PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL
BAMBANG EDISUSANTO
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Tracking Error Optimal adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juli 2008
Bambang Edisusanto NIM G551060171
ABSTRACT BAMBANG EDISUSANTO. Modeling of Inverted Pendulum System with Oblique Track and Parameter Characterization on Optimal Tracking Error Problem. Under direction of TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO Inverted pendulum is an important device in education and research for control engineering. Many results of research are reached through study to pendulum system. The primary objective of this thesis is to characterize the inverted pendulum system with oblique track on the optimal tracking error problem in terms of the system of parameters. We first derive the equations of motion for the pendulum system with flat track and then extend it to the system with oblique track. We then derive the analytical expressions of the optimal tracking error problem for both systems. It is shown that the expressions are completely determined by the pendulum’s parameters. Furthermore, its is shown that the lowest possible tracking error can be attained as long as the ratio between pendulum and motor masses is equal to a certain constant, regardless the material of the pendulum. Keywords: inverted pendulum, modeling, tracking error problem.
RINGKASAN BAMBANG EDISUSANTO. Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Tracking Error Optimal. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR, dan ALI KUSNANTO. Pendulum adalah sebuah bandul. Ada dua jenis pendulum yaitu pendulum biasa (direct pendulum) dan pendulum terbalik (inverted pendulum). Dewasa ini pendulum biasa maupun pendulum terbalik merupakan alat yang sangat penting dalam pendidikan dan penelitian di bidang teknik pengendalian (control engineering). Banyak hasil penelitian dicapai melalui studi terhadap sistem pendulum. Di bidang teknik, pendulum biasa dan terbalik dipakai untuk memantau pergerakan fondasi bendungan, jembatan, dermaga dan struktur bangunan lainnya. Alat pengangkat peti kemas (cranes) bekerja atas dasar pendulum biasa. Selain itu pendulum terbalik dapat dimanfaatkan untuk mendeteksi usikan gelombang seismik dalam tanah yang disebabkan oleh aktifitas seismik-makro, oseanik, dan atmosferik. Di bidang fisiologi dan ilmu olah raga, prinsip kerja pendulum terbalik banyak digunakan untuk mengkaji keseimbangan gerak manusia. Berdasarkan dari hal tersebut maka penelitian ini bertujuan menentukan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring dan menentukan karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring pada masalah tracking error optimal.Langkah pertama adalah menurunkan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar dan lintasan miring. Model tersebut berbentuk persamaan taklinear, sehingga harus dilinearkan terlebih dahulu dengan bantuan deret Taylor. Selanjutnya dengan tranformasi Laplace ditentukan fungsi transfer Px(s) dan P?(s), di mana Px ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi motor x dan P ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan sudut pendulum . Kemudian dicari pole dan zero dari fungsi transfer dengan mengasumsikan tidak ada friksi antara motor dan pendulum serta tidak ada friksi antara motor dan lintasan, 0 . Dari Px(s) dan P?(s), dapat ditentukan pole takstabil dan non yaitu minimum phase zero. Selanjutnya diturunkan ekspresi analitik bagi J yang dapat meminimumkan tracking error. Dengan menyelesaikan dJdl 0 , maka panjang pendulum optimal dapat ditentukan. Selanjutnya dilakukan simulasi antara ekspresi analitik bagi J dan panjang pendulum optimal, dari simulasi ini dapat dilihat bahwa ketika panjang pendulum sangat pendek maka nilai J sangat besar. Jika panjang pendulum diperpanjang, maka nilai J semakin kecil. Kejadian ini berlaku sampai pada satu titik minimum, setelah itu akan berubah panjang pendulum semakin panjang maka nilai J semakin besar. Titik minimum dipengaruhi oleh sudut kemiringan lintasan. Sudut kemiringan lintasan semakin besar maka titik minimumnya juga semakin besar. Sedangkan hasil simulasi antara sudut kemiringan lintasan dan panjang pendulum optimal menunjukkan bahwa untuk mendapatkan kestabilan panjang pendulum optimal sangat dipengaruhi oleh sudut kemiringan
lintasan. Sudut kemiringan lintasan semakin besar maka panjang pendulum optimal semakin pendek. Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa nilai tracking error minimal dipengaruhi oleh sudut kemiringan lintasan. Jika sudut kemiringan lintasan semakin besar, maka nilai tracking errornya juga semakin besar. Panjang pendulum minimal dipengaruhi oleh sudut kemiringan lintasan. Hubungan antara panjang pendulum minimal dan sudut kemiringan lintasan berbanding terbalik. Sudut kemiringan lintasan semakin besar maka panjang pendulum minimal semakin pendek. Karena diasumsikan bahwa rasio antara massa pendulum dan massa motor adalah konstan, maka dapat ditunjukkan bahwa tracking error optimal dapat dicapai sepanjang rasio antara massa pendulum dan massa motor adalah konstan tanpa memandang bahan dari pendulum. Kata kunci: pendulum terbalik, pemodelan, masalah tracking error.
© Hak cipta milik IPB, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2 Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL
BAMBANG EDISUSANTO
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Judul Tesis Nama NIM
: Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Tracking Error Optimal : Bambang Edisusanto : G551060171
Disetujui Komisi Pembimbing
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Anggota
Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Ketua
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Tanggal Lulus:
Dekan Sekolah Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
Tanggal Ujian: 10 Juli 2008
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2007 ini ialah masalah tracking error optimal pada sistem pendulum, dengan judul Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Tracking Error Optimal. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku pembimbing, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. yang telah banyak memberikan saran selaku penguji luar komisi dan selaku ketua Program Studi Matematika Terapan. Tak lupa ucapan terima kasih penulis sampaikan pada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan fasilitas. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
Bogor, Juli 2008 Bambang Edisusanto
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Purworejo pada tanggal 27 Agustus 1966 dari ayah Witosedono dan ibu Astuti. Penulis merupakan putra kedua dari empat bersaudara. Tahun 1986 penulis lulus dari STM Negeri Purworejo jurusan Teknik Bangunan dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IKIP Muhammadiyah Yogyakarta. Penulis memilih Jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun 1990. Tahun 1991 penulis menjadi staf pengajar di SMU Muhammadiyah 7 Yogyakarta. Pada tahun 1997 masuk PNS dan mengajar di MTs Negeri Sidoharjo Samigaluh Kulon Progo. Setahun kemudian pindah tugas mengajar di MTs Negeri Pakem. Pada tahun 2006 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor lewat jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR .............................................................................................. xiii DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................... xiv I
PENDAHULUAN ............................................................................................
1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................
1
1.2 Tujuan Penelitihan ......................................................................................
2
II LANDASAN TEORI ........................................................................................
3
2.1 Sistem Pendulum Terbalik ..........................................................................
3
2.2 Transformasi Laplace .................................................................................
4
2.3 Deret Taylor ................................................................................................
5
2.4 Persamaan Ruang Keadaan .........................................................................
6
2.5 Fungsi Transfer ...........................................................................................
7
2.6 Pole dan Zero ..............................................................................................
8
2.7 Kestabilan ...................................................................................................
9
2.8 Sistem Umpanbalik ..................................................................................... 10 2.9 Masalah Tracking Error .............................................................................. 11 III PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK ......................................
13
3.1 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar ....................................
13
3.2 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring .................................. 16 3.3 Pole dan Zero .............................................................................................. 19 IV KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL ......................................................................................................... 23 4.1 Ekspresi Analitik ........................................................................................ 23 4.2 Tracking Error Optimal ............................................................................. 24 V SIMULASI .......................................................................................................
28
VI SIMPULAN .....................................................................................................
32
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................
33
LAMPIRAN ...........................................................................................................
34
DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar ................................................
3
2. Diagram blok hubungan antara input dan output ...............................................
8
3. Sistem pengendalian dengan umpanbalik ..........................................................
10
4. Sistem pengendalian dengan umpan balik pada masalah tracking error ............ 11 5. Sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar ................................................ 13 6. Sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring .............................................
16
7. Grafik masalah tracking error ............................................................................
29
8. Grafik panjang pendulum optimal dan sudut kemiringan lintasan ....................
30
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Bukti sifat-sifat Transformasi Laplace ................................................................ 35 2. Pole dan Zero pendulum terbalik dengan lintasan datar ..................................... 38 3. Bukti Teorema 1 ................................................................................................. 41 4. Bukti Teorema 2 ................................................................................................. 44 5. Contoh penggunaan Deret Taylor ....................................................................... 46 6. Pelinearan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring .................. 47 7. Karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar .......... 49 8. Karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring ....... 54 9. Tabel panjang pendulum dan ekspresi analitik ................................................... 61 10. Tabel panjang pendulum dan kemiringan lintasan ........................................... 62
This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.
