III. PEMBAHASAN. dimana, adalah proses Wiener. Kemudian, juga mengikuti proses Ito, dengan drift rate sebagai berikut: dan variance rate yaitu,

4

masing menyatakan drift rate dan variance rate dari 8. Untuk proses stokastik yang didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω, A,  berlaku hal berikut: Misalkan ZC adalah proses Wiener pada (Ω, A, . Integral stokastik adalah proses stokastik 8C dengan bentuk: 8C  80

 B\ L8[, [D[

 B\ Y8[, [DZ[.

(2) (Hull 2003)

Definisi 20 Proses Ito Proses Ito adalah proses Wiener umum dengan L dan Y menyatakan suatu fungsi dari peubah acak 8 dan waktu C. Proses Ito dapat dinyatakan sebagai berikut: D8C  L8C, CDC Y8C, CDZC. (3) Lema 2 (Lema Ito) Misalkan proses 8C memenuhi persamaan (3) dan fungsi ]C  ^8C, C adalah kontinu serta turunan-turunan ^@ 8C, C, ^@@ 8C, C kontinu, maka ]C  ^8C, C memenuhi persamaan berikut: D]C

 _^ 8C, C ^@ 8C, CL8C, C

1

^@@ Y % 8C, C` DC 2

^@ 8C, CY8C, CDZC,

^ 8C, C ^@ 8C, CL8C, C 1

^@@ Y % 8C, C. 2

dan variance rate yaitu,

^%@ 8C, CY % 8C, C.

Dimana,

^ 

D^ D^ D%^ , ^@  , ^@@  . D8 % DC D8

(Hull 2003)

2.5 Persamaan Riccati Persamaan Riccati merupakan persamaan diferensial biasa yang memiliki tipe: Db  > c>b E>b % . D>

5

Persamaan di atas termasuk nonlinear dan merupakan persamaan dengan penyelesaian yang unik. Untuk mencari solusi, maka persamaan Riccati memerlukan solusi partikular. (Hille 1997)

4

III. PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dibahas beberapa model suku bunga, yaitu model Vasicek, model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) dan perluasan model CIR. Dalam karya ilmiah ini yang akan dibahas lebih lengkap adalah perluasan model CIR. 3.1 Model Vasicek Dalam model Vasicek, model suku bunga yang diberikan adalah: D  LY O DC De ,

dimana, DZC adalah proses Wiener. Kemudian, ]C juga mengikuti proses Ito, dengan drift rate sebagai berikut:

(6)

dimana L, Y, dan  adalah konstanta. Kelemahan dari model ini adalah bahwa tingkat suku bunga dapat bernilai negatif. Model Vasicek ini dapat digunakan untuk menilai zero coupon bond pada waktu

C dengan membayar $1 pada saat jatuh tempo
, dengan persamaan harga obligasi sebagai berikut: C,
  #C,
f g,h ,

dengan dan

iC,
 

j klmkn o

(7)

,

(8) wu x u

g,stou v

#C,
  exp r

y u g,u { zo

.

ou

O

(9)

(Bukti: lihat Rolski et al. 1999)

5

Dari persamaan (6) model Vasicek di atas, dapat diperoleh: C  0f o Y1 O f o  

 I f o| De[ . 10 \

(Bukti: Lampiran 1)

3.2 Model CIR Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) adalah model yang pertama kali menghilangkan kemungkinan dari suku bunga bernilai negatif. Model suku bunga yang diberikan adalah: D  LY O DC √ De.

(11)

Faktor standar deviasi dari model ini adalah √, sehingga memastikan bahwa tingkat suku bunga tidak akan negatif. Dalam model ini, harga obligasi memiliki bentuk umum yang sama dengan model Vasicek yaitu: C,
  #C,
f g,h ,

namun, fungsi iC,
 dan #C,
 berbeda, yaitu: iC,
 

#C,


2f ~ O 1 , 12  Lf ~ O 1 2

2 os~ 2  €  Lf ~ O 1 2

%ov/y u

dengan   √L% 2 %.

, 13

(Bukti: lihat Rolski et al. 1999)

3.3 Perluasan Model CIR dan Penentuan Harga Zero Coupon Bond Pada model CIR drift dan volatilitas konstan. Untuk lebih mendekati realitas, maka drift dan volatilitas pada perluasan model CIR merupakan fungsi dari waktu. Pada perluasan Model CIR ini, suku bunga C „ 0 mengikuti proses berikut: D  …C O †CDC C√ De,

(14)

dimana …C, †C, C adalah komponen deterministik yang lebih besar dari nol dan

merupakan fungsi dari C, serta eC adalah proses Wiener. Dalam perluasan model CIR pada persamaan (14), harga atau nilai dari zero coupon bond memenuhi persamaan diferensial sebagai berikut: ‡ 1 % ‡% ‡

 C % …C O †C ‡C 2 ‡ ‡ O   0 . 15

(Bukti: Lampiran 2)

Harga obligasi adalah harga yang didiskon dari pembayaran yang akan diterima pemegang obligasi selama masa kepemilikannya. Misalkan  , CC =
 menyatakan harga pada waktu C dari zero coupon bond dengan waktu jatuh tempo
dan merupakan solusi dari persamaan (15) dengan asumsi bahwa  ,
  1 untuk semua . Berikut ini  , C yang diberikan adalah: 

 , C  exp _O I i […[D[ 

O i C` ; C =
. 16 (Bukti: Lampiran 3)

dimana fungsi i C memenuhi persamaan Riccati yaitu:

iŠ  C  †Ci C  % Ci%  C O 1 , % i 
  0. (17) 

Selanjutnya, diberikan  , C ‹ O‡ log , C/‡
menyatakan forward interest rate pada saat jatuh tempo. Diketahui Y C  ‡i C/‡
, akan diperoleh:  , C ‹ O‡ log , C/‡
,

dari persamaan (16),

 , C  O‡ log exp O B i […[D[ O i C ŽŽ  . ‡


Selanjutnya, akan diperoleh:

 , C  B Y […[D[ Y C , 

dimana  ,
  ,

(18)

6 selain itu, fungsi Y C memenuhi:

Y Š  C  Y CN†C  % Ci CP, Y 
  1. (19) Persamaan (19) di atas merupakan turunan dari persamaan Riccati (17).

Bukti: dari persamaan (17), karena Y C  iŠ  C maka, 

□

Teorema 1: Untuk C\ = C =
, minimal untuk C mendekati C\ yaitu: u

‘ log Y C\  N‘n log Y C\ P O

 u  % † C %

i C 

O † Š C,

 %

%

1 _Y C\  O † C\ Ni C\  O i C\ P` 2

dimana, untuk C =


 C
C\

3.4 Penentuan Harga Zero Coupon Bond pada Perluasan Model CIR dengan Struktur Waktu Awal Pada bagian sebelumnya telah diperoleh harga dari zero coupon bond yang diperoleh secara umum. Berikut ini akan ditentukan harga zero coupon bond dengan memberikan informasi awal yaitu C\ dan \ . Menurut lema Ito, diberikan volatilitas dari zero coupon bond dengan waktu jatuh tempo
dan forward interest rate dalam perluasan model CIR pada persamaan (14) berturut-turut dan adalah i CCRC Y CCRC. Untuk lebih jelasnya akan diberikan pada teorema berikut ini:

O

Y C\ Y C\ 

dengan:

‡ % i C Y  C  ‡
%

 % C 



† C ‹ O†
 O

Y C  †Ci C  % Ci%  C O 1 , % sehingga

1 ‡†Ci C  % Ci%  C O 1  2  ‡
 †CY C  % Ci CY C  Y CN†C  % Ci CP.

Y C

20

i C\  O i C\  , 21 1 Y C\  O † C\ Ni C\  O i C\ P 2

%

,

(22)

‡ log Y C, ‡


23

= volatilitas dari spot rate = waktu eksekusi = waktu jatuh tempo = waktu awal (C  0).

(Bukti: Lampiran 4)

Dalam hubungannya dengan † C\ , persamaan (20) juga dapat dituliskan menjadi:  % C 

’n “  

†% C\  †C† C\ .  %

(24)

Model perlusan CIR termasuk dalam kelas model akar kuadrat sederhana, sehingga model akar kuadrat sederhana dapat dinyatakan sebagai berikut, untuk semua C  C\ ”



1

 % C\ 

C  ‡ \ , C\  •O \ ‡Y \ – – 7. ‡
‡
 

5•

“

“

(25) Dinamika dari discount function atau fungsi diskon dalam model akar kuadrat sederhana dapat diduga dengan mengikuti hasil dari struktur waktu awal. Fungsi diskon adalah nilai $1 yang didiskon sebagai fungsi dari waktu hingga pembayaran. Berikut ini diberikan teorema untuk mencari rumus harga zero coupon bond dengan menggunakan perluasan model CIR, dengan C  C\ , Teorema 2: Untuk semua \ ,  X 0 dan 0 = C\ = C =
. Rumus berikut mengikuti model akar kuadrat sederhana yaitu:

7  , C —  \ , C\  Y CY C\   _ ` exp Ni C\   \ , C\  Y C\ 

O i C\ P\ O i CŽ,

 , C  Ӡ C Y C,

26 (27)

dengan   

= harga dari obligasi pada waktu jatuh tempo
. = forward interst rate pada waktu jatuh tempo. = suku bunga yang berlaku. (Bukti: Lampiran 5)

Persamaan (26) di atas merupakan lanjutan dari rumus penetapan harga dari zero coupon bond. Namun, persamaan (26) ini memiliki perbedaaan dengan persamaan (16), karena persamaan (26) hanya menggunakan informasi dari forward interest rate pada waktu awal dan kurva volatilitas pada waktu C\ , sedangkan persamaan (16) menggunakan koefisien …C, †C dan C. Penentuan harga obligasi yang diperoleh di atas adalah dalam bentuk rumus aljabar, oleh karena itu pada bagian selanjutnya akan dicari harga zero coupon bond dengan menggunakan simulasi yang diselesaikan secara komputasi.

IV. SIMULASI Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai teori-teori dan rumus aljabar yang berkaitan dengan penentuan harga zero coupon bond. Selanjutnya, pada bagian ini akan diberikan simulasi yang akan menggambarkan harga zero coupon bond pada perluasan model CIR. Simulasi ini terdiri dari tabel dan gambar grafik yang merupakan implementasi dari penetapan harga zero coupon bond. Untuk lebih mempermudah contoh kasus, komponen stokastik dalam persamaan model suku bunga diasumsikan   0. Persamaan C diperoleh dengan menurunkan model suku bunga pada persamaan (14) yaitu: D  …C O †CDC C√ De.

Asumsikan:   0, didapat

D  … O †DC ,

I

1 D  DC , … O †

1 D  I DC , … O †

1 O ln… O †  C ˜ , † f ™š›’h  f ’œ , C 

… O f ’  . †

Saat C  0,

0 

…O , †

0†  … O ,

Jadi, C 

  … O 0† .

… O f ’ … O 0† , †

sehingga diperoleh, C 

†0f ’ …1 O f ’  . †

Selanjutnya, dengan persamaan (11) - (26), parameter-parameter:

menggunakan dan memilih

Y  †  1,

L  …  0,2 , σcir  0,4 ,

0  0,1 ,

dan diketahui bahwa   √L% 2 % .

Parameter-parameter tersebut digunakan pada software Mathematica 7, sehingga akan diperoleh harga zero coupon bond dari perluasan model CIR yang digambarkan dalam bentuk tabel dan grafik berikut.

8

Tabel 1. Harga obligasi dari perluasan model CIR pada waktu jatuh tempo 20 tahun T

t

20 0.0177802 0.0192656 0.0200863 0.0209777 0.0229956 0.0266526 0.0322247 0.0400265 0.0505064 0.0642877 0.0822084 0.105372 0.135218 0.173607 0.222942 0.286314 0.3677 0.472211 0.60641 0.77873 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tabel di atas merupakan tabel harga zero coupon bond dari perluasan model CIR dengan periode jatuh tempo
 20 tahun. Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa harga zero coupon bond pada perluasan model CIR terus mengalami kenaikan dan akan terus naik mendekati 1 (nilai parinya)

dari jangka waktu nol hingga jangka waktu jatuh tempo. Berikut ini akan diberikan grafik-grafik hubungan antara harga zero coupon bond pada perluasan model CIR dengan waktu jatuh tempo yang bervariasi.

p

p

1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75

1.0 0.8 0.6 0.4 1

2

3

4

t

5

0

p

2

4

6

8

10

t

p

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 5

10

15

20

t

5

10 15 20 25 30

t

Gambar 1. Grafik harga obligasi perluasan model CIR dengan
bervariasi

9

Gambar 1 di atas menunjukkan bahwa seluruh grafik harga zero coupon bond dengan variasi waktu jatuh tempo yaitu 5 tahun, 10 tahun, 20 tahun, dan 30 tahun. Dari grafik dapat dilihat bahwa harga obligasi cenderung mengalami kenaikan dari tahun ke tahun hingga waktu jatuh tempo dengan nilai pari sebesar 1. Selanjutnya akan diberikan contoh untuk memperlihatkan perbedaan harga obligasi tiap waktunya. Misalkan, suku bunga

  15%, dengan mengambil harga zero coupon bond saat C  4 pada masing-masing waktu jatuh tempo yaitu dengan
 5 harga obligasinya 0,855341, dengan
 10 harga obligasinya 0,278148, dengan
 20 harga obligasinya 0,0229956, dengan
30 harga obligasinya 0,00188763. Berikut ini grafik hubungan antara harga obligasi saat C  4 pada waktu jatuh tempo yang berbeda yaitu:

Grafik hubungan harga obligasi dengan waktu jatuh tempo 1 0,8 0,6 P 0,4 0,2 0 5

10

20

30

T

Gambar 2. Grafik hubungan harga obligasi dengan waktu jatuh tempo Gambar 2 di atas merupakan grafik hubungan antara harga zero coupon bond saat C  4 dengan waktu jatuh tempo yang berbeda. Periode jatuh tempo yang berbeda yaitu 5 tahun, 10 tahun, 20 tahun dan 30 tahun akan memberikan harga obligasi yang berbeda. Dapat dilihat bahwa saat C  4 harga obligasi yang diberikan berbeda-beda. Sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin lama waktu jatuh temponya maka harga obligasi yang diperoleh akan semakin rendah. Selanjutnya diberikan contoh kasus untuk C tertentu. Misalkan, suku bunga yang

diberikan bervariasi dan mengambil harga zero coupon bond (tabel pada lampiran 8), saat C  5 pada masing-masing waktu jatuh tempo yaitu dengan   1% harga obligasinya 0,177388, dengan   5% harga obligasinya 0,175036, dengan   10% harga obligasinya 0,172095, dengan  20% harga obligasinya 0,166215. Sehingga akan diperoleh grafik hubungan antara harga zero coupon bond dengan suku bunga yang berbeda-beda pada saat jatuh tempo 10 tahun sebagai berikut:

10

Grafik harga obligasi dengan T=10 0,178 0,176 0,174 0,172

P

0,17 0,168 0,166 0,164 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

r Gambar 3. Grafik hubungan harga obligasi dengan suku bunga Gambar 3 di atas merupakan grafik hubungan antara harga obligasi dengan suku bunga yang berbeda dan waktu jatuh tempo yang diberikan yaitu 10 tahun. Kesimpulan

dari gambar di atas adalah jika suku bunga meningkat maka harga obligasi yang diperoleh akan menurun.

V. SIMPULAN Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) dapat menghilangkan kemungkinan suku bunga bernilai negatif, sehingga memastikan bahwa tingkat bunga tidak akan negatif. Perluasan dari model CIR dapat digunakan untuk menentukan harga zero coupon bond (obligasi tanpa kupon). Rumus penetapan harga zero coupon bond pada perluasan model CIR diperoleh dalam bentuk aljabar pada struktur waktu awal, dengan menyelesaikan solusi

persamaan diferensial yang diberikan sesuai dengan kondisi batas yang telah ditentukan. Harga obligasi pada perluasan model CIR cenderung mengalami kenaikan dari tahun ke tahun sampai waktu jatuh tempo. Harga obligasi berbanding terbalik dengan waktu jatuh tempo dan suku bunga. Semakin lama waktu jatuh temponya maka semakin kecil pula harga obligasinya. Selain itu, jika suku bunga meningkat maka harga obligasi yang diperoleh akan menurun.