0 0 ,D = 0
(159)
(ga dit na!). Vgl. (159) is de toestandsvergelijking in waarneembaarheid canonieke vorm (observer canonical form). Met de keuze
91
l1 L =
l2
(160)
ln
(SISO) heeft de systeemmatrix van de waarnemer (157) de vorm – an – 1 + l1 1 0 0 0 – an – 2 + l2 0 1 0 0 A – LC =
– a1 + ln – 1 0 0 0 1 – a0 + ln
(161)
0 0 0 0
De karakteristieke vgl. van A – LC s n + a n – 1 + l 1 s n – 1 + + a 1 + l n – 1 s + a 0 + l n
(162)
wordt nu gelijk gesteld aan de gewenste karakteristieke vgl. s n + dn – 1 s n – 1 + + d1 s + d0
(163)
a i + l n – i = d i l n – i = d i – a i voor i = 0 1 n – 1
(164)
wat resulteert in
Opmerkingen: 1. de coëfficiënten d i volgen uit de opgelegde specificatie: responsietijd bijv. tien maal kleiner dan het geregelde gesloten lus systeem. 2. de observer wordt in Matlab ontworpen via acker of place en de geschatte toestandsvector xˆ wordt berekend via de instructie estim. III.1.5 Integrerende regeling De statische fout op het stapantwoord van de state feedback controller is gegeven door ( r(s) = 1 s ) e stap() = lim s r(s) – y(s) = 1 + C A – BK – 1 B s0
(165)
Deze fout is in het algemeen verschillend van nul omdat de poolplaatsing methode de nullen van de gesloten lus transferfunctie niet oplegt (nullen gesloten lus transfer functie = nullen open lus transfer functie; vergelijk (148) en (152)). Links toevoegen van een integrator binnen een eenheidsterugkoppel structuur laat toe om e stap() nul te maken De vergelijkingen die deze regelstructuur beschrijven zijn
92
r(t)
u(t)
y(t)
systeem
x(t) K · x = Ax + Bu y = Cx u = r – Kx
r
e
1 --s
z
y(s) = C sI – A + BK –1 Br(s)
u
systeem
Ke
y
x K
x· y u · z
· A – BK BK e x x = Ax + Bu + 0 r · = z 1 = Cx –C 0 z = K e z – Kx y = C 0 x = r–y z
(166)
Uit toestandsvgl. (166) volgt dat de orde van het gesloten lus systeem ( n + 1 ) één hoger is dan het oorspronkelijk systeem ( n ). Het ontwerp van de integrerende regelkring bestaat erin om K e en K te kiezen zodat het gesloten lus gedrag aan bepaalde specificaties voldoet. Dit kan bijvoorbeeld via de poolplaatsing methode. III.1.6 Bespreking • Voordelen van het ontwerpen via de toestandsvorm 1. de poollocaties kunnen zo gespecificeerd worden dat alle niet-dominante polen een verwaarloosbaar effect hebben op het overgangsgedrag (transient behaviour), 2. gemakkelijk toepasbaar voor MIMO systemen, 3. methoden lenen zich tot ontwerpautomatisering met de computer (bijv. Matlab), 4. via de waarnemer (observer) is het niet nodig om de toestandsveranderlijken rechtsreeks te meten (duur of fysiek ontoegankelijk of onnauwkeurig). • Nadelen van het ontwerpen via de toestandsvorm
93 1. de lokatie van de nullen van de gesloten lus transferfunctie is niet beïnvloedbaar, 2. de gevoeligheid van het ontwerp m.b.t. parametervariaties kan te groot zijn, 3. niet-intuïtieve aanpak: het verband tussen de gewenste responsie en de poollocaties is niet altijd duidelijk, 4. een goed model van het te regelen systeem moet beschikbaar zijn ( systeemidentificatie) III.1.7 Praktijkvoorbeeld: de antennebesturing We vertrekken van het vereenvoudigd blokschema in Sectie II.5 op blz. 64 u(s)
K G(s) = ---------------------------------------s s + a s + am
y(s)
met K = 1325 , a = 1.71 , en a m = 100 . Opgave: ontwerp een state feedback controller die een doorschot van 10% en een insteltijd van 1s heeft. Plaats de derde pool tienmaal zover van de imaginaire as als het dominante tweede orde paar. Ga ervan uit dat de toestandsveranderlijken van het systeem niet gemeten kunnen worden. Het gewenste transient gedrag van de observer is een doorschot van 10% en een natuurlijke frequentie die tienmaal groter is dan de systeemresponsie. Plaats, zoals in het geval van de regelaar, de derde pool tienmaal zover van de imaginaire as als de dominante tweede orde polen van de waarnemer. (a) Ontwerp van de regelaar. Via %DS = 100exp(– 1 – 2) en T s 4 n
(167)
= 0.591 en n = 6.77
(168)
vinden we
De karakteristieke vgl. voor de dominante polen is dus s 2 + 8s + 45.8 wortels s = – 4 j5.46
(169)
De derde pool ligt op 10 Re(– 4 j5.46) = – 40 de gewenste noemer voor de gesloten lus transferfunctie s 2 + 8s + 45.8 s + 40 = s 3 + 48s 2 + 365.8s + 1832
(170)
De open lus transferfunctie is gelijk aan 1325 1325 G(s) = ------------------------------------------------- = --------------------------------------------------3 s s + 1.71 s + 100 s + 101.71s 2 + 171s In regelbaarheid canonieke vorm wordt de toestandsvgl. overkomstig (171)
(171)
94
0 1 0 0 · x = 0 0 x + 0 u en y = 1325 0 0 x 1 0 – 171 – 101.71 1
(172)
(gebruik (149)). Ga na dat (172) regelbaar is. Via de theorie van poolplaatsing weten we dat s 3 + 101.71 + k 3 s 2 + 171 + k 2 s + k 1 = s 3 + 48s 2 + 365.8s + 1832
(173)
k 1 = 1832 , k 2 = 194.8 , en k 3 = – 53.71
(174)
waaruit
(b) Ontwerp van de waarnemer. In waarneembaarheid canonieke vorm wordt de toestandsvgl. overkomstig (171) · x =
– 101.71 1 0 0 x + – 171 0 1 0 u en y = 1 0 0 x 0 00 1325
(175)
Ga na dat (175) waarneembaar is. Uit de specificaties van de waarnemer halen we s 2 + 2 n s + n2 = s 2 + 2 0.591 67.7 s + 67.7 2 = s 2 + 80s + 4583
(176)
De derde pool ligt op 10 Re(– 40 j54.62) = – 400 de gewenste noemer voor de gesloten lus transferfunctie s 2 + 80s + 4583 s + 400 = s 3 + 480s 2 + 36580s + 1833000
(177)
Via de theorie van poolplaatsing weten we dat s 3 + 101.71 + l 1 s 2 + 171 + l 2 s + l 3 = s 3 + 480s 2 + 36580s + 1833000
(178)
l 1 = 378.3 , l 2 = 36410 , en l 3 = 183300
(179)
waaruit
Het impulsantwoord van de regelkring en van de waarnemer worden in de onderstaande figuur getoond. Merk op dat de tijdschaal van de waarnemer (figuur rechts) tien keer kleiner is dan deze van het gesloten lus systeem.
95
waarnemer impulsantwoord
gesloten lus impulsantwoord
Impulse Response
2
0.02
1.5
0.015 Amplitude
Amplitude
Impulse Response
1
0.01
0.5
0.005
0
0
0
0.5
1 Time (sec.)
1.5
0
0.05
0.1
0.15
Time (sec.)
De volgende 2 figuren tonen de invloed van de initiële condities van de toestandsvector op het antwoord van de waarnemer. Merk op dat de overgangsverschijnselen in de tweede figuur na ongeveer 0.1 s uitgedempt zijn, wat overeenkomt met het impulsantwoord van de waarnemer (zie bovenstaande figuur).. x 1(0) = xˆ 1(0) = 0
x 1(0) = 0.006 xˆ 1(0) = 0
Ten slotte vergelijken de onderstaande figuren het stapantwoord van het gesloten lus systeem zonder (links) en met (rechts) de regelaar.
96
gesloten lus stapantwoord zonder regelaar
gesloten lus stapantwoord met state feedback regelaar Step Response
Step Response 0.8
1.5
0.7
0.6 1 Amplitude
Amplitude
0.5
0.4
0.3 0.5 0.2
0.1
0
0 0
1.6
3.2 Time (sec.)
4.8
6.4
8
0
0.5
1 Time (sec.)
1.5
97 III.2 Compensatie regelaars Beschouw de volgende eenheidsterugkoppelstructuur u(t)
r(t)
KD(s)
G(s)
y(t)
met G(s) het te regelen proces (systeem), en KD(s) de compensatieregelaar. Het ontwerpen van de compensatie regelaar bestaat erin K en D(s) zodanig te kiezen dat de gesloten lus transferfunctie aan bepaalde eisen (specificaties) voldoet, bijv. stabiliteit, doorschot, statische fout, insteltijd … Deze regelstructuur heeft de volgende voor- en nadelen. • voordelen 1. de nulpunten van de gesloten lus transferfunctie zijn beïnvloedbaar, 2. goed intuïtief inzicht. • nadelen 1. uitbreiding naar MIMO is niet eenvoudig III.2.1 PD compensation • De compensatie transferfunctie van de proportionele-plus-differentiërende (PD) regelaar is gegeven door D(s) = D s + 1
(180)
met D 0 en K 0 . Het toevoegen van een nul in het linkerhalfvlak heeft een stabiliserende werking. Inderdaad, 1. de hoeken van de asymptoten in de poolbanen worden groter 2k + 1 d 2k + 1 d – 1
(181)
met d het verschil tussen het aantal eindige open loop polen en open loop nullen van G(s) , 2. de fase van KD(s)G(s) is groter dan deze van G(s) KD(j)G(j) = G(j) + bgtg( D )
(182)
zodat de fasemarge verhoogt. • Ontwerp: de tijdsconstante D wordt zodanig gekozen dat de gewenste fasetoename gebeurt in de buurt van de crossover frequentie (deze waar KD(j)G(j) = 1 ).
98 • Voorbeeld: 1 G(s) = ------------------- D(s) = 1 ss + 1
1 G(s) = ------------------- D(s) = s 2 + 1 ss + 1 Poolbaan 1.5
1
1
0.5
0.5
Imaginary axis
Imaginary axis
Poolbaan 1.5
0 -0.5
0 -0.5
-1
-1
-1.5 -2
-1.5
-1
-0.5 Real axis
0
0.5
1
-1.5 -5
-4
-3
-2 -1 Real axis
0
1
2
Bode Diagrams
Bode Diagrams
Gm = Inf, Pm=72.822 deg. (at 0.83247 rad/sec)
Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec) 40
40
Phase (deg); Magnitude (dB)
Phase (deg); Magnitude (dB)
30 20 0
-20 -40
-100 -120
20 10 0 -10 -20
-100 -120
-140
-140
-160
-160 -180
-180 10-1
10 0
Frequency (rad/sec)
10-1
100
Frequency (rad/sec)
• Besluit: de PD regelaar heeft een stabiliserende werking + versneld antwoord (reageert ook op de afgeleide van het ingangssignaal) III.2.2 Lead compensatie • Een ideale differentiator versterkt de hoogfrequente ruis, wat in sommige toepassingen problemen kan leveren. Dit kan opgevangen worden door een hoogfrequente pool toe te voegen aan (180). Dit resulteert in de lead compensatie
D s + 1 D(s) = ---------------------- met 1 D s + 1
(183)
waarbij de benaming lead duidt op het voorijlen van de fase D(j) = bgtg( D ) – bgtg( D ) 0
(184)
99 Merk op dat (184) een maximum bereikt 1– max(D(j)) = bgsin(-------------) bij max = 1 D 1+
(185)
(toon dit aan als oefening!). De stabiliserende werking van de lead compensator zit in 1. het verhogen van de fasemarge: zie vgl. (184), 2. het snijpunt van de poolbaanasymptoten met de reële as schuift op naar links 1 – asympt(D(s)G(s)) = asympt(G(s)) – ----------------d D
(186)
met d het verschil tussen het aantal eindige open loop polen en open loop nullen van G(s) . • Voorbeeld: 1 s2+1 G(s) = ------------------- D(s) = --------------------ss + 1 s 10 + 1
1 G(s) = ------------------- D(s) = 1 ss + 1 Poolbaan
Poolbaan
1.5
8 6
1
Imaginary axis
Imaginary axis
4 0.5 0 -0.5
2 0 -2 -4
-1 -1.5 -2
-6 -1.5
-1
-0.5 Real axis
0
0.5
1
-8
-10
-8
-6
0
Gm = Inf, Pm=68.098 deg. (at 0.8302 rad/sec) 40
40
20
Phase (deg); Magnitude (dB)
20 0
-20 -40
-100 -120
0 -20 -40 -60
-100 -120
-140
-140
-160
-160 -180
-180 10-1
2
Bode Diagrams
Bode Diagrams Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec) Phase (deg); Magnitude (dB)
-4 -2 Real axis
10 0
Frequency (rad/sec)
10-1
100
Frequency (rad/sec)
101
4
100 • Ontwerp van de lead compensator. De volgende iteratieve procedure is meestal succesvol: 1. Bepaal de open loop gain K uit opgelegde statische fout of bandbreedte: a. statische fout: kies K zodat de foutspecificatie op het stap- of talud- of paraboolantwoord voldaan is, b. bandbreedte: kies K zodat de open loop crossover frequentie crossover een factor twee lager ligt dan de gewenste closed loop bandbreedte, 2. Bepaal de fasemarge en de crossoverfrequentie crossover van het ongecompenseerde open loop systeem met de K -waarde uit stap 1, 3. Laat een extra fasemarge toe van typisch 10°. 4. Stel max(D(j)) = , max = crossover , en haal uit vgl. (185) en D . 5. Bepaal de fasemarge van het gecompenseerde systeem en pas indien nodig de compensator parameters (nul, pool, en winst) aan totdat aan alle specificaties voldaan is (eventueel een lead compensatie toevoegen). III.2.3 PI compensatie • De compensatie transferfunctie van de proportionele-plus-integrerende (PI) regelaar is gegeven door 1 1 D(s) = 1 + ------- = ------- I s + 1 I s I s
(187)
met I 0 en K 0 . Het toevoegen van een pool in de oorsprong verlaagt de statische fouten (stap, talud, en parabool: zie Sectie II.4.4, blz. 58), doch werkt destabiliserend. Inderdaad, 1. het snijpunt van de poolbaanasymptoten met de reële as (zie vgl. (101) op blz. 72) verschuift naar rechts
asympt(D(s)G(s)) = asympt(G(s)) + 1 d I
(188)
met d het verschil tussen het aantal eindige open loop polen en open loop nullen van G(s) . 2. de fase van KD(s)G(s) is kleiner dan die van G(s) KD(s)G(s) = G(s) + bgtg( I ) – 2
(189)
• Ontwerp: om de afname van de fasemarge te beperken in (189) wordt de tijdsconstante I zodanig gekozen dat de frequentie 1 I veel lager ligt dan de crossover frequentie crossover . • Besluit: de PI regelaar verlaagt de statische fouten, doch heeft een destabiliserende werking.
101 • Voorbeeld 1 4s + 1 G(s) = ------------------- D(s) = ------------------ss + 1 4s
1 G(s) = ------------------- D(s) = 1 ss + 1
Poolbaan 1.5
1
1
0.5
0.5
Imaginary axis
Imaginary axis
Poolbaan 1.5
0 -0.5
0 -0.5 -1
-1 -1.5 -2
-1.5
-1
-0.5 Real axis
0
0.5
1
-1.5 -2
-1.5
-1
0
0.5
1
Bode Diagrams
Bode Diagrams
Gm=-268 dB (at 0 rad/sec), Pm=33.8 deg. (at 0.812 rad/sec)
Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec) 40
100
Phase (deg); Magnitude (dB)
Phase (deg); Magnitude (dB)
-0.5 Real axis
20 0
-20 -40
-100 -120
80 60 40 20 0 -20 -40
-145 -150 -155 -160
-140
-165 -170
-160
-175 -180
-180 10-1
10 0
10 -2
Frequency (rad/sec)
10-1
10 0
Frequency (rad/sec)
III.2.4 Lag compensatie • Een ideale integrator versterkt de laagfrequente ruis, wat in sommige toepassingen problemen kan leveren. Dit kan opgevangen worden door de ideale integrator in (187) te vervangen door een laagfrequente pool. Dit resulteert in de lag compensatie 1 + 1 I s I s + 1 D(s) = -------------------------------- = -------------------- met 1 1 + 1 I s I s + 1
(190)
waarbij de benaming lag duidt op het naijlen van de fase D(j) = bgtg( I ) – bgtg( I ) 0 Merk op dat de parameter de toename in DC-winst weergeeft.
(191)
102 • Voorbeeld: 1 4s + 1 G(s) = ------------------- D(s) = 2 ------------------ss + 1 8s + 1
1 G(s) = ------------------- D(s) = 1 ss + 1
Poolbaan 1.5
1
1
0.5
0.5
Imaginary axis
Imaginary axis
Poolbaan 1.5
0 -0.5
0 -0.5 -1
-1 -1.5 -2
-1.5
-1
-0.5 Real axis
0
0.5
1
-1.5 -2
-1.5
-1
0
0.5
1
Bode Diagrams
Bode Diagrams
Gm = Inf, Pm=42.722 deg. (at 0.80569 rad/sec)
Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec) 40
60
Phase (deg); Magnitude (dB)
Phase (deg); Magnitude (dB)
-0.5 Real axis
20 0
-20 -40
-100
40 20 0 -20 -40
-100
-120
-120
-140
-140
-160
-160 -180
-180 10-1
10 0
Frequency (rad/sec)
10-2
10-1
100
Frequency (rad/sec)
• Ontwerp van de lag compensator: 1. Bepaal de ongecompenseerde open lus winst K dat voldoet aan de vereiste fasemarge, 2. Bepaal van het ongecompenseerde open lus systeem uit stap 1 de crossover frequentie en de DC-winst (of laagfrequente winst), 3. Bereken de bijkomende factor 1 nodig om de opgelegde DC-winst (laagfrequente winst) te halen, en bepaal de nieuwe crossover frequentie crossover , 4. Kies de tijdsconstante I zodat de frequentie 1 I tussen een factor twee en tien keer kleiner is dan crossover , 5. Pas de compensator parameters (pool, nul, en winst) aan totdat aan alle specificaties voldaan is. III.2.5 PID compensator
103 • De transferfunctie van de proportionele-plus-integrerende-plus-differentiërende (PID) regelaar is gegeven door 1 D s + 1 1 + ----- I s D(s) = 1 1 + s + -----D I s
cascade vorm (192) parallel vorm
Cascade
I s + 1 ---------------I s
D s + 1
K
Parallel 1
D s
K
1 ------I s
met K 0 , D 0 , en I 0 . De PID regelaar combineert de P , I , en D acties en is geschikt voor problemen waar zowel de fasemarge als de DC-winst verhoogt moeten worden. • Ontwerp van de parallel vorm via de regels van Ziegler-Nichols. Deze gaan uit van een eerste orde benadering met tijdsvertraging van het reële systeem A – s G(s) --------------e d s + 1
(193)
De eerste instelregels van Ziegler-Nichols kiezen de PID parameters zodanig dat de transients van het gesloten lus stapantwoord 75% afnemen over een oscillatieperiode (zie Tabel III.1). De parameters A , Tabel III.1: Ziegler-Nichols PID instelregels gebaseerd op stapantwoord. Type regelaar
K
I
D
P
d A
-
-
PI
0.9 d A
d 0.3
-
104 Tabel III.1: Ziegler-Nichols PID instelregels gebaseerd op stapantwoord. Type regelaar
K
I
D
PID
1.2 d A
2 d
0.5 d
en d worden experimenteel uit het stapantwoord afgeleid.
Stapantwoord
1.5
A
1
0.63 A 0.5
0 0
5
d
10
15
Tijd (s)
De tweede instelregels van Ziegler-Nichols zijn gebaseerd op de amplitude en frequentie van de oscillaties van het gesloten lus systeem op de rand van zijn stabiliteit. Deze gegevens worden experimenteel bepaald door de winst van de P -regelaar ( D(s) = 1 ) op te drijven totdat het gesloten lus systeem begint te oscilleren. De overeenstemmende K -waarde K osc en oscillatieperiode T osc worden dan gebruikt in de ontwerpregels (zie Tabel III.2). u(t)
r(t)
G(s)
K osc
y(t)
T osc
Tabel III.2: Ziegler-Nichols PID instelregels gebaseerd op oscillaties. Type regelaar
K
I
D
P
0.5K osc
-
-
PI
0.45K osc
T osc 1.2
-
PID
0.6K osc
T osc 2
T osc 8
III.2.6 Opmerkingen i.v.m. het ontwerpen van compensatieregelaars
105
r(t)
u(t) KD(s)
G(s)
y(t)
• De compensatieregelaars (PD, lead, PI, lag, PID, lead-lag, …) bevatten een aantal parameters regelaar ( K , D , I , , …) die via ontwerpregels (+ eventueel experimenten zoals stapantwoord of limietcyclus) bepaald worden. Men kan echter ook het niet-lineair verband opstellen tussen de specificaties (fasemarge, insteltijd, doorschot, …) en de regelaarparameters regelaar Specificaties = f( regelaar)
(194)
Dit vereist echter een parametrisch model voor G(s) terwijl de standaard ontwerpregels vertrekken van niet-parametrische gegevens (stapantwoord, Bode diagram, limietcyclus). Het numeriek oplossen van (194) naar regelaar via Newton-Raphson vergt startwaarden die via de standaard ontwerpregels bekomen kunnen worden. • Het afregelen van PID regelaars is sinds 1936 een onderzoeksonderwerp, en is nog steeds zeer actueel: 1. er worden jaarlijks wetenschappelijke congressen uitsluitend aan dit onderwerp gewijd, 2. er verschijnen nog regelmatig wetenschappelijke publicaties over dit onderwerp, zie bijv. Åström en Hägglund (1995), 3. het beter instellen van een PID regelaar resulterend in een verbetering van enkele procenten heeft in de procesindustrie (bijv. petrochemie) een enorme economische impact. • Poolbaanontwerp van compensatieregelaars is mogelijk via de Matlab instructie rltool.
106
Hoofdstuk IV: Praktische voorbeelden
107 IV.1 De operationele versterker • Beschouw de volgende operationele versterker ontworpen met CMOS transistoren VDD M2B
M2A
IBIAS
2
1
3
+ -vIN/2 -
M3
M1A
M1B 3
M5A
4
CC + +vIN/2 -
M5B
+ CL
RL vOUT
-
Vout
M4 gnd or VSS
ID slope = go VGS
gm v s
g0
VDS De input-output transferfunctie is gegeven door V out(s) 1 – s z1 G(s) = ---------------- = A 0 ---------------------------------------------------V in(s) 1 + s p1 1 + s p2
(195)
met g m1 g m3 g 01 + g 02 g 03 + g 04 + G L g m3 g m3 A 0 = --------------------------------------------------------------------- p 1 = --------------------------------------------------------------------- p 2 = --------- z 1 = --------- (196) g 01 + g 02 g 03 + g 04 + G L g m3 C c CL Cc Met een 0.18 micrometer CMOS proces kunnen we een DC-winst A 0 en een gain-bandbreedte product f GBW bekomen van A 0 10 3 en f GBW = A 0 p 1 2 160 MHz
(197)
108 Hiertoe worden de componentwaarden (capaciteiten + instelling CMOS transistoren voor g m en g 0 ) als volgt gekozen: gegeven C L = 10 pF , en G L = 0.1 mS kies C c = 1 pF , en g m1 = 1 mS , en bepaal hieruit g m3 = 40g m1 , g 01 = g 02 = g m1 200 , en g 03 = g 04 = g m3 20
(198)
Dit geeft de volgende DC-winst en polen/nul ligging A 0 = 997.5 , p 1 2 = 160 kHz , p 2 2 = 637 MHz , en z 1 2 = 6.37 GHz
(199)
• Om de stabiliteit van het ontwerp in een eenheidsterugkoppeling na te gaan, is het vanuit numeriek u(t)
r(t)
KG(s)
y(t)
standpunt altijd beter om eerst de frequentieas te schalen zodat de open lus transferfunctiecoëfficiënten dimensieloze getallen worden. Als schaalfrequentie nemen we typisch de bandbreedte (crossover frequentie) van het open lus systeem. Bijvoorbeeld, nemen we als schaalfactor p 1 zodat s vervangen wordt door s n = s p 1 ( n = p 1 ), dan wordt de open lus transferfunctie G(s) (195) 1 – p 1 z 1 s n G(s) = G(p 1 s ) = A 0 ----------------------------------------------------------n 1 + s n 1 + p 1 p 2 s n
(200)
Uit de negatieve root locus van (200) volgt dat de gesloten lus transferfunctie stabiel is voor 0 K 40 . Voor K = 40 oscilleert de kring bij f osc = 2 kHz . Uit het Bode diagram leiden we af dat de winstmarge 32 dB ( factor 40) is bij 2 kHz en de fasemarge 75° bij 154 Hz.
5
Bode Diagrams
Poolbaan
4
x 10
Gm=32.0 dB (at 12619 rad/sec), Pm=75.0 deg. (at 969.58 rad/sec) 60
Phase (deg); Magnitude (dB)
Imaginary axis
40
K = 40 0
20 0 -20 -40 -60 -80 0 -50 -100 -150 -200 -250
-5
0
2
4 6 Real axis
8
10 4 x 10
100
101
102
103
Frequency (rad/sec)
104
105
109 • Door een weerstand R c in serie met de condensator C c te plaatsen, kan men de nul z 1 verplaatsen
V DD
IBIAS
M 2A
+ -v IN /2 -
M 2B M 1A
M 5A
M 1B
M3 p
CC + +vIN /2 -
RC
M 5B 1:1
CL
RL
M4 1:B
van het rechterhalfvlak naar het linkerhalfvlak. Deze wordt dan zo dicht mogelijk bij de pool p 2 geplaatst (ideaal z 1 = p 2 ). Het invoeren van de weerstand R c voert ook een derde pool p 3 in die hoger ligt dan p 2 . De open lus transferfunctie (195) wordt dan 1 + s z1 G(s) = A 0 ------------------------------------------------------------------------------ 1 + s p1 1 + s p2 1 + s p3
(201)
met A 0 , p 1 en p 2 gegeven door (196), G c g m3 Gc z 1 = ---------------------------------- , en p 3 = ------ , C c G c – g m3 Cp
(202)
waarbij C p de parasitaire capaciteit voorstelt gezien in de het knooppunt p . In genormaliseerde frequentie s n = s p 1 wordt (201) 1 + p 1 z 1 s n G(s) = G(p 1 s n) = A 0 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 + s n 1 + p 1 p 2 s n 1 + p 1 p 3 s n
(203)
Gezien we nooit z 1 perfect gelijk aan p 2 kunnen maken kiezen we z 1 = 1.1p 2 . Een realistische waarde voor p 3 is p 3 = 1.5p 2 . Uit de overeenstemmende poolbaan en Bode diagram volgt dat het gesloten lus systeem nu onvoorwaardelijk stabiel is zonder reductie in bandbreedte t.o.v. het eerste ontwerp.
110
Bode Diagrams
Poolbaan 5000
Gm = Inf, Pm=79.551 deg. (at 979.54 rad/sec) 60
Phase (deg); Magnitude (dB)
Imaginary axis
40
0
20 0 -20 -40 -60
-50
-100
-150
-5000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 Real axis
0
1000
100
10 1
102
10 3
Frequency (rad/sec)
104
111 IV.2. De spanningsregulator
I = input LM317
O = output A = adjust imax = 1.5 A Vout = 1.2 V tot 37 V
I O A
De spanningsregulator dient om de gefilterde en gelijkgerichte netspanning om te zetten in DCspanning met een zo klein mogelijke rimpel. De gefilterde gelijkgerichte spanning wordt aangeboden aan de pin I, pin O is de geregelde spanning (rimpel veel kleiner dan op pin I), en pin A het terugkoppelpunt of “sense” punt van de regulator. Typisch gebruik van de regulator Vin
Vout IN
OUT
regelbare spanning R1 = 240
R1
ADJ
R2 = 5 k
Vadj C2
C1
C2 = 1 µF
R2
Vin
Vout IN
verhoogde rimpel onderdrukking
OUT R1
ADJ Vadj
R1 = 240 C2
C1 R2
C3
C1 = 0.1 µF
R2 = 5 k C1 = 0.1 µF C2 = 1 µF C3 = 10 µF
Onder de vorm van een blokschema kan de werking van de spanningsregulator als volgt weergegeven worden Hierbij stel V in(t) de rimpel op de ingangsspanning voor, V ref de interne referentiespanning van de
112
V in(t) H(s)
V ref
V out(t)
e(t)
G(s) V adj(t) D 2(s)
D 1(s)
regulator (gemaakt met een Zenerdiode), V out(t) de geregelde spanning (pin O), V adj(t) de spanning aan de “sense” ingang (pin A). D 1(s) is de overdrachtsfunctie van de uitgangsspanning naar V adj R2 R1 + R2 = K1 D 1(s) = R2 R1 + R2 K1 ----------------------------------------------------------------- = ----------------1 + 1 s 1 + C 3 R 1 R 2 R 1 + R 2 s
regelbare spanning verhoogde rimpel onderdrukking
(204)
en D 2(s) de overdrachtsfunctie van de spanning aan de ADJ pin naar de interne referentiespanning D 2(s) = K 2 1 + 2 s (205) Om de rimpel zo goed mogelijk te onderdrukken moet het sensor circuit zo breedbandig mogelijk zijn, zoniet worden snelle variaties niet weggeregeld. Daarom wordt in de schakeling die de rimpel beter onderdrukt via C 3 een pool geplaatst ( s = – 1 1 ) die zo goed mogelijk de nul van D 1 ( s = – 1 2 ) compenseert. Het geheel D 1 D 2 reageert dan nagenoeg als een P-regelaar. Het verband tussen de geregelde spanning, de referentiespanning en de ingangsrimpel is V ref H(s) G(s) V out(s) = ----------------------------------------------- --------- + ----------------------------------------------- V in(s) 1 + D 1(s)D 2(s)G(s) 1 + D 1(s)D 2(s)G(s) s
(206)
113 IV.3 De compact disk speler De compact disk (CD) is niets meer dan een plastiek (polycarbonaat) opgebouwd uit verschillende lagen. De diameter is ongeveer 12 cm en de dikte 1.2 mm. Het spoor dat de informatie bevat kan ruim 5 km lang zijn. De dikte van het spoor bedraagt 0.5 µm en de afstand tussen twee sporen is 1.6 µm (bij een klassieke vinylplaat bedraagt de intergroefafstand 100 µm). De informatie is digitaal opgeslagen: een logische nul is een bult (bump) en een logische één een put (pit). Deze worden gedetecteerd door middel van een laserbundel gericht op de CD. Naargelang de bundel al dan niet op de detector valt heeft men een logische één (detectie) of een logische nul (geen detectie).
5 km spoor
12 cm
1.2 mm
A: label B: protection C: data (reflection) D: transparent protection E: logical 0 (bump) F: logical 1 (pit)
114
logische nul
logische één
Sterk vereenvoudigd beeld van het detectiemechanisme De CD-speler zelf ziet er als volgt uit. De rotatie van de CD gebeurt via een draaitafel DC motor. De omwentelingsfrequentie varieert naargelang de positie van het gelezen spoor op de CD. In huidige uitvoeringen (2002) varieert de omwentelingsfrequentie van ongeveer 8 Hz (binnenkant CD) tot 4 Hz (buitenkant CD). Het spoor wordt gevolgd door een radiale arm waarop een optisch element gemonteerd is. Een diode in dit optisch element genereert een laserstraal die, via een systeem van lenzen, gefocust is op de informatielaag van de CD. Het focuseren van de laserbundel gebeurt via een objectieflens die in de vertikale richting beweegt. Noch de spoorpositie, noch de laserspotpositie op de CD kunnen opgemeten worden. Een regelaar is nodig om de radiale positie in te stellen op 0.1 µm en de vertikale positie op 1 µm, en dit in de aanwezigheid van storingen te wijten aan de excentriciteit van de CD (radiale afwijkingen van maximaal 100 µm) en de golving van het CD-oppervlak (focusafwijkingen van maximaal 1 mm). In huidige (2002) uitvoeringen worden de radiale en focus posities door twee afzonderlijke SISO regelaars. Dit is verrechtvaardigd door de zwakke dynamische koppeling tussen de twee bewegingen. Het multivariabel (MIMO) controleren van beide bewegingen is momenteel (2003) nog onderwerp van onderzoek.
115
u(t)
r(t)
y(t)
G(s)
KD(s)
De radiale beweging van de arm is in eerste benadering beschreven door een dubbele integrator G(s) = b 0 s 2 , wat een instabiel systeem is (door wrijving schuiven de polen naar het linkerhalfvlak, doch de niet-lineariteiten duwen ze terug in het rechterhalfvlak). Via een lead compensator D(s) = D s + 1 D s + 1 met 1 kan de radiale beweging gestabiliseerd worden. Nemen we om de gedachten te vestigen b 0 = 1 , D = 4 , en = 0.25 , dan zien de poolbanen en de Bode diagrams er als volgt uit (in genormaliseerde frequenties) Poolbaan
Bode Diagrams
1.5
Gm=-260 dB (at 0 rad/sec), Pm=36.5 deg. (at 0.426 rad/sec) 100
Phase (deg); Magnitude (dB)
Imaginary axis
1 0.5 0 -0.5
50
0
-50
-145 -150 -155 -160
-1
-165 -170 -175
-1.5 -2
-180
-1.5
-1
-0.5 Real axis
0
0.5
1
10-2
10-1
100
Frequency (rad/sec)
Opmerkingen: 1. Terwijl de regelaars in de CD-spelers vroeger uitsluitend analoog waren, worden ze nu digitaal geïmplementeerd (zie hybride systemen in deel systeemtheorie). 2. Bij lage frequenties gedraagt de radiale arm zich als en star lichaam met een dubbele integratie als gevolg. Bij hogere frequenties (> 500 Hz) wordt het model veel ingewikkelder door de resonantiemodes van de arm (flexible balk), de draaitafel, en de flexibele modes van de CD zelf. Metingen uitgevoerd binnen de dienst ELEC (1992) wijzen uit dat een model van orde 14/18 de metingen (= CD-speler + analoge lead-lag regelaar van orde 2/2) goed beschrijft. Hierbij ligt een complex toegevoegd poolpaar dicht bij de oorsprong in het rechterhalfvlak (zie nietlineariteiten). De poolbanen (in genormaliseerde frequentie) van het radiale systeem (lead-lag regelaar inbegrepen) tonen dat het gesloten lus systeem stabiel is voor K = 1 (rode “+” in de grafiek). Merk op dat de geregelde kring stabiel is voor 0.26 K 26 .
116
10
300
0
200 FRF (°)
FRF (dB)
X : gemeten FRF : model 14/18
-10
100
0
-20
-100
-30 0
1
2
3
0
4
1
2
3
Poolbaan
Bode Diagrams Gm=-11.6 dB (at 0.4817 rad/sec), Pm=44.0 deg. (at 1.335 rad/sec) 20
Phase (deg); Magnitude (dB)
5
0
-5
0 -20 -40 -60 -80 -100
200 100 0 -100
-10
-200 -300
-3
-2 -1 Real axis
0
10 -1
1
100
Frequency (rad/sec)
Nyquist 10
5 Imaginary axis
Imaginary axis
10
-4
4
Frequentie (kHz)
Frequentie (kHz)
0
-5
-10 -10
-5
0 Real axis
5
10
101
117
Hoofdstuk V: Inleiding tot digitale en nietlineaire controle
118 V.1 Digitale controle In de praktijk wordt de regelaar dikwijls niet analoog gebouwd maar bestaat deze uit de cascade van een analoog-digitaal-omzetter (analog-to-digital-convertor ADC), een digitale rekeneenheid D(z) , en een digitaal-naar-analoog-omzetter (digital-to-analog-convertor DAC), zoals geïllustreerd in de onderstaande figuur
r(t)
e(t) ADC
e (nTs )
D(z)
u(nTs )
DAC
digitale rekeneenheid
u zoh(t)
y(t) G(s) te regelen systeem
We gaan nu aantonen dat er een discrete tijd model bestaat G ZOH(z) dat exact de uitgangssamples y(nTs ) voorspelt gegeven de ingangssamples u(nTs ) , waarbij Ts de sampleperiode is. Gebruik makend van dit resultaat tonen we vervolgens aan dat er een discrete tijd model bestaat Gc (z) dat de uitgangssamples y (nTs ) voorspelt gegeven de samples r(nTs ) van het referentiesignaal. V.1.1 De stapinvariante transformatie Beschouw een continue tijd systeem met transferfunctie G(s) dat aangestuurd wordt met een stuksgewijs constant signaal (zero-order-hold signal) Ts
u zoh(t)
y(t) G(s)
De continue tijd uitgang is verbonden met de stuksgewijs constante ingang via de convolutieintegraal y (t) =
0 g()uzoh(t – ) d
(207)
Het stuksgewijs constant ingangssigaal kan beschreven worden als +
u zoh(t) =
n = –
u(nTs )zoh(t – nTs )
(208)
119 waarbij zoh(t) de volgende blokfunctie is 1 zoh(t) = 0
zoh(t)
t 0 Ts
1
elders
0
(209) Ts
Combinatie van vgl. (207)–(209) geeft +
y (t) =
n = –
u(nTs ) g()zoh(t – – nTs ) d
(210)
0
Bemonsteren (samplen) we nu het uitgangssignaal (210) met de frequentie fs = 1 Ts dan bekomen we +
y (mTs ) =
n = –
u(nTs ) g()zoh( m – n Ts – ) d
(211)
0
waarbij zoh( m – n Ts – ) enkel verschillend is van nul voor m – n – 1 Ts m – n Ts (zie vgl. (209)). Hiermee rekening houdend kunnen we de integraalgrenzen in (211) aanpassen +
y (mTs ) =
n = –
u(nTs )
m – n Ts
m – n – 1 Ts
g( ) d
(212)
Gebruik makend van de volgende hulpfunctie h(t) t
h(t) =
0 g( ) d
(213)
kan (212) herschreven worden als +
y (mTs ) =
n = – +
=
m – n Ts
u(nTs ) 0
g( ) d –
m – n – 1 Ts
0
g( ) d (214)
u(nTs ) h( m – n Ts) – h( m – n – 1 Ts)
n = –
Merk op dat de eerste som in (214) de convolutie is tussen u(nTs ) en h(nTs ) ; terwijl de tweede som de convolutie voorstelt tussen u(nTs ) en h( n – 1 Ts ) . Nemen we nu de Z-getransformeerde van vgl. (214) dan krijgen we Y(z) = 1 – z – 1 H(z)U(z)
(215)
waarbij X(z) = Z x(t) =
n=0
x(nTs )z –n
(216)
120 met x = u y h , X = U Y H , en Z de Z-transformatie. Vgl. (215) toont aan dat er een discrete tijd model bestaat, namelijk G ZOH(z) = 1 – z – 1 H(z) , dat exact de ingangssamples met de uitgangssamples verbindt (217)
Y(z) = G ZOH(z)U(z)
Gebruik makend van (213) en (216) kan de discrete tijd transferfunctie G ZOH(z) in (217) verbonden worden met de continue tijd transferfunctie G(s) als G ZOH(z) = 1 – z – 1 Z L – 1 G(s) s
(218)
met L – 1 de inverse Laplace transformatie (bewijs: h(t) (213) is de integraal van g(t) en dus is H(s) = G(s) s ). Vgl. (218) wordt de stap invariante transformatie (step invariant transformation) van G(s) genoemd. Opmerking: Men zou eraan kunnen denken om een betere reconstructie van het continue tijd signaal te maken dan via de zero-order-hold (208). Bijvoorbeeld, door de samples lineair te interpoleren
u(nTs )
DAC
u zoh(t)
u(nTs )
zero-order-hold reconstructie
DAC
u foh(t)
first-order-hold reconstructie
Gezien we voor de lineaire interpolatie 2 samples nodig hebben moeten we 1 sample periode wachten vooraleer de lineaire interpolatie in ware tijd (real time) te kunnen uitrekenen. Bijgevolg is de first-orderhold reconstructie u foh(t) gelijk aan +
u foh(t) =
(219)
u(nTs )foh(t – nTs )
n = –
waarbij foh(t) de volgende driehoekfunctie is t Ts foh(t) = – t Ts + 2
foh(t)
t 0 Ts
1
t Ts 2Ts
0
(220) Ts
2Ts
Er kan nu aangetoond worden dat voor de first-order-hold digitaal-analoog omzetting (219), het verband tussen de ingangssamples u(nTs ) en de uitgangssamples y(nTs ) gegeven wordt door Y(z) = G FOH(z)U(z)
met
G FOH(z) = 1 – z –1 2 Z L –1 G(s) s 2
(221)
(bewijs: zie appendix 1, blz. 127). Alhoewel de analoge FOH reconstructie van het digitale signaal nauwkeuriger is dan de ZOH reconstructie, heeft deze het nadeel van een extra sample vertraging in te
121 voeren (cfr. stabiliteit van de regelkring). Dit probleem is algemeen geldig: hoe gesofisticeerder de analoge reconstructie, hoe meer samples er gecombineerd worden, en hoe groter het aantal samples vertraging, wat nefast kan zijn voor de stabiliteit van de regelkring. V.1.2 De gesloten lus transferfunctie De volgende vergelijkingen beschrijven de werking van de regelkring met een digitale rekeneenheid e(t) = r(t) – y(t) E(z) = R(z) – Y(z) U(z) = D(z)E(z) Y(z) = G ZOH(z)U(z)
(222)
Eliminatie van E(z) en U(z) in de vergelijkingen geeft het verband tussen de samples van het referentiesignaal en de samples van het uitgangssignaal G ZOH(z)D(z) Y(z) = -----------------------------------------R(z) 1 + G ZOH(z)D(z)
(223)
Vgl. (223) toont aan dat de gesloten lus transferfunctie Gc (z) van de regelkring met digitale rekeneenheid D(z) G ZOH(z)D(z) Gc (z) = ----------------------------------------1 + G ZOH(z)D(z)
(224)
op een gelijkaardige manier wordt berekend als deze van een analoge regelkring waarbij de analoge transferfunctie G(s) vervangen wordt door de discrete tijd transferfunctie G ZOH(z) bekomen via de stap invariante transformatie (218). V.1.3 Bespreking 1. De open (217) en gesloten (223) lus vergelijkingen tonen aan waarom discrete tijd voorstellingen van analoge systemen gebruikt worden in combinatie met digitale regelaars. 2. De zero-order-hold digitaal-analoog omzetting (208) wordt het meest gebruikt omdat het de kleinste vertraging heeft. 3. De discrete tijd beschrijvingen (217) en (223) houden een gevaar in omdat men blind is voor wat er tussen de sample momenten gebeurt aan de uitgang. Het is bijvoorbeeld goed mogelijk dat de uitgang op de sample momenten de stelwaarde bereikt maar dat er tussenin oscillaties optreden. Dit wordt in de onderstaande figuur geïllustreerd op het stapantwoord waar duidelijk kan gezien worden dat y(t) op de sample momenten na 3 samples constant blijft terwijl het continue tijd signaal tussenin oscilleert. Om dit fenomeen te vermijden neemt men als vuistregel dat de samplefrequentie ten minste 10 keer de bandbreedte van het te regelen systeem G( j) moet zijn.
u(t)
y(t) G(s)
122 V.2 Niet-lineaire controle In heel wat toepassingen vertoont de regelaar/actuator een niet-lineair gedrag, bijv. een saturerende karakteristiek van een versterker, een dode zone in een tandwielkast, of een klep die enkel volledig open of dicht is (= bang-bang regeling). De regelkring ziet er dan als volgt uit r(t)
u(t)
e(t)
y(t)
NL
G(s)
niet-lineaire regelaar/actuator
te regelen systeem
De analyse van een niet-lineaire regelkring is veel complexer dan deze van een lineaire regelaar - Niet-lineaire regelkringen kunnen instabiel zijn voor bepaalde ingangssignalen, en stabiel voor alle andere signalen. - Niet-lineaire regelkringen vertonen dikwijls limietcycli, waarbij de zelf onderhouden oscillaties enkel optreden bij een bepaalde amplitude en frequentie. De amplitude afhankelijkheid van de oscillatie is specifiek aan het niet-lineair gedrag. Er zijn geen algemene analytische methodes voorhanden om het gedrag van niet-lineaire regelkringen te voorspellen. Het gedrag wordt dan dikwijls voorspeld aan de hand van simulaties. In deze cursus geven we een vereenvoudige methode, de “describing function” techniek, om te voorspellen of er al dan niet limietcycli optreden en of deze limietcycli stabiel zijn. V.2.1 Limietcyclus De volgende onderstellingen worden gemaakt om het bestaan van een limietcyclus in de niet-lineaire regelkring na te gaan 1. Het niet-lineair verband tussen u(t) en e(t) , is statisch en oneven: u = f (e) en f (– e) = –f (e) . 2. Het regimeantwoord op een periodiek signaal is periodiek met dezelfde periode als het ingangssignaal. 3. Het te regelen systeem heeft een laagdoorlaat karakteristiek. 4. r(t) = 0 . Onderstelling 2 laat sterke niet-lineariteiten toe maar sluit fenomenen zoals chaos en periode verdubbeling uit. We gaan nu na of er een periodieke oplossing van de vorm e(t) = A sin t bestaat. Vanwege onderstelling 2 kan de uitgang u(t) van de niet-lineariteit in een Fourierreeks ontwikkeld worden
u(t) =
Cn (A ) sin nt + n (A )
(225)
n=0
Gezien de niet-lineariteit statisch is, zijn Cn (A ) en n(A ) onafhankelijk van de frequentie. Bovendien is de niet-lineariteit oneven zodat C 0(A ) = 0 . Hiermee rekening houdend wordt (225)
123
u(t) =
Cn (A) sin nt + n (A)
(226)
n=1
De uitgang y(t) van het te regelen systeem is dan gegeven door
y(t) =
Cn (A) G( jn) sin t + n (A) + G( jn)
(227)
n=1
Indien nu G( j) » G( jn) for n = 2 3 (onderstelling 3), dan kan (227) benaderd worden als y (t) C 1(A) G( j) sin t + 1(A) + G( j)
(228)
De limiet cyclus e(t) = A sin t bestaat indien e t = –y (t) A = C 1(A) G( j) e t = – y(t) 1(A) + G( j) = 2k + 1
(229)
Indien deze vergelijkingen een oplossing hebben leveren deze de amplitude A en de frequentie f = 2 van de oscillatie. De stabiliteitsanalyse van de oscillatie wordt verder aan de hand van een voorbeeld uitgelegd (zie sectie V.2.3). V.2.2 Describing function We tonen nu aan dat de bestaansvoorwaarden van de limiet cyclus (229) gemakkelijk kunnen teruggevonden worden via een amplitude afhankelijke transferfunctie, namelijk de “describing function” van de niet-lineariteit. Definition 1 De “describing function” van de niet-lineariteit wordt gedefinieerd als de amplitude afhankelijke transferfunctie van e(t) naar de fundamentele van u(t) (eerste term in (226)): C 1(A) j (A) DF (A) = -------------- e 1 A
(230) 䊐
Merk op dat de describing function van kf (e) gelijk is aan kDF(A) , met DF(A) de describing function van f (e) . Indien we nu de niet-lineariteit in de regelkring vervangen door de describing function (230) 0
u(t)
e(t)
y(t)
DF (A)
G( j)
niet-lineaire regelaar/actuator
te regelen systeem
dan is de oscillatievoorwaarde (noemer van de gesloten lus transferfunctie = 0) 1 + DF (A)G( j) = 0 DF (A)G( j) = – 1
(231)
wat precies overeenkomt met (229). Vgl. (231) toont aan dat het bestaan en de stabiliteit van de
124 limietcyclus kan geanalyseerd worden aan de hand van de poolbaan of Nyquist methode met K = DF(A) . Dit wordt geïllustreerd aan de hand van een voorbeeld in sectie V.2.3. Het begrip describing function kan uitgebreid worden naar 1. Dynamische oneven niet-lineariteiten. In dit geval wordt de describing function ook afhankelijk van de frequentie: DF(A ) . 2. Niet oneven statische functies f (e) . In dit geval is de limietcyclus van de vorm e(t) = A 0 + A sin t en hangt de describing function ook af van het DC niveau A 0 : DF(A A 0). 3. Algemene dynamische niet-lineariteiten: DF(A A 0). Voorbeelden van describing functions Kubische niet-lineariteit: 3A 3 f (e) = e 3 DF(A) = --------4
(232)
Dode zone: f (e) 2k D D D2 ------ --- – arcsin(----) – ---- 1 – ---- A D A DF(A) = 2 A A AD 0
k e
–D D
k
(233)
Relais: f (e) H e –H
H e0 f (e) = –H e 0
4H DF(A) = ------A
(234)
Saturatie: f ( e) –1
1 1
e
–1
1 e1 2 1 1 --- (arcsin(---) + --- 1 – A – 2 ) A 1 (235) A A f (e) = e e 1 DF(A) = 1 A1 –1 e –1
Hysteresis: f (e) H –D
D
D –H
e
-) 4H – jarcsin(--A DF(A) = -------e A
AD
(236)
125 Beperkingen van de describing function aanpak (cfr. de gemaakte onderstellingen): -
De describing function kan een limietcyclus voorspellen zelfs indien deze niet bestaat.
-
Een limietcyclus kan bestaan zelfs indien de describing function voorpelt van niet.
- De voorspelde waarden van de amplitude en frequentie van de limietcyclus kunnen ver van de echte waarden liggen. V.2.3 Voorbeeld: de bang-bang regelaar Neem als te regelen systeem G(s) = 3 s + 1 3 , en als niet-lineaire regelaar het relais (234) (bangbang controller). De open lus transferfunctie wordt dan gegeven door 3DF(A) ------------------ s + 1 3
(237)
De onderstaande figuur toont de poolbanen van (237) voor K = DF(A) Root Locus
2
8 K osc = --3
Imaginary Axis (seconds-1)
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis (seconds-1)
Er kan nagegaan worden dat de polen van de gesloten lus transferfunctie op de imaginaire as liggen voor K osc = 8 3 en oscillatiehoekfrequentie osc = 3 . Uit (234) en K = DF(A) volgt dan de oscillatieamplitude A osc = 3H 2 . Nu moeten we nog nagaan of de limietcyclus stabiel is: - Stel dat door een storing de pool ‘+’ van de gesloten lus transferfunctie in het rechterhalfvlak komt te liggen ( K stijgt). Hierdoor stijgt de amplitude A van de oscillatie. De describing function DF(A) = 4H A daalt echter en dus K = DF(A) ook. Hierdoor komt de pool terug op de imaginaire as te liggen. - Stel dat door een storing de pool ‘+’ van de gesloten lus transferfunctie in het linkerhalfvlak komt te liggen ( K daalt). Hierdoor zakt de amplitude A van de oscillatie. De describing function DF(A) = 4H A stijgt echter en dus K = DF(A) ook. Hierdoor komt de pool terug op de imaginaire as te liggen. We besluiten dat de limietcyclus stabiel is.
126 Merk op dat de limietcyclus instabiel zou zijn indien het relais vervangen wordt door de kubische nietlineariteit (232) of de dode zone (233). Verklaar dit (aanwijzing: DF(A) is een stijgende functie van A )! Dit voorbeeld toont ook mooi aan dat een oscillator bestaat uit 3 essentiële componenten: 1. Een lineair dynamisch laagdoorlaat element met voldoende fasedraaiing: 180º bij een eindige frequentie. 2. Een saturerend niet-lineair element om de oscillatieamplitude te beperken. 3. Een terugkoppellus.
127 V.3 Appendix V.3.1 Appendix 1: bewijs van formule (221) De Laplace getransformeerde Y(s) van het uitgangssignaal y(t) is verbonden met de Laplace getransformeerde U FOH(s) van het ingangssignaal u foh(t) (219) via de transferfunctie G(s) van het te regelen systeem +
Y(s) = G(s)U FOH(s) = G(s)
u(nTs )e
– nTs s
L foh(t)
(238)
n = –
Uit vgl. (209) en (220) volgt dat foh(t) = zoh(t)*zoh(t) , met * het convolutieproduct. Bijgevolg is L foh(t) = L zoh(t) 2 = 1 – e
–Ts s
s
2
(239)
Kombineren van (238) en (239) geeft G(s) Y(s) = ---------s2
+
u(nTs )e
– nTs s
1 – e
–Ts s 2
(240)
n = –
met als invers Laplace getransformeerde y(t) =
L –1 G(s)
+
s 2 *L – 1 {
u(nTs )e
– nTs s
1 – e
–Ts s 2
}
(241)
n = –
waarbij +
L –1 {
n = –
u(nT s)e
– nT s s
2
1 – e –Ts s }
(242)
uit een som van 3 Dirac treinen bestaat ( L – 1 e –nT s s = (t – nTs ) en 2 1 – e –T s s = 1 – 2e –Ts s + e – 2Ts s ). Bijgevolg kunnen we de resultaten van Appendix 2 toepassen op de bemonsterde uitgang (241) Y(z) = Z L –1 G(s) s 2 1 – z –1 2 U(z) wat (221) bewijst. V.3.2 Appendix 2: antwoord op een Dirac trein
u (t)
y(t) G(s)
(243)
128 In deze appendix berekenen we het antwoord van een analoog systeem op een Dirac trein u (t) +
u (t) =
u(nTs ) (t – nTs )
(244)
n = –
De Laplace getransformeerde Y(s) van de uitgang y(t) is dan gegeven door +
Y(s) = G(s)
u(nTs )e
– nTs s
(245)
n = –
Het tijdantwoord y(t) vinden we door de invers Laplace getransformeerde te nemen van (245) y(t) = L – 1 G(s) *L –1 {
+
u(nTs )e
– nTs s
}
n = – +
=
0 g( )
u(nTs ) (t – nTs – ) d
(246)
n = –
+
=
u(nTs )g(t – nTs )
n = –
Op de sample momenten is de uitgang y(mTs ) verbonden met de amplitudes u(nTs ) van de ingang Dirac trein als +
y(mTs ) =
u(nTs )g( m – n Ts )
(247)
n = –
m.a.w. het convolutieproduct tussen de digitale ingang u(nTs ) en het bemonsterde impulsantwoord g(nTs ) . Uit (247) besluiten we dat Y(z) = Z L – 1 G(s) U(z)
(248)
129
Bibliografie Basiswerken Dutton, K., S. Thompson, and B. Barraclough (1998). The Art of Control Engineering. Addison Wesley: Harlow (UK). Goodwin, G. C., S. F. Graebe, and M. E. Salgado (2001). Control System Design. Prentice-Hall: Upper Saddle River, New Jersey (USA). Lewis, F. L. (1992). Applied Optimal Control and Estimation. Prentice-Hall: Upper Saddle River, New Jersey (USA). Nise, N. S. (2002). Regeltechniek voor Technici. John Wiley & Sons: New York (USA). Franklin, G. F., J. D. Powell, and A. Emami-Naeini (2002). Feedback Control of Dynamic Systems. PrenticeHall: Upper Saddle River, New Jersey (USA). Digitale controle Jacquot, R. G. (1995). Modern Digital Control Systems. Marcel Dekker Inc.: New York (USA). Söderström, T. (1994). Discrete-time Stochastic Systems Estimation and Control. Prentice-Hall: Hemel Hempstead (UK). PID regelaars Åström, K. J., and T. Hägglund (1995). PID Controllers: Theory, Design, and Tuning. Research Triangle Park, NC, ISA. Panagopoulous, H., K. Åström, and T. Hägglund (1999). Design of PID controllers based on nonconvex optimization, Proceedings of American Control Conference, San Diego, California (USA), pp. 38583862. Neuro-fuzzy controle Miller, W. T., R. S. Sutton, and P. J. Werbos (1995). Neural Networks for Control. MIT Press: Cambridge (USA). Passino, K. M., and S. Yurkovitch (1998). Fuzzy Control. Addison-Wesley: Menlo Park (USA). Niet lineaire controle Gelb, A., and W. E. Vander Velde (1968). Multiple-input Describing Functions and Nonlinear System Design. McGraw-Hill: New York (USA). Isidori, A. (1995). Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag: London (UK). Glad, T., and L. Ljung (2000). Control Theory: Multivariable and Nonlinear Systems. Taylor & Francis: London (UK).
130
Oefeningen Reeks 1: 1. Reduceer de volgende blokschema’s: a. R(s)
1 ----s2
Y(s)
50 ----------s+1
s
2 --s
2
b. H 1(s) R(s)
Y(s) G 2(s)
G 1(s)
c. G 3(s)
Y(s)
R(s) G 1(s)
G 2(s)
G 4(s)
H(s)
131 2. Bepaal de K waarde (open lus winst, open loop gain) voor dewelke de gesloten lus transferfunctie (closed loop transfer function) G c(s) instabiel wordt; G(s) = 1 A(s) met A(s) stabiel + proportionele regelaar (algemeen + dan toepassen op A(s) = s 3 + 2s 2 + 2s + 1 welke is de minimale orde van A(s) opdat G c(s) = KG(s) 1 + KG(s) instabiel zou kunnen worden? Toepassing: de opamp, model met een of twee polen nooit instabiel; model met drie polen A(s) G c(s) = ------------------- is instabiel. Bij een positieve terugkoppeling van de opamp voor welke orde van 1 + A(s) A(s) wordt de schakeling instabiel?
A(s)
V in(s)
V out(s)
A(s) V out(s) = A(s) V +(s) – V -(s) V out(s) = ------------------- V in(s) 1 + A(s) 3. Beschouw het volgende eenheidsterugkoppelsysteem r(s)
e(s) G(s)
y(s)
3.a Bepaal of dit systeem instabiel kan zijn met K s2 + 1 G(s) = --------------------------------s + 1 s + 2
(249)
3.b Bepaal het bereik van K voor stabiliteit wanneer Ks + 1 G(s) = ----------------------------------------------------ss + 2s + 3s + 4
(250)
Voor welke K -waarde oscilleert het systeem? Wat is de oscillatiefrequentie? (antw. K stab 0 140.80 , osc = 4.2791 en K osc = 140.80 ). 3.c Bepaal het bereik van K voor stabiliteit wanneer Ks s + 2 G(s) = -----------------------------------------------2 s – 4s + 8 s + 3 (antw. K stab 5 , osc =
6 , K osc = 5 ).
(251)
132 Reeks 2: 1. Beschouw de volgende vergelijkingen dx(t) du(t) ----------- = Ax(t) + Bu(t) + F -----------dt dt y(t) = Cx(t) + Du(t)
(252)
(toepassing: oplossen oneigenlijk netwerk). Toon aan dat (252) kan geschreven worden onder de volgende toestandsvergelijking vorm dx F(t) -------------- = A F x F(t) + B F u(t) dt y(t) = C F x F(t) + D F u(t)
(253)
met A F = A , B F = B + AF , C F = C , en D F = D + CF (hint: x F(t) = x(t) – Fu(t) ). 2. Beschouw de volgende toestandsvergelijkingen x'(t) = ax(t) + bu(t) y(t) = cx(t) + du(t)
(254)
waarbij a , b , c , en d getallen zijn. Bereken de differentiaalvergelijking van het overeenkomstige systeem (i) rechtstreeks, en (ii) via de projectie (51). 3. Rekenen met blokschema’s in geval van meeringang-, meeruitgang (MIMO) systemen. Bereken de gesloten lus transfer functie van de volgende regelkring y(s)
r(s) H(s)
G(s)
C(s)
waarbij r(s) en y(s) vectoren zijn met dimensie n r 1 en n y 1 respectievelijk. Aanwijzing: bepaal eerst de transfer functie van
y(s)
r(s) H(s)
G(s)
4. Beschouw de toestandsvergelijkingen (30) en de overeenstemmende transferfunctie in vgl. (64). Toon aan dat de transferfunctie (64) niet wijzigt onder de gelijkvormigheidstransformatie (34).
133
5. Bewijs via de definitie van de matrixexpontentiaal e At =
Ak tk ---------k = 0 k!
dat
A = T T – 1 e At = Te t T – 1
(255)
t t t met = diag( 1 2 n) en e t = diag(e 1 e 2 e n ) .
6. Bereken het stapantwoorden (69)-(72) van het tweede orde systeem (67). 7. Bewijs dat de fout op het taludantwoord van een eenheidsfeedback systeem gegeven wordt door ( u(t) = t ) 1 e talud() = lim t – y(t) = ------------------------lim sG(s) t
(256)
s0
Hoeveel integrators moet G(s) bevatten opdat e talud() = 0 ? 8. Bewijs dat de fout op het paraboolantwoord van een eenheidsfeedback systeem gegeven wordt door ( u(t) = t 2 2 ) 1 1 e parabool() = lim --- t 2 – y(t) = --------------------------- 2 t lim s 2 G(s)
(257)
s0
Hoeveel integrators moet G(s) bevatten opdat e parabool() = 0 ? 9. Gegeven een eenheidsterugkoppelstruktuur met K G(s) = --------------------------------------s s + 5 s + 10
(258)
a. Kies K zodat de statische positiefout gelijk is aan 0.01 voor een input van 0.1t . b. Wat is de kleinst mogelijke statische positiefout voor het in (a) gegeven ingangssignaal? 10. Gegeven de volgende eenheidsterugkoppelstruktuur r(s)
e(s)
Ks + -------------------- s + 2
y(s)
Bepaal hierin K , , en zodat (i) statische fout op een eenheidsstap = 0.1, (ii) de relatieve demping 0.5, en (iii) de natuurlijke frequentie = 10 (antw. = 1 , K = 10 2 , = 9 10 2 ).
134 11. Gegeven de volgende eenheidsterugkoppelkring met vertraging r(t)
e(t)
e – s
1 ------------------ss + 2
y(t)
a. Bepaal de waarde van de vertraging die het systeem instabiel maakt. Wat is de oscillatiefrequentie? 2 = – 2 + 5) (antw. = 2.74 , osc
b. Wanneer = 10 bepaal K -waarden in K s s + 2 zodat de regelkring stabiel wordt. (antw. K 0 0.3 ; bij K = 0.3 osc = 0.14961 ) Reeks 3: Beschouw de volgende eenheidsterugkoppelstructuur
r(t)
u(t)
y(t) K
G(s)
1.a. Schets de poolbanen van de volgende open lus transferfuncties s+1 1 s+5 – 4s + 2 s–1 G(s) = ---------------------- , ---------------------- , ----------------------------------------------------- , --------------------------------------- , ----------------------s 2 s + 9 s 2 s + 9 s s + 2 s + 1 2 + 4 s s + 20 s + 1 s 2 + s + 9
(259)
Bepaal, indien van toepassing, de K -waarde en de bijhorende osc van de oscillaties. b. Kontroleer de in a. gevonden resultaten in Matlab. 2.a. Schets het Nyquist diagram van de volgende open lus transferfuncties s+2 1 s+1 G(s) = -------------- , ---------------------- , ------------------- , s + 10 s s + 1 2 s s + 3 Bepaal de K -waarden waarvoor de closed loop stabiel is. b. Vergelijk de in a. gevonden resultaten in Matlab. Reeks 4:
– 4s + 2 ----------------------s2 + s + 9
(260)
135 2. Beschouw het open-keten systeem 100 G(s) = -----------------------------------ss + 4s + 8
(261)
Ontwerp een state feedback controller die een gesloten-keten antwoord van 15% doorschot en een piektijd van 0.2 s oplevert (aanwijzing: %DS = 100exp(– 1 – 2) , en T p = 1 – 2 n ). Kontroleer het resultaat in Matlab. 3. Beschouw het open-keten systeem 1 G(s) = -----------------------------------ss + 3s + 7
(262)
waarvan de toestandsveranderlijken niet toegankelijk zijn. Ontwerp een waarnemer (observer) die een overgangsgedrag (transient behaviour) levert beschreven door = 0.4 en n = 75 . Plaats de derde pool tienmaal zover van de imaginaire as als de dominante polen. Kontroleer het resultaat in Matlab. 4. Gegeven de open lus transferfunctie 1 G(s) = -------------------------2 s + 5s + 3
(263)
Ontwerp een integrerende state feedback controller zodanig dat het gesloten lus stapantwoord een doorschot van 10% en een insteltijd van 0.5 s heeft (aanwijzing: %DS = 100exp(– 1 – 2) , en T s 4 n ; leg de derde pool op vijf keer het reële gedeelte van de gewenste dominante tweede orde polen).
