BAB II PEMODELAN MATEMATIS SISTEM INVERTED PENDULUM
Model matematis diturunkan dari hubungan fisis sistem. Model tersebut harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem secara memadai. Tujuannya adalah agar simulasi dapat dilakukan terlebih dahulu sebelum tahap pembuatan perangkat keras. Dalam penjelasan selanjutnya, akan dilakukan analisis secara teoritis menggunakan pendekatan Lagrangian untuk menurunkan persamaan sistem.
2.1
Analisis Dinamika Menggunakan Metode Lagrange
Model teoritis yang lengkap dari sistem inverted pendulum dapat diturunkan menggunakan dinamika Lagrange. Pertama-tama dilakukan penentuan koordinat sistem, kemudian penentuan gaya, fungsi energi, dan Lagrangian. Terakhir, akan digunakan persamaan Lagrange untuk menurunkan persamaan gerak dari sistem [WIL-96]. Diagram skematik dinamika inverted pendulum dapat dilihat pada Gambar 2-1. Model dan sistem koordinat ini akan digunakan untuk analisis selanjutnya. Untuk kelengkapan pembahasan, penurunan persamaan melibatkan momen inersia dari pusat masa bandul, I.
Gambar 2-1 Diagram Skematik Inverted Pendulum
2-1
2-2
Analisis fisis dinamika inverted pendulum adalah sebagai berikut [STI-99]:
Sistem Koordinat Umum Sistem inverted pendulum adalah sistem yang memiliki dua buah derajat kebebasan sehinga sistem ini dapat direpresentasikan menggunakan dua buah koordinat umum. Pada analisis kali ini, koordinat umum yang dipilih adalah pergeseran secara horizontal dari pedati, x, dan pergeseran sudut dari bandul, θ :
ξ j : x, θ .
(2.1)
x bernilai positif ke arah kanan dan θ bernilai positif searah dengan jarum jam, dihitung dari posisi bawahnya. Nilai positif dari θ dipilih searah dengan jarum jam, sehingga x dan
θ akan bernilai positif ke arah kanan, ketika bandul berada pada posisi terbaliknya.
Energi Kinetik dan Energi Potensial Energi kinetik untuk pedati TM adalah TM =
1 Mx& 2 , 2
(2.2)
dengan M adalah masa pedati dan x& adalah kecepatan pedati. Energi kinetik untuk bandul TM adalah Tm =
1 r r 1 2 mv c • vc + Iω , 2 2
(2.3)
dengan I adalah momen inersia di sekitar pusat masa dari bandul, m adalah masa bandul, r ω adalah kecepatan sudut dari bandul, dan vc adalah kecepatan bandul di sekitar pusat masanya. Kecepatan ini dapat dihubungkan dengan posisi dari pusat masa bandul, r rc = ( x − l sin θ )iˆ − l cos θ ˆj ,
dengan l adalah panjang bandul dari satu ujung ke pusat masanya dan
(2.4)
2-3
r dr r vc = c = ( x& − l cos θθ&)iˆ + l sin θθ& ˆj . dt
(2.5)
Kecepatan sudut dari bandul adalah
ω = θ& .
(2.6)
Masukkan Persamaan (2.5) dan (2.6) ke Persamaan (2.3), sehingga menghasilkan Tm =
(
)
1 1 m x& 2 − 2 x&l cos θθ& + l 2 cos 2 θθ& 2 + l 2 sin 2 θθ& 2 + Iθ& 2 , 2 2
(2.7)
Sederhanakan kembali Persamaan (2.7) sehingga menjadi
Tm =
(
)
1 1 m x& 2 − 2 x&l cos θθ& + l 2θ& 2 + Iθ& 2 . 2 2
(2.8)
Total energi kinetik T adalah T = TM + Tm
(
)
1 1 1 = Mx& 2 + m x& 2 − 2 x&l cos θθ& + l 2θ& 2 + Iθ& 2 . 2 2 2
(2.9)
Dikarenakan pedati hanya bergerak pada sumbu horizontal saja maka energi potensial V dari sistem hanya ditentukan sepenuhnya oleh sudut dari bandul, yaitu V = − mgl cos θ ,
(2.10)
dengan g adalah pecepatan gravitasi bumi. Lagrangian Dilakukan analisis dinamik sistem dengan menggunakan Lagrangian L=T-V. Dengan menggunakan Persamaan (2.9) dan (2.10), Lagrangian-nya menjadi L=
(
)
1 1 1 Mx& 2 + m x& 2 − 2 x&l cos θθ& + l 2θ& 2 + Iθ& 2 + mgl cos θ . 2 2 2
(2.11)
Persamaan Lagrange Koordinat umum yang dipilih pada Persamaan (2.11) adalah (x,θ). Dari koordinat umum tersebut diterapkan analisis Lagrange lainnya yaitu masing-masing untuk x dan θ:
2-4
Persamaan untuk x adalah d ⎛ ∂L ⎞ ∂L = f (t ) . ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂x& ⎠ ∂x
(2.12)
Menggunakan Persamaan (2.11) untuk mengevaluasi turunan parsial pada Persamaan (2.12), menghasilkan
(
)
d Mx& + mx& − ml cos θθ& − 0 = f (t ), dt ( M + m ) &x& − ml cos θθ&& + ml sin θθ& 2 = f (t ).
(2.13)
Persamaan untuk θ adalah
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L = 0. ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂θ& ⎠ ∂θ
(2.14)
Menggunakan Persamaan (2.11) untuk mengevaluasi turunan parsial pada Persamaan (2.14), menghasilkan d ( − mlx& cos θ + ml 2θ& + Iθ&) − ( mlx& sin θθ& − mgl sin θ ) = 0, dt ( ml 2 + I )θ&& − ml&x& cos θ + mlx& sin θθ& − mlx& sin θθ& − mgl sin θ = 0.
(2.15)
Sehingga persamaan sistem untuk inverted pendulum adalah ( M + m) &x& − ml cos θθ&& + ml sin θθ& 2 = f (t ), − ml&x& cos θ + ( ml 2 + I )θ&& + mgl sin θ = 0.
(2.16)
Dengan menyelesaikan persamaan pada sistem (2.16) akan didapatkan ml cos θ f (t ) − m 2 l 2 sin θ cos θθ& 2 − ( M + m )mgl sin θ , ( M + m )( ml 2 + I ) − m 2 l 2 cos 2 θ
(2.17)
( ml 2 + I ) f (t ) − m 2 l 2 g sin θ cos θ − ( ml 2 + I )ml sin θθ& 2 . ( M + m )( ml 2 + I ) − m 2 l 2 cos 2 θ
(2.18)
θ&& =
&x& =
Perubahan Posisi Koordinat Kestabilan
2-5 Untuk kemudahan analisis maka pada posisi mula-mula bandul dianggap sudah berada pada posisi terbaliknya, sehingga diperlukan perubahan koordinat. Koordinat baru menjadi
θ '= θ − π .
(2.19)
Sehingga, sin(θ ) = sin(θ '+π ) = sin(θ ' ), cos(θ ) = cos(θ '+π ) = cos(θ ' ), θ&' = θ&,
(2.20)
θ&&' = θ&&. Dari mulai sekarang, θ’ akan ditulis sebagai θ, tetapi perlu diperhatikan bahwa θ sekarang diukur dari referensi koordinat baru, yaitu dari posisi terbaliknya. Substitusikan Persamaan (2.20) ke Persamaan (2.17) dan (2.18) dan ambil momen inersia bandul I = 4 ml 2 , maka diperoleh 3
θ&& =
− 3 cos θ f (t ) − 3ml sin θ cos θθ& 2 + 3( M + m) g sin θ , 7( M + m)l − 3ml cos 2 θ
(2.21)
7 f (t ) + 7ml sin θθ& 2 − 3mg sin θ cos θ . 7( M + m) − 3m cos 2 θ
(2.22)
&x& =
2.2
Model SIMULINK
Model dari inverted pendulum dibangun dengan menggunakan SIMULINK. Pada model ini, masukan dari model adalah aksi pengontrol. Variabel sudut dan kecepatan sudut dari iterasi sebelumnya digunakan untuk menghitung percepatan pedati dan percepatan sudut dari bandul menggunakan Persamaan (2.22) dan (2.21) secara berurutan. Integrasi kemudian dilakukan untuk mendapatkan kecepatan dan posisi untuk kedua komponen yang bersangkutan. Sudut dari bandul dibatasi dalam ±900. Sudut dan kecepatan sudut dari bandul serta posisi dan kecepatan sudut dari pedati adalah keluaran dari model ini. Model ini dapat dilihat pada Gambar 2-2.
2-6
Gambar 2-2 Model SIMULINK untuk sistem inverted pendulum
2.3
Respon Open Loop
Respon open loop untuk sistem ini didapatkan menggunakan model SIMULINK seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2-3.
Gambar 2-3 Model untuk respon open loop
Simulasi dijalankan selama 3 detik dengan menggunakan parameter: •
M, masa dari pedati:
1kg
•
m, masa dari bandul:
0.5kg
•
l, panjang dari pivot ke tengah-tengah bandul
0.5m
2-7 Respon open loop dapat dilihat pada Gambar 2-4. Dapat dilihat bahwa sistem adalah tidak stabil, karena bandul cepat sekali jatuh menuju horizontal dari posisi tegak vertikalnya. Untuk mempertahankan posisi bandul agar tetap tegak dibutuhkan suatu pengontrol.
Gambar 2-4 Respon Open Loop
