Hidrosztatika, Hidrodinamika

10/4/2012

Folyadékok alaptulajdonságai folyadék: anyag, amely folyni képes • térfogat állandó, • alakjuk változó, a tartóedénytől függ

Hidrosztatika, Hidrodinamika

• a térfogat-változtató erőkkel szemben ellenállást fejtenek ki • összenyomhatatlanok

nyomás

sűrűség



   

  

  



  

Folyadékok fizikája

Nyugvó folyadékok HIDROSZTATIKA

Áramló folyadékok HIDRODINAMIKA

Ideális folyadékok áramlása

HIDROSZTATIKA

Viszkózus/ reális folyadékok áramlása

Lamináris (réteges) áramlás

Turbulens (örvényes) áramlás

1

10/4/2012

Hidrosztatikus nyomóerő, nyomás

A hidrosztatika alaptörvénye (Pascal törvénye) szerint a folyadékok belsejében bármely dA felületelemet véve, a rá ható erő merőleges a felületelemre, nagysága pedig arányos a helyi nyomással (feszültséggel):

Hidrosztatikai nyomás: folyadék súlyából származó nyomás

dF  pdA

A Föld felszínén nyugvó folyadékokban a nyomás a folyadékok súlya miatt a magassággal arányosan változik.

Kísérlet: Egy gumihártyával fedett végű/oldalú üvegcsövet vízzel teli tartályba helyezünk, majd megtöltjük vízzel.

Blaise Pascal 1623-1662

A folyadék egy adott mélységében minden irányból azonos erővel nyomja a gumihártyát.

F = G = mg 

Hidrosztatikus nyomóerő, nyomás

   A hidrosztatikus nyomás értéke független az edény alakjától, a folyadékoszlop magasságával (h) és sűrűségével (ρ f) egyenesen







 



  

h

  

Pascal törvénye: A nyomás terjedése folyadékokban F2





F1

arányos. d1 Különböző alakú, azonos magasságú edényben lévő folyadékoszlopok hidrosztatikai nyomása lehet azonos, ha a súlyuk különbözik is.

d2

Pascal törvénye: Zárt folyadékokra ható nyomás minden irányban gyengítetlenül terjed tovább.

2

10/4/2012

Pascal törvénye

Közlekedőedények A folyadék nyomása nem függ az edény alakjától, ezért az egymással összeköttetésben álló edényekben a folyadék szintje azonos.

A két szár alakjától függetlenül azonos a két folyadékoszlop magassága ha sűrűségük azonos.

Nyomásmérés: Δp = pk1 – pk2 = (h2 – h1) ρg = h ρg

Arkhimédesz törvénye

Kísérlet:

Egy A alapú h magasságú tárgy folyadékba merül

Egy U – alakú cső két szárába töltsünk két, egymással nem elegyedő, különböző sűrűségű folyadékot.



  



 

 







 







 







   



 

 Úszás, lebegés

Süllyedés

G=F fel

G>F fel

Egymással nem keveredő folyadékoknak a közös érintkezési szinttől mért távolságai a folyadékok sűrűségével fordítva arányosak.

Minden folyadékba merülő testre felhajtóerő hat, amely az általa kiszorított folyadék súlyával egyenlő.

Emelkedés G
3

10/4/2012

Felületi feszültség

Felületi feszültség

A folyadékok határfelülete a lehető legkisebbre húzódik össze. A folyadék belsejében az egy molekulára ható erők eredője nulla. Felszíni molekulákra ható Fe a folyadék beseje felé mutat.

Fe

A felületnövekedéshez munkát kell végezni: ΔW=α ΔA



W A

N/m v. J/m2

Egységnyi felületnövekedéshez szükséges munkavégzés

A felszín egy rugalmas hártyaként viselkedik (behorpad a rovar lába alatt

A drótkeret függőleges helyzetében az l hosszúságú drótdarab nyugalmi állapotának az a feltétele, hogy a drótdarab és a rá függesztett kis test együttes súlya megegyezzen az Fh erő nagyságával. A mérések szerint az Fh erő független a hártya A felületétől, és arányos az l hosszúsággal:

Fh  2 l A 2-es szorzó a hártya két (elülső és hátulsó) felületének hatásából adódik. Az  arányossági tényezőt felületi feszültségnek nevezzük. Az  egysége [N/m].

Határfelületi jelenségek

A kísérleti tapasztalatok szerint a folyadékok szabad felszíne másképpen viselkedik, mint azt az előzőekben megismert hidrosztatikai törvények alapján várnánk. Pl. a lapjával a víz felszínére helyezett borotvapenge (vékony acéllemez) nem merül el a folyadékban, annak ellenére, hogy sűrűsége ~7,8 -szorosa a víz sűrűségének. A víz felszíne a borotvapenge súlya alatt ˝behorpad˝, a felszín úgy viselkedik, mintha az egy rugalmas hártya lenne. Megfigyelhető továbbá, hogy a folyadékok felszíne az edény falánál vízszintes sík helyett görbült felülettel jellemezhető.

F  Δs Ugyanekkora erő hat a folyadékfelszín belsejében kijelölt görbe bármely s vonalelemének mindkét oldalára.

A

Az előzőek általánosításaként elmondhatjuk, hogy a folyadék felszínét határoló görbe bármely s hosszúságú vonaldarabjára a felszín érintősíkjában a vonaldarabra merőlegesen F  Δs nagyságú erő hat.

l

Fh

A folyadékok felületi feszültsége hőmérsékletfüggő, a hőmérséklet növekedésével  csökken. szobahőmérsékletű vízre:

 H O  0,073

a higanyra pedig:

 Hg  0,5

2

N m

N m



4

10/4/2012

Kohéziós és adhéziós erők

Felületi energia Ha az ábrán látható folyadékhártyával kitöltött keret l hosszúságú mozgatható oldalát x úton függőlegesen lefelé elmozdítjuk, akkor a felületi feszültségéből származó erő ellenében

A folyadék molekulái között vonzó kölcsönhatási erők, ún. kohéziós erők is hatnak. A kohéziós erők hatósugara 10-8 m nagyságrendű, ami azt jelenti, hogy egy molekulára csak egy r = 10-8 m sugarú „hatásgömbön” belüli molekulák fejtenek ki erőhatást.

W  Fx  2 lx  ΔA

munkát végzünk, ahol A = 2lx a felület megváltozását (növekedését) jelöli. A folyadék felülete a megnövelése közben végzett munka révén potenciális energiához jut. A potenciális energiának ezt az újabb fajtáját felületi energiának nevezzük. A folyadékok felszíne csak munkavégzéssel növelhető. A felszín növelésére végzett munka a folyadék felületi energiáját növeli:

A

x

l

Fh

ΔE  ΔW  ΔA A felületi feszültség a folyadék felszínének egységnyi növeléséhez szükséges munkát is jelenti. Ezért  -t másképpen fajlagos felületi energiának vagy fajlagos felületi munkának is nevezzük.

Kohéziós és adhéziós erők A folyadék és az edény fala (egy szilárd test) érintkezésekor is tapasztalunk felületi jelenségeket. A folyadék és a vele érintkező szilárd test részecskéi között fellépő vonzó kölcsönhatási erőket adhéziós erőknek nevezzük. A kohéziós és az adhéziós erők együttes hatásának következménye a folyadék felületének az edény falánál tapasztalható görbültsége.

Egy molekulának a folyadék belsejéből a felszínre juttatásához (és ezáltal a felszín növeléséhez) a felületi rétegben befelé mutató erők ellenében pozitív munkát kell végezni. Emiatt a felszínen lévő molekulák potenciális energiája (felületi energiája) nagyobb, mint a folyadék belsejében lévőké.

Feladatok: Labda 10%-a belemerül a vízbe. Mekkora a labda sugara, ha a tömege 55 g?

Egy 0,4 * 103 kg/m3 sűrűségű fadarabot 2,9 m mélyen a vízbe merítünk. Határozzuk meg a fadarab gyorsulását elengedés után, és hogy mennyi idő múlva éri el a felszínt! Víz felületi feszültségének meghatározása céljából 1 mm átmérőjű csövön 1 cm3 vizet csepegtetünk ki, miközben 40 cseppet számlálunk. Mekkora az adott hőmérsékleten a víz felületi feszültsége?

A nyugvó folyadék felülete mindig merőleges a rá ható erők eredőjére. Az ábra azt az esetet mutatja, mikor az adhéziós erő (Fa) nagyobb, mint a kohéziós erő (Fk) falra merőleges komponense, és így a folyadék „nedvesíti” az edény falát. (Ilyen pl. a víz egy tiszta falú üvegedény esetén.)

5

10/4/2012

Ideális folyadékok áramlása lamináris

nem viszkózus

összenyomhatatlan

örvénymentes

Áramlás: Folyadékok egyirányú mozgása.

HIDRODINAMIKA

feltétele: nyomáskülönbség (Δp)

Viszkózus/ reális folyadékok áramlása Térfogati áramerősség Lamináris (réteges) áramlás

Turbulens (örvényes) áramlás



 

Az áramlás erőssége az áramlási cső keresztmetszetén áthaladó folyadék térfogatának és az áramlás idejének a hányadosa. Az aortában ez 6 liter/perc - perctérfogat

Bernoulli törvénye

Folytonosság törvénye A folyadékok összenyomhatatlanok, így az áramlás erőssége minden időben és helyen állandó.



A2



v2 A1



v1 d1 d2



  

Munkatétel: a mozgási energia megváltozása egyenlő a rendszeren végzett munkával

 

   

 

anyagmegmaradás

A cső keresztmetszetével (A) fordított arányban változik az áramlás sebessége (v).

Munka (a rendszeren): Gravitációs erő munkája

  







 







Munka (a rendszer által): Az előrehaladáshoz szükséges erő munkája

     



 



6

10/4/2012



       







 

 





p1 

 

  v12 2

statikus dinamikus

  



 



  



 



 

    



Torricelli – törvénye

Egy vízzel teli üveghenger falát egy pontban kilyukasztjuk. A kiáramló víz sebessége meghatározható a Bernoulli egyenlet segítségével.

 

   g  h1  p2 



  

  v22 2



  



 

   g  h2  const.

hidrosztatikus

Bernoulli egyenlet

Áramlási csőben másodpercenként 3 cm3 víz halad át. Mennyi a víz sebessége ott, ahol a cső átmérője 0,5 cm ill. 0,8 cm?

p1 

  v12 2

   g  h1  p2 

  v22 2

   g  h2  const.

Súrlódásos áramlás Állandó keresztmetszetű csőben áramló folyadék nyomása, az áramlás irányában a középtengelytől mért távolsággal csökken.

Víz áramlik egy zárt csőrendszerben. Egy adott pontban az áramlási sebesség 3 m/s, egy másik, 1 m-rel magasabban levő pontban pedig 4 m/s. Mennyi a nyomás ebben a pontban, ha az alacsonyabban fekvő helyen 20 kPa? Mennyi lenne a nyomás a felső helyen, ha megállítva az áramlást az alsó pontban a nyomásértéke 18 kPa lenne?

Lamináris áramlás (Réteges) • Az áramlás sebessége (v) kicsi • Nincs keveredés • Sima felszín

Reynolds szám R 

Turbulens áramlás (Örvénylő) • Az áramlás sebessége (v) a viszkozitáshoz képest arányosan nagy • Örvényes • Durva felszín

v    d lamináris R  1160 turbulens R  1160 

7

10/4/2012

Stokes törvénye

Viszkózus folyadékok áramlása

1851-ben,

George Gabriel Stokes kimondta, hogy Egy viszkózus folyadékban v sebességgel mozgó, r sugarú, gömb alakú tárgyra ható súrlódási erőt hogyan lehet meghatározni (kis Reynolds szám, folytonos viszkózus folyadékáramlásban)

Newton –féle súrlódási (viszkozitási) törvény

  

 

Viszkozitás (belső súrlódási együttható):

   

Jele: η (éta) Mértékegysége Pa·s A viszkozitás függ: • Anyagi minőség

Fd súrlódási erő μ dinamikus viszkozitás (N s/m2), R a gömb sugara (m), és v sebesség(m/s).

• Koncentráció • Hőmérséklet (hőmérséklet növekedésével csökken) • Nyomás

Hagen-Poiseuille törvénye l

F    A 

p1

Aneurizma: az ördögi kör

Nyomáskülönbségből származó erő

p2

v h

F  p  A  ( p1  p2 )  r 2  

v p  p2  1 r h 2  l 

A1

Sebesség profil

v

 r4  p1  p2  8   l

A2 p v2 2

A2  A1

Áramerősség: I=A*v

I

p1

v1

p

turbulens lamináris





v2  v1 p2  p1

A1

v1

p1 Kontinuitási egyenlet Bernoulli törvény

I

8

10/4/2012

Feladat: Egy 1 mm belső átmérőjű 10 cm hosszúságú injekciós tűn keresztül 10-3 Pas viszkozitású oldatból 20 cm3-t akarunk befecskendezni 4 perc alatt, 1600 Pa vénás nyomással szemben. Hány Pa nyomás alkalmazása szükséges?

Házi Feladat: Legfeljebb mekkora térfogatú cseppeket képezhet a víz egy 2 mm átmérőjű kapilláris cső alján? (A víz sűrűsége 1000 kg/m3, a felületi feszültsége az órai feladatból) Egy kocka élhosszúsága 0,75 cm. Úgy úszik a 800 kg/m3 sűrűségű olajon, hogy egyharmada emelkedik ki. Mekkora felhajtó erő hat a kockára? Mekkora a kocka anyagának sűrűsége?

9