PENGENDALIAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN UMPAN-BALIK STATE DAN OUTPUT
PUTRANTO HADI UTOMO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
ABSTRACT PUTRANTO HADI UTOMO. Inverted Pendulum Control System with State and Output Feedbacks. Supervised by TONI BAKHTIAR and JAHARUDDIN Automatic control system has played a vital role in science and technology. One of problems in automatic control system is how to control an unstable system. Broom stick balancing problem, or so called the inverted pendulum system, is one example of automatic control system problem. This paper studies the control of an inverted pendulum system by means of state and output feedbacks. Using mathematical model, it is shown that inverted pendulum is unstable system. Furthermore, the system is stabilized using state and output feedbacks. The result of the analysis shows that a controller which stabilize the system is obtained by using the pole placement method.
ABSTRAK PUTRANTO HADI UTOMO. Pengendalian Sistem Pendulum Terbalik dengan Umpan-balik State dan Output. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan JAHARUDDIN Sistem pengendalian automatis memainkan peran yang sangat penting di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Salah satu masalah dalam sistem pengendalian automatis adalah bagaimana menstabilkan suatu sistem yang takstabil. Salah satu contoh sederhana masalah sistem pengendalian automatis adalah broom stick balancing problem (pengendalian sistem pendulum terbalik). Karya ilmiah ini membahas pengendalian sistem pendulum terbalik dengan menggunakan umpan-balik state dan output. Dengan menggunakan model matematis, dapat ditunjukkan bahwa pendulum terbalik merupakan sistem yang takstabil. Lebih lanjut, dilakukan upaya penstabilan sistem pendulum terbalik tersebut dengan menggunakan umpan balik state dan output. Dari analisis yang dilakukan, pengendali yang menstabilkan sistem diperoleh dengan menggunakan metode pole placement.
PENGENDALIAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN UMPAN-BALIK STATE DAN OUTPUT
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
PUTRANTO HADI UTOMO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Judul Skripsi : Pengendalian Sistem Pendulum Terbalik dengan Umpan-balik State dan Output Nama : Putranto Hadi Utomo NRP : G54050220
Menyetujui : Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. 19720627 199702 1 002
Dr. Jaharuddin, MS. 19651102 199302 1 001
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. H. Hasim, DEA 19610328 198601 1 002
Tanggal Lulus
:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. Judul skripsi ini adalah Pengendalian Sistem Pendulum Terbalik Dengan Umpan-balik State dan Output. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada : 1. Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc., Bapak Dr. Jaharuddin, MS., dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, Msi selaku dosen pembimbing dan penguji yang telah memberi bimbingan, masukan, dorongan, nasihat serta segala bantuan sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan. 2. Ayah, ibu, dan adik yang selalu memberi kasih sayang, perhatian, dukungan moril dan materi. 3. Semua staf dan dosen pengajar Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat selama menuntut ilmu di Departemen Matematika. 4. Sahabat yang selalu memberi kebahagiaan, semangat, tantangan, perhatian, bantuan, inspirasi, doa, dan kasih sayang. 5. Teman-teman mahasiswa departemen Matematika, terutama angkatan 42. Terimakasih atas segala persahabatan yang telah kita jalin selama empat tahun ini. Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari kesempurnaan dan penulis sangat menghargai segala saran dan kritik yang membangun dari pembaca. Penulis juga mengharapkan tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan. Terimakasih.
Bogor, Juni 2009
Penulis
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 7 September 1986 sebagai anak pertama dari 4 bersaudara pasangan Bapak Hadi Sumarno dan Ibu Dwi Ananingsih. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SDN Panaragan 2 Kodya Bogor lulus pada tahun 1999, SLTPN 1 Darmaga Kab. Bogor lulus pada tahun 2002, SMAN 5 Bogor lulus pada tahun 2005, dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan seleksi Masuk IPB). Pada tahun 2006, penulis diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten praktikum Algoritma dan Pemograman pada tahun 2007 dan asisten praktikum Analisis Numerik S2 pada tahun 2008. Penulis juga aktif di GUMATIKA dan pernah mengikuti beberapa kepanitiaan diantaranya adalah Pesta Sains 2007 dan Pelatihan Komputer 2007.
DAFTAR ISI 1
PENDAHULUAN ............................................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ............................................................................................................ 1 1.2 Tujuan ......................................................................................................................... 1 1.3 Sistematika Penulisan .................................................................................................. 1
2
LANDASAN TEORI ........................................................................................................... 2 2.1 Transformasi Laplace .................................................................................................. 2 2.2 Sistem .......................................................................................................................... 2 2.3 Sistem Umpan-balik .................................................................................................... 2 2.4 Persamaan Ruang Keadaan ......................................................................................... 3 2.5 Fungsi Transfer ........................................................................................................... 4 2.6 Pole dan Zero .............................................................................................................. 4 2.7 Bentuk Kanonik........................................................................................................... 5 2.8 Keterkontrolan ............................................................................................................. 6 2.9 Kestabilan .................................................................................................................... 6 2.10 Step Response .............................................................................................................. 7 2.11 Ramp Response ........................................................................................................... 7
3
MODEL PENDULUM TERBALIK .................................................................................... 8 3.1 Pendulum Terbalik ...................................................................................................... 8 3.1.1 Daftar lambang dan istilah ...................................................................................... 8 3.1.2 Asumsi .................................................................................................................... 9 3.1.3 Formulasi Model ..................................................................................................... 9 3.1.4 Representasi Matriks ............................................................................................. 10 3.2 Kestabilan Model Pendulum Terbalik ....................................................................... 11 3.2.1 Umpan-balik State dan Pole Placement ................................................................ 11 3.2.2 Umpan-balik State dan Output .............................................................................. 15
4
SIMULASI ......................................................................................................................... 17 4.1 Tanpa Umpan-balik ................................................................................................... 17 4.2 Dengan Umpan-balik ................................................................................................ 17 4.2.1 Umpan-balik State ................................................................................................ 17 4.2.2 Umpan-balik State dan Output .............................................................................. 19
5
KESIMPULAN DAN SARAN .......................................................................................... 21
DAFTAR PUSTAKA................................................................................................................ 22 LAMPIRAN .............................................................................................................................. 23
DAFTAR GAMBAR 1 Contoh skema dari sebuah sistem ................................................................................................. 2 2 Contoh skema dari sistem kontrol otomatis .................................................................................. 3 3 Grafik step response untuk persamaan (2.22) ............................................................................... 7 4 Grafik ramp response untuk persamaan (2.22) ............................................................................. 7 5 Model dari pendulum terbalik ....................................................................................................... 8 6 Sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state .................................................................. 12 7 Sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output ................................................ 15 8 Solusi untuk posisi tanpa adanya reference input ....................................................................... 17 9 Step response untuk sistem awal dari pendulum terbalik. ........................................................... 17 10 Ramp response untuk sistem awal dari pendulum terbalik ....................................................... 17 11 Solusi untuk posisi tanpa adanya reference input ..................................................................... 18 12 Step response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state ........................ 18 13 Ramp response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state ...................... 19 14 Solusi untuk posisi tanpa adanya reference input ..................................................................... 19 15 Step response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output....... 20 16 Ramp response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output.... 20 17 Sintaks matlab untuk pole placement ........................................................................................ 39 18 Sintaks matlab untuk menghasilkan Gambar 9 ......................................................................... 40
DAFTAR LAMPIRAN 1 Bukti Sifat-Sifat Transformasi Laplace ....................................................................................... 24 2 Proses Penjabaran ............................................................................................................ 26 3 Bukti Teorema 1 .......................................................................................................................... 27 4 Bukti Teorema 2 .......................................................................................................................... 28 5 Bukti Teorema 3 .......................................................................................................................... 30 6 Proses Pencarian Fungsi Transfer Pendulum Terbalik ................................................................ 31 7 Sistem Pendulum Terbalik dalam Bentuk Kanonik .................................................................... 32 8 Pemilihan umpan-balik state dengan menggunakan formula Ackermann .................................. 34 9 Proses perhitungan/pencarian vektor ....................................................................................... 36 10 Sintaks MATLAB yang digunakan untuk mencari vektor K dan simulasi. .............................. 39 11 Bukti Teorema Cayley-Hamilton .............................................................................................. 41 12 Penjabaran ........................................................................................................................ 42 13 Interpolasi Lagrange-Sylvester.................................................................................................. 43
1 1.1
PENDAHULUAN
Latar Belakang Sistem pengendalian (control system) memainkan peran yang penting di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya dalam bidang industri. Di bidang industri, sistem pengendalian merupakan sebuah sistem yang meliputi pengendalian variabel-variabel seperti temperatur, tekanan, aliran, dan kecepatan. Variabel-variabel ini merupakan keluaran yang harus dijaga tetap sesuai dengan keinginan yang telah ditetapkan terlebih dahulu oleh operator. Suatu sistem dikendalikan agar variabel keluaran dijaga tetap pada kondisi tertentu. Sistem pengendalian dapat diklasifikasikan menjadi dua sistem. Pertama adalah sistem pengendalian secara manual (open loop controls). Dalam sistem ini, proses pengaturannya dilakukan secara manual oleh operator dengan mengamati keluaran secara visual, kemudian dilakukan koreksi terhadap variabel-variabel kontrolnya untuk mempertahankan hasil keluarannya. Sistem pengendalian tersebut bekerja secara open loop, artinya sistem pengendalian tidak dapat melakukan koreksi variabel untuk mempertahankan hasil keluarannya. Perubahan ini dilakukan secara manual oleh operator setelah mengamati hasil keluarannya melalui alat ukur atau indikator. Sistem ke dua adalah sistem pengendalian otomatis (closed loop controls). Dalam sistem ini, dilakukan koreksi variabel-variabel kendalinya secara otomatis, dikarenakan ada untai tertutup (closed loop) sebagai umpanbalik (feedback) dari hasil keluaran, kembali menuju ke masukan setelah dikurangkan dengan nilai setpointnya. Pengaturan secara untai tertutup ini (closed loop controls), tidak memerlukan operator untuk melakukan koreksi variabel-variabel kendalinya, melainkan dilakukan secara otomatis dalam sistem pengendalian itu sendiri. Dengan demikian keluaran akan selalu dipertahankan berada pada kondisi stabil sesuai dengan setpoint yang ditentukan. Dalam tulisan ini akan dikaji masalah pengendalian sistem pendulum terbalik (inverted pendulum system). Ilustrasi yang sederhana untuk menjelaskan pendulum
terbalik adalah ketika seseorang bermain dengan tongkat dan berusaha untuk menegakkan dan menyeimbangkannya di ujung jari. Dewasa ini pendulum maupun pendulum terbalik merupakan alat yang sangat penting dalam pendidikan dan penelitian di bidang teknik pengendalian (control engineering). Berbagai teori pengendalian (control theory) banyak dievaluasi dan dibandingkan melalui pengujian sistem pendulum dan dibandingkan melalui studi terhadap sistem pendulum. Hal tersebut dikarenakan sistem pendulum memiliki karakteristik sebagai berikut: 1. Tak linear dan takstabil. 2. Dapat dilinearkan di sekitar titik kesetimbangan. 3. Kompleksitasnya dapat ditingkatkan. 4. Mudah diterapkan dalam sistem aktual. Di bidang teknik, pendulum biasa dan terbalik dipakai untuk memantau pergerakan pondasi bangunan seperti bendungan, jembatan dan dermaga. Cara kerja pengangkat peti kemas (cranes) juga didasarkan pada pendulum biasa. Selain itu, pendulum terbalik dapat dimanfaatkan untuk mengkaji keseimbangan gerak manusia. (Ogata 1997) 1.2
Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk mengkaji pengendalian sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output. 1.3
Sistematika Penulisan Secara umum, tulisan ini membahas tentang teori pengendalian (control system). Di dalam tulisan ini, akan dijelaskan terlebih dahulu teori-teori yang berkaitan dengan sistem pengendalian (control system). Setelah itu, dalam Bab 3 akan diberikan contoh kasus pengendalian sistem pendulum terbalik dengan menggunakan umpan-balik state dan output. Selanjutnya, dilakukan simulasi dengan menggunakan software MATLAB untuk memverifikasi hasil yang diperoleh. Terakhir, diberikan kesimpulan dan saran untuk tulisan ini.
2
LANDASAN TEORI
2.1
Transformasi Laplace Tranformasi Laplace adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk mempermudah menyelesaikan persamaan diferensial. Dengan menggunakan transformasi Laplace, persamaan diferensial dapat ditransformasi ke dalam persamaan aljabar. Didefinisikan f t adalah fungsi terhadap waktu t, s adalah variabel kompleks, dan adalah transformasi Laplace dari . Dengan syarat f t adalah fungsi yang bernilai nol ketika t<0. Transformasi Laplace memiliki sifat-sifat sebagai berikut: Misalkan dan , maka: 1. 2. 3. 4.
= ; 0 0
0 .
Bukti: Lihat Lampiran 1 (Farlow 1994) 2.2
Sistem Sistem adalah suatu kesatuan yang terdiri atas komponen atau elemen yang dihubungkan bersama untuk memudahkan aliran informasi, materi, atau energi. Istilah ini sering dipergunakan untuk menggambarkan suatu kumpulan entitas yang berinteraksi, di mana suatu model matematika seringkali bisa dibuat. Gambar 1 menunjukkan suatu contoh skema dari sebuah sistem.
Gambar 1. Contoh skema dari sebuah sistem Suatu sistem dikatakan sistem kontinu (continous-time system) apabila sistem tersebut dapat menerima input berupa continous-time signal dan menghasilkan output yang berupa continous–time signal pula. Sistem diskret (discrete-time system) dicirikan dengan input yang berupa discretetime signal dan menghasilkan output yang berupa discrete–time signal. Kedisktretan suatu sistem dapat pula dilihat dari perubahan keadaan sistem dari waktu ke waktu. Jika perubahan keadaan yang terjadi hanya pada waktu tertentu, bukan pada setiap titik waktu,
maka dikatakan sistem diskret, dalam hal lain dikatakan sistem kontinu. Sistem kontinu dapat dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial. Sebagai contoh, Hukum Newton ke-2, yang menyatakan bahwa sebuah benda dengan massa m konstan akan dipercepat sebanding dengan gaya f yang bekerja padanya dan berbanding terbalik dengan massanya , dengan v adalah kecepatan benda. Sistem diskret direpresentasikan dalam bentuk persamaan beda. Sebagai contoh adalah banyaknya uang setelah k+1 periode adalah P(k+1)=(1+i)P(k), dengan i adalah suku bunga yang berlaku. 2.3
Sistem Umpan-balik Sistem yang mengatur hubungan antara nilai output dan reference input sehingga perbedaan di antara keduanya kecil disebut sistem umpan-balik (feedback control system). (DiStefano 1990) Sebagai contoh adalah pendingin ruangan (AC). Dengan mengukur suhu ruangan dan membandingkannya dengan suhu yang diinginkan (reference temperature), sistem AC akan mengaktifkan/menonaktifkan pendingin/pemanas sedemikian rupa sehingga suhu ruangan menjadi nyaman. Umpan-balik digunakan sebagai sinyal yang memengaruhi pengendalian sistem. Umpan-balik merupakan ciri khusus dari sistem yang mempunyai sasaran pengendalian. Contoh konfigurasi dari sebuah sistem kontrol otomatis (closed-loop control system) dapat dilihat pada Gambar 2. Sistem umpan-balik yang paling sederhana melibatkan tiga komponen, yaitu plant atau sistem P yang akan dikendalikan, controller atau pengendali K yang harus didesain sehigga menghasilkan input kendali tertentu, dan sensor F yang mencatat states dari sistem sebagai umpan-balik. Masalah utama dalam sistem umpan-balik adalah mendesain pengendali K sedemikian sehingga sistem menjadi stabil. Pemilihan umpan-balik u dapat bervariasi, di antaranya adalah , dengan adalah variabel keadaan. Umpan-balik u yang sedemikian rupa dinamakan umpan-balik state (state feedback). Selain itu, umpan-balik u dapat pula berupa kombinasi linear dari output pada sistem tersebut, yang dinamakan umpanbalik output (output feedback).
3
Gambar 2. Contoh skema dari sistem kontrol otomatis
2.4
Persamaan Ruang Keadaan Keadaan (state) dari sistem dinamik adalah himpunan dari variabel keadaan di mana informasi dari variabel tersebut pada saat 0 dan informasi dari input pada saat 0 cukup untuk menggambarkan perilaku dari sistem tersebut pada suatu waktu 0. Variabel keadaan (state variable) dari sistem dinamik adalah variabel yang dapat menggambarkan keadaan sistem pada waktu tertentu jika diberikan input dan nilai awal. Vektor keadaan adalah kumpulan dari variabel keadaan yang dapat menjelaskan perilaku sistem secara keseluruhan. Ruang keadaan (state space) adalah ruang berdimensi-n yang memiliki koordinat , ,…, . Persamaan ruang keadaan (state-space equation) dari sistem dinamik mengandung tiga hal, yaitu variabel input (input variable), variabel output (output variable) dan variabel keadaan (state variable). Persamaan ruang keadaan dari suatu sistem dapat bervariasi, sesuai dengan definisi awal dari variabel-variabel dari suatu sistem. Misalkan suatu sistem memiliki state sejumlah n (persamaan diferensial biasa berdimensi n), input sebanyak r, dan output sebanyak m. Misalkan pula , ,…, , , , … , . Maka, sistem tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: , , , , , , (2.1) , , . Sedangkan output dari sistem diberikan sebagai berikut: , , , , , , (2.2) , , .
Persamaan (2.1) dan (2.2) dapat dituliskan dalam notasi vektor sebagai berikut: , , , ,
(2.3) (2.4)
dengan ,
, ,
, ,
, , , , , , , , , , ,
.
, , Jika vektor fungsi f, g bergantung kepada peubah t, maka persamaan (2.3) dan (2.4) disebut sistem time-variying. Jika sistem tersebut dilinearkan, maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan outputnya dapat dituliskan sebagai berikut: (2.5) (2.6) dengan , , , merupakan matriks-matriks yang bergantung waktu t. Jika vektor f dan g tidak bergantung terhadap waktu t, maka persamaan (2.3) dan (2.4) disebut sistem time-invariant. Dalam kasus ini, sistem tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: (2.7) (2.8) dengan , , , adalah matriks-matriks bernilai real, x adalah vektor peubah keadaan (state variable), y adalah output sistem, dan u adalah input kendali.
4
Sistem pada persamaan (2.7) dan (2.8) dapat ditulis dalam bentuk ∑ , , , , , , , dengan . Misalkan sebuah sistem dengan model matematika
m
d 2z dz +b + kz = u 2 dt dt
(2.9)
akan dimodelkan dalam bentuk persamaan ruang kedaan. Persamaan (2.9) dapat dituliskan
Fungsi transfer didefinisikan sebagai rasio antara fungsi output terhadap fungsi input, atau Y (s) P(s) = = C ( sI − A) −1 B + D. (2.16) X (s) Sebagai contoh, akan dicari fungsi transfer untuk sistem pada persamaan (2.9). Dari definisi fungsi transfer dan dari persamaan (2.14) dan (2.15), diperoleh
1 0
. Didefinisikan peubah keadaan , serta output dan Secara eksplisit, persamaan (2.9) dituliskan
0 1
(2.11)
1 0
Dalam bentuk matriks, persamaan (2.10) dan (2.11) menjadi
0 1
⎡ 0 ⎡ x1 ⎤ ⎢ = ⎢ x ⎥ ⎢ k ⎣ 2 ⎦ ⎢− ⎣ m
1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ x1 ⎤ b ⎥⎥ ⎢ ⎥ + ⎢⎢ 1 ⎥⎥ u − ⎣ x2 ⎦ ⎢ ⎥ m ⎥⎦ ⎣m⎦
.
1 0
=
(2.12)
dan output (2.13)
Persamaan (2.12) dan (2.13) dapat pula dituliskan
0
1
0 1 ,
, 1 0,
1
1
1 . ms + bs + k
(2.17)
2
Fungsi transfer pada persamaan (2.17) dapat diperoleh tanpa harus mencari persamaan ruang keadaan terlebih dahulu. Dengan melakukan transformasi Laplace terhadap persamaan (2.9), fungsi transfer dapat diperoleh. Hasil transformasi Laplace untuk persamaan (2.9) adalah
(2.14) (2.15) dengan
0 1
1 0
(2.10)
k b 1 x2 = − x 1 − x 2 + u . m m m
1
0
0 1 . dapat
0
0
0
0
0 .
(2.18)
Dengan mengasumsikan nilai awal dari sistem pada persamaan (2.9) sama dengan nol ( 0 0, 0 0), persamaan (2.18) dapat dituliskan
0.
. .
(Ogata 1997) 2.5
Fungsi Transfer Fungsi transfer (transfer function) adalah suatu fungsi yang menghubungkan antara output sistem dengan input sistem. Hasil transformasi Laplace dari persamaan (2.7) dan (2.8) adalah .
Berdasarkan definisi fungsi transfer, yaitu rasio terhadap , diperoleh 1
2.6
.
Pole dan Zero Fungsi transfer pada persamaan (2.16) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi rasional sebagai berikut
5
1 0 0
1 0
1 dengan pembilang dan penyebut . Pole dari sistem didefinisikan sebagai akar dari persamaan 0. Jika nilai real dari akar persamaannya ada yang positif, sistem tersebut tidak stabil, sedangkan jika semua akar persamaannya bernilai negatif, sistem tersebut merupakan sistem yang stabil. Sedangkan zero dari sistem didefinisikan sebagai akar dari persamaan 0. Dari pole dan zero dari suatu sistem, sistem dapat dibedakan menjadi minimumphase system dan nonminimum-phase system. Suatu sistem dikatakan minimum-phase system jika fungsi transfernya tidak memiliki pole maupun zero yang bernilai positif. sedangkan suatu sistem disebut sebagai nonminimum-phase system jika memiliki pole atau zero yang bernilai positif. (Ogata 1997)
dengan adalah koefisien dari persamaan karakteristik
2.7
(lihat Lampiran 2),
Bentuk Kanonik Suatu sistem linear yang bersifat timeinvariant dikatakan dalam bentuk kanonik (canonical form), jika persamaan ruang keadaannya dalam bentuk 0 0
1 0
0 1
0 0
0
0
0
1
0 0 0 1
|
.
Didefinisikan pula . Selanjutnya, akan ditunjukkan
0 0
1 0
0 1 .
(2.19)
Dengan mensubstitusikan 0 0 1 0 0 1
persamaan (2.19) dapat dituliskan 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0
0 1 .
Selanjutnya, perlu ditunjukkan 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Dapat dilihat bahwa 0 0 1 0 0 1
dan . Sistem dapat ditransformasi ke dalam bentuk kanonik dengan cara memilih matriks transformasi sedemikian memiliki bentuk yang sehingga identik dengan koefisien dan memiliki bentuk yang identik dengan koefisien . (Warwick 1996) Misalkan suatu sistem yang terkontrol didefinisikan sebagai berikut
dengan
|
adalah matrks berukuran 3
Didefinisikan matriks
dan ,
, yaitu:
3.
0 0 1 0 0 1
1 0
0 0
1
0 1 0
1 1 0 0 0
1 0 0
1 0
1 0 0 1 0
0 0
1 0
0 1
0 1 .
Selanjutnya akan ditunjukkan pula
0 1 .
6
0 0. 1
(2.20)
melihat pangkat dari matriks , yaitu matriks controllability, yang didefinisikan sebagai berikut
Persamaan (2.20) sama dengan 0 0 1
.
0 0 1
Teorema 1
1 0
1 1 0 0
Jika pangkat dari dari matriks penuh, maka suatu sistem controllable, jika tidak, maka sistem tersebut uncontrollable.
1 0 0 0 0 1
Bukti: Lihat Lampiran 3 Misalkan diberikan sistem dengan model
.
Keterkontrolan dikatakan reachable dari State pada waktu , jika ada sembarang state sehingga
1 0
2.8
,
,
1 1
1 0
.
Sistem di atas dikatakan tidak terkontrol, karena 1 1 singular. 0 0
.
Suatu sistem controllable jika ada variabel kontrol yang mampu mentransfer sistem ke state yang lain , dari state . dengan (Ogata 1997)
Contoh untuk sistem yang terkontrol adalah
Misalkan diberikan persamaan berikut:
0 1 nonsingular, 1 1 dengan kata lain berpangkat penuh.
sistem
2
dengan (2.21)
dengan nilai awal 0 0 dan 0 0. Misalkan , dengan konstan. Solusi umum dari persamaan (2.21) adalah 1 . 2 Dari nilai awal yang diberikan, maka diperoleh solusi khusus persamaan diferensial (2.21) sebagai berikut 1 6
1 3 , maka
Misalkan 1 6
1 . 2
1 3
1 2
1 2
1 1
0 1
,
karena atau
2.9
Kestabilan Sistem yang didefinisikan pada persamaan (2.7) dan (2.8) dikatakan sup ∞ • Stabil, jika lim untuk setiap solusi dari persamaan . • Stabil asimtotik, jika sup ∞ untuk setiap lim solusi dari persamaan . • Takstabil, jika ada solusi dari persamaan dengan sup ∞ atau lim sup ∞. lim (Edisusanto 2008) Ada dua teorema yang berkaitan dengan nilai eigen dan poles dari suatu sistem, yaitu:
dengan 1 6
1 3
1 2
.
Karena terdapat input pengendali dapat dicapai sedemikian sehingga state dari sembarang state , maka sistem pada persamaan (2.21) merupakan sistem yang terkontrol. Untuk dapat melihat kekontrolan dari suatu sistem, dapat pula dilakukan dengan
Teorema 2 Misalkan matriks dari sistem Σ pada persamaan (2.7) dan (2.8) memiliki nilai eigen , , … . Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: • Sistem Σ stabil jika dan hanya jika Re 0 untuk semua i. • Sistem Σ stabil asimtotik jika dan hanya 0 untuk semua i. jika Re
7
• Sistem Σ takstabil jika dan hanya jika Re 0 untuk suatu i. Bukti: lihat Lampiran 4 Teorema 3
/
1
.
Dengan memisalkan 1, grafik step response untuk sistem ∑ dapat dilihat pada Gambar 3
Misalkan suatu sistem Σ pada persamaan , ,… . (2.7) dan (2.8) memiliki pole Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: • Sistem Σ stabil jika dan hanya jika Re 0 untuk semua i. • Sistem Σ stabil asimtotik jika dan hanya jika Re 0 untuk semua i. • Sistem Σ takstabil jika dan hanya jika Re 0 untuk suatu i. Bukti: lihat Lampiran 5 2.10 Step Response Unit step function adalah suatu fungsi yang tidak kontinu yang bernilai nol pada saat variabelnya bernilai negatif dan bernilai satu jika variabelnya bernilai positif. Fungsi berikut adalah fungsi tangga satuan, 0, 1,
0 . 0
Transformasi Laplace dari fungsi tangga satuan adalah 1 .
1
Step response dari suatu sistem adalah nilai dari perubahan output terhadap waktu dengan input berupa unit step function. Misalkan sebuah sistem ∑ didefinisikan dengan fungsi transfer sebagai berikut C ( s) 1 = (2.22) R( s) Ts + 1 dengan input berupa unit step dan adalah konstanta waktu. Dengan mensubstitusikan transformasi Laplace untuk fungsi unit step ke dalam persamaan (2.22), diperoleh 1 1
1 1 T
Gambar 3. Grafik step response untuk persamaan (2.22) 2.11 Ramp Response Ramp function didefinisikan 0, ,
0 . 0
Ramp response dari suatu sistem adalah nilai dari perubahan output terhadap waktu dengan input berupa ramp function. Misalkan akan dicari ramp response untuk fungsi transfer pada persamaan (2.22). Karena Transformasi Laplace untuk ramp function 1 adalah 2 , maka s 1 1 (2.24) C (s) = × . Ts + 1 s 2 Inverse transformasi laplace untuk persamaan (2.24) adalah −
t
c(t ) = t − T + e T T . Dengan memisalkan 1, grafik ramp response untuk sistem pada persamaan (2.22) dapat dilihat pada Gambar 4. 10 9 8 7 6 5 4
1
3 2
1 1 . (2.23) = − s s + (1/ T ) Dengan melakukan inverse dari transformasi laplace untuk persamaan (2.23), diperoleh
1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Gambar 4. Grafik ramp response untuk persamaan (2.22)
3 3.1
MODEL PENDULUM TERBALIK
Pendulum Terbalik Pendulum terbalik (inverted pendulum) adalah sebuah bandul di mana massa dari bandul tersebut berada di atas titik tumpunya. Dalam kasus ini titik tumpu tersebut ditempatkan pada sebuah kereta yang dapat digerakkan dalam arah mendatar (horizontal). Berbeda halnya dengan pendulum normal (tidak terbalik) yang bersifat stabil, pendulum terbalik memiliki sifat yang tidak stabil, sehingga harus diatur sedemikian rupa agar pendulum tetap tegak dengan cara memberikan gaya pada titik tumpunya atau pada kereta. Gambar 5 adalah sebuah contoh dari pendulum terbalik. Dalam kasus ini, kereta yang dilengkapi motor hanya dapat bergerak dalam garis lurus (horizontal), dan pendulum
yang diletakkan di atas kereta bergerak (berotasi) dalam bidang yang sama. Gaya diberikan kepada mobil melalui motor yang terdapat di kereta. Tanpa adanya gaya yang sesuai, pendulum akan jatuh. Dengan adanya umpan-balik, motor pada kereta akan memberikan gaya yang sesuai sehingga pendulum tetap dalam keadaan tegak. 3.1.1 Daftar lambang dan istilah Berikut ini lambang dan istilah yang digunakan. : sudut antara pendulum dengan garis vertikal, : berat kereta, : berat pendulum, ,
Gambar 5. Model dari pendulum terbalik
9
2.
,
Gaya yang bekerja pada kereta dalam sumbu x.
, .
, ,
3.
: koordinat dari pusat gravitasi pendulum, : momen inersia, : koefisien dari viscous friction antara pendulum dan kereta, : koefisien dari viscous friction antara kereta dengan lantai, : vertical reaction force pada pendulum, : horizontal reaction force pada pendulum, : gaya/input yang diberikan pada kereta, : rasio antara massa dan panjang pendulum.
3.1.2 Asumsi Berikut adalah asumsi-asumsi dalam memodelkan pendulum terbalik: 1. Gaya gesek yang diamati hanya viscous friction (gaya gesekan). 2. dan kecil. 3. Pendulum berbentuk bola pejal. 4. Pendulum homogen (rapat massa di setiap titik pada pendulum sama), . sehingga (momen inersia) 1 3 5. Perbandingan massa dan panjang pendulum adalah konstan
.
3.1.3 Formulasi Model Berikut ini akan diturunkan model matematik untuk sistem pendulum terbalik. Setelah mendapatkan model matematik untuk sistem pendulum terbalik, akan dilihat kestabilan dari sistem tersebut. Kemudian, akan dilakukan pengendalian terhadap sistem pendulum terbalik. Dari Gambar 5, diperoleh: sin cos .
Gaya yang bekerja pada pendulum dalam sumbu x di sekitar pusat gravitasi pendulum.
sin . 4.
Gaya yang bekerja pada pendulum dalam sumbu y di sekitar pusat gravitasi pendulum.
0
.
sin
cos .
(3.3)
(3.6)
Jika persamaan (3.5) disubstitusikan ke persamaan (3.4), maka diperoleh .
(3.7)
Jika persamaan (3.6) disubstitusikan ke persamaan (3.3), maka diperoleh
. (3.8) Agar diperoleh persamaan state space linear untuk , persamaan (3.7) harus merupakan fungsi dari turunan yang lebih rendah (function of lower order terms) saja. Untuk itu, harus dieliminasi dari persamaan (3.7), dan diperoleh . atau
(3.1) (3.2)
Rotational motion (gerak rotasi) dari pendulum di sekitar pusat gravitasi pendulum (center of gravity).
(3.5)
cos
Berdasarkan Hukum Newton, persamaan gerak pada pendulum dapat dibagi menjadi: 1.
(3.4)
. atau
10
⎛ (ml ) 2 g η ml ⎞ θ+ θ +u⎟ ⎜ −ζ x − 2 + + ml 2 ) ( ) ( I ml I ⎝ ⎠. x= ⎡ (ml ) 2 ⎤ ⎢ M + m − ( I + ml 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ (3.9)
0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −ml ⎢ ⎥ ( M + m) ⎢ ⎥ 2 (ml ) ⎤ ⎥ ⎢ ⎡ 2 ⎢ ⎢ I + ml − M + m ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ +⎢ u ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢⎡ 2 ⎤⎥ ⎢ ⎢ M + m − (ml ) ⎥ ⎥ ⎢⎢ ( I + ml 2 ) ⎥⎦ ⎥⎦ ⎣⎣
Persamaan berikut diperoleh dengan cara mengeliminasi dari persamaan (3.8)
(3.11)
dengan 1
0,
1,
0,
0,
, . ,
(3.10) 3.1.4 Representasi Matriks Misalkan vektor
0, ,
dan sebagai output dari sistem. Berdasarkan pemisalan vektor dan dari persamaan (3.9) dan (3.10), diperoleh
0,
0,
0,
1, ,
1
, 0, . 1
Sedangkan output dari sistem yang akan diamati adalah posisi kereta, sehingga 0 0 1 0
.
(3.12)
, sehingga sistem dinamik dari pendulum terbalik dapat dirumuskan dalam bentuk matriks sebagai berikut
Sistem dengan representasi matriks seperti pada persamaan (3.11) dan (3.12) dinamakan sistem SISO (single input single output). Jika sudut antara pendulum dengan garis vertikal ingin diamati juga, output dari sistem dapat ditambahkan menjadi
11
1 0 0 0 0 0 1 0
.
Sistem dengan jumlah output lebih dari satu dinamakan single input multiple output system. Untuk selanjutnya, yang menjadi perhatian utama adalah posisi kereta, sehingga output sistem pendulum terbalik akan menggunakan persamaan (3.12). Persamaan (3.11) dan (3.12) merupakan salah satu dari sekian banyak representasi state space dari pendulum terbalik. Sistem pendulum terbalik dapat pula direpresentasikan dengan menggunakan fungsi transfer. Fungsi transfer yang ekivalen dengan persamaan (3.11) dan (3.12) adalah:
.
(3.13) dengan 0 1 4 0 3 4 0 3
4 0 4
1 0 0 0 0 0 0 0 1
,
0 0 0
,
4 0 0 1 0. 3.2
0, 3 ,
1
Kestabilan Model Pendulum Terbalik Berikut ini akan dikaji kestabilan dari sistem pendulum terbalik tersebut, dengan
4
.
3.2.1
Umpan-balik State dan Pole Placement Dari akar ciri yang diperoleh, dapat dilihat bahwa sistem pendulum terbalik tidak stabil. Sistem pada persamaan (3.13) tersebut dapat distabilkan dengan cara memilih sinyal input/kontrol yang tepat. Persamaan sistem dinamik dari pendulum terbalik adalah .
(Proses penurunan fungsi transfer diberikan pada Lampiran 6) Dalam kasus ini, beberapa parameter akan dimisalkan untuk mempermudah perhitungan, yaitu: 1, 0, 0, , 1 . 3 Dengan menggunakan permisalan tersebut, persamaan (3.11) dan (3.12) dapat dituliskan sebagai berikut
3
melihat akar ciri (nilai eigen) atau poles dari matrik pada persamaan (3.13). Jika semua nilai eigennya bernilai negatif, maka sistem tersebut merupakan sistem yang stabil, karena 0, pada saat ∞. Akar ciri dari matriks adalah:
Dengan
(3.14)
mensubstitusikan sinyal kontrol , sistem pada persamaan (3.14) akan
menjadi . Diagram balok untuk sistem pada persamaan (3.14) dapat dilihat pada Gambar 6. Selanjutnya, akan dipilih vektor yang berukuran 1 4 sedemikian rupa sehingga memiliki nilai eigen yang dikehendaki. Proses mendapatkan dinamakan pole placement. Syarat agar pole placement dapat dilakukan adalah dengan melihat apakah sistem tersebut terkontrol ataukah tidak. Jika suatu sistem terkontrol, maka pole placement dapat dilakukan. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem untai tertutup , ,…, . Dengan adalah memilih matriks penyesuai (gain matrix) yang sesuai (dalam kasus ini vektor ), dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil memiliki poles yang diinginkan. Sebagai contoh, misalkan suatu sistem didefinisikan sebagau berikut x = Ax + u (3.15) dengan 0 1 0 0 0 0 1 , 0. 1 5 6 1
12
Gambar 6. Sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state Sistem pada persamaan (3.15) memiliki poles di 0.38 0.055 , dan 6,7614. Poles tersebut menunjukkan bahwa sistem diatas tidak stabil. Dengan menggunakan umpan-balik state , sistem tersebut akan dipaksa untuk memiliki poles di 2 4 dan 10. Selanjutnya, perlu dilihat keterkontrolan dari sistem tersebut. Matriks dari sistem tersebut adalah 0 0 1
0 1 6
1 6. 41
4 14
Sedangkan |
1
0
dengan 0 3 ,
0 4 4 3 4 0 4
,
4 0
0 1
9 4
4 9
|
5 6
Oleh karena | dengan persamaan dikehendaki, maka 6 5 1
(3.16)
2 4 10 60 200.
1
14, 60, 200.
Sehingga diperoleh
0 1 6 5
20 .
Dalam kasus sistem pendulum terbalik, matriks controllability adalah sebagai berikut:
4
Dapat dilihat bahwa matriks dari sistem tersebut berpangkat penuh, sehingga pole placement dapat dilakukan. Selanjutnya, akan dicari vektor sehingga | | sama dengan persamaan karakteristik dari poles yang dikehendaki. Persamaan karakteristik yang dikehendaki adalah: 2
201 65
4
0 4 1
9 4 1.
4 9
| harus sama karakteristik yang
4 Karena
det
,
0
.
4 0 0,
maka
matiks berpangkat penuh, sehingga persamaan (3.13) merupakan sistem yang terkontrol. Agar persamaan (3.13) merupakan sistem | dipaksa yang stabil, nilai dari |
13
sama dengan nilai dari persamaan karakteristik yang dikehendaki (dengan cara menaruh pole di posisi stabil). Pole yang di 1,2,3,4 ; kehendaki adalah 2 2√3i, 10,
3
2
2√3i 10 4 16 24 196
= s4 +
2 2√3i, 10,
2
−3 g (1 + lϕ ) 2 s = 0. l (4 + lϕ )
196,
3
0 3
1
0 1
4
1 4 0 1
2√3i
0
1 0
1 0
0 0 0 0 (3.18)
Didefinisikan pula vektor , dengan .
20 100 720 1600 0 720,
Karena pangkat dari penuh, maka memiliki inverse, sehingga persamaan (3.13) dapat ditransformasi menjadi
1600.
Untuk memudahkan percarian vektor , state equation pada persamaan (3.13) akan ditransformasi ke dalam bentuk kanonik. Untuk mentransformasi persamaan (3.13), didefinisikan matriks transformasi , yaitu
.
(3.19)
Misalkan persamaan karakteristik yang dikehendaki adalah 0 (3.20) sedemikian sehingga sistem terbalik stabil. Misalkan pula
pendulum .
adalah matriks controllability,
dengan yaitu:
. 1 0
1 0
0 0
0 0
dengan adalah koefisien polinom dari persamaan karakteristik |
|
.
Dalam kasus ini persamaan karakteristik dari sistem pendulum terbalik adalah: 3 |
|
1 4 0 3 4
1 0
0
0
0
0 0
1 0
(3.22)
Akan ditunjukkan bahwa persamaan karakteristik dari sistem pada persamaan (3.22) sama dengan persamaan karakteristik dari sistem pada persamaan (3.13) yang menggunakan . Persamaan karakteristik dari sistem pada persamaan (3.22) adalah
, 1
(3.21)
Dipilih . Setelah sinyal kontrol disubstitusikan ke persamaan (3.19), persamaan pendulum terbalik menjadi
dan 1
(3.17)
Dari persamaan (3.17), diperoleh
dengan 24,
4 4
dan adalah pasangan closeddengan loop poles yang dominan. Sedangkan dan ditempatkan di sebelah kiri dan agar pengaruh dari respon dan kecil. Persamaan karakteristik yang dikehendaki dari sistem tersebut adalah
10
1
|
|
0.
Sedangkan persamaan karakteristik dari persamaan (3.13) (dengan ) adalah |
|
|
| |
|
0.
Sehingga persamaan karakteristik dari sistem pendulum terbalik dapat dituliskan |
|
14
0 0
1 0
0 1
0 0
0
0
0
1
Secara explisit, sistem pendulum terbalik yang telah ditransformasi ke bentuk kanonik adalah sebagai berikut:
0 0
.
0 1 s 0
-1 s
0 -1
0 0
0 an +δn
0 an-1 +δn-1
0 an-2 +δ2
-1 a1 +δ1
,
dengan Lampiran 7.
,
disediakan di
Dari persamaan (3.24), umpan-balik state untuk kasus pendulum terbalik adalah | 1600 -
|
720
-
4l2 4+lφ
-
9g
l 4+lφ
0
3
0
-
24 -
0
9g
0
Persamaan (3.23) adalah persamaan karakteristik dari sistem yang disertai umpanbalik state. Persamaan (3.23) harus sama dengan persamaan (3.20) agar sistem tersebut stabil. Dengan menyamakan koefisien dari polinom pada persamaan (3.20) dan (3.23), diperoleh
196
4l2 4+lφ
0. (3.23)
|
l 4+lφ 3
l 4+lφ
0
3g
0
-
l 4+lφ 3g
0
0
0
0
dengan 9
1
588
4
9 6400
. Jika nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (3.21), akan diperoleh
8 .
(3.24) Dari persamaan diperoleh 0
0
0
0
(3.16)
dan
(3.18),
0 0
0 0
4
,
9
0 0
.
40
1600 4 3 240 4
4
,
, .
Sehingga sistem pendulum terbalik pada Gambar 6 merupakan sistem yang stabil. Untuk memperoleh umpan-balik state, dapat pula digunakan formula Ackermann yang disajikan dalam Lampiran 8.
15
Integrator
Gambar 7. Sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output
3.2.2 Umpan-balik State dan Output Dengan melihat posisi kereta sebagai output dari sistem pendulum terbalik, akan dicari umpan-balik state dan output. Tujuannya adalah untuk mengontrol agar output dari sistem bersesuaian dengan reference input (nilai output yang dikehendaki). Sistem seperti ini sering dinamakan dengan servo system. Servo system untuk pendulum terbalik digambarkan pada Gambar 7. Pada sistem pendulum terbalik, untuk dapat mengatur output sesuai dengan reference input, perlu ditambahkan sebuah integrator dan mendefinisikan error state yang merupakan output dari integrator, dengan merupakan selisih (difference) antara input dan output dari sistem pendulum terbalik. Sistem pendulum terbalik menjadi: (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) dengan vektor keadaan sinyal pengontrol output reference input (step function,skalar) output dari integrator (skalar) 0 1 0 0 3 1 0 0 0 4 0 0 0 1 3 0 0 0 4
0 3 4 0 4 4 0 0 1 0. Sistem dinamik pada persamaan (3.25) sampai (3.28) dapat dituliskan
0 1
0 0
0 .
(3.29)
Misalkan ∞ , ∞ , ∞ , dan ∞ adalah nilai , , , dan pada saat ∞. Tujuan dari penentuan umpanbalik state dan output adalah agar sistem pendulum tersebut stabil, yaitu ∞ , ∞ , ∞ mendekati nilai konstan. Selain itu, nilai t 0 dan ∞ . Pada saat steady state, ∞ ∞
0 1
Selanjutnya equation.
∞ ∞
0 0 ∞ . akan
∞ ∞
Misalkan ∞ ∞
(3.30) dicari
state
error ∞ ∞
0 0 0
∞
∞
0
∞
(konstan); untuk
0.
16
∞
|
|
.
State error equation dapat dituliskan 0 0
Dengan cara yang serupa untuk mencari vektor pada saat mencari sinyal pengontrol untuk umpan-balik state, diperoleh sinyal pengontrol sebagai berikut:
0
dengan
| .
dengan
Misalkan
4 327 vektor berukuran
1 .
Maka sistem di atas dapat dituliskan (3.31) dengan 0 0 0 3 1 4 0 3 4 0
1
0
0 0
0
0
0 0
0
0
1 0,
0
0
0 0
0
1 0 0
0 3 4 0 4
0
.
4 0 Sedangkan sinyal pengontrol
dengan
8800 9
4
34 4 3 1482018314400883 4 1235950581248 256000 4 27 8800 4 3 1482018314400883 4 1649267441664 64000 4 9 16000 4 . 3 (untuk proses pengerjaan, lihat Lampiran 9) Dengan menggunakan nilai-nilai pada vektor , sistem pendulum terbalik pada Gambar 7 merupakan sistem yang stabil.
4
SIMULASI
Untuk melihat apakah nilai-nilai dari umpan-balik tersebut menstabilkan sistem pendulum terbalik, dilakukan simulasi dengan menggunakan MATLAB. Dengan mensubtitusikan 0.5 , 9.8 /sec , dan 0.2 / , akan dilihat perilaku dari sistem pendulum terbalik. Dalam simulai yang dilakukan, diberikan tiga situasi yang berbeda. Pertama, akan dilihat perilaku sistem tanpa diberikannya reference input. Selanjutnya akan dilihat perilaku sistem jika diberikan reference input berupa step function. Berikutnya, akan dilihat perilaku sistem jika input yang diberikan berupa ramp function. 4.1
Tanpa Umpan-balik
Tanpa adanya umpan-balik, hasil simulasi dari ketiga situasi yang diberikan menunjukkan bahwa sistem pendulum terbalik tidak stabil. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 8, Gambar 9, dan Gambar 10. Gambar 8 diperoleh dengan cara mencari solusi dari persamaan . Dengan 0 15,776 0 0,717
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0.
Gambar 9. Step response untuk sistem awal dari pendulum terbalik. Software MATLAB tidak mempunyai fungsi built in untuk mencari ramp response dari suatu sistem, oleh karena itu, perlu didefinisikan variabel baru yang akan menjadi output dari sistem yang diberikan input berupa ramp function. Detailnya akan dijelaskan pada Subbab 4.2.1. Berikut adalah ramp response untuk sistem awal. x5 vs t 3
2.5
posisi vs t (original)
2
x5
0
-50
1.5
-100
1
Posisi
-150
0.5 -200
0 -250
0.2
0.4
0.6
0.8
1 t Sec
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Gambar 10. Ramp response untuk sistem awal dari pendulum terbalik
-300
-350
0
0
0.5
1
1.5 t Sec
2
2.5
3
4.2
Gambar 8. Solusi untuk posisi tanpa adanya reference input Step response, dalam kasus ini adalah posisi dari kereta, dapat di lihat dengan cara memberikan matriks , , dan ke dalam fungsi step pada software MATLAB, dengan 0 15,776 0 0,717
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 , 1 0
0 1,463 , 0 0,975
4.2.1
Dengan Umpan-balik Umpan-balik State
Respon dari sistem pendulum terbalik berubah ketika diberikan umpan-balik. Perubahan tersebut dapat dilihat pada Gambar 11, Gambar 12, dan Gambar 13. Setelah diberikan umpan-balik, sistem pendulum terbalik bersifat stabil. Hal ini dapat diketahui dengan melihat output dari sistem. Tanpa adanya reference input, sistem akan konvergen ke suatu bilangan, begitu pula
18
ketika diberikan input berupa step function. Namun, ketika diberikan input berupa ramp function, output tidak konvergen, akan tetapi, sistem tetap dapat dikatakan stabil karena output yang dihasilkan sistem mengikuti input yang diberikan. Persamaan sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state adalah sebagai berikut
memberikan matriks , , dan ke dalam fungsi step pada software MATLAB, dengan 0 0 0 0
2,23714 0 0 0
sebagai nilai awal
dengan 0 15,776 0 0,717 0 0 1
1 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 , 1 0
0 1,463 , 0 0,975 Gambar 12. Step response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state
dengan 219,09 49,8694 111,565 50,2041.
Selanjutnya, akan dilihat Ramp-response dari sistem pendulum terbalik. Dengan memisalkan nilai awal sama dengan nol, ramp response dapat dituliskan
Jika persamaan di substitusikan ke tate equation, akan diperoleh
t
z = ∫ y dt.
(4.2)
0
(4.1)
Dari persamaan (4.2), diperoleh
z = y = x3 . dengan
Definisikan variabel baru, yaitu
. Tanpa adanya reference input, output sistem dapat dilihat pada Gambar 11. Grafik tersebut dapat diperoleh dengan cara mencari solusi untuk persamaan terhadap . x3 vs t (state) 0.14 0.12 0.1
Posisi
0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04
0
(4.3)
0.5
1
1.5 t Sec
2
2.5
3
Gambar 11. Solusi untuk posisi tanpa adanya reference input Step response, dalam kasus ini adalah posisi dari kereta, dapat di lihat dengan cara
x5 = z. Persamaan (4.3) dapat dituliskan
x5 = x3 .
(4.4)
Dengan menambahkan persamaan (4.4) ke sistem dinamik dari pendulum terbalik, akan diperoleh persamaan ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ . ⎢ x3 ⎥ = A ⎢ x3 ⎥ + Bu (4.5) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎢⎣ x5 ⎥⎦ ⎢⎣ x5 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ y = C ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎢⎣ x5 ⎥⎦ dengan
(4.6)
19
1 0 0 ⎡ 0 ⎢ −304,8 −72,9 −163, 2 −73, 4 ⎢ A = ⎢ 0 0 0 1 ⎢ ⎢ 213, 03 48, 65 108,8 48,98 ⎢⎣ 0 0 1 0 ⎡ 2, 23714 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ B = ⎢ 0 ⎥ , C = [ 0 0 0 0 1] . ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ , ⎥ 0⎥ 0 ⎥⎦
dengan output
Jika nilai-nilai , dan disubstitusikan ke persamaan (4.8), akan diperoleh 0 1 ‐1019 ‐291 0 0 689 194 0 ‐1 0 0 0, 0 1 707,004, 199,143, 613,605, 263,865, 1115,65.
Ramp response dari suatu sistem dapat diperoleh dengan cara memberikan matriks A , B , dan C ke dalam fungsi step pada MATLAB. Berikut adalah grafik dari ramp response untuk sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state. x5 vs t 3
0 ‐898 0 599 0
0 ‐386 1 257 0
0 1633 0 , ‐1088 0
Dengan mencari solusi untuk persamaan
2.5
2
x5
0 .
0 0 1 0 0
,
0
1.5
akan diperoleh solusi untuk sistem pendulum terbalik. Gambar 14 merupakan solusi untuk posisi kereta.
1
0.5
x3 vs t (state+output) 0.2 0
0.5
1
1.5 t Sec
2
2.5
3
0.15
Gambar 13. Ramp response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state 4.2.2
Umpan-balik State dan Output
Setelah dilakukan simulasi, penambahan umpan-balik output tidak begitu berpengaruh terhadap respon yang diberikan sistem. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 14, Gambar 15, dan Gambar 16. Perilaku dari sistem pendulum terbalik untuk posisi kereta dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
0 1
0 0
0
.
(4.7)
disubstitusikan Jika nilai ke dalam persamaan (4.2), persamaan tersebut akan menjadi 0
0 1
(4.8)
0.1
0.05 Posisi
0
0
-0.05
-0.1
-0.15
0
0.5
1
1.5 t Sec
2
2.5
3
Gambar 14. Solusi untuk posisi tanpa adanya reference input Grafik dari step response dan ramp response untuk posisi kereta dari sistem pada persamaan (4.8) diberikan berturut-turut pada Gambar 15 dan Gambar 16.
20
x6 vs t 3
2.5
2
x6
1.5
1
0.5
0
-0.5
Gambar 15. Step response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output
0
Gambar
0.5
1
1.5 t Sec
2
2.5
3
16. Ramp response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output
5
KESIMPULAN DAN SARAN
Suatu sistem yang tidak stabil dapat distabilkan dengan mendesain sebuah struktur umpan-balik. Namun, tidak semua model dinamik dari suatu sistem dapat distabilkan. Dalam contoh kasus kali ini, yaitu sistem pendulum terbalik, hal tersebut dimungkinkan karena sistem pendulum terbalik mempunyai sifat controllable, sehingga penempatan pole dimungkinkan. Setelah melakukan penurunan model pendulum terbalik, dilakukan pula pengendalian terhadap sistem tersebut dengan
menggunakan umpan-balik state dan output. Dari hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa pemilihan input u yang tepat dapat menstabilkan sistem pendulum terbalik. Saran untuk penelitian lebih lanjut adalah menentukan skema umpan-balik agar dapat menstabilkan suatu sistem sekaligus meminimumkan tracking error, yaitu integral dari selisih reference input dengan output yang dikuadratkan yang dieveluasi dari nol sampai tak hingga.
DAFTAR PUSTAKA DiStefano J J, Stubberud A R, Williams I J. 1990. Scaum’s outline of theory and problem of feedback and control systems (2nd edition). New York: McGraw-Hill Edisusanto B. 2008. Pemodelan sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring dan karakterisasi parameter pada masalah tracking error optimal. Tesis, Institut Pertanian Bogor, Indonesia.
Farlow S J. 1994. An Introduction to differential equations and their applications. New York: McGraw-Hill, Inc. Ogata K. 1997. Modern Control Engineering (3rd edition). New Jersey: Pretice Hall Warwick K. 1996. An Introduction to Control systems (2nd edition). Singapore: World Scientific.
LAMPIRAN
24
Lampiran 1. Bukti Sifat-Sifat Transformasi Laplace
Berikut adalah bukti dari sifat-sifat transformasi Laplace: =
1. Bukti:
;
2. Bukti:
0
3. Bukti:
lim
Misalkan
.
dan turunannya kontinu dalam selang terbatas, dan misalkan pula:
, ,
,
maka, dengan integral parsial diperoleh: 0 0
Selanjutnya, akan ditunjukkan lim 0. merupakan fungsi eksponensial berorder Karena memenuhi
, maka ada konstanta
dan
untuk Karena cukup besar , fungsi ∞, sehingga mendekati 0 ketika lim 0. Sehingga 0 0 .
0
terbatas diantara dua fungsi untuk juga mendekati 0 ketika ∞, maka
yang
25
0
4.
0
Bukti:
∞ 0 0 0
0 .
26
Lampiran 2. Proses Penjabaran
Pada Lampiran 2, akan diperlihatkan 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Penjabaran
.
.
(L.1)
pada persamaan (L.1) adalah: ,
sedangkan 0 0 1 0 0 1
.
Teorema Cayley-Hamilton mengatakan bahwa 3, karakteristiknya sendiri, atau dalam kasus
memenuhi
matriks
0
Dengan menggunakan persamaan (L.3), persamaan (L.2) menjadi: . 0 0 1 0 0 1
.
persamaan (L. 3)
(bukti: lihat Lampiran 11)
Dari penjabaran diatas, dapat disimpulkan bahwa
(L. 2)
27
Lampiran 3. Bukti Teorema 1
Berikut akan disajikan penjelasan tentang observability. Misalkan suatu sistem kontinu dituliskan sebagai berikut (L.4) dengan = vektor keadaan (vektor berukuran n) = sinyal pengontrol (skalar) = matriks = matriks 1 jika ada sinyal Sistem pada persamaan (L.4) dikatakan state controllable pada saat pengontrol u yang dapat mentransfer nilai awal dari suatu keadaan ke nilai keadaan yang stabil di . Jika semua keadaan bersifat controllable, sistem tersebut dalam suatu interval waktu dikatakan complete state controllable. | | | penuh, maka sistem Selanjutnya, akan dibuktikan jika pangkat matriks pada persamaan (L.4) merupakan sistem yang bersifat complete state controllable. Diasumsikan kondisi stabil berada di daerah asal (origin) dari ruang keadaan (state space) dan waktu pada saat 0 sistem diamati adah nol ( Solusi dari persamaan (L.4) adalah 0
.
Bedasarkan definisi sistem yang terkontrol, solusi dari sistem pada persamaan (L.4) dapat dituliskan 0
0
t1
x(0) = − ∫ e− At Bu (τ )dτ .
(L.5)
0
Dengan mensubtitusikan menghasilkan persamaan n −1
t1
k =0
0
∑
(lihat Lampiran 12) ke persamaan (L.6), akan
x(0) = −∑ Ak B ∫ α k (τ )u (τ )dτ . Misalkan
(L.6)
, persamaan (L.6) menjadi
0
(L.7) Jika sistem pada persamaan (L.4) merupakan sistem yang bersifat complete state controllable, maka persamaan (L.7) harus terpenuhi, sehingga haruslah matriks berpangkat penuh.
28
Lampiran 4. Bukti Teorema 2
Misalkan sistem ∑
, , ,
diberikan sebagai berikut:
Sistem ∑ , , , dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika setiap akar ciri dari matriks mempunyai bilangan real negatif Bukti: Misalkan solusi dari definisi stabil asimtotik, yaitu: ;
0,
maka
|
|
dengan |
|
matriks konstan bilangan konstan ,
Diasumsikan bahwa , , , maka: |
,
,
,
adalah akar ciri dari matriks A dengan multiplitas
|
dan matriks resolvent ∏
Selanjutnya akan dilihat untuk masing-masing elemen, didapat ; ,
∏
1,2, … ,
Pecahan parsial berlaku ∏
dengan ,
1,2, … , .
Misalkan didefinisikan matriks matriks dst.
dengan , dengan ,
adalah elemen dari adalah elemen dari
, ,
29
Dengan menggunakan notasi matriks, dapat ditulis 1
selanjutnya diperoleh
1
1 !
Dari persamaan di atas, dapat ditunjukkan bahwa jika Re( ) 0, maka 0, ∞ untuk suatu bilangan integer j. Selanjutnya, dengan menggunakan aturan Hospital, dapat dituliskan lim
Misalkan
0
tidak mempunyai bilangan real negatif, maka
lim
diperoleh lim
terbatas pada
0,
0
sedemikian sehingga 0
Berdasarkan hasil tersebut, maka kestabilan dapat ditentukan dari letak akar karakteristik |, sehingga dapat disimpulkan: polinomial | • •
Suatu sistem dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika Re( ) 0, untuk setiap i Suatu sistem dikatakan takstabil jika dan hanya jika Re( ) 0, untuk suatu i
30
Lampiran 5. Bukti Teorema 3
Misalkan 0
Diasumsikan bahwa akar-akar dapat ditulis menjadi:
∏ ∏
dari
bernilai real atau kompleks, maka fungsi transfer
,
Jika memiliki poles yang berlainan, maka parsialnya, yaitu:
dengan adalah konstanta dan selanjutnya Dengan mengalikan kedua ruas dengan
dapat diuraikan menurut pecahan
disebut residu dari pole dan mensubtitusikan
Terlihat bahwa semua suku yang diuraikan bernilai nol, kecuali diperoleh dari:
. , diperoleh
. Sehingga residu
dapat
merupakan fungsi bernilai real, maka , dan , saling Karena output atau atau , karena pasangannya dapat konjugat. Untuk kasus ini, hanya perlu mengitung diketahui. Berdasarkan definisi invers dari transformasi Laplace dan dengan memperlihatkan bahwa ,
diperoleh dan nilai dari tergantung pada syarat awal dan zero atau dengan adalah akar-akar dari letak akar persamaan dari . Terlihat bahwa jika Re( ) 0, maka berlaku 0 ketika ∞. akan bersifat Jadi fungsi transfer • Stabil jika dan hanya jika Re( ) 0 untuk semua i • Stabil asimtotik jika dan hanya jika Re( ) 0 untuk semua i • Takstabil jika dan hanya jika Re( ) 0 untuk suatu i
31
Lampiran 6. Proses Pencarian Fungsi Transfer Pendulum Terbalik
Persamaan gerak untuk pendulum terbalik diberikan oleh persamaan:
Persamaan di atas dapat diubah kedalam bentuk persamaan aljabar dengan menggunakan transformasi Laplace. Transformasi Laplace terhadap , , dan , dari kedua persamaan tersebut adalah: Θ Θ Θ Θ
Θ Θ
Θ Θ
0
Jika direpresentasikan dalam bentuk matriks, Θ
0
Θ
0
Θ Misalkan:
0
, maka: 1 Θ
0
.
Θ
Sehingga:
dan Θ
.
.
32
Lampiran 7. Sistem Pendulum Terbalik dalam Bentuk Kanonik
Berikut adalah sistem pendulum terbalik dalam bentuk kanonik. Model awal sistem pendulum terbalik adalah:
. dengan 3
0 1 4 0 3 4 0 3
1 0 0 0 0 0 0 0 1
,
0 0 0
4 0 4 4 0 0 1 0,
. , sistem pendulum terbalik menjadi:
Dengan mendefinisikan matriks transformasi
. dengan 4
4 3
0
4 9
0
4 3
0
0
0
1 4 3
0
0
4 9
0 4
0 1 4 3 0 0
0
0
0
3
0
4 0
3 4
3
0
4 0 4
3 4 0
4 0
4 4
3
0 1 4 0 3 4
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0
3 4
0 0 1, 0
33
4
4 3
0
4 9
0
4 3
0
0
0
1 4 3
0
0
4 9
0 4
0 1 4 3 0
0
0
0
0
0 0 1 0
3
3 4
0
4
0
0
0
0
4
3 0 4
3 4
3 4 0
4
3 4 4
0
4
0
0 4
0
4
0
4
4
4
4
3
3
3
0,
4
3
4 0
0
4
4
0 4
4
3
0
4
3
0
4
0 3
0 3
4 4
4 4
0 0 , 0 1
34
Lampiran 8. Pemilihan umpan-balik state dengan menggunakan formula Ackermann
Berikut adalah formula Ackermann untuk mencari umpan-balik state pada sistem pendulum terbalik. Misalkan sistem pendulum terbalik dituliskan
, sistem tersebut dapat dituliskan
Dengan adanya kontrol umpan-balik . Misalkan . Persaman karakteristik yang diinginkan adalah |
| 0.
Berdasarkan teorema Cayley-Hamilton,
memenuhi persamaan karakteristik dari , sehingga 0 (L.8)
(L.9) Berdasarkan persamaan (L.8), 0.
(L.10)
0.
(L.11)
Sedangkan
Setelah persamaan (L.10) dan (L.11) di subtitusikan ke persamaan (L.9), diperoleh
0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
35
0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0
0
0 0
0 0 0 1
1
1
0
0 0
0 1,2,3,4 ;
Pole yang di kehendaki adalah 2
2√3 ,
0
2
2√3 ,
10,
10
Dengan dan adalah pasangan closed-loop poles yang dominan. Sedangkan ditempatkan di sebelah kiri dan agar pengaruh dari respon dan kecil. Persamaan karakteristik yang dikehendaki dari sistem tersebut adalah 2 2√3 4 16 24 196
Sehingga 24
dan
196
720
1600
2 2√3 10 20 100 720 1600
dan
10
36
Lampiran 9. Proses perhitungan/pencarian vektor
Berikut adalah proses perhitungan untuk mencari . Matriks controllability dari persamaan (3.31) adalah: M = ⎡⎣ B
AB
A2 B
A4 B ⎤⎦ =
A3 B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.
0, sehingga sistem tersebut merupakan sistem yang Dapat dilihat bahwa det controllable, dan penempatan pole dapat dimungkinkan. Persamaan karakteristik dari sistem tersebut adalah 3 |
|
1 4 0 3 4 0 3 1
1 0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
0
1 0 4
0
4 3
1 4 0
dengan 3
0,
1
,
4
0,
0
Persamaan karakteristik yang dikehendaki dari sistem tersebut adalah 2 10 4 34
2√3
2 10
16 436
2√3
10 30 300 1000 2680 8800 16000 s 0
dengan 34,
436,
2680,
Selanjutnya akan dicari matriks , yaitu:
dengan
di mana
8800,
16000.
37
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
1 0 0
1 0
1
1 0 0 0
1 0 0 0 0
3
0 3
3
0
1
4 0 1
0 1
4
1
0
1 0
0
1
0 0
1 0
0 0
0 0 0 0
4
1
,
Maka, 0
0
0
0
0
0
3
0
3
4
4
0
4
4
0
4 4
0
4
3
0
3
0
0
4
0
4
0
3
4
0
4
0
dan 16
0 4
4 9
4 27
0 4
0
1 4 3 0
4 9
4 3
0
3
0
4
4 9
0
0
0
0
0
1 4 3
0
0
0
4
0
4
0
3
.
Sehingga,
16000
0 8800
16000
8800
3
0 2680
2680
3
4 1
4
1
436 436 34 .
0 34
0
.
38
0 4
16
4 9 0
1 4 3 0
4 27 0
0
4
4 3
4 9
4 3
0
0
4 9
0
0
0
0
0
1 4 3
0
0
0
4
4
0
3
dengan 4 327
8800 4 , 9 1482018314400883 4 1235950581248
34 4 3 8800 4 , 3 1482018314400883 4 1649267441664 16000 4 . 3
64000 4 9
256000 4 27
,
,
39
Lampiran 10. Sintaks MATLAB yang digunakan untuk mencari vektor K dan simulasi.
Berikut adalah lampiran program dalam bahasa MATLAB yang digunakan dalam simulasi. function K=poleplacement(A,B,J) % % % %
Menentukan vektor umpan balik K dari sistem x_dot=Ax+Bu dengan J adalah matriks diagonal yang berisi poles yang diinginkan. contoh: J=[complex(-2,2*3^(1/2)) 0 0 0;0 complex(-2,-2*3^(1/2)) 0 0;0 0 10 0;0 0 0 -10]
n=max(size(A)); M=[B]; for i=1:n-1, M=[M A^i*B]; end if rank(M)~=max(size(M)) disp('Pole placement tidak dapat dilakukan karena sistem tersebut tidak terkontrol') end JJ=poly(J); z = eig(A); n=max(size(A)); jj= sym([1 zeros(1,n)]); for j = 1:n jj(2:j+1) = jj(2:j+1)-z(j)*jj(1:j); end i=1; for j=n:-1:1 W(i,j)=sym(1); i=i+1; end k=n-1; for j=1:n-1 l=k; for i=1:k W(j,i)=jj(l+1); l=l-1; end k=k-1; end k=n; for i=1:n c(i)=jj(k+1)-JJ(k+1); k=k-1; end T=M*W; K=-1*c*inv(T); disp('tambahkan perintah "double(ans)" jika diperlukan.')
Gambar 17. Sintaks matlab untuk pole placement
40
A=[0 1 0 0;15.7756 0 0 0;0 0 0 1;-0.717073 0 0 0]; B=[0;-1.46341;0;0.97561]; C=[0 0 1 0]; D=[0]; K_1=[-219.09 -49.8694 -111.565 -50.2041]; AA_1=A-B*K_1; BB_1=[2.23714;0;0;0]; CC_1=C; DD_1=D; K_2=[-707.004 -199.143 -613.605 -263.865]; Ki=-1115.65; AA_2=[A-B*K_2 B*Ki;-C 0]; BB_2=[0;0;0;0;1]; CC_2=[C 0]; DD_2=[0]; t=0:0.02:6; [y_1,x_1,t]=step(AA_1,BB_1,CC_1,DD_1,1,t); [y_2,x_2,t]=step(AA_2,BB_2,CC_2,DD_2,1,t); x3_1=[0 0 1 0]*x_1'; x3_2=[0 0 1 0 0]*x_2'; figure plot(t,x3_1,'-g',t,x3_2,'-b');grid title('x3 vs t') xlabel('t Detik') ylabel('Posisi') text(0.1,1.1,'state') text(0.42,-0.09,'state+output')
Gambar 18. Sintaks matlab untuk menghasilkan Gambar 9
41
Lampiran 11. Bukti Teorema Cayley-Hamilton
Berikut adalah bukti dari teorema Cayley-Hamilton dan mempunyai persamaan karakteristik sebagai berikut Misalkan A matriks berukuran |
|
0.
Teorema Cayley-Hamilton karakteristiknya sendiri, atau
mengatakan
bahwa
matriks
memenuhi
persamaan
0.
Bukti: ; | |
|
|
Jika matriks diperoleh
di substitusikan ke
pada persamaan di atas, maka 0.
0, sehingga
42
Lampiran 12. Penjabaran
Untuk menurunkan , diasumsikan pangkat tertinggi dari polinomial A adalah m. Diasumsikan pula akar-akarnya tidak ada yang bernilai sama. Dengan menggunakan interpolasi dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Lagrange-Sylvester, 1 1
0
(L.12)
1 …
Dengan menyelesaikan persamaan (L.12) untuk
,
dapat dituliskan sebagai berikut: (L.13)
dengan
(k=0,1,2,…,m-1) diperoleh dengan menyelesaikan sejumlah persamaan berikut:
.
43
Lampiran 13. Interpolasi Lagrange-Sylvester
Didefinisikan polinomial dalam berikut:
1,2, … ,
dengan
1 dengan
berderajat
,
,…,
berbeda sebagai
. Dapat dilihat bahwa
1, jika 0, jika
Maka, polinomial
1
dengan derajat
dititik . Persamaan di atas sering disebut interpolasi Lagrange. Polinomial bernilai dengan derajat , ,…, 1 ditentukan oleh data yang berbeda . Misalkan matriks dengan ukuran memiliki akar ciri yang berbeda. Dengan , akan diperoleh mensubtitusikan terhadap ke dalam polinomial
adalah polinomial berderajat
Dapat dilihat bahwa 1, jika 0, jika
1 dan
.
Didefinisikan
L. 14
Persamaan (L.14) dinamakan interpolasi Sylvester. Persamaan (L.14) sama dengan 1
1
1 0.
(L.15)
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa persamaan (L.14) sama dengan persamaan (L.15) (untuk 4). Misalkan kasus 1
1
1
Δ
Δ dapat dijabarkan sebagai berikut:
1 0.
44
1
1
1
1
Δ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
Dengan menyelesaikan persamaan diatas terhadap
, akan diperoleh
4.
dengan
Persamaan (L.14) dan (L.15) sering digunakan untuk mengevaluasi fungsi , , dan sebagainya. Persamaan (L.15) dapat pula dituliskan 1 1 0. 1 …
seperti
