Uitwerkingen Wiskunde A Netwerk VWO 6 Hoofdstuk 6 Examenaanpak www.uitwerkingenste.nl
Hoofdstuk 6 Examenaanpak Kern 1 Modelleren 1 a De vrouwen van 28 jaar vallen in de categorie 25 – 29. Hoe de verdeling binnen deze categorie is, is niet uit de figuur af te lezen. b Het doel van de figuur is een totaalbeeld te geven van de bevolkingsopbouw. Dat lukt met deze figuur goed. Het is niet nodig om voor iedere individuele leeftijdsgroep de opbouw te zien. G 85 = ≈ 29, 41 < 30 . Er is dus geen sprake van overgewicht. 2 L (1.70) 2 b Iemand is te zwaar als hij veel vetmassa heeft. Denk aan een bodybuilder, die heeft veel (spier)massa! Een hoog gewicht geeft een hoge waarde van de Quetelet-index. Toch noem je iemand met zo’n gespierd lichaam niet te zwaar.
2 a
Q=
3 a We noteren een + als de bloeddruk na toediening hoger is. We noteren een – als de bloeddruk na toediening lager is. We noteren een 0 als de bloeddruk na toediening even hoog is. Zo ontstaat de volgende rij symbolen. + – + + 0 – + + + + X = het aantal plussen. We toetsen H 0 : p = 12 tegen H1 : p ≠ 12
4 a
langzaam
P( X ≥ 7 | n = 9 en p = 12 ) = 1 − P( X ≤ 6) ≈ 1 – binomcdf(9, 0.5, 6) = 0,0898 > 0,05. H0 wordt niet verworpen, het middel beïnvloedt de bloeddruk niet. b Er gaat informatie verloren, bijvoorbeeld over de grootte van het verschil. Je zou kunnen kijken naar de gemiddelde waarde van de verschillen, waarbij je dan uitgaat van een verwachtingswaarde van 0. 1
4
10
20
1
3
6
10
1
2
3
4
1
1
snel
1
b Tellen in het rooster geeft 20. Ook met c
ABC ABD ABE ABF ACD
ACE ACF ADE ADF AEF
BCD BCE BCF BDE BDF
6 = 6 ncr 3 vind je 20 mogelijkheden. 3
BEF CDE CDF CEF DEF
5 a De groeifactor per 2 tijdseenheden is 2. De groeifactor per tijdseenheid is beginwaarde H = 1, dus de formule wordt dan H (t ) = 1 ⋅ ( 2)
t
b H (3) = 1 ⋅ ( 2)3 ≈ 2,83 . Dat klopt niet erg met de grafiek! c Het zou een kwadratische functie kunnen zijn. d H = at 2 + bt + c De grafiek van de functie gaat door de punten (0, 1), (2, 2) en (3, 3.25)
2 . Verder is de
Dat levert de volgende vergelijkingen. (1) 1 = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c c = 1 (2) 2 = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c = a ⋅ 4 + b ⋅ 2 + 1
2b = 1 − 4a
(3) 3 14 = a ⋅ 32 + b ⋅ 3 + c = a ⋅ 9 + b ⋅ 3 + 1
9a = 2 14 − 3b
Combineren van (2) en (3) geeft 9a = 2 14 − 3( 12 − 2a)
b = 12 − 2a a=
1 4
en b = 0.
De formule wordt dan H = t + 1 1 2 4
Controle met t = 3 12 geeft H = 14 ⋅ (3 12 ) 2 + 1 = 4 161 . Dit lijkt wel te kloppen met de grafiek. 6 a p = 34 ⋅ 32 ⋅ 12 = 14 b Nee. Die kans zou volgens het model 25% moeten zijn. c De kansen zijn iedere trekking weer hetzelfde, omdat het om trekken met terugleggen gaat. De kansboom wordt dan zoals rechts is afgebeeld. 27 3 De kans die je vindt, is p = 43 ⋅ 43 ⋅ 43 = 64 = 0, 421875 4 Dat klopt wel met het gegeven van een kans van minstens 40% op het winnen van de hoofdprijs. groen 3 4
7 a
L 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
H 2,19 6,19 11,37 17,51 24,47 32,16 40,53 49,52 59,08 69,20
L 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
H 79,84 90,97 102,57 114,63 127,13 140,05 153,38 167,11 181,23 195,73
rood
groen 3 4
groen
rood
b Teken Y1 = 0.0692*X^1.5 op WINDOW [0, 200] × [0, 200]
c Voor de hermelijn klopt het model niet. d Nee, want voor de andere dieren klopt het wel. Als je de getallen aanpast om het model passend te maken voor de hermelijn, dan zal het voor de andere dieren niet meer passen.
rood
Kern 2 Blikwisselen 8 a Die kans is gelijk aan 0,15 ⋅ 0,5 ⋅ 0,38 ⋅ 0, 65 ≈ 0,019 b De kans dat er geen gas vrij komt is gelijk aan 1 – 0,019 = 0,981 c De complementregel. 9 a P(er is iemand jarig) = 1 – P(er is niemand jarig) = 1 – P(eerste leerling niet jarig, tweede leerling niet jarig, …) = 1 − 364 ⋅ 364 ⋅ ⋅ 364 = 1 − ( 364 )20 ≈ 0, 0534 365 365 365 365 b P(er is iemand jarig) = 1 − ( 364 ) 21 ≈ 0, 0560 365 c Ja, die kans neemt toe. 10 a b Er zijn 82 spelers die een wedstrijd verliezen. Dat betekent dat er 82 wedstrijden worden gespeeld.
100 − 80 ⋅ 100% = 25% 80 150 − 100 ⋅ 100% = 50% Het tweede jaar: 100 105 − 150 Het derde jaar: ⋅ 100% = −30% 150 25% + 50% – 30% = 45% 105 − 80 ⋅ 100% = 31, 25% 80 De antwoorden zijn niet gelijk. De percentages die je bij a berekent hebt, hebben niet steeds betrekking op de beginkoers. 150 Het tweede jaar: = 1,50 100 105 Het derde jaar: = 0, 7 150 1, 25 ⋅ 1,5 ⋅ 0, 7 = 1,3125 . Het resultaat over drie jaar is 1,3125.
11 a Het eerste jaar:
b c d e
f
g De groeifactor per drie jaar is 1,3125. De groeifactor per jaar is 3 1,3125 ≈ 1,095 . Het jaarlijkse groeipercentage is 9,5%. h 9,5% is het juiste stijgingspercentage. 360 = 180 banden in voorraad. De kosten om één band in voorraad te 2 houden bedragen € 180, dus de totale voorraadkosten bedragen 180 ⋅ € 180 = € 32.400 b De totale opbrengsten bedragen 4500 ⋅ € 70 = € 315.000 . Hier moeten vanaf: de voorraadkosten, de inkoopkosten en de leveringskosten. Dan winst is dan € 315.000 − 180 ⋅ € 30 − € 32.400 − 13 ⋅ € 3.500 = € 103850. De winst per band bedraagt € 103850 : 4500 = € 23,08 x 4500 c De totale winst is gelijk aan TW = 4500 ⋅ (70 − 40) − ⋅ 180 − ⋅ 3500 2 x TW 90 x 3500 3500 De winst per band is dan = 30 − − = 30 − 0,02 x − 4500 4500 x x
12 a Gemiddeld zijn er steeds
3500 − 0, 02 = 0 als x ≈ 418,33 . Bij een bestelgrootte van 418 per keer is de winst per band x2 maximaal.
d W′ =
Kern 3 Vereenvoudigen 13 a Daar is de kans op twee verschillende soorten het grootst. b Div = 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,5 . Divmax = 0,5 c Er zijn 3 manieren om 2 verschillende soorten te pakken. d Div = 4 ⋅ 14 ⋅ 34 = 34 e
Div =
n −1 n
14 a Hij krijgt 25 1,75 = 43,75% van zijn salaris. Dat is 0,4375 € 4000 = € 1750 1, 75 ⋅ t b Het pensioen is P = ⋅ s = 0, 0175 ⋅ t ⋅ s 100 15 a Als h = 3, dan geldt l = b = 24. Er gaat immers aan 2 kanten 3 cm van af. De inhoud is gelijk aan 3 × 24 × 24 = 1728 cm3. b Als h gegeven is, dan geldt l = b = 30 – 2h. De inhoud is gelijk aan I = l × b × h = (30 − 2h) 2 ⋅ h c
I ′ = 2 ⋅ (30 − 2h) ⋅ −2 ⋅ h + (30 − 2h)2 = (30 − 2h) ⋅ ( −4h + 30 − 2h) = (30 − 2h) ⋅ (30 − 6h) I ′ = 0 als h = 15 of h = 5. De inhoud is maximaal als h = 5. De inhoud is dan I = (30 − 2 ⋅ 5) 2 ⋅ 5 = 2000 cm3.
d
I = l × b × h = (45 − 2h) 2 ⋅ h
I ′ = 2 ⋅ (45 − 2h) ⋅ −2 ⋅ h + (45 − 2h) 2 = (45 − 2h) ⋅ (−4h + 45 − 2h) = (45 − 2h) ⋅ (45 − 6h) I ′ = 0 als h = 17,5 of h = 7,5. De inhoud is maximaal als h = 7,5. De inhoud is dan I = (45 − 2 ⋅ 7,5)2 ⋅ 7,5 = 6750 cm3. e De maximale inhoud is 16000 cm3. Dat is 8 keer zo groot als de doos uit onderdeel c. Als de inhoud 8 keer zo groot wordt, moeten de afmetingen allemaal 3 8 = 2 keer zo groot zijn. De afmetingen van deze doos zijn 40 × 40 × 40. 16 a Er zijn 16 leugenaars en 84 eerlijke mensen. Van de leugenaars zal de detector 75% herkennen, dat betekent dat 12 leugenaars worden herkend. Van de eerlijke mensen zullen 11 van de 12 ook als eerlijk bestempeld worden, dus in totaal 77 mensen. In totaal wordt voor 12 + 77 = 89 mensen de juiste conclusie getrokken. De betrouwbaarheid is 89%. b Er zijn 10 leugenaars, van wie er naar verwachting 7,5 worden herkend. Er zijn 90 eerlijke mensen, van wie gemiddeld 82,5 worden herkend. De totale betrouwbaarheid is 7,5 + 82,5 = 90%. Dat is hoger dan 85%. 11 c Het aantal mensen dat juist herkend wordt, is 34 x + 12 ⋅ (100 − x) = − 16 x + 91 23 . De grafiek bestaat uit losse punten, omdat alleen gehele waarden van x betekenis hebben. d − 16 x + 91 23 = 87
− 16 x = −4 23 x = 28 Er bevinden zich 28 leugenaars in de groep. e We toetsen Ho: p = 0,916 tegen H1: p > 0,916 P( X ≥ 834 | n = 900 en p = 0,916) ≈ P( N ≥ 833,5 | µ = 824, 4 en σ = 8,32) ≈
normalcdf(833.5, 9999, 824.4, 8.32) = 0,1370 > 0,05 De nulhypothese kan niet worden verworpen, de nieuwe versie is niet beter.
Kern 4 Aantonen 17 a Als t heel groot wordt, wordt de noemer ongeveer 3 + 0 = 3. Het percentage nadert dan tot 222 = 74 . 3 −222 −222 ⋅ 43 ⋅ 0, 43t ⋅ ln 0, 43 t b P ′(t ) = ⋅ 43 ⋅ 0, 43 ⋅ ln 0, 43 = . (3 + 43 ⋅ 0, 43t ) 2 (3 + 43 ⋅ 0, 43t ) 2 De noemer van de afgeleide functie is een kwadraat, dus nooit negatief. De teller is ook altijd positief. Omdat de hellingfunctie altijd positief is, kun je concluderen dat de grafiek van P(t) overal stijgt. c Teken Y1 = 222 / (3 + 43*0.43 ^X) en Y2 = 73.99 op WINDOW [0,15] × [0, 100]. Via CALC – intersect vind je X = 13.711. Vanaf 2014 zal het percentage internetboekingen boven de 73,99% liggen.
18 a De kans dat Herman minstens drie van de ja/nee vragen goed heeft, is P ( X ≥ 3 | n = 4 en p = 12 ) = 1 − P ( X ≤ 2) = 1 – binomcdf(4, 0.5, 2) = 0,3125 De kans dat Herman twee ja/nee vragen goed heeft én de 3-keuzevraag goed heeft is P ( X = 2 | n = 4 en p = 12 ) ⋅ 13 = binompdf(4, 0.5, 2) ⋅ 13 = 0,125 De kans dat Herman slaagt is gelijk aan 0,3125 + 0,125 ≈ 0, 44 b De kans dat iemand 4 keer zakt, is gelijk aan 11%. Hieruit volgt dat ( pzakken ) 4 ≈ 0,11 pzakken = 4 0,11 ≈ 0,58 c P ( X ≥ 17 | n = 20 en p = 0, 655) = 1 − P ( X ≤ 16) ≈ 1 – binomcdf(20, 0.655, 16) = 0,0488 > 0,01. De resultaten van de rijschool wijken niet significant af van het landelijk gemiddelde.
19 a gem CRL (in mm)
70 60 50 40 30 20 10 0
b c d e f g
7
8
9 10 11 12 13 leeftijd (in weken)
Er zou sprake kunnen zijn van een machtsfunctie. 17 24 33 43 55 68 = 1,7 ; = 1, 41 ; = 1,375 ; = 1,303 ; = 1, 279 ; = 1, 236 . 10 17 24 33 43 55 Er is geen sprake van een vaste groeifactor. Eén tegenvoorbeeld is genoeg om aan te tonen dat iets niet altijd juist is. Eén voorbeeld is niet genoeg om aan te tonen dat iets altijd juist is. Omdat het in tegenspraak is met het gestelde. CRL = a ⋅ L3 33 = a ⋅ 103 = 1000a a = 0,033 De formule klopt redelijk met de gegevens uit de tabel. P( L > 39 | µ = 33 en σ = 3) ≈ normalcdf(39, 9999, 33, 3) = 0,0228. Dat is ongeveer 2,5%.
Kern 5 Toepassen 20 a 1, 3, 6, 10 b w 1 C 0 c
2 1
3 3
4 6
5 10
C
16 14
12 10 8 6 4 2 0
0
1
2
3
4
5
6 7 w
d Voor 6 werknemers is de schatting 15 contacten, voor 7 werknemers is de schatting 21 contacten. e De formule is passend voor de waarden uit de tabel. De schattingen komen ook overeen met de formule. 21 a Inkomen is een kwantitatieve, continue variabele. Huishouden is een kwantitatieve, discrete variabele. Stad is een kwalitatieve variabele. b Een positief effect. c K = 350 + 0,15 ⋅ 2500 + 50 ⋅ 1 − 200 ⋅ 1 = 575 d De coëfficiënt van stad is -200. Als de variabele stad de waarde 1 heeft, zal K met 200 afnemen. e K = 350 + 0,15 ⋅ inkomen + 50 ⋅ huishouden − 200 ⋅ 1 = 150 + 0,15 ⋅ inkomen + 50 ⋅ huishouden f g Voor de Zwollenaar geldt: inkomen = 3000, huishouden = 4. Dat geeft K = 150 + 0,15 ⋅ 3000 + 50 ⋅ 4 = 800 Voor de Hagenaar geldt: inkomen = 4000, huishouden = 1. Dat geeft K = 150 + 0,15 ⋅ 4000 + 50 ⋅ 1 = 800 De drang tot het kopen van een auto is voor beide even groot. 1 +1+1 125 ⋅ (1 − log( 4 2 3 )) ≈ 128 3 125 b Een zeldzame plant zal weinig vindplaatsen voor die soort kennen en/of een lage bedekkingsgraad hebben. totaal aantal vindplaatsen groot. Als het aantal vindplaatsen klein is, dan wordt de breuk aantal vindplaatsen met soort A Als de bedekking klein is, dan wordt de factor (1 – log(bedekking)) groot. De natuurwaarde voor een zeldzame soort is dus groot. 125 1 c Voor B geldt: natuurwaarde = ⋅ (1 − log( )) ≈ 387,11 1 125 1 +1 125 Voor C geldt: natuurwaarde = ⋅ (1 − log( 2 2 )) ≈ 193,56 1 125 Soort B heeft een hogere natuurwaarde en is volgens de formule dus zeldzamer.
22 a natuurwaarde =
d Bedenk dat log(10b) = log(10) + log(b) = 1 + log(b) De breuk verandert niet, de factor (1 – log(bedekking)) wél. Als de bedekking 10 keer zo groot wordt, wordt deze factor 1 kleiner. De natuurwaarde wordt kleiner. e Als een soort op alle vindplaatsen voorkomt en een volledige bedekking heeft, is de natuurwaarde 125 125 ⋅ (1 − log( )) = 1 125 125 Voor een zeldzamere soort geldt een hogere natuurwaarde. Dit betekent dat natuurwaarde ≥ 1. f Er zijn 40 + 55 waarnemingen waar iets is veranderd. Als de aanwezigheid van het plantje niet is veranderd, moet de kans op een wel-niet situatie gelijk zijn aan de kans op een niet-wel situatie. Toetsmodel: H 0 : p = 0,5 tegen H1 : p ≠ 0,5 X = het aantal plaatsen waar het herderstasje tussen 1975 en 1995 verdwijnt. P ( X ≥ 55 | n = 95 en p = 0,5) = 1 − P ( X ≤ 54) = 1 − binomcdf (95, 0.5,54) ≈ 0,075 > 0,05. De nulhypothese kan niet worden verworpen. 23 a Voor de vragen 11 – 20 geldt: E(punten) = 4 ⋅ 15 − 1 ⋅ 45 = 0 Voor de vragen 21 – 30 geldt: E(punten) = 5 ⋅ 15 − 1 14 ⋅ 45 = 0 b Het verwachte aantal punten dat je haalt bij gokken is 0. Het maakt dus niet uit of je de vraag onbeantwoord laat of gokt.
