Identifikace systémů

Identifikace systémů Přednáška 2 Osvald Modrlák, Lukáš Hubka

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

ARI, Úvod do identifikace systémů Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření

4 Základní nástroje verifikace  Míru shody mezi výstupem soustavy a modelem. Tato kontrola je nejběžnější, protože je k dispozici měření na soustavě. Nemůže však v žádném případě dávat informace o řiditelnosti a pozorovatelnosti modelu ani o správné volbě struktury modelu.  Míru shody mezi frekvenční charakteristikou soustavy a modelem. Frekvenční vlastnosti modelu jsou významné pro modelování soustav, ve kterých vstupní signál leží v určitém frekvenčním spektru.  Dosažitelnost a řiditelnost, minimální realizaci a možnosti redukce řádu modelu. 2


4 Základní nástroje verifikace Posouzení správnosti volby struktury modelu a redukce řádu modelu se opírá o definici dosažitelnosti a řiditelnosti, SVD rozklad, kanonické dekompozici a redukci řádu modelu. Redukce řádu modelu je založena na časové dekompozici nalezení a eliminaci módů, které jsou špatně řiditelné nebo dosažitelné. 3


Póly, nuly, módy systému, časová odezva Je známo, že každá racionálně lomená funkce je možno zapsat ve tvaru

Speciální třídu přenosových funkcí tvoří přenosy, které mají nuly a póly v pravé části Gausovy roviny. Obrazové přenosy, které mají vesměs nuly a psy v levé části Gausovy roviny se nazývají fázově minimální a přenosy, které mají nuly a póly v pravé polorovině se nazývají fázově neminimální. Hovoříme-li, že obrazový přenos je stabilní, pak tato funkce má póly v levé části Gausovy roviny. Říkáme, že obrazový přenos je nestabilní, jestliže alespoň jeden pól leží v pravé části Gausovy roviny. 4


Póly, nuly, módy systému  Póly systému 

 



Každou racionálně lomenou funkci (L-obraz odezvy) je možno rozložit do parciálních zlomků, přičemž každý člen obsahuje buď jednoduchý nebo komplexně sdružený pól, nebo kombinaci násobků násobného pólu. Parciální zlomky rozkladu obrazu výstupu obsahují jak póly systému tak póly buzení. Neobsahuje-li obraz výstupu nuly systému, pak koeficienty parciálních zlomků určují buď póly systému nebo póly buzení. Parciálním zlomkům, které obsahují póly soustavy, odpovídají příslušné módy-předměty standardního typu, které v součtu tvoří přirozenou odezvu systému. 5


Póly, nuly, módy systému  Přirozenou odezvu – je součet módů systému  Pólům buzení odpovídá L-obraz vynucené odezvy soustavy, které je vyvoláno jeho buzením.  Nuly systému  

Nuly systému jsou kořeny čitatele obrazového přenosu Nuly systému ovlivňují všechny koeficienty rozkladu na parciální zlomky.

Příklady: a)Dva reálné různé póly v L-obraze výstupu b)Dva póly a nula v L- obraze odezvy-výstupu

6


a)Dva reálné různé póly v L-obraze výstupu

7


b) Dva póly a nula v obraze odezvy

8


Vnitřní popis Uvažujme vícerozměrový dynamický systém, jehož struktura je na obr. 4.1

9


Vnitřní popis

10


Vnitřní popis

11


Určení obrazového přenosu ze stavového popisu

12


Určení obrazového přenosu ze stavového popisu

13


Stavová dosažitelnost a pozorovatelnost

14


Softwarová podpora

15


Dekompozice a technika SVD rozkladu

16


Dekompozice a technika SVD rozkladu

17


Softwarová podpora

18


Softwarová podpora

19


Minimální realizace

20


SVD faktorizace

21


SVD faktorizace

22


Redukce řádu modelu

23



24



25



26



27


Redukce řádu modelu Step Response 0.7 s1 sr 0.6

Amplitude

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Time (sec)

28


Časová dekompozice Předpokládejme, že módy systému lze rozdělit na rychlé a pomalé, které již jsou mimo sledovaný časový horizont. Základní myšlenka se opírá o dekompozici stavového vektoru systému do dvou částí. Část stavového vektoru označena jako x2 bude reprezentovat pomalé módy.

x1  y  Cx  C1 C 2     x 2 

29


Časová dekompozice

30


Módy špatně řiditelné nebo dosažitelné  Nalezení a eliminaci módů, které jsou špatně řiditelné nebo dosažitelné, umožňuje metoda "vyvážené redukce (Balanced reduction)".  Využívá Gramianovu formu řiditelnosti (controllability Gramian), která má lepší numerické vlastnosti. Gramianovy matice řiditelnosti a pozorovatelnosti jsou definovány následujícím způsobem

31


Módy špatně řiditelné nebo dosažitelné  Princip vyvážené redukce řádu (balanced reduction) spočívá v nalezení Gramianovy matice řiditelnosti a pozorovatelnosti a následně transformací Gramianových maticí na diagonální Gramianovy matice.  Pro LTI systém, který je určen maticemi (A,B,C), je možno určit Gramianovy matice řiditelnosti a pozorovatelnosti WC ,WO. Za předpokladu , že existuje matice T provede se transformace souřadnic a získáme transformovaný model ve tvaru

x  TAT 1x  TBu; y  CT 1x  Du  Gramianovi matice řiditelnosti a pozorovatelnosti jsou transformovány do tvarů

32


Módy špatně řiditelné nebo dosažitelné  Výsledkem těchto transformací jsou diagonální matice jednotlivých módů. Následuje eliminaci těch módů, které jsou špatně řiditelné a pozorovatelné.  Pro praktické redukce modelů bude využívána softwarová podpora MATLABu, funkce: balreal, modred

33


Softwarová podpora

34


Softwarová podpora

35


Příklad-Aplikace metod redukce řádu na příklad 4.4-2 Obrazový přenos:

Transfer function: -0.01466 s + 1.223 Ftrs= -------------------------s + 2.446

Zero/pole/gain: -0.014659 (s-83.42) Fzrs=--------------------------(s+2.446) 36


Příklad-Aplikace metod redukce řádu na příklad 4.4-2 Step Response

Step Response 0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

Amplitude

Amplitude

s1

s1 trs

0.2

0.1

0

0

-0.1 0

0.5

1

1.5 Time (sec)

2

2.5

sr

0.2

0.1

-0.1

trs

0.3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Time (sec)

37

Identifikace systémů

Recommend Documents