III. PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK 3.1
Sistem Pendulum Terbalik Tunggal Pada penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik tunggal seperti
Gambar 4 berikut.
mg u
M x
Gambar 4 Sistem Pendulum Terbalik Tunggal. Pada Gambar 4, pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak ke arah kanan atau ke kiri, sedangkan pendulum bergerak ke arah kanan atau ke kiri dalam bidang datar. Diasumsikan juga bahwa posisi awal pendulum ada di titik 0 dan pendulum bergerak dari keadaan diam. Berat massa motor dinotasikan M dan berat massa pendulum dengan m, semuanya dinyatakan dalam kilogram. Posisi motor dinotasikan x dan panjang pendulum dilambangkan dengan 2l, semuanya dinyatakan dalam meter. Pendulum diasumsikan seragam (uniform) sehingga momen inersia diberikan oleh J Diasumsikan friksi antara pendulum dengan motor sebesar motor dengan lintasan sebesar pendulum
1 2 ml . 3
dan friksi antara
. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oleh
adalah cukup kecil.
Jika pada motor diberi gaya dorong sebesar u, maka diperoleh berturut-turut total energi kinetik (T), total energi potensial (P) dan total energi kinetik yang diakibatkan friksi (D) antara motor dengan lintasan dan motor dengan pendulum sebagai berikut (lihat Lampiran 4): T
1 Mx 2 2
1 2 mx 2
P
mlx cos
mgl cos ,
2 2 ml 3
2
,
(3.1) (3.2)
13
D dengan x t ,
1 2 x 2
1 2
2
(3.3)
,
berturut-turut merupakan kecepatan motor dan kecepatan
t
angular pendulum pada saat t. Deskripsi matematika dari karakteristik dinamik suatu sistem disebut model matematika (Ogata 1984). Guna mendapatkan model matematika untuk sistem pendulum
terbalik
tunggal,
maka
dapat
digunakan
persamaan
Euler-
Lagrange(Thompson 1990). dari sistem dinyatakan sebagai berikut
Bentuk umum fungsi Lagrange
T
P,
(3.4)
dengan T adalah total energi kinetik dan P adalah total energi potensial. Dengan mensubtitusikan persamaan (3.1) dan (3.2) ke persamaan (3.4), maka diperoleh fungsi Lagrange sebagai berikut. 1 M 2
m x2
2 2 ml 3
mlx cos
2
mgl cos .
(3.5)
Untuk menyamaratakan koordinat perlu diperhatikan gerak translasi motor x dan gerak osilasi pendulum
, sebagai dua buah keluaran yang selalu berubah-
ubah jika diberikan gaya dorong u. Misalkan vektor koordinat sistem adalah w ( w1 , w2 ) dengan w1 dan w2
dan misalkan w1
dw1 dan w2 dt
x
dw2 , maka persamaan Eulerdt
Lagrange untuk sistem ini diberikan sebagai berikut: Untuk gerak translasi motor d dt
w1
w1
D w1
u.
(3.6)
w2
D w2
0.
(3.7)
Untuk gerak osilasi pendulum d dt
w2
Selanjutnya persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.3) dan (3.5) diperoleh sebagai berikut (secara lengkap lihat di Lampiran 4).
14
M
mlx
m x ml
4 2 ml 3
(3.8)
x u,
mgl
(3.9)
0,
dengan x t ,
t merupakan percepatan motor dan percepatan sudut pendulum
pada saat t.
Selanjutnya hasil transformasi Laplace dengan syarat awal
x 0
0,
0, x 0
0
0,
0 dan
0
0 pada persamaan (3.8) dan
0
(3.9) diperoleh sebagai berikut (lihat Lampiran 5):
M
m s2 X s
mls2
4 2 2 ml s 3
mls 2 X s
s
s
sX s
mgl
s
(3.10)
U s, s
s
0.
(3.11)
dengan s s2 X s
£
(t ) , sX s £ x (t ) , s 2
£ x (t ) , s
s
£
s
£
(t) ,
(t ) .
Selanjutnya dari persamaan (3.10) dan (3.11) diperoleh setiap fungsi transfer P s sebagai berikut (lihat Lampiran 6):
Px ( s)
X ( s) U ( s)
4ml 2 s2 3 s 3 gml , s( a3 s3 a2 s2 a1 s a0 )
(3.12)
P (s )
( s) U ( s)
3mls2 , a2 s2 a1 s a0
(3.13)
s a3 s3
dengan a3
ml 2 (4 M
a2
3 (M
a1
3
a0
m),
m) 4 ml 2 , 3mgl ( M
m),
3 mgl.
Dalam hal ini, Px ( s) menyatakan fungsi transfer yang menghubungkan input kendali u dengan posisi motor x dan P ( s ) menyatakan fungsi transfer yang menghubungkan input kendali u dengan sudut pendulum
.
Pada penelitian ini yang menjadi pokok perhatian adalah fungsi transfer Px s , yang berarti juga bahwa pengendalian posisi motor merupakan pokok perhatian.
15
3.2
Sistem Pendulum Terbalik Ganda Pada penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik ganda seperti
Gambar 5 berikut. 2
m2 g 1
m1 g u
M x
Gambar 5 Sistem Pendulum Terbalik Ganda. Gambar 5 mengilustrasikan dua buah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak ke arah kanan atau ke kiri, sedangkan pendulum pertama atau kedua bergerak ke arah kanan atau kekiri dalam bidang datar. Diasumsikan juga bahwa posisi awal pendulum ada di titik nol dan pendulum bergerak dari keadaan diam. Berat massa motor dinotasikan M dan berat massa pendulum ke- i denganmi , semuannya dinyatakan dalam kilogram. Posisi motor dinotasikan x dan panjang pendulum ke- i dilambangkan Li
2li , semuanya dinyatakan dalam meter.
Pendulum diasumsikan seragam (uniform) sehingga momen inersia diberikan oleh Ji
1 mi li 2 untuk i 3
motor sebesar sebesar
2
1
1, 2. Diasumsikan friksi antara pendulum pertama dengan
dan friksi antara pendulum pertama dengan pendulum kedua
serta friksi antara motor dengan lintasan sebesar . Diasumsikan
bahwa sudut yang dibentuk oleh pendulum
i
adalah cukup kecil.
Jika pada motor diberi gaya dorong sebesar u, maka diperoleh berturutturut total energi kinetik (T), total energi potensial (P) dan total energi kinetik yang diakibatkan friksi (D) antara motor dengan lintasan, motor dengan pendulum
16
pertama, dan pendulum pertama dengan pendulum kedua sebagai berikut (lihat Lampiran 8): T
1 1 Mx 2 m1 x 2 m1l1 x 1 cos 1 2 2 1 m2 L12 12 m2l2 x 2 cos 2
P
m1 gl1 cos
1
1 2 x 2
D
1 2
2 m1l12 3
m2l2 L1
2
1 m2 x 2 m2 L1x 1 cos 2 2 m2l2 2 2 cos( 1 2) 3
2 1
1
m2 g L1 cos 1 2
2 1 1
l2 cos
1
2 2
2
1
2
1
(3.14) 2 2
(3.15)
,
(3.16)
.
2
,
Untuk menyederhanakan permasalahan tersebut di atas, diasumsikan bahwa pendulum-pendulum memiliki panjang dan massa yang sama, yaitu l
l1
m
l2 ,
m1
m2 .
Persamaan (3.14), (3.15) dan (3.16) menjadi 1 (M 2
T
2 m) x 2
mlx 2 cos
3mlx 1 cos
2 ml
2
P 3mgl cos 1 2 x 2
D dengan x t ,
1
t
dan
2
t
1 2
2 1 2
1
2 2 ml 3
1
cos(
2 1 1
1 2
2
2ml2
2 2 ml 2) 3
1
mgl cos
2 1
2
2 1
(3.17) 2 2
, (3.18)
, 2 1
2 2
,
berturut-turut merupakan kecepatan
(3.19) motor,
kecepatan angular pendulum pertama dan kedua pada saat t. Pada bagian ini, model matematika untuk sistem pendulum terbalik ganda merupakan perluasan dari model sistem pendulum terbalik tunggal. Oleh karena itu penurunannya pun dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan EulerLagrange. Selanjutnya perhatikan kembali bentuk umum fungsi Lagrange pada persamaan (3.4) berikut:
T
P,
dengan T adalah total energi kinetik dan P adalah total energi potensial.
17
Dengan mensubtitusikan persamaan (3.17) dan (3.18) ke persamaan (3.4), maka diperoleh fungsi Lagrange sebagai berikut 1 (M 2
2m )x 2 3mlx 1 cos
2ml
2 1 2
cos(
2 2 ml 3
1
2 2 ml 2) 3
1
2 2
2
2ml 2
1
2
mlx
1
2
cos
2
(3.20)
3mgl cos
mgl cos 2 .
1
Untuk menyamaratakan koordinat perlu diperhatikan gerak translasi motor x dan gerak osilasi pendulum
1
dan gerak osilasi pendulum
2
, sebagai tiga buah
keluaran yang selalu berubah-ubah jika diberikan gaya dorong u. Misalkan w1
x, w2
vektor
koordinat
dan w3
1
sistem
adalah
dw1 , w2 dt
dan misalkan w1
2
w ( w1 , w2 , w3 )
dengan
dw2 dan w3 dt
dw3 , dt
maka persamaan Euler-Lagrange untuk sistem ini diberikan sebagai berikut: Untuk gerak translasi motor d dt
w1
w1
D w1
u
(3.21)
w2
D w2
0
(3.22)
w3
D w3
0
(3.23)
Untuk gerak osilasi pendulum pertama d dt
w2
Untuk gerak osilasi pendulum kedua d dt
w3
Selanjutnya persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.21), (3.22) dan (3.23) diperoleh berturut-turut sebagai berikut (lihat Lampiran 8):
(M 3mlx
2m) x 3ml
16 2 ml 3
mlx 2 ml 2 dengan x t ,
1
t dan
2
t
2ml 2
1
1
1
ml
2
3mgl
4 2 ml 3
2
(3.24)
x u,
2
(
1
mgl
2
1
2
2 2
)
1
0,
0,
(3.25) (3.26)
berturut-turut merupakan percepatan motor dan
percepatan sudut pendulum pertama dan kedua pada saat t.
18
Selanjutnya x 0
0, x 0
hasil
0,
1
0
transformasi 0,
1
0
0,
Laplace 0, dan
0
1
dengan 0
1
0,
syarat 0
1
0,
2
awal 0
0
pada persamaan (3.20), (3.21) dan (3.22) diperoleh berturut-turut sebagai berikut (lihat Lampiran 9):
(M 3mls 2 X (s )
2m) s 2 X ( s ) 3mls2 16 2 2 ml s 3
1
(s ) 2ml2 s2
1
( s ) mls2 2
s
( s)
4 2 2 ml s 3
1
s
£
£ x (t ) , s 2
1
mls 2 X ( s) 2ml 2 s 2
1
2
(s)
3mgl
2
1
sX ( s ) U ( s ),
(s ) ( 1
( s) mgl
2
( s)
)s
2
2
s
2
1
(s )
(3.27) 0, (3.28)
( s) 0, (3.29)
dengan
sX s s2 X s
£ x( t) , s
s
1
£
(t) , s 1
2
s
( t) , dan s 2
£ 2
2
( t) ,
s
£
2
( t) .
Selanjutnya berdasarkan persamaan (3.27), (3.28) dan (3.29), maka diperoleh
setiap
fungsi
transfer
P s
berturut-turut
sebagai
berikut
(lihat Lampiran 10):
28 4 2 4 l ms 9 2 2
Px (s )
4 2 20 2 l m 1 l m 2 s3 3 3 28 3 2 2 gl m glm 1 4 glm 2 s 3 g 2l 2m 2 1 2 s 3 , (3.30) s (a5s 5 a 4s 4 a 3s 3 a 2s 2 a1s a 0 ),
P 1 ( s)
P 2 (s )
2l 3m 2 s 4 3lm 2s 3 3gl 2m 2s 2 , s( a5 s5 a4 s 4 a3s 3 a 2s 2 a 1s a 0), 2 3 2 4 lms lm 2 lm 1 s 3 3 gl 2m 2s 2 3 , s (a5 s 5 a4s 4 a 3s 3 a 2s 2 a 1s a 0)
(3.31)
(3.32)
19
dengan a5 a4 a3 a2 a1 a0
4 4 2 l m 7 M 2m , 9 28 4 2 1 2 2 10 2 l m l m 1 4M 5m l m 9 3 3 4 2 4 3 2 l m gl m 7 M 5 m 5 2 1 3 3 2 2
4 glm2
3 g 2l 2 m2 M 2 2
3g l m
2
2
M
2m
2m glm
glm 1
1
4
M 2
2
2m
2M M
m ,
2m
2
2
M
28 3 2 gl m 3
2m 1 2
1 2
,
,
,
.
Dalam hal ini, Px ( s) menyatakan fungsi transfer yang menghubungkan input kendali u dengan posisi motor x dan P 1 ( s) menyatakan fungsi transfer yang menghubungkan input kendali u dengan sudut pendulum pertama
1
, P 2 ( s)
menyatakan fungsi transfer yang menghubungkan input kendali u dengan sudut pendulum kedua
2,
Pada penelitian ini yang menjadi pokok perhatian adalah fungsi transfer yang menghubungkan input kendali u dengan posisi motor x, yaitu Px s , yang berarti juga bahwa pengendalian posisi motor merupakan pokok perhatian.
