PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL
BAMBANG EDISUSANTO
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Tracking Error Optimal adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juli 2008
Bambang Edisusanto NIM G551060171
ABSTRACT BAMBANG EDISUSANTO. Modeling of Inverted Pendulum System with Oblique Track and Parameter Characterization on Optimal Tracking Error Problem. Under direction of TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO Inverted pendulum is an important device in education and research for control engineering. Many results of research are reached through study to pendulum system. The primary objective of this thesis is to characterize the inverted pendulum system with oblique track on the optimal tracking error problem in terms of the system of parameters. We first derive the equations of motion for the pendulum system with flat track and then extend it to the system with oblique track. We then derive the analytical expressions of the optimal tracking error problem for both systems. It is shown that the expressions are completely determined by the pendulum’s parameters. Furthermore, its is shown that the lowest possible tracking error can be attained as long as the ratio between pendulum and motor masses is equal to a certain constant, regardless the material of the pendulum. Keywords: inverted pendulum, modeling, tracking error problem.
RINGKASAN BAMBANG EDISUSANTO. Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Tracking Error Optimal. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR, dan ALI KUSNANTO. Pendulum adalah sebuah bandul. Ada dua jenis pendulum yaitu pendulum biasa (direct pendulum) dan pendulum terbalik (inverted pendulum). Dewasa ini pendulum biasa maupun pendulum terbalik merupakan alat yang sangat penting dalam pendidikan dan penelitian di bidang teknik pengendalian (control engineering). Banyak hasil penelitian dicapai melalui studi terhadap sistem pendulum. Di bidang teknik, pendulum biasa dan terbalik dipakai untuk memantau pergerakan fondasi bendungan, jembatan, dermaga dan struktur bangunan lainnya. Alat pengangkat peti kemas (cranes) bekerja atas dasar pendulum biasa. Selain itu pendulum terbalik dapat dimanfaatkan untuk mendeteksi usikan gelombang seismik dalam tanah yang disebabkan oleh aktifitas seismik-makro, oseanik, dan atmosferik. Di bidang fisiologi dan ilmu olah raga, prinsip kerja pendulum terbalik banyak digunakan untuk mengkaji keseimbangan gerak manusia. Berdasarkan dari hal tersebut maka penelitian ini bertujuan menentukan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring dan menentukan karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring pada masalah tracking error optimal.Langkah pertama adalah menurunkan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar dan lintasan miring. Model tersebut berbentuk persamaan taklinear, sehingga harus dilinearkan terlebih dahulu dengan bantuan deret Taylor. Selanjutnya dengan tranformasi Laplace ditentukan fungsi transfer Px(s) dan P?(s), di mana Px ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi motor x dan P ( s ) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan sudut pendulum . Kemudian dicari pole dan zero dari fungsi transfer dengan mengasumsikan tidak ada friksi antara motor dan pendulum serta tidak ada friksi antara motor dan lintasan, yaitu 0 . Dari Px(s) dan P?(s), dapat ditentukan pole takstabil dan non minimum phase zero. Selanjutnya diturunkan ekspresi analitik bagi J yang dapat meminimumkan tracking error. Dengan menyelesaikan dJdl 0 , maka panjang pendulum optimal dapat ditentukan. Selanjutnya dilakukan simulasi antara ekspresi analitik bagi J dan panjang pendulum optimal, dari simulasi ini dapat dilihat bahwa ketika panjang pendulum sangat pendek maka nilai J sangat besar. Jika panjang pendulum diperpanjang, maka nilai J semakin kecil. Kejadian ini berlaku sampai pada satu titik minimum, setelah itu akan berubah panjang pendulum semakin panjang maka nilai J semakin besar. Titik minimum dipengaruhi oleh sudut kemiringan lintasan. Sudut kemiringan lintasan semakin besar maka titik minimumnya juga semakin besar. Sedangkan hasil simulasi antara sudut kemiringan lintasan dan panjang pendulum optimal menunjukkan bahwa untuk mendapatkan kestabilan panjang pendulum optimal sangat dipengaruhi oleh sudut kemiringan
lintasan. Sudut kemiringan lintasan semakin besar maka panjang pendulum optimal semakin pendek. Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa nilai tracking error minimal dipengaruhi oleh sudut kemiringan lintasan. Jika sudut kemiringan lintasan semakin besar, maka nilai tracking errornya juga semakin besar. Panjang pendulum minimal dipengaruhi oleh sudut kemiringan lintasan. Hubungan antara panjang pendulum minimal dan sudut kemiringan lintasan berbanding terbalik. Sudut kemiringan lintasan semakin besar maka panjang pendulum minimal semakin pendek. Karena diasumsikan bahwa rasio antara massa pendulum dan massa motor adalah konstan, maka dapat ditunjukkan bahwa tracking error optimal dapat dicapai sepanjang rasio antara massa pendulum dan massa motor adalah konstan tanpa memandang bahan dari pendulum. Kata kunci: pendulum terbalik, pemodelan, masalah tracking error.
© Hak cipta milik IPB, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1 Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2 Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL
BAMBANG EDISUSANTO
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Judul Tesis Nama NIM
: Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Tracking Error Optimal : Bambang Edisusanto : G551060171
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Ketua
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Tanggal Lulus:
Dekan Sekolah Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
Tanggal Ujian: 10 Juli 2008
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2007 ini ialah masalah tracking error optimal pada sistem pendulum, dengan judul Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Tracking Error Optimal. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku pembimbing, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. yang telah banyak memberikan saran selaku penguji luar komisi dan selaku ketua Program Studi Matematika Terapan. Tak lupa ucapan terima kasih penulis sampaikan pada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan fasilitas. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
Bogor, Juli 2008 Bambang Edisusanto
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Purworejo pada tanggal 27 Agustus 1966 dari ayah Witosedono dan ibu Astuti. Penulis merupakan putra kedua dari empat bersaudara. Tahun 1986 penulis lulus dari STM Negeri Purworejo jurusan Teknik Bangunan dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IKIP Muhammadiyah Yogyakarta. Penulis memilih Jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun 1990. Tahun 1991 penulis menjadi staf pengajar di SMU Muhammadiyah 7 Yogyakarta. Pada tahun 1997 masuk PNS dan mengajar di MTs Negeri Sidoharjo Samigaluh Kulon Progo. Setahun kemudian pindah tugas mengajar di MTs Negeri Pakem. Pada tahun 2006 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor lewat jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR .............................................................................................. xiii DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................... xiv I
PENDAHULUAN ............................................................................................
1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................
1
1.2 Tujuan Penelitihan ......................................................................................
2
II LANDASAN TEORI ........................................................................................
3
2.1 Sistem Pendulum Terbalik ..........................................................................
3
2.2 Transformasi Laplace .................................................................................
4
2.3 Deret Taylor ................................................................................................
5
2.4 Persamaan Ruang Keadaan .........................................................................
6
2.5 Fungsi Transfer ...........................................................................................
7
2.6 Pole dan Zero ..............................................................................................
8
2.7 Kestabilan ...................................................................................................
9
2.8 Sistem Umpanbalik ..................................................................................... 10 2.9 Masalah Tracking Error .............................................................................. 11 III PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK ...................................... 13 3.1 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar .................................... 13 3.2 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring .................................. 16 3.3 Pole dan Zero .............................................................................................. 19 IV KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL ......................................................................................................... 23 4.1 Ekspresi Analitik ........................................................................................ 23 4.2 Tracking Error Optimal ............................................................................. 24 V SIMULASI ....................................................................................................... 28 VI SIMPULAN ..................................................................................................... 32
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 33 LAMPIRAN ........................................................................................................... 34
DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar ................................................
3
2. Diagram blok hubungan antara input dan output ...............................................
8
3. Sistem pengendalian dengan umpanbalik .......................................................... 10 4. Sistem pengendalian dengan umpan balik pada masalah tracking error ............ 11 5. Sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar ................................................ 13 6. Sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring ............................................. 16 7. Grafik masalah tracking error ............................................................................ 29 8. Grafik panjang pendulum optimal dan sudut kemiringan lintasan ....................
30
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Bukti sifat-sifat Transformasi Laplace ................................................................ 35 2. Pole dan Zero pendulum terbalik dengan lintasan datar ..................................... 38 3. Bukti Teorema 1 ................................................................................................. 41 4. Bukti Teorema 2 ................................................................................................. 44 5. Contoh penggunaan Deret Taylor ....................................................................... 46 6. Pelinearan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring .................. 47 7. Karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar .......... 49 8. Karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring ....... 54 9. Tabel panjang pendulum dan ekspresi analitik ................................................... 61 10. Tabel panjang pendulum dan kemiringan lintasan ........................................... 62
This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Pada kehidupan sehari-hari sering terlihat anak-anak bermain dengan
berusaha menegakkan dan menyeimbangkan sebuah tongkat di ujung jari. Secara terus-menerus mereka berusaha menyesuaikan posisi tangan agar tongkat tersebut tetap tegak. Tongkat yang terletak di atas jari anak tersebut merupakan contoh pendulum terbalik (inverted pendulum) yang pada dasarnya memiliki konsep yang sama dengan hal tersebut. Hanya saja pendulum terbalik bergerak dalam satu dimensi, sementara tangan dapat bergerak bebas ke atas, ke bawah, dan ke samping. Ada dua jenis pendulum yaitu pendulum biasa (direct pendulum) dan pendulum terbalik (inverted pendulum). Dewasa ini pendulum biasa maupun pendulum terbalik merupakan alat yang sangat penting dalam pendidikan dan penelitian di bidang teknik pengendalian (control engineering) (Ogata 1990). Sistem pendulum memiliki karakteristik sebagai berikut : 1. Taklinear dan takstabil. 2. Dapat dilinearkan di sekitar titik kesetimbangan. 3. Kompleksitasnya dapat ditingkatkan melalui penambahan pendulum atau modifikasi lainnya. 4. Mudah diterapkan dalam sistem aktual Karena karakteristik di atas berbagai teori pengendalian (control theory) banyak dievaluasi dan dibandingkan melalui pengujian sistem pendulum (Microrobot 2007). Banyak hasil penelitian dicapai melalui studi terhadap sistem pendulum. Di bidang teknik, pendulum biasa dan terbalik dipakai untuk memantau pergerakan fondasi bendungan, jembatan, dermaga dan struktur bangunan lainnya. Alat pengangkat peti kemas (cranes) bekerja atas dasar pendulum biasa. Selain itu pendulum terbalik dapat dimanfaatkan untuk mendeteksi usikan gelombang seismik dalam tanah yang disebabkan oleh aktifitas seismik-makro, oseanik, dan atmosferik (Taurasi 2005). Di bidang fisiologi dan ilmu olah raga, prinsip kerja pendulum terbalik banyak digunakan untuk mengkaji
2 keseimbangan gerak manusia (Loram et al. 2001; Loram & Lakie 2002; Loram et al. 2006). Kajian terhadap aspek teoritis sistem pendulum pun banyak dilakukan. Sebagai contoh, di (Atay 1999) dipelajari masalah kestabilan asimtotik dengan menggunakan umpanbalik posisi, sedangkan di (Woodyatt et al. 1997) dikaji kendala-kendala fundamental dalam pengendalian sistem pendulum terbalik dengan dua-input dan dua-output. Sedangkan di (Chen et al. 2003) dibahas sistem pengendalian dengan umpan balik pada masalah tracking error yang mampu menstabilkan sistem dan sekaligus meminimumkan tracking error.
1.2
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang tersebut di atas maka penelitian ini bertujuan untuk : 1.2.1
Memodelkan sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring.
1.2.2
Melakukan karakterisasi terhadap parameter pendulum terbalik dengan lintasan miring pada masalah tracking error optimal.
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Pendulum Terbalik
Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar 1 di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam satu dimensi, yaitu maju atau mundur dalam satu garis lurus, sedangkan pendulum diasumsikan hanya bergerak dalam bidang vertikal yang datar.
Gambar 1: Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar
Berat motor dinotasikan dengan M dan berat pendulum dengan m, satuannya dalam kilogram. Panjang pendulum dilambangkan dengan 2l dan satuannya dalam meter. Pendulum diasumsikan seragam (uniform) sehingga inersianya diberikan oleh I = motor sebesar
1 3
ml 2 . Diasumsikan friksi antara pendulum dengan
dan friksi antara motor dengan lintasan sebesar
bahwa sudut yang dibentuk oleh pendulum
. Diasumsikan
adalah cukup kecil.
Persamaan gerak antara input kendali u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor, dengan posisi motor x terhadap titik awal dan sudut pendulum diberikan oleh persamaan-persamaan berikut : ( M m) x ml x u 4 2 ml mlx mgl 3
(2.1)
0
(2.2)
4 2.2 Tranformasi Laplace Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan
untuk
menyelesaikan
persamaan
diferensial
linear.
Dengan
menggunakan transformasi Laplace, persamaan diferensial linear dapat diubah ke dalam persamaan aljabar dalam peubah kompleks.
Definisi 1. Transformasi Laplace dari fungsi f(t) adalah £f(t)
e
0
st
f t dt
F s
f(t)
fungsi waktu t
s
peubah kompleks
£
simbol operasi yang mengidikasikan bahwa persamaan diubah dengan menggunakan integral Laplace
F(s)
0
e
st
f (t )dt
transformasi Laplace dari f(t),
dengan syarat
f t kontinu bagian demi bagian pada t
0 dan
berorde eksponensial saat t menuju takhingga, yaitu ada konstanta real positif
sedemikian sehingga lim e t
t
f t
Sifat – sifat transformasi Laplace : Misalkan £ f t
F s dan £ g t
G s , maka:
1. Sifat penjumlahan £ f (t ) g (t )
F (s) G ( s)
2. Sifat perkalian Jika a
R , maka:
£ af(t)
a F(s)
3. Sifat turunan pertama £
df t dt
sF s
f 0
4. Sifat turunan kedua
d 2 f (t ) £ dt
s 2 F (s)
f (0) sf (0)
0 (Ogata 1990).
5 5. Sifat eksponensial £
1
eat
s a
Bukti dari sifat-sifat di atas dapat dilihat di Lampiran 1. 2.3 Deret Taylor Suatu sistem taklinear dapat dilinear mengasumsikan variabel
menggunakan deret Taylor dengan
mengalami deviasi yang kecil terhadap titik
kesetimbangannya.
Definisi 2. Deret Taylor Satu Peubah Andaikan f dan semua turunannya, f ', f '', f ''' , …, kontinu di dalam selang [a,b]. Misalkan x0 [a, b] , maka untuk nilai-nilai x di sekitar x0 dan x0 [a, b] , f(x) dapat diekspansi ke dalam deret Taylor sebagai berikut (Ogata 1990): f ( x)
f ( x0 )
( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) m ( m ) f '( x0 ) f ''( x0 ) ... f ( x0 ) ... . m! 1! 2!
Definisi 3. Deret Taylor Dua Peubah Deret Taylor dua peubah merupakan fungsi dari dua buah masukan x1 dan x2 . Sehingga nilai x1 dan x2 di sekitar x1 dan x2 merupakan deret Taylor dua peubah sebagai berikut (Ogata 1990): f ( x1 , x2 ) 1 2!
2
f 2 1
x
f ( x1 x1 ) x1
f ( x1 , x2 )
f ( x2 x2
2
( x1 x1 ) 2
2
f ( x1 x1 )( x2 x1 x2
x2 ) 2
x2 )
f 2 2
x
di mana turunan-turunan parsialnya dihitung pada x1
( x2 x1 , x2
x2 ) 2
...
x2 . Di sekitar titik
kerja normal, bentuk-bentuk orde tinggi dapat diabaikan. Model matematika linear dari sistem taklinear ini di sekitar kondisi kerja normal selanjutnya diberikan oleh
f ( x1 , x2 ) di mana
f ( x1 , x2 ) K1 ( x1 x1 ) K 2 ( x2
x2 )
6 f x1
K1
,
K2
x1 x1 , x2 x2
f x2
. x1 x1 , x2 x2
2.4 Persamaan Ruang Keadaan Bentuk standar persamaan ruang keadaan merupakan bentuk persamaan diferensial biasa berorde satu berdimensi n, dan persamaan keluaran (out put) dengan dimensi m, didefenesikan sebagai berikut (Ogata 1990): Defnisi 4. Diberikan sistem persamaan ruang keadaan dan persamaan keluaran berturut-turut sebagai berikut:
x t
f x, u , t ,
(2.3)
y t
g x, u , t .
(2.4)
Jika vektor fungsi f, g bergantung terhadap peubah t, maka persamaan (2.3) dan (2.4) disebut sistem parameter-berubah (time-varying). Jika sistem tersebut dilinierkan, maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan keluarannya dapat ditulis sebagai berikut:
x t
A t x t
B t u t ,
(2.5)
y t
C t x t
D t u t ,
(2.6)
dengan A t , B t , C t , D t merupakan matriks-matriks yang bergantung pada peubah t, sedangkan x adalah vektor peubah keadaan (variable state) dan y adalah keluaran (output)sistem serta u merupakan input kendali. Jika vektor fungsi f, g tidak bergantung terhadap peubah t, maka persamaan (2.3) dan (2.4) disebut sistem parameter-konstan (time-invariant). Di dalam kasus ini persamaan (2.3) dan (2.4) dituliskan sebagai berikut:
x t
f x, u ,
y t
g x, u .
Jika sistem tersebut dilinearkan,maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan keluarannya adalah:
Ax(t ) Bu (t ) ,
(2.7)
y (t ) Cx(t ) Du (t ) ,
(2.8)
x(t )
7 dengan A,B,C,D adalah matriks-matriks bernilai real, x adalah vektor peubah keadaan (state variable), y adalah keluaran (output) sistem, dan u adalah input kendali. Sistem pada persamaan (2.7) dan (2.8) dapat ditulis dalam bentuk
A, B, C , D , untuk A R n n , B
Rn m , C
R r n , dan D
Rr
m
2.5 Fungsi Transfer Fungsi transfer adalah suatu fungsi yang menghubungkan antara output sistem dengan input sistem. Hasil transformasi Laplace dari (2.7) dan (2.8) adalah: sX(s) = AX(s) + BU(s), Y (s) = CX(s) + DU(s). Dengan demikian diperoleh fungsi transfer:
P(s)
Y ( s) U ( s)
C ( sI
A) 1 B D
(2.9)
Selanjutnya, interaksi antara u dan y dapat diungkapkan melalui diagram blok seperti pada Gambar 2.
Gambar 2: Diagram blok hubungan antara input dan output.
2.6 Pole dan Zero Dari fungsi transfer seperti pada persamaan (2.9) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi rasional sebagai berikut: P(s)
N (s) D(s)
bm s m bm 1s m 1 ... b1s b0 , s n an 1s n 1 ... a1s a0
(2.10)
dengan pembilang N(s) dan penyebut D(s) adalah koprima. Pole dari sistem P didefinisikan sebagai akar dari persamaan D(s) = 0. Zero dari sistem P
8 didefinisikan sebagai akar dari persamaan N(s) = 0. Jika n > m maka sistem P memiliki sejumlah zero di takhingga. Misalkan p dan z berturut-turut adalah pole dan zero dari P s , pole p disebut sebagai pole takstabil jika Re p
0 , selain itu disebut pole stabil. Zero z
disebut sebagai non minimum phase zero Re z
0 , selain itu disebut zero stabil.
Dapat dilihat bahwa dari persamaan (2.1) dan (2.2) dapat diperoleh
X ( s) U (s) (s) P (s) : U (s) dengan Px ( s ) :
a3
ml 2 (4 M
a2
3 (M
a1
3
a0
4 s 2 ml 2 3 s 3 gml , s (a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 ) 3mls , 3 a3 s a2 s 2 a1s a0
(2.11) (2.12)
m), m) 4 ml 2 ,
3mgl ( M
m),
3 mgl .
Di sini Px ( s ) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi motor x dan P ( s ) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi sudut pendulum
.
Jika diasumsikan tidak ada friksi antara motor dan pendulum serta tidak ada friksi antara motor dan lintasan, yaitu
0 , maka Px ( s ) dan P ( s ) memiliki
pole takstabil di p
3 g ( M m) l (4 M m)
(2.13)
dan Px ( s ) memiliki zero takstabil di z
3g ,z 4l
.
(2.14)
Penurunan pole dan zero sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran 2.
9 2.7 Kestabilan Definisi 3 Sistem
= (A,B,C,D) seperti pada (2.7) dan (2.8) dikatakan
1. stabil jika lim sup x(t )
untuk setiap solusi x(t) dari
x
persamaan x (t )
Ax t ;
2. stabil asimtotik jika lim sup x(t ) x
x(t )
0 untuk setiap solusi x(t) dari persamaan
Ax(t );
3. takstabil jika ia tidak stabil. Dapat dilihat bahwa kestabilan tidak terkait dengan bagian manapun dari sistem
selain dengan matriks A. Oleh karena itu, kestabilan dapat ditentukan
dari spektrum matriks A (Lewis 2004).
Teorema 1 = (A,B,C,D) dengan A matriks berukuran n n yang
Diberikan sistem memiliki akarciri
1
,
2
,...,
n
. Pernyatataan-pernyataan berikut berlaku:
1. Sistem
stabil jika dan hanya jika Re
0 untuk semua i = 1,2....,n
2. Sistem
stabil asimtotik jika dan hanya jika Re
i
i
0 untuk semua
i = 1,2,…, n. 3. Sistem i=
takstabil jika dan hanya jika Re
i
0 untuk suatu
1,2,...,n (Lewis 2004).
Bukti: lihat Lampiran 3.
Teorema 2 Diberikan sistem P(s) yang memiliki pole p1 , p2 ,..., pn Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: 1. Sistem P(s) stabil jika dan hanya jika Re pi 0 untuk semua i = 1,...,n. 2. Sistem P(s) stabil asimtotik jika dan hanya jika Re pi < 0 untuk semua i = 1,...,n 3. Sistem P(s) takstabil jika dan hanya jika Re pi > 0 untuk suatu i = 1,..., n (Lewis 2004)
10 Bukti: lihat Lampiran 4.
2.8 Sistem Umpanbalik Istilah umpanbalik digunakan untuk menjelaskan sebuah situasi di mana dua atau lebih sistem dinamik saling terhubung sedemikian sehingga setiap sistem mempengaruhi sistem lainnya. Umpanbalik memiliki banyak sifat menarik. Salah satunya adalah mampu membuat sistem taksensitif terhadap usikan dari luar.
Gambar 3: Sistem pengendalian dengan umpanbalik.
Sistem umpanbalik paling sederhana melibatkan tiga komponen, yaitu plant atau sistem P yang akan dikendalikan, controller atau pengendali K yang harus didesain sehingga menghasilkan input kendali tertentu, dan sensor F yang mencatat output sistem sebagai umpanbalik. Pada Gambar 3, r merupakan fungsi referensi bagi peubah yang akan dikendalikan, e merupakan galat (error) antara input referensi dan output sistem, yaitu e
r Fy , dan d merupakan usikan yang
bersifat eksogen. Masalah utama dalam sistem umpanbalik adalah mendesain pengendali K sedemikian sehingga sistem menjadi stabil. Bentuk paling sederhana bagi umpanbalik u adalah
u
Kx ,
(2.15)
yaitu u merupakan kombinasi linear dari peubah keadaan x. Dengan menyubstitusikan (2.15) ke (2.3) diperoleh x
( A BK ) x . Dengan demikian K
dipilih sehingga A BK memiliki akarciri seperti yang diinginkan. Masalah ini dikenal sebagai pole placement. Jika state x tidak tersedia maka dipilih umpanbalik u sebagai kombinasi linear dari output y, yaitu
u
Ky ,
sehingga diperoleh x
(2.16)
( A BK ( I
DK ) 1 C ) x
(2.17)
11 2.9 Masalah Tracking Error Perhatikan sistem umpanbalik seperti pada Gambar 4 di mana ditetapkan d(t) = 0, F(s) = 1, dan r merupakan fungsi tangga satuan (step function), yaitu : r (t )
1, t
0
0, t
0.
(2.18)
Gambar 4: Sistem pengendalian dengan umpanbalik pada masalah tracking error.
Masalah tracking error bertujuan untuk mendesain pengendali K yang menstabilkan sistem dan sekaligus meminimumkan tracking error, yaitu:
J:
0
e(t ) 2 dt
0
[r (t ) y (t )]2 dt
(2.19)
Dalam karya ilmiah ini, yang menjadi pokok perhatian bukanlah pada pendesainan pengendali optimal K * melainkan pada ekspresi analitik pada J , yaitu J
inf J . Ekspresi analitik dari J diberikan di (Chen et al. 2003). K
BAB III PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK 3.1 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar Pada penelitian ini pertama kali yang dilakukan adalah menurunkan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar seperti pada Gambar 5. Pendulum diasumsikan seragam (uniform) sehingga inersianya diberikan oleh I = Diasumsikan friksi antara pendulum dengan motor sebesar motor dan lintasan sebesar
1 3
ml 2 .
dan friksi antara
.
Gambar 5: Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar
Persamaan gerak antara input kendali u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor, dengan posisi motor x terhadap titik awal, sudut pendulum maka model dapat diturunkan sebagai berikut : 1
Energi Kinetik Energi kinetik pada motor:
Km
1 Mx 2 . 2
Energi kinetik pada pendulum:
Kp
1 2 mx 2
mx cos
2 2 ml 3
2
.
Total energi kinetik:
K
Km
K
1 (M 2
Kp . m) x 2
mlx cos
2 2 ml 3
2
.
14 2
Energi Potensial Energi potensial pada motor: Pm
0.
Energi potensial pada pendulum: Pp
mgl cos .
Total energi potensial: P 3
Pm
Pp
mgl cos .
Energi yang Hilang Energi yang hilang pada motor:
D1
1 2 x . 2
Energi yang hilang pada pendulum: D2
1 2
2
.
Total energi yang hilang: D 4
2
)
Fungsi Lagrange L
5
1 ( x2 2
D1 D2
K
P
1 (M 2
m) x 2
2 2 ml 3
mlx cos
2
mgl cos
Persamaan Euler Lagrange Misal q = (q1,q2) di mana q1 = x , q1 L q1 d dt L q1 D q1
(M
m) x ml cos ,
L q1
(M
0,
x,
m) x ml cos
dq1 dan q2 = ? , q2 dt
ml
2
sin ,
dq2 . Diperoleh: dt
15 L q2
4 2 ml 3
d dt
L q2
L q2
mlx cos , 4 2 ml 3
mlx sin
D q2
mlx sin ,
mlx cos
mgl sin ,
,
d dt
L q1
L q1
D q1
d dt
L q2
L q2
D q2
u,
0.
Dengan menyubstitusikan suku-suku yang bersesuaian pada dua persamaan terakhir diperoleh: (M
m) x ml cos
4 2 ml 3
ml
mxl cos
2
sin
mgl sin
x u,
(3.1)
0.
(3.2)
Karena model persamaan (3.1) dan (3.2) tersebut taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oleh pendulum
adalah cukup kecil, sehingga sin
, cos
1 dan
2
0.
(lihat Lampiran 5) Dengan demikian bentuk linear dari persamaan (3.1) dan (3.2) adalah sebagai berikut: (M 4 2 ml 3
m) x ml
x u,
mlx mlg
(3.3)
0.
(3.4)
3.2 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring Di bagian ini akan diturunkan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring seperti pada Gambar 6, di mana lintasan pendulum membentuk sudut sebesar
dari sumbu datar. Pendulum diasumsikan seragam (uniform)
16 sehingga inersianya diberikan oleh I = 13 ml 2 . Diasumsikan friksi antara pendulum dengan motor sebesar
dan friksi antara motor dan lintasan sebesar
.
Gambar 6 : Sistem Pendulum terbalik dengan lintasan miring M = berat motor m = berat pendulum ? = sudut pendulum a = sudut kemiringan jalan u = input kendali
µ = koefisien gesek antara motor dengan jalan ? = koefisen gesek antara motor dengan pendulum g = koefisien gravitasi x = jarak motor dengan titik awal
Persamaan gerak antara input kendali u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor, dengan posisi motor x terhadap titik awal, sudut pendulum dan sudut kemiringan lintasan a dapat diturunkan sebagai berikut: 1
Energi Kinetik Energi kinetik pada motor:
Km
1 Mx 2 . 2
Energi kinetik pada pendulum:
Kp
1 mx mx cos( 2
)
2 2 ml 3
2
.
Total energi kinetik:
2
K
Km
K
1 (M 2
Kp . m) x 2
mlx cos(
Energi Potensial Energi potensial pada motor:
)
2 2 ml 3
2
.
17 Pm
0.
Energi potensial pada pendulum: Pp
).
mgl cos(
Total energi potensial: P 3
Pm
Pp
).
mgl cos(
Energi yang Hilang Energi yang hilang pada motor:
D1
1 2 x . 2
Energi yang hilang pada pendulum: D2
1 2
2
.
Total energi yang hilang: D 4
2
).
Fungsi Lagrange L
5
1 ( x2 2
D1 D2
K
1 (M 2
P
m) x 2
mlx cos(
2 2 ml 3
)
2
mgl cos(
Persamaan Euler Lagrange Misal q = (q1,q2) dimana q1 = x , q1 L q1 d dt L q1
(M
m) x ml cos(
L q1
(M
x,
L q2
4 2 ml 3
m) x ml cos(
mlx cos(
dq2 dt
),
0,
D q1
dq1 dan q2 = ? , q2 dt
),
) ml
2
sin(
),
)
18 d dt
L q2
L q2
4 2 ml 3
mlx cos(
mlx sin(
D q2
),
) mlx sin(
) mgl sin(
),
,
d dt
L q1
L q1
D q1
d dt
L q2
L q2
D q2
u (M
m) g sin
,
0.
Dengan menyubstitusikan suku-suku yang bersesuaian pada dua persamaan terakhir diperoleh:
(M
m) x ml cos(
4 2 ml 3
mxl cos(
) ml
2
sin(
x u (M
)
) mgl sin(
m) g sin
, (3.5)
) 0.
(3.6)
Karena model persamaan (3.5) dan (3.6) tersebut taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oleh pendulum adalah cukup kecil, dengan demikian maka sin dan x
0 (lihat Lampiran 5). Diasumsikan juga bahwa x 0 0,
0
, cos
2
0
0, x 0
0,
1,
0 yang artinya berturut-turut adalah posisi awal motor ada di titik
0, motor bergerak dari keadaan diam, posisi awal pendulum adalah tegak lurus dengan bidang datar, dan pendulum bergerak dari keadaan diam. Bentuk linear dari persamaan (3.5) dan (3.6) sebagai berikut:
(M
m) x ml cos
4 2 ml 3
mlx cos
x u (M
m) g sin
mlg cos
mlg sin
,
(3.7)
0.
(3.8)
Penurunan lengkap dari bentuk linear persamaan (3.7) dan (3.8) dapat dilihat di Lampiran 6. Persamaan (3.7) dan (3.8) merupakan persamaan gerak antara input kendali u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor, dengan posisi motor x terhadap titik awal, sudut pendulum
dan sudut kemiringan jalan a. Langkah selanjutnya
19 akan akan dicari pole dan zero dari persamaan gerak sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring.
3.3 Pole dan Zero Karena persamaan (3.7) dan (3.8) merupakan bentuk persamaan diferensial, maka untuk mempermudah penyelesaian persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk persamaan aljabar dengan menggunakan transformasi Laplace. Transformasi Laplace dari persamaan (3.7) dan (3.8) adalah: sX ( s ) U ( s ) ( M m) g sin ( M m) s 2 X ( s ) mls 2 cos ( s ) (3.9) 4 2 2 ml s ( s ) s ( s ) mls 2 cos X ( s ) mgl cos ( s ) mgl sin 3 (3.10) Persamaan (3.19) dan (3.20) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: ( M m) s 2 mls 2 cos X (s)
mls 2 cos 4 ml 2 s 2 s mgl cos 3
m) s 2
(M
1
4 3
4 3
ml 2 s 2
ml 2 s 2
mls cos
s (a3 s 3 a2 s 2
dengan di mana a3
4 3
(M
a2
4 3
ml 2
U ( s ) ( M m) g sin mgl sin 1
U (s) (M
mls 2 cos (M
m) s
2
m) g sin
mgl sin
s mgl cos
s mgl cos 2
(s)
X (s) ( s)
mls 2 cos
s
mls 2 cos
(s) X (s)
s
U (s) (M
m) g sin
mgl sin
s
a1s a0 )
m)ml 2 m 2l 2 cos 2
(M
a1
(M
a0
mgl cos
m)
m)mgl cos
Bentuk persamaan matriks di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan matrik sebagai berikut: X (s) ( s)
1
4 3
ml 2 s 2
s mgl cos mls 2 cos
mls 2 cos ( M m) s 2
s
U (s) 0
(M
m) g sin mgl sin
20 X (s)
1
4 3
ml 2 s 2
2
( s)
1
4 3
ml 2 s 2
mls 2 cos
s mgl cos
m) s
2
mls cos
(M
s mgl cos mls 2 cos
mls 2 cos ( M m) s 2
U (s) s
0
(M s
m) g sin mgl sin
Selanjutnya dapat diperoleh: X (s)
1
4 3
ml 2 s 2
2
(s)
mls cos
X (s) ( s)
1
4 3
ml 2 s 2
mls 2 cos
s mgl cos (M
s mgl cos mls 2 cos
m) s
2
U (s) s
0
U ( s)
Dengan demikian, X ( s) Px ( s ) : U (s) ( s) U ( s)
P (s) :
ml 2 s 2 s mgl cos 3 s (a3 s a2 s 2 a1s a0 )
4 3
mls 2 cos s (a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 )
Diasumsikan tidak ada friksi antara motor dan pendulum serta tidak ada friksi antara motor dan lintasan, yaitu
0 , maka Px(s) dan P?(s) memiliki pole
takstabil di Px ( s )
4 3
s 2 [ 43 ( M
P (s)
[ 43 ( M
m)ml 2
m)ml
2
ml 2 s 2 mgl cos m 2l 2 cos 2 ]s 2 ( M
ml cos m l cos 2 ]s 2 ( M 2 2
Dapat dilihat dengan mudah bahwa jika
,
m)mgl cos
m)mgl cos
.
(3.11)
(3.12)
0 , maka bentuk persamaan (3.11)
dan (3.12) akan tereduksi menjadi:
X ( s) U (s) (s) P (s) : U (s) Px ( s ) :
4 s 2 ml 2 3 s 3 gml , s (a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 ) 3mls , 3 a3 s a2 s 2 a1s a0
seperti pada persamaan (2.11) dan (2.12) pada kasus sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar.
21 Menentukan Zero Pada bagian ini akan ditentukan zero dari fungsi transfer Px ( s ) dan P ( s ) pada persamaan (3.11) dan (3.14) a. Zero dari Px ( s ) 4 2 2 ml s mgl cos 3
4ml 2 s 2
0
3mgl cos
s2
3mgl cos 4ml 2
s2
3 g cos 4l 3g cos 4l
s
Jadi non minimum phase zero dari Px ( s ) adalah:
3 g cos 4l
z Jika
(3.13)
0 maka bentuk persamaan (3.13) akan tereduksi menjadi: 3g seperti pada persamaan (2.14) 4l
z
b. Zero dari P ( s ) ml cos
s
0
0
Jadi P ( s ) tidak mempunyai non minimum phase zero
Menentukan Pole Selanjutnya akan ditentukan pole dari fungsi transfer Px ( s ) dan P ( s ) s2
4 (M 3
m)ml 2 m 2l 2 cos 2
s2
4( M
m)ml 2 3m 2l 2 cos 2
s2
0 atau
4( M
s2
M
s2 3 M
m)ml 2 3m 2l 2 cos 2
m mgl cos m mgl cos s2 3 M
0 0
m mgl cos
0
22 s2
s
3( M m)mgl cos 4( M m) 3m cos 2
ml 2
3 g ( M m) cos l 4( M m) 3m cos 2
Jadi pole tak stabil dari Px ( s ) dan P ( s ) adalah: p Jika p
3 g ( M m) cos l 4( M m) 3m cos 2
0 maka bentuk persamaan (3.14) akan tereduksi menjadi: 3 g ( M m) seperti pada persamaan (2.13). l (4 M m)
(3.14)
BAB IV KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL 4.1 Ekspresi Analitik Pada bagian ini akan dibahas karakterisasi parameter pada masalah tracking error optimal. Pengendalian posisi motor x dan ekspresi analitik dari
J yang akan menjadi pusat perhatian dalam karya ilmiah ini. Ekspresi analitik dari J diberikan oleh Teorema 3 berikut ini:
Teorema 3 Misalkan sistem P(s) memiliki pole takstabil pk (k = 1, ... , np) dan zero takstabil zi (i = 1, ... , nz). Ekspresi analitik bagi
J*
inf
e(t ) 2 dt
0
K
diberikan oleh nz
J*
np
2 Re zi
i 1
zi
2 k ,l
4 Re pk Re pl pl ) p k pl b k bl 1 ( pk
k
l
di mana bk : l k
1; n p
1
pl pk
; np
p l pk
nz k
: 1
2
zi p k zi pk
i 1
Bukti : lihat Chen et al. 2003. Akibat 1
Px ( s ) pada kasus ini hanya memiliki satu pole takstabil p dan satu non minimum phase zero z, maka : J
2 z
dengan
4 p2 2 pp 2
2 z
2
1
2 p z z
p p
2
(4.1)
24 4 p2 ( z p)2
2
Sehingga dengan menyubstitusi
2
ke dalam persamaan (4.1) didapat
2 4 p2 p z 2 2 zp p 2
J
2 z
J
2( z z( z
p)2 p)2
(4.2)
Akibat 2 Jika P s memiliki dua pole takstabil p1, p2 dan satu non minimum phase zero z, maka : 2 z
J
2 p1b12
2 1
8 p2 b1b2
p1
dengan b1
p2 p2
p1 , p1
b12
b2
p1 p1
p2 , p2
2 2
1
1
2
1
p1 , p1
2 1
z z
p2 , p2
2 2
1
,
2
,
2 1
p2
p1
p2
p1
p1
p2
p1
p2
z
p1
p2
(4.3)
,
2
2
,
2
2
,
2
.
4 p22
z
2 2
2
4 p12
2 2
,
2 p2b22
2
b
z z
Dengan menyubstitusi b1 , b2 , b12 , b22 ,
1
ke dalam persamaan (4.3) di
dapat: J
2 z
8 p1 p2
p2
p1
2
p1
z
2
p1
16 p1 p2 p1 2
p2
p1
p1
p2
p2 z
p1
8 p2 p1 z
p2
p1
p2
2
p2
z
2
p2
2
4.2 Tracking Error Optimal Sudah ditunjukkan bahwa sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring memiliki satu pole takstabil dan satu non minimum phase zero seperti diberikan
25 oleh persamaan (3.13) dan (3.14), maka berdasarkan akibat 1 tracking error optimal diberikan oleh: 2
2
3 g cos 4l
3 g ( M m) cos l 4( M m) 3m cos 2
J
2
3 g cos 4l
3 g cos 4l
(4.4)
3g ( M m) cos l 4( M m) 3m cos 2
Dari persamaan (4.4) dapat disederhanakan menjadi: l 4 3 g cos
J
m l
Selanjutnya diasumsikan pendulum dan
2
M
m
3 4
m cos 2
M
m
M
m
3 4
m cos 2
M
m
(4.5)
l dengan m massa pendulum, l panjang
m
”massa jenis pendulum”. Persamaan (4.5) menjadi: l 4 3 g cos
J
2
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
. (4.6)
Bentuk berikut:
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
dapat dirasionalkan penyebutnya sehingga menjadi:
M
l
3 4 3 4
2
l cos 2
M
l
l cos 2
Sehingga persamaan (4.6) menjadi:
J
4
M
l 3 g cos
l
l cos 2
3 4 3 4
l cos 2
l cos 2
M
2
M
2
l
dan dapat disederhanakan menjadi:
J
64l 9 3g
2
3 2
cos
9 2
M
l
3 4
4
Selanjutnya akan dicari l dengan menyelesaikan persamaan
l dJ dl
.
(4.7)
0
26 Misalkan w
2
9 3g v
v'
3 2
64l
M
4
32
l cos
9
maka
l
4 3cos 2
3
M
l 8 M
M
2
3 4
l
9 3g
5
l cos 2
2 M
l
M
l
9
l 2 cos 2 3
l cos 2 2
3 4
l
4
l cos 2
3 4
l
M
M
2
3 3g 256
5
l 2 cos 2
4
l cos 2
3 4
l
2
3 3g
3 4
l
M
dJ dl
cos
32
maka w '
9 2
3
M
l
4 3cos 2
9
l 2 cos 2
8 M
3 4
l
l cos 2
2 M
l
l cos 2
2 M
l
Dengan demikian berakibat: 32
M
l
2
3 3g 256
M
4
l cos 2
3 4
l
M
5
l
9
l 2 cos 2 3 4
9 3g
3
l cos 2 2
3 2
l cos
M
l
9 2
4 3cos 2 3 4
8 M
l
60 M 2
0.
yang selanjutnya dapat disederhanakan menjadi:
4 3cos 2
2 2
l
8 3cos 2
lM
Penyelesaian bagi l adalah: 8 3cos 2
M
l1,2
2
2
M2
2 4 3cos 2 8 3cos 2
l1,2
M
1024 768cos 2
240 4 3cos 2
2
9 cos 4
M
8 6 cos 2 8 3cos 2
l1
8 3cos 2
1024 768cos 2 8 6 cos 2
9 cos 4
M
2
M2
27 8 3cos 2 l2
1024 768cos 2
9 cos 4
M
8 6 cos 2
Jadi panjang pendulum minimal adalah 8 3cos 2 l m M
1024 768cos 2
9 cos 4
M
8 6 cos 2
8 3cos 2
1024 768cos 2
9 cos 4
8 6 cos 2
(4.8)
Penurunan secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran 8. Dapat dilihat bahwa jika m M
0 , maka ekspresi akan tereduksi menjadi:
265 5 2
(4.9)
Persamaan (4.8) menunjukkan bahwa rasio antara massa pendulum dan massa motor adalah konstan. Sehingga tracking error optimal dapat dicapai sepanjang rasio antara massa pendulum dan massa motor adalah konstan, tanpa memandang bahan dari pendulum.
BAB V SIMULASI Pada karya ilmiah ini bahan pendulum yang digunakan adalah platina. Bahan platina dipilih karena platina mempunyai massa jenis yang cukup besar bila dibandingkan dengan bahan yang lain, yaitu sebesar 21450 kg/m 3 (Kittel 2005). Dengan asumsi pendulum berbentuk silinder berjari-jari (0,5 .10-2) meter dan panjang pendulum 2l, maka volum pendulum:
V
r 2 2l
V
(5 10 3 ) 2 2l
V
2l
25 10
V
5l
10 5 .
6
Selanjutnya akan dicari nilai dari
sebagai berikut:
m V m 5l 10 Jadi nilai
m l
5
5
10
5
adalah :
5
10
5
di mana = massa jenis pendulum m = massa pendulum V = volum pendulum Jika pendulum terbuat dari platina yang mempunyai massa jenis 21450 kg/m3, maka
107250 .10 5 . Dengan mengambil
3,14 maka nilai
3,3677 . Dengan mengambil M = 1 maka dapat ditentukan panjang pendulum minimal untuk sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar yaitu 1, 675 meter. Sedangkan untuk sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring 450 diperoleh
8 3cos 2 450 l
1024 768cos 2 450 9 cos 4 450 1 8 6 cos 2 450 3,3677
29
8 3(0, 7071) 2 l
1024 768(0, 7071) 2 9(0, 7071) 4 8 6(0, 7071) 2 3,3677
l = 1,119 meter. Secara lengkap perbandingan sudut kemiringan lintasan
dan panjang
pendulum minimal yang diperlukan l dapat dilihat Gambar 7. Pada Gambar 7 disimulasikan nilai tracking error optimal J
dan panjang
pendulum minimal l pada lintasan yang besar sudut kemiringannya
berbeda-
beda. Hasil dari simulasi antara nilai tracking error optimal J pendulum optimal l pada lintasan yang besar sudut kemiringannya
dan panjang berbeda-
beda dapat dilihat pada Gambar 7 sebagai berikut:
tracking error optimal (J)
TRACKING ERROR 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
Jd J45 J30 J15 J12
0.1
0.4
0.7
1
1.3
1.6
1.9
2.2
2.5
2.8
panjang pendulum optimal (l) Gambar 7: Grafik masalah tracking error Dari gambar di atas dapat dilihat: 1. Pada lintasan datar panjang pendulum minimal 1,7 meter dengan J = 15,5085 2. Pada lintasan miring dengan sudut kemiringan 100 panjang pendulum minimal 1,6 meter dengan J = 17,27245 3. Pada lintasan miring dengan sudut kemiringan 150 panjang pendulum minimal 0,7 meter dengan J = 63,30747
30 4. Pada lintasan miring dengan sudut kemiringan 300 panjang pendulum minimal 0,7 meter dengan J = 96,19386 5. Pada lintasan miring dengan sudut kemiringan 450 panjang pendulum minimal 1,1 meter dengan J = 120,7843 Hasil secara lengkap simulasi dapat dilihat pada Lampiran 9. Jadi jika pendulum sangat pendek maka nilai J sangat besar. Jika panjang pendulum diperpanjang, maka nilai J semakin kecil. Kejadian ini berlaku sampai pada satu titik minimum. Setelah itu akan berubah, yaitu jika pendulum semakin panjang maka nilai J semakin besar. Tracking error optimal juga dipengaruhi oleh sudut kemiringan lintasan. Jika sudut kemiringan lintasan semakin besar maka nilai optimumnya juga semakin besar. Ini berarti bahwa semakin miring lintasan, maka semakin sulit sistem untuk dikendalikan dan distabilkan. Selain itu juga disimulasikan panjang pendulum optimal l dan lintasan yang besar sudut kemiringannya
berbeda-beda lihat Gambar 8.
Hasil dari simulasi antara panjang pendulum optimal l dan lintasan yang besar sudut kemiringannya
berbeda-beda dapat dilihat pada Gambar 8 berikut:
panjang pendulum (dalam meter)
PANJANG PENDULUM DAN KEMIRINGAN LINTASAN
1.8 1.6 1.4 l 1.2 1 0.8 0
7.5
15 22.5 30 37.5 45 52.5 60 67.5 75 82.5 90 sudut kemiringan lintasan (dalam derajad)
Gambar 8: Grafik panjang pendulum optimal dan sudut kemiringan lintasan
Dari Gambar 8 di atas dapat dilihat bahwa panjang pendulum minimal yang diperlukan sangat dipengaruhi oleh besar sudut kemiringan lintasan. Apabila sudut kemiringan lintasan semakin besar, maka panjang pendulum semakin kecil.
BAB VI SIMPULAN Dari penelitian ini dapat disimpulkan sebagai berikut : 1. Diturunkan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar dan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring. Kedua model tersebut merupakan persamaan gerak antara input kendali u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor dengan posisi motor x terhadap titik awal dan sudut pendulum
.
2. Tracking error optimal dipengaruhi oleh
sudut kemiringan lintasan. Jika
sudut kemiringan lintasan semakin besar, maka tracking errornya juga semakin besar. 3. Panjang pendulum optimal dipengaruhi oleh sudut kemiringan lintasan. Hubungan antara panjang pendulum optimal dan sudut kemiringan lintasan berbanding terbalik. Sudut kemiringan lintasan semakin besar maka panjang pendulum optimal semakin pendek. 4. Tracking error optimal dapat dicapai sepanjang rasio antara massa pendulum dan massa motor adalah konstan, tanpa memandang bahan dari pendulum.
DAFTAR PUSTAKA Atay FM, Balancing the inverted pendulum using position feedback, App. Math. Lett., vol. 12, pp. 51–56;1999. Chen J, Hara S, and Chen G , ”Best tracking and regulation performance under control energy constraint,” IEEE T. Automat. Contr., vol. 48, no. 8, pp. 1320– 1336; 2003. Hara S dan Kogure C , ”Relationship between H2 control performance limits and RHP pole/zero locations,” Proc. 2003 SICE Annual Conference, Fukui, Japan, pp. 12421246; 2003 Kittel C. Introduction to Solid State Physics. Eighth Edition. John Wiley & Sons, Inc; 2005. Lewis AD. A Mathematical Approach to Classical Control, Canada: Departement of Mathematics and Statistics Queen’s University Kingston; 2004. Loram ID dan Lakie M , ”Human balancing of an inverted pendulum: position control by small, ballistic-like, throw and catch movements,”J. Physiol., 540.3, pp. 1111-1124; 2002. Loram ID, Gawthrop PJ, dan Lakie M , ”The frequency of human, manual adjustments in balancing an inverted pendulum is constrained by intrinsic physiological factors,” J. Physiol., 577.1, pp. 417-432; 2006. Loram ID, Kelly SM, dan Lakie M , ”Human balancing of an inverted pendulum: is sway size controlled by ankle impedance?” J. Physiol., 532.3, pp. 879-891; 2001. Microrobot Co.L.td,” MP-2000 ( MR-010 )Inverted Pendulum System Manual”, , http//www.active-robots.com/produck/inverted-pendulum/ip-manual.pdf, [21 Des 2007] Ogata K. Modern Control Engineering, Second Edition. Minnesota: University of Minnesota; 1990. Ogata K. Teknik Kontrol Automatik. Jilid 1,2. Edi Laksono, penerjemah; Bandung: ITB; 1985. Terjemahan dari:” Modern Control Engineering”. Taurasi I, Inverted Pendulum Studies for Seismic Attenuation, SURF Final Report LIGO T060048-00-R, California Institute of Technology, USA; 2005. Woodyatt AR, Middleton RH, and Freudenberg JS, Fundamental Constraints for the Inverted Pendulum Problem, Technical Report EE9716, Department of Electrical and Computer Engineering, the University of Newcastle, Australia; 1997
35 Lampiran 1 Bukti Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat – sifat transformasi Laplace : Misalkan £ f t
F s dan £ g t
G s , maka:
1. Sifat penjumlahan £ f (t ) g (t )
F (s) G ( s)
Bukti: £ f t
g t
0
0
e
st
f t
e
st
f t dt
g t dt 0
e st g t dt
£ f(t) + £ g(t) F(s) + G(s) 2. Sifat perkalian Jika a
R , maka:
£ af(t)
a F(s)
Bukti: £ af(t)
0
a
e st af t dt
0
e
st
f t dt
a £ f(t) a F(s) 3. Sifat turunan pertama £
df t dt
sF s
f 0
Bukti: £
df (t ) dt
0
e
st
df (t ) dt dt
lim b
b 0
e
st
df (t ) dt dt
Misalkan fungsi f t dan turunannya adalah kontinu di dalam selang terbatas, maka : Misal u
e
st
du
se st dt
36
df t
dv
v
dt
f t
maka dengan integral parsial diperoleh: b 0
e
st
df (t ) dt dt
st
e s
0
f (t ) st
e
Akan ditunjukkan lim e
s e
sb
st
0
f b
f (t ) dt
f 0
f t dt
b
Karena f t
b
b 0
sb
e
f b
0
eksponensial berorder e t , maka ada konstanta M dan T yang
memenuhi:
Me
t
f t
Me
t
atau st
e
t
Me
Me
s
t
e
e
st
st
f t
f t
e
st
Me
s
Karena T cukup besar t T , fungsi e untuk s
mendekati 0 ketika t
ketika t
, jadi lim e
sb
£
df t dt
t
untuk t T
f t terbatas diantara dua fungsi
0
sF s
f 0
0
sF ( s )
f (0)
4. Sifat turunan kedua £
d 2 f (t ) dt
s 2 F (s)
f (0) sf (0)
Bukti:
d 2 f (t ) £ dt
e
0
e
st
st
d 2 f (t ) dt dt
df (t ) dt
f (0) s £
0
df (t ) dt
s
0
t
. Sehingga e
f b
b
st
Me
e
st
df (t ) dt dt
st
f t juga mendekati 0
37
s 2 F ( s)
f (0) sf (0)
5. Sifat eksponensial £
eat
1 s a
Bukti: £
eat
0
0
e st eat dt e 1
s a
( s a )t
e
1
s a 1
s a 1 s a
dt
( s a )t
0
e 0 1
e0
LAMPIRAN
35 Lampiran 1 Bukti Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat – sifat transformasi Laplace : Misalkan £ f t
F s dan £ g t
G s , maka:
1. Sifat penjumlahan £ f (t ) g (t )
F (s) G ( s)
Bukti: £ f t
g t
0
0
e
st
f t
e
st
f t dt
g t dt 0
e st g t dt
£ f(t) + £ g(t) F(s) + G(s) 2. Sifat perkalian Jika a
R , maka:
£ af(t)
a F(s)
Bukti: £ af(t)
0
a
e st af t dt
0
e
st
f t dt
a £ f(t) a F(s) 3. Sifat turunan pertama £
df t dt
sF s
f 0
Bukti: £
df (t ) dt
0
e
st
df (t ) dt dt
lim b
b 0
e
st
df (t ) dt dt
Misalkan fungsi f t dan turunannya adalah kontinu di dalam selang terbatas, maka : Misal u
e
st
du
se st dt
36
df t
dv
v
dt
f t
maka dengan integral parsial diperoleh: b 0
e
st
df (t ) dt dt
st
e s
0
f (t ) st
e
Akan ditunjukkan lim e
s e
sb
st
0
f b
f (t ) dt
f 0
f t dt
b
Karena f t
b
b 0
sb
e
f b
0
eksponensial berorder e t , maka ada konstanta M dan T yang
memenuhi:
Me
t
f t
Me
t
atau st
e
t
Me
Me
s
t
e
e
st
st
f t
f t
e
st
Me
s
Karena T cukup besar t T , fungsi e untuk s
mendekati 0 ketika t
ketika t
, jadi lim e
sb
£
df t dt
t
untuk t T
f t terbatas diantara dua fungsi
0
sF s
f 0
0
sF ( s )
f (0)
4. Sifat turunan kedua £
d 2 f (t ) dt
s 2 F (s)
f (0) sf (0)
Bukti:
d 2 f (t ) £ dt
e
0
e
st
st
d 2 f (t ) dt dt
df (t ) dt
f (0) s £
0
df (t ) dt
s
0
t
. Sehingga e
f b
b
st
Me
e
st
df (t ) dt dt
st
f t juga mendekati 0
37
s 2 F ( s)
f (0) sf (0)
5. Sifat eksponensial £
eat
1 s a
Bukti: £
eat
0
0
e st eat dt e 1
s a
( s a )t
e
1
s a 1
s a 1 s a
dt
( s a )t
0
e 0 1
e0
38 Lampiran 2 Pole dan Zero Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar Persamaan gerak sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar diberikan oleh persamaan (3.3) dan (3.4), yaitu: ( M m) x ml x u, 4 2 ml mlx mgl 0. 3
(3.9) (3.10)
Karena persamaan (3.9) dan (3.10) merupakan bentuk persamaan differensial, maka untuk mempermudah penyelesaian persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk persamaan aljabar dengan menggunakan transformasi Laplace. Transformasi Laplace dari persamaan (3.9) dan (3.10) adalah: (3.11) ( M m) s 2 X ( s ) mls 2 ( s ) sX ( s ) U ( s ) 4 2 2 ml s ( s ) s ( s ) mls 2 X ( s ) mgl ( s ) 0 (3.12) 3 Persamaan (3.11) dan (3.12) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: m) s 2
(M
mls
X ( s)
2
2 2
4 3
mls 1
ml s
m) s 2
(M
( s) X ( s) ( s)
mls 2
s
4 3
4 3
2
(M
s (a3 s 3 a2 s 2
a1s a0 ) ,
di mana a3
4 3
(M
a2
4 3
ml 2
m)ml 2 m 2l 2 (M
a1
(M
a0
mgl ,
m)
m)mgl
selanjutnya diperoleh: X ( s) ( s)
1
4 3
ml 2 s 2
s mgl mls 2
U (s) .
m) s
2
U (s) 0
s mgl mls 2
s mgl mls
dengan
ml s
0 1
mls 2 2 2
U (s)
( s)
s mgl
s
2
ml 2 s 2
X (s)
s
U ( s) 0
39 Dengan demikian, Px ( s ) :
X ( s) U (s)
P (s) :
(s) U (s)
ml 2 s 2 s mgl , 3 2 s (a3 s a2 s a1s a0 ) 4 3
a3 s
3
mls . a2 s 2 a1s a0
Diasumsikan tidak ada friksi antara motor dan pendulum serta tidak ada friksi
0 , maka Px(s) dan P?(s) memiliki pole
antara motor dan lintasan, yaitu takstabil di
ml 2 s 2 mgl m)ml 2 m 2l 2 ]s 2 [( M 4 3
Px ( s )
s 2 [ 43 ( M
P (s)
4 3
[ (M
m)ml
2
ml m l ]s 2 [( M 2 2
m)mgl ]
m)mgl ]
,
.
(3.13)
(3.14)
Dimana Px ( s ) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi motor x dan P ( s ) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi sudut pendulum
.
Menentukan Zero Pada bagian ini akan ditentukan zero dari fungsi transfer Px ( s ) dan P ( s ) a. Zero dari Px ( s ) 4 2 2 ml s mgl 3 s2
mgl ml 2
4 3
0 g l
s
4 3
3g 4l
Jadi non minimum phase zero dari Px ( s ) adalah:
3g 4l
z
(3.15)
b. Zero dari P ( s )
ml
0
s
0
Jadi P ( s ) tidak mempunyai non minimum phase zero
40 Menentukan Pole Selanjutnya akan ditentukan pole dari fungsi transfer Px ( s ) dan P ( s ) s2 s2
s
s
4 (M 3 4 3
m)ml 2 m 2l 2 s 2
M
m mgl
0
( M m)mgl ( M m) m ml 2
4 3
( M m) g ( M m) m l
3 g ( M m) l (4 M m)
Jadi pole tak stabil dari Px ( s ) dan P ( s ) adalah: p
3 g ( M m) l (4 M m)
(3.16)
41 Lampiran 3 Bukti Teorema 1 Misalkan sistem
A, B, C , D diberikan sebagai berikut:
x(t )
Ax(t ) Bu (t )
y (t ) Cx(t ) Du (t ) Adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika setiap akar ciri dari matrik A mempunyai bilangan real negatif. Bukti: Misalkan solusi dari definisi stabil asimtotik, yaitu:
x
e At x0 ; t
e At
£ -1
0,
maka sI
1
A
Q( s ) , sI A
= £ -1 di mana
Q( s ) Q1s n sI
A
sn
1
Q2 s n a1s n
2
1
... Qn 1s Qn ,
... an 1s an
Qi matriks konstan ai bilangan konstan Diasumsikan bahwa
1
,
2
,...,
m
adalah akar ciri dari matriks A dengan
multiplisitas n1 , n2 ,..., nm , maka: m
sI
A
n
s
i
i 1
dan matriks resolvent sI
A
Q( s)
1 m
s
ni i
i 1
selanjutnya masing-masing elemen di dapat
42 Qvw ( s )
; v, w 1, 2,..., n.
m
ni
s
i
i 1
Perluasan pecahan parsial berlaku Qvw s m
ni
s
K vw11 s 1
K vw12 2
s
K vw1n1 s 1
...
1
i
K vw 21 s 2
K vw 2 n2
...
s
n2
...
2
i 1
K vw m1 s m
K vw mn
...
nm
s
m
dengan v,w = 1, 2,…, n. Misalkan didefenesikan
K11 matriks n n dengan v,w adalah elemen dari K vw11 , K12 matriks n n dengan v,w adalah elemen dari K vw12 ,
dan seterusnya. Dengan menggunakan notasi matriks, dapat ditulis sI
A
m
1
n1
K ij i 1 j 1
1 j
s
.
i
Selanjutnya diberikan
e At x0
x
m
n1
= £ -1
K ij i 1 j 1
m
n1
=
K ij i 1 j 1
1 s
tj 1 e j 1!
j
x0
i
it
x0 .
Dari persamaan di atas dapat ditunjukkan bahwa jika Re terbatas pada 0,
i
0 maka t j 1e
untuk bilangan integer j.
Selanjutnya dengan menggunakan aturan Hospital, dapat dituliskan:
lim x t t
Misalkan
i
0
tidak mempunyai bilangan real negatife, maka
it
43
lim t ni 1e
it
0 , K ini
t
0
diperoleh x0 sedemikian sehingga
0.
lim x t t
Berdasarkan hasil tersebut, maka kestabilan dapat ditentukan dari letak akar karakteristik polinomial
I
A , sehingga dapat disimpulkan:
1. Sistem adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika Re
i
0 , untuk setiap i =
1, 2, …, n 2. Sistem takstabil jika dan hanya jika Re
i
0 , untuk setiap i = 1, 2, …, n
44 Lampiran 4 Bukti Teorema 2 Misalkan
D s
sn
a1s n
D s
0,
1
a2 s n
2
... an
diasumsikan bahwa akar-akar pi dari D s bernilai real atau kompleks, maka fungsi transfer P s dapat ditulis menjadi:
b0 s m b1s m 1 ... bm s n a1s n 1 ... an
N s
P s
D s m
K
s zi i 1 n
=
n.
,m s
pi
i 1
Jika D s
memiliki pole-pole yang berlainan, maka P s
dapat diuraikan
menurut pecahan parsialnya, yaitu: P s
N s D s
K1 s p1
K2 s p2
Kn s pn
...
dengan K i adalah konstanta dan selanjutnya K i disebut residu dari pole s Dengan mengalikan kedua ruas dengan s
pi .
pi dan mensubstitusikan s
pi ,
diperoleh N s D s
s
pi s pi
K1 s s p1
K2 s s p2
pi
pi
...
Ki s s pi
pi
...
Kn s s pn
= Ki Terlihat bahwa semua suku yang diuraikan bernilai nol, kecuali K i . Sehingga residu K i dapat diperoleh dari: Ki
N s D s
s
pi
. s pi
pi s pi
45 Karena y
f x merupakan fungsi bernilai real, maka p1 , p2 dan K1 , K 2 saling
konjugat. Untuk kasus ini kita kita hanya perlu menghitung K1 atau K 2 , karena yang lainnya dapat diketahui. Berdasarkan definisi invers transformasi Laplace dan dengan memperlihatkan bahwa: £ -1
Ki s pi
K i e pi t
maka diperoleh
y
K i e pit
dengan pi adalah akar-akar dari D s dan nilai dari K1 tergantung pada syarat awal dan letak zero atau akar persamaan dari N s . Terlihat bahwa jika Re pi
0, maka berlaku y
0 ketika t
.
Jadi fungsi transfer P s berlaku: 1. Stabil jika dan hanya jika Re pi
0 , untuk semua i 1,..., n
2. Stabil asimtotik jika dan hanya jika Re pi 3. Takstabil jika dan hanya jika Re pi
0 , untuk semua i 1,..., n
0 , untuk semua i 1,..., n
46 Lampiran 5 Contoh Penggunaan Deret Taylor 1. Hampiri fungsi f( ) = sin ( ) ke dalam deret Taylor di sekitar
sin
sin 0
sin
0
(
0)
1!
0
=0
0
=0
cos 0 ...
...
sin 2. Hampiri fungsi f( ) = cos ( ) ke dalam deret Taylor di sekitar (
cos
cos 0
cos
1 0 ...
cos
1
0)
1!
2
3. Hampiri fungsi f( ) = 2
2 0
(
0)
1!
2
0 0 ...
2
0
2
( sin 0) ...
ke dalam deret Taylor di sekitar
0
0
=0
...
4. Hampiri fungsi f ( x, ) x ke dalam deret Taylor di sekitar x0 x
f ( x0 , 0 )
x
0
x
0 0 0 ...
x
0
0
x x0
f x
( x x0 ) x x0 ,
...
0
f
( x x0 ,
0
0
) ...
0 dan
0
=0
47 Lampiran 6
Pelinearan Model Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring
(M
m) x ml cos(
4 2 ml 3
) ml
mxl cos(
2
sin(
x u (M
)
m) g sin
, (3.5)
) 0.
) mgl sin(
(3.6)
Karena model persamaan (3.5) dan (3.6) tersebut taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oleh pendulum 2
adalah cukup kecil, dengan demikian maka sin
0 dan x
x 0
0,
0
, cos
1,
0 (lihat lampiran 3). Diasumsikan juga bahwa x 0 0,
0,
0 yang artinya bahwa posisi motor dan kecepatan motor
di awal tidak bergerak. Begitu juga posisi sudut pendulum dan kecepatan sudut pendulum diawal adalah nol.
cos
cos cos 1 cos cos
sin
sin sin sin sin
sin cos
cos sin
cos
1 sin
cos
sin
Sehingga persamaan (3.5) menjadi:
(M
m) x ml (cos
(M
m) x ml cos
(M
m) x ml cos
ml
sin ) ml
2
ml
2
sin
x u (M
( cos cos
sin ) ml
2
x u (M
sin
x u (M
m) g sin
Jadi bentuk linear persamaan (3.5) adalah:
(M
m) x ml cos
x u (M
m) g sin
Persamaan (3.6) menjadi: 4 2 ml 3
mlx(cos
4 2 ml 3
mlx cos
sin ) mlg ( cos mlx sin
mlg cos
sin ) 0 mlg sin
0
m) g sin m) g sin
48 4 2 ml 3
mlx cos
mlg cos
mlg sin
0
mlg sin
0
Jadi bentuk linear persamaan (3.6) adalah: 4 2 ml 3
mlx cos
mlg cos
49 Lampiran 7 Karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar Teorema 3 Misalkan sistem P(s) memiliki pole takstabil pk (k = 1, ... , np) dan zero takstabil zi (i = 1, ... , nz). Ekspresi analitik bagi
J*
inf
e(t ) 2 dt
0
K
diberikan oleh nz
J
np
2 Re zi
*
2
zi
i 1
k ,l
4 Re pk Re pl pl ) p k pl b k bl 1 ( pk
k
l
di mana bk : l k
1; n p
1
pl pk
; np
p l pk
nz k
2
zi p k zi pk
: 1 i 1
Akibat Px ( s ) pada kasus ini hanya memiliki satu pole takstabil p dan satu non minimum phase zero z, maka : J
2 z
4 p2 2 pp 2
J
2 z
2 p
dengan
z z
1
2
2
2
2
2
(4.1)
p p
z 1 z z
2
p p
2
p z p z p
2p z p 4 p2 ( z p)2
2
2
50 2
Sehingga dengan menyubstitusi
kedalam persamaan (4.1) didapat
2 4 p2 p z 2 2 zp p 2
J
2 z
J
2 z
J
2( z 2 2 zp p 2 ) 8 zp z ( z 2 2 zp p 2 )
J
2 z 2 4 zp 2 p 2 z ( z 2 2 zp p 2 )
J
2( z z( z
z
2
8p 2 zp
p2
p)2 p)2
(4.2)
Dengan menyubstitusi persamaan (3.15) dan (3.16) ke dalam persamaan (4.2) didapat 2
3g 4l
2 J
3 g ( M m) l (4 M m)
(4.3)
2
3g 4l
3g 4l
3 g ( M m) l (4 M m)
Dari persamaan (4.3) dapat disederhanakan menjadi 2
J
2 3g 4l
3g 1 4l 3g 1 4l 1 4
M J
M (M
M
3g
1 4
M
M 1 4
m
J
Selanjutnya dan
m l
m
m m)
1 4
1 4
m
m
M
M l 4 3g
m 1 4m
2
m
2 2 l
M M
m
m 2
M
1 4
m
M
m
M
1 4
m
M
m
(4.4)
l dengan m massa pendulum, l panjang pendulum
”massa jenis pendulum” disubstitusi ke persamaan (4.4) maka di dapat:
51
l 4 3g
J
2
M
1 4
l
M
l
M
1 4
l
M
l
(4.5)
Bentuk berikut:
M
1 4
l
M
l
M
1 4
l
M
l
dapat dirasionalkan penyebutnya sehingga menjadi:
M
1 4
M
1 4
l l l
l
M
M
1 4
l
M
l
M
1 4
l
M
l
l
l M
l 2
1 4
M
M
1 4
M
l
2
1 4
M
M
l
M 3 4
l .
l
Sehingga persamaan (4.5) menjadi
J
l 3g
4
2
2
1 4
M
l
M
l ,
3 4
l
1 4
l
dan dapat disederhanakan menjadi l 3g
4
J
9 2 16
M
2
l
4
M
l
3
J
64l 2 9 3g
Selanjutnya akan dicari
1 4
M
2
dJ dl
4
l
M
(4.6)
l
0
Misalkan 3
u
v
64l 2 9 3g
M
2
1 4
32
maka u '
3 3g
2
5
l2
4
l
M
l
maka
52
v'
32
dJ dl
dJ dl
4
l
M
l
l
M 2
3 3g
1 4
8 M
4
1 4
M
3
1 4
M
l
256
5
l2
l
3
1 4
M
2 M
l
l
M 2
9 3g
l
3
1 4
8 M
l2
l
2 M
l
2 M
l 8
M
l
0 , maka 32
4
1 4
M
l
M 2
3 3g 32
l
1 4
M
5
2
l
l
l
5 2
256
2
l
1 4
4 l M
l 3M 2
2 2
3 16
l M
1 4
lM
1 4
2 2
l
3 3
6 lM 2
l
2 2
l
15 16
6M
Ml
2
2
45 4
M
1 4
M
1 4
l
1 4
l
1 4
2 2
l
9M 3
M
2
l
M
lM 2
9 4
9M
2
6 4
1 4
l M
l
l M
l
3M
l
M
M 3 4
l
1 4
l
1 4
l M
3 l
l M
l
l
l l
l
9M 3
M
2
6 4
lM 9 lM 2
1 16
lM
2 2
1 16 6 4
l
lM 2 1 16
M 6 4
2 2
l M
l 1 16
2 2
l M
2 2
l
0
Untuk mencari panjang pendulum minimal dicari akar-akar dari persamaan terakhir sebagai berikut :
1 4
l M
0
5 Ml 60 M 2
l
M
selanjutnya dapat disederhanakan menjadi 2 2
l
l
9M 2
l
l
l
3M M
M 2
1 4
l
3M
1 4
16 M
l M
l M
1 4
M2
1 4
3 4
l
M
l
4 M
l
M
9 4
M
M
1 4
8 M 2
3M M
3M
6 4
3
l2
3
l
48
l
l
l2
l
M
3M
l
9M 2
6 lM
l
1 4
l
1 4
M
l
M
1 4
M
l 3M 2 2
1 4
3 l
l
1 4
4 M
4 l M
l
M
3
1 4
M
16
l
2
9 3g
M
M
l M
l
9 3g
8l 16 l
3
1 4
M
l2 M
3 3g
3
256
4
1 4
M
l
1 16
3 3
l
53
l1,2 l1,2 l1,2
5 M
2 5 M
5M
M2
240
2
M2
2
M 265
2
2
265M 2
5 l1
2
25
265 M
5 l2
2
265 M
2
Jadi panjang pendulum optimal adalah: 265 5 M l
2
m M
265 5 2
(4.7)
54 Lampiran 8 Karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring Teorema 3 Misalkan sistem P(s) memiliki pole takstabil pk (k = 1, ... , np) dan zero takstabil zi (i = 1, ... , nz). Ekspresi analitik bagi
J*
inf
e(t ) 2 dt
0
K
diberikan oleh nz
J
np
2 Re zi
* i 1
zi
2 k ,l
4 Re pk Re pl pl ) p k pl b k bl 1 ( pk
k
l
di mana bk : l k
1; n p
1
pl pk
; np
p l pk
nz k
2
zi p k zi pk
: 1 i 1
Akibat Px ( s ) pada kasus ini hanya memiliki satu pole takstabil p dan satu non minimum phase zero z, maka : J
2 z
4 p2 2 pp 2
J
2 z
2 p
dengan
1
2
2
2
2
z z
2
(4.1)
p p
z 1 z z
2
p p
2
p z p z p
2p z p 4 p2 ( z p)2
2
2
55 Sehingga dengan menyubstitusi
2
kedalam persamaan (4.1) didapat:
2 4 p2 p z 2 2 zp p 2
J
2 z
J
2 z
J
2( z 2 2 zp p 2 ) 8 zp z ( z 2 2 zp p 2 )
J
2 z 2 4 zp 2 p 2 z ( z 2 2 zp p 2 )
J
2( z z( z
z
2
8p 2 zp
p2
p)2 p)2
(4.2)
Dengan menyubstitusi persamaan (3.23) dan (3.24) ke dalam persamaan (4.2) di dapat 2
2
3 g cos 4l
3 g ( M m) cos l 4( M m) 3m cos 2
J
(4.8)
2
3 g cos 4l
3 g cos 4l
3 g ( M m) cos l 4( M m) 3m cos 2
Dari persamaan (4.8) dapat disederhanakan menjadi: 2
J
2 3 g cos 4l
3 g cos 4l
1
3 g cos 4l
1
(M J
2 3 g cos
J
3 4
(M
(M
2 l 4 l 3 g cos
m) m) (M
3 4
m) m cos 2
(M
(M m)
3 4
m) m cos 2 2
m cos 2 m)
3 4
(M
(M m)
3 4
3 4
m)
(M
m)
m cos 2
m cos 2 m)
(M
m cos 2 2
(M
m)
3 4
m cos 2
(M
m)
(M
m)
3 4
m cos 2
(M
m)
56
J
Selanjutnya dan
4
m l
l 3 g cos
2
M
m
3 4
m cos 2
M
m
M
m
3 4
m cos 2
M
m
(4.9)
l dengan m massa pendulum, l panjang pendulum
m
”massa jenis pendulum” disubstitusi ke persamaan (4.9) maka di dapat: l 4 3 g cos
J
2
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
(4.10)
Bentuk berikut:
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
dapat dirasionalkan penyebutnya sehingga menjadi:
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
M
l
3 4
l cos 2
3 4
l cos 2
2
M
l
M
l
dan dapat disederhanakan menjadi:
M
2
l cos 2
3 4
l
M
l
l cos 2
3 4
Sehingga persamaan (4.10) menjadi
J
4
M
l 3 g cos
3 4
l
l cos
2
2
2
M
l
l cos 2
3 4
dan dapat disederhanakan menjadi
J
J
l 3 g cos
4 9 16
2 2
l cos 64l
9 3g
2
M
4
l cos 2
3 4
l
4
M
l
3 2
cos
9 2
M
l
3 4
l cos 2
4
M
l
(4.11)
57 dJ dl
Selanjutnya akan dicari
0
Misalkan 3 2
64l
u
2
9 3g v
M
v'
32
dJ dl
4
M
M
M
3 4
l
9 3g
dJ dl 32
5
5
9
l 2 cos 2
4
l cos 2
M
maka
l
4 3cos 2
3
l cos 2
M
l
l cos 2
2 M
l cos 2
2 M
l
l cos 2
2 M
l
M
l
8 M
l
3 4
4
M
l
9
l 2 cos 2 3
l cos 2 2
2
3 3g
l cos 2 2
32
maka u '
3 4
l
3 4
l
3 4
l
3 3g 256
cos
9 2
3
M
l
4 3cos 2
9
l 2 cos 2
8 M
l
3 4
0 , maka: M
l
2
3 3g 256
4
l cos 2
3 4
M
M
5
l
9
l 2 cos 2 3 4
l
9 3g
3
l cos 2 2
3
M
l
4 3cos 2
9
l 2 cos 2
8 M
l
3 4
selanjutnya dapat disederhanakan menjadi 32
M
l
4
l cos 2
3 4
2
3 3g 4 3cos 2
5
M
l
16 M
2
5
9
l 2 cos 2
9
l 2 cos 2 2
9 3g 256
M
l 8 l
3 4
l cos 2
M
M l
M
l 3 4
l
3 4
l cos 2
l cos 2
3
l
58
3
M
l cos 2
3 4
l
M
l
4 3cos 2
2
8l
48
l
16 M
4 3cos 2
16 l
M
M
M
3 M
M
l
3 4
l cos 2
l
4 3cos 2
l M l
4 3cos 2
l
3 4
4 M
l cos 2
3 4
l
4 3cos 2 3
4 M
4 l M
l cos 2
M
l
4 l M
l
3 l M
3M M
l
3 4
4 3cos 2
4 3cos 2
l cos 2
3 4
l
l 3M
3
9 4
l cos 2
3 l
9 4
cos 2
1
3 4
cos 2
l 3M
3 l M
1
3 4
cos 2
l 3M
2
M
l
l
M
3M
3M
M
l
l
l cos 2
3 4
l
l cos 2
2
M
M
4 l M
l
3 l 4 l
3M
M
l cos 2
9 4
l
l cos 2
3M
l
l
M
l
3 4
3 4
l
l 3M
M
M
l 3 l M
l
l
l
l
M
M
l
l cos 2
3 4
l cos 2
l cos 2
3 4
l
3 M
l cos 2
3 l M
M
l cos 2
3 4
l
l 3M M
l M
l cos 2
3 4
l
M
l
9 4
l
l cos 2
3 4
l
l cos 2
l
l
4 M l cos 2
3 4
l
M
3 4
M
3M M
3M M
l
l
l
l cos 2
3 4
l
M
l
l M
4 3cos 2
M
l
M
l cos 2
3 4
l
l
M
3 4
l cos 2
l
l 3 4
l cos 2
l cos 2
l
3 4
3 4
l cos 2
59
3 4
1
2
cos 2
2 2
9M 2 6M l
3 4
1
2
cos 2
2 2
3 4
27 4
3 4
1
2
cos 2
cos 2
3
2
3 4
3 3
6M 2 l 6M
2
cos 2
cos 2
3 4
3 4
cos 2
2 2
cos 2
2 2
3 4
9 16
cos 2
2 2
1
l
27 4
9 16
2 2
24 9cos 2 16
2 2
l
12 9 cos 2
2 2
4 3cos 2
2 2
2 2
cos 2
lM
3
M2
8 3cos 2
8 3cos 2
2 2
lM
3 4
1
2 2
6M 18 4
l
M
l 1
2 2
l cos 2
M
cos 2
cos 2
cos 2
9M 3 9M 2 l
2 2
M
6M
3 3
l
l
3 4
6M l 1
M l
3 4
3 4
lM cos 2
45 4
M2
45 4
0
0
lM 180 M 2
lM
3 60 M 2
60 M 2
0
0
0
3 4
3 3
l cos 2
cos 2
2 2
l
3 4
2 2
l cos 2
6M
18 4
M cos 2
M
0
lM
45 4
cos 2
cos 2
24 9 cos 2
l
l
9 16
2
6M 2
9 16
l
M l cos 2
cos 2
3 4
3 2
3 2
l
18 4
3 4
6M 2 1
l
M 2 cos 2
l cos 2
l
6M 2 l 1
l
M
l cos 2
3 4
6M 2 6M l
1
9M 2
l
M 2 l cos 2
M 2 cos 2
2
M
cos 2
1
3 4
4 3cos 2
3 4
27 4
lM
6M 2 1
12 9cos 2 16
l
1
l M
9M 3 9M 2 l
1
2 2
cos 2
3 4
6M l 1
l
M 2 cos 2
0
l
60
8 3cos 2
M
8 3cos 2
l1,2
2
2
M2
2 4 3cos 2 8 3cos 2
l1,2
M
240 4 3cos 2
2
M2
2
1024 768cos 2
9 cos 4
M
8 6 cos 2 8 3cos 2
l1
1024 768cos 2
9 cos 4
M
9 cos 4
M
8 6 cos 2 8 3cos 2
l2
1024 768cos 2 8 6 cos 2
Jadi panjang pendulum optimal adalah 8 3cos 2 l m M
9 cos 4
M
8 6 cos 2
8 3cos 2
1024 768cos 2
9 cos 4
8 6 cos 2
Dapat dilihat bahwa jika m M
1024 768cos 2
0 , maka ekspresi akan tereduksi menjadi:
265 5 , seperti pada lintasan datar. 2
(4.12)
61 Lampiran 9 Tabel Panjang Pendulum dan Ekspresi Analitik Panjang Pendulum (meter)
Ekspresi Analitik Lintasan Datar
Miring 45
Miring 30
Miring 15
Miring 10
0.1
85.1931581 450.5548991 228.376886 144.123003 91.8772853
0.2
41.0759755 234.6300671 136.368077 87.4125609 44.52856417
0.3
29.1376845 176.5297468 112.323522 72.6822393 31.71902519
0.4
23.8570002 151.4347382 102.775607 66.9256968 26.06046468
0.5
20.9770878 138.2999543 98.5095988 64.439198 22.98149942
0.6
19.216535
0.7
18.0630465 126.2101141 96.193862 63.3074738 19.88155694
0.8
17.2734023 123.4734078 96.4552634 63.614975 19.04855033
0.9
16.717875 121.8845649 97.1904523 64.2119416 18.46690688
1
16.3211809 121.0659273 98.2317737 64.9946193 18.05569183
1.1
16.0367419 120.7842586 99.4765715 65.8995865 17.76483445
1.2
15.8342544 120.8882707 100.85903 66.8862712 17.56176341
1.3
15.6931873 121.2758884 102.335393 67.9277725 17.42441634
1.4
15.5991596 121.8759842 103.875709 69.0057371 17.33734381
1.5
15.5418131 122.6376474 105.458988 70.1073529 17.28942204
1.6
15.5135088 123.5236041 107.070236 71.2235097 17.27245069
1.7
15.5084974 124.5060335 108.698574 72.3476345 17.28026101
1.8
15.5223754 125.5638236 110.336014 73.4749308 17.30813048
1.9
15.5517175 126.680722 111.976631 74.6018697 17.35238798
2
15.5938231 127.8440605 113.616005 75.7258408 17.41014096
2.1
15.6465373 129.0438559 115.250817 76.844909 17.47908294
2.2
15.7081223 130.2721658 116.87858 77.9576408 17.55735508
2.3
15.7771627 131.5226179 118.497424 79.0629802 17.64344499
2.4
15.8524963 132.7900622 120.105955 80.1601566 17.73611154
2.5
15.9331607 134.0703094 121.703144 81.2486176 17.8343283
2.6
16.0183539 135.3599326 123.28824 82.3279779 17.93724045
2.7
16.1074029 136.6561151 124.86071 83.3979816 18.04413153
2.8
16.1997397 137.9565318 126.420192 84.4584726 18.15439759
2.9
16.2948823 139.2592573 127.966457 85.5093722 18.26752677
3
16.3924198 140.5626921 129.499378 86.5506622 18.38308321
130.745779 96.6968503 63.4694974 21.10539043
62 Lampiran 10 Tabel Panjang Pendulum dan Kemiringan Lintasan Panjang Pendulum ( meter) 1.673734312 1.669851402 1.658391898 1.639898977 1.615202345 1.585323746 1.551375124 1.514466793 1.475636632 1.435804171 1.395747812 1.356100336 1.31735688 1.279890142 1.243968727 1.209775865 1.177426844 1.146984334 1.1184713 1.091881593 1.067188407 1.044350925 1.023319462 1.004039373 0.986453999 0.970506854 0.956143227 0.943311333 0.931963133 0.922054903 0.913547619 0.906407203 0.90060469 0.896116313 0.892923563 0.891013207 0.890377304
Sudut Kemiringan Lintasan Dalam Derajat Dalam Radian 0 0.00 2.5 0.04 5 0.09 7.5 0.13 10 0.17 12.5 0.22 15 0.26 17.5 0.31 20 0.35 22.5 0.39 25 0.44 27.5 0.48 30 0.52 32.5 0.57 35 0.61 37.5 0.65 40 0.70 42.5 0.74 45 0.79 47.5 0.83 50 0.87 52.5 0.92 55 0.96 57.5 1.00 60 1.05 62.5 1.09 65 1.13 67.5 1.18 70 1.22 72.5 1.27 75 1.31 77.5 1.35 80 1.40 82.5 1.44 85 1.48 87.5 1.53 90 1.57
