I Hungarian Academy of Sciences

KFKI-1990 63/G

RÁCZ A.

A PAKSI ATOMERŐMŰ TÁPVÍZRENDSZERÉNEK FORGALOMMÉRÉSÉBEN ELŐFORDULÓ HIBA KORAI FELISMERÉSÉRŐL

I Hungarian Academy of Sciences CENTRAL RESEARCH INSTITUTE FOR PHYSICS B U D A P E S T

1№ Кс&еуСК)

Г KFKI-1990-63/G PREPRINT

A PAKSI ATOMERŐMŰ TÁPVÍZRENDSZERÉNEK FORGALOMMÉRÉSÉBEN ELŐFORDULÓ HIBA KORAI FELISMERÉSÉRŐL

(Az OKKFT G-11-es számú munkafeladatról készült kutatási jelentós) RÁCZ A. Központi Fizikai Kutató Intézet 1525 Budapest 114, Pf. 49

HU I8SN 0368 5330

Ráez A.: Tanulmány a paksi atomerőmű tápvízrendszerének forgalommérésében előforduló meghibásodás kimutatására. KFKt 1990 63/G KIVONAT A dolgozat kót. Kálmán szűrők használatára épülő eljárás alkalmazhatóságát vizsgálja a tápvízrendszerbeli forgalommérés megbízhatóságának ellenőrzésére. A tápvízrendszer viselkedésének leírására kidolgozott modell helyességót valós mérési adatok alapján teszteli. A lehetséges meghibásodásokat szimulálva bemutatja az alkalmazott eljárás hatékonyságát. Végezetül felvázolja a gyakorlati megvalósíthatóság иду módját Is.

<ЛРац: Обнаружение неисправностей в измерении расхода питательных систем в АЭС Пакш. KFKI-1990-63/G АННОТАЦИЯ Б отчете обсуждаются два метода, основанные на фильтрах Кальмана, служащие для проверки надежности измерения расхода. Тестирование производится на основе расчетных данных, получаемых из реальных измерений. Эффективность метода демон­ стрируется симуляцией всевозможных неисправностей. Наконец, даются практические советы по применению денного метода.

,

о| 4 W

" Р А ^ Л O u t i b a / ^Ov*ef Pitíbt^í i t u i » ^

A. Ráez: Instrument failure detection of the Mtitd} flow measurement In the feedwater system» of Paks NPP. KFKI 1990 63/G ABSTRACT The applicability of two different methods for early detection of instrument failures of theiHttWfflow measurement i n / feedwater systemiare investigated. Both methods are based on Kaiman filtering technique of Stochastik processes The reliability of \he model for description of a feedwater system is checked by comparing calculated values 4ovrneasured data. Possible instrument failures are simulated in order to show the capability of the proposed procedures. F4nally-wo auyyoai hew tu uullü up Ow uysism In praotieo. A praH-
TARTALOM

BEVEZETÉS

3

1. ÁLLAPOTLEÍRÁS, ELŐREJELZÉS A dinamikai rendezer és a mérési folyamat Sztochasztikus folyamatok Diszkrét rendszerek A Kálmán szűrő

5 5 6 8 10

2. HIBAJELZÉSI MÓDSZEREK Funkcionális redundancia A log-likelihood módszer

12 12 15

3. TÁPVÍZRENDSZER, FORGALOMMÉRÉS Mérőpontok a tápvízhálózatban A mérés modellezése A dinamikai modell

17 19 20 23

4. A KÁLMÁN SZŰRŐ INICIALIZÁLÁSA Valósadatok Az empirikus várhatóértékek A korrelációs mátrixok Függetlenség ellenőrzése 1

•

.

24 24 26 26 30

& A KÁLMÁN SZŰRŐ ELLENŐRZÉSE A modellezett forgalom A konvergencia gyorsítása

32 32 38

6. EGY MÁSIK MODELL Módosított dinamikai modell

40 40

7. A HIBAFELISMERÉS PRÓBÁJA Redundanciára épülő eljárás Az áltplánoeított log-likelibood módszer próbája

41 42 47

8. MEGVALÓSÍTÁSI JAVASLAT

50

fl. JAVASLATOK TOVÁBBI KUTATÁSI IRÁNYRA

55

ÖSSZEFOGLALÁS

58

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁSOK

59

FELHASZNÁLT IRODALOM

59

2

Mottó: ... elég annyit tudni, hogy... a víz nem áll meg kupacban.

BEVEZETÉS

A tanulmány célja, hogy a paksi erőmű szekunder körében a tápvíz forgalomméré­ sére használt mérőperemek esetleges meghibásodásrt analitikus módszerekkel kimutassa. Minden mérés eleve pontatlan, ezt a pontatlanságot részben a használt detektor, illetve a hozzá kapcsolt kiszolgáló berendezések pontatlansága okozza. Ezek a pontatlanságok a mérési eredmények kiértékelése során korrekciókéntfigyelembevehetők, mérsékelhetők. Egy másik fajta pontatlanságot a mindenütt jelen levő zaj okoz. Elektronikus úton, illetve az adatok statisztikus elemzésével azonban a zaj okozta pontatlanság is kezelhető. A dolgozatnak лет célja a fent emiitett pontatlanságokat hibaként kezelni. Feladatunk лет valamiféle méréskiértékelés, legalábbis nem abban az értelemben, ahogyan azt az előbb említettük. A tanulmány szóhasználatában a hibás mérés a mérőberendezés (detektor és a tartozékok) hirtelen, előre nem jelezhető, váratlan meghibásodását jelenti. Ennek gyakorlati következ­ ménye, hogy az ilyen berendezés szolgáltatta eredmény hamis, nem tükrözi a valóságos állapotokat. Amíg csak a zaj, torzítás,... okoz a valós értéktől eltérést, és erre az eltérésre ismert (akár tapasztalatból, akár elvi megfontolásokból) a korrigálás módja, a berendezést hibátlannak tekintjük. A dolgozatban az AtomerSművi érzékelők meghibásodásának detektálása és azonosí­ tása szűrőelméleti alapon című [2], 1989-ben készült OKKFT tanulmány általános ered­ ményeit fogadjuk el kiindulási alapnak. Jelen munka tehát a tavalyi kutatási eredmények egy gyakorlati alkalmazása, így az abban megkezdett kutatás folytatása is egyben. Néhány szót a dolgozat felépítéséről. Mivel célunk az, hogy jelen munka önállóan is ol­ vasható (és ami a lényegesebb, érthető, követhető) legyen, ezért a tavalyi munka leglé­ nyegesebb, legszükségesebb összefüggéseit az 1. Fejezetben röviden összefoglaljuk. Az [2] A teUcs szöveg így hangzik [1]: „A gépészeknek áramlástanból elég annyit tudniuk, hogy » viz nem folyik felfelé, éa nem ül meg kupacban."

3

dolgozatban javasolt hibefelismerő módszer szinte mindenféle elvi változtatás nélkül alkal­ mazható a jelen feladatra. Az 1. Fejezetben tehát először röviden összefoglaljuk a [2] munka leglényegesebb ré­ szeit, következtetésest. Itt említjük meg a rendszer állpotának, illetve a mérési jeleknek becslésére szolgáló algoritmust, a Kálmán szűrőt. A 2. Fejezet a hibafelismeréssel foglalkozik. Feleleveníti a már ismertetett eljárásokat, az analitikus redundancia valamint a log-likelihood módszerét ismerteti. A dolgozat célja a reaktor tápvízrendszerének forgalommérésében fellépő meghibásodás kimutatása. A részegységek (fizikai) modelljét ismerteti a 3. Fejezet. Az elvi megállapítások persze nagyon szépek, de mit sem érnek, ha a gyakorlattal nem hoz­ hatók összhangba. Addig, amíg a [2] OKKFT tanulmány általános következtetéseit olyan modellen szemléltethettük, ami nem egy konkrét, működő egységet szimulált, jelen munka kijelentéseit konkrét mérést eredményekkel vethetjük össze. Sőt, ez nemcsak egy lehető­ ség, hanem kötelesség is. Csak így ellenőrizhető, hogy a választott modellünk tükrözi-e a modellezett folyamatot. Mivel az alkalmazott hibafelismerő módszerek a rendszer állapot­ vektorának Kálmán szűrővel történő becslésén alapulnak, ezért először is a i. Fejezetben valós mérések elemzésével megmutatjuk, hogyan határozhatók meg a szűrő szükséges pa­ raméterei. Az 5. Fejezetben belátjuk, hogy a rendelkezésünkre álló mérési eredmények és az alkalmazott Kálmán szűrövei szimulált eredmények összhangban vannak. Itt tárgyaljuk a szűrés pontosságának az eldönthetőségét, valamint a tanulási periódus (ami alatt a becslés hibája minimalizálódik) lerövidíthetőségének lehetőségét. Ez utóbbi eredményt az eljárás gyakorlati megvalósítását ismertető részben használjuk majd fel. Külön kitérünk arra a kérdésre, milyen más modellel lehetne még leírni a forgalommé­ rést. Egy másik lehetőséget, ami első pillanatban alkalmasabbnak látszik, a 6. Fejezetben részleteiben is megvizsgálunk, (majd el is vetünk.) A hibadetektálás kérdését a 7. Fejezet tárgyalja; javaslat teszünk a használandó kü­ szöbértéke nagyságára is. Jelen munkának az я célja, hogy bemutasson egy, a forgalommérés során előforduló mérőberendezés- meghibásodás korai felismerését szolgáló eljárást. A 8. Fejezetben össze­ foglaljuk, hogy az általunk javasolt módszer gyakorlatban történő kiépítése hogyan tör­ ténhet. Ez a rész elsősorban a mir elhangzottakat rendszerezi, teszi (reményűnk szerint) áttekinthetővé. Rámutatunk egy nagyon ígéretes lehetőségre is, nevezetesen arra, amikor ugyan a mé­ rőberendezések hibátlanul működnek, a tápvízrendszerben viszont valahol szivárgás van; ennek a kimutatására vonatkozó javaslatunkat a 9. Fejezetben vázoljuk fel. Ugyanitt felhív­ juk a figyelmet egy másik megközelítési lehetőségre, az ismétlődő hibatesztelés módszerére [8], mely tavaly még nem ált rendelekezésünkre, és ami az [2]-beli eljárás továbfejlesztése, feljavítása. Javaslatként felvetjük ennek a lehetőségnek a vizsgálatát az esetleges gyakorlati megvalósíthatóság szempontjából. A 10. Fejezetben azokat a megállapítások, eredményeket gyűjtjük egybe, amelyekkel menet közben már talákoztunk,de a konkrét feladathoz közvetlenül mégsem kapcsolódtak, esetleges további kutatási irányt jelölhetnek ki. 4

Itt szeretnénk szólni a dolgozatban közölt ábrákról pár szót. Attól a néhánytól el­ tekintve, amely ténylegesen is egy ábra (tehát pl. egy méróperem, vagy a szekunder kör egy részének sematikus rajza), az ábrák függvényeket mutatnak. Ezek legtöbbje idősor. Szeretnénk azt hinni, hogy az ábrák valóban hordozzák azt az információt, amit a szerző általuk kifejezni óhajtott. Amennyiben igen, ez elsősorban annak a fantasztikusan jól si­ került programcsomagnak [9] köszönhető, amelynek a segítségével készültek, és amelyet az alkotója, Kiss Sándor, minden féltétel nélkül, maximális ae&itőkészséggel bocsátott a ren­ delkezésemre. A legkevesebb, amivel ezt viszonozni tudom, hogy ezt a tényt megemlíteni. (Ez itt a reklám helye.)

1. ÁLLAPOTLEÍRÁS, ELŐREJELZÉS

Ebben a részben azokat a legszükségesebb fogalmakat tekintjük át, amelyekre a ta­ nulmány további részében szükségünk lesz. Mint azt a Bevezetőben elmondtuk, célunk az, hogy jelen dolgozat önmagában is használható legyen, ezért igyekszünk minden olyan fogalmat tisztázni, amiről úgy gondoljuk, hogy ismeretlen (lehet). Másrészről így egycsapásra deßnialjuk is a definiálandókat. Amennyiben mégis maradtak homályos részek a leírásban (ami egyértelműen a szerző hibája) javasoljuk a [2] munka fellapozását, illetve az Irodalomjegyzékben felsorolt müvekkel való konzultációt [3-5].

A dinamikai rendszer és a mérési folyamat

Feltesszük, hogy egy adott fizikai rendszert véges számú (legyen N) mennyiséggel le tudunk írni, azaz adottak az JV mennyiség időbeli változását megszabó (differenciálegyen­ letek. Jelöljék ezen időfüggő mennyiségeket az Xi(t) un. állapotváltozók, melyeket a cél­ szerűség kedvéért egy x(<) véges dimenziós (N) oszlopvektor, az ún. állapotvektor kompo­ nenseinek tekintünk.

«0-

:

(1.1)

\*N(Í)

Nem célunk az általánosítás, ezért csupán azt az esetet nézzük, amivel a későbbiekben találkozunk; a lineáris rendszereket. Tekinthetnénk rögtön a diszkrét, lineáris rendszere­ ket is, de a legtöbb esetben a fizikai megfontolások az alapegyenleteket először folytonos formában írják elő, és csak utána diszkretízáljuk. Foglalkozzunk tehát a folytonos, lineáris rendszerekkel. Az x(t) állapotvektor váltó5

sását írja le az

x(í) = A(0x(0 + B(0u(<)

(1.2)

egyenlet. A még nem definiált változók a következők (a továbbiakban ezen mennyiségeket adottaknak tételezzük fel): x(<) : Az x(t) állapotvektor időderiváltja A(t) : Állapotmátrix N x N dimenziós B(t) : Kontrollmátrix N x L dimenziós u(<) : Kontrollvektor L dimenziós oszlopvektor A B(t)u(<) mennyiség jelenti a külső hatást, míg az A(t) állapotmátrix a magárahagyott rendszer időváltozását szabja meg. Különféle okok miatt (amiket itt nem tartunk szükségesnek részletezni, mindenki kita­ lálhat eseteket, amikor akár elvi akadályok teszik lehetetlenné, akár gyakorlati szempontok akadályozzák) az x(<) állapotvektor nem minden komponense mérhető, illetőleg előfordul­ hat ndott komponensek bizonyos kombinációja is, mint mérési eredmény. Tegyük fel, hogy az (1.2) egyenlettel leírt rendszemek adott t időpontban ismerjük M számú mérési jeléi. Hasonlóan, mint az állapotváltozók esetében, itt is célszerű sorvektorba elrendezni a mérési jeleket, így előállítva egy M dimenziós y(í) mérési jelvektort:

m

(1.3)

A mondottak értelmében egyáltalán nem szükségszerű, hogy az JV és az M dimenzió­ számok megegyezzenek, és az sem, hogy minden y,(f) mérési jel különbözzön. Megegyező komponensek esetén beszélünk detektorredundanciáról. Transzformálja H(f) ún. mérési vagy másként megfigyelési mátrix az x(t) állapotvéktort az y(t) jelvektorrá. Feltesszük, hogy H(t) transzformáció ismert. y(t) = H(t)x(í)

(1.4)

Előfordulnak olyan modellek is, ahol a fenti egyenlettel megadott mérési folyamatban is feltételeznek egy, az (1.2) dinamikai egyenlet B(i)u(i) tagjának megfelelő külső tagot. Mi ettől eltekintünk, de felhívjuk az olvasó fegyelmét arra, hogy figyelembe vétele minden nehézség nélkül elvégezhető a szűrőegyenletekben (lásd jelen fejezet második felét) Ш. ennek alapján a hibafelismerő eljárások (lsd. 3. Fejezet) során.

Sztochasztikus folyamatok Nem mondtuk ki ugyan expliciten, de (1.1) - (1.4) formulák a (folytonos, lineáris) dinamikai rendszer determinisztikus leírását jelentik. Hiszen adott (amint azt feltételez­ tük) állapotvektor és külső erő (gerjesztés) mellett, tetszőleges kezdeti feltételek esetén

6

(1.2) differenciálegyenletnek van egyértelmű megoldása, csakúgy, mint (1.4) megyfigyelési utasításnak. Valóságos rendszerekre azonban a fenti modell gyakran nem alkalmazható. Egyik kor­ lát lehet a nemlinearítás, amivel most nem kívánunk törődni. Fordítsuk inkább azon esetek feléfigyelműnket,amikor a determinisztikus szemléletűnk nem tartható továbbra is fent. (Nem fogunkfilozofálni,elég lessz a józan ész is.) Nagyon sok fizikai folyamat van, amelyek önmagukban sem tekinthetők determinisztikus folyamatoknak. (Gondoljunk pl. valamilyen rádióaktív bomlásra.) Az átlagérték (várható­ érték) hosszú időtartamra vett változását leírhatja determinisztikus összefüggés, de adott időpillanatra vonatkozóan csak statisztikus kijelentéseket tehetünk, a jelenlévő fluktuációk miatt. Hasonló helyzetbe kerülünk, ha a mérési folyamatot vizsgáljuk. Ha ismernénk is adott pillanatban pontosan az állapotvektort, a mérés során felépő zaj miatt nem tudnánk előre meghatározott jelet kapni. Természetesen, ha tudjuk, milyen tulajdonságú a terhelő zaj, statisztikát tudunk készíteni, ki tudjuk átlagolni a zaj okozta járulékot, de mindezekkel az eszközökkel együtt sem tekinthetjük (nyugodt szívvel) a mérést (ill. a megelőző gondolat alapján a dinamikát) determinisztikusnak. Azt látjuk tehát, hogy determinisztikus rendszerek helyett mind a dinamika, mind a mérési folyamat során valódibb modellhez jutunk, ha sztochasztikus rendszernek fogjuk fel a dinamikai ill. mérési modellt. Amit az előző bekezdésben pár szóban elmondtunk, természetesen távolról sem jelenti bármi/yen definícióját a sztochasztikus folyamatoknak. De még bevezetőjét sem a problé­ mának. A sztochasztikus folyamatokkal foglalkozó igen kitűnő munkákat soroltunk fel az Irodalomjegyzék jelen Fejezethez kapcsolódó részében [3, 5]. Legegyszerűbb eljárásként az (1.2) dinamikai egyenletben egy w(í), az (1.4) mérési modellben egy v(t) additív tagon keresztül vehetjük figyelemben a működő nem-determi­ nisztikus avagy véletlen jelleget. x(t) = A(f )x(f) + B(r)u(t) + w(t) y(í) = H(í)x(f) + v(<)

(1.5) (1.6)

A két zaj legyen korrelálatlan, zéró várhatóértékű, gbuss-i fehér zaj, az alábbi egyenletekkel meghatározott kovarianciamátrixszal: (v(<)) И«)) '(v(i,),v(t )} (v(t,),v(t )) <w(t,),w(t )) 3

2

3

= = = = =

(•) jelöli a sokaságra vett átlagot.

7

0 0 0 R(t)í(< -r ) Q(<W
2

(1.7) (1.8) (1.9) (1.10) (1.11)

Ezzel teljesek a dinamikai (1.5) és a mérési modellt (1.6) leírófolytonos,sztochasztikus, lineáris egyenletek.

Diszkrét rendszerek Mielőtt rátérnénk a Kálmán szűrőt ismertető részre, tegyük teljessé az eddig elmon­ dottakat a diszkrét (lineáris, sztochasztikus) rendszerekre vonatkozó ismeretekkel. Nagyon röviden áttekintjük, hogyan lehet a folytonos modellekről áttérni a diszkrétekre. A felhasználásra való tekintettel természetes igény, hogy diszkretizáljuk a leíró modellt. Hiszen még egy folytonosan mennyiséget is csak diszkrét időegységenként tekintünk meg, mintavételezünk, hasonlítunk össze más értékekkel, ezért pazarlásnak tűnhet eleve nem diszkrét folyamatokkal dolgozni. Megtehetnénk, hogy folytonos mennyiséget számo/unk, majd ebből kihasítunk adott időpontban értéket, de így felesleges munkát végeztünk. Nem akarjuk tovább szaporítani a szót, vélhetően könnyen elfogadható, hogy vannak esetek, amikor kézenfekvő eleve diszkrét leírásból kiindulni. Mérjük az időt t = t„ kezdőponttól, és legyen az időtengely felosztása egyenlő közű, Af intervallumhosszal. Ekkor a Jt-dik pillanatban t - % + kát k

к = 0,1,2,...

0

(1.12)

Nem okoz félreértést, ha csak a „sorszámot" tartjuk meg az időváltozóban, és pl. /(?*) helyett egyszerűen /(&)-t írunk. A továbbiakban ezzel a könnyebbséggel élni is fogunk. Megmutatható (ez egy kicsit fellengzős megfogalmazása annak, amit mindenki tud egyelőre csak a közönséges differenciálegyenletekről, majd egy kicsit később a Laplace transzformációról), hogy (1.2) dinamikai egyenlet megoldása, x(< ) kezdeti feltételhez: 0

x(f) = Ф(г - í )x(t ) + / Ф(< e

e

T)BU(T)<ÍT

(1.13)

Jt.

ahol bevezettünk egy új mennyiséget, а Ф(<) ún. állapotfejlesztő operátort, amely a korábbi A(r) állapotmátrixszal a következő kapcsolatban van (definíció szennt): Ф(г) s exp{A<}

(1.14)

Az egyelőre ne aggasszon minket, hogy (1.14) kifejezés esetleg praktikus szempontból nem mindig használható, és tételezzük fel, hogy ismerjük Ф(*) mennyiséget. (Nem maradunk sokáig adósak a kiszámolásával sem.) Ha pedig Ф(г) adott, akkor a gerjesztés hatását leíró konvolúciós tag (1.13) egyenletben szintén ismert. Csak egy lépésre vagyunk a végcéltól, » diszkrét alaktól. Határozzuk meg а к + 1 -dik időpontbeli állaptvektort, ha ismert annak к -dik időpontbeli értéke, azaz határozzuk meg az egymást követő lépésekben az x értékét. Használva a következő jelölést *(k + 1 , k) = *(t

- t ) = ехр{АД<}

k+i

k

8

(1.15)

az állapotfejlesztő operátorra, (1.13) egyenletből az alábbi adódik: x(k + i) = Ф(* + 1 , k)x(k) + /

Ф ( . , - r)Bu(T)dr 1н

(1.16)

Mivel a külső gerjesztést leíró Bu tag ismert, és (elvben) már ismerjük Ф mátrixot is, a fenti egyenlet második, konvolúciós tagja is számítható. Feltéve, hogy az integrálást elvégeztük, jelölje a kiszámított értéket B(Jb)u(fc) diszkrét gerjesztési tag: B(*)u(*) = /

Ф(<* 1 - r)Bu(r)A+

(1.17)

A megfigyelési modellel, mivel az egy közönséges lineáris transzformáció, nincs gondunk, csakúgy, mint a w és v zaj-járulékokkal. Végeredményül kapjuk, tekintetbe véve (1.7) (1.11) tulajdonságokat: x(* + 1) = y(*) = M*)) = <w(*)) = (v(*),v(/)) =
ф(* + 1 ,fc)x(Jb)+ B(*)u(ik) + w(ib) H(*)x(fc) + v(*) 0 0 0 R(*)* Q(*)* w

w

(1.18) (1.19) (1.20) (1.21) (1.22) (1.23) (1.24)

Ezen egyenletekkel teljes a rendszerűnk és a mérési modellünk leírása, zajos dinamikai és megfigyelési modellek esetében. Röviden kell még szólnunk а Ф(<) mátrix meghatározásáról. Amennyiben (1.14) ki­ fejezésben az exponens kicsi, célszerű közvetlenül használni (1.14)-et, azaz i.éhány tagot meghatározni a hatványsorból, és azzal közelíteni а Ф mátrixot. Ha ez az út nem járható, még mindig bőséges választék [4] áll rendelkezésűnkre (pl. Jordánmódszer, Transzformációs módszer stb.) Mi az utóbbit használjuk, mindenféle különösebb elvi ok nélkül, egyszerűen ez tűnt szimpatikusnak (még ha ez a nem is túl „tudományos" szempont). A transzformációs módszer a megoldást a differenciálegyenletek körében kedvelt eljárással, Laplace-transzformációval keresi meg (innen az elnevezés), majd második lépésben az in­ verz Laplace-transzformáció végrehajtásának nehézségeit átruházza egy polinom gyökeinek megkeresésére. A szükséges formulák: Legyen a Laplace-transzformáció paramétere s, és jelölje I az egységmátrixot. Ha C~ jelöli az inverz Laplace-transzformációt, akkor az állapotfejlesztő mátrix tetszőleges komponen­ sét az alábbi kifejezés adja meg [4] x

•м(*)-^М(Л-А)Й} 9

(1-25)

Egy inverzmátrix eleme kifejezhető két polinom hányadosával, egy hányados inverz Laplace-transzformáltja pedig exponenciális függvények véges soraként írható, végered­ ményben (1.25) egyenlet helyett kapjuk:

Fe.4 formulában 'P'^i»}) jelöli az adjungált mátrix i,k elemét megadó polinomot, ahol az éj a polinom j'-dik gyöke (s a Laplace-paraméter). Hasonlóan V^ (sj) polinom utal a determináns polinommal való kifejezésére [10] Fenti, (1.26) alak csak egyszeres gyökök esetében használhatók. Többszörös gyökök eseté­ ben sem sokkal bonyolultabb az élet, csak akkor előbb a hányadost pardáJis törtekre kell bontani. Ez, bár egy kicsit munkásabb, de működő módszer. (Részletesebb ismertetése a fenti módszernek a [10] munka Függelékében található.) Megmutattunk egy módszert, amivel az A(t) állapotmátrixból meg tudtuk határozni a Ф(<) állapotfejlesztő mátrixot. A két mennyiség között sok lényegi különbség nincs, ez érez­ hető az elnevezések hasonlóságából is. A két mennyiség tulajdonságainak rövid ismertetése fellelhető [4] munkában. Láttuk tehát, hogyan végezhető el egy folytonos, lineáris állapotegyenlet diszkrét alakra hozatala. Ennek az a jelentősége, hogy a fizikai modellt általában differenciálegyenletek formájában tudjuk felírni, gyakorlati szempontból viszont elegendő a diszkrét alak is. Ezért kell tudnunk, hogyan juthatunk el a folytonos alaktól a diszkréthez. Ezt az átmenetet most bemutattuk. et

A Kálmán szűrő Feltételezzük, hogy a dinamikát és a mérést leíró egyenletek (1.18) és (1.19) alakúak, a jelenlevő zaj pedig (1.20) - (1-24) tulajdonságú. Tekintsük a következő problémát. Hogyan határo/ **~ meg adott к időpontban az x(k) állapotvektor? Ha a rendszer determinisztikus le. , JS ismernénk az x(0) kezdőfeltételt, akkor (1.18) egyenletből (mivel feltettük, hogy a rendszer determinisztikus, azaz w(fc) = 0) a megoldás lépésről lépésre adódik. Hasonlóan, determinisztikus megfigyelési modellt kikötve, y(fc) jelvektor is egyértelműen megadható. Azt viszont már beláttuk, hogy deteiminisztikus leírással nem sokra megyünk, a zaj­ tagokat ßgyelembe kell vennünk. A feladat viszont továbbra is marad ugyanaz; hogyan határozható meg a sztochasztikus állapotvektor, ha ráadásul még azt is emlékezetünkbe idézzük, hogy az állapotvektorról csak közvetve, az у jelvektoron keresztül kaphatunk ínformációt, és még ez a jel is zajos. A kérdésre az egyik lehetséges válasz a Kálmán szűrő. Ez egy matematikai algoritmus, amely zajos sztochasztikus rendszerekre adja meg az állapotvektor optimális, lineáris becs­ lését, ismerve a becslési időpont előtti időkre vonatkozó valamennyi mérési eredményt. A 10

lineáris jelző utal arra, hogy a becsült állapotvektor a mérési jelek linárkombinádója, míg az optimális kifejezés arra, hogy a négyzetes becslési hiba minimális. Jelölje x(fc) az x(Jfc) állapotvektornak a fenti értelemben vett becslését. Az x(Jfc) becslési hiba ekkor x(k) = x(Jb)—x(k). A Kálmán szűrő két részből áll, egy prediktor valamint egy korrektor tagból. A predikciós rész az állaptegyenlet alapján az adott Ф mátrixot használva, az előző időpontban érvényes becslési értéket fejleszti tovább egy lépéssel. A zaj jelenléte miatt ez az egy lépéssel előre becsült érték még nem lesz optimális (a mondott értelemben), ezért ezt korrigálni kell. A korrekció megtételékez fel kell használnunk а к -dik időpontra vonatkozó mérési eredményt. Az új mérés azonban nem hordoz csupa új információt, hiszen a modell fő jellegében megmarad determinisztikusnak, azaz nagy vonalakban ismert a rendszer fejlődése (főleg egymásra kővetkező lépésekben). A korrekciót tehát a mérésből adódó £(fc) új információt kinyerve tudjuk elvégezni. Ennek a^ új információnak a neve innováció, és az elmondottak alapján a kővetkező formula definiálja: £(*) = y ( * ) - y ( * )

(1.27)

Itt is, csakúgy, mint az állapotvektor esetében, a „kalap" a változó becsült értéket jelöli. A korrekciós tagban szereplő innovációt az ún. Kálmán-féle járulék súlyozza. Formulákba öntve az eddigieket, előállnak a Kálmán szűrő ismert [2,5] rekurzív egyen­ letei (Nem hisszük, hogy a fenti pár mondatos ismertetés elegendő lenne arra, hogy olyan olvasót, aki most ismerkedik a Kálmán szűrővel, kellően tájékoztasson. De eligazodást ad­ hat.) A szűrés: Щ) = x(fc - 1) + K(fc){y(fc) - Н(*)[Ф(*, Jfc - l)x(Jfc - 1 ) + B(Jk)u(fc)]}

(1.28)

A Kálmán féle járulék: r

T

K(Jfc) = V*(Jb, Jfc - l)H (Jk) x [Щк) + H(*)V*(*, к - 1 ) H ( * ) ]

_1

(1.29)

Az a priori kovariancia algoritmus: T

V (fc + 1, *) = Ф(* + 1, k)V (k)i (k Ä

k

+ 1, k) + Q(jfe)

(1.30)

Az a posteriori kovariancia algoritmus: V*(Jk) = [I - K(fc)H(fc)]V*(fc, к - 1)

(1.31)

Ahhoz, hogy a rekurzió elindítható legyen, a következő kezdőfeltételekre van szükség: x(0) = (x(0)) V (0) = <x(0)) á

11

(1.32)

Megkaptuk a sztochasztikus rendszer optimális, lineáris becslését megadó algoritmust, a Kálmán szűrőt. Tisztában vagyunk azzal, hogy az ismertetés korántsem teljes, és számos diszkutálniyaló maradt még hátra. Itt azonban pont fordított szempontot érvényesítünk, mint amit a folytonos rendszer - lineáris rendszer közötti transzformációnál szerepelt. Ott azért hoztuk előre a módszer ismertetését, hogy ne tőrjük meg később szükségtelenül a tárgyalást. És ez így igaz, hiszen jelen munkának nem az a feladata, hogy megtanítsa az olvasót „ diszkrét izálni", hanem az, hogy különfé hibafelismerő lehetőségeket soroljon fel, konkrét alkalmazás szintjén. A lényeg viszont az, hogy a hibafelismerés elvét jól el tudjuk mondani, az pedig adott helyen úgyis megköveteli a Kálmán szűrő (szükséges) tulajdonságainak felsorolását. Itt elvégezve ezt a felsorolást, elsikkadna a jelentősége, és úgyis meg kellene ismételni. Az pedig azért már túlzás lenne. Ezen fejezetet azzal a jóleső érzéssel zárhatjuk, hogy van zajos, diszkrét modellünk, ami kitűnően illeszkedik valós rendszerekhez van egy szűrési algoritmusunk, amivel az előbbi rendszer állapotvektorát tudjuk meghatározni, és egy ígéretünk, hogy mindez valahogyan hasznos is lesz. Ezt a „valahogyan -t konkretizálja a következő fejezet. n

2. HIBAJELZÉSI MÓDSZEREK

Ebben a részben két, többé-kevésbé különböző hibadetektálási eljárást ismertetünk, a funkcionális redundanciát valamint a log-likelihood módszerét. Ezekről csak az átismétles szintjén szólunk, lévén azokat [2] részletesen tárgyalja. Detektormeghibásodás alatt nemcsak egyszerűen egy rossz detektort értünk, hanem általában bárhol, a mérés során bekövetkező, hibás jelet előidéző eseményt Ez tehát le­ het ténylegesen a detektor hibája, de lehet a mérőlánc elektronikájában, a kijelzőben stb. azaz akárhol bekövetkező meghibásodás. De rövidebb egyszerűen detektormeghibásodásról beszélni. Feltehetően felesleges részletezni, miért kerülendő bármiféle detektorhiba. Nem is rész­ letezzük, hanem rögtön a lényegre térünk.

Funkcionális redundancia Az egyik „legősibb" hibabehatárolás az ún. detektorredundancia. Ez nem más, mint a mérőrendszerek fizikai megsokszorozása. Azaz nemcsak egy hőmérőt lógatunk bele a vízbe, hanem legalább hármat. De ez az eljárás költséges, háromszor annyi hőmérő há­ romszor annyibakerül (körülbelül). Ráadásul, ha valamelyikről bebizonyosodik, hogy rossz, 2

3

На csak kettőt használnánk, rosszabbul járnánk, mintha csak egy jelűnk lenne, mert eltérés esetén

12

menthetetlenül Ja kell cserélni, ami megint költség, munkaidő, esetleges termeléskiesés, és mindenki tudna még érveket sorolni. Természetesen még mindig vannak olyan kritikus mérések, amikor akármennyire is megbíz­ ható az alkalmazott technika, használják a detektorredundandát. Az ilyen túlbiztosításra alkalmanként természetesen szűkség van, de ahol lehet, érdemes megvizsgálni alternatív lehetőségeket is, mint amilyen a következő is. Több detektor alkalmazása egy kényszer eredménye, mégpedig annak a kényszernek, hogy ha több jelre van szükségem ahhoz, hogy ezeket egymásshoz hasonlíthassam, ahhoz több detektort is kell használnom. Ez az állítás revízióra szorul; mesterségesen is elő lehet állítani redundáns jeleket, amint azt azonnal látni is fogjuk. Erre a „mesterségességre" utalóan nevezik az eljárást analitikus avagy más néven funkcionális redundanciának. Tegyük fel, hogy afc-dikpillanatban el szeretnénk dönteni y(fc) jelvektorról, hogy igaze (ami alatt hibátlanul működő mérőberendezést értünk). Ha elő tudnánk állítani у(Ár) valamilyen becsült értékét úgy, hogy maga a becslés y(fc)-tól független, akkor a becsült és a valódi, (azaz a mért) jelet összehasonlítva, eldönthetjük, hogy egyeznek-e. Ha igen, akkor nem történt meghibásodás, azaz a mért jel igaz. A mikor azt mondjuk, hogy a két jel egyezzen meg, ezalatt nem azonosságot értünk, hiszen ezt nem lehet megkövetelni a folyamatok sztochasztikussága miatt. Egy lehetőségként említjük, hogy ha pl. a két érték különbségének abszolút értéke valamilyen határ alatt marad, akkor a két jel azonosnak tekinthető. Esetleg egy másik lehetőség, hogy a mért jel a becsült jel körül egy adott sávban marad (ez gyakorlatilag ugyanaz a feltétel, mint az előbbi). A lényeg az, hogy találjunk egy olyan eljárást, ami a szükséges becslést tudja szolgáltatni. Nem véletlen, hogy az 1. Fejezetben a Kálmán szűrővel foglalkoztunk, ugyanis éppen ez lesz a számunkra alkalmas eszkőz a jel becslésére. Afigyelmesolvasó most joggal ellenkezhetne, mondván, hogy a Kálmán szűrő formuláiban nem a mérési jelet, hanem az állapotvektort becsültük a mérési jelek alapján. Ez tökéletesen igaz, de ismerve a H(&) transzformációs mátrixot, y(*)=H(*)x(*)

(2.1)

összefüggés alapjati a becsült állapotvektorból a becsült jelvektor megkapható. Látszó­ lag most még nagyobb bajba kerültünk, mint az előbb, mert az állapotvektor becsléséhez {elhasználtuk a jelvektort (lsd. (1.28) szűrőegyenletet). Az ellentmondást az ún. hangolt Kálmán szűrő megalkotásával oldhatjuk fel. Legyünk szc 'nyebbek, és elégedjünk meg az­ zal, ha egyelőre a jelvektornak egy komponensét meg tudjuk vizsgálni. A valóságban úgyis ez történik, a mérési jelek egyetlen objektummá, a mérési jel vektorrá történő összefogása csak matematikai manipuláció. Tűzzük ki tehát célul, hogy pl. az t-dik jelet, yi(k)-t akarjuk tesztelni. Ha a dinami­ kai modellünk és a mérési előírásaink együtt olyanok, hogy ezt a komponenst elhagyva a rendszer továbbra is megfigyelhető marad, akkor megoldható az adott komponens Kálmán (ami a zaj miatt pl. mindig van), nem tudnánk eldönteni, melyik mérés a roeez. Nincs referencia mérésünk. Ellenben ha legalább három jelűnk van, többségi alapon már tudunk dönteni.

13

szűrővel történő hitelesítése. (A megfigyelhetőség pontos definíciójával, és a kritériumaival itt nem kívánunk foglalkozni, ismét csak utalunk [2] munkára, ill. a 7. Fejezetre.) Ennek megértéséhez elég a kővetkező állítás belátása. Ha a szűrőegyenletekben egy adott mérési jel komponenséhez tartozó zaj kovarianciáját a valós értékhez képest szándékosan nagyon nagyra (elvileg végtelenre) választjuk (ezt nevezzük hangolásnak), ennak hatására a szű­ rési folyamatból az adott jel kiesik, de az állapotvektor becslése nem romlik el (feltéve, ha a rendszer e nélkül a jel nélkül is megfigyelhető maradt). Azaz ilyen módon adott komponenstói függetleníthető a becslés. Most térhetünk vissza (2.1) egyenlethez, tölthetjük meg tartalommal, oldhatjuk fel a keletkezett ellentmondásokat. írjuk fel (2.1) egyenletet egyetlen komponensre, yj(fc)ra. Végezzük az állapotvektor becslését erre a komponensre hangolt Kálmán szűrövei. A becsült állapotvektor felső t indexe utal arra, hogy a szűrő az t-dik jelre volt hangolva. y<(*) = Hi(*)x*(*)

(2.2)

Mivel a hangolás eredményeként x*(fc) állpotvektor független lesz yi(k) jeltől, következés­ képpen a becsült yi{k) változó is független lesz a mért jeltől. De akkor van érteimé a kettőt összehasonlítani. Hiszen az yi(k) mérése során bekövetkezett esetleges detektorhiba hatása csak yi(k)-ná\ jelentkezik, j/,(fc)-nál nem. így a két érték összevetése (ami alatt azt értjük, amit nem sokkal feljebb már elmondtunk) információul szolgálhat a hiba előfordulásáról. Ugyanez az eljárás alkalmazható a többi komponensre is, az adott jelre hangolt Kál­ mán szűrökön keresztül. Nagy vonalakban bemutattuk a funkcionális redundancia alapötletét. A módszer vi­ szonylagos egyszerűségének köszönhetően könnyen alkalmazható a gyakorlatban, és ami még mellette szóló nagy előny, hogy azonnali hibafelismerést tesz lehetővé. Hiszen a becsült és mért érték eltérése már a meghibásodás első pillanatában meghalad(hat) egy alkalmasan választott küszöbértéket, így nincs szükség több perióduson keresztül begyűjteni hibásnak tűnő adatokat. A kérdés lényege persze az, hogyan válasszuk meg a küszöbértéket. T\il alacsonyra válsztása hibás, míg túl magasra tétele elmulasztott riasztást eredményezhet. Ha a hibafelismerésre az innovációt használjuk, akkor erre az esetre igazolható, hogy az innováció optimális, lineáris becslésnél zéró közepű, gauss-i fehér zaj, és kovarianciája: ({(k),i(k))

= [R(k) + H(*)V*(* к - Ш Ч * ) ] "

1

f

(2.3)

Amennyiben a dinamikai és mérési modellben szereplő mátrixok időfüggetlenek, az a priori kovarianciát az ún. algebrai Riccati egyenlet adja meg: T

T

!

Т

V = Ф{У* - V * H [ H V * H + Н ] - Н У } Ф + Q ft

А

(2.4)

Mindez csak ötletteremtő, az adott esetre vonatkozóan a legkritikusabb kérdés a helyes küszöbérték megadása. Sok espíb^i semmi más igazán jó eljárás nincs, csak a kísérlet.

14

A log-likelihood módszer A másodiknak ismertetett módszer előnye az analitikus redundanciához képest, hogy meg tudja becsülni a hiba fajtáját valamint amplitúdóját is. Eddig ugyan még nem em­ lítettük, de feltételeztük, hogy kétféle meghibásodás fordulhat elő, úgymint i) ugrásos ii) lépcsős meghibásodás. Ami pedig ennél lényegesebb megkötés az annak feltételezése, hogy adott pillanatban csak egy mérőberendezés lehet hibás. Mivel most egy kicsivel több formulát fogunk felírni, mint a funkcionális redundanciánál, célszerű a hibát egy külön mennyiséggel, az un. hibavelrtorra/ leírni. Ez egy a hibaamplitudóból, és S (&, r) hibamátrix szorzatából áll. A bibaamplitudó fogaimához nincs sok hozzáfűzni való, annál inkább a hibamátrixhoz. Az ugyan egy szerencse, hogy a funkcioná­ lis redundancia real-time hibafelismerést biztosít, de ez általában nem minden módszernél biztosított. Következzen be a hiba r pillanatban, és legyen m

m

»-*'>-{::J; %?:*

<">

ahol I az egységmátrix, 6 a lépcsófüggvény. Az m index adott értékeihez rendelt hibák (bár (2.5) kifejezésből is kiderül) m = 1 lépcsős hiba, m = 2 ugrásos hiba. A jelvektor 6y megváltozása a hiba hatására egyszerűen egy additív tag megjelenésével vehető figyelembe: *y(*) = a S ( * , r ) (2.6) m

m

Némi számolgatás után kiderül [2], hogy az innováció megváltozását megadó összefüggés a következő rekurzív formulával számítható: *£(*) = G (*,r)a G ( * , r) = S (fc, r) - ЩкЩк, к - l ) F ( * - 1, r) F ( * , r ) = [•(*,*- l)F*(ft - l,r) + tf(*)G (fc,r)] TO

m

(2.7) (2.8) (2.9)

m

m

m

m

m

Kezdőfeltételhez úgy jutunk, ha meggondoljuk, hogy к < т időpontokra S£(k) = 0, amit (2.9) egyenletben kihasználva a kővetkező kezdőfeltételt kapjuk a G (fc,r), ill. F (fc,r) mátrixokra: G (*,r) = F (*,r) = 0, к<т (2.10) m

ro

m

m

Ezzel a kezdőfeltétellel a G (fc,r) -ra vonatkozó rekurzió teljes. m

Ahhoz, hogy eldönthessük, történt-e meghibásodás, és ha igen, melyik fajta, a követ­ kező hipotézisvizsgálatot kell elvégznünk [2]. Feltételezve, hogy nincs biba (Z eset), meg kell határozni mind a lépcsős meghibásodás {Z\ eset), mind az ugrásos {Zi eset) feltételes valószínűségének logaritmusát. (A logaritmust csak könnyebbségi okok miatt képezzük.) Jelölje ezt az ún. log-likelíhood arányt l (k, r). 0

m

l (k,T) = \og[p(Z \Z )\ m

m

15

0

(2.11)

Igazolható [2], hogy fenti mennyiség az alábbi kapcsolatban áll G (Jt,r), ill. F (Jfc,r) mátrixokkal: U*,T) = ч1(к,т)3-'(к,т) (к,т) (2.12) TO

m

Чт

Ahol 4»(*.T)

= EGÍOb.iOVjür'Ui)

(213)

к 4

1

Jm(*,r) = £Gl(k,r)V (j)- G (k T) i

m

(2.14)

1

A hibaamplitudó becsült értéke pedig: MM)«J*(*.*)q*(*.*)

(2.15)

Válasszuk ki a log-likelihood mennyiségek közül azt, amelyik a r paraméterre (a meghibásodás pillanata), ugyanakkor az m indexre is maximális: U * , T ) = Max{/ (*,r*)}

(2.16)

m

Ez a mennyiség, mint emlékszünk, csak azt mondja meg, mennyire valószínű, hogy va­ lamelyik fajta hiba bekövetkezik, feltételként szabva azt, hogy nincs meghibásodás. Az ilyenkor szokásos eljárás szerint ezt az értéket összehasonlítjuk egy előre megadott küszöb­ számmal. Ha a kapott érték meghaladja a küszöbszámot, elfogadjuk a hipotézist (valóban bekövetkezett az esemény), amennyiben alatta marad a küszöbértéknek, nem fogadjuk el a hipotézist. Jelölje a küszöbszámot c, akkor: lm(k, f)<e Z„ eset (nincs meghibásodás) lm{k,t)> e Zfn eset m-dik fajta hiba a f

időpontban

(2-17)

Ha Z hipotézist fogadjuk el, akkor ez azt jelenti, hogy a fc-dik időpontig rendelke­ zésre álló mérési adatok alapján, az általunk valamilyen előzetes megfontolások alapján kiválasztott küszöbérték szerint nem történt meghibásodás. 0

A log-likelihood módszer részletesebb diszkusszióját, valamint a gyakorlati számításo­ kat gyorsító trükkről olvashatunk [2]-ben. Összehasonlításként az eddig bemutatott két módszerről elmondhatjuk, hogy az anali­ tikus redundancia real-time hibafelismerést biztosít, nem igényel bonyolult rekurzív algorit­ must (ebbe nem értjük bele a Kálmán szűrőben megjelenő rekurziót, mivel az valamennyi eljárásban ugyanúpv szerepel), viszont sem a hiba típusát, sem nagyságát nem képes meg­ jósolni. Ezzel szemben a másodiknak megismert log-likelihood elárás megjósolja a hiba nagyságát és a fajtáját is, ennek viszont ára az on-line hibafelismerés feláldozása. De .át, valamit valamiért. 16

3. TÁPVÍZRENDSZER, FORGALOMMÉRÉS

Ebben a részben ismertetjük az erőmű azon részegységét, amelyre módszerünket alkal­ mazni akarjuk. Mivel a jelentés paksi felhasználásra készül, azok akik olvassák és minősítik, nálunk sokkal jobban ismerik a technológiai folyamatokat, az adott mérőberendezések pa­ ramétereit, korlátait, mint e tanulmány szerzője. Ezért ez a fejezet egyáltalán nem célozza pl. a forgalommérés elvének ismertetését; feltehetően az olvasó számára nem ad új infor­ mációt. (Már csak azért sem, mert a szerző ismereteit paksi konzultációk során szerezte.) Hogy mégsem hagyható el ez a rész a dolgozatból, annak az az egyszerű oka van, hogy nél­ küle я munka hiányos lenne. És célunk az, hogy gyakorlatilag bárki eligazodjon a leírtakon, akkor is, ha nem rendelkezik speciális ismeretekkel. (Gondolunk itt pl. a tápvízrendszerre, ill. a forgalommérésre.) Azért tartjuk fontosnak a fentiek elmondását, nehogy véletlenül azt a benyomást keltsük, mintha minden érdem a miénk lenne. Erről szó nincs. Még egy lényeges körülményre kell felhívni a figyelmet. Ez a Fezét a dinamikai rend­ szert és a mérést általánosan tárgyaló 2. Fejezet alkalmazása egy adott problémára. Ezért amikor megadjuk a dinamikai és a mérési modelleket, már nem általánosan vizsgáljuk őket, hanem az adott feladatot szem előtt tartva. Mivel a feltevéseink gyakorlati ellenőrzésére is módunk volt , az elméletet sikerült összhangba hozni a gyakorlattal. Mindennek a lé­ nyege a következő. A fejezet további részében többször talákozunk azzal az állítással, hogy adott mátrixot adott tulajdonságúnak tételezünk fel, feladva a 2. Fejezet általánosságát, és mindezt a konkrét adatok vizsgálatára alapozzuk. Az adatok kiértékelését viszont a következő Fejezetre hagyjuk. Ezt azért tartjuk fontosnak most kijelenteni, hogy minden­ kit, aki úgy érzi, a konkrét alakokra vonatkozó állításaink nem eléggé megalapozottak, megnyugtassunk, a 4. Fejezet meg fogja hozni a bizonyosságot. Miért nem cseréljük fel akkor a két Fejezet sorrendjét? A kérdés jogos, de akkor, kezdve az adatsorok vizsgálatával, ha nem tudjuk, milyen szempontok szerint értékeljük ki azokat, szintén légből kapottaknak tűnhetnek a vizsgálataink. És ugyanerre a magyarázó szövegre akkor is szükségűnk lett volna, éppen ezt a bizonytalan érzést eloszlatandó. Végül is szabadon választhattunk, a követendő sorrendet illetően, bízunk abban, hogy nem nehezíti a megértést az általunk követett tárgyalási mód. 3

4

5

Ez persze nem érdem, hanem teljesen normális követelmény. Gyakorlatban elvégzett teszt nélkül nem sok értelme lenne konkrét problémára megoldást keresni. Végül is a „puding próbája az evés". Ha ez nem sikerűit volna, jelen tanulmány sem hordozna sok értéket, így meg sem Íródott volna. Konkrétumok nélkül persze korlátlanul szárnyalhatna a fantázia, de minek? Ezeket azért értjük is, nem lepődünk meg túlzottan. De azért megnyugtató, hogy a várakozásunk megerősítést nyer a gyakorlatban.

17

GF

RL21

GF

Ri-22

RL08

GF

RL23

GF

RL24

GF

RL25

GF

RL2 6

RL08

3.1. A bra A lápvízrendszer sematikus ábrája a főági és mellékági mérőpcrcmckcl, valamint a gőzfejlesztőkkel GF - gőzfejlesztő BL08 - főághoz tartozó mérőperem RL21...RL26 • mellékághoz tartozó merőperem 18

Mérőpontok a tápvízhálózatban Ezen megjegyzések után tekintsük át a tápvízrendszer sematikus felépítését. Tekin­ tette! a fent elmondottakra, nem is próbálunk meg exaktak lenni. Elképzelhető, hogy nem minden egyes elnevezést használunk pontosan. A mellékelt ábra éppen azt a célt szolgálja, hogy a lehetséges félreértéseket minimalizálja. Az 3.1. ábra mutatja a szekunder kor számunkra érdekes részét: a hat gőzfejlesztőt, a gőzfejlesztőkhöz jutó tápvizet (mellékáganként), valamint a két főágat, melyekből szétá­ gaznak a gőzfejlesztőket ellátó mellékágak. A két főágban, valamint a hat mellékágban is függetlenül mérik a tápvíz forgalmát. A forgalommérés mérőperemmel történik. Ennek sematikus rajzát a 3.2. ábrán láthatjuk. Bzükitö

ír?\ /

folyási irány

J

N. csö

' \

/pereme

уЛ"7n \л \

/

/

szükitö

nyomásmérők 32. Ábra A merőperem sematikus ábrája A mérőperemmel történő forgalommérés a forgalmat az alábbi, (3.1) összefüggés alap­ ján a szűkítőperem előtti és utáni nyomáskülönbség mérésére vezeti vissza. G = асЛ^2р(р,Г)Др

(3.1)

ahol а : Átfolyási szám € : Sűrítési faktor A '. Keresztmetszet Др : A szűkítés okozta nyomásváltozás p{p,T) : A folyadék sűrűsége a hőmérséklet és a nyomás függvényében A mellékágakban használt forgalommérők típusjele: RL21 - RL26. A főágakban használt forgalommérők típusjele: RL08. A kitűzött feladat a két főágbeli forgalommérő mérési jeleiben fellépő esetleges meg­ hibásodás kimutatása. 19

Amint azt látni fogjuk, a második részben bemutatott módszerek alkalmazhatók a prob­ lémára.

A mérés modellezése Az előző fejezetekből kiderült, a hibafelismerő algoritmus alapjául az un. Kálmán szűrő szolgál. A szürőegyenletek viszont megkövetelik a rendszer modelljének ismeretét. Első feladatként tehát valamilyen módon ie kell írnunk a főágban a forgalommérést, majd ezt a modellt ellenőriznünk kell valós, mért adatok alapján. Ha ilyen módon meggyőződtünk a modell helyességéről, alkalmazhatjuk rá a Kálmán szűrőt, ill. végső eredményként a bemutatott hibafelismerő eljárásokat. A Kálmán szűrő időfüggő folyamatok vizsgálatára alkalmas, de semmilyen korláto­ zást nem jelent, ha stacionáris de zajos folyamatokra alkalmazzuk. Jelen esetünkben is ez a helyzet. A 2. Fejezet jelöléseit alkalmazva, definiáljuk az x állapotvektort, valamint az у jelvektort. Mivel a cél adott, azaz a két föágbeli RLQS forgalommérő jeleit fogjuk meghibásodás szempontjából tesztelni, alkalmas jelvektornak az a kétkamponenesu vektor látszik, amely az egyes foági forgalommérők zajos jeleiből áll. Alkalmazkodva a 3.1. ábra jelöléseihez:

'•(S)-(SÜ

(32)

Tételezzük fel, hogy egyik csőszakaszon sincs szivárgás (tehát folyadékvesztés nem törté­ nik), hanem teljesen zárt rendszernek tekinthetjük a hat mellékágat a két főággal együtt. Vagyis csupán annyit tételezünk fel, hogy mindaz a tápvízmennyiség, ami a két főágon ke­ resztül bejut a gyűjtősínre, azon semerre máshová nem tud távozni, csak a hat mellékágon keresztül. És távozik is Visszaáramlást nem engedünk meg. Mindezek természetes követelmények, mégis rögzítenünk kell valamennyit. Ebből a néhány egyszerű feltételből (amit elegánsabban mérlegegyenletnek is neveznek) következik, hogy állapotváltozóként a hat mellékágban mért forgalmat érdemes választani, mert azok, egy egyszerű mérlegegyenleten keresztül, megszabják a főágak forgalmát.

/Я121\ RL22 RL2Z RU1A RLIb \RL26/

/*l\

x

2

*3

x

4

*5

w 6

Nem írtuk ki, mert furcsán festett volna , de mind az állapotvektor, mind a jelvektor komponensei időfüggőek. írjuk fel a megmaradási egyenletet minden időpillanatra, most 6

A kővetkezőkre gondolunk, csak s példa kedvéért: RL21(k) . Több magyarázatba kerülne értel­ mezni, mint amennyit megér. Később úgy» a szabályos *(k) ill. y(*) jelöléssel dolgozunk, ahol már nem jelent gondot az ídöfügges feltüntetése.

20

márfigyelembevéve az időfüggést is:

I>K*)-X>(*) «=1

1=1

в yi

= »J2zi(k)

(3.4)

isi

Emlékezzünk vissza a folytonos és diszkrét rendszerekről elmondottakra. A к méri a diszk­ rét időt (lásd 2. Fejezet). Némi magyarázat szükséges a /i»(k) faktor szerepéről. Azt ugyan tudjuk, hogy folyadék csak a csőveken keresztül áramolhat, de egyáltalán semmi nem kötelez bennünket arra, hogy a két főág egyen/ő mértékben legyen terhelve. A ft súlyfaktor mutatja meg, hogy az adott csőszakasz milyen arányban szállít. Ezekből következik az alábbi megkötés: 2

£>(*) = 1

(3.5)

•=i

Kivédendő a teljesen jogos kritikát, mely szerint (3.4) egyenlet helyett írhattuk volna a következő 2

i=l

megmaradási formát is, б

!>(*)= 1 ыг

(3.7)

csak annyit válaszolhatunk, hogy a megjegyzés teljesen helyénvaló, de jelen esetben az y, mennyiségekre vagyunk kíváncsiak, azok viselkedését szeretnénk modellezni, erre pedig (3.4) és (3.5) formulák alkalmasak. Azaz a hálózatra a mellékágak felől nézünk rá, és a mel­ lékágak forgalmát vesszük ismertnek. Ha a (0.6) - (3.7) formulákat alkalmaznánk, akkor szemléletűnket felcserélve, a főágak felől követnénk végig a tápvíz útját, és azt próbálnánk meg kideríteni, hogy ismert mennyiségű folyadék hogyan oszlik szét a mellékágak között. Ne zavarjon senkit az, hogy a valóságban ez az utóbbi eset érvényesül, a tápvíz bevezetése a két főágon keresztül történik meg. Nekünk nem a technológiai eljárást kell leírnunk, hanem a kitűzött hibafelismeréshez illeszkedő modell kell kiddolgoznunk. Erre pedig (3.5) - (3.6) összefüggések az alkalmasak. 7

Esetünkben a súlyfaktorok egy főágra nézve időfüggetlenek lesznek. Ez az algoritmus szempontjából közönbős, viszont a mérési modell megadásánál, amikor vagy elvi úton, vagy Ugyanez s szemlélet tükröződött abban is, ahogyan szétválasztottuk a nyolc forgalommérést hat állapotváltozóra (mellékágak), és két mérési jelre (a két főág)

21

valós mérési adatok kiértékelésével meg kell határoznunk щ értékeket, az időfüggetlenség feltétele nagy könnyebbség. Tekintettel (3.6) összefüggésre, elegendő egyetlen fi súlyfaktor használata, melyet (3.8) definiál: 9

1 - /i = ni

(3.8)

Azok alapján, amit eddig tudunk, felírhatjuk a mérési modellünket:

**>"(/ / v

/ —

/

/

/ W>

9

(3- )

-

* ' \ 1 —/< * f* * / * 1~/* 1~и i-p/ Kényelmi szempontból érdemes (3.9) egyenlet alapján meghatározott H megfigyelési mát­ rixot szorzat alakban felírni: H = H,(/i)H (З.Ю) 2

ahol fent bevezetett két mátrix, összhangban (3.9) egyenlettel, a következő alakú:

*M-(S

Д);

H,=(;

; j ; \ j)

,n)

(

A kapott mérési eredmények analíziséből kell majd meghatározni Hi(/<) mátrixot. (3.9) egyenletben még nem vettük figyelembe, hogy a mérés zajos. Követve a 2. Feje­ zet jelöléséit, a mérés zaját, bizonytalanságát egy v zajvektor hozzáadásával építjük be a modellbe; kovarianciáját R mátrix adja meg [lásd (1.23) egyenletet]. Esetünkben R kova­ rianciamátrixra szintén a mérési jelek előzetes kiértékelésével adunk becslést. Mint látni fogjuk, R mátrix időfüggetlen. Elemeit adja meg (3.12) egyenlet, az alábbi módon:

»

*=(o

(3.12)

Amint Ti értékeket, valamint a fent már említett /x súlyfaktort meghatároztuk, mérési modellünk teljes. A konkrét értékek számításának a módszerét, valamint a konkrét számí­ tásokat a következő, 4. Fejezetben ismertetjük.

8

Valóságban az tőrtént, hogy kiértékeltünk idősorokat, és azok alapján bizonyosodtunk meg róla, hogy a in sulyfaktorok állandó értékek. De ez azért nem meglepő túlságosan, hiszen a csőszakaszok geometriája változatlan, a bennük áramló folyadék pedig összenyomhatatlan.

22

A dinamikai modell Miután megoldottuk a mérés, folyamat modellezéséi, áttérhetünk az állapotvektor viselkedésének leírására. Ez a leírás az, amit a readszer *ИпятП»ш modelljének neveznek. Esetünkben közelebb áll a valósághoz, ha az állapot leírása elnevezést használjuk*, bár nem követünk el hibát, ha úgy gondolunk a modellre, mint valódi dinamikai modell. Töltsük meg tartalommal iménti kijelentéseinket. Megmutattuk, hogy a indszer álhv potvektorának a hat mellékág forgalomméréséből származó adairt érdemes válabztani (lásd (3.3) definíciót). Végső célunk, hogy ehhez az állapotvektorhoz hozzárendeljük az (1.18) dinamikai egyenletben szereplő mátrixokat. Alapfeltevésünk (emlékeztetünk a Fejezet elején mondottakra a feltevések és a gyakorlati megerősítés viszonyáról), hogy a mellékágak forgalma, még hosszú távon is, középértékben állandó marad. Az egyes időpontokban észlelhető eltérés nem időbeli változás következmé­ nye, hanem egy átlagérték körüli fluktuáció. Afluktuáció,mint egy állandó kovarianciájú, zéró közepü w zaj-járulék jelenik meg az (1.18) dinamikai egyenletben, mely esetünkben a következő alakot veszi fel: 10

11

(3.13)

x ( * + l ) = x(*) + w(Jfc) azaz а Ф(& + 1, Jfc) idöfejleztö operátor itt б х в dim- nziós egységmátrix:

/1 0 0 Ф(* + 1,*) = 0 0 \0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

°\

0 0 0 0 1/

(3.14)

Elvégezve a sokaságra vett átlagolást (3.13) egyenletben, kapjuk <x(* + l)) = (x(*)> + (w(*)>

(3.15)

Mivel feltevéseink értelmében (w(Jb)) = 0, láthatjuk, hogy (3.13) formula összhangban van azzal a kijelentésünkkel, hogy az állapotvektor várhatóértéke stacionárius: <x(* + l)) = <x(*)) 9

(3.16)

Dinamikáról igazából akkor van értelme beszélni, ha a rendszer állapotának egymás utáni időpon­ tokban észlelhető különbsége iőbb, mint egy egyszerű zaj, bizonytalanság. Azaz, ha a rendszer • zajmentes esetet feltételezve - is változik időben. А в. fejezetben részleteiben is foglalkozunk ennek a kijelentésnek a tarthatóságával/tarthatatlansá­ gával, ill. azzal, ami a felhasználás szempontjából a lényeges, a gyakorlat során elvégzendő korrekciókkal. A már említett в. Fejezetben meg fogunk vizsgálni egy ettől kicsit eltérő dinamikai modellt, csupán az összahasonlithatóság kedvéért. 1 0

1 1

23

Modellünk kontrollt nem tartalmaz. Láthatóan készen vagyunk. Rendelkezésűnkre áll mind a dinamikai, mind pedig a mérési modell egyaránt. A modellekben szereplő paraméterek meghatározása után alkal­ mazhatjuk rendszerűnkre a Kálmán szűrőt (6. Fejezet). Majd miután annak viselkedését kitapasztaltuk, rátérhetünk a végső feladat megválaszolására, a meghibásodás felismeré­ sére. Mindenek előtt azonban adjunk értékeket a modellben szereplő paramétereknek.

4. A KÁLMÁN SZŰRŐ INICIALIZÁLÁSA

Ebben a Fejezetben azoknak a feltevéseknek a helyességét ellenőrizzük, amelyek alap­ ján a 3. Fejezetben megalkottuk a rendszer modelljét. Meghatározzuk mindazon paramé­ teréket, amelyeknek értéke mindeddig ismeretlen, és csak az adott, konkrét esetet tekintve, számithatunk ki. A Fejezet első részében röviden szólunk arról, milyen is az adatsor a valóságban, míg a második felében a adatok statisztikai vizsgálatát végezzük el.

Valós adatok Jelen dolgozat feladata, hogy konkrétan megvalósítható hibafelismerő algoritmust javaslojon a tápvízforgalom főágbeli mérésében előforduló meghibásodás kimutatására. Az algoritmust valós mérések alapján ellenőrizni kell. Mivel most csupán ellenőrzésről van szó, az adatokat olyan formában kaphattuk meg, ami számunkra is alkalmas volt. Az algorit­ must megvalósító program személyi számitógépre íródott, Pascal nyelven. Az ellenőrzéshez ill. a demonstrációhoz használt adatok egy napló formájában kerültek hozzánk. A felhasznált adatok a forgalommérés eredményei. Dimenziójuk tonna/óra. Egy adatsornál lépésenként végigvezetjük az olvasót a naplótól a szűrőparaméterek előál­ lításáig. Először minden változtatás nélkül ábrázoljuk az idősorokat. A 4.1 ábra mutatja a mellékágbeli forgalomméréseket és a két főág forgalommérését. Még ha triviális is, el­ mondjuk, elkerülendő bármilyen félreértést: a grafikonok időtengelye a perceket mutatja, az első mérési időponthoz képest. (A mérési időt (dátum) és a mérés heiyét (Blokk) a napló tartalmazza.) Az ábraa!áírás informál az első mérés kezdőpontjáról. [Ez a 4.1. ábra esetében az 1. Blokkot jelenti, 1990. 07. 18 -án, 11 óra 01 perc (és 11 másodperc) -kor.] A függőleges tengelyen az érték a tonna/óra mértékegységű forgalmat mutatja. Az J2I21 RL26 mérőperemek mérik a mellékágak forgalmát, az RIMjobb mérőperem a jobb oldali 24

•• I I I I I

"> - 2 0 — 30 « 80 Ki 1.0000000 Y» 4Э6.00000 TiM ( N C ]
Ю --ДО- *> 49 «0 Xl 1.0000000 VI 430.00000 TU» CtNl < U » KUH

»o

„ ? o _ эо

40

№ 1.0000000 Yl 442,00000 T i M [ N d

»0 - 2 0 . . . 30 40 80 Xl 1.0000000 Yl 442.00000 Tia* Сие!

eo

(ÜB 487-

***'_•••

RL2«

i I * - - - ' T'' i I

480-

440' 4 I * t-8"4^P*j-f-^r-^4^8^4*4»*4^8^"^^™

10 20. 30 40 80 Xl 1.0000000 Yl 41«.00000 T i M Сие) RLOOJBal 1307 |i l i i 11 i i|i j I,I i l | i i Ц j i i ьлллл-л

'i i i i i » • • i | i

10 20 30 40 80 Xl 1.0000000 Yl 444.00000 TiM CMCJ

£

RUM_Jotob 133*0 • • ' - • i - - • • - - - - • - - - - • - • - • • - • •

1300

12И

I I I I I | " I I I I I I ' |

I I I I I . I t I | • • I I I I ГН-1-p^l I I | I I I

i

W

^-Y?1 «Ä00 Xl 1.0000000 Yl31368.0C f i i » CMCJ

Xl 1.0000000 Yl 1302.0000 TiM

IMCJ

(UN>

4.1. Abra A hat mellékág! és a két föági mérőperem jeleinek egy sorozata 1. Blokk, 1990. 07. 18. Mérés kezdete: 11 óra 01 perc 11 másodperc

25

"

12

míg az RLOÜBai a baJ oldali főághoz tartozik. Mintavételezési idő 1 perc, azaz At = 60sec.

Az empirikus várbatóértékek Meghatároztuk a forgalom empirikus várhatóértékét minden egyes ágra az ismert for­ mula szerint: N

(4.1) *=1

ahol N a mintaszám (esetünkben N — 58). Minél nagyobb JV, annál jobb a statisztika, de számunkra adott volt a mintaszám. A főágak jeleinek kiértékelése ugyancsak (4.1) egyenlet alapján történik, ekkor a képlet­ ben x helyett у szerepel. A kapott eredményeket az állapotvektorra és a jelvektorra (4.2) tartalmazza: / 439.3 \ 433.7 <*> =

. .

437.1 440.6 448.8 \ 446.1/

Ш

A300.2 \ ^1367.6/

(4.2)

A számítás során fenti értékeket fogjuk használni.

A korrelációs mátrixok Mint már szóltunk róla, ismernünk kell a zaj kovariancia-mátrixát is. Arról is meg kell győződnünk, hogy a korreiáiaíJanságra tett feltételek [lásd (1.22) - (1.24) egyenlete­ ket] teljesülnek. Azt várjuk, hogy az eltérő időpontokban mért eredmények zaja független egymástól, valamint a más-más mérőperemek szolgáltatta eredményeket terhelő zaj is korrelálatlan. Ez utóbbit azért várhatjuk, mert az egyes mérőperemek egymástól függetlenül működnek, nincs közöttük semmilyen kapcsolat. Az első feltevésünket pedig azzal indokol­ hatjuk, hogy a mérőperem, konstrukciójánál fogva, semmiféle memóriává] nem rendelkezik, az adott pillanatban keresztülfolyó tápvíz termodinamikai paraméterei (és a geometria) egyértelműen megadja a forgalmát. Ráadásul elegendően hosszú idő telik el két egymás utáni mérés közben. 13

Ez megint csak ismert azoknak, akik minden nap találkoznak ezzel a technológiával, mégsem gondol­ juk, hogy feleslegesen írtuk le. Az elmondottak nem tekinthetők bizonyításnak, inkább csak intuíció. Az általában is egy bonyolult probléma, milyen szükséges és elégséges feltételek határozzák meg a korrelátságot (ill. korrelálatlanságot). 1 3

26

Első lépesben válasszunk ki egy tetszőleges idősort, amit most az {x(fc)} jelképez, és tekintsük a következe kifejezést: 14

N-I

r; = £ x ( * ) x ( * + I)

0
(4.3)

Az idősorból kiválasztott érték között egy állandó időkülönbség van (ez az / értékkel azo­ nos). Ha működik valami mechanizmus, ami adott idökűlönbségfi jelértéke között kapcso­ latot teremt , akkor az ennek a hossznak megfelelő / érték(ek)re a fenti összeg nagyobb lesz, mint azokra az /-ékre, amikor x(k) és x(k + /) között nincs kapcsolat, egymáastól függetlenek. (Nem találtunk fel semmi újat, egyszerűen a korrelációs-mátrix definícióját értelmeztük.) 15

Fenti rf mennyiséget még valahogyan normafai kellene. Két lehetőség közül választhatunk: Ha szabályosan szeretnénk eljárni, (4.3) alatti összeget a mintaszámtól függetlenné kellene tennünk, ezért a normáló faktor a mintaszám reciproka kellene, hogy legyen. így az ún. torzítatlan becslést kapjuk a korreláció-értékekre: N

1

l

~

r

' = JTTi £

x { k ) x { k +1)

1

N 1

°^ <^ -

4

4

< - )

Számunkra ugyan nem okoz gondot (hiszen csak az / = 0 esetben kapott értékre lesz szükségünk), de megemlítjük, hogy (4.4) normálás más eljárásoknál (pl. ARMA modellek [7]) a divergenciát okozhat. Elkerülhető a divergencia, ha (4.4) helyett egy ún. torzított becslést használunk, amit (4.3) formulából úgy kapunk, hogy a teljes mintaszámmal (azaz JV-nel) normálunk. N

1 ~' r? = - ^ £ x(Jfc)z(ifc+ J)

0
(4.5)

ftsl

Nem akarunk részletekbe menni (helyette javasoljuk [7] irodalmat), annyit azért elmondunk, hogy nagy / értékekre a (4.5) szerinti torzított becslés (feltéve, hogy a mintaszám is nagy) a reciprokfüggvényt utánozza, kisimítja a kovariancia nagy /-ékre kapott értékeit. Elvégeztük a torzított és a torzítatlan a kovarianciaértékek meghatározását mind a nyolc idősorra. Az eredményeket 4.2. és 4.3. Ábrák szemléltetik. Egy rövid eligazítás az ábrákhoz: Az x-tengelyre az / értéket mértük fel, azaz a két jel időbeli eltolását, az {/-tengely pedig az adott eltolásnak megfelelő kovarianciaértéket. Egy mérőperemhez tartozó torzított [lásd (4.4) egyenletet] és torzítatlan [amit (4.5) alapján 1 4

Sokaságra vett átlagolás helyett időátlagot veszünk, azaz rendszerünket ergodikusnak tekintjük [3]. Ez általában megtehető, bár ez ergodicitás problémája még nem tisztázódott megnyugtatóan. Ilyen egyszerű esetben viszont, mint amilyen a mi rendszerűnk, nyugodtan feltehetjük az ergodícitást. Vagyis korrelált a jel erre a periódusra.

27

Torzítatlan kovariancia RL21-ra

ToriitMlan kovariancia BUQ-r»

—10" ч " г г г 1 т у т ч ^ т т ( H I у^^чг^ • I • •

10 20 30 40 Ki 0.000E*00 VI 10.12247« • t o l a * ( s o d Torzított kovariancia RL2to*

80

0

I

0-

10 20 30 40 lb O.O00C+OO Vi №207183 • t o l a * Caacl Torzított kovariancia DL22-ro

|flj« ' • • • •

] • " I j I " '

SO

j l T l t r "

0-

-0-

6 I i i i i И M i I i I i i I i "

i i i i | i > i i | i i l i | i t i > | i i i i i i

0

10 20 30 40 Xl O.000E+O0 Vl 10.12247« • t o l a * tsacl (UN>

00

0

» I B | i > i i > • » r i | • i i • i i > i • | i i i i i i i i»

10 20 30 40 Xl O.000C+00 Vl 24.470837 • t o l a « Скс] Torzított kovariancia RL23-ra

60

Torzítatlan kovariancia BL24-ro

Torzítatlan kovariancia PX23-ra

0

i I i i i i I • i I

10 20 30 40 № 0.0001*00 VI 10.207183 • t o l a s tsocl

•10"

• i i i t i i i i | i • i • i i ' i ' t • ' * • i • ' '"

0

10 20 3 0 . <0_ Xl 0.000ДО0 Yl 10.828498 • t o l a * C M C I Torzított kovariancia PL24-ra

60

2 3

f

18'

-

-

- '

• * * ' '

00

- - - - * - -

• M

i 04 0

-0

10 20 30 40 BO Xl O.OOOE+00 Yl 24.470837 • t o l a * r*#eJ

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0

10

20

• • • i-i-i i • | • 1 1 1 1 1

30

40

xi адроТкю vi IJUKMM •tola* i«*cl

00

4.2. Abra A torzított és a torzítatlan kovarianciák az eltolás függvényében. Az l = 0 -hoz tartozó érték feltentetve az ablak alatt RL21 - RL2A 28

«,

3

Torzítatlan kovariancia HL2B-ro

"18"

18-

I I I I II M l| I I I M l I I I f^^^Tt^^l

0

10 20 30 40 ft О.00ОВД0 У» 14.412304 Otolit: СисЗ Torzított kovariancia HL2B-ro

I t

Л

:

U» 0

|

и

- . .

0

1

10 20 30 40_ ft 0.000ВД0 Y» 11.678882 • t o l a * toael
§

00

t

*• :

; :

• :

4

/VwVli /VSN 1ЛЛ/V y : V IÍ V V J ' V

0-

1

* t 0 { • • • • i i i i > | i i t > i > i i t | i i i i | i i i

80

.

i*

Torzítatlan kovariancia RL2*ra . . . . . . . . . t . . . . . . . - - ^

•

Í

^

F ^ ?i

"> „ 2 > 30 40 ft О.О00СИ» V» 14.612364 • t o l a s C K C I

10

00

Torzítatlan kovariancia RL0BJM-ra

20

30

40

ft OLOOOC+00 VI 11.67*982

00

Eltolaa I M C I

Torzítatlan kovariancia RL0f_Jobb-ra

*

'

**......

20-

"8"

I I I I I H I l j Я Т Т Г 1 i > I j • • I I > • l'

10 20 30 40 00 ft 0.00ОЕ-Ю0 VI 13.944803 • t o l a » t M d Torzított kovariancia RL00JM-ra

0

10 20 30 40 80 ft O.OWC+00 Yl 23.00018 Dtolac t M d
0

1 • M

ft°aooaP*oo т?2*о*»1в Qtoia« IMCJ иле

4.3. Abra A torzított ев a torzítatlan kovarianciák az eltoláa függvényében. Az í = 0 -hoz tartozó érték feltüntetve az ablak alatt RL25, RL26, RL08j bb, RL08 i o

29

Ba

számoltunk] kovarianciákat egymás alatti ablakokban helyeztük el. Számunkra csak az 1 = 0 értékhez tartozó kovariancia érdekel számszerűen, ezt az értéket az adott ablak alatt ki is írtuk. Néhány tanulság: Az egyik az, hogy amíg torzítatlan kovariancia (a bal oldali görbék) nagy időeltolásra, amikor / értéke közelített a mintaszámhoz, nagyon elromlik a statisztika, addig torzított kovarianciát számítva ez a jelenség nem tapasztalható. Ez összhangban van azzal, amire pár sorral feljebb már utaltunk. De ennél részletesebben ezt nem tárgyaljuk, mert a dolgozat további menete szempontjából lényegtelen.

Függetlenség ellenőrzése Miután sikerűit meghatároznunk a modell és a mérés zajának kovarianciaértékeit, befejezésül vizsgáljuk még meg, hogy a függetlenségre kirótt feltételek teljesülnek-e. Pró­ báltunk már, inkább csak az érzéseinkre hagyatkozva, érveim a mellett, hogy teljesül a függetlenség. Most megnézzük, hogy ezt alátámasztják-e a numerikus eredmények. Mint emlékezhetünk, két értelemben is korrelálatlannak kell lenniük a jeleknek. Ugyanarra a jelre a korrelálatlanságot, azaz (1.23) és (1.24) egyenletek teljesülését az eddigi vizsgála­ taink alapján már megtehetjük. Tekintsük ehhez 4.2. és 4.3. ábrákat. Ha (1.23) ill. (1.24) feltételek exaktul teljesülnének, akkor a kovarianciaeertekeknek l ф 0 eltolásokra zéróvá kellene válniuk. Ez nem így van, legalábbis az ábrák alapján. Eltekintve a torzítatlan becs­ lés nagy 1 eltolásoknál mutatott szabálytalan viselkedésére, az mindenesetre látszik, hogy / = 0 eltolásra az érték messze meghaladja az l ф 0 eltolásokhoz tartozó értékeket. Ez nagyon jól látható a torzított becsléseket ábrázoló görbéknél, ahol a nagy /-ékre is „jól viselkedik" a statisztika. 16

Másrészt a mintaszám nagyon alacsony volt (N = 57), ami szintén lehetetlenné teszi megbízható empirikus értekek számolását. Mindezekre tekintettel, mégis kimondhatjuk, hogy (ha nem is túl látványosan) a numerikus értékek nem mondanak ellent a jelekre rakódó zaj korrelálatlanságára tett feltételünknek. Akit nyugtalanít, hogy itt valójában nem sokaságra átlagoltunk, hiszen egyetlen realizációt használtunk csak fel, annak egyrészt igazat adunk, egyben emlékeztetünk a (4.3) egyenlethez tartozó, az ergodikusságot említő lábjegyzetre. Vizsgáljuk meg két jel kkorrelálatlanságát (azaz (1.22) feltételt). Ilyenkor e jelek ún. kereszt-korrelációs mátrixát kell meghatározni, amihez úgy jutunk, hogy a (4.3) - (4.5) ki­ fejezésekben két különböző idősorból (pl. x\ és 12) vesszük a mintát. Ezért pl. a torzítatlan becslésnél az alábbi formulánk lesz: N-t

r f = £xi(Jt)i (Jfc + 0 2

1 6

0
(4.6)

Kicsit önkényesen, ennek megfelelően pongyolán használjuk egymás szinonimájaként a függetlenséget és a korrelálatlanságot. Reméljük, ez nem okoz zavart.

30

Fenti értékeket, melyek most még csak a kereszt-korreláció értékei, mátrix alakban elren­ dezve, jutunk a kereszt-kovariancia (vagy kereszt-korreláció) mátrixhoz. 1

Esetünkben nyolc jel van, ezeket ^f = 28 féle képpen állíthatjuk párba, és ábrá­ zolhatnánk a különféle eltolásokhoz tartozó kereszt-kovariancia értékeket. De ez nem túl érdekes, nem is akarjuk vele feleslegesen fárasztani az olvasót (és magunkat), ezért éppen csak a példa kedvéért, kiválasztunk ket jelpárt. Először a két főégbeli mérőperemeket te­ kintjük, azaz a (4.6) kifejezésben x\ és x helyett az у mérési jelvektor két komponenese kerül. Másodszor a bal oldali RLOS mérőperemet állítjuk párba az RL21 mérőperemmel. A kapott eredményt 4.4. ábrán láthatjuk. 3

17

2

Torzitatl«n k«rwzt-fcov«rianci*

8 á

T o r r i t f t t l i n k«r*szt-fcov«rianci*

s

l á

•12-

- f f » 9^

i i i >|

i > p » f i ^ t » | t p » p f

0

10 20 30 40 Xi 0.O0CC+O0 Yi 13.472.555 Eltolás I n c ] ( U N ) Torzított ktrvszt-kovarlanc*«

U

I . . . .

i . . . .

i . . . . . . . . .

i . . . .

•••ч

I

f

* W * W |

10

80

20

I

9 F l ^

30

• f f * y f l » f > > f '

40

СО

xt aoooe+oo YI 2.3430421 2 3 Я

t . . .

Torzított

Eltolás Csrel (UN> kor**zt-kovarlancla

i \

8 ú

1

-0-

10 20 30 40 Xi 0.000E+00 Yi 1X472658 Citolas tsocl CLIN)

щ у f ^ 4 1 1 1 * | 1 i Г^ Т

0

60

f f f t | T f * i t i f i '

10 20 30 40 Xl O.OOOC+00 Yi 2.3430421 Eltol*« CsccJ

80

4.4. Ábra A torzított és a torzítatlan kereszt-kovarianciák az altolás függvényében ЛЮ8д„/ - RL08j b, RL08 i - RL21 ob

Ba

Sok hozzáfűzni való az ábrához nincs. Menetében hasonló, mint 4.2. és 4.3. ábrák vol­ tak, abban az egyben eltérve, hogy kereszt-korreláció esetében még / = 0 eltolás esetében sem kapunk kiugró értéket. És ez az, amit vártunk (emlékezzünk vissza (1.22) kifejezésre.) Hasonló megfontolások, és hasonló megkötések mellett, mint amiket az előző eredmények diszkutálása során tettünk, kimondhatjuk, hogy a kereszt-korrelációk jó közelítéssel elha­ nyagolhatók, vagyis a különböző mérőperem jeleire rakódó zaj egymással korreláJatJan. Ezzel a kapott idősorokat olyan mélységig kielemeztük, amennyire a további vizs­ gálathoz szükséges. Megállapítottuk, hogy a zajok korrelálatlanságára kirótt feltételeink 17 Teljesen önkénycsen választottunk, mindenfele megfontolás nélkül.

31

elfogadható mértékben helytállóak, valamint megkaptuk a Kálmán szűrőhöz szükséges kor­ relációs mátrixok értékét. Ezeket, összhangban az ábrákon is feltűntetett adatokkal *, most számszerűen is közöljük. 1

/10.1 0 0 Q = 0 0 ^ 0

0 0 0 0 \ 10.2 0 0 0 0 0 24.5 0 0 0 0 0 15.8 0 0 0 0 0 14.6 0 0 0 0 0 11.7/ 0

3 5

»- 0 . i ) <->

Ezzel modellünk teljes.

&. A KÁLMÁN SZŰRŐ ELLENŐRZÉSE

A 3. Fejezetben megadtuk a táp\ ízrendzer egy modelljét, az előző fejezetben pedig va­ lós mérési eredmények felhasználásával kiszámítottuk mindazon paramétereket, amelyekre szükségűnk van, ha Kálmán szűrőt akarunk alkalmazni a rendszerre. A Kálmán szűrő át­ fogó ismertetését adtuk meg a 2. Fejezetben, emlékeztetve az olvasót arra, hogy az előző évben egy részletes tanulmány készült ebben a témában.

A modellezett forgalom Mindaz, ami eddig elhangzott, persze nagyon szép, de mindaddig, amíg meg nem győződünk az elmondottak helyességéről, csak remélhetjük, hogy jó úton járunk. Most végre abban a helyzetben vagyunk, hogy megtehetjük a szükséges ellenőrzést. A Kálmán szűrő, ha helyesen modelleztük a rendszerünket, optimálisan tudja becsülni a rendszer állapot vektorát, és a mérési jelét. A további felhasználástól függ, hogy a jelet vagy az állapotváltozókat határoztatjuk meg a szűrövei. Eloszlatandó a félreértéseket, a Kálmán szűrő mindkettő előállítja, de esetünkben pl. expliciten csak a becsült jelvektorra lesz szükség. 19

Haználva a 2. fejezet jelöléseit, az y(k) mérési jelvektor (Kálmán szűrővel) becsült értékét у (к) szimbólummal jelöljük. A becsült és a valódi mennyissegből képezhető az ún. £(fc) innováció:

£(*) = y(*) - № 1 8

5Л

( )

Említettük, hogy a 4.2. és 4.3. Ábrákon minden egyes ablak alatt az eltolás nélküli (azaz 1=0 értóvbí-z tartozó) korreláció fel van tűntetve. Lásd a 2. Fejezetet 1 0

32

[Lásd (1.27) egyenletet.] A 2. Fejezetben nem részleteztük az innováció tulajdonságit, mondván, hogy ast majd akkor teszűk meg, ahol logikusan beleillik a környezetbe. Ugy éressük, ez az a pillanat. Fenti képlet alapján látható, hogy az innováció nemcsak az új mérésből nyerhető új információt hordozza (innen az elnevezés), hanem egyben a becslés pontosságát is jelzi. Használhatjuk tehát egymás szinonimájaként azt, hogy a becslésünk pontos, ill. az inno­ váció közel zéró. És fordítva, nagy innovációs érték pontatlan becslésre utal. 20

Ezen előkészületek után nem jelent semmi nehézséget 5.1. Ábra értelmezése. Az ábrán a két főági mérőperem mért jelét ábrázoltuk (1. és 4. ablak). Alattuk a jeleknek a becsült értékeit tüntettük fel (2. és 5. görbe), végül a becslés pontosságát (3. és 6. adatsor). A mért jelekkel már találkozhattunk a 4. Fejezet ábráin, de a szemléletesség kedvéért itt is hasznosnak tartottuk újra feltünntetni azokat. Ami azonnal a szemünkbe ötlik, hogy a becslés kezdetben teljesen hibás. Ezt láthatjuk, ha „szemmer összehasonlítjuk a mért és a becsült jeleket. De elegendő, ha a különbségü­ ket vizsgáljuk (3. és 6. görbék), azon is tisztán látható, hogy kezdetben nagyon nagy az eltérés a becslés szolgáltatta érték, és a valóságos között. Ugyanakkor az is látszik, hogy ez a hiba (tendenciájában) csökkenő, vagyis a becslés pontossága javul. És körülbelül к = 20 időponttól kezdődően az eltérés az ábrán már nem is szemléltethető. Ami arra enged követ­ keztetni, hogy a kezdeti (tranziens) szakasz után a szűrő már kielégítő pontosságai becsül. Az persze, hogy nem látunk az innovációban nagy eltérést, 5.1. Ábra alapján nem jelent­ hető ki nyugodt lelkiismerettel, mivel az alkalmazott felbontás már nem képes visszaadni ka változást. Ezért az első, a tranziens szakasz elhagyásával újra feltűntettük ugyanere­ ket a görbéket az 5.2. Ábrán. A helyzet szemlátomást javult. Azt tudjuk, hogy azt nem várhatjuk el a szűrőtől, hogy tökéletesen reprodukáljon egy sztochasztikus jelet. Ezért az, hogy a mért és a becsült jel nem azonos, még nem baj. (Sokkal inkább zavarban lennénk, ha azonosak lennének. Még az a gyanúnk támadhatna, hogy valami tisztességtelen dolog történt.) De annál azért többet várnk, mint egy ol>an szubjektív ítélet, hogy „ szemmel láthatólag" jó. Mert az innováció ugyan már egy sávon belül marad, ami azt mutatja, hogy a szűrő becslése már tovább nem javul, de azt is szeretnénk tudni, hogy ez a sáv nem szűkíthető-e még. Belátható [2], hogy Kálmán szűrővel végzett becslés esetében az innováció irovaríanciája az alábbi képlettel fejezhető ki: 21

22

R

T

(№>№) = (*) + H(*)v*(M - i)H (*)

(5.1)

Fenti értéket a szűrőalgoritmus minden lépésben számítja. Esetünkben R és H mátrixok konstansok, ezért a kovariancia csak a V*(&, к — 1) ún. a priori kovarianciától függ. Szintén Ez csupán egy más értelemzése a nyerhető új információnak, hiszen, ha az innováció zéró (vagy majd­ nem zéró), akkor » becslésünk (majdnem) tökéletes. De ekkor az új mérés sem hordoz (sok) új ínformációt, hiszen még a mérés elvégzése előtt meg tudtuk jósolni a mérés kimenetelét, ami úgy értelmezhető, hogy pontosan ismerjük a rendszert. Az első húsz lépesben majdnem két nagyságrendet változott az innováció. As egy sejtés, hogy ez a levágás a huszadik lépés körül történik, de célunk most csupán a szemléltetés, és nem a Kálmán szürö konvergencia-gyorsaságának részletes vizsgálata.

33

42Ш f i • * t i i i t | i i i i | p i i i | * i i > i > i i i | i i i i | t i i » | i i i i | i i i i | > i » t i

1

8

10

18 2 Xi 1.0000000

RLOe.Bal - DU»_Bal<Sxiaulalt>

0

2 8 3 0 3 8 4 0 VI 428.00011 Tie» (мсЗ (UN»

ДСД J - - - - ; - - - - ; - - - - ; - - - - ' - - - • ; - - - - • - - - • - - - -

4

8

8

0

'

8

i - . . .

8

.

• • • | i i i t | i i f i | i i i i y i i p i l » » i » f i i » i | i i i i | t i i i l » i » i | i i . i |

I

B

10

18 2 Л 1.0000000

0

2

Т1я»

8

3

0 3 6 4 0 Vi 8*1.8436«

IMCJ

4

8

8

0

8

8

Ol»

RLOO.Jobb 1390-

1Э42~ i i i i i i i i i i i i P i i t i i i i i i i i i i ^ i i i T i i l i i t i i i i i i i i i i i f i i p ' i

I

B

10

18 2 tt 1.0000000

0

2

8

X

3 8 4 0 Vi 1ЭВ1.10ЭВ

4

8

8

0

8

8

lim» CMCJ 1800-

Sxiaulelt RLOe.Jobb

L

-*-

•

•

•

r

*

*

*

'

1

•+•

447f i i i i i i i i | i i i i | i i i i | i i i i i i i i i | i i i i i i i > i | i i i i i i i i i | > » i i i

I

B

10

18 20 Xl 1,0000000

28

30

36 40 Vi 447.49909 Mm» Cs»c) (UN) PLOO.JobtXrteM) - PLOe.Jot>tXSzii»ul«lt)

48

80

68

0-800 1 i i i i i i

i I i i i i i i i i i I • i i i i i i i i I i » i i i i i i i ( > » • • i

10

18 2 Xl 1.0000000

0

2

8

3

0 3 8 1 0 V» 903.403M

4

8

T I M * CMCI

5.1. Abra A mért és a becsült jelvektor valamint az innováció a teljes idősorra, feltüntetve a tranziens szakaszt 34

8

| • i • i i

0

8

8

... . 1 . ^ . . . -

1310 i » ' " i i i i i l i i i i

1ШН 20

[ f >I П ^

»»I ' n 4 I I* i| II ii

30 38 b 20.000000

SstauMt flL00_M 1310 J •

. - - t „ .. .. » - Г * - * - - - - » - •

40

Па» C M C I

»

•

48 Vk 1277.8ВЭ4

01Ю

«

•--

mo 1210 V I l » | l l l ' | I H I | Щ l | l l W^T^** I j I I I I ! • • • 1 ^ ^ ^ ^ ^ ^ I 1 1 1 ( 1 1 1 1 I I I ! I | l l l l | l l l l | l

20

28

30 A 20.000000

36

40

48

00

88

V» 1 2 H V « 0 * T i M CSKJ

RLOSJKKHM-O - DL00Jtal(tzlMJl«lt> 99 J i i i i l i i i i l i I ^ A A A ^ ^ - 1 ! • • - '

l . - .

|

r

. - . . l

. . I . . -•

-20 30 38 40 18 lb 20.000000 Vi 12.1S3380 Tia» C M C I

1270 | I I I I I I I I I | 4 г ^ т т ^ п | i n i гч-i^-i-f i i i i i • г^-»-р-гч-»т^-^ i i i i i i i i • i i i • i i i ) i i i i ) 2 0 2 8 3 0 3 8 4 0 4 8 8 0 6 8 ib гаоооооо n 1347.7272 П м C M C I (UN>

Sxiaulalt RL08_Jobb 1320-p 1270 1' ' 12704^ 20

|

" I 1 »ГТрЧ I I I • l y r ^ T ^ ^ T T I | I I I Р ^ ' У ^ * Т » Ч I l l l |

28

30 30 Xi 20.000000

40

1 И Ч И Щ 1

48. Vi 1331.0888

80

TiM C M C I

nUM^ebKrtor» - RL06_Jobb<SiiauIalt>

,

" Д 0 Т ^ ^ Т Т Т ^ - » У Т Т ^ < Т i i i i • гтгщ^щ^ч-ч-ггуч i i • i i г т т р т т т т т т т т р ^ т г т я ^ П i ' • • 1 ' ' ' ' t 20 28 30 38 40 48 80 88

xi гаоооооо

vt i«.<»84i7 T I M C M C I

52. Abra A mért és a becsült jelvektor valamint az innováció, elhagyva a tanulási (tranziens) szakaszt 35

igazolható, hogy olyan esetben, amikor a modell és a mérés mátrixai időfüggetlenek, akkor, egy bizonyos tranziens szakasz után a szűrő paraméterei (a Kálmán-féle járulék, a priori és a posteriori kovaranciák) is egy állandó értékhez tartanak. Jelölje ezt az értéket az a priori kovarianciára V mátrix. Az innováció kovarianciájára (5.1) egyenletből adódik: x

<£,£)= R + H V H

T

(5.2)

X

Egy pillanatra tegyük fel, hogy V(Jb,Jfc - 1) és V (ik + l,k) még nem egyeznek meg. Helyettesítsük be (1.31) egyenlettel kifejezett V*(Jb) értéket (1.30) egyenletbe, a K(Jfc) kalmán-féle járulék értékét pedig vegyük (1.29) egyenletből. Ekkor egy rekurzív formulát kapunk V (fc + 1, k) -ra, V (fc, к — 1) függvényében. Ha most kihasználjuk a variancia idófüggetlenségét, és az egyenlet mindkét oldalán ugyanazt az időfüggetlen (elegánsabban aszimptotikus) alakot használjuk (jelölje V ) , akkor a rekurzív formula helyett a kővetkező implicit kifejezését kapjuk az (időfüggetlen) a priori kovarianciának [2]: x

s

x

x

x

T

r

1

Т

V* = * { V i - V H [ H V * H + К ] ~ Н У } Ф + Q x

А

(5.3)

Fenti egyenletet nevezik algebrai Riccati egyenletnek. Megoldása (csakúgy, mint a Riccatiféle differenciálegyenletnek) nem triviális (ami magából a kifejezésből eléggé szembeötlő), számtalan dolgozat foglalkozik a problémával. Azt azért reméljük, ez a rövid kitérő jelzi, hogy ha nagyon akarnánk, a becslés elvégzése nélkül is meg tudnánk mondani, mi az a pontosság, amit a Kálmán szűrötöl elvárhatunk. Többek között erre szolgál a fenti egyenlet. (Hogy még mire, arra hamarosan rátérünk.) 23

Azt a kérdést tettük fel, hogyan lehetne meggyőződnünk arról, hogy a becsült jelek tényleg elég pontosak, ha nem elégszünk meg a „szemmértékkel". Eközben eljutottunk az algebrai Riccati egyenletig, de előtte, ha arra akkor nem is figyeltünk fel, megkaptuk a választ. Ezt most öszegezzük. A szűrő, működése során, előállítja az innovációt (ez lát­ ható az 5.1. ill. 5.2. Ábrák adott görbéin). Ennak az innovációnak, mint sztochasztikus folyamatnak a viselkedésére elméleti előrejelzéseink vannak. Ezek egyike, ami most nekünk elég, a kovarianciáját számszerűen megadó (5.2) egyenlet. Mivel az algoritmus V* mátri­ xot számítja, a másik két mátrix pedig ismert a modellből, kezünkben van az innováció kovarianciája (az említett alak időfüggetlen, de célunk úgyis az volt, hogy az aszimptoti­ kus értékeket vizsgáljuk), nem kell mást tennünk, mint a számolt innovációt, mint idősort, elemezni (pl. a 4. Fejezet módszerével), és kiszámítani az empirikus kovarianciáját. Az így számolt érték aztán öszevethető a elméltileg jósolttal. Esetünkben az innovációt к = 20 időponttól vizsgáljuk, к = 56 időponttal bezárólag, azaz az 5.2. Ábra görbéit elemezzük. Túl pontos statisztikái ezért nem is várhatunk, hiszen összesen 37 adatunk van. Arra azonban elég, hogy szemléltessük az elmondottakat. Ugyanazt a módszert követtük, mint a 4. Fejezetben, amikor a mérési eredményeket vizsgáltuk. A két főágbeli forgalommérő becslésére vonatkozó innováció kovarianciájára 3 3

Nehézséget az egyenlettel kapcsolatos analitikus kíjelenttesek jelentenek, hiszen iterációval (némi numerikus játassággal) V* számitható

36

kapott empirikus értékek a következőnek adódtak: A bai oldali RLOS mérőperemhez tartozó innovációra kapott érték 49.6-nek adódott, míg ugyanez a memHség a jobb oldali mérésre vonatkoztatva 55.1 lett. A ezfiröalgoritmus által szolgáltatott értékek pedig 40.4 ill. 52.9 voltak. Meg szeretnénk jegyezni még a következőt. Az(5.3) egyenlettel megadott aszimpto­ tikus kifejezés (erre a lábjegyzetben már utaltunk) numerikusan kiértékelhető. Általában felléphetnek konvergendaprobJémák, illetve elképzelhető, hogy a házilag összebarkácsolt számolás nem lesz a lehető leggyorsabb. (A numerikus ci?*!ms egy külön szakma, nem áltatja a szerző magát azzal, hogy kellő tudással rendelkezik ilyen téren.) De még ha lassú is a számolás, arra mindenesetre alkalmas, hogy eredménnyel szolgáljon. Az általunk írt iterációs számítást az empirikus értékekkel indítottuk el, és megelégedtünk e = 0.05 pontos­ sággal. A kapott értékeket beírva (5.2) egyenletbe, eredményként 41.3 ill. 51.0 adódtak. 34

25

Gyűjtsük össze 5.1. Táblázatban a kapott adatokat. 5.1 Táblázat Néw RLOSbal RL08,obb

Szimulált 40.4 52.9

Empirikus 49.6 55.1

Riccati 41.3 51.0

Az innováció kovaríanciájénka különféle módszerekkel kapott értékei A következőket mondhatjuk, a táblázatot vizsgálva. A szimulált és a Riccati egyen­ letből kapott értékrk jól egyeznek, ami arra utal, hogy a Kálmán szűrő valóban elérte a stabil állapotát. Az empirikus értékek eltérése az „exakttól" már jelentősebb, de ez a ren­ delkezésre álló minta rövidségének következménye. Ezért az empirikus értékekből még nem következtethetnénk (nyugodt szívvel) a stabil szűrési állaotra, ha a szimulált és a Riccati értékek ezt egyébkent nem mutatnák.

A szűrés során minden időpontra, tehát a tranziens szakaszra is, előáltak az innováció kovarianciáját adó számok. Ezt szintén ábrázolhattuk volna, de semmi váratlant nem tartalmazna az ábra (mivel R és H konstans mátrixok, a kovariancia durván szólva megismétli az innováció menetét, ami viszont 5.1. Ábrán látható. Lehetne vitatkozni arról, hogy mikor tekinthető egy eredmény megfelelő pontosságú megoldásnak; mi a következő kritériumot tekintettűk: +1

Hv£ >-vjf>ns« az iteráció megállítására. Л felső index az iterációs lépés sorszáma.

37

A konvergencia, gyorsítása Végezetül az imént tanultakat felhasználjuk a becslés konvergenciájának gyorsítására. Mint emlékszünk, a szűrés elindításához különféle kezdőfeltételekre volt szükségünk, ezek kőzött az egyik pont V ( 0 ) volt. Ezen érték pontossága - pontatlansága erősen befolyá­ solja a tanulási idő hosszát. Ezt könnyű elhinni, hiszen Vx(0) pont azt mutatja, mennyire ismerjük már az indítás pillanatában a rendszer állapotát. Ha ez az érték nagyon messze van attól, amit a szűrő maga előállítana, akkor a szűrőt indításkor a valós, jó becslést meg­ valósító állapotától messziről indítjuk. Minél inkább tévedtünk a valódi értéket illetően, annál több lépésen keresztül tud csak a szűrő „beletalálni" az optimális állapotba. s

2 e

Ezt tudva, a megoldás az lenne, ha már induláskor tudnánk a valódi kezdeti érté­ keket, legfőképpen V*(0) mátrixot. Nézzük, hogyan boldogulhatunk. Tételezzük fel egy pillanatra, hogy nem к = 0 pillanatban indítjuk a szűrést, hanem később, mondjuk к = 20 -kor. Ekkor ugyanabban a helyzetben vagyunk, ha nem tudjuk, milyen kezdőértékek tar­ toznak ehhez a pillanathoz. Abban az esetben viszont, ha valaki к = 20 -ig már használta a szűrőt, számára rendelkezésre állnak (az ekkor már majdnem optimálisan működő szűrő) adatai. Ha mi ezekkel az adatokkal indítjuk el a saját szűrőnket, a későbbi időpontokra a két szűrő egyformán fog működni. Kezünkben tehát a megoldás. Indítsuk a szűrőt olyan kezdeti feltételekkel, ami az aszimptotikus, tehát már optimálisan működő szűrőhöz tarto­ zik. Ez radikálisan lecsökkenti a tanulási idő hosszát (konstans mátrixok esetben teljesen ki is küszöböli). Nálunk ez azt jelenti, hogy pl. a Riccati egyenlettel számolt kovarian­ ciát választjuk kezdőfértéknek. (Legyünk körültekintőek, az 5.1. Táblázatban az innováció . kovarianciája van, ebből (5.2) egyenletet használva juthatunk az a posteriori kovariancia kezdőértékéhez.) Ezt valóban meg is tettük, az eredményt 5.3. Ábránk szemlélteti. Elegendő a két jelhez tartozó innováció feltűntetése, mivel viselkedése teljesen össz­ hangban van a várt viselkedéssel. Látható, hogy az aszimptotikus értekkel indított szűrő már kezdettől fogva az optimális becslést szolgáltatja. Ezt a tényt alaposan ki fogjuk használni a gyakorlati megvalósítás módszerét ismertető fejezetben. Foglaljuk össze ennek a fejezetnek a mondanivalóját. Célunk az volt, hogy ellenő­ rizzük a megadott modellt úgy, hogy rá alkalmazzuk a Kálmán szűrőt. Azt láttuk, hogy egy kezdeti szakasztól eltekintve, a szűrőalgoritmus jól tudta becsülni a mért jeleket. A becslés jóságát az innováció kovarianciájának figyelésével mínősíthetük. A kovarianciára elméletileg meghatározható egy érték, ami referenciául szolgál. Ehhez az értékhez (miivel 2 8

A szűrő állapotán sz algoritmusben felhasznált mátrixok értékét értjük. Ezek kőzött szerepel az л potteri kovariancia is. Ha a szűrő már túljutott a tanulási perióduson, ezek a mátrixok olyan értékeket vesznek lel, ami az optimális szűréshez szükséges. Ha a szűrőre kívülről rákényszeritűnk valamilyen értéket (ez a kezdőpontban szükségszerű), és ez nagyon messze van a (fenti érteimben vett) valódi értékektől, a szűrő sem tudja optimálisan becsülni a kívánt változókat.

38

RLOe_B«l - RLOe_Bal<Szl«jlaa>

—18*

I i—•»^

I

^1

W "T-j f

j

10

I I

I t

1 • • • ^ ^ T

16 2 XI 1.0000000

f

t t

0

1 'TM ^

2

8

| «

I "

I I

»1

I I I

3

I 4 1 1 |

I I

•>

I l'T4

0 3 6 4 0 1 6 8 0 Vi 34.222638 T I * * t t t ú (UN> RLOe.JobtXfWrt) - RL0B_Jobb(8ziMJl*lt> 33 I . . . . . . . . . I . . . . . . . . . I 1. • . . . . . . . 1 t

B

5

l |

8

4

8

Xi 1.0000000

Yi 30.211301 Tie» Csccl (UN>

5.3. Ábra A két főághoz tartozó innováció Az a posteriori kovariancia kezdőértékeként annak aszimptotikus értékével esetünkben időfüg^etlen operátorok írták le a dinamikát és a mérést), az a priori kovari­ ancia aszimptotikus értékét lehetett hasonlítani. Ez utóbbit az algebrai Riccati egyenlet megoldásával nyerhetjük. Az összahasonlítás eredményekét beláttuk, hogy a becslés való­ ban optimális volt. Ebből levonható az a következtetés, hogy az empirikus kovarianciának is az elméletileg jósolthoz hasonló értéket kellett volna adnia. Esetünkben ez nem telje­ sült, mivel nem állt elegendően hosszú adatsor rendelkezésünkre megbízható statisztika készítésére. Bármiféle félreértést elkerülendő, még egy záró megjegyzést teszünk. Eddig állandóan aszimptotikus értékekről, konstans mátrixokról beszéltünk, de szeretnénk felhívni az olvasó figyelmét arra, hogy ezek egyáltalán nem kötelező feltételek. Olyan dinamika esetében is igaz pl. (5.1) egyenlet, amikor a mérési mátrix, vagy а Ф időfejlesztő mátrix időfüggő, esetleg a terhelő zaj kovarianciája is változik. Ebben az esetben is igaz az, hogy a Kálmán szűrő, egy hosszabb - rövidebb (kezdőfeltéteítől függő) tranziens szakasz után (ezt szokás tanulási időként is emlegetni), optimális becslést fog produkálni. Csak ebben az esetben nem fog teljesülni az a priori kovariancia aszimptotikus viselkedésére tett feltevés, ami­ nek következménye, hogy nem érvényes rá az algebrai Riccati egyenlet. Ettől függetlenül minden más működik. A gyakorlati életben pedig úgyis ritka az ilyen eset.

39

6. EGY MÁSIK MODELL

Ebben a részben röviden foglalkozunk a tápvizrendszer forgalommérésének egy más modellezésével. A mérési folyamat modelljét nem változtatjuk meg, csak az állapotváltozók előállítására használt dinamikai modellt módosítjuk.

Módosított dinamikai modell Emlékezzünk vissza a 3. Fejezet kiindulási feltevésére. A mérési adatok elemzése arra a követelményre vezetett, hogy olyan dinamikai modellt kell konstruálnunk, ami az álla­ potvektor átlagértékét változatlanul hagyja. E követelmény miatt mondtuk akkor, hogy ez nem is igazából „dinamika". Megadtunk egy lehetséges leírást, amiről egyszerű volt látni, hogy eleget tesz a fenti követelménynek, és az 5. Fejezetben teszteltük is, kielégítő eredménnyel. Felmerülhet a kérdés, miért nem a következő modellt használtuk inkább: x(* + l) = {x) + w(fc)

(6.1)

ami szóban elmondva azt jelenti, hogy az egymás utáni állapotvektor-értékek teljesen füg­ getlenek egymástól, a megelőző értéktől, és valójában nem mások, mint az (x) átlagérték körül fluktuáló zajos jelek. Első pillanatban ez lenne a természetes választás, hiszen ez valóban a ténylegesen mért állapotváltozóknak a modellje. Megmutatjuk, hogy ez a meg­ közelítés, bár először természetesebbnek tűnhet, a Kálmán szűrőre alkalmazhatatlan. (Ezen azt értjük, hogy nem ad hasznos információt.) Lássuk is be ezt az állítást. Semmi ördöngösséget nem kell tennünk, egyszerűen a szűrőalgoruitmus formuláiba behelyettesíteni (6.1) egyenletet. Előtte azért még vegyük észre, hogy esetünkben az áílapotfejlesztő operátor hiányzik, helyette megjelent egy plussz tag, a (konstans) középérték, amit a kontroli-taggal azonosíthatunk (1.18) egyenletben. A w zajnak a paraméterei vál­ tozatlanok, ugyanígy változatlan a mérési modell is. Mindezeket tudva, írjuk fel, definíció szerint, a mérési jelvektor besültértékét kifejező formulát: y(Jfc) = Н(*)[Ф(*, к - Г*(* - 1 ) + B(*)u(*)J (6.2) ami, a fentiek alapján, az alábbi formává egyszerűsödik:

m=щк)(%)

(6.3)

ami viszont nem más, mint a jelvektor középértéke:

m = (y> 40

(6.4)

Es pedig ismert, vagyis ez a modell valóban nem tartalmaz semmi új információt, csak a triviális megoldást tudja produkálni. El lehetne gondolkozni azon, hogy vajon micsoda mélységekre nyilt most kapu (feltehe­ tően semmilyenekre), és azon, hogy mi rejtőzik a mögött, hogy az a leírás, ami statisztikai viselkedés szempontjából hűen tükrözi az állapotvektort minden pillanatbab, nem hasz­ nálható. Hogy ne maradjon az olvasó teljesen magyarázat híján, illetve nehogy azt érezze, hogy itt valami misztikus dolog rejtőzik, annyit el kell mondanunk, hogy a Kálmán szűrőt arra a feladatra alkották meg, hogy a dinamikai és mérési modell ismeretében, mérve a jeleket, az ismeretien, nem mérhető sztochasztikus viselkedésű állapotváltozókra tudjon becslést adni. Az általunk most vizsgált modell viszont az állapotváltozók pontets leírását adja, amivel az állapotvektort akkor is tudnánk becsülni, ha nem is végeznénk más mé­ rést (azaz, ha y(k) nem állna rendelkezésre). Ilyen módon maximális információnk van a rendszerről, ezért nem csoda, hogy már semmi többet nem mondhatunk. Erre a fejezetre véleményünk szerint szűkség volt, mégpedig a következő okok miatt. Valószínűleg a szerző nem áll egyedül azzal a tapasztalatával, hogy érti ugyan, hogy egy adott megközelítés (itt nemcsak az itt tárgyalt témát értjük) miért helyes, de arra már sok esetben nem kap választ, hogy miért pont azt, és nem egy másik utat kell követni. Esetleg egyenértékű modellek közül esetlegesen történt egyiknek a kiválsztása a többivel szemben, vagy ennél azért több, komolyabb ok is közre játszott. Ilyen gondok nem merülnek fel ak­ kor, amikor egy adott leírás csak demonstrációs célt szolgál, mert ekkor bármi megteszi, csak alkalmas legyen szemléltetésre. Ha a feladat azonban egy jelenség értelmezése, leírása, nem lehet megelégedni annyival, hogy felmutatunk valamit, ami jól - rosszul leírja a tapasz­ talatot. Főleg nem akkor, amikor más út is kínálkozik. Ha tiszteségesen akarunk eljárni, nem lehet figyelmen kívül hagyni egy lehetséges másik módszert sem. Úgy érezzük, egy kutatási jelentésben ennek a szempontnak még fokozottabban kell érvényesülnie, hiszen itt éppen az a cél, hogy amennyire csak lehetséges, a rendelkezésre álló eszközök közül a le­ hető legalkalmasabbat válasszuk ki. Ez nem feltétlenül jelenti egyben a legbonyolultabbat is. És ha az olvasó feltenné a kérdést, hogy nézzünk csak egy más megközelítést, és fel­ vetné (6.1) leírás lehetőségét, úgyis csak érvekkel lehetne meggyőzni arról, hogy (6.1) nem alkalmazható. És ez nem jelent zsákutcát, hanem csupán egy alkalmatlan modell elvetését. Ennél hosszabb érvelés azonban már felesleges szószaporítás lenne, ezért itt be is fejezzük.

7. A HIBAFELISMERÉS PRÓBÁJA

Mindaz, amit eddig megismertünk, elvezet végre a gyakorlati hasznosításig. Mert szép dolog ugyan, hogy a Kálmán szűrővel reprodukálni tudtuk a mérési eredményeinket, de ennek mindeddig túl sok jelentőségét még nem láttuk. Hogy ne csigázzuk tovább az olvasó érdeklődését, hassznosítani fogjuk a Kálmán szűrőt a hibadetektálás során. Feladatunk ugyanis ez; megmutatni, hogyan hitelesíthető egy mérési eredmény, azaz felismerni a mé41

rés során előforduló detektorhibát. Még egyszer emlékeztetünk arra, amit a Bevezetőben már elmondtunk; célunk nem méréskiértékelés, a szónak a megszokott értelmében, tehát amikor egy zajos, pontatlan mérésből akarjuk kinyerni a valódi információt, hanem annak felismerése, hogy történt-e olyan rendellenesség a mérés során a mérőberendezésben, ami annak megbízhatóságát megkérdőjelezi Röviden: elfogadható-e az adott mérési eredmény, vagy nem. Ha nem, tehát ha meghibásodás történt, akkor minimális követelmény, hogy meg tudjuk mondani, mikor történt, milyen időtartamra vonatkozott, és ha lehetséges, mekkora volt a hiba nagysága.

Redundanciára épülő eljárás A 2. Fejezetben már tárgyalt egyik módszer a funkcionális (más néven analitikus) re­ dundancia volt. Ez egy nagyon gyors, egyszerű, valós idejű hibafelismerést biztosító eljárás, amint azt azonnal demonstrálunk is. Nem akarjuk önmagunkat ismételni, ezért csak annyit mondunk emlékeztetőül , hogy a Kálmán szűrőt hangolni kell arra a jelre, aminek a meg­ bízhatóságát vizsgálni kívánjuk. Egy fontos körülményre fel szerenénk hívni a figyelmet. Feltételezzük, hogy egy adott pillanatban csak egy meghibásodás történt. És mindaddig nem történik másik meghibásodás, ameddig az előző felismmcrése meg nem tőrtént. (Ez a funkcionális redundancia esetében nem jelent további megszorítást, mert ez a fajta kiér­ tékelési eljárás azonnali hibafelismerést ad. De pl. a következő lehetőség, a log-likelihood módszer - nem szükségszerűen ugyan -, de a pontosság növelése érdekében, csak egy véges hosszú időtartamban begyűjtött adatot elemezve állapítja meg a meghibásodást. Erről a következőkben bővebben lesz szó.) 27

Visszatérve az eredeti gondolatmenethez, a Kálmán szűrő hangolásánál tartottunk. Hangolás során, mint már mondottuk, a szűrőalgoritmusban a zaj kovarianciájának az adott jelhez tartozó értékét mesterségesen nagynak választjuk [2]. Ezek után az innová­ ció menetét figyelve dönthetünk a meghibásodásról. Ugyanaz az elv érvényesül most is, mint az 5. Fejezetben, amikor a Kálmán szűrő tanulási periódusának lerövidítésével fog­ lalkoztunk, illetve azzal, hogyan dönthetjük el, hogy a becslésünk elérte-e az optimumot. Akkor elmondtuk, hogy az innováció kettős szerepet tölt be (ill. értelmezhető), mutatja a becslés jóságát ill. az új információ „nagyságát" is. Ugyanerre hivatkozunk esetünkben is. Mivel tudjuk (emlékezzünk vissza az említett részre), hogy optimális becslés esetében az innovációnak milyen sávban kell tartózkodnia, és ez a sáv elméletileg is megadható, ha az innováció ebből kitér, arra következtethetünk, hogy a becsült és a mért jel nincs egymással összhangban. Az idézett részben ez arra utalt, hogy a szűrő még a tanulási szakaszban van, még nem konvergált. Itt viszont , mivel szűrőnket már optimálisan működőnek tekintünk, 28

Természetesen nem tételezzük fel, hogy az olvasó bármit is elfelejtett volna, egyszerűen nem akarjuk, hogy ide-oda lapozgasson. Hallgatólagosan feltételeztük, hogy a szűrőnk már túljutott a tranziens szakaszon, vagy (és ez a kívánatosabb) az 5. Fejezetben bemutatottak alapján eleve olyan szűrövei indultunk, ami nagyon gyorsan konvergál. 2 8

42

csak a mérési jelben kereshetjük a hiba okát. A hangolásra éppen azért volt szükség, hogy a hibás mérés a szűrési folyamatra ne legyen hatással, csak az innovációra. Következzék a kísérlet. A szemléltetéshez nem tudtunk olyan archive adatsort fel­ kutatni, ahol előfordult mérés-meghibásodás, és az általunk begyűjtött adatok elemzése (8. Fejezet) sem mutatott rendellenességet. Ez persze nem baj, inkább annak kell örülni, hogy nem bukkanunk lépten-nyomon rossz mérési eredményekre. Ha valaki érez magában lelkesedést, a régi adathalmazokat átvizsgálhatja akármelyik módszerrel, esetleges hibát megtalálandó. (Bár erre nem igazán biztatunk senkit; nem lenne sok értelme.) A hibás működést tehát nekünk kellett szimulálni. Generálhattunk volna teljesen füg­ getlenül egy adatsort (hiszen a dmamikiű modell ismeretében ez nehézség nélkül megte­ hető), de inkább a már meglévő, valódi (és jó) adatokat rontottuk el. Adott időpontban adott amplitúdójú hibát szuperponáltunk az egyik főági mérőperem mért jelére. Két típusú hibát vizsgáltunk. Az egyik az ún. ugrásos meghibásodás, a másik pedig a lépcsős meghi­ básodás volt. Fontossága elsősorban az utóbbinak van, de az eljárás teljesítöképeségének szemléltetése kedvéért nem akartuk kihagyni a csak egy (mérési) pontra korlátozódó hiba (ugrás) felismerésének kimutathatóságát sem. A további magyarázathoz tekintsük meg 7.1. és 7.2. Ábrákat. A görbéken látható az egyik mérési jelhez (önkényesen válsztva a bal oldali RL08-as méíőperemet), tartozó, Kálmán szűrövei szimulált innováció. A modellezett hibákat (típus, időpont, amplitúdó), valamint az innováció értékét a 7.1. Táblázat foglalja össze. 7.1. Táblázat

Sor­ szám I. II. III. IV.

Típus

Idő

(к) Jump Bias Jump Bias

30 31 30 31

Amplidó20 20 30 30

Inno­ váció

30.7 39.2 40.7 49.2

Az innováció a különféle meghibásodásokra küszöbszám t = 20 Ugyancsak a Táblázat tartalmazza a javasolt küszöbértéket. Az í küszöbérték kiválasztása a hibátlan működéshez tartozó innovációfigyelésénala­ pult. Az ábrán látható, hogy e = 20 válsztás alkalmas arra, hogy még A — 20 amplitúdójú hibát (bármelyiket a két típusból) felismerje. Ennél kisebb hiba esetében (pl. A = 10), már nem olyan egyértelmű a döntés. (Lásd az Ábrákat.) De ez minden hipotézisvizsgálat esetében így van. Itt az a két hipotézis kerül összeha­ sonlításra, hogy történt-e meghibásodás, avagy nem, feltételezve, hogy a hibátlan működés­ nél az innováció nagy valószínűséggel az t = 20 küszöbértéken belül marad. A küszöbérték megválasztása mindig egy kompromisszum eredménye. Ha túl magasra választjuk, akkor 43

Inrarado

MMtetaktal

8

3

4 10

* _ _

»

10

«I.> Iiwwvadp MtaOn«kt«lMhm l i n n

8 3

M

OOJ000Q V» ЖТШК

П м ÍMCI O l » I m v t a c t o MtaDaMfctalaahgK 1Ш»"""1"""*С"""*1**""-"1"'-

I

§

2 * i i i i i » ' i ' ^ | i i i i i ' ' " ' | ' i i » i 1 0

П м С и с )

( I . ) Irmovado

HibaDttafctalMhOK

«L» "

.mlL

e o

Tie» [ и с ] (UN»

•ouenuw-

—t0 I i i • • • i i i ^ ^ " ^ " ^ i i i i | i i i i i i i i i | i i i • i ^ - ^ ^ ч

| » i • i i i i i i

Tia» C w c l

7.1. Abra Fefcő ábra: A négy modellezett meghibásodás innovációja. Alsó ábra: Az innovációk közös koordinátarendszerben ábrázolva Csak három görbe különböztethető meg - indoklás a szövegben Értékelés a 7.1. Táblázatban 44

Imovado WMtoMkUl

Innováció MMDHaktalaahac

-10' 10 ».. 30 40 lb 3.0000000 Vi 14.499141 T I M t * K l (UN» < I I » Innováció WbaDttaktalMhaK ЗГ - • - ; - - - - ' - - * - ; * - * * ' * * •

№ 3.0000000 Vl 14.490141 T i i » f M c J OIM»

foncvado МЫОМНЫмЬм

20-

$

»0 ...20.. 30 40 lb 3.0000000 VI 14.498141 T I M (HCl OJN>

» 3.0000ŐOO Yi 14.490141 TIM

CMCJ

<ию

•cuauff

ttlO Irmovacio HibaOttofctalMhoK у

i

•

;

•

•

•

•

|

•

•

•

•

;

•

•

•

•

|

16 20 Xl 3.0000000

i

•

•

•

[

'

26

'

•

'

]

30 36 VI 14.499141

Т1м I w d

7.2. Abra JFfeJső ábra; A négy modellezett meghibásodás innovációja. Alsó ábra: Az innovációk közös koordinátarendszerben ábrázolva Csak három görbe különböztethető meg - indoklás a szövegben Értékelés a 7.2. Táblázatban 45

40

esetleges kis amplitúdójú hibákat nem jelez, viszont csökken a téves riasztás valószínű­ sége. Megfordítva, alacsony küszöbnél még az egészen kis hibák is felismerhetők, annak az árán, hogy megnő a téves riasztás eshetősége. Hiszen az innováció maga is sztochaszti­ kus folyamat, ezért csak valószínűség} kijelentéseket tehetünk egy adott sávon belül való tartózkodásáról. Még egy tanulság levonható az Ábrákból. A tavalyi dolgozatban [2] megvizsgáltuk a szűrő viselkedését a hiba bekövetkezte utáni időpontokra. A következő eredményre jutot­ tunk, amiket most láthatunk is az ábráinkon. 7.2. Táblázat Sor­ szám

Típus

Idő

Ampli-

I. И.

Jump Bias Jump Bias

25 26 25 26

(к)

dó10 10 15 15

III.

IV.

Inno­ váció 24.1 32.4 29.1 37.4

Az innováció a különféle meghibásodásokra Küszöbszám e = 20 Amennyiben ugrásos hiba következett be, a szűrési folyamatban a hibát követően nem történik semmi eltérés, ar.az a hiba nem terjed tovább. Lépcsős hiba bekövetkeztekor a hiba ugyan továbbterjed, de olyan módon, hogy az innovációban egy konstans eltolás (ami a hibámplitudó) jelenik meg. Az ábrák alsó felén taláható koordinátarendszerben egyszerre ábrázoltuk mind a négy esetet, szemléltetendő az elmondottakat. Az azonnal látszik, hogy addig a pillanatig, ameddig a hiba be nem következett, a négy görbe együtt haladt. Ennek így is kell lennie, hiszen az innováció ugyan véletlen folyamat, de ugyanannak a modellnek ugyanazokkal az adatokkal történő kiértékelése már determinisztikus jelet eredményez. A jobb öszehasonlítás kedvéért az ugrásos meghibásodást egy lépéssel a lépcsős eltolást megelőző időpontra szimuláltuk, hogy ne legyen az ábrákon nagy kavarodás. A fenti megalapításainknak meg­ felelően, az ugrásos meghibásodáshoz tartozó innovációk (tehát amik „előbb" kezdődtek), egy (a válsztott hibaamplitudótól függő) csúcsszerű kiemelkedés után visszatérnek az ere­ deti szintre, és onnan kezdve már megkülönböztethetetlenül haladnak tovább. Ezzel ellentétben, az ugrásos meghibásodás, a két különböző amplitúdó miatt két különböző eltolásnak megfelelő szinten halad tovább, de egyébként megegyezik (azaz, ha 29

30

2 9

Első pillanatra mintha csak három görbe lenne látható, de figyelmesen megnézve к = 30 érték (7.1. Ábra) és A = 20 körül (7.2. Ábra) kivehető a négy görbe. Ezt megelőzően mindegyik, ill. ezt kővetően kettő közülük egybeesik. E miatt a megkülönböztethctetlenség miatt nem ábrázoltuk a hibátlan innovációt; úgysem lehetett volna látni az ábrán. 3 0

46

képeznénk a kettő különbségét, az maga is a két hibaamplitudó különbségét jelenyő, esetünkben állandó - értéket adná).

Az általánosított log-likelihood módszer próbája A funkcionális redundancia módszere mellett a másik, igen elterjedt eljárás az un. általánosított log-likelihood módszer. Részletes ismertetése [2]-ben megtörténtjeién munka 2. Fejezete összefoglalta a szükséges állításokat, most pedig gyakorlatban is próbát teszünk. A hiba generálására ugyanaz érvényes most is, mint az előzőleg végigkövetett módszernél. Ugyanazt az adatsort vizsgáltuk, mint az előző részben, csak most a kiértékelési módszer változott. Mint azt a 2. Fejezetben mondtuk, ennél a módszernél az innováció közvetlen figyelése helyett az í(k) ún. log-likelihood ratiot kell meghatároznunk [lásd (2.11) egyenletet], majd ezt egy küszöbértékkel összevetve, dönthetünk a meghibásodás bekövetkeztéről, vagy el­ vethetjük a hibára vonatkozó feltevésünket. Itt ugyanazok a figyelmeztetések é.*vényesek, mint az analitikus redundancia esetében. Azaz a küszöbszám megadása annak mérlegele­ sével lehetséges, hogy mennyire kockáztatunk egy hibás riasztást (alacsony küszöb), illetve mennyire engedhetjük meg, hogy elmulasszunk egy hibát (magas küszöb). Ennek eldön­ tését segíthetik elméleti megfontolások (egy példát mutattunk [2] -ben), illetve numerikus kísérletek. Itt erre az utóbbira adunk példát. A log-likelihood módszernél sok esetben egy hosszabb intervallumban vett mérési ered­ ményeket dolgoznak fel egyszerre, és azt vizsgálják, hogy az intervallumon beiül történt-e meghibásodás, és ha igen, mikor. Ez az eljárás tehát nem ad lehetőséget azonnali hibade­ tektálásra, olyan esetekben azonban, amikor erre nincs is igény, előszeretettel használják. (Ennek indoklását a 9. Fejezetre hagyjuk, amikor is javaslatot teszünk arra vonatkozóan, hogyan lehetne a módszerünket továbbfejleszteni szivárgás felderítésére, illetve olyan hibák kimutatására, amikor a mérési eredmény helytelensége nem a berendezés hibájából ered, hanem a rendszeren belül történt reudellenesség.) Megmutattuk [2], hogy abban az esetben, amikor az intervallum egy lépésköznyíre szűkül, akkor a fent említett l(k) arányszám az alábbi módon számítható: 1

7

í(fe) = f(fc)(Vj (fe)) 'í(A:)

(7.1)

ahol az a posteriori V^(jb) kovarianciát megadó kifejezéssel már találkoztunk 5. Fejezetben: V (k) = [R(Jt) + \ (k,k L

x

r

- l)H (*)]

(7.2)

Ezen előkészületek után nézzük meg a kísérlet eredményét a 7.3. Ábrán, illetve a hozzá tartozó 7.3. Táblázatban. Ami azonnal levonható tanulság, az a következő: ugyanazokat a meghibásodásokat szimulálva, itt nem mindig kaptuk vissza egyértelműen a meghibásodás pillanatát. Az 47

О.) Irvwvado WMDtMktalMhoK j j ^ ^ .

•fl^.'..!..'..!..':.'...'..'.. Í..'..!4'..?.l;!i.'..!..'..t.

. . . . . i . . . . | . . . ,i . . . .

ao-

•

- 7 « Ю koqpnoD vi 2» «UN> OI.> Imrr«cio M M M a k t a l M h n r

i •

•

• • i

TÍM fMCJ (UiO <W.> Imevado МЫМяИЫмИо«

> • i I i i •

H . ' " ) ' ' ' ' f *' / ' 1

r

'"'f

• i

1

|

• •

-

\

S

Э

W __J0 30 40 Xi ЭиООООООО Vi 2.7401005 T ü * ЕмО
Ki Э.0005ЮО YI £?401вОВ T l M C M C I
Inravado Н1Ьа0««На1м1юк

Э1

(W.> Imovado Hlbi0*t«ktal«*hm - - * ; - * • -

' i ii

* ' • * • ' . ' ' ' '

20-

10

10 20 30 40 XI 3.0000000 Yl 2.7401805

ft 9.0006000 Yi.£>4oiaoe

T i M [ M d (UN> (UIII.) Innovede HtbaOtfaktdMhM

T I M CMCJ

Imc H A* ' * '

"

io М М М с Н Ы м Ь м - • - - - , ' - - - •

0^

11 • • j I Л I • I

I l|l

• J J

• I

ЬвЛш^Лт

10-

10 „?5_» 40 Л 3.0000000 Yl 2.7401006

45 Т1м> twc3

T I M T C M C I

7.3. A bra A modellezett meghibásodásokhoz tartozó l(k) log-likelihood arányszám Értékelés a 7.3. Táblázatban 48

utolsó esetre pl. az eltérés 3 lépésköz volt. Ez a gyakorlatban még elfogadható becslés lehet, de azért fel kellfigyelnierre a tévedési lehetőségre. A görbékről leolvasható, hogy a küszöbérték célszerű választása jelen esetre e = 13 lehet. De ugyanaz a bizonytalanság kis hibaamptitudónál, mint ami az előző módszernél is megvolt, itt is megmaradt. Azaz Д = 10 körüli értékeknél a jóslás bizonytalanná válik. 7.3. Táblázat Sor­ szám I. II. III. IV. V. VI. VIII. VIII.

Tipus Jump Bias Jump Bias Jump Bias Jump Bias

Idő «

30 31 30 31 24 22 24 28

Amplidó30 30 20 20 10 10 15 15

Inno­ váció

24.2 47.3 51.5 84.0 14.8 18.5 33.8 83.9

Az innováció a különféle meghibásodásokra küszöbszám e = 13 A kísérlet tanulságaként kijelenthetjük, hogy az ismertetett eljárások kiállták a próbát, működtek. Mindkét módszernek igen érzékeny pontja a küszöbérték helyes megválasztása, ami mindenképpen valami kompromisszum eredménye. A felhasználónak kell eldöntenie, mi az érdeke. Inkább olyan riasztásokat is elfogad, amikor valójában nem történt hiba, csak minimálisra csökkenjen annak a veszélye, hogy elnézünk egy hibás jelet, vagy fordítva. Erre általános szabályt adni, ami megmondja, milyen mértékben szabad csak megengedni a hamis riasztást, ill. elmulasztani egy hibás szignált, nem lehet. Erre csak a felhasználó tapasztalata adhat választ. Ebből adódóan egyáltalán nem várható, hogy egy univerzális küszöbértéket valaki mondani tudjon. Ezeket az értékeket minden problémához gondosan, de alkalmilag kell eldönteni. Legmegfelelőbb eljárásnak számunkra a nagyszámú, biztosan hibátlannak elismert mérések kiértékelése a választott hibafelismerő módszerrel, és ugyan­ úgy, ahogyan mi tettük, szándékosan elrontott (tehát „kézzel" bevitt) hibát detektáítatni a módszerrel, és így megállapítani a küszöböt. Ha megszabjuk, hogy adott Д amplitú­ dójú hibát esetleg még figyelmen kívül hagyhatunk, adott pontossággal behatárolható a küszöbérték.

49

8. MEGVALÓSÍTÁSI JAVASLAT

Megtettünk mindent, amit vállaltunk. A forgalommérés során bekövetkező esetleges detektormeghibásodás felismerésére először megadtunk egy modellt, azután ennek a mo­ dellnek ellenőriztük a helyességét, végül általunk generált hibás jelre megmutattuk, milyen mennyisségfigyelésévelismerhető fel a meghibásodás. Igyekeztünk minél tömörebb és lényegre törőbb lenni (azt már az olvasónak kell meg­ ítélnie, hogy ez mennyire sikerült), mégis fennáll az a veszély, hogy túlzottan hosszan tár­ gyaltuk a problémát, esetleg pont a lényeg veszett szem elöl. A tanulmány értelme, célja az, hogy javaslatot tegyen egy ténylegesen létrehozható hibadetektáló rendszerre. A részegysé­ geit már külön-külön megtárgyaltuk, az egyes Fejezetek éppen ezt a célt szolgálták. Most nagyon öeszefogottan azt tekintjük még egyszer át, hogyan is nézzen ki a gyakorlatban egy ilyen eljárás, mire van szükség, az egyes lépések hogyan követheik egymást. Próbálunk igazán tömörek lenni, hiszen mindez már a dolgozatban egy előző részben bőven ki lett fejtve. Célunk tehát a főágbeli RL0& -as mérőperemek által szolgáltatott forgalommérés meg­ bízhatóságának az ellenőrzése. Ha nem valós idejű vizsgálatra van szükségünk (és az eddigi gyakorlat erre utal), akkor arra az időtartamra, amit az eljárással le szeretnénk fedni, 1. lépésben először be kell gyűjteni az adatokat. Ezek igazából csak a két RL08 -as jeleit jelentik, de egyrészt referenciaként érdemes ismerni az egyes mellékági forgalomméréseket, tehái az RL21 - RL26 jeleket" másrészt, legkönnyebben így kaphatjuk meg a mellékágak mérését terhelő zaj paramétereit, ami viszont szükséges a Kálmán szűrőhöz. Pakson az 1. Blok­ kon 1990. November 27 -én 11 óra 12 perc és 11 óra 45 perc között egy 500 időpontra vonatkozó adatsort kértünk le a bokkszámítógépről. A továbbiakban ezt az adatsort vizs­ gáljuk, úgy tekintjük, hogy most valóságosan is elemeznünk kell, lehetséges meghibásodás felismerése céljából, illetve, ha meghibásodás nem történt, azon küszöbértékek meghatáro­ zása a feladat, amivel az adatsor további részein (ha ilyen lenne), a vizsgálatot érdemben folytathatnánk. Érdemes ábrázolna a mérési eredményeket, még akkor is, ha szemmel nem tudunk valamit pontosan megállapítani, több fogalmunk lesz a rendszer adott időtartamra vett viselkedéséről. Az nyolc idősort 8.1. Ábrán láthatjuk. Sok hozzáfűzni valónk a mérési eredményekhez nincs, az látszik, hogy úgy viselkedik, mint egy valódi mérés (tehát fluktuál, de tart egy bizonyos átlagértéket). 2. lépés: A Kálmán szűrőhöz szükséges a jel középértékének ismerete [a H(/Í) megfigyelési mát­ rix meghatározásához], valamint a terhelő zaj kovarianciájának kiszámítása. Nem szük­ séges, de legalább egyszer érdemes megvizsgálni a kereszt-kovarianciákat (két detektor függetlenségének ellenőrzése), illetve egy jelre a nem-zéró eltoláshoz tartozó varianciákat. Ezeket szintén lehet grafikusan ábrázolni (emlékezzünk a 4.2. és 4.3. Ábrákra), de igazából 50

fi 3

s ! • • • » • •

0

. .200 400 A 1.0000000 Yt 449.00000 Tie» twcJ OIM»

|

0

BOO

« '

200 400 l i 1.0000000 "tt 440.28000 T i M C M C ] (UN)

•

'

800

HL24

Xi 1.0000000 Yi 457.26000 T i M Cwcl

r

0

200 400 Xi 1.0000000 Yt 449.76000 Ti«* [ M C I

800

Л26

i i i i i i i i i f t i i i i i >i i | i i i i

200 400 Xi 1.0000000 Yl 449.00000 T Í M i M d (UN) 1Э40 RL0e_B*l

800

200 400 Xi 1.0000000 Yl 482.76000 TiM (MCl (UN> RLOO.Jobb

600

Ó

600

1330

1323

; i i t i i i i i i | i

6

200 400 Xl 1.0000000 Yl í332.0000 TiM

CMCJ


8.1. Ábra .4 mért forgalomértékek

51

.200 400 Xl 1.0000000 Yl 1382.0000 T i M CMC!

800

csak a zéró eltblas varíanciája kell számunkra (ez az R mátrix a jel esetében és Q mátrix a dinamikai modell esetében). Esetünkben ezek az értékek az alábbinak adódtak: / 451.4 \ 437.7 460.3 <*) = 447.5 450.2 \ 451.41 /

<У>

=

/1331.2\ /1331.2 V1379.1)

(8.1)

amiből а ц súlyfaktorra adódó érték /* = 0.491 lesz. Azaz a Hí a) mátrix számszerű formája:

ни=(Т «У

™

Meghatározva a zaj-mátrixokat is: /13.1 0 0 Q = 0 0 V 0

0 0 0 0 0 \ 12.7 0 0 0 0 0 16.4 0 0 0 0 0 11.8 0 0 0 0 0 13.9 0 0 0 0 0 16.2/

* - ( " .Ц

M

Ha teljesen az elejéről indítjuk az eljárásunkat, akkor a Kálmán szűrő esetében is hosszabb a tanulási periódus. De ez nem jelent problémát akkor, amikor archív anyagot dolgozunk fel utólag. Ilyenkor ugyanis az adatsor azon szakaszán, amit jónak gondolunk (itt segíthet a vizuális elemzés) elindítjuk a szűrőt, és figyeljük az innovációt. Általában még olyan indítások esetében is, amikor a szűrő paraméterei nagyon távol vannak azon érté­ kektől, amiket az optimális szűrés megvalósításakor ér el, nagyon gyorsan (ez gyakorlatilag párszor tíz lépést jelent, ami elfogadható), túljut a tranziens szakaszon. Ezután mindad­ dig optimálisan fog működni, ameddig valamelyik külső, ismertnek feltételezett mennyiség meg nem változik. (Ezért javasoltuk, hogy ne az egész adatsoron teszteljük a Kálmán szű­ rőt, hiszen az adatsorban előforduló egy esetleges meghibásodás a szűrő paramétereinek helytelen beállítását eredményez(het)i. 3. lépés: Az innováció figyelése juttat számunkra elegendő információt. A 8.2. Ábrán ezt a két mennyiséget ábrázoltuk, az egyes jelvektor-komponensekhez tartozó innovációkat, amelye­ ket a fenti paraméterekkel meghatározott Kálmán szűrővel szimuláltunk. Láthatóan az első 50 lépés után már túljutott a szűrő a tranziens szakaszán, és a jeleknek az optimális becslését adja. 8.3. Ábra már csak ennek a résznek a menetét mutatja.

52

Imovecfto RLOBJM

> • • I

* Ш Л Л Ш . Л й Ш Л Ъ ш » » .

800-

100

ЭДО 300 » 1.0000000 VI «22.62B72 T i M tMCl

400

•ю*

8.2. Ábra Az innovációk a teljes idősorra, feltűntetve a tanulási periódust is

-e-H

i i i i

i | i > t .

i

i

t

100

i

i

>

|

>

i

i

i

I

I

P

I

I

|

I

I

I

I

I

I

200

Xi 1.0000000

300 Vi 2.46006Э1 T I * * l—c3 (UN)

I

I

I

|

I

I

400

i

440

Innovtd} RL00_B«1 13

. " " * " !

!

Xl 1.0000000

I . . . . 1 . . . . I . . .

TiM twcJ

8.3. Ábra Az innovációk, lehagyva a tanulási periódust 4. lépés:

Ezzel el is érkeztünk a dolgunk végéhez. Vizsgálva az innovációt, a funkcionális re53

dundanciara vonatkozó köszobertéket 8.3. Ábra alapján б = 15 választhatjuk a bal oldali jelre, és ugyanekkorának, 6 = 15 választhatjuk a jobb oldali jelre. A kettőnek nem kellene feltétlenül megegyeznie. ő. lépés Végezzünk el egy futtatást a log-likelihood módszer küszöbértékének becslésére. A 7. Fejezetben megadott összefüggés alapján számítva l(k) értéket, annak menetét mutatjuk be 8.4. Ábrán.

LcxrUkvlihood Ratio 11 , • • * '

20-

s 3 to-

300 Yl 4.2607322

Xi 1.0000000 TiM

CMCI

440

(LMO

8.4. Ábra A hibátlan méréshez tartozó l(k) menete A görbe alapján becslésünk a küszöbszámra с = 23 lehet. Ezt a fejezetet arra szolgált, hogy vázlatosan, egy adott mérést végigkövetve, megmu­ tassa, milyen lépések egymás utánjával juthatunk el a mért adatok birtokában a hibade­ tektálás általunk javasolt módjának megvalósításáig, ill. a küszöbszámok megkeresésének módszeréig. A Fejezetet egy rövid megjegyzéssel szeretnénk zárni arra vonatkozóan, milyen lehe­ tőség van a szűrő használatára akkor, ha azt egy kis időkihagyással akarjuk újraindítani. Az első alkalommal, amikor legelőször elindítunk egy Kálmán szűrős algoritmust, minden­ féle képpen számítanunk kell egy tanulási periódusra. Ha azonban a szűrőnk már egyszer megbízhatóan működött, érdemes a szűrő állapotát (ez alatt a benne szereplő mátrixo­ kat értjük) tárolni, a következő használatig. Ha ugyanazon a rendszeren végzünk szűrést egy következő alkalommal, feltehető, hacsak valami alapvető változás nem történt közben, hogy a szűrő jelenlegi optimális állapota közel lesz az előzőekben megtanult állapottól. Az 54

indoklás itt ugyanaz, mint a 4. Fejezetben a tanulási periódus lerövidítéséről mondottak­ nál. Ha tehát már egy aszimptotikus állapotból indítjuk a szűrőt, és az üzemi feltételek nem változtak meg, várható, hogy csak nagyon minimális, esetleg szinte teljesen eltűnő, tanulási periódust kapunk. Ugyanez a gondolatmenet vezet az on-line módszerek használata esetében is alkal­ mazható konvergenciagyorsító eljáráshoz. Ha már használtuk a szűrőt megelőzően, akkor az akkori állapotából indítsuk újra, így a tranziens szakasz, (ami archiv anyagok feldol­ gozásánál igazából nem is jelentős, a valós idejű alkalmazásnál azonban kívánatos minél rövidebbre csökkenteni), lerövidíthető. Ha esetleg még nem üzemelt a Kálmán szűrő, és az első lépésben azonnal on-line szeret­ nénk alkalmazni, javasoljuk, hogy mielőtt ezt megtennénk, egy archiv anyagot futtassunk rajta végig. Éppen az előbb mondottak alapján, így meg lehet gyorsítani a konvergenciát.

9. JAVASLATOK TOVÁBBI KUTATÁSI IRÁNYRA

Ebben a Fejezetben néhány ötletet szeretnénk ismertetni, ami a dolgozat elkészítése közben merült fel, és amire a megbeszélések során úgy tűnt, igény lenne. Jelen feladatunk detektormeghibásodás felismerésének kidolgozására szolgáló eljárás gyakorlati megvalósít­ hatóságát vizsgálta. Ezt a feladatot (érzésűnk szerint) teljesítettük. Eközben a következő kérdés merült fel: lehet-e a bemutatott módszert alkalmazni olyan esetekben, amikor a hiba nem a mérési folyamatban van, hanem maga a modell érvényessége sérül. Erről már pár szót ejtettünk a 7. Fejezetben, de csak óvatosan, ott még nem akartuV „lelőni a po­ ént". A következőkre gondolhatunk, és igyekszünk egyből a gyakorlati oldalát is kiemelni. A tápvízrendszerben, a mérőperemek eddig hegesztve voltak, ami majdnem kizárta annak a lehetőségét, hogy ott folyadék szivároghasson el. Nagyobb rés esetén pedig nem volt szük­ ség „kifinomult" módszerekre, egyszerűen látszott, hogy „ázik a plafon" (megfogalmazás a már idézett kollégák egyikétől (Sz. T.) származik, és valóban frappáns.) . Tervbe van azonban véve, és talán már folyamatban is van, a mérőperemek lecserélése; és az új peremek rögzítésére csavaros megoldást terveznek. Ez persze számtalan előnnyel bír a fix, hegesztett kötéshez képest, de a tömítőképessége semmiképpen nem olyan jó. Legalábbis könnyebben előfordulhat szivárgás. Erre a gyártó természetesen garanciát kell, hogy vállajon, de egy esetleges rutinellenőrzés a szivárgás megállapítására mindenképpen szükséges. És bizto31

32

33

A probléma felvetése Szikszai Tiborral és Tóth Jánossá folytatott egyik beszélgetés eredménye, az érdem ilyen formában az övék. így utólag is elnézést kérünk mindenkitől, aki már eddig is úgy találta, hogy a dolgozat stílusa, ko­ molysága esetleg hagy némi kivetnivalót. Abban azért bízunk, hogy a leírtak tartalma feledteti a stilisztikai hiányosságokat Nem gondoljuk, hogy ezzel most valami nagyot mondtunk, ha valaki otthon palackos gázt használ, palackcsere után szappanos vízzel keni be a csatlakozóhelyet, és nézi, buborékol-e. Ez is egy ősi módszer.

55

san számtalan módon, és kellő körültekintéssel megtörténik majd az ellenőrzés. Amit mi most fel szeretnénk vetni, az csupán annyi, hogy kidolgozható egy modell egy esetleges szivárgás kimutatására. Ha általánosságban beszélünk, mert nyilván nemcsak a mérőpere­ meknél történhet elfolyás, mégha ott is a. legvalószínűbb, azt állítjuk, hogy megalkotható egy olyan hipotézisvizsgálat, ami a tápvízrendszernél bekövetkező kis folyadékveszteséget tudja jelezni. (Nagy folyadékveszteségre ott a legbiztosabb módszer, a csöpögő plafon.) Öt­ letként csupán azért említettük a mérőperemek cseréjét, mert ez egy most folyó, aktuális munka, ami mindenképpen beavatkozást jelent az eddigi szerkezetbe, és mint minden új dolog, elképzelhető, hogy nem azonnal működik a kívánalmaknak megfelelően. Pár szóban szeretnénk vázolni, mire alapozzuk optimizmusunkat. Amikor a log-likelihood eljárást ismertettük, akkor megmutattuk, hogy a detektormeghibásodás következménye­ ként az l(k) mennyiség hogyan fog változni. Feltételeztük és igazoltuk, hogy a detektorhi­ bát, idő, típus és amplitúdó szerint egy hibavektoirai leírva, olyan rekurzív formulákhoz juthatunk, amelyekből az egyes hibák bekövetkeztére, mint hipotézisekre, valószínűségi becsléseket adhatunk. Most csak annyit teszünk hozzá az ott elmondottakhoz, hogy hasonló formulák akkor is számíthatók, ha a hiba nem a mérési modellben, hanem a dinamikai modellben fordul elő. Megfelelő hipotéziseket feliállítva egy adott típusú hiba bekövetkeztére (pl. az RL21 mérőperemnél 3% -nyi a szivárgás), ennek a feltevésnek a következményeit végigszámítva, ahhoz a feltevéshez képest, hogy nincs szivárgás, kapunk egy valószínűséget. Hasonló felté­ teleket végigvizsgálva, a különféle hipotéziseknek különféle feltételes valószínűség fog meg­ felelni. Ezek közül lehet majd (ismét csak kompromisszum árán) kiválasztani a vélhetően legvalószínűbbet. Röviden ennyit a módszerről, ha van rá érdeklődés, a vállakozókedvben nincs hiány. Már nem ennyire hosszan, de még mindig szeretnénk felvetni pár javaslatot. A dol­ gozatban bemutatott eljárás ugyan on-line hibadetektálást is lehetővé tesz, de amint az a megbeszélések során napvilágra került, ritka az olyan eset, amikor valós idejű forgalom­ kiértékelésre sor kerülne. Ennek egyik oka, hogy a blokkszámítógép a hálózaton keresztül csupán alacsony prioritással szolgálja ki a (kiértékelést esetleg végző) PC-t. Az egyenlő közű mintavételezés így egyelőre nem megoldott. Az igaz, hogy általában problémát okozhat egy valódi dinamikai modell Kálmán szűrővel történő becslésénél, ha a mintavételezés sztochasztikus. Esetünkben azonban egyáltalán nem jelent ez korlátozást, elég annyit tudnunk, hogy az egymást után beérkező jelek egymás utáni mintavételezés eredményei. Ez pedig a hálózaton keresztül is biztosított. (Ez az ún. hand-shake kapcsolattartás, amiről itt tényleg felesleges pont azoknak beszélni, akik a hálózatot napi munkájuk során állandóan használják, maguk is fejlesztették. 34

Amiből kiindultunk, az az on-line eljárások alkalmazása. Úgy gondoljuk, egy PC-t kiszolgáló blokkszámítógép olyan lehetőség, amit semmi esetre sem lehetne kihasználat­ lanul hagyni. Nagyon szemléletes grafikus adatmegjelenítésre nyílik mód PC-t használva, 3 4

Ha most roppant módon tudományosak akarnánk lenni, akkor azt mondhatjuk, hogy alapkövetelmény a kauzalitás sértetlensége. De nem akarunk tudományosak lenni, csak érthetőek.

56

ami sokkal könnyebben kiértékelhető információhoz juttatja a felhasználót. Ha valóságo­ san még nem is merül fel eddig az igény arra, hogy pl. egy forgalommérést folyamatában, menet közben is figyelhessünk, erre a felkínált lehetőséget érdemes lenne (legalább egy­ szer) kipróbálni. És hozzászokni. Tapasztalati tény, hogy amit látunk, ami a szemünk előtt zajlik, serkentő, ötletteremtő. És mivel szinte semmiféle további eszköz beruházását nem igényli, mind a gép, mind a hálózat adott, így a költségigénye is (vélhetően) elfogadható. (Bár az ilyen jellegű megfontolások valójában szakembert illetnek, a szerző pedig ebben a témában nem jártas.) Ha már költségekről van szó, a végére hagytunk egy olyan javaslatot, ami viszont le­ hetséges, hogy a már meglevő berendezésekkel nem valósítható meg, némi bővítést igényel. A dolgozat elején.nagy örömmel fedeztük fel, hogy a költséges és problematikus detéktorredundandát el lehet kerülni más módszerek (pl. Kálmán szűrő) alkalmazásával. Lévén az kevesebbe kerül. Most mégis arról szeretnénk szólni pár mondatot, miképpen használhatjuk ki még jobban az esetleg meglévő detektor redundanciát. Ez egy olyan módszer, ami egy idei (sajnos, nem a jelen tanulmány szerzője által írt) munka eredménye [8]. A módszerről röviden csak annyit, hogy funkcionális redundanciát alkalmaz, valamint hangolt Kálmán szűrőt detektormeghibásodás kimutatására. Jelen dolgozatban közölt módszerek egyik problematikus része az alkalmas küszöbérték kiválasztása, ami egy ésszerű kockázatot jelent egy esetleges hibás riasztás és egy elmu­ lasztott riasztás között. Az új módszer [8] Ígéretes lehetőségeket rejt ennek a problémának a kiküszöbölésére. Ennél sokkal konkrétabb kijelentésre most nem vállalkozhatunk, mert egyelőre csak olvastuk a cikket, de gyakorlatban nem próbáltuk ki. És sajnos előfordult, hogy látszólag tetszetős módszer nem állta ki a gyakorlat próbáját. De megfeledkezni nem szabad erről sem, mint egy alternatív lehetőségről. Ezek azok a javaslatok, amik jelen dolgozat során felmerültek, és valmílyen módon kap­ csolatba hozhatók valós problémákkal, aminek a megoldására a Kálmán szűrő, ill. rá épülő algoritmusok alkalmasnak látszanak. Természetesen jelen szerző állásfoglalására ugyanúgy érvényes az előző rész végének zárómondata, miszerint elképzelhető, hogy egy ígéretes eljá­ rás a gyakorlatban mégsem válik be. De ez csak akkor derülhet ki, ha kipróbálják. És úgy véljük, igazán hasznosan akkor tudunk dolgozni, ha elképzeléseinket meg tudjuk beszélni azokkal, akik a dolog gyakorlati, technikai részét általunk sokkal magabiztosabban kezelik, alaposabban ismerik. Hiszen így egy esetleges vakvágányról sokkal előbb kiderülhet, hogy valóban vakvágány, sokszor pusztán azzal a meggondolással, hogy az ötlet ugyan szép, de nincs rá semmi szükség. Természetesen mindez megfordítva is igaz, elképzelhető, hogy a felhasználó részéről jelentkezik olyan igény, ami abban a formában esetleg nem kezelhető. Ilyen helyzetben is csak a lépésenkénti megközelítés lehet célravezető. Ez az utolsó rész már tényleg nem tartozott szorosan a tárgyhoz. Egyszerűen csak azt akarta a szerző elmondani, kifejezni, hogy részerői az a néhány találkozás tényleg jó volt, ráadásul hasznos is. 57

ÖSSZEFOGLALÁS

Az összefoglalásoknak általában az a szerepűk, hogy a lényeges gondolatokat kiemel­ jék, a felvetett problémákat még egyszer bemutassák, esetleges további kutatási irányt sugalljanak. Ezeket megtettünk a 8. és a 9. Fejezetekben, így még egyszer öeszefogalni ér­ telmetlen lenne. Azt sem lenne tisztességes még egyszer elismételni, bogy mit tartalamztak az egyes Fejezetek. Úgyis túl hosszúra nyúlt majdnem mindegyik. Inkább általában szeretnénk arról beszélni, milyen módon történhet egy modell ktválsztása. Jelen esetben kézenfekvő volt, hogy a megmaradási tőrvényt alkalmazva, felír­ juk a dinamikai és a mérési modellt. Felmerülhet a kérdés (mint ahogy az a szerzőben is felmerült), hogy mi a biztosíték arra, hogy a forgalom középértékben állandó. Egyáltalán, miért fontos nekünk az, hogy pontosan tudjuk a főágak forgalmát. Ez utóbbira persze nem azt a választ várjuk, hogy minden mérésről, ha már egyszer megmértük, legyünk meggyőződve, hogy jó; ennél többet akarunk. A válasz, ami Pakson mindenkinek ismert, számunkra viszont egyáltalán nem volt triviális, a kővetkező. Rendszeresen végeznek hőteljesítmény meghatározást, és ennek egyik alapja a tápvíz forgalmának pontos ismerete. Ez egyben megoldja a „peremfeltétel" problémáját is, ugyanis üzemviteli utasítás rendelkezik arról, hogy ilyen mérések során semmiféle átkapcsolás nem történhet, vagy ha igen, akkor annak nyoma van. 35

Ami még fontos egy ilyen hőteljesítmény-mérésnél, az a tény, hogy ilyen esetekre pon­ tosabb távadókat szerelnek fel. A hangsúly itt nem a pontosságon van, hanem azon, hogy az addig már jó ideje használt rendszert időlegesen egy másik váltja fel. És egy régi be­ rendezést, ha mégoly pontatlan is, hibáival együtt ismer a felhasználója, ludja, mert a tapasztalat megmutatta, milyen viselkedés várható, könnyebben ki lehet szűrni egy esetle­ ges rendellenességet. Az új távadóknál nem ez a helyzet, ezért itt még inkább kívánatos, hogy exakt módon is (a bemutatott eljárást annak tekintjük) ellenőrizni lehessen a mérőberendezést. Tehát a pontosság követelménye elvezet egy kevésbé használt (ennél fogva az üzemi paraméterek­ nek jobban megfelelő, még „nem kopott") rendszer beállításához, de ez a rendszer, éppen amiatt, hogy kevesebbet volt használva, több furcsaságot produkálhat. Ezért szükséges az ellenőrzése. Az a körülmény, hogy eddig nem volt igény real-time kiértékelésre, értelmet nyert az elmondottak alapján. Hiszen egy teljesítménykiértékelésnél megtehető, hogy szinte tetszőlges hosszú ideig méréseket végezzünk, amiken azután „elmazsolázhatunk", ameddig csak jól esik. Ez valóban nem igényel valós időben adatfeldolgozást. De az általunk javasolt módszer, még ha nincs is kihasználva teljesen, a hibabecslést jól elvégzi. Összefoglalóként ennyit akartunk csak elmondani, úgy érezzük, az igazi összegzést már az ezt megelőző két Fejezetben kellő alapossággal megtettük. 3 6

Feltehetően egy ilyen üzemviteli utaeítáe ritkábban eérül, mint pl. a paritás. Ezt tehát axiómának is tekinthetnénk.

58

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁSOK

A szerző szeretné megköszönni azt a segítőkészséget, amit a Paksi Atomerőmű mun­ katársaitól tapasztalt. Megköszöni Szikszai Tibornak és Tóth Jánosnak a hasznos konzul­ tációkat, eligazításokat; útmutatásuk nélkül több, a gyakorlat szempontjából fontos kérdés maradt volna megválaszolatlan. Szeretném megköszönni Rátkai Sándornak, hogy bármikor is fordultam hozzá kéréssel, mindig maximálisan segített. Köszönöm Valkó Jánosnak hasznos diszkusszióit, ötleteit. Kétségtelen, hogy jelen munka ilyen formában és tartalommal soha nem született volna meg Lux Iván hathatós közreműködése nélkül. Talán több gondot fordított az alapos át­ olvasásra, stílusbeli feszesség megtartatására, mint a szerző. Megjegyzése tette lehetővé, hogy egy véletlen, de annál bosszantóbb tévedés végül is kiderült. Még egyszer szeretném megemlíteni Kiss Sándort, aki a grafikus megjelenítést megvaló­ sító, általa fejlesztett programcsomagot önzetlenül rendelkezésemre bocsátotta, és kellő türelemmel viseltetett a felhasználó értetlen kérdéseivel szemben.

FELHASZNÁLT IRODALOM

[1] LAJOST. "Ballagó" ВМБ Gépészmérnöki Kar 1988. [2] RÁCZA. "Atomerőművi érzékelők meghibásodásának detektálása és azonosítása szürőelméleti alapokon" KFKI-1989-66/G [3] A.H. JAZWINSKI "Stochastic Process and Filtering Theory" Academic Press, New York, 1970 (4] L.E. WEAVER "Reactor Dynamics and Control" American Elsevire Publishing Company, Inc, New York, 1968 [5] A. P. SAGE and J. L. MELSA "Estimation Theory with Application to Communication and Control" McGraw-Hill Book Company, New York, 1971 [6] B.DAVIES "Integral Transforms and Their Applications" Springer-Verlag New York Inc. 1978 [7] TUSNÁDY G. és ZIERMANN M. "Idősorok analízise" Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986 59

[8] D. Y. OH and H. С NO "Instrument Failure Detection and Estimation Methodology for the Nuclear Power Plant" 1EEENS-37 1. February, 1990 (9) KISSS. "MultiView Programcsomag több függvény egyidejű analízisére" MTA-KFKI-AEKIARF, 1990 [10] RÁCZA. "Determination of Reactivity Coefficients from Measurable Effects of Small External Perturbations Using a Bank of Kaiman Filters" KFKI-1990-62/G

60

The issues off the KFKI preprint/report series are classified as follows: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N.

Particle and Nuclear Physics General Relativity and Gravitation Cosmic Rays and Space Research Fusion and Plasma Physics Solid State Physics Semiconductor and Bubble Memory Physics and Technology Nuclear Reactor Physics and Technology Laboratory, Biomedical and Nuclear Reactor Electronics Mechanical. Precision Mechanical and Nuclear Engineering Analytical and Physical Chemistry Health Physics Vibration Analysis. CAD. CAM Hardware and Software Development, Computer Applications. Programming Computer Design. CAMAC, Computer Controlled Measurements

The complete series or issues discussing one or more of the subjects can be ordered; institu tions are kindly requested to contact the KFKI Library, individuals the authors.

Title and classification of the issues published this year: KFKI-1990-01 /C A J Somogyi et al.. Particle acceleration in the plasma fields near Comet Halley KFKI-1990-02/E S. Borbély et al.: Thermal stability of T i Z r i S i i 8 metallic glass studied by small angle neutron scattering 41

4

KFKI-1990-03/A B. Kämpfer et al.: Description of the nuclear stopping process within aniso­ tropic thermo hydrodynamics KFKI-1990-04/A S. Hegyi et al.: A prediction for multiplicity distributions at future hadronic colliders KFKI-1990-05/N P. Janj, Reconstruction error analysis of sampling interferometers (in Hungarian) KFKI-1990-06/A S. Hegyi et al Does К NO scaling hold at LEP energies? KFKI-1990-07/A T. Gemesy et al.: Inclusive s~ and = ' production in 360 GeV/c pp interactions using the European Hybrid Spectrometer KFKI-1990-08/G Th. Bandurski et al.: PMK: A programme for the off line analysis of PMK NVH experiments KFKI-1990-09/A V.Sh. Gogokhia et al.: Determination of the pion decay constant and quark condensate in the chiral limit KFKI-1990-10/E G. odor: Investigation of the defected Potts mode) by the density of states method KFKI-1990-11/A Ágnes Holba et al.: Is the anomalous Brownlan motion seen in emulsions? KFKI-1990-12/G Baranyai G. et al KNI Sealing Detection, (in Hungarian)

KFKI-1890-13/M M. Barbuceanu et al.: Concurrent refinement: A model and shell for hierarchic problem solving KFKI-1990-14/D U Wenzel et al. Messung der Elektronendichte in der Randschicht eines Tokamaks durch Atomstrahlinjektion KFKI-1990-16/A L. Dtósl: A relatlvtstlc theory for continuous measurement of qantum fields KFKI-1990-16/E B. Újfalussy et a l : Electronic states of quaslcrystals from the multiple scattering theory KFKI-1990-17/D J.S. Bakos: High intensity far infrared laser with buffer gases KFKI-1990-18/G S. Kiss et al.: Studies on vibration of fuel rods. II. Checking reliability of the mechanical model of the fuel rod vibration In a laboratory experiment (in Hungarian) KFKI-1990-19/J Sz. Vass: Structure of sodium afkyl sulphate micelles. Results from densityneutron scattering and positron annihilation measurements KFKI-1990-20/A S Keszthelyi Lándori et al Decay time measurement on "pure? Csl scintillators prepared by different methods KFKI-1990-21/A L Dlósi et al. Statistical distance and the approach to KNO scaling KFKI-1990-22/E L. Illgen et al.: Influence of impurities on the ductility and magnetic properties of Iron boron-silicon amorphous ribbons (in German) KFKI-1990-23/C M l Verigin et al.: Ions of planetary origin in the martian magnetosphere (PHOBOS 2/TAUS experiment) KFKI-1990-24/G F. Adorján et al: EMERIS: An advanced information system for a materials testing reactor KFKI-1990-26/A B. Lukács et al Whither has the nonthermal tail gone in nonreiativistic heavy ion collision? KFKI-1990-26/C L Földy et al.: On the rotation of comet P/Halley KFKI-1990-27/C K. Szegő et al: On the existence of a mantle region in the magnetosphere of nonmagnetic solar system bodies KFKM990-28/E Dao Khac An.: Application of the thermodynamics of irreversible processes for the simultaneous diffusion of boron and arsenic and point defects in silicon material KFKI-1990-29/E G Konczosetal.: Precision density measurement on thin metallic foils with special reference to amorphous ribbons KFKI-1990-30/A S. Hegyi et al,: The Feynmann fluid analogy in e* e" annihilation KFKM990-31/E,J FA. Hopf et al.: Modeling the line shape of a hollow cathode lamp KFKI-1990-32/E I. Kovács et al.: Photoelectric response signal from lightly hydrated purple membrane in external electric field

KFKI-1990-33/A J. Révai et al.: Effect of the nucteard-t resonance on muon sticking in ц-catalyzed fusion KFKM990-34/J R. Schiller: Excess electron life history by dielectric relaxation KFKI-1990-Эб/А N.L Balázs et al.: Effects of asymmetry In string fragmentation KFKI-1990-36/M Cs J Hegedűs: Generating conjugate directions for arbitrary matrices by matrix equations I II. KFKI-1990-37/A T. Csörgőét al Space time effects inreactivtsticheavy ion collisions KFKI-1990-38/E A. Czitrovszky et al: Measurement facilities and accuracy limits of sampling digital interferometers KFKI-1990-39/E A. Czitrovszky et al.: Design and development of a laser airborne particle counter KFKI-1990-40VD Gy. Bencze et al.: Two potential formalism, a general tool for separating nuclear and molecular dynamics KFKI-1990-41/G S. Kiss et al: Studies on vibration of fuel rods. III. Effects of detector size and position on vibration spectra of strings and rods (in Hungarian) KFKI-1990-42/M P Tollkuehn et al.: Analysis of formal approaches in protocol conformance testing KFKI-1990-43/M LZs. Varga: Artificial Intelligence techniques and tools KFKI-1990-44/G Tran Dinh Tri: Determination of components of the state vector in AR model KFKI-1990-46/G Tran Dinh Tri: Determination of coefficient matrices for ARMA model KFKI-1990-46/A T. Gémesy et al.. On quark diquark systems exited In "high mass" diffractlve dissociation in proton proton collision at 360 GeV/c KFKI-1990-47/А В Kämpfer et al.. Fluid dynamics of anisotropic media KFKI-1990-48/E A Czitrovszky et al Laser interferometers and their application in metrology (in Hungarian) KFKI-1990-49/E A Czitrovszky et al.: Acoustooptical diffraction and its application (in Hungarian) KFKI-1990-60/C В Lukács et al.: Evolution: from cosmogenesis to biogenesis KFKI-1990-61/D IB. Földes et al.: Laser heating of hydrogen plasma KFKI-1990-62/H V. Jánossyet al.: Muttielectrode culture chamber: a device for long term recording of bioelectric activities in vitro KFKI-1990-63/J Sz Vass: Investigation of density inhomogeneitles in liquids by positron annihila­ tion. Mlceliar solutions and liquid hydrocarbons KFKM990-64/G G Pór et al.: Decay ratio estimation in pressurized water reactor KFKI-1990-бб/В L Bod et at.: One hundred years of the Eötvös experiment

tCFtCMOOO 6ft Q V.T. Rogovskiy et al Application of the spectrum coverlance analysis of low frequency noises to boiling detection (In Russian) KFKMeeo-67/G L Szabados et al.: 14 8% сок) leg break without SITs In action (In Hungarian) K F K M M O W Q L Szabados et al.. 14.8% cokf leg break with SITs In action (in Hungarian) KFKI-ieeo~6e/Q L Szabados et al 1% cold leg break without SITs In action (In Hungarian) KFKM890-60VH P. Érdi: Self organization in the nervous system: network structure and stability KFKM990-61/K P.P. Szabó et al.: Investigation of beta ray attenuation In CaSC>4Dy(Tm) Teflon rods KFKM980-62/Q A. Rácz: Determination of reactivity coefficients from measurable effects of small external perturbations using a bank of Kaiman filters KFKM980-63/Q A. Rácz: Instrument failure detection of the fluid flow measurement In the feedwater system of Paks NPP (In Hungarian)

Kiadja a Központi Fizikai Kutató intézet Felelős kiadó: Gadó János Szakmai lektor. Lux Iván Példányszám: 62 Törzsszám: 90-355 Készült a KFKI sokszorosító üzemében Felelős vezető: Gonda Péter Budapest, 1990. december hó