2006 Wenzhou Invitational World Youth Mathematics Intercity Competition
Individual Contest Section I: 1. Colleen menggunakan 𝑎+𝑏
kalkulator untuk , dimana a, b dan c adalah bulat
menghitung 𝑐 positif. Dia menekan secara terurut a, +, b, /, c dan =, dan mendapatkan jawaban 11. Ketika dia secara terurut menekan b, +, a, /, c dan =, dia mendapatkan jawaban 14. Kemudian dia melakukan penekanan dengan mengerjakan lebih dahulu penjumlahan baru kemudian pengurangan. Sehingga secara terurut dia menekan (, a, +, b, ), /, c dan =. Hingga akhirnya dia mendapatkan jawaban yang benar, berapakah itu?
2. Panjang ruas garis AB adalah 5. Pada suatu bidang, berapa banyak garis lurus yang berjarak 2 dari A dan 3 dari B?
3. Pada segitiga ABC, D adalah titik pada perpanjangan sisi BC, dan F adalah titik pada perpanjangan sisi AB. Garis bagi ACD memotong perpanjangan BA di E, dan garis bagi FBC memotong perpanjangan AC di G, seperti
pada gambar berikut. Jika CE = BC = BG, berapakah ukuran ABC ?
A
B
E
D
F G
4. Guru berkata, “saya punya dua bilangan a dan b
yang memenuhi a b ab 1. Saya memberi tahu bahwa a tidak bulat. Apa pendapatmu tentang b?” Alex berkata, “b tidak bulat juga.” Brian berkata, “Tidak, saya rasa b harus bulat positif.” Colin berkata, “Tidak, saya rasa b harus bulat negatif.” Siapakah yang benar?
5. ABCD adalah jajar genjang dan titik P ada di dalam segitiga BAD. Jika luas segitiga PAB adalah 2 dan luas segitiga PCB adalah 5, berapakah luas segitiga PBD?
2
6. Bilangan-bilangan tak nol a, b, c, d, x, y dan z 𝑥
𝑦
𝑧
memenuhi 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 . Berapakah nilai dari 𝑥𝑦𝑧 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 𝑎𝑏𝑐 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑎
7. Pada jalan mendatar, kecepatan mobil adalah 63 km/jam. Pada jalan menanjak turun menjadi 56 km/jam dan pada jalan menurun kecepatannya 72 km/jam. Perjalanan dari A ke B membutuhkan waktu 4 jam dan dari B ke A membutuhkan waktu 4 jam 40 menit. Berapakah jarak A dan B?
8. Panjang
sisi persegi ABCD adalah 2. E dan F adalah titik tengah AB dan AD, dan G adalah titik pada CF sehingga 3CG ＝2GF. Tentukan luas segitiga BEG.
9. Tentukan x + y dimana x dan y bilangan sehingga 1
(2x + 1)2 + y2 + (y – 2x)2 = 3
10.Sebuah perusahaan pemotong kertas memiliki pegawai bernomor 1, 2, 3, dan seterusnya. Mandor menerima dokumen satu halaman untuk dipotong. Dia memotong kertas itu menjadi 5 bagian dan memberikannya ke pegawai 3
bernomor 1. Ketika pengawai bernomor n menerima beberapa potong kertas, dia mengambil n kertas buah diantaranya dan memotongnya menjadi 5 bagian dan memberikan semua potongan kepada pegawai bernomor n + 1. Berapakah nilai k sehingga pegawai k menerima kurang dari 2006 potong kertas tetapi memegang lebih dari 2006 potong?
11.Sebuah bangun ruang (polyhedron) Q termuat dari bangun ruang P dengan 36 rusuk bersama. Untuk setiap sudut V dari P, dibuat sebuah piramida dengan V sebagai sudut-sudutnya. Bidang itu tidak berpotongan di dalam P. Tentukan banyak rusuk Q.
12.Diketahui m dan n adalah bilangan bulat positif sehingga 𝑚 − 174 + 𝑚 + 34 = 𝑛. Tentukan nilai maksimum dari n.
Section II: 1.
4
Terdapat 4 buah elevator pada sebuah gedung. Masing-masing memiliki tiga pemberhentian, yang tidak terdapat pada dua lantai berurutan termasuk lantai dasar. Untuk tiap dua lantai, terdapat paling tidak satu elevator yang memiliki pembehentian pada keduanya. Berapa maksimum banyak latai gedung itu?
2.
Empat buah persegi panjang 2 x 4 disusun sebagai berikut dan tidak dapat disusun ulang. Berapa jar-jari lingkaran terkecil yang melingkupi semua persegi panjang itu?
3.
Bagilah bilangan bulat positif mulai dari 1 hingga 30 menjadi k pasangan yang disjoin sehingga jumlah dua elemen dari masing-masing kelompok tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Berapa minimum nilai k?
Team Contest 1. Guru berkata, “Saya ingin membentuk sebuah lingkaran sebesar mungkin di dalam sebuah segitiga dengan panjang sisi 2, 2 dan 2x untuk beberapa bilangan bulat positif x. berapakah nilai x yang mungkin?” Alex berkata, “Saya rasa x adalah 1.” Brian berkata, “Saya rasa x 2 .” Colin berkata, “anda berdua salah.” Siapakah yang benar? 2. Sebuah segitiga dapat dipotong menjadi dua segitiga sama kaki. Satu sudut segitiga awal besarnya 360. Tentukan semua nilai yang mungkin untuk sudut terbesar dari segitiga awal. 5
3. Terdapat lima potong tetris, masing-masing terdiri atas e buah persegi. Gunakan potongan berbentuk L (gambar pertama) dan masingmasing dari keempat potongan lainnya untuk membentuk bangun yang memeiliki simtri lipat.
4. Sebuah domino terdiri atas dua persegi satuan, masing-masing ada nomornya. 15 buah domino bernomor 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 2-2, 2-3, 2-4, 25, 3-3, 3-4, 3-5, 4-4, 4-5 dan 5-5, dikumpulkan pada sebuah persegi panjang 5 x 6 seperti pada gambar berikut. Sehingga garis batas antara domino-domino itu tidak terlihat. Buatkan pemisahan antara domino-domino tersebut are assembled into the 5 by 6 rectangle shown in the diagram below. However, the boundary of the individual dominoes have been erased. Reconstruct them.
6
5. Bilangan “Lucky” adalah bilangan bulat positif yang nilainya adalah 19 kali jumlah digitdigitnya. Tentukan semua bilangan “Lucky”. 6. Alice dan Betty bermain game pada papan n ×n . Alice star duluan, mereka silih berganti menempatkan 0 atau 1 pada setiap tempat yang kosong. Ketika semua persegi terisi, Betty akan menang jika jumlah semua bilangan pada tiap kolom adalah genap. Selain itu, Alice yang menang. (a) Pemain mana yang memiliki strategy kemenangan untuk n = 2006? (b) Dari pertanyaan (a) untuk sembarang bilangan bulat positif n. 7. Tunjukkan bahwa 1596n +1000n 270n 320n habis dibagi 2006 untuk semua bilangan bulat positif ganjil n. 8. Dari daftar bilangan bulat positif berurutan, hapus semua kelipatan 4 dan semua bilangan yang 1 lebihnya dari kelipatan 4. Jika Sn adalah jumlah n suku pertama dari barisan bilangan yang tersisa. Hitunglah 𝑆1 + 𝑆2 + ⋯ + 𝑆2006 9. ABC dan PQR keduanya merupakan segitiga samasisi dengan luas 1. Pusat M dari PQR 7
terletak pada keliling ABC. Tentukan luas minimal dari perpotongan kedua segitiga.
10. Untuk suatu bilangan bulat positif tertentu m, terdapat bilangan bulat positif n sehingga mn merupakan kuadrat suatu bilangan bulat dan m = n adalah prima. Tentukan semua bilangan bulat positif m dalam range 1000＝m < 2006.
8
