I. Általános információk

UNIVERSITATEA „BABEŞ-BOLYAI”, CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ŞI ŞTIINŢE ALE EDUCAŢIEI EXTENSIA UNIVERSITARA SATU MARE ANUL UNIVERSITAR 2010/2011 SEMESTRUL I „BABEŞ-BOLYAI”TUDOMÁNYEGYETEM PSZICHOLÓGIA ÉS NEVELÉSTUDOMÁNYOK KAR SZATMÁRNÉMETI KIHELYEZETT TAGOZAT 2010-2011 EGYETEMI TANÉV I. FÉLÉV I. Általános információk 

Az előadás azonosító adatai:

Az előadó tanárra vonatkozó adatok Név: Baranyai Tünde Iroda: Str. Petőfi Nr. 47. Telefon: 0261-711789 Fax: 0261711789 E-mail: [email protected] Fogadóóra: csütörtök: 11-13 Az előadásra és tutorokra vonatkozó általános információk Tantárgy neve: Aritmetika tanításának módszertana Kód:

1

Kredit szám: Tanév, félév: 2010/2011, I. félév Az előadás típusa (kötelező, opcionális, fakultatív): kötelező Tutorok: Tutorok e-mail címe:  Előzetes ismeretek, az előadásra való beiratkozás feltételei (kondicionálás) Az előadás anyagának megértését, elsajátítását megkönnyíti a liceumban elsajátított alapfogalmak felelevenítése, valamint az Aritmetika című tanulmányi útmutató anyaga.  Az előadás tartalmának rövid összefoglalása A hallgatók a tanulmányi útmutató alapján készülnek fel a vizsgára. A felvetődő kérdések részletes megbeszélésére a kontaktórákon kerül sor. A kontaktórák jó alkalmat nyújtanak a komplexebb témák megbeszélésére, esetleges véleménycserére. Ugyanekkor az egyénileg megírandó referátumokkal kapcsolatosan felmerülő kérdéseket is tisztázzuk.  Az előadás egyes témáinak hozzáférhetősége Az előadás a 2 modulból felépülő tanulmányi útmutatóra támaszkodik. A hallgatók az anyagot tartalmazó cd-t megkapják a többi útmutatóval együtt. Az 1. modul „Logika, halmazok, relációk, természetes szám fogalma” címet viseli, a tanulmányi útmutató 10-24 oldalán van leírva. 4 egységből épül fel, az egyes témáknak megfelelően meg vannak fogalmazva a célkitűzések, a kulcsfogalmak, feladatok, bibliográfia és önellenőrző feladatok és gyakorlatok. A 2. modul „Műveletek természetes számokkal, törtek,mértékegységek, mértani alapismeretek” a 25-44 oldalon található. A kaiadott cd, illetve az eletronikus könyvtár anyaga is tanulmányozható. A modult alkotó 4 egység leírása tartalmazza a célkitűzéseket, kulcsfogalmakat, feladatokat, könyvészetet és a modul végén feladatok segítik a hallgatókat ismereteik felmérésében.

2



Az előadások során alkalmazott eljárások, módszerek  Az egyes témák bemutatása – kontaktórákon  Az összefüggések megmagyarázása- kontaktórákon  A diákok kérdéseinek megmagyarázása- fogadó óra alkalmával  A diákok aktív bekapcsolódásának bátorítása- kontaktórákon



Kötelező könyvészet Sorszám 1

Szerző Olosz Etelka, Olosz Ferenc

Cím Matematika és Módszertan, Kolozsvár, (1999)

2

Tuzson Zoltán

Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat?, Ábel kiadó, Kolozsvár, (2005)

3

Baranyai Tünde

Aritmetika-Tanulmányi útmutató

3



Az előadás tematikája (Az egyetemi félév során megtartandó kontaktórák időpontja és helyszíne az órarendben van feltűntetve)

Dátum

Tematika

Alapfogalmak/kulcsszavak

2010 okt.

Matematikai logika

Matematikai kijelentések Nyitott mondat Fogalom, Tétel Axióma, Lemma, Bizonyítás

Halmazok

Relációk

Halmaz Elem Részhalamz Metszet Egyesítés Különbség

Reláció Ekvivalencia reláció Ekvivalencia osztályok Rendezési reláció

4

Forrásmunkák

A diákok hozzájárulása saját tudásuk elmélyítéséhez Olosz Ferenc, Olosz A kijelölt forrásmunkák Etelka: matematiak és átolvasása Módszertan Tuzson Zoltán:Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat? Baranyai Tünde: Aritmetika-Tanulmányi Útmutató Olosz Ferenc, Olosz A kijelölt forrásmunkák Etelka: Matematika és átolvasása Módszertan Tuzson Zoltán:Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat? Baranyai Tünde: Aritmetika-Tanulmányi Útmutató Olosz Ferenc, Olosz A kijelölt forrásmunkák Etelka: matematika és átolvasása Módszertan Baranyai Tünde: Aritmetika-Tanulmányi

Természetes számok

2010 nov

Természetes szám fogalma Azonos számosságú halmazok

Műveletek természetes Természetes számok összeadása, kivonása Szorzása , osztása számokkal Kommutatív tulajdonság, Asszociatív tulajdonság Semleges elem Disztributív tulajdonság Összeadandók, összeg Kisebbitendő, kivonandó, különbség Szorzótényezők, szorzat Osztandó, osztó, hányados,maradék Tört fogalma, Törtek,műveletek Racionális szám törtekkel számláló, nevező, törtvonal Áltört, valódi tört, egységnyi tört Közös nevező Tört bővítése, egyszerűsítése Tizedes tört Szakaszos tízedes tört

5

Útmutató Olosz Ferenc, Olosz Etelka: matematika és Módszertan Tuzson Zoltán:Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat? Baranyai Tünde: Aritmetika-Tanulmányi Útmutató Olosz Ferenc, Olosz Etelka: matematika és Módszertan Tuzson Zoltán:Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat? Baranyai Tünde: Aritmetika-Tanulmányi Útmutató

A kijelölt forrásmunkák átolvasása


Olosz Ferenc, Olosz A kijelölt forrásmunkák Etelka: matematika és átolvasása Módszertan Tuzson Zoltán:Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat? Baranyai Tünde: Aritmetika-Tanulmányi Útmutató

Mértékegységek

Hosszúság, tömeg, idő, térfogat, űrtartalom Alapmértékegységek Többszörös és törtrész

Olosz Ferenc, Olosz A kijelölt forrásmunkák Etelka: matematika és átolvasása Módszertan Tuzson Zoltán:Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat?

Mértani alapfogalmak

Síkidomok, négyszög Kör, négyzet, téglalap, rombusz, trapéz,paralelogramma Testek: gömb, kocka, téglatest, hasáb

Olosz Ferenc, Olosz Etelka: matematika és Módszertan Baranyai Tünde: Aritmetika-Tanulmányi Útmutató Olosz Ferenc, Olosz Etelka: matematika és Módszertan Tuzson Zoltán:Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat?

Szöveges feladatok Aritmetikai módszerek, szintetikus, aritmetikai megoldása analitikus módszer Ábrázolás módszere, hamis feltevések módszere, mérleg elv, fordított út módszere, hármasszabály, mozgási feladatok,

6



Aritmetika tanításának módszertana 

A felmérés módja

Az egyetemisták tudásának felmérése a következő képen történik − A kontatórákon való aktív részvétel, portfólió összeállítása (50 %) − Félévi írásbeli/szóbeli vizsga (50 %) A kontaktórákon való aktív részvétel A diákok kontaktórákon való részvétele kötelező. Az aktív részvétel a diákok részéről a kitűzött téma előzetes áttanulmányozását, a kérdések megvitatásában való részvételt, a témával kapcsolatos, kialakult vélemény megindoklását jelenti. Tudományos dolgozat, referátum megírása (50 %) A portfóliót legkésőbb a 11. héten le kell adni. A portfólió tartalma: Lecketervek, tevékenységi tervek: 4óvodai és 4 iskolai (akik gyakorlaton vesznek részt a megtartott órák lecketervei) A lecketervekhez, munkatervekhez kapcsolódó feladatlapok A lecketervekhez, munkatervekhez kapcsolódó szemléltető eszközök Feladatgyűjtemény: min. 25 szöveges feladat, és ezek megoldása, aritmetikai módszerekkel E portfólió összeállítása és leadása, a téli szesszióban megtartott vizsgára való jelentkezés előfeltétele. Félévi írásbeli/szóbeli vizsga (50 %) A téli szesszióban megtartott írásbeli vizsgán elért eredmény 50 % arányban járul hozzá a végső jegy kialakításához. A dolgozatok osztályozása 1-től kezdődik, és javítási kulcs alapján történik. 

Tanulási útmutató

Olvassa át a tanulmányi útmutató anyagát, és a kijelölt könyvészeti anyagot. Az ismeretek jobb elsajátítása érdekében jegyzeteljen. A modulok egységekből állnak. Egységenként tanuljon, készítsen vázlatot az olvasottakról, írja ki a felmerülő kérdéseket. Az anyag átismétlését követően válaszoljon az egység végén található kérdésekre.

Szatmárnémeti 2009 Október

Rektorhelyettes Prof. Dr. Szamosközi István Tanár: Dr. Baranyai Tünde 7

Aritmetika tanításának módszertana

BABES-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM KOLOZSVÁR TÁVOKTATÁSI KÖZPONT PSZICHOLÓGIA ÉS NEVELÉSTUDOMÁNYOK KAR

DR. BARANYAI TÜNDE

Aritmetika tanításának módszertana Tanulmányi Útmutató tanító - és óvóképzős hallgatók számára I. Félév

Szatmárnémeti 2010

8


TARTALOMJEGYZÉK 1. MODUL....................................................................................................................10 1.

EGYSÉG : MATEMATIKAI LOGIKA...................................................10

2. EGYSÉG : HALMAZOK.......................................................................................12 3. EGYSÉG RELÁCIÓK............................................................................................22 4. TERMÉSZETES SZÁMOK HALMAZA.............................................................23 2. MODUL....................................................................................................................25 1. MŰVELETEK A TERMÉSZETES SZÁMOK HALMAZÁN..........................26 2. RACIONÁLIS SZÁMOK HALMAZA...............................................................32 3. MÉRTÉKEGYSÉGEK..........................................................................................34 4. GEOMETRIA........................................................................................................36 5. SZÖVEGES FELADATOK ARITMETIKAI MEGOLDÁSA.........................38

BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................42

9

Aritmetika tanításának módszertana 1. Modul: Logika, halmazok, relációk, természetes szám fogalma

 Célkitűzések: A matematikai logika fogalmainak megismerése, kijelentéskalkulus, predikátumkalkulus alapelemei Halmazok megadási módjai, műveletek halmazokkal, halmazok egyenlősége, részhalmazok Relációk értelmezése és tulajdonságai Természetes szám fogalmának megadása, Peano axiómái, N számossága

 Tanulási útmutató: Olvassa át az anyagot, és a kijelölt könyvészeti anyagot. Az ismeretek jobb elsajátítása érdekében jegyzeteljen. A modul 4 egységből áll. Egységenként tanuljon, készítsen vázlatot az olvasottakról, írja ki a felmerülő kérdéseket. Az anyag átismétlését követően oldja meg az egység végén található feladatokat.

1 EGYSÉG: Matematikai logika  Célkitűzések: A matematikai logika alapfogalmainak ismeretére nemcsak a matematika tantárgyon belül találkozunk, hanem más tantárgyakban is, valamint a mindennapi élet során. Ezért nagy hangsúlyt kell fektetni e fogalmak megértésére és tökéletes elsajátítására. Az egység két fő részből áll a kijelentéskalkulusból, mely a kijelentésekkel és a velük végzett műveletekkel foglalkozik illetve

a predikátumkalkulusból, mely a predikátumokkal

foglakozik.

 Kulcsfogalmak: Matematikai kijelentés, nyitott mondat, fogalom,tétel,axióma, lemma, bizonyítás A matematikai logika fontossága a matematikában és tanításában, abban nyilvánul meg, hogy mivel a matematika egy egzakt tudomány fogalmainak és ezen fogalmak tulajdonságait helyes logikai összefüggések segítségével kell megadnunk. A fogalmak és tulajdonságok bevezetésekor figyelembe kell vennünk a logika alapszabályait. Ezen alapszabályok közül kiemeljük a következőket: 

Egy adott gondolatmenet során minden fogalmat és tulajdonságot ugyanabban az értelemben kell használnunk



Egy kijelentés nem lehet egyszerre igaz is és hamis (ellentmondás-mentesség elve)

10


Egy kijelentés vagy igaz vagy hamis,más lehetőség nincsen (a harmadik kizárásának elve)



Igaznak olyan kijelentést fogadunk el, melyet tapasztalati, gyakorlati vagy logikai úton ….

A pedagógusnak törekednie kell, hogy a gyerekek helyes logikai következtetéseket vonjanak le a feladatok megoldása közben. A logikus gondolkodás kialakítása nagy jelentőséggel bír, mivel a feladatmegoldások során nem az a célravezető, ha a gyerek sémákat alkalmaz, hanem ha minden feladatot mint új problémát tekint és felhasználva meglévő ismereteit és a feladat adatait , minden feladatra önálló megoldást keres. Fontos, hogy ezen problémamegoldások során a gyermek: 

Tudjon helyes és igaz kijelentéseket megfogalmazni



Tudja használni hatékonyan ismereteit, ezeket alkalmazni a feladatmegoldás során



Ismerje fel a fogalmak közötti kapcsolatokat, vagy kapcsolatrendszert



Tudjon helyes következtetéseket levonni ismeretei és az új adatok segítségével.

A

matematikai

logika

(egyenletek,egyenlőségek)

fontos

szerepet

megoldása

során.

kap Fontos

a ezen

nyitott nyitott

mondatok mondatok

bevezetésekor betartani a fokozatosság elvét. 

Először a kijelentések logikai értékének meghatározását kérjük a gyermektől. Nagyon fontos ilyenkor is, hogy a pedagógus olyan kijelentéseket fogalmazzon meg, melyekről egyértelműen eldönthető logikai értékük.



A gyermek már az óvodában találkozik nyitott mondatokkal. Ezek olyan kijelentő mondatok , melyekből hiányoznak bizonyos mondatrészek, elsősorban az alany és tárgy.

FELADATOK 1. Egy hajó a part közelében horgonyoz. Oldaláról 10 fokú kötélhágcsó lóg a vízbe. Afokok egymástól 30 cm-re vannak, s az utolsó fok éppen a víz szinéig ér. A tenger ma csendes,csak a kezdődő dagály mozgatja a víztükröt. A dagály óránként 15 cm-rel emeli a víz szintjét. Mennyi idő múlva kerül víz alá a hágcsó harmadik foka?

11

Aritmetika tanításának módszertana Reggel 8 órakor izgatottan hallgatja a rádió hírműsorát Péter és Pál. Az

2.

előző napi lottóhúzás eredményét szeretnék megtudni, hogy az 1,2,3,…, 90 számok közül melyik az az öt, amelyet kihúztak. Mindketten egy-egy szelvénnyel játszottak. Amikor a bemondó elkezdte mondani a kihúzott számokat, Péter az első szám elhangzása után boldogan csapott csapott a rádiókészülékre- mire a rádió elnémult -, és felkiáltott: -Ötösöm van!!!! Ezután megszólalt Pál: Nekem meg nincs egy találatom sem!

-

Hogyan tudhatták mindezt, hiszen az öt szám közül csak az elsőt hallgatták meg?

2. EGYSÉG: Halmazok  Célkitűzések: Az egység a halmazok és a halmazokkal végzett műveleteket értelmezi. Célunk, hogy a hallgatóknak útmutatásokat,segítséget nyújtsunk abban, hogy hogyan alkalmazzunk a halmaz fogalmát a különböző fogalamak,pl. számfogalom kialakításában, valamint hogyan alkalmazhatják halmazelméleti ismereteiket a feladatok megoldásában. Kulcsfogalmak: Halmaz, elem, részhalamz ,metszet, egyesítés,különbség

 Halmaz fogalma az óvodában A halmaz fogalmával a gyermekek már az óvodában találkoznak. Legtöbbbször a gyerekek a csoport elnevezést használják a halmazra, de nem kell kijavítanunk ezt, ha tisztában vannak a halmaz fogalmával. Tudatosítanunk kell a gyermekekben, hogy a halmazba olyan tárgyak, élőlények, … vagyis elemek tartoznak , melyek egy vagy több közös tulajdonsággal rendelkeznek. Az óvodában a gyerekek különböző feladatokat végeznek a halmazokkal: 

Mielőtt a konkrét műveleteket kezdenénk elvégezni a halmazokkal,

hagyjuk hogy a gyerekek megismerjék a tárgyakat, játékokat , … a halmazok elemeit

12

Aritmetika tanításának módszertana valamint ismerjék fel ezen elemek tulajdonságait. A tulajdonságok a következőek lesznek: szín, méret, forma, anyag, stb. 

Miután megtapasztalják a gyerekek a különböző tárgyak jellemző

tulajdonságait , meg is kell fogalmaztatnunk a gyerekekkel ezen tulajdonságokat:pl. a labda piros, a kocka fából van, … 

A megismert tulajdonságok alapján a gyerekek halmazokat alkotnak, az adott tulajdonság szerint. Pl. Alkossátok meg a babák csoportját.

Alkossátok meg a ceruzák csoportját. … Felfedezve a kapott csoportok elemei közötti különbségeket, a kapott csoportot, vagy halmazt további csoportokra bonthatjuk, egy újabb tulajdonság szerint, vagy több tulajdonság alapján. Pl. Alkossátok meg a hajas babák csoportját. Alkossátok meg a piros ceruzák csoportját. Stb. Fontos, hogy ezen feladatok esetén is vegyük figyelembe a gyerekek életkori sajátosságait, odafigyelve egyéni szintjükre is. 

Fontos szerepe van a halmazoknak a számfogalom kialakításában is. Több azonos számosságú, de különböző elemeket, tartalmazó halmazokat alkotunk és azt tapasztaljuk, hogy a halmazok közötti kapcsolat az, hogy azonos számú elemet tartalmaznak. Sok cselekedtetés után jutnak el a gyerekek el az absztrakcióig, vagyis hogy az azonos számosságú halmazokhoz hozzárendeljük a megfelelő természetes számot. Adott halmazzal azonos számosságú halmazokat alkothatunk, párbaállítással. Ezt a módszert használjuk a természetes számok bevezetésekor is.

Pl. 

A konkrét tárgyakból alkotott halmazok esetén javasolt, hogy a kapott halmaz elemeit egy bizonyos helyre rendezzük: egy zsinór segítségével , … egy dobozba tegyük a halmaz elemeit. Ezen elrendezés segít a későbbiekben a Venn-Euler diagramm használatának bevezetéséhez.



A halmazokkal végzett műveleteket is szemléltethetjük konkrét tárgyakon. Ezen feladatok elvégzése később segítséget nyújt a természetes számokkal végzett alapműveletek tanításakor.

Halmazok használata az iskolában

13

Aritmetika tanításának módszertana Az iskolában, első osztályban nagy segítségünkre van a gyerekek óvodában szerzett ismeretei a halmazalkotással kapcsolatban. Mind a számfogalom kialakításásban , mind a műveletek tanítása során előtérbe kerül a halmazok alkotása valamint a halmazokkal végzett műveltek. Ezen eljárásokra ebben a fejezetben nem térünk ki, mivel külön fejezetben foglakozunk a későbbiekben a számfogalomm kialakításval valamint a műveletekkel. Egy másik alkalmazás lenne a geometriai formák osztályozása. Az elemi oktatásban a geometriai fogalmak bevezetése során megalkotjuk a négyszögek , háromszögek, … halmazát, majd ezen halmazokat több részhalmazra bontjuk, pl. a négyszögek halmazát paralelogrammák,téglalapok, négyzetek, trapézok, rombuszok halmazára bontjuk. A halmazok segítségével kialakított fogalomrendszer segítségével jobban megérthetik a gyerekek a különböző geometriai formák közötti kapcsolatokat, pl. hogy a négyzet egy sajátos téglalap. Ezen témára a későbbiekben külön fejezet keretein belül még visszatérünk. Mint érdekességet szeretnénk megjegyezni, hogy a halmazelméleti ismereteinket az iskolában, szinte minden tantárgy esetén hatékonyan tudjuk használni. Adjunk néhány példát ezen alkalmazásokra: 

Nyelvtan órán például, megalkothatjuk a 2, 3, … szóból álló mondatok halmazát.



Román nyelvórán megalkothatjuk a …



Környezet órán megalkothatjuk a háziállatok, vadállatok, … halmazát.

A fentiek alapján elmondhatjuk, hogy halmazelméleti ismereteink segítségünkre lehetnek nem csak matematikai tanulmányaink során. A következőkben néhány oktatójátékot mutatunk be,melyeket hatékonyan alkalmazhatunk az óvodai matematika foglakozások alkalmával.1

Néhány oktató játék az óvodában 1. KERESS ÉS TALÁLJ MEG! /énekes körjáték/ Matematikai tartalom, képességfejlesztés: formai tulajdonságok felismerése azonosságok, különbözőségek felismerése

1

http://www.oki.hu/oldal.php?tipus=cikk&kod=ovodai-tobbek-jatekban

14

Aritmetika tanításának módszertana összehasonlítás /eredményeként megvalósulhat a tárgyak, személyek...osztályozása, rendezése. forma és nagyság, forma és szín egyidejű észlelése figyelemmegosztás, emlékezet fejlesztése szimmetria érzékeltetése, felfedeztetése A játékhoz szükséges eszközök: csuklódísz, nyaklánc, fejdísz – készítünk különböző kártyákat attól függően, hogy milyen témában szeretnénk ismereteket nyújtani a gyermekeknek – pl. szerepelhetnek a kártyákon gyümölcsök, zöldségek, síkmértani formák, színek szimmetrikus alakzatok... Ezután a kártyákból elkészítjük a csuklódíszt stb. A játék menete Először a csuklódísszel indítjuk a játékot, hogy a gyermekek szinte állandóan figyelemmel tudják kísérni a kártyájukon lévő képet. Az eszközök kiosztása után eljátsszuk az Ennek a kislánynak nem jutott párja... kezdetű dalt. A körjáték végén a gyermekeken lévő forma dönti el, hogy ki kinek a párja. A következő játék előtt elég csak megfordítani a csuklódíszt, melynek a másik felén is van valamilyen kép. Ezután viszont már cserélgetni kell a díszeket. A csukló után a nyaklánc következzen, amely már kicsit nehezebb, hisz csak a körjáték előtt, és a párválasztás előtt nézheti meg a kártyáját. Nehezebb ennél is, amikor fejdísz a kártya, hisz a körjáték elején kell megfigyelnie a formáját, s a dal végén ez alapján keresi meg a párját. Variációs lehetőségek: színt és formát is kell figyelni /piros alma a piroshoz, pöttyös esernyő a pöttyöshöz stb. kicsit a naggyal párosítani eszköz nélkül választanak egymásnak párt, s elmondják miben azonosak /pl. lányok, barna a hajuk, ugyanaz a kedvenc játékuk, színük...../ dal nélkül kártyaként használjuk a képeket. Készítünk egy olyan lapot, amin pl. kukacos alma van. Osztanak a gyerekek egymásnak 5-5 kártyát, a többiből húznak. Ha párosat találnak, leteszik. Akinél a kukacos alma marad, mondjuk, fel kell sorolnia 5 zöldségfélét, vagy kétlábú állatot... Ez a fajta játék különösen akkor érdekes, ha szimmetrikus alakzatokat rajzolunk kis eltéréssel

15

Aritmetika tanításának módszertana 2. DOBJ, ÉPÍTS /vizuális nev. szocializáció/ Matematikai tartalom, képességfejlesztés: vizuális helyzet felismerése térbeli viszonyok osztályozás, megfigyelő-képesség térbeli irányok, viszonyok felismerése, alkalmazása reláció, kisebb, nagyobb összehasonlító képesség fejlesztése kreativitás, tervezés A játékhoz szükséges eszközök: színes fa, vagy műanyag pálcikák kétféle dobókocka /variációs lehetőségekhez fakockák, rajzolt építmények különböző méretű dobozok/ A játék menete Tálcára kirakunk nagyobb mennyiségű pálcikát, majd a gyerekek az asztal köré ülnek. Amennyiben parkettán fogják játszani, többen is részt vehetnek benne. Az egyik dobókockán színek, a másikon a hagyományos pontok vannak. Az első játékos először a színt jelölő dobókockával dob, mely meghatározza, hogy milyen színű pálcikákat vehet majd el a tálcáról. Ezután dobhat a hagyományos, számokat jelölő kockával, s vehet annyi pálcikát, amennyit dobott. Ezután kezdődik az építkezés, miközben a többiek is dobnak sorrendben. A játék először csak 5-6 dobásig tart, majd következhet annak eldöntése, hogy ki építette a legötletesebb formát. Ezt mindig közösen teszik, s a következő fordulóban az dobhat először, akinek a legérdekesebb az építménye, azaz akié a legtöbb szavazatot kapta. Variációs lehetőségek: előre lerajzolt építményt kell lemásolniuk, de ebben az esetben csak a hagyományos, számosságot meghatározó dobókockát használják. Kié készül el legelőbb, és hibátlanul.

16

Aritmetika tanításának módszertana egy nagy várat építenek közösen kisebb-nagyobb dobozokból úgy, hogy mindenki annyi kockát építhet be a várba, ahányat dobott. Meghatározhatják a játék kezdete előtt, hogy ötletekkel segíthetik-e egymást a játékosok. 3. MEMÓRIAJÁTÉKOK /kapcsolható megfelelő kártyákkal az irodalomhoz is/ Matematikai tartalom, képességfejlesztés: kombinációs készség, figyelem számképek, számlálás, azonosítás összehasonlítás, azonosítás memória logikus gondolkodás relációk A játékhoz szükséges eszközök: Különböző síkmértani formákra rajzolt képek A játék menete A kártyákat lefordítva, megkeverve az asztalra tesszük. A lefordított kártyák párját kell megkeresni az alábbiak szerint. Az első játékos megfordít mondjuk egy háromszög alakú kártyát, amin egy hóember van. Ezután megfordít még egy háromszög alakú kártyát abban a reményben, hogy azon is hóember van. Ha igen, maga elé teszi mindkét kártyát, ha nem mindkettőt visszafordítva az asztalon hagyja. Ezután sorban próbálkoznak a játékosok. Ha sikerült megtalálni mindegyik kártyának a párját, akkor meg lehet számolni, ki gyűjtötte a legtöbb kártyát. Variációs lehetőség: alapszínt adunk a képeknek, így nem elég az, hogy a síkmértani forma és a kép is egyezik, az alapszínnek is egyeznie kell a forma, alak szín mellé a nagyságot is variáljuk, pl. a kis hóemberhez a kis hóember, a nagy hóemberhez a nagy hóember tartozik nehezíthetjük a játékot még azzal, hogy a kép párja nem az azonos formán van, tehát pl. az egyik piros alma a háromszögben van, a másik piros alma a körlapon

17

Aritmetika tanításának módszertana kapcsolhatjuk az irodalom-foglalkozáshoz úgy, hogy a kártyákra mesefigurákat, vagy mesejeleneteket rajzolunk, s a két kártyát akkor tehetik maguk elé, ha felismerik a mesét, verset 4. SEGÍTSÜNK HAMUPIPŐKÉNEK Matematikai tartalom, képességfejlesztés: több, kevesebb, ugyanannyi fogalmának megértetése becslés (szemmel) válogatás, azonosítás, összemérés kisebb, nagyobb, ugyanakkora koordinációs készség (munkavégzés megtervezése) A játékhoz szükséges eszközök: bab, borsó, lencse, tálkák, csipesz A játék menete Az asztal közepére helyezett közepes méretű tálból, melyben a bab, borsó és lencse össze van keverve, csipesz segítségével, megadott időre válogassák ki az egyik összetevőt. Ez az idő lehet, amíg lassan elmondjuk, pl. Madarak voltunk... kezdetű mondókát. /csak annyi gyerek válogasson, ahány egymás zavarása nélkül tud a csipesszel a tálhoz férni/ Variációs lehetőség: versenyjáték, három gyerek közül megadott idő alatt ki tud több lencsét kiválogatni /becslés, majd számosság megállapítása/ két asztalnál két csapat játszik, de mind a három féle magot külön kell válogatni /ha egy csapatban három gyerek játszik, akkor célszerű eldönteniük hogyan válogatnak. Erre adjon időt az óvónő. Lehetőségek: kijelölik melyik tálba melyik magot teszik, s eldönthetik azt is ki melyik magot válogatja/ 4. FÉNYŰZÉS Matematikai tartalom, képességfejlesztés: hosszú, rövid közel, távol

18

Aritmetika tanításának módszertana kicsi, nagy síkmértani formák létrehozása reagálóképesség irányok gyakorlása A játékhoz szükséges eszközök: elemlámpák a csoportszoba berendezései, játékai A játék menete Az óvónő a terem falán mozgatja az elemlámpa fényét szép lassan, s a gyerek, gyerekek a saját lámpájukkal próbálják minél pontosabban követni azt. Variációs lehetőség: A mozgást és követést lehet gyorsítani, az útvonalat pedig bonyolítani. Gyerek irányít gyereket. Az óvónő formát rajzol és követés közben ki kell találni mit rajzoltak. /váza, hal, síkmértani formák.../ A szekrény ajtaját rajzold körbe a lámpád fényével, vagy a falon lévő képkeretet hullahopp karikát.../ Fogócskázhat két lámpafény: egyik a kergető, másik a fogó, s ha kicsit is fedi egymást a két fény, megvan akit kergettek. 5. AUTÓVERSENY Matematikai tartalom, képességfejlesztés: gyorsan-lassan, gyorsabb-lassúbb közel, távol görbe, egyenes tő és sorszámnevek gyakorlása összpontosítás

19

Aritmetika tanításának módszertana A játékhoz szükséges eszközök: két, három kisebb méretű autó /matchbox/, nagyobb körméretű spulni, 4-5 m hosszú középvastag cérna, vagy zsinór A játék menete Két, vagy három autóra elől a kerekeinél kössük fel a cérnát/zsinórt, a végét pedig rögzítsük a spulnihoz. Tegyük az autókat a rajtvonalra, a spulnit pedig a versenyző gyerekek kezébe. Jelre a gyerekek próbálják feltekerni a cérnát/zsinórt, ezzel közelebb hozva magukhoz a kisautót. Aki a leggyorsabb, az győz, ahhoz ér leggyorsabban, és legelőbb az autó. Variációs lehetőség: Nehezíthetjük a versenyt azzal, hogy mindig kisebb átmérőjű spulnit, és vékonyabb cérnát használunk. Egy csapat maga is eldöntheti, hogy melyik méretű eszközökkel versenyeznek. 6. ÉN VAGYOK A SZEMEM, TE LESZEL A KEZEM Matematikai tartalom, képességfejlesztés: téri tájékozódás, irányok megfigyelőképesség kommunikációs készség színérzékelés fejlesztése azonosítás, válogatás szimmetrikus alakzatok létrehozása, felismerése, szabálytudat, türelem fejlesztése A játékhoz szükséges eszközök: logikai készlet, asztali paraván A játék menete Három gyerek játszhatja egyszerre. Egyik gyerek a szem, a másik a kéz, a harmadik a kirakó játékos. A kirakó elkezd valamilyen formát kirakni a készletből. A látó lépésről, lépésre kommentálja amit lát, a kéznek, pl. tedd ki a piros nagy háromszöget, fölé a kis sárga körlapot, a piros nagy háromszög mellé balra /ablak felé/ a kis kék négyzetlapot...

20

Aritmetika tanításának módszertana Természetesen a kéz elől a kirakót el kell takarni, csak hallás útján építkezik. A végén megnézzük azonosra sikerült-e az építmény. Variációs lehetőség: A kirakó is egy előre megrajzolt formát másol le, ez a játék bevezetésekor legyen minél egyszerűbb, majd egyre bonyolultabb. Csak két gyerek játszik, ilyenkor a kirakó maga mondja a kéznek, hogy ő mit is csinál. A játék végén mindig ellenőrizzék közösen, hogy pontos-e az építkezés. Térben is kipróbálhatják ezt a játékot színes fakockákból.

7. PAPUCSOS Matematikai tartalom, képességfejlesztés: megfigyelőképesség fejlesztése metakommunikáció azonosságok és különbségek felismerése párosítás, összehasonlítás, vizuális emlékezet fejlesztése percepció-fejlesztés A játékhoz szükséges eszközök: papírból készült, különféle formákkal díszített papucsok a papucsok díszítésének megfelelően készített dobókocka kártyák különféle képekkel /gyümölcsök, állatok.../ A játék menete A gyerekek az asztalhoz ülnek, melynek közepére tesszük az összekevert papucsokat. Rendrakás lesz a játékban résztvevő gyerekek feladata. Először minden játékos két dobókockával dob egyet-egyet. Ha sikerült párt dobnia, akkor megtarthatja mind a két papucsot, ha nem, akkor tetszés szerint a kettőből az egyiket. Amikor mindenki dobott a két kockával, már csak egy kockával folytatódik a játék. Mindenki keresi a papucsa párját. Ha megtalálta maga elé teszi, és újból két dobással kezdhet. Variációs lehetőségek:

21

Aritmetika tanításának módszertana játszhatják dobókocka nélkül, így a párosítást gyakorolhatják játékosan párosíthat két csapat versenyszerűen, vagy melyik csapat lesz az első, vagy meghatározott idő alatt melyik csapat párosítja a legtöbb papucsot a dobókockás változatnál csak akkor teheti maga elé a papucsot, ha a nála lévő párját dobta, a dobókockával. papucs helyett gyümölcsöket, zöldségeket, állatokat, tárgyakat párosítunk

3. EGYSÉG: Relációk   Célkitűzések: A relációk használata mind az óvodai mind az iskolai matematika oktatásban fontos szerepet töltenek be. Célunk, hogy a hallgatók megismerjék a fontosabb ekvivalencia és rendezési relációkat és ezek tulajdonságait,valamint, hogy alkalmazzák helyesen a feladatok és gyakorlatokban. Kulcsfogalmak: Reláció, ekvivalencia reláció, ekvivalencia osztályok, rendezési reláció

A relációk a matematikában kiemelt fontosságúak. Reláción kapcsolatot értünk egy vagy több halmaz elemei között. Az óvodai tanterv kéri a tárgyak térbeli elhelyezkedésének ismeretét, a tárgyak színének, alakjának, anyagának felismerését és meghatározását, a méretbeli különbségek meghatározását. Az óvodai foglakozások során mind ekvivalencia relációkkal mind rendezési relációkkal i s találkozunk. Ekvivalencia relációnak tekinthető a halmaz elemeinek valamely tulajdonsága, pl. szín, mértani forma, …Ezen ekvivalencia relációhoz kapcsolódó ekvivalencia osztályok azon részhalmazok képzését jelentik, mely részhalmazok elemei közös tulajdonsággal rendelkeznek, pl. azonos a színük , vagy azonos a formájuk. Egy másik ekvivalencia relációval akkor találkozunk mikor azonos számosságú halmazokat képzünk, pl. párba állítással. Ezen feladatok esetén felhívjuk a figyelmet, hogy a halmazok azonos számú elemet tartalmaznak, mivel minden elemnek az egyik halmazból megtaláltuk a párját a másik halmazból. Az azonos számosságú halmazok egy ekvivalencia osztályt képeznek. Ezen gyakorlatok fontossága akkor jelentkezik, mikor a számfogalmat 22

Aritmetika tanításának módszertana szeretnénk kialakítani, elmélyíteni a gyermekekben és ezen feladatok megfelelő alapot nyújtanak ezen fogalom alkotáshoz. Rendezési relációval találkozunk például akkor mikor egy halmaz elemeit pl. nagyság, vastagság, … alapján növekvő vagy csökkenő sorrendbe rendezzük. Ilyenkor fontos odafigyelnünk a helyes matematikai nyelvezetre.( kicsi , nagyobb, legnagyobb, vagy nagy , kisebb, legkisebb…) Kiscsoportban csak 2, 3 elemű halmazokat rendezünk növekvő, illetve csökkenő sorrendbe, majd később már több elemű halmazokat rendezünk (4-5 elemű halmazokat). Szintén az óvodában, főként nagy és iskola-előkészítő csoportban alkalmazhatunk olyan feladatlapokat, melyek szintén relációkhoz kapcsolódnak. Példa erre az olyan feladat, amikor össze kell kötnünk számokat növekvő sorrendbe, ki kell tennünk a relációs jeleket halmazok közé, hogy igaz kijelentéseket kapjunk. A relációk az iskolai matematika órákon is fontos szerepet játszanak. A gyerekek megismerik és használják a relációs jeleket: kisebb, nagyobb és egyenlő. Az egyenlőségi reláció jelentkezik például, mikor a számokat tanítjuk első osztályban . Azonos számosságú, ekvipotens halmazokat képzünk, így vezetjük be a természetes számokat. A kisebb és nagyobb reláció alapján rendezzük a számsorokat, vagyis növekvő és csökkenő sorrendet állítunk fel. A törtek bevezetésekor is egy ekvivalencia relációt használunk, mely alapján ekvivalencia osztályokra oszthatjuk a racionális számok halmazát. Ekvivalens két tört, ha egyenlő az értékük. A mértani alapfogalmak tanításakor is jelentkezik a reláció fogalma. A sokszögeket ekvivalencia osztályokra bonthatjuk formájuk alapján, így kapjuk a háromszögek, négyszögek,körök, stb. halmazát. A relációkat sokszor használjuk feladatlapok összeállításakor, mikor pl. az azonos eredményű műveleteket kell összekötni, vagy kössük össze növekvő sorrendben a számokat. A relációkkal nem csak a matematika órákon találkozunk, hanem más témakörben is, ezért jó ha tisztában vagyunk a relációk értelmezésével és tulajdonságaival.

4. EGYSÉG: Természetes számok tanítása

23


 Célkitűzések: Megfeleltetnek a számnak egy halmazt, a halmaznak egy számot, a számjegynek egy számot, a számnak egy számjegyet, ismerik a szám helyét a számsorban, ismerjék a szám szomszédait, felbontják számot és el tudnak vonatkoztatni a halmaz elemeitől.

Kulcsfogalmak: természetes szám, szomszéd, számjegy, egyesek, tízesek, százasok A gyerekek már kicsi koruktól ismerkednek a szám fogalmával, igaz,hogy előbb csak a számok elnevezéseit ismerik meg és sorolják egymás után. Hosszú út vezet odáig míg kialakul a szám fogalma. Az óvodában

a számfogalom megalapozása történik, melyre

építünk majd az első osztályban. Fontos, hogy az óvodában minél több konkrét feladatot oldjunk, játékokkal,tárgyakkal, képkártyákkal, majd később rajzban is. A legfontosabb feladat a mennyiségnek a szám megfeleltetése és fordítva, mely a következőképen valósul meg. Különböző tárgyakból, játékokból halmazokat alkotunk. Több azonos számosságú halmazt alkotunk és felfedeztetjük a gyerekekkel, hogy ezen halmazok közös tulajdonsága hogy azonos számú elemeket tartalmaznak. A gyerekektől magas fokú absztrakciót követel az, hogy figyelmen kívül hagyja a tárgyak, játékok tulajdonságait és csak a számosságra figyeljenek. Egy új szám tanításakor a következő lépéseket kell betartanunk: 

Átismételjük a már eddig ismert számokról tanultakat, pl. ha az ötöt tanítjuk, alkotunk 1, 2, 3, és 4 elemű halmazokat



Két négy elemű halmaz elemeit párba állítunk. Pl. 4 virág és 4 vázánk van ,megfeleltetünk minden virágnak egy vázát, és így mivel mindegyiknek van párja kijelenthetjük, hogy ugyanannyi virág van mint váza, vagyis a két halmaznak ugyanannyi eleme van



Az egyik halmazhoz hozzáteszünk még egy elemet, pl. egy virágot. Igy azt vesszük észre, hogy az egyik virágnak nem felel meg váza, azt mondjuk, hogy egyel több virágunk van mint vázánk, és azt mondjuk, hogy 5 virágunk van.



Tudatosítjuk a gyerekekben, hogy a kapott halmaznak több eleme van mint a másik halmaznak, pontosabban a példában egyel több virág van mint váza, vagyis az 5 egyel nagyobb mint a 4.

24


Több hasonló feladatot oldunk konkrét tárgyakkal és rajzban is, feladatlapokon is.

A gyerekek megtanulják óvodában a számlépcsőt 10-ig, a számok szomszédait, a számok felbontását, összeadását és kivonását 1- gyel és 2 – vel A számfogalom akkor alakult ki a gyerekben mikor: Megfeleltet a számnak egy halmazt, a halmaznak egy számot, a számjegynek egy számot, a számnak egy számjegyet, ismeri a szám helyét a számsorban, ismeri szomszédait, felbontja számot és el tud vonatkoztatni a halmaz elemeitől. Az iskolában első osztályban kibővítjük a szám fogalmát és megtanítjuk a számjegyek írását is. Betartjuk a fogalomalkotás lépéseit, mint a szemléltetés, cselekedtetés, ábrázolás, kép, elvonatkoztatás, szóbeli és írásbeli kifejezés. Egy új számjegy írásának tanításakor a következő lépéseket kell betartanunk: 1. Bemutatjuk az új számjegyet, hasonlítjuk valamely ismert tárgyhoz 2. felbontjuk alkotó elemeire 3. bemutatjuk az alkotó elemek írását a táblán 4. ezt gyakorolják a gyerekek a tanítóval a levegőben 5. bemutatjuk a számjegy írását a táblán 6. gyakorolják a levegőben 7. ujjukkal írnak a padra, a tenyerükbe 8. kipróbálják a próbafüzetbe, a tanító ellenőrzi és javítja a gyerekek munkáját 9. a gyerekek beírják a számjegyeket a füzetbe, melyben a tanító megkezdte a sorokat, házi feladatként még folytatják a sorokat A kilenc tanítása után bejelentjük,hogy nem tanítunk több számjegyet, hanem a többi számjegy ezen számjegyek segítségével írható fel. A tízet mint a kilenc rákövetkezőjét tanítjuk. A 10-20 közötti számok tanításával folytatjuk. A számolás segítésére a gyerekek különböző eszközöket használhatnak, számpálcák, golyósszámológép, és az ujjaik is nagy segítségükre lesznek. Ezen eszközök használata biztonságot ad a gyerekeknek. A kétjegyű számok tanításakor a tízesekre valófelbontást használjuk. Számpálcikákból tízes kötegeket alkotunk, azon pálcikák melyek a kötegekből kimaradnak mutatják az egyesek számát. Analóg módon tanítjuk a többjegyű számokat, használva a felbontásukat tíz hatványaira.

25


2. MODUL: Műveletek természetes számokkal, törtek, mennyiségek mérése, mértani alapfogalamak, szöveges feladatok aritmetikai megoldásai  Célkitűzések: A modul célkitűzései, hogy a hallgatók megismerjék a természetes illetve racionális számokkal végzett műveleteket, ezek tulajdonságait, és hogy hogyan tanítsák ezen műveleteket. Megismerkedünk amennyiségek mérésével és mértani alapfogalmakkal, valamint ezek tanítási módszereivel, végül a szöveges feladatok aritmetikai módszereit mutatjuk be.

 Tanulási útmutató: Olvassa át az anyagot, és a kijelölt könyvészeti anyagot. Az ismeretek jobb elsajátítása érdekében jegyzeteljen. A modul 5 egységből áll. Egységenként tanuljon, készítsen vázlatot az olvasottakról, írja ki a felmerülő kérdéseket. Az anyag átismétlését követően oldja meg az egység végén található feladatokat.

1. EGYSÉG: Műveletek természetes számokkal

 Célkitűzések:Az egység célkitűzései: Ismerje a műveleti jeleket Ismerje a szorzó és osztó táblát Fejszámolási gyakorlatok pontos és gyors kiszámítása Többműveletes gyakorlatok helyes kiszámolása Műveletek elvégzésének sorrendje, zárójelek használatának ismerete Tudja átírni a szöveges feladatokat műveletekké Tudja elvégezni a műveletek próbáját, esetleg többféleképpen is Ismerje a műveletek közti kapcsolatokat Ismerje és alkalmazza a műveletek tulajdonságait Ismerje és alkalmazza a számítási szabályokat Számoljon gyorsan és pontosan mind fejben, mid írásban Ismerje és használja a műveletekhez kapcsolódó elnevetéseket Tudja a számokat felbontani tíz hatványai szerint

26

Aritmetika tanításának módszertana Gyakorlatokból tudjon feladatokat alkotni.2

Kulcsfogalmak: Természetes számok összeadása, kivonása Szorzása , osztása Kommutatív tulajdonság, Asszociatív tulajdonság Semleges elem Disztributív tulajdonság Összeadandók, összeg Kisebbitendő, kivonandó, különbség Szorzótényezők, szorzat Ostandó, osztó, hányados, maradék

Az összeadás tanítása A természetes számok összeadása a diszjunkt halmazok egyesítésére vezethető vissza, ezért a művelet tanításakor is ebből az értelmezésből indulunk ki. Fontos hogy főleg az óvodában, de az elemi iskolában is az összeadás tanításakor konkrét tárgyakból alkotott diszjunkt halmazokból induljunk ki és vezessük rá a gyerekeket arra, hogy a két halmazt számossága egyenlő lesz az eredeti halmazok számosságainak az összegével. Fontos itt is mint minden fogalomalkotás során, hogy betartsuk a fogalomalkotás minden fázisát: szemléltetés – cselekedtetés – ábrázolás -

kép -

elvonatkoztatás – szóbeli és írásbeli

kifejezés) . A tízes számkör számaival már az óvodában megismerkednek a gyerekek, az 1gyel és2-vel való összeadást is kéri a tanterv. Itt kiemelten kell foglalkoznunk a számok felbontásaival, mert ez fogja képezni az összeadás műveletének alapjait. A felbontásokat konkrét halmazokkal végezzük el, majd képkártyákkal, majd rajzban, betartva a fokozatosság elvét. Az ilyen feladatok során kapunk visszajelzést, hogy a gyerekek milyen mértékben sajátították el a szám fogalmát, itt szembesülhetünk a hiányosságokkal is. A felbontás során a gyerekek beszédkészségét is fejlesszük, pl. két maci és 3 maci összesen 5 maci, ahol az összesen szó a halmazok egyesítésére utal, mely a halmazok számosságainak összegéhez kapcsolódik. Fontos, hogy képek alapján is fogalmazzanak meg feladatokat a gyerekek, mert így elsajátíthatják, gyakorolhatják a helyes matematikai nyelvezetet. 2

Olosz Etelka, Olosz Ferenc: Matematika és Módszertan

27

Aritmetika tanításának módszertana Iskolában Az első osztályban a számfogalom kialakításával párhuzamosan tanítjuk az összeadást, és a kivonást tízes számkörben. Az iskolában is fontos, hogy előbb konkrét tárgyakból alkotott halmazok egyesítésével szemléltessük az összeadást. Az első osztályban kérjük a gyerekektől az összeadás tagjainak a megnevezését is, összeadandónak nevezzük a számokat,az

összeadás

eredményét

pedig

összegnek.

Ezen

kifejezéseket

minden

műveletvégzéskor használjuk, hogy tudatosodjon a gyerekekben. Az összeadás elvégzéséhez különböző segédeszközöket is használunk. A gyerekek használhatják az ujjaikat, a golyós számológépet, számpálcikákat, összeadólécet is. Miután megtanítottuk az összeadást a tízes számközben , térünk rá a tíz többszöröseinek az összeadására, melynél analógiát használunk. Pl. 20+30  50, mint 2+3  5. Fontos ebben a szakaszban, hogy a tanító kövesse figyelemmel a gyerekek munkáját, vegye észre az esetleges hiányosságokat, csak akkor bővítse a számkört amiben az összeadást végzik, mikor már mindegyik gyerek pontosan és lehetőleg gyorsan ad össze. Fontos a szöveges feladatok szerepe is ebben a szakaszban, mivel segítségükkel tudatosíthatjuk a gyerekekeben az összeadásra utaló szavakat:

összesen, együtt,

valamennyivel több, eggyüttesen, stb A kétjegyű számok összedását is fokozatosan tanítjuk, előbb egységrend átlépése nélkül, majd egységrend átlépésével. Az összeadást szóban és írásban is végeztetjük. A szóbeli összeadást gyakoroljuk minden óra elején fejszámolással, különböző számkörökben, attól függően, hogy melyik fázisában tartunk a művelet tanításnál. Végeztethetünk olyan feladatot is, hogy megadunk egy számot és növeljük egy bizonyos számmal, láncszerúen végezve bevonhatjuk az osztály minden tanulóját. Pl. 25 növeld 11-gyel, a kapott számot is növeld11-gyel, stb. Az írásbeli összeadásnál mindíg mondassuk az összeadás menetét a gyerekekkel, 

egymás alá írom a számokat, úgy hogy az egyesek az egyesek alá, a tízesek a

tízesek alá kerüljenek, 

összeadom az egyeseket, ha 10-nél több az összeg a tízest, vagy tízeseket

hozzáadom a tízesekhez 

összeadom a tízeseket, ha tíznél nagyobb az összeg , akkor ezt a százasokhoz

adom. Törekedjünk, arra, hogy a gyerekek az összeadást helyesen és gyorsan végezzék el. Az összeadás tulajdonságait felfedeztetéssel tanítsuk, ne pedig úgy hogy kijelentjük és megtanultatjuk velük. Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy a tulajdonságok azért vannak hogy

28

Aritmetika tanításának módszertana megkönnyítsék a dolgunkat, pl. ha csoportosítjuk a számokat néha könnyebb számításokat kell elvégeznünk, mintha a megadott sorrendben végeznénk el a műveleteket. Használjuk a műveletek tulajdonságainak magyar megfelelőit is, kommutatív – felcserélhető, asszociatív – csoportosítható, és ne erőltessük az idegen elnevezéseket, mert nem az a fontos hogy a tulajdonság nevét , hanem magát a tulajdonságot ismerjék a gyerekek és ami még ennél fontosabb, hogy tudják ezt alkalmazni, felismerjék azokat a helyzeteket amikor alkalmazható a tulajdonság. Szoktassuk arra a gyerekeket, hogy végezzék el a művelet próbáját. Az összeadás próbáját elvégezhetjük összeadással és kivonással is. A próba elvégzése biztonságot ad a gyerek számára, leellenőrizheti, hogy jól dolgozotte. Az összeadás műveletéhez kapcsolódó szöveges feladatok típusai a következőek: 1. Adott két összeadandó keressük az összeget. Pl. Petinek 12 leje , Annának 15 leje van. Hány lejük van összesen? 2. Egy adott mennyiséget, adott mennyiséggel növelünk és keressük a nagyobb mennyiséget Pl. Zolinak 5 ceruzája van, Orsinak 8-cal több. Hány ceruzája van Orsinak? Kivonás tanítása A kivonást az összeadás után tanítjuk. Akár az összeadás esetén konkrét tárgyakból alkotott halmazok segítségével szemléltetjük, felhasználva a halmazok komplementer képzését. A művelet tanításakor több eszközt is használunk, hogy a gyermekek számára egyértelmű és világos legyen a művelet fogalma. A gyerekek számolnak ujjaikon, a golyós számológépen, számpálcikák segítségével. Fontos hogy a gyerekek ismerjék és használják a kivonás tagjainak és eredményének elnevezéseit, kisebbítendő, kivonandó, különbség. Fontos kihangsúlyoznunk azt a tényt, hogy a természetes számok halmazán a kivonás nem minden esetben végezhető el, csak ha a kisebbítendő nagyobb vagy egyenlő mint a kivonandó. A kivonás a z összeadás fordított művelete, mely tény lehetőséget ad számunkra hogy leellenőrizhessük számításainkat. A kivonáspróbáját nem csak összeadással, hanem kivonással is elvégezhetjük. Kérjük a tanulóktól ,hogy végezzék el a művelet próbáját, ha néhányuk nem érti az összefüggést a művelet és próbája között adjunk konkrét példát , úgy több érzékszervet bekapcsolva a gyermek megtapasztalja a tulajdonságot. A kivonás tanításakor a következő típusú fejszámolási feladatokat javasoljuk: 29

Aritmetika tanításának módszertana Mennyi a és b összege? Mennyi a és b különbsége? Mennyi az a –nál b-vel nagyobb szám? Mennyi az a-nál b-vel kisebb szám? Mennyivel több a , b-nél? Mennyit kell b-hez hozzáadni, hogy a-t kapjak? Gondoltam egy számot: b-nél a-val nagyobb/kisebb. Melyik számra gondoltam? Mivel a kivonás nyitott mondat megoldására vezethető vissza,oldhatunk szöveges feladatokat is melyekben az ismeretlen számot vagy mennyiséget kivonással határozhatjuk meg. Pl. Marikának volt 5 ceruzája, anyukájától kapott még egy doboz ceruzát, így összesen 9 ceruzája lett. Hány ceruza volt a dobozban? A művelet tanításakor be kell tartanunk a fokozatosság elvét,miután a 10-es számkörben biztonsággal végzik el a gyerekek a műveletet, térünk át a a csak tízesekből álló számok kivonására, majd ezután a 0-20 közötti számok, majd a kétjegyű számok kivonására előbb egységrend átlépése nélkül, majd egységrend átlépésével. Analógia alapján tanítjuk a többjegyű számok kivonását. Az írásbeli kivonás algoritmusát kezdetben mindig mondatjuk a gyerekekkel, egymás alá írom a számokat, úgy hogy az egyesek az egyesek alá, a tízesek a tízesek alá … kerüljenek., a kivonást az egyeseknél kezdem, kivonom a kisebbítendő egyeseiből a kivonandó egyeseinek számjegyét, ha nem lehet kölcsönkérek egy tízest, és így tovább… Miután a gyerekek pontosan és gyorsan tudják végezni a műveletet oldjunk meg minél több szöveges feladatot .A kivonással megoldható szöveges feladatok típusai: 

Két szám különbségének meghatározása



Egy szám adott számmal való kisebbítése



Annak megállapítása, hogy egy szám mennyivel nagyobb egy másik számnál.

Szorzás tanítása A szorzás halmazelméleti szempontból a halmazok descartes-féle szorzatához kapcsolható, de az iskolában ismételt összeadással tanítjuk. Ennél a műveletnél is törekedjünk arra, hogy konkrét példákból induljunk ki. 30

Aritmetika tanításának módszertana Pl. Egy virágüzletben van 5 váza,mindegyikben 3 szál rózsa. Hány szál rózsa van a virágüzletben? 3+3+3+3+3  15, vagy szorzással 5×3  15. Bevezetjük a szorzás tényezőinek és eredményének elnevezéseit: a tényezőket szorzótényezőknek, vagy szorzandó illetve szorzónak nevezzük, az eredményt pedig szorzatnak. A szorzás jele a ×. A szorzás tulajdonságait felfedeztetéssel vezetjük be, jöjjenek rá ők több konkrét példa alapján, hogy a szorzás felcserélhető, valamint csoportosítható. A szorzás próbáját elvégezhetjük ismételt összeadással. A szorzótábla megtanulását az teszi szükségessé, hogy ismételt összeadással a művelet nem végezhető el elég gyorsan, és több a hibalehetőség is. A 0-val és 1-gyel valószorzás könnyen megérthető, a szorzótábla többi részének tanításakor a következő lépéseket tartjuk be: 1.

Gyakoroljuk a szorzótábla már ismert részét (fejszámolás)

2.

Bejelentjük, melyik számmal tanuljuk a szorzást

3.

felírjuk azokat a szorzatokat amelyeket már ismernek a tanulók (alkalmazva a

kommutatív tulajdonságot) 4.

kiszámoljuk a még ismeretlen szorzatokat ismételt összeadással

5.

felírjuk az egész szorzótáblát

6.

begyakoroljuk a szorzótáblát változatos gyakorlatokkal és feladatokkal

Miután megtanultuk az egész szorzótáblát,módszert, algoritmust adunk a többjegyű számok szorzására. A többjegyű számok szorzásának tanításakor is betartjuk a fokozatosság elvét? Előbb egyjegyű számot szorzunk 10-zel,

100-zal, …, ztíz többszöröseivel, majd

áttérünk egyjegyű szám kétjegyűvel való szorzására, egységrend átlépése nélkül. Ezután tanítjuk az egyjegyű számok szorzását csak százasokból álló számokkal, háromjegyű számot szorzunk egyjegyűvel, egységrend átlépése nélkül. Ezután térünk át a kétjegyű szám szorzására egyjegyűvel, egységrend átlépésével,majd háromjegyű szorzása egyjegyűvel egységrend átlépésével. Végül tanítjuk a többjegyű számok szorzását a tíz hatványaival, és utána a többjegyű szám szorzását többjegyűvel. Mint az összeadásnál és a kivonásnál , a szorzásnál is fontos, hogy minél több szöveges feladatot oldjunk. A szöveges feladatok melyek a szorzáshoz kapcsolódnak a következő típusúak lehetnek: 31

Aritmetika tanításának módszertana 1.

Több egyenlő összeadandó összegét kell meghatározni

2.

Adott számot növelnem kell adott számszorosára

Osztás tanítása Az osztás tanításánál követelmény a szorzótábla ismerete,ezért a szorzás tanítása után tanítjuk vagy vele párhuzamosan. Feladatmegoldás szempontjából kétféle osztástól beszélhetünk a bennfoglaló osztásról és az egyenlő részekre való osztásról. A bennfoglaló osztásról a következő típusú feladatok esetén beszélhetünk: Osszunk szét 15 könyvet egy osztály tanulói között, hogy mindegyiknek 5 könyv jusson. Hány gyerek kap könyvet? Egyenlő részekre való osztásról a következő típusú feladatok esetén beszélhetünk: Osszunk szét 25 ceruzát 5 gyerek között, hogy mindegyiknek ugyanannyi jusson. Hány ceruza jut mindegyik gyereknek? Az osztást is konkrét tárgyakból, elemekből álló halmazok segítségével vezetjük be, válasszunk feladatokat mindkét típusú osztásra. Vezessük be a művelethez kapcsolható elnevezéseket: osztandó, osztó, hányados, (később maradék). Fedeztessük fel, hogy az osztás próbája a szorzás. Készítsük el a szorzótábla mintájára az osztótáblát is. A maradékos osztást később vezetjük be, felfedezve, hogy az osztás nem minden esetben végezhető el. Megtanítjuk az osztás algoritmusát, betartva a fokozatosság elvét. Kétjegyű osztása egyjegyűvel Háromjegyű osztása egyjegyűvel Háromjegyű osztása kétjegyűvel. Az osztás tanításakor, műveletesített célkitűzéseink, hogy a tanuló: 

Tudja meghatározni a hányadost és maradékot



Tanulja meg elvégezni a műveletet írásban



Tudja felírni a művelet próbáját

A maradékos osztás próbája a maradékos osztás tétele lesz, melyet a következőképpen tanítjuk a gyerekeknek: Osztandó  osztó × hányados + maradék

32

Aritmetika tanításának módszertana Kérjük, hogy az osztás próbáját mindig végezzék el. Az osztás műveletének begyakorlására oldjunk meg minél több szöveges feladatot és olyan műveletsorokat, melyekben szerepel osztás is.

Műveletek sorrendje, zárójelek használata Miután

megtanítottuk

a

négy alapműveletet

törekedjünk

arra,

hogy olyan

műveletsorokat oldjunk melyekben minél több művelet szerepeljen. Fel kell hívjuk a figyelmet a műveletek elvégzésének sorrendjére: Elsőrendű művelet az összeadás és a kivonás, másodrendű a szorzás és az osztás. Ha egy műveletsorban különböző rendű műveletek szerepelnek akkor előbb a másodrendű műveleteket végezzük el, utána pedig az első rendűeket. Ha egy műveletsorban azonos rendű műveletek szerepelnek, akkor a műveleteket balról jobbra végezzük el. Zárójelek használata Ha egy műveletsor zárójeleket is tartalmaz, akkor a következő szabályt kell alkalmaznunk: Előbb a kerek zárójelből végezzük el a műveleteket, majd a szögletes zárójelből (ha van) utána pedig a kapcsos zárójelből (ha van ilyen).

3. EGYSÉG: Törtek, műveletek törtekkel Kulcsszavak: tört, mennyiség törtrésze, valódi tört, áltört, törtegység, számláló, nevező, törtvonal Célkitűzések 

Ismerje a tört fogalmát



Ismerje a tört elemeinek elnevezéseit



Tudja mit mutat a számláló és a nevező a törtben



Tudja összehasonlítani a törteket



Számítsa ki egy egész törtrészét



Egy törtrészből határozza meg az egészet

33


A gyerekek már az óvodában megismerkednek amennyiségek törtrészeivel, konkrétan a fél és negyed fogalmával. Olyan feladatokat oldanak, melyekben egy egészet két vagy négy egyenlő részre osztanak. Tudatosítanunk kell, hogy két fél, illetve négy negyed egy egészet alakot. Több tárgyon végzett (alma, csoki, stb.) után az egyenlő részekre való osztást gyakoroltatjuk a gyerekekkel papírból készített négyzeten, körön, téglalapon is. Mindig mondatjuk a gyerekekkel, mit végeznek. Az iskolában szorzás tanításakor találkozunk újra a törtrészekkel. Alapozunk a gyerekek ismereteire és itt is konkrét tárgyakon végzett, egyenlő részekre való felosztással kezdjük a törtek bevezetését. Fel kell hívnunk a gyerekek figyelmét az azonos értékű törtekre, pl. egy negyed és két nyolcad értéke megegyezik. Bevezetjük a törtegységeket, úgy hogy egy egészet bizonyos számú egyenlő részre osztunk, és egy ilyen rész lesz a törtegység. Pl. egy egész

1 -ét úgy határozzuk meg, hogy az egészet 5 egyenlő részre osztjuk és 5

ebből egy rész lesz az egész

1 -e. Meg kell tanulniuk a gyerekeknek a tört elemeinek az 5

elnevezéseit. A felső számot számlálónak , az alsót nevezőnek, a közöttük lévő vonalat törtvonalnak nevezzük. A nevező megmutatja, hány egyenlő részre kell osztanunk az egészet, a számláló pedig azt, hány ilyen részt veszünk az egészből. Tehát egy mennyiség törtrészét a következő képen határozzuk meg: Számítsuk ki 24 méter

¾-ét úgy számítjuk ki, hogy megkeressük a 24m negyedét,

ami 6m,és veszek ebből az egységből hármat, 6m x 3, vagyis az eredményem 18m. Sok és változatos szöveges feladatot oldunk a mennyiségek törtrészének kiszámítására. Beszélünk a törtek összehasonlításról is. Előbb a törteket az egységgel hasonlítjuk össze, így kapunk valódi törteket , áltörteket és egységnyi törteket. Később foglakozunk az azonos nevezőjű törtekkel, melyek közül az a nagyobb melynek a számlálója nagyobb. Az azonos számlálójú törtek közül pedig az a nagyobb,melynek a nevezője kisebb. Az összeadást és kivonást a törtekkel akkor tudjuk elvégezni, ha a törtek nevezője azonos. Ezt is előbb szemléltessük konkrét tárgyakon. Oldjunk meg minél több feladatot, olyat melynél a mennyiség vagy szám törtrészét kell kiszámítani, valamint olyanokat is melyeknél adott a törtrész és az egészet kell meghatározni.

34


4. EGYSÉG: Mértékegységek Célkitűzések: 

Értse a mérés szükségességét



Értse a a nemzetközi mértékrendszer szükségességét



Ismerje a mérték és a mérés fogalmát



Ismerje az alapmértékegységeket ezek többszöröseit és törtrészeit



Ismerje az egyik egységből a másikba való átalakítást



Ismerje a mérőeszközöket és tudja ezeket használni



Tudja felbecsülni a mennyiségek mértékét és méréssel vagy számítással tudja ellenőrizni a becslés helyességét3

A természettudományokban a legtöbb mennyiséget az 1960-ban, a súlyok és mértékek általános konferenciáján bevezetett nemzetközi mértékegységrendszerrel fejezzük ki. (System

International,

rövidítése

SI-mértékegységek.)

A mértékrendszer alapmennyiségeinek mértékegységeit alapmértékegységeknek nevezzük. Alapmennyiség

Alap-mértékegység

neve: hosszúság

jele: l

neve: méter

jele: m

tömeg

m

kilogramm

kg

idő

t

másodperc

s

A nemzetközi mértékegység-rendszerben az alap- és kiegészítő egységeknekszorzatai és hányadosai alkotják a származtatott egységeket. Származtatott mennyiség neve: terület 3

jele: A

Származtatott mértékegység neve: négyzetméter

jele: m2

Olosz Etelka, Olosz Ferenc: Matematika és Módszertan

35

Aritmetika tanításának módszertana térfogat

V

köbméter

m3

sűrűség

 v

kilogramm/köbméter

kg/ m3

méter/másodperc

m/s

2

m/s2

sebesség gyorsulás

méter/másodperc

a

4

A nemzetközi mértékegységeken kívül már a legrégebbi időktől fogva az emberek használtak különböző mértékegységeket a mennyiségek mérésére. Az emberek először testük méreteit használták mértékegységnek, így létezett (és még napjainkban is használatos) az arasz, öl, hüvelyk, stb. mértékegységek. Az egységes nemzetközi mértékegységek bevezetése akkor vált szükségszerűvé mikor fellendült a különböző népek közötti kereskedelem. Mérőszámnak nevezzük a mérendő mennyiség és a mértékegység arányát, vagyis mikor megmérünk egy mennyiséget, akkor összehasonlítjuk a mennyiséget a választott mértékegységgel. Pl. Meg akarjuk mérni hány arasz hosszúságú a padunk, akkor összehasonlítjuk az araszunk hosszát a padunk hosszával. Mértékegységekkel

már

az

óvodában

is

találkoznak

a

gyerekek.

Például,

összehasonlítják a tárgyakat hosszúságuk, vastagságuk, tömegük alapján. Az óvodában nem használjuk

a

szabvány

mértékegységeket,

hanem

összehasonlítjuk

a

különböző

mennyiségeket. A nemzetközi mértékegységeket az iskolában vezetjük be, kihangsúlyozva ennek szükségességét. Pl. A gyerekek, lemérik az osztályterem hosszát lépéssel. Különböző eredményeket kapnak, és megértik, hogy azért nem kaptak azonos eredményeket, mert nem egyenlő a lépéseiknek a hossza. Végezzük minél több mérést, hogy a gyerekek minél több tapasztalatot szerezzenek a mérés terén. Vigyünk be a matematika órákra kétkarú mérleget a tömeg tanításakor, mérőszalagot, colostokot a hosszúság mérésének tanításakor, különböző órákat (digitális, mechanikus, homokórát) az idő tanításakor, különböző pénzérméket és bankókat a pénzegységek tanításakor. Az elemi iskolai matematika órák során megismerkedünk az alapmennyiségekkel és ezek alapmértékegységeivel. Megtanítjuk a mértékegység többszöröseit és törtrészeit. Felhívjuk a figyelmet, arra, hogy az átváltásnál a váltószám 10, 10-zel, vagy 10 valamely hatványával kell szorozni vagy osztani az átváltáskor.

Felfedeztetjük a tanulókkal a

mértékegység és mérőszám közötti kapcsolatot: ha nagyobb mértékegységet választunk a 4

http://hmika.freeweb.hu/Lexikon/Html/MertEgys.htm

36

Aritmetika tanításának módszertana mérőszám kisebb és fordítva, ha kisebb mértékegységet választunk ugyanannak a mennyiségnek a mérésére akkor nagyobb mérőszámot kapunk. Pl. Ha meg akarom mérni egy edény űrtartalmát és először a dl –t használom mértékegységnek , majd a litert, akkor 10-szer annyi decilitert kapok mint litert. Tudatosítjuk a gyerekekben, hogy csak azonos mértékegységben mért mennyiségeket tudunk összeadni, kivonni. Ha nem ugyanabban a mértékegységben vannak kifejezve a mennyiségek, akkor előbb át kell alakítanunk őket egy közös mértékegységbe. Az űrtartalom tanításakor végezzük olyan kísérletet, melyben megmutatjuk, hogy a folyadékok felveszik az edény alakját. Azon matematika órán, amikor a pénzt tanítjuk,oldjunk meg több olyan feladatot,mely a következő típusú: Van 2 darab 1 lejesünk, 3 db. 5lejesünk,4 db 10 lejesünk. Egy könyvet ,mely 23 lejbe és egy tolltartót , mely 18 lejbe kerül akarunk vásárolni. Hányféle képen tudjunk kifizetni a pénzünkből. Az ilyen feladatok során gyakoroljuk az összeadást, és a fejlesztjük a tanulók logikai gondolkodását. A gyerekeket megismertetjük a származtatott mértékegységekkel is, mint a terület és térfogat valamint beszélünk a sebességről is mert mozgási feladatokban találkozni fogunk vele. Fontos a szemléltetés pl. a területnél 1cm x 1cm –es négyzet segítségével mérhetjük az adott síkidom területét. Sok szemléltetés és kísérletezés segítségével elérhetjük, hogy a gyerekek megismerjék a különböző mértékegységeket, és méréseket tudjanak végezni. Fontos ezen témák tanításakor a gyerekek meglévő ismereteire, tapasztalataira hagyatkozni.

4. EGYSÉG: Mértani alapfogalmak Kulcsfogalmak:

síkidomok,

négyszög,

négyzet,

téglalap,

paralelogramma,

trapéz,

rombusz,kör, háromszög, mértani testek, kocka, gömb, hasáb, téglatest Célkitűzések: 

Ismerjék a síkidomok értelmezését



Fedezzék fel a síkidomok jellemző tulajdonságait



Ismerjék fel a különböző síkidomokat ismereteik alapján



Használjanak helyes matematikai nyelvezetet

37


Használják helyesen a vonalzót



Ismerjék fel a mértani testeket

Már az óvodában találkoznak a gyerekek a síkidomokkal, mint a háromszög, négyzet, téglalap, kör. A következő típusú feladatokat oldják meg: 1. Alkossuk meg a körök, négyzetek, … halmazát 2. Alkossuk meg a piros, sárga,… síkidomok halmazát 3. Alkossuk meg azon tárgyak halmazát, melyek kör, … alakúak 4. Alkossuk meg a négyoldalú sokszögek halmazát 5. … Ezen a szinten csak felismerik a különböző síkidomokat, később foglakoznak a síkidomok tulajdonságaival. Az iskolában bővítik a mértani alapismereteiket. Használják a vonalzót. Bevezetik a pont, egyenes, szakasz, szög fogalmát. Fontos hogy konkrét példák segítségével vezessük be ezen új fogalmakat. Pl. az egyenes egy kifeszített cérnaszál, mely végtelen hosszú, nem tudjuk megmérni. A szakasz viszont az egyenes egy része, megmérhető vonalzóval a hossza, ezt is konkrétan gyakoroljuk a gyerekekkel. A szögek tanításakor is osztályozzuk ezen szögeket,nem mérjük meg mértéküket, de fel kell tudják ismerni a hegyes , tompa és derékszögeket. Fontos, hogy a különböző síkidomok tanításakor a sokszög értelmezését adjuk meg nem pedig a tulajdonság alapján határozzuk meg, sajnos néhány tankönyv is elköveti ezt a hibát. Miután tisztázott a sokszög fogalma,utána térünk át a jellemző tulajdonságokra. Sok példát adunk keresünk a sokszög szemléltetésére. Pl. keressünk az osztályból kör,téglalap, … alakú tárgyakat. Ne keverjük össze a síkidomokat a testekkel, nem mindegy hogy négyzet vagy kocka. A téglalapra a katedra nem jó példa, csak a katedra lapja. A síkidomok tanítása után foglalkozhatunk a kerület kiszámításával is. Megmérve az oldalak hosszát,és ezeket összeadva,megkapjuk a sokszög kerületét. A terület számítását úgy oldjuk meg, hogy területegységet használunk és megmérjük hány ilyen egység fér a síkidomba. Fontos hogy szem előtt tartsuk azt, hogy a gyerekek mit fogynak mértanból tanulni a felsőbb osztályokba. Ezért fokozatosan oda kel figyelnünk arra, hogy a különböző mértani alapfogalmak helyesen alakuljanak ki a gyermekekben,megkönnyítve nekik az új ismeretek elsajátítását.

38


5. EGYSÉG: Szöveges feladatok aritmetikai megoldása  Célkitűzések  Tartsa be a szöveges feladatok megoldásainak lépéseit  Ismerje fel melyik aritmetikai módszer alkalmazható a feladat megoldásánál 

Írja fel a szöveg alapján a feladat adatait



Fogalmazza meg helyesen a feladat kérdéseit



Tudjon tervet készíteni a feladat megoldásához és ez alapján oldja meg a feladatot



Ellenőrizze a feladat megoldását, szűrje ki a hibás megoldásokat



Alkosson feladatot egy gyakorlat alapján



Tudja átírni a feladatot műveletsor alakjába

 Kulcsfogalmak:szintetikus módszer, analitikus módszer, sajátos aritmetikai módszerek A gyerekek már az óvodában is találkoznak szöveges feladatokkal. Képek alapján kell szöveges feladatokat, alkossanak, felismerjék a képekhez kapcsolódó műveletet. Ezen feladatalkotás során több fontos tényezőre is oda kell figyelnünk, például, hogy a gyermek helyesen nevezze meg a képen látottakat. Pl. a képen van 3 madár és még odarepült 2, akkor összesen hány madár van a fán. A feladathoz a 3+2 művelet kapcsolható, a gyermek felismeri, hogy a még odarepült-nek az összeadás művelete társítható. Hasonló módon, volt 5 szál virágom, kettő elhervadt, hány virágom maradt. Ehhez a feladathoz az 5-2 kivonás társítható. A képeken, vagy konkrét tárgyakon bemutatott művelet elősegíti a művelet megértését, mivel több érzékszervet is bekapcsol látás, tapintás(ha konkrét tárgyakról van szó). Az iskolában a szöveges feladatoknak fokozottan kiemelt szerepük van a művelete tanítása során. Azt szoktuk javasolni, hogy a miután a művelet szabályait a tanulók megismerték, elsajátították, és ismerik a művelet tulajdonságait térhetünk át a szöveges feladatokra, melyek ezen műveletek alkalmazásainak tekinthetők. Fontos az a szempont is, hogy a gyerekek számára érdekesebb és kézzelfoghatóbb olyan feladatokat oldani, melyekkel

39

Aritmetika tanításának módszertana a mindennapjaik során is találkozhatnak. Oda kell azonban figyelnünk arra is, hogy olyan feladatokat válasszunk, melyek valós adatokat , mennyiségeket tartalmazzanak, pl. egy árú ára a választott pénznemben reális legyen, egy tárgy súlya a reális súlyához közel álljon. A gyermekben a szöveges feladatok megoldásakor szembesül azzal, hogy tudása nem hiába való, a mindennapi életben is hasznosítható. A szöveges feladatok során problémákat oldunk meg. Problémának nevezzük az olyan szituáció, kérdés feladat felbukkanását, amelyre a választ, a megoldást nem tudjuk azonnal észlelés, emlékezés, tapasztalás alapján közvetlenül megadni, hanem csak közvetett úton:gondolkodási és logikai műveletvégzésen keresztül. Egy ilyen probléma megoldásának fázisai, Pólya György szerint a követezőek: 

A feladat megértése



Terv készítése



A terv végrehajtása



A megoldás vizsgálata

A probléma szó helyett a következőkben a feladat kifejezést fogjuk használni. Gyakorlatról akkor beszélünk, ha megoldáshoz szükséges eljárás eleve megadott és alkalmazása csak az eljárás, algoritmus ismeretétől függ. Szöveges feladatok esetén a megoldás a fenti lépések végrehajtásából áll. A szöveges feladatok általános módszerei közül beszélhetünk a direkt bizonyításról, és indirekt bizonyítási módszerről. Direkt bizonyítási módszer például a szintetikus módszer (progreszív),

melynek

lényege az, hogy a feltételekből, adatokból, és olyan eredményekből, definiciókból, axiómákból indulunk ki,

amelyekből logikailag megalapozott lépésekkel eljutunk a

következményhez. Egy másik direkt módszer az analitikus módszer, vagy regreszív ,mely egy olyan eljárás mely segítségével a következményről az okokra térünk át, keressük a következmények okát eredetét. Megjegyezhetjük, hogy a szintézis és az analízis egymás fordított műveletei, ezért célszerű előbb a feladatot analizálni, majd használva a szintetikus módszert megoldani. Indirekt bizonyítási módszerek: Reductio ad absurdum ( a lehetetlenre való visszavezetés) módszere A skatulyaelv (Dirichlet elv) Induktív bizonyítási módszerek pl. a teljes indukció

40

Aritmetika tanításának módszertana Más bizonyítási módszerek: konstruktív módszer, algoritmikus módszer, ellenpéldával való cáfolás módszere

Aritmetika feladatok sajátos megoldási módszerei Az elemi iskolai matematika feladatok megoldása során arra törekszünk, hogy a gyerekek számára minél világosabb és átláthatóbb módon keressük meg a választ a feladatok kérdéseire. Nagy segítségünkre vannak a sajátos aritmetikai módszerek, melyek segítségével kiválthatjuk az algebrai megoldásokat, melyek a gyerekek ezen életkorában nehézkesek lennének. Egyik ilyen fontos sajátos aritmetikai módszer az ábrázolás módszere, melyet legtöbbször egy másik sajátos vagy általános módszerrel együtt alkalmazunk a szöveges feladatok megoldásakor. Más aritmetikai módszerek : a mérlegelv, a fordított út módszere, az összehasonlítás módszere, a hamis feltevések (hipotézisek módszere), a Venn-Euler diagram felhasználása halmazelméleti feladatok megoldására, az egyenlő arányok sorozata valamint a églalap módszer. (lasd Tuzson Zoltán: Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat? )

FELADATOK 1.

Egy kirándulócsoport a folyóhoz ér. Mindenképpen át akarnak érni a túlsó partra,de nincs híd,a folyó pedig túl mély. A parton van egy csónak, amelyben két gyerek játszik. A csónak olyan kicsi, hogy egyszerre csak egy kirándulót vagy két gyereket tud átvinni. Át tudnak-e menni a folyó túlsópartjára a kirándulók?

2.

Igaz-e hogy egy 32 tagú osztályban van legalább két olyan gyerek, akinek a születésnapja a hónap ugyanannyadikára ( pl. 15.-e) napjára esik?

3.

Egy zsákban háromféle golyó van: piros, sárga kék,mindegyikből 15. Hány golyót kell kihúznunk a zsákból, anélkül, hogy odanéznénk, hogy a kihúzottak közül legyen: a.) Legalább 2 azonos színű b.) Legalább 4 piros c.) Mindegyik színből legalább egy?

41


Egy blúz egy szoknya és egy nadrág ára 75 lej. Egy blúz és egy nadrág ára 50 lej, egy szoknya és egy nadrágé pedig 45 lej. Mennyibe kerülnek a ruhadarabok külön-külön?

5.

Apa , anya és három lányuk együtt 88 évesek. Az anya tjz évvel idősebb, mint a három lány együtt. Az apa és az anya életkora közötti különbség éppen a legkisebb lány életkorával egyenlő. Az egyik lány két évvel fiatalabb,mint a a másik, és ugyanannyival idősebb a harmadiknál. Hány évesek a szülők?

6.

Annának és Dalmának összesen 35 leje , Dalmának és Julinak összesen 55 leje, Annának és Julinak

összesen 24 leje van. Hány lejük van külön-külön a

lányoknak? 7.

Egy anya néhány almát rakott az asztalra,és azt mondta három fiának,hogy amikor hazajönnek az iskolából,osszák el egyenlően egymás között. Először István érkezett haza, elvette az almák harmadát és elment. Utána Péter jött meg, elvette a megmaradt almák egyharmadát és elment. Végül megérkezett János, éső is elvette a megmaradt almák egyharmadát. Számítsuk ki, hány almát hagyott az anya az asztalon, ha János 4 almát vett el!

8.

Marika egy kosár virágot vitt a piacra. Először eladott 1 szál virágot és a megmaradt virágok felét, utána eladott 2 szál virágot és a meglevő virágok kétharmadát, majd

eladott még 3 szál virágot és a meglevő virágok

háromnegyed részét. Végül eladott még 5 szál virágot és a meglevő virágok felét, így pontosan 4 szál virág maradt a kosárban. Hány szál virágot vitt Marika eladni? 9.

Péter 6 órát kerékpározva és 5 órát gyalogolva 68 km utat tenne meg. Ha 8 órát gyalogolna és 7 órát kerékpározna, akkor 88 km utat tenne meg. Mennyi utat tesz meg egy óra alatt gyalog? Hát kerékpárral?

10.

Egy ember köszönt egy társaságot: adjisten mind a harmincotoknak! Felel közülük az egyik: ha még egyszer annyian és még feleannyian volnánk, mint ahányan vagyunk,úgy lennénk harmincan! Hányan voltak valójában? (1577-ből való feladat)

11.

Egy őstermelő egy szekér dinnyét vitt a piacra. Az első árusnak eladta dinnyéinek felét és még egy dinnyét, a másodiknak a maradék felét meg még egy dinnyét, a harmadiknak a maradék felét és még egy dinnyét. Így 5 dinnyéje maradt. Hány dinnyével indult el falujából. és melyik árus mennyit vett tőle?

42


Egy kerékpáros A városból 8 órakor indul el a 15km-nyire fekvő B városba. Onnan 15 perc tartózkodás után visszaindul az A-ba, ahová 10 óra 45 perckor érkezik meg. 8 óra 20 perckor B-ből egy gyalogos indul A felé. 9 órakor találkoznak. Határozza meg sebességüket! Mindketten állandó sebességgel közlekednek. Mikor éri utól a kerékpáros a gyalogost? Ekkor milyen távolságra vannak az A-tól?:

BIBLIOGRÁFIA 1. Ambrus András: Bevezetés a matematikadidaktikába, ELTE, TTK, Eötvös Kiadó, Budapest, (2002) 2. Ambrus András: A problémamegoldás tanításának elméleti alapjai , Új pedagógia szemle, 1, (2002) 3. Ambrus András: Bevezetés a matematika-didaktikába, Egyetemi jegyzet, ELTE Budapest, (2004) 4. Ambrus András: A konkrét és vizuális reprezentációk használatának szükségessége az iskolai matematikaoktatásban, Budapest, (2007) 5. Ambrus Gabriella: Valóságközeli matematika-Munkafüzet, Műszaki Kiadó, Budapest, (2007) 6. Ábrahám István, Bedő László, Czétényi Csaba, Frigyesi Miklós, Juhász Attila, Korányi Erzsébet, Matematika a felvételi vizsgára készülők részére, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (1994) 7. Balázs Márton, Kolumbán József, Matematikai analízis, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, (1978) 8. Baranyai Tünde: Tanulmányi Útmutató, Matematika, BBTE, Szatmárnémeti, (2002) 9. dr. Bitay László, A prímszámokról, in. Matlap, Ifjúsági matematikai lapok, Radó Ferenc Matematikaművelő Társaság, Kolozsvár, (2003/5 szám) 10. Borsodi István, Dr. Göndöcs László: Matematika a tanítóképző főiskola első évfolyama számra, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (1995) 11. Brindza Attila, Csatlósné dr. Fülöp Sára, dr. Daragó József, Járai József, dr. Kopasz Éva, Náfrádi Ferenc, Pappné dr. Ádám Györgyi, dr. Vajda János, Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (1996) 12. Dezső Gábor, A gazdasági matematika alapjai, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, (2004) 13. Dienes Zoltán: Építsük fel a matematikát, 14. Fazekas István, Bevezetés a valószínűség számításba, EMTEX-JATEX, Eger, (1993) 15. Fábosné Zách Enikő: Te is szeretsz tanítani?,Calibra Kiadó,Budapest, (1997)

43

Aritmetika tanításának módszertana 16. R. L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Konkrét matematika, Műszaki Kiadó, Budapest, (1998) 17. Halmai György, Matematikai feladatok, Egységes jegyzet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (1994) 18. Hortobágyi István – Marosvári Péter – Pálmaz Lóránt – Pósfai Péter – Siposs András - Vancsó Ödön: Egységes érettségi feladatgyújtemény, matematika, II, Konsept - H Könyvkiadó,Budapest, 18. Kosztolányi József, Mike János, Palánkainé Jakab Ágnes, dr. Szederkényi Antalné, Vincze István, Matematika, Összefoglaló feladatgyűjtemény 10-14 éveseknek, Mozaik Oktatási Stódió, Szeged, (1998) 19. I.V.Mafeti, A.V.Mihai, M.A.Nicolae, C.P.Nicolescu, Matematică, manual pentru elevii clasei a IX-a, Bucureşti, (2004) 20. Maurer Gy., Tizedes törtek és lánctörtek, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, (1981) 21. C.Năstăsescu, M.Brandiburu,C. Niţă, D. Joiţa, Exerciţii şi probleme de algebră, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, (1983) 22. Olosz Etelka, Olosz Ferenc: Matematika és Módszertan, Kolozsvár, (1999) 23. Olosz Etelka, Olosz Ferenc, Tanulmányi Útmutató az I. Évfolyam számára, BBTE, Szatmárnémeti, (2001) 24. I. Petrică, C. Ştefan, Şt. Alexe, probleme de matematică pentru gimnaziu, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1985 25. Pólya György: A gondolkodás iskolája, Gondolat Kiadó, Budapest, (1977) 26. Reimann István, Geometria és határterületei, Szalay Könyvkiadó, Kisújszállás, (1999) 27. Richard R. Skemp: A matematikatanulás pszichológiája, Edge 2000 Kiadó, Budapest, (2005) 28. Tuzson Zoltán: Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat?, Ábel kiadó, Kolozsvár, (2005) 29. ***, Matlap, Ifjúsági matematikai lapok, Radó Ferenc Matematikaművelő Társaság, Kolozsvár 30. http:/www.ementor.hu/matek/kompetencia/6.evf.htm 31. www.edu.ro 32. http://www.banki.hu/jegyzetek/mat/szma/szma_1_felev/bmfhalmaz.pdf 33. http://www.ttk.pte.hu/matek/toth/A%20matematikai%20logika%20alapjai,%20 2005.pdf 34. http://thesaurus.math.org 35. www.mimi.hu/matematika 36. http://hmika.freeweb.hu/Lexikon/Html/MertEgys.htm 37. http://matek.fazekas.hu 38. Szeverényi Andrásné – Istvánffy GabriellaJátékban a matematikaA külső világ tevékeny megismerése során szerezhető matematika tartalmú tapasztalatok, játékok az óvodai nevelésben http://www.oki.hu/oldal.php?tipus=cikk&kod=ovodai-tobbek-jatekba

44

I. Általános információk

Recommend Documents