Historický přehled vývoje geometrie

Historick´y pˇrehled v´yvoje geometrie Martin Swaczyna Katedra matematiky Pˇr´ırodovˇ edeck´ a fakulta Ostravsk´ a univerzita

Seminar z Geometrick´emechaniky, 8. 3. 2013

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I

starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I

starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)

I

geometrie m´a empirick´y charakter,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I

starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)

I

geometrie m´a empirick´y charakter,

I

ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I

starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)

I

geometrie m´a empirick´y charakter,

I

ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti

I

nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I

starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)

I

geometrie m´a empirick´y charakter,

I

ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti

I

nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy

I

d˚ uleˇzitˇejˇs´ı bylo ”jak se to poˇc´ıt´a”

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I

starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)

I

geometrie m´a empirick´y charakter,

I

ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti

I

nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy

I

d˚ uleˇzitˇejˇs´ı bylo ”jak se to poˇc´ıt´a” ˇ starovˇ ek´ e Recko (7. - 5. stol. pˇr. n. l.)

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I

starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)

I

geometrie m´a empirick´y charakter,

I

ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti

I

nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy

I I

d˚ uleˇzitˇejˇs´ı bylo ”jak se to poˇc´ıt´a” ˇ starovˇ ek´ e Recko (7. - 5. stol. pˇr. n. l.)

I

navazuj´ı na poznatky Babyloˇ nan˚ u a Egypt’an˚ u

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I

starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)

I

geometrie m´a empirick´y charakter,

I

ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti

I

nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy

I I

d˚ uleˇzitˇejˇs´ı bylo ”jak se to poˇc´ıt´a” ˇ starovˇ ek´ e Recko (7. - 5. stol. pˇr. n. l.)

I

navazuj´ı na poznatky Babyloˇ nan˚ u a Egypt’an˚ u

I

objevuj´ı se obecnˇejˇs´ı u ´vahy, snaha pˇresvˇedˇcovat se d˚ ukazy

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I

starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)

I

geometrie m´a empirick´y charakter,

I

ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti

I

nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy

I I

d˚ uleˇzitˇejˇs´ı bylo ”jak se to poˇc´ıt´a” ˇ starovˇ ek´ e Recko (7. - 5. stol. pˇr. n. l.)

I

navazuj´ı na poznatky Babyloˇ nan˚ u a Egypt’an˚ u

I

objevuj´ı se obecnˇejˇs´ı u ´vahy, snaha pˇresvˇedˇcovat se d˚ ukazy

I

nejen ”jak se to poˇc´ıt´a,”ale pˇredevˇs´ım tak´e ”proˇc to tak je”

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I

pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie Thales z Miletu (624 - 548 pˇr. n. l.)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I I

pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie Thales z Miletu (624 - 548 pˇr. n. l.) Thaletova vˇeta, Thaletova kruˇznice

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I I I

pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie Thales z Miletu (624 - 548 pˇr. n. l.) Thaletova vˇeta, Thaletova kruˇznice Pythagoras ze Samu (590 - 500 pˇr. n. l.)

Pythagoras

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I I I

pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie Thales z Miletu (624 - 548 pˇr. n. l.) Thaletova vˇeta, Thaletova kruˇznice Pythagoras ze Samu (590 - 500 pˇr. n. l.)

Pythagoras

I

Pythagorova vˇeta a jej´ı d˚ ukaz, vlastnosti pravo´ uhl´ych troj´ uheln´ık˚ u,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I I I

pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie Thales z Miletu (624 - 548 pˇr. n. l.) Thaletova vˇeta, Thaletova kruˇznice Pythagoras ze Samu (590 - 500 pˇr. n. l.)

Pythagoras

I I

Pythagorova vˇeta a jej´ı d˚ ukaz, vlastnosti pravo´ uhl´ych troj´ uheln´ık˚ u, zakladatel katoptriky - ˇc´ast optiky, kter´a se zab´yv´a odrazem svˇetla od geometrick´ych u ´tvar˚ u Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Hippokrat´ es z Chiu (5. stol pˇr. n. l.)(nezamˇen ˇovat s l´ekaˇrem Hippokratem z K´ ou)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Hippokrat´ es z Chiu (5. stol pˇr. n. l.)(nezamˇen ˇovat s l´ekaˇrem Hippokratem z K´ ou)

I

Hippokratova kvadratura mˇes´ıˇck˚ u

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Hippokrat´ es z Chiu (5. stol pˇr. n. l.)(nezamˇen ˇovat s l´ekaˇrem Hippokratem z K´ ou)

I

Hippokratova kvadratura mˇes´ıˇck˚ u

I

Hippias z Elidy (460 - 384 pˇr. n. l.)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Hippokrat´ es z Chiu (5. stol pˇr. n. l.)(nezamˇen ˇovat s l´ekaˇrem Hippokratem z K´ ou)

I

Hippokratova kvadratura mˇes´ıˇck˚ u

I

Hippias z Elidy (460 - 384 pˇr. n. l.)

I

transcendentn´ı kˇrivka - Hippiasova kvadratrix a jej´ı pouˇzit´ı pˇr´ı ˇreˇsen´ı trisekce u ´hlu a kvadratury kruhy

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Hippokrat´ es z Chiu (5. stol pˇr. n. l.)(nezamˇen ˇovat s l´ekaˇrem Hippokratem z K´ ou)

I

Hippokratova kvadratura mˇes´ıˇck˚ u

I

Hippias z Elidy (460 - 384 pˇr. n. l.)

I

transcendentn´ı kˇrivka - Hippiasova kvadratrix a jej´ı pouˇzit´ı pˇr´ı ˇreˇsen´ı trisekce u ´hlu a kvadratury kruhy

I

Hippiasova kvadratix Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Cel´a“ Hippiasova kvadartrix (vyj´adˇrena explicitnˇe jako graf ” funkce) Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)

I

plat´onsk´a tˇelesa

Plat´ onsk´a tˇelesa

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)

I

plat´onsk´a tˇelesa

Plat´ onsk´a tˇelesa I

Eudoxos z Knidu (408 - 355 pˇr. n. l.)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)

I

plat´onsk´a tˇelesa

Plat´ onsk´a tˇelesa I

Eudoxos z Knidu (408 - 355 pˇr. n. l.)

I

tv˚ urce exhaustivn´ı metody (metody ”vyˇcerp´an´ı”)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)

I

plat´onsk´a tˇelesa

Plat´ onsk´a tˇelesa I

Eudoxos z Knidu (408 - 355 pˇr. n. l.)

I

tv˚ urce exhaustivn´ı metody (metody ”vyˇcerp´an´ı”)

I

poˇc´ıt´an´ı obsah˚ u zaoblen´ych u ´tvar˚ u, principem je pokr´yt u ´tvar mnoho´ uheln´ıky a tak co nejv´ıce vyˇcerpat“ plochu u ´tvaru ”

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)

I

plat´onsk´a tˇelesa

Plat´ onsk´a tˇelesa I

Eudoxos z Knidu (408 - 355 pˇr. n. l.)

I

tv˚ urce exhaustivn´ı metody (metody ”vyˇcerp´an´ı”)

I

poˇc´ıt´an´ı obsah˚ u zaoblen´ych u ´tvar˚ u, principem je pokr´yt u ´tvar mnoho´ uheln´ıky a tak co nejv´ıce vyˇcerpat“ plochu u ´tvaru ” vyˇsetˇroval valen´ı v´alcov´e plochy pod´el hlavn´ı kruˇznice plochy kulov´e, dospˇel k prostorov´e kˇrivce, tzv. hypopedˇ e

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I

velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku Eukleides z Alexandrie (325 - 265 pˇr. n. l.)

Eukleides

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I

velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku Eukleides z Alexandrie (325 - 265 pˇr. n. l.)

Eukleides

I

Eukleidovy Z´aklady

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I

velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku Eukleides z Alexandrie (325 - 265 pˇr. n. l.)

Eukleides

I I

Eukleidovy Z´aklady ”mistrovsk´e d´ılo architektury matematiky”nebo t´eˇz ”bible geometrie”

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I

velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku Eukleides z Alexandrie (325 - 265 pˇr. n. l.)

Eukleides

I I I

Eukleidovy Z´aklady ”mistrovsk´e d´ılo architektury matematiky”nebo t´eˇz ”bible geometrie” pod´av´a systematick´y v´yklad z´aklad˚ u geometrie syntetickou metodou

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I

velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku Eukleides z Alexandrie (325 - 265 pˇr. n. l.)

Eukleides

I I I I

Eukleidovy Z´aklady ”mistrovsk´e d´ılo architektury matematiky”nebo t´eˇz ”bible geometrie” pod´av´a systematick´y v´yklad z´aklad˚ u geometrie syntetickou metodou geometrie je zde vybudovan´a axiomaticky, na z´akladˇe striktn´ıch pravidel logiky Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

D´ılo tvoˇr´ı 13 knih

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

D´ılo tvoˇr´ı 13 knih

I

KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

D´ılo tvoˇr´ı 13 knih

I

KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek

I

KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

D´ılo tvoˇr´ı 13 knih

I

KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek

I

KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec

I

KNIHA 3 - kruˇznice

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

D´ılo tvoˇr´ı 13 knih

I

KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek

I

KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec

I

KNIHA 3 - kruˇznice

I

KNIHA 4 - pravideln´e mnoho´ uheln´ıky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

D´ılo tvoˇr´ı 13 knih

I

KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek

I

KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec

I

KNIHA 3 - kruˇznice

I

KNIHA 4 - pravideln´e mnoho´ uheln´ıky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10

I

KNIHA 5 - teorie pomˇer˚ u

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

D´ılo tvoˇr´ı 13 knih

I

KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek

I

KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec

I

KNIHA 3 - kruˇznice

I

KNIHA 4 - pravideln´e mnoho´ uheln´ıky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10

I

KNIHA 5 - teorie pomˇer˚ u

I

KNIHA 6 - podobn´e mnoho´ uheln´ıky

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

D´ılo tvoˇr´ı 13 knih

I

KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek

I

KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec

I

KNIHA 3 - kruˇznice

I

KNIHA 4 - pravideln´e mnoho´ uheln´ıky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10

I

KNIHA 5 - teorie pomˇer˚ u

I

KNIHA 6 - podobn´e mnoho´ uheln´ıky

I

KNIHY 7, 8, 9 - aritmetika v geometrick´em pojet´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

D´ılo tvoˇr´ı 13 knih

I

KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek

I

KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec

I

KNIHA 3 - kruˇznice

I

KNIHA 4 - pravideln´e mnoho´ uheln´ıky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10

I

KNIHA 5 - teorie pomˇer˚ u

I

KNIHA 6 - podobn´e mnoho´ uheln´ıky

I

KNIHY 7, 8, 9 - aritmetika v geometrick´em pojet´ı

I

KNIHA 10 - nesoumˇeˇriteln´e veliˇciny

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I

KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I

KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie

I

KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I

KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie

I

KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny

I

Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I

KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie

I

KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny

I

Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let

I

logick´ a struktura d´ıla knihy zaˇc´ınaj´ı z´akladn´ımi definicemi pojm˚ u

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I

KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie

I

KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny

I

Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let

I

logick´ a struktura d´ıla knihy zaˇc´ınaj´ı z´akladn´ımi definicemi pojm˚ u

I

n´asleduj´ı z´akladn´ı nepochybn´a tvrzen´ı, kter´a se nedokazuj´ı, tzv. axiomy a postul´ aty

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I

KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie

I

KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny

I

Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let

I

logick´ a struktura d´ıla knihy zaˇc´ınaj´ı z´akladn´ımi definicemi pojm˚ u

I

n´asleduj´ı z´akladn´ı nepochybn´a tvrzen´ı, kter´a se nedokazuj´ı, tzv. axiomy a postul´ aty

I

postul´at˚ u je celkem 5 a tvoˇr´ı jak´esi ”z´akladn´ı kameny velkolep´e stavby geometrie”

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I

KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie

I

KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny

I

Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let

I

logick´ a struktura d´ıla knihy zaˇc´ınaj´ı z´akladn´ımi definicemi pojm˚ u

I

n´asleduj´ı z´akladn´ı nepochybn´a tvrzen´ı, kter´a se nedokazuj´ı, tzv. axiomy a postul´ aty

I

postul´at˚ u je celkem 5 a tvoˇr´ı jak´esi ”z´akladn´ı kameny velkolep´e stavby geometrie”

I

tvrzen´ı jsou pak ˇrazeny v pˇresn´em logick´em poˇrad´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I

KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie

I

KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny

I

Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let

I

logick´ a struktura d´ıla knihy zaˇc´ınaj´ı z´akladn´ımi definicemi pojm˚ u

I

n´asleduj´ı z´akladn´ı nepochybn´a tvrzen´ı, kter´a se nedokazuj´ı, tzv. axiomy a postul´ aty

I

postul´at˚ u je celkem 5 a tvoˇr´ı jak´esi ”z´akladn´ı kameny velkolep´e stavby geometrie”

I

tvrzen´ı jsou pak ˇrazeny v pˇresn´em logick´em poˇrad´ı

I

kaˇzd´a vˇeta se d´a dok´azat z pˇredchoz´ıch vˇet a s vyuˇzit´ım axiom˚ u a postul´at˚ u Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Logick´a struktura Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

v´ystiˇzn´y cit´at:

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Logick´a struktura Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

v´ystiˇzn´y cit´at:

I

”Eukleides na pˇeti z´akladn´ıch kamenech klade s ˇzeleznou logikou cihlu po cihle, ujiˇst’uje se, ˇze kaˇzd´a cihla pevnˇe drˇz´ı na pˇredch´azej´ıc´ıch bez nejmenˇs´ı mezery a tak vystav´ı celou katedr´alu geometrie pevnˇe zakotvenou ve sv´ych z´akladech.”

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Logick´a struktura Eukleidov´ych Z´aklad˚ u

I

v´ystiˇzn´y cit´at:

I

”Eukleides na pˇeti z´akladn´ıch kamenech klade s ˇzeleznou logikou cihlu po cihle, ujiˇst’uje se, ˇze kaˇzd´a cihla pevnˇe drˇz´ı na pˇredch´azej´ıc´ıch bez nejmenˇs´ı mezery a tak vystav´ı celou katedr´alu geometrie pevnˇe zakotvenou ve sv´ych z´akladech.”

I

Beckmann,P., Historie ˇc´ısla π, Academia, Praha, 1998, ISBN 80-200-0655-9

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı

I

konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı

I

konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka

I

a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı

I

konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka

I

a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u

I

Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı

I

konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka

I

a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u

I

Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:

I

1. kvadratura kruhu a jej´ı modifikace 1’. rektifikace kruˇ znice a 1”. kubatura koule

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı

I

konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka

I

a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u

I

Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:

I

1. kvadratura kruhu a jej´ı modifikace 1’. rektifikace kruˇ znice a 1”. kubatura koule

I

2. trisekce u ´hlu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı

I

konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka

I

a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u

I

Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:

I

1. kvadratura kruhu a jej´ı modifikace 1’. rektifikace kruˇ znice a 1”. kubatura koule

I

2. trisekce u ´hlu

I

3. zdvojen´ı (duplikace) krychle

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı

I

konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka

I

a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u

I

Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:

I

1. kvadratura kruhu a jej´ı modifikace 1’. rektifikace kruˇ znice a 1”. kubatura koule

I

2. trisekce u ´hlu

I

3. zdvojen´ı (duplikace) krychle

I

podm´ınkou pˇritom je, aby se pouze r´ysovalo euklidovsky pˇr´ıpustn´ymi konstrukcemi,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı

I

konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka

I

a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u

I

Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:

I

1. kvadratura kruhu a jej´ı modifikace 1’. rektifikace kruˇ znice a 1”. kubatura koule

I

2. trisekce u ´hlu

I

3. zdvojen´ı (duplikace) krychle

I

podm´ınkou pˇritom je, aby se pouze r´ysovalo euklidovsky pˇr´ıpustn´ymi konstrukcemi,

I

bez jak´ehokoliv mˇeˇren´ı, ˇz´adn´eho prav´ıtka se stupnic´ı, kˇriv´ıtka apod., vyˇzaduje se tedy tzv.eukleidovsk´ e ˇreˇsen´ı Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy

I

1. kvadratura kruhu: Sestrojen´ı ˇctverce stejn´eho obsahu jako dan´y kruh polomˇeru r , tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit √ ˇctverec o stranˇe d´elky r π

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy

I

1. kvadratura kruhu: Sestrojen´ı ˇctverce stejn´eho obsahu jako dan´y kruh polomˇeru r , tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit √ ˇctverec o stranˇe d´elky r π

I

1’. rektifikace kruˇ znice: K dan´e kruˇznici sestrojit u ´seˇcku stejn´e d´elky, jako je obvod kruˇznice, tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit k dan´emu polomˇeru r u ´seˇcku d´elky 2πr .

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy

I

1. kvadratura kruhu: Sestrojen´ı ˇctverce stejn´eho obsahu jako dan´y kruh polomˇeru r , tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit √ ˇctverec o stranˇe d´elky r π

I

1’. rektifikace kruˇ znice: K dan´e kruˇznici sestrojit u ´seˇcku stejn´e d´elky, jako je obvod kruˇznice, tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit k dan´emu polomˇeru r u ´seˇcku d´elky 2πr .

I

1”. kubatura koule: Sestrojen´ı krychle stejn´eho objemu jako dan´a koule polomˇeru r q , tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit

krychli o hranˇe d´elky r

3

4π 3

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

2. trisekce u ´hlu: Euklidovskou konstrukc´ı rozdˇelit obecn´y u ´hel na tˇri pˇresnˇe stejn´e d´ıly.

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

2. trisekce u ´hlu: Euklidovskou konstrukc´ı rozdˇelit obecn´y u ´hel na tˇri pˇresnˇe stejn´e d´ıly.

I

3. zdvojen´ı (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, kter´a m´a pˇresnˇe dvojn´asobn´y objem jako zadan´a krychle o hranˇe a, tzn. √ euklidovskou konstrukc´ı sestrojit u ´seˇcku d´elky a 3 π

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

2. trisekce u ´hlu: Euklidovskou konstrukc´ı rozdˇelit obecn´y u ´hel na tˇri pˇresnˇe stejn´e d´ıly.

I

3. zdvojen´ı (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, kter´a m´a pˇresnˇe dvojn´asobn´y objem jako zadan´a krychle o hranˇe a, tzn. √ euklidovskou konstrukc´ı sestrojit u ´seˇcku d´elky a 3 π

I

pol. 19. stol.- podaˇrilo se dok´azat, ˇze ˇz´adn´a z uveden´ych u ´loh nen´ı euklidovsky ˇreˇsiteln´a

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

2. trisekce u ´hlu: Euklidovskou konstrukc´ı rozdˇelit obecn´y u ´hel na tˇri pˇresnˇe stejn´e d´ıly.

I

3. zdvojen´ı (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, kter´a m´a pˇresnˇe dvojn´asobn´y objem jako zadan´a krychle o hranˇe a, tzn. √ euklidovskou konstrukc´ı sestrojit u ´seˇcku d´elky a 3 π

I

pol. 19. stol.- podaˇrilo se dok´azat, ˇze ˇz´adn´a z uveden´ych u ´loh nen´ı euklidovsky ˇreˇsiteln´a

I

Pierre Laurent Wantzel (1814 - 1845) vyslovil a dok´azal vˇetu :

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

2. trisekce u ´hlu: Euklidovskou konstrukc´ı rozdˇelit obecn´y u ´hel na tˇri pˇresnˇe stejn´e d´ıly.

I

3. zdvojen´ı (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, kter´a m´a pˇresnˇe dvojn´asobn´y objem jako zadan´a krychle o hranˇe a, tzn. √ euklidovskou konstrukc´ı sestrojit u ´seˇcku d´elky a 3 π

I

pol. 19. stol.- podaˇrilo se dok´azat, ˇze ˇz´adn´a z uveden´ych u ´loh nen´ı euklidovsky ˇreˇsiteln´a

I

Pierre Laurent Wantzel (1814 - 1845) vyslovil a dok´azal vˇetu :

I

eukleidovskou konstrukc´ı je moˇzn´e prov´adˇet pouze poˇcetn´ı operace sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı, dˇelen´ı a druhou odmocninu. (Nic jin´eho).

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

kubatura koule, zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hl˚ u vedou pˇritom na v´ypoˇcet tˇret´ı odmocniny

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

kubatura koule, zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hl˚ u vedou pˇritom na v´ypoˇcet tˇret´ı odmocniny

I

neˇreˇsitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kruˇznice plyne zase z faktu, ˇze ˇc´ıslo π je transendentn´ı iracion´aln´ı ˇc´ıslo,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

kubatura koule, zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hl˚ u vedou pˇritom na v´ypoˇcet tˇret´ı odmocniny

I

neˇreˇsitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kruˇznice plyne zase z faktu, ˇze ˇc´ıslo π je transendentn´ı iracion´aln´ı ˇc´ıslo,

I

nen´ı ˇreˇsen´ım ˇz´adn´e algebraick´e rovnice s racion´aln´ımi koeficienty a celoˇc´ıseln´ymi mocninami (dok´azal Lindemann (1882))

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

kubatura koule, zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hl˚ u vedou pˇritom na v´ypoˇcet tˇret´ı odmocniny

I

neˇreˇsitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kruˇznice plyne zase z faktu, ˇze ˇc´ıslo π je transendentn´ı iracion´aln´ı ˇc´ıslo,

I

nen´ı ˇreˇsen´ım ˇz´adn´e algebraick´e rovnice s racion´aln´ımi koeficienty a celoˇc´ıseln´ymi mocninami (dok´azal Lindemann (1882))

I

Z´avˇer:

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I

kubatura koule, zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hl˚ u vedou pˇritom na v´ypoˇcet tˇret´ı odmocniny

I

neˇreˇsitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kruˇznice plyne zase z faktu, ˇze ˇc´ıslo π je transendentn´ı iracion´aln´ı ˇc´ıslo,

I

nen´ı ˇreˇsen´ım ˇz´adn´e algebraick´e rovnice s racion´aln´ımi koeficienty a celoˇc´ıseln´ymi mocninami (dok´azal Lindemann (1882))

I

Z´avˇer:

I

antick´e u ´lohy nejsou sice ˇreˇsiteln´e eukleidovskou konstrukc´ı, jsou ale ˇreˇsiteln´e modern´ımi postupy, kter´e jsou ˇcasto pˇresnˇejˇs´ı neˇz r´ysov´an´ı.

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Archim´ edes ze Syrakus (287 - 212 pˇr. n. l.)

Archim´edes

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I

Archim´ edes ze Syrakus (287 - 212 pˇr. n. l.)

Archim´edes

I

polopravideln´e mnohostˇeny,

Archim´edovsk´a tˇelesa

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko

I

mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko

I

mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)

I

u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko

I

mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)

I

u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu

I

spisy Kvadratura paraboly,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko

I

mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)

I

u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu

I

spisy Kvadratura paraboly,

I

O kouli a v´alci (objem a povrch koule a v´alce), Mˇeˇren´ı kruhu (obvod a obsah kruhu),

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko

I

mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)

I

u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu

I

spisy Kvadratura paraboly,

I

O kouli a v´alci (objem a povrch koule a v´alce), Mˇeˇren´ı kruhu (obvod a obsah kruhu),

I

O konoidech a sferoidech, O spir´al´ach (Archimedova spir´ala)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko

I

mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)

I

u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu

I

spisy Kvadratura paraboly,

I

O kouli a v´alci (objem a povrch koule a v´alce), Mˇeˇren´ı kruhu (obvod a obsah kruhu),

I

O konoidech a sferoidech, O spir´al´ach (Archimedova spir´ala)

I

Apollonius z Pergy (262 - 190 pˇr. n. l.)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko

I

mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)

I

u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu

I

spisy Kvadratura paraboly,

I

O kouli a v´alci (objem a povrch koule a v´alce), Mˇeˇren´ı kruhu (obvod a obsah kruhu),

I

O konoidech a sferoidech, O spir´al´ach (Archimedova spir´ala)

I

Apollonius z Pergy (262 - 190 pˇr. n. l.)

I

Appoloniovy u ´lohy, Konika - spis O kuˇzeloseˇck´ach

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I

Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I

Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)

I

Pappova vˇety (objem rotaˇcn´ıho tˇelesa je roven souˇcinu obsahu ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´tvaru a obvodu kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe u ´tvaru) (Guldinova vˇeta)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I

Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)

I

Pappova vˇety (objem rotaˇcn´ıho tˇelesa je roven souˇcinu obsahu ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´tvaru a obvodu kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe u ´tvaru) (Guldinova vˇeta)

I

V´ypoˇcet objemu t´ oru pomoc´ı Pappovy vˇety

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I

Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)

I

Pappova vˇety (objem rotaˇcn´ıho tˇelesa je roven souˇcinu obsahu ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´tvaru a obvodu kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe u ´tvaru) (Guldinova vˇeta)

I

V´ypoˇcet objemu t´ oru pomoc´ı Pappovy vˇety I

zab´yval se k´onickou spir´alou (pr˚ unik rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy s v´alcovou plochou)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I

Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)

I

Pappova vˇety (objem rotaˇcn´ıho tˇelesa je roven souˇcinu obsahu ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´tvaru a obvodu kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe u ´tvaru) (Guldinova vˇeta)

I

V´ypoˇcet objemu t´ oru pomoc´ı Pappovy vˇety I

zab´yval se k´onickou spir´alou (pr˚ unik rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy s v´alcovou plochou)

I

476 n. l. z´ anik Z´ apadoˇr´ımsk´ e ˇr´ıˇse - konec starovˇeku

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I

Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)

I

Pappova vˇety (objem rotaˇcn´ıho tˇelesa je roven souˇcinu obsahu ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´tvaru a obvodu kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe u ´tvaru) (Guldinova vˇeta)

I

V´ypoˇcet objemu t´ oru pomoc´ı Pappovy vˇety I

zab´yval se k´onickou spir´alou (pr˚ unik rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy s v´alcovou plochou)

I

476 n. l. z´ anik Z´ apadoˇr´ımsk´ e ˇr´ıˇse - konec starovˇeku

I

stˇredovˇ ek - obdob´ı glob´aln´ı stagnace myˇslen´ı,pokroku a vˇedy v Evropˇe Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I

Johannes Kepler (1571 - 1630

Johanes Kepler

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I

Johannes Kepler (1571 - 1630

Johanes Kepler

I

zab´yval se pravideln´ymi hvˇezdicovit´ymi mnohostˇeny

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I

Johannes Kepler (1571 - 1630

Johanes Kepler

I

zab´yval se pravideln´ymi hvˇezdicovit´ymi mnohostˇeny

I y pˇrehled v´ yvoje geometrie Hvˇezdicovit´eHistorick´ mnohostˇ eny

Martin Swaczyna

Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I

spis Nov´e v´ypoˇcty vinn´ych sud˚ u - urˇcen´ı objemu 90 rotaˇc. tˇeles

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I I

spis Nov´e v´ypoˇcty vinn´ych sud˚ u - urˇcen´ı objemu 90 rotaˇc. tˇeles nebesk´a mechanika - kinematika pohyb˚ u planet (Keplerovy z´ akony, elipsy)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I I I

spis Nov´e v´ypoˇcty vinn´ych sud˚ u - urˇcen´ı objemu 90 rotaˇc. tˇeles nebesk´a mechanika - kinematika pohyb˚ u planet (Keplerovy z´ akony, elipsy) vyloˇzil heliocentrickou planet´arn´ı soustavu pomoc´ı pˇeti platonsk´ych tˇeles

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I I I

spis Nov´e v´ypoˇcty vinn´ych sud˚ u - urˇcen´ı objemu 90 rotaˇc. tˇeles nebesk´a mechanika - kinematika pohyb˚ u planet (Keplerovy z´ akony, elipsy) vyloˇzil heliocentrickou planet´arn´ı soustavu pomoc´ı pˇeti platonsk´ych tˇeles

I

Planet´arn´ı model podle Keplerova prvn´ıho spisu Tajemstv´ı ıru y pˇrehled v´yvoje geometrie Martin Swaczyna vesm´ Historick´

Pˇrehled historie geometrie - humanismus I

Ren´ e Descartes (Cartesius)(1596 - 1650)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - humanismus I

Ren´ e Descartes (Cartesius)(1596 - 1650)

I

zakladatel analytick´e geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - humanismus I

Ren´ e Descartes (Cartesius)(1596 - 1650)

I

zakladatel analytick´e geometrie zavedl do geometrie souˇradnice (kart´ezsk´e souˇradnice)

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - humanismus I

zab´yval se zaj´ımavou kˇrivkou Descart˚ uv list

Descart˚ uv list

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - humanismus I

zab´yval se zaj´ımavou kˇrivkou Descart˚ uv list

Descart˚ uv list I

ve spisu Dipotrika - z´akon lomu svˇetla, v´yklad vzniku duhy

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin I

Pierre Fermat(1601 - 1665)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin I

Pierre Fermat(1601 - 1665)

I

u ´loha setrojit kulovou plochu z dan´ych 4 bod˚ u na n´ı leˇz´ıc´ıch

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin I

Pierre Fermat(1601 - 1665)

I

u ´loha setrojit kulovou plochu z dan´ych 4 bod˚ u na n´ı leˇz´ıc´ıch

I

Fermat˚ uv princip - obecn´y z´akon geometrick´e optiky svˇetlo se ˇs´ıˇr´ı po ˇcasovˇe nej´ uspornˇejˇs´ı dr´aze Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin

I

Isaac Newton (1643 - 1727)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin I

Gottlieb Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin I

Gottlieb Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)

I

nez´avisle objevili a rozpracovali infinitesim´ aln´ı poˇ cet Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin

I

vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin

I

vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.

I

aplikace ve fyzice a geometrii, diferenci´aln´ı rovnice, diferenci´aln´ı geometrie, diferenci´aln´ı principy ve fyzice,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin

I

vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.

I

aplikace ve fyzice a geometrii, diferenci´aln´ı rovnice, diferenci´aln´ı geometrie, diferenci´aln´ı principy ve fyzice,

I

d˚ uleˇzit´y motivaˇ cn´ı v´ yznam geometrie pˇri vzniku a rozvoji infinitesim´aln´ıho poˇctu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin

I

vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.

I

aplikace ve fyzice a geometrii, diferenci´aln´ı rovnice, diferenci´aln´ı geometrie, diferenci´aln´ı principy ve fyzice,

I

d˚ uleˇzit´y motivaˇ cn´ı v´ yznam geometrie pˇri vzniku a rozvoji infinitesim´aln´ıho poˇctu

I

pojem teˇ cna ke kˇrivce pˇredch´azel pojmu derivace

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin

I

vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.

I

aplikace ve fyzice a geometrii, diferenci´aln´ı rovnice, diferenci´aln´ı geometrie, diferenci´aln´ı principy ve fyzice,

I

d˚ uleˇzit´y motivaˇ cn´ı v´ yznam geometrie pˇri vzniku a rozvoji infinitesim´aln´ıho poˇctu

I

pojem teˇ cna ke kˇrivce pˇredch´azel pojmu derivace

I

pojem obsahu obrazce pˇredch´azel pojmu integr´alu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin

I

vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.

I

aplikace ve fyzice a geometrii, diferenci´aln´ı rovnice, diferenci´aln´ı geometrie, diferenci´aln´ı principy ve fyzice,

I

d˚ uleˇzit´y motivaˇ cn´ı v´ yznam geometrie pˇri vzniku a rozvoji infinitesim´aln´ıho poˇctu

I

pojem teˇ cna ke kˇrivce pˇredch´azel pojmu derivace

I

pojem obsahu obrazce pˇredch´azel pojmu integr´alu

I

pojem povrchu a objemu tˇ elesa pˇredch´azel pojmu dvojn´eho a trojn´eho integr´alu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

postupn´y rozvoj infinitesim´aln´ıho poˇctu a metod ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

postupn´y rozvoj infinitesim´aln´ıho poˇctu a metod ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic

I

dovoloval ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohy z mechaniky hmotn´eho bodu a studovat sloˇzitˇejˇs´ı geometrick´e kˇrivky

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

postupn´y rozvoj infinitesim´aln´ıho poˇctu a metod ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic

I

dovoloval ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohy z mechaniky hmotn´eho bodu a studovat sloˇzitˇejˇs´ı geometrick´e kˇrivky

I

1673 Huygens studium tautochrony - ”kˇrivky stejn´eho ˇcasu”

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

postupn´y rozvoj infinitesim´aln´ıho poˇctu a metod ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic

I

dovoloval ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohy z mechaniky hmotn´eho bodu a studovat sloˇzitˇejˇs´ı geometrick´e kˇrivky

I

1673 Huygens studium tautochrony - ”kˇrivky stejn´eho ˇcasu”

I

matematick´e kyvadlo dospˇeje do spodn´ı polohy vˇzdy za stejnou dobu nez´avisle na poˇc´ateˇcn´ı v´ychylce, bude-li se pohybovat po cykloidˇe

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

postupn´y rozvoj infinitesim´aln´ıho poˇctu a metod ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic

I

dovoloval ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohy z mechaniky hmotn´eho bodu a studovat sloˇzitˇejˇs´ı geometrick´e kˇrivky

I

1673 Huygens studium tautochrony - ”kˇrivky stejn´eho ˇcasu”

I

matematick´e kyvadlo dospˇeje do spodn´ı polohy vˇzdy za stejnou dobu nez´avisle na poˇc´ateˇcn´ı v´ychylce, bude-li se pohybovat po cykloidˇe

I

cykloida m´a vlastnost tautochrony, tzv. izochronismus cykloid´ aln´ıho kyvadla

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

2. pol. 17. stol., 18. stol. Jacob a Johann Bernoulliov´ e

Jacob Bernoulli

Martin Swaczyna

Johann Bernoulli

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

2. pol. 17. stol., 18. stol. Jacob a Johann Bernoulliov´ e

Jacob Bernoulli I

Johann Bernoulli

u ´loha o rovnov´aze ohebn´eho vl´akna zavˇeˇsen´eho v t´ıhov´em poli, Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

2. pol. 17. stol., 18. stol. Jacob a Johann Bernoulliov´ e

Jacob Bernoulli I

I

Johann Bernoulli

u ´loha o rovnov´aze ohebn´eho vl´akna zavˇeˇsen´eho v t´ıhov´em poli, ˇreˇsen´ı: ˇretˇ ezovka (catenary) Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

ˇ ezovka Retˇ

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

ˇ ezovka Retˇ I

ˇretˇezovka v praxi

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

ˇretˇezovka v architektuˇre (klendby staveb, mostn´ı stavitelstv´ı)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

ˇretˇezovka v architektuˇre (klendby staveb, mostn´ı stavitelstv´ı)

I Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

ˇ ezovka - transcendentn´ı rovinn´a kˇrivka popsan´a funkc´ı Retˇ kosinus hyperbolick´y Na obr´azku: ˇretˇezovky s r˚ uzn´ymi parametry Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

rotac´ı ˇretˇezovky vznikaj´ı rotaˇcn´ı plochy minim´aln´ıho povrchu tzv. katenoidy

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

rotac´ı ˇretˇezovky vznikaj´ı rotaˇcn´ı plochy minim´aln´ıho povrchu tzv. katenoidy

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

z diferenci´alnˇe geometric. hlediska se jedn´a o plochy nulov´e stˇredn´ı kˇrivosti

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

z diferenci´alnˇe geometric. hlediska se jedn´a o plochy nulov´e stˇredn´ı kˇrivosti

I

katenoid v praxi: m´ydlov´a bl´ana napnut´a na dvou rovnobˇeˇzn´ych kruhov´ych obruˇc´ıch

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

z diferenci´alnˇe geometric. hlediska se jedn´a o plochy nulov´e stˇredn´ı kˇrivosti

I

katenoid v praxi: m´ydlov´a bl´ana napnut´a na dvou rovnobˇeˇzn´ych kruhov´ych obruˇc´ıch

I

princip minim´ aln´ı povrchov´ e energie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

1687 Leibniz

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

1687 Leibniz

I

nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

1687 Leibniz

I

nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı

I

ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

1687 Leibniz

I

nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı

I

ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona

I

1694 Jacob Bernoulli

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

1687 Leibniz

I

nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı

I

ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona

I

1694 Jacob Bernoulli

I

nal´ezt kˇrivku, po n´ıˇz se hm. bod v t´ıhov´em poli bl´ıˇz´ı k c´ılov´emu bodu s konstantn´ı rychlost´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

1687 Leibniz

I

nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı

I

ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona

I

1694 Jacob Bernoulli

I

nal´ezt kˇrivku, po n´ıˇz se hm. bod v t´ıhov´em poli bl´ıˇz´ı k c´ılov´emu bodu s konstantn´ı rychlost´ı

I

ˇreˇsen´ı: paracentrick´ a izochrona

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

1687 Leibniz

I

nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı

I

ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona

I

1694 Jacob Bernoulli

I

nal´ezt kˇrivku, po n´ıˇz se hm. bod v t´ıhov´em poli bl´ıˇz´ı k c´ılov´emu bodu s konstantn´ı rychlost´ı

I

ˇreˇsen´ı: paracentrick´ a izochrona

I

dalˇs´ı zaj´ımav´e kˇrivky spojen´e s Bernoulliov´ymi

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I

1687 Leibniz

I

nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı

I

ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona

I

1694 Jacob Bernoulli

I

nal´ezt kˇrivku, po n´ıˇz se hm. bod v t´ıhov´em poli bl´ıˇz´ı k c´ılov´emu bodu s konstantn´ı rychlost´ı

I

ˇreˇsen´ı: paracentrick´ a izochrona

I

dalˇs´ı zaj´ımav´e kˇrivky spojen´e s Bernoulliov´ymi

I

lemnisk´ ata, logaritmick´ a spir´ ala, limacon (hlem´yˇzd’ovka), asteroida

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

lemnisk´ata

Martin Swaczyna

logaritmick´a spir´ala

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek

I

lemnisk´ata

logaritmick´a spir´ala

I

asteroida Martin Swaczyna

limacon Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony I

1696 - Johan Bernoulli formuloval probl´ em brachystochrony

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony I

1696 - Johan Bernoulli formuloval probl´ em brachystochrony

I

p˚ uvod slova z ˇreˇctiny: brachis = nejkratˇs´ı, chronos = ˇcas

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony I

1696 - Johan Bernoulli formuloval probl´ em brachystochrony

I

p˚ uvod slova z ˇreˇctiny: brachis = nejkratˇs´ı, chronos = ˇcas

I

nal´ezt kˇrivku, pod´el kter´e se hmotn´y bod pohybuj´ıc´ı se v t´ıhov´em poli dostane z v´yˇse poloˇzen´eho bodu do n´ıˇze poloˇzen´eho bodu za nejkratˇs´ı ˇcas

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony I

1696 - Johan Bernoulli formuloval probl´ em brachystochrony

I

p˚ uvod slova z ˇreˇctiny: brachis = nejkratˇs´ı, chronos = ˇcas

I

nal´ezt kˇrivku, pod´el kter´e se hmotn´y bod pohybuj´ıc´ı se v t´ıhov´em poli dostane z v´yˇse poloˇzen´eho bodu do n´ıˇze poloˇzen´eho bodu za nejkratˇs´ı ˇcas

I

brachystochrona Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony

I

ˇreˇsen´ım je oblouk cykloidy

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony

I

ˇreˇsen´ım je oblouk cykloidy

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony

I

ˇreˇsitel´e: Leibniz, oba bratˇri Bernoulliov´e, l´Hospital, Newton

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony

I

ˇreˇsitel´e: Leibniz, oba bratˇri Bernoulliov´e, l´Hospital, Newton

I

d˚ uleˇzit´y miln´ık ve v´yvoji matematiky,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony

I

ˇreˇsitel´e: Leibniz, oba bratˇri Bernoulliov´e, l´Hospital, Newton

I

d˚ uleˇzit´y miln´ık ve v´yvoji matematiky,

I

u ´loha nov´eho typu - typu izoperimetrick´ ych u ´loh,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony

I

ˇreˇsitel´e: Leibniz, oba bratˇri Bernoulliov´e, l´Hospital, Newton

I

d˚ uleˇzit´y miln´ık ve v´yvoji matematiky,

I

u ´loha nov´eho typu - typu izoperimetrick´ ych u ´loh,

I

extr´em se hled´a ve tˇr´ıdˇe pˇr´ıpustn´ych kˇrivek

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony

I

ˇreˇsitel´e: Leibniz, oba bratˇri Bernoulliov´e, l´Hospital, Newton

I

d˚ uleˇzit´y miln´ık ve v´yvoji matematiky,

I

u ´loha nov´eho typu - typu izoperimetrick´ ych u ´loh,

I

extr´em se hled´a ve tˇr´ıdˇe pˇr´ıpustn´ych kˇrivek

I

vznik variaˇ cn´ıho poˇ ctu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I

Leonhard Euler (1707 - 1783)

I

geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I

Leonhard Euler (1707 - 1783)

I

geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky pˇr´ınos k rozvoji variaˇ cn´ıho poˇ ctu

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I

Leonhard Euler (1707 - 1783)

I

geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky pˇr´ınos k rozvoji variaˇ cn´ıho poˇ ctu zab´yva se i nˇekter´ymi probl´emy diferenci´aln´ı geometrie (teˇcna, norm´ala kˇrivky, kˇrivost kˇrivek)

I I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I

Leonhard Euler (1707 - 1783)

I

geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky pˇr´ınos k rozvoji variaˇ cn´ıho poˇ ctu zab´yva se i nˇekter´ymi probl´emy diferenci´aln´ı geometrie (teˇcna, norm´ala kˇrivky, kˇrivost kˇrivek) studuje geodetick´e probl´emy

I I I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I

Leonhard Euler (1707 - 1783)

I

geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky pˇr´ınos k rozvoji variaˇ cn´ıho poˇ ctu zab´yva se i nˇekter´ymi probl´emy diferenci´aln´ı geometrie (teˇcna, norm´ala kˇrivky, kˇrivost kˇrivek) studuje geodetick´e probl´emy 1732 publikuje rovnici geodetick´ e kˇrivky (geodetiky)

I I I I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I

Leonhard Euler (1707 - 1783)

I

geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky pˇr´ınos k rozvoji variaˇ cn´ıho poˇ ctu zab´yva se i nˇekter´ymi probl´emy diferenci´aln´ı geometrie (teˇcna, norm´ala kˇrivky, kˇrivost kˇrivek) studuje geodetick´e probl´emy 1732 publikuje rovnici geodetick´ e kˇrivky (geodetiky) geodetika - kˇrivka na ploˇse, pod´el n´ıˇz se teˇcn´y vektor pˇren´aˇs´ı paralelnˇe

I I I I I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I

v mnoˇzinˇe geodetik leˇz´ı t´eˇz nejkratˇs´ı spojnice dvou bod˚ u na ploˇse

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I

v mnoˇzinˇe geodetik leˇz´ı t´eˇz nejkratˇs´ı spojnice dvou bod˚ u na ploˇse

I

napˇr. na v´alc. ploˇse - oblouky ˇsroubovic,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I

v mnoˇzinˇe geodetik leˇz´ı t´eˇz nejkratˇs´ı spojnice dvou bod˚ u na ploˇse

I

napˇr. na v´alc. ploˇse - oblouky ˇsroubovic,

I

na kulov´e ploˇse - ortodromy (oblouky hlavn´ıch kruˇznic)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I

v mnoˇzinˇe geodetik leˇz´ı t´eˇz nejkratˇs´ı spojnice dvou bod˚ u na ploˇse

I

napˇr. na v´alc. ploˇse - oblouky ˇsroubovic,

I

na kulov´e ploˇse - ortodromy (oblouky hlavn´ıch kruˇznic)

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I

nezamˇen ˇovat ortodromy s loxodromami - kˇrivkami ”st´al´eho kursu”(n´amoˇrn´ı navigace), prot´ınaj´ı poledn´ıky pod stejn´ym u ´hlem

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I

nezamˇen ˇovat ortodromy s loxodromami - kˇrivkami ”st´al´eho kursu”(n´amoˇrn´ı navigace), prot´ınaj´ı poledn´ıky pod stejn´ym u ´hlem

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I

nezamˇen ˇovat ortodromy s loxodromami - kˇrivkami ”st´al´eho kursu”(n´amoˇrn´ı navigace), prot´ınaj´ı poledn´ıky pod stejn´ym u ´hlem

I I

n´azev geodetika zav´ad´ı Laplace v r. 1799

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Gaspard Monge (1746 - 1818)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Gaspard Monge (1746 - 1818)

I

zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Gaspard Monge (1746 - 1818)

I

zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,

I

tv˚ urce Mongeova prom´ıt´ an´ı (deskriptivn´ı geometrie)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Gaspard Monge (1746 - 1818)

I

zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,

I

tv˚ urce Mongeova prom´ıt´ an´ı (deskriptivn´ı geometrie)

I

1795 d´ılo Aplikace anal´yzy v geometrii

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Gaspard Monge (1746 - 1818)

I

zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,

I

tv˚ urce Mongeova prom´ıt´ an´ı (deskriptivn´ı geometrie)

I

1795 d´ılo Aplikace anal´yzy v geometrii

I

hlavn´ı uˇcebnice diferenci´aln´ı geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Gaspard Monge (1746 - 1818)

I

zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,

I

tv˚ urce Mongeova prom´ıt´ an´ı (deskriptivn´ı geometrie)

I

1795 d´ılo Aplikace anal´yzy v geometrii

I

hlavn´ı uˇcebnice diferenci´aln´ı geometrie

I

Fr´ ederic Frenet (1816 - 1900)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Gaspard Monge (1746 - 1818)

I

zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,

I

tv˚ urce Mongeova prom´ıt´ an´ı (deskriptivn´ı geometrie)

I

1795 d´ılo Aplikace anal´yzy v geometrii

I

hlavn´ı uˇcebnice diferenci´aln´ı geometrie

I

Fr´ ederic Frenet (1816 - 1900)

I

teorie prostorov´ych kˇrivek, Frenetovy vzorce Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

I

nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

I

nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie studuje konformn´ı zobrazen´ı, zakˇriven´e plochy a geodetiky

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

I

nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie studuje konformn´ı zobrazen´ı, zakˇriven´e plochy a geodetiky pojmy geodetick´ a kˇrivost, Gaussova kˇrivost plochy

I I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

I

nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie studuje konformn´ı zobrazen´ı, zakˇriven´e plochy a geodetiky pojmy geodetick´ a kˇrivost, Gaussova kˇrivost plochy 1827 kniha Studium kˇriv´ych ploch - z´aklady teorie ploch a geodetik

I I I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

I

nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie studuje konformn´ı zobrazen´ı, zakˇriven´e plochy a geodetiky pojmy geodetick´ a kˇrivost, Gaussova kˇrivost plochy 1827 kniha Studium kˇriv´ych ploch - z´aklady teorie ploch a geodetik diferenci´aln´ı geometrie jako samostatn´a vˇedn´ı disipl´ına

I I I I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

I

nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie studuje konformn´ı zobrazen´ı, zakˇriven´e plochy a geodetiky pojmy geodetick´ a kˇrivost, Gaussova kˇrivost plochy 1827 kniha Studium kˇriv´ych ploch - z´aklady teorie ploch a geodetik diferenci´aln´ı geometrie jako samostatn´a vˇedn´ı disipl´ına autor prvn´ıch n´aˇcrt˚ u neeuklidovsk´e hyperbolick´e geometrie (nepublikovan´e)

I I I I I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I

Gaussova kˇrivka (hustota norm´aln´ıho rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena

I

neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena

I

neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech

I

d´avno zn´ama nadbyteˇcnost 4. Euklidova postul´atu (Vˇsechny prav´e u ´hly jsou shodn´e )

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena

I

neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech

I

d´avno zn´ama nadbyteˇcnost 4. Euklidova postul´atu (Vˇsechny prav´e u ´hly jsou shodn´e )

I

d´a se dok´azat ze zb´yvaj´ıc´ıch axiom˚ u a postul´at˚ u

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena

I

neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech

I

d´avno zn´ama nadbyteˇcnost 4. Euklidova postul´atu (Vˇsechny prav´e u ´hly jsou shodn´e )

I

d´a se dok´azat ze zb´yvaj´ıc´ıch axiom˚ u a postul´at˚ u

I

”odvˇek´e v´ah´an´ı”matematik˚ u tak´e nad nez´avislosti 5. Euklidova postul´atem (postul´at o rovnobˇeˇzk´ach):

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena

I

neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech

I

d´avno zn´ama nadbyteˇcnost 4. Euklidova postul´atu (Vˇsechny prav´e u ´hly jsou shodn´e )

I

d´a se dok´azat ze zb´yvaj´ıc´ıch axiom˚ u a postul´at˚ u

I

”odvˇek´e v´ah´an´ı”matematik˚ u tak´e nad nez´avislosti 5. Euklidova postul´atem (postul´at o rovnobˇeˇzk´ach):

I

Kaˇzd´ym bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p proch´az´ı pr´avˇe jedna pˇr´ımka, kter´a je s n´ı rovnobˇeˇzn´a

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena

I

neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech

I

d´avno zn´ama nadbyteˇcnost 4. Euklidova postul´atu (Vˇsechny prav´e u ´hly jsou shodn´e )

I

d´a se dok´azat ze zb´yvaj´ıc´ıch axiom˚ u a postul´at˚ u

I

”odvˇek´e v´ah´an´ı”matematik˚ u tak´e nad nez´avislosti 5. Euklidova postul´atem (postul´at o rovnobˇeˇzk´ach):

I

Kaˇzd´ym bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p proch´az´ı pr´avˇe jedna pˇr´ımka, kter´a je s n´ı rovnobˇeˇzn´a

I

pˇr´ıliˇs sloˇzit´y, netrivi´aln´ı ve srovn´an´ı se zbyl´ymi postul´aty Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr

I

ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr

I

ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e

I

d˚ ukazy opˇreny o pˇredpoklady nebo tvrzen´ı ”skrytˇe ekvivalentn´ı”s 5. postul´atem

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr

I

ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e

I

d˚ ukazy opˇreny o pˇredpoklady nebo tvrzen´ı ”skrytˇe ekvivalentn´ı”s 5. postul´atem

I

v´ysledkem u ´sil´ı - ˇrada tvrzen´ı a vˇet ekvivalentn´ıch s 5. postul´atu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr

I

ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e

I

d˚ ukazy opˇreny o pˇredpoklady nebo tvrzen´ı ”skrytˇe ekvivalentn´ı”s 5. postul´atem

I

v´ysledkem u ´sil´ı - ˇrada tvrzen´ı a vˇet ekvivalentn´ıch s 5. postul´atu

I

napˇr. vˇeta souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u v troj´ uheln´ıku je roven dvˇema prav´ym nebo Pythagorova vˇeta

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr

I

ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e

I

d˚ ukazy opˇreny o pˇredpoklady nebo tvrzen´ı ”skrytˇe ekvivalentn´ı”s 5. postul´atem

I

v´ysledkem u ´sil´ı - ˇrada tvrzen´ı a vˇet ekvivalentn´ıch s 5. postul´atu

I

napˇr. vˇeta souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u v troj´ uheln´ıku je roven dvˇema prav´ym nebo Pythagorova vˇeta

I

Legendre (1752 - 1833)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr

I

ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e

I

d˚ ukazy opˇreny o pˇredpoklady nebo tvrzen´ı ”skrytˇe ekvivalentn´ı”s 5. postul´atem

I

v´ysledkem u ´sil´ı - ˇrada tvrzen´ı a vˇet ekvivalentn´ıch s 5. postul´atu

I

napˇr. vˇeta souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u v troj´ uheln´ıku je roven dvˇema prav´ym nebo Pythagorova vˇeta

I

Legendre (1752 - 1833)

I

Souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u v kaˇzd´em troj´ uheln´ıku je u ´hel pˇr´ım´y, pr´avˇe kdyˇz plat´ı 5. postul´at. Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu

I

prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu

I

prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:

I

Souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u libovoln´eho troj´ uheln´ıka je nejv´yˇse rovna u ´hlu pˇr´ım´emu.

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu

I

prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:

I

Souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u libovoln´eho troj´ uheln´ıka je nejv´yˇse rovna u ´hlu pˇr´ım´emu.

I

a jej´ı d˚ usledek - druh´a vˇeta Saccheriho - Legendreova:

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu

I

prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:

I

Souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u libovoln´eho troj´ uheln´ıka je nejv´yˇse rovna u ´hlu pˇr´ım´emu.

I

a jej´ı d˚ usledek - druh´a vˇeta Saccheriho - Legendreova:

I

Jestliˇze existuje troj´ uheln´ık, jehoˇz souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u je menˇs´ı neˇz u ´hel pˇr´ım´y, pak tuto vlastnost m´a kaˇzd´y troj´ uheln´ık.

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu

I

prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:

I

Souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u libovoln´eho troj´ uheln´ıka je nejv´yˇse rovna u ´hlu pˇr´ım´emu.

I

a jej´ı d˚ usledek - druh´a vˇeta Saccheriho - Legendreova:

I

Jestliˇze existuje troj´ uheln´ık, jehoˇz souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u je menˇs´ı neˇz u ´hel pˇr´ım´y, pak tuto vlastnost m´a kaˇzd´y troj´ uheln´ık.

I

poˇc. 19. stol. - vyvrcholen´ı snah podat d˚ ukaz platnosti 5. postul´atu z platnosti ostatn´ıch postul´at˚ u a axiom˚ u

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I

Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu

I

prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:

I

Souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u libovoln´eho troj´ uheln´ıka je nejv´yˇse rovna u ´hlu pˇr´ım´emu.

I

a jej´ı d˚ usledek - druh´a vˇeta Saccheriho - Legendreova:

I

Jestliˇze existuje troj´ uheln´ık, jehoˇz souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u je menˇs´ı neˇz u ´hel pˇr´ım´y, pak tuto vlastnost m´a kaˇzd´y troj´ uheln´ık.

I

poˇc. 19. stol. - vyvrcholen´ı snah podat d˚ ukaz platnosti 5. postul´atu z platnosti ostatn´ıch postul´at˚ u a axiom˚ u

I

v´yznamnˇe zas´ahlo do dalˇs´ıho v´yvoje geometrie, vznik neeuklidovsk´ ych geometri´ı Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I

1829 Nikolaj Ivanoviˇ c Lobaˇ cevskij (1792 - 1856) a v r. 1832 nez´avisle J´ anos Bolyai (1802 - 1860)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I

1829 Nikolaj Ivanoviˇ c Lobaˇ cevskij (1792 - 1856) a v r. 1832 nez´avisle J´ anos Bolyai (1802 - 1860)

I

5. postul´at nelze odvodit z ostatn´ıch axiom˚ u a postul´at˚ u (nez´avislost 5. postul´atu) Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I

Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I

Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı

I

K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I

Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı

I

K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku

I

oˇcek´aval, ˇze dojde ke spor˚ um v axiomatice euklidovsk´e geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I

Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı

I

K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku

I

oˇcek´aval, ˇze dojde ke spor˚ um v axiomatice euklidovsk´e geometrie

I

sporem by tak dok´azal z´avislost 5. postul´atu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I

Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı

I

K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku

I

oˇcek´aval, ˇze dojde ke spor˚ um v axiomatice euklidovsk´e geometrie

I

sporem by tak dok´azal z´avislost 5. postul´atu

I

k ˇz´adn´ym spor˚ um vˇsak nedoˇslo, 5. postul´at je nez´avisl´y

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I

Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı

I

K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku

I

oˇcek´aval, ˇze dojde ke spor˚ um v axiomatice euklidovsk´e geometrie

I

sporem by tak dok´azal z´avislost 5. postul´atu

I

k ˇz´adn´ym spor˚ um vˇsak nedoˇslo, 5. postul´at je nez´avisl´y

I

existence jin´ych alternativn´ıch geometri´ı, tzv. neeuklidovsk´ ych geometri´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I

Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı

I

K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku

I

oˇcek´aval, ˇze dojde ke spor˚ um v axiomatice euklidovsk´e geometrie

I

sporem by tak dok´azal z´avislost 5. postul´atu

I

k ˇz´adn´ym spor˚ um vˇsak nedoˇslo, 5. postul´at je nez´avisl´y

I

existence jin´ych alternativn´ıch geometri´ı, tzv. neeuklidovsk´ ych geometri´ı

I

stejnˇe bezesporn´ych a logicky ucelen´ych jako geometrie euklidovsk´a Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Neeuklidovsk´e geoemetrie I

neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Neeuklidovsk´e geoemetrie I

I

neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Neeuklidovsk´e geoemetrie I

I I

neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Neeuklidovsk´e geoemetrie I

I I I

neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty) je tzv. absolutn´ı geometrie nebo pangeometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Neeuklidovsk´e geoemetrie I

I I I I

neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty) je tzv. absolutn´ı geometrie nebo pangeometrie podle zp˚ usobu popˇren´ı 5. postul´atu rozliˇsujeme 2 z´akladn´ı typy neeuklidovsk´ych geometri´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Neeuklidovsk´e geoemetrie I

I I I I I

neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty) je tzv. absolutn´ı geometrie nebo pangeometrie podle zp˚ usobu popˇren´ı 5. postul´atu rozliˇsujeme 2 z´akladn´ı typy neeuklidovsk´ych geometri´ı hyperbolickou a eliptickou neeuklidovskou geometrii

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Neeuklidovsk´e geoemetrie I

I I I I I I

neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty) je tzv. absolutn´ı geometrie nebo pangeometrie podle zp˚ usobu popˇren´ı 5. postul´atu rozliˇsujeme 2 z´akladn´ı typy neeuklidovsk´ych geometri´ı hyperbolickou a eliptickou neeuklidovskou geometrii hyperbolick´y 5. postul´at: Existuj´ı nejm´enˇe dvˇe r˚ uzn´e pˇr´ımky veden´e bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p, kter´e neprot´ınaj´ı p. (bodem lze v´est nekoneˇcnˇe mnoho ”rovnobˇeˇzek”s danou pˇr´ımkou) (navrhli Lobaˇcevskij, Bolyai)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Neeuklidovsk´e geoemetrie I

I I I I I I

I

neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty) je tzv. absolutn´ı geometrie nebo pangeometrie podle zp˚ usobu popˇren´ı 5. postul´atu rozliˇsujeme 2 z´akladn´ı typy neeuklidovsk´ych geometri´ı hyperbolickou a eliptickou neeuklidovskou geometrii hyperbolick´y 5. postul´at: Existuj´ı nejm´enˇe dvˇe r˚ uzn´e pˇr´ımky veden´e bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p, kter´e neprot´ınaj´ı p. (bodem lze v´est nekoneˇcnˇe mnoho ”rovnobˇeˇzek”s danou pˇr´ımkou) (navrhli Lobaˇcevskij, Bolyai) odtud n´azev Lobaˇ cevsk´ eho geometrie, nˇekdy t´eˇz Bolyai Lobaˇ cevsk´ eho pro hyperbolickou geometrii Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie

I

eliptick´y 5. postul´at:Neexistuje ˇz´adn´a pˇr´ımka veden´a bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p, kter´a neprot´ın´a p. (bodem nelze v´est ˇz´adnou ”rovnobˇeˇzku”s danou pˇr´ımkou)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie

I

eliptick´y 5. postul´at:Neexistuje ˇz´adn´a pˇr´ımka veden´a bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p, kter´a neprot´ın´a p. (bodem nelze v´est ˇz´adnou ”rovnobˇeˇzku”s danou pˇr´ımkou)

I

vede na eliptickou neeuklidovskou geometrii, jej´ımˇz spec. pˇr´ıpadem je sf´ erick´ a geometrie s vyuˇzit´ım v v kartografii a navigaci

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie

I

eliptick´y 5. postul´at:Neexistuje ˇz´adn´a pˇr´ımka veden´a bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p, kter´a neprot´ın´a p. (bodem nelze v´est ˇz´adnou ”rovnobˇeˇzku”s danou pˇr´ımkou)

I

vede na eliptickou neeuklidovskou geometrii, jej´ımˇz spec. pˇr´ıpadem je sf´ erick´ a geometrie s vyuˇzit´ım v v kartografii a navigaci

I

chov´an´ı rovnobˇeˇzek v jednotliv´ych geometri´ıch

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie

I

z´aklady eliptick´e geometrie vyloˇzil v r. 1854 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie

I

z´aklady eliptick´e geometrie vyloˇzil v r. 1854 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)

I

v pr´aci O hypot´ez´ach tvoˇr´ıc´ıch z´aklady geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie

I

z´aklady eliptick´e geometrie vyloˇzil v r. 1854 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)

I

v pr´aci O hypot´ez´ach tvoˇr´ıc´ıch z´aklady geometrie

I

ve snaze klasifikovat nov´e neeukleidovsk´e geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie I

Riemanovsk´e pojet´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı jako ploch s konstantn´ı nenulovou kˇrivost´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie I

Riemanovsk´e pojet´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı jako ploch s konstantn´ı nenulovou kˇrivost´ı

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie I

Riemanovsk´e pojet´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı jako ploch s konstantn´ı nenulovou kˇrivost´ı

I I

speci´alnˇe : eukleidovsk´a geometrie je ”ploch´a”(m´a nulovou kˇrivost) Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı

I

nejjednoduˇsˇs´ım modelem eliptick´e (sf´erick´e) geometrie je povrch koule (sf´era), pˇr´ımky - hlavn´ı kruˇznice

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı

I

nejjednoduˇsˇs´ım modelem eliptick´e (sf´erick´e) geometrie je povrch koule (sf´era), pˇr´ımky - hlavn´ı kruˇznice

I

modelov´y prostor m´a konstantn´ı kladnou Gaussovu kˇrivost, je ”vypukl´y”

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı

I

nejjednoduˇsˇs´ım modelem eliptick´e (sf´erick´e) geometrie je povrch koule (sf´era), pˇr´ımky - hlavn´ı kruˇznice

I

modelov´y prostor m´a konstantn´ı kladnou Gaussovu kˇrivost, je ”vypukl´y”

I

”pˇr´ımkami”jsou hlavn´ı kruˇznice,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı

I

nejjednoduˇsˇs´ım modelem eliptick´e (sf´erick´e) geometrie je povrch koule (sf´era), pˇr´ımky - hlavn´ı kruˇznice

I

modelov´y prostor m´a konstantn´ı kladnou Gaussovu kˇrivost, je ”vypukl´y”

I

”pˇr´ımkami”jsou hlavn´ı kruˇznice,

I

sf´erick´y troj´ uheln´ık m´a souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u vˇetˇs´ı neˇz 180◦

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı

I

nejjednoduˇsˇs´ım modelem eliptick´e (sf´erick´e) geometrie je povrch koule (sf´era), pˇr´ımky - hlavn´ı kruˇznice

I

modelov´y prostor m´a konstantn´ı kladnou Gaussovu kˇrivost, je ”vypukl´y”

I

”pˇr´ımkami”jsou hlavn´ı kruˇznice,

I

sf´erick´y troj´ uheln´ık m´a souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u vˇetˇs´ı neˇz 180◦

I Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

modelem hyperbolick´e geometrie je plocha, tzv. pseudosf´ era

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

modelem hyperbolick´e geometrie je plocha, tzv. pseudosf´ era

I

ale d´a se lok´alnˇe modelovat t´eˇz napˇr. na hyperbolick´ em paraboloidu nebo hyperboloidu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

modelem hyperbolick´e geometrie je plocha, tzv. pseudosf´ era

I

ale d´a se lok´alnˇe modelovat t´eˇz napˇr. na hyperbolick´ em paraboloidu nebo hyperboloidu

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

modelem hyperbolick´e geometrie je plocha, tzv. pseudosf´ era

I

ale d´a se lok´alnˇe modelovat t´eˇz napˇr. na hyperbolick´ em paraboloidu nebo hyperboloidu

I I

troj´ uheln´ık m´a v t´eto geometrii souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u menˇs´ı neˇz 180◦

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I

modelem hyperbolick´e geometrie je plocha, tzv. pseudosf´ era

I

ale d´a se lok´alnˇe modelovat t´eˇz napˇr. na hyperbolick´ em paraboloidu nebo hyperboloidu

I I

troj´ uheln´ık m´a v t´eto geometrii souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u menˇs´ı neˇz 180◦

I

modelov´y prostor m´a konstantn´ı z´apornou Gaussovu kˇrivost, je ”vydut´y”

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pseudosf´era I

pseudosf´ era - plocha, kter´a m´a v kaˇzd´em bodˇe konstantn´ı z´apornou Gaussovu kˇrivost

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pseudosf´era I

pseudosf´ era - plocha, kter´a m´a v kaˇzd´em bodˇe konstantn´ı z´apornou Gaussovu kˇrivost

I

modelov´a plocha hyperbolick´e geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pseudosf´era I

pseudosf´ era - plocha, kter´a m´a v kaˇzd´em bodˇe konstantn´ı z´apornou Gaussovu kˇrivost

I

modelov´a plocha hyperbolick´e geometrie

I

vznik´a rotac´ı kˇrivky, tzv. traktrix

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pseudosf´era

I

Na pseudosf´eˇre je souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u troj´ uheln´ıka menˇs´ı neˇz 180◦

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pseudosf´era I

pseudosf´era jako geometrick´y protiklad sf´ery

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I

nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I

nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı

I

potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I

nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı

I

potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı

I

bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I

nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı

I

potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı

I

bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”

I

pozdˇeji naˇsly uplatnˇen´ı jako vhodn´e modely ˇcasoprostoru v kosmologick´ych teori´ıch vesm´ıru

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I

nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı

I

potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı

I

bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”

I

pozdˇeji naˇsly uplatnˇen´ı jako vhodn´e modely ˇcasoprostoru v kosmologick´ych teori´ıch vesm´ıru

I

pro kosmolog. model uzavˇren´ eho vesm´ıru (souˇcasn´e rozp´ın´an´ı pˇrejde ve smrˇst’ov´an´ı)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I

nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı

I

potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı

I

bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”

I

pozdˇeji naˇsly uplatnˇen´ı jako vhodn´e modely ˇcasoprostoru v kosmologick´ych teori´ıch vesm´ıru

I

pro kosmolog. model uzavˇren´ eho vesm´ıru (souˇcasn´e rozp´ın´an´ı pˇrejde ve smrˇst’ov´an´ı)

I

vhodn´a eliptick´a geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I

nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı

I

potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı

I

bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”

I

pozdˇeji naˇsly uplatnˇen´ı jako vhodn´e modely ˇcasoprostoru v kosmologick´ych teori´ıch vesm´ıru

I

pro kosmolog. model uzavˇren´ eho vesm´ıru (souˇcasn´e rozp´ın´an´ı pˇrejde ve smrˇst’ov´an´ı)

I

vhodn´a eliptick´a geometrie

I

pro kosmolog. model otevˇren´ eho vesm´ıru (neust´al´e zpomalovan´e rozp´ın´an´ı)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I

nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı

I

potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı

I

bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”

I

pozdˇeji naˇsly uplatnˇen´ı jako vhodn´e modely ˇcasoprostoru v kosmologick´ych teori´ıch vesm´ıru

I

pro kosmolog. model uzavˇren´ eho vesm´ıru (souˇcasn´e rozp´ın´an´ı pˇrejde ve smrˇst’ov´an´ı)

I

vhodn´a eliptick´a geometrie

I

pro kosmolog. model otevˇren´ eho vesm´ıru (neust´al´e zpomalovan´e rozp´ın´an´ı)

I

vhodn´a hyperbolick´a geometrie Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovsk´a geometrie a Obecn´a teorie relativity

I

dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometri´ı rozum´ı diferencovateln´a varieta s pozitivnˇe definitn´ım metrick´ym tenzorem

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovsk´a geometrie a Obecn´a teorie relativity

I

dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometri´ı rozum´ı diferencovateln´a varieta s pozitivnˇe definitn´ım metrick´ym tenzorem

I

je li tento indefinitn´ı hovoˇr´ıme o pseudo-Riemannovˇ e (pseudoriemannovsk´ e) geometrii

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovsk´a geometrie a Obecn´a teorie relativity

I

dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometri´ı rozum´ı diferencovateln´a varieta s pozitivnˇe definitn´ım metrick´ym tenzorem

I

je li tento indefinitn´ı hovoˇr´ıme o pseudo-Riemannovˇ e (pseudoriemannovsk´ e) geometrii

I

naˇsla uplatnˇen´ı v Einsteinovˇ e obecn´ e teorii relativity jako geometrick´y model ˇ casoprostoru

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovsk´a geometrie a Obecn´a teorie relativity

I

dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometri´ı rozum´ı diferencovateln´a varieta s pozitivnˇe definitn´ım metrick´ym tenzorem

I

je li tento indefinitn´ı hovoˇr´ıme o pseudo-Riemannovˇ e (pseudoriemannovsk´ e) geometrii

I

naˇsla uplatnˇen´ı v Einsteinovˇ e obecn´ e teorii relativity jako geometrick´y model ˇ casoprostoru

I

Einsteinovy gravitaˇcn´ı rovnice vyjadˇruj´ı u ´zkou souvislost mezi hmotou a zakˇriven´ım ˇcasoprostoru

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovsk´a geometrie a Obecn´a teorie relativity

I

pohyb se realizuje po geodetik´ ach ˇcasoprostoru

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I

M¨ obius (1790 - 1868) - studium topologicky netrivi´aln´ıch ploch

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I

M¨ obius (1790 - 1868) - studium topologicky netrivi´aln´ıch ploch

I

M¨ obiova p´ aska- dvojrozmˇern´a neorientovateln´a plocha, kter´a m´a pouze jednu stranu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I

M¨ obius (1790 - 1868) - studium topologicky netrivi´aln´ıch ploch

I

M¨ obiova p´ aska- dvojrozmˇern´a neorientovateln´a plocha, kter´a m´a pouze jednu stranu

I

rozvoj projektivn´ı geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I

M¨ obius (1790 - 1868) - studium topologicky netrivi´aln´ıch ploch

I

M¨ obiova p´ aska- dvojrozmˇern´a neorientovateln´a plocha, kter´a m´a pouze jednu stranu

I

rozvoj projektivn´ı geometrie

I

Grassmann (1809 - 1877), Pl¨ ucker (1801 - 1868) - z´aklady teorie n-rozmˇern´eho prostoru

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.

I

Felix Klein (1849 - 1925)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.

I

Felix Klein (1849 - 1925)

I

1872 vyt´yˇcil Erlangensk´y program - dalˇs´ı rozvoj diferenci´aln´ı geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.

I

Felix Klein (1849 - 1925)

I

1872 vyt´yˇcil Erlangensk´y program - dalˇs´ı rozvoj diferenci´aln´ı geometrie

I

Kleinova l´ahev 1882

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.

I

konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.

I

konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie

I

nesplˇ nuje striktn´ı poˇzadavky souˇcasn´e matem. logiky na axiomatickou v´ystavbu teorie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.

I

konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie

I

nesplˇ nuje striktn´ı poˇzadavky souˇcasn´e matem. logiky na axiomatickou v´ystavbu teorie

I

Nedostatky Euklidov´ych Z´aklad˚ u

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.

I

konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie

I

nesplˇ nuje striktn´ı poˇzadavky souˇcasn´e matem. logiky na axiomatickou v´ystavbu teorie

I

Nedostatky Euklidov´ych Z´aklad˚ u

I

intuitivn´ı pojet´ı nˇekter´ych pojm˚ u

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.

I

konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie

I

nesplˇ nuje striktn´ı poˇzadavky souˇcasn´e matem. logiky na axiomatickou v´ystavbu teorie

I

Nedostatky Euklidov´ych Z´aklad˚ u

I

intuitivn´ı pojet´ı nˇekter´ych pojm˚ u

I

form´aln´ı logick´e chyby ve formulac´ıch

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.

I

konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie

I

nesplˇ nuje striktn´ı poˇzadavky souˇcasn´e matem. logiky na axiomatickou v´ystavbu teorie

I

Nedostatky Euklidov´ych Z´aklad˚ u

I

intuitivn´ı pojet´ı nˇekter´ych pojm˚ u

I

form´aln´ı logick´e chyby ve formulac´ıch

I

z´avislost soustavy postul´at˚ u a axiom˚ u

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I

1899 David Hilbert (1862 - 1943)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I

1899 David Hilbert (1862 - 1943)

I

v knize Z´aklady geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I

1899 David Hilbert (1862 - 1943)

I

v knize Z´aklady geometrie pˇredstavil novou axiomatickou v´ystavbu geometrie

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I

1899 David Hilbert (1862 - 1943)

I

v knize Z´aklady geometrie pˇredstavil novou axiomatickou v´ystavbu geometrie bez vazby na intuici a smyslovou n´azornost

I I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Hilbertova axiomatick´a soustava I

z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Hilbertova axiomatick´a soustava I

z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G

I

E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Hilbertova axiomatick´a soustava I

z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G

I

E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin

I

definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C )

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Hilbertova axiomatick´a soustava I

z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G

I

E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin

I

definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Hilbertova axiomatick´a soustava I

z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G

I

E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin

I

definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =

I I

Hilbertova soustava axiom˚ u - 20 axiom˚ u rozdˇelen´ych do 5 skupin

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Hilbertova axiomatick´a soustava I

z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G

I

E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin

I

definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =

I I

Hilbertova soustava axiom˚ u - 20 axiom˚ u rozdˇelen´ych do 5 skupin

I

I. axiomy incidence (8 axiom˚ u), II. axiomy uspoˇr´ ad´ an´ı (4 axiomy)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Hilbertova axiomatick´a soustava I

z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G

I

E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin

I

definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =

I I

Hilbertova soustava axiom˚ u - 20 axiom˚ u rozdˇelen´ych do 5 skupin

I

I. axiomy incidence (8 axiom˚ u), II. axiomy uspoˇr´ ad´ an´ı (4 axiomy)

I

III. axiomy shodnosti (5 axiom˚ u), IV. axiomy spojitosti (2 axiomy)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Hilbertova axiomatick´a soustava I

z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G

I

E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin

I

definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =

I I

Hilbertova soustava axiom˚ u - 20 axiom˚ u rozdˇelen´ych do 5 skupin

I

I. axiomy incidence (8 axiom˚ u), II. axiomy uspoˇr´ ad´ an´ı (4 axiomy)

I

III. axiomy shodnosti (5 axiom˚ u), IV. axiomy spojitosti (2 axiomy)

I

V. axiom rovnobˇ eˇ znosti (1 axiom)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Hilbertova axiomatick´a soustava I

z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G

I

E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin

I

definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =

I I

Hilbertova soustava axiom˚ u - 20 axiom˚ u rozdˇelen´ych do 5 skupin

I

I. axiomy incidence (8 axiom˚ u), II. axiomy uspoˇr´ ad´ an´ı (4 axiomy)

I

III. axiomy shodnosti (5 axiom˚ u), IV. axiomy spojitosti (2 axiomy)

I

V. axiom rovnobˇ eˇ znosti (1 axiom)

I

z dneˇsn´ıho pohledu - pˇr´ıliˇs sloˇzit´a Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.

I

1900 D. Hilbert pˇredstavil na Kongresu v Paˇr´ıˇzi

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.

I

1900 D. Hilbert pˇredstavil na Kongresu v Paˇr´ıˇzi

I

23 matematick´ych probl´em˚ u pro 20. stol. (Hilbertovy probl´ emy)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.

I

1900 D. Hilbert pˇredstavil na Kongresu v Paˇr´ıˇzi

I

23 matematick´ych probl´em˚ u pro 20. stol. (Hilbertovy probl´ emy)

I

ovlivnily dalˇs´ı v´yvoj matematiky a geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.

I

1900 D. Hilbert pˇredstavil na Kongresu v Paˇr´ıˇzi

I

23 matematick´ych probl´em˚ u pro 20. stol. (Hilbertovy probl´ emy)

I

ovlivnily dalˇs´ı v´yvoj matematiky a geometrie

I

zaslouˇzil se o geometrizaci kvantov´e mechaniky

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.

I

1900 D. Hilbert pˇredstavil na Kongresu v Paˇr´ıˇzi

I

23 matematick´ych probl´em˚ u pro 20. stol. (Hilbertovy probl´ emy)

I

ovlivnily dalˇs´ı v´yvoj matematiky a geometrie

I

zaslouˇzil se o geometrizaci kvantov´e mechaniky

I

Hilbert˚ uv prostor

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.

I

1918 Hermann Weyl (1885 - 1955)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.

I

1918 Hermann Weyl (1885 - 1955)

I

upraven´a axiomatika, tzv. Weylova axiomatick´ a soustava

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Weylova axiomatick´a soustava

I

celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Weylova axiomatick´a soustava

I

celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru

I

1 axiom - dimenze vektor. prostoru

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Weylova axiomatick´a soustava

I

celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru

I

1 axiom - dimenze vektor. prostoru

I

4 axiomy biline´arn´ı formy (skal´arn´ıho souˇcinu)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Weylova axiomatick´a soustava

I

celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru

I

1 axiom - dimenze vektor. prostoru

I

4 axiomy biline´arn´ı formy (skal´arn´ıho souˇcinu)

I

2 doplˇ nkov´e Weylovy axiomy

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Weylova axiomatick´a soustava

I

celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru

I

1 axiom - dimenze vektor. prostoru

I

4 axiomy biline´arn´ı formy (skal´arn´ıho souˇcinu)

I

2 doplˇ nkov´e Weylovy axiomy

I

z´akladem je afinn´ı prostor opatˇren´y skal´ arn´ım souˇ cinem na sv´em vektorov´em zamˇeˇren´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Weylova axiomatick´a soustava

I

celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru

I

1 axiom - dimenze vektor. prostoru

I

4 axiomy biline´arn´ı formy (skal´arn´ıho souˇcinu)

I

2 doplˇ nkov´e Weylovy axiomy

I

z´akladem je afinn´ı prostor opatˇren´y skal´ arn´ım souˇ cinem na sv´em vektorov´em zamˇeˇren´ı

I

mˇeˇren´ı d´elek vektor˚ u, vzd´alenost´ı bod˚ u, urˇcov´an´ı odchylek, vyˇsetˇrov´an´ı kolmosti

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

z´akladem modern´ı diferenci´aln´ı geometrie je pojem variety

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

z´akladem modern´ı diferenci´aln´ı geometrie je pojem variety

I

zobecnˇen´ı plochy na topologicky netrivi´aln´ı v´ıcerozmˇernou hyperplochu

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

z´akladem modern´ı diferenci´aln´ı geometrie je pojem variety

I

zobecnˇen´ı plochy na topologicky netrivi´aln´ı v´ıcerozmˇernou hyperplochu

I

zn´am´e pˇr´ıklady hladk´ych variet: kruˇ znice S 1 , sf´ era S 2 , 3 nadsf´ era S ,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie I

pseudosf´ era PS 2 , v´ alcov´ a plocha C 2 , torus T 2 ,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie I

pseudosf´ era PS 2 , v´ alcov´ a plocha C 2 , torus T 2 ,

I

M¨ obi˚ uv list M 2 , Kleinova l´ ahev K 2

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie I

pseudosf´ era PS 2 , v´ alcov´ a plocha C 2 , torus T 2 ,

I

M¨ obi˚ uv list M 2 , Kleinova l´ ahev K 2

I

jejich vz´ajemn´e kart´ezsk´e souˇciny, napˇr. S 1 × S 2 , S 1 × C 2 , S2 × S2

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie I

pseudosf´ era PS 2 , v´ alcov´ a plocha C 2 , torus T 2 ,

I

M¨ obi˚ uv list M 2 , Kleinova l´ ahev K 2

I

jejich vz´ajemn´e kart´ezsk´e souˇciny, napˇr. S 1 × S 2 , S 1 × C 2 , S2 × S2 a kart´ezsk´e souˇciny s kart´ezsk´ymi varietami R, pˇr´ıp. RN , napˇr. S 2 × R, C 2 × R, T 2 × R

I

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı

I

studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı

I

studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,

I

tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı

I

studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,

I

tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,

I

konexe, symplektick´ e struktury, Poissonovy struktury,

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı

I

studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,

I

tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,

I

konexe, symplektick´ e struktury, Poissonovy struktury,

I

komplexn´ı struktury, spinory, twistory a jin´e

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı

I

studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,

I

tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,

I

konexe, symplektick´ e struktury, Poissonovy struktury,

I

komplexn´ı struktury, spinory, twistory a jin´e

I

modern´ı geometrie vyˇreˇsila probl´emy klasick´e geometrie

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı

I

studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,

I

tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,

I

konexe, symplektick´ e struktury, Poissonovy struktury,

I

komplexn´ı struktury, spinory, twistory a jin´e

I

modern´ı geometrie vyˇreˇsila probl´emy klasick´e geometrie

I

(klasifikace variet, Hilbertovy probl´emy)

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie

Modern´ı geometrie

I

souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı

I

studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,

I

tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,

I

konexe, symplektick´ e struktury, Poissonovy struktury,

I

komplexn´ı struktury, spinory, twistory a jin´e

I

modern´ı geometrie vyˇreˇsila probl´emy klasick´e geometrie

I

(klasifikace variet, Hilbertovy probl´emy)

I

uplatnˇen´ı v modern´ı fyzice - relativistick´e fyzice, kvantov´e fyzice, teorii strun a jin´ych

Martin Swaczyna

Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie