PŘÍKLAD Rychlost střely lze určit tak, že se vystřelí zblízka do dostatečně těžkého pytle s pískem, který je zavěšen na několikametrovém laně. Změří se, do jaké výšky vystoupalo těžiště T pytle. Odtud lze přibližně stanovit rychlost střely. Projektil neboli střela má hmotnost m = 4 gramy. Při nástřelu do pytle s pískem o hmotnosti M = 1 tuny vystoupá těžiště pytle do výšky h = 20,4 cm. Určete rychlost střely v. Jaký zákon uplatníme při výpočtu? • Zákon zachování (mechanické) energie. Jaké musejí být omezující předpoklady, abychom příklad spočítali, co nutno zanedbat? • Veškerá pohybová energie náboje se změní na polohovou energii pytle s nábojem, • tj. zanedbáme ostatní energie, např. tepelnou energii, která vznikla při tření střely o písek, třením pohybujícího se pytle o vzduch, deformací lana, energii zvuku aj. Otázky a) Jak se změnila polohová (potenciální) energie pytle poté, co v něm uvízla střela? Nejprve počítejte s hmotností samotného pytle. b) Jaká byla pohybová (kinetická) energie střely za předpokladu platnosti zákona zachování mechanické energie (veškerá pohybová energie náboje se změní na polohovou energii pytle)? c) Jaká byla rychlost střely v m/s a km/h? d) Pro přesnější výpočet by se měla v otázce a) dosadit hmotnost pytle + hmotnost střely, která v pytli uvízla. Jak se při tomto upřesněném výpočtu změnila polohová (potenciální) energie pytle s nábojem poté, co v něm uvízla střela? Přepočítejte i rychlost střely. Zhodnotíme změnu hodnoty rychlosti.
PŘÍKLAD Náčrt: Na obrázku je schematický náčrt situace. Co znamená označení? m … hmotnost projektilu neboli střely v … rychlost střely T … těžiště pytle s lanem h … nejvyšší zvýšení těžiště pytle
Otázka a)
PŘÍKLAD
Jak se změnila polohová (potenciální) energie pytle poté, co v něm uvízla střela? Nejprve počítejte s hmotností samotného pytle.
Dáno: • Střela má hmotnost m = 4 g. Převeďme na jednotky SI: m = 0,004 kg • Pytel má hmotnost M = 1 t. Převeďme na jednotky SI: M = 1000 kg • Těžiště pytle vystoupá do výšky h = 20,4 cm. Převeďme na jednotky SI : h = 0,204 m Řešení: Dle jakého vztahu se stanoví změna polohové energie tělesa v gravitačním poli na povrchu Země?
E p = m . g .h m … hmotnost tělesa. Za hmotnost dosadíme m = M = 1000 kg. g … hodnota tíhového zrychlení na Zemi činí v naší zeměpisné šířce (49 °) přibližně 9,81 m/s² : Dosadíme:
E p = 1000 kg .9,81m / s 2 .0,204 m = 2001,240 J
Odpověď: Polohová energie pytle se zvýšila o 2 001,24 joule.
PŘÍKLAD
Otázka: b) Jaká byla pohybová (kinetická) energie střely za předpokladu platnosti zákona zachování mechanické energie (veškerá pohybová energie náboje se změní na polohovou energii pytle)? Řešení: Formulujte, co v našem případě platí podle zákona zachování mechanické energie? Podle zákona zachování mechanické energie platí, že pohybová energie střely odpovídá polohové energii pytle.
Ek = E
p
Protože polohová (potenciální) energie byla vypočtena:
E p = 2001,24 J Má pohybová (kinetická) energie stejnou velikost:
E k = 2001,24 J Odpověď: Za předpokladu, že veškerá pohybová energie střely se změní na polohovou energii pytle, je pohybová energie střely 2001,24J.
Otázka: d)
PŘÍKLAD
Jaká byla rychlost střely v m/s a km/h?
Řešení: Jak se spočítá rychlost střely? Z jakého vztahu? Ze vztahu pro pohybovou (kinetickou) energii.
m .v 2 Ek = 2
Když známe pohybovou energii střely Ek a hmotnost střely m, lze spočítat rychlost v. Vyjádříme z výše uvedeného vztahu v :
v=
2 .E k m
Dosadíme za Ek = 2001,24 J, m = 0,004 kg a vypočteme rychlost v m/s i km/h:
v=
2.2001,24 = 1000620 = 1000,310m / s == 1000,31.3,6km / h = 3601,11km / h 0,004
Odpověď: Střela má rychlost 1 000,3 m/s, tj. 3 601,1 km/h.
PŘÍKLAD Otázka: Pro přesnější výpočet by se měla v otázce a) dosadit hmotnost pytle + hmotnost střely, která v pytli uvízla. Jak se při tomto upřesněném výpočtu změnila polohová (potenciální) energie pytle s nábojem poté, co v něm uvízla střela? Přepočítejte i rychlost střely. Zhodnotíme změnu hodnoty rychlosti. Dáno: • Hmotnost střely m = 0,004 kg, hmotnost pytle M = 1000 kg • Zvýšení těžiště pytle h = 0,204 m e)
Řešení: Kdybychom za hmotnost dosadili hmotnost pytle + hmotnost střely,, je změna polohová energie:
E p = 1000 ,004 kg .9,81m / s 2 .0, 204 m = 2001, 248 J Jaká je změna? Zvýšení polohové energie o 0,008 J oproti případu, když jsme do výpočtu potenciální energie nezahrnuli hmotnost střely. Jak zvýšení polohové a tím pádem i pohybové energie ovlivní výpočet rychlosti střely?
v=
2 .2001 , 248 = 1000624 = 1000 ,312 m / s = 1000 ,312 .3,6 km / h = 3601 ,12 km / h 0,004
Odpověď: Rychlost střely vyšla vyšší o 0,01 km/h. Výpočet rychlosti střely bez započtení hmotnosti střely vyšel skoro stejně.
