Historick´y pˇrehled v´yvoje geometrie Martin Swaczyna Katedra matematiky Pˇr´ırodovˇ edeck´ a fakulta Ostravsk´ a univerzita
Seminar z Geometrick´emechaniky, 8. 3. 2013
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I
starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I
starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)
I
geometrie m´a empirick´y charakter,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I
starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)
I
geometrie m´a empirick´y charakter,
I
ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I
starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)
I
geometrie m´a empirick´y charakter,
I
ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti
I
nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I
starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)
I
geometrie m´a empirick´y charakter,
I
ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti
I
nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy
I
d˚ uleˇzitˇejˇs´ı bylo ”jak se to poˇc´ıt´a”
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I
starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)
I
geometrie m´a empirick´y charakter,
I
ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti
I
nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy
I
d˚ uleˇzitˇejˇs´ı bylo ”jak se to poˇc´ıt´a” ˇ starovˇ ek´ e Recko (7. - 5. stol. pˇr. n. l.)
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I
starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)
I
geometrie m´a empirick´y charakter,
I
ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti
I
nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy
I I
d˚ uleˇzitˇejˇs´ı bylo ”jak se to poˇc´ıt´a” ˇ starovˇ ek´ e Recko (7. - 5. stol. pˇr. n. l.)
I
navazuj´ı na poznatky Babyloˇ nan˚ u a Egypt’an˚ u
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I
starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)
I
geometrie m´a empirick´y charakter,
I
ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti
I
nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy
I I
d˚ uleˇzitˇejˇs´ı bylo ”jak se to poˇc´ıt´a” ˇ starovˇ ek´ e Recko (7. - 5. stol. pˇr. n. l.)
I
navazuj´ı na poznatky Babyloˇ nan˚ u a Egypt’an˚ u
I
objevuj´ı se obecnˇejˇs´ı u ´vahy, snaha pˇresvˇedˇcovat se d˚ ukazy
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - starovˇek Babylon, Egypt, ˇ Recko I
starovˇ ek´ y Babylon, starovˇ ek´ y Egypt (2. tis´ıcilet´ı pˇr. n. l.)
I
geometrie m´a empirick´y charakter,
I
ˇreˇsen´ı praktick´ych potˇreb a u ´kol˚ u (mˇeˇren´ı d´elek, obsah˚ ua objem˚ u jednoduch. geometr. u ´tvar˚ u) na z´akladˇe zkuˇsenosti
I
nezab´yvali se zˇrejmˇe obec. u ´vahami a d˚ ukazy
I I
d˚ uleˇzitˇejˇs´ı bylo ”jak se to poˇc´ıt´a” ˇ starovˇ ek´ e Recko (7. - 5. stol. pˇr. n. l.)
I
navazuj´ı na poznatky Babyloˇ nan˚ u a Egypt’an˚ u
I
objevuj´ı se obecnˇejˇs´ı u ´vahy, snaha pˇresvˇedˇcovat se d˚ ukazy
I
nejen ”jak se to poˇc´ıt´a,”ale pˇredevˇs´ım tak´e ”proˇc to tak je”
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I
pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie Thales z Miletu (624 - 548 pˇr. n. l.)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I I
pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie Thales z Miletu (624 - 548 pˇr. n. l.) Thaletova vˇeta, Thaletova kruˇznice
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I I I
pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie Thales z Miletu (624 - 548 pˇr. n. l.) Thaletova vˇeta, Thaletova kruˇznice Pythagoras ze Samu (590 - 500 pˇr. n. l.)
Pythagoras
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I I I
pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie Thales z Miletu (624 - 548 pˇr. n. l.) Thaletova vˇeta, Thaletova kruˇznice Pythagoras ze Samu (590 - 500 pˇr. n. l.)
Pythagoras
I
Pythagorova vˇeta a jej´ı d˚ ukaz, vlastnosti pravo´ uhl´ych troj´ uheln´ık˚ u,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I I I
pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch jmen a jejich pˇr´ınos k rozvoji geometrie Thales z Miletu (624 - 548 pˇr. n. l.) Thaletova vˇeta, Thaletova kruˇznice Pythagoras ze Samu (590 - 500 pˇr. n. l.)
Pythagoras
I I
Pythagorova vˇeta a jej´ı d˚ ukaz, vlastnosti pravo´ uhl´ych troj´ uheln´ık˚ u, zakladatel katoptriky - ˇc´ast optiky, kter´a se zab´yv´a odrazem svˇetla od geometrick´ych u ´tvar˚ u Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Hippokrat´ es z Chiu (5. stol pˇr. n. l.)(nezamˇen ˇovat s l´ekaˇrem Hippokratem z K´ ou)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Hippokrat´ es z Chiu (5. stol pˇr. n. l.)(nezamˇen ˇovat s l´ekaˇrem Hippokratem z K´ ou)
I
Hippokratova kvadratura mˇes´ıˇck˚ u
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Hippokrat´ es z Chiu (5. stol pˇr. n. l.)(nezamˇen ˇovat s l´ekaˇrem Hippokratem z K´ ou)
I
Hippokratova kvadratura mˇes´ıˇck˚ u
I
Hippias z Elidy (460 - 384 pˇr. n. l.)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Hippokrat´ es z Chiu (5. stol pˇr. n. l.)(nezamˇen ˇovat s l´ekaˇrem Hippokratem z K´ ou)
I
Hippokratova kvadratura mˇes´ıˇck˚ u
I
Hippias z Elidy (460 - 384 pˇr. n. l.)
I
transcendentn´ı kˇrivka - Hippiasova kvadratrix a jej´ı pouˇzit´ı pˇr´ı ˇreˇsen´ı trisekce u ´hlu a kvadratury kruhy
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Hippokrat´ es z Chiu (5. stol pˇr. n. l.)(nezamˇen ˇovat s l´ekaˇrem Hippokratem z K´ ou)
I
Hippokratova kvadratura mˇes´ıˇck˚ u
I
Hippias z Elidy (460 - 384 pˇr. n. l.)
I
transcendentn´ı kˇrivka - Hippiasova kvadratrix a jej´ı pouˇzit´ı pˇr´ı ˇreˇsen´ı trisekce u ´hlu a kvadratury kruhy
I
Hippiasova kvadratix Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Cel´a“ Hippiasova kvadartrix (vyj´adˇrena explicitnˇe jako graf ” funkce) Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)
I
plat´onsk´a tˇelesa
Plat´ onsk´a tˇelesa
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)
I
plat´onsk´a tˇelesa
Plat´ onsk´a tˇelesa I
Eudoxos z Knidu (408 - 355 pˇr. n. l.)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)
I
plat´onsk´a tˇelesa
Plat´ onsk´a tˇelesa I
Eudoxos z Knidu (408 - 355 pˇr. n. l.)
I
tv˚ urce exhaustivn´ı metody (metody ”vyˇcerp´an´ı”)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)
I
plat´onsk´a tˇelesa
Plat´ onsk´a tˇelesa I
Eudoxos z Knidu (408 - 355 pˇr. n. l.)
I
tv˚ urce exhaustivn´ı metody (metody ”vyˇcerp´an´ı”)
I
poˇc´ıt´an´ı obsah˚ u zaoblen´ych u ´tvar˚ u, principem je pokr´yt u ´tvar mnoho´ uheln´ıky a tak co nejv´ıce vyˇcerpat“ plochu u ´tvaru ”
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Struˇcn´y pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Plat´ on (427 – 347 pˇr. n. l.)
I
plat´onsk´a tˇelesa
Plat´ onsk´a tˇelesa I
Eudoxos z Knidu (408 - 355 pˇr. n. l.)
I
tv˚ urce exhaustivn´ı metody (metody ”vyˇcerp´an´ı”)
I
poˇc´ıt´an´ı obsah˚ u zaoblen´ych u ´tvar˚ u, principem je pokr´yt u ´tvar mnoho´ uheln´ıky a tak co nejv´ıce vyˇcerpat“ plochu u ´tvaru ” vyˇsetˇroval valen´ı v´alcov´e plochy pod´el hlavn´ı kruˇznice plochy kulov´e, dospˇel k prostorov´e kˇrivce, tzv. hypopedˇ e
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I
velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku Eukleides z Alexandrie (325 - 265 pˇr. n. l.)
Eukleides
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I
velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku Eukleides z Alexandrie (325 - 265 pˇr. n. l.)
Eukleides
I
Eukleidovy Z´aklady
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I
velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku Eukleides z Alexandrie (325 - 265 pˇr. n. l.)
Eukleides
I I
Eukleidovy Z´aklady ”mistrovsk´e d´ılo architektury matematiky”nebo t´eˇz ”bible geometrie”
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I
velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku Eukleides z Alexandrie (325 - 265 pˇr. n. l.)
Eukleides
I I I
Eukleidovy Z´aklady ”mistrovsk´e d´ılo architektury matematiky”nebo t´eˇz ”bible geometrie” pod´av´a systematick´y v´yklad z´aklad˚ u geometrie syntetickou metodou
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I I
velk´e mnoˇzstv´ı geometric. poznatk˚ u - nutnost jejich uspoˇr´ad´an´ı do celku Eukleides z Alexandrie (325 - 265 pˇr. n. l.)
Eukleides
I I I I
Eukleidovy Z´aklady ”mistrovsk´e d´ılo architektury matematiky”nebo t´eˇz ”bible geometrie” pod´av´a systematick´y v´yklad z´aklad˚ u geometrie syntetickou metodou geometrie je zde vybudovan´a axiomaticky, na z´akladˇe striktn´ıch pravidel logiky Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
D´ılo tvoˇr´ı 13 knih
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
D´ılo tvoˇr´ı 13 knih
I
KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
D´ılo tvoˇr´ı 13 knih
I
KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek
I
KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
D´ılo tvoˇr´ı 13 knih
I
KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek
I
KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec
I
KNIHA 3 - kruˇznice
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
D´ılo tvoˇr´ı 13 knih
I
KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek
I
KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec
I
KNIHA 3 - kruˇznice
I
KNIHA 4 - pravideln´e mnoho´ uheln´ıky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
D´ılo tvoˇr´ı 13 knih
I
KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek
I
KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec
I
KNIHA 3 - kruˇznice
I
KNIHA 4 - pravideln´e mnoho´ uheln´ıky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10
I
KNIHA 5 - teorie pomˇer˚ u
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
D´ılo tvoˇr´ı 13 knih
I
KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek
I
KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec
I
KNIHA 3 - kruˇznice
I
KNIHA 4 - pravideln´e mnoho´ uheln´ıky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10
I
KNIHA 5 - teorie pomˇer˚ u
I
KNIHA 6 - podobn´e mnoho´ uheln´ıky
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
D´ılo tvoˇr´ı 13 knih
I
KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek
I
KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec
I
KNIHA 3 - kruˇznice
I
KNIHA 4 - pravideln´e mnoho´ uheln´ıky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10
I
KNIHA 5 - teorie pomˇer˚ u
I
KNIHA 6 - podobn´e mnoho´ uheln´ıky
I
KNIHY 7, 8, 9 - aritmetika v geometrick´em pojet´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
D´ılo tvoˇr´ı 13 knih
I
KNIHA 1 - vˇety o troj´ uheln´ıc´ıch, jejich konstrukce, teorie rovnobˇeˇzek
I
KNIHA 2 - transformace troj´ uheln´ık˚ u na rovnoploch´y ˇctverec
I
KNIHA 3 - kruˇznice
I
KNIHA 4 - pravideln´e mnoho´ uheln´ıky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10
I
KNIHA 5 - teorie pomˇer˚ u
I
KNIHA 6 - podobn´e mnoho´ uheln´ıky
I
KNIHY 7, 8, 9 - aritmetika v geometrick´em pojet´ı
I
KNIHA 10 - nesoumˇeˇriteln´e veliˇciny
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I
KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I
KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie
I
KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I
KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie
I
KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny
I
Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I
KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie
I
KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny
I
Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let
I
logick´ a struktura d´ıla knihy zaˇc´ınaj´ı z´akladn´ımi definicemi pojm˚ u
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I
KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie
I
KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny
I
Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let
I
logick´ a struktura d´ıla knihy zaˇc´ınaj´ı z´akladn´ımi definicemi pojm˚ u
I
n´asleduj´ı z´akladn´ı nepochybn´a tvrzen´ı, kter´a se nedokazuj´ı, tzv. axiomy a postul´ aty
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I
KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie
I
KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny
I
Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let
I
logick´ a struktura d´ıla knihy zaˇc´ınaj´ı z´akladn´ımi definicemi pojm˚ u
I
n´asleduj´ı z´akladn´ı nepochybn´a tvrzen´ı, kter´a se nedokazuj´ı, tzv. axiomy a postul´ aty
I
postul´at˚ u je celkem 5 a tvoˇr´ı jak´esi ”z´akladn´ı kameny velkolep´e stavby geometrie”
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I
KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie
I
KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny
I
Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let
I
logick´ a struktura d´ıla knihy zaˇc´ınaj´ı z´akladn´ımi definicemi pojm˚ u
I
n´asleduj´ı z´akladn´ı nepochybn´a tvrzen´ı, kter´a se nedokazuj´ı, tzv. axiomy a postul´ aty
I
postul´at˚ u je celkem 5 a tvoˇr´ı jak´esi ”z´akladn´ı kameny velkolep´e stavby geometrie”
I
tvrzen´ı jsou pak ˇrazeny v pˇresn´em logick´em poˇrad´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Obsah Eukleidov´ych Z´aklad˚ u a logick´a struktura d´ıla I
KNIHA 11, 12 - z´aklady stereometrie
I
KNIHA 13 - pravideln´e mnohostˇeny
I
Z´aklady slouˇzily lidstvu jako uˇcebnice geometrie po v´ıcu neˇz 2000 let
I
logick´ a struktura d´ıla knihy zaˇc´ınaj´ı z´akladn´ımi definicemi pojm˚ u
I
n´asleduj´ı z´akladn´ı nepochybn´a tvrzen´ı, kter´a se nedokazuj´ı, tzv. axiomy a postul´ aty
I
postul´at˚ u je celkem 5 a tvoˇr´ı jak´esi ”z´akladn´ı kameny velkolep´e stavby geometrie”
I
tvrzen´ı jsou pak ˇrazeny v pˇresn´em logick´em poˇrad´ı
I
kaˇzd´a vˇeta se d´a dok´azat z pˇredchoz´ıch vˇet a s vyuˇzit´ım axiom˚ u a postul´at˚ u Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Logick´a struktura Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
v´ystiˇzn´y cit´at:
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Logick´a struktura Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
v´ystiˇzn´y cit´at:
I
”Eukleides na pˇeti z´akladn´ıch kamenech klade s ˇzeleznou logikou cihlu po cihle, ujiˇst’uje se, ˇze kaˇzd´a cihla pevnˇe drˇz´ı na pˇredch´azej´ıc´ıch bez nejmenˇs´ı mezery a tak vystav´ı celou katedr´alu geometrie pevnˇe zakotvenou ve sv´ych z´akladech.”
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Logick´a struktura Eukleidov´ych Z´aklad˚ u
I
v´ystiˇzn´y cit´at:
I
”Eukleides na pˇeti z´akladn´ıch kamenech klade s ˇzeleznou logikou cihlu po cihle, ujiˇst’uje se, ˇze kaˇzd´a cihla pevnˇe drˇz´ı na pˇredch´azej´ıc´ıch bez nejmenˇs´ı mezery a tak vystav´ı celou katedr´alu geometrie pevnˇe zakotvenou ve sv´ych z´akladech.”
I
Beckmann,P., Historie ˇc´ısla π, Academia, Praha, 1998, ISBN 80-200-0655-9
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı
I
konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı
I
konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka
I
a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı
I
konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka
I
a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u
I
Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı
I
konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka
I
a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u
I
Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:
I
1. kvadratura kruhu a jej´ı modifikace 1’. rektifikace kruˇ znice a 1”. kubatura koule
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı
I
konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka
I
a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u
I
Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:
I
1. kvadratura kruhu a jej´ı modifikace 1’. rektifikace kruˇ znice a 1”. kubatura koule
I
2. trisekce u ´hlu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı
I
konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka
I
a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u
I
Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:
I
1. kvadratura kruhu a jej´ı modifikace 1’. rektifikace kruˇ znice a 1”. kubatura koule
I
2. trisekce u ´hlu
I
3. zdvojen´ı (duplikace) krychle
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı
I
konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka
I
a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u
I
Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:
I
1. kvadratura kruhu a jej´ı modifikace 1’. rektifikace kruˇ znice a 1”. kubatura koule
I
2. trisekce u ´hlu
I
3. zdvojen´ı (duplikace) krychle
I
podm´ınkou pˇritom je, aby se pouze r´ysovalo euklidovsky pˇr´ıpustn´ymi konstrukcemi,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
euklidovsky pˇr´ıpustn´ ymi konstrukcemi se rozum´ı
I
konstrukce proveden´e pouze za pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka
I
a koneˇcn´eho poˇctu krok˚ u
I
Slavn´e neˇreˇsiteln´e antick´e u ´lohy:
I
1. kvadratura kruhu a jej´ı modifikace 1’. rektifikace kruˇ znice a 1”. kubatura koule
I
2. trisekce u ´hlu
I
3. zdvojen´ı (duplikace) krychle
I
podm´ınkou pˇritom je, aby se pouze r´ysovalo euklidovsky pˇr´ıpustn´ymi konstrukcemi,
I
bez jak´ehokoliv mˇeˇren´ı, ˇz´adn´eho prav´ıtka se stupnic´ı, kˇriv´ıtka apod., vyˇzaduje se tedy tzv.eukleidovsk´ e ˇreˇsen´ı Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy
I
1. kvadratura kruhu: Sestrojen´ı ˇctverce stejn´eho obsahu jako dan´y kruh polomˇeru r , tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit √ ˇctverec o stranˇe d´elky r π
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy
I
1. kvadratura kruhu: Sestrojen´ı ˇctverce stejn´eho obsahu jako dan´y kruh polomˇeru r , tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit √ ˇctverec o stranˇe d´elky r π
I
1’. rektifikace kruˇ znice: K dan´e kruˇznici sestrojit u ´seˇcku stejn´e d´elky, jako je obvod kruˇznice, tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit k dan´emu polomˇeru r u ´seˇcku d´elky 2πr .
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy
I
1. kvadratura kruhu: Sestrojen´ı ˇctverce stejn´eho obsahu jako dan´y kruh polomˇeru r , tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit √ ˇctverec o stranˇe d´elky r π
I
1’. rektifikace kruˇ znice: K dan´e kruˇznici sestrojit u ´seˇcku stejn´e d´elky, jako je obvod kruˇznice, tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit k dan´emu polomˇeru r u ´seˇcku d´elky 2πr .
I
1”. kubatura koule: Sestrojen´ı krychle stejn´eho objemu jako dan´a koule polomˇeru r q , tzn. euklidovskou konstrukc´ı sestrojit
krychli o hranˇe d´elky r
3
4π 3
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
2. trisekce u ´hlu: Euklidovskou konstrukc´ı rozdˇelit obecn´y u ´hel na tˇri pˇresnˇe stejn´e d´ıly.
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
2. trisekce u ´hlu: Euklidovskou konstrukc´ı rozdˇelit obecn´y u ´hel na tˇri pˇresnˇe stejn´e d´ıly.
I
3. zdvojen´ı (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, kter´a m´a pˇresnˇe dvojn´asobn´y objem jako zadan´a krychle o hranˇe a, tzn. √ euklidovskou konstrukc´ı sestrojit u ´seˇcku d´elky a 3 π
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
2. trisekce u ´hlu: Euklidovskou konstrukc´ı rozdˇelit obecn´y u ´hel na tˇri pˇresnˇe stejn´e d´ıly.
I
3. zdvojen´ı (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, kter´a m´a pˇresnˇe dvojn´asobn´y objem jako zadan´a krychle o hranˇe a, tzn. √ euklidovskou konstrukc´ı sestrojit u ´seˇcku d´elky a 3 π
I
pol. 19. stol.- podaˇrilo se dok´azat, ˇze ˇz´adn´a z uveden´ych u ´loh nen´ı euklidovsky ˇreˇsiteln´a
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
2. trisekce u ´hlu: Euklidovskou konstrukc´ı rozdˇelit obecn´y u ´hel na tˇri pˇresnˇe stejn´e d´ıly.
I
3. zdvojen´ı (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, kter´a m´a pˇresnˇe dvojn´asobn´y objem jako zadan´a krychle o hranˇe a, tzn. √ euklidovskou konstrukc´ı sestrojit u ´seˇcku d´elky a 3 π
I
pol. 19. stol.- podaˇrilo se dok´azat, ˇze ˇz´adn´a z uveden´ych u ´loh nen´ı euklidovsky ˇreˇsiteln´a
I
Pierre Laurent Wantzel (1814 - 1845) vyslovil a dok´azal vˇetu :
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
2. trisekce u ´hlu: Euklidovskou konstrukc´ı rozdˇelit obecn´y u ´hel na tˇri pˇresnˇe stejn´e d´ıly.
I
3. zdvojen´ı (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, kter´a m´a pˇresnˇe dvojn´asobn´y objem jako zadan´a krychle o hranˇe a, tzn. √ euklidovskou konstrukc´ı sestrojit u ´seˇcku d´elky a 3 π
I
pol. 19. stol.- podaˇrilo se dok´azat, ˇze ˇz´adn´a z uveden´ych u ´loh nen´ı euklidovsky ˇreˇsiteln´a
I
Pierre Laurent Wantzel (1814 - 1845) vyslovil a dok´azal vˇetu :
I
eukleidovskou konstrukc´ı je moˇzn´e prov´adˇet pouze poˇcetn´ı operace sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı, dˇelen´ı a druhou odmocninu. (Nic jin´eho).
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
kubatura koule, zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hl˚ u vedou pˇritom na v´ypoˇcet tˇret´ı odmocniny
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
kubatura koule, zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hl˚ u vedou pˇritom na v´ypoˇcet tˇret´ı odmocniny
I
neˇreˇsitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kruˇznice plyne zase z faktu, ˇze ˇc´ıslo π je transendentn´ı iracion´aln´ı ˇc´ıslo,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
kubatura koule, zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hl˚ u vedou pˇritom na v´ypoˇcet tˇret´ı odmocniny
I
neˇreˇsitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kruˇznice plyne zase z faktu, ˇze ˇc´ıslo π je transendentn´ı iracion´aln´ı ˇc´ıslo,
I
nen´ı ˇreˇsen´ım ˇz´adn´e algebraick´e rovnice s racion´aln´ımi koeficienty a celoˇc´ıseln´ymi mocninami (dok´azal Lindemann (1882))
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
kubatura koule, zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hl˚ u vedou pˇritom na v´ypoˇcet tˇret´ı odmocniny
I
neˇreˇsitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kruˇznice plyne zase z faktu, ˇze ˇc´ıslo π je transendentn´ı iracion´aln´ı ˇc´ıslo,
I
nen´ı ˇreˇsen´ım ˇz´adn´e algebraick´e rovnice s racion´aln´ımi koeficienty a celoˇc´ıseln´ymi mocninami (dok´azal Lindemann (1882))
I
Z´avˇer:
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Euklidovsky pˇr´ıpustn´e konstrukce a neˇreˇsiteln´e antick´e u´lohy I
kubatura koule, zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hl˚ u vedou pˇritom na v´ypoˇcet tˇret´ı odmocniny
I
neˇreˇsitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kruˇznice plyne zase z faktu, ˇze ˇc´ıslo π je transendentn´ı iracion´aln´ı ˇc´ıslo,
I
nen´ı ˇreˇsen´ım ˇz´adn´e algebraick´e rovnice s racion´aln´ımi koeficienty a celoˇc´ıseln´ymi mocninami (dok´azal Lindemann (1882))
I
Z´avˇer:
I
antick´e u ´lohy nejsou sice ˇreˇsiteln´e eukleidovskou konstrukc´ı, jsou ale ˇreˇsiteln´e modern´ımi postupy, kter´e jsou ˇcasto pˇresnˇejˇs´ı neˇz r´ysov´an´ı.
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Archim´ edes ze Syrakus (287 - 212 pˇr. n. l.)
Archim´edes
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko I
Archim´ edes ze Syrakus (287 - 212 pˇr. n. l.)
Archim´edes
I
polopravideln´e mnohostˇeny,
Archim´edovsk´a tˇelesa
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko
I
mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko
I
mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)
I
u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko
I
mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)
I
u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu
I
spisy Kvadratura paraboly,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko
I
mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)
I
u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu
I
spisy Kvadratura paraboly,
I
O kouli a v´alci (objem a povrch koule a v´alce), Mˇeˇren´ı kruhu (obvod a obsah kruhu),
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko
I
mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)
I
u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu
I
spisy Kvadratura paraboly,
I
O kouli a v´alci (objem a povrch koule a v´alce), Mˇeˇren´ı kruhu (obvod a obsah kruhu),
I
O konoidech a sferoidech, O spir´al´ach (Archimedova spir´ala)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko
I
mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)
I
u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu
I
spisy Kvadratura paraboly,
I
O kouli a v´alci (objem a povrch koule a v´alce), Mˇeˇren´ı kruhu (obvod a obsah kruhu),
I
O konoidech a sferoidech, O spir´al´ach (Archimedova spir´ala)
I
Apollonius z Pergy (262 - 190 pˇr. n. l.)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
ˇ Pˇrehled historie geometrie - starovˇek´e Recko
I
mistrovsk´e uplatˇ nov´an´ı exhaustivn´ı metody (urˇcov´an´ı obsah˚ u a objem˚ u obecnˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u)
I
u ´svit infinitesim´aln´ıho poˇctu
I
spisy Kvadratura paraboly,
I
O kouli a v´alci (objem a povrch koule a v´alce), Mˇeˇren´ı kruhu (obvod a obsah kruhu),
I
O konoidech a sferoidech, O spir´al´ach (Archimedova spir´ala)
I
Apollonius z Pergy (262 - 190 pˇr. n. l.)
I
Appoloniovy u ´lohy, Konika - spis O kuˇzeloseˇck´ach
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I
Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I
Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)
I
Pappova vˇety (objem rotaˇcn´ıho tˇelesa je roven souˇcinu obsahu ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´tvaru a obvodu kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe u ´tvaru) (Guldinova vˇeta)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I
Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)
I
Pappova vˇety (objem rotaˇcn´ıho tˇelesa je roven souˇcinu obsahu ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´tvaru a obvodu kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe u ´tvaru) (Guldinova vˇeta)
I
V´ypoˇcet objemu t´ oru pomoc´ı Pappovy vˇety
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I
Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)
I
Pappova vˇety (objem rotaˇcn´ıho tˇelesa je roven souˇcinu obsahu ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´tvaru a obvodu kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe u ´tvaru) (Guldinova vˇeta)
I
V´ypoˇcet objemu t´ oru pomoc´ı Pappovy vˇety I
zab´yval se k´onickou spir´alou (pr˚ unik rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy s v´alcovou plochou)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I
Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)
I
Pappova vˇety (objem rotaˇcn´ıho tˇelesa je roven souˇcinu obsahu ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´tvaru a obvodu kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe u ´tvaru) (Guldinova vˇeta)
I
V´ypoˇcet objemu t´ oru pomoc´ı Pappovy vˇety I
zab´yval se k´onickou spir´alou (pr˚ unik rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy s v´alcovou plochou)
I
476 n. l. z´ anik Z´ apadoˇr´ımsk´ e ˇr´ıˇse - konec starovˇeku
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - pozdn´ı starovˇek, stˇredovˇek I
Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)
I
Pappova vˇety (objem rotaˇcn´ıho tˇelesa je roven souˇcinu obsahu ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´tvaru a obvodu kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe u ´tvaru) (Guldinova vˇeta)
I
V´ypoˇcet objemu t´ oru pomoc´ı Pappovy vˇety I
zab´yval se k´onickou spir´alou (pr˚ unik rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy s v´alcovou plochou)
I
476 n. l. z´ anik Z´ apadoˇr´ımsk´ e ˇr´ıˇse - konec starovˇeku
I
stˇredovˇ ek - obdob´ı glob´aln´ı stagnace myˇslen´ı,pokroku a vˇedy v Evropˇe Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I
Johannes Kepler (1571 - 1630
Johanes Kepler
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I
Johannes Kepler (1571 - 1630
Johanes Kepler
I
zab´yval se pravideln´ymi hvˇezdicovit´ymi mnohostˇeny
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I
Johannes Kepler (1571 - 1630
Johanes Kepler
I
zab´yval se pravideln´ymi hvˇezdicovit´ymi mnohostˇeny
I y pˇrehled v´ yvoje geometrie Hvˇezdicovit´eHistorick´ mnohostˇ eny
Martin Swaczyna
Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I
spis Nov´e v´ypoˇcty vinn´ych sud˚ u - urˇcen´ı objemu 90 rotaˇc. tˇeles
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I I
spis Nov´e v´ypoˇcty vinn´ych sud˚ u - urˇcen´ı objemu 90 rotaˇc. tˇeles nebesk´a mechanika - kinematika pohyb˚ u planet (Keplerovy z´ akony, elipsy)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I I I
spis Nov´e v´ypoˇcty vinn´ych sud˚ u - urˇcen´ı objemu 90 rotaˇc. tˇeles nebesk´a mechanika - kinematika pohyb˚ u planet (Keplerovy z´ akony, elipsy) vyloˇzil heliocentrickou planet´arn´ı soustavu pomoc´ı pˇeti platonsk´ych tˇeles
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - reformace feudalismu I I I
spis Nov´e v´ypoˇcty vinn´ych sud˚ u - urˇcen´ı objemu 90 rotaˇc. tˇeles nebesk´a mechanika - kinematika pohyb˚ u planet (Keplerovy z´ akony, elipsy) vyloˇzil heliocentrickou planet´arn´ı soustavu pomoc´ı pˇeti platonsk´ych tˇeles
I
Planet´arn´ı model podle Keplerova prvn´ıho spisu Tajemstv´ı ıru y pˇrehled v´yvoje geometrie Martin Swaczyna vesm´ Historick´
Pˇrehled historie geometrie - humanismus I
Ren´ e Descartes (Cartesius)(1596 - 1650)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - humanismus I
Ren´ e Descartes (Cartesius)(1596 - 1650)
I
zakladatel analytick´e geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - humanismus I
Ren´ e Descartes (Cartesius)(1596 - 1650)
I
zakladatel analytick´e geometrie zavedl do geometrie souˇradnice (kart´ezsk´e souˇradnice)
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - humanismus I
zab´yval se zaj´ımavou kˇrivkou Descart˚ uv list
Descart˚ uv list
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - humanismus I
zab´yval se zaj´ımavou kˇrivkou Descart˚ uv list
Descart˚ uv list I
ve spisu Dipotrika - z´akon lomu svˇetla, v´yklad vzniku duhy
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin I
Pierre Fermat(1601 - 1665)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin I
Pierre Fermat(1601 - 1665)
I
u ´loha setrojit kulovou plochu z dan´ych 4 bod˚ u na n´ı leˇz´ıc´ıch
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin I
Pierre Fermat(1601 - 1665)
I
u ´loha setrojit kulovou plochu z dan´ych 4 bod˚ u na n´ı leˇz´ıc´ıch
I
Fermat˚ uv princip - obecn´y z´akon geometrick´e optiky svˇetlo se ˇs´ıˇr´ı po ˇcasovˇe nej´ uspornˇejˇs´ı dr´aze Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin
I
Isaac Newton (1643 - 1727)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin I
Gottlieb Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin I
Gottlieb Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
I
nez´avisle objevili a rozpracovali infinitesim´ aln´ı poˇ cet Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin
I
vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin
I
vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.
I
aplikace ve fyzice a geometrii, diferenci´aln´ı rovnice, diferenci´aln´ı geometrie, diferenci´aln´ı principy ve fyzice,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin
I
vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.
I
aplikace ve fyzice a geometrii, diferenci´aln´ı rovnice, diferenci´aln´ı geometrie, diferenci´aln´ı principy ve fyzice,
I
d˚ uleˇzit´y motivaˇ cn´ı v´ yznam geometrie pˇri vzniku a rozvoji infinitesim´aln´ıho poˇctu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin
I
vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.
I
aplikace ve fyzice a geometrii, diferenci´aln´ı rovnice, diferenci´aln´ı geometrie, diferenci´aln´ı principy ve fyzice,
I
d˚ uleˇzit´y motivaˇ cn´ı v´ yznam geometrie pˇri vzniku a rozvoji infinitesim´aln´ıho poˇctu
I
pojem teˇ cna ke kˇrivce pˇredch´azel pojmu derivace
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin
I
vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.
I
aplikace ve fyzice a geometrii, diferenci´aln´ı rovnice, diferenci´aln´ı geometrie, diferenci´aln´ı principy ve fyzice,
I
d˚ uleˇzit´y motivaˇ cn´ı v´ yznam geometrie pˇri vzniku a rozvoji infinitesim´aln´ıho poˇctu
I
pojem teˇ cna ke kˇrivce pˇredch´azel pojmu derivace
I
pojem obsahu obrazce pˇredch´azel pojmu integr´alu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 17,. stol. matematika promˇenn´ych veliˇcin
I
vznik matematick´e anal´yzy a dalˇs´ıch discipl´ın s n´ım souvisej´ıc´ıch, napˇr.
I
aplikace ve fyzice a geometrii, diferenci´aln´ı rovnice, diferenci´aln´ı geometrie, diferenci´aln´ı principy ve fyzice,
I
d˚ uleˇzit´y motivaˇ cn´ı v´ yznam geometrie pˇri vzniku a rozvoji infinitesim´aln´ıho poˇctu
I
pojem teˇ cna ke kˇrivce pˇredch´azel pojmu derivace
I
pojem obsahu obrazce pˇredch´azel pojmu integr´alu
I
pojem povrchu a objemu tˇ elesa pˇredch´azel pojmu dvojn´eho a trojn´eho integr´alu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
postupn´y rozvoj infinitesim´aln´ıho poˇctu a metod ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
postupn´y rozvoj infinitesim´aln´ıho poˇctu a metod ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic
I
dovoloval ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohy z mechaniky hmotn´eho bodu a studovat sloˇzitˇejˇs´ı geometrick´e kˇrivky
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
postupn´y rozvoj infinitesim´aln´ıho poˇctu a metod ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic
I
dovoloval ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohy z mechaniky hmotn´eho bodu a studovat sloˇzitˇejˇs´ı geometrick´e kˇrivky
I
1673 Huygens studium tautochrony - ”kˇrivky stejn´eho ˇcasu”
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
postupn´y rozvoj infinitesim´aln´ıho poˇctu a metod ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic
I
dovoloval ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohy z mechaniky hmotn´eho bodu a studovat sloˇzitˇejˇs´ı geometrick´e kˇrivky
I
1673 Huygens studium tautochrony - ”kˇrivky stejn´eho ˇcasu”
I
matematick´e kyvadlo dospˇeje do spodn´ı polohy vˇzdy za stejnou dobu nez´avisle na poˇc´ateˇcn´ı v´ychylce, bude-li se pohybovat po cykloidˇe
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
postupn´y rozvoj infinitesim´aln´ıho poˇctu a metod ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic
I
dovoloval ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohy z mechaniky hmotn´eho bodu a studovat sloˇzitˇejˇs´ı geometrick´e kˇrivky
I
1673 Huygens studium tautochrony - ”kˇrivky stejn´eho ˇcasu”
I
matematick´e kyvadlo dospˇeje do spodn´ı polohy vˇzdy za stejnou dobu nez´avisle na poˇc´ateˇcn´ı v´ychylce, bude-li se pohybovat po cykloidˇe
I
cykloida m´a vlastnost tautochrony, tzv. izochronismus cykloid´ aln´ıho kyvadla
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
2. pol. 17. stol., 18. stol. Jacob a Johann Bernoulliov´ e
Jacob Bernoulli
Martin Swaczyna
Johann Bernoulli
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
2. pol. 17. stol., 18. stol. Jacob a Johann Bernoulliov´ e
Jacob Bernoulli I
Johann Bernoulli
u ´loha o rovnov´aze ohebn´eho vl´akna zavˇeˇsen´eho v t´ıhov´em poli, Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
2. pol. 17. stol., 18. stol. Jacob a Johann Bernoulliov´ e
Jacob Bernoulli I
I
Johann Bernoulli
u ´loha o rovnov´aze ohebn´eho vl´akna zavˇeˇsen´eho v t´ıhov´em poli, ˇreˇsen´ı: ˇretˇ ezovka (catenary) Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
ˇ ezovka Retˇ
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
ˇ ezovka Retˇ I
ˇretˇezovka v praxi
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
ˇretˇezovka v architektuˇre (klendby staveb, mostn´ı stavitelstv´ı)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
ˇretˇezovka v architektuˇre (klendby staveb, mostn´ı stavitelstv´ı)
I Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
ˇ ezovka - transcendentn´ı rovinn´a kˇrivka popsan´a funkc´ı Retˇ kosinus hyperbolick´y Na obr´azku: ˇretˇezovky s r˚ uzn´ymi parametry Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
rotac´ı ˇretˇezovky vznikaj´ı rotaˇcn´ı plochy minim´aln´ıho povrchu tzv. katenoidy
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
rotac´ı ˇretˇezovky vznikaj´ı rotaˇcn´ı plochy minim´aln´ıho povrchu tzv. katenoidy
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
z diferenci´alnˇe geometric. hlediska se jedn´a o plochy nulov´e stˇredn´ı kˇrivosti
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
z diferenci´alnˇe geometric. hlediska se jedn´a o plochy nulov´e stˇredn´ı kˇrivosti
I
katenoid v praxi: m´ydlov´a bl´ana napnut´a na dvou rovnobˇeˇzn´ych kruhov´ych obruˇc´ıch
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
z diferenci´alnˇe geometric. hlediska se jedn´a o plochy nulov´e stˇredn´ı kˇrivosti
I
katenoid v praxi: m´ydlov´a bl´ana napnut´a na dvou rovnobˇeˇzn´ych kruhov´ych obruˇc´ıch
I
princip minim´ aln´ı povrchov´ e energie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
1687 Leibniz
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
1687 Leibniz
I
nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
1687 Leibniz
I
nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı
I
ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
1687 Leibniz
I
nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı
I
ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona
I
1694 Jacob Bernoulli
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
1687 Leibniz
I
nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı
I
ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona
I
1694 Jacob Bernoulli
I
nal´ezt kˇrivku, po n´ıˇz se hm. bod v t´ıhov´em poli bl´ıˇz´ı k c´ılov´emu bodu s konstantn´ı rychlost´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
1687 Leibniz
I
nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı
I
ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona
I
1694 Jacob Bernoulli
I
nal´ezt kˇrivku, po n´ıˇz se hm. bod v t´ıhov´em poli bl´ıˇz´ı k c´ılov´emu bodu s konstantn´ı rychlost´ı
I
ˇreˇsen´ı: paracentrick´ a izochrona
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
1687 Leibniz
I
nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı
I
ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona
I
1694 Jacob Bernoulli
I
nal´ezt kˇrivku, po n´ıˇz se hm. bod v t´ıhov´em poli bl´ıˇz´ı k c´ılov´emu bodu s konstantn´ı rychlost´ı
I
ˇreˇsen´ı: paracentrick´ a izochrona
I
dalˇs´ı zaj´ımav´e kˇrivky spojen´e s Bernoulliov´ymi
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek I
1687 Leibniz
I
nal´ezt kˇrivku po n´ıˇz by hm. bod klesal v t´ıhov´em poli, tak ˇze jeho rychlost ve svisl´em smˇeru z˚ ust´av´a konstantn´ı
I
ˇreˇsen´ı: Leibnizova izochrona
I
1694 Jacob Bernoulli
I
nal´ezt kˇrivku, po n´ıˇz se hm. bod v t´ıhov´em poli bl´ıˇz´ı k c´ılov´emu bodu s konstantn´ı rychlost´ı
I
ˇreˇsen´ı: paracentrick´ a izochrona
I
dalˇs´ı zaj´ımav´e kˇrivky spojen´e s Bernoulliov´ymi
I
lemnisk´ ata, logaritmick´ a spir´ ala, limacon (hlem´yˇzd’ovka), asteroida
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
lemnisk´ata
Martin Swaczyna
logaritmick´a spir´ala
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliov´e - objevy a studium r˚ uzn´ych kˇrivek
I
lemnisk´ata
logaritmick´a spir´ala
I
asteroida Martin Swaczyna
limacon Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony I
1696 - Johan Bernoulli formuloval probl´ em brachystochrony
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony I
1696 - Johan Bernoulli formuloval probl´ em brachystochrony
I
p˚ uvod slova z ˇreˇctiny: brachis = nejkratˇs´ı, chronos = ˇcas
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony I
1696 - Johan Bernoulli formuloval probl´ em brachystochrony
I
p˚ uvod slova z ˇreˇctiny: brachis = nejkratˇs´ı, chronos = ˇcas
I
nal´ezt kˇrivku, pod´el kter´e se hmotn´y bod pohybuj´ıc´ı se v t´ıhov´em poli dostane z v´yˇse poloˇzen´eho bodu do n´ıˇze poloˇzen´eho bodu za nejkratˇs´ı ˇcas
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony I
1696 - Johan Bernoulli formuloval probl´ em brachystochrony
I
p˚ uvod slova z ˇreˇctiny: brachis = nejkratˇs´ı, chronos = ˇcas
I
nal´ezt kˇrivku, pod´el kter´e se hmotn´y bod pohybuj´ıc´ı se v t´ıhov´em poli dostane z v´yˇse poloˇzen´eho bodu do n´ıˇze poloˇzen´eho bodu za nejkratˇs´ı ˇcas
I
brachystochrona Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony
I
ˇreˇsen´ım je oblouk cykloidy
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony
I
ˇreˇsen´ım je oblouk cykloidy
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony
I
ˇreˇsitel´e: Leibniz, oba bratˇri Bernoulliov´e, l´Hospital, Newton
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony
I
ˇreˇsitel´e: Leibniz, oba bratˇri Bernoulliov´e, l´Hospital, Newton
I
d˚ uleˇzit´y miln´ık ve v´yvoji matematiky,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony
I
ˇreˇsitel´e: Leibniz, oba bratˇri Bernoulliov´e, l´Hospital, Newton
I
d˚ uleˇzit´y miln´ık ve v´yvoji matematiky,
I
u ´loha nov´eho typu - typu izoperimetrick´ ych u ´loh,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony
I
ˇreˇsitel´e: Leibniz, oba bratˇri Bernoulliov´e, l´Hospital, Newton
I
d˚ uleˇzit´y miln´ık ve v´yvoji matematiky,
I
u ´loha nov´eho typu - typu izoperimetrick´ ych u ´loh,
I
extr´em se hled´a ve tˇr´ıdˇe pˇr´ıpustn´ych kˇrivek
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - probl´em brachystochrony
I
ˇreˇsitel´e: Leibniz, oba bratˇri Bernoulliov´e, l´Hospital, Newton
I
d˚ uleˇzit´y miln´ık ve v´yvoji matematiky,
I
u ´loha nov´eho typu - typu izoperimetrick´ ych u ´loh,
I
extr´em se hled´a ve tˇr´ıdˇe pˇr´ıpustn´ych kˇrivek
I
vznik variaˇ cn´ıho poˇ ctu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I
Leonhard Euler (1707 - 1783)
I
geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I
Leonhard Euler (1707 - 1783)
I
geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky pˇr´ınos k rozvoji variaˇ cn´ıho poˇ ctu
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I
Leonhard Euler (1707 - 1783)
I
geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky pˇr´ınos k rozvoji variaˇ cn´ıho poˇ ctu zab´yva se i nˇekter´ymi probl´emy diferenci´aln´ı geometrie (teˇcna, norm´ala kˇrivky, kˇrivost kˇrivek)
I I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I
Leonhard Euler (1707 - 1783)
I
geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky pˇr´ınos k rozvoji variaˇ cn´ıho poˇ ctu zab´yva se i nˇekter´ymi probl´emy diferenci´aln´ı geometrie (teˇcna, norm´ala kˇrivky, kˇrivost kˇrivek) studuje geodetick´e probl´emy
I I I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I
Leonhard Euler (1707 - 1783)
I
geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky pˇr´ınos k rozvoji variaˇ cn´ıho poˇ ctu zab´yva se i nˇekter´ymi probl´emy diferenci´aln´ı geometrie (teˇcna, norm´ala kˇrivky, kˇrivost kˇrivek) studuje geodetick´e probl´emy 1732 publikuje rovnici geodetick´ e kˇrivky (geodetiky)
I I I I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - 18. stol.- Euler I
Leonhard Euler (1707 - 1783)
I
geni´aln´ı matematik, pˇrispˇel k rozvoji vˇsech oblast´ı matematiky pˇr´ınos k rozvoji variaˇ cn´ıho poˇ ctu zab´yva se i nˇekter´ymi probl´emy diferenci´aln´ı geometrie (teˇcna, norm´ala kˇrivky, kˇrivost kˇrivek) studuje geodetick´e probl´emy 1732 publikuje rovnici geodetick´ e kˇrivky (geodetiky) geodetika - kˇrivka na ploˇse, pod´el n´ıˇz se teˇcn´y vektor pˇren´aˇs´ı paralelnˇe
I I I I I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I
v mnoˇzinˇe geodetik leˇz´ı t´eˇz nejkratˇs´ı spojnice dvou bod˚ u na ploˇse
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I
v mnoˇzinˇe geodetik leˇz´ı t´eˇz nejkratˇs´ı spojnice dvou bod˚ u na ploˇse
I
napˇr. na v´alc. ploˇse - oblouky ˇsroubovic,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I
v mnoˇzinˇe geodetik leˇz´ı t´eˇz nejkratˇs´ı spojnice dvou bod˚ u na ploˇse
I
napˇr. na v´alc. ploˇse - oblouky ˇsroubovic,
I
na kulov´e ploˇse - ortodromy (oblouky hlavn´ıch kruˇznic)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I
v mnoˇzinˇe geodetik leˇz´ı t´eˇz nejkratˇs´ı spojnice dvou bod˚ u na ploˇse
I
napˇr. na v´alc. ploˇse - oblouky ˇsroubovic,
I
na kulov´e ploˇse - ortodromy (oblouky hlavn´ıch kruˇznic)
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I
nezamˇen ˇovat ortodromy s loxodromami - kˇrivkami ”st´al´eho kursu”(n´amoˇrn´ı navigace), prot´ınaj´ı poledn´ıky pod stejn´ym u ´hlem
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I
nezamˇen ˇovat ortodromy s loxodromami - kˇrivkami ”st´al´eho kursu”(n´amoˇrn´ı navigace), prot´ınaj´ı poledn´ıky pod stejn´ym u ´hlem
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - geodetiky I
nezamˇen ˇovat ortodromy s loxodromami - kˇrivkami ”st´al´eho kursu”(n´amoˇrn´ı navigace), prot´ınaj´ı poledn´ıky pod stejn´ym u ´hlem
I I
n´azev geodetika zav´ad´ı Laplace v r. 1799
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Gaspard Monge (1746 - 1818)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Gaspard Monge (1746 - 1818)
I
zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Gaspard Monge (1746 - 1818)
I
zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,
I
tv˚ urce Mongeova prom´ıt´ an´ı (deskriptivn´ı geometrie)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Gaspard Monge (1746 - 1818)
I
zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,
I
tv˚ urce Mongeova prom´ıt´ an´ı (deskriptivn´ı geometrie)
I
1795 d´ılo Aplikace anal´yzy v geometrii
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Gaspard Monge (1746 - 1818)
I
zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,
I
tv˚ urce Mongeova prom´ıt´ an´ı (deskriptivn´ı geometrie)
I
1795 d´ılo Aplikace anal´yzy v geometrii
I
hlavn´ı uˇcebnice diferenci´aln´ı geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Gaspard Monge (1746 - 1818)
I
zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,
I
tv˚ urce Mongeova prom´ıt´ an´ı (deskriptivn´ı geometrie)
I
1795 d´ılo Aplikace anal´yzy v geometrii
I
hlavn´ı uˇcebnice diferenci´aln´ı geometrie
I
Fr´ ederic Frenet (1816 - 1900)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Gaspard Monge (1746 - 1818)
I
zakladatel diferenci´aln´ı geometrie,
I
tv˚ urce Mongeova prom´ıt´ an´ı (deskriptivn´ı geometrie)
I
1795 d´ılo Aplikace anal´yzy v geometrii
I
hlavn´ı uˇcebnice diferenci´aln´ı geometrie
I
Fr´ ederic Frenet (1816 - 1900)
I
teorie prostorov´ych kˇrivek, Frenetovy vzorce Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
I
nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
I
nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie studuje konformn´ı zobrazen´ı, zakˇriven´e plochy a geodetiky
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
I
nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie studuje konformn´ı zobrazen´ı, zakˇriven´e plochy a geodetiky pojmy geodetick´ a kˇrivost, Gaussova kˇrivost plochy
I I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
I
nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie studuje konformn´ı zobrazen´ı, zakˇriven´e plochy a geodetiky pojmy geodetick´ a kˇrivost, Gaussova kˇrivost plochy 1827 kniha Studium kˇriv´ych ploch - z´aklady teorie ploch a geodetik
I I I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
I
nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie studuje konformn´ı zobrazen´ı, zakˇriven´e plochy a geodetiky pojmy geodetick´ a kˇrivost, Gaussova kˇrivost plochy 1827 kniha Studium kˇriv´ych ploch - z´aklady teorie ploch a geodetik diferenci´aln´ı geometrie jako samostatn´a vˇedn´ı disipl´ına
I I I I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
I
nutnost ˇreˇsit geodetick´e probl´emy v praxi (povˇeˇren triangulac´ı Hannoverska), zakladatel geod´ ezie studuje konformn´ı zobrazen´ı, zakˇriven´e plochy a geodetiky pojmy geodetick´ a kˇrivost, Gaussova kˇrivost plochy 1827 kniha Studium kˇriv´ych ploch - z´aklady teorie ploch a geodetik diferenci´aln´ı geometrie jako samostatn´a vˇedn´ı disipl´ına autor prvn´ıch n´aˇcrt˚ u neeuklidovsk´e hyperbolick´e geometrie (nepublikovan´e)
I I I I I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. I
Gaussova kˇrivka (hustota norm´aln´ıho rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena
I
neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena
I
neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech
I
d´avno zn´ama nadbyteˇcnost 4. Euklidova postul´atu (Vˇsechny prav´e u ´hly jsou shodn´e )
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena
I
neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech
I
d´avno zn´ama nadbyteˇcnost 4. Euklidova postul´atu (Vˇsechny prav´e u ´hly jsou shodn´e )
I
d´a se dok´azat ze zb´yvaj´ıc´ıch axiom˚ u a postul´at˚ u
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena
I
neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech
I
d´avno zn´ama nadbyteˇcnost 4. Euklidova postul´atu (Vˇsechny prav´e u ´hly jsou shodn´e )
I
d´a se dok´azat ze zb´yvaj´ıc´ıch axiom˚ u a postul´at˚ u
I
”odvˇek´e v´ah´an´ı”matematik˚ u tak´e nad nez´avislosti 5. Euklidova postul´atem (postul´at o rovnobˇeˇzk´ach):
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena
I
neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech
I
d´avno zn´ama nadbyteˇcnost 4. Euklidova postul´atu (Vˇsechny prav´e u ´hly jsou shodn´e )
I
d´a se dok´azat ze zb´yvaj´ıc´ıch axiom˚ u a postul´at˚ u
I
”odvˇek´e v´ah´an´ı”matematik˚ u tak´e nad nez´avislosti 5. Euklidova postul´atem (postul´at o rovnobˇeˇzk´ach):
I
Kaˇzd´ym bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p proch´az´ı pr´avˇe jedna pˇr´ımka, kter´a je s n´ı rovnobˇeˇzn´a
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
konec 18., poˇc. 19. stol., nez´avislost soustavy Euklidov´ych postul´at˚ u naruˇsena
I
neotˇresiteln´a pozice euklidovsk´e geometrie (pˇet postul´at˚ u) se zaˇc´ın´a ”viklat”v z´akladech
I
d´avno zn´ama nadbyteˇcnost 4. Euklidova postul´atu (Vˇsechny prav´e u ´hly jsou shodn´e )
I
d´a se dok´azat ze zb´yvaj´ıc´ıch axiom˚ u a postul´at˚ u
I
”odvˇek´e v´ah´an´ı”matematik˚ u tak´e nad nez´avislosti 5. Euklidova postul´atem (postul´at o rovnobˇeˇzk´ach):
I
Kaˇzd´ym bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p proch´az´ı pr´avˇe jedna pˇr´ımka, kter´a je s n´ı rovnobˇeˇzn´a
I
pˇr´ıliˇs sloˇzit´y, netrivi´aln´ı ve srovn´an´ı se zbyl´ymi postul´aty Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr
I
ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr
I
ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e
I
d˚ ukazy opˇreny o pˇredpoklady nebo tvrzen´ı ”skrytˇe ekvivalentn´ı”s 5. postul´atem
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr
I
ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e
I
d˚ ukazy opˇreny o pˇredpoklady nebo tvrzen´ı ”skrytˇe ekvivalentn´ı”s 5. postul´atem
I
v´ysledkem u ´sil´ı - ˇrada tvrzen´ı a vˇet ekvivalentn´ıch s 5. postul´atu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr
I
ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e
I
d˚ ukazy opˇreny o pˇredpoklady nebo tvrzen´ı ”skrytˇe ekvivalentn´ı”s 5. postul´atem
I
v´ysledkem u ´sil´ı - ˇrada tvrzen´ı a vˇet ekvivalentn´ıch s 5. postul´atu
I
napˇr. vˇeta souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u v troj´ uheln´ıku je roven dvˇema prav´ym nebo Pythagorova vˇeta
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr
I
ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e
I
d˚ ukazy opˇreny o pˇredpoklady nebo tvrzen´ı ”skrytˇe ekvivalentn´ı”s 5. postul´atem
I
v´ysledkem u ´sil´ı - ˇrada tvrzen´ı a vˇet ekvivalentn´ıch s 5. postul´atu
I
napˇr. vˇeta souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u v troj´ uheln´ıku je roven dvˇema prav´ym nebo Pythagorova vˇeta
I
Legendre (1752 - 1833)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
tis´ıcilet´e snahy uk´azat, ˇze 5. postul´at je d˚ usledkem prvn´ıch ˇctyˇr
I
ne´ uspˇeˇsn´e, nebo jen zd´anlivˇe u ´spˇeˇsn´e
I
d˚ ukazy opˇreny o pˇredpoklady nebo tvrzen´ı ”skrytˇe ekvivalentn´ı”s 5. postul´atem
I
v´ysledkem u ´sil´ı - ˇrada tvrzen´ı a vˇet ekvivalentn´ıch s 5. postul´atu
I
napˇr. vˇeta souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u v troj´ uheln´ıku je roven dvˇema prav´ym nebo Pythagorova vˇeta
I
Legendre (1752 - 1833)
I
Souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u v kaˇzd´em troj´ uheln´ıku je u ´hel pˇr´ım´y, pr´avˇe kdyˇz plat´ı 5. postul´at. Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu
I
prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu
I
prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:
I
Souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u libovoln´eho troj´ uheln´ıka je nejv´yˇse rovna u ´hlu pˇr´ım´emu.
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu
I
prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:
I
Souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u libovoln´eho troj´ uheln´ıka je nejv´yˇse rovna u ´hlu pˇr´ım´emu.
I
a jej´ı d˚ usledek - druh´a vˇeta Saccheriho - Legendreova:
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu
I
prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:
I
Souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u libovoln´eho troj´ uheln´ıka je nejv´yˇse rovna u ´hlu pˇr´ım´emu.
I
a jej´ı d˚ usledek - druh´a vˇeta Saccheriho - Legendreova:
I
Jestliˇze existuje troj´ uheln´ık, jehoˇz souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u je menˇs´ı neˇz u ´hel pˇr´ım´y, pak tuto vlastnost m´a kaˇzd´y troj´ uheln´ık.
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu
I
prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:
I
Souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u libovoln´eho troj´ uheln´ıka je nejv´yˇse rovna u ´hlu pˇr´ım´emu.
I
a jej´ı d˚ usledek - druh´a vˇeta Saccheriho - Legendreova:
I
Jestliˇze existuje troj´ uheln´ık, jehoˇz souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u je menˇs´ı neˇz u ´hel pˇr´ım´y, pak tuto vlastnost m´a kaˇzd´y troj´ uheln´ık.
I
poˇc. 19. stol. - vyvrcholen´ı snah podat d˚ ukaz platnosti 5. postul´atu z platnosti ostatn´ıch postul´at˚ u a axiom˚ u
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Snahy o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu I
Giovanni Saccheri - nov´y ”ne nepochybn´y”postoj k 5. postul´atu
I
prvn´ı vˇeta Saccheriho - Legendreova:
I
Souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u libovoln´eho troj´ uheln´ıka je nejv´yˇse rovna u ´hlu pˇr´ım´emu.
I
a jej´ı d˚ usledek - druh´a vˇeta Saccheriho - Legendreova:
I
Jestliˇze existuje troj´ uheln´ık, jehoˇz souˇcet velikost´ı vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u je menˇs´ı neˇz u ´hel pˇr´ım´y, pak tuto vlastnost m´a kaˇzd´y troj´ uheln´ık.
I
poˇc. 19. stol. - vyvrcholen´ı snah podat d˚ ukaz platnosti 5. postul´atu z platnosti ostatn´ıch postul´at˚ u a axiom˚ u
I
v´yznamnˇe zas´ahlo do dalˇs´ıho v´yvoje geometrie, vznik neeuklidovsk´ ych geometri´ı Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I
1829 Nikolaj Ivanoviˇ c Lobaˇ cevskij (1792 - 1856) a v r. 1832 nez´avisle J´ anos Bolyai (1802 - 1860)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I
1829 Nikolaj Ivanoviˇ c Lobaˇ cevskij (1792 - 1856) a v r. 1832 nez´avisle J´ anos Bolyai (1802 - 1860)
I
5. postul´at nelze odvodit z ostatn´ıch axiom˚ u a postul´at˚ u (nez´avislost 5. postul´atu) Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I
Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I
Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı
I
K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I
Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı
I
K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku
I
oˇcek´aval, ˇze dojde ke spor˚ um v axiomatice euklidovsk´e geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I
Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı
I
K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku
I
oˇcek´aval, ˇze dojde ke spor˚ um v axiomatice euklidovsk´e geometrie
I
sporem by tak dok´azal z´avislost 5. postul´atu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I
Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı
I
K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku
I
oˇcek´aval, ˇze dojde ke spor˚ um v axiomatice euklidovsk´e geometrie
I
sporem by tak dok´azal z´avislost 5. postul´atu
I
k ˇz´adn´ym spor˚ um vˇsak nedoˇslo, 5. postul´at je nez´avisl´y
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I
Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı
I
K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku
I
oˇcek´aval, ˇze dojde ke spor˚ um v axiomatice euklidovsk´e geometrie
I
sporem by tak dok´azal z´avislost 5. postul´atu
I
k ˇz´adn´ym spor˚ um vˇsak nedoˇslo, 5. postul´at je nez´avisl´y
I
existence jin´ych alternativn´ıch geometri´ı, tzv. neeuklidovsk´ ych geometri´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Vyvrcholen´ı snah o d˚ ukaz nadbyteˇcnosti (z´avislosti) p´at´eho Euklidova postul´atu - neeuklidovsk´e geoemetrie I
Lobaˇcevskij zamˇenil znˇen´ı 5. postul´atu za tvrzen´ı
I
K dan´e pˇr´ımce lze dan´ym bodem, kter´y na n´ı neleˇz´ı v´est v rovinˇe alespoˇ n dvˇe pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı t´ımto bodem a neprot´ınaj´ı danou pˇr´ımku
I
oˇcek´aval, ˇze dojde ke spor˚ um v axiomatice euklidovsk´e geometrie
I
sporem by tak dok´azal z´avislost 5. postul´atu
I
k ˇz´adn´ym spor˚ um vˇsak nedoˇslo, 5. postul´at je nez´avisl´y
I
existence jin´ych alternativn´ıch geometri´ı, tzv. neeuklidovsk´ ych geometri´ı
I
stejnˇe bezesporn´ych a logicky ucelen´ych jako geometrie euklidovsk´a Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Neeuklidovsk´e geoemetrie I
neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Neeuklidovsk´e geoemetrie I
I
neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Neeuklidovsk´e geoemetrie I
I I
neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Neeuklidovsk´e geoemetrie I
I I I
neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty) je tzv. absolutn´ı geometrie nebo pangeometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Neeuklidovsk´e geoemetrie I
I I I I
neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty) je tzv. absolutn´ı geometrie nebo pangeometrie podle zp˚ usobu popˇren´ı 5. postul´atu rozliˇsujeme 2 z´akladn´ı typy neeuklidovsk´ych geometri´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Neeuklidovsk´e geoemetrie I
I I I I I
neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty) je tzv. absolutn´ı geometrie nebo pangeometrie podle zp˚ usobu popˇren´ı 5. postul´atu rozliˇsujeme 2 z´akladn´ı typy neeuklidovsk´ych geometri´ı hyperbolickou a eliptickou neeuklidovskou geometrii
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Neeuklidovsk´e geoemetrie I
I I I I I I
neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty) je tzv. absolutn´ı geometrie nebo pangeometrie podle zp˚ usobu popˇren´ı 5. postul´atu rozliˇsujeme 2 z´akladn´ı typy neeuklidovsk´ych geometri´ı hyperbolickou a eliptickou neeuklidovskou geometrii hyperbolick´y 5. postul´at: Existuj´ı nejm´enˇe dvˇe r˚ uzn´e pˇr´ımky veden´e bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p, kter´e neprot´ınaj´ı p. (bodem lze v´est nekoneˇcnˇe mnoho ”rovnobˇeˇzek”s danou pˇr´ımkou) (navrhli Lobaˇcevskij, Bolyai)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Neeuklidovsk´e geoemetrie I
I I I I I I
I
neeuklidovsk´ e geometrie - axiomaticky vybudovan´e geometrie splˇ nuj´ıc´ı prvn´ı ˇctyˇri Euklidovy postul´aty ale nesplˇ nuj´ıc´ı 5. Euklid˚ uv postul´at geometrie splˇ nuj´ıc´ı tak´e 5. postul´at se naz´yv´a euklidovsk´ a ˇc´ast geometrie, spoleˇcn´a pro euklidovskou i neeuklidovsk´e geometrie, (splˇ nuj´ıc´ı pouze prvn´ı 4 Euklidovy postul´aty) je tzv. absolutn´ı geometrie nebo pangeometrie podle zp˚ usobu popˇren´ı 5. postul´atu rozliˇsujeme 2 z´akladn´ı typy neeuklidovsk´ych geometri´ı hyperbolickou a eliptickou neeuklidovskou geometrii hyperbolick´y 5. postul´at: Existuj´ı nejm´enˇe dvˇe r˚ uzn´e pˇr´ımky veden´e bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p, kter´e neprot´ınaj´ı p. (bodem lze v´est nekoneˇcnˇe mnoho ”rovnobˇeˇzek”s danou pˇr´ımkou) (navrhli Lobaˇcevskij, Bolyai) odtud n´azev Lobaˇ cevsk´ eho geometrie, nˇekdy t´eˇz Bolyai Lobaˇ cevsk´ eho pro hyperbolickou geometrii Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie
I
eliptick´y 5. postul´at:Neexistuje ˇz´adn´a pˇr´ımka veden´a bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p, kter´a neprot´ın´a p. (bodem nelze v´est ˇz´adnou ”rovnobˇeˇzku”s danou pˇr´ımkou)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie
I
eliptick´y 5. postul´at:Neexistuje ˇz´adn´a pˇr´ımka veden´a bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p, kter´a neprot´ın´a p. (bodem nelze v´est ˇz´adnou ”rovnobˇeˇzku”s danou pˇr´ımkou)
I
vede na eliptickou neeuklidovskou geometrii, jej´ımˇz spec. pˇr´ıpadem je sf´ erick´ a geometrie s vyuˇzit´ım v v kartografii a navigaci
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie
I
eliptick´y 5. postul´at:Neexistuje ˇz´adn´a pˇr´ımka veden´a bodem neleˇz´ıc´ım na pˇr´ımce p, kter´a neprot´ın´a p. (bodem nelze v´est ˇz´adnou ”rovnobˇeˇzku”s danou pˇr´ımkou)
I
vede na eliptickou neeuklidovskou geometrii, jej´ımˇz spec. pˇr´ıpadem je sf´ erick´ a geometrie s vyuˇzit´ım v v kartografii a navigaci
I
chov´an´ı rovnobˇeˇzek v jednotliv´ych geometri´ıch
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie
I
z´aklady eliptick´e geometrie vyloˇzil v r. 1854 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie
I
z´aklady eliptick´e geometrie vyloˇzil v r. 1854 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)
I
v pr´aci O hypot´ez´ach tvoˇr´ıc´ıch z´aklady geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie
I
z´aklady eliptick´e geometrie vyloˇzil v r. 1854 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)
I
v pr´aci O hypot´ez´ach tvoˇr´ıc´ıch z´aklady geometrie
I
ve snaze klasifikovat nov´e neeukleidovsk´e geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie I
Riemanovsk´e pojet´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı jako ploch s konstantn´ı nenulovou kˇrivost´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie I
Riemanovsk´e pojet´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı jako ploch s konstantn´ı nenulovou kˇrivost´ı
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Eliptick´a neeuklidovsk´e geoemetrie I
Riemanovsk´e pojet´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı jako ploch s konstantn´ı nenulovou kˇrivost´ı
I I
speci´alnˇe : eukleidovsk´a geometrie je ”ploch´a”(m´a nulovou kˇrivost) Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı
I
nejjednoduˇsˇs´ım modelem eliptick´e (sf´erick´e) geometrie je povrch koule (sf´era), pˇr´ımky - hlavn´ı kruˇznice
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı
I
nejjednoduˇsˇs´ım modelem eliptick´e (sf´erick´e) geometrie je povrch koule (sf´era), pˇr´ımky - hlavn´ı kruˇznice
I
modelov´y prostor m´a konstantn´ı kladnou Gaussovu kˇrivost, je ”vypukl´y”
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı
I
nejjednoduˇsˇs´ım modelem eliptick´e (sf´erick´e) geometrie je povrch koule (sf´era), pˇr´ımky - hlavn´ı kruˇznice
I
modelov´y prostor m´a konstantn´ı kladnou Gaussovu kˇrivost, je ”vypukl´y”
I
”pˇr´ımkami”jsou hlavn´ı kruˇznice,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı
I
nejjednoduˇsˇs´ım modelem eliptick´e (sf´erick´e) geometrie je povrch koule (sf´era), pˇr´ımky - hlavn´ı kruˇznice
I
modelov´y prostor m´a konstantn´ı kladnou Gaussovu kˇrivost, je ”vypukl´y”
I
”pˇr´ımkami”jsou hlavn´ı kruˇznice,
I
sf´erick´y troj´ uheln´ık m´a souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u vˇetˇs´ı neˇz 180◦
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
n´azvy neeuklidovsk´ych geometri´ı vych´azi z modelov´ych prostor˚ u - ploch, na nichˇz se geometrie konstruuj´ı
I
nejjednoduˇsˇs´ım modelem eliptick´e (sf´erick´e) geometrie je povrch koule (sf´era), pˇr´ımky - hlavn´ı kruˇznice
I
modelov´y prostor m´a konstantn´ı kladnou Gaussovu kˇrivost, je ”vypukl´y”
I
”pˇr´ımkami”jsou hlavn´ı kruˇznice,
I
sf´erick´y troj´ uheln´ık m´a souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u vˇetˇs´ı neˇz 180◦
I Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
modelem hyperbolick´e geometrie je plocha, tzv. pseudosf´ era
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
modelem hyperbolick´e geometrie je plocha, tzv. pseudosf´ era
I
ale d´a se lok´alnˇe modelovat t´eˇz napˇr. na hyperbolick´ em paraboloidu nebo hyperboloidu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
modelem hyperbolick´e geometrie je plocha, tzv. pseudosf´ era
I
ale d´a se lok´alnˇe modelovat t´eˇz napˇr. na hyperbolick´ em paraboloidu nebo hyperboloidu
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
modelem hyperbolick´e geometrie je plocha, tzv. pseudosf´ era
I
ale d´a se lok´alnˇe modelovat t´eˇz napˇr. na hyperbolick´ em paraboloidu nebo hyperboloidu
I I
troj´ uheln´ık m´a v t´eto geometrii souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u menˇs´ı neˇz 180◦
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modely neeuklidovsk´ych geoemetri´ı I
modelem hyperbolick´e geometrie je plocha, tzv. pseudosf´ era
I
ale d´a se lok´alnˇe modelovat t´eˇz napˇr. na hyperbolick´ em paraboloidu nebo hyperboloidu
I I
troj´ uheln´ık m´a v t´eto geometrii souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u menˇs´ı neˇz 180◦
I
modelov´y prostor m´a konstantn´ı z´apornou Gaussovu kˇrivost, je ”vydut´y”
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pseudosf´era I
pseudosf´ era - plocha, kter´a m´a v kaˇzd´em bodˇe konstantn´ı z´apornou Gaussovu kˇrivost
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pseudosf´era I
pseudosf´ era - plocha, kter´a m´a v kaˇzd´em bodˇe konstantn´ı z´apornou Gaussovu kˇrivost
I
modelov´a plocha hyperbolick´e geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pseudosf´era I
pseudosf´ era - plocha, kter´a m´a v kaˇzd´em bodˇe konstantn´ı z´apornou Gaussovu kˇrivost
I
modelov´a plocha hyperbolick´e geometrie
I
vznik´a rotac´ı kˇrivky, tzv. traktrix
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pseudosf´era
I
Na pseudosf´eˇre je souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u troj´ uheln´ıka menˇs´ı neˇz 180◦
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pseudosf´era I
pseudosf´era jako geometrick´y protiklad sf´ery
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I
nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I
nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı
I
potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I
nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı
I
potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı
I
bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I
nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı
I
potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı
I
bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”
I
pozdˇeji naˇsly uplatnˇen´ı jako vhodn´e modely ˇcasoprostoru v kosmologick´ych teori´ıch vesm´ıru
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I
nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı
I
potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı
I
bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”
I
pozdˇeji naˇsly uplatnˇen´ı jako vhodn´e modely ˇcasoprostoru v kosmologick´ych teori´ıch vesm´ıru
I
pro kosmolog. model uzavˇren´ eho vesm´ıru (souˇcasn´e rozp´ın´an´ı pˇrejde ve smrˇst’ov´an´ı)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I
nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı
I
potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı
I
bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”
I
pozdˇeji naˇsly uplatnˇen´ı jako vhodn´e modely ˇcasoprostoru v kosmologick´ych teori´ıch vesm´ıru
I
pro kosmolog. model uzavˇren´ eho vesm´ıru (souˇcasn´e rozp´ın´an´ı pˇrejde ve smrˇst’ov´an´ı)
I
vhodn´a eliptick´a geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I
nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı
I
potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı
I
bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”
I
pozdˇeji naˇsly uplatnˇen´ı jako vhodn´e modely ˇcasoprostoru v kosmologick´ych teori´ıch vesm´ıru
I
pro kosmolog. model uzavˇren´ eho vesm´ıru (souˇcasn´e rozp´ın´an´ı pˇrejde ve smrˇst’ov´an´ı)
I
vhodn´a eliptick´a geometrie
I
pro kosmolog. model otevˇren´ eho vesm´ıru (neust´al´e zpomalovan´e rozp´ın´an´ı)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Souvislost neeuklidovsk´ych geoemetri´ı s kosmologick´ymi modely vesm´ıru I
nejprve nepochopen´ı neeuklidovsk´ych geometri´ı
I
potom jejich uzn´an´ı jako ˇcistˇe abstraktn´ıch axiomatick´ych teori´ı
I
bez jak´ehokoliv vyuˇzit´ı v ”re´alu”
I
pozdˇeji naˇsly uplatnˇen´ı jako vhodn´e modely ˇcasoprostoru v kosmologick´ych teori´ıch vesm´ıru
I
pro kosmolog. model uzavˇren´ eho vesm´ıru (souˇcasn´e rozp´ın´an´ı pˇrejde ve smrˇst’ov´an´ı)
I
vhodn´a eliptick´a geometrie
I
pro kosmolog. model otevˇren´ eho vesm´ıru (neust´al´e zpomalovan´e rozp´ın´an´ı)
I
vhodn´a hyperbolick´a geometrie Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovsk´a geometrie a Obecn´a teorie relativity
I
dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometri´ı rozum´ı diferencovateln´a varieta s pozitivnˇe definitn´ım metrick´ym tenzorem
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovsk´a geometrie a Obecn´a teorie relativity
I
dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometri´ı rozum´ı diferencovateln´a varieta s pozitivnˇe definitn´ım metrick´ym tenzorem
I
je li tento indefinitn´ı hovoˇr´ıme o pseudo-Riemannovˇ e (pseudoriemannovsk´ e) geometrii
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovsk´a geometrie a Obecn´a teorie relativity
I
dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometri´ı rozum´ı diferencovateln´a varieta s pozitivnˇe definitn´ım metrick´ym tenzorem
I
je li tento indefinitn´ı hovoˇr´ıme o pseudo-Riemannovˇ e (pseudoriemannovsk´ e) geometrii
I
naˇsla uplatnˇen´ı v Einsteinovˇ e obecn´ e teorii relativity jako geometrick´y model ˇ casoprostoru
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovsk´a geometrie a Obecn´a teorie relativity
I
dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometri´ı rozum´ı diferencovateln´a varieta s pozitivnˇe definitn´ım metrick´ym tenzorem
I
je li tento indefinitn´ı hovoˇr´ıme o pseudo-Riemannovˇ e (pseudoriemannovsk´ e) geometrii
I
naˇsla uplatnˇen´ı v Einsteinovˇ e obecn´ e teorii relativity jako geometrick´y model ˇ casoprostoru
I
Einsteinovy gravitaˇcn´ı rovnice vyjadˇruj´ı u ´zkou souvislost mezi hmotou a zakˇriven´ım ˇcasoprostoru
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovsk´a geometrie a Obecn´a teorie relativity
I
pohyb se realizuje po geodetik´ ach ˇcasoprostoru
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I
M¨ obius (1790 - 1868) - studium topologicky netrivi´aln´ıch ploch
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I
M¨ obius (1790 - 1868) - studium topologicky netrivi´aln´ıch ploch
I
M¨ obiova p´ aska- dvojrozmˇern´a neorientovateln´a plocha, kter´a m´a pouze jednu stranu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I
M¨ obius (1790 - 1868) - studium topologicky netrivi´aln´ıch ploch
I
M¨ obiova p´ aska- dvojrozmˇern´a neorientovateln´a plocha, kter´a m´a pouze jednu stranu
I
rozvoj projektivn´ı geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I
M¨ obius (1790 - 1868) - studium topologicky netrivi´aln´ıch ploch
I
M¨ obiova p´ aska- dvojrozmˇern´a neorientovateln´a plocha, kter´a m´a pouze jednu stranu
I
rozvoj projektivn´ı geometrie
I
Grassmann (1809 - 1877), Pl¨ ucker (1801 - 1868) - z´aklady teorie n-rozmˇern´eho prostoru
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.
I
Felix Klein (1849 - 1925)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.
I
Felix Klein (1849 - 1925)
I
1872 vyt´yˇcil Erlangensk´y program - dalˇs´ı rozvoj diferenci´aln´ı geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.
I
Felix Klein (1849 - 1925)
I
1872 vyt´yˇcil Erlangensk´y program - dalˇs´ı rozvoj diferenci´aln´ı geometrie
I
Kleinova l´ahev 1882
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.
I
konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.
I
konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie
I
nesplˇ nuje striktn´ı poˇzadavky souˇcasn´e matem. logiky na axiomatickou v´ystavbu teorie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.
I
konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie
I
nesplˇ nuje striktn´ı poˇzadavky souˇcasn´e matem. logiky na axiomatickou v´ystavbu teorie
I
Nedostatky Euklidov´ych Z´aklad˚ u
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.
I
konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie
I
nesplˇ nuje striktn´ı poˇzadavky souˇcasn´e matem. logiky na axiomatickou v´ystavbu teorie
I
Nedostatky Euklidov´ych Z´aklad˚ u
I
intuitivn´ı pojet´ı nˇekter´ych pojm˚ u
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.
I
konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie
I
nesplˇ nuje striktn´ı poˇzadavky souˇcasn´e matem. logiky na axiomatickou v´ystavbu teorie
I
Nedostatky Euklidov´ych Z´aklad˚ u
I
intuitivn´ı pojet´ı nˇekter´ych pojm˚ u
I
form´aln´ı logick´e chyby ve formulac´ıch
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol.
I
konec 19. stol. nutnost revize euklidovsk´e geometrie
I
nesplˇ nuje striktn´ı poˇzadavky souˇcasn´e matem. logiky na axiomatickou v´ystavbu teorie
I
Nedostatky Euklidov´ych Z´aklad˚ u
I
intuitivn´ı pojet´ı nˇekter´ych pojm˚ u
I
form´aln´ı logick´e chyby ve formulac´ıch
I
z´avislost soustavy postul´at˚ u a axiom˚ u
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I
1899 David Hilbert (1862 - 1943)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I
1899 David Hilbert (1862 - 1943)
I
v knize Z´aklady geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I
1899 David Hilbert (1862 - 1943)
I
v knize Z´aklady geometrie pˇredstavil novou axiomatickou v´ystavbu geometrie
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - konec 19. stol. I
1899 David Hilbert (1862 - 1943)
I
v knize Z´aklady geometrie pˇredstavil novou axiomatickou v´ystavbu geometrie bez vazby na intuici a smyslovou n´azornost
I I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Hilbertova axiomatick´a soustava I
z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Hilbertova axiomatick´a soustava I
z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G
I
E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Hilbertova axiomatick´a soustava I
z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G
I
E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin
I
definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C )
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Hilbertova axiomatick´a soustava I
z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G
I
E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin
I
definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Hilbertova axiomatick´a soustava I
z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G
I
E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin
I
definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =
I I
Hilbertova soustava axiom˚ u - 20 axiom˚ u rozdˇelen´ych do 5 skupin
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Hilbertova axiomatick´a soustava I
z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G
I
E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin
I
definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =
I I
Hilbertova soustava axiom˚ u - 20 axiom˚ u rozdˇelen´ych do 5 skupin
I
I. axiomy incidence (8 axiom˚ u), II. axiomy uspoˇr´ ad´ an´ı (4 axiomy)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Hilbertova axiomatick´a soustava I
z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G
I
E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin
I
definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =
I I
Hilbertova soustava axiom˚ u - 20 axiom˚ u rozdˇelen´ych do 5 skupin
I
I. axiomy incidence (8 axiom˚ u), II. axiomy uspoˇr´ ad´ an´ı (4 axiomy)
I
III. axiomy shodnosti (5 axiom˚ u), IV. axiomy spojitosti (2 axiomy)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Hilbertova axiomatick´a soustava I
z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G
I
E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin
I
definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =
I I
Hilbertova soustava axiom˚ u - 20 axiom˚ u rozdˇelen´ych do 5 skupin
I
I. axiomy incidence (8 axiom˚ u), II. axiomy uspoˇr´ ad´ an´ı (4 axiomy)
I
III. axiomy shodnosti (5 axiom˚ u), IV. axiomy spojitosti (2 axiomy)
I
V. axiom rovnobˇ eˇ znosti (1 axiom)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Hilbertova axiomatick´a soustava I
z´akladem 3 nepr´azdn´e mnoˇziny E, F, G
I
E...mnoˇzina vˇsech bod˚ u, F...mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, G...mnoˇzina vˇsech rovin
I
definuje 1. relace incidence (∈), 2. relace uspoˇr´ ad´ an´ı (µ(A, B, C )...bod B leˇz´ı mezi body A a C ) 3. relace shodnosti ∼ =
I I
Hilbertova soustava axiom˚ u - 20 axiom˚ u rozdˇelen´ych do 5 skupin
I
I. axiomy incidence (8 axiom˚ u), II. axiomy uspoˇr´ ad´ an´ı (4 axiomy)
I
III. axiomy shodnosti (5 axiom˚ u), IV. axiomy spojitosti (2 axiomy)
I
V. axiom rovnobˇ eˇ znosti (1 axiom)
I
z dneˇsn´ıho pohledu - pˇr´ıliˇs sloˇzit´a Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.
I
1900 D. Hilbert pˇredstavil na Kongresu v Paˇr´ıˇzi
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.
I
1900 D. Hilbert pˇredstavil na Kongresu v Paˇr´ıˇzi
I
23 matematick´ych probl´em˚ u pro 20. stol. (Hilbertovy probl´ emy)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.
I
1900 D. Hilbert pˇredstavil na Kongresu v Paˇr´ıˇzi
I
23 matematick´ych probl´em˚ u pro 20. stol. (Hilbertovy probl´ emy)
I
ovlivnily dalˇs´ı v´yvoj matematiky a geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.
I
1900 D. Hilbert pˇredstavil na Kongresu v Paˇr´ıˇzi
I
23 matematick´ych probl´em˚ u pro 20. stol. (Hilbertovy probl´ emy)
I
ovlivnily dalˇs´ı v´yvoj matematiky a geometrie
I
zaslouˇzil se o geometrizaci kvantov´e mechaniky
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.
I
1900 D. Hilbert pˇredstavil na Kongresu v Paˇr´ıˇzi
I
23 matematick´ych probl´em˚ u pro 20. stol. (Hilbertovy probl´ emy)
I
ovlivnily dalˇs´ı v´yvoj matematiky a geometrie
I
zaslouˇzil se o geometrizaci kvantov´e mechaniky
I
Hilbert˚ uv prostor
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.
I
1918 Hermann Weyl (1885 - 1955)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Pˇrehled historie geometrie - poˇc. 20. stol.
I
1918 Hermann Weyl (1885 - 1955)
I
upraven´a axiomatika, tzv. Weylova axiomatick´ a soustava
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Weylova axiomatick´a soustava
I
celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Weylova axiomatick´a soustava
I
celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru
I
1 axiom - dimenze vektor. prostoru
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Weylova axiomatick´a soustava
I
celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru
I
1 axiom - dimenze vektor. prostoru
I
4 axiomy biline´arn´ı formy (skal´arn´ıho souˇcinu)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Weylova axiomatick´a soustava
I
celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru
I
1 axiom - dimenze vektor. prostoru
I
4 axiomy biline´arn´ı formy (skal´arn´ıho souˇcinu)
I
2 doplˇ nkov´e Weylovy axiomy
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Weylova axiomatick´a soustava
I
celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru
I
1 axiom - dimenze vektor. prostoru
I
4 axiomy biline´arn´ı formy (skal´arn´ıho souˇcinu)
I
2 doplˇ nkov´e Weylovy axiomy
I
z´akladem je afinn´ı prostor opatˇren´y skal´ arn´ım souˇ cinem na sv´em vektorov´em zamˇeˇren´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Weylova axiomatick´a soustava
I
celkem 15 axiom˚ u : 8 axiom˚ u vektorov´eho prostoru
I
1 axiom - dimenze vektor. prostoru
I
4 axiomy biline´arn´ı formy (skal´arn´ıho souˇcinu)
I
2 doplˇ nkov´e Weylovy axiomy
I
z´akladem je afinn´ı prostor opatˇren´y skal´ arn´ım souˇ cinem na sv´em vektorov´em zamˇeˇren´ı
I
mˇeˇren´ı d´elek vektor˚ u, vzd´alenost´ı bod˚ u, urˇcov´an´ı odchylek, vyˇsetˇrov´an´ı kolmosti
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
z´akladem modern´ı diferenci´aln´ı geometrie je pojem variety
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
z´akladem modern´ı diferenci´aln´ı geometrie je pojem variety
I
zobecnˇen´ı plochy na topologicky netrivi´aln´ı v´ıcerozmˇernou hyperplochu
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
z´akladem modern´ı diferenci´aln´ı geometrie je pojem variety
I
zobecnˇen´ı plochy na topologicky netrivi´aln´ı v´ıcerozmˇernou hyperplochu
I
zn´am´e pˇr´ıklady hladk´ych variet: kruˇ znice S 1 , sf´ era S 2 , 3 nadsf´ era S ,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie I
pseudosf´ era PS 2 , v´ alcov´ a plocha C 2 , torus T 2 ,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie I
pseudosf´ era PS 2 , v´ alcov´ a plocha C 2 , torus T 2 ,
I
M¨ obi˚ uv list M 2 , Kleinova l´ ahev K 2
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie I
pseudosf´ era PS 2 , v´ alcov´ a plocha C 2 , torus T 2 ,
I
M¨ obi˚ uv list M 2 , Kleinova l´ ahev K 2
I
jejich vz´ajemn´e kart´ezsk´e souˇciny, napˇr. S 1 × S 2 , S 1 × C 2 , S2 × S2
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie I
pseudosf´ era PS 2 , v´ alcov´ a plocha C 2 , torus T 2 ,
I
M¨ obi˚ uv list M 2 , Kleinova l´ ahev K 2
I
jejich vz´ajemn´e kart´ezsk´e souˇciny, napˇr. S 1 × S 2 , S 1 × C 2 , S2 × S2 a kart´ezsk´e souˇciny s kart´ezsk´ymi varietami R, pˇr´ıp. RN , napˇr. S 2 × R, C 2 × R, T 2 × R
I
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı
I
studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı
I
studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,
I
tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı
I
studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,
I
tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,
I
konexe, symplektick´ e struktury, Poissonovy struktury,
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı
I
studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,
I
tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,
I
konexe, symplektick´ e struktury, Poissonovy struktury,
I
komplexn´ı struktury, spinory, twistory a jin´e
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı
I
studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,
I
tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,
I
konexe, symplektick´ e struktury, Poissonovy struktury,
I
komplexn´ı struktury, spinory, twistory a jin´e
I
modern´ı geometrie vyˇreˇsila probl´emy klasick´e geometrie
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı
I
studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,
I
tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,
I
konexe, symplektick´ e struktury, Poissonovy struktury,
I
komplexn´ı struktury, spinory, twistory a jin´e
I
modern´ı geometrie vyˇreˇsila probl´emy klasick´e geometrie
I
(klasifikace variet, Hilbertovy probl´emy)
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie
Modern´ı geometrie
I
souˇcasn´a diferenci´aln´ı geometrie m´a mnoho odvˇetv´ı
I
studuj´ı se zejm´ena objekty na hladk´ych variet´ach jako vektorov´ a pole, semispraye, diferenci´ aln´ı formy,
I
tenzorov´ a pole, distribuce, diferenci´ aln´ı syst´ emy,
I
konexe, symplektick´ e struktury, Poissonovy struktury,
I
komplexn´ı struktury, spinory, twistory a jin´e
I
modern´ı geometrie vyˇreˇsila probl´emy klasick´e geometrie
I
(klasifikace variet, Hilbertovy probl´emy)
I
uplatnˇen´ı v modern´ı fyzice - relativistick´e fyzice, kvantov´e fyzice, teorii strun a jin´ych
Martin Swaczyna
Historick´ y pˇrehled v´ yvoje geometrie