10
III TRANSFORMASI 3.1 Transformasi Bilinear
Dari persamaan (2.30), yaitu s = T ( z ) =
d az + b ; (ad ≠ bc). Jika z ≠ − , c cz + d
maka persamaan tersebut dapat dikalikan dengan cz + d, sehingga diperoleh czs + ds = az + b.
Selanjutnya persamaan di atas, dikurangkan dengan az + b, maka diperoleh czs – az + ds – b = 0.
Dengan memisalkan A = c, B = –a, C = d, dan D = –b, maka persamaan (2.30) dapat ditulis dalam bentuk Azs + Bz + Cs + D = 0; (AD ≠ BC).
(3.1)
Jadi persamaan (2.30) dapat ditulis dalam bentuk persamaan (3.1), demikian juga sebaliknya. Karena bentuk persamaan (3.1) adalah linear dalam z dan s, maka transformasi pecahan linear atau transformasi Möbius disebut juga transformasi bilinear. Sebagai ilustrasi akan ditunjukkan bahwa s = T ( z ) = = {z ∈ : |z| < 1} pada daerah
daerah
s = T ( z) =
+
= {s ∈ : Re(s) > 0}. Transformasi
j+z adalah transformasi Möbius dengan a = 1, b = j, c = –1, dan j−z
d = j. Untuk menunjukkan bahwa daerah
daerah
+
j+z memetakan j−z
= {z ∈ : |z| < 1} dipetakan pada
= {s ∈ : Re(s) > 0} oleh s = T ( z ) =
invers dari s = T (z ) , yaitu z = T −1( s) =
j+z , maka terlebih dahulu dicari j−z
j ( s − 1) . s +1
Pada Gambar 1, andaikan z adalah sembarang titik di dalam lingkaran satuan pada bidang z, maka |z| < 1. Dengan mensubstitusikan z =
j ( s − 1) , maka s +1
j ( s − 1) < 1 sehingga diperoleh s +1 j ( s − 1) < s + 1 .
(3.2)
11
Im
Bidang z ●z
1 Re
Gambar 1 Daerah pada bidang z dengan |z| < 1. Dengan mensubstitusikan s = σ + jω ke persamaan (3.2), kemudian bagian real dan bagian imajinernya dikelompokkan, maka diperoleh
− ω + j (σ − 1) < (σ + 1) + jω .
(3.3)
Selanjutnya dengan menghitung jaraknya, maka
ω 2 + (σ − 1)2 < (σ + 1)2 + ω 2 , sehingga diperoleh
σ > 0 atau Re(s) > 0.
(3.4)
Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa s = T ( z ) =
j+z memetakan daerah j−z = {z ∈ : |z| < 1}
di dalam lingkaran satuan terbuka dengan pusat titik asal; pada daerah di sebelah kanan sumbu khayal;
+
= {s ∈ : Re(s) > 0}, seperti
yang dapat dilihat pada Gambar 2. Im
Bidang z
1
s=
j+z j−z
jω
Bidang s
σ
Re
Gambar 2 Pemetaan s = T ( z ) =
j+z . j−z
12
Ilustrasi di atas menunjukkan pemetaan dari bidang z ke bidang s dari suatu transformasi Möbius. Berikut ini akan diberikan pula ilustrasi dari bidang s ke bidang z dari transformasi Möbius lainnya. Akan ditunjukkan bahwa z = T ( s) =
j−s memetakan daerah Im(s) > 0 pada j+s j−s adalah transformasi j+s
daerah di dalam lingkaran satuan |z| < 1. z = T ( s) =
Möbius dengan a = –1, b = j, c = 1, d = j. Untuk menunjukkan bahwa daerah Im(s) > 0 dipetakan pada daerah di dalam lingkaran satuan |z| < 1 oleh
z = T ( s) =
j−s , maka terlebih dahulu dicari invers dari z = T (s) , yaitu j+s
s = T −1( z ) =
j (1 − z ) . 1+ z jω
Bidang s ●s
σ
Gambar 3 Daerah pada bidang s dengan Im(s) > 0. Pada Gambar 3, andaikan s adalah sembarang titik di daerah Im(s) > 0, maka
ω > 0 , sehingga 2ω > −2ω . Dengan menambahkan σ 2 + ω 2 + 1 pada kedua sisi, maka diperoleh
σ 2 + (ω + 1) 2 > σ 2 + (ω − 1) 2 .
(3.5)
Persamaan (3.5) merupakan representasi jarak dari
atau
σ + j (ω + 1) > σ + j (ω − 1) .
(3.6)
(σ + jω ) + j > (σ + jω ) − j
(3.7)
Dengan mensubstitusi s = σ + jω =
j (1 − z ) ke dalam persamaan (3.7), maka 1+ z
j (1 − z ) j (1 − z ) +j > −j, 1+ z 1+ z sehingga diperoleh
z < 1.
(3.8)
13
j−s memetakan daerah di j+s
Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa z = T ( s) =
atas sumbu real; Im(s) > 0 pada daerah di dalam lingkaran satuan terbuka denganpusat titik asal; z < 1 , seperti yang dapat dilihat pada Gambar 4. jω
Bidang s
z=
Bidang z
Im
j−s j+s
σ
1
Gambar 4 Pemetaan z = T ( s) =
Re
j−s . j+s
3.2 Transformasi Tustin
Dari persamaan 2.30, yaitu s = T ( z ) =
az + b ; (ad ≠ bc). Jika dipilih b = –1 cz + d
dan a = c = d = 1, maka transformasi Möbius menjadi
s = T ( z) =
z −1 . z +1
(3.9)
Bentuk transformasi pada persamaan (3.9) ini disebut dengan transformasi Tustin. Dengan demikian, transformasi Tustin
merupakan bentuk khusus dari
transformasi Möbius. Berikut ini akan diberikan ilustrasi dari transformasi Tustin, yaitu akan ditunjukkan bahwa s = T ( z ) =
z −1 memetakan daerah z +1
C
= {z ∈ : |z| > 1} pada
daerah + = {s ∈ : Re(s) > 0}. Untuk menunjukkan bahwa daerah
C
= {z ∈ :
|z| > 1} dipetakan pada daerah + = {s ∈ : Re(s) > 0} oleh s = T ( z ) = maka terlebih dahulu dicari invers dari z = T (s) , yaitu z = T −1( s) =
1+ s . 1− s
z −1 , z +1
14
Im
Bidang z ●z
1
Re
Gambar 5 Daerah pada bidang z dengan |z| > 1. Pada Gambar 5, andaikan z adalah sembarang titik di daerah |z| > 1.Dengan mensubstitusikan z =
1+ s 1+ s > 1 sehingga diperoleh , maka 1− s 1− s 1+ s > 1− s .
(3.10)
Dengan mensubstitusi s = σ + jω ke dalam persamaan (3.10), maka
1+
z −1 z −1 > 1− , z +1 z +1
(3.11)
z > 1.
sehingga diperoleh
(3.12)
Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa z = T ( s) = luar lingkaran satuan terbuka dengan pusat titik asal;
z −1 memetakan daerah di z +1 C
= {z ∈ : |z| > 1} pada
daerah di sebelah kanan sumbu khayal; + = {s ∈ : Re(s) > 0}, seperti yang dapat dilihat pada Gambar 6. Im
Bidang z
1
s=
z −1 z+1
jω
Bidang s
σ
Re
Gambar 6 Pemetaan s = T ( z ) =
z −1 . z +1
