4VWO B, uitwerkingen Hoofdstuk 6, Machtsfuncties1
Hoofdstuk 6 Machtsfuncties Kern 1 Even en oneven exponenten 1 a Het gewicht van de kubus bestaat uit het gewicht van de ribben. Er zijn 12 ribben. Als de ribbe r cm lang is, dan weegt iedere ribbe 0,35 · r gram. Het totale gewicht wordt dus G = 12 · 0,35 · r. = 4,20 · r. b Voor kubus II geldt dat het totale gewicht bestaat uit 6 plaatjes plexiglas. Elk plaatje heeft een oppervlakte van r · r = r2 cm2. Elk plaatje weegt dan 2,5r2 gram. Het totale gewicht van kubus II is dan G = 6 · 2,5 · r2 = 15 r2 gram. c Voor kubus III geldt dat het totale gewicht bestaat uit r · r · r = r3 cm3 hout. Het totale gewicht wordt dan G = 0,15 r3 gram. d Grafiek A hoort bij kubus II, grafiek B hoort bij kubus I en grafiek C hoort bij kubus III. Vul je voor ribbelengte r = 1 in, dan vind je het bijbehorende gewicht. Voor kubus I is dat 4,2 gram, voor kubus II is dat 15 gram en voor kubus III is dat 0,15 gram. Je leest dan uit de figuur af welke grafiek de juiste is.
2 a De coëfficiënt is 13 , de exponent is 4. b De grafiek heeft is lijnsymmetrisch in de y-as. c y = 14 x 3 heeft als exponent 3, de coëfficiënt is 14 . De grafiek is puntsymmetrisch in O. y = −3x 2 heeft als exponent 2, de coëfficiënt is 2. De grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as. y = − x heeft als exponent 1, de coëfficiënt is –1. De grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as.
3 a b c d
4 a
De grafiek is symmetrisch in de y-as, want de exponent is even. De grafiek is puntsymmetrisch in de oorsprong, want de exponent is oneven. De grafiek is symmetrisch in de y-as, want de exponent is even. De grafiek is puntsymmetrisch in de oorsprong, want de exponent is oneven.
x
–3
–2 12
y
1 2
13 16
13
7
–2 4
–1 12 1
11 16
–1
– 12
1 2
1 16
0
1 2
0
1 16
–
1 –
1 2
1 12 –1
11 16
2 –4
2 12 –7
13 16
3 –13 12
b Deze functie heeft een oneven exponent en heeft dus puntsymmetrie in de oorsprong. In de tabel zie je dat terug doordat bij x = –1 een even grote waarde van y hoort als bij 1, zij het met een min-teken. Dat geldt ook voor x = –2 en x = 2, etc.. c 1 –1 12 – 12 1 12 2 12 x –3 –2 12 –2 –1 0 1 2 3 2 y
–6
–4 16
–2 23
–1 12
– 23
– 16
0
– 16
– 23
–1 12
–2 23
–4 16
–6
Functie g is lijnsymmetrisch in de is lijnsymmetrisch in de y-as. In de tabel is dat terug te vinden doordat bij x = –1 dezelfde waarde van y gevonden wordt als bij x = 1. Zo ook bij x = –2 en x = 2, etc..
5
Beide grafieken gaan door O. Bij een kleine positieve waarde van x, geeft f een grotere waarde dan g. Bij grote positieve waarden van x geeft g juist een grotere waarde.
4VWO B, uitwerkingen Hoofdstuk 6, Machtsfuncties2
6
Bij kleine waarden van x geeft f grotere waarden dan g. Bij grote waarden van x geeft g juist grotere waarden dan f. De rode grafiek hoort daarom bij g, de groene grafiek bij f.
7 a We gebruiken de formule voor een draadkubus: G = 4,2r. Omdat we weten dat het gewicht 63 gram is, zoeken we de oplossing voor de vergelijking 4,2r = 63. De oplossing is dan r =
63 = 15 cm = 150 mm. 4, 2
b We gebruiken de formule voor een holle kubus: G = 15r2. Omdat we weten dat het gewicht 960 gram is, zoeken we de oplossing voor de vergelijking 15r2=960. De oplossing is dan r = 960 = 8 cm = 80 mm.. 15 c We gebruiken de formule voor de massieve kubus: G = 0,15r3. We zoeken de waarde van r waarvoor geldt: 0,15r3 = 1000. Die waarde vind je bij r = 3 1000 ≈ 18,82. 0,15
8 a Inhoud kubus = 43 = 64 cm3. b Inhoud kubus = 8 = a3 a= 38 =2 c Inhoud kubus = 10 = a3 a = 3 10 ≈ 2,15
9 a De exacte oplossing van x7 = 8 is x = b De exacte oplossing van x5 = 9 is x =
7
8 . Een benadering is x ≈ 1,35.
5
9 . Een benadering is x ≈ 1,55
9
c Herschrijf de vergelijking tot x = 14. De exacte oplossing van x9 = 14 is x = 9 14 . Een benadering is x ≈ 1,34. d De exacte oplossing van x5 = –10 is x = 5 −10 . Een benadering is x ≈ –1,58. e Herschrijf de vergelijking tot x5 = 72 . De exacte oplossing van x5 = 72 is x = 5 Een benadering is x ≈ 1,28. f Herschrijf de vergelijking tot x9 = − 815 . de exacte oplossing is dan x = 9 − 815 .
7 2
.
Een benadering is x ≈ –1,36. g Herschrijf de vergelijking. –x3 = 6 – 4 = 2 x3 = −23 = −1 12
De exacte oplossing is nu x =
3
−1 12 . Een benadering is x ≈ –1,14.
h Herschrijf de vergelijking tot x 7 = Een benadering is x ≈ 1,29.
−12 = 6 . De exacte oplossing is dan x = −2
7
6.
10 a De inhoud van een balkvormige doos vind je door I = l×b×h. Als de doos even hoog is als breed, geldt b = h. De lengte is het dubbele van de breedte, dus l = 2b = 2h. Wanneer we deze gegevens invullen in de formule voor de inhoud, krijgen we I = l×b×h=2h×h×h = 2h3. b Neem Y1 = 2 * X^3 en Y2 = 1500. Op WINDOW [0, 10] × [0, 1600] is het snijpunt te zien. Met CALC intersect vind je als oplossing X = 9,09. Dus bij hoogte h = 9,09 cm is de inhoud 1500 cm3. c Herschrijf 2h3 = 1500 tot h3 = 750. De exacte oplossing is dan 3 750 . Een benadering is dan 9,09, dus het antwoord bij b klopt.
4VWO B, uitwerkingen Hoofdstuk 6, Machtsfuncties3
11 a Inhoud van de bol = 43 π r 3 = 43 π ⋅ 123 = 2304π cm3 ≈ 7238 cm3 .
b Inhoud van de bol = 43 π r 3 = 100 . r3 = r=
100
3
4 3
π
75
π
=
75
π cm ≈ 2,88 cm .
c Het water komt nu tot een hoogte van 5 cm. Het volume van het water is daarom 10 ×10 × 5 = 500 cm3. Stijgt het water 1,2 cm, dan is het volume van het water inclusief de knikkers 10 ×10 × 6,2 = 620 cm3. De 50 knikkers hebben een gezamenlijk volume van 620 – 500 = 120 cm3. 120 Per knikker is dat een volume van = 2, 4 cm3. Voor het volume van een knikker geldt: 50 4 π r 3 = 2, 4 cm3 3 r 3 = 34 ⋅ π1 ⋅ 2, 4 = r=
3
1,8
π
1,8
π
≈ ~ 0,83 cm.
12 a f(–3) = (–3)6 = 729; f(3) = 36 = 729. De waarden zijn gelijk omdat de exponent even is, de grafiek van f is dus lijnsymmetrisch in de y–as. b Er zijn twee oplossingen voor de vergelijking x2 = 64, n.l. x = –8 en x = 8. c Er zijn twee oplossingen voor de vergelijking x6 = 64, n.l. x = 6 64 = 2 en x = − 6 64 = −2 13 a x6 = 20 x = 6 20 of x = – 6 64 = 2 x ≈ 1,65 of x ≈ –1,65 b 2x8 = 3 x8 = 32 x = 8 32 of x = – 8 32 x ≈ 1,05 of x ≈ –1,05 c 0,7x4 = 58 58 x4 = 0,7 x=
4 58 0,7
of x = – 4
58 0,7
x ≈ 3,02 of x ≈ –3,02 d 5x10 + 1 = 4 5x10 = 3 x10 = 35 x=
10 3 5
of x = – 10 35
e 2x6 = 8 x6 = 4 x = 6 4 of x = – 6 4 x ≈ 1,26 of x ≈ –1,26 f 3x5 = 100 x5 = 100 3 x=
5 100 3
x ≈ 3,20 g –4x8 = –12 x8 = 3 x = 8 3 of x = – 8 3 x ≈ 1,15 of x ≈ –1,15 h x3 – 3 = 4 x3 = 7 x= 37 x ≈ 1,91
x ≈ 0,95 of x ≈–0,95
14 a De korte zijde heeft lengte z. De lange zijde is twee keer zo lang, dus heeft lengte 2z. De oppervlakte is O = l × b = 2z × z = 2z2. De oppervlakte is gelijk aan 10, dus de gevraagde vergelijking is 2z2 = 10. b 2z2 = 10 z2 = 5 z = – 5 of z = 5 c Nee, de zijde van een rechthoek kan geen negatieve lengte hebben, dus hier voldoet alleen x =
5.
4VWO B, uitwerkingen Hoofdstuk 6, Machtsfuncties2
15 a Teken Y1 = (1/3)X^6 en Y2 = 6 op WINDOW [–10, 10] ×[–10, 10]. b 13 x 6 = 6 x6 = 18 x = – 6 18 of x = 6 18 c Op de GRM is te zien dat de grafiek van f onder die van g ligt tussen beide snijpunten. Daarom geldt: 1 6 x ≤ 6 voor − 6 18 ≤ x ≤ 6 18 en 3 1 3
x 6 > 6 voor x < − 6 18 en x > 6 18 .
4VWO B, uitwerkingen Hoofdstuk 6, Machtsfuncties3
Kern 2 De rekenregels 16 a 73 · 74 = 77 = 823543 54 b = 54 ⋅ 5−3 = 54 −3 = 51 = 5 53
c (73)4 = 712 27 d = 2 7 ⋅ 2 −4 = 23 = 8 24
5 x 3 ⋅ 4 x 2 = 20 x5 9a 5 9 5 − 4 b = ⋅ a = 3a 3a3 3
17 a
18 a
8 23
4 22
19 a
256 28
16 24
20 a
60 = 1
b
2 −4 =
c d
21 a
2 21
4 22
1 20
1 2
1 4
1 8
2–1
2–2
2–3
√21 22
2 21
1 = 1 24 16 1 x −5 = 5 x 1 3
a = a
5−3 ⋅ 52 = 5−1 = 15 3
1
b
(23 ) 6 = 2 6 = 2 2 = 2
c
5 x −3 ⋅ 4 x 2 = 20 x −1 = 20 ⋅
d
9a 5 1 3 = 3a −2 = 3 ⋅ 2 = 2 7 3a a a
1 20 = x x
22 a 10−3 ⋅ 10−1 + 10−2 ⋅ 10−2 = 10−4 + 10−4 = 2 2 ⋅ 10−4 = 4 10 2 −5 b (3 ) − (35 ) −2 = 3−10 − 3−10 = 0 c
3 7
2 7
4 7
(12a 9 ) 2 = 144a 2⋅9 = 144a18
d
2 x6 2 6− 2 1 4 = x =2x 4x2 4
b 20 = 1 1 23
c
2 −3 =
b
22 = 2
e
25 = 5 2
f
10 2 = 10
1
1
1
1 5 = 2 2 x x
g 5 x −2 = 5 ⋅
3
1
c
3+ 2−4 7 7 7
1 7
7a 2 = 7 a
e
30 ⋅ 3−5 ⋅ 34 = 3−1 = 13
f
(7 5 ) 4 = 7 5 = (7 4 ) 5 = 5 7 4 = 5 2401
g
(a 4 )2 = a 4 = a 2 = a
h
2 x6 2 −6 1 1 1 = 4⋅x = 2⋅ 6 = 6 12 4x x 2x
f
( x3 ) −6 − x3 ⋅ x −6 = x −18 − x −18 = 0
1
4
1
2
1
1
5
g
5 7
3 7
6 7
2 x ⋅ 3x : 6 x =
3
2 x 7 ⋅ 3x 7 6
8
=
6x 7 8
x7 ⋅ x
7
5 ⋅5 :5 = 5 =5 = 5 4 20 x 20 4 6 d = ⋅ x ⋅ x = 5 x10 −6 4x 4 e 4 ⋅ (103 )−2 − 3 ⋅ (10−3 ) 2 = 4 ⋅ 10−6 − 3 ⋅ 10−6 = 1 10−6 = 6 10
1
h
h
− 67
2
1
= x 7 = ( x 2 ) 7 = 7 x2
2x3 x3 = −2 = x 3 ⋅ x 2 = x 5 −2 2x x
x7 6
x7
=
4VWO B, uitwerkingen Hoofdstuk 6, Machtsfuncties2
Kern 3 Negatieve en gebroken exponenten 23 a De grafiek van f is puntsymmetrisch in de oorsprong. b De grafiek van g is lijnsymmetrisch in de y-as. 3 hoort bij C x 1 1 II: g ( x) = − 12 x −1 = − 12 ⋅ = − hoort bij D x 2x 1 2 III: h( x) = 2 x −2 = 2 ⋅ 2 = 2 hoort bij A x x 1 3 IV: k ( x) = −1 12 x −2 = − 32 ⋅ 2 = − 2 hoort bij B x 2x I: f ( x) = 3x −1 =
24
25 a Teken Y1 = 2*10^5*X^(–1) op WINDOW [0,2000] ×[0,2000] b Als het volume heel groot wordt, wordt de druk heel laag. Als het volume heel klein wordt, wordt de druk heel hoog.
26 a Er is geen symmetrie en de grafiek bestaat alleen voor x ≥ 0.
27
b Deze grafiek is puntsymmetrisch in de oorsprong.
I: f ( x) = −2 ⋅ 3 x hoort bij B
III: h( x) = 1 12 5 x hoort bij D
II: g ( x) = 4 x hoort bij C
IV: k ( x) = −2 6 x hoort bij A
1 61000 1 61000 61000 − 12 −1 ⋅ = ⋅ = ⋅ m = 124m 2 2π m 2π 2π m b Y1 = 124 * X^(–0.5) 124 c = 440 m 124 m= 440 m = 0,282 kg = 282 g. d Als de massa heel klein wordt, wordt de frequentie heel groot.
28 a
f =
4VWO B, uitwerkingen Hoofdstuk 6, Machtsfuncties2
Kern 4 Grafieken spiegelen 29 ab Y1 hoort bij de bovenste grafiek en Y2 hoort bij de onderste grafiek.
30 a WINDOW [–3, 3] ×[0, 3] b |–9| = 9, |+9| = 9 en |0| = 0 c Het gedeelte dat onder de x-as ligt, moet dan worden gespiegeld in de x-as. 31 a De grafiek van f en de grafiek van h, want h(x) = –x2 + 6x = – (x2 – 6x) = –f(x). b Df = Dh = Bf = [–9, →> Bh = <←, 9] c Het bereik wordt ook “gespiegeld”.
32 ab Y1 hoort bij de rechter grafiek en Y2 hoort bij de linker grafiek.
33-4 a Df =
\ {0}
en Bf =
y
\ {0}
3 −x c De uitkomsten van de formule blijven gelijk, alleen worden die bij andere waarden van x bereikt. d Het domein wordt wel gespiegeld.
4
b Het spiegelbeeld wordt gegeven door g ( x) =
3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2
34 a g en h zijn elkaars spiegelbeeld. b Dg = [–3,→> en Dh = <←, 3] Bg = [0,→> en Bh = [0,→> c Spiegelen in de y-as en vervolgens een verschuiving 3 naar rechts. d Eerst verschuiving 3 naar links en vervolgens een spiegeling in de y-as.
-3 -4
1
2
3
4 x
4VWO B, uitwerkingen Hoofdstuk 6, Machtsfuncties3
Kern 5 vergelijkingen 35 a Dat is het geval bij n = 12. Controle: 0,05 · 123 = 86,4 en 0,6 · 122 = 86,4. Het klopt. b Voor aantallen kleiner dan 12 is methode I goedkoper, daarna methode II. 36 a
2 x 2 = 8x4 2x2 − 8x4 = 0 2
x x − 5x = 0
2
2 x (1 − 4 x ) = 0 2 x 2 = 0 of 1 − 4 x 2 = 0 2
x = 0 of x =
d
1 4
x = 0 of x = − 12 of x =
x 4 (1 + 8 x 6 ) = 0
1 2
x = 0 of x 6 = − 18
b 3x 4 = 5 x 7 4
x = 0( x 6 = − 18 heeft geen oplossingen)
7
3x − 5 x = 0 4
e 10 x 2 = −4 x3 10 x 2 + 4 x3 = 0
3
x (3 − 5 x ) = 0 x 4 = 0 of x 3 = 35 x = 0 of x =
x( x − 5) = 0 x = 0 of x = 25 x 4 = −8 x10 x 4 + 8 x10 = 0
x 2 (10 + 4 x) = 0
3 3 5 3
3
x = 0 of x = −2 12 3
3
3
52
3
75 1 3 x = 0 of x = 3 = 3 ⋅ = = 5 75 3 2 5 5 5 5
f
2 x 3 x = 20 x 2 x 3 x − 20 x = 0
2 x( 3 x − 10) = 0
c
x x = 5x
x = 0 of 3 x = 10 x = 0 of x = 1000
37 a Teken Y1 = 0.5X2 en Y2 = 0.25X^3 op WINDOW [–5,5] × [–10,10]. b 12 x 2 = 14 x 3
c 38
1 2
x 2 − 14 x3 = 0
1 2
x 2 ( 12 − 12 x) = 0
x = 0 of x = 1 f ( x) ≤ g ( x) als x ≥ 1 We zoeken de oplossing voor de vergelijking 0,15r 3 = 15r 2
0,15r 3 − 15r 2 = 0 15r 2 (0, 01r − 1) = 0 r = 0 of r = 100 Dus bij een ribbelengte van 100 cm hebben beide kubussen hetzelfde gewicht. (Bij een ribbelengte van 0 cm heb je geen kubus!)
4VWO B, uitwerkingen Hoofdstuk 6, Machtsfuncties2
39 a
b
c
x −6 =
1 2
e ( x + 2) −6 = 13
1 1 = x6 2 x6 = 2
1 =1 ( x + 2)6 3 ( x + 2)6 = 3
x = − 6 2 of x = 6 2
x + 2 = − 6 3 of x + 2 = 6 3
6 x −5 = 3 x −5 = 12
f
3 =1 ( x − 2)5
1 1 = x5 2 x5 = 2
( x − 2)5 = 3
x=52
x−2= 5 3 x= 5 3+2
1
x2 = x 1
g
x2 − x = 0 1
1
x 2 (1 − x 2 ) = 0 1
x2 − 2x + 1 = 0
x = 0 of x = 1
( x − 1)2 = 0 x =1
1
( x − 2) 3 = 3 x − 2 = 33 = 27 x = 29
40 a
h
g(x) = 2 1 − 2x = 2 1 − 2x = 4
2x = 3
2 x = −3
x =1
1
(− x + 2) 4 = 1 − x + 2 = 14 − x = −1 x =1
f (x) = 2 1 + 2x = 2 1 + 2x = 4 1 2
1
2x 2 = x + 1 4 x = ( x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1 x2 + 2x + 1 − 4x = 0
1
x 2 = 0 of x 2 = 1 d
x = − 6 3 − 2 of x = 6 3 − 2 3( x − 2) −5 = 1
x = −1 12
b Teken Y1 = √(1+2X) en Y2 = √(1 – 2X) op WINDOW [–10,10] × [–5,5]. c De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in bij spiegeling in de y-as.
41 a
T = 0,1994 ⋅ R R is te herschrijven. 3 T T R R= ⇒ R2 = 0,1994 0,1994
⇒ R=(
2 T )3 0,1994
Voor de afstand van de aarde tot de zon vinden we dan R = (
365 23 ) = 149, 64 miljoen km. 0,1994
88 23 ) = 57,97 miljoen km. 0,1994 c De afstand van Saturnus tot de zon is 1496,4 miljoen km. De omlooptijd is dan T = 0,1994 ⋅ 1496, 4 ⋅ 1496, 4 = 11542 dagen.
b Voor de afstand van Mars tot de zon vinden we R = (
