PROCEEDINGSITB Vol. i,6, No. J, )983
3l
a I\IODELDISTRIBUSIGANI]!IAUNTUK UJI HIDUPDIPERCEPAT olch.
'Lurza\\'i
St t'jotli
x)
I Pendaltuluan Bcberapa nlodcldrll atlalisis untuk uji hidupdipercepat telahbanyakdibicarakan.Distribusiyangbiasadigurr:rkln sebagai rtrodel distribusi tahanhidupadaluh eksponensirl, nrisllnyaKuhn {3II Wcibull,nrisalnya Mann [4] ; dan log nornral,nrisahrytNelson[51. Dalanrtulisanini yangakandigunakan sebagai model distribusitahanhidup adiriahdistribusiganrma,yaitu suatu perluasan dari distribusieksponensial. Pcnggunaannya dalanruji hidup telahrlibicarakan antaralain olehGuptadan Groll [2], tetapibelunrada tulisanyangmembicarakannyadalam masalah uji hiduptlipercepat. Kita misalkandistribusitahanhidup suatubendaadalahgammadenganfungsi kepadatan
f@=#Az'
I e * p ( t ) ; 7 , 0 ) o < l a nz ) o
0)
Parameter skala0 ttrgantungpadalegangan -xmcnuruthubungan 0 = exp(a+ Fx)
(2)
parameterbtntuk 7 bcbasdari tegangan.r sedangkan tcrsebut. Secaraumum nretodeyang ukan kita sajikandi bawahberlakujuga untuk modeldenganlebihdari satutegangan. Tetapiuntuk rnenyederhanakan penyajiannyadi sinihanyakita gunakansltu tegangan saja. Misalkan suatupercobaan dilakLrkrn dengan n tingkattegangan X,; i = 1,2,. . . , yangtidak harusscr)ruanya bcrbcdl.Misalkansatuilcn?dipasairg padatingkat tegangan X, sanlpai mati,dantahanhitlupnya ditrrlissebagai Z' Berdasarkan data{2, ; i = 1,2,. . . ,,, } scmuapararncter di dalammodelakan ditaksir,baik denganmetodekuadrut terkecilntaupundenganmetoderlaxjnum likelihootl,yangmasing-ntasing kita sajikandalanrBagian2 dan Bagian3. Selanjutnyadalamtslgian4 kita pelajariefisiensiasirntotikpenaksirkuadrat terkecilrelatif terhrdappenaksirnv.:tinnntlikcltootl. 2 Penaksiran denganmetodekudrat terkecil Jika Z berdistribusigamlla denganfungsikepadltan( I ) maka W = loe Ql0) *) ZanzawiSoejoeti,Phl) F ll{l P?,\ UGM Bulal sumur, Yogyakarh, lndo esia.
dosen padajurusan Maternalita,
32
t'ROCEEDINGSITE I ol. 16,No J. t983
a mempunyaifungsikepadatan g(w)= tf(r)l
I exp(^yrr') exp [-exp(w)]
(-l)
dengan E(w):oo=ry'(r) var{w): o2 - rlt'(1) E(t4 - E(W))r = ps = 9" (t) E(w - E(w))4-- pq = 0''(i+
3(g'(r)),
(4)
9(t) besertaturunannyag(*) (f), & bilanganbulat positif,adalahfungsipoligamma.Fungsidigamrrary'(y)didefinisikansebagaiturunan pertamafungsi log gamma,yaitu 9(a) = d loe t (a)lda. Selanjutnyauntuk memperolehpenalsir kuadrat terkecil kita definisikan rnodellog linearsebagai berikut Y, = log Z, = log 0t + log (2.10.\ atau Yt = o.o+pX.+et
(s)
ob = a + <,:odan e, -- W1 - c,s o ; i = l, 2, . . -,rr adalahvadabelacakyangsaling bebasdan berdistribusiidentikdenganmean0 dan variansio2. Makametode kuadrat lerkecilmemberikanpenaksirtak biasuntuk o5 danp masing_masing sebagai berikut:
ao'T-Ex, B
2 ( xt - x t Y .t
i=t
(6)
2 (X, - x)2
Penaksiruntuk a dan 'y diperoleh denganmenggunalankuadratresiduratarata
-2-
t (Y, - ao - pX,), tr*2
(7)
sebagaipenaksir u ntuk o2 . Scianjutnya dengannrengingat hubungano2 = Q'0\
PROCEEDINGS ITD Yol. t6, No.J. ISEJ
= ry'(.y), danc,.ro penaksiruntuk c darr7 dapatdihitung. I ) e n g a n t e n g a n g gbaaph w l
nl!1
rr- t
rr,, Jinr rt-t .5rX,x= mi, ,t,f ,=
danmt = nt', - m12) 0, nrakarnenurutTcorenra2 dalantZanzawi soejoeti [7J, distribusiasimtotikV, ( I-,, - A ), denganA, = (oo, 0, o2), adalahnormal denganvektormean0 danmatrikskovariansi:
u*#, *'rt-flv,rtt -ff*'t t fiv'rrt
E;=
9"(t)
o
9"Q)
o
(8)
9"Q) + 2(g',1Dr.
Denganmenglngat hasil6.a.2(iii)dalamRao[6], makadapatditurunkandistri buslasimtotikttn (L - ), dengan = <", p,?), sebagai
'i[',,
af
azl
,ta Or,I
I or,-J
o,,= (#,-r)e'(r)+ r#3; r s,,,0)+2(e,e)),1 an= -ftv'rrl on= ro,'= azt =
4n=
##
(.t))21 w,,0)+2(,t),
* v'et 0
i
o)t,
Ig" (i+2(0'QDzl
(e)
34
n t o ( ! . f . D t \ 0 sI n ] t i , t t a \ , , t
I)etcrnrinannlllriks ini ll(lulllli f,/,'r-rll
r : : 'l - , l : ; , ' - / 1 1 l v " r 7 r r l r e ' r 7 r ) : | (r).1
II
{'11t nr,
(10)
T a h l n h i d u p r a t J - r u t Jp a r i : rt c t l r n g ; r nr r o r r r r i .rY l u .p r l = I c x l ) ( c r+ p - l ' u) d i t a k s i r = d c n g l n i r - , i 1 ' r p ( d + d . Y 0) . D i s t r i b u sui s i r r t o t i k r r ; ,uao r r r r : rt li e r r g a v; rl r i r n s i K
=
( 1 2 a r , + 1 ) X o 2 t t r *, c . r : 1 l T 2 X o n r z + ] " y c , r ) . e x p [ 2 ( a + l i , \ o l ( l l t
3 Penaksiran dengaunletode,noximunt likelihootl Urrtuknteurperolch penaksirnta.\inlutllikdiluxttl (l'NlL), untuk t ' = @ , a , t ) , digunakanfungsikcpudatung(l{)=.q(}'--aB,Y,)dalanr(3). Frrngsilitcll/tr.rttrl-nyu adalalr L,,(!;L) =(f(?)) " cxp)-{ ^y(f- a-BX,) -exp(r, -ot-PX)}
(12)
dan pcrsanraan /ikcli/roorl-rryt adalah ^ tl"t+ >, cxp(Y,-a -0X,) = 0 i= |
-li
ntl
2 X,+
'i=r
Z.Y-(.xP(Yi-di=t
fXt=O
( l3)
- nQlt) n,l, (t, -a-Bxi) = 0 y r n g h r r r r st l i s c Ls r r i k r rsr rec r r r u i t c r l t i l
P M L_ 1 , , ' = ( o .r0r..
d c n g a nk o l l l p u t e r u n t r r k t n e n r p c r o l e h
D i s t r i b r r sai s i n l t o t i kd l r i _ { , ,d i b c r i k a nd a l l n r L e n r n r aI d i b a w a h . Lemma I :. M i s r l k r n { , , b a r i s a ny i r l g k o n s i s t c nd a r i k c t i g aj a w a b s i s t e r nl t e r s l n r l a nl l k c l i h o o d ( | . 3 ) d a n t n h a r g a b e n l r n y t . l V l a k ad i s t r i b u s ia s i n r t o t i k1 / n ( ! , , - I n ) n o r n r a ld e n g a nv e k t o r l n c l n 0 d l n r r n r t r i k ks o v a r i l r r s i brz |''' 2; = lb'.. ' [,,,
u22
btt
;:t]
il.r)
Jf
PROCEEDINCSITB t/ol. 16. No. J, 1983
(f)
*
.
"
-
'f tttz
l{t)i-l
I
-
utf
tttl
tttt'
b,,--"----+-bn=
)v
t),
I
.
.A
uL -) :
'l nlz -
I ^l I t1?
I
""
r{ (r)-|
Buki Untuk nrcmbuktikan lemnraini kita perhatikan AsumsiA I - A7 danTcoremu 2.I dalamZanzawiSoejoeti[81. Meskipunbuktinya tidak kita sajikandi sini, dapatkita sebutkanbahwalangkahpenrbuktianrrya samascpertibukti Te<-rrerna 2.1 itu. I I ( l4) adalah Detemrinanmatrikskovariansi I' -r
l= E'
I r 1 ' t i l ' ( 1 \- t ) m ,
(ls)
PML taharrhidup rata-ratapada tegangannornralXu ad ahy, = "r cxp((y+ dxo r. ,.landistribusi asimtotiknya normal tlenganvariansi. r c o = ( t 2 b t r + 7 2 X 0 2 b 2 2+ D : r + I 1 2X o b n + . r "l b n ) . e x p [ 2 ( d + p x o ) ]
(r 6 )
4 EfisiensiAsimtotik f EA) Dalambagianini kita sajikanefisiensi asinrtotikpenaksirkuadratterkecilrelatif terhadappenatsirmaximuntlikeliltood.Lfisiensirelatif ini kita detinisikansebagai
. v..tt0 | E A ( 0 . ,=t - . . i - : " vlt ld n)
i,, ,lur,6,, masing-masing menunjukkanpenaksirkuadratterkecildan penaksir aximum likelih
P R ( ) C L t l ) t , \ ' GtST B | , ' t 1 6 V u . 1 ,l e r J
36
-
2
a'hl
E A t-t ) - t t #
v (71
-
2
ri'{r |
f,l tat= ,l#'
V
...
[9"'r'rr+](V'(r))rl -{'(r)1
l''t)
I lu"'rrtrl{0'{r))']1
. t, ' Y9-V' ( r )
-,
tf |
|
-rl
t 'v1p17)- li' t
"ir 1r1,'111, ttt:
t t t' 't
(17)
^t ttl2
E A 6 l = I t ' 1 , ' 0 ) l' E A( 7 ) = r ( 9 " ( r ) t ' t] 0 " ( ' y ) +I ( { V ' ( r ) ) ' z- '1[ ? V / ' ( ? )I-l - l 1 2 b t r | 1 2X o z b ur r b : . r * ) " y z X o b t ) +) - t b t ! L / r l l r u l= '%,; I hrur, * o, n n, x"r" * :lr" K i t a c a t a t b a h w a! , ' 1 ( & ) t c r g a n t u n gp a d a7 d a n X n r e l a l u il t a r g al i r n i t t n 1 d a n m2', EA(iu ) tergantLrngpada "y, X, tlan juga Xo I sedangkanyang lain hanya tergantungpada?. Selanjutnyaakrn kita tunjukkan bahwa scmua hcrgr efisiensiasirntotik di atas konvergenke I untuk 1-)oo.Untuk ini pcrtama-tamakita buktikan lenrmayang berikut. Lemma 2 i o l i g a m n r ar ,n a k a J i k a g ( l ) ( 7 ) , I b i l l n g a nb L r l a pt o s i t i f ,a d a l a hl i r n g s p a) untuk I (,( (oo. berlaku
r f V $ t O l - , ( _ t ) r ( , r _t ) I j i k a z _ ,b) tlt!'lt)
- ll -' I r
jika7--."
Bukti positif, adalah ,r(t)(rl. k billnganbLrlat a) Bentukintegraltirngsipoligarnnrl (lihatDavis
0,r)(r) Maka
=
r '_ ')
i
o
l). ltl^u,tft
,::.b_ (:--ll
,1-
( t8)
PROCLEDINGS ITB tol. 16. tYo.J.l93J
r
r" P'^'(1)
I
-'
| ( l o g- - t r l--
u
l)
J.
/lOr
K i t a p u r r L l l n gr r l l i l l t d e r c t l i l n g s il o g - - y J i t u log: = iog l-(l
l R ', l =
r---
f --
r.
ri l-r
= -(l-:)
:)-R,(:) { l'
Jr(
l--
U n t u k s u k u p e r t a n r ld a r i ( J 0 ) , i n t e g r a (l l 9 ) l r r c n j a ( l i ' ( l t r g - - y- '' ( r . 1 . ) o ) Z-) , -(- t -l ) A r ( A =
t'oJ
c0)
1ir(.-).
-.)z
Ll:
a_.t,
t"
=
(-l)f
l)l
'(t - l) I
(I)
Untuk suku sisanyakita peroleh ' -r t(ogttk 'Rrttl : I t l o gz l e ( | - : t 2 I t' *' , l z l . : . 1' k I it' dz (z-lt d (l-z))z i
= + =
-t 1 . r( -- i r l-)-f-t--: -i :1- 1 - :7i -' _; 1 ; i
,
:
l/zr-2(log:yt-r\l- zl d:l
(l_r).
( l){-'(k-
l)ll
-0jika7-Jadi tkrlr(k)(t),(--l)i,
'G - l) !
b) Bila ll = I , kita dapatkan -rlor . I z) -: - - /,rL'6t = J -_ o (z-l) ()2)
rfan
l o g . z=
(l
I
1 1 ,( , - )
:)--j(l-;)t
' - rl . l R , / : r l - i ' -.r ri l
, / . r<
(l-
--r' 3,-
(:))\
38
PROCEEDINGSITB Vol. 16. No. J. 1983
Untuk sukupertamadankeduadalanr(22) kita peroleh 7 t T r r it 1 , - l l
,,
=
r z1-'lz 1J_ o tz-tt
l)
1 1zr-112-112 ,/- . za oJ (z_l)
(tz-
t l
I -1,^ - ^l rr - 117, ''l ft I ]r"
=
-..+* \ | ' ),
trnt ukT-ro
j
Untuk sukusisanyakita peroleh t , z 1 - tR , r z't I ll-zlr '1' r z .1zl ( r) u. ,' o' {:-l; J (--il3, t2
l
-!_ 2(l_z)2 I:1 -.t o -y2 l2l =(_.-.=
3 -
7-l
"t
2l'.2 (-;, ; _) r 7l't-l,t?1t)
dz
"t+l' r0
jikr 7-r""
Makalengkaplah bukti lernnraini. // Sebelumsampaipadakonvergensi ellsiensiasimtotik,kita lihat persamaan berikut. ,l"t-t
IIrl',rl =
2
l# l V " ' ( ' t t r l t r l , ' ( r r )I, v \t) 'to _ , 0 ' i ( I 1, ' . , , = t,,\il lV"'t'y)+l(*'(r))'?1 " =
t V " ' l t| | ( 7 V r I ', ,' vz ., 0 y "' ol t | ', ' , ' t ' 1 7) ) ,I I +l
S e k a r a n gd a p a t k i t a l i h a t c l i s i e r r s a i s i m t o t i k k o n v e r g e ' nk e I u n t u k 7 + o o y a i t u
39
ITB VoL 16. No.J leSJ PROCFI:DIN(;S
1 , 1( a ) =
lltt\'t)- it'tt)l
l)l-r -)(2)-'(%)-r '
l lr(r9'tr)
I
'(f )tlt'
-
e . l ( o ) = 1 1 1 , ( l ) -t l
)
f f
t9(r){-'tn*,,;;'
;
"tt
,,r.
!
'(l) = I
-(l)
r:^ (i) = lt,l'\)) | '* | E A ( ^ t )=
'17(7p'(1)-ll ' trt'(r)lr Ill,(r)J '-+(2) '(fj)
EAti,t=
I
= I
lr'("y)
ffi
a dan'btlalamf, N(f) danD(f) dapatditulissebagai Denganmenuliskan 'Y0'(1.)
. N(r) = t'
^?
,
,rg1r11r,ii,-
n
Xo'
,*'
*
,l
-lXomt
"tm2
,(r|,rr)_t)
" t \ ^ t t i r ' ( . " yl)l =
2X"m' n t , 2 '-'---: X : - -----":---: I + (l + --r-
Dltl
=
llt I
ln2
lll2 2
m,
^
. t' [( nt:-l )tr'(7)+ frr {7)' ) X o t n , l t ' ? r) tfrz
2 't
x o z L ' o tt
* iI
|V'?yl
lfil2
l) ) //' (r) ir(r9'(r)_.-
*',rr'
N(ry)
-r I lllrrka L.4 1!,,' 1 = ::J utlt
A(TX,
J//1(7)
-tlli-rryf'(7) * xir-o'1ttII z
*
Hr1)
2Xsmt1\r'(7)
+2
lllZ
PROCEFDT;,tGS IrB t,'t 16.\'u.3, te8J
40
l i a b e l I n r e n u n j L r k k ahnr r g f , E A ( t l , E t l ( 0 ) , C a n l , t ( 7 ; harga ?. Grafik EA (PSt..l.t't IIA (i) Ll:sailfanrlalamganrbarl
Lrntuk bebcrupr
U n t u k n r c m p c l l j u rfi, ) t ( t ) k i t a m i s u i k a nt i n g k a tt r g a n g l l ,nl r . . 12 , . . . , , 1 . . a d a l a l sr e d c n t i k i l rsr c h i n g g a f L r n g sdi i s t r i b u ski t r r n u l a t isf a r n p e l r r yf u ,, korrrr'rgcn k e B e t a ( 6 , c . , ) t ) a ( l as e l a n g( 0 ; l ) . D c n g a nd c n r i k i a nl r , 2/ r t , = 6 ( 6 + c d + l ) / c . ,=r p(6. c.-rd ) ,a n
'tv'ol EA (a) =
r p\o' u) ,,- 1Vlt7.' |
i , v " r' r , + I (0 ' ( 1) ) ' rz - p ' ( 1I) +- ' t lt/.'t p t , t, ll,'rt, yangtergantung pada6 dan or nrelaluifungsip. Selanjutnyaakan kita pelajariE)l (;) untuk beberrpapola tertentuclalam memilihhargaX. I'ertama-tama kita pandangkasusp (6, c..r)-+ 0 yangterjadi -+ jika misalnya t^'ltctapdan6 0. Dengandernikian
7\r'(''t) t r 9 ' ( r )- I l
&1 (&)--+ .,t I,!'(-ttl, { \r"'o, + 2 llr'(7)12 \ I'lt"(t)l t,lt'(t) Dalam hal ini, nr, -+ 0 dan 2t2 -- 0, sehinggahargajtargaX terkonsetrasikan p a d a 0 . U n t u k p ( 6 , o ) - r o " , y a n g t e r j a d i r n i s a l n y aj i k a d t e t a p d a n a : - ' 0 , E 4 ( d ) k o n v e r g e nk e ( 7 r f ' ( . y ) ) - t .D i s i n i n l + I d a n m : + 0 d a n h a r g a - h a r gXa terkonsentrasikNn pada l. Kedua, apabila kita ambil 6 = co. maka distribusi beta simetrik dan p(6, c.:) = 2 6 + 1 . g n 1 u 1 6 = I k i t a p u n y a d i s t r i b u su i niform(0; l); jika 6 --hargaX terkonsentrasikanpada 0,5; dan jika 6 -+ 0 hargaX terbagi dua samapada 0 dan l. Akhimya, dengrn menggunakanBeta (6, c.r) pada selang(c; c + I ). c ) 0 sebagai distribusi lintit l,r untuk c -+ oo,yaitu kasusdimana semuahargaX sangat b e r j a u h a nd a r i t i t i k a s a l ,m a k aE A ( a ) - + ( r 0 ' ( r ) ) - t . Dalam tabel 2 disajikanharga(limit) t,4 (d) untuk bcbcruprharga.7 dan berbagai kasuskhususdistribusrBcta (6 ; o). Dari tabel I dan tabel2 dapatkita amati bahwa hargaefisiensiasimtotik sangatrendahuntuk harga1 yang kecil.
al
PRaCEEDNGS ITE Vo,. 16,No,J. t98J
T.bsfl.
Ha.sa EAGI, EAlgl, dan F/ (il
T.bel2.
untuk beberapahar3s^l
.l
.3 .5 .8 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4-5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.O
FAI'I
EA(PI
EAIiI
.010 .08r
.099 .272 .405 .544 .608 .7'13 .775 .816 .844 .865 .881 .&t3 .904 .912 .9t9 .926 .930
.544 .610 .660 . 72 1 ,753 .a12 .850
.179 .317
.s)5 .538 .631 .6'6 .741 .775 .801
,m
.&p .853 .866 .876 .884
.6/O
.895 .909 .920 .928 .935 .941 .946 .950 -95J
HarsE(limirl FA(i) untukbebc. rapa hsrga 7 dan b?bertpa kasus khususdittribusiBera(6, aJ). ll
.l
.r00 .280
.5 .8 1.0 1.5 2.O 2.5 3.0
.411 .560 .626 .735 .798 .&i9 .867
J.5
.w7 .902 .9t4 .9?3 .930 .937 .s42 .946
4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0
lll.
a rstap d.n E+0
.10? .287 .427 .571 .637 .145 .807 .846 .873 .492 .907 .918 .928 .934 .93 .944 .948
l
.r05 .298 .441 .584 .d49 .7U .814 .862 .878 .896 910 .520 .929 .936 .Ott .9,16 .960
PRQ(!tt:l)1.\(;SITB l0l. ',. \d .i
10
8
.5
1.{)
i li
?0
2.5
Gambar1. Gratik F,a(tij danEAlt).
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
-1 0
PROCEEDNGS ITB yot. 16.No.3. tgtJ
43
Daftarpustaka l. I)avis,II. T. 19J3. Tablt:ol the ltigherMathenuticalFunctions,The Prinlrrc..Bloornington, Indiana. cipiaPress, l. Gupta,S. and P. (irol1,1961,(iarnnrl[)istribution in Acceptance Sampling Basedon Life Tests. J. Anter.Stat.Assoc.. 56. 94J 97O. 3. Khan,H. D., 1979,LeastSquares F,stimation for the Inverge PowerLaw for Accelerated Life Tests,zlppliedStatistics,23,1,40 46. 4. Mann,N. R., 1972.Designof OverStressLife TestF.xperiments whenFailure Times Hare the Two Parameter WeibullDistribution, Tech ometrics.
t 4. 2.43't-45r.
5. Nelson,W. 8., 1970, StatisticalMethodsfor AcceleratedLife TestDataThe lnverse Power Model, GeneralElectric corpomte Research@tdDevslopment TIS Report 71- C- I 20. 6. Rao,C. R., 1973,Liner Statistical Inferenccond lts Applietioru,2nd ed., JohnWiley,N. Y. 'l . Zanzaw\Soejoeti,I981, JointAsymptoticNorrnalityof the LeastSquares Estrimotors and the lVlean SquareError in the Usual Linear Regression Models. contributed paper presentedat the lnlemrtional Mathenratical Conference, Singapore,8l2 June1981. 8. ZanzawiSoejoeti,1982,AsymptoticNormalityof the MLE lor l..ocationScaleFamily with Linear Regression in the LocationParameter.contributed paperacceptedto be presentedat the 2nd Francmouthe.rst Asian Mathematical Conference, City, Philippines, June 1982. Quezmr
