4
individu rentan yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh satu individu infeksi. Kondisi yang akan timbul adalah satu diantara tiga kemungkinan ini; a. Jika , maka penyakit akan menghilang, b. Jika , maka penyakit akan menetap (endemis), c. Jika , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.
2.2 Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar adalah potensi penularan penyakit pada populasi rentan, merupakan rata-rata jumlah individu yang terinfeksi secara langsung oleh seorang penderita selama masa penularannya bila termasuk dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan dalam masalah penyebaran penyakit adalah bilangan reproduksi dasar. Hethcote (2000) menyatakan bahwa bilangan reproduksi dasar merupakan rasio yang menunjukkan jumlah
(Giesecke 1994)
III PEMODELAN (infeksi) dan kelompok individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit (pulih). Dalam kasus yang paling dasar kita membuat asumsi bahwa sekali seorang individu telah terinfeksi dan kemudian telah pulih, maka individu tersebut tidak akan terjangkit kembali dikarenakan adanya kekebalan tubuh yang kuat. Dengan menganggap bahwa tingkat penularan penyakit sebanding dengan jumlah pertemuan antara individu rentan dan individu yang terinfeksi.
3.1 Model SIR Model SIR pada awalnya dikembangkan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan suatu wabah penyakit dalam poulasi tertutup dan bersifat epidemik. Hethcote (2000) menyatakan bahwa pada model epidemi SIR klasik, populasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu, kelompok individu yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit (rentan), kelompok individu yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit
β μ
Rentan (S)
ξ Infeksi (I)
μ
μ
Pulih (R)
µ
Gambar 1. Dinamika populasi dalam model SIR Dari gambar 1 model SIR dapat dituliskan sebagai berikut: = -β S = β S –ξI = ξI – μR Keterangan: : populasi individu : kelompok individu yang rentan terinfeksi penyakit, I : kelompok individu yang terinfeksi
(1)
penyakit dan dapat sembuh dari penyakit, R : kelompok individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit, β : laju penularan penyakit, ξ : laju kesembuhan, µ : laju kelahiran dan laju kematian Dengan β, µ dan ξ adalah parameter positif yang merupakan tingkat transmisi. Sebagaimana ditetapkan, bahwa nilai dari (S + I + R) = N, sehingga S + I + R adalah konstan. Dalam populasi individu bahwa laju kelahiran sama dengan laju kematian. Populasi S akan meningkat seiring dengan bertambahnya individu kedalam suatu
5
populasi dan berkurangnya kekebalan tubuh yang disebabkan oleh infeksi alam yang menyerang tubuh. Populasi I akan meningkat dengan bertambahnya individu yang terinfeksi dari kelas S. Kekebalan tubuh yang terinfeksi akan berubah seiring dengan berjalannya waktu, maka individu yang terinfeksi akan pulih memasuki individu R. Jadi, populasi R akan meningkat sesuai dengan meningkatnya individu yang pulih dari infeksi dan akan bekurang seiring dengan perubahan kekebalan. Penyebaran penyakit campak (measles) diasumsikan muncul pada saat individu kehilangan kekebalan tubuh dan hilang kendali ketika virus itu datang. Hal ini mengarah pada model endemik SIR. Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut; s = , i = , dan r = diperoleh persamaan sebagai berikut; ( )
=
(
*
βsi + μ – μs ( *
= βsi – (ξ+μ)i (2) =
( )
= ξi – μr 3.2 Model SIR dengan vaksinasi Model endemik SIR dengan memeperhatikan faktor vaksinasi diturunkan ulang dari model endemi SIR klasik. Model penyebaran penyakit diturunkan menggunkan
asumsi atau batasan tertentu. Hethcote (2000) menyebutkan bahwa asumsi-asumsi yang digunakan dalam model penyebaran penyakit sebagai berikut; Jumlah populasi diasumsikan cukup besar, Populasi diasumsikan tertutup, oleh karena itu tidak ada populasi yang masuk ke dalam populasi atau keluar dari populasi tersebut, Pada model SIR, faktor kelahiran dan kematian diperhatikan, jumlah kelahiran dan kematian dalam tiap satuan waktu diasumsikan sama, Populasi diasumsikan bercampur secara homogen yang berarti setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak dengan individu lainya, Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dari penyakit dan dapat pula menimbulkan kematian akibat penyakit tersebut. Selanjutnya, program vaksinasi diperhatikan dalam model. Asumsi yang digunakan terhadap vaksinasi tersebut adalah sebagai berikut; Vaksinasi hanya diberikan pada individu yang baru lahir atau yang masih dalam usia anak- anak ( < 12 tahun ), Keampuhan vaksinasi adalah 100%, hal ini berarti setiap individu yang telah mendapatkan vaksinasi akan kebal dari penyakit. Kekebalan yang terjadi karena vaksinasi bersifat permanen. Individu yang memperoleh vaksinasi kebal dari penyakit dan memasuki kelompok pulih. Jumlah individu yang memperoleh vaksin proposional dengan jumlah kelahiran. Dengan demikian, jumlah individu yang kebal dari penyakit karena telah memperoleh vaksinasi μN.
6
𝛂
(Vaksin) Type equat on here
𝝁
(1-𝛂) ξ
β Infeksi (I)
Rentan (S)
Pulih (R)
𝝁
𝝁
𝝁
Gambar 2. Dinamika populasi dalam model SIR dengan pengaruh vaksinasi Gambar 2 di atas populasi yang lahir akan Persamaan (3) dapat diskala dengan total memasuki dua individu yaitu; pertama masuk populasi N untuk menyerderhanakan ke individu rentan dan yang kedua populasi persamaan (3) dan memudahkan analisis yang bisa langsung memasuki individu pulih. dilakukan. Proporsi banyaknya individu pada Individu yang tidak memperoleh vaksinasi masing-masing kelompok dapat dinyatakan akan memasuki kelompok individu rentan dan sebagai berikut; berpotensi untuk terinfeksi penyakit campak (measles) maka individu rentan akan s = , i = , dan r = memasuki individu pulih. Dengan N = S + I + R. Untuk proses diperoleh persamaan sebagai berikut; tranmisi vaksinasi dengan menggunakan asumsi yaitu: Terjadi penularan dari individu ke ( ) = ( ) individu yang lain, Semua parameter dan variabel yang = ( ) digunakan tidak negatif, Tidak ada individu yang sudah = ( ) terinfeksi masuk ke dalam individu baru. Model endemik SIR dengan = si( + μ)s (4) mempertimbangkan pengaruh vaksinasi selengkapnya dapat diekpresikan sebagai = ( ) berikut (lihat gambar 2); =(
)
(3)
= = S(0) > 0, I(0) > 0 dan R(0)
,
μ + i - μr 3.3 Model SEIR Pada model SEIR bahwa laju kelahiran yang terjadi dalam populasi diasumsikan sama dengan laju kematian, dimana tingkat kelahiran dan tingkat kematian ditandai dengan μ. Dalam keberadaan penyakit menular, salah satu tugas utamanya adalah pemberantasan melalui langkah-langkah pencegahan dan jika mungkin, melalui pembentukan program vaksinasi massal.
7
μ (1-α)𝜖
ρ Rentan (S)
ξ
Laten (E)
µ
Pulih (R)
Infeksi (I)
μ
μ
µ
β
Gambar 3. Dinamika populasi dalam model SEIR . Sebuah penyakit dimana bayi yang baru sehingga akan diperoleh lahir divaksinasi (dengan vaksin memberikan berikut; kekebalan seumur hidup) dengan nilai ϵ (0,1) maka akan diperoleh model sebagai = berikut (lihat gambar 3); = = =(
μE (
)
(
)
=
(
)
= ξi - μr
)
= ξI - μR
=
(5)
dengan S(0) > 0, I(0) > 0, E(0) > 0 dan R(0) . Keterangan: N : populasi individu S : kelompok individu yang rentan terinfeksi penyakit, E : kelompok individu laten, I : kelompok individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuh dari penyakit, R : kelompok individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit, : laju penularan penyakit, 𝜖 : laju kesembuhan, µ : laju kelahiran dan laju kematian, : laju vaksinasi, : laju kekebalan tubuh. Dimana β, τ, μ, ρ, 𝜖 dan ξ adalah parameter positif. Sistem dapat skala total populasi N untuk menyerderhanakan sistem (5) dan memudahkan analisis yang dilakukan,
model
sebagai
(6)
8
kelahiran tidak sama dengan laju kematian dapat diekspresikan sebagai berikut (lihat gambar 4);
3.4 Model MSEIR Model endemik MSEIR dengan mempertimbangkan imunisasi dan laju
ɓ
ɓ
δ
M
S
µ
ξ
𝜖
β
µ
R
I
E
µ
µ
µ
Gambar 4. Dinamika populasi dalam model MSEIR Diperoleh persamaan sebagai berikut; sembuh dan kebal dari penyakit, : laju penularan penyakit, 𝜖 : laju kesembuhan, ( ) ( ) µ : laju kelahiran dan laju kematian : laju vaksinasi, : laju perubahan imunitas, Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut; (𝜖 ) m = , s = , e = , i = , dan r = (
𝜖
dimana, m + s + e + i + r = 1, diperoleh persamaan sebagai berikut;
)
(
)
(7) (
)
Dengan daerah asal sebagai berikut; 𝕯 ={(M, S, E, I, R) : M E ,M+S+E+I+R Keterangan: N : populasi individu, M : kelompok individu yang telah mendapat imunitas, S : kelompok individu yang rentan terinfeksi penyakit, E : kelompok individu laten, I : kelompok individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuh dari penyakit, R : kelompok individu yang telah
(
, S .
) (
(𝜖
)
) (8)
𝕯 ={(m,s,e,i,r) : m , m + s + e + i+ r
e
, s
