8
III. 3.1
PEMODELAN HARGA PENGGUNAAN INTERNET
Asumsi dan Model
Pada penelitian ini diperhatikan beberapa asumsi yaitu sebagai berikut: 1.
Waktu antarkedatangan menyebar eksponensial dengan rataan λ-1 (laju kedatangan adalah λ).
2.
Lamanya berada di komputer mengikuti distribusi eksponensial dengan rataan μ-1.
3.
Kedatangan dan lama penggunaan komputer adalah bebas (tidak terikat) pada dan banyaknya komputer yang digunakan.
4.
Terdapat sejumlah N komputer dengan koneksi internet. Jika seorang pelanggan tiba untuk mencari sebuah komputer dan komputer tersedia maka pelanggan menggunakannya.
5.
Jika seorang pelanggan datang dan semua komputer digunakan maka mereka tidak menunggu (antri) dan pergi ke tempat lain.
Lema 1
Misalkan X adalah peubah acak yang berdistribusi eksponensial dengan laju λ, maka: P(t < X < t + h) = λh + o(h2). Dengan catatan bahwa peluang kejadian ditentukan dalam satu interval kecil yang bebas (tidak bergantung) pada berapa lama proses berjalan (bebas terhadap t); ini disebut ’no memory property of the exponential distribution’. (Bukti: Lema 1 lihat di Lampiran 2) Dalam model penentuan harga penggunaan internet didefinisikan peubahpeubah sebagai berikut: Cx,t
: kejadian bahwa ada x pelanggan pada saat t.
A(t,t+h) : kejadian bahwa ada satu kedatangan pada interval waktu (t,t+h). D(t,t+h) : kejadian bahwa ada satu pelanggan pergi dalam interval (t,t+h). Pj(t)
: peluang ada j pelanggan dalam sistem pada saat t.
λ
: laju kedatangan
µ
: laju penggunaan
9
Terdapat tiga tahapan dalam model penentuan harga penggunaan internet ini, yaitu: (i) menentukan peluang bahwa tidak ada pelanggan pada saat t + h, (ii) menentukan peluang bahwa terdapat n pelanggan pada saat t + h, dan (iii) menentukan peluang bahwa semua komputer digunakan. Jika tidak ada pelanggan yang menggunakan komputer pada saat t + h maka diperoleh beberapa kemungkinan yaitu: Kemungkinan yang pertama bahwa tidak ada seorang pun pelanggan yang datang pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t tidak ada yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut. 0 user:
0
0
waktu:
t
t+h
Kemungkinan yang kedua bahwa ada satu orang yang pergi meninggalkan warnet jika pada saat t ada satu orang yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut. 1 user:
1
waktu:
t
0
t+h
Dan beberapa kemungkinan yang lain yang sangat kecil diabaikan. Notasi peluangnya yaitu sebagai berikut
(
)
(
)
P0 ( t + h ) = P ⎡⎣ notA(t , t + h ) C 0, t ⎤⎦ P0 ( t ) + P ⎡⎣ D( t ,t + h ) C1, t ⎤⎦ P1 ( t ) + o(h 2 ). (3.1)
Dengan menggunakan Asumsi 3 dan Lema 1, didapatkan peluang tidak ada kedatangan pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t tidak ada yang menggunakan internet yaitu sebagai berikut
(
) (
)
P ⎡⎣ notA(t , t + h ) C 0, t ⎤⎦ = P ⎡⎣ notA(t , t + h ) ⎤⎦ = 1 − λ h + o ( h 2 )
(3.2)
10
dan peluang ada satu orang yang pergi pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t ada satu orang yang menggunakan internet yaitu sebagai berikut
(
) (
)
P ⎡⎣ D( t , t + h ) C 1, t ⎤⎦ = P ⎡⎣ D( t , t + h ) ⎤⎦ = μ h + o ( h 2 ) .
(3.3)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (3.2) dan (3.3) ke persamaan (3.1), maka diperoleh laju perubahan peluang terhadap waktu bahwa tidak ada pelanggan pada interval waktu (t, t + h) adalah sebagai berikut dP0 ( t ) dt
= −λ P0 ( t ) + μ P1 ( t ) .
(3.4)
Jika terdapat n pelanggan yang menggunakan komputer pada saat t + h maka diperoleh beberapa kemungkinan yaitu: Kemungkinan yang pertama bahwa tidak ada pelanggan yang datang dan tidak ada yang pergi pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t terdapat n pelanggan yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut. 0
0
user:
n
n
waktu:
t
t+h
Kemungkinan yang kedua bahwa ada satu kedatangan pada warnet jika pada saat t ada (n − 1) orang yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut. 1 user:
n−1
waktu:
t
n
t+h
Kemungkinan yang ketiga bahwa ada satu orang yang pergi jika pada saat t ada (n + 1) orang yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut. 1 user:
n+1
waktu:
t
n
t+h
11
dan beberapa kemungkinan yang lain yang sangat kecil diabaikan. Notasi peluangnya yaitu sebagai berikut untuk 0 < n < N
( + P ( ⎡⎣ A + P ( ⎡⎣ D
)
Pn ( t + h ) = P ⎡ not A( t ,t + h ) and not D( t ,t + h ) | Cn ,t ⎤ Pn ( t ) ⎣ ⎦
) ⎤) P ⎦
(t ,t + h )
| Cn −1,t ⎤ Pn −1 ( t ) ⎦
(t ,t + h )
| Cn +1,t
n +1
.
(3.5)
( t ) + o ( h2 )
Dengan menggunakan Asumsi 3 dan Lema 1, didapatkan peluang tidak ada yang datang dan tidak ada yang pergi pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t terdapat n pelanggan yang menggunakan internet yaitu sebagai berikut
(
)
( )
P ⎡ not A( t ,t + h ) and not D( t ,t + h ) | Cn ,t ⎤ = 1 − ( λ + nμ ) h + o h 2 . ⎣ ⎦
(3.6)
Peluang ada satu kedatangan pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t ada (n − 1) orang yang menggunakan yaitu sebagai berikut
(
)
( )
P ⎡ A( t ,t + h ) | Cn −1,t ⎤ = λ h + o h 2 ⎣ ⎦
(3.7)
dan peluang terdapat satu orang yang pergi pada interval waktu t + h jika pada saat t ada (n + 1) orang yang menggunakan yaitu sebagai berikut
(
)
( )
P ⎡ D( t ,t + h ) | Cn +1,t ⎤ = μ ( n + 1) h + o h 2 . ⎣ ⎦
(3.8)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (3.6), (3.7), dan (3.8) ke persamaan (3.5), maka diperoleh laju perubahan peluang terhadap waktu bahwa terdapat n pelanggan pada interval waktu (t, t + h) adalah sebagai berikut dPn ( t ) = λ Pn −1 ( t ) − ( λ + nμ ) Pn ( t ) + μ ( n + 1) Pn +1 ( t ) . dt
(3.9)
Pada state terakhir di mana semua komputer (N) digunakan, maka diperoleh beberapa kemungkinan yaitu: Kemungkinan yang pertama bahwa tidak ada yang pergi pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t semua komputer (N) digunakan dapat diilustrasikan sebagai berikut. komputer:
N
waktu:
t
0 N
t+h
12
Kemungkinan yang kedua bahwa terdapat satu kedatangan pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t terdapat satu komputer yang tidak digunakan (N – 1) dapat diilustrasikan sebagai berikut. 1 komputer:
N−1
waktu:
t
N
t+h
Serta beberapa kemungkinan yang lain yang sangat kecil diabaikan. Notasi peluangnya yaitu sebagai berikut
(
)
(
)
( )
PN ( t + h ) = P ⎡ not D( t ,t + h ) | C N ,t ⎤ PN ( t ) + P ⎡ A( t ,t + h ) | CN −1,t ⎤ PN −1 ( t ) + o h 2 . (3.10) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Dengan menggunakan Asumsi 3 dan Lema 1, didapatkan peluang tidak ada yang pergi pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t semua komputer digunakan yaitu sebagai berikut
(
)
P ⎡⎣ not D( t ,t + h ) | CN ,t ⎤⎦ = 1 − μ Nh + o ( h 2 ) .
(3.11)
Peluang terdapat satu kedatangan pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t terdapat satu komputer yang tidak digunakan yaitu sebagai berikut
(
)
P ⎡⎣ A( t , t + h ) | CN −1,t ⎤⎦ = λ h + o ( h 2 ) .
(3.12)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (3.11) dan (3.12) ke persamaan (3.10), maka diperoleh laju perubahan peluang terhadap waktu bahwa semua komputer digunakan pada interval waktu (t, t + h) adalah sebagai berikut dPN ( t ) = λ PN −1 ( t ) − μ N PN ( t ) . dt
(3.13)
Sebagai kesimpulan, untuk jumlah N komputer dengan tidak ada kapasitas antrian, state yang mungkin dari sistem adalah 0,1, . . . , N (yang menunjukkan banyaknya komputer yang digunakan).
13
Dengan demikian model penentuan harga penggunaan internet dapat dinyatakan sebagai berikut dP0 = −λ P0 + μ P1 dt dPn = λ Pn −1 − ( λ + μ n ) Pn + μ ( n + 1) Pn +1 dt dPN = λ PN −1 − μ NPN dt
( 0 < n < N ).
(3.14)
(rekonstruksi model secara lengkap lihat Lampiran 3)
3.2
Kebijakan Harga yang Memaksimumkan Pendapatan Laju kedatangan dan laju penggunaan internet salah satunya dipengaruhi
oleh harga. Jika harga penggunaan internet mahal maka pelanggan yang datang akan sedikit, sedangkan jika harga yang diberikan relatif lebih murah maka pelanggan yang datang akan lebih banyak. Sehingga salah satu pendekatan untuk menentukan harga optimal adalah menyatakan λ dan µ sebagai fungsi dari harga. Sebagai contoh fungsi laju kedatangan terhadap harga yang dikemukakan oleh Lynch (2003). Berdasarkan pengalaman pemilik warnet bahwa meskipun harga penggunaan internet digratiskan, maksimum pelanggan yang datang adalah 5 orang per jam. Sedangkan, jika harga ditetapkan £10 per jam maka tidak ada seorang pelanggan pun yang datang. Dengan demikian hubungan antara harga dan laju kedatangan dapat dinyatakan sebagai berikut:
1 2
λ (c) = 5 − c
( 0 ≤ c ≤ 10 ) .
(3.15)
