KFKI-1989-46/G
LIPCSEI S. KISSS. PÓR G.
TANULMÁNYOK A FŰTŐELEMRÚD-REZGÉSEK TÉMAKÖRÉBEN I. Atomerőművi fűtőelempálca hajlítólengéseinek mechanikai modelljei
Hungarian Academy of Sciences CENTRAL RESEARCH INSTITUTE FOR PHYSICS BUDAPEST
KFKI-1989-46/G PREPRINT
TANULMÁNYOK A FŰTŐELEMRÚD-REZGÉSEK TÉMAKÖRÉBEN I. Atomerőművi fűtőelempálca hajlítólengéseinek mechanikai modelljei LIPCSEI S., KISS S., PÓR G. Központi Fizikai Kutató Intézet 1626 Budapest 114, Pf. 49
HU ISSN 0368 6330
Lipcsei S., Kiss S.. Pór G.: Tanulmányok a fütőetemrúd rezgések témakörében. I. Atomerőmüvi fűtöetempálca hajlitólengéseinek mechanikai modelljei KFKI 1989 46/G KIVONAT Az atomeröművi f űtőelemrudak sajátlrekvenciáinak számításához adekvát modellt állítottunk fel. A sajátfrekvenciákat különböző végbefogások esetére számítottuk. Az eredmények megmutatták, hogy az eddig szokásos húrrezgósi modellekkel ellenlétben az adekvát modell a négyzetszámok szerinti, vagy azokhoz közeli felharmonikusok jelentkezését valószínűsíti, ami jói egyezik a korábbi mérési tapasztalatokkal. A különböző befogások vizsgálata az alacsonyabb sajátfrekvenciák elhangolódásának igazolásához vezetett.
Липчеи I . , Ними Ш., Пор Г.: Изучение вибраций тепловыделяющих элементов АЭС. I . Механическая модель иэгибного колебания твэлов АЭС. KFKI-1989-46/G АННОТАЦИЯ Обсуждается адекватная модель для расчета собственных колебаний твэлов АЭС при различных положениях фиксации их концов. В противоположность предыду щим моделям наша модель указывает на присутствие лишь квадратичных высших гар моник, что находится в хорошем согласии с измерениями. Исследование различных методов фиксации твэлов подтверждает наличие сползания собственной частоты ко лебания в области низких частот.
8. Lipcsei, 8. Kiss, О. Pór: Studies on vibration of fuel rods I. Mechanical models of vibration of fuel rods in PWRs. KFKI 1989 46/G AB8TRACT An adequate model of dynamic behaviour of fuel rods in NPP s was generated to estimate their eigenfrequencies The eigenfrequencies were computed for different kind of clamps of the rods. Contrary to the usual models based on string vibration our model showed that the eigenfrequencies look place at the quadratic higher harmonics. These solutions agree with the earlier results of measurements. Changes In the eigenfrequencies of lower modes were detected and interpreted by the examination of different clamping modes.
Tanulmányok a fűtöelemrúd-rezgések témakörében
Általános bevezetés Az atomerömüvi reaktorok zónájában mérhető neutronfluktuációkban a különböző, zónán belüli rezgések általában elhatárolható frekvenciacsúcsként jelentkeznek. Ezért a neutronfluktuációk spektruma jól használható ezeknek a rezgéseknek az elemzésére, illetve a belőlük leszűrhető diagnosztikai értékű információk kinyerésére. Ahhoz, hogy a spektrumok változásai alapján helyes következtetésekre jussunk, elen gedhetetlenül szükséges, hogy a jelenségeket és azok hatásmechanizmusait jól ismerjük, a valóságnak megfelelő modellel írjuk le. Megfelelő modell alapján értelmezni tudjuk a fellépő változásokat is. A neutronfluktuációk spektrumaiban régóta megfigyelnek olyan csúcsokat, amelyek megjelenését az egyes fűtőelempálcák és/vagy fűtöelemkötegek sajátrezgéseihez kapcsol nak. Ezek a magyarázatok általában a fűtőelemek legegyszerűbb, húrrezgésre vonatkozó sajátfrekvencia számításain alapulnak. A nemzetközi szakirodalomban mind a mai na pig természetesnek veszik az alapfrekvencia egész számú többszöröseinek megjelenését a spektrumokban. Az egyes felharmonikusok hiányát, illetve azt a tényt, hogy azok az alap frekvenciának nem mindig egész számú többszörösénél jelentkeznek, sokan a méréstechnika fogyatékosságának, a nem pontos mechanikai adathalmaznak vagy egyéb ismeretlen ténye zőknek (például háttérzajoknak) tulajdonítják. Tanulmánysorozatunkban célul tűztük ki, hogy a fűtöelemrezgésck pontosabb modell jének kidolgozásával a korábbinál alaposabb elemzését adjuk az itt fellépő jelenségeknek. Célunk — az alapvető tudományos érdeklődésen túl —, hogy a gyakorlati reaktor zajdiag nosztikában megfelelő értelmezést adhassunk a bekövetkező változásoknak. Már az első modell felállítása és megoldása alapján kijelenthetjük, hogy a különböző eajátfrekvencíák egymáshoz viszonyított helyzete jelentősen eltér a húrrezgésnél megszo kottól. Tehát nem mérési pontatlanságok vagy egyéb okok miatt nem jelentkeznek bizonyos frekvenciaösszetevők, hanem ez a rendszer sajátja. Matematikai modelljeinket mérésekkel is alátámasztjuk. Sorozatunkban először az egyszerű fűtőelemrűd modellezésével foglalkozunk. A to vábbiakban kitérünk a detektorok elhelyezkedésének a spektrumokra gyakorolt hatására, 1
mind a rezgés- mind a neutrondetektorokkal mért spektrumok esetén. A sorosat már kész és előkészületben lévő tanulmányai a következők. I. Atomerőművi fütöelempálca hajlítólengéseinek mechanikai modelljei. II. A fűtőelem-rezgés modell számításainak igazolása laboratóriumi kísérletekkel. Ш. A detektor helyzetének hatása a vizsgált fűtőelem rezgési spektrumokra (elméleti modell és atomerőművi mérések). IV. ZR-6-os modellkísérletek a fűtőelem rezgéseknek a neutrondetektorok jelében tör ténő vizsgálatára. Szándékunk szerint a sorozatot tovább folytatjuk. Vizsgálni fogjuk a kollektív mozgá sok tulajdonságait, a Pakson mért spektrumokban jelentkező effektusokat. A kidolgozott modelleket a későbbiekben a cluster típusú abszorbensrudak rezgéseinek vizsgálatára is alkalmazni kívánjuk. Budapest, 1989. augusztus.
2
Atomerőművi fűtöelempálca hajlítólengéseinek mechanikai modelljei
1. Bevezetés A szakirodalomból ismeretes, hogy a nyomottvizes reaktorókban mérhető neutronzaj spektrumok egyes komponensei a reaktor futoelemrudainak hajlítólengéseiből származnak. Ennek a matematikai modellezésével már többen foglalkoztak. Azonban a reaktor diagnosztikával kapcsolatos munkákban, ahol íészletes mechanikai levezetéseket általában nem közölnek, a rúdrezgés jelenségét gyakran összemossák a húrrezgésével. Ez igen nagy baj, ugyanis a kettő között lényeges eltérések vannak. Mi tehát a különbség a rúd- és a húrmodell között? A mechanikában általában egydimenziós modellt alkalmazunk, ha a vizsgált test egyik iránybeli kiterjedéséhez képest a többi mérete elhanyagolhatóan kicsi. Ez igaz mind a húrra, mind a rúdra. Geometriai értelemben tehát nem tudunk különbséget tenni. A lényeges eltérés szilárdságtani értelemben van. Rugalmas húrról beszélünk, ha a keresztmetszetének hajlító merevsége elhanyagolhatóan kicsi. Ha ez a feltétel nem teljesül, rúdmodellt kell alkalmaznunk. Jelen munkában egy állandó keresztmetszetű, homogén rúd hajlítólengéseit vizsgáljuk különböző befogások mellett. A számításokat a későbbiekben mérési eredményekkel vetjük össze.
2. Állandó keresztmetszetű, egyenes rúd hajlítólengése Egy rúd hajlítólengéseit leíró differenciálegyenlet [1] (levezetése az FI. Függelékben):
dt' + Аедх*
ü
'
v
;
ahol y{x t)- a rúd x koordinátájú pontjának az egyensúlyi helyzetből való kitérése, / - a rúd keresztmetszetének a hajlítás tengelyére számított inerciája (másodrendű nyomatéka) E - Young-modulus, AQ — a rúd hosszegységre jutó tömege. f
Emlékeztetőül a húrresgést kiró differenciálegyenlet [2]: 7
7
Öt
Аддх '
ahol F & búrt kifeszítő erő. Vegyük észre a lényeges különbséget! Amíg a búrrexgéseket Wró différencíáJegyenletben a Játérés második deriváltja szerepel, addig itt a negyedik deriválttal kell számolnunk! Az (1) egyenletet a Bernoulli módszerrel oldjuk meg, vagyis a tér és idő koordináták szerint szeparáljuk a megoldást. y(*,r) = *(x)*(i)
(2)
IE (2>t helyettesítsük (l)-be, és használjuk az а = ~ jelölést! 7
AQ 2
/ у
Ф* + а Ф * = 0,
(3)
átrendezve 7
2
— = — а —— = const = —а . (4) Ф Ф ' Mivel az egyenlet jobb, illetve bal oldala különböző változók függvényei, és az egyenlőség minden (x,<) értékpárra fennáll, ezért mindkét oldalnak ugyanazzal a — változóktól füg getlen — konstans értékkel kell egyenlőnek lennie. Ezt azért választottuk -a'-nek, mert az időre vonatkozó egyenlet csak negatív érték esetén adfizikailagértelmes megoldást (а éppen az adott módushoz tartozó sajátkörfrekvencia). а így az x-től függő egyenlet ß* = -=• helyettesítéssel v
7
or
/у
Ф + /?*Ф = 0. 4
(б)
4
ф = се** alakban keresve a megoldást, a c(/i - ß )^* = 0 egyenlet alapján ц\ = ß, /О e -ß, ц - iß, valamint щ = -iß éitékek adódnak. Tehát a rúd alakját leíró függ vényt az e'*, e~'*, e"* és t~ * függvények lineáris kombinációjaként adhatjuk meg. Afeladatfizikaitartalma miatt természetesen csak a valós részeket kellfigyelembeven nünk. A könnyebb megoldás érdekében célszerű a Rayleigh- (orosz nyelvű szakirodalomban Krülov-) függvényeket (6) használni. 9
ifi
5(0*|(совЬе + совО 7 ( 0 = 5 ( e m h * + sin0 í W(0«5(coshí-cos0 V(0 = |(«nhe-sínO 4
(6)
A Rayleigh-Krülov függvények kedvező tulajdonságai (7) a peremfeltételek behelyettesí tésekor érvényesülnek. 5(0) = 1, T(0)=W(0) = V(0)=0,
^(0 = V(0> ПО = 5(0, W(0 = T(0, V(0=w(0,
(7)
Tehát a rúd alakját ldró függvényt Ф(х) = AS(ßx) + BT(ßx) + CW(#r) + D V(ßr)
(8)
alakban keressük.
3. Peremfeltételek, egyszerű modellek A rúd végein alkalmazott megfogásokat a peremfeltételeken keresztül tudjuk bevinni a modellbe. Ehhez célszerű még néhány mennyiséget felírni, nevezetesen a tetszőleges x koordinátájú pontban mérhető, alaphelyzetre vonatkozó y>(x) szögelfordulást, a rúd M(x) nyomatéki- és V(z) nyíroerő-fűggvényét (ez utóbbi nem tévesztendő össze a V-vel jelölt Rayleigh-Krűlov függvénnyel). Ha a tp szög kicsi, akkor a következő geometriai, rugalmasságtani, illetve statikai összefüggések írhatók fel:
-f—g' Figyelembe véve а Ф-ге vonatkozó (8) összefüggést ф) = ß [AV(ßz) + BS(ßx) + CT(ßx) + DU{ßx)\ 2
(9)
M(x) s -JEß \AU{ßx) + BV(ßx) + CS(ßx) + DT(ßx))
(10)
V(x) = -IE0*[AT(ßx) + BU(ßx) + CV(ßx) + DS(ßx)]
(11)
Az egyszerű modellek felállításához, amelyeken keresztül a peremfeltételek figyelem bevételét mutatjuk be, a Paksi Atomerőmű WER-440-ee blokkjaiban használatos fűtőe lemkötegek tulajdonságait vesszük figyelembe (lásd az F2. Függelékben). A köteg két végén olyan módon van megfogva, ami nem enged meg keresztirányú elmozdulást. Az alsó részen alkalmazott megfogásról feltételezhető, hogy még ennél is ke vesebb szabadságfokot enged, nevezetesen a szögkitéréssel arányos visszatérítő nyomatékkal hat az egyes üzemanyag pálcákra, vagy akár tökéletesen merev befogásként is modellezhető. Ezzel szemben a rúd felső végére ható kényszer valószínűleg kisebb, mint amit egy csuklós megfogás adna, akár szabad véget is feltételezhetünk. A legközelebb járunk a valósághoz, ha a kitéréssel arányos visszatérítő erővel számolunk. 5
г/
1. étim. Küminliti moidL 3.1. Mindkét végen csuklós megfogás esete Eb5 megkősditésben a rúd mindkét végén csuklós megfogástfeltételesünk(lásd es 1. ábrát). A köteg távtartók által okosott merevedését elhanyagoljuk és a vis jelenlétét sem Testükfigyelembe(sem a esHlaptto, sem a rúd effektív tömegét növelő hatásával nem ssámohink). A csuklós megfogás jellemzője, hogy nem enged meg elmozdulást, valamint nem viss át nyomatékot. Tehát a peremfeltetelek: 0 ü) m) tv)
*(0) = 0, Jl#(0)=0, Ф(1)=0, M(I) = 0,
V
'
ahol L a rúd hossza. (8) és (10) alapján,figyelembevéve a (7) összefüggéseket i) Й)
=» Л = 0, => C=0.
így •(«) « В 7{ßx) + D V(ßx), végül iii) iv)
=» BT(ßL)+DV(ßL) = 0, => BV{ßL) + DT{ßL) = 0.
3 V
'
Mivel (13) egy homogén lineáris egyenletrendtzer а В illetve a D változókra, ahhoz, hogy ne a triviális megoldást kapjuk, az egyutthatómátrix determinánsának zérusnak kell lennie: T*{ßL)-\\ßU)=Q. Ezt (6) alapján kifejtve és elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket, a sm(0Z)«O
(14)
feltételi egyenlet megoldásai adják a lehetséges ß értékeket: Л-*|,
**1,2,... б
(15)
ß jelentésétfigyelembevéve ot*
=
*V
IE
V
Ae'
1
2
*- » »--
a sajáifrekvenciák Hz-ben / k =
2FVV
(ie)
fcs=1 2
' '-
Fontosnak latjuk kiemelni, bogy a húrrezgésekkel szemben itt az alapfrekvenciának nem egész számú, hanem négyzetes többszörösei jelentkeznek femarmonikusokként. A to vábbiakból kitűnik, hogy a befogás változtatása csak „elnangoiáet" okos as alacsonyabb módusokban, de a „négyzetes" jelleg megmarad. 3.2. „Merev-csuklós" megfogás modellje Nézzük meg, hogyan módosulnak a sajátfrekvenciák, ha a rúd egyik végén tökéletesen merev megfogást feltételezünk (2. ábra). Ezt a megfogást az jellemzi, hogy az elmozduláson kívül nem enged meg szögelfordulást, vagyis az előző esethez képest a (12)-es peremfelté telek közül az ü)-t kell kicserélnünk. ti) p ( 0 ) - 0 .
(17)
IN t. ábra. Az alapmodell módosítóit peremfeltételekkel
w
i) U)
#> А ж О, * .S«0,
vagyis most Ф(х) = CU(ßx) + DV(ßx), es а (13) egyenletek helyett iti) tv)
*• *
CU(ßx) + DV{ßx) = 0 CS(ßx) + DT(ßx) = 0
(18)
szerepel. Végül a determináns T(ßL)U{ßL)-V(ßL)S(ßL)
=0
(10)
Hasonlóképpen a korábbiakhoz, a determinánst (6) alapján kifejtve és a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezve kapjuk a következő transzcendens egyenletet pL
fiL
e (mißL -<x*ßL) + e~ (anßL + coeßL) = 0
(20)
Ha ßL elég nagy, akkor sin^L - cos 01 = y/2na(ßL - j ) = 0 megoldásai adják a sajátfrekvenciákat, vagyis 2
at«
(fc + j) *» /£F I*
(fc+py [Ш
(21) L* (2l)-et összevetve (16)-tal láthatjuk, bogy elegendően nagy к értékek mellett a két modell sajátfrekvenciái közel egyenlöek. Már ebből a közelítésből is látszik, hogy a befogás meg változtatása az első sajátfrekvenciákon jelentős „elhangolast" idéz elő. Pontos értékeket az összefoglalásbeli 1. táblázatban mutatunk be.
Л«
3.3. A valóságos megfogások modellezése A valóságoshoz közelebb álló modellt kapunk, ha a rúd alsó végén levő megfogást nem képzetük teljesen merevnek. Vagyis feltételezzük, hogy a megfogásnál a ip(0) szögkitéréssel arányos £y>(0) visszatérítő nyomaték hat a rúdra. Hasonlóképpen a rúd felső végein lévő csuklós megfogés helyett egy rugós megtámasz tást alkalmazunk, vagyis a rúd L koordinátájú pontjában а Ф(£) kitéréssel arányos ^тЩЬ) visszatérítő erő hat a rúdra (3. ábra).
S. ábra. At alapmodell vaU$ peremfeltételekkel. Ebben az esetben a peremfeltételeket a következőképpen írhatjuk fel: í) Ф(0)=0
m) M(L)*0 i v )
V(L)«-^ c/ 8
(22)
A —ámítás hasonlóképpen zajlik, mink a* etózó kék esetben, a m i a nem elhanyagolható eltéréssel, hogy a determinál a (20)formulánálsokkal bonyolultabb ka». A» így előálló transzcendens egyenletet csak közelítő módsxerrel tudjuk megoUani, amihez számítógépet kell igénybe venni. Nagymértekben egysxerfisödik a számítás, ha a» F3. Függelékben ismer tetett un. Itosvetítő mátrixos módszert alkalmsunk Mégpedig úgy» hogy peremfeltételként a rád alsó végére csuklós megfogást, felnire pedig szabad rúdvéget irunk. Tehát «) *(0) = 0 ti) M(0) = 0
(23)
iii) M{L) = 0 iv) V(L) = 0
A rugók jelenlétét pontmátrixokon keresztül Tesszükfigyelembe.Az F3. Függelékben bevezetett jelöléseket és terminológiát alkalmazva
P.*
1
1 0 0 01 0 1 0 0 0 — 10
0
Pf =
C
о <S о и
í Le/
0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 1
(24)
A (23.i,ii) peremfeltételek alapján 0 »•-
(25)
0
A másik rúdvégre felírt állapotvektor pedig */ = P/QiP.z. = Q». = v.Qbe + VoQdo • p.b, + V . d
b
(26).
ahol b] és di éppen Q második és negyedik oszlopvektora, vagyis
b,=
9l2* 922
Í14
,
* -
924
ÍM
(27)
Uw
Я42-
Másrészről (23.íii,ív) miatt '*/' ж
*1
0 .0. 9
•
(28)
Tehát a (26) egyenletrendszer harmadik és negyedik eora homogén lineáris egyenletrend szert ad а у . ее V. ismeretlenekre. e
P.932 + V.9M ° V>.?42 + V.fM = 0
(29)
Tehát a
detf*
2
943 ) - . 944
(30)
egyenlet megoldásai adják a sajátfrekvendábt. ЕЬЫЙ с. illetve c/ célszerű beállításával ezarmaítathatjuk az еЬ6 Ш modeUt, vagyis as 1. ábra modelljéhez с. ж oo, c/ * 0, a 2. ábráéhoz pedig c. = 0, с/ = О választással. A 4. ábrán a két másik speciális esettel együtt mutatjuk be as efaö öt sajátfrekvendához tartozó lengésképeket. (A feltűntetett frekvenciákat a ZR-в-ов fütoelempalcák adataival számítottuk.) Cf*tB+30
Cf=tB-30
Ca*1B-30 Соя 1Ж-30 f*6.8? f»ZZ.1 f=49.1 f=78.8 f*f20 f*1.55 f*9.74 fmZ7.3 f=S3.S f*88.4 Cf*1E+30
Cf=1B-30
Ca* 1В+30 Ca*tB+30 f'4.36 f*17,6 f=39.8 fn$$,8 fmf09 fm6.82 fmg2.f f*46.f f*73.B f*120 4- ábra. Lengéskipek ШопЬджо megfogások esetén, A rúd alsó és felső végén alkalmazott rugók merevségének a hatáfái tanulmányozhat juk az 5. ábrán, ahol e két mennyiség függvényében rajzoltuk fel az elsft móduehoz tartozó sajátfrekvencia értékét. 10
5. ábra. Az elsS móduthoz tartóié tajátfrekvtncia a rugóállandók függvényéhen.
4. Összefoglalás, konklúziók Tanulmányunkban rámutattunk a húr- és rúdrezgések közötti lényeges különbségekre é* felállítottunk néhány egyszerűbb modellt az atomeromfivi ffitöelemrud rezgésekhez kap csolódóan. Ezen modellek alapján nyilvánvalóvá vált, hogy egy rezgő rúd eajátfrekvenciáí — megfelelő normáláe mellett — megközelítőleg úgy követik egymást, mint az egész számok négyzetei. Speciálisan, egy mindkét végén csuklósan megfogott rúd esetén ez éppen a pon tos összefüggés. A rúd végein alkalmazott megfogások változtatása — főleg az alacsonyabb módusokban — a leírt tendenciától való „elhangolódást" okoz. Ezek az elhangolódások jól tanulmányozhatók az 1. táblázat alapján.
Rövidjei с—с m— m m— с feltételi egyenlet см/Я/chlLsl tgßLsstbßL •in^LsO n-l 1 1 22,4 1 16,4 »,9 n«2 50,0 81,7 3,2 39,6 4 2,8 (ßnD* és n-3 8,8 9 104,2 Ov|9 120,9 5,4 n«4 178,3 199,9 8,9 И,« 167,9 18 n>4 #»n» »»»(tH-i)» «»•(n+i)*
m—• coslLchlL « -1 1 3,6 8,3 22,0 17,8 81,7 34,4 120,9
««'(n-J)» Jelölések: с = ceukloe megfogás, m s merev rőgzf tét, ш = szabad vég. így például as m — с roviditéa olyan, az egyik végén mereven, mánk végén csuklóesn rögzített rudat jelöl, mint •milyen a 2. ábrán látható. 1. táblázat. Rúdrezgéti Bajátfrekvenciák alakulata a megfogatok változatával.
11
A láblázat egyik oszopában (ßL)* a feltételi egyéniéi megoldásának a négyzete szerepd, amit jfoy]jg -val megszorozva kaphatjuk a sajátfrekvenriákat; másik oszlopába pedig az ebö módoshoz tartozó sajátfrekvenciára normált sajátfrekvenciák kerültek. A táblázat alapján jol látható, hogy még a legdurvább elhangolódás sem közelíti meg a húrrezgésnél megszokott tendenciát. Az 5. ábra alapján épp ezek az elhangolódások segíthetnek ab ban, hogy diagnosztikai értékű információkat adjunk a megfogások változásairól, akár egy üzemszerűen működő rendszer esetén is (például a Paksi Atomerőműben). t
Atanulmányban egy, az összetettebb rúdszerkezetek «ámítását nagymértékben leegyjzerusito módszert is ismertettünk. Bár a módszert itt сяк egy egyszerűbb modell «ámításához használtuk, nyilvánvaló, hogy segítségével viszonylag könnyen számítható a rotódemkotegeken használatos távtartók merevítő hatása. ^ A reaktor zajdiagnosztikával f 'Jalkozó nmnkákban találkozhatunk afutőelemrúd rez gések hatásaival, értelmezésével. Sajnos ezekben többnyire a húrrezgési tapasztalatoknak megfelelő fenomenologikus modellt alkalmaznak, tehát a magasabb sajátfrekvenciákat az alapmodus frekvenciájának egész számú többszöröseinél keresik. Ilyen utalásra figyelhetünk fel például Bemard és mtsai. munkájában [3]. Stokes és King cikkében (4), ahol utánépített fútöelemkötegeken végzett mérésekről számolnak be, hasonlóképpen Önkényes rezgésérteimezest találhatunk. A 6. ábrán két, ebből a tanulmányból átemelt ábrát láthatunk.
ЛE5
г /
h
V\A
к
^
IVCT 1 . Mi»C IVA Уач/уМ
•
mm • ьм* гт
I
1 1}
К З « ) »М4ИМСГ • и«
'кОЯМАиНО 1 0 « I WWi RfPOMC
г* t ( i m « • Лит mt 'n
rig. П HnWbirt Акил im f*B.
6. ábra. Kit ihn [4]-Ш Az egyiken (Píg.8) a köteg első öt sajátrezgéséhez tartozó lengésképeket és az ezeknriV megfelelő eajátfrekvenciákat (az elsőre normáivá) mutatják be. Az itt közölt frekvencia» tekéknek nem csak a mi számításaink mondanak ellent, de egy másik ábrájuk is (Fifc.l V) Ezen az ábrán а köteg áramlással gerjesztett rezgésének PSD-jét közlik. Az áraml;'. . kozólt adatok alapján feltehetően turbulens, ami egy meglehetősen széles sávú, v«'l-
12
gerjesztést jelent. A spektrumból csak két csúcs emelkedik ki, 6 illetve 26 Hz-nél. Hasonló képpen a GRS gyakorlatában is (püdául [5]) afenomenologikusmodell alapján a becsült alapmódusok valamennyi egész számú többszörösét bejelölik a neutronspektrumban, holott azokban ilyen csúcsok nem mindig láthatók. Mindezek a példák azt mutatják, hogy a mechanikusan alkalmazott egyszerű húrmoddlhez képest a spektrumok az általunk felírt modellel sokkal jobban magyarázhatók, így végre érthetővé válik egyes „komponensek hiánya", illetve afrekvenciábanészlelt elhango lódás.
5. Köszönetnyilvánítás A szerzők egyike (L.S.) ezúton szeretné köszönetét kifejezni Dr. Ludvig Győzőnek a közvetítő mátrixos módszer megismerésében nyújtott segítségéért és a további rendkívül hasznos konzultációkért.
6. Hivatkozások [1] Dr. Ludvig Gy.: Gépek dinamikája. Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1983. [2] Dr. Búdé Ár. Mechanika. Budapest, Tankönyvkiadó, 1964. [3] Bernard, P. - Clout, J. - Messainguiral, С. - Ваеуепя, R. - Malhot, Т. - Satinet, J. - Puyal, С: PWR Core Monitoring By In-core Noise Analysis. Progress In Nuclear Energy, Vol.9., pp. 541-556.1982. [4] Stokes, P.E. - King, R.A.: PWR Fuel Assembly Dynamic Characteristics. B.N.E.S. Vibration In Nuclear Plant. Keswick-U.K.-May 1978. [5] BatÜ, W. - Sunder, R. - Wach, D.\ The Influence Of Noise Diagnostic Techniques On The Safety And Availability Of Nuclear Power Plants. Progress In Nuclear Energy, Vol. 15., pp. 513-524.1985. [61 Krinizs K. jóvoltából.
13
Függelék
Fl, Rugalmas prizmatikus rudak hajlítólengéseinek a modellezése A levezetés során alkalmazott feltételezések: - a lengét során Ids deformációk lépnek fid, - as elfordulástól eltekintünk, vagyis feltételezzük, bogy a keresztmetszetek síkja önma gával párhuzamosan mozdul el. Tekintsük a rúd egy kicsiny, dx bosszúságú darabját (lásd az fi. ábrát), és írjuk fel rá a dinamika alapegyenletéti
y+dV
fi. ábra. BajUtólenghi vigsB rúd dx ho»sti*ig4 elemért mSkődt erSheiisok
F**ma
(fi)
A nyíróerö (V) meghatározásához a szilárdságtanból jól ismert rugalmas szál differenciál egyenletét használjuk fel. (ß)
5-Я S itt a görbületet jelöli és lós deformációk esetén érvényes a kővetkező összefüggés:
!•-&•
(в) 3
fa
Q
14
Visssahelyettesítés után kapjuk, hogy M = -IE^
(f5)
t
amiből már meghatározhatjuk a nyílóerőt
Est (ß)-be helyettesítve, átrendezés után kapjuk a ^ + ^ = 0
(f7)
prízmatikus rúd hajlítólengéseit leíró differenciálegyenletet.
F2. A ffitőelemrudak mechanikai és geometriai adatai Mivel a ZR-6-OS kísérleti reaktorban használatos fűtőelempálcák a hosszuktól elte kintve megegyeznek a WER-440-es reaktorban lévőkkel, kézenfekvő az előbbiek mérési eredményeit felhasználni. A számításokban három mennyiség ismeretére van szűkség. Az egyik a fűtődemrúd hossza. Ez a ZR-6-ban L = 1,34 m, a WER-440-ben pedig L = 2,57 m. A másik két mennyiség — az Aß, vagyis a rúd hosszegségre jutó tömege, illetve az IE vagyis a rúd keresztmetszetének a hajlítás tengelyére számított inerciájának és a Youngmodulusnak a szorzata — fajlagos volta miatt megegyezik. A méréseket ZR-6-os pálcákon végeztük. Az AQ mennyiség meghatározásához három fűtőelempálca tömegét lemértük és az átlagot elosztottuk a pálca hosszával. A későbbiekben az így kapott y
Af = 0,555^ m értékkel számoltunk. A hajlítási merevség (IE) értékének meghatározásához [2] 68.5 részében leírtakat hasz náltuk fel. A mereven megfogott ffitőelempálcát a másik végén különböző erőkkel terhelve mértük a lehajlás nagyságát (f2. ábra). A rúd befogásától x távolságra mérhető lehajlás (*) és a terhelő erő (F) között a következő összefüggés áll fenn
.ш'Ч—ТФ
ш
+ ).
(18)
IE б A rúd saját súlyából származó lehajlása additív tagként szerepel, így ezt csak egy szempont ból kellett figyelembe venni, nevezetesen, hogy ezáltal lecsökkent a rugalmas alakváltozás tartománya. 15
ft ábra. Mereven befogott rúd aUkviltozdsu • végén aUflmüzoU F erS hutísira. Különböző L értékek mellett mérési sorozatokat vettunk fel, amelyeket végül a PCRFIT programmal [6] értékeltünk ki. A maradó alakváltozás tartományának kiszűrésére az egyes mérési sorozatok utolsó értékeit addig hagytuk el, amíg ezzel javítani tudtuk a szórás értékét. Végül a hajlítási merevségre 97%-os konfidencia szint mellett J £ = 13,2±0,048Nm
2
(19)
adódott.
F3. A hajlítólengési feladat megoldása közvetítő mátrixokkal A hajlítólengési feladatokban csak ritkán fordul elő a legegyszerűbb eset, az állandó keresztmetszetű rúd lengéseinek a vizsgálata. A rudat gyakran több részre kell osztani és az egyen szakaszokat a peremfeltételeken keresztül illeszteni egymáshoz. Ez azt jelenti, hogy szerencsétlen esetben, az egyszerűsítési lehetőségeket nem kihasználva, szakaszonként négy ismeretlent kell keresnünk. Tehát az ismeretlenek száma a szakaszok számának a négysze rese. (Előfordulhat, hogy még az állandó keresztmetszetű rudat is több részre kell osztani, ha a rúdra koncentrált tömeg, rugós megtámasztás van szerelve. Ezeket a tulajdonságokat is a peremfeltételeken keresztüli illesztésnek kell majd tartalmaznia.) Nagymértékű egyszerűsítésekhez, valamint könnyű programozhatósághoz jutunk, ha mátrix-számítási módszereket alkai/nazunk. Az itt kővetkező részben az [lJ-Den leírt mód szert ismertetjük néhány jelölésbelí eltéréssel. Tekintsünk egy olyan rudat, amelyet í j véges hosszúságú, homogén szakaszokra bont hatunk. Az t'-edik szakaszon fusson az ц koordináta 0-tól Ij-ig, ahol Li az í-edik szakasz hossza. Jellemezzük az t-edik szakaszt a végére vonatkozó %i állapotvektorral, ahol
*<
Mi iVi
(ПО)
és Ф*, (pí, M Vi pedig rendre a már korábban értelmezett kitérés, szögelfordulb, hajlítónyomaték illetve nyíróerő az *j = I< helyen. Ha ismerjük z<-i-et, akkor ebből z< illetve az í-edik szakaszra vonatkozó Ф,
16
Ugyanis a Rayleigh-Krülov függvények tulajdonságai (7) alapján 4 ( х = 0 ) = Л, = Ф,_, <
7
M{XÍ = 0) = -IiEiß d = 0) = -IM?
V(XÍ
(£11)
= Mi-i Di = Vi-,
As egyszerűbb írás kedvéért alkalmazzuk a következő jelöléseket: k í = £ i
7i =
V^
= I < / ?
(fl2)
L\ IÍEÍ
s(A) = S(X) = £(cosh A + cos A) t(A) = ^
= 5j(»inh A + sín A) (£13)
„(A) = ^ l = ^ ( c o s h A - c o e A )
»(*) = 4 з = 2 Ä 9 (
8mhÄ
п Л
- " )
А (8>(11) összefüggésekbe х< = I,-t helyettesítve és alkalmazva az (£11) kifejezéseket illetve az (£12), (£13) jelöléseket, megkapjuk az állapotvektor összetevőit: Ф< = Ф<-1*(А<) + ipi-iLit(\i)
+ Л#<_,7еи(А<) +
Vi-nM*i)
4>i = « i - i ^v(Xi) + v»<-i*(A<) + A*-, f <(A<) + Ví-^ittíAi) (Í14) M, = Ф.-1 ^-u(Xi) + v<-i ^ » ( A . ) + Mi-xsiXi) + Vi-tLitiXi)
ъ
ъ
Vi = Ф<-1 -Ц-tiXi) + <*., ^«(Aí) + Jlf,-, ^v(Ai) + V<-,*(A<) 7<^<
7i
"i
Ezt a lineáris egyenletrendszert mátrix és vektor szorzataként is felírhatjuk: (£15)
Zj = Q í Z j - i ,
ahol Г
s(Ai)
MAj)
7<«(A<)
*k(A,)
*(A,)
f<(A<)
7W()1
7<«(A<) (£16)
Q« = 7í
4-<(A<)
7|
^«(AO ^ ( A . ) *(A,) 17
Ezzel a módszerrel az 1. ábrán látható kiindulási modell esetén
0
• o -
zo =
0
UJ
1 = ipo 0
o-
+ VÓ
.0.
0 0 = spobo + Vodo, .1.
(П7)
ahol bo és d rendre a tp illetve a V ismeretlenekhez tartozó egységvektorok. A szakaszra vonatkozó Qi mátrix ismeretében 0
0
0
*i = Qi«o = ¥>oQibo + VoQido =
(£18)
0
Az így adódó bi és dj természetesen már nem egységvektorok. Térjünk most Iá arra az esetre is, amelyben a rudat valamilyen oknál fogva több részre kell osztani. Ilyenkor természetesen az (fid) formulában szereplő Qi az első rúdszakaszra vonatkozik. A második rúdszakasz végére z = Q Z! = voQsQibo + VÓQsQido = yol* + V d . 2
2
0
(fl9)
2
A számítást tovább folytatva az n-edik rúdszakasz végén, vagyis a befogás helyén *n = QnZn-i - <poQn. •. QsQibo \- V Q„... Q Q i d = y> b + V d . 0
2
0
0
n
0
n
(f20)
Másképpen írva
Ф2n =
M .V.
b-
Ч.Г
ní
'+Vo
= Vo n
dni
d* • d t-
(föl)
n
UJ
n
(Természetesen a példaként vizsgált model' esetén n = 1.) Mivel a rúd végén csuklós megfogást alkalmaztunk, így az itt mérhető kitérés és nyomaték zérus: *n =
ni
(f22)
n
Ennek a homogén lineáris egyenletrendezernek csak akkor lesz a triviálistól különböző meg oldása, ha az együtthatókból alkotott determináns zérus. Ez a determináns a A-n keresztül az a-tól függ. Azok az a értékek lesznek a sajátfrekvenciák, amelyekre a determinánsnak zérushelye van. Ez a közvetítő mátrixos eljárás kis kiegészítéssel akkor is alkalmazható, ha a rúdra m nagyságú tömeget szerelünk. Amennyiben a hajlítás tengelyére ismerjük a tömeg О tehetetlenségi nyomatékát, akkor az e tengely körül végzett forgó lengés is figyelembe vehető. Ezzel együtt megmutatjuk, hogyan számolható a tömeget alátámasztó с állandójú rugó, illetve a rúd szögelfordulását akadályozni próbáló spirál rugó (со állandójú torziós 18
rugó) hatása. Emiatt a tömegtől balra és jobbra nem ugyanakkora a hajlítónyomaték és a nyiróerö. Ezek megváltozása:
(ИЗ) ДЛ# = 1
2
бог 1 tp = ргф
A vizsgált rúd ezen zérus hosszúságú szakaszára a következő pontmátrix irható fel. 1 0 0 0 0 1 0 0 P = 0 P2 1 0 Pi 0 0 ÍJ
10
(Й4)
The issues of the KFKI preprint/report series are classified as follows: A. B. C. D. E. F. CL H. I. J. K. L. M. N.
Particle and Nuclear Physics General Relativity and Gravitation Cosmic Rays and Space Research Fusion and Plasma Physics Solid State Physics Semiconductor and Bubble Memory Physics and Technology Nuclear Reactor Physics and Technology Laboratory. Biomedical and Nuclear Reactor Electronics Mechanical. Precision Mechanical and Nuclear Engineering Analytical and Physical Chemistry Health Physics Vibration Analysis. CAD. CAM Hardware a n d Software Development, Computer Applications, Programming Computer Design, CAMAC. Computer Controlled Measurements
The complete series or issues discussing one or more of the subjects can be ordered; institutions are kindfy requested to contact the KFKI Library, individuals the authors.
Title a n d classification o f the issue« published this year: KFKt-1989-01/D G Kocsis et a ! . A possible method for ton temperature measurement b y Ion sen sitive probes K F K M 9 8 9 - 0 2 / Q L. Perneczky et al.: Using the pressurlzer spray line in order to minimize loop seal effects (In Hungarian) K F K M 9 8 9 - 0 3 / E T. Csiba et al.: Propagation of charge-density w a v e voltage noise along a blue bronze, Rbo 3M0O3 crystal K F K M 9 8 9 - 0 4 / Q Q. Baranyai et al.: Experimental investigation of leakage o f safety valves b y means of acoustic emission detectors (in Hungarian) K F K M 8 8 9 - 0 6 / A Nguyen Ai Viel et al.: Can eolitons exist In non linear models constructed b y the non-linear invariance principle? KFKM989-06/A Nguyen Ai Viet et al.: A non linearly invariant Skyrme type model KFKI-1989-07/A Nguyen Ai Viet et al.: Static properties of nucleons in a modified Skyrme model KFKM969-08/B Z. Perjós: Factor structure of the Tomimatsu-Sato metrics KFKI-1989-Ов/В 2 Perjés: Unitary eplnor methods In general relativity KFKi-1989-10/Q Q Baranyai et al Reftoodtng Investigations. Part I (in Hungarian) KFKI-1989-11/Q L. Marotl et al Description of the physical models applied in the COCONT code (in Hungarian)
K F K M 889-13/Q L. Maróti et al.: Operational procedure based on hot spot analysis at the WWER 440 type block of Paks Nuclear Power Plant. Part III. (in Hungarian) K F K M 888-14M Cs. Balázs: Lessons from a time dependent model K F K M 889-16/A V.Sh. Gogokhia: Quark confinement and dynamical breakdown of chiral symmetry in covariant gauge QCD K F K M 889-18/A A. Frenkel: Spo:. •- teous localizations of the wave function and classical behavior KFK-1989-17/D S. Kálvin et al USX and SX radiation measurement of tokárnak plasma by MicroChannel Plate K F K M 889-18/A S.I. Bastrukov et a l : Liquid layer model for non magic nuclei KFKM889-18/Q E Biró et al Summary of WER 1000 data compiled by CRIP on the basis of international cooperation, (in Hungarian) KFKM889-20/M M. Barbuceanu et al.: Concurrent refinement of structured objects: a declar ative language for knowledge systems programming KFKM989-21/C K.I. Gringauz et al.: The analysis of the neutral gas measurements near comet P/HALLEY based on observations by VEGA 1 K F K M 889-22/A P. Lévai et al.: A simple expression for the entropy of a fireball from experimental strange particle ratios KFKM889-23/M LZs. Vcrga et al.: Knowledge based techniques in network management K F K M 888-24/A J. Révai: Exactly soluble model of a quantum system In external field with periodic time dependence KFKM988-25/J Sz. Vass, T. Török. Gy. Jákli, E Berecz: Sodium alkylsulphate apparent molar volumes in normal and heavy water. Connection with miceilar structure KFKM989-26/A Gy. Kluge: On prompt fission neutrons KFKM989-27/A S. Krasznovszky, I. Wagner: Description of the scaled moments for the nondiftractive pp and pp interactions In the cms energy range 10 900 QeV KFKM888-28/E D.V. Sheloput et al Acousto optical properties of Ge As S glasses and some possible applications KFKI-1888-28/C B. Lukács: A note on ancient Egyptians' colour vision KFKM988-30/G L. Szabados et al: 7 4 % hot leg break without SIT« in action, (in Hungarian) K F K M 989-31/G L. Szabados et al 7.4% hot leg break wit« SlTs in action (in Hungarian) K F K M 988-32/A V V Anisovich: Quark model and QCD KFKI-1989-33/G L Szabados et at.: Comparison of experimental results on the PMK NVH stand in case of 7 4% hot and cold leg breaks (In Hungarian)
KFKI-1989-34/A T Csörgő el al.: Fragmentation of target spectators in ultrarelailvisiie heavy ion collisions KFKM989-35/C E. Merényi et al The landscape of comol Halley KFKI-1989-36/C K. Szegő: Р/НаНеу the model comet. In view of the imaging experiment aboard the VEGA spacecraft KFKI-1989-37/K S. Deme et al Reliability of real time computing with radiation data feedback at accidental release KFKt-1989-38/Q,l P. PeMonisz et al.: Interpretation of acoustic emission signals to the evalu ation of pressure tests, (in Hungarian) KFKM989-39/Q A. Péter: Experiments on acoustic emission detectors, (in Hungarian) KFKI-1989-40/A S.I. Bastrukov et al.: Fluid-dynamics of the nuclear surface Fermi layer K F K M 989-41/D D HHdabrandl et al.: impurity flux collection at the plasma edge of the tokárnak MT 1 KFKI-1989-42/1 L. Cser et al.: Monte Carlo modelling for neutron guide losses KFKM989-43/e L. Perneczky et al SB LOCA analyses for Paks NPP. 7.4% hot leg break without SITs in action, (in Hungarian) KFKI-1989-44/G L. Szabados et al.: 3.5% cold leg brak without SITs in action, (in Hungarian) KFKI-1989-467A V.Sh. Gogokhia: Gauge invariant, nonperturbative approach to the infrared finite bound state problem In QCD KFKI-1989-46/0 S Lipcsei el al.: Studies on vibration of fuel rods. I. Mechanical models of vibration of fuel rods in PWRs. (in Hungarian)
Kiadja a Központi Fizikai Kutató intézet Felelőt kiadó: Qylmetl Zoltán Szakmai lektor: Lux Iván PéWányszám: 62 Törzstzám: 60-362 KétzüN a KFKI sokszorosító üzemében Felelős vezető: Qonda Péter Budapest, 1989. szeptember hó
